F10 HARMONICKÝ OSCILÁTOR

F10 HARMONICKÝ OSCILÁTOR

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

F10 HARMONICKÝ OSCILÁTOR V okolí minima potenciální energie můžeme vždy očekávat kmity. Síla působí do minima potenciální energie, takže po vychýlení částice bude mít vždy vratný charakter. Nejednodušším tvarem minima je parabolická závislost, která vede na tzv. harmonické oscilace. Pokud má minimum energie obecnější tvar, můžeme ho alespoň v prvním přiblížení nahradit parabolickou závislostí, která je snadno řešitelná. Harmonické oscilace přibližně vykonává těleso upevněné na pružině, těleso částečně ponořené do kapaliny nebo radiální vzdálenost Země od Slunce (osciluje mezi 147 a 151 miliony kilometry). Za harmonické oscilátory lze také považovat fotony – kvanta elektromagnetického pole. Equation Chapter (Next) Section 1

Energie, síla a pohybová rovnice  Představme si částici v poli potenciální energie s minimem v bodě x0 a hodnotou minima W0 = Wp (x0). Proveďme Taylorův rozvoj funkce Wp (x) v okolí minima do druhého řádu: 1 W p ( x)  W p ( x 0 )  Wp ( x 0 )  ( x  x 0 )  Wp( x 0 )  ( x  x 0 ) 2   . 2

(10.1)

První člen je nepodstatnou konstantou – jde jen o posunutí potenciální energie, které se neprojeví na průběhu síly, neboť derivace konstanty je nulová. Druhý člen je nulový, protože první derivace v minimu je nulová. Jediný podstatný člen je třetí člen, který je zodpovědný za parabolický průběh.

Pokud počátek souřadnicové soustavy posuneme do minima potenciální energie, dostaneme Wp ( x) 

1 2 kx ; 2

k  W p( x 0 ) .

(10.2)

Konstanta k určuje strmost paraboly, u mechanických soustav se jí říká tuhost oscilací. Je rovna druhé derivaci potenciální energie v minimu. Síla působící na těleso je rovna F 

dWp

  kx . (10.3) dx Síla je tedy přímo úměrná výchylce a má opačný směr (znaménko minus). Sestavme nyní pohybovou rovnici ma = F:

mx  kx .

(10.4) U diferenciálních rovnic bývá zvykem seřadit proměnné podle jejich klesající derivace a koeficient u nejvyšší derivace zvolit rovný jedné: F10-2

k x  0. m Jde o jednoduchou diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty.  x

(10.5)

Exponenciela a její příbuzní  Před řešením rovnice (10.5) se musíme seznámit s exponenciální funkcí. Ze zápisu (10.4) je jasné, že řešením rovnice musí být funkce, jejíž druhá derivace je úměrná samotné funkci. Hledejme proto funkci, jejíž derivace je rovna funkci samotné. Pak i druhá, třetí a libovolná derivace bude rovna původní funkci. Zkrátka tato funkce bude imunní vzhledem k derivování. Hledejme takovou zvláštní funkci jako nekonečnou řadu f ( x)  c 0  c1 x  c 2 x 2  c 3 x 3  c 4 x 4  c 5 x 5   .

(10.6)

Její derivaci provedeme člen po členu: f ( x)  c1  2c 2 x  3c 3 x 2  4c 4 x 3  5c 5 x 4   .

(10.7)

Pokud mají být obě poslední funkce stejné (funkce je rovna své první derivaci), musí platit: c1  c 0 ,

2c 2  c1 ,

3c 3  c 2 ,

4c 4  c 3 ,

5c 5  c 4 , 

(10.8)

Pokud zvolíme konstantu c0, můžeme dopočítat všechny koeficienty rozvoje. Volba c0 = 0 povede na nulovou funkci, jakékoli nenulové číslo nám vygeneruje námi hledanou funkci. Hodnota c0 je nepodstatná a bude jen násobícím faktorem této funkce. Proto zvolíme c0 = 1: c0  1 ,

c1  1 ,

c2 

1 , 2

c3 

1 , 3 2

c4 

1 , 4 3 2

c5 

1 . 5 4 3 2

Celkem snadno odhadneme obecnou formulku: 1 cn  . n!

(10.9)

(10.10)

Nalezená funkce se nazývá exponenciela a její rozvoj tedy je exp( x)  1  x 

x2 x3 x4 x5    . 2! 3! 4! 5!

(10.11)

Lze ukázat, že exponencielu je možné zapsat také jako mocninnou funkci, tj. x2 x3 x4 x5 e 1 x     . 2! 3! 4! 5! x

(10.12)

Základ této funkce (Eulerovo číslo) snadno určíme, pokud položíme x = 1: e 11

1 1 1 1       2, 71828183 2! 3! 4! 5!

(10.13)

V matematice je velmi časté, že funkce jsou definovány za pomoci nekonečných řad a většinou se z těchto řad i počítají jejich funkční hodnoty (například i ve vaší kalkulačce). Pokud z rozvoje exponencely vybereme jen sudé mocniny, dostaneme hyperbolický kosinus (vzpomeňte si, že v nule má hodnotu 1 a je otočen vzhůru, podobně jako parabola). Pokud vybereme jen sudé mocniny a budeme u nich střídat znaménka, dostaneme obyčejný kosinus. Střídající se znaménka budou polynomy tvořící řadu otáčet střídavě dolů a nahoru, tím získáme periodickou funkci. Pokud vybereme liché mocniny, funkce se nazývá sinus hyperbolický a pokud vybereme liché mocniny a budeme u nich střídat znaménka, získáme normální sinus. F10-3

Zapamatujte si: exp x  1  x 

x2 x3 x4 x5    , 2! 3! 4! 5!

cosh x  1 

x 2 x 4 x 6 x8     , 2! 4! 6! 8!

cos x  1 

x 2 x 4 x 6 x8     , 2! 4! 6! 8!

sinh x  x 

x3 x5 x7 x9     , 3! 5! 7! 9!

sin x  x 

x3 x5 x7 x9     3! 5! 7! 9!

(10.14)

Mezi takto definovanými funkcemi je řada zajímavých vztahů, k nejznámějším patří Eulerův vztah. Zkusme nalézt exponencielu s ryze imaginárním argumentem (za pomoci její řady): (i x) 2 (i x) 3 (i x) 4 (i x) 5 exp (i x)  1  (i x)      2! 3! 4! 5!  1  ix 

x2 x3 x4 x5 i  i  2! 3! 4! 5!

 x2 x4  1     2! 4! 

  x3 x5  i    i  x  i 3! 5!  

  . 

V první závorce je řada pro kosinus, ve druhé řada pro sinus. Celkově tedy platí: e i x  cos x  i sin x .

(10.15)

Eulerův vztah je nesmírně užitečný při vyjadřování komplexních čísel, která můžeme chápat jako uspořádanou dvojici čísel v kartézské (Gaussově) rovině, ale můžeme je také přepsat za pomoci amplitudy a fáze do goniometrického tvaru: z  ( x, y )  x  iy  A cos   i A sin   A  cos x  i sin x   A e i x .

(10.16)

Obdobných užitečných vztahů mezi goniometrickými a hypergeometrickými funkcemi je celá řada a lze je dokázat přímo z definice těchto funkcí za pomoci řad nebo z již dokázaného Eulerova vztahu.

F10-4

Zapamatujte si: e i x  cos x  i sin x cosh x 

e x  ex , 2

sinh x 

i x

e e , 2 cos( x)  cos x , cos x 

ix

e x  e x , 2

(10.17)

i x

e e , 2i sin( x)   sin x ix

sin x 

Řešení pohybové rovnice pro harmonický oscilátor  Z tvaru rovnice (10.4) už víme, že řešením musí být funkce, jejíž všechny derivace jsou úměrné původní funkci. Také víme, že takovou funkcí je exponenciela, proto hledejme řešení ve tvaru: x(t )  e t ; x (t )   e t ;  x(t )   2 e t .

Po dosazení výrazů do rovnice (10.5) dostaneme rovnici pro λ (exponenciely se samozřejmě zkrátí, neboť všechny derivace exponeniely jsou si vzájemně úměrné):

2  

k m

1   i



k ; m

 2  i

k . m

Nalezli jsme tedy dvě řešení naší pohybové rovnice: x1  e i

k /m t

;

x 2  e i

k /m t

.

(10.18)

Snadno zjistíme, že násobek každého z řešení je opět řešením, stejně tak jejich součet, rozdíl nebo jakákoli lineární kombinace (řešení tvoří tzv. lineární vektorový prostor, tj. chovají se stejně jako vektory a můžeme je také tak skládat). Obecné řešení proto bude mít tvar: x(t )  c1 e i

k /m t

 c 2 e i

k /m t

.

(10.19)

Fáze pohybu bude narůstat lineárně s časem:

 (t )  k /m t .

(10.20)

Zavedeme-li úhlovou frekvenci pohybu



d k  , dt m

(10.21)

můžeme řešení napsat jako x(t )  c1 e i t  c 2 e i t .

(10.22)

Snadno ukážeme, že toto řešení lze také zapsat jako lineární kombinaci sinů a kosinů nebo jako posunutý kosinus či jako posunutý sinus. F10-5

Zapamatujte si:

̶

Řešení rovnice pro harmonický oscilátor lze zapsat v libovolném z těchto tvarů: x(t )  c1 e i t  c 2 e i t , x(t )  a cos( t )  b sin ( t ) , x(t )  a 0 cos( t   0 ) ,

(10.23)

x(t )  b0 sin ( t   0 ) . ̶

Frekvence pohybu je svázána s tuhostí oscilací jednoduchým vztahem



k m



k  m 2

(10.24)

Všechny zápisy (10.23) jsou ekvivalentní – pokud u posledních dvou vyjádření použijeme součtové vzorce, dostaneme okamžitě lineární kombinaci kosinu a sinu. Pokud u prvního vyjádření použijeme Eulerův vztah, dostaneme opět lineární kombinaci kosinu a sinu: x(t )  c1 e i t  c 2 e i t 

c1  cos( t )  i sin( t )  c 2  cos( t )  i sin( t )    (c1  c 2 ) cos( t )  (i c1  i c 2 ) sin( t )   a cos( t )  b sin( t ) .

Harmonické oscilace

1. Mají parabolický průběh potenciální energie Wp = kx2/2. 2. Síla je úměrná výchylce a má opačný směr F = −kx. 3. Pohybová rovnice má tvar  x   2 x  0 , kde ω je úhlová frekvence oscilací. 4. Řešením jsou kosinové a sinové kmity x(t) = a cos ωt + b sin ωt . Kdykoli narazíme na rovnici ve tvaru  x   2 x  0 , už ji nebudeme muset řešit. Budeme vědět, že řešením je lineární kombinace kosinu a sinu frekvence ω!  Příklad 10.1: Nalezněte integrační konstanty pro případ, že je oscilátor spuštěn s počáteční výchylkou A0 (x(0) = A0, v(0) = 0) a poté pro situaci, že je spuštěn s počáteční rychlostí v0 (x(0) = 0, v(0) = v0.

Řešení: Poloha a rychlost jsou dány vztahy: x(t )  a cos( t )  b sin ( t ) , v(t )  x   a sin ( t )  b cos( t ) .

(10.25)

Do obou rovnic dosadíme nulový čas a počáteční podmínky. Pro první případ (nenulová výchylka) vyjde kosinové řešení a pro druhý případ (nenulová rychlost) sinové řešení: x1 (t )  A0 cos( t ) ,

x 2 (t ) 

v0



sin( t ) .

(10.26) 

F10-6

Pro jednoduchost budeme v celé této kapitole používat jen kosinové řešení (s nenulovou počáteční výchylkou). Není to na újmu obecnosti, neboť víme, že obecná kombinace sinu a kosinu je jen fázově posunutý kosinus, viz (10.23).

Zákon zachování energie  Předpokládejme harmonické oscilace ve tvaru x(t )  A0 cos( t ) , v(t )   A0 sin( t ) .

(10.27)

Sestavme nyní výraz pro celkovou energii 1 2 1 2 1 1 mv  kx  m 2 A02 cos 2 ( t )  kA02 sin 2 ( t ) 2 2 2 2 2 V prvním výrazu je mω = k, tedy máme E

(10.28)

1 2 1 1 kA0 cos 2 ( t )  kA02 sin 2 ( t )  kA02 . (10.29) 2 2 2 Celková energie se zachovává, přelévá se mezi kinetickou a potenciální složkou. V krajní výchylce je veškerá energie v potenciální složce (1/2 kA02), v rovnovážné poloze je veškerá energie v kinetické složce. E

Zapamatujte si ̶ ̶

Celková energie harmonického oscilátoru se zachovává (E = Wk+Wp = 1/2 kA02) a přelévá se mezi kinetickou a potenciální složkou. Hybnost oscilátoru se nezachovává (v krajní poloze je nulová, v rovnovážné poloze je nenulová).

Fázový portrét  Fázovým portrétem nazýváme graf trajektorie systému, v němž je na vodorovné ose poloha a na svislé ose hybnost. Pro polohu a hybnost máme: x(t )  A0 cos( t ) , p(t )  m v   A0 m sin( t ) .

(10.30)

Na pravé straně rovnic ponecháme jen časové závislosti, ostatní výrazy převedeme nalevo: x  cos( t ) , A0 p   sin( t ) . A0 m 

(10.31)

Obě rovnice nyní umocníme na druhou a sečteme: 2

2

 x   p  (10.32)      1.  A0   A0 m   Jde o rovnici elipsy s poloosami A0 a A0mω. Oscilátor si můžeme představit jako malou kuličku pohybující se po obvodu elipsy. Vodorovný průmět pohybu kuličky odpovídá její poloze a svislý průmět její hybnosti.

F10-7

Funguje ale i opačná konstrukce. Představte si, že pohyb oscilátoru snímají dvě čidla. Jedno měří polohu a druhé rychlost a tím i hybnost. Signál z prvního čidla přivedeme na vodorovnou osu osciloskopu (kosinový průběh) a signál z druhého čidla na svislou osu osciloskopu (sinový průběh). Výsledný obraz bude samozřejmě námi odvozená elipsa. Z hlediska matematiky skládáme dva kolmé kmity stejných frekvencí posunuté ve fázi o 90°.

Tlumené oscilace  Předpokládejme, že na oscilátor nyní působí ještě tlumení. Těleso zavěšené na pružině kmitá například v kádince s vodou. Tlumící síla je úměrná rychlosti a má opačný směr, na pravé straně rovnice tedy budou dvě síly, harmonická a tlumicí:

m  x  kx   x .

(10.33)

V rovnici nyní uspořádáme členy podle klesajících derivací a koeficient u nejvyšší derivace upravíme tak, aby byl roven jedné: k   x  x  x  0 . (10.34) m m Koeficient u první derivace popisuje velikost tlumení, označíme ho 2δ (jde jen o označení, ukáže se, že s faktorem 2 bude výsledný vztah jednodušší). Koeficient u druhé derivace je druhou mocninou frekvence netlumeného oscilátoru, označíme ji ω0. Máme tedy řešit jednoduchou rovnici  x  2 x   02 x  0 ; (10.35) k 2 0  . m Jde o lineární diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty. Má-li rovnice platit, musí být hledaná funkce úměrná své první i druhé derivaci. Jediná funkce s takovou vlastností je exponenciela, proto předpokládejme, že řešení má tvar: x(t )  e t , x (t )   e t ,

(10.36)

 x(t )   2 e t .

Po dosazení do pohybové rovnice (10.35) a následném zkrácení exponenciel máme rovnici

 2  2   02  0 ,

(10.37)

1,2     2   02 .

(10.38)

která má řešení

F10-8

Pro velká δ > ω0 máme dvě reálná řešení a žádné oscilace se nekonají. Hovoříme o tzv. přetlumeném (aperiodickém) kmitu. Tlumení je natolik veliké, že se oscilátor bez kmitů vrátí do rovnovážné polohy. Naopak pro slabé tlumení δ < ω0 máme dvě komplexní řešení

1,2    i  02   2 .

(10.39)

Poloha oscilátoru bude dána lineární kombinací obou nalezených řešení, tj. x(t )  c1e

 1t

 c 2e

 2t

 i = e  t  c1e 

 02  2 t

 c 2e

i  02  2 t

 . 

(10.40)

Superpozici kmitajících exponenciel můžeme opět napsat jako superpozici kosinu a sinu x(t )  e  t  a cos 



2 0



  2 t  b sin



2 0



  2 t  . 

(10.41)

Předpokládejme kmit s počáteční nulovou rychlostí a nenulovou výchylkou A0: x(t )  A0e  t cos



2 0



 2t .

(10.42)

Amplituda, fáze kmitů a úhlová frekvence budou A(t )  A0e  t ,

 (t )   02   2 t , 

(10.43)

d   02   2 . dt

Amplituda kmitů klesá exponenciálně s časem. Koeficientem u času je parametr δ zavedený výše. Fáze kmitů roste lineárně s časem. Úhlová frekvence je nižší než u netlumených kmitů. Časový vývoj bude dát exponenciálně tlumeným kosinem. Fázový portrét bude spirála:

Často používanou veličinou je logaritmický dekrement útlumu. Jde o přirozený logaritmus podílu amplitudy v nějakém čase a amplitudy v čase o periodu pozdějším:

  ln

A0e  t A(t )  ln  ln e  T   T . ( ) t T    A(t  T ) A0e

(10.44)

Energie oscilací je úměrná druhé mocnině amplitudy, proto má tvar E (t )  E 0e 2 t . F10-9

(10.45)

Zapamatujte si

̶

̶

Tlumené oscilace mají tvar: x(t) = A(t) cos (ωt). ̶

Frekvence je dána vztahem: ω = (ω02 − δ2)1/2. Tlumení sníží frekvenci. ̶

Amplituda exponenciálně klesá: A(t)=A0 exp(−δt). ̶

Energie klesá s kvadrátem amplitudy: E(t)=E0 exp(−2δt). ̶

Logaritmus podílu amplitud po jedné periodě (dekrement útlumu) je Λ = δT . Fázovým portrétem tlumených oscilací je spirála.

Pravděpodobnost výskytu oscilátoru  Na závěr určeme klasickou hustotu pravděpodobnosti w ( x ) výskytu částice mezi krajními polohami –A , A. Pro pravděpodobnost, že se částice nachází v okolí Δx bodu x platí:

P 

2Δt 2Δ x v( x)    Δx ,  v( x ) 2  T

(10.46)

kde T je perioda pohybu a 2Δt je doba, po kterou částice pobývá v okolí bodu x. Okolím prolétá za periodu T částice dvakrát (tam a zpět), proto je v čitateli 2Δt. Hustota pravděpodobnosti je w( x) 

dP   . dx  v( x)

(10.47)

Závislost v (x ) určíme ze zákona zachování energie 1 2 1 1 mv  m 2 x 2  m 2 A 2 2 2 2

v( x )   A 2  x 2 .



(10.48)

Konečný vztah má tvar w( x) 

1

 A x 2

2

(10.49)

.

Hustota pravděpodobnosti výskytu tělesa je nejvyšší v bodech obratu – A, A a nejnižší v místě minima potenciální energie. Nelekejte se nekonečné hodnoty hustoty pravděpodobnosti v krajních bodech. Skutečný smysl má jen pravděpodobnost výskytu tělesa v intervalu daná vztahem: b

P (a, b)   w( x) dx .

(10.50)

a

Celková pravděpodobnost výskytu částice v oblasti (–A , A ) je rovna jedné: A

A

A

A 

 w( x) dx  

A

1  x  dx  arcsin     1.   A   A A2  x 2 1

(10.51)

F10-10

Zapamatujte si ̶

Pravděpodobnost výskytu oscilátoru je nejvyšší v místech krajní výchylky. Hustota pravděpodobnosti je zde nekonečná, nicméně pravděpodobnost v každém konečném intervalu je konečná.

̶

Nejnižší pravděpodobnost výskytu je v rovnovážné poloze, kde má oscilátor nejvyšší rychlost ̶

Součet (integrál) všech pravděpodobností je roven 1.

V závěrečné části si spočteme některé jednoduché příklady na harmonické oscilace.

Zkumavka ve vodě   Příklad 10.2: Zkumavka zatížená broky se pohupuje na vodní hladině. Určete frekvenci a periodu kmitů. Průřez zkumavky je S = 1 cm2, hmotnost zkumavky s broky m = 40 g, hustota vody 1 g/cm3 a tíhové zrychlení předpokládejte 10 m/s2. Předpokládejte, že kmity zkumavky neovlivní výšku hladiny v kádince.

Řešení: Předpokládejme, že na začátku je zkumavka v klidu, tj. tíhová síla je právě kompenzována vztlakovou silou. Na zkumavce si uděláme rysku nebo nakreslíme značku, která je přesně v počátku souřadnic spojených s kádinku. Poté do zkumavky strčíme. Naše ryska se začne spolu se zkumavkou vychylovat tu na jednu a tu na druhou stranu od počátku souřadnicového systému (v rovnovážné poloze je ryska v počátku souřadnic pevných vzhledem k okolí). Porušíme-li rovnováhu, objeví se vratná vztlaková síla a kmity zkumavky můžeme popsat pohybovou rovnicí: F10-11

my  pS  my    g y S .

(10.52)

Tuto rovnici uvedeme na standardní tvar  y

 gS m

y  0.

(10.53)

Jde o rovnici harmonických kmitů, koeficient u nulté derivace je druhou mocninou úhlové frekvence, tj.



 gS m

.

(10.54)

Periodu nyní snadno určíme ze vztahu ω = 2π/T: T  2

m .  gS

(10.55)

Po dosazení číselných hodnot (nezapomeňte je převést do soustavy jednotek SI!) dostaneme úhlovou frekvenci kmitů zkumavky ω = 5 s−1 a periodu T ≈ 1,26 s. 

Tunel skrze Zemi   Příklad 10.3: Představte si, že napříč Zemí je vystavěn tunel, do kterého vhodíme nějaký předmět. Jaký pohyb bude vykonávat? Vrátí se někdy zpět? Jestliže ano, kdy? Předpokládejte, že Zemi půjde provrtat a vnitřní teplo a tlak tunel nezničí. Těleso se při průletu neroztaví. Hustota Země je konstantní. Poloměr Země je R = 6 400 km a hmotnost M = 6×1024 kg.

Řešení: Lze ukázat (matematiku k tomu zatím neznáte), že na předmět o hmotnosti m působí gravitačně jen část Země uvnitř poloměru r(t), na kterém se právě těleso nachází. Vliv vnějších částí se přesně vyruší. Podíl hmotnosti vnitřní části ku hmotnosti celé Země bude roven podílu příslušných objemů, tj. M (r ) r 3  3 M R



M (r )  M

r3 R3

.

(10.56)

Nyní již snadno sestavíme pohybovou rovnici letícího tělesa F10-12

mr  G

m M (r ) r2

.

(10.57)

Po dosazení za M a úpravě rovnice na standardní tvar (tj. převedeme všechny členy na jednu stranu a upravíme tak, aby koeficient u nejvyšší derivace byl roven jedné) dostaneme rovnici harmonických kmitů  r G

M R3

r 0.

(10.58)

Koeficient u nulté derivace je opět druhou mocninou úhlové frekvence, tj.

 G

M R3

 0.

(10.59)

Periodu určíme ze vztahu ω = 2π/T: T  2

R3 . GM

(10.60)

Po dosazení zjistíme, že předmět hozený do tunelu se vrátí za 1,4 hodiny. 

Vibrující molekula   Příklad 10.4: Předpokládejte, že dvojatomová molekula má potenciální energii danou jednoduchým potenciálem





Wp  W0 1  exp   (r  r0 ) 2  .  

(10.61)

Proměnná r označuje vzdálenost atomů v molekule. Nakreslete průběh potenciální energie, diskutujte oblast přitažlivých a odpudivých sil. Nalezněte úhlovou frekvenci oscilací. Řešení: Z fyzikálního hlediska je vzdálenost r nezáporná, pro vyšetření průběhu můžeme ale využít celý definiční obor, tj. reálnou osu. V krajních bodech definičního oboru platí

lim Wp (r )  W0 .

(10.62)

r 

Pro určení průběhu nalezneme první a druhou derivaci zadané funkce: dW p

 2W0 (r  r0 ) exp   (r  r0 ) 2  ;   dr

d 2W p dr

2

.

(10.63)

 2W0 exp   (r  r0 ) 2   4W0 2 (r  r0 ) 2 exp   (r  r0 ) 2  .    

Položíme-li první derivaci rovnou nule, získáme body podezřelé z extrému. Jediným řešením je hodnota r  r0 , (10.64) ve které má samotná funkce nulovou hodnotu (tedy musí jít o minimum:

F10-13

Jde o průběh potenciální energie s minimem v r0. Pro r < r0 je síla odpudivá a pro r > r0 je síla přitažlivá (míří vždy k minimu potenciální energie). Výsledným pohybem proto budou kmity. Potenciál nahradíme pomocí Taylorova rozvoje parabolickou závislostí Wp (r ) 

1 k (r  r0 ) 2 ; 2

k  W p(r0 )  2W0 ,.

(10.65)

Nezapomeňte, že pro určení tuhosti oscilací musíme do druhé derivace dosadit minimum, tedy r0. Standardním způsobem nyní určíme úhlovou frekvenci kmitů molekuly:



2W0 k .  m m

(10.66) 

Země jako harmonický oscilátor   Příklad 10.5: Země obíhá kolem Slunce po elipse s malou excentricitou. Vzdálenost od Slunce proto periodicky kolísá. Určete frekvenci a periodu těchto oscilací ze znalosti průběhu efektivní potenciální energie (součtu potenciální a rotační energie). Předpokládejte, že moment hybnosti Země je b = 2,7×1040 kg m2s−1, hmotnost Země m = 6×1024 kg, hmotnost Slunce M = 2×1030 kg a gravitační konstanta G = 6,7×10–11 N kg–2m2.

Řešení: Při odvození eliptické dráhy planety jsme odvodili energii obíhající planety (8.9): E

1 2 b2 mM mr  G . 2 2 r 2mr

(10.67)

Druhý člen je závislý pouze na poloze a můžeme ho proto přiřadit k potenciální energii. Interpretace členu jako kinetického nebo potenciálního je relativní a závisí na úhlu našeho pohledu. Zaveďme tzv. efektivní potenciální energii: E

1 2 mr  Weff (r ) ; 2 b2

mM Weff (r )   G . r 2mr 2

(10.68)

Z první rovnice snadno určíme radiální rychlost tělesa r 

2  E  Weff (r )  m

(10.69)

F10-14

Je zjevné, že pohyb se může konat jedině v takových oblastech efektivní potenciální energie, kde je argument odmocniny nezáporný, tj. platí E  Weff (r ) .

(10.70)

Průběh efektivní potenciální energie je znázorněn na obrázku. Z něho je patrné, že pro E > 0 je pohyb neomezený, r  a pohyb se koná po elipse. Limitními případy jsou E = 0 (pohyb po parabole) a E = Emin (pohyb po kružnici r = r0). Bílou oblastí je označen vázaný pohyb.

Pohyb Země kolem Slunce lze tedy chápat jako pohyb v efektivní potenciální energii v okolí minima. Takový pohyb je přibližně harmonický – radiální vzdálenost Země od Slunce nepatrně periodicky kolísá, v přísluní je Země blíže ke Slunci, v odsluní dále. Potenciální energii lze v okolí minima nahradit parabolickou závislostí. Standardním postupem určíme minimum efektivní potenciální energie a tuhost oscilací. Z tuhosti pak již snadno nalezneme periodu pohybu: b2 r0   150  10 6 km ; 2 Gm M  (r0 )  k  Weff T

2





G 4m 7 M 4 b6

(10.71)

;

2 2 2 b 3   2 3 2  365 dní . k /m G 4 m 6 M 4 /b 6 G m M

Hodně štěstí u zkoušek, Petr Kulhánek, 1. března 2013 F10-15