Faktorisasi Pada Matriks Ekuivalen Bertanda Positif Total (Factorization on totally positive sign equivalent matrices) Oleh : Aleksander Hutauruk ( Di bawah bimbingan Muhafzan, Ph.D dan Jenizon, M.Si ) ABSTRACS Factorization of matrices is the multiply of matrices which is suitable with where A is as input matrix and , is as factorial matrices that is matrices suitable with in a certain condition. The number of k represents the number of factorial matrix F. Factorization on totally positive sign equivalent matrices that the matrices being able to be D1QD2, with Q is totally positive matrix, D1 and D1 are diagonal matrices with main diagonal elements equal to . Theorem in factorization on totally positive sign equivalent matrices that every square real matrix n x n, n ≥ 2 is result of multiplical totally positive sign equivalent matrices, indicated and stated based on facts in Lowner-Neville factorization, the concept about matrix and facorization matrix. One of them is facorization : Cholesky, LU, and QR. Keywords:Totally positive matrix, Totally positive sign equivalent matrix, Factorization on totally positive sign equivalent matrix, Lowner-Neville factorization.
I. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Faktorisasi matriks merupakan cara untuk menyatakan hubungan sebuah matriks sebagai perkalian dari matriks-matriks lain. Sedangkan matriks itu sendiri adalah suatu susunan berbentuk persegi panjang dari entri-entrinya. Selanjutnya, terdapat berbagai macam tipe matriks berdasarkan pengamatan ukuran maupun karakteristik dari entri matriks tersebut. Dengan adanya berbagai macam tipe matriks menimbulkan pula berbagai macam cara untuk memfaktorkan suatu matriks, diantaranya dikenal sebagai: faktorisasi Cholesky, faktorisasi LU, faktorisasi SVD, faktorisasi QR dan faktorisasi LoewnerNeville. Penggunaan masing-masing faktorisasi ini tergantung pada tipe matriks yang difaktorkan ataupun tipe matriks sebagai faktor pada perkalian. Disamping cara memfaktorkan matriks tersebut, terdapat suatu cara lain yang dinamakan faktorisasi matriks ekuivalen bertanda positif total yakni cara memfaktorkan suatu matriks persegi dalam bentuk perkalian matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total. Matriks ekuivalen bertanda positif total itu sendiri adalah suatu matriks yang dapat dinyatakan sebagai D1QD 2 , dimana Q adalah matriks positif total, D1 dan D 2 masing-masing merupakan matriks diagonal dengan entri diagonal utama 1 . Sebuah fakta pada faktorisasi Loewner-Neville bahwa setiap matriks riil persegi merupakan perkalian dari matriks-matriks bidiagonal. Fakta ini sebagai gagasan pokok yang digunakan oleh Daniel Hershkowitz dan Allan Pinkus (2006) dalam artikel On Nonnegative Sign Equivalent and Sign Similar Factorizations of Matrtices pada suatu teorema bahwa setiap matriks riil persegi adalah perkalian dari matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total. Akhirnya penelitian ini dimaksudkan sebagai penegasan tentang matriks ekuivalen bertanda positif total dan bukti dari teorema tersebut dengan menunjukkan bahwa setiap
1
matriks riil berukuran n n , n 2 dapat difaktorkan menjadi perkalian matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total. 1.2. Perumusan Masalah Diberikan matriks riil A berukuran n x n dengan n 2 , bagaimana memfaktorkan matriks A sedemikian sehingga matriks A merupakan perkalian dari matriks – matriks ekuivalen bertanda positif total. 1.3. Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah menunjukkan bahwa faktorisasi matriks persegi riil merupakan perkalian dari matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total dengan membuktian suatu teorema yang berkaitan dengan hal tersebut. 1.4. Manfaat Penelitian Manfaat dari penelitian ini adalah: - Menambah pengetahuan penulis mengenai faktorisasi pada matriks persegi riil khususnya pada matriks ekuivalen bertanda positif total. - Sebagai bahan masukan untuk peneliti selanjutnya dalam mengembangkan dan memperluas cakupan penelitian ini. II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Teori Dasar Matriks Definisi 2.1.1 (Anton, 1988) Suatu matriks mempunyai ukuran yang diperoleh berdasarkan banyaknya baris dan kolom dalam matriks tersebut. Suatu matriks A yang berukuran m x n disimbolkan
dengan Amxn dan dapat ditulis:A =
a 11
a 12
a1n
a 21
a 22
a 2n
a m1
am2
a mn
, aij entri baris ke-i dan kolom
ke-j, i = 1,2,…,m dan j = 1,2,…,n. Definisi 2.1.2. (Leon, 2001) Suatu matriks persegi D merupakan matriks diagonal jika entri – entri d ij i
0
untuk
j.
Definisi 2.1.3. (Leon, 2001) Matriks identitas adalah matriks I = a i j berorde n x n, dimana a ij
1
jika
i
j
0
jika
i
j
adalah entri-entri dari matriks yang terletak dibaris ke i dan kolom ke j. Definisi 2.1.4. (Zwillinger, 2003) Matriks segitiga adalah matriks persegi yang entri dibawah atau diatas garis diagonal utama adalah nol. Definisi 2.1.5. (Golub & Loan , 1996) Suatu matriks persegi D d ij merupakan matriks bidiagonal jika entri-entri yang a ij
mungkin tak nol adalah d ii dengan i
1, ..., n
, dan d j , j 1 (atau d j
1, j
), dengan
j=
1,2,........n – 1. Khususnya jika entri d ii 1 , untuk i 1, , n dinamakan matriks bidiagonal elementer (elementary bidiagonal Matrices). Definisi 2.1.6. ( Leon, 2001). Suatu matriks A berukuran n x n disebut simetris jika AT = A. 2
Matriks simetris berukuran n x n disajikan sebagai: A
a11
a 21
a n1
a 21
a 22
an2
a n1
an2
a nn
Definisi 2.1.7. ( Zwilinger, 2003). Transpos suatu matriks A berukuran m x n dilambangkan dengan A T adalah suatu matriks berukuran n x m dengan baris dan kolom saling berganti sedemikian sehingga komponen baris ke-i kolom ke-j dari matriks A adalah komponen baris ke-j kolom ke-i dari matriks A T dan ( A T ) ji ( A ) ij a ij . Definisi 2.1.8. ( Zwilinger, 2003). Misalkan A a ij merupakan matriks berukuran m x n dan B b jk matriks berukuran n x p; ( bahwa banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B c ij dengan elemen ), maka AB adalah matriks berukuran m x p yakni matriks C pada baris ke-i kolom ke-j ditentukan oleh n
rumus: c ij
a ik b kj
a i1b1 j
a i 2 b2 j
a in b nj
dengan i
1,..., m
dan j
1,..., p
.
k 1
Definisi 2.1.9. ( Zwillinger, 2003). Suatu matriks A berukuran n x n dikatakan nonsingular atau invertibel jika terdapat suatu matriks B sedemikian sehingga: AB I n BA Setiap matriks B yang memenuhi sifat tersebut dinamakan invers A ditulis A 1 . Jika A tidak memiliki invers maka A dinamakan matriks singular. Invers suatu matriks A dirumuskan sebagai: A
1
Adj ( A ) det( A )
, dengan Adj ( A ) adalah
adjoin dari matriks A sedangkan det( A ) merupakan determinan matriks A. Definisi 2.1.10. (Zwillinger, 2003) Adjoin suatu matriks A a ij berukuran n n ditulis Adj ( A ) adalah matriks
berukuran
n
n yang disajikan sebagai:
Adj ( A )
A11
A21
An 1
A12
A22
An 2
A1 n
A2 n
Ann
, dimana
Aij
merupakan kofaktor a ij . Definisi 2.1.11. . (Hager, 1988) Suatu matriks A disebut matriks ortogonal jika hasilkali A dan transposnya yaitu A T adalah matriks identitas atau AT A AA T I dengan I matriks identitas. Definisi 2.1.12 (Jacob, 1990) Operasi baris elementer pada suatu matriks adalah penerapan diantara hal berikut pada matriks: (i). Mengalikan salah satu baris dengan suatu bilangan skalar tak nol. (ii). Menjumlahkan suatu hasilkali dari salah satu baris pada baris lainnya. (iii). Mempertukarkan dua baris. Definisi 2.1.13 (Jacob, 1990) Matriks elementer n n adalah suatu matriks yang diperoleh dari matriks identitas n n dengan menggunakan operasi baris elementer tunggal. 3
2.2. Minor dan Determinan Matriks Definisi 2.2.1. ( Leon, 2001). Minor baris ke-i kolom ke-j (ditulis M ij ) adalah determinan matriks berukuran (n
1)
(n
dari suatu matriks berukuran n x n tanpa entri baris ke-i dan entri
1)
kolom ke-j. Definisi 2.2.2. (Zwillinger, 2003) Kofaktor baris ke-i kolom ke-j dari matriks persegi A adalah hasil kali
i
1
j
a ij
berukuran n n ditulis Aij
M ij dimana M ij merupakan determinan dar matriks A dengan
menghapus elemen baris ke-i dan elemen kolom ke-j ( M ij biasa disebut minor dari a ij ) .Definisi 2.2.3. (Strang, 1988). Determinan dari matriks persegi A a ij berukuran n x n biasa ditulis A atau det(A) dapat dibedakan oleh formula berikut: a. Matriks persegi berukuran 2 x 2: A
a11
a12
a 21
a 22
, maka deteminan dari A adalah:
det(A) = a11 a 22 a12 a 21 ..... (1.1) b. Matriks persegi ukuran n (dengan n > 2) Misalkan A merupakan matriks persegi ukuran n x n, dengan n > 2 ditulis A a ij dimana a ij adalah entri pada baris ke i dan kolom ke j untuk i 1, , n dan j 1, , n maka determinannya dapat dihitung dengan ekspansi kofaktor dari salah satu baris atau salah satu kolom. Dengan ekspansi kofaktor baris ke-i atau ekspansi kofaktor kolom kej, maka determinan matriks A adalah: n
det( A )
a ij Aij
a i1 Ai1
a ij Aij
a1 j A1 j
a i 2 Ai 2
a in Ain
..... (1.2)
j 1 n
atau
det( A )
a 2 j A2 j
..... (1.3)
a nj Anj
i 1
2.3. Faktorisasi dalam matriks Definisi 2.3.1. (Hager, 1988) . Faktorisasi Cholesky adalah faktorisasi suatu matriks persegi H yang dinyatakan sebagai bentuk perkalian matriks H KK T dengan K adalah matriks segitiga bawah yang disebut segitiga Cholesky (Cholesky triangle). Sebagai ilustrasi, misalkan matriks H sebagai berikut:
H
Ambil K
h11
h12
h1 n
h 21
h 22
h2 n
hn1
hn 2
h nn
k ii
0
0
k 21
k 22
0
k n1
kn2
k nn
dengan hij
maka K T
h ji
(i = 1,...,n dan j = 1,...,n).
k ii
k 21
k n1
0
k 22
kn2
0
0
k nn
Bentuk faktorisasi Cholesky dari matriks H berukuran n n adalah:
4
h11
h12
h1 n
k ii
0
0
k ii
k 21
k n1
h 21
h 22
h2 n
k 21
k 22
0
0
k 22
kn2
hn1
hn 2
h nn
k n1
kn2
k nn
0
0
k nn
..... (2.1)
i 2
Dengan menyelesaikan (2.1) diperoleh: hii
..... (2.2)
k ip p 1 min i , j
hij
k ip k jp
, dengan i
j
..... (2.3)
p 1
Definisi 2.3.2. (Hager, 1988). Faktorisasi LU adalah suatu bentuk perkalian dari suatu matriks A yang dinyatakan sebagai hubungan A = LU dimana L adalah matriks segitiga bawah dan U merupakan matriks segitiga atas. Khususnya, jika matriks A berukuran 3 x 3, yakni: A
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
dimana L
maka hubungan pada faktorisasi LU menjadi:
a11
a12
a13
l11
0
0
u 11
u 12
u 13
a 21
a 22
a 23
l 21
l 22
0
0
u 22
u 23
a 31
a 32
a 33
l 31
l 32
l 33
0
0
u 33
l11
0
0
l 21
l 22
0
l 31
l 32
l 33
u 11
u 12
u 13
0
u 22
u 23 . Persamaan (2.4) berakibat:
0
0
, dan U
u 33 a 11
a 12
a 13
u 11
u 12
u 13
a 11
l11 u 11 ,
a12
l11 u12 dan a 13
a 21
l 21 u11 ,
a 22
l 21 u12
l 22 u 22 dan a 23
l 21 u 13
l 22 u 23
a 31
l 31 u11
, a 32
l 31 u 12
l 32 u 22
l 31 u 13
l 32 u 23
faktorisasi ditulis sebagai:
l11 u 13
atau l11
dan a 33
Sebagai contoh pehatikan matriks
..... ( 2.4)
A
2
2
2
4
7
7
6
18
22
l 33 u 33
. Dengan operasi baris elementer
2
2
2
1
0
0
2
2
2
4
7
7
2
1
0
0
3
3
6
18
22
3
2
1
0
0
4
Definisi 2.3.3. (Hager, 1988). Suatu faktorisasi QR dari suatu matriks persegi A yang riil adalah suatu bentuk perkalian matriks yang dinyatakan sebagai A = QR dimana Q merupakan matriks ortogonal dan R matriks segitiga atas. Sebagai contoh, perhatikan matriks:
A
9
0
26
12
0
7
0
4
0
3
4 3
.
5
Dengan MATLAB diperoleh
A
9
0
26
3/5
0
12
0
7
4/5
0
0
4
0
4/5
0
4
3
3
0
4/5 3/5 0
3/5
15
0
10
0
5
5
0
0
25
QR
0
Definisi 2.3.4. (Fiedler & Markham, 1997) Suatu faktorisasi dari matriks persegi A berukuran n x n disebut faktorisasi LoewnerNeville jika A dapat dinyatakan sebagai: A = BDC ..... (2.6) dimana D adalah matriks diagonal, B dan C masing-masing adalah hasilkali dari matriks-matriks bidiagonal yaitu: B B1 B 2 B n 1 ..... (2.7) dan C C n 1C n 2 C 1 ..... (2.8) dengan B i dan C i untuk i
1, , n
1 disajikan
sebagai:
1 0
1
Bi
..... (2.9)
0
1 bn
1
i 1 ,1
b ni
1
0 1
dan
1
Ci
0 1
c1 , n
..... (2.10) i
1
1
c in 1
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
d1
0
0
0
d2
0
0
0
d3
Sebagai contoh perhatikan matriks berukuran 3 3 : A
Sesuai definisi (2.3.4), ambil matriks diagonal:
Sesuai (2.9) dan (2.10) matriks bidiagonal: B1
dan C 1
1
0
0
0
1
c13
0
0
1
dan (2.8) diperoleh: B
, C2
1
c12
0
0
1
c 23
0
0
1
0
0
b 21
1
0
b31
b32
1
0
0
0
1
0
0
b31
1
,
B2
, 1
0
0
b 21
1
0
0
b32
1
,
. Dengan menyelesaikan persamaan (2.7)
1 b 21 b31
D
1
dan C
1
c12
0
1
0
0
c12 c13 c13
c 23 1
6
Sehingga faktorisasi Loewner-Neville dari matriks A dinyatakan dengan: a11
a12
a13
1
0
0
d1
0
0
1 c12
0
11
12
13
a 21
a 22
a 23
b 21
1
0
0
d2
0
0
1
c 23
21
22
23
a 31
a 32
a 33
b 21 b31
1
0
0
d3
0
0
1
31
32
33
dimana:
11
d1 ,
23
d 1b 21 c12 c13
33
d 1b 21 b31 c12 c13
b31 12
b32
d 1c12 ,
d 2 ( c13 d 2 ( b31
c 23 ) ,
13 31
b32 )( c13
d 1c12 c13
,
d 1b 21 b31 , c 23 )
21
d 1b21 ,
32
d 1b 21 b31 c12
..... (2.11)
d2
d 1b21 c12 ,
d 2 ( b31
b32 ) ,
22
d3
..... (2.12)
III. METODOLOGI PENILITIAN 3.1. Tempat dan Waktu Penelitian ini dilakukan pada perpustakaan jurusan Matematika Universitas Andalas, dan Pustaka Digital (Digital Library) dari berbagai situs matematika sesuai dengan permasalahan yang dihadapi dan berlangsung sejak Desember 2007 sampai April 2008. 3.2. Metode Penelitian ini merupakan penelitian deskriptif dan analitik yang menggunakan analisa teori yang relevan dengan masalah yang dibahas dan berlandaskan pada studi kepustakaan. Dalam melakukan penelitian ini penulis memulai dengan meninjau permasalahan, mengumpulkan teori-teori yang didapat sebagai penunjang untuk menyelesaikan permasalahan tersebut dan terakhir menarik kesimpulan dari permasalahan yang telah dibahas. Langkah - langkah kerja yang dilakukan pada penelitian adalah: 1. Meninjau konsep-konsep dasar matriks 2. Meninjau konsep-konsep faktorisasi pada matriks. 3. Meninjau tentang matriks positif total dan matriks ekuivalen bertanda positif total . 4. Menyelesaikan masalah faktorisasi matriks ekuivalen bertanda positif total dengan teori-teori dan algoritma yang berhubungan dengan pemecahan masalah tersebut. 5. Menyimpulkan hasil yang diperoleh. IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1. Matriks Positif Total Definisi 4.1.1. (Hershkowitz & Pinkus, 2007) Suatu matriks A dinamakan matriks positif total jika setiap minor dari matriks A adalah nonnegatif. Secara khusus, jika A berukuran 2 x 2, yakni: A merupakan matriks positif total jika: det( A )
a11 a 22
a12 a 21
dan jika A matriks berukuran 3 x 3, yakni: A
a11
a12
a 21
a 22
maka A
.... (3.1)
0
a 11
a 12
a 13
a 21
a 22
a 23 maka
a 31
a 32
a 33
A adalah
matriks positif total jika setiap nilai minornya adalah nonnegatif atau M 11 M 11
a 22
a 23
a 32
a 33
a 22 a 33
a 23 a 32
0 , M 12
a 21
a 23
a 31
a 33
a 21 a 33
a 23 a 31
0,
7
M 13 M 22
M 31 M 33
a 21
a 22
a 31
a 32
a11
a13
a 31
a 33
a 1 `2
a13
a 22
a 23
a11
a12
a 21
a 22
a 21 a 32
a 22 a 31
0,
M 21
a11 a 33
a13 a 31
0,
M 23
a12 a 23
a13 a 22
0 , M 32
a11 a 22
a12 a 21
0
2
5
1
4
Sebagai contoh diberikan A total. Karena det( A )
3
0
a12
a13
a 32
a 33
a11
a12
a 31
a 32
a11
a13
a 21
a 23
a12 a 33
a13 a 32
0,
a11 a 32
a12 a 31
0,
a11 a 23
a13 a 21
0 , dan
..... (3.2)
, akan diselidiki apakah A adalah matriks positif
maka sesuai (3.1) A adalah matriks positif total.
Contoh lainnya misalkan A
1
1
0
2
3
2 , akan diselidiki apakah A adalah matriks
1
2
4
positif total. Dengan memeriksa minor-minor dari A yaitu: M 11 M
22
M 33
3
2
2
4
1
0
1
4
1
1
2
3
8,
M 12
4,
M
23
2
2
1
4
1
1
1
2
6,
M 13
1,
M 31
2
3
1
2
1
0
3
2
1,
2
,
M 21 M 32
1
0
2
4
1
0
2
2
4
2
, ,
1.
Karena M ij 0 untuk i 1, 2 ,3 dan j 1, 2 ,3 , maka sesuai (3.2) jelas A adalah matriks positif total. Beberapa tipe matriks khusus yang memenuhi matriks positif total berdasarkan definisi (4.1.1), diantaranya : 1). Matriks Identitas a. Ukuran 2 2 : I
1
0
0
1
, det( I ) 1 0 berarti matriks ini adalah matriks
positif total. b. Ukuran n n dengan n 2 Sesuai definisi minor pada baris ke-i kolom ke-j ( M ij ) dari suatu matriks, maka minor matriks identitas berukuran n n tersebut adalah: M ij
1 untuk
i
j
0 untuk
i
j
Dengan hasil ini diperoleh bahwa setiap minor dari matriks identitas berukuran Menurut definisi (4.1.1), jelas bahwa matriks identitas termasuk matriks positif total. 2). Matriks diagonal Sesuai definisi (2.1.2), maka matriks diagonal D dapat disajikan sebagai: n
n adalah nonnegatif.
8
D
d1
0
0
0
d2
0
0
0
dn
dengan mengambil entri diagonal d i 0 dimana i 1,..., n maka semua minor matriks D adalah nonnegatif. Sesuai definisi (4.1.1), D dengan kondisi tersebut merupakan matriks positif total. 3). Matriks Bidiagonal Berdasarkan definisi (2.1.5), maka matriks bidiagonal D ( d ij ) berukuran n x n adalah: a). Untuk entri-entri yang bukan d ii , i 1,..., n dan d j ( j 1 ) , j 1,..., n 1 adalah nol dapat disajikan sebagai:
D
d 11
d 12
0
0
0
d 22
d 23
0
0
0
0
0
0
0
d (n
1 )( n 1 )
d (n
1) n
d nn
Dengan mengambil kondisi entri d ii 0 , i 1,..., n dan d j ( j 1 ) 0 , j 1,..., n 1 , jelas bahwa semua nilai minornya adalah nonnegatif. Menurut definisi (4.1.1), maka matriks bidiagonal dengan kondisi tersebut merupakan matriks positif total. b). Untuk entri-entri yang bukan d ii , i 1,..., n dan d ( j 1 ) j , j 1,..., n 1 adalah nol dapat disajikan sebagai:
D
d 11
0
0
0
d 21
d 22
0
0
0
0
0
0
d (n
1 )( n 2 )
0
d (n
1 )( n 1 )
d n(n
1)
0 d nn
Dengan mengambil kondisi entri d ii 0 , i 1,..., n dan d ( j 1 ) j 0 , j 1,..., n 1 jelas bahwa semua nilai minornya adalah nonnegatif. Menurut definisi (4.1.1), maka matriks bidiagonal dengan kondisi tersebut merupakan matriks positif total. 4). Matriks segitiga a). Matriks segitiga bawah Sesuai definisi (2.1.4), matriks segitiga bawah berukuran n n dapat disajikan sebagai:
L
l11
0
0
l 21
l 22
0
l n1
ln 2
l nn
9
Dengan mengambil kondisi entri l ij 0 , i j jelas bahwa semua nilai minor l ij adalah nonnegatif. Sesuai definisi (4.1.1), matriks segitiga bawah dengan kondisi tersebut adalah matriks positif total. b). Matriks segitiga atas Sesuai definisi (2.1.4), matriks segitiga atas berukuran n n dapat disajikan sebagai:
U
u 11
u 12
u1n
0
u 22
u2n
0
0
u nn
Dengan mengambil konidisi u ij 0 untuk i j jelas semua nilai minor u ij adalah nonnegatif. Sesuai definisi (4.1.1), maka matriks segitiga atas dengan kondisi tersebut merupakan matriks positif total. 4.2. Matriks Ekuivalen Bertanda Positif Total Definisi 4.2.1. (Hershkowitz & Pinkus, 2007) Suatu matriks persegi A disebut matriks ekuivalen bertanda positif total jika A dapat dinyatakan sebagai: A D1QD 2 (4.1) dimana Q adalah matriks positif total, D1 dan D 2 merupakan matriks-matriks diagonal dengan entri diagonal utama adalah 1 . Karena D1 dan D 2 merupakan matriks diagonal dengan entri pada diagonal 1 maka dan D 2 1 ada. Apabila persamaan (4.1) dikali dari kiri dengan D1 1 dan dari kanan dengan D 2 1 diperoleh: Q D1 1 AD 2 1 ..... (4.2) D 1 dan D 2 merupakan matriks nonsingular yakni D1
Kasus 1: Matriks riil A berukuran 2 2 , yaitu: A
1
a11
a12
a 21
a 22
Untuk menyelidiki apakah A merupakan matriks ekuivalen bertanda positif total dapat dipilih D1
d1
0
0
d2
, dan D 2
1
0
0
2
dengan d 1 , d 2 , 1 ,
Berdasarkan definisi (4.2.1), pilih Q
q11
q12
q 21
q 22
1,1 .
2
matriks positif total maka A
merupakan matriks ekuivalen bertanda positif total jika memenuhi hubungan persamaan (4.1), yaitu:
Perhatikan D1 maka : D1 1
a11
a12
d1
0
q11
q12
1
0
a 21
a 22
0
d2
q 21
q 22
0
2
d1
0
0
d2
dan D 2
1
0
0
2
1
d2
0
1 / d1
0
d 1d 2
0
d1
0
1/ d2
adalah matriks-matriks nonsingular
dan D 2 1
1 1
2
2
0
0
1
1/ 0
1
0 1/
2
10
Karena d 1 , d 2 , 1 ,
1
1,1 jelas
2
1
d1 ,
d1
d2
d2
1
,
1
1
, dan
akibatnya
2 2
1
, D1
1
1 / d1
0
d1
0
0
1/ d2
0
d2
D1 dan D 2
1/
1
0
Sehingga dengan persamaan (4.2) diperoleh: Q atau
q 22
q12
d1
0
a11
a12
1
0
q 21
q 22
0
d2
a 21
a 22
0
2
d2
2
1/
2
1
0
0
2
D2
D1 AD 2
q11
Dari hubungan (4.4), diperoleh: q11
0
1
d 1 1 a11 ,
..... (4.3)
d 1 1 a11
d 1 2 a12
d2
d2
2
a 21
q12
d1
2
a12
2
..... (4.4)
a 22
, q 21
d 2 1 a 21
dan
a 22
1,1 , maka d 1 1 Karena d 1 , d 2 , 1 , 2 1, d 1 2 1, d 2 Karena Q D1 AD 2 maka det( Q ) det( D1 AD 2 ) , q11 q 22 q12 q 21 d 1 d 2 1 2 ( a11 a 22 a12 a 21 ) atau
Perhatikan bahwa Q
q11
q12
q 21
q 22
q11 q 22
Karena d 1 , d 2 ,
1
,
1.
2
..... (4.5)
merupakan matriks positif total berarti:
q12 q 21
d 1d 2
1,1 , maka d 1 d 2
2
1 dan d 2
1
Untuk menentukan apakah A
1
a11
a12
a 21
a 22
1
2
( a11 a 22
a12 a 21 )
0
1.
2
merupakan matriks ekuivalen bertanda
positif total dilakukan dengan memilih Q , D 1 dan D 2 sebagai berikut: (1). Jika det( A ) a11 a 22 a12 a 21 0 , maka d 1 , d 2 , 1 , 2 memenuhi d 1 d 2 1 2 1. (2). Jika det( A ) a11 a 22 a12 a 21 0 , maka d 1 , d 2 , 1 , 2 memenuhi d 1d 2 1 2 1. Untuk kedua hal tersebut ditentukan Q yang memenuhi definisi (4.1.1) dengan menggunakan hubungan (4.3). Dengan demikian jika A adalah matriks riil berukuran 2 2 maka ada 3 matriks disamping matriks identitas yang dapat dipilih sebagai D 1 dan D 2 untuk memeriksa A matriks ekuivalen bertanda positif total , yaitu: Contoh: Akan diperiksa apakah matriks A
1
0
0
5
6
3
2
1 0
,
1
0
1
, dan
1 0
0 1
.
adalah matriks ekuivalen bertanda
positif total. det( A )
Karena dan 1 , d2
1,
5 .2
6 .3
1,1 , Pilih : D 1
2
1
1 dan
2
8
maka
0 1
0
0 1
1
1
dan D 2
1 . Akibatnya , q11
Dengan hubungan (4.3) diperoleh: Q
d 1d 2 0
5 , q12
5 3
6 2
1 dengan
2
0 1
d1 , d 2
1,1
. Dalam hal ini : d 1
6 , q 21
3 dan q 22
1, 2.
yaitu matriks yang memenuhi
definisi (4.1.1).
11
Jadi, A
5
6
3
2
1
0
0
5
1
6
3
1
2
0
0
D1QD 2
1
Kasus 2 : Matriks riil A berukuran 3 3 , yaitu: A
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
Dalam hal ini, untuk menyelidiki apakah A merupakan matriks ekuivalen bertanda positif
total
d1 , d 2 , d 3 ,
1
,
D1
dipilih
2
,
0
0
0
d2
0
0
0
d3
,
D2
dan
1
0
0
0
2
0
0
0
3
,
dimana
.
1,1
3
d1
Berdasarkan definisi (4.2.1), pilih Q
q11
q12
q13
q 21
q 22
q 23
q 31
q 32
q 33
yang memenuhi definisi (4.1.1)
sebagai matriks positif total sedemikian sehingga A matriks ekuivalen bertanda positif total jika memenuhi hubungan persamaan (4.1) yaitu: a11
a12
a13
d1
0
0
q11
q12
q13
1
0
0
a 21
a 22
a 23
0
d2
0
q 21
q 22
q 23
0
2
0
a 31
a 32
a 33
0
0
d3
q 31
q 32
q 33
0
0
3
Perhatikan bahwa D1
d1
0
0
0
d2
0
0
0
d3
dan D 2
1
0
0
0
2
0
0
0
3
adalah matriks-matriks
1
nonsingular yaitu D11 dan D 2 1 ada. Sesuai definisi (2.1.9) yang dirumuskan maka D1
1
1 det( D1 )
1
dan D 2 1
adj ( D1 )
det( D 2 )
adj ( D 2 )
Dengan menggunakan hubungan (1.2) pada baris pertama diperoleh determinan D1 dan D 2 yaitu: det( D1 )
dan det( D 2 )
1
d1
d2
0
0
d3
2
0
0
3
(0)
(0)
0
0
0
3
0
0
0
d3
(0)
(0)
0
2
0
0
0
d2
0
0
1
d 1d 2 d 3
2
3
.
sementara berdasarkan definisi (2.2.1), (2.2.2) dan (2.1.10) diperoleh:
Adj ( D1 )
d2
0
0
0
0
0
0
d3
0
d3
d2
0
0
0
d1
0
d1
0
0
d3
0
d3
0
0
0
d2
d1
0
d1
0
0
0
0
0
0
d2
d 2d 3
0
0
0
d 1d 3
0
0
0
d 1d 2
dan
12
2
0
0
0
3
0
3
2
0
1
0
0 Adj ( D 2 )
Akibatnya , D1
Karena d 1 , d 2 , d 3 , 1 , 2 ,
2
0
1
0
0
3
0
3
0
2
1
0
1
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
1/ d3
, maka
0
1/
1/ d2
1,1
0
0
0
3
0
0
1 / d1 1
0
dan D 2
1
1
d1 ,
0
d1
d2
d2 ,
0
1
0
0
0
1
d3 ,
d3
.
0
3
1
2
0
2
0
1
0
0
1/
0
1
0
3
1/ 1 1
,
1
3
1 2
dan
2
1 3
.
3
Akibatnya , D 1 1 D 1 dan D 2 1 D 2 Sehingga dengan hubungan persamaan (4.2) diperoleh: q11
q12
q13
d1
0
0
a11
a12
a13
1
0
0
q 21
q 22
q 23
0
d2
0
a 21
a 22
a 23
0
2
0
q 31
q 32
q 33
0
0
d3
a 31
a 32
a 33
0
0
3
Dari hubungan (4.6) diperoleh: q ij dimana i
1, 2 ,3
dan j
1, 2 ,3 .
d 1 1 a11
d1
2
a12
d1
3
a13
d 2 1 a 21
d2
2
a 22
d2
3
a 23
d 3 1 a 31
d3
2
a 32
d3
3
a 33
di
j
a ij
, dengan d i ,
Perhatikan Q
j
..... (4.6) { 1,1}
q11
q12
q13
q 21
q 22
q 23
q 31
q 32
q 33
..... (4.7)
merupakan matriks
1,1 maka hasilkali diantara positif total, karena d 1 , d 2 , d 3 , 1 , 2 , 3 d 1 , d 2 , d 3 , 1 , 2 , 3 adalah 1 . Secara umum, untuk memeriksa apakah matriks riil A a ij berukuran n n adalah matriks ekuivalen bertanda positif total atau bukan, cukup dengan memeriksa setiap kemungkinan matriks Q q ij berdasarkan (4.3) yaitu matriks yang memenuhi definisi (4.1.1).
4.3. Faktorisasi Matriks Ekuivalen Bertanda Positif Total Suatu faktorisasi matriks A merupakan hubungan dari matriks A yang sebagai A F1 . F2 . ... . Fk ..... (5.1) dengan matriks Fi , i 1, , k memenuhi kondisikondisi tertentu. Sesuai dengan definisi faktorisasi Cholesky, faktorisasi LU, faktorisasi QR dan faktorisasi Loewner-Neville maupun faktorisasi-faktorisasi lainnya maka secara umum dapat dikatakan bahwa faktorisasi matriks merupakan hubungan suatu matriks sebagai perkalian dari matriks-matriks lain sesuai dengan karakteristik matriks yang diberikan maupun karakteristik matriks yang dilibatkan pada perkalian.
13
Berdasarkan pengertian umum tersebut, maka hubungan matriks persegi riil A sebagai perkalian dari D 1 dan D 2 yakni matriks diagonal dengan entri diagonal utama 1 , serta matriks Q yaitu matriks persegi dengan semua nilai minornya adalah nonnegatif memenuhi A D 1QD 2 dapat disebut sebagai faktorisasi matriks A. Hubungan ini, oleh Daniel Hershkowitz dan Allan Pinkus (2007) dalam artikelnya disebut sebagai definisi matriks ekuivalen bertanda positif total. Hal ini telah diuraikan pada bagian pembahasan sebelumnya. Selanjutnya, berdasarkan rumusan masalah pada penelitian yang dilakukan ini yaitu jika diberikan matriks riil A berukuran n x n dengan n 2 , maka A dapat difaktorkan masing-masing menjadi perkalian dari matriks – matriks ekuivalen bertanda positif total akan ditunjukkan dengan membuktikan suatu teorema. Teorema 4.3.1. Setiap matriks persegi riil dapat dinyatakan sebagai perkalian dari matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total. Bukti : Misalkan A ( a ij ) matriks berukuran n n akan ditunjukan bahwa A dapat A
dinyatakan sebagai: dimana Ai , i Karena Ai , i Ai
A1 . A2 . ... . Ak
..... (5.2)
1, 2 , , k
adalah matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total. 1, 2 , , k adalah matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total berarti: D1Q i D 2 , dimana: Q i , i 1, 2 , , k masing-masing adalah matriks positif total, D1 ,
D 2 masing-masing merupakan matriks diagonal dengan entri diagonal utama
1.
Berdasarkan suatu fakta dari faktorisasi Loewner-Neville bahwa setiap matriks merupakan hasilkali matriks-matriks bidiagonal, yaitu untuk A ( a ij ) berukuran n n yang memenuhi yang hubungan (2.6) yakni: A BDC dengan D matriks diagonal , B dan C memenuhi persamaan (2.7), (2.8), (2.9) dan (2.10). Berdasarkan hubungan (2.7) dan (2.8) maka hubungan (2.6) dapat ditulis sebagai hubungan: A B1 . B 2 . ... . B n 1 . D . C n 1 .C n 2 . ... .C 1 ..... (5.3) Dari hubungan (5.3) dapat dianalisis matriks-matriks pada sisi kanan sebagai berikut: Karena D matriks diagonal maka menurut definisi (2.1.2) dapat ditulis sebagai: persegi
D
d1
0
0
0
d2
0
0
0
dn
Kasus 1: Jika d i 0 , i 1, 2 , , n maka D merupakan matriks positif total karena semua minornya adalah nonnegatif. Maka, jelas bahwa D merupakan matriks ekuivalen bertanda positif total. Kasus 2: Jika terdapat d i 0 maka D dinyatakan sebagai: D
d1
0
0
0
d2
0
0
0
dn
D1
d1
0
0
0
d2
0
0
0
0
dn
D2
..... (5.4)
14
Dalam hal ini D1 dan D 2 adalah matriks diagonal dengan entri pada diagonal utama dan d 1
0 , yang berarti bahwa:
d1
0
0
0
d2
0
0
0
0
dn
1
adalah matriks positif total.
Akibatnya, menurut definisi (4.2.1) D adalah matriks ekuivalen bertanda positif total. Karena B i dan C i matriks-matriks bidiagonal, berarti dapat dinyatakan sebagai: i) B i bij , dengan bii 1 , i 1,..., n ; b j 1, j 0 , j 1,..., n 1 ; dan entri b ij lainnya adalah nol. c ij , dengan c ii 1 , i 1, 2 , , n ; c j , j 1 0 , j 1, 2 , , n 1 ; dan entri c ij ii). C i lainnya adalah nol. Kasus 1: b j 1, j 0 , j 1, 2 , , n 1 dan c j , j 1 0 , j 1, 2 , , n 1 . Dalam hal ini minor-minor dari matriks B i
bij
dan C i
c ij
adalah nonnegatif.
c ij adalah matriks positif total Sehingga menurut definisi (4.1.1) B i bij dan C i dan tentu saja merupakan matriks ekuivalen bertanda positif total. Kasus 2: Ada b j 1, j 0 , j 1, 2 , , n 1 atau c j , j 1 0 , j 1, 2 , , n 1 .
Dalam hal ini, matriks-matriks B i dinyatakan sebagai:
bij
dan C i
Bi
bij
D1 B i D 2 ,
dengan B i
bij
dan b j
Ci
c ij
D 1C i D 2 ,
dengan C i
c ij
dan c j , j
1, j
1
c ij
masing-masing dapat
0
untuk j
1, 2 , , n
1
0
untuk j
1, 2 , , n
1.
Dalam hal ini D1 dan D 2 merupakan matriks diagonal dengan entri diagonal utama adalah 1 . c ij maka B dan C masing-masing Dari kasus 1) dan 2) tentang B i bij dan C i merupakan perkalian matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total. Perhatikan pada sisi kanan hubungan (5.2) merupakan perkalian sebanyak 2 n 1 dari matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total. Selanjutnya pada sisi kanan hubungan (5.4) merupakan perkalian sebanyak k matriksmatriks ekuivalen bertanda positif total. Dengan mengambil k 2 n 1 diperoleh bahwa persamaan (5.2) dan persamaan (5.3) adalah analog, yaitu: A B1 B 2 B n 1 DC n 1C n 2 C 1 A1 A2 Ak .....(5.5)
2 n 1 faktor
k faktor
Dengan demikian suatu matriks riil A berukuran n n , n 2 merupakan hasilkali dari matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total. Berdasarkan hubungan persamaan (5.5) terdapat k yang menyatakan banyaknya matriks sebagai faktor dalam faktorisasi. Sebagaimana pada faktorisasi matriks bidiagonal bahwa banyaknya faktor minimal pada faktorisasi masih merupakan pertanyaan terbuka demikian pula halnya pada faktorisasi matriks ekuivalen bertanda positif total. 1). Faktorisasi Cholesky Untuk kasus matriks berukuran 2 2 Faktorisasi Cholesky dinyatakan dengan : h11
h12
k11
0
k 11
k 21
h21
h 22
k 21
k 22
0
k 22
15
Sesuai definisi faktorisasi Cholesky matriks segitiga bawah yang disebut segitiga Cholesky jelas setiap elemen segitiga adalah positif, berarti k ii 0 , k 2 i 0 dan k 22 0 . Akibatnya D2
,
1
0
0
2
0
k11
k 21
k 21
k 22
0
k 22
dengan d 1 , d 2 ,
faktorisasi :
k11
Cholesky
1
q12
d1
0
k 11
0
q 21
q 22
0
d2
k 21
k 22
; q 12
d 1 1 k 11
q12 q 21
d 1d 2
k k 22
1
2 11
D1
Ambil
d1
0
0
d2
dan
1,1 . Matriks sisi kanan sesuai hubungan pada
2
hubungan
1
0
d1
1
k 11
0
2
d2
1
k 22
0 ; q 21
Sesuai definisi (4.2.1), bahwa q11 q 22
0.
dengan
q11
diperoleh: q 11
,
k11 k 22
d2
q11
q12
q 21
q 22
1
(4.4)
yakni
0 d2
k 21 ; q 22
d2
2
2
k 22
k 22 .
merupakan matriks positif total, maka
0 yang berarti d 1 d 2
1
1.
2
Sehingga dapat diambil 2 diantara entri diagonal utama D 1 dan D 2 adalah 1 dan entri diagonal utama lainnya adalah 1. k11
Dengan mengambil Q =
0
k 21
k11
0
k 21
k 22
merupakan matriks positif total maka
k 22 1 0
Menurut definisi (4.2.1), maka
k11
0
0
1
k 22
0
k 21
1
k 11
0
k 21
k 22
0 1
D1QD 2
adalah matriks ekuivalen bertanda positif
total. Tanpa mengurangi keumuman dapat disimpulkan bahwa
k 11
k 21
0
k 22
juga
merupakan matriks ekuivalen bertanda positif total. 2). Faktorisasi LU Untuk kasus matriks A berukuran 2 2 dengan faktorisasi LU dinyatakan sebagai:
Ambil D1
d1
0
0
d2
a11
a12
l11
0
u11
u 21
a 21
a 22
l 21
l 22
0
u 22
dan D 2
1
0
0
2
….. (5.12)
dengan d 1 , d 2
1,1 dan
1
,
2
1,1
Perhatikan matriks-matriks sisi kanan faktorisasi (5.12), yakni: l11
0
d1
0
q11
q12
1
0
l 21
l 22
0
d2
q 21
q 22
0
2
..... (5.12a)
1,1 . dengan d 1 , d 2 , 1 , 2 Dengan menggunakan hubungan (4.4) diperoleh:
16
q11
q12
d1
0
l11
0
1
0
d 1 1l11
q 21
q 22
0
d2
l 21
l 22
0
2
d 2 1l 21
0 d2
.....(5.12b)
l
2 22
dimana q11 q 22 q12 q 21 d 1 d 2 1 2 l11 l 22 0 . a. Untuk l11 l 22 0 berarti untuk matriks D 1 dan D 2 dapat diambil 2 diantara entri diagonal utama adalah – 1 dan entri diagonal utama yang lain adalah 1. 1
Satu pasangan matriks D 1 dan D 2 yang dapat dipilih adalah l11
Dengan mengambil matriks Q =
0
l 21
0
0
dan
1
1
0
0
.
1
yang merupakan matriks positif total,
l 22
maka l11
0
l 21
l 22
1
l11
0
0
l 21
1
0
1
l 22
0
0 1
…..(5.12c)
D1QD 2
b. Untuk l11 l 22 0 berarti untuk matriks D 1 dan D 2 dapat diambil 3 diantara elemen bernilai –1 dan elemen diagonal lain 1. 1
Diantara kemungkina D 1 dan D 2 yang dapat dipilih adalah: dengan mengambil Q = l11
0
l 21
l 22
1 0
l11
0
l 21
l 22
0 1
0
0
1
dan
1
0
0
1
yang merupakan matriks positif total maka: l11
0
1
l 21
l 22
0
0 1
….. (5.12d)
D1QD 2
Dari (5.12c) dan (5.12d) menurut definisi (4.2.1) maka
l11
0
l 21
l 22
adalah matriks
ekuivalen bertanda positif total. Dengan cara yang sama untuk matriks segitiga atas sedemikian sehingga
u11
u 21
0
u 22
u 11
u 21
0
u 22
dapat dikonstruksi
D1QD 2 dengan Q matriks positif total, D 1 dan D 2
matriks diagonal dengan elemen diagonal
1.Sesuai definisi maka
u 11
u 21
0
u 22
adalah
matriks ekuivalen bertanda positif total. 3). Faktorisasi QR Sebagaimana pada faktorisasi Cholesky dan faktorisasi LU maka pada faktorisasi QR dapat pula bahwa pada matriks persegi riil yang merupakan hasilkali matriks ortogonal Q dan matriks segitiga atas R yang juga berbentuk matriks persegi dapat dikonstruksi sebagai hasil kali dari matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total. Dalam kasus matriks berukuran 2 2 pada faktorisasi QR dengan memeriksa determinan matriks ortogonal Q dan matriks segitiga atas R, sedemikian sehingga hubungan A QR sebagai faktorisasi QR juga merupakan faktorisasi matriks ekuivalen bertanda positif total. Contoh sederhana menunjukkan berlakunya teorema (4.3.1) sebagai berikut: 17
Berdasarkan uraian dan contoh serta bukti teorema tersebut diatas maka untuk setiap matriks riil A a ij berukuran n n , n 2 difaktorkan menjadi: A A1 A2 ... Ak dengan Ai , i 1, , k merupakan matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total. Untuk memeriksa apakah matriks - matriks Ai , i 1, , k merupakan matriks matriks yang memenuhi definisi (4.2.1) cukup dengan memeriksa matriks-matriks Q i , i 1,..., k sebagai matriks-matriks yang memenuhi definisi (4.1.1) ber - dasarkan persamaan yang memenuhi hubungan (4.3), yakni: Q i D1 A i D 2 , i 1, 2 ,..., k ... (6.2) dimana D1 dan D 2 adalah matriks diagonal dengan entri diagonal utama 1 . V. KESIMPULAN DAN SARAN A. Kesimpulan 1). Suatu matriks riil A ( a ij ) berukuran n n , dengan n 2 merupakan matriks positif total apabila setiap minornya adalah nonnegatif. a). Untuk n 2 , matriks riil A merupakan matriks positif total jika det( A ) 0 . b). Untuk n 2 , matriks riil A merupakan matriks positif total jika setiap minor a ij ditulis M ij dengan i 1,..., n dan j 1 ,..., n adalah nonnegatif. 2). Suatu matriks riil A
berukuran n n , dengan n
( a ij )
merupakan matriks
2
ekuivalen bertanda positif total jika dapat dinyatakan sebagai A D 1QD 2 , dengan Q adalah matriks positif total, D 1 dan D 2 merupakan matriks diagonal dengan entri diagonal utama ± 1. Disajikansebagai: a11
a12
a1 n
d1
0
0
q11
q12
q1 n
1
0
0
a 21
a 22
a2n
0
d2
0
q 21
q 22
q2n
0
2
0
a n1
an2
a nn
0
0
dn
q n1
qn2
q nn
0
0
n
dengan d k ,
1,1
k
untuk k
1,..., n
atau :
q11
q12
q1 n
d1
0
0
a11
a12
a1 n
1
0
0
q 21
q 22
q2n
0
d2
0
a 21
a 22
a2n
0
2
0
q n1
qn2
q nn
0
0
dn
a n1
an2
a nn
0
0
dengan q ij
di
j
a ij
, i
1,..., n
; j
1,..., n
dan d i ,
n
{ 1,1} .
j
3). Matriks-matriks D 1 dan D 2 yang dapat dipilih untuk memeriksa suatu matriks berukuran n n sebagai matriks ekuivalen bertanda positive total sebanyak: 2 n 1 kemungkinan matriks disamping matriks identitas yakni matriks-matriks diambil 1
dari kemungkinan penyajian matriks diagonal:
0
0
1
0
0
0
0
1
4). Faktorisasi dari matriks A merupakan hubungan kesamaan matriks A dengan perkalian matriks-matriks lain yakni: A F1 . F2 . ... Fk , dengan matriks Fi , i 1,..., k memenuhi kondisi-kondisi tertentu. 18
5). Setiap matriks riil A berukuran n n , dengan n 2 dapat difaktorkan menjadi hasilkali matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total ditulis sebagai: A A1 . A2 . ... . Ak , dengan Ai , i 1,..., k matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total. Hal ini ditunjukkan berdasarkan sebuah fakta pada faktorisasi Loewner-Neville bahwa setiap matriks persegi adalah hasilkali dari matriks-matriks bidiagonal. B. Saran Penelitian selanjutnya dapat dilakukan pada matriks yang lebih umum dan cara pembuktian yang lain. Berlakunya teorema faktorisasi matriks ekuivalen bertanda positif total pada penelitian ini hanya dihubungkan dengan faktorisasi: Cholesky, LU dan QR, selanjutnya dapat dilakukan pada faktorisasi matriks lainnya. DAFTAR PUSTAKA Anton, H. 1988. Aljabar Linier Elementer Edisi Kelima. Erlangga. Jakarta Fiedler, M & Markham, T.L.1997. Consecutive Column and Row properties of Matrices and the Loewner-Neville factorization. Linear Algebra and its Applications, 266: 243 – 259. Elsevier Science Inc. New York. Gasca, M & Peña, J.M. 1996. On Factorizations of Totally Positive Matrices, Total Positivity and Its Applications, pp. 1-3 Kluwer Academic Publisher. Dordrecht. Golub, G. H dan Loan, C. F. 1996. Matrix Computations (Third edition). The John Hopkins University Press. Baltimore London. Hager, W. W. 1988. Applied Linear Algebra.Prentice Hall.Inc. Englewood Cliff, New Jersey. Harville, D. A. 1997. Matrix Algebra From A Statiscian Perspektive. Springer-Verleg. Inc. New York. Hershkowitz, D. & Pinkus, A. 2007. On Nonnegative Sign Equivalent and Sign Similar Factorizations of Matrices. Electronics Journal of Linear Algebra (ELA). ISSN 1081-3810. Volume 16. pp. 162-170. Horn, R.A & Johnson , C.R. 1985. Matrix Analysis. Cambridge University Press. Jacob, B. 1990. Linear Algebra. W. H. Freeman and Company. New York. Johnson, C.R, Olesky, D.D & Driessche, P.v. 1999. Elementary Bidiagonal Factorizations, Linear Algebra and Its Applications, 292:233-234. Elsevier Science Inc. New York. Leon,S.J.2001. Aljabar Linier dan Aplikasinya(Terjemahan). Erlangga. Jakarta. Polyanin, A.D. & Manzhirov, A.V. 2007. Mathematics for Engineers and Scientists. Chapman & Hall. New York. Riley, K.F, Hobson, M.P & Bence,S.J. 2006. Mathematical Methods for Physics and Engineering. Cambridge University Press. Strang, G. 1988. Linear Algebra and Its Applications. Harcourt Brace Jovanovich. Sandiego. Zwilinger, D. 2003. Standard Mathematical Tables and Formulae. Chapman & Hall /CRC Press Company. New York.
19
