Fajhő mérése
Mérő neve: Márkus Bence Gábor Mérőpár neve: Székely Anna Krisztina Szerda délelőtti csoport Mérés ideje: 10/05/2011 Beadás ideje: 10/12/2011
1
1.
A mérés rövid leírása
Mérésem során egy alumínium (1-es) minta fajhőjét kellett megmérnem. Ennek meghatározásához egy nem-izotermikus, úgy nevezett izoperibol kalorimétert használtam. Először ki kellett a vízértéket mérnem, azaz a kaloriméter hőkapacitását. Ezt követően kellett két módszerrel meghatároznom a minta fajhőjét. Az első módszer során a már egyensúlyban lévő kaloriméterbe ejtjük bele a mintát és 15 percig mérjük a hőmérséklet változását. A második módszernél a minta a mérés kezdetétől fogva a kaloriméterben van és a kettőt együtt fűtjük. A mért adatokra egy laborprogram segítségével illesztettünk exponenciális görbéket, melyekből meg tudtam határozni a fajhőt.
2.
Méréshez használt eszközök • 1-es alumínium minta (tömege és színe alapján) • izoperibol kaloriméter • Fűtőszál, ismert 7.07 ± 0.01 Ω-s ellenállással és digitális voltméterrel • Hőkulcs • Számítógép hőmérő és illesztő programokkal
3.
Rövid elméleti összefoglaló
A kaloriméter vízértékenek meghatározása volt az első feladat. Az üres kalorimétert 2 − 3 ◦ C-kal megmelegítjük (ugyanis nagyobb hőmérsékletváltozásra már a mérésünk nem lenne kellően pontos), majd a lehűlést vizsgáljuk. A rendszerbe a fűtés (t) ideje alatt bejuttatott Joule-hő: Q=
U2 t. R
Innen meghatározható a vízérték, azaz, hogy a felvett hőmennyiség hatására mekkora hőmérsékletváltozás történt: v=
Q . ∆T
2
Itt azonban figyelembe kell vennünk, hogy a rendszer nem tökéletesen zárt termodinamikai értelemben, azaz figyelembe kell vennünk a környezettel történő hőcserét is. Ezért kénytelenek vagyunk a modellünkbe korrekciós tagokat behozni. A kaloriméter és a mintha hőfelvevő képességét is a hőkapacitásukkal jellemezhetjük. Ezt ha a tömegükkel lenormáljuk megkapjuk a fajhőjüket. A kaloriméter hőkapacitását az előbbiek alapján jelölje v, a mintáét pedig w, ahol w = cm. A két test közötti hőátadást (hőfluxust) is jellemeznünk kell (ez ugye az adott két tesből álló rendszert fogja csak jellemezni). Jelölje k a minta és a kaloriméter közötti hőátadási együtthatót és h a környezet és a kaloriméter közöttit. A minta a környezettel a gyakorlatban nem cserél hőt, mivel ezt egy, a minta felé helyezett zárósipkával megakadályoztam. Jól megtervezett kaloriméter esetén, mint amivel dolgoztam fennáll, hogy k ≫ h. Ezen kívül legyen a külső hőmérséklet Tk , a kaloriméteré T = T (t), a mintáé pedig Tm = Tm (t). Felhasználva a termodinamika I. főtételét és a Newton-féle lehűlési törvényt írhatjuk a két rendszerbeli elemre: v
dT dQ = − k(T − Tm ) − h(T − Tk ), dt dt dTm = −k(Tm − T ). w dt
A fenti differenciálegyenleteket a mérés során három szakaszra kell bontanunk. Az előszakaszban a kaloriméter egyensúlyban van a környezettel. Ezt követően a mintát beleejtve vagy fűtés hatására megváltozik a hőmérséklet. Ez a főszakasz. Az utószakasz kezdete pedig, amikor a rendszer elkezd ismét hűlni. Az utószakasz és a beejtős módszernél a főszakasz is exponenciális görbe jellegét mutatja. Az exponens együtthatókat rendre jelöljék: ε0 a kaloriméter minta nélküli mérésénél lévő utószakaszt jellemzőt, ε az együttes rendszer utószakaszát jellemzőt, ε′ pedig ennek a rendszernek a főszakaszát jellemzőt. A fentebbi differenciálegyenletek vizsgálata segítéségével kifejezhetőek a hővezetési együtthatók.: εε′ w , ε0 h = ε0 v.
k=
A vízéréték meghatározásánál a differenciálegyenlet üres kaloriméterre vonatkozó alakját kell vennünk. Itt az integrál 0–tól t–ig megy. Innen a rendszer által felvett hő: ∫t v (T − Tk ) + ε0 (T (τ ) − Tk )dτ = Q. 0
3
Vezessük be a korrigált hőmérséklet fogalmát. Ez az a hőmérséklet, amire ideális, környezettel való hőcsere nélkül a kaloriméter melegedne: ∫t
∗
(T (τ ) − Tk )dτ.
T (t) = T + ε0 0
Innen a vízérték már kifejezhető a korrekcióval: v=
T∗
Q . − Tk
Hasonló módon járjunk most el a minta esetében is, azaz vezessük be arra is a korrigált hőmérsékletet: Tm∗
ε′ = Tk + ′ (T ∗ − Tk ) . ε − ε0
Innen a fajhő: c=
v T ∗ − Tk m Tm (0) − Tm∗
A beejtős mérésnél máshogy kell eljárnunk. Itt Tk egyensúlyi hőmrésékletről, a vízérték meghatározásánál látottak szerint kezdjük el a rendszert fűteni. t idő alatt a rendszerbe Q hőt juttatunk. Mivel az utószakaszban kialakuló állapot egyensúlyinak tekintett, így ekkor a minta és a kaloriméter korrigált hőmérséklete egyaránt állandóvá válik. Ezek alapján a minta fajhője egyszerűen származtatható: 1 Q − v(T ∗ − Tk ) c= . m Tm∗ − Tk A formulák részletes levezetését lásd a [1] könyvben.
4. 4.1.
Mérési eredmények A minta, a kaloriméter és a fűtőegység adatai A minta száma 1, vélhetően alumíniumból készült henger A minta tömege 4.7664 ± 0.0001 g Fűtőszál ellenállása 7.07 ± 0.01 Ω Fűtőfeszültség 1841 ± 1 mV
4
4.2.
A vízérték meghatározása
A vízérték meghatározását úgy végeztem, hogy az üres kaloriméter hőmérsékletét, a hőkulcsot behelyezve hagytam beállni az egyensúlyi hőmérsékletre. Ezután kivettem a hőkulcsot, helyére a zárosipkát helyeztem, majd 2 percet vártam. Utána elindítottam a fűtést és 2–3 ◦ C-ot fűtöttem rajta t = 155.06 ± 0.01 s ideig, majd a fűtést lekapcsoltam. A teljes mérést 15 percen keresztül végeztem, majd az adatokra a „fajho3.exe” segédprogram segítségével a [1] könyvben leírtak alapján, a megfelelő pontokat megkeresve a kívánt exponenciális görbét illesztettem. Ezek után kiszámoltam a kaloriméter vízértékét: t = 155.06 ± 0.01 s, Tk = 17.63 ± 0.01 ◦ C, T ∗ = 20.94 ± 0.01 ◦ C, 1 ε0 = 0.0847 ± 0.001 , perc U2 Q= t = 74.33 ± 0.19 J, R J Q = 22.46 ± 0.19 , − Tk K ) ( ∆U ∆R ∆T ∗ + ∆Tk + + = 0.19 J . ∆v = v 2 ∗ U R T − Tk K v=
T∗
5
1. ábra. A mérési eredmények kiértékelt grafikonja (#1) A grafikonból a mérés során illesztett változatot a jegyőkönyv mellé csatoltam (#1-es lap). ∆Ti -nek a hőmérsékletingadozásának a félértékét vettem.
5. 5.1.
Minta fajhőjének mérése Beejtős módszer (a)
A víz hőértékének meghatározása után a hőkulcsot visszahelyeztem a kaloriméterbe. Az egyensúly beállta után, a hőkulcsot kivettem, a mintatartót felé helyeztem. A 2 perces előszakasz után a mintát beleejtettem a kaloriméterbe, majd 15 percig mértem. A minta beejtését követően látható volt, hogy egy exponenciális görbe mentén melegszik a rendszer, majd egy maximum elérése után egy másik exponenciális görbe mentén cseng le. A mérés kiértékelését
6
itt is a már fentebb említett laborprogram segítségével végeztem: Tm (0) = 34.0 ± 0.1 ◦ C, Tk = 17.63 ± 0.02 ◦ C, T ∗ = 20.16 ± 0.01 ◦ C, 1 ε0 = 0.0694 ± 0.001 , perc 1 , ε′ = 3.1281 ± 0.001 perc ε′ (T ∗ − Tk ) = 20.22 ± 0.34 ◦ C, Tm∗ = Tk + ′ ε − ε0 v T ∗ − Tk J c= = 865.15 ± 25.82 , ∗ m Tm (0) − Tm kg · K ) ( ∆v ∆m ∆(T ∗ − Tk ) ∆(Tm (0) − Tm∗ ) + + + = 25.82 J . ∆c = c ∗ ∗ v m T − Tk Tm (0) − Tm kg · K
2. ábra. A mérési eredmények kiértékelt grafikonja (#2) A grafikonból a mérés során illesztett változatot a jegyőkönyv mellé csatoltam (#2-es lap). A mért adatból látszik, hogy a minta tényleg alumínium. Az J . Ettől az általunk alumínium fajhőjének katalógusbeli értéke ckat = 897 kg·K 7
mért érték 3.55%-kal tér el, ami jó eredmény. Láthatjuk továbbá, hogy az itt mért ε0 eredmény nem egyezik meg az üres kaloriméternél mérttel, ezt azzal magyarázhatjuk, hogy egy „idegen” test, a minta került a rendszerbe, ami befolyásolta ezt a paramétert.
5.2.
Együtt fűtős módszer (b)
A mintát az előző mérés után a kaloriméterben hagytam. Ezt követően a kettőt együtt beállítottam az egyensúlyi hőmérsékletre. A hőkulcsot kivéve indítottam a mérést. 2 perces előszakasz után bekapcsoltam a fűtést. A főszakaszban itt már lineáris görbét kaptam, az utószakaszban megmaradt az exponenciális, úgy, ahogy vártuk. A fajhőt két módon kell kiszámolnom, az első módszerben az előző mérés során meghatározott ε′ értéket kell felhasználnom, a másodikban pedig a Tm∗ = T ∗ közelítést kellett használnom. Az így számolt fajhőket jelölje rendre: cε′ és cTm∗ . Az így mért adatok és számolt mennyiségek: t = 196.3 ± 0.01 s, Tk = 17.44 ± 0.02 ◦ C, T ∗ = 20.91 ± 0.02 ◦ C, 1 ε0 = 0.0784 ± 0.001 , perc U2 Q= t = 94.1 ± 0.24 J. R Az első módszerrel számolva: ε′ = 3.1281 ± 0.001 Tm∗ = Tk + cε′ =
1 , perc
ε′ (T ∗ − Tk ) = 21 ± 0.33 ◦ C, ε′ − ε0
J 1 Q − v(T ∗ − Tk ) = 952.58 ± 88.54 , ∗ m Tm − Tk kg · K J ∆cε′ = 88.54 . kg · K
8
A második módszerrel:
cTm∗
Tm∗ = T ∗ = 20.91 ± 0.02 ◦ C, 1 Q − v(T ∗ − Tk ) J , = = 987.48 ± 93.88 ∗ m Tm − Tk kg · K J ∆cTm∗ = 93.88 . kg · K
3. ábra. A mérési eredmények kiértékelt grafikonja (#3) A grafikonból a mérés során illesztett változatot a jegyőkönyv mellé csatoltam (#3-es lap). Látható, hogy ez a mérés pontatlanabb, mint az első. Ennek oka vélhetően az lehet, hogy az előző mérésből áthozott ε′ nem pontosan ugyanannyi a két mérés során, illetve a Tm∗ = T ∗ közelítés is csak becslés.
9
6.
Hővezetési együtthatók
A mért és számolt adatok segítségével megadhatóak a hővezetési együtthatók: J , K J h = ε0 v = 1.90 ± 0.04 , perc · K 1 h = 0.07 ± 0.005 , ε= ε′ perc v + w ε′ −ε w = cm = 4.12 ± 0.12
0
k=
εε′ w J = 13 ± 1.49 . ε0 perc · K
Látható tehát, hogy a k ≫ h jól teljesül.
7.
Egyéb diszkutálandó feladatok
Az együtt melegítős módszernél a mérőpáromnál a grafikonon látható volt egy „humpli” a görbe tetején, az én mérésemnél viszont nem. Ez azért van így, mert Ő réz mintát kapott, aminek nagyobb a hőkapacitása, így ez a jelenség, amit tapasztaltunk láthatóvá vált. A jelenségnek az az oka, hogy, a minta és a tartó közötti hőkontaktus nem tökéletes így a minta egy kis időnyi lemaradással (delay) tudja csak követni a tartó hőmérsékletét (amit fűtünk). A fűtés megszüntekor a tartó ugyan el kezd hűlni, viszont a minta még egy darabig továbbra is melegszik. Ezt az alumínium mintánál azért nem tapasztaltam, mivel annak kisebb a hőkapacitása, ezért sokkal gyorsabban tudja lekövetni a tartó hőmérsékletváltozását, mint a másik minta. Ezen kívül az én fűtőszálam ellenállása is nagyobb volt, tehát eleve a fűtés is „lomhább” volt. Ezen kívül meg kell említenünk, hogy az első mérésnél jelentős pontatlanságot okoz az, hogy a minta kezdeti hőmérsékletét és a beejtés utánit két különböző hőmérő segítségével határoztuk meg, illetve, hogy az esés is véges idő alatt zajlik le, ami alatt a rendszer zártsága még kevésbé teljesül.
Hivatkozások [1] Havancsák Károly: Mérések a klasszikus fizika laboratóriumban, ELTE Eötvös kiadó, Budapest, 2003.
10
