exponentiële standaardfunctie

9.0 Voorkennis

• In de grafiek is de exponentiële standaardfunctie f(x) = 2x getekend; • Df = |R, Bf = (0, →) met de x-as als asymptoot (Dit volgt uit: lim 2x  0 ); x • Elke functie gx met g > 1 heeft deze vorm; • Voor g > 1 is lim gx  0 x 

Willem-Jan van der Zanden

1

9.0 Voorkennis

• In de grafiek is de de exponentiële standaardfunctie f ( x )   12  getekend; x • Df = |R, Bf = (0, →) met de x-as als asymptoot. (Dit volgt uit: lim  12   0 ); x  • Elke functie gx met 0 < g < 1 heeft deze vorm; • Voor 0 < g < 1 is lim gx  0 x

x 


2

9.0 Voorkennis • De zwarte grafiek is f(x) = 2x • De blauwe grafiek is g(x) = 2x + 3 dus een translatie (0,3) van f(x). De horizontale asymptoot is y = 3 met bereik Bf = (3, →) • De rode grafiek is h(x) = 2x+3 dus een translatie (-3,0) van f(x). De horizontale asymptoot is y = 0 met bereik Bf = (0, →) • De groene grafiek is k(x) = 3 · 2x dus een verm. t.o.v. de x-as met 3 van f(x). De horizontale asymptoot is y = 0 met bereik Bf = (0, →)


3

9.0 Voorkennis Voorbeeld 1: x 2 Gegeven is functie f ( x )   32   1 Welke waarden neemt f(x) aan voor x ≥ 1? Stap 1: Stel de formule van de horizontale asymptoot op: f(1) = 0,5 Er geldt: lim x 

  2 3

x 2



 1  0  1  1

Dit geeft de horizontale asymptoot y = -1 Stap 2: Lees het antwoord af uit een plot van de functie op je GR en let hierbij op de horizontale asymptoot. Voor x ≥ 1 geldt -1 < f(x) ≤ 0,5 Willem-Jan van der Zanden

4

9.0 Voorkennis Voorbeeld 1: x

1 3     7  55 2 x

1 3     48 2

Zorg dat alle “losse getallen” rechts komen te staan.

x

1  2   16  

  21

x

 24

2 x  24 x  4 x  4

Zorg dat links alleen nog maar een macht staat. Schrijf de vergelijking in de vorm gA = gB Je kunt de grondtallen nu “wegstrepen”


5

9.0 Voorkennis Voorbeeld 2: 3 x 1

1 4 x 1    2 (22 )x 1  (21 )3 x 1

Zorg dat links en rechts hetzelfde grondtal komt te staan.

22 x 2  23 x 1

Gebruik de rekenregels voor machten

2 x  2  3 x  1 5x  3

Je kunt de grondtallen nu “wegstrepen”

x

3 5


6

9.0 Voorkennis Voorbeeld: 2x 2  2x  24 2x  22  2x  24 4  2x  2x  24 3  2x  24 2x  8 2x  23 x 3

Zorg dat er links slechts één macht komt te staan. Gebruik hierbij de rekenregels voor machten. Zorg dat links alleen nog maar een macht staat.

Schrijf de vergelijking in de vorm gA = gB Je kunt de grondtallen nu “wegstrepen”


7

9.0 Voorkennis Voorbeeld:

De hoeveelheid bacteriën groeit exponentieel. Op tijdstip t = 5 zijn er 2.000 bacteriën. Op tijdstip t = 12 zijn er 7.000 bacteriën. Stel de formule op van het aantal bacteriën N om t uur.

Stap 1: Bij een exponentieel verband hoort de formule: N = b · gt met b = beginhoeveelheid en t = tijd Stap 2: Bereken de groeifactor van t = 5 tot t = 12 (g7uur) g7uur =

N12 7.000   3,5 N5 2.000


8

9.0 Voorkennis Voorbeeld:

Stap 3: Bereken de groeifactor per uur (g):

g   g7uur   (3,5)  1,195... 1 7

1 7

=> N = b · 1,195…t

Stap 4: Bereken de beginhoeveelheid: N = b · 1,195…t 7.000 = b · 1,195...12 7.000 = b · 8,56…. b ≈ 817 => N = 817 · 1,20t


9

9.1 Logaritmen [1] We hebben de functie f(x) = 2x De oplossing van de vergelijking f(x) = 8 is 3. Bestaat er nu een functie g(x) zodat geldt: g(8) = 3? Ja, en dit is de functie: g(x) = 2log(x). De oplossing van de vergelijking g(8) = 2log(8) = 3. Of in woorden: Tot welke macht moet je 2 verheffen om 8 te krijgen. Er geldt dus: Uit 2x = 8 volgt 2log(8) = x 2log(8) = 2log(2x ) = x Hieruit valt af te leiden: De macht en de logaritme “vallen als het ware tegen elkaar weg”. In het algemeen geldt: Hieruit valt af te leiden:

Uit glog(y) = x volgt y = gx glog(y) = glog(gx ) = x


10

9.1 Logaritmen [1] Voorbeeld: 2

log( 161  2 2) 

2

log(

2

log(24  21  22 ) 

2

log(2

1 1 12 2 2 )  4 2

Schrijf de getallen in log(….) als een 2de macht.

1

212

)

Tot welke macht moet je 2 verheffen om 2-2,5 te krijgen?

2 12


11

9.1 Logaritmen [2] Voorbeeld: Los algebraïsch op: f(x) = 2 + 3log(3x - 4) <0 Stap 1: Los de vergelijking f(x) = 0 op.

2 3 log(3x  4)  0 3

log(3x  4)  2

32  3x  4

(losse getallen naar rechts) (glog(x) = y volgt x = gy toepassen)

3x  4  19 3x  4 19 x  1 10 27


12

9.1 Logaritmen [2] Voorbeeld 2: 1  2  5 log( x )  7 2  5 log( x )  6

Zorg dat alle “losse getallen” rechts komen te staan.

log( x )  3

Zorg dat links alleen nog maar een logaritme staat.

5

x  53 x  125

Gebruik de regel: Uit glog(x) = y volgt x = gy


13

9.1 Logaritmen [3]

• In de grafiek is de functie f(x) = 2log(x) getekend; • Df = (0,→), Bf = |R met de y-as als asymptoot; • Elke functie glog(x) met g > 1 heeft deze vorm. Willem-Jan van der Zanden

14

9.1 Logaritmen [3]

• In de grafiek is de functie f(x) = ½log(x) getekend; • Df = (0,→), Bf = |R met de y-as als asymptoot; • Elke functie glog(x) met 0 < g < 1 heeft deze vorm. Willem-Jan van der Zanden

15

9.1 Logaritmen [3] Herhaling: In het algemeen geldt: Uit glog(x) = y volgt x = gy Er bestaat dus een verband tussen een machtsfunctie en een logaritmische functie.

De grafieken van f(x) = 2x en g(x) = 2log(x) spiegelen in de lijn y = x. We noemen f en g nu inverse functies. Willem-Jan van der Zanden

16

9.1 Logaritmen [3]

De grafieken van f(x) = (½)x en g(x) = ½log(x) spiegelen in de lijn y = x. We noemen f en g nu inverse functies. Willem-Jan van der Zanden

17

9.1 Logaritmen [4] Berekenen van logaritme met de GR: Maak gebruik van de regel:

g

log(a)  log(a)  p  log( g)  p

log(a)   10 log( g)  10

De log-toets op de GR heeft als grondtal 10. Voor het (nieuwe) grondtal p wordt in dit geval dus 10 genomen. Voorbeeld: 2

log(5) 

log(5)  2,32 log(2)


18

9.1 Logaritmen [5] Voorbeeld 1: Teken de grafiek van f(x) = 2 + 3log(3x-4) Stap 1: Bereken het domein van de functie f(x) 3x – 4 > 0 3x > 4 x > 1 13 Dus Df = ( 1 13 ,→). De verticale asymptoot is de lijn x = 1 13 Herhaling: In het algemeen geldt: Uit glog(x) = y volgt x = gy

gy is per definitie groter dan 0, dus hieruit volgt dat de term die bij glog(x) tussen de haakjes staat ook groter dan 0 moet zijn. Willem-Jan van der Zanden

19

9.1 Logaritmen [5] Voorbeeld 1: Teken de grafiek van f(x) = 2 + 3log(3x-4) Stap 2: Maak een tabel (op de GR) met een aantal waarden van f(x). x

2

3

4

5

y

2,63

3,47

3,89

4,18

Stap 3: Teken de grafiek van f(x) met de waarden uit. Geef de verticale asymptoot weer met een stippellijn


20

9.1 Logaritmen [5] Voorbeeld 2: Los algebraïsch op: f(x) = 2 + 3log(3x-4) ≤ 0 Stap 1: Los de vergelijking f(x) = 0 op.

2 3 log(3x  4)  0 3

log(3x  4)  2 2

3  3x  4

(losse getallen naar rechts) (glog(x) = y volgt x = gy toepassen)

3x  4  19 3x  4 19 x  1 10 27


21

9.1 Logaritmen [5] Voorbeeld 2: Los algebraïsch op: f(x) = 2 + 3log(3x-4) ≤ 0 Stap 2: Maak een schets.

Stap 3: 10 De oplossing is nu: 1 13  x  1 27 (Let op het bestaan van de asymptoot)


22

9.1 Logaritmen [6] Voorbeeld 1: Bereken exact: 3x + 1 = 80

3x + 1 = 80 x + 1 = 3log(80) x = -1 + 3log(80) Voorbeeld 2: Bereken exact: 5 + 23x = 25 5 + 23x = 25 23x = 20 3x = 2log(20) x = 13  2 log(20)


23

9.1 Logaritmen [7] Voorbeeld: Maak x vrij bij de formule y = 40 + 100,5x + 1,8

y = 40 + 100,5x + 1,8 40 + 100,5x + 1,8 = y 100,5x + 1,8 = y – 40 0,5x + 1,8 = log(y – 40) 0,5x = -1,8 + log(y – 40) x = -3,6 + 2⋅log(y – 40)


24

9.2 Rekenregels en vergelijkingen [1] Voor logaritmen gelden de volgende rekenregels (met g > 0, g ≠ 1, a en b > 0) (1)

g

(2)

g

(3)

g

log(ab)  g log(a)  g log(b) a log    g log(a)  g log(b) b

(4) a  g log( ga )

log(an )  n  g log(a)

(5)

glog(x)

= y volgt x = gy

Voorbeeld: 2

log(6)  3 2 log(5)  4 

2

log(6)  2 log(53 )  4 

2

log(6)  2 log(53 )  2 log( 24 ) 

2

log(6)  log(125)  log(16) 

2

log(6  25 16)  2 log(12000)

2

2

(3)

g


g a (4) a  log( g )

(1)

g

log(ab)  g log(a)  g log(b)


25

9.2 Rekenregels en vergelijkingen [2] Voor logaritmen gelden de volgende rekenregels: (1)

g

(2)

g

(3)

g


(4)

a  g log( ga )


(5)

glog(x)

= y volgt x = gy

Voorbeeld 1: 3

log( x  2)  1  4  3 log(2)

3

log( x  2)  3 log(31 )  3 log(24 )

3

log( x  2)  3 log(3)  3 log(16)

log( x  2)  log(48) x  2  48 x  50 voldoet 3

3

(3) + (4) (1) Je mag de logaritmen nu “wegstrepen” Controleer altijd de oplossingen Willem-Jan van der Zanden

26

9.2 Rekenregels en vergelijkingen [2] Voor logaritmen gelden de volgende rekenregels: (1)

g

(2)

g

(3)

g


(4)

a  g log( ga )


(5)

glog(x)

= y volgt x = gy

Voorbeeld 2: (3) + (4)

1  2  2 log( x )  2 log(5x  3) 2

log(2)  2 log( x 2 ) 2 log(5x  3)

2

log(2x 2 ) 2 log(5x  3)

(1) Je mag de logaritmen nu “wegstrepen”

2x 2  5x  3 2x 2  5x  3  0 5  49 5  49 x 4 4 x  0,5(voldoet niet )  x  3(voldoet ) x

Controleer altijd de oplossing(en)


27

9.2 Rekenregels en vergelijkingen [3] Extra rekenregels voor logaritmen: 1)

g

log(a) 

log(a) log( g)

log(a) p 2) g log(a)  log(a)  log( p)  p log(a) log( g) log( g) log( g) log( p)

3)

1 g

g

g g log(a) log(a) log(a) log(a)  g    g log(a) 1 1 log( g ) 1 g log    g


28

9.2 Rekenregels en vergelijkingen [3] Voorbeeld: log( x ) 2 log( x  2)

4 2

log( x ) 2  log( x  2) 2 log(4)

2

log( x ) 2  log( x  2) 2 2 log( x )  2  2 log( x  2) 2

log( x )  2 log(( x  2)2 )

gebruik log(a)  g

p

log(a) p log( g)

Kruiselings vermenigvuldigen

gebruik

g


x = (x - 2)2 x = x2 -4x + 4 x2 – 5x + 4 = 0 (x – 1)(x – 4) = 0 x - 1 = 0 of x – 4 = 0 x = 1 of x = 4 Alleen x = 4 voldoet (x = 1 leidt tot het nemen van de logaritme van een negatief getal) Willem-Jan van der Zanden

29

9.2 Rekenregels en vergelijkingen [4] Voorbeeld 1: 3log2(x)

– 3log(x) = 0 p2 – p = 0 p(p – 1) = 0 p = 0 of p – 1 = 0 p = 0 of p = 1 3log(x) = 0 of 3log(x) = 1 x = 30 of x = 31 x = 1 of x = 3

Neem 3log(x) = p

Beide oplossingen voldoen


30

9.2 Rekenregels en vergelijkingen [4] Voorbeeld 2: x

1 2x  6     1 2 1 2x  6  x  1 2 1 p  6 1 p p 6 p 2

Vervang 2x door p

Vermenigvuldig alle termen met p

p2  p  6  0 ( p  2)( p  3)  0 p  2  0 of p  3  0 p  2 of p  3 2x  2 of 2x  3 k .n.

x  log(3) 2

Gebruik: glog(x) = y volgt x = gy


31

9.2 Rekenregels en vergelijkingen [4] Voorbeeld 2:

4 x  2x  42 (22 )x  2x  42 (2x )2  2x  42

Vervang 2x door p

p2  p  42 p2  p  42  0 ( p  6)( p  7)  0 p  6  0 of p  7  0 p  6 of p  7 2x  6 of 2x  7 k .n.

of x  log(7) 2

Gebruik: glog(x) = y volgt x = gy


32

9.3 Exponentiële en logaritmische formules [1] Voorbeeld: De bevolking van een stad groeit jaarlijks met 5%. Bereken hoeveel jaar het duurt voordat de bevolking verdubbeld is. Dit is de verdubbelingstijd. Stap 1: 5 Bereken de groeifactor per jaar: g  1   1,05 100

Stap 2: Stel de exponentiële formule op: N = 1,05t Stap 3: Los de vergelijking 1,05t = 2 algebraïsch op: 1,05t = 2 t = 1,05log(2) t = log(2)/log(1,05) t ≈ 14,2 jaar

(glog(x) = y volgt x = gy) p g log(a)  log( a )    p log( g)  

log(a)    10 log( p)   10

Let op: Bij een halveringstijd (0 < g < 1) je gt = 0,5 op Willem-Jan van los der Zanden

33

9.3 Exponentiële en logaritmische formules [2] • Logaritmisch papier; is papier met een logaritmische schaalverdeling; • De afstand van 1 tot 10 is even groot als de afstand van 10 tot 100; • Van 10 tot 20 staan er 10 horizontale lijnen; • Van 20 tot 30 staan er 10 horizontale lijnen; • Van 30 tot 40 staan er 5 horizontale lijnen; • Van 40 tot 50 staan er 5 horizontale lijnen; • Van 50 tot 60 staan er 2 horizontale lijnen; Willem-Jan van der Zanden

34

9.3 Exponentiële en logaritmische formules [3] • Een exponentiële functie wordt op logaritmisch papier een rechte lijn. Voorbeeld: Stel de formule op van N als functie van t. Stap 1: Lees twee punten af die op de lijn liggen

t = 2 met N = 2 t = 8 met N = 20


35

9.3 Exponentiële en logaritmische formules [3] Stap 1: Lees twee punten af die op de lijn liggen: t = 2 met N = 2 EN t = 8 met N = 20 Stap 2: 20 Bereken de groeifactor tussen deze twee tijdstippen: g6   10 2

Stap 3: 1 6 Bereken de groeifactor per tijdseenheid: g  10  1,467... Stap 4: Bereken nu de beginhoeveelheid b in de formule: N = b · 1,467…t Vul hiervoor één van de twee punten op de lijn in: 2 = b · 1,467…2 2 = b · 2,154… b = 0,928… Dus N = 0,93 · 1,47t


36

9.3 Exponentiële en logaritmische formules [3]

• De zwarte grafiek is f(x) = 2x • De donkerblauwe grafiek is g(x) = 2x + 3 dus een translatie (0,3) van f(x) • De groene grafiek is h(x) = 3 · 2x 1dus een verm. t.o.v. de x-as met 3 van f(x) x • De lichtblauwe grafiek is j(x) = 23 dus een verm. t.o.v. de y-as met 3 van f(x) • De rode grafiek is k(x) = 2x+3 = 2x · 23 = 8 · 2x [Hieruit volgt dat een translatie van (-3, 0) van f(x) gelijk is aan een verm. t.o.v. de x-as met 8 van f(x)] Willem-Jan van der Zanden 37

9.3 Exponentiële en logaritmische formules [3]

• De zwarte grafiek is f(x) = 2log(x) • De rode grafiek is h(x) = 2log(x-3) dus een translatie (3,0) van f(x) • De groene grafiek is j(x) = 3 · 2log(x) dus een verm. t.o.v. de x-as met 3 van f(x) • De lichtblauwe grafiek is k(x) = 2log( 13 x ) dus een verm. t.o.v. de y-as met 3 van f(x) • De donkerblauwe grafiek is g(x) = 2log(x) + 3 = 2log(x) + 2log(23) = 2log(8x) [Hieruit volgt dat een translatie van (0,3) van f(x) hetzelfde is als een verm. t.o.v de y-as met 18 van f(x)] Willem-Jan van der Zanden

38

9.4 Het grondtal e [1] Voorbeeld 1: Bereken de afgeleide van f(x) = ax. We weten niet wat deze afgeleide is, daarom berekenen we deze afgeleide via een limiet. f ( x  h)  f ( x ) a x h  a x f '( x )  lim  lim h0 h0 h h a x  ah  a x (ah  1)  a x  lim  lim h0 h0 h h h (a  1) x  lim a h0 h f (0  h)  f (0) a0  h  a0 f '(0)  lim  lim h0 h0 h h (ah  1)  lim h0 h f '( x )  f '(0)  a x

Let op: Als het grondtal e (2,718…) is dan geldt: f(x) = ex en f ’(x) = ex Willem-Jan van der Zanden

39

9.4 Het grondtal e [2] Rekenregels voor de e-macht: e e  e p

q

 

q

ep

q

ep [1] q  e pq e

[2]

 e pq [3] (ae )p  a pe p [4]

e0  1 1 q

p q

e  e

[5] e  n  p q

1 [6] en q

[7] e  e p [8]

Let op: Dit zijn dezelfde rekenregels voor machten zoals je eerder geleerd hebt.


40

9.4 Het grondtal e [2] Voorbeeld 1: Herleid: (e2x + 3)2 (e2x + 3)2 = (e2x)2 + 2 · 3 · e2x + 32 = e4x + 6e2x + 9 Voorbeeld 2: Los algebraïsch op: e2x + 2ex = 3

e2x + 2ex = 3 (ex)2 + 2ex – 3 = 0 p2 + 2p – 3 = 0 (p – 1)(p + 3) = 0 p = 1 of p = -3 ex = 1 of ex = -3 ex = e0 geen oplossing x=0

Neem ex = p


41

9.4 Het grondtal e [3] Herhaling rekenregels voor differentiëren: f(x) = a => f ’(x) = 0 f(x) = axn => f ‘(x) = naxn-1 f(x) = c ⋅ g(x) => f ‘(x) = c ⋅ g’(x) f(x) = g(x) + h(x) => f ‘(x) = g’(x) + h’(x) p(x) = f(x) ⋅ g(x) => p‘(x) = f ’(x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅ g’(x)

q( x ) 

t( x ) n( x )  t '( x )  t( x )  n'( x )  q '( x )  n( x ) (n( x ))2

(som - regel) (product - regel)

(quotiënt  regel )

Voorbeeld 1:

f ( x )  5e x 

1  5e x  x 3 3 x

f '( x )  5e x  3x 4  5e x 

3 x4 Willem-Jan van der Zanden

42

9.4 Het grondtal e [3] Voorbeeld 2: g(x) = (3x2 + 3)ex – 3ex g’(x) = [3x2 + 3]’⋅ ex + (3x2 + 3)ex ⋅ [ex]’- [3ex]’ g’(x) = 6x ⋅ ex + (3x2 + 3)ex – 3ex g’(x) = (6x + 3x2 + 3 – 3)ex g’(x) = (3x2 + 6x)ex Voorbeeld 3: 6x  5 ex e x  [6 x  5]' [e x ]'  (6 x  5) h'( x )  (e x )2 h( x ) 

e x  6  e x  (6 x  5) e x  (6  6 x  5)   2x e e2 x 1  6x  ex Willem-Jan van der Zanden

43

9.4 Het grondtal e [3] Voorbeeld 4 (Combinatie kettingregel en productregel): f(x) = 2xe3x-6 f ‘(x) = [2x]’ ⋅ e3x-6 + 2x ⋅ [e3x-6]’

[productregel]

[2x]’= 2 en [e3x-6]’ u(v) = ev met u’(v) = ev. v(x) = 3x – 6 met v’(x) = 3

[kettingregel]

[e3x-6]’ = u’(v) ⋅ v’(x) = 3e3x-6 f ‘(x) = [2x]’ ⋅ e3x-6 + 2x ⋅ [e3x-6]’ = 2 ⋅ e3x-6 + 2x ⋅ 3e3x-6 = (6x + 2) ⋅ e3x-6


44

9.4 Het grondtal e [3] Voorbeeld 5 (Combinatie kettingregel en quotiëntregel): e 2 x 1 g( x )  2 x 6 ( x 2  6) [e2 x 1 ]' [ x 2  6]' e2 x 1 g '( x )  ( x 2  6)2 [ x 2  6]'  2x en [e2 x 1 ]' u(v )  e v met u '(v )  e v . v( x )  2x  1 met v '( x )  2 [e2 x 1 ]'  u '(v )  v '( x )  2e2 x 1 ( x 2  6)  2e2 x 1  2x  e2 x 1 g '( x )  ( x 2  6)2 (2x 2  2x  12)e2 x 1  ( x 2  6)2 Willem-Jan van der Zanden

45

exponentiële standaardfunctie

Recommend Documents