ELJÁRÁSOK ELoíRT TERGÖRBERE ıLLEszKED0 FELULET ÁLTAL EURKOLT FORGÁSFELULET szÁMtTAsARA BANCSIK ZSOLT Kézírat beérkezett: 1976. február 6-án.
1. Bevezetés Egy hengeres fogazat fogfelületét megmunkáló modulujjmaró vagy pnıttlnı tmım ıılkorong, továbbá hengeres lefejtőmarók homlok- és hátfelületét, prutiltalı ı`sıınınıı'ıL lntt
Iz-lületét megmunkáló proñlos korongok tervezésénél és más hasonló esetvklwn ııı elmıllı
aa
20
1
R ?'
Eb
J
to
O
Í
eo i a4 Í \
W
a?
al Í
O
Í
Ă
62
el
1. ábra NME Közleményei, IV. Sorozat, Természettudományok. 22(197ó), 167--179
lo-7
tandó felület egy felületi görbével - fogpro llal, alkotóval, tervezési forgácsoló éllel - és a gyártó mozgással - forgó-, csavar-, vagy az ún. arkhimédészi hátramunkáló mozgással közvetve adott. A szerszám tengelyének megválasztása után meghatározandó az a forgásfelület, amelyet az adott mozgás során egy, az előírt görbére illeszkedő felület burkol. Ezeket a feladatokat a gyakorlatban részben az egyes konkrét esetekre kidolgozott, elvileg pontos szerkesztő-számító módszerekkel, részben közelítő módszerekkel oldják meg. A dolgozat célja lehetőleg általános és egzakt, programozásra alkalmas eljárás kidolgozása az ilyen típusú feladatok megoldására. Két merevnek tekintett Ea és Zb térrendszer relatív helyzetét a koordinátarendszereik közötti transzformáció mátrixával jellemezzük. Legyenek Ea-nak a Eb -ben felírt jobbsodrású, ortonormált bázisvektorai al , ao, as, a kezdőpont helyvektora pedig a4, továbbá egy tetszőlegesR pont helyvektora Ea-ban ra, Eb -ben rb (I. ábra). F. L. Litvín nyomán [6] a transzformáció idejére egészítsük ki a pont koordinátáit negyedik (speciális homogén) koordirıátaként 1-gyel, a vektor koordinátáit 0-val. Ezután a transzformációt
r =M r =[a,aza,a4]r = b ba a a
Űıı U12 018 014 421 022 “zs 024
fia "24
031 Us: 088 084 0 0 0 1
"28 1
alakban írhatjuk. Ilyen módon pont és vektor transzformálása egyöntetűen jelölhető A transzformáció inverzének mátrixa (kihasználva, hogy ci és ai (i = l, 2, 3) jobbsodrású ortonormált rendszerek):
Mab =
_
=
U11 021 Űsı bı-J 412 022 Has Ö24 an E23 ass ba
0
0
0
3
31101 bi4= - JŠI ű űjo _
1
Ha a két rendszer helyzete az idő, vagy valamilyen geometriai mozgásparaméter függvényeként változik, a transzformáció mátríxának elemei a paraméter függvényei lesznek. 2. A forg elület meghatározása Legyen tehát adott a munkadarab Em és a szerszámtartó u, v, w bázisvektorú 2, terének relatív mozgása az Mm(zp) vagy MM (ıp) mátrixszal és Em -ben az eloírt g görbe az a < t < b intervallumon folytonosan differenciálható rm = tm (I)
168
Zr
/
1
._____P\
/
\
/
, `--~-<(
.,„
\\
'
\ ) yi \
ym
én Zlıábra
vgvcııletével (melyre rm=# 0),vagy legyen adott egy ilyen görbe néhány pontja a pontlıelı eıíiııtővektorokkal. Meghatározandó a 2, rendszer vv irányú zo tengelye körüli azon torg:ısl`elület, melyet az adott mozgás mellett az előírt görbére illeszkedő felület burkol. ( A torg:ıst`elületet profilpontjaival és azokban az érintő irányaival határozzuk ıııeg). Tegyük fel, hogy létezik a Er-ben olyan zt tengelyű p forgásfelület. amelynek az zilln Em térrendszerben egy, az előírt g görbére illeszkedő o felület a burkolójıı (J. fıbm) A „O = po paraméterértékhez tartozó mozgásállapotban érintse a p l`orgást`elillet ıı ıı Inn kııIı'ıl`elületet egy ko momentán karakterisztikus görbében. s legyen ennek az elfítıt g gm lıevel közös pontja a to paraméterértékhez tartozó P0 pont. P0 tehát ebben ıı ımııgıtıılllu pnthan a két felület közös, a burkolás miatt érintkezési pontja. P0 lıelyvekııııaıı Elm lwn
'mo = f„z(f„)§. lıeıı Í
rto : Mtm (500) tm (to
H l Hill
A szerszám 2,-ben zÍ körül forgó terét nevezzük Es-nek, a E, és Es rendszerek A kezdőpontja azonos, valamint zt és zs tengelyeik egybeesnek. A 28-nek a zt körüli tb szöggel való elfordulását egy további costlı - sin ılı
Ma (W:
sinılı 0 costlı 0
0 0
o
o
1 O
0
0
0
1_J
transzformációs mátrixszal jellemezzük. Válasszuk ılı = (bo - t úgy, hogy az xS, Zs Sík P0zitív xs-et tartalmazó fele illeszkedjék Po-ra (3. ábra). A burkolás miatt Po -ban az előírt g görbe co érintővektora és a oo paraméterértékhez tartozó momentán mozgás sebességének do irányvektora o érintői. A Z,-ben (1)-ből: 6:0 =
L0-> O: É'W
°"U
ôr
ato = --1 ago P0
y,
(2 )
iz;
fi. I
\
\\
ro=-'qo
I
ge 1.4'
Ds \
"
j
I
" . ~1:P “N “N I I
HH
3. ábra
l70
" tl
Ebben a mozgásállapotban az Ilo = eo X do ıı a és p közös, Po-beli felületi normálisa, így legalábbis konplanáris kell legyen a p forgáıı tel nlet zo tengelyével, azaz ->
APo no w = 0. A kapott egyenletet tetszőleges zp, t értékekre felírva például 2,-ben az F(tp,t)==ronowt=0
(J)
egyenletet kapjuk, ami a ip és t közötti függvénykapcsolatot adja meg aza -4. r - b tnıvı vallumban, feltéve, hogy ott F; és F; létezik, folytonos és Fof -+- Ff I tl. Az így egymáshoz rendelt to, t értékpárokhoz például 2:-ben a forgásfelület |>I`0Iill|mııtlınınılı 1*.. beli koordinátái a xo= |woX rtl , zo= wo ro ıııódon, ılı-től függetlenül számíthatók.
Ezután meghatározzuk a profil Po -beli érintővektorát, megmutatva. lıogy ııı. valo ban merőleges az no vektorral arányos _)
PoT =7\w-ro -->
vektorra (3. ábra). Itt, mivel Po T merőleges az eo és do vektorokra, -)
_)
eoIoT = do foT=0-ból )(_.
_.. Ocie"
00
go Q-ion' °H
lv
További számításainkat Zo-ben végezzük, ahol Po T koordinátái: (- xo; 0; Ă `- zo). A (3) parciális deriváltjairól korábban tett feltételeink alapján kiválasztlıatú az a< t
v>;=`-
aˇ`*1|$*! 17|
is létezik és folytonos. Az I intervallumhoz a 1,0 = zp(t) függvényen át a ES-ben a
q_,= iX,(f); 0; 2o(f)l
(4)
egyerıletű profılívet határoztuk meg. A (4) pro lív érintővektora Po -ban (2) alapján:
qoo ={.so(:o); O; .=zo(zo)}= *-
jöv ×r )((w Xe, )+(w ×f1)v>`(f)) Í
iq-
tf* -l°----------° lwrx rrol
;0;we r ro +wd r ro tp'(t O )}.
Ezután a két vektor skaláris szorzata <.1oP-o)T = -- (WIX roo)((w, X eoo) + (WÍX d,o)t,o”(ro )) + + (°ro+ dre V, (Ío))Ízo_` Wir; (were + Wr dro tP,(Ío )) = 0, (5) mert az első tag ciklikus csere után -((woX eoo)X wo+ (wtXdoo) X w tp'(to)) roo alakra, majd a kifejtési tételt alkalmazva (wf= 1 miatt) _ (ere _" wr(wrero) + dro _ Wr(dro wr)) love D rro
`
alakra hozható. A profilgörbe iránytangensét tehát az egyszerűbb
is. = lis. zo
xy
alakban számíthatjuk. A (4) proñlív a szerszám forgása révén a
<ı,= M,,(v) <ı,(f) egyenletű forgásfelületet állítja elő, majd a Eo mozgása révén Em -ben a
am = M„, ,(v) M,,(\l/) <ı,(f) = q,„(f; ív; vv) egyparaméteres felületsereg egyenletet kapjuk. A burkolófelület egyenletrendszere:
172
q„,= q„,(f; ~11; v).
(6)
<ı`<ı'<ı'=0mt mtb mıp
(7)
.Hz zı Em -ben súrolt c sugarú am I axoidhengerrel is, melyek egymáson alkotó iránybını . ııısıvzı gordülnek (4. ábra). Ebben az esetben
M„,,(v) =
cosq: sinıp
- sinzp 005,0
CC
ČCD
ctp
po
.
(8)
@ ""'
@ı-@@
.ılnıl «- ıı radiális, p az axiális mozgás tényezője. Speciális esetként c = 0 a zm tengelyű csa t-.ıı ıııozgzíst, p = 0 a tisztán radiális hátramunkálást, c = p = 0 a zm tengelyü forgási lf'|ı`|ılI.
zo.(0) ı zm
--'Il “mr
“fm
l ?P Ü
>
-5-
xl' (lo)
y10:9)
a
.L
`\
°
'"'
(0)
0L„„ (vv)
4 .ı'o(tp)
ym yf (0)
ı
\
1 “P
y,(v>) )Ct(Ü) H Xmá P
4. ábra l7_i
Ha az előírt görbe diszkrét pontjaival vagy t bonyolult függvényével adott (pl. tervezési forgácsoló él), a görbe pontjaihoz száınitjuk a (3) egyenletet kielégítő ip értékeket, mig ha az előírt görbe egyenes, célszerűbb a ip különböző értékeihez tartozó t értékeket számítani. Ha ismert a Em -ben az előírt görbe rm o helyvektorú Po pontja és Po -beli emo érintője, akkor a (3) egyenletben szereplő
=,(~P) = M„,, (iv) °„, o. d,(v>) = M§„, (v) f,,, 0 vektorok, s így no is csak a ip függvényei. A számítások részletezése nélkül a (3) egyenlet F =Ao sin*ip + Ao siniocosip + Ao coszip + Aosinip + As cosip + Ao + + ip(A.,fsinip+Ao cosia+Ao) = 0
(9)
alakban írható, ahol az AI. együtthatók már ip-től függetlenek. Mivel az Fo:= -Ao sinzip + (2Aı-- 2Ao) sinio cosip +Ao coszip + (A7 - A5) sinip + + (A4 + Ao) cosip + Ao + ip(Ao cosip -Ao sinip) kiszámitásának nem nagy a műveleti igénye, javasoljuk (3) megoldására a vk
_ opk
*l
FÜPK)
F;,o,,)
Newton - Raphson módszert. Feltéve, hogy a tervezési ip = 0 helyzetben az előírt görbe valamely (pl. osztóhengeri) Po pontjához egzakt vagy közelítő módon illesztettük a tengelyt, ehhez a ponthoz a ipo= 0 kezdőértéket, míg - sima görbét és elég sűrű pontsort tételezve fel - a további pontokhoz válasszuk mindíg az előző, szomszédos pontra vé gzett iteráció eredrrényét kezdőértékül. Ha az iteráció befejezésének feltételét
l f_(i_Prl Í < o Š ...L Pz,Í(v>,,)
|do,l
módon választjuk, biztosítjuk, hogy a számított profilpont érintőirányú eltérése előírt E alatt marad. Fo:(ip) folytonossága ırıiatt, a fenti módon választott jó kezdőértékek mellett célszerű lehet a I74
Megmutatjuk, hogy a g görbe tetszőleges to paraméterértékű Po pontja az egyenletet ıı r == to, ilı = ilı o, ie = ipo paraméterértékek mellett kielégíti. A (6) teljesülése. vagyis lıııgy
r„,(f„) = q„,(fo; vo; vo) li ıvlıílís, hiszen éppen ebben a mozgásállapotban számítottuk a Po -al egybeeső profllpontot (J. ábra). A (7) teljesüléséhez megmutatjuk, hogy a szereplõ vektorok valamennyien ıııeıttlegesek no-ra. A qmrl Po = Mmt`(la0) Mrs (wo) (iso
vektor a profil érintővektora a Em-be transzformálva. Ez (5) alapján merőlegeı no ıiı. A qlniv | P = Mmr("P0)M;s(*Í'o) qso 0
vektor a profılpontnak a zo körüli forgatásából származó momentttn ıebeııitgliiıınjıiınııı se. ezért merőleges no -ra. Végül az
M,,,,(v) <ı„,(f; ill; iv) = <ı,(f; ill) vektoregyenlõséget ip szerint deriválva
M'„,,(v) <ı„,(f; iv; iv) = -M,,,,(v>) <ı;,,,,, következik. Vegyük az egyenlőséget aPo helyen, használjuk ki (6) teljesülését és szoriıı. ıımk balról - M mt(ip)-val, akkor
` M„„(v.>
A vegyesszorzat tényezői konplanárisak, tehát (7) is teljesül. A g görbe tetszőleges Po pontja tehát valóban pontja, de nem biztos, hogy reguláris pontja a burkolófelületnek. Konkrét esetben további vizsgálat tárgya lehet az el- és alámetszés is. 3. Hibabecslés A (3) transzcendens egyenletet valamilyen közelítő módszerrel oldjuk meg. A meg oldzís során például az adott ro -hoz tartozó pontos ipo érték helyett egy közelítő
80 = vo -` Air eıtékct kapunk, s ezzel számolunk tovább. Igy a pro lpont pontos qoo helyvektora helyett is közelítő l7S
(18: qıo "ˇ Aqs értékek adódnak. A Aqo becsléséhez linearizáljuk a
qs = M8r( W 'r kifejezést Po környezetében: Aqsz AW Msrwo) dm' Mivel azonban csak az xo és zo koordináták számított értékek (yo= 0), az eltérés csak a do -nak az xo, zo síkra eső doo vetületével arányos, tehát
ıAq,ı zl Avı ı iı,,ı, a Aqo iránya pedig a profil-érintő irányával egyezik meg. A (3) egyenlet ip helyen felvett értékének becsléséhez transzformáljuk (3)-at Eo-be és közelítsük a momentán mozgást d0 irányú eltolással (ez noo elhanyagolását jelenti), akkor F(ip; to) w- Aip doo noo wo. Jelöljük do -nak az xo , zo síkra merőleges összetevőjét doo -vel, akkor
|F(v>; ro)l '-vlâvl ldool |no× wl. Ha most |F( P; to)| <õ , akkor
IAvl<
5
ıiıooıı„o><wı`
Innen
ıAq,ı <
6
ızı°*'
|do,l|no×wl
-
Fenti becslésünk módot ad az eljárás ipo környezetében teljesülendő feltételeinek megfogalmazására is: A doo ah 0, azaz a momentán mozgás iránya nem eshet a Po , zo síkba, lnol # 0, azaz a görbe iránya eltér a momentán mozgás irányától, lno X wl 7'= 0 a burkoló felület normálisa nem párhuzamos a szerszám tengelyével (Ă véges). 4. Alkalmazás speciális mozgásokra Alkalmazzuk módszerünket a gyakorlatban jelentős arkhimédészi hátramunkálásra. E mozgás jellemezhető a momentán csavartengely által Eo-ben súrolt am axoidsíkkal |7t>
„M „, gk „ F_(*°rl F;,(w„)
módosított Newton-módszer alkalmazása is. Bizonyos esetekben, ahol p elég nagy (mint például a lefejtőmarók homlokfellllelól köszörülő korong profiljának számításakor) a (9) rendezésével nyert. AJ sin2zpk+ Az singak cosçık +A3 co? «pk+ A4 siıwk + Aıcoszpk + A.
1
A., sın«,0k+A, c0s«,0k+A,
iterációs egyenlet is elég gyorsan konvergál a megoldáshoz. Csavarmozgús csclé ıı (ı` I- U) ıı fenti iterációs egyenletek A1 = A2 = A3 = 0 miatt még egyszcrűsödııek. 5. Alkalmazás előírt egrenes esetén Az általános feladat másik specializálásaként legyen az elölrl görbe rm = bm+ tem egyenletű egyenes (pl. evolvens fogazat fogolda1a,lefejtõmaró hoıııloklellılele l. ml; mm gılsként tetszőleges Mm(ı,o)mátrixsza1leírt mozgást tekinthetünk. lrjıık lel ııııııl n l I) egyenlet Em -be transz:formált F(«p; t) = (rm- am) nm wm ulakját. Az itt szereplő Vektorok közül rögzített :po mellett tm és nm liııeáıisuıı lııggeııek r-től, míg a többi vektor t-től független. Igy t-re az F=At2+Bt+C=0
másodfokú egyenletet kapjuk, ahol az A, B, C együtthatók már csak ip-től függeııck. Dmhos István [5]-ben erre az egyenletre speciális esetben (lapos zárt torzcsavarfelülct) konstruktív bizonyítást ad. A tervezési helyzetből kiinduló, egyenletesen lépte tett gp értékekhez a pro lgörbén sűrűsödõ pontsort kapnánk. Célszerű tehát ip lépéshosszál az
előző proñlpontok távolságának figyelembevételével úgy vezérelni, hogy a száııılioıl pm lllpontok távolsága előírt korlátok közt maradjon. Ha eljárásainkat egy köszörülési feladatra alkalmazzuk, a korong * lehılzılsiı szeıeıı esés esetben a korong tengelyirányú előtolásával megvalósítható, így a korong teljes ko pásálg egyetlen számított profl megvalósítása a feladat. Más-esetben a korong kopılsıll ıı tengely másirányú elmozdításával ellensúlyozhatjuk. Ilyenkor általában a prol`ll is ııınılııııul, tehát pro lok sorozatát kell a tengely helyzeteinek megfelelően számítani és ezekkel ii korongot szabályozni. Mindkét feladathoz találhatók alkalmas berendezések. IˇH
Összefoglalás Előírt térgörbére illeszkedő felület adott mozgás során történő megmunkálásához gyakran kell forgásfeliilet akıkú szerszámot tervezni. A dolgozat célja lehetőleg általános és egzakt, programozásra alkalmas eljárás kidolgozása a szerszámpro l meghatározására. Az eljárás elvének igazolása után a gyakorlati alkalmazás lehetőségeit vizsgáljuk, ha az adott mozgás arkhimédészi hátramunkálás, illetve ha az eloırt térgörbe egyenes. IV!
IRODALOM
[1] [2] [3] [4] [5]
BANCSIK ZS.: Numerikus és optimalizálási módszerek alkalmazása lefejtőmarók szerszám- és gyártásgeometriai rnodelljeinek számítógépes vizsgálatában. Pályázat NME 1975. (kézirat) DRAHOS I.-BANCSIK ZS. :A fogaskerék-lefejtőmarók geometriájának számítógépes tervezése. Gépgyártástechnológla 4, 1976, 143-145. p. DRAHOS l.--BANCSIK ZS.: A hengeres lefejtőmarók gyártásgeometriai modellje és eljárások annak számítására. Műszaki Tudomány 50, 1975, 253-275. p. DRAHOS I. : A szerszámgeometria mozgásgeometriai alapjai.A BME Továbbképző Intézetének kiadványa, Ng. 34. Tankönyvkiadó, Budapest, 197 2 DRAHOS I.: A forgácsoló szerszámok gyártásgeometriájának alapjai./zl BME Továbbképző Intézetének kiadványa, Ng. 35. Tankönyvkiadó, Budapest, 1974
[6]
LITVIN, F. L.:A fogaskerék-kapcsolás elmélete. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1972
[7]
RALSTON, A.: Bevezetés a numerikus analízisbe. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1969 PROCEEDINGS FOR THE CALCULATION OF THE ROTATIONAL SURFACE COVERED BY A SURFACE FITTING T0 A PRESCRIBED SPACE-CURVE
ZSOLT BANCSIK S u m m ary
For the machjning of a surface fitting to a specified space-curve during a given motion often must be planned a tool with a shape of a rotational surface. The aim of the report is to elaborate a possibly general and exact procedure suitable to the programming of the determination of the toolprofile. After the veri cation of the principle of the procedure the possibilities of application are examined, if the given motion is an Archimedean back-machining, or if the specified space-curve is linear. VERFAI-IREN FÜR DIE BERECHNUNG DER ROTATIONSOBERFLÃCHEN, DIE MIT EINER OBERFLÃCHE BEDECKT SIND, DIE SIC!-l AUF EINE VORGESCHRIEBENE RAUMKURVE ANPASSEN ZSOLT BANCSIK Zusammenfassung
Für Bearbeitung einer Oberfläche, die sich auf eine vorgeschriebene Raumkurve anpallit, und die Bearbeitung während einer gegebene Bewegung geschieht, mutl man oft Werkzeuge mit der Form
178
einer Rotationsoberfläche planen. Das Ziel der Arbeit ist eine möglicherweise allgemelnes und exızıktes Verfahren, das g ignet ist die Programmierung zur Bestimmung des Werkzeugproflls ııuızuıirbelten. Nach der Bestätigung des Prinzips des Verfahrens wird die Mögllchkelt der praktlschen Anwond ung gepriift, wenn die gegebene Bewegung eine Bearbeitung vom Typ Arhlmed, bzw. wenn dle vorgeschriebene Raumkurve lirıear ist.
NETOHH HHH BHHMCHEHHH HOBEPXHOCTH BPAHEHHH Hä§H EHTHO HOBEPXHOCTBD HA HPEHHMCAHHYD HPOCTPAHCTBEH D HPMBYD
Hour Baauna P e 8 n n e Hua oõpaoornn noaepxnocrn E Tevennn naanoro annmenun nn~ unaenrnoñ Ha npeanncannym ngocrpancraeunyn Kpuayn unero uyıuo npoeRTnpoBaTL nncrpyuenr c opuo noaepxaocrn spamonun. Hensn cTaTn aaaaerca paepaoorna Boauonuo Tounovo, upn roanoro oómero ueroaa R nporpauunpoaannn, ann onpnnnnnunn npoónna nacrpyuenra. Üocne onpaaaanna npnaunna ueronn unnne« aynrcn Eoanoaaocrn npnneana B npanrnae, ecnn nanuon Annıenue aarunna anna apxnneaon, ann npeanncannaa npocrpauorunuunn apu Ban npauaa.
BANCSIK ZSOLT
egyetemi tanársegéd NME Matematikai Intézet 3515 Miskolc-Egyetemváros
I.”
A NEHEZıPARı MŰSZAKI EGYETEM KÖZLEMÉNYEI
IV. sorozat
TERMESZETTUDOMÁNYOK 22. KÖTET - 1 - 3. FÜZET
MISKOLC 1976
SZERKESZTÖ BIZOTTSÁG: VINCZE ENDRE felelős szerkesztő BERECZ ENDRE, SZABÓ JÁNOS
A kiadásért felelős: Dr. Tajnafőí József rektorhelyettes Sajtó alá rendezte: Dr. Vincze Endre egyetemi tanár Technikai szerkesztő: Németh Zoltánné Megjelent az NME Közleményei Szerkesztőségének gondozásában Kézirat szedése: 1.976. június 25 - 1976. november 16., nyomása: 1977. január 5 - 1977. február 15 Példányszám: 450 Készült: IBM-72 composer szedéssel, rotaprint lemezről az MSZ 5601-59 és MSZ S602-55 szabványok szerint, 15 BI5 ív terjedelemben Engedély száma: MTTH-III-3183I1976. A sokszorosításért felelős: Tóth Ottó mb. üzemvezető Nyomdaszám: KSZ 77-1-NME
TARTALOMJEGYZÉK
Medvec Andrej ~ Szentirmai Zsolt: Anyagi pont kísérő trléderlıez vlıznnyltntt mozgása z z .ez z :~ z~ 2 ~Obádovics J. Gyula: Differenciálegyenlewendszerrel kapcsolatos Cauchy-féle prıılı léma Lp[a, b]>beli együttható fiiggvényekkel - - - -Vincze Endre: Valós kétkomponensű gyűrűk és testek előállítása függvéııyuıyııı letek segítségével ~ ~ ~ f ~ - - -V. Moszkalec - N. Rudakov - Szabó J.: Hőmérsékleteloszlás homogén ktlzellıeıı mozgó hőforrás esetén
1
1
~
- - - -
--
-
~
A
A
-~ ~
-
-
Vincze Endre: Kiegészítések az additív típusú függvényegyenletek elméletéhez, l. DO:-mány Mihály: Néhány megjegyzés a kétállapotú rendszerek mintavételes vízs-
gáızıáıõı ~
z~ z
A
ll W ltl
Mohamed Maher Ali Mohamed El-Naggar: Lineáris másodfajú operátoregyenletek numerikus megoldása javított iterációval, I. - - - - Mohamed Maker Ali Mohamed El-Naggar: Lineáris másodfajú operá toregyenletek megoldása javított iterációval, II.
I
e z - --
H9 ll3
l43
ı49
Dormány Mihály: Egy dichotom döntési probléma megoldása szekvenciális minta-
võıeıezésizijázzisszı
z
zz z
~ - - - - --
7- --
Hancsik Zsolt: Eljárások előírt térgörbére illeszkedő felület által burkolt forgás~ felület számítására - - - -- - --- - -- - - - - - - - --
189 l67
