Elektromos áram U - telep a) b)

TÓTH A.: Elektromos áram/1 (kibővített óravázlat)

1

Elektromos áram Ha elektromos töltések rendezett mozgással egyik helyről a másikra átmennek, elektromos áramról beszélünk. Elektromos áram folyt pl. egy korábbi kísérletünkben, amikor a töltött elektrométerről a töltetlenre töltések mentek át a két elektrométert összekötő, nyugalomban lévő vezetőn keresztül, de elektromos áram jön létre akkor is, ha egy töltött testet a töltéseivel együtt elmozdítunk. Ha elektromos töltések egy nyugalomban lévő vezető anyag belsejében az ott fennálló elektromos erőtér hatására mozognak, akkor a létrejött áramot vezetési (vagy konduktív) áramnak nevezik. Abban az esetben, ha a töltések mozgása azért következik be, mert a töltéseket hordozó test vagy közeg mozog, és vele együtt mozognak a töltések is, a létrejött elektromos áramot konvektív áramnak nevezik. A továbbiakban – nagyobb jelentősége és egyszerűbb leírása miatt – elsősorban a vezetési árammal foglalkozunk. Egy anyagban vezetési áram létrejöttét az teszi lehetővé, hogy az elektromos töltések az anyagokban kisebb vagy nagyobb mértékben hosszú távú mozgásra képesek. A különböző anyagokban különböző töltéshordozó részecskék mozoghatnak (elektronok, ionok), és a töltésmozgás különböző mechanizmusokkal valósulhat meg. Ahhoz, hogy egy anyagban töltésáramlás induljon el, az anyag belsejében elektromos erőteret – pontjai között elektromos potenciálkülönbséget – kell létrehozni. Azt a jelenséget, hogy az anyagban elektromos erőtér hatására elektromos áram jön létre elektromos vezetésnek nevezik. Adott elektromos térerősség hatására a különböző anyagokban különböző erősségű töltésáramlás jön létre, vagyis az anyagok az elektromos vezetés szempontjából különböző tulajdonságúak. Ahhoz, hogy a töltéshordozók állandóan egy irányban mozogjanak, vagyis az anyagban állandó elektromos áram jöjjön létre, benne állandó elektromos erőteret (potenciálkülönbséget) kell fenntartani, és biztosítani kell, hogy mindig legyenek mozgásképes töltéshordozók. Elektromos erőteret (potenciálkülönbséget) egy anyagban létrehozhatunk pl. úgy, hogy két végét egy feltöltött kondenzátor két fegyverzetéhez kapcsoljuk (a) ábra). Ekkor az anyagban az U potenciálkülönbség hatására létrejön egy elektromos áram, de ez az áram előbb-utóbb megszünteti a potenciálkülönbséget: ha pl. az anyagban a pozitív töltések tudnak mozogni, +

+ anyag

anyag

U +

+ -

+

+

+

+ kondenzátor a)

U E + Fel +

-

+

munka telep b)

akkor a magasabb potenciálú (pozitív töltésű) oldalról a pozitív töltések átmennek az alacsonyabb potenciálú (negatív töltésű) oldalra, ahol semlegesítik a negatív töltéseket (a kondenzátor „kisül”), így az áram is megszűnik.


2

Az állandó áram fenntartásához a kondenzátor helyére tehát egy olyan eszközt kell elhelyezni, amely a negatív oldalra megérkező pozitív töltéseket visszaviszi a pozitív oldalra, ezzel fenntartja a potenciálkülönbséget, és egyúttal biztosítja, hogy a pozitív töltések újra körbemenjenek az anyagban. Ilyen eszközök léteznek, ezeket áramforrásoknak, feszültségforrásoknak, vagy telepeknek nevezik. Az áramforrás működésének alapelve a b) ábrán látható, ahol ismét pozitív töltéshordozókat tételeztünk fel. Az áramforrás a töltésmozgást akadályozó (az ábrán Fel erőt kifejtő) elektromos erőtér (E) ellenében munkavégzés útján a pozitív töltéseket az áramforrás belsejében visszaviszi a telep pozitív oldalára, és így az áram állandóan fennmarad. Az áramforrások működéséhez szükséges munka többféle folyamat segítségével biztosítható, leggyakrabban speciális kémiai reakcióból származik. Az áramforrások működésével később foglalkozunk. Az elektromos áram alaptörvényei Most – anélkül, hogy az egyes vezetési mechanizmusokat, az egyes anyagok vezetési tulajdonságait megvizsgálnánk – az elektromos áram általános leírására alkalmas mennyiségekkel, az elektromos áramra vonatkozó általános törvényekkel foglalkozunk. Egyelőre azt tételezzük fel, hogy a töltéshordozó részecskék pozitív töltésűek, mert – történeti okok miatt – az áramra vonatkozó megállapodások is pozitív töltéshordozók esetére vonatkoznak. Az áramirányra vonatkozó ilyen megállapodás látszólag problémát okozhat azokban az esetekben, amikor a töltéshordozó töltése negatív (ez a helyzet pl. a vezetőknek nevezett anyagokban, amelyekben az elektronok mozognak). A töltésmozgás hatása szempontjából azonban semmilyen probléma nem jelentkezik, mert elektromos erőtérben a pozitív töltések a térerősséggel egy irányban, a negatív töltések pedig a térerősséggel szemben mozognak. Ha pl. az áram egy feltöltött kondenzátor két fegyverzetét összekötő vezetőben a „+” fegyverzetről a „-„ felé folyik, akkor ez pozitív töltéshordozók esetén azt jelenti, hogy a kondenzátor kisül, hiszen a „+” fegyverzetről elmennek a pozitív töltések a „-„ fegyverzetre, ahol semlegesítik a negatív töltéseket. Ha a töltéshordozók negatív töltésűek, akkor ugyanilyen áramirány esetén a negatív töltések a „-” fegyverzetről a „+„ felé (tehát a „hivatalos” áramiránnyal szemben) mozognak, és ugyanezt eredményezik, vagyis a kondenzátor kisül. Természetesen, ha kíváncsiak vagyunk az áramvezetés mechanizmusára és az anyag vezetési tulajdonságaira, akkor meg kell vizsgálni, hogy a valóságban milyen töltéshordozók, milyen módon mozognak. Alapfogalmak, az elektromos áram jellemzése Az áram közelítő jellemzésére használhatjuk a vezető keresztmetszetén egy irányban átfolyt töltés (∆Q) és az átfolyási idő (∆t) hányadosát: ∆Q I≈ . ∆t Az így definiált I mennyiség a ∆t időtartamra vonatkozó átlagos elektromos áramerősség. Ha az áramerősséget egy adott időpillanatban akarjuk megadni, akkor az ∆Q dQ = I = lim , ∆t →0 ∆t dt mennyiséget használhatjuk, amit pillanatnyi elektromos áramerősségnek nevezünk. Ha az áramerősség időben nem változik, akkor az elektromos áramot időben állandó-, idegen szóval


3

stacionárius áramnak nevezik. A definíció alapján az áramerősség SI egysége: 1 C/s= 1 amper= 1 A. Az áramerősség a keresztmetszetre vonatkozó átlagos mennyiség (a keresztmetszet különböző részein különböző lehet a töltésáramlás üteme). A keresztmetszeten belüli lokális töltésáramlás jellemzésére vezették be az áramsűrűséget, amelynek nagyságát közelítőleg egy az áramlás irányára merőleges ∆A⊥ nagyságú elemi felületelemen átfolyó ∆I áram és a felület hányadosa adja meg (a) ábra): ∆I j≈ . ∆A⊥ A felület egy pontjában az áramsűrűség pontos értékét a már ismert módon kapjuk: dI dI ∆I I = lim = j= ∆t →0 ∆A dA⊥ dA⊥ ⊥ (az áramsűrűség számértéke: egységnyi felületen egységnyi idő alatt áthaladt töltés). Az áramsűrűség SI egysége: 1 A/m2. Ha az áramsűrűséggel egyúttal az áram irányát is A A⊥ A⊥ jellemezni akarjuk, akkor olyan vektorként definiálhatjuk, amelynek iránya az áramlás uI I α irányával egyezik meg (a) ábra): j uI I dI j = ju I = uI , dA⊥ ahol uI az áram irányába – vagyis a pozitív a) b) töltések mozgásirányába – mutató egységvektor. Az a tény, hogy annak idején az áram irányát a térerősséggel azonos irányban mozgó töltések – vagyis a pozitív töltések – mozgási irányaként definiálták, azzal a következménnyel jár, hogy ha a töltéshordozók negatív töltésűek (ez a helyzet pl. a fémekben), akkor az áram iránya ellentétes a töltéshordozók tényleges mozgási irányával. Ha a felületelem nem merőleges az áramlás irányára (b) ábra), akkor ∆A⊥ = ∆A cos α miatt dI ∆I j≈ j= illetve . ∆A cos α dA cos α Ugyanez vektori alakban dI j= uI . dA cos α Ennek alapján egy ∆A felületelemen átfolyó ∆I áram kifejezhető az áramsűrűség nagyságával is ∆I = j∆A cos α . Ezzel egy véges felületen átfolyó teljes áram is megadható, ha az egyes felületelemeken átfolyó ∆I áramokat összeadjuk: I ≈ ∑ ji ∆Ai cos α i . i

******************* ****************** ******************** Ha

bevezetjük a felületelemre merőleges felületvektort (baloldali ábra), akkor

∆A = ∆Au N

látható, hogy az α szög éppen a felületvektor és az áramsűrűség-vektor által bezárt szög. Ezért az elemi felületen átfolyó áram e két vektor skaláris szorzataként is felírható:

I

∆ A1

A

A⊥ α

uN

α ∆A

j

j1 ji ∆ Ai


4

∆I = j∆A . Véges A felületen átfolyó teljes áram ennek alapján (jobboldali ábra): I = lim

∆Ai →0

∑ ji ∆A i = ∫ jdA . i

A

******************* ****************** ********************

Ohm törvény, elektromos ellenállás, vezetőképesség

I (A)

Az áramot okozó U potenciálkülönbség (feszültség) és az I áramerősség között a mérések szerint (ábra) lineáris összefüggés van: R=U/I=20/4=5 ohm I ~U , 6 szokásos alakjában 4 1 I= U U = IR . illetve R 2 Itt R adott vezető és adott körülmények között 0 állandó, értéke az I–U grafikonból meghatározható. 0 10 20 30 Az összefüggés Ohm-törvény néven ismert. Az R U (V) jellemző a vezető elektromos ellenállása, ami függ az anyagi minőségtől, a vezető geometriai adataitól és a körülményektől (pl. hőmérséklet). A definíció alapján az ellenállás egysége: 1 V/A=1 ohm=1 Ω. Az ellenállás elnevezés onnan származik, hogy értékének növelésekor – egyébként azonos körülmények között – a vezetőn folyó áram csökken, vagyis a vezetőnek az árammal szemben tanúsított „ellenállása” nő. Egy vezető ellenállása a mérések szerint függ a vezető anyagától, a vezető geometriai adataitól (méret) és a fizikai körülményektől (pl. hőmérséklet). Egyenletes keresztmetszetű vezető ellenállása Ohm mérései szerint arányos a vezető hosszával (l) és fordítva arányos a vezető keresztmetszetével (A): l R~ . A Az arányossági tényezőt ρ-val jelölve, az ellenállás l l R=ρ A (néha ezt a törvényt is Ohm-törvénynek nevezik). A ρ arányossági tényező a vezető geometriai adataitól már nem I függ, csak a vezető anyagától. Ezt az anyagjellemzőt a vezető A fajlagos ellenállásának nevezik (SI egysége: 1 ohm⋅ m). KÍSÉRLET: ♦ vezető dróton állandó áramot átfolyatva a feszültség a drót mentén a mért drótszakasz hosszával arányos, mert U~R és R~l. Hasáb alakú vezető méreteit és ellenállását megmérve, fajlagos ellenállása kiszámítható: RA . ρ= l Az Ohm-törvénynek egy másik alakját kapjuk, ha figyelembe vesszük, hogy egyenletes A keresztmetszetű, l hosszúságú vezető esetén a vezető végei közti feszültség a térerősséggel, az áram pedig az áramsűrűséggel az alábbi módon fejezhető ki: U = El és I = jA .


5

Emiatt az U = IR Ohm-törvény alapján j= Bevezetve a γ =

1

ρ

l 1 E= E. RA ρ

jelölést a j = γE

összefüggést kapjuk. A fajlagos ellenállás reciprokaként definiált γ szintén csak a vezető anyagi minőségétől függ; ez a vezető fajlagos vezetőképessége (egysége 1/(ohm⋅m)=ohm-1m-1). Az elnevezés azzal kapcsolatos, hogy ha γ nagy, akkor az anyag jól vezet (ellenállása kicsi). A fajlagos vezetőképességgel (rövidebben: a vezetőképességgel) az áramsűrűség és térerősség összefüggése vektori alakban j = γE , amit differenciális Ohm-törvénynek neveznek. Az Ohm-törvénynek ez az alakja – amit hasáb alakú vezetőnél vezettünk le – általánosabban is érvényes: egy vezető tetszőleges helyén megadja a térerősség és az áramsűrűség összefüggését (lokális törvény). Az Ohm-törvény csak akkor teljesül, ha a vezetés során a fajlagos vezetőképesség nem változik. Ezt azért fontos megjegyezni, mert a vezetőképesség általában függ a körülményektől (pl. a hőmérséklettől). Így pl., ha egy vezetőben nagy áram folyik, akkor felmelegszik, és megváltozik a vezetőképessége, ezért az I⇔U összefüggés nem lesz lineáris (a mérés során az összefüggés különböző szakaszai különböző hőmérsékletekhez tartoznak). A törvény vezetőkben állandó körülmények között általában jól teljesül, de vannak anyagok (pl. gázok), amelyekben már viszonylag kis térerősség esetén is eltéréseket tapasztaltak a törvénytől. Erről a vezetési mechanizmusok tárgyalásánál lesz szó. Az elektromos áram molekuláris modellje Meglepő tapasztalati tény, hogy állandó feszültség (tehát állandó elektromos térerősség) állandó áramot hoz létre. Ez azt sugallja, hogy a töltéshordozók valamilyen okból állandó átlagos sebességgel mozognak1. Vizsgáljuk meg most, hogy az áramerősségre milyen összefüggést kapunk, ha azt a töltéshordozók mozgásából kiindulva, molekuláris adatokkal próbáljuk kiszámítani. A v sebességgel mozgó töltéshordozók közül egy A felületen ∆t idő alatt azok haladnak át, amelyek benne vannak a ∆V = Av∆t v∆ t térfogatban (ábra). Ha a töltéshordozók töltése q, térfogati darabsűrűsége n =

∆N (n számértéke az egységnyi térfogatban ∆V

lévő töltéshordozók számával egyenlő), akkor az áthaladt töltés ∆Q = q∆N = qn∆V = qnAv∆t . Az áramerősség ennek alapján

1

+ ∆V

v

A

Ebben a modellben az önálló részecskéknek képzelt töltéshordozók – mint minden anyagi részecske – hőmozgást is végeznek, ez a mozgás azonban rendezetlen, a részecskék átlagos haladási sebessége nulla. Az itt feltételezett v sebesség az erőtér hatására létrejött rendezett mozgás sebessége, amit gyakran driftsebességnek neveznek. A driftsebesség szuperponálódik a rendszertelen hőmozgás sebességére, vagyis a részecskék továbbra is hőmozgást végeznek, de egyidejűleg mindannyian az erőtér által meghatározott irányban is mozognak.


I=

6

∆Q = qnAv . ∆t

Eszerint az áramerősség csak akkor lehet állandó, ha a töltéshordozók sebessége állandó. Az áramsűrűség nagysága a molekuláris adatokkal kifejezve I j = = qnv . A Mivel pozitív töltéshordozók esetén az áram iránya a töltéshordozók sebességének irányával egyezik, az áramsűrűség-vektorra azt kapjuk, hogy j = qnv . (Itt az áramirány definíciója miatt a v sebességvektor iránya akkor is a pozitív töltések mozgásirányával egyezik, ha a töltéshordozók negatív töltésűek, vagyis éppen az ellenkező irányban mozognak.) Ha ezt az összefüggést összehasonlítjuk a korábban kapott j = γE differenciális Ohm-törvénnyel, akkor láthatjuk, hogy teljesülni kell a v~E összefüggésnek, vagyis az Ohm törvény csak akkor teljesülhet, ha a töltések átlagsebessége a térerősséggel arányos. A fenti összefüggésekből ki lehet számítani a töltéshordozók átlagos sebességét, amire meglepően kis (nagyságrendben 0,1 mm/s) értéket kapunk. A fenti tapasztalatok pontos magyarázata a klasszikus fizika törvényeivel nem adható meg, de a valóságot közelítő, szemléletes képet kaphatunk egy egyszerű klasszikus modell segítségével. A modell szerint a töltések mozgását valamilyen fékező erő akadályozza, ami hasonló a ”viszkózus közegben” mozgó testre ható közegellenálláshoz. Egy q töltésre az elektromos erőtér által kifejtett Fel = qE erő mellett eszerint egy olyan fékező erő lép fel, amely a sebességével arányos, és azzal ellentétes irányú:

F fék = −kv . Ekkor a

mozgásegyenlet

ma = Fel + F fék = qE − kv . A fékező erő növekvő sebességgel nő, így előbb-utóbb eléri az elektromos erőtér által kifejtett erő értékét. Ekkor az eredő erő – és így a gyorsulás is – nulla lesz, és a mozgásegyenletből a kialakult állandó végsebesség ( v ∞ ) megkapható: q qE − kv ∞ = 0 ⇒ v ∞ = E . k Itt k a töltéshordozók mozgási mechanizmusától függő állandó, amely a fenti egyszerű modellből nem határozható meg. A „viszkózus” modell a valóságos viszonyokat nagyon leegyszerűsíti, de valóban azt a – tapasztalat által megerősített – eredményt adja, hogy a töltések végsebessége (ezt a továbbiakban v-vel jelöljük) arányos a térerősséggel: v ~ E , és a mozgási sebesség állandó, ha a térerősség (és így a potenciálkülönbség is) állandó. Az arányossági tényező ebből a modellből nem kapható meg, azt méréssel határozhatjuk meg. Ha a szokásoknak megfelelően µ-vel jelöljük, akkor az összefüggést az általánosan használt v = µE alakba írhatjuk. A µ arányossági tényezőt a töltéshordozó mozgékonyságának nevezik (minél nagyobb a µ értéke, annál gyorsabban mozog a töltéshordozó adott térerősség hatására). Az áramsűrűség ennek megfelelően a j = qnv = qnµE


7

alakba írható. Ez az Ohm-törvény molekuláris adatokkal kifejezett alakja. Ezt összevetve a j = γE összefüggéssel, azt kapjuk, hogy γ = qnµ , vagyis az anyagok vezetőképességét a benne lévő töltéshordozók töltése, a töltéshordozók térfogati sűrűsége és a töltéshordozók mozgékonysága szabja meg. Hőfejlődés árammal átjárt vezetőben, a Joule-törvény A töltéshordozók az elektromos erőtér által folyamatosan végzett munka ellenére állandó átlagsebességgel mozognak, vagyis az erőtér által végzett munka a vezetőben mechanikai értelemben eltűnik, a vezető belső energiáját növeli (”hővé alakul”). Mivel egy ∆Q nagyságú töltésnek U potenciálkülönbségű helyek közötti átmeneténél az elektromos erőtér munkája ∆W = ∆QU , az átfolyt töltés pedig az áramerősséggel kifejezhető ( ∆Q = I∆t ), a ∆t idő alatt fejlődő hő ∆W = IU∆t . Egy hosszabb t idő alatt fejlődő hőt a W = IUt összefüggés adja meg. Ez a Joule-törvény, a fejlődő hőt pedig Joule-hőnek nevezik. A hővé alakult teljesítmény ennek megfelelően ∆W P= = IU . ∆t ************************ *********************** ********************** A hővé alakult elektromos munka illetve teljesítmény a molekuláris modellből is kiszámítható, ha figyelembe vesszük, hogy egy töltéshordozó mozgása során az elektromos erőtér teljesítménye P1 = Fv = qEv . Egy V térfogatú vezetőben egyidejűleg nV számú töltéshordozó mozog (n a töltéshordozók térfogati darabsűrűsége), így az összes teljesítmény: P = nVP1 = nqvEAl = jEAl = IU .

Itt felhasználtuk, hogy az l hosszúságú, A keresztmetszetű vezető térfogata V = A ⋅ l . A teljes munka (illetve a belső energia növekménye, szokásos kifejezéssel a keletkezett hő) t idő alatt: W = Pt = IUt . Ami azonos a korábban más úton kapott Joule-törvénnyel. A teljesítmény kifejezhető lokális mennyiségekkel is:

P = nVP1 = nqvEV = nqµE 2V = γE 2V . Az egységnyi térfogatban ”elveszett” teljesítmény ennek alapján

p=

P = γE 2 = jE . V

************************ *********************** **********************


1

Vezetőképesség, áramvezetési mechanizmusok különböző anyagokban A molekuláris modellből a vezetőképességre kapott összefüggés γ = qnµ . Eszerint egy anyagban a vezetőképességet a töltéshordozó részecskék töltése (q), térfogati darabsűrűsége (n) és mozgékonysága (µ) szabja meg. A különböző anyagokban különböző típusú töltéshordozók vannak, amelyek különböző mechanizmussal mozognak, és a töltéshordozók mennyisége is különböző, így a fenti töltéshordozó-jellemzők igen eltérőek lehetnek. Ez az oka annak, hogy az anyagok vezetőképességei egy kb. 25 nagyságrendet átfogó tartományba esnek (γ értéke nagyjából a 10-17–108 ohm-1m-1 értékek között van). Mivel a vezetési tulajdonságok szoros kapcsolatban vannak az anyag halmazállapotával, a vezetőképesség vizsgálatánál célszerű a halmazállapot szerinti felosztást alkalmazni. Elektromos vezetés szilárd anyagokban

Kén Paraffin

Szigetelők Kvarc Porcelán

Félvezetők

Ge Se ZnO B, Si

Ni Pt Hg

Vezetők Ag, Cu

A vezetési tulajdonságok a szilárd anyagok esetén is nagyon eltérőek lehetnek. Erről ad áttekintést a mellékelt ábra, amelyen az anyagokat a szokásos csoportosítás szerint (vezetők, félvezetők, szigetelők) tüntettük fel. A vezetőképességek szobahőmérsékletre vonatkoznak. Vezetés kristályos szilárd anyagokban

A szilárd anyagok vezetési mechanizmusát alapvetően befolyásolja 108 104 100 10-4 az, hogy kristályos szerkezetűek-e vagy nem. Először a kristályos anyagok esetét vizsgáljuk meg, amelyeknek vezetőképessége szintén igen különböző lehet (pl. Ag és kvarc).

10-8

-16 10-12 10

γ (Ω-1m-1)

A vezetőképességben fennálló ilyen eltéréseket a klasszikus fizika segítségével nem sikerült értelmezni, ehhez a mikrorészecskék (ebben az esetben az atomokban lévő elektronok) sajátos viselkedését leíró kvantumelméletet kell segítségül hívni. A kvantumelméletnek azt a részterületét, amely az elektronoknak kristályos szilárd anyagokban való viselkedésével foglalkozik a szilárd anyagok sávelméletének nevezik. A sávelmélet elnevezés onnan származik, hogy az elmélet szerint az ilyen anyagokban az elektronok nem rendelkezhetnek akármilyen energiával, hanem energiájuk csak az anyagtól függő, megengedett energiatartományokba, más néven energiasávokba eshet. Ezeket a tartományokat megengedett energiasávoknak nevezik. Az elektronok a sávok közötti energiatartományba, az ún. tilos energia energiasávba eső energiát nem vehetnek fel ∆E0 (ábra). A tilos sáv szélessége a vezetés megentilos szempontjából fontos szerepet játszik, jelölésére gedett sávok a ∆E0 szimbólumot szokták használni (egy tilos sávok sáv szélességét az ábrán bejelöltük). A sávelmélet szerint az egyes sávokban


2

meghatározott számú energiahely van, vagyis egy energiasávba eső energiával csak meghatározott számú elektron rendelkezhet. Az elektronok először a legalacsonyabb energiájú sávban lévő energiahelyekre kerülnek. Ha ebben a sávban már minden hely foglalt (betöltött sáv), és az atomokban további elektronok is vannak, azok már csak a következő, magasabb energiájú megengedett sávban foglalhatnak helyet. A legmagasabb energiájú, betöltött energiahelyeket tartalmazó sáv lehet teljesen betöltött vagy részben betöltött. Az, hogy a megengedett sávok közül mennyi lesz betöltött, és a legmagasabb energiájú sáv is betöltött lesz vagy csak részben betöltött, attól függ, hogy az anyagot alkotó atomokban mennyi elektron van (azaz mennyi az alkotó atom rendszáma), vagyis a sávszerkezet a különböző anyagokban eltérő. A fenti sztatikus képből még nem derül ki, hogy a sávok létezésének mi a szerepe a vezetésben, ezért most ezt vizsgáljuk meg. Ha az anyagot elektromos erőtérbe tesszük, akkor az elektronokra a térerősséggel ellentétes irányú erő hat, amely igyekszik az elektronokat mozgásba hozni. Ez azzal jár, hogy az elektronok energiája megnő, hiszen mozgási energiára tesznek szert. Ha az anyagban van egy olyan megengedett energiasáv, ahol betöltetlen energiahelyek vannak, akkor az elektron energiája a sávon belül nőni tud, ezért az erőtér hatására valóban mozgásba jön: az anyagban elektromos áram jön létre, amelyet az elektronok mozgása okoz. Ha azonban a sávszerkezet olyan, hogy csak betöltött energiasávok vannak, akkor az elektron a sávon belül nem képes az energiáját növelni (nincs magasabb betöltetlen energiahely), vagyis az elektromos erőtér nem tudja mozgásba hozni. Ilyenkor az elektronok az anyagban nem tudnak elektromos áramot létrehozni. Ebben az esetben az elektronok gyorsítására csak az a lehetőség marad, hogy a tilos sáv szélességének megfelelő energiát kapnak az elektromos erőtérből, amivel a következő (üres) megengedett sávba kerülve mozgásképessé válnak. Normális körülmények között azonban az elektromos erőtér ilyen nagy energiát nem képes az elektronnak átadni. Összefoglalva: az elektronokkal történő vezetés szempontjából alapvető jelentőségű, hogy legyen egy olyan megengedett energiasáv, amelyik csak részben van betöltve. Ezek után nézzük meg, hogy a különböző anyagokban milyen energiasávok jöhetnek létre. Az a) ábra azt az esetet mutatja, amikor a energia legfelső, elektronokat tartalmazó sáv csak részben van betöltve. Ekkor – amint azt ∆E0 már megtárgyaltuk – elektromos erőtérben az elektronok mozogni tudnak, elektromos vezetés jön létre. Az ilyen sávszerkezettel rendelkező anyagok a vezetők. Ilyen sávszerkezete van a legtöbb fémnek, ezért a fémek általában jó vezetők. a) b) c) A b) ábrán azt az esetet látjuk, amikor a legfelső, elektronokat tartalmazó sáv teljesen betöltött, a tilos sáv szélessége nagy, ezért az elektronok normális körülmények között nem tudnak áramot létrehozni. Az ilyen sávszerkezettel rendelkező anyagok a szigetelők. A kristályos szilárd anyagok közül ilyen pl. a gyémánt, a kvarc, a kősó (NaCl). A c) ábrán is egy szigetelő sávszerkezete látható, de ebben az esetben a tilos sáv ∆E0 szélessége jóval kisebb, mint a b) ábrán. Ennek a ténynek nagy jelentősége lehet: ha a


3

tilos sáv szélessége olyan kicsi, hogy a betöltött sávból az üres sávba az atomok termikus mozgása („hőmozgás”) jelentős számú elektront tud feljuttatni (vagyis a termikus mozgás átlagos energiája közel akkora, mint az elektronok átmenetéhez

∆E0

-

-

-

elektron

∆E0

hőmozgás +

+

+

+

lyuk

szükséges ∆E0 energia), akkor az eredetileg üres energiasáv részben betöltötté válik (ábra), ezért az anyagban elektromos áram jöhet létre. Az ilyen, szigetelő sávszerkezetű, de a hőmozgás révén vezetésre képes anyagok a félvezetők. A legismertebb félvezető anyagok a szilicium (Si) és a germánium (Ge). ********************* *********************** ******************* A félvezetőkben a töltéshordozók elektronok. A vezetésben azonban nem csak az eredetileg üres sávba jutott elektronok vesznek részt, hanem az eredetileg betöltött sávban lévők is. Ennek az az oka, hogy az innen eltávozó elektronok energiaállapotai felszabadulnak, így itt is lehetőség van az energia változására. A megüresedett elektronállapotok segítségével mozgó elektronok árama úgy is felfogható, mint az elektronok hiánya által létrehozott pozitív töltések – az ún. lyukak – mozgása által létrehozott áram. A lyukak az elektronokkal ellentétes irányban mozognak, de töltésük is ellentétes az elektronokéval, így az áram iránya ugyanaz, mint az elektronok mozgása által okozott áramé. A töltésmozgás ilyen felfogása megkönnyíti a félvezetők vezetésének értelmezését. Eszerint a félvezetőkben az áramot elektronok és lyukak hozzák létre. ******************** ********************* **********************

A szigetelőkben a tilos sáv szélessége olyan nagy, hogy – nagyon magas hőmérsékletektől eltekintve – a hőmozgás csak nagyon kevés elektront képes mozgásképes állapotba hozni. A nagyon kis vezetőképességű anyagokban – ezeket nevezzük szigetelőknek – a vezetést ez a kis számú mozgásképes elektron (pl. gyémánt), és az anyagban esetleg jelen lévő ionok (pl. ionkristályok) mozgása hozza létre. Ahhoz, hogy a vezetőképességnek a különböző körülményektől való függését megértsük, a vezetőképességet megadó γ = qnµ összefüggésben szereplő mennyiségeket (a töltéshordozó töltését (q), térfogati darabsűrűségét (n) és mozgékonyságát (µ)), illetve ezeknek a körülményektől való függését (pl. hőmérséklet) kell megvizsgálnunk. Most ennek alapján röviden áttekintjük, hogy a különböző típusú kristályos szilárd anyagok vezetőképessége hogyan alakul különböző körülmények között. Vezetők

A szilárd halmazállapotú vezetők gyakorlatilag a fémekkel azonosak. Ezekben az anyagokban az atomi elektronok egy – az atom elektronszerkezete által meghatározott – része az anyagban gyakorlatilag szabadon elmozdulhat. A vezetőkben a töltéshordozók negatív töltésű elektronok, töltésük nagysága a természeti állandónak számító elemi töltés (ez definíció szerint éppen az elektron töltése).


4

A vezetőképességet a γ = qnµ összefüggés adja meg. Mivel egy adott fémben a töltéshordozók töltése (q) és a szabad elektronok darabsűrűsége (n) is adott, a vezetőképesség a körülményektől gyakorlatilag csak a mozgékonyságon (µ) keresztül függ. A mozgékonyság meghatározásához az elektronok mozgásának ismerete szükséges, ami kristályos szilárd anyagokban a klasszikus fizikai modellek alapján nem érthető meg, ehhez a kvantumelméletet kell segítségül hívni. Erről annyit kell tudnunk, hogy az elektronok egy tökéletes kristályrácsban (ahol minden atom a tökéletes kristályrácsnak megfelelő helyén van) ellenállás nélkül tudnának mozogni: egy tökéletesen rendezett – mozgásképes elektronokat is tartalmazó – kristály ellenállása nulla lenne. Ha azonban a kristályrácsban rendellenességek vannak (pl. valahol hiányzik egy atom vagy egy atomot idegen atom helyettesít), akkor az elektron mozgása nehezebbé válik, mozgékonysága lecsökken. Ugyanilyen hatást vált ki az is, hogy a mindig jelen lévő hőmozgás miatt az atomok rezegnek az egyensúlyi helyzetük körül, vagyis többnyire nincsenek a tökéletes rácsnak megfelelő helyükön. Röviden szólva: a kristályrács minden rendezetlensége csökkenti az elektronok mozgékonyságát és így növeli a vizsgált anyag elektromos ellenállását. A mozgékonyságról mondottak alapján érthető meg az a tapasztalat, hogy egy idegen anyaggal szennyezett fém vezetőképessége kisebb (ellenállása nagyobb), mint a tiszta fémé: szennyezés=rendezetlenség ⇒ µ csökken ⇒ γ csökken ⇒ ellenállás nő. Egy másik kísérleti tapasztalat az, hogy a fémek vezetőképessége a hőmérséklet növekedésekor csökken (az ellenállás nő). Ennek értelmezése ugyancsak a fenti elmélet segítségével adható meg. A hőmérséklet emelkedésével ugyanis a hőmozgás egyre intenzívebbé válik, a kristályrácsban az egyes atomok pillanatnyi helyzete egyre távolabb van az ideális helyzettől, a rendezetlenség a rácsban nő: hőmérsékletemelkedés=növekvő rendezetlenség ⇒ µ csökken ⇒ γ csökken ⇒ ellenállás nő. KÍSÉRLETEK: ♦ Egy feszültségforrással sorba kapcsolunk egy izzólámpát és egy vezetőből készült drótspirált. A feszültséget úgy állítjuk be, hogy az izzólámpa világít, vagyis a rajta átfolyó áram elég nagy a felizzításához. Ezután a drótspirált gázlánggal melegíteni kezdjük. Az izzólámpa fénye fokozatosan csökken, majd teljesen kialszik. Ez azt mutatja, hogy az áramkörben az áram lecsökkent, ami csak úgy értelmezhető, hogy a hőmérséklet emelkedésekor a vezető ellenállása növekszik. ♦ Mérjük meg egy izzólámpa esetén az áramerősség (I) és a feszültség (U) összefüggését. Azt I tapasztaljuk, hogy az Ohm-törvény nem teljesül, mert lineáris összefüggés helyett egy, a feszültség növekedésével csökkenő meredekségű görbét kapunk (a görbe jellegét az alábbi ábra mutatja). Az ok az, hogy a feszültség növekedésekor az izzószál melegszik, nő az ellenállása, ezért az áram kisebb, mint a kezdeti (hideg) ellenállás alapján várható érték (szaggatott vonal).

fémdrót

U

Ohmtörvény

mért eredmény

U


5

relatív ellenállás (R/R0)

hőmérséklet

A fémek ellenállásának hőmérséklettől való függése felhasználható hőmérsékletmérésre. Az erre szolgáló speciális, kisméretű fém-ellenállást ellenálláshőmérőnek nevezik. Ha az ellenálláshőmérő 4 fém-ellenállásának hőmérsékletfüggését ismert 3 hőmérsékleteken végzett mért ellenállás ellenállásméréssel egyszer 2 kimérjük (hitelesítés), akkor egy hely ismeretlen hőmérséklete az 1 ellenálláshőmérő odahelyezése után az ellenállásának mérésével 0 meghatározható (ábra). Az 0 100 200 300 400 500 0 eljárást egyszerűsíti, hogy a hőmérséklet ( C) fémek ellenállásának hőmérsékletfüggése elég széles hőmérséklet-tartományban jó közelítéssel lineáris. Ilyen hőmérsékletfüggést mutat a mellékelt ábra (R az aktuális hőmérsékleten R0 a 0 oC-on mért ellenállás). Félvezetők

A félvezetők esetén a helyzet kicsit bonyolultabb. Itt ugyanis a mozgékonyság (γ) mellett a töltéshordozók koncentrációja (n) sem eleve meghatározott. A tiszta félvezetőkben a mozgásképes töltéshordozók úgy jönnek létre, hogy a teljesen betöltött sávból a hőmozgás segítségével elektronok kerülnek a magasabb energiájú, eredetileg üres energiasávba. Ez a folyamat annál több mozgásképes töltéshordozót eredményez, minél magasabb a hőmérséklet. Ez azt jelenti, hogy a mozgásképes töltéshordozók koncentrációja (n) a hőmérséklet emelkedésével nő. Ugyanakkor a töltéshordozók mozgékonyságára ugyanaz érvényes, mint a vezetők esetén: a hőmérséklet emelkedésével a mozgékonyság (µ) csökken. Itt tehát két ellentétes hatás alakítja ki a vezetőképességet: hőmérsékletemelkedés (növekvő rendezetlenség) ⇓ µ csökken ⇓ γ = qnµ csökken

hőmérsékletemelkedés (intenzívebb hőmozgás) ⇓ n nő ⇓ γ = qnµ nő

A végeredmény attól függ, hogy melyik hatás az erősebb. A tapasztalatok (és az elméleti számítások is) azt mutatják, hogy a töltéshordozókoncentráció sokkal gyorsabban nő a hőmérséklettel (n erősen nő), mint ahogy a mozgékonyság csökken (µ gyengén csökken), vagyis tiszta félvezetőkben: hőmérsékletemelkedés = növekvő töltéshordozó-koncentráció + növekvő rendezetlenség) ⇒ γ nő ⇒ ellenállás csökken. A félvezető szennyezése az alaprács atomjának vegyértékétől eltérő vegyértékű szennyezéssel a töltéshordozók koncentrációjának igen erős növekedését okozhatja, miközben a mozgékonyságban okozott csökkenés itt sem túl jelentős. Vagyis adott hőmérsékleten az eltérő vegyértékű szennyezés növeli a vezetőképességet. A félvezetők ellenállása erősebben függ a hőmérséklettől, mint a fémeké, ezért félvezetőből sokkal érzékenyebb ellenálláshőmérő készíthető.


6

Az ellenállás hőmérsékletfüggését áramkörökben a hőmérsékletváltozás hatásának csökkentésére, vagy ennek a hatásnak a hasznosítására is felhasználják, hőmérsékletfüggő félvezető ellenállások – az ún. termisztorok – alkalmazásával. Szigetelők

A kristályos szerkezetű szigetelőkben a tilos sáv szélessége olyan nagy, hogy – nagyon magas hőmérsékletektől eltekintve – a hőmozgás csak nagyon kevés elektront képes mozgásképes állapotba hozni. Ennek ellenére ezeknek az anyagoknak egy részében – ahol más vezetési mechanizmus nincsen – a vezetést a kis számú mozgásképes elektron hozza létre (pl. gyémánt). Az anyagok egy másik részében, amelyekben a kristályt ionok alkotják, egy másik vezetési mechanizmus is I=0 I szerepet kaphat: a + + + + + + + + + + kristályrácsban ionok mozognak. Ha egy + + + + + + + + + ionkristály rácsa tökéletes lenne, akkor az ionok nem + + + + + + + + + tudnának benne mozogni (a) ábra). Az ionmozgást az + + + + + + + + teszi lehetővé, hogy a + kristályokban mindig + + + + + + + + + vannak betöltetlen + E E rácshelyek, és az ionok ezek között az üres helyek a) b) között ugrálva tudnak az elektromos erőtér hatására mozogni (b) ábra). Minél több ilyen üres hely van, annál több ion mozgására nyílik lehetőség, vagyis annál nagyobb a mozgásképes töltéshordozók koncentrációja. Mivel tiszta anyagban az üres helyeket a hőmozgás hozza létre, a töltéshordozók koncentrációja a hőmérséklet emelkedésével nő. Az ionok azonban a rácshelyek között nem teljesen szabadon mozognak, mert az ionoknak az egyik rácshelyről a másikra való átmenetnél egy „energiahegyet” kell átugraniuk. Az ehhez szükséges energiát a hőmozgás biztosítja, így a hőmérséklet emelkedésével az ugrások gyakorisága nő. Ez azt jelenti, hogy a hőmérséklet emelése növeli az ionok mozgékonyságát is. Az ionvezetés esetén tehát a töltéshordozók ionok, a vezetőképesség hőmérsékletfüggésére pedig érvényes, hogy: növekvő hőmérséklet=intenzívebb hőmozgás ⇒ n nő, µ nő ⇒ γ nő ⇒ ellenállás csökken. KÍSÉRLET: üvegrúd Egy feszültségforrással sorba kapcsolunk egy izzólámpát és egy üvegrudat. A feszültséget úgy állítjuk be, hogy az izzólámpa nem világít, az izzólámpa nem világít, mert az üveg nagy ellenállása miatt nem folyik át rajta elég nagy áram. Ezután az üvegrudat gázlánggal melegíteni kezdjük. Az izzólámpa világítani kezd, és fénye fokozatosan erősödik, vagyis a körben folyó áram megnő. Ez csak úgy U lehetséges, hogy a szigetelő üveg ellenállása a hőmérséklet emelkedésekor csökken. Az alaprács ionjaitól eltérő vegyértékű szennyezés rendszerint ezekben az anyagokban is növeli a töltéshordozók koncentrációját, így a vezetőképesség növekedését eredményezi.


7

Tipikus ionvezetők az ionkristályok (pl. NaCl). A szigetelők közé számos olyan anyag is tartozik, amelyek nem kristályos szerkezetűek. Ezekben az anyagokban a kristályos anyagokéhoz hasonló sávszerkezet nem jön létre, az elektronok itt a vezetésben többnyire nem játszanak jelentős szerepet. Az ilyen anyagokban létrehozható – rendszerint kis – elektromos áram a csekély elektronvezetés vagy ionvezetés következménye. Ilyen anyagok pl. az üvegek, számos kerámia és a műanyagok többsége. A szigetelők klasszikus alkalmazása az elektromos áram kiküszöbölése, az elektromos szigetelés. Egyes ionkristályokat újabban a folyékony elektrolitokhoz hasonló feladatok megoldására is felhasználnak, így pl. áramforrásokat készítenek belőlük (az ionkristályok tulajdonképpen szilárd elektrolitok, amelyekben a vezetést ionok mozgása teszi lehetővé). Elektromos vezetés folyadékokban Folyadékokban elektromos vezetés gyakorlatilag csak akkor jön létre, ha a folyadékban ionok vannak jelen (jól ismert kivétel a folyékony fémek esete, amelyekben elektronvezetés van). Az ilyen ionos folyadékok az elektrolitok. Ezeknek leggyakrabban előforduló változata az elektrolitoldat, amelyet úgy állíthatunk elő, hogy egy nem ionos folyadékban ionos anyagot oldunk fel. Az oldódás során az ionos anyag ionjaira esik szét (disszociál), és az így létrejött ionok a mozgásképes töltéshordozók. Az oldott anyag töltéshordozó-keltő szerepét jól mutatja az alábbi kísérlet. KÍSÉRLET: ♦ Tiszta (desztillált) vízbe két – nem érintkező – fémlemezt teszünk. Ha egy izzólámpán és a fémlemezekkel a vízen át egy teleppel áramot hozunk létre, akkor az izzó nem világít. A vízbe sót szórva a lámpa kigyullad: a sós víz ellenállása sokkal kisebb, mint a tiszta vízé. ♦ A kísérletben desztillált víz helyett csapvizet alkalmazva, az izzó akkor is kigyullad, ha a vízbe semmit nem teszünk. Ebből látható, hogy a csapvízben oldott ionos anyagok találhatók. Az elektrolitoldatban az elektromos áram az elektrolitba merülő vezető rudak – az ún. elektródok – között jön létre, amelyek közül az egyik – az ún. anód – egy telep pozitív sarkához, a másik – az ún. katód – + pedig a telep negatív sarkához (ábra) csatlakozik. Az elektronok oldatban a negatív ionok az anódhoz, a pozitív ionok a I katódhoz vándorolnak, emiatt a negatív ionokat gyakran anionoknak-, a pozitív ionokat kationoknak nevezik. elektrolitAz elektrolitoldatban tehát az elektromos áramot a pozitív és oldat + anion negatív ionok-, az áramkör vezető részeiben viszont kation + elektronok mozgása okozza. A zárt áramkör úgy jön létre, anód katód I hogy a negatív ionok az anódra érkezve elektronokat adnak le, amelyek a vezetőben a telep pozitív sarka felé mozognak. A telep által „átemelt” elektronok a telep negatív sarkától az oldat felé mozognak, a katódon a pozitív ionok felveszik ezeket az elektronokat, és ezzel az áramkör záródik. A folyamat fontos mozzanata az, hogy az elektródokhoz érkező ionok elektronleadással illetve elektronfelvétellel elvesztik a töltésüket, és semleges részecskeként az oldatból -

-

-

-


8

kiválnak. A kivált anyag további sorsa a konkrét elektrolit összetételétől függően kémiai reakciókban vehet részt, ami különböző végtermékeket eredményezhet. Ezekkel a folyamatokkal itt részletesebben nem foglalkozunk, csupán egy fontos folyamatot említünk meg. Az oldott ionos anyag kationjai rendszerint fémionok, amelyek semleges fématomok formájában válnak ki a katódon, és azon bevonatot képeznek. Ezen a jelenségen alapul a fémbevonatok készítésére használt egyik eljárás, az ún. galvánozás. Az elektrolitok vezetésével kapcsolatos folyamatokat (vezetés, anyagkiválás, a kivált anyag kémiai reakciói) összefoglaló néven elektrolízisnek nevezik. Az oldott anyagot nem túl nagy koncentrációban tartalmazó elektrolitoldatokban (az ún. gyenge elektrolitokban) a kellő gondossággal1 végrehajtott kísérletek szerint érvényes az Ohm-törvény, így egy adott ion által létrehozott vezetőképességet a γ = qnµ összefüggésből kaphatjuk meg, ha ismerjük az ionok töltését, térfogati darab-koncentrációját és mozgékonyságát. Az elektrolitoldatokban azonban legalább kétféle ion van jelen, de többféle oldott anyag esetén akár többféle pozitív- és negatív ion is létrejöhet, amelyeknek különböző lehet a töltése (qi), koncentrációja (ni) és mozgékonysága (µi). Ilyenkor egyszerű esetben a vezetőképességet az egyes ionok vezetőképességének ( γ i = qi ni µi ) összege adja meg:

γ = ∑γ i = ∑ qi ni µ i . i

Egy elektrolitoldat vezetőképessége alapvetően függ az oldott ionos anyag koncentrációjától, ami meghatározza a mozgásképes ionok koncentrációját. Az oldott anyag koncentrációjának növelésekor a mozgásképes töltéshordozók koncentrációja (és így a vezetőképesség) kis koncentráció esetén általában növekszik, de az oldatban lévő ionoknak egymással és az oldószerrel való bonyolult kölcsönhatásai miatt, egy bizonyos koncentráció felett a vezetőképesség csökkenhet az oldott anyag mennyiségének növelésekor. A töltéshordozók mozgékonysága több tényezőtől függ. Az egyik ilyen tényező a folyadék viszkozitása. Az elektrolitban az ionok – elektromos töltésük miatt – általában egy ionokból vagy dipólusokból álló burkot alakítanak ki maguk körül, és ezzel a burokkal együtt mozognak az elektromos erőtér hatására. Ez – az ion méreténél rendszerint sokkal nagyobb – képződmény a folyadékban súrlódva mozog, és ezt a súrlódást lényegesen befolyásolja a folyadék viszkozitása. Mivel a viszkozitás magasabb hőmérsékleten általában kisebb, a mozgékonyság a hőmérséklet emelkedésével nő. Ez az oka, annak, hogy az elektrolitok vezetőképessége a hőmérséklet emelkedésével általában nő. Elektromos vezetés gázokban A gázok normális körülmények között rossz vezetők. Vezetővé csak töltéshordozók keltésével tehetők. A töltéshordozó-keltésnek két alapesete van: ♦ A gáz maga nem tudja "megtermelni" a töltéshordozókat, azokat külső hatás hozza létre, ez a nem önálló vezetés. ♦ A gázban maga az elektromos áram hozza létre a szükséges töltéshordozókat, ez az önálló vezetés.

Állandó feszültségű teleppel végrehajtott mérések során az U telepfeszültség és az I áramerősség között az U ~ I összefüggés helyett U − U P ~ I alakú összefüggést kapunk, ahol U P az elektródoktól és az elektrolittól függő állandó feszültség, az ún. polarizációs feszültség. Ez az ellenfeszültség az elektródokon végbemenő folyamatok következménye (erről a kontaktusjelenségek tárgyalásánál még szó lesz). Ez úgy küszöbölhető ki, hogy a mérést kis frekvenciájú váltakozó feszültséggel végezzük el. Ekkor az elektródokon nem tud létrejönni az állandó ellenfeszültséget okozó anyagkiválás. 1


9

Nem önálló vezetés Töltéshordozót létrehozhat hő, sugárzás vagy bármilyen külső energiaforrás, ami ionizálni képes a gázmolekulákat. Ekkor ugyanis pozitív töltésű ionok és negatív töltésű elektronok keletkeznek, amelyek külső erőtér hatására mozognak: + áram jön létre. KÍSÉRLET: Elektrométerhez kapcsolt, feltöltött kondenzátor (ábra) töltése eltűnik, ha a lemezei közé lángot (pl. égő gyertyát) tartunk, mert a láng által keltett elektromos töltések semlegesítik a lemezek töltését.

-

+ +

-

+ +

áramerősség (I)

A töltéshordozó-keltéssel egy időben a véletlenszerűen összetalálkozó ionok és elektronok újraegyesülése – az ún. rekombináció – is végbemegy. A töltéshordozók mindenkori koncentrációját a keltés és rekombináció intenzitása szabja meg, és kialakul egy egyensúlyi töltéshordozó-koncentráció (n). Ha egy gázban elhelyezett két elektród közé feszültséget (U) kapcsolunk, akkor a létrehozott elektronok és ionok a gázban elektromos áramot (I) hoznak létre. Kis feszültségeknél kicsi az áram, ezért az elektródokon eltűnő töltéshordozók nem módosítják lényegesen a töltéshordozó-koncentrációt. Ilyenkor n ≈ állandó, és teljesül erősebb hatás az Ohm-törvény (az ábrán a lineáris szakasz). A feszültség további növelésével egyre több töltéshordozó jut el rekombináció nélkül az elektródokra, és a töltéshordozók számát – és így az áramot is – a töltéshordozó-keltés sebessége szabja meg: állandó ionizáló hatás esetén az áram nem tud gyengébb hatás tovább nőni, hanem egy állandósult értéket vesz fel, ez a telítési áram. A telítési áram az ionizáló hatás (pl. radioaktív sugárzás) erősségétől függ, ezért az ionizáló hatás erősségének feszültség (U) mérésére használható (ionizációs kamra). A nem önálló vezetés speciális esete, amikor a töltéshordozókat egy fémszál izzításával állítják elő. Az izzó fémből ugyanis a hőmozgás hatására elektronok lépnek ki (termikus elektronemisszió). Ha az izzószálat légritka térbe tesszük, akkor az elektronok szabadon elmozdulhatnak (nagyobb nyomáson a izzószál (katód) légritka tér gázmolekulákkal történő gyakori ütközések anód E miatt a mozgás korlátozott), ezért ha az edényben (ábra) elektromos erőteret (E) hozunk Uf + létre, akkor az elektronok a térerősséggel I szemben mozogva elektromos áramot hoznak létre. (Figyeljük meg, hogy az elektronok – - + elektron negatív töltésük miatt – a térerősséggel szemben I U mozognak, de az áram iránya – a korábban tárgyalt definíció miatt – a térerősség irányával egyezik meg.) Ezt a töltéshordozó-keltési mechanizmust használják ki a különféle elektroncsövekben, az oszcilloszkópok legfontosabb alkotórészét képező katódsugárcsőben és az elektronmikroszkópban is.

Önálló vezetés Egy gázban különféle külső behatások (pl. a kozmikus sugárzás) miatt mindig keletkezik kis számú töltéshordozó (elektron-ion párok). Ezért, ha ritkított gázban elhelyezett elektródok


10

között feszültséget hozunk létre, és a feszültséget növeljük, akkor az elektromos erőtér hatására ezek a töltéshordozók annyira felgyorsulnak, hogy képesek a semleges gázmolekulákat a velük való ütközéskor ionizálni. Ez a folyamat az ütközési ionizáció. Az ütközési ionizációban elsősorban az elektronok vesznek részt, mert tömegük az ionizálásnál kiütendő elektronéval megegyezik, és ilyenkor a leghatékonyabb az energiaátadás. Az ütközési ionizáció során új töltéshordozók (elektron-ion párok) jönnek létre, a keletkezett elektronok felgyorsulnak, és tovább ionizálnak (ábra). Az áram nagyon gyorsan nőni kezd (minden elektron két másikat kelt, így a töltéshordozók száma 2 hatványai szerint, lavinaszerűen nő). Ilyenkor a gáz már maga termeli meg a vezetéshez szükséges töltéshordozókat, az ilyen vezetést nevezzük önálló vezetésnek. Az ütközési ionizáció csak alacsony nyomáson hatékony, mert ekkor a töltött részecskék szabad úthossza nagyobb, és így nagyobb energiára gyorsíthatók, ami megnöveli a töltések ionizáló képességét. Az ütközések során nem csak ionizáció lehetséges, hanem az elektronok gerjesztése is, ami – az elektronoknak az alapállapotba való visszatérésekor – fényjelenségeket is létrehozhat. Innen kapta a gázokban létrehozott elektromos áram a gázkisülés elnevezést. KÍSÉRLET: Nem túl ritka (5 kPa és 0.001 kPa közötti nyomású) gázban jön létre a ködfénykisülés, amelyben a töltéshordozók ütközési ionizáció útján jönnek létre, és benne – eléggé bonyolult folyamatok következtében – sötét- és világító tartományok váltják egymást (az ábrán 1 – katódfény, 2 – sötét katódtér, 3 – negatív ködfény, 4 – Faraday-féle sötét tér, 5 – plazma, 6 – sötét anódtér, 7 – anódfény). Az egyes tartományok hossza a nyomástól illetve a csőre kapcsolt feszültségtől függően változhat, egyesek el is tűnhetnek. katód

ritkított gáz

anód

A ködfénykisülés egyes szakaszairól általánosságban azt lehet mondani, hogy a sötét + tartományokban a töltéshordozók gyorsulnak, energiát gyűjtenek (az energiaelnyelő ütközések hiányát mutatja az, hogy nincs fénykibocsátás), a 12 3 4 5 67 világító részeken pedig az ütközéseknél bekövetkező ionizáció és gerjesztés következtében energiát veszítenek (ezt mutatja a fénykibocsátás). Gyakorlati fontossága miatt érdemes külön megemlíteni a negatív ködfényt (3), amelynek fényét a ködfénylámpákban (más néven glimmlámpa) láthatjuk. Ez a tartomány úgy jön létre, hogy a katódba ütköző ionok a katód anyagából elektronokat löknek ki, és ezek az elektronok, a sötét katódtérben az anód felé gyorsulva, itt érik el azt az energiát, amellyel a gázmolekulákat ionizálni illetve gerjeszteni képesek (a gerjesztés következménye a fénykibocsátás). Fontos tartomány a plazma (5), ami a régebben készült reklámcsövek fényét adja, és amelynek színe függ az alkalmazott gáztól. A negatív ködfényben az elektronok energiát


11

veszítenek, a plazma előtti sötét térben (4) pedig újra energiát gyűjtenek, és a plazma tartományában ionizálnak és fénykibocsátást okoznak. A plazma sajátos képződmény: benne azonos mennyiségű pozitív- és negatív töltés van, elektronok és ionok semleges keveréke, vagyis ionizált, kifelé semleges gázhalmazállapotú anyag. Tulajdonságai az ionok jelenléte miatt lényegesen eltérnek a közönséges gázokétól, gyakran az anyagnak egy új (negyedik) halmazállapotaként emlegetik. A plazma állapotú anyagok jelentős szerepet játszanak a csillagok működésében, a termonukleáris reakció létrehozásában és számos technológiai eljárásban. Nagyobb légritkításnál (0,001 kPa nyomás alatt) fényjelenségek már nincsenek a gázban, viszont a negatív elektródba (katód) becsapódó ionok elektronokat ütnek ki a katódból, és ezek az elektronok a pozitív elektród (anód) felé mozogva egy erős elektonáramot hoznak létre. Ez a katódsugárzás, amelynek észlelése közben fedezték fel az elektront. KÍSÉRLET: A katódsugarak tulajdonságai vákuumcsőben tanulmányozhatók: fluoreszkálást okoznak, egyenes vonalban terjednek (árnyékjelenség), mágneses erőtérrel eltéríthetők. A kísérletet váltakozó erőtérrel (szikrainduktor) hajtjuk végre, ami úgy lehetséges, hogy a cső elektródjai közül az egyik nagy felületű, a másik kicsi. A nagy felületen sokkal több a kiütött elektron, ezért mindig az a negatív elektród (vagyis egyenirányítás van). Nagyobb (atmoszférikus) nyomáson az ütközési ionizáció csak nagyon nagy feszültség hatására jön létre, de megvalósítható. Ilyen nagyfeszültségű kisülés a szikrakisülés, amelynél a töltéshordozók sokszorozódása egy keskeny csatornában következik be, és a molekulák gerjesztése miatt a csatorna mentén fénykibocsátás is történik („szikra”). Ilyen szikra figyelhető meg pl. kapcsolók kikapcsolásánál, de ilyen jelenség a légkörben bekövetkező villámlás is. Hasonló lavinaszerű töltéshordozó-keltés előfordul szilárd halmazállapotú szigetelőkben is, ott ezt átütésnek nevezik. Az átütés során a szigetelő az átütés csatornája mentén tönkremegy, szigetelőképességét jórészt elveszíti, ezért a szigetelő anyagok fontos jellemzője, hogy milyen térerősséget bírnak ki átütés nélkül („átütési szilárdság”). Speciális kisülés az ívkisülés, amely két összeérintett szén- vagy fémrúd között a rudak széthúzásakor jön létre. ívkisülés

KÍSÉRLET: Két mozgatható szénrúd közé feszültséget kapcsolva ívkisülést hozunk létre, és fényét ernyőre kivetítjük. mozgatható szénrudak

Az ívkisülésben a töltéshordozók keltésében jelentős szerepet kapnak az izzó katódból kilépő elektronok (termikus elektronemisszió), amelyek ionizálják a rudak közötti gázt. A jelentős áram fenntartja az izzást (Joule-hő), és így a kisülést is. Az ívkisülésben jelentős hő és fény szabadul fel, amit régebben fényforrásként használtak, ma az ívkisülést különböző, nagy hőt igénylő technológiai folyamatokban (pl. fémek vágása, hegesztése) hasznosítják.


1

Elektromos áramkörök és hálózatok, Kirchhoff törvényei A gyakorlatban az elektromos áram különböző vezetőrendszerekben folyik. Igen fontos, hogy az áramot fenntartó telepek ismeretében a vezetőrendszerek részeiben folyó áramokat számítással is meg tudjuk határozni, hiszen ez teszi lehetővé az áramot felhasználó eszközök megtervezését. A legegyszerűbb eset az, ha az áramot egyetlen zárt hurokból álló áramkörben kell vizsgálnunk, az esetek többségében azonban az elektromos áram bonyolult vezetőrendszerekben ún. hálózatokban folyik. A hálózatokban rendszerint áramelágazások, más néven csomópontok is vannak, a csomópontok közötti vezetőszakaszok, az ún. ágak pedig különféle áramköri elemeket (ellenállások, telepek) tartalmaznak. Egy hálózat vizsgálatánál két alapvető kérdés merül fel: Milyen törvény szabja meg, hogy az elágazásoknál az áramerősség hogyan oszlik meg az egyes ágakban? Érvényes-e az elektrosztatika I. alaptörvénye az áramkörökben, és ha érvényes, akkor ennek milyen következményei vannak az áramokra vonatkozóan? Itt csak olyan áramkörökkel foglalkozunk, amelyekben az áram az áramkör bármely helyén időben nem változik (különböző helyeken az áramerősségek lehetnek eltérőek, de értékük nem változhat meg). Az ilyen áramokat időben állandó- vagy stacionárius áramoknak nevezzük. A töltésmegmaradás törvénye időben állandó áramokra, Kirchhoff I. törvénye

A tapasztalatok azt mutatják, hogy egy vezetőben – különleges körülményektől eltekintve – elektromos töltés nem keletkezik, és vezető nem tűnik el, vagyis a töltés mennyisége megmarad. A2 Ebből következik, hogy ha egy vezetőben időben I2 állandó áram folyik, akkor a vezető egy A 1 keresztmetszetén (ábra) Δt idő alatt átment I1 ΔQ1 = I 1 Δt töltéssel két dolog történhet: − A töltés a többi keresztmetszeten (pl. a 2 keresztmetszeten) is ugyanennyi idő alatt megy át, tehát ΔQ1 = I 1 Δt = ΔQ2 = I 2 Δt . Ez azt jelenti, hogy I 1 = I 2 , vagyis a vezető minden keresztmetszetén ugyanakkora az áramerősség. − A töltés egy része a vezetőnek az 1 és 2 felülete közti térfogatban marad, és a 2 felületen kisebb – de időben állandó – áram megy tovább. Ilyenkor az említett térfogatban a töltés mennyisége időben növekedne, a töltés ott felhalmozódna. A második lehetőség azonban nem valósulhat meg. Ennek oka az, hogy időben állandó áram csak akkor jöhet létre, ha a vezetőben az elektromos térerősség időben állandó (I~E). A töltés fokozatos felhalmozódása azonban I1 időben változó erőteret, és így időben változó áramot A1 eredményezne. Ezért időben állandó áram esetén a vezetőben nem lehetséges töltésfelhalmozódás. Ez azt jelenti, hogy marad az – a tapasztalat által is megerősített – lehetőség, hogy állandó áram esetén A4 A2 egy vezető bármely két keresztmetszetén I2 I4 ugyanakkora az áramerősség: I1=I2. I3

A3


2

Hasonló meggondolásokat tehetünk egy csomópont esetében is (ábra), ahol vezetők csatlakoznak egymáshoz. Mivel töltésfelhalmozódás nem lehetséges, itt is érvényes, hogy Δt idő alatt a befolyó áramok ( I 1 , I 4 ) által a csomópontba bevitt töltésnek meg kell egyeznie a kifolyó ( I 2 , I 3 ) áramok által onnan kivitt töltéssel, I 1 Δt + I 4 Δt = I 2 Δt + I 3 Δt , vagyis I1 + I4 = I 2 + I3 . Eszerint állandó áramok esetén egy csomópontba befolyó áramok összege megegyezik a csomópontból kifolyó áramok összegével. Ha az áramoknak előjelet adunk, és a csomópontba befolyó áramokat pozitívnak-, az onnan kifolyó áramokat pedig negatívnak tekintjük ( I 1 , I 4 >0 és I 2 , I 3 <0), akkor az egyenlet így alakul: I1 + I4 + I 2 + I3 = 0 . Ezek az összefüggések természetesen akárhány áram esetén érvényesek, vagyis általánosan a ∑ In = 0 n

alakba írhatók. Ez Kirchhoff I. törvénye, amely a töltésmegmaradás törvényét fejezi ki. A törvénynek ebbe az alakjába az áramokat – a fenti megállapodás szerint – előjeles mennyiségekként kell behelyettesíteni. Az elektrosztatika I. alaptörvénye állandó áramokra, Kirchhoff II. törvénye

Korábban megállapítottuk: ahhoz, hogy egy vezetőben állandó áramot tartsunk fenn, egy speciális eszközre (áramforrás, más néven telep) van + szükség, ami biztosítja a töltések körforgását (ábra). Ebben az anyag eszközben a töltéseket az ott kialakult E elektromos erőtérrel, és az általa kifejtett Fel erővel szemben kell mozgatni, ami + FE - + többnyire valamilyen külső hatás által végzett munka árán el + + valósítható meg. Ez a külső hatás általában az elektromosságtól idegen munka „idegen” (pl. kémiai) folyamatok felhasználásával működik, ami az elektromosságtanba nehezen építhető be. Ezért a telep telep működését egy fiktív, elektromos modellel írjuk le. Egy pozitív q töltésnek a telep egyik oldaláról a másikra történő átviteléhez szükséges W* idegen munkát egy idegen E* elektromos térerősség munkájaként fogjuk fel, aminek nagyságát a W * = ∫ qE* dr = q ∫ E* dr

kifejezéssel adjuk meg. Látható, hogy ez a munka az átvitt töltés, és egy, a telepre jellemző mennyiség szorzataként írható fel. A telepre jellemző mennyiség ebből úgy kapható meg, hogy az „idegen” munkát elosztjuk az átvitt töltéssel: W* ε= . q Az így kapott ε jellemzőt a telep elektromotoros erejének nevezik. Az elnevezés nem szerencsés, hiszen ε nem erő-, hanem potenciálkülönbség- (feszültség-) jellegű mennyiség, egysége 1 V. Az elektromotoros erő egy áramkörbe be nem kapcsolt telep esetén az idegen térerősségnek megfelelő feszültséget hoz létre a telep két pólusa között, amit gyakran


3

generátorfeszültségnek neveznek, és nagyságát U G -vel jelölik. Az elektromotoros erőés a generátorfeszültség nagysága megegyezik. Egy telepre kapcsolt áramkör rendszerint nagy ellenállású- és az ezeket összekötő, elhanyagolható ellenállású szakaszokból áll. Mivel egy vezető végei közti potenciálkülönbség arányos a vezető ellenállásával, az igen kis ellenállású szakaszok, az ún. vezetékek végei közti potenciálkülönbség elhanyagolható a nagy ellenállású szakaszok, az ún. ellenállások végei közti potenciálkülönbségek mellett. Mivel a telep az áramkör része, a telep által létrehozott áram magán a telepen is átfolyik, és a telepnek saját ellenállása, ún. belső ellenállása is van, amit az áramkör vizsgálatánál + figyelembe kell venni. A belső ellenállás egyik következménye az, hogy a telep két pólusa között Rb ε mérhető feszültség nagysága eltér az elektromotoros erő nagyságától, ezért a telepet az áramkörökben úgy modellezik, hogy az a töltésmozgást biztosító ideális elektromotoros R1 R2 R3 erőből (ε) és a telep ellenállását képviselő, belső ellenállásból (Rb) áll (ábra). U2 U3 U1 A telepek, vezetékek és ellenállások I bevezetésével egy egyszerű áramkör az ábrán Ub UT + látható módon rajzolható fel. ε

UG

Rb

Egy áramkörben folyó áram és az egyes áramköri elemeken kialakult feszültségek között az Ohm-törvény és az elektrosztatika I. alaptörvénye segítségével kaphatunk összefüggést. Azt a kérdést, hogy az elektrosztatika I. alaptörvénye érvényes-e állandó áramok esetén, a tapasztalat alapján lehet eldönteni. A kísérletek azt mutatják, hogy az I. alaptörvény teljesül állandó áramú áramkörök esetén is, vagyis, ha egy áramkörben körbejárunk, és a mért feszültségeket összeadjuk, akkor a teljes körüljárás végén nullát kapunk eredményül. A fenti, egyszerű áramkörben ez azt jelenti, hogy U1 + U 2 + U 3 + U b + UT = 0 , ahol a feszültségeket előjelesen kell behelyettesíteni ( U T előjeles mennyiség, amelynek nagysága a generátorfeszültséggel illetve az elektromotoros erővel azonos). A feszültségek előjelére az alábbi megállapodást fogadjuk el: − a feszültség pozitív, ha az áramköri elemen áthaladva a potenciál nő, − a feszültség negatív, ha az áthaladásnál a potenciál csökken. Ha pl. az áramkört az áram haladásának irányában járjuk körbe (az ábrán a szaggatott vonal jelzi a körüljárást), és I az áram- UG pedig a generátorfeszültség nagyságát jelenti (I>0 és U G = U T > 0 ), akkor az Ohm-törvény alkalmazásával az egyenlet az alábbi alakot ölti − IR1 − IR2 − IR3 − IRb + U G = 0 . Mivel az áramkörben nincs elágazás, az ellenállásokon ugyanaz az áram folyik át (Kirchhoff I. törvénye). Ha bevezetjük az R1 + R2 + R3 = R jelölést, akkor az egyenlet egyszerűbb alakba írható: − IR − IR b + U G = 0


4

illetve U G = IR + IR b Itt tehát R a telepen kívüli ellenállások összege az áramkörben, amit külső ellenállásnak is nevezhetünk. Vegyük észre, hogy az áram meghatározása szempontjából az R ellenállás helyettesíti az egymással sorba kapcsolt R1, R2 és R3 ellenállásokat, azok eredőjeként fogható fel. Az egyenlet felírható még az elektromotoros erő segítségével is, ekkor az ε = IR + IR b alakot kapjuk. Ha az elektrosztatika I. alaptörvénye érvényes az állandó áramokra, akkor a fenti egyenlet egy bonyolult, elágazásokat is tartalmazó hálózatban, tetszőlegesen kiválasztott zárt hurokra is fennáll. A hurkot a csomópontok ágakra bontják, amelyeken belül az áram mindenütt ugyanaz. Egy ágon belül az áram mindenütt azonos, de a hurok különböző ágaiban az áramok eltérőek lehetnek. Ezért egy hurokban elvileg annyiféle áram folyhat, amennyi a hurok körüljárásakor érintett ágak száma. Az alábbi ábrán látható hurokra például, a megadott körüljárást követve, a berajzolt áramirányokkal a következő egyenlet írható fel: − I 1 R1 + U G 1 − I 1 Rb1 + U G 2 − I 2 R2 − I 2 ( Rb 21 + Rb 22 ) + U G 3 + I 3 ( R31 + R32 ) + I 3 Rb 3 − U G 4 − I 4 ( R41 + R42 + R43 ) − I 4 Rb4 − U G 5 − I 5 ( R51 + R52 ) = 0. Ha az előbbi példa mintájára az egyazon ágban lévő külső- és belső ellenállásokat az összegükkel helyettesítjük ( Rb 21 + Rb 22 = Rb 2 , R31 + R32 = R3 , R41 + R42 + R43 = R4 , R51 + R52 = R5 ), akkor az egyszerűbb − I 1 R1 − I 2 R2 + I 3 R3 − I 4 R4 − I 5 R5 −

R1 R52 R51

R43

I1

Rb1 UG1

UG2

R2

I5

I2 UG3

UG5

R31

UG4

R42

Rb3 R41

+ U G1 + U G 2 + U G 3 − U G 4 − U G 5 = 0

Rb22

I3 I4

Rb4

− I 1 Rb1 − I 2 Rb 2 + I 3 Rb 3 − I 4 Rb 4 +

Rb21

R32

egyenletet kapjuk. Általános esetben a törvény tetszőleges zárt hurokra az alábbi módon írható fel: ∑ I k Rk + ∑ I m Rbm + ∑U Gm = 0 . k

m

m

Itt Rk a hurok k-adik ellenállása, Ik a k-adik ellenálláson folyó áram, UGm a hurok medik telepének generátorfeszültsége, Rbm az m-edik telep belső ellenállása. Ezt a törvényt Kirchhoff II. törvényének nevezik. A törvény alkalmazásával kapcsolatban az a gyakorlati probléma merül fel, hogy egy bonyolult hálózatban egy zárt hurok áramainak irányát nem tudjuk előre megmondani. Kimutatható azonban, hogy az áramirányokat tetszőlegesen felvéve, az áramerősségek


5

nagyságára a helyes értéket kapjuk, az áram előjele viszont negatívnak adódik, ha rossz áramirányt tételeztünk fel. Így utólag a helyes áramirányokat is meg tudjuk állapítani. A két Kirchhoff-törvény segítségével tetszőleges hálózat bármelyik ágában folyó áram kiszámítható, ha a hálózatban ismerjük az ellenállásokat és a telepeket (belső ellenállásukkal és generátorfeszültségükkel). A Kirchhoff-törvények alkalmazása

Most a csomópontokra érvényes I. törvény, és a hurkokra vonatkozó II. törvény alkalmazását mutatjuk be két egyszerű példán. Az első esetben egy telephez egyetlen külső ellenállás (R) R csatlakozik (ábra). Mivel elágazás nincs, az I. törvényből következik, hogy az I áramkör minden pontján ugyanaz az I áram folyik. Körbehaladva az áram irányában (az áramirány és a körüljárás önkényesen választható) a II. törvény szerint a feszültségek Rb UG összege nulla − IRb − IR + U G = 0 . UK Ebből az áram megkapható: UG I= . R + Rb A telep sarkai (kapcsai) közti feszültséget kapocsfeszültségnek nevezik, és rendszerint UK-val jelölik. Ez esetünkben megegyezik a külső ellenállás végei közötti feszültséggel, tehát U K = IR . Másrészt a huroktörvény alapján a kapocsfeszültség: U K = U G − IRb . Ugyanez az összefüggés az elektromotoros erő nagyságával is felírható ( ε = U G ) U K = ε − IRb Ebben az egyszerű esetben tehát U K < U G ( U K < ε ), vagyis a kapocsfeszültség kisebb, mint a generátorfeszültség (elektromotoros erő). A kettő csak akkor egyezik meg, ha a körben nem folyik áram (I=0), mert ekkor a fenti egyenletből azt kapjuk, hogy U K = U G . Bonyolultabb áramkör esetén több egyenlet felírása szükséges. Az ábrán látható esetben pl. az áramkör 3 ágból áll. Mivel egy ág minden pontján azonos az áramerősség, az ábrán látható esetben 3 különböző áramérték lehetséges. Ezek meghatározásához 3 független egyenletre van szükség. A csomóponti törvényből a baloldali csomópontra azt kapjuk, hogy − I1 − I 2 − I3 = 0 . A másik csomópontra ugyanez az egyenlet adódik, tehát a csomópontokra csak egy független egyenlet írható fel. Az ábrán a-val jelölt hurokra az − I 1 R1 + U T 1 − I 2 R2 + U G 2 = 0

R1 a

I1 I3

UG2 R3

I2

UG1

I1

R2

b

I3 UG3


6

egyenletet, a b-vel jelölt hurokra pedig az − U G 2 + I 2 R2 − U G 3 + I 3 R3 = 0 egyenletet kapjuk. A harmadik lehetséges hurok az áramkör külső kontúrja lenne, de könnyen belátható, hogy az erre felírt hurokegyenlet az a és b hurokra felírt egyenletek összege, vagyis nem független egyenlet. Ebben az esetben tehát a 3 ismeretlen áram meghatározásához 3 független egyenletet tudtunk felírni, így az áramértékek egyértelműen meghatározhatók. Kimutatható, hogy ez általában is így van: mindig annyi független egyenlet írható fel, amennyi az ismeretlen áramok száma. Példaként számítsuk ki a fenti hálózatban folyó áramokat, ha R1 = 1ohm , R2 = 2 ohm , R3 = 3 ohm és U G 1 = 1V , U G 2 = 1V , U G 3 = 1V . Behelyettesítés után az − I1 − I 2 − I3 = 0

I1 − 1 + 2I 2 − 1 = 0 1 − 2 I 2 + 1 − 3I 3 = 0

6 8 2 A, I 2 = − A, I 3 = A . Mivel 11 11 11 az I 2 áramra negatív értéket kaptunk, ennek irányát rosszul vettük fel: a középső ágban az áram a feltételezettel ellenkező irányú (nagysága a számított érték nagyságával azonos).

egyenletrendszert kapjuk, aminek megoldása: I 1 =

Bonyolultabb hálózatokban általában nem igaz, hogy a kapocsfeszültség mindig kisebb, mint a generátorfeszültség. Ennek az az oka, hogy ilyenkor egy telep belső ellenállásán más telepek által keltett áramok is átfolynak, és az így létrejött feszültség módosítja a kapocsfeszültséget. A Kirchhoff-törvények segítségével számos hasznos összefüggés vezethető le. Így például könnyen bebizonyítható, hogy egymással sorba- vagy párhuzamosan kapcsolt ellenállások helyettesíthetők egy ellenállással, amelyen átfolyó áram és a végei közt mért feszültség azonos az eredeti ellenállásokon átfolyó árammal és az ellenállássor végei közötti feszültséggel. A megfelelő helyettesítő (eredő) ellenállások az alábbi összefüggésekből kaphatók: Resoros = ∑ Ri i

1 R

párh e

=∑ i

1 . Ri

Energiaviszonyok elektromos áramkörben A vezetőben folyó állandó áramot a telepben zajló idegen folyamat által végzett munka tartja fenn. A töltések mozgatására fordított energia a töltések mozgása során hővé alakul. Ezt az energiamérleget az ábrán látható, egyszerű áramkör vizsgálatával könnyen számszerűsíthetjük. Az áramkörre felírva Kirchhoff II. törvényét, az ε = IR + IRb

R

Rb

ε


7

összefüggést kapjuk. Ebből úgy kapunk Δt időtartamra vonatkozó energiamérleget, hogy megszorozzuk IΔt -vel. Ekkor az alábbi egyenletet kapjuk: εIΔt = I 2 RΔt + I 2 Rb Δt ⇑

⇑

⇑

telep hasznos elveszett

A baloldalon a telepben működő idegen hatás (az ε elektromotoros erő) által Δt idő alatt végzett munka (Wössz) áll, ami a jobboldalon álló munkákra fordítódik. A jobboldal első tagja a külső ellenálláson (az ún. fogyasztón) ugyanennyi idő alatt hővé alakuló energia, amit hasznos munkának (Wh) neveznek (ezt lehet pl. világításra, fűtésre, motor hajtására használni). A jobboldal második tagja a telepben ugyanezen idő alatt hővé alakult energia, ami nem hasznosítható, ez tehát elveszett energia (Wveszt). Az energiamérleg ezekkel a jelölésekkel: Wössz = Wh + Wveszt Hasonló összefüggést kapunk a teljesítményekre is, ha a munkák összefüggését elosztjuk a Δt idővel: εI = I 2 R + I 2 Rb . A fenti jelölésekkel a teljesítménymérleg: Pössz = Ph + Pveszt . Innen kiszámítható az energiahasznosítás hatásfoka: P R η= h = . Pössz R + Rb Látható, hogy a hatásfok akkor lenne 1, ha a telepnek nem lenne belső ellenállása. Mivel ez a gyakorlatban nem valósítható meg, a hatásfok mindig kisebb 1-nél. Egy telep működésének fontos jellemzője, hogy adott külső ellenállás esetén mennyi a belőle kivehető hasznos teljesítmény. Ezt a

Ph = I 2 R =

ε2

(R + Rb )2

R

összefüggésből számíthatjuk ki. Látható, hogy a hasznos teljesítmény nem csak a telep adataitól (ε, Rb) függ, hanem az alkalmazott külső ellenállástól is: Ph = Ph ( R ) . Mivel ez a függvény nagy- és kis R értékeknél egyaránt nullához tart, várható, hogy valamilyen R értéknél maximuma van. A maximumhely feltétele a differenciálhányados eltűnése: dPh R −R =ε2 b =0. dR (R + Rb )3 Maximum tehát akkor van, ha R = Rb , vagyis a legnagyobb hasznos teljesítmény akkor vehető ki a telepből, ha a külső ellenállás egyenlő a telep belső ellenállásával. A hasznos teljesítmény növelése érdekében tehát a fogyasztót az ellenállás szempontjából illeszteni kell az áramforráshoz.

TÓTH A.: Elektrosztatika/1 (kibővített óravázlat)

1

Az elektromos kölcsönhatás Régi tapasztalat1, hogy megdörzsölt testek különös erőket tudnak kifejteni. Így pl. megdörzsölt műanyagok (fésű), megdörzsölt üveg- vagy ebonitrúd papírdarabokat, apró porszemcséket, hajszálakat képes magához vonzani, de a tapasztalat szerint a megdörzsölt testek között taszítás is felléphet. A dörzsöléssel ilyen különleges állapotba hozott testek által kifejtett erőket nem tudjuk megmagyarázni semmilyen mechanikai jellegű vagy gravitációs kölcsönhatással. A dörzsölés révén tehát az anyagnak egy új tulajdonsága válik érzékelhetővé, amely egy eddig ismeretlen kölcsönhatást okoz. Ezt a kölcsönhatást elektromos- vagy elektrosztatikus kölcsönhatásnak, az anyagnak az elektromos kölcsönhatást okozó sajátságát elektromos töltésnek nevezzük. Elektromos erőhatások, az elektromos töltés Az elektromos kölcsönhatás megismeréséhez először az elektromos állapotba hozott testek között fellépő erőhatásokat kell tanulmányozni, mert csak így ismerhetjük meg a kölcsönhatást okozó elektromos töltések sajátságait, és így juthatunk el az elektromos kölcsönhatás számszerű leírásához. A legegyszerűbb a nyugvó (sztatikus) elektromos töltések2 között fellépő erőket vizsgálni. Értelemszerűen az elektromos jelenségek kutatásának ezt a területét elektrosztatikának nevezzük. Az erőhatásokkal kapcsolatos alapkísérletek egyszerű eszközökkel végrehajthatók. KÍSÉRLET_1: ♦ Bőrrel megdörzsölt üvegrúd, szőrmével megdörzsölt ebonitrúd apró tárgyakat magához vonz, majd eltaszítja azokat. ♦ Az üvegrúd dörzsölésére használt bőr és az ebonitrúd dörzsölésére használt szőrme ugyanilyen erőhatásokat fejt ki. KÍSÉRLET_2: Üvegrudakat bőrrel, ebonitrudakat szőrmével dörzsölünk meg, és megfigyeljük a megdörzsölt rudak illetve a dörzsölő anyagok között fellépő kölcsönhatásokat. Ehhez a üvegrudat és ebonitrudat vízszintes helyzetben felfüggesztünk egy cérnaszálra, majd ezek egyik végéhez egy másik megdörzsölt testet közelítünk. Ekkor a kölcsönhatás miatt a felfüggesztett rúd elfordul. A kölcsönható párok között az alábbi erőhatásokat tapasztaljuk: ♦ üveg - üveg kölcsönhatás: taszítás ♦ üveg - üveget dörzsölő bőr kölcsönhatása: vonzás ♦ ebonit – ebonit kölcsönhatás: taszítás ♦ ebonit – ebonitot dörzsölő szőrme kölcsönhatása: vonzás ♦ üveg - ebonit kölcsönhatás: vonzás ♦ üveg - ebonitot dörzsölő szőrme kölcsönhatása: taszítás ♦ ebonit – üveget dörzsölő bőr kölcsönhatása: taszítás A kísérletek alapján a jelenségeket megpróbáljuk értelmezni: 1

A görögök kb. 2500 évvel ezelőtt már tapasztalták, hogy a megdörzsölt borostyán könnyű tárgyakat (tollpihe, szalmaszál) magához vonz. A borostyán görög neve „elektron”: innen ered az elektron és az elektromosság elnevezés. 2 A továbbiakban az „elektromos töltés” kifejezés helyett gyakran a rövidebb „töltés” kifejezést használjuk.


2

♦ A dörzsölés az összedörzsölt két testet olyan állapotba hozza, amely valami erőkifejtésre képes „anyagi dolog” megjelenésével jár együtt, ezt nevezzük elektromos töltésnek. ♦ A kísérletek csak úgy értelmezhetők, ha kétféle elektromos töltést tételezünk fel: az egyik fajta töltés az összedörzsölt testek egyikén-, a másik fajta töltés a másikon jelenik meg. ♦ Megállapodás szerint a bőrrel megdörzsölt üvegrúdon megjelenő töltést pozitívnak, a szőrmével megdörzsölt ebonit töltését negatívnak nevezzük1. ♦ Az azonos előjelű töltések taszítják egymást, az ellenkező előjelűek vonzzák egymást, ennek alapján feltételezhető, hogy az üvegrudat dörzsölő bőrön negatív töltés van, az ebonitot dörzsölő szőrmén pedig pozitív. ♦ Mivel a magukra hagyott testek normális körülmények között (dörzsölés nélkül) általában elektromos erőhatásokat nem fejtenek ki egymásra, fel kell tételeznünk, hogy az anyagokban azonos mennyiségű pozitív és negatív töltés van, amelyek egymás hatását semlegesítik, ezért kifelé az anyagok elektromos töltései nem érzékelhetők. A dörzsölés hatására fellépő elektromos jelenségeket eszerint úgy értelmezhetjük, hogy a dörzsölés szétválasztja az anyagban azonos mennyiségben található pozitív és negatív töltéseket, így az összedörzsölt testek egyikén többlet pozitív-, a másikon többlet negatív töltés jelenik meg. A szétválasztott töltések között erőhatás lép fel, amit a töltést hordozó testek kölcsönhatásaként érzékelünk. ♦ Ma már azt is tudjuk, hogy az elektromos töltéseket a földi anyagot alkotó két elemi részecske, a proton és az elektron hordozza. Ezek közül a proton töltése pozitív (ez jelenik meg a megdörzsölt üvegrúdon), az elektroné pedig negatív (ez jelenik meg a megdörzsölt ebonitrúdon). Az elektromos töltések további tulajdonságait szintén egyszerű kísérletekkel vizsgálhatjuk meg. KÍSÉRLET_3: ♦ Cérnaszálra felfüggesztett sztaniollemezt (alumínium fóliát) a megdörzsölt üvegrúd vagy ebonitrúd magához vonzza, majd eltaszítja. A taszítás oka az, hogy a fémlemez a megdörzsölt rúd töltését átveszi, tehát a rúddal azonos töltésűre feltölthető. ♦ Azt, hogy a dörzsölésnél töltésszétválasztás történik, az is mutatja, hogy az üvegrúddal pozitívra feltöltött sztaniollemezt a dörzsölő bőr vonzza (a bőrön tehát negatív töltés maradt), az ebonittal negatívra feltöltött sztaniollemezt a dörzsölő szőrme vonzza (a szőrmén pozitív töltés maradt). KÍSÉRLET_4: ♦ A töltések jelenlétének kimutatására szolgáló egyszerű eszközök az ábrán látható elektroszkópok. Ezek két vékony, hajlékony fémlemezből (pl. alumínium fólia; a) ábra) vagy cérnaszálakra felfüggesztett két bodzabél (hungarocell) golyóból (b) ábra) állnak, amelyeket egyik végükön egy fém tartón egymáshoz rögzítünk. Ha a közös végre töltést viszünk, a lemezek illetve a bodzabél golyók – a közöttük fellépő taszítás miatt – egymástól eltávolodnak, szétágaznak.

a)

b)

1 Az elnevezés B. Franklintól származik, aki a pozitív és negatív számokat tekintette mintának: az ellenkező előjelű töltések egymás hatását kioltják, ugyanúgy, ahogy a pozitív és negatív számok összeadva egymást „megsemmisítik.


3

♦ Ezeknek az eszközöknek komolyabb – mérésre is alkalmas – változatai az elektrométerek. Ezek lényegében egy fémvázból (1) és a hozzá vízszintes tengellyel csatlakozó, mutatóként működő, vékony fémrúdból (2) állnak. Az eszközt a zavaró külső hatások 4 kiküszöbölése érdekében egy fém házban (3) 3 1 helyezik el, amelyet a fémváztól elszigetelnek (4). Az elektroszkóp töltetlen állapotában a 2 mutató függőlegesen lóg (a) ábra). Ha a fémváz 2 tetején lévő fémgömbre töltést viszünk fel, 5 akkor az 1 fémváz és a 2 mutató ugyanolyan előjelű töltést kap, így köztük taszítás lép fel. Ennek következtében a mutató eltávolodik a a) b) fémváztól, elfordul a tengelye körül, és jelzi a töltés jelenlétét (b) ábra). A mutató kitérését egy mögötte elhelyezett skálán (5) leolvashatjuk, így az eszköz durván a felvitt a töltés nagyságát is jelzi. KÍSÉRLET_5: Két elektrométert egymás mellé helyezünk, és az alábbi kísérleteket végezzük el. ♦ Az egyik elektrométert feltöltjük, majd a töltött és töltetlen elektrométer gömbjeit fémrúddal összekötjük. Ekkor az eredetileg töltetlen elektrométer is töltést mutat, vagyis a töltés bizonyos anyagokkal egyik helyről a másikra elvezethető. Azokat az anyagokat, amelyek a töltést képesek elvezetni vezetőknek nevezzük (ilyenek pl. a fémek). Környezetüktől elszigetelt vezetők dörzsöléssel vagy a hozzájuk érintett, töltött állapotba hozott (megdörzsölt) anyagokkal feltölthetők (a környezettől való elszigetelés fontos, mert a felvitt többlet-töltések csak ekkor maradnak meg a vezetőn). ♦ Ha a töltött- és töltetlen elektrométert farúddal kötjük össze, akkor a töltetlen elektrométer továbbra is töltetlen marad, nincs töltésvándorlás. Vannak tehát olyan anyagok, amelyek a töltést nem vezetik. Ezeket szigetelőknek nevezzük. Dörzsöléssel a szigetelőkön tudunk töltéseket könnyen felhalmozni, mert a szigetelőkről a szétválasztott töltések nem vezetődnek el. ♦ Ha a két elektrométerre ellenkező előjelű töltést viszünk, majd azokat vezetővel összekötjük, akkor mindkét elektrométer töltése csökken: a kétféle töltés kompenzálja egymás hatását. KÍSÉRLET_6: Elektromos megosztás: ♦ Két töltetlen elektrométert vezető rúddal kötünk össze, és az egyikhez feltöltött üvegrudat (pozitív töltés) közelítünk. Ekkor mindkét elektrométer töltést mutat. Ha az üvegrudat eltávolítjuk az elektrométer közeléből, akkor az elektrométerek töltése eltűnik. Ezt a jelenséget annak a megfigyelésnek a segítségével érthetjük meg, hogy vezetőkben a töltések könnyen elmozdulhatnak: a két elektrométerből és az összekötő rúdból álló összefüggő vezetőben a pozitív töltésű üvegrúd a negatív töltéseket a rúdhoz közeli elektrométerre vonzza, a távoli elektrométeren pedig pozitív töltés marad. Így mindkét elektrométer töltést jelez. A vezetőkben a közelükben elhelyezett töltések által okozott ilyen töltésszétválást elektromos megosztásnak nevezik. A megosztó hatás megszűnése után a töltések visszarendeződnek eredeti állapotukba.


4

KÍSÉRLET_7: A megosztott töltések szétválaszthatók, és újra egyesíthetők: ♦ Az összekötő vezető rudat a megosztott rendszerről levéve, a szétválasztott töltés megmarad az elektrométereken. ♦ A két elektrométert újra vezetővel összekötve, a megosztott töltések semlegesítik egymást, a töltés mindkét elektrométerről eltűnik.

KÍSÉRLET_8: Töltés előjelének meghatározása elektrométerrel a megosztás jelensége alapján: ♦ Elektrométert ismert töltéssel látunk el, majd ismeretlen előjelű töltést közelítünk hozzá. Ekkor a megosztás miatt a kitérés nő, ha az ismeretlen töltés előjele megegyezik ez elektrométerével, ellenkező előjelű töltésnél a kitérés csökken. Az elektrosztatikus kölcsönhatás számszerűsítése, a Coulomb-törvény Az elektromos töltések kölcsönhatásának számszerű vizsgálatát először Coulomb (1785) végezte el. A mérés során töltött vezető gömbök kölcsönhatását mérte az igen kis erők mérésére alkalmas torziós mérleggel. A torziós mérleg vékony, rugalmas szálra súlyzószerű elrendezésben, a "súlyzó" tömegközéppontjánál felfüggesztett két azonos méretű fémgömb (ábra). Ha a szál elég vékony, akkor a "súlyzó" egyik gömbjére ható igen kis erő esetén is mérhető módon elfordul. Az elfordulás során a rugalmas szálban egy visszatérítő nyomaték lép fel, amely arányos a szögelfordulással. Emiatt a visszatérítő F1 nyomaték egy meghatározott szögelfordulásnál kompenzálja a Q1 súlyzóra ható erő nyomatékát, és egyensúly alakul ki. A visszatérítő + nyomaték a szögelfordulásból meghatározható, abból pedig a r + súlyzóra ható ismeretlen erő kiszámítható. F2 Q2 A Coulomb-féle mérésnél a fémgömbök egyikére vitték fel (pl. megdörzsölt üvegrudat érintve hozzá) a kölcsönható töltések egyikét (Q1), és ennek közelében helyezték el a másik töltött testet (Q2 töltésű fémgömb). A torziós mérleg a gömbök elektromos kölcsönhatása miatt elfordul. Megmérve az elfordulás szögét, és ismerve a felfüggesztő szál rugalmas tulajdonságait, a golyók között fellépő erő meghatározható. A gömb választása azért szerencsés, mert ♦ gömbszimmetrikus a töltéseloszlás, ami várhatóan leegyszerűsíti a mérés kiértékelését (később látni fogjuk, hogy a gömb egy pontszerű töltéssel azonos módon viselkedik) ♦ egy töltött gömböt ugyanolyan üres gömbhöz érintve a töltés felezhető, vagyis mód van a töltés nagyságának mérésére. A berendezésben változtatható a kölcsönható testek egymáshoz viszonyított helyzete, vagyis tanulmányozható a vonzóerő távolságfüggése, és mód van arra is, hogy a mérést különböző nagyságú töltésekkel végezzük el. A mérések szerint a kölcsönhatásnál fellépő erők nagysága arányos a kölcsönható töltések nagyságával, és fordítva arányos a töltések távolságának négyzetével. Az ábra jelöléseivel: QQ F12 = F21 ~ 1 2 2 . r12


5

Szigorúan véve a töltések r12 távolságának csak akkor van értelme, ha pontszerű töltésekről van szó, vagyis ha a töltések mérete sokkal kisebb, mint a köztük lévő távolság. Később látni fogjuk, hogy gömbszimmetrikus töltéseloszlásnál távolságként a F21 gömbök középpontjainak távolsága használható. Az arányossági tényezőt Ke-vel jelölve, az egyes töltésekre ható + u12 erő vektori alakban (ábra): Q2 r12 Q1Q2 + F21 = −F12 = K e 2 u12 F12 Q1 r12 Ez a Coulomb-törvény, ahol r12 a két test távolsága, u12 az 1 testtől a 2 testhez mutató egységvektor, Q1 és Q2 a testek elektrosztatikus kölcsönhatásának erősségét jellemző elektromos töltések, Ke pedig egyelőre ismeretlen arányossági tényező. A törvény kifejezi azt a tapasztalatot is, hogy azonos előjelű töltések ( Q1 ⋅ Q2 > 0 ) taszítják, ellenkező előjelűek ( Q1 ⋅ Q2 < 0 ) pedig vonzzák egymást. A tapasztalat szerint a két kölcsönható töltésre ható erő ellentétes irányú és azonos nagyságú (Newton III. törvénye teljesül): F12 = -F21. Ez a törvény akkor érvényes, ha a két kölcsönható test környezetében nincs más, a kölcsönhatást zavaró – pl. elektromosan töltött – test. Ez gyakorlatilag azt jelenti, hogy a két töltés kölcsönhatását üres térben – vákuumban – kellene vizsgálnunk, hiszen az anyagokat töltött részecskék építik fel, s ezek a töltések módosítják a kölcsönhatást. Kimutatható azonban, hogy a levegő módosító hatása igen kicsi, így a méréseket levegőben végezve, igen jó közelítéssel megkapjuk a vákuumban érvényes törvényt1. A törvénnyel kapcsolatban két kérdés vetődik fel: ♦ mi a Q egysége? ♦ mennyi a Ke? Azt a problémát, hogy egyetlen összefüggésből két új mennyiséget, a töltést és az arányossági tényezőt kell meghatároznunk, kétféleképpen oldhatjuk meg (ugyanezzel a problémával találkoztunk már Newton II. törvényénél is, ahol a két mennyiség a tömeg és az erő volt): ♦ önkényesen rögzítjük a töltés egységét (pl. egységként egy reprodukálható módon feltöltött test töltését választjuk). Ekkor a Ke arányossági tényező mérés útján határozható meg: ha két, egymástól r12=d távolságban lévő, egységnyi töltésű (Qegys) test által

Fd 2 2 Qegys összefüggésből kapjuk meg. A töltés ma használt, törvényben rögzített egysége (az ún. SI egység) 1 Coulomb=1C2. A töltés egységének ilyen választása esetén két 1C nagyságú töltés között 1m távolságban F = 9 ⋅ 10 9 N erő lép fel, ezért a Coulomb-törvényben szereplő arányossági tényezőre az SI rendszerben azt kapjuk, hogy 2 9 ⋅ 10 9 N ⋅ 1m 2 9 Nm Ke = = 9 ⋅ 10 . 1C 2 C2 egymásra kifejtett F12=F erőt megmérjük, akkor az arányossági tényezőt a

Ke =

♦ a másik lehetőség az, hogy önkényesen rögzítjük a Ke állandót, ekkor Q egysége a Coulomb-törvényből

származtatható. Ezt az eljárást követik a fizika bizonyos területein még ma is használatos elektrosztatikus CGS rendszerben. Itt önkényesen a Ke=1 egység nélküli értéket választják, amiből következik, hogy az elektromos töltés egysége: 1g1/2cm3/2s-1.

1

A töltések kölcsönhatására vonatkozó Coulomb-törvényt eredetileg levegőben állapították meg. Csak később derült ki, hogy az anyag jelenléte módosítja a töltések kölcsönhatását. Az is kiderült azonban, hogy a levegőben kimért törvények a vákuumban érvényes törvényekkel gyakorlatilag azonosak. 2 Az 1C egységet az SI rendszerben az áramerősség egységéből (1 A) származtatjuk: 1 C=1 As.


6

Lényegében formai okokból (bizonyos alaptörvények egyszerűbb alakban írhatók fel) az SI rendszerben a Ke helyett egy új konstanst vezetnek be (ε0): 1 Ke = ⇒ ε0=8.855*10-12 C2/Nm2. 4πε 0 Ezzel a Coulomb-törvény az 1 Q1Q2 F21 = u12 4πε 0 r122 alakot ölti. A törvény nyugvó, pontszerű töltések (vagy gömbszimmetrikus töltéseloszlások) között vákuumban fellépő kölcsönhatást ír le. Az elektrosztatikus erők jellege, elektromos erőtér és elektromos térerősség Ha egy Q ponttöltés környezetében bárhol elhelyezünk egy másik (q) ponttöltést, akkor arra a Coulomb-törvénynek megfelelő erő hat, vagyis egy töltés maga körül a térben olyan fizikai állapotot hoz létre, amelynek eredményeképpen bármilyen másik, odahelyezett töltésre elektrosztatikus erő hat. Rövidebben ezt úgy szokás megfogalmazni, hogy a Q elektromos töltés maga körül ún. elektrosztatikus- vagy elektromos erőteret hoz létre. Azt, hogy valahol van-e elektromos erőtér, eszerint úgy állapíthatjuk meg, hogy a kérdéses helyre egy mérőtöltést teszünk, és ha erre erő hat, akkor ott az erőtér jelen van, ha nem hat erő, akkor nincs jelen. A fenti módszerrel tehát az erőtér létezését akkor is meg tudjuk állapítani, ha az erőteret létrehozó töltést nem ismerjük. A kérdés az, hogy lehet-e ezt az erőteret számszerűen is jellemezni. Azt, hogy egy töltés környezetében milyen "erősségű" erőtér jön létre, megpróbálhatjuk jellemezni például úgy, hogy a tér különböző pontjaiban meghatározzuk egy önkényesen kiválasztott pontszerű q pozitív mérőtöltésre ható erőt (ennek a mérőtöltésnek olyannak kell lennie, hogy jelenléte ne befolyásolja az eredeti viszonyokat). Vizsgáljuk meg, hogy milyen ez az erő különböző töltéselrendeződések által létrehozott elektromos erőtérben. Először egy Q pozitív ponttöltés által létrehozott erőteret vizsgálunk. Alkalmazzuk a Coulomb-törvényt erre az esetre. A q mérőtöltésre ható erő eszerint ⎛ 1 Q ⎞ 1 Qq Fq = u = q⎜⎜ u ⎟⎟ , 2 2 4πε 0 r ⎝ 4πε 0 r ⎠ ahol u az erőteret létrehozó töltéstől a mérőtöltés felé mutató egységvektor, r a kölcsönható töltések távolsága. Látható, hogy ez az erőhatás nemcsak az erőteret létrehozó Q töltésre jellemző, hanem a q mérőtöltéstől is függ. Az is látható azonban, hogy az erőhatás nagysága arányos a mérőtöltés nagyságával: Fq ~ q . Következő lépésként vizsgáljuk meg, hogy több ponttöltés által létrehozott erőtérben milyen erő hat a q mérőtöltésre. Ezt az erőt megpróbálhatjuk elméleti úton, a szuperpozíció elve alapján kiszámítani. Eszerint az elv szerint a kiválasztott q mérőtöltésre az egyes töltések által kifejtett erőt nem befolyásolja a többi töltés jelenléte, vagyis minden egyes erő úgy számítható ki, mintha a többi töltés ott sem lenne. A tapasztalat azt mutatja, hogy ez az elv – különleges esetektől eltekintve – teljesül. Ennek alapján a q töltésre ható eredő erőt úgy kaphatjuk meg, hogy az egyes töltések által egyenként kifejtett erőket vektorilag összeadjuk (ez látható az alábbi a) ábrán), vagyis a Q1, Q2,,...Qi... töltések által a mérőtöltésre kifejtett eredő erő (Fe) az alábbi módon kapható meg:


7

1 Qi ui . ∆Qi 4πε 0 ri 2 ui + Látható, hogy az erő most is F1 + ui arányos a mérőtöltéssel, a ri ∆Q2 1 Q Qi + F2 F1 ri ∑i 4πε r 2i ui q r2 u Fi 2 r1 0 i + F2 q Fi r u + 1 arányossági tényező pedig csak u2 2 r1 Q2 ∆ Q u az erőteret létrehozó töltésektől, 1 + 1 + továbbá a helytől függ. Q1 Q Hasonlóan járhatunk el, ha egy (pozitív) a) b) kiterjedt testhez tartozó folytonos töltéseloszlás által létrehozott erőteret akarunk jellemezni, csak ekkor a kiterjedt testet fel kell osztani igen kicsi térfogatelemekre (b) ábra), és az ezekben foglalt töltések által a kiszemelt pontszerű töltésre kifejtett erőket kell összegezni. Könnyen belátható, hogy az erő ekkor is arányos lesz a mérőtöltéssel. Fq Ez azt jelenti, hogy a vizsgált esetekben, adott helyen az mennyiség független a q mérőtöltéstől, csakis az erőteret létrehozó töltésekre jellemző. A töltések által létrehozott erőtér hatásait tehát ezekben az esetekben az Fq E= q vektorral jellemezhetjük. Azt, hogy ez a jellemző valóban mindig használható, kísérletileg kell megvizsgálni. A tapasztalat szerint az elektrosztatikus kölcsönhatásra a szuperpozíció elve érvényes, és az előbbi meggondolások általában is helyesek. Mindezek alapján az elektromos erőtér jellemzésére bevezethetünk egy vektormennyiséget, az alábbi definícióval: az elektromos töltések közelében létrejövő elektromos erőtérbe elhelyezünk egy pontszerűnek tekinthető, az eredeti viszonyokat elhanyagolható mértékben zavaró q pozitív mérőtöltést, és meghatározzuk (megmérjük vagy kiszámítjuk) a rá ható Fq elektromos erőt. Az elektromos erőtér jellemzésére az adott pontban az Fq E= q vektort használjuk, amelyet elektromos térerősségnek nevezünk, és ezt a definíciót mindenféle eredetű elektromos erőtér esetén érvényesnek tekintjük. A definíció alapján a térerősség mértékegységét is meghatározhatjuk, és arra azt kapjuk, hogy 1 N/C. Fe = q ∑

A fentiek alapján egy erőteret, amelyet valamilyen töltés maga körül létrehoz, úgy tudunk jellemezni, hogy az erőtér minden pontjában megadjuk az elektromos térerősségvektort. Ha ezt megtettük, akkor ahhoz, hogy egy tetszőleges pontban elhelyezett töltésre ható erőt kiszámítsuk, nincs szükségünk az erőteret létrehozó töltött objektumok ismeretére, hiszen azoknak az "erőkifejtő hatását" a térerősségvektor egyértelműen jellemzi. (Például, egy E térerősségű helyen elhelyezett q1 töltésre ható erő Fe=q1E.) Ebben az értelemben tehát a térerősség-vektorokkal jellemzett erőtér hordozza az erőteret létrehozó objektumok hatásait. Ennek alapján két töltött test kölcsönhatását úgy is felfoghatjuk, hogy az egyik maga körül létrehoz egy elektromos erőteret, és ez az erőtér hat a másikra: az erőtér közvetíti a


8

kölcsönhatást. Ez a felfogás szemben áll azzal a korábbi elképzeléssel, amely szerint az egymástól távol elhelyezkedő töltések közvetlenül és azonnal hatnak egymásra (ez volt az ún. távolhatás elképzelés). Ebben a kérdésben csak a tapasztalat dönthet, az pedig azt mutatja, hogy ha valahol töltés jelenik meg, akkor az erőtér először a töltés közelében változik meg, és a változás véges sebességgel halad tovább, a hatásokat az erőtér véges sebességgel közvetíti. A töltés tehát közvetlenül az erőtérrel áll kapcsolatban, vagyis a korábbi távolhatás elképzeléssel szemben ez az ún. közelhatás működik. A térerősséget a definíció alapján elvileg mérés segítségével határozhatjuk meg. Látni fogjuk azonban, hogy ismert töltéselrendeződések által létrehozott térerősség ki is számítható. Ha az erőteret pontszerű töltés hozza létre, akkor könnyű helyzetben vagyunk, hiszen ekkor a mérőtöltésre ható erőt a Coulomb-törvényből kiszámíthatjuk, és ebből – a korábban megismert módon – a térerősségvektor helytől való függését is megkapjuk. Bonyolultabb esetekben a számításhoz a térerősségvektor tulajdonságainak megismerése útján felállított általános törvényekre van szükség. Az elektromos erőtér szemléltetése, erővonalkép Az elektromos erőtérben a tér minden pontjához tartozik egy vektor, az E elektromos térerősségvektor, amely az elektromos erőteret (az ott fellépő erőhatást) jellemzi. Sok esetben nagyon hasznos, ha az erőtér jellegét szemléletessé tudjuk tenni, vagyis azt valamilyen módon ábrázoljuk. Az erőtér szemléletes megjelenítésének egy E3 lehetséges módja az, hogy különböző pontokhoz tartozó térerősségvektorokat E1 lerajzoljuk, ahogy az pontszerű negatív- és E2 E3 + pozitív elektromos töltés által létrehozott E1 erőtérben az ábrán látható. Így egy E2 térerősség-térképet kapunk, amely az egyes pontokban mutatja a térerősség nagyságát és irányát. Ennél áttekinthetőbb és hasznosabb ábrázolást kapunk a térerősségvonalak (másik szokásos elnevezéssel elektromos erővonalak)bevezetésével. A térerősségvonalakat úgy kapjuk, hogy a berajzolt térerősségvektorokhoz olyan görbéket szerkesztünk, amelyekhez egy pontban húzott érintő az adott ponthoz tartozó térerősségvektor irányába mutat. A térerősségvonalnak irányt is adunk, ami megegyezik a hozzátartozó térerősségvektorok irányával. Más szóval, a térerősségvonal az elektromos erőtér "irányváltozásait" követi és szemlélteti. Az alábbi ábrán vázlatosan bemutatjuk az előző ábrán is szereplő ponttöltések (a) és b) ábra) és egymáshoz közel elhelyezett pozitív és negatív elektromos töltés – egy ún. dipólus (c) ábra) – által létrehozott erőtér térerősségvonalait. A dipólus esetén a térerősségvektor egy adott pontban a két töltés által létrehozott térerősségek vektori összegeként kapható meg

E

+

a)

E

-

b)

E

-

+

c)

E

d)


9

(alkalmazzuk a szuperpozíció elvét). Bemutatunk továbbá egy fontos szerepet játszó speciális esetet, amikor egy bizonyos térrészben a térerősségvektor nagysága és iránya minden pontban azonos (d) ábra). Az ilyen erőteret, (vagy egy erőtér ilyen tartományát) homogén erőtérnek nevezik. Homogén erőtérben a térerősségvonalak párhuzamos egyenesek. Ezeket az erővonalakat egyszerűbb esetekben (pl. ponttöltés vagy ponttöltésekből álló töltésrendszerek) esetén meghatározhatjuk a térerősségvektorok kiszámításával, de az erővonalkép kísérletek segítségével is megvizsgálható. Erre az ad lehetőséget, hogy szigetelő anyagszemcsék elektromos erőtérben dipólusokká válnak. Ha ezeket a dipólusokat folyadékba betéve E mozgásképessé tesszük, akkor kölcsönhatásuk miatt rendeződnek: a dipólusok beállnak a térerősség irányába, ugyanakkor ellentétes -+ dipólus-lánc végükkel egymáshoz csatlakoznak, és láncokat képezve, kirajzolják az elektromos erőtér erővonalait (ábra). + -+

-+-

+-

+-

KÍSÉRLET: Egy üvegedénybe daraszemcséket tartalmazó olajat teszünk, majd az edény aljára ponttöltést, dipólust, síklapot vagy kondenzátort modellező fém elektródokat helyezünk el, és azokat feltöltjük (feszültséget kapcsolunk rájuk). Ekkor a daraszemcsék megmutatják a különböző töltések körül kialakuló elektromos erőtér erővonalait. Az üvegedényt vetítő gépre téve, a kapott térerősség-ábra jól láthatóvá tehető. Az alábbi ábrákon a valóságos képhez hasonló grafika látható, amely egy dipólus és két ellentétes töltésű, párhuzamos síklap elektromos erőterét mutatja. Az ábrákon bemutatott esetek azt sugallják, hogy a térerősségvonalak sűrűségével az elektromos térerősség nagysága is jellemezhető. Az erővonalábrákon ugyanis világosan látható, hogy a térerősségvektor nagyságának csökkenése irányában haladva (pl. a ponttöltéstől távolodva) a térerősségvonalak ritkulnak. A térerősségvonal-képbe elvileg tetszőleges számú térerősségvonalat berajzolhatunk, de célszerűnek látszik, hogy a térerősség nagyságának egyértelmű jellemzése érdekében valamilyen megállapodást fogadjuk el a berajzolt erővonalak sűrűségére vonatkozóan. Az általánosan elfogadott megállapodás a következő: a térerősségvonal-képet mindig úgy szerkesztjük meg, hogy bármely pontban a térerősségvonalakra merőleges egységnyi felületet annyi térerősségvonal metssze át, amennyi ott a térerősségvektor számértéke. Ez más szóval azt jelenti, hogy a térerősség számértéke az egységnyi (térerősségre merőleges) felületen átmenő erővonalak számát adja meg. Eszerint a megállapodás szerint egy elektromos erőtérben az E térerősségű helyen a térerősségvonalakra merőleges ∆AN nagyságú felületen át rajzolandó erővonalak N ∆A számát az ∆N ∆A ( E )számért . = ( ∆AN )számért . összefüggésből kaphatjuk meg: ∆N ∆A = ( E )számért .( ∆AN )számért .


10

Az ilyen módon elkészített térerősségvonal-képről a térerősség nagysága az ábrán látható módon olvasható le.

E=1 N/C

2

1m Nyilvánvaló, hogy homogén erőtérben egy adott helyen a E=3 N/C fenti szabály szerint megrajzolt erővonalsűrűség a tér bármelyik pontjában ugyanaz lesz, és a térerősségre merőleges felületet átmetsző erővonalak száma a fenti Q módon tetszőleges méretű felület esetén kiszámítható. Felmerül azonban a kérdés, hogy nem homogén erőtérben (pl. egy ponttöltés erőterében) igaz-e az, hogy ha egy adott helyen a szabály szerint megrajzoljuk az erővonalakat, majd ezeket meghosszabbítjuk, akkor az erővonalkép másutt is meg fog felelni a szabálynak? Próbáljuk megrajzolni a fenti definíció alapján egy pontszerű, pozitív Q ponttöltés körül kialakuló erőtér erővonalképét. Ehhez meg kell határoznunk, hogy a töltés elektromos erőterét szemléltető sugárirányú erővonalakat milyen sűrűn kell berajzolnunk, hogy az erővonal-ábra a térerősség nagyságát is tükrözze. Ebben az erőtérben a térerősség sugárirányú és gömbszimmetrikus, a töltéstől r távolságban a térerősség mindenütt azonos nagyságú. Ha az egyszerűség kedvéért a térerősségre merőleges felületként a töltés körül elképzelt r sugarú gömbfelületet vesszük fel, akkor ennek a felületnek minden egyes pontján a térerősség nagysága 1 Q E= . 4 πε0 r 2

Mivel a felület nagysága ∆AN = 4 r 2π , a berajzolandó erővonalak száma ⎛ 1

Q

⎞

⎛Q⎞

. 4 r 2π ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ∆N ∆A = ( E∆AN )számért . = ⎜⎜ 2 4 r πε 0 ⎝ ⎠ számért . ⎝ ε 0 ⎠ számért . Vegyük észre, hogy a szükséges erővonalak száma nem függ r-től, ezért a berajzolandó erővonalak száma a ponttöltéstől mért tetszőleges távolságban ugyanannyi. Ez azt jelenti, hogy egy adott helyen a szabály szerint berajzolt erővonalak megszakítás nélkül továbbrajzolhatók, nem kell új erővonalakat beiktatni vagy erővonalakat megszakítani. Érdemes megjegyezni, hogy ez az eredmény annak a speciális körülménynek a következménye, hogy pontszerű töltések elektrosztatikus kölcsönhatása – és ennek következtében egy ponttöltés térerőssége – 1/r2-es távolságfüggést mutat. Ezért esik ki a számolásból az r2, vagyis az erővonalszámnak az r-től való függése. További meggondolásokból (és a tapasztalatból) az is kiderül, hogy a fenti megállapítás nem csak ponttöltések, hanem tetszőleges töltéseloszlások erőterére is igaz: az elektrosztatikus erőtér erővonalai megszakítás nélkül, folytonos vonalakként rajzolhatók fel. A fenti számításból kiderült, hogy egy pozitív Q ponttöltésből összesen ⎛Q⎞ N e = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ε 0 ⎠ számért . számú erővonalnak kell kiindulni az erővonalak ábrázolására elfogadott szabály szerint, vagyis a gömbfelületet metsző erővonalak száma arányos a gömbfelületen belül található Q töltés nagyságával. Ebből az a fontos következtetés adódik, hogy ha a Q ponttöltést nem gömb alakú, zárt felülettel vesszük körül, a felületet metsző erővonalak száma akkor is ugyanannyi lesz, tehát a fenti összefüggés általában is érvényes. (A zárt felületre vonatkozóan itt annyi megszorítás van, hogy az állítás csak olyan felületre igaz, amelyet a töltésből kiinduló bármely erővonal csak egyszer metsz.)


11

Ha a töltés negatív, akkor az erővonalak száma ugyanennyi, csak most az erővonalak nem a töltésből indulnak ki, hanem abba érkeznek meg. Ha ugyanabban a pontban Q1>0 pozitív- és Q2<0 negatív töltést helyezünk el, akkor az eredő térerősség nagyságát a töltésektől r távolságban az 1 Q1 + Q2 1 Q1 − Q2 E= = 2 4 πε0 r 4 πε0 r2 összefüggés adja meg. Ilyenkor a töltéselrendezésből kiinduló, és a töltéseket körülvevő zárt felületet metsző erővonalak száma ⎛Q ⎞ ⎛ Q + Q2 ⎞ ⎛Q ⎞ ⎛Q ⎞ ⎛Q ⎞ ⎟⎟ N e = ⎜⎜ 1 . = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ + ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ − ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ ε 0 ⎠ számért . ⎝ ε 0 ⎠ számért . ⎝ ε 0 ⎠ számért . ⎝ ε 0 ⎠ számért . ⎝ ε 0 ⎠ számért . Ez a szám úgy is felfogható, hogy a zárt felületből kifelé haladó erővonalak számát pozitívnak-, a zárt felületbe befelé haladó erővonalak számát negatívnak tekintjük, és kiszámítjuk az erővonalszámok algebrai összegét (a kifelé- és befelé haladó erővonalak számának különbségét). Ellenkező előjelű ponttöltések egyidejű jelenléte esetén tehát a töltéseket körülvevő felületet metsző erővonalak előjeles összege arányos a felületbe bezárt eredő töltéssel. Ha a zárt felületet metsző erővonalak számát nem pontszerű töltések esetén vizsgáljuk, akkor kiderül, hogy a fenti megállapítás tetszőleges töltéseloszlások erőterére is igaz. Ezt a tapasztalatot érdemes valamilyen praktikusan használható matematikai formában megfogalmazni. Ehhez azonban szükség van egy olyan mennyiségre, amelynek segítségével automatikusan megkapható egy felületet egyik- illetve másik oldalról átmetsző erővonalak számának különbsége. Ez a mennyiség a fluxus, amit a következő pontban vezetünk be. Fluxus elektromos erőtérben, az elektrosztatikus erőtér II. alaptörvénye A felületet metsző erővonalakat előjelesen összeszámláló a mennyiséget az egyszerűség kedvéért először homogén elektromos erőtérben vezetjük be. Az E A homogén erőtérben a térerősségre merőleges A felületet (ábra) átmetsző erővonalak számát megadó EA mennyiség az elektromos erőtérnek az A felületre vonatkozó fluxusa, és jelölésére rendszerint a Φ EA szimbólumot használják: E Φ EA = EA Az alsó index arra utal, hogy ez az elektromos térerősség fluxusa, a felső index pedig azt mutatja, hogy a fluxus az A felületre vonatkozik. Az így definiált fluxus – a szemléletes jelentését megadó erővonalszámtól eltérően – nem dimenzió nélküli szám, hanem Nm2/C egységben megadott fizikai mennyiség. A vizsgált felület azonban nem mindig merőleges a térerősségre. Ilyenkor a fluxust (és a felületet metsző erővonalak számát) úgy AN A AN A kapjuk meg, hogy a felületnek a térerősségre merőleges AN vetületét szorozzuk meg a térerősséggel (a) ábra) α α Φ EA = EAN = EA cos α . E E uN Ebben az esetben a fluxus kiszámítása úgy is történhet, hogy a felület állását a felületre merőleges uN egységvektorral adjuk meg (b) ábra). Ekkor a fenti kifejezés úgy is a) b)


12

felfogható, mint az E vektor és az A uN vektor skaláris szorzata (ugyanis α éppen e két vektor által bezárt szög): Φ EA = EAu N = EA cos α . A legáltalánosabb – és eléggé gyakori – eset az, hogy az erőtér nem homogén, tehát a térerősség helyről-helyre változik, és a felület sem sík. Ilyenkor a szokásos eljárást követjük: a felületet olyan kis elemi részekre ( ∆Ai ) osztjuk, amelyeken belül a térerősség (Ei) már

Ei

Ei uNi

∆ Ai

∆A3 E3

E3 E1

u3

∆A3 E1

uN1 E2

∆ A1 uN2

∆Ai

∆A1

∆A2

∆ A2

a)

b)

közelítőleg állandónak tekinthető, és amely közelítőleg sík, tehát az állása megadható a rá merőleges uNi egységvektorral (a) ábra). Az egyes felületelemekre vonatkozó fluxust így a

∆Φ i = Ei ∆Aiu Ni kifejezés adja meg. Ez a kifejezés rövidebben is felírható, ha bevezetjük a felületvektort: ezt olyan vektorként definiáljuk, amely merőleges a felületre, és nagysága a felület nagyságával egyenlő. Eszerint a ∆Ai felületelem felületvektora ∆A i = ∆Aiu Ni . Ezzel a felületelemre vonatkozó fluxus (b) ábra) ∆Φ i = Ei ∆Ai . A teljes felületre vonatkozó fluxus közelítőleg az elemi ∆Φ i fluxusok összege, vagyis:

Φ EA ≈ ∑ ∆Φi = ∑ Ei ∆Ai .

ahol i a felületelem sorszáma. Az A felületre vonatkozó fluxus pontos értékét úgy kapjuk meg, hogy a felület felosztását egyre finomabbá tesszük (ekkor egyre inkább igaz lesz, hogy a felületelemen belül a térerősség már nem változik, és a felületelem síknak tekinthető), és megkeressük az így kiszámított összeg határértékét: Φ EA = lim ∑ ∆Φ i = lim ∑Ei ∆A i = ∫ EdA . ∆Ai →0

i

∆Ai →0

i

A

A matematikában az ilyen határérték neve: az E vektornak A felületre vett felületi integrálja, amelynek jelölésére az egyenlet jobboldalán álló integrál-szimbólumot használják. Kiszámításának módszereivel a matematika foglalkozik, az általunk vizsgálandó egyszerű


13

esetekben azonban ezekre az ismeretekre nem lesz szükségünk: ezt az integrál-szimbólumot a továbbiakban egy igen finom felosztáson végrehajtott összegzésként kezelhetjük. Ha a térerősségvonal-képet a tárgyalt megállapodás szerint rajzoljuk meg, akkor egyszerű esetekben az így definiált fluxus számértéke valóban megadja a ∆A felületelemet átmetsző térerősségvonalak számát. A fluxus azonban több, mint egyszerű térerősségvonal-szám: ♦ egyrészt azért, mert a fluxus láthatóan dimenzióval és egységgel rendelkező fizikai mennyiség, amely az elektromos erőteret jellemzi (tehát nem darabszám, mint a metsző erővonalak száma), ♦ másrészt azért, mert a fluxusnak előjele van, hiszen ha a térerősség és a felületvektor szöge α, akkor skaláris szorzat ismert tulajdonsága miatt a fluxus az α<900 esetben pozitív, az α>900 esetben pedig negatív (az előző ábrán pl. az 1 felületelemre vonatkozó fluxus pozitív, a 2 felületelemre vonatkozó fluxus pedig negatív). Eddig a fluxust hallgatólagosan mindig nyílt (tehát egy görbével határolt, pl. téglalap alakú) felületekre értelmeztük. Vizsgáljuk meg most, hogy egy zárt felületre (pl. egy krumpli héjára) hogyan lehet a fluxust kiszámítani. A definíció és az eljárás most is ugyanaz, mint egy nyílt felület esetén, csak el kell döntenünk, hogy az egyes felületelemek felületvektorait a zárt felületbe befelé (a krumpli belseje felé) vagy onnan kifelé irányítjuk. Ettől függni fog a kiszámított fluxus előjele, de a nagysága nem. A szokás az, hogy a felületvektort a zárt felületből kifelé mutató vektornak tekintik. Eszerint a definíció szerint a zárt felületbe befelé mutató elektromos térerősség esetén a fluxus negatív, a felületből kifelé mutató térerősség esetén pedig pozitív. A teljes zárt felületre vonatkozó fluxust ezek után a korábbiakhoz hasonlóan (elemi felületekre vonatkozó fluxusok összegeként) kaphatjuk meg. A zárt felület tényét a jelölésben is kiemelik, a fluxust jelölő felületi integrálban az integrál jelre egy kört rajzolnak: Φ Ezárt = ∫ EdA . A

A fluxus geometriai jelentésének A (zárt felület) A ΦΕ <0 ΦΕ >0 megfelelően ennek a mennyiségnek a számértéke a zárt felületet átmetsző erővonalak összegét adja meg. Ez az összeg azonban előjeles összeg: a zárt felület által határolt térfogatból (a krumpliból) kifelé dA (kifelé) mutató erővonalakat a fluxusban pozitív A A ΦΕ =0 ΦΕ =0 előjellel, a térfogatba (a krumpliba) kívülről befelé mutató erővonalakat pedig negatív előjellel vesszük figyelembe. Ezért a zárt felületre vett fluxus számértéke a felület belsejéből kilépő és a felület belsejébe belépő erővonalak számának a különbségét adja meg. Ez azt jelenti, hogy egy zárt felületre vett fluxus csak akkor különbözhet nullától, ha a felületen belül erővonalak kezdődnek vagy végződnek, és a kezdődő és végződő erővonalak száma különböző. Szemléltetésül a mellékelt sematikus ábrán bemutatjuk a zárt felületre vett fluxus néhány esetét. Érdemes ezt a szemléletes – de egyelőre csupán elméleti érdekességnek tűnő – eredményt összevetni az elektromos erővonalakra vonatkozó tapasztalatokkal.


14

Mind a térerősségre vonatkozó számítások (pl. ponttöltések esetén), mind pedig a kísérletek azt mutatják, hogy az elektrosztatikus erőtérben az erővonalak töltéseken kezdődnek és töltéseken végződnek. Vagyis egy zárt felületre vonatkozó fluxus akkor lesz nullától különböző, ha a felület töltést zár körül. A kérdés az, hogy ez a fluxus hogyan függ a bezárt töltés nagyságától. Erre a kérdésre egy speciális esetben már tudjuk a választ: láttuk, hogy egy Q ponttöltésből a Q ε 0 számértékével megegyező számú erővonal indul ki, tehát a töltést körülvevő felületet metsző erővonalak száma és a fluxus számértéke is ennyi. A A fluxus kiszámításának gyakorlása kedvéért azonban most határozzuk meg, hogy egy pozitív Q ponttöltés által keltett Q elektromos erőtérben mennyi a fluxus egy olyan r sugarú + gömbfelületen, amelynek középpontja a töltéssel esik egybe r (ábra). dA

Mivel a ponttöltés erőterében a térerősség sugárirányú, és a E gömbfelület bármely elemi részének felületvektora is sugárirányú, a térerősség és a felületvektor a felület minden helyén párhuzamos egymással. Ebből – a skaláris szorzatra vonatkozó szabály szerint – következik, hogy EdA = EdA . Másrészt a térerősség nagysága a gömbfelület minden pontján ugyanakkora, tehát E kiemelhető, így a gömbfelületre vett fluxus: Φ Ezárt = ∫ EdA = ∫ EdA = E ∫ dA = E 4 r 2π . A

A

A

Az utolsó lépésben azt használtuk ki, hogy a gömbfelület felületelemeinek összege a gömb felületével egyenlő. A fenti kifejezésbe a ponttöltés ismert térerősségét beírva a várakozásnak megfelelően a Q 1 Q 2 Φ Ezárt = ∫ EdA = 4r π = 2 ε0 4πε 0 r A eredményt kapjuk. Vagyis ebben a speciális esetben a zárt felületre vett fluxus arányos a felület által bezárt ponttöltés nagyságával. (Itt látszik az ε0 állandó bevezetésének egyik formai előnye: a törvényből kiesett a 4π szorzó.) Korábban láttuk, hogy a szabályosan megrajzolt erővonalképen egy ponttöltésből kiinduló erővonalak száma csak a ponttöltés nagyságától függ. Ebből 4 következik, hogy a zárt felületet metsző erővonalak száma – és 5 így a fluxus – akkor sem változik meg, ha a töltést bezáró zárt felület alakját vagy elhelyezkedését megváltoztatjuk. Ezt szemlélteti a mellékelt ábra, amelyen jól látható, hogy az 1 + 3 eredeti, koncentrikus gömbfelületet (1), az eltolt gömbfelületet 2 (2) és egy tetszőleges alakú, a töltést körülvevő zárt felületet (3) metsző erővonalak előjeles összege (az ábrán 16), és így a fluxus is ugyanaz. Vagyis a fenti összefüggés tetszőleges alakú, a ponttöltést körülvevő felület esetén érvényes. Ha a zárt felületet úgy vesszük fel, hogy nem zárja körül a ponttöltést (4,5), akkor a térfogatba bemenő és az abból kimenő erővonalak száma megegyezik, és a fluxus nulla lesz. **************************************************** Itt már valóban tetszőleges alakú lehet a zárt felület. A fluxus bevezetésével ugyanis megszűnik az a probléma is, hogy bonyolultabb felület esetén egy erővonal kettőnél többször is metszheti a felületet: a zárt felület által határolt térfogatból kilépő majd oda újra belépő erővonalak a fluxusban nem adnak járulékot. Ez látható a fenti


15

ábra 3 felületénél, ahol a metszések előjeles összege a gömbfelületekhez hasonlóan 16, és az 5 felületnél, ahol ez az összeg nulla (nincs bezárt töltés). *******************************************************************

Az is könnyen belátható, hogy több ponttöltés esetén az egyes töltések által keltett erőterekben a metsző erővonalak számai és így a fluxusok is összeadódnak, így a zárt felületre vett fluxus kifejezésében a zárt felület belsejében lévő töltések összege szerepel. Mivel pedig bármilyen töltésalakzat felosztható pontszerű töltésekre, az állítás tetszőleges töltésekre igaz. Ha a felületen belül negatív töltések is vannak, akkor azok a térfogatba befelé mutató térerősséget keltenek, és ennek az erőtérnek az erővonalai a térfogatba befelé mutatnak. A fluxus kiszámításánál ezek negatív járulékot adnak, így végül megállapíthatjuk, hogy a zárt felületre vett fluxusban a felületen belül elhelyezkedő töltések előjeles összege ( ∑ Q ) szerepel, ezért érvényes az alábbi összefüggés

∫ EdA = A

∑Q . ε0

Az összefüggés tetszőleges zárt felületre, és tetszőleges töltéseloszlásra igaz. Ezt a törvényt gyakran az elektrosztatika Gauss-törvényének, vagy az elektrosztatikus erőtér II. alaptörvényének nevezik. Ha a zárt felület nem zár be töltést vagy a bezárt töltések előjeles összege nulla, akkor a jobboldalon nulla áll: a zárt felületre vett fluxus nulla. A törvény lényegében azt a tapasztalatot foglalja össze matematikai formában, hogy az elektrosztatikus erőtérben az erővonalak töltéseken kezdődnek és végződnek, kezdő- és végpontjuk között pedig folytonos vonalak. Ez a megállapítás úgy is megfogalmazható, hogy az elektrosztatikus erőtér forrása a töltés. ********************* ************************ ********************** Az elektrosztatikus erőtérben egy zárt felületre vonatkozó Φ E fluxust gyakran a zárt felület által határolt térrész forráserősségének nevezik. Az elnevezés a fluxus geometriai jelentésével hozható összefüggésbe. Ha a felület belsejében lévő eredő töltés pozitív, akkor a forráserősség számértéke a térrészből kilépő – ott „keletkező” – erővonalak számát adja meg, negatív eredő töltés esetén pedig a térrészbe bemenő – ott „eltűnő” – erővonalak számával egyenlő. zárt

Ha a zárt felületen belül folytonos eloszlású töltés van, akkor a teljes töltést a térfogati töltéssűrűség segítségével határozhatjuk meg. Ha egy elemi ∆V térfogatban ∆Q töltés van, akkor ott a térfogati töltéssűrűség közelítő értéke

ρ≈

∆Q ∆V

. A töltéssűrűség egy pontban érvényes értékét úgy kapjuk meg, hogy a pont körül felvett

térfogatot egyre csökkentjük, és meghatározzuk a

∆Q dQ = ∆V →0 ∆V dV

ρ = lim

határértéket. Ez az adott pontban a

térfogati töltéssűrűség, amely előjeles mennyiség, előjele az adott helyen lévő töltés előjelével egyezik meg. Ha a töltéssűrűséget a zárt felület által határolt térfogat minden pontjában ismerjük, akkor a zárt felület által körülzárt Q töltés meghatározására a szokásos eljárást alkalmazzuk: a teljes V térfogatot elemi ∆Vi térfogatokra osztjuk, a

∆Qi = ρ i ∆Vi

összefüggés segítségével kiszámítjuk a töltést az egyes térfogatelemekben, majd az

így kapott töltéseket összeadjuk (előjelesen):

Q ≈ ∑ ∆Qi = ∑ ρ i ∆Vi . i

i

Ezzel megkaptuk a töltés közelítő értékét. A töltés pontos értékét úgy határozhatjuk meg, hogy a V térfogat felosztását egyre finomítjuk (az elemi térfogatokat egyre kisebbre választjuk), és kiszámítjuk a fenti összeg határértékét, amelynek jelölésére az alábbi egyenlet jobboldalán álló szimbólumot használják:

Q = lim

∆Vi →0

∑ ρ ∆V = ∫ ρdV . i

i

i

V


16

Az itt használt integrált a benne szereplő, helytől függő ρ ( x , y , z ) függvény V térfogatra vett térfogati integráljának nevezik. Egy ilyen integrál kiszámításának részletes szabályaival itt nem foglalkozunk, számunkra elegendő az integrál szemléletes, igen finom felosztáson elvégzett összegzésként történő értelmezése. A folytonos töltéseloszlásból származó töltésnek térfogati integrállal történő kiszámításával az elektrosztatika Gauss-törvénye az általánosabb

1

∫ EdA = ε ∫ ρdV A

0 V

alakba írható. *******************************************************************


1

Elektromos töltés helyzeti energiája, elektromos potenciál, az elektrosztatika I. alaptörvénye A mechanikában láttuk, hogy konzervatív erőtérben helyzeti energia vezethető be. Azt a kérdést, hogy az elektrosztatikus erőtér konzervatív vagy nem, csak a tapasztalat segítségével lehet eldönteni. A tapasztalatok azt mutatják, hogy az elektrosztatikus erőtér konzervatív, tehát egy elektromos töltésnek az elektromos erőtérben helyzeti energiája van. A helyzeti energiát itt is a mechanikában definiált módon, az erőtér által végzett munka segítségével adjuk meg, amely konzervatív erőtérben nem függ az elmozduló töltés pályájától, csak az elmozdulás kezdő- és végpontjától. Elektromos erőtérben egy q töltésnek az O pontból a P pontba történő tetszőleges pályán ∆ri történő elmozdulása során (ábra) az erőtér által végzett munka: Fei=qEi P P Werőtér = lim ∑ Fei ∆ri = ∫ Fe dr = q ∫ Edr . P ∆ri →0 ∆r1 i O O Fe1=qE1 A helyzeti energia definíciójának megfelelően az O erőtérben lévő q töltés helyzeti (potenciális) energiája a P pontban, az O pontra vonatkozóan: P

E ( P ) = −Werőtér = − q ∫ Edr . O h

O

Mint említettük, a két pont közötti elmozdulás pályáját nem kell megadni, hiszen ez a munka konzervatív erőtérben nem függ a pályától. Mint minden helyzeti energia, egy töltés elektrosztatikus helyzeti energiája is függ a vonatkoztatási ponttól. A q töltés helyzeti energiája nem csak a helytől és a jelenlévő erőtértől függ, hanem – érthető módon – magától a töltéstől is. A helyzeti energia azonban arányos a töltéssel, ezért, ha a helyzeti energiát elosztjuk a töltéssel, akkor a töltéstől független mennyiséget kapunk: P

E hO ( P ) = − ∫ Edr . q O Ez a mennyiség már csak az erőtértől és a P pontnak az O vonatkoztatási ponthoz viszonyított helyzetétől függ. Ezzel az eljárással tehát az erőtér bármely P pontjához hozzárendelhetünk egy skaláris mennyiséget (számszerűleg az egységnyi töltésen az OP elmozdulás során végzett munkát), amelyet az elektrosztatikus erőtér P pontbeli potenciáljának nevezünk. Ilyen módon a töltéssel való osztás révén a töltés egy jellemző adatából, a helyzeti energiából, a tér egy jellemző adatát, a potenciált kapjuk. U O ( P ) = U OP =

A potenciál egysége, definíciójának megfelelően: 1 V betűt használják. Ezzel az egység: 1

J , amit volt-nak neveznek és jelölésére a C

J = 1V . C

A potenciál – hasonlóan a helyzeti energiához – mindig egy vonatkoztatási ponthoz (itt az O ponthoz) viszonyított mennyiség. Ez azonban rendszerint nem okoz nehézségeket, mert egy fizikai probléma megoldása során általában nem a helyzeti energia és a potenciál abszolút értékére van szükségünk, hanem azok megváltozására (két pontban felvett értékeik különbségére), ami viszont nem függ a vonatkoztatási ponttól, amint azt a helyzeti energiára


2

vonatkozóan a mechanikában már kimutattuk. Bár ez az állítás nyilvánvalóan a potenciálra is igaz (a két mennyiség csupán egy állandó szorzóban különbözik egymástól), példaként itt most a potenciálra vonatkozó bizonyítást is megadjuk. Két pont között a potenciálkülönbséget úgy kapjuk meg, hogy meghatározzuk az egyes pontokban a közös vonatkoztatási ponthoz viszonyított potenciált, majd kiszámítjuk ezek különbségét. Az ábrán látható B pontnak az A ponthoz viszonyított UAB potenciálkülönbségét az A

U AB

B ⎛A ⎞ ⎛ A ⎞ = −⎜⎜ ∫ Edr + ∫ Edr ⎟⎟ − ⎜⎜ − ∫ Edr ⎟⎟ = A ⎝O ⎠ ⎝ O ⎠

A

B

A

B

O

A

O

A

= − ∫ Edr − ∫ Edr + ∫ Edr = − ∫ Edr

OA

U AB = U OB( 1 ) − U OA = U OB( 2 ) − U OA kifejezés, illetve a potenciál definíciójának felhasználásával kapott

O

OB (2)

OB

(1)

B

összefüggés adja meg. Ennek megfelelően egy elemi dr elmozdulás kezdő- és végpontja közti potenciálkülönbséget a dU = −Edr

skaláris szorzat adja meg. A mechanikában láttuk, hogy a konzervatív erőtérnek az a sajátsága, hogy munkája független a pályától, úgy is megfogalmazható, hogy egy zárt L görbén körbejárva, a végzett összes munka nulla. Esetünkben ez azt jelenti, hogy elektrosztatikus erőtérben egy q töltést egy zárt L görbén körbemozgatva, a tér által végzett összes munka nulla lesz:

q ∫ Edr = 0 . L

Ebből következik, hogy a zárt görbe mentén a potenciálkülönbségeket összegezzük, akkor szintén nullát kapunk:

∫ Edr = 0 L

Ezt az összefüggést gyakran az elektrosztatika I. törvényének nevezik, ami tehát azt fejezi ki, hogy az elektrosztatikus tér konzervatív. Ebből a törvényből következik, hogy az elektrosztatikus tér erővonalai nem lehetnek akármilyenek. Például nem lehetségesek önmagukban záródó erővonalhurkok, mert ha zárt görbeként egy ilyen erővonalhurkot választunk, akkor erre kiszámítva a fenti körintegrált, biztosan nullától különböző eredményt kapunk. Ennek az az oka, hogy ilyenkor a térerősség és az elmozdulás a görbe minden pontján egyirányú vagy ellentétes irányú egymással, ezért az Edr elemi skaláris szorzatok vagy mind negatívak vagy mind pozitívak, így összegük nem lehet nulla.


3

Potenciál konkrét erőterekben Most néhány egyszerű esetben bemutatjuk a potenciál kiszámításának módját. Potenciál homogén erőtérben

d

1 A legegyszerűbb, ezért bonyolultabb erőterek közelítéseként gyakran használt erőtér a homogén erőtér, P1 amelyben a térerősség mindenütt ugyanolyan nagyságú és irányú. Az erőteret egyenletes sűrűségű párhuzamos erővonalakkal szemléltethetjük (ábra). Homogén dr E erőtérben a potenciális energia és a potenciál meghatározása viszonylag egyszerű. Így például az ábrán látható homogén elektromos erőtérben egy pozitív q P'1 dr E elektromos töltés helyzeti energiája a P1 pontban O (Eh (P1)), illetve az elektromos potenciál a tér ugyanezen pontjában az O ponthoz viszonyítva (UO(P1)) az alábbi módon kapható meg: P1′

P1

O

P1′

d2

P2

O

E ( P1 ) = − q ∫ Edr − ∫ Edr = qEd 1 . O h

illetve E hO ( P1 ) = Ed 1 . q (Az integrálásnál, felhasználtuk, hogy a tér munkavégzése nem függ a választott útvonaltól, ezért egy célszerű útvonalat választottunk, ahol a munka az OP’1 szakaszon nulla, hiszen itt E ⊥ dr .) Mint látható, homogén térben a potenciál és a helyzeti energia is csak attól függ, hogy a vizsgált pont és a vonatkoztatási pont egymástól mért távolságának a térerősséggel párhuzamos vetülete (d1) mekkora. Az ábrán bejelölt P2 pontban természetesen mind a helyzeti energia, mind pedig a potenciál negatív: E hO ( P2 ) = − qEd 2 , illetve U O ( P1 ) =

U O ( P2 ) = − Ed 2 . Ponttöltés potenciálja

A potenciál (illetve helyzeti energia) a térerősség integrálásával kapható meg. Következő példaként (ábra) számítsuk ki egy Q dr pozitív Q ponttöltés által létrehozott elektromos r + r0 erőtérben a potenciált a ponttöltéstől mért r E r távolság függvényében. Ha a potenciál vonatkoztatási pontját az r = r0 pontban vesszük fel, akkor, felhasználva a ponttöltés erőterére vonatkozó ismereteinket, a potenciál definíciója alapján írhatjuk r r r Q 1 r0 U ( r ) = − ∫ Edr = − ∫ Edr = − dr . ∫ 4πε 0 r0 r 2 r0 r0 Az integrálás eredménye: Q ⎛1 1 ⎞ ⎜ − ⎟ 4πε 0 ⎜⎝ r r0 ⎟⎠ Ha vonatkoztatási helyként a ponttöltéstől végtelen távoli pontot (r0⇒végtelen) választunk, akkor a leggyakrabban használt Q 1 U ∞( r ) = U( r ) = 4πε 0 r U r0 ( r ) =


4

alakot kapjuk (ennek jelölésére általában a külön index nélküli U használatos). Látható, hogy ezzel a választással egyben a potenciál nulla pontját is a végtelen távoli pontban vettük fel. Két tetszőleges pont (r1 és r2) közötti potenciálkülönbség a fentiek alapján: Q ⎛ 1 1⎞ ∆U 12 = U ( r2 ) − U ( r1 ) = U 12 = ⎜ − ⎟, 4πε 0 ⎝ r2 r1 ⎠ ahol alkalmaztuk a szokásos ∆U 12 = U 12 jelölést. A potenciálkülönbség – a várakozásnak megfelelően – nem függ a vonatkoztatási pont választásától. Gyakran fontos ismerni egy elektromos térben a potenciálviszonyokat, vagyis azt, hogy a potenciál milyen irányban változik, és milyen ütemben. Ezt szemléletes módon lehet bemutatni azoknak a felületeknek a berajzolásával, amelyek mentén mozogva a potenciál állandó. Ezek az ekvipotenciális felületek, amelyek – a potenciál definíciójából következően – a térerősségvonalakra mindenütt merőlegesek. Ha ezeket úgy rajzoljuk be, hogy a szomszédos felületek potenciálkülönbsége meghatározott érték, akkor az ábráról a potenciál nagyságának helyfüggését is leolvashatjuk (hasonlóan, ahogy a térkép szintvonalairól a magasság változásait). Ponttöltés esetén a fenti egyenletből könnyen megkaphatjuk az ekvipotenciális felületek egyenletét: Q 1 = Un , U1 4πε 0 r E ahol Un különböző potenciálértékeket jelöl, amelyeket U2 U3 az n sorszámmal különböztethetünk meg. Az egyenletből következik, hogy az Un potenciálértékekhez + tartozó ekvipotenciális felületek gömbök (ábra), amelyeknek sugara Q rn = . 4πε 0 U n Az ábrán az egyes potenciálértékek között ugyanakkora a különbség (a potenciálok értéke rendre 1, 2, 3, … egység). A szintvonalak szemléletesen is mutatják, hogy a töltéshez közeledve a potenciál értéke egyre meredekebben emelkedik (az azonos potenciálkülönbségű görbék sűrűsödnek). Több ponttöltés együttes erőterében a potenciál kiszámítása egyszerű, ha feltételezzük, hogy a szuperpozíció elve érvényes. Ekkor az egyes töltések által az adott helyen (pl. egy P pontban) létrehozott potenciálokat egyszerűen összeadjuk (a potenciál skaláris mennyiség): 1 Qi U ( P ) = ∑U i ( P ) = ∑ , i 4πε 0 ri i ahol Qi az i-edik ponttöltés töltése (előjelesen), ri a távolsága a P ponttól. ********************* ********************* ****************** Folytonos töltéseloszlás potenciálja Egy V térfogatban folytonosan eloszló töltés potenciálját a Gauss-törvény tárgyalásánál megismert módon, a töltésnek pontszerű részekre történő osztásával kaphatjuk meg. Ha a ρ térfogati töltéssűrűséget mindenütt ismerjük, akkor egy P pont körül felvett elemi dV térfogatban lévő töltést ki tudjuk számítani a dQ = ρdV összefüggéssel. Ha feltételezzük, hogy érvényes a szuperpozíció elve – és vákuumban, időben állandó erőtér esetén a tapasztalat szerint érvényes – akkor a pontszerűnek tekintett elemi résztöltések által létrehozott potenciál:


5

U( P ) =

1 4πε 0

∫

ρdV r

V

,

ahol r a dV térfogatelem a távolsága a P ponttól. Hasonló módon járunk el, ha a töltés egy A felületen oszlik el folytonosan, és a felület minden pontjában ismerjük a σ felületi töltéssűrűséget. Ennek definíciója a következő: ha egy elemi ∆A felületen

∆Q

töltés van, akkor ott a felületi töltéssűrűség közelítő értéke

σ≈

∆Q . ∆A

A felületi

töltéssűrűség egy pontban érvényes értékét úgy kapjuk meg, hogy a pont körül felvett felületet egyre csökkentjük, és meghatározzuk a

∆Q dQ = ∆V →0 ∆A dA

σ = lim

határértéket. Ez az adott pontban a felületi

töltéssűrűség, amely előjeles mennyiség, előjele az adott helyen lévő töltés előjelével egyezik meg. Ha az A felületet elemi dA részekre osztjuk, akkor az egyes felületelemeken lévő, pontszerűnek tekinthető töltés: dQ = σdA , így a felületen elhelyezkedő töltés által okozott potenciál egy P pontban

U( P ) =

1 4πε 0

∫

σdA

A

r

,

ahol r a dA felületelem a távolsága a P ponttól. Elektromos töltések kölcsönhatási energiája Eddig egy töltés helyzeti energiáját egy ismeretlen forrásból származó elektromos erőtérben vizsgáltuk, és feltételeztük, hogy a vizsgált töltés az erőteret nem változtatja meg. Az erőteret azonban sztatikus esetben mindig valamilyen töltés hozza létre, így a kiszámított energia a vizsgált töltés és a teret létrehozó ismeretlen töltés kölcsönhatásának a következménye. Azt is mondhatjuk, hogy ez a helyzeti energia a kölcsönható töltések közös energiája, amit kölcsönhatási energiának nevezünk. Az, hogy a kölcsönhatási energia valóban mindkét kölcsönható töltéshez tartozik, jól látszik két ponttöltés kölcsönhatása esetén. Helyezzünk el két ponttöltést (Q1 és Q2) egymástól r távolságban, és számítsuk ki először, hogy mennyi a helyzeti energiája a Q2 töltésnek egy Q1 töltés által létrehozott elektromos erőtérben. A Q1 töltéstől r távolságban a potenciál

U1 =

1 Q1 , 4πε 0 r

a Q2 töltés helyzeti energiája itt

E h 2 = U 1Q2 =

1 Q1Q2 . 4πε 0 r

Látszik, hogy ebben az energia-kifejezésben teljesen szimmetrikus módon szerepel a két töltés, és az összefüggésben szereplő r is az egymástól mért távolság: az energia nem rendelhető hozzá kizárólagosan egyik töltéshez sem. Még nyilvánvalóbbá válik az energia közös jellege, ha kiszámítjuk, hogy mennyi a helyzeti energiája a Q1 töltésnek a Q2 töltés által létrehozott elektromos erőtérben. A Q2 töltéstől r távolságban a potenciál

U2 =

1 Q2 , 4πε 0 r

a Q1 töltés helyzeti energiája itt

E h 1 = U 2Q1 =

1 Q2Q1 , 4πε 0 r

ami megegyezik az előző eredményünkkel. Vagyis bármelyik töltés energiáját számoljuk ki a másik erőterében, ugyanazt az eredményt kapjuk. Ismét azt látjuk, hogy ez az energia nem rendelhető hozzá egyik töltéshez sem: ez a két ponttöltésből álló rendszer közös helyzeti energiája vagy más néven a két töltés kölcsönhatási energiája. Ezt a kölcsönhatási energiát az E h 12 szimbólummal jelölve, egymástól r távolságban lévő ponttöltések esetén


6

E h 12 =

1 Q1Q2 . 4πε 0 r

Mivel két töltés kölcsönhatása számos esetben igen fontos szerepet Eh12 Eh12 játszik (ilyen kölcsönhatás tartja össze pl. az atomban a pozitív töltésű magot és a negatív töltésű elektronokat), ennek az energiának a távolságfüggését szemléletesen is bemutatjuk a mellékelt ábrán. Az ábra a) része két azonos előjelű ponttöltés O kölcsönhatási energiáját mutatja a két töltés egymástól mért r r r O távolságának függvényében. A b) ábra ugyanezt mutatja két ellentétes előjelű ponttöltés esetén. Az ábrákon azt is érzékeltetjük, hogy az O pontbeli töltéshez bármely irányból közelítjük a másik töltést, mindig ugyanolyan jellegű a helyzeti energia változása. Azonos töltések esetén tehát a a) b) közelített töltésnek egy helyzeti energia-hegyet kell legyőznie, vagyis a rendszer energiája a közeledésnél nő, míg ellentétes töltések esetén a közelített töltés egy helyzeti energia-gödörbe esik be, és a rendszer energiája csökken a nulla helyzeti energiának megfelelő végtelen távoli helyzethez képest. A helyzeti energia nullpontjának ilyen megválasztása az oka annak, hogy vonzó kölcsönhatás esetén a rendszer helyzeti energiája negatív. Ha több ponttöltésből (Q1, Q2,…,Qi,…) álló töltésrendszer kölcsönhatási energiáját akarjuk kiszámítani, akkor kiválasztunk egy töltést, és meghatározzuk a kiválasztott – pl. az i-edik Qi – töltés helyén a többi töltés által létrehozott Ui potenciált. Az i-edik töltés helyzeti energiáját ekkor az

E hi = QiU i összefüggés adja meg. A töltések teljes helyzeti energiáját, vagyis a töltésrendszer kölcsönhatási energiáját, az egyes ponttöltések helyzeti energiáinak összegéből kaphatjuk meg:

E kh =

1 1 E hi = ∑ QiU i . ∑ 2 i 2 i

Az ½ szorzóra azért van szükség, mert az összegzés során minden töltéspár kölcsönhatási energiáját kétszer vesszük figyelembe. Mivel ponttöltésekről van szó, a helyzeti energia könnyen kiszámítható. Ha az i-edik és j-edik töltés közötti távolságot rij-vel jelöljük, akkor az i-edik töltés helyén a többi töltés által létrehozott Ui potenciál

Ui =

Qj

1

∑r

4πε 0

j , j ≠i

.

ij

Az i-edik töltés helyzeti energiája tehát

1

E hi = QiU i = Qi

4πε 0

Qj

∑r

j , j ≠i

.

ij

Az összes töltés helyzeti energiája, vagyis a töltésrendszer kölcsönhatási energiája

E kh =

1 1 1 E hi = ∑ 2 i 2 4πε 0

⎛

Qj ⎞ ⎟= 1 ⎟ 8πε j , j ≠i ij ⎠ 0

∑ ⎜⎜ Q ∑ r i

⎝

i

∑

i , j ,i ≠ j

Qi Q j rij

.

Határozzuk meg a fentiek alapján egy vezetőn elhelyezkedő Q töltés helyzeti energiáját. Ehhez a vezetőn lévő töltést ponttöltéseknek tekinthető apró ∆Qi részekre osztjuk, és az így kapott töltésrendszer helyzeti energiáját számítjuk ki. Tudjuk, hogy egy vezető minden pontján azonos a potenciál. Jelöljük ezt U-val. Ekkor a potenciál a ∆Qi résztöltés helyén is U, így ennek a töltésnek a helyzeti energiája

E hi = ∆QiU . Az összes töltés helyzeti energiája pedig

E kh =

1 1 1 1 E hi = ∑ ∆QiU = U ∑ ∆Qi = UQ . ∑ 2 i 2 i 2 i 2

Egy vezetőn elhelyezett töltés helyzeti energiája tehát arányos a vezetőn lévő töltéssel és a vezető potenciáljával. ********************** ********************* ******************


7

Egyszerű töltéselrendezések elektromos erőtere Az elektrosztatikus tér alaptörvényei segítségével egyszerűbb töltéseloszlások által keltett elektromos erőtérben a térerősség illetve az elektromos potenciál kiszámítható. Az általunk használt integrál-törvények ilyen célra csak akkor használhatók, ha a töltéseloszlásnak valamilyen szimmetriája van (pl. gömbszimmetria). Gömbszimmetrikus töltéseloszlások tere

Ponttöltés A legegyszerűbb ilyen „töltéseloszlás” a ponttöltés. Ha egy magában álló ponttöltés terére alkalmazzuk a II. alaptörvényt, akkor természetesen visszakapjuk a Coulomb törvényből kapott térerősség-kifejezést, hiszen abból „találtuk ki” a II. alaptörvényt. Vezető gömb Kevésbé nyilvánvaló egy R sugarú vezető gömb elektromos tere, amelyre Q pozitív töltést vittünk fel. A vezető olyan tulajdonságú anyag, amelyen az elektromos töltések szabadon elmozdulhatnak, ezért a töltések – amelyek taszítják egymást – egyensúlyban egymástól a lehető legtávolabb, tehát a gömb felületén helyezkednek el. Q (felületi) A számításhoz célszerűen felvett felület egy gömbfelület (a végeredmény a felület választásától nem függ), amelynek r dA középpontja a töltött gömb középpontjával egybeesik E=0 (ábra). Mivel ez a töltéseloszlás gömbszimmetrikus, a tér is az lesz, tehát a térerősség nagysága (E) a felvett r dA gömbfelület minden pontjában azonos, és sugárirányban kifelé mutat. Így a felületen mindenütt E||dA, és E = E állandó, ezért az elektrosztatika II. alaptörvénye egyszerű alakban írható fel: Q 2 ∫ EdA = ∫ EdA =E ∫ dA = E 4 r π = .

ε0 A töltött gömbön belül nincs töltés, így a gömb felületén belül felvett zárt felület által bezárt töltés Q = 0, a gömbön kívül felvett zárt felület által bezárt töltés Q. Így a töltött gömb tere E = 0, ha r < R Q E= ha r ≥ R , 4πε 0 r 2 vagyis a töltött vezető gömb belsejében nincs elektromos tér, a gömbön kívül eső pontokban pedig a tér olyan, mintha a gömb töltése a centrumában koncentrált ponttöltés lenne (ezért lehet a ponttöltések kölcsönhatását töltött gömbök segítségével megmérni). A térerősség távolságfüggését az alábbi ábra a) része mutatja. A potenciál most is a térerősség integrálásával kapható meg. A gömbön kívül a térerősség a ponttöltés U(r) térerősségével azonos, ezért ott E(r) a potenciál is megegyezik a ponttöltés potenciáljával: Q 1 U( r ) = , r>R 4πε 0 r A gömb felületén r=R, a r r R R potenciál mindenütt ugyanaz a) b) A

A

A


8

1 r=R 4πε 0 R A gömbön belül nincs erőtér, a potenciál ezért állandó, és azonos a gömb felületén lévő potenciállal: Q 1 U belül = U ( R ) = r≤R. 4πε 0 R A potenciál távolságfüggése a fenti ábra b) részén látható. U ( R ) = U gömb =

Q

Térerősség és potenciál töltött síkok környezetében, a síkkondenzátor

A legegyszerűbbek, ezért a valóságos terek közelítéseként gyakran használt erőterek a homogén erőterek. Az alábbiakban ilyen erőterekkel kapcsolatos számításokat ismertetünk. Szimmetria-meggondolások alapján belátható, hogy homogén tér jön létre egy elektromosan töltött, végtelen kiterjedésű lemez két oldalán, amelyen a felületi töltéssűrűség (egy elemi felületen elhelyezkedő dQ töltés és a dA felület hányadosa: σ=dQ/dA) dA mindenütt azonos. Számítsuk ki a térerősséget (E+), E ha a lemez töltése pozitív. A térerősség az elektrosztatika II. alaptörvénye alapján egyszerűen dA dA megkapható, ha a fluxust olyan zárt felületre E E számítjuk ki, amelynek csak térerősséggel párhuzamos és térerősségre merőleges részei vannak (ábra). Erre a zárt felületre vett fluxus +σ Φ záA rt = ∫ E + dA = 2 ∫ E + dA = 2 E + ∫ dA = 2 E + A A

A

másrészt viszont a II. alaptörvény szerint

Φ záA rt =

∑Q .

ε0 A két egyenletből (felhasználva, hogy ΣQ = σA) a térerősség: σ . E+ = 2ε 0 Negatívan töltött lemezre ugyanilyen nagyságú, csak ellenkező irányú térerősséget kapunk (ábra). Az eredmények σσ+ σ+ σszigorúan véve végtelen kiterjedésű lemezre igazak, E=0 E=0 közelítőleg érvényesek azonban E+ E+ E- EE+ E=2E+ E+ véges lemezeknél is, ha a EElemeztől mért távolság sokkal kisebb, mint a lemez szélétől b) c) a) mért távolság. Érdekes és fontos eset, ha két olyan lemezt helyezünk el egymással párhuzamosan és egymáshoz közel, amelyeken a töltéssűrűség azonos nagyságú, de ellentétes előjelű (+σ és -σ). Ekkor - mint az ábra is mutatja - a két lemez között a terek egyirányúak, ezért ott a térerősség megduplázódik, a lemezeken kívül azonban a terek kioltják egymást. Így a két lemez között homogén tér jön létre, amelynek nagysága: σ E = 2E+ = , ε0


9

iránya pedig a pozitívan töltött lemeztől a negatív felé mutat. Mivel a kialakult erőtér homogén, könnyen kiszámíthatjuk az ellentetten töltött párhuzamos vezető-lemezek közötti potenciálkülönbséget is. A pozitív (+) lemez U potenciálja a negatívhoz (-) képest: +

+

+

σ d ε0 − − − ahol d a lemezek közötti távolság. (Itt felhasználtuk, hogy E és dr ellentétes irányú, vagyis Edr<0.) Az összefüggés jó közelítéssel véges A felületek esetén is alkalmazható, ha d kicsi a lemezek lineáris méretéhez képest. U = − ∫ Edr = ∫ Edr =E ∫ dr =Ed =

Töltés elhelyezkedése vezetőn, töltött vezető potenciálja, a kapacitás Az elektromos kölcsönhatás kísérleti vizsgálata során láttuk, hogy egy vezetőben hosszú távú mozgásra képes töltéshordozók vannak. E≠0 Ezek a töltések a vezetőben külső hatás E=0 jelenléte nélkül az ellenkező előjelű + + - + töltésekkel „összekeveredve” helyezkednek + - + + el, a vezető kifelé elektromosan töltetlen + + + - + (semleges) testként viselkedik (a) ábra). A + + - + többlet-töltést nem tartalmazó, semleges vezetőben azonban külső elektromos erőtérrel töltésátrendeződés hozható létre, és a) b) ilyenkor a vezetőben szétvált töltések miatt a vezető nem semleges testként viselkedik: körülötte elektromos erőtér jön létre (b) ábra). Ez a jelenség az elektromos megosztás, amit korábban kísérletileg is vizsgáltunk. Azt is láttuk, hogy egy vezetőre többlet elektromos töltést tudunk felvinni, és a vezetőben ez a töltés is mozogni tud. Mivel az azonos előjelű töltések egymást taszítják, a többlet-töltések a vezetőn várhatóan egymástól távol próbálnak elhelyezkedni. Ennek a feltevésnek a helyességét kísérletekkel is igazolni lehet. KÍSÉRLETEK: Töltés elhelyezkedését vizsgáljuk vezetőn. Vezetőként nyílással ellátott, belül üres fémgömböt illetve fémhengert használunk, a töltés jelenlétének vizsgálatára szolgáló eszköz egy kisméretű, szigetelt nyélre szerelt fémgolyó és egy elektrométer. ♦ A belül üres fémgömböt feltöltjük, majd a fémgolyóval kívülről megérintjük. Ha fémgolyót az elektrométerhez érintjük, az töltést mutat, vagyis a fémgömb külső felületén van töltés. ♦ A fémgolyót a nyíláson keresztül a feltöltött, üres fémgömb belső felületéhez, majd az elektrométerhez érintjük. Az elektrométer nem mutat töltést: a feltöltött fémgömb belső felületén nincs töltés. ♦ A fémgömböt a nyíláson keresztül belülről töltjük fel. A fenti kísérletek eredménye most is ugyanaz: a töltés ekkor is a fémgömb külső felületére megy. KÍSÉRLET: Ebben a kísérletben vezetőként nyílással ellátott, belül üres, két végén nyitott fémhengert használunk. A fémhenger belső és külső felületére is bodzabél elektroszkópot helyezünk el. Akárhol viszünk fel töltést a hengerre, mindig csak a külső felületre szerelt elektroszkóp mutat töltést.


10

A kísérletekből világosan kiderül, hogy a vezetőn a töltések valóban egymástól a lehető legnagyobb távolságban, a vezető külső felületén helyezkednek el. Számos tapasztalat mutatja, hogy egy vezetőre felvitt töltések igen rövid idő alatt egyensúlyi állapotba kerülnek, és nem mozognak tovább. Ebből a tapasztalatból további megállapításokra juthatunk. ♦ Egyensúlyi állapotban egy vezető belsejében nem lehet elektromos erőtér. Ez azért van így, mert, ha lenne elektromos erőtér, akkor annak hatására a töltések mozognának, így nem lehetne egyensúly. Ezért, ha egy vezetőben (pl. a feltöltése pillanatában) elektromos erőtér alakul ki, akkor a töltések addig mozognak, amíg olyan töltéseloszlás jön létre, ami a vezetőben megszünteti az elektromos erőteret. Ez akkor is igaz, ha a vezetőt nem töltjük fel, hanem elektromos erőtérbe helyezzük, ami a benne lévő töltéseket megosztja. Ilyenkor a megosztott töltések elhelyezkedése lesz olyan, hogy a vezető belsejében nem lesz elektromos erőtér. Hasonló a helyzet egy zárt, üreges vezető esetében is: egyensúlyi (sztatikus) állapotban az üreg belsejében nincs elektromos erőtér. Ez könnyen belátható, ha meggondoljuk, hogy egy tömör vezetőből úgy csinálhatunk üregest, hogy kivágjuk a belsejét. Ekkor olyan részt távolítunk el, amelyben nincs elektromos erőtér, és amelynek jelenléte vagy hiánya az elektromos erőteret nem befolyásolja, így a kivágás után semmi sem változik meg. Ez a tény gyakorlati szempontból igen fontos, hiszen ez azt jelenti, hogy ha egy fémdobozt időben állandó elektromos erőtérbe teszünk, + akkor a belsejében nem lesz elektromos erőtér. A szokásos -E = 0 + + E≠0 kifejezést használva: a fémdoboz leárnyékolja a külső elektromos erőteret. E≠0 Más a helyzet akkor, ha egy üreges vezetőben helyezünk el - + + + töltést. Ekkor a töltés maga körül elektromos erőteret hoz létre, így az üregben is lesz erőtér. Ez az erőtér megosztja a + + vezető üregfal töltéseit, és az erőtér a vezetőn kívül is + megjelenik (ábra). vezető ♦ Mivel két pont között elektromos potenciálkülönbség csak akkor lehet, ha elektromos erőtér van jelen (dU=-Edr), egyensúlyi állapotban egy vezető minden pontjában azonos a potenciál. ♦ Ha egy vezetőt feltöltünk, akkor a felületén lévő töltések a vezetőn kívül elektromos erőteret hoznak létre. A kialakult térerősség azonban a felületen csak olyan lehet, hogy a térerősségvonalak a vezető felületére merőlegesek (ha a térerősségnek lenne a felülettel párhuzamos komponense az elmozdítaná a töltéseket). Ez akkor is így van, ha a vezető nem töltött, de elektromos erőtérben van, és a felületén a megosztás miatt van töltés. Kapacitás, kondenzátorok

A különböző töltéselrendezések elektromos erőterének vizsgálatánál azt az eredményt kaptuk, hogy a magában álló (azaz más töltésektől igen messze elhelyezett) vezető gömb potenciálja arányos a rajta lévő töltéssel, az arányossági tényező pedig csak geometriai adatokat tartalmaz: 1 U vez = Q. 4πε 0 R A speciális esetben kapott eredményről kimutatható, hogy általánosan is igaz: tetszőleges alakú, magában álló, elektromosan töltött vezető végtelen távoli pontra


11

vonatkozó potenciálja arányos a rajta lévő töltéssel: U vez ~ Q . Ezt az arányosságot az alábbi módon szokás felírni 1 U vez = Q , C ahol a C állandót a vezető kapacitásának nevezik (minél nagyobb a C érték, annál több töltést tud tárolni a vezető adott potenciálon). Eszerint egy R sugarú vezető gömb kapacitása a fenti egyenletek alapján: Cgömb = 4πε0R. Hasonló eredményre jutottunk, amikor két párhuzamos síkon azonos nagyságú, de ellentétes előjelű töltést helyeztünk el. A két sík közötti potenciálkülönbségre azt kaptuk, hogy

U=

σ d. ε0

Ha a két töltött sík két vezető anyagból (pl. fémből) készült sík lemez, akkor az elrendezést síkkondenzátornak nevezzük, ami töltések tárolására alkalmas. Ha a σ töltéssűrűséget kifejezzük a lemezeken lévő összes Q töltéssel a σ = Q/A összefüggés segítségével, akkor a potenciálra az d U= Q ε0A kifejezést kapjuk. Ez az összefüggés hasonló a kapacitás definíciójára szolgáló egyenlethez (a potenciálkülönbség és a töltés arányos). Az analógia alapján bevezethetjük a síkkondenzátor kapacitását: Q ε A C= = 0 . U d ε A Ennek az összefüggésnek átrendezett, Q = 0 U alakjából látható, hogy adott d potenciálkülönbség mellett annál több töltés tárolható a kondenzátoron, minél nagyobb a kapacitása, vagyis minél nagyobb a lemezek felülete és minél kisebb a köztük lévő távolság. A potenciálkülönbségnek – és egyúttal a kapacitásnak – a lemezek távolságától való függését kvalitatív módon könnyen igazolhatjuk az alábbi egyszerű kísérlettel. KÍSÉRLET: Mozgatható lemezből készült kondenzátort feltöltve és a lemezek távolságát változtatva, változik a potenciálkülönbség, amit a lemezekhez csatlakoztatott elektrométer kitérése mutat. A d növelésekor a potenciálkülönbség nő, csökkenésekor csökken, a kapott összefüggésnek megfelelően. Mivel a lemezeken eközben a töltés nem változik, ez az eredmény egyben azt is mutatja, hogy a d távolság növelésekor a kapacitás csökken, d csökkenésekor pedig nő, amint az a fenti összefüggésből következik. A csúcshatás

A töltéseknek vezetőn történő elhelyezkedésével függ össze az a tapasztalat, hogy a töltött vezető kis görbületi sugarú – csúcsos – részeinél a térerősség sokkal nagyobb, mint a nagyobb görbületi sugarú – lapos – részeknél. Ezt a jelenséget egyszerű kísérletekkel bemutathatjuk.


12

KÍSÉRLETEK: • Függőleges tengely körül forgatható, „S” alakban meghajlított, végein kihegyezett drótot (ábra) feltöltünk (pl. Van de Graaf-generátorral). A drót gyors forgásba jön, mintha a drótvégekből valami kiáramlana és a reakcióerő hajtaná az eszközt (hasonlóan, mint egyes locsolókészülékeknél a kiáramló víz). • Nagy feszültségre feltöltött, kihegyezett fémtű olyan erős légáramlatot (ún. elektromos szelet) hoz létre, ami képes elfújni a csúcsa közelében elhelyezett gyertyát.

.

töltés

A jelenség magyarázata az, hogy a csúcsnál kialakuló nagy elektromos térerősség miatt a csúcs polarizálja (dipólussá alakítja), és magához vonzza a levegő semleges molekuláit. A csúcsnál a molekulák a csúccsal azonos töltést vesznek fel, ezért a csúcs eltaszítja azokat, és így jön létre a tapasztalt légáram. A nagy elektromos térerősség kialakulása azzal függ össze, hogy a mindenütt azonos potenciálú vezetőben a csúcsnál nagyobb a felületi töltéssűrűség, mint más helyeken. ******************** ****************** ******************** Ezt számítással is alátámaszthatjuk, ha a vezetőt vékony vezető szállal összekötött két gömbbel modellezzük, amelyek közül az egyik kis-, a másik pedig nagy sugarú (ábra). Az egyes gömbök töltését Q1-gyel illetve Q2-vel jelölve, a két gömb felületén az azonos potenciál (a gömbök vezetővel össze vannak kötve):

U1 =

1 Q1 1 Q2 = = U2 . 4πε 0 R1 4πε 0 R2

R1

vezető szál R2 Q2

Q1 vezető gömbök

Ebből következik, hogy

Q1 Q2 = R1 R2 A felületi töltéssűrűség az egyes gömbökön

σ1 =

Q1 4πR12

illetve

σ2 =

Q2 , 4πR22

amiből azt kapjuk, hogy

σ 1 R1 =

Q1 Q = 2 = σ 2 R2 . 4πR1 4πR2

Mivel a felület közvetlen közelében a térerősség arányos a töltéssűrűséggel:

E1 R1 = E 2 R2 ,

illetve

E ~ σ , ezért

E 1 R2 = , E 2 R1

vagyis a kisebb sugarú (csúcsosabb) résznél nagyobb a térerősség. ******************** ****************** ********************

Az elektromos dipólus Az elektromos erőtér leírása szempontjából fontos szerepet játszik az a speciális töltéselrendezés, amely egymáshoz nagyon közel elhelyezkedő, pontszerű, azonos nagyságú pozitív- és negatív töltésből áll (ábra). Ez az elektromos dipólus. A dipólussal jól


13

modellezhetők azok a semleges atomok vagy molekulák, amelyekben a pozitív és negatív töltések súlypontja valamilyen okból (pl. szerkezeti sajátságok vagy külső hatás miatt) nem esik egybe. Ilyen esetekkel a későbbiekben elsősorban az anyag jelenlétében kialakuló elektromos erőtér leírásánál találkozunk. Az elektromos dipólus erőtere

A dipólus két különálló ponttöltésből áll, ezért körülötte elektromos erőtér alakul ki. A térerősséget bármely pontban kiszámíthatjuk a szuperpozíció elve E1+ E2+ E1 segítségével: az egyes töltések által E E2 létrehozott térerősségvektorokat E2E1összeadjuk. Ilyen szerkesztés vázlata + + látható a mellékelt ábrán (a) ábra), E3amelyen a dipólus erőterét térerősségvonalakkal is szemléltettük E3 E3+ (b) ábra). A térerősség helyfüggése matematikai a) b) formulával is megadható, ezzel azonban itt nem foglalkozunk. Elektromos dipólus viselkedése elektromos erőtérben

Homogén erőtér Homogén elektromos erőtérben a dipólus két töltésére ellenkező irányú, azonos nagyságú erő hat, ami – a dipólusnak a térerősség irányához viszonyított helyzetétől függően – egy forgatónyomatékot eredményez. A dipólus tehát – ha forgásképes – az erőtér hatására elfordul. A dipólusra ható erőket az ábra mutatja, aminek alapján kiszámíthatjuk a dipólusra ható α ++Q F+=QE forgatónyomatékot. de Látható, hogy a dipólusra ható erők eredője nulla, de fellép egy l l' E α forgatónyomaték, amelynek nagysága M = Fl' = Fl sin α = QEl sin α . - -Q Ez a forgatónyomaték az óramutató F+=QE járásával egy irányban forgat, tehát a forgatónyomaték vektor a rajz síkjára merőlegesen befelé mutat. A forgatónyomaték kifejezésében felismerhető a dipólmomentum nagysága, amit beírva, az alábbi alakot kapjuk: M = d e E sin α . Ez a kifejezés két vektor nagyságának (de és E) és az általuk bezárt szög (α) szinuszának a szorzata, tehát egy vektorszorzat nagyságaként is felfogható. Ezzel a forgatónyomaték vektori alakját is megkaphatjuk: M = de × E . Ennek a nagysága megadja a forgatónyomaték nagyságát, és iránya is a valóságos forgatónyomaték irányával egyezik (a vektorszorzat eredménye a rajz síkjára merőlegesen befelé mutat). A dipólusra ható forgató nyomaték tehát a tér irányába forgatja a dipólust. A tér irányába beállt dipólusra már nem hat forgatónyomaték (a két erő egy egyenesben működik), vagyis ez a dipólus egyensúlyi helyzete.


14

Ezt a viselkedést egy egyszerű dipólus-modell segítségével kísérletileg is bemutathatjuk. KÍSÉRLET: Súlyzó alakú, fémréteggel bevont testet függőleges tengely körül forgathatóan kétkét cérnaszálra felfüggesztünk, amelyek közül az egyik pár alulról, a másik pár felülről rögzíti a súlyzót (a két szál biztosítja, hogy a testnek meghatározott egyensúlyi helyzete legyen, ahová külső hatás nélkül mindig visszatér). A súlyzót egy kondenzátor lemezei közé tesszük, és kezdetben úgy állítjuk be, hogy tengelye nagyjából a kondenzátor lemezeivel párhuzamosan álljon. Ezután a kondenzátort nagy feszültségre feltöltjük. A lemezek között létrejött elektromos erőtérben a súlyzó fémbevonatában megosztás révén az egyik gömb pozitív- a másik gömb negatív töltésű lesz, vagyis egy dipólus jön létre. A dipólus modell az erőtérben elfordul, és a kondenzátor lemezeire merőlegesen, vagyis az elektromos térerősséggel párhuzamosan áll be. Ha az erőteret megszüntetjük, akkor a dipólus visszatér az eredeti helyzetébe. A kísérlet tehát megerősíti azt az elméleti következtetésünket, hogy a dipólus valóban a térerősség irányába fordul be.

Inhomogén erőtér Inhomogén erőtérben a dipólus befordul az adott helyen fennálló térerősség irányába, és ekkor megszűnik a dipólusra ható forgatónyomaték. Mivel azonban a térerősség változik a hellyel, a dipólus két töltésére ható erők nem lesznek azonosak, így a dipólusra egy eredő erő lép fel, aminek hatására a x dipólus – ha mozgásképes – elmozdul. Az eredő erő E számítását az ábra alapján végezzük el, ahol a lokális +Q F térerősség irányába már beállt dipólus látható. Ebben + + az irányban vettük fel a koordinátarendszerünk xx+ ∆ x de tengelyét. A dipólus két végpontja az x- illetve x+∆x koordinátájú helyen van, így a dipólus hossza l=∆x. -Q Az eredő erő, amelynek itt csak x-komponense van: F- -x Fx = F+ − F− = QE( x + ∆x ) − QE( x ) . Mivel feltételezzük, hogy a dipólus töltései nagyon közel vannak egymáshoz, az E(x) függvény ismeretében az E(x+∆x) értéket lineáris extrapolációval határozzuk meg: dE( x ) E ( x + ∆x ) ≈ E ( x ) + ∆x . dx Ezt felhasználva, az eredő erőre azt kapjuk, hogy dE( x ) dE( x ) ∆x − QE( x ) = Q∆x Fx = QE( x ) + Q . dx dx Figyelembe véve, hogy a dipólmomentum nagysága itt d e = Q∆x , végül azt kapjuk, hogy dE( x ) Fx = d e . dx Eszerint a dipólusra ható eredő erő a dipólmomentumon kívül a térerősség változásának erősségétől – szakkifejezéssel a térerősség gradiensétől – függ, annak növekedésével nő.


15

A dipólus – ha ezt a körülmények lehetővé teszik – a növekvő térerősség irányában mozdul el. Ez az oka pl. annak is, hogy az inhomogén erőteret létrehozó megdörzsölt üvegrúd magához vonzza a dipólussá tett szigetelődarabkákat, vagy a megosztás miatt ugyancsak dipólusként viselkedő könnyű fémfólia-darabokat. Elektromos dipólus helyzeti energiája elektromos erőtérben

Láttuk, hogy egyensúlyi állapotban a dipólus befordul az elektromos térerősség irányába. Ha ebből a helyzetből ki akarjuk fordítani, akkor erőt kell kifejtenünk, és munkát kell végeznünk. Ez a munkavégzés azt eredményezi, hogy a dipólus helyzeti energiára tesz szert. Most kiszámítjuk, hogy homogén elektromos erőtérben hogyan függ ez a helyzeti energia a dipólus elfordulásának Mtér dϕ nagyságától (a dipólmomentum- és a térerősségvektor közötti szögtől). A dipólust kezdetben az egyensúly helyzethez (vagyis a térerősségvektorhoz) képest ϕ szöggel elfordítjuk, majd de dϕ megnézzük, hogy egy további, igen kicsi dϕ ϕ E szögelfordulásnál mekkora a helyzeti energia megváltozása (ábra). Ezután végighaladva az összes lehetséges szögértéken, az elemi helyzeti energia-változásokat összegezzük (azért kell elemi lépésekben haladni, mert a különböző szögeknél más és más az erőtér által kifejtett forgató nyomaték, és így a munka is). Az erőtér által végzett elemi munka dWtér = M tér dϕ = − M tér dϕ = −d e E sin ϕdϕ (itt kihasználtuk, hogy a szögelfordulás- és a forgatónyomaték vektora párhuzamos, de ellentétes irányú, továbbá alkalmaztuk a forgatónyomatékra korábban kapott kifejezést). A helyzeti energia definíciójának megfelelően a dipólus helyzeti energiájának elemi megváltozása a ϕ szöggel jellemzett helyzetben dE h = −dWtér = d e E sin ϕdϕ . Tetszőleges ϕ helyzetig történő teljes elfordulásnál a helyzeti energia megváltozása ϕ

ϕ

ϕ0

ϕ0

E h = ∫ d e E sin ϕdϕ = d e E ∫ sin ϕdϕ (Itt kihasználtuk, hogy az erőtér homogén, tehát E az összegzésből kiemelhető). A helyzeti energia kiszámításához meg kell adni a vonatkoztatási helyzetet, vagyis a ϕ0 szöget. Vonatkoztatási helyzetként a dipólusnak azt az állását szokás megadni, amikor a dipólus merőleges a térerősségre, vagyis ϕ 0 = π / 2 . Ezzel a helyzeti energia ϕ

Eh = d e E

ϕ sin ϕdϕ = − d E [cos ϕ ]π ∫ π e

/2

= − d e E cos ϕ .

/2

Mivel a választott vonatkoztatási szög egyben a helyzeti energia nullpontja is ( cos π / 2 = 0 ), az egyensúlyi állapotban a dipólus helyzeti energiája negatív. A helyzeti energia kifejezése tömörebb, vektori alakban is felírható, ha kihasználjuk azt a tényt, hogy ϕ a dipólmomentum-vektor és a térerősségvektor által bezárt szög, vagyis a fenti kifejezés a két vektor skaláris szorzatával egyenlő: E h = −d e E .

TÓTH A.: Dielektrikumok (kibővített óravázlat)

1

Az elektrosztatika törvényei anyag jelenlétében, dielektrikumok Az elektrosztatika alaptörvényeinek vizsgálata a kezdeti időkben levegőben történt, és a különféle töltéselrendezések elektromos erőterét azzal a feltételezéssel tárgyalták, hogy a levegő jelenléte arra semmilyen hatást nem gyakorol. Később kiderült, hogy ez a feltételezés közel jár az igazsághoz: a levegő módosító hatása valóban nagyon kicsi, ezért a megállapított törvények igen jó közelítéssel megegyeznek az üres térben (vákuumban) érvényes törvényekkel. A valóságban azonban az elektromos töltések közötti teret különböző anyagok (gázok, folyadékok, szilárd anyagok) tölthetik ki, és nem zárható ki, hogy ezek jelenléte az elektromos erőhatásokat – és így az elektromos erőteret – módosítja. Ezt a feltételezést az a tény is megerősíti, hogy az anyagok töltött részecskékből épülnek fel, tehát várhatóan maguk is befolyásolhatják a bennük kialakuló elektromos erőteret. Ebből a szempontból a vezetők (fémek) nem különösen érdekesek, hiszen azok belsejében sztatikus elektromos erőtér nem lehet, ezért a továbbiakban csak szigetelőkkel foglalkozunk. A szigetelők jellegzetessége éppen az, hogy a töltések bennük kötöttek, hosszú távú mozgásuk erősen korlátozott, ezért bennük elektromos erőtér jöhet létre. Azt, hogy egy szigetelő valóban módosítja az elektromos erőteret, néhány egyszerű kísérlettel demonstrálhatjuk. KÍSÉRLETEK: ♦ Síkkondenzátort elektrométerrel kapcsolunk össze, és feltöltjük: az elektrométer kitér. A feltöltött kondenzátorba szigetelő lapot csúsztatunk: az elektrométer kitérése csökken. Ha a lapot kihúzzuk, az elektrométer az eredeti kitérést mutatja. ♦ Cérnára egymás közelében fémgömböt és paraffin gömböt függesztünk fel. A fémgömböt feltöltve, az vonzza a paraffin gömböt. Ha a kísérletet úgy ismételjük meg, hogy a két gömböt ricinusolajba merítjük, akkor a gömbök taszítják egymást. ♦ Vízcsapból kifolyó gyenge vízsugárhoz megdörzsölt üvegrudat közelítünk: a vizsugár az üvegrúd felé eltérül (vonzás). ♦ Üvegpoharat egy nagyobb méretű fémpohárba tesszük, és belsejébe kisebb méretű fémpoharat helyezünk el, tehát egy szigetelőt tartalmazó kondenzátort készítünk (Leydeni palack). A kondenzátort nagy feszültségre feltöltjük, majd szétszedjük, és a fémpoharakat töltésmentesítjük. Ha a kondenzátort ismét összerakjuk, azon töltést találunk. A jelenségekben egyértelmű a jelenlévő szigetelő anyag, más néven dielektrikum szerepe, ezért érdemes megvizsgálni, hogy mi történik egy szigetelőben ha elektromos erőtérbe helyezzük. A továbbiakban a különböző elektromos erőterek megkülönböztetése érdekében az erőteret létrehozó töltéseket két csoportba osztjuk. Tudjuk, hogy az anyagokban normális körülmények között azonos mennyiségű pozitív és negatív töltés van jelen. Azokat a töltéseket, amelyek az ellenkező előjelű párjaikkal együtt fordulnak elő (vagyis egy térfogatban a töltések algebrai összege nulla), kötött töltéseknek nevezzük. Vannak olyan módszerek (pl. dörzsölés), amelyekkel a kétféle töltést szét lehet választani, és így egy térrészben többségbe kerül az egyik előjelű töltés. Az ilyen, ellenkező előjelű töltéspárjaitól elválasztott ("megszabadított") töltést – a kialakult szokásnak megfelelően – szabad


2

töltéseknek nevezzük (az elnevezés nem túl szerencsés, mert ezek a töltések gyakran nem mozgásképesek, tehát a szó szokásos értelmében nem biztos, hogy szabadok). Elektromos erőtér szigetelőben A szigetelők belsejében kialakuló elektromos tér várhatóan különbözni fog attól a tértől, amit szabad töltések (pl. egy feltöltött fémdarab) vákuumban hoztak volna létre, hiszen az anyagot alkotó kötött töltések tere módosítja azt. Ez annak ellenére így van, hogy az anyagok kifelé általában semlegesnek mutatkoznak, sőt rendszerint az anyagot alkotó kötött töltések elektromos terei is semlegesítik egymást. Az anyagokban jelenlévő kötött töltések ugyanis az alábbi két alapvető elrendezésben találhatók.

anyag

+

Eátl kötött ≈ 0

+ de c)

Eátl kötött ≈ 0

-+

-

-+

anyag + -+

-+

- +

-+

b)

-+

-+

a)

-+

Az anyagot alkotó atomokban a kétféle töltés bizonyos esetekben gömbszimmetrikus képződményt hoz létre (a) ábra), amely csak a töltések közötti térben – vagyis az atom belsejében – hoz létre elektromos teret. Ilyenkor – külső tér nélkül – az atomok közötti térben az átlagos elektromos tér gyakorlatilag nulla (b) ábra). Egy másik töltéselrendeződés az, amelyben az atom vagy molekula ellenkező előjelű töltéseinek súlypontjai nem esnek egybe, vagyis a töltéselrendeződés egy dipólushoz hasonlít (c) ábra). A kötött töltések ilyen elrendezésének már "kifelé" is van elektromos tere. Az esetek többségében azonban az atomok vagy molekulák közötti térben rendszerint mégsem alakul ki hosszú távú elektromos tér, mert a molekuláris dipólusok irányukat tekintve rendszertelenül helyezkednek el, így egymás elektromos terét kioltják (d) ábra).

d)

A helyzet azonban gyökeresen megváltozik, ha a szigetelőt elektromos erőtérbe helyezzük. Az eredetileg gömbszimmetrikus atomokban az elektromos erőtér hatására a töltések elmozdulnak, és a térerősség irányával párhuzamos dipólus jön létre (a) ábra), aminek már az atomon kívül is van Ev Ev Ev elektromos tere. Igy az anyag a külső elektromos erőtér -+ -+ -+ -+ -+ -+ + hatására a térerősséggel anyag anyag párhuzamos dipólusokat -+ -+ -+ -+ -+ -+ átl tartalmazó állapotba (b) Eátl ≠ 0 Ekötött ≠ 0 kötött ábra) megy át. -+ -+ + -+ -+ -+ - + Külső erőtér hatására ehhez hasonló E átl = E v + E átl kötött végállapot jöhet létre az c) a) b) eredetileg rendezetlen dipólusokat tartalmazó anyagban is. Ha a dipólusok forgásképesek (és valamilyen mértékben mindig azok), akkor az erőtér hatására rendeződnek, azaz kisebb-nagyobb mértékben a térerősség irányával párhuzamos helyzet felé elfordulnak (c) ábra), aminek következtében egymás terét már nem oltják ki.


3

A végeredmény mindkét esetben ugyanaz: a külső erőtér hatására a kötött töltések a molekulák közötti térben egy hosszú távú elektromos erőteret hoznak létre, amely a külső erőtérhez hozzáadódik. Mivel a térerősség irányába beállt dipólusok erőtere a két töltés közötti, legerősebb erőtér tartományában a külső erőtér EV irányával lényegében ellentétes (ábra), az anyagban létrejövő elektromos erőtér várhatóan kisebb lesz, mint amilyen az anyag jelenléte nélkül lenne. E A polarizáció hatását tehát az alábbi módon foglalhatjuk össze: + ♦ Ha az anyagban eredetileg gömbszimmetrikus, kifelé elektromos erőteret nem mutató atomok vannak, akkor az erőtér hatására az ellenkező előjelű töltések szétválnak, így a külső erőtér irányában rendezett dipólusok jönnek létre, amelyeknek eredő elektromos erőtere van. ♦ Ha vannak az anyagban dipólus-molekulák (pl. víz), akkor külső elektromos erőtér nélkül azok átlagos erőtere a rendezetlen beállás miatt nulla, a külső elektromos erőtér azonban rendezi őket, és így lesz eredő elektromos erőterük. A szigetelőnek azt az állapotát, amikor benne orientált dipólusok jelennek meg, polarizált állapotnak, a folyamatot, amelynek során ez az állapot létrejön a szigetelő polarizációjának nevezzük. A feladatunk tehát röviden megfogalmazva az, hogy meghatározzuk a polarizált szigetelőben a kötött töltések elektromos erőterét, majd azt a külső (szabad töltések által keltett) térrel összegezve, kiszámítsuk a szigetelőben kialakuló eredő elektromos erőteret. A kötött töltések erőtere azonban nagyon bonyolult, ezért annak pontos meghatározása helyett csupán egy átlagos erőtér kiszámítására vállalkozhatunk (ez egyébként a gyakorlati feladatok többségénél elegendő). Most az egyszerűség kedvéért az anyagban kialakult elektromos tér meghatározását a legegyszerűbb esetben (homogén, izotróp, lineáris anyagok) mutatjuk be, egy egyszerű modell segítségével. Megvizsgáljuk azt is, hogy a szigetelő jelenléte hogyan módosítja az elektrosztatika alaptörvényeit és az erőtér jellemzésére bevezetett különböző mennyiségeket. A polarizáció egyszerű modellje

Ha egy hasáb alakú szigetelőt feltöltött síkkondenzátorba helyezünk (a kondenzátor lemezein lévő szabad töltéssűrűség nagyságát az a) ábrán σ -val jelöltük), akkor az ott kialakult elektromos erőtér hatására a szigetelő polarizálódik. A polarizált anyagban +σ

−σ

-

+ +

Ev

-

+σ −σp

+ +

- +-+-+-+ - +

E

-

+σ

−σp

+

-

+

+

-

+

- +-+-+-+ - + b)

+σp −σ

-

+

E

+

- +-+-+-+ - +

+

a)

+σp −σ

-

-

+

-

+

-

+

-

+ c)

-


4

létrejött dipólusokat a modellben az ábrán látható dipólláncok formájában képzeljük el (b) ábra). A láncok belsejében a dipólusok töltései nagyjából semlegesítik egymás hatását, a láncok végén azonban marad egy-egy kompenzálatlan polarizációs töltés. Emiatt a kondenzátor pozitív elektródjánál negatív-, a negatív elektródnál pozitív polarizációs töltésréteg jelenik meg, ami olyan hatást eredményez, mintha a lemezeken lévő szabad töltések nagysága lecsökkent volna (a kialakult polarizációs töltéssűrűség nagyságát a b) és c) ábrán σ p -vel jelöltük). Tudjuk, hogy egy üres (anyagot nem tartalmazó), feltöltött síkkondenzátorban az elektromos térerősség ( E v ) nagysága

Ev =

σ . ε0

A polarizációs töltések hatását úgy vehetjük figyelembe, hogy a szigetelőt tartalmazó kondenzátort helyettesítjük egy olyan üres kondenzátorral, amelynek a lemezein csak σ − σ p töltés van (ábra). +σ

+σp

−σp

+

-

+ -

+

E

-

-

+

-

+

-

+

-

-

+

-

E

-

+

+ +

−(σ−σp)

+(σ−σp)

−σ

+

Ekkor a szigetelővel kitöltött kondenzátorra alkalmazhatjuk az üres kondenzátorra érvényes összefüggést, és a benne kialakult térerősségre (E) az σ −σ p E=

ε0

összefüggést kapjuk. Figyelembe véve a σ töltésű üres kondenzátorban létrejött térerősség kifejezését, a szigetelőben kialakult térerősség

E = Ev −

σp , ε0

ami – várakozásunknak megfelelően – kisebb, mint az ugyanakkora szabad töltéssel feltöltött üres kondenzátorbeli térerősség. A kapott összefüggés azonban ebben az alakjában nem nagyon használható, hiszen a polarizációs töltéseket ( σ p ) nem ismerjük. Szerencsére az anyagok döntő többségében a polarizációs töltések sűrűsége egy egyszerű összefüggéssel megadható. A polarizációs töltéssűrűséget a kondenzátorban kialakuló elektromos erőtér hozza létre, ezért kézenfekvőnek látszik, hogy ez függ a térerősségtől: σ p = f (E ) . Az anyagok döntő többségét alkotó, ún. lineáris szigetelőkben a polarizációs töltéssűrűség arányos a kondenzátorban létrejött elektromos térerősséggel: σ p ~ E . Az arányosságot a

σ p = ε 0 χE


5

alakban szokás felírni, ahol χ az anyagi minőségtől függő állandó, amit dielektromos szuszceptibilitásnak neveznek (az ε 0 állandó csak formai okból szerepel: így a térerősség fenti kifejezése egyszerűbb alakú lesz). A szuszceptibilitás bevezetésével a szigetelőben kialakult térerősség

E = Ev −

σp = E v − χE . ε0

Mivel a szuszceptibilitás mérhető mennyiség, bevezetésével az összefüggés egyszerűbbé vált. A tapasztalat szerint minden anyagra fennáll a χ > 0 összefüggés, vákuumban χ = 0 (nincs polarizáció). Levegőben és a legtöbb gázban χ alig különbözik nullától ( χ levegő = 0.00059 ). A kondenzátor belsejében ugyanolyan szabad töltéseloszlás esetén vákuumban illetve szigetelőben létrejött térerősségek összefüggését átírhatjuk az E v = E − χE = ( 1 + χ )E = ε r E alakba is, ahol bevezettük az ε r = 1 + χ mennyiséget. Ez szintén az anyagi minőségtől függ, és az anyag relatív permittivitásának vagy dielektromos állandójának nevezik. Az általunk tárgyalt egyszerű esetben (azonos szabad töltéseloszlás) az összefüggés vektori alakban is érvényes: Ev = ε rE A χ > 0 összefüggés miatt minden anyagban ε r > 1 , vákuumban ε r = 1 . Gázokban ε r ≈ 1 (levegőben ε r = 1.00059 ). Ezért fogadhatjuk el jó közelítéssel a levegőben végzett kísérletek eredményeit vákuumbeli eredményeknek. Az elektrosztatika I. alaptörvénye szigetelőkben

Láttuk, hogy a szigetelő jelenléte megváltoztatja az elektromos térerősséget. Ugyanakkor a szigetelőkben kötött töltésként megjelenő töltések fizikailag ugyanazok, amelyek szabad töltésként megjelennek (elektronok vagy az atommagok kompenzálatlan protonjai). Az általuk kötött töltésként létrehozott elektromos erőtér alapvető tulajdonságai ezért feltehetőleg ugyanolyanok, mint azé erőtéré, amit szabad töltésként hoznak létre. Ezért feltételezhetjük, hogy a polarizációs töltések elektromos erőtere is konzervatív erőtér, és így az I. törvény változatlan alakban érvényes: ∫ Edr =0 . A

A tapasztalat ezt a feltevést igazolja. Az elektrosztatika II. alaptörvénye szigetelőkben

A polarizációs töltések ugyanolyan jellegű erőteret hoznak létre, mint a szabad töltések, és az általuk keltett erőtér erővonalai a polarizációs töltéseken kezdődnek illetve végződnek, megváltozik azonban a térerősség nagysága. Mivel pedig a II. alaptörvényben a térerősség fluxusa szerepel, a kötött töltések térerősség-módosító hatását itt figyelembe kell venni. Egyszerű, homogén, izotróp, lineáris anyagokban a vákuumban érvényes törvényt egyszerűen átírhatjuk szigetelőben is használható alakba, ha felhasználjuk a vákuumbeli és a szigetelőben kialakult térerősségek közötti E v = ε rE összefüggést. A II. alaptörvény vákuumban érvényes alakja ekkor így alakul:


6

Q

∫ E dA = ∫ ε EdA =ε ∫ EdA = ε v

A

r

r

A

A

,

0

ahol Q a zárt felület által körülzárt szabad töltések összegét jelenti. Ha az egyenletet átrendezzük, akkor a törvényt a Q ∫A EdA = ε r ε 0 alakban kapjuk. A törvény formai egyszerűsítése érdekében bevezették az ε = ε 0ε r mennyiséget, amit az anyag abszolút permittivitásának neveznek. Ezzel az elektrosztatika II. alaptörvénye az anyag jelenlétében is érvényes Q ∫A EdA = ε alakot ölti. A törvény vákuumban természetesen visszaadja az ott érvényes alakot, hiszen ekkor E = E v , ε r = 1 , és így Q ∫A EdA = ∫A E v dA = ε 0 . ********************* ***************** ******************* Az elektromos erőtér jellemzésére a térerősség mellett gyakran bevezetik az ún. elektromos eltolás vektorát (D), amely homogén, izotróp, lineáris anyagokban a

D = ε 0 ε r E = εE

összefüggéssel adható meg. Ezzel a fenti törvény a

D

∫ε A

dA =

Q

ε

,

vagyis a

∫ DdA = Q A

alakba írható. ********************* ***************** *******************

Erőhatás, térerősség, potenciál, kapacitás anyag jelenlétében

Az elektrosztatika II. alaptörvényének homogén, izotróp, lineáris dielektrikumokban érvényes Q ∫A EdA = ε r ε 0 alakjából következik, hogy azonos szabad töltéseloszlás esetén (pl. homogén erőtérben) minden vákuumban érvényes összefüggésben, ahol szerepel az ε0, az anyagban érvényes alakot az ε 0 ⇒ ε 0ε r cserével kapjuk meg. Így írható át pl. a Coulomb-törvény is: 1 Q1Q2 , F12 = ε 0ε r r122 vagyis az elektrosztatikus erők lecsökkennek, ha a teret anyag tölti ki. Láttuk, hogy azonos szabad töltéseloszlás esetén adott helyen vákuumban (Ev) és anyag jelenlétében (E) mért elektromos térerősségek között az


7

E=

Ev

εr

összefüggés áll fenn (homogén, izotróp, lineáris dielektrikumban). Ebből következik, hogy ugyanez érvényes a potenciálokra is, hiszen E U 1 U = − ∫ Edr = − ∫ v dr = − ∫ E v dr = v . ε εr L εr L L r Ezzel értelmezhető az a kísérleti eredményünk, hogy a feltöltött üres kondenzátor lemezei közötti potenciálkülönbség lecsökken, ha szigetelőt csúsztatunk a lemezek közé (közben a lemezeken lévő szabad töltések nem változtak!), hiszen levegőben ε r ≈ 1 , a szigetelő lapban pedig ε r > 2 . A jelenség úgy is felfogható, hogy a szigetelő megnöveli a kondenzátor kapacitását: Q Qε r C= = = ε r Cv . U Uv Az összefüggésből látható, hogy egy kondenzátor kapacitása jelentősen megnövelhető, ha azt nagy relatív permittivitású anyaggal töltjük ki. Mivel a kondenzátor kapacitásának mérésére jól kidolgozott módszerek vannak, a kapacitások fenti összefüggése lehetőséget ad az ε r relatív permittivitás mérésére. Ha megmérjük egy kondenzátor kapacitását üresen (Cv), majd ugyanennek a kondenzátornak a kapacitását a mérendő anyaggal kitöltve (C), akkor az anyag relatív permittivitását az C εr = Cv összefüggésből kaphatjuk meg. A polarizáció szerepe két dielektrikum határfelületén

Ha két egymással érintkező dielektrikumot elektromos erőtérbe helyezünk, akkor a határfelületen áthaladva az elektromos térerősség általában megváltozik, mert a kétféle anyagban eltérő a relatív permittivitás, ezért a két anyag másképpen polarizálódik. Emiatt a határfelületen ellentétes előjelű, különböző nagyságú polarizációs töltések jelennek meg, és a felület töltötté válik. ********************* ***************** ******************* Ez a határfelületi viselkedés magyarázza azt a kísérleti eredményünket, hogy töltött fémgömb és (szigetelő) paraffin gömb közötti erőhatás levegőben és ricinusolajba éppen ellenkező irányú (ábra). A kísérlet adatai:

+Q +

ε rlevegő ≈ 1 , ε rparaffin ≈ 2 , ε rr .olaj ≈ 4.6 , vagyis ε rlevegő < ε rparaffin < ε rr .olaj .

ε1

+ F + -

ε1<ε2

-

+Q

ε2

+

ε1 + + F + + ε1>ε2

ε2

Ha a fémgolyó töltése pozitív, akkor a levegő és a paraffin golyó határfelületén az eredő polarizációs töltés negatív: a pozitív fémgömb és a paraffin golyó között vonzást észlelünk. A ricinusolaj és a paraffin golyó határfelületén az eredő polarizációs töltés viszont pozitív: a pozitív fémgömb és a paraffingolyó között taszítást észlelünk.


8

Ugyanilyen meggondolással magyarázható az kísérletünk is, hogy a pozitív töltésű üvegrúd a vízsugárra vonzó erőt fejt ki ( ε r < ε r ). ********************* ***************** ******************* levegő

víz

Bonyolultabb dielektrikumok Az itt tárgyalt egyszerű estekben (homogén, izotróp, lineáris dielektrikumok) feltételeztük, hogy a polarizációt egy külső elektromos erőtér hozza létre, és a létrejött polarizációs töltéssűrűség arányos a térerősséggel. Ez az anyagok döntő többségében valóban így van, de vannak olyan anyagok is, amelyek ettől lényegesen eltérő tulajdonságokkal rendelkeznek. Most néhány ilyen esetet tárgyalunk. Maradandó polarizáció

Vannak olyan anyagok, amelyekben a külső erőtérrel létrehozott polarizáció az erőtér megszűnése után hosszú ideig megmarad. Ilyen polarizáció jöhet létre például akkor, ha nagy térerősség hatására, magasabb hőmérsékleten hosszútávú töltésmozgás eredményeként az anyagban ellenkező töltésű tartományok jönnek létre (a szigetelők is vezetnek csak sokkal kevésbé, mint a vezetők). Az ilyen módon "polarizált" anyagban normális körülmények között a töltések nem tudnak visszatérni eredeti helyükre (kis vezetőképesség), a polarizáció hosszú ideig fennmarad. Ilyen anyagok például az elektrétek, amelyek évtizedekig polarizáltak maradnak. Ezt illusztrálja a Leydeni palackkal folytatott kísérletünk is: a nagy térerősséggel (kb. 10000 V/cm) polarizált dielektrikumban a polarizáció az erőtér megszűnése után is megmarad (ettől lesz töltés az ismételten összerakott kondenzátorban). Spontán polarizáció

Különleges anyagokban külső hatás nélkül is létrejön polarizáció, mert a dipólusok rendeződése energetikailag kedvezőbb állapotot jelent. A magától kialakult eredő polarizáció a spontán polarizáció, az ilyen anyagok a piroelektromos anyagok. Ezek egy részében a polarizáció iránya külső erőtérrel megváltoztatható, ezek a ferroelektromos anyagok. Piroelektromos effektus

A spontán polarizáció (piroelektromos anyagok) függ a hőmérséklettől: hőmérsékletváltozásra polarizáció-változás, a felületi polarizációs töltések sűrűségének változása következik be. Mivel ez a jelenség a piroelektromos anyagokban lép fel piroelektromos effektusnak nevezik. Az effektusnak fontos gyakorlati alkalmazása az ún. piroelektromos detektor, amelynek működési elve a következő. Ha egy szigetelő polarizálódott, akkor a felületén polarizációs töltések jelennek meg, ezért elvileg ezt az állapotot a felületi töltések kimutatásával lehetne észlelni. Ezek a töltések azonban általában közvetlenül nem figyelhetők meg, mert az anyag belsejéből vagy a környező közegből (pl. levegő vagy a felületekhez csatlakozó vezetők) töltések áramlanak a felületre és a polarizációs töltéseket semlegesítik. Ha tehát egy piroelektromos anyagból készült lapkára elektródokat szerelünk, és az így kapott kondenzátort egy áramkörbe kapcsoljuk, akkor áramot nem fogunk észlelni, mert a fémvezetékekben megosztással létrejött szabad töltések semlegesítik a polarizációs töltéseket.


9

Ha azonban az anyagot melegítjük, akkor a polarizációs töltéssűrűség a piroelektromos effektus miatt megváltozik, így a fémvezetékben a feleslegessé vált kompenzáló töltések átrendeződnek, vagyis a kondenzátor egyik lemezéről a másikra töltések áramlanak át. Az így keletkezett áramot polarizációs áramnak nevezik. Ha a polarizációs töltéssűrűség ∆t idő alatt ∆σ p értékkel változik meg, akkor a polarizációs töltés megváltozása ∆Q p = ∆σ p A , ahol A az elektród felülete. A vezetékben ugyanezen idő alatt ugyanennyi ∆Q szabad töltésnek kell áthaladnia, vagyis az árammérő ∆σ p ∆Q ∆Q p Ip = = =A ∆t ∆t ∆t áramot mutat. Egy ilyen eszköz segítségével igen kis hőmérsékletváltozások meghatározhatók, vagyis minden olyan hatás megmérhető, amely hőmérsékletváltozást okoz. Ez teszi lehetővé a piroelektromos detektorok készítését, amelyekkel többek között elektromágneses sugárzás detektálható illetve annak intenzitása is meghatározható. A gyakorlatban ezeket a detektorokat leggyakrabban infravörös sugárzás észlelésére használják (pl. betörésjelzőkben, mozgásérzékelőkben, tűzjelzőkben, infravörös képátalakítókban). Piezoelektromos effektus

Egyes anyagokban (pl. kvarc) mechanikai feszültség is okozhat polarizáció-változást, ez a piezoelektromos effektus. Az ilyen anyagok a piezoelektromos anyagok. Az egyik legrégebben ismert ilyen anyag a kvarc, de számos egyéb piezoelektromos anyag (pl. kerámiák) ismeretes. A gyakorlati felhasználás alapja az, hogy a mechanikai behatás által okozott polarizáció-változást a fenti elrendezés segítségével elektromos jellé lehet alakítani. A mechanikai behatás miatt létrejött elektromos jel általában arányos a deformációval illetve a mechanikai feszültséggel, ezért ilyen módon egyszerűen lehet deformációt illetve erőt mérni. Az effektus hangérzékelésre is használható, mivel a hang által egy felületen létrehozott nyomásingadozás elektromos jellé alakítható. Ezen alapul pl. az ultrahangos vizsgáló készülékekben használt érzékelők működése. Ezen az effektuson alapul a piezo-gyújtó működése is. A gyújtóban elhelyezett piezoelektromos anyag elektródjai itt nincsenek összekötve, mert az elektródról jövő vezetéket megszakítják. Az anyag hirtelen deformációjakor a polarizációs töltések megjelenése a megszakított vezeték végei között olyan nagy elektromos feszültséget hoz létre, hogy a levegőben elektromos szikra keletkezik. A piezoelektromos effektus megfordítható: ha egy piezoelektromos anyagot elektromos erőtérbe helyezünk, akkor deformálódik. Ez az inverz piezoelektromos effektus. Mivel a deformáció az alkalmazott elektromos tér növelésekor növekszik, ez az effektus lehetővé teszi, hogy elektromos erőtérrel kis elmozdulásokat hozzunk létre. Váltakozó elektromos erőteret alkalmazva az effektus segítségével piezoelektromos anyagok berezegtethetők. Ezen alapul a piezoelektromos hangkeltők működése, amelyeket elsősorban ultrahangos vizsgáló berendezésekben használnak. Ezt a jelenséget alkalmazzák a „kvarc”-órákban használt piezoelektromos lapka megrezgetésére is, amely az óra stabil frekvenciáját biztosítja (az erre a célra használt anyag ma már legtöbbször nem kvarc).


10

Az elektromos erőtér energiája Töltésfelhalmozáshoz munkát kell végezni (az anyagban azonos számban előforduló, egymás hatását többnyire kompenzáló ellenkező előjelű töltéseket szét kell választani, azonos töltések felhalmozásakor pedig taszító erő lép fel). Ez a munka elektrosztatikus helyzeti energiát eredményez. Az elektrosztatikus helyzeti energia kiszámítása általános formában nem könnyű, de az energia általános kifejezését egyszerű speciális esetre elvégzett számolás általánosításával is megkaphatjuk. Speciális esetként kiszámítjuk egy Q töltésű síkkondenzátorban felhalmozott energiát úgy, hogy meghatározzuk a feltöltés során végzett munkát. Válasszuk ki azt a pillanatot, amikor a C kapacitású kondenzátor lemezein van már +Q', illetve -Q' töltés, és a negatív lemezről újabb +dQ' töltésadagot viszünk át a pozitív lemezre (eközben a negatív lemez töltése is megnő az ottmaradt kompenzálatlan -dQ' töltéssel). A feltöltés egy lépésében, dQ' töltés átvitelénél (ábra) az energiaváltozás: 2 Q′ σ′ dE h = − ∫ dQ ′E′dr = − dQ ′(− E ′d ) = dQ ′ d = dQ ′d -Q' +Q' ε εA 1 A teljes Q töltés felvitelénél: dQ' Q 1 d 2 1 2 d dl E Q ′dQ ′ = Q = Q . Eh = ∫ A εA 0 2 εA 2C Hozzuk vissza a kifejezésbe a térerősséget ( E =

Q ): εA

1 1 εAdE 2 = εVE 2 , 2 2 d ahol V az a térfogat, ahol elektromos erőtér van. Az elektrosztatikus energia térfogati sűrűsége a kondenzátorban: E 1 we = h = εE 2 , V 2 ami csak a térerősségtől és a közeg anyagi minőségétől függ: az energia az erőtérhez rendelhető. Kimutatható, hogy ez az összefüggés nem csak ebben a speciális esetben érvényes, hanem általánosan is. Eszerint ahol elektromos erőtér van, ott ez az energiasűrűség is megjelenik, függetlenül attól, hogy az erőtér hogyan keletkezett. Ezért a 1 we = εE 2 2 kifejezést az elektromos erőtér energiasűrűségének nevezik. Eh =

********************* ***************** ******************* Az elektromos eltolás vektorának bevezetésével ( D = εE ) a fenti összefüggés az általánosan érvényes

1 we = εED 2 alakba írható. ********************* ***************** *******************

TÓTH A.: Mágneses erőtér/1 (kibővített óravázlat)

1

A mágneses kölcsönhatás Azt a kölcsönhatást, amelyet később mágnesesnek neveztek el, először bizonyos ásványok darabjai között fellépő – a gravitációs és az elektromos kölcsönhatáshoz hasonló, de attól függetlenül fellépő – erőként észlelték. Ezeket az anyagokat (az ásvány lelőhelyéről) mágneses anyagoknak, a kölcsönhatást mágneses kölcsönhatásnak nevezték el. A mágneses kölcsönhatást – az elektromos kölcsönhatás mintájára – kezdetben valamilyen speciális "mágneses töltés" jelenlétének tulajdonították. A mágneses anyagokból készült eszközök az ún. mágnesek, amelyeket a gyakorlatban is használnak. A mágneses anyagból készült, tengelyre szerelt, elfordulásra képes lemez vagy tű a Föld adott helyén jól meghatározott irányba, a földrajzi Észak-Dél irányba áll be, vagyis a Föld is képes mágneses hatást kifejteni (mint kiderült a Föld egy óriási mágnesként viselkedik). A földrajzi irány meghatározására szolgáló mágneses eszközök az iránytűk, amelyeket tájékozódásra igen régóta (a kínaiak kb. 2000 éve) használnak. KÍSÉRLETEK: Először mágnesekkel és iránytűkkel kísérletezünk. Az általunk használt mágnesek és iránytűk két végét a megkülönböztethetőség céljából különböző színűre – kékre illetve pirosra – festettük. ♦ Ha Észak-Dél irányba beállt iránytűhöz mágnest közelítünk, akkor az iránytű kitér eredeti irányából, és a mágnes által meghatározott új helyzetbe kerül. A mágnes piros vége maga felé vonzza az iránytű kék végét, a mágnes kék vége maga felé vonzza az iránytű piros végét, vagyis a különböző színű végek vonzzák egymást. Az is megállapítható, hogy azonos színű végek taszítják egymást. ♦ Rúdmágneseket az asztalra téve ugyanezt állapíthatjuk meg. Ezek a kísérletek valóban azt sugallják, hogy kétféle mágneses töltés létezik, amelyek közül az egyik a mágnes piros-, a másik pedig a mágnes kék végén található. KÍSÉRLET: ♦ Mágnesrudat, vagy mágneses tűt kettétörve a két darab továbbra is kétpólusú mágnesként viselkedik. Ha egy mágnes feldarabolását tovább folytatjuk, a keletkezett kis darabok mindvégig kétpólusú mágnesként, ún. mágneses dipólusként viselkednek, tehát a feltételezett kétféle mágneses töltést nem tudjuk szétválasztani. Ez a tapasztalat megkérdőjelezi a mágneses töltések létezését. KÍSÉRLET: ♦ Eredetileg nem mágneses acél rudat vagy kötőtűt mágneshez érintve azok mágnesként viselkednek. A mágnest eltávolítva mágneses viselkedésük megszűnik. Ezt a tapasztalatot, hogy bizonyos anyagok mágnes hatására mágnessé válnak, a későbbiekben felhasználjuk a mágneses hatások vizsgálatánál.


2

KÍSÉRLET: ♦ Áramkört állítunk össze, amelynek van egy kb. 1 m hosszú egyenes szakasza, ami két állványra szerelve a levegőben halad az asztal felett. Az egyenes szakasz alá elhelyezünk egy iránytűt, és a vezetőt az iránytűvel párhuzamosan állítjuk be. Ezután az egyenes vezetőben áramot hozunk létre. Az iránytű kimozdul eredeti irányából, és minél erősebb az áram, annál nagyobb szöggel tér ki (igen nagy áram esetén majdnem merőleges lesz a vezetőre). ♦ Az áram irányát ellenkezőre változtatva az iránytű elfordulása ellenkező irányú lesz. ♦ Adott áramirány esetén az iránytűt a vezető alatt- majd a vezető fölött elhelyezve az iránytű a két esetben ellenkező irányba áll be. Ez a kísérlet (első megvalósítójáról Oersted-kísérletnek nevezik) azt mutatja, hogy a mágneses kölcsönhatás nem csak mágnesek, hanem mágnes és elektromos árammal átjárt vezető között is fellép, vagyis az elektromos áram is képes mágneses hatást kifejteni. A kísérlet alapján azt a fontos következtetést is levonhatjuk, hogy az iránytű az áramvezető mellett meghatározott irányba áll be, és ez az irány függ a vezetőhöz viszonyított helyzettől, adott helyen pedig az áram irányától. + I KÍSÉRLET: I ♦ Áramkört állítunk össze, amelynek van egy olyan U-alakú szakasza, ami szabadon lengeni tud (ábra), és az U-alakú vezető vízszintes részét egy patkó alakú mágnes két szára I között helyezzük el. Ha a vezetőben áramot hozunk létre, akkor a vezető az egyensúlyi állapotából (az U két szára eredetileg függőleges helyzetű) kitér, és új egyensúlyi B I helyzetet foglal el, amelyben az U két szára a függőlegessel valamilyen szöget zár be (ábra). Az áram Fm irányát megfordítva, a kitérés ellenkező irányú lesz.

Ez a kísérlet azt mutatja, hogy nem csak az áramvezető fejt ki mágneses erőhatást egy mágnesre, hanem egy mágnes is hat egy áramvezetőre, vagyis a mágnesek és áramvezetők között kölcsönhatás áll fenn. KÍSÉRLET: ♦ Az előző kísérletben használt, lengeni képes U-alakú vezető mellé egy ugyanilyent helyezünk el úgy, hogy a vezetékek vízszintes részei egymással párhuzamosak legyenek. Ha a két vezetőben egyirányú áramot hozunk létre, akkor azok vonzzák egymást, és vízszintes részeik összetapadnak. Ellenkező irányú áramok esetén a vezető taszítják egymást, és vízszintes részeik eltávolodnak egymástól. Ebből a kísérletből látható, hogy áramvezető és áramvezető között hasonló kölcsönhatás lép fel, mint mágnes és áramvezető között.


3

A katódsugarak vizsgálatánál láttuk, hogy mágnessel a mozgó elektronok eltéríthetők eredeti mozgásirányuktól, vagyis a mágnes a szabadon mozgó töltésekkel is kölcsönhatásba lép. Ennek alapján feltételezhetjük, hogy az áramvezetőre ható erő is a vezetőben mozgó töltésekre ható erő következménye (a töltésekre ható erő mozgatja a vezetőt). A kísérletek alapján arra a következtetésre jutottak, hogy mágneses kölcsönhatás mágnes és mágnes-, áramvezető (illetve mozgó töltés) és mágnes-, továbbá áramvezető és áramvezető (illetve mozgó töltés és mozgó töltés) között egyaránt fellép. Ma már tudjuk, hogy a mágneses kölcsönhatás alapvetően mozgó elektromos töltések speciális kölcsönhatása, még azokban az esetekben is, amikor ez egyáltalán nem nyilvánvaló (pl. mágneses anyagok esetén). Mágneses erőtér és mágneses indukcióvektor vákuumban A mágneses kölcsönhatás számszerű jellemzésére – különböző megnyilvánulásainak vizsgálata alapján – többféle lehetőség is van. Mi ezek közül azt választottuk ki, amelyben a mágneses kölcsönhatásban résztvevő testek (mágneses anyagok, elektromos áramok) által létrehozott mágneses hatást azzal jellemezzük, hogy ezek a testek milyen erőt fejtenek ki a környezetükben mozgó pontszerű elektromos töltésre. Tehát tulajdonképpen – hasonlóan, mint az elektromos kölcsönhatás vizsgálatánál – itt is egy erőmérő-töltést használunk a mágneses hatások jellemzésére. Az egyszerűség kedvéért most is azzal az esettel kezdjük a vizsgálatainkat, amikor a mágneses hatásokat kifejtő testek vákuumban vannak elhelyezve, vagyis körülöttük semmilyen anyag nincs. A valóságban ezeket a vizsgálatokat levegőben végezték el, és a törvényeket is ilyen körülmények között állapították meg. Kiderült azonban, hogy a levegő jelenléte – különleges pontosságot igénylő esetektől eltekintve – nem befolyásolja az eredményeket. A vizsgálatokból kiderül, hogy a mágneses testek maguk körül erőteret hoznak létre, amelynek ismertető jele az, hogy itt a mozgó töltésekre erő hat. Ez a mágneses erőtér, amely ebben a vonatkozásban hasonló az elektromos erőtérhez, de – mint látni fogjuk – jellemzése jóval bonyolultabb. A mágneses erőtér számszerű jellemzése érdekében vizsgáljuk meg, hogy a v sebességgel mozgó pozitív töltésű q mérőtöltésre ható erő mitől, és hogyan függ. Ha az erőtér egy adott helyén a mérőtöltés adatait (töltés, sebességvektor) változtatjuk, akkor az alábbi tapasztalatokat szerezhetjük (ábra): ♦ A mozgó töltésre ható mágneses erő (Fm) arányos a F s m nt e s e töltés nagyságával, a mozgás sebességének őm n e er gye nagyságával, és mindig merőleges a sebességvektor e irányára. α + ♦ A mozgó töltésre ható erő függ a mozgás (vagyis a v q sebességvektor) irányától, és mindig található egy olyan helyzetű egyenes, amelyen mozogva, a töltésre nem hat erő (az ábrán „erőmentes egyenes”). ♦ Ennek az "erőmentes" egyenesnek az a különlegessége, hogy az ettől eltérő irányban mozgó töltésre ható erő mindig merőleges erre az egyenesre, az erő nagysága pedig arányos a sebességvektor és az "erőmentes" egyenes által bezárt szög (α) szinuszával. A fenti tapasztalatok egy részét az ábra jelöléseivel az alábbi összefüggéssel fejezhetjük ki:


4

Fm ∼ v q sin α. Ha az arányossági tényezőt B-vel jelöljük, akkor az összefüggés így alakul Fm = B v q sin α. A fenti arányosságból az következik, hogy a B tényező nem függ a mérőtöltés adataitól, hiszen bármelyik adatot megváltoztatva az erő arányosan nő, így a Fm B= vq sin α hányados változatlan marad. A B arányossági tényezőt tehát a mágneses erőteret létrehozó tárgyak határozzák meg, így azt a mérés helyén létrejött mágneses erőtér jellemzőjének tekinthetjük. Az erőhatás teljes leírásához természetesen hozzátartozik az erővektor irányának megadása is. Ennek érdekében jellemezzük az "erőmentes" egyenes helyzetét egy egységvektorral (u0). Ennek meghatározásánál azonban el kell döntenünk, hogy az egyenesen a két lehetséges irány közül melyiket válasszuk az egységvektor irányaként. Definiáljuk ezt az irányt a következőképpen. Tudjuk, hogy a mérőtöltésre ható Fm erő merőleges mind a v, mind pedig az u0 vektorra, ezért vektorszorzatuk egy, az erővel párhuzamos egyenesen van. Válasszuk az u0 vektor irányát úgy, hogy a v × u0 vektorszorzat egyirányú legyen a mérőtöltésre ható Fm erővektorral (ábra). Mivel ennek a vektorszorzatnak a nagysága tes v ×u0 = v sin α , ezért a mágneses erő nagysága az Fm en s

Fm = Bqv sin α = Fm = Bq v × u0

őm ne er gye e

u0 alakba írható. A mérőtöltésre ható mágneses erő tehát vektori vxu0 + alakban is felírható az u0 egységvektor segítségével: v q Fm = Bqv × u0 . Mivel a tapasztalat szerint az "erőmentes" egyenes helyzete sem a mérőtöltés adataitól függ, hanem csak a mágneses erőteret létrehozó tárgyaktól, az erőtér jellemzéséhez az erő nagyságát befolyásoló B skalár mellett, az erőmentes egyenes helyzetének ismerete is hozzátartozik. Ezért a mágneses erőtér jellemzésére a B = Bu0 vektort használjuk, amelyet mágneses indukcióvektornak nevezünk. Ezzel a mérőtöltésre ható erő az Fm = qv × B alakot ölti. Ez a vektoregyenlet az erő nagyságára ugyanazt a kifejezést adja, mint a tapasztalati úton megállapított összefüggés, ezen túlmenően pedig – ugyancsak a tapasztalattal egyezésben – az erő irányát is megadja. A fenti egyenlet alapján a B vektor a mágneses erőtér adott helyén a következőképpen határozható meg. A q mérőtöltést az adott helyen ismert v sebességgel mozgatva, megmérjük a ráható Fm erő nagyságát és irányát, majd a fenti egyenlettel összhangban kijelöljük a B vektor irányát. A B vektor nagyságát az erő nagyságát megadó egyenletből számítjuk ki az alábbi módon Fm B= . vq sin α A definíció alapján a mágneses indukcióvektor SI egysége: Ns N Nm VAs Vs 1 = = 2 = 2 = 2 = 1Tesla = 1T (az egység a nevét N. Tesláról kapta). mC mA m A m A m


5

A B vektorokat pontról-pontra meghatározva, a mágneses erőteret is szemléltethetjük vonalakkal, amelyeknek az érintője az adott pontban megadja az indukcióvektor irányát. A B vektor vonalait indukcióvonalaknak nevezik.1

Az ábrákon egy egyenes vezetőben-, egy kör alakú áramhurokban-, és egy egyenes tekercsben folyó áram által létrehozott mágneses erőtér B vonalait mutatjuk be. A vázlatos ábrákról látható, hogy – szemben az elektrosztatikus erőtér erővonalaival, amelyek a teret keltő töltésekben kezdődnek vagy végződnek – a mágneses erőteret jellemző B vektor vonalai zárt hurkok, amelyek az erőteret létrehozó elektromos áramot körülveszik. A baloldali ábrán látható az az ún. jobbkézszabály is, amivel az áram körül létrejött indukcióvonalak irányát meghatározhatjuk. Látható, hogy az egyenes vezető átellenes oldalainál az indukcióvektor ellenkező irányú. Ezzel az eredménnyel érdemes összevetni azt a tapasztaltunkat (Oersted-kísérlet), hogy az egyenes vezető felett- és alatt elhelyezett iránytű ellenkező irányba áll be. Ez a kísérlet, és számos más tapasztalat is azt mutatja, hogy az iránytű az indukcióvektor irányával párhuzamosan áll be, vagyis az adott helyen megmutatja az indukcióvektor irányát. Ez teszi lehetővé az indukcióvonalak egy egyszerű szemléltetését. KÍSÉRLET: ♦ Egyenes áramvezető körül elhelyezkedő iránytűk az ábra szerint helyezkednek el (az áram merőleges a rajz síkjára). Ha mágneses erőtérbe helyezett vízszintes, sík lapra vasreszeléket szórunk, akkor a vasszemcsék apró mágnesekké, iránytűkké válnak, és a mágneses erőtérben az indukcióvonalak mentén rendeződnek. Ezzel a módszerrel bemutatjuk a vasreszelék által kirajzolt ábrát az egyenes vezető-, kör alakú áramhurok, egyenes tekercs-, rúdmágnes és patkómágnes körül.

1

Az indukcióvonalakat gyakran „mágneses erővonalaknak” nevezik, annak ellenére, hogy ezek – szemben az elektromos erővonalakkal – nem adják meg a mozgó töltésre ható erő irányát.


6

Látható, hogy a tekercs és a rúdmágnes erőtere között hasonlóságok vannak. Az is megállapítható, hogy a tekercs belsejében és a patkómágnes szárai között közelítőleg homogén erőtér alakul ki. Ha a B vektort az erőtér adott pontjában már ismerjük, akkor ott bármilyen v' sebességgel mozgó q' töltésre ható F'm mágneses erő meghatározható az erőt megadó egyenlet alkalmazásával: Fm′ = q ′v′ × B . Áramvezetőre ható erő mágneses erőtérben A kísérletek azt mutatják, hogy mágneses erőtérben nem csak szabadon mozgó töltésre hat erő, hanem árammal átjárt vezetőre is. A jelenség kézenfekvő magyarázata az lehet, hogy a vezetőben mozgó töltésekre fellépő erő közvetetten a vezetőn is megjelenik, vagyis az áramvezetőre ható mágneses erő a benne mozgó töltésekre ható erők eredőjével azonos. Ha ez így van, akkor a mozgó töltésre ható erőre kapott összefüggés segítségével kiszámíthatjuk az áramvezetőre ható erőt is. Ha ezt az erőt megmérjük, akkor a számítás eredményével összevetve, ellenőrizhetjük a kiinduló feltevésünket is. Az erők számításánál feltételezzük, hogy a vizsgált vezető környezetében valamilyen mágneses anyag vagy áram létrehozott egy mágneses erőteret, amit ismerünk, vagyis az erőteret jellemző B mágneses indukcióvektor mindenütt adott. Árammal átjárt vezetőre ható erő

A fenti feltevés alapján a vezetőre ható erőt az egyes töltésekre fellépő erők összegzésével kaphatjuk meg. A vezetőben v sebességgel mozgó egyetlen q töltésre ható B 2 erő F1 = q v x B. uT B Ha a vezetőben a töltéshordozók térfogati sűrűsége v A ∆N (töltéshordozó-szám/térfogat), akkor a n= ∆V dr kiszemelt, dr hosszúságú (ábra) térfogatelemben mozgó v=vuT töltéshordozók száma ∆N = n∆V = nAdr . 1 Ha feltételezzük, hogy az összes töltés ugyanolyan átlagos sebességgel mozog, és a dr szakasz olyan rövid, hogy azon belül az indukcióvektor nem változik, akkor a töltésekre ható erők mind párhuzamosak (az ábra síkjára merőlegesen kifelé mutatnak), így a vezetőszakaszra ható eredő erő dF = ∆NF1 = nAdrF1 = qnAv × Bdr . Egy véges hosszúságú (az ábrán 1-2) vezetődarabra ható erőt az egyes elemi szakaszokra ható erők összegzésével (integrálásával) kapjuk: 2

F = ∫ qAnv × Bdr . 1

Vezessük be a v = vuT vektort, ahol uT a töltéshordozók sebességének – és egyben a vezető érintőjének – irányába mutató egységvektor, és vegyük figyelembe, hogy a vezetőben folyó áram erőssége I = q n A v. Ezzel a vezetőre ható erő kifejezése így alakul:


7

2

2

1

1

F = ∫ IuT × Bdr = I ∫ uT × Bdr .

Az áramerősség azért emelhető ki, mert Kirchhoff I. törvénye szerint I a vezető minden helyén ugyanakkora. Ez az összefüggés tetszőleges alakú és hosszúságú vezetőre érvényes, de bonyolult alakú vezető esetén nehezen számítható ki. Egyszerűen megkapható egy l hosszúságú, egyenes vezetőszakaszra homogén mágneses erőtérben ható erő, hiszen ekkor az uT x B vektorszorzat a vezető mentén mindenütt ugyanaz lesz, így írhatjuk, hogy 2

F = IuT × B∫ dr . 1

Az itt szereplő integrál a vezető mentén történt elmozdulások összege, ami éppen a vezető l hosszával egyenlő, így végül az F = IluT × B végeredményt kapjuk. A vezetőre ható erő – a töltésre ható erő irányával összhangban – merőleges a vezetőre és a mágneses indukcióvektorra is. A vezetőszakaszra vonatkozó összefüggéssel kapcsolatban megjegyezzük, hogy az áram mindig zárt hurokban folyik, ezért egy vezetőre mágneses erőtérben ható erő mindig egy áramhurokra fellépő erőt jelent. A vezető egy szakaszára ható erő tehát csak akkor azonosítható a vezetőre ható erővel, ha a mágneses erőtér valóban csak erre a szakaszra fejt ki erőt. Az erő kifejezésének áramhurokra érvényes, általános alakja F = I ∫ uT × Bdr , L

ahol az integrálás (összegzés) a teljes, zárt L vezetőhurok mentén történik. Áramhurokra ható forgatónyomaték

Egy áramhurokra az eredő erő mellett általában forgatónyomaték is fellép. Itt a legegyszerűbb esetet tárgyaljuk, amikor a mágneses erőtér homogén. Ekkor az áramhurokra ható eredő erő nulla, de forgatónyomaték felléphet. Számítsuk ki a forgatónyomatékot abban az egyszerű esetben, amikor a homogén mágneses erőtérben elhelyezett F3 áramhurok téglalap alakú, l és l' b F1 oldalhosszakkal, és az egyik l a k szembelévő oldalpár (l') I b merőleges a mágneses F1 l l' α (befelé) indukcióvektorra (ábra). Az l M α B F2 uN hosszúságú oldalakra ható erők (kifelé) B α uN c azonos nagyságúak és a I d ellentétes irányúak (F3= -F4), uN F2 F4 ezért eredőjük nulla, mivel pedig egy egyenesen a) b) működnek, eredő nyomatékuk sincs (a) ábra). Az l' hosszúságú oldalakra ható erőkre szintén érvényes, hogy F1 = F2, de ezeknek az erőknek a nyomatéka nem nulla. A két erő azonos nagysága F1 = F2 = F = Il ′B . A b) ábrán a keretet felülnézetben mutatjuk, ahol jól látható a keretre ható erőpár, amely a keretet a nyíl irányában forgatja. Az erőpár forgatónyomatékának nagysága M = Fk = Fl sin α .


8

Itt α a keret állását megadó szög. Az erő kifejezését behelyettesítve, és felhasználva, hogy a zárt hurok felülete A = ll ′ , a forgatónyomaték nagyságára azt kapjuk, hogy M = IAB sin α . A keret felületének állását megadhatjuk a felületre merőlegesen felvett uN egységvektorral is, amelynek irányát az áram irányához illesztjük az ábrán látható jobbkéz-szabálynak megfelelően. Mivel a forgatónyomaték kifejezésében szereplő α szög megegyezik az indukcióvektor és a felületre merőleges uN vektor által bezárt szöggel, ezért a forgatónyomaték az alábbi vektoregyenlet formájában is felírható: M = IAu N × B . Ez az összefüggés közvetlenül megadja az áramhurokra, illetve a vezetőkeretre ható forgatónyomaték-vektort. A b) ábra alapján belátható, hogy az így kapott nyomatékvektor a rajz síkjából kifelé mutat, tehát valóban a berajzolt nyíl irányában forgat. Ez az eredmény – bár levezetésénél speciális alakú vezetőkeretet alkalmaztunk – bármilyen alakú síkbeli áramhurokra érvényes. A forgatónyomatékot eszerint az áram és a vezetőkeret által körülzárt felület nagysága mellett a keret síkjának (illetve felületvektorának) az indukcióvektorhoz viszonyított állása szabja meg. A keret akkor van egyensúlyban, amikor a rá ható forgatónyomaték nulla, vagyis amikor α=0. Ez azt jelenti, hogy a mágneses erőtér az árammal átjárt vezetőkeretet addig forgatja, amíg a keret felületvektora (normálisa) párhuzamos nem lesz az indukcióvektorral. Az árammal átjárt forgatható vezetőkeret ilyen viselkedését kísérletileg is igazolni lehet. KÍSÉRLET: ♦ Függőleges tengely körül forgatható, árammal átjárt vezető kerethez mágnesrudat közelítve, a keret a rúd irányára merőlegesen áll be, vagyis a keret felületére merőleges felületvektor a mágneses indukcióvektorral párhuzamos irányba fordul (a mágnesrúdban és a végéhez közeli helyeken a mágneses indukcióvektor párhuzamos a rúd tengelyével). A vezetőkeretre mágneses erőtérben fellépő forgatónyomaték lehetőséget ad elektromos energiának mechanikai munkává való átalakítására, hiszen a keretben folyó áram hatására jön létre az elfordulás. Némi nehézséget okoz, hogy a fent tárgyalt esetben a keret maximum egy félfordulatot tesz csak meg, azután igyekszik a nyomatékra vonatkozó egyenlet által meghatározott egyensúlyi helyzetbe beállni. Ha azonban az egyensúlyi helyzet elérése pillanatában mindig megfordítjuk a keretben folyó áram irányát, akkor a keret mindig továbbfordul, és így folyamatos forgómozgás hozható létre (az áram irányváltoztatásának hagyományos módszere az ún. kommutátor alkalmazása, amely ezt a feladatot mechanikai úton oldja meg). Lényegében ezen alapul az egyenáramú elektromos motor működése. A vezetőkeretre ható forgatónyomaték arányos a keretben folyó árammal, ezért ha ismert mágneses erőtérben egy ismert keretre ható forgatónyomatékot megmérjük (pl. úgy, hogy egy torziós szállal vagy spirálrugóval kompenzáljuk), akkor a fenti összefüggés alapján a keretben folyó áram meghatározható. Ezen alapul az árammérésre használt mutatós műszerek működése.


9

Mágneses dipólus Az áramhuroknak az a viselkedése, hogy a hozzá rendelt felületvektor beáll az indukcióvektor irányába, hasonlít a mágneses anyagból készült iránytű viselkedéséhez, ami szintén az indukcióvektorral párhuzamosan áll be. Ráadásul az áramhurok és a kétpólusú mágnes (mágneses dipólus) erőtere is hasonlít egymáshoz. Ez adja az alapját annak, hogy az áramhurkot mágneses dipólusnak nevezik. A mágneses dipólus jellemzése, a mágneses dipólmomentum

A mágneses dipólus bevezetése mellett szól még egy analógia: elektromos erőtérben az elektromos dipólus szintén beáll az elektromos erőteret jellemző vektor, az elektromos térerősség irányába. Ezt az analógiát felhasználva vezették be azt a vektormennyiséget, amellyel a mágneses dipólust jellemezni lehet, ami megadja a dipólus beállásának irányát és az áramhurkot jellemző adatokat (a hurokban folyó áramerősséget és a hurok nagyságát). Ezt a mennyiséget mágneses dipólmomentumnak nevezik, és definíciója az elektromos dipólus-analógián alapul. Mint azt korábban láttuk, az elektromos dipólusra elektromos erőtérben ható forgatónyomaték: M e = de × E . A mágneses dipólusra mágneses erőtérben fellépő forgatónyomaték viszont Mm = IAu N × B . A két kifejezés összehasonlítása alapján a mágneses dipólmomentumot célszerű a dm = IAu N összefüggéssel definiálni. Ez a mennyiség valóban csak a dipólus (az áramhurok) adataitól (áram, felület nagysága, felület állása) függ. Áramhurok mágneses erőterét (B) és a dipólmomentum-vektor (d) irányának definícióját (az I áram irányával való összefüggését) mutatja a mellékelt ábra. Az áramhurokra ható forgatónyomaték a mágneses dipólmomentummal kifejezve M m = dm × B . Mágneses dipólus energiája mágneses erőtérben

Egyensúlyi állapotban a mágneses dipólus (pontosabban a dipólmomentum vektor) befordul a mágneses indukcióvektor irányába. Ha ebből a helyzetből ki akarjuk fordítani, akkor erőt kell kifejtenünk, és munkát kell végeznünk. Ez a munkavégzés azt eredményezi, hogy a dipólus helyzeti energiára tesz szert. Az erőtér által a mágneses dipólus elfordulásakor végzett munka ugyanúgy számítható ki, mint az elektromos dipólus esetében: dWtér = Mtér dϕ = − M tér dϕ . Mivel pedig a forgatónyomaték kifejezése is ugyanolyan a két esetben, a számolás itt is ugyanúgy végezhető el, mint az elektromos esetben, és a végeredmény is ugyanaz, csak elektromos dipólmomentum ( p e ) helyett mágneses dipólmomentumot ( p m ), elektromos térerősség (E) helyett mágneses indukcióvektort (B) kell írnunk. Az elektromos dipólus helyzeti energiája elektromos erőtérben E he = −deE , ennek megfelelően a mágneses dipólus helyzeti energiája mágneses erőtérben E hm = −dmB .


10

A helyzeti energiát most is a dipólusnak arra a helyzetére vonatkoztatjuk, amikor a dipólmomentum vektor merőleges az indukcióvektorra. Ebben a helyzetben a dipólus helyzeti energiája nulla, ennek következtében az egyensúlyi állapotban a helyzeti energia negatív.


1

Elektromos áram mágneses erőtere, a Biot–Savart-törvény A mágneses erőtérben fellépő erőhatások számításánál mindig feltételeztük, hogy a tér minden pontjában ismerjük a B mágneses indukcióvektort. Felmerül a kérdés, hogy hogyan lehet kiszámítani egy mágneses erőteret létrehozó konkrét tárgy körül kialakult erőtérben a mágneses indukcióvektort. A tárgy elvileg lehet egy áramvezető vagy egy mágnes, de az utóbbi esettel – bonyolultsága miatt – itt nem foglalkozunk. Így a feladat tulajdonképpen egy elektromos áram mágneses erőterének kiszámítása. A Biot–Savart-törvény

A mágneses erőtér számításának egy módszerét saját mérési eredményeikre támaszkodva J.B. Biot és F. Savart adták meg. A mérések alapján arra a következtetésre jutottak, hogy egy áram dl hosszúságú, elemi szakasza által egy P pontban létrehozott dB indukcióvektor-járulék nagysága az dl uT alábbi kifejezéssel adható meg (ábra): α Idl dB ~ 2 sin α . I r ur r P Itt α az áram iránya és a dl áramelemtől a vizsgált dB ponthoz (P) húzott egyenes által bezárt szög. Ha (befelé) az arányossági tényezőt K m -mel jelöljük, akkor azt kapjuk, hogy Idl dB = K m 2 sin α . r Ha bevezetjük az áram irányába mutató uT -, és az áramelemtől a P ponthoz mutató ur egységvektorokat (ábra), akkor a dB járulékot vektori alakban is felírhatjuk. Az indukcióvektorra vonatkozó mérésekből ugyanis kiderült, hogy a mágneses indukcióvektor-járulék ( dB ) mindkét egységvektorra merőleges, és az ábrán látható esetben a rajz síkjába befelé mutat. Ez azt jelenti, hogy dB || uT × u r , vagyis az áramelem járuléka vektori alakban így írható: u ×u dB = K m I T 2 r dl . r (Itt felhasználtuk, hogy uT ×ur = sin α .) Ez az áramelem mágneses erőterére vonatkozó Biot–Savart-törvény (egyes – főleg angol nyelvű – könyvekben Ampère– Laplace-törvényként szerepel). Mivel a sztatikus mágneses erőteret egy adott helyen (P) mindig egy zárt áramhurok hozza létre, a mágneses indukcióvektor számításánál a teljes L áramhurok mentén körbejárva összegezni (integrálni) kell az egyes áramelemek járulékait: u ×u B( P ) = K m I ∫ T 2 r dl . r L Ez a teljes áramkörre vonatkozó Biot–Savart-törvény. Kísérletileg ezt a törvényt lehet ellenőrizni, az áramelemre vonatkozó törvény csak közvetve igazolható (a belőle kapott teljes áramkörre vonatkozó fenti törvény helyessége igazolja).


Formai okokból a

Km

2

arányossági tényezőt egy másik állandóval szokás

helyettesíteni, amit µ0 -lal jelölnek, és amelynek definícióját a K m =

µ0 összefüggés 4π

adja. Ezzel a Biot–Savart-törvény így alakul: µ u ×u B( P ) = 0 I ∫ T 2 r dl . 4π L r Ha az áramerősség egységét ismerjük, akkor az egyenletben szereplő µ0 állandó értékét a fenti összefüggés elvileg egyértelműen definiálja. Az SI egységrendszerben azonban először µ0 értékét definiálták, és csak ezután az áramerősségét (l. később). A definiált érték: µ 0 = 4π ⋅ 10 −7 Vs / ( Am ) . A Biot–Savart-törvény segítségével elvileg tetszőleges áram által létrehozott mágneses erőtér tetszőleges pontjában meghatározható a mágneses indukcióvektor, de szabálytalan alakú áramvezető esetén a számítás komoly nehézségeket okozhat, többnyire csak közelítő módszerekkel hajtható végre. A Biot–Savart-törvény alkalmazásai

Itt példaként két egyszerű esetet tárgyalunk: először kiszámítjuk a mágneses indukcióvektort egy kör alakú vezető esetén a kör középpontjában, majd összefoglaljuk, hogy hogyan lehet meghatározni egy hosszú egyenes vezetőben folyó áram mágneses erőterét.

Mágneses indukcióvektor körvezető körének középpontjában Itt a mágneses indukcióvektor nagyságát a Biot–Savarttörvény alkalmazásával, az L vezetőhurok (kör) mentén történő összegzéssel kapjuk meg. Felhasználva, hogy az uT és ur egységvektorok merőlegesek egymásra ( uT × ur = 1 ), továbbá a vezető minden pontja ugyanolyan

dB||uTxur L R P

uT dl ur

I távolságra (r) van a P ponttól, azt kapjuk, hogy u ×u µ µ µ 1 B( P ) = 0 I ∫ T 2 r dl = 0 I ∫ 2 dl = 0 2 I ∫ dl . 4π L R 4π L R 4πR L A dl szakaszok összege a kör mentén viszont éppen a kör kerületével egyenlő, ezért a keresett indukcióvektor nagysága µ µ I B( P ) = 0 2 I 2rπ = 0 . 4πR 2R Az indukcióvektor irányát uT × u r vektorszorzat iránya adja meg, vagyis az ábra szerinti elrendezésben az indukcióvektor a kör síkjára merőlegesen felfelé mutat.

Vonalszerű, egyenes vezető mágneses erőtere Kicsit hosszabb számolással, de különösebb bonyodalmak nélkül kiszámítható az indukcióvektor egy nagyon vékony, nagyon (elvileg végtelen) hosszú egyenes vezető körül kialakuló mágneses erőtérben. Az indukcióvektor – a Biot–Savart-törvénnyel, és a tapasztalattal összhangban – merőleges az áram irányára, nagysága pedig a számolás szerint az áramvezetőtől mért R távolsággal csökken, a µ I B= 0 2πR összefüggés szerint.


3

************ ************* A számolást a mellékelt ábra segítségével végezhetjük el, amelyen látható az áram egy elemi dl szakasza, amelynek indukció-járulékát a Biot–Savart-törvény uT segítségével írhatjuk fel:

dl

µ u ×u dB( P ) = 0 I T 2 r dl . 4π r

Ebből látszik, hogy az indukcióvektor merőleges az áram irányára és az R szakaszra, és az ábrán berajzolt kör érintője irányába mutat. Az indukcióvektor nagysága a P pontban

dB( P ) = Mivel

ds u ϑ r r R

dα

α

dB P

µ 0 uT × u r µ sin (π − ϑ ) µ sin ϑ I dl = 0 I dl = 0 I 2 dl . 2 2 4π r 4π r 4π r

dl sin ϑ dl cos α ds = = = dα r r r

így

dB( P ) =

továbbá

r=

R , cos α

µ0 sin ϑ µ I I 2 dl = 0 cos αdα . 4π r 4πR

Az egyenes vezető által okozott indukcióvektor teljes nagyságát a dl szakaszok járulékainak összegzésével, azaz integrálással kapjuk meg (minden szakasz járuléka azonos irányú):

µ I µ I µ I µ0 I +π / 2 +π / 2 cos αdα = 0 [sin α ]−π / 2 = 0 2 = 0 . B( P ) = ∫ 2πR 4πR 4πR 4πR −π / 2 ************ *************

A sztatikus mágneses erőtér alaptörvényei A sztatikus elektromos erőtér esetén az erőteret jellemző E térerősségvektorra két alapvető integrál-törvény, az elektrosztatika I. és II. alaptörvénye érvényes. Felmerül a kérdés, hogy a sztatikus mágneses erőtér jellemzésénél felhasználhatjuk-e ezeket az eredményeket. Nehézséget az okozhat, hogy a mágneses erőteret jellemző B mágneses indukcióvektor a mágneses erőhatásokkal csak áttételes módon – egy vektorszorzat segítségével – hozható kapcsolatba. Ez lényeges eltérés az elektromos erőtértől, ahol a térerősség arányos a töltésre ható erővel, így az Edr skalárszorzatnak közvetlen fizikai jelentése van (számértékét tekintve az erőtér által egységnyi töltésen végzett munka). Ezzel szemben a Bdr mennyiség fizikai szempontból semmit nem jelent. Megtartható azonban a két alaptörvény matematikaigeometriai jelentése, ami az erőtér erővonalainak szerkezetére vonatkozó információkat ad. A sztatikus mágneses erőtér II. alaptörvénye (a magnetosztatika Gauss-törvénye)

Az elektrosztatika II. alaptörvénye azt fogalmazza meg matematikai formában, hogy az elektrosztatikus erőtér erővonalai töltéseken kezdődnek és töltéseken végződnek, vagyis ennek az erőtérnek forrásai vannak. Ez a kérdés a mágneses indukcióvektorral kapcsolatban is felvethető, és a válasz matematikai megfogalmazása ugyanúgy adható meg, mint az elektrosztatikus erőtérnél. Az indukcióvektor esetén – az elektrosztatikus tér fluxusának mintájára – bevezethető az A felületre vonatkozó


4

Φ B = ∫ BdA A

indukciófluxus, aminek ugyanolyan jelentése van, mint az elektromos térerősség fluxusának (számértéke a felületet átmetsző indukcióvonalak számának előjeles összegével egyenlő). Az hogy egy zárt felületre vonatkozó indukciófluxus milyen, információt ad az indukcióvonalak jellegére, az erőtér forrásos vagy forrásmentes voltára (vagyis arra, hogy az indukcióvonalak kezdődnek és végződnek valahol vagy nem). Az áramok által létrehozott mágneses erőtérrel kapcsolatos tapasztalataik azt mutatják, hogy az indukcióvonalak az áramot körülvevő zárt vonalak, amelyek nem kezdődnek és nem végződnek sehol. Ez viszont azt jelenti, hogy a felület által határolt térfogatba belépő indukcióvonalaknak záródniuk kell, vagyis ismét ki kell lépniük a térfogatból. Az indukcióvonalak tehát kétszer metszik a zárt felületet, és a két metszés ellenkező előjelű járulékot ad a fluxusban. Emiatt egy zárt felületre vett indukciófluxus csak nulla lehet: ∫ BdA = 0 . A

Ezt a törvényt gyakran a sztatikus mágneses erőtér II. alaptörvényének vagy a magnetosztatika Gauss-törvényének nevezik. A törvény azt fejezi ki, hogy – szemben az elektromos erőtérrel – mágneses erőtérben nincsenek olyan helyek, amelyekben az indukcióvonalak kezdődnek vagy végződnek, más kifejezéssel a mágneses erőtér forrásmentes. Ezt a tapasztalatot úgy is meg lehet fogalmazni, hogy nincs "mágneses töltés", amelyen az indukcióvonalak kezdődnének és végződnének. Ezt erősíti meg az a kísérleti eredményünk is, hogy egy „kétpólusúnak” mutatkozó mágnesrúd kettévágásával a két darab továbbra is kétpólusú marad: a mágnes két pólusa nem választható szét. A magnetosztatika I. alaptörvénye (gerjesztési törvény)

Az elektrosztatika I. alaptörvényének mintájára formálisan megpróbálhatjuk kiszámítani egy L zárt görbe mentén a ∫ Bdr mennyiséget, amit gyakran L

örvényerősségnek neveznek. Az örvényerősség az indukcióvonalak jellegére adhat információt. Láttuk, hogy egy áram által keltett mágneses erőtérben az indukcióvonalak önmagukban záródó hurkok, amelyek az áramot veszik körül. Ebből először is következik, hogy ha zárt L görbének egy ilyen zárt indukcióvonalat választunk, és erre kiszámítjuk az örvényerősséget, akkor biztosan nullától különböző értéket kapunk. Ha ugyanis a görbét az indukcióvektor irányában járjuk körül, akkor az elmozdulásvektor és az indukcióvektor mindenütt párhuzamos lesz egymással (az indukcióvektor a vonal érintője), tehát minden elemi szakaszon Bdr > 0 , így a teljes integrál értéke is pozitív. Ha viszont a körüljárás iránya ellentétes, akkor minden szakaszon Bdr < 0 , tehát az integrál negatív. Bebizonyítható, hogy zárt indukcióvonalak esetén az örvényerősség akkor sem lehet nulla, ha a számítást nem indukcióvonal mentén végezzük el. A tapasztalatokra alapozva – önmagukban záródó indukcióvonalakat feltételezve – annyit tehát megállapíthatunk, hogy ∫ B dr ≠ 0 . L


5

A kérdés az, hogy az örvényerősség milyen mennyiséggel van összefüggésben, és mivel egyenlő. Az erőtér tanulmányozása során kiderült, hogy az L örvényerősség csak akkor különbözik nullától, ha a zárt L I görbe, amelyre az örvényerősséget kiszámítjuk, áramot fog körül (ábra). A kísérletek azt is megmutatják, hogy az örvényerősség a zárt L görbe által körbevett – vagyis a zárt dr görbe által határolt A felületet átmetsző – áram I erősségével A arányos: ∫ Bdr ~ I . L

Ha a felületet több áram metszi át, akkor a jobboldalon az áramok előjeles összege áll, vagyis ∫ Bdr ~ ∑ I k . L

I3

k

I>0 Az áram előjelét a görbén történő körüljárás iránya dr szabja meg az ábrán látható jobbkéz-szabálynak I2 L megfelelően. Eszerint az ábrán I 1 és I 2 > 0 , I 3 < 0 . A törvény pontos alakjának felírásához ismerni kell az I1 arányossági tényező értékét. Ezt mérés útján dr meghatározhatjuk, de megkaphatjuk úgy is, hogy a fenti törvényt alkalmazzuk egy ismert, speciális A mágneses erőtérre. Ilyen például az egyenes vezető erőtere. Az egyenes vezetőben folyó I áram mágneses terének jellegét kísérletekből jól ismerjük, és az indukcióvektort a Biot–Savart-törvény segítségével ki is tudjuk számítani. Alkalmazzuk a fenti törvényt úgy, hogy az integrálás útvonalaként (L) az erőtér erővonalait követő I B||dr zárt görbét, azaz az áramra merőleges síkban, az áram B köré rajzolt kört veszünk fel (ábra). Az elrendezés dr hengerszimmetrikus, ezért a kör mentén a B vektor r nagysága mindenütt ugyanakkora, és mindenütt B||dr, L így a zárt L görbére vett integrál: B µ0 I ∫L Bdr = ∫L Bdr = B ∫L dr = B 2πr = 2rπ 2πr = µ0 I .

arányossági tényező tehát a korábban bevezetett µ0 állandó. Az örvényerősségre vonatkozó törvény pontos alakja tehát a következő: ∫ Bdr = µ0 ∑ I k . L

k

Itt ΣIk az L zárt görbe által körülfogott áramok algebrai összege, amelyben az áramoknak a zárt görbe körüljárásával összefüggő, és a fenti ábrán látható előjelet tulajdonítunk. Az összefüggést, amely bármilyen zárt görbére történő integrálásnál érvényes, a sztatikus mágneses erőtér I. alaptörvényének, vagy gerjesztési törvénynek nevezik (egyes könyvekben az Ampere-törvény elnevezést használják). Fontos hangsúlyozni, hogy a törvényben szereplő áramösszeg az áramok előjeles összege, így akkor is lehet nulla, ha a zárt görbe áramokat vesz körül, de azok ellenkező irányúak és azonos nagyságúak.


6

A gerjesztési törvény alkalmazása áramok mágneses erőterének számítására A gerjesztési törvény segítségével bizonyos esetekben a mágneses indukcióvektor igen egyszerűen meghatározható. Ehhez azonban az szükséges, hogy az erőtérnek valamilyen szimmetriája legyen, ami lehetővé teszi, hogy az integrál alakú törvényből a mágneses indukcióvektort kiemeljük. Most néhány egyszerű geometriájú áram mágneses terét számítjuk ki a gerjesztési törvény segítségével. Hosszú, vonalszerű egyenes vezető mágneses erőtere

A nagyon vékony, hosszú, egyenes vezető esetét – fordított sorrendben – tulajdonképpen egyszer már végigszámoltuk, amikor a gerjesztési törvényben szereplő arányossági tényezőt kerestük. Akkor ismertnek tételeztük fel az indukcióvektort, és a törvény pontosabb alakját kerestük. Most a törvényt ismerjük és a mágneses indukcióvektort akarjuk meghatározni. A végeredmény ugyan nyilvánvaló, de a törvény alkalmazásának menete jól bemutatható ennek az egyszerű feladatnak a megoldása kapcsán. A megoldásnál ugyanazt az ábrát használhatjuk, amit korábban, és a szimmetriára vonatkozó érvelés is ugyanaz. Az egyenes vezetőben folyó I áram mágneses terének I B||dr tárgyalásához az integrálás útvonalaként az erőtér B erővonalait követő zárt görbét, azaz az áramra merőleges dr síkban, az áram köré rajzolt kört célszerű felvenni (ábra). r Az elrendezés hengerszimmetrikus, ezért a kör mentén a L B vektor nagysága mindenütt ugyanakkora, és mindenütt B B||dr, így a zárt görbére vett integrál: ∫ Bdr = ∫ Bdr = B ∫ dr = B 2πr L

L

L

Másrészt viszont a gerjesztési törvény szerint ∫ Bdr =µ0 I , L

ezért a mágneses indukcióvektor nagyságára azt kapjuk, hogy µ I B= 0 2πr vagyis az erőteret jellemző indukcióvektor nagysága a vezetőtől távolodva a távolsággal fordított arányban csökken. A térerősség irányát adott pontban a ponton át, az áram, mint középpont körül rajzolt kör érintője adja meg. Egyenes tekercs mágneses erőtere

Tapasztalatból tudjuk, hogy egy tekercs belsejében jó közelítéssel homogén, a tekercs tengelyével párhuzamos mágneses erőtér jön létre. Most példaként a gerjesztési törvény alkalmazásával kiszámítjuk mágneses indukcióvektor nagyságát egy N menetű, l hosszúságú egyenes tekercs belsejében. A számításhoz az ábrán látható, téglalap alakú L zárt görbét célszerű felvenni, amelynek 1-2 szakasza a tekercs belsejében, a tekercs tengelyével párhuzamosan halad. Ekkor az 1-2 szakaszon B||dr, másrészt a 2-3 és 4-1 szakaszokon közelítőleg igaz, hogy B⊥dr, ezért ez utóbbi két szakasz elhanyagolható járulékot ad az integrálhoz. Végül a 3-4 szakaszt tetszőleges távolságra elvihetjük (ezt szimbolizálja az ábrán a zárt görbe


7

szaggatott része), ahol a mágneses erőtér már igen kicsi, így ennek a szakasznak a járulékát is elhanyagolhatjuk. Ezért a zárt görbére vett integrál így egyszerűsödik: 2

∫ Bdr ≈ ∫ Bdr ≈ Bl . L

1

A gerjesztési törvény szerint viszont ∫ Bdr = µ0 ∑ I k = µ0 NI , L

k

így a mágneses indukcióvektor nagysága a tekercsben µ NI B≈ 0 . l (Az N szorzó azért jelenik meg, mert az áram ugyanabban az irányban N-szer metszi át a zárt L görbe által határolt A felületet.) A valóságban az erőtér a tekercs végeinél biztosan nem homogén, ezért a fenti összefüggés csak körültekintően alkalmazható. Jó közelítéssel érvényes hosszú, vékony tekercsben, a tekercs végéhez nem túl közeli pontokban. A tekercs széleinek hatását elkerülhetjük, ha az indukcióvektort csak a tekercs belsejében számítjuk ki. Ha N′ ott egy l’ hosszúságú szakaszon a menetek száma N’, akkor bevezetve a n = l′ menetsűrűséget, az indukcióvektor nagyságára a B = µ0 nI összefüggést kapjuk. Áramvezetők kölcsönhatása, az áramerősség SI egysége Miután megismertünk néhány módszert arra, hogy hogyan lehet kiszámítani egy áram által létrehozott mágneses erőtérben az indukcióvektort, és korábbról tudjuk, hogy egy áramra milyen erő hat adott indukciójú mágneses erőtérben, lehetőségünk van az áramok közötti kölcsönhatás számítására is. Az alapelv itt az, hogy kiszámítjuk az egyik áram által a másik helyén létrejött indukcióvektort, és meghatározzuk, hogy ebben az erőtérben milyen erő lép fel a második áramvezetőre. Árammal átjárt, hosszú, egyenes vezetők kölcsönhatása

Az áramvezetők között létrejövő kölcsönhatást korábban már kísérletileg is megvizsgáltuk, és azt tapasztaltuk, hogy két párhuzamos, árammal átjárt egyenes vezető egymást vonzza, ha a két áram egyirányú, és egymást taszítja, ha a két áram ellenkező irányú. Korábbi eredményeink segítségével ezt az erőt most már ki is tudjuk számítani. Két egymástól d távolságra lévő, nagyon hosszú, párhuzamos vezetőben azonos irányban folyó áramok (I1 és I2) kölcsönhatását vizsgáljuk B1 (ábra). Az áramok a rajz síkjára merőlegesen, abból kifelé B1 folynak, és nagyon nagy l hosszúságú szakaszaik állnak d egymással kölcsönhatásban. I1 I2 F21 Az I2 áramra ható erőt a korábban megismert F21 = I 2 luT 2 × B 1 összefüggés adja meg, ahol uT 2 az I2 áram irányába – esetünkben az ábra síkjából kifelé – mutató egységvektor, B1 pedig az I1 áram által az I2 áram helyén létrehozott mágneses indukcióvektor. A vektorszorzat eredménye egy


8

olyan erő, amely az I1 áram felé mutat, vagyis az I1 áram vonzza az I2 áramot. Mivel uT 2 ⊥ B1 , a vonzóerő nagysága: F21 = I 2 lB1 . Tudjuk, hogy egy nagyon hosszú vezetőben folyó I1 áram által a tőle d távolságban (vagyis az I2 áram helyén) létrehozott mágneses indukcióvektor nagysága µ I B1 = 0 1 , 2dπ így a vonzóerő nagysága µ I I l F21 = 0 1 2 . 2 dπ Ugyanezt az eredményt kapjuk akkor is ha az I2 áram által az I1 áramra kifejtett erőt számítjuk ki. A két nagyon hosszú vezető között fellépő kölcsönhatást legtöbbször a vezetők egységnyi hosszára ható F µ I I f kh = kh = 0 1 2 l 2 dπ erővel jellemzik. Az áramerősség SI egysége

Az áramvezetők kölcsönhatására kapott eredmény felhasználható arra, hogy az elektromos áram mérését erőmérésre vezessük vissza. Ha készítünk egy olyan erőmérő berendezést, amellyel két azonos I nagyságú, párhuzamos áram között fellépő fkh erőt meg tudjuk mérni, akkor az µ0 I 2 f kh = 2 dπ összefüggésből az áram 2dπf kh I=

µ0

értéke meghatározható. Ehhez – az elrendezésben adott d mellett – ismerni kell a µ0 állandót, amit a mágneses erőhatások mérése útján elvileg meg lehet határozni. Az SI mértékrendszerben azonban nem ezt az eljárást követték, hanem először definiálták a µ0 állandó értékét, amit természetesen a korábban bevezetett áramVs egységhez (C/s) illesztettek. Így a µ0 állandó definiált értéke: µ0 = 4π 10 −7 . Am Ezzel az áramerősséget erőmérésre visszavezető definíciós egyenlet az 2dπf kh f kh = I= d −7 4π 10 2 ⋅ 10 −7 alakot ölti. Ennek alapján egységnyi, azaz 1A áram folyik a két kölcsönható vezetőben, ha l = 1m hosszúságú szakaszaik között d = 1m távolságban Fkh = 2 ⋅ 10 −7 N erő lép fel (vagyis f kh = 2 ⋅ 10 −7 N / m ). Az áram mérésére és az áramerősség egységének meghatározására a gyakorlatban használt eszközök általában a karos mérleg elvén alapulnak, ezért ezeket árammérlegeknek nevezik. Az árammérlegekben praktikus okokból nem egyenes vezetőkben, hanem tekercsekben folyó áramok kölcsönhatását mérik.


9

Az SI rendszerben az áramerősség egységének fenti definíciójából származtatják a elektromos töltés egységét a Q = It összefüggés segítségével. Az így definiált töltésegység az 1As, amelyet Coulombnak (C) neveznek: 1C=1As.

TÓTH A.: Mágnesség anyagban (kibővített óravázlat) 1

A magnetosztatika törvényei anyag jelenlétében Eddig: a mágneses jelenségeket levegőben vizsgáltuk. Kimutatható, hogy vákuumban gyakorlatilag ugyanolyanok a törvények, mint levegőben (levegő nem módosítja lényegesen a törvényeket). Mi történik, ha a mágneses erőteret keltő áramokat más anyagok veszik körül (pl. folyadék, szilárd anyag)? KÍSÉRLETEK: ♦ Az elektromágneses indukciónál, láttuk, hogy az indukáló tekercsbe vasmagot téve, az indukált feszültség – egyébként változatlan körülmények között – jelentősen nagyobb. ♦ Áram bekapcsolásakor az önindukciós tekercs áramkésleltető hatása lényegesen nagyobb, ha a tekercsben vasmag van. A kísérletek tehát azt mutatják, hogy a mágneses teret keltő tekercsek mágneses hatása függ a tekercset kitöltő anyagtól. Mi okozza az anyagoknak a mágneses erőteret befolyásoló hatását? Ahhoz, hogy a kérdésre válaszolni tudjunk, az atomok felépítését és viselkedését kell ismernünk. Az anyagot felépítő atomok töltött részecskékből (atommag és elektronok) állnak, amelyek állandó mozgásban vannak. Az atommag töltéseinek mozgását első közelítésben elhanyagolhatjuk, az elektronok azonban atomi léptékkel mérve jelentős mozgásokat végeznek, ami azt jelenti, hogy az atomban elektromos áramok jönnek létre. Ezek az atomi áramok mágneses dipólmomentumokat és mágneses erőteret hoznak létre. Az így létrejött atomi mágneses erőterek képesek megváltoztatni az eredeti külső mágneses erőteret. Az anyagok atomjaiban az elektronok kétféle mozgást végeznek, amelyek mindegyike elemi mágneses dipólus megjelenését eredményezi. Az egyik mozgás az elektronnak az atommag körüli mozgása, amelyet a mágneses jelenségek egyszerű leírásánál azzal az igen egyszerű (de a valóságnak nem teljesen megfelelő) modellel közelíthetünk, hogy az elektronoknak az atommag körüli mozgását elemi köráramokként fogjuk fel, és ezek az elemi köráramok atomi mágneses dipólusoknak felelnek meg. Ezek adják az elektronok ún. pályamozgásából származó dipólmomentumot. Az anyagok mágneses viselkedése bizonyos anyagok esetén nem értelmezhető egyedül az elektronok pályamozgásából származó mágneses dipólmomentumok segítségével. Kiderült, hogy az elektronoknak van egy sajátos belső mozgása is, amit a legegyszerűbb (de a valósággal több szempontból nem egyező) modell szerint úgy képzelhetünk el, hogy az elektron a saját tengelye körül forog, ami a benne lévő töltés körmozgása miatt egy újabb mágneses dipólmomentumot eredményez. Ezt spin mágneses dipólmomentumnak nevezik. ♦ Az anyagok többségében az atomok mágneses dipólmomentumainak eredője nem nulla, tehát az atomoknak van egy eredő mágneses dipólmomentuma. Ezek a dipólmomentumok azonban külső mágneses tér nélkül rendezetlenül helyezkednek el, és átlagos eredő mágneses erőterük nulla. A külső mágneses erőtér ezeket a dipólusokat rendezi, és ekkor nullától különböző eredő mágneses erőterük lesz, ami megváltoztatja az eredeti külső mágneses erőteret. ♦ Az anyagok egy részében külső mágneses erőtér nélkül az atomokban az elektronok mágneses dipólmomentumai egymást kompenzálják, így az atomoknak nincs eredő mágneses dipólmomentuma. A külső mágneses erőtér azonban az ilyen anyagok atomjaiban eredő mágneses dipólusokat (ún. indukált dipólmomentumot) hozhat létre, és


ezeknek a rendezett mágneses dipólusoknak az átlagos tere már nem nulla, ami szintén befolyásolja a kialakuló mágneses erőteret. Azt a folyamatot, amelynek során az anyagban az atomi mágneses dipólmomentumok rendeződnek, az anyag mágnesezésének, az ilyen állapotba került anyagot pedig mágnesezettnek nevezik. Az atomokban végbemenő töltésmozgásból származó áramokat – szemben a vezetékekben folyó ún. makroszkopikus áramokkal – gyakran mikroszkopikus áramoknak nevezik. Ezzel a terminológiával élve azt mondhatjuk, hogy a makroszkopikus áramok által létrehozott mágneses erőteret az anyag jelenléte az atomi szinten jelentkező, mikroszkopikus áramok révén módosítja. Mágneses erőtér anyagokban Az atomi mágneses dipólusok hatása a mágneses erőtérre homogén, izotróp anyagokban

A mágnesezett anyagokban várhatóan más lesz a mágneses erőtér, mint a külső tér, hiszen a mágneses dipólusok tere módosítja azt. Homogén, izotróp anyagokban a tapasztalat szerint egy áram által egy meghatározott helyen okozott mágneses indukció vákuumbeli ( Bv ) és anyag jelenlétében mérhető értékei ( B ) között egyszerű arányosság áll fenn, így az anyag jelenléte által okozott változás egyetlen, anyagtól függő számmal vehető figyelembe: B = µ rB v . Itt µ r az anyagi minőségtől függő szám, az illető anyag relatív permeabilitása. A különböző anyagok mágneses erőtérben különböző módon viselkednek, ami relatív permeabilitásuk értékében is kifejeződik. A homogén, izotróp anyagok a mágneses térrel kapcsolatos viselkedésük alapján két nagy csoportba oszthatók: 1. Paramágneses anyagok Azokban az anyagokban, amelyekben az atomoknak nullától különböző mágneses dipólmomentuma van (ez az anyagok többsége) az atomi dipólusok külső mágneses tér nélkül rendezetlenül Bv Bv helyezkednek el, és mágneses erőtereik átlagosan semlegesítik egymást (a) ábra). Ha azonban az anyagot anyag anyag mágneses erőtérbe tesszük, akkor a dipólmomentumok B átl B átl atomi ≈ 0 atomi ≠ 0 igyekeznek beállni az erőtér irányába (a tökéletes rendeződést a hőmozgás a) b) akadályozza meg, de a dipólusok többsége az erőtérrel közel párhuzamosan áll be; b) ábra). A külső erőtér irányába befordult atomi dipólus dipólmomentum vektora ( dm ) Bdipól dm I párhuzamos a külső erőtér B külső mágneses Bkülsõ indukcióvektorával (ábra). Ilyenkor a dipólust alkotó áramhurok belsejében a dipólus által


keltett B dipól mágneses indukció egy irányú a dipólmomentum vektorral és így a külső erőtérrel is. Mivel pedig a dipólus erőtere éppen itt a legerősebb (itt a legsűrűbbek az indukcióvonalak), az erőtérrel egy irányban beálló dipólus jelenléte erősíti az átlagos mágneses erőteret. Ebben az esetben tehát a mikroszkopikus mágneses dipólusok eredője a mágneses erőtér irányába mutat, ezért B > Bv . Ennek megfelelően a relatív permeabilitás 1-nél nagyobb pozitív szám: µ r > 1 , értéke azonban a mérések szerint 1-től alig különbözik (nagysága 1+10-3–1+10-6 között van). Az ilyen anyagokat paramágneses anyagoknak nevezik. Nevüket onnan kapták, hogy a belőlük készült hosszú, vékony rúd a mágneses térrel párhuzamosan (paralell) igyekszik beállni. A homogén, izotróp anyagok döntő többsége paramágneses. 2. Diamágneses anyagok Az anyagok egy másik csoportjánál az atomok eredő mágneses dipólmomentuma nulla. Ha azonban egy ilyen anyagot mágneses erőtérbe teszünk, akkor – itt nem részletezett okok miatt – az atomokban létrejön egy ún. indukált mágneses dipólmomentum. Az így keletkezett mágneses dipólusok a külső erőtérrel ellenkező irányban igyekeznek beállni (a hőmozgás hatása itt is jelentkezik). Ez a fenti meggondolások alapján azt jelenti, hogy a rendeződött dipólusok mágneses erőtere ezekben az anyagokban a külső erőtérrel ellenkező irányú, így az anyagban az átlagos mágneses indukció kisebb, mint a vákuumbeli érték ( B < Bv ). Ennek megfelelően a relatív permeabilitás 1-nél kisebb pozitív szám: µ r < 1 , amelynek értéke a mérések szerint alig különbözik 1-től (nagysága körülbelül 1+10-6). Az ilyen anyagokat diamágneses anyagoknak nevezik. Nevüket onnan kapták, hogy a belőlük készült hosszú, vékony rúd a mágneses erőtérre merőlegesen (diametrálisan) igyekszik beállni. Diamágneses anyag pl. a bizmut, a higany, a réz, a víz, a gázok közül pedig a nitrogén és a hidrogén. A két csoport közös jellemzője tehát az, hogy relatív permeabilitásuk nagysága alig különbözik 1-től. Vákuumban nincs mágnesezés, ezért µ r = 1 . Mivel gázokban jó közelítéssel µ r = 1 , a levegőben végzett kísérletek eredményeit jó közelítéssel vákuumbeli eredményeknek fogadhatjuk el. Mivel az anyag jelenléte módosítja a mágneses erőteret, felmerül a kérdés: hogyan módosulnak a magnetosztatika alaptörvényei? A magnetosztatika Gauss-törvénye anyag jelenlétében

Az anyagokban az atomi töltésmozgásból származó mágneses erőteret ugyanolyan töltéseknek (elektronok) a mozgása okozza, mint amelyek a makroszkopikus áramokat keltik. Ezek a mikroszkopikus áramok feltehetőleg ugyanolyan természetű mágneses erőteret keltenek, mint a makroszkopikus áramok, ezért feltehetjük, hogy az így keletkezett mágneses indukcióvektor vonalai is zárt hurkok. Ebből következik, hogy a Gausstörvény változatlan formában érvényes anyag jelenlétében is: ∫ BdA =0 . A

A tapasztalat ezt a feltevést igazolja. Gerjesztési törvény anyag jelenlétében

A gerjesztési törvény az áramok és a mágneses erőtér kapcsolatát rögzíti, ezért ebben figyelembe kell venni a mikroszkopikus áramok erőterét is.


Ez formálisan a mikroszkopikus áramoknak a törvénybe történő beírását jelenti: ∫ Bdr =µ0 (I + I mikro ) . L

(Itt I illetve Imikro a zárt hurok által körülvett felületen átmenő valódi illetve mikroszkopikus áramok előjeles összegét jelenti.) Ezzel az összefüggéssel azonban az a probléma, hogy a mikroszkopikus áramok járuléka általában csak igen bonyolult módon számítható ki. Ezért itt csak a legegyszerűbb esettel, a homogén izotróp anyagok esetével foglalkozunk. Homogén, izotróp anyagok esetén a gerjesztési törvény egyszerűen átalakítható az anyag jelenlétében érvényes alakra. Ehhez csak a B = µ rB v összefüggést kell behelyettesíteni a vákuumban érvényes egyenletbe: B ∫L B v dr = ∫L µ r dr =µ0 I . Ha ezt az egyenletet átrendezzük, akkor a gerjesztési törvény a ∫ Bdr =µ0 µ r I L

alakot ölti. Eszerint az anyag jelenléte a mágneses erőtérre vonatkozó alaptörvényt, és így az összes többi összefüggést is úgy módosítja, hogy azonos makroszkopikus áramok esetén minden vákuumban érvényes összefüggésben, ahol szerepel a µ0, az anyagban érvényes alakot a µ 0 ⇒ µ 0 µ r cserével kapjuk meg. A µ = µ 0 µ r mennyiséget az anyag abszolút permeabilitásának nevezik. Így írható át pl. az egyenes vezető illetve a tekercs mágneses tere µ µ I µI µ µ IN µIN B = µ r Bv = r 0 = B = µ r Bv = r 0 illetve = . 2πr 2πr l l ********************** ********************** ********************* A mágneses erőtér jellemzésére a B mágneses indukcióvektor mellett gyakran egy másik térmennyiséget is bevezetnek, amelyet mágneses térerősség-vektornak neveznek, és rendszerint H-val jelölnek. Homogén, izotróp, anyagokban a két térmennyiség között az egyszerű

B = µ0 µ r H = µH

összefüggés áll fenn. Ha a gerjesztési törvényt átírjuk a

∫µ L

B 0

µr

dr =I

alakba, akkor látható, hogy a H mágneses térerősség bevezetésével a törvényre a formailag egyszerűbb

∫ Hdr = I L

alakot kapjuk. ********************** ********************** *********************

Bonyolultabb anyagok A mikroszkopikus áramok hatása a mágneses erőtérre inhomogén, anizotróp anyagban általában bonyolult: az atomi dipólusok mágneses erőtere általában nem párhuzamos a külső erőtérrel, és a mágneses dipólusok bizonyos anyagokban külső erőtér nélkül is


rendeződhetnek. Ez utóbbi esetben az anyagnak saját mágneses erőtere lehet, vagyis mágnesként viselkedhet. Ferromágneses anyagok Ha az anyagban a dipólusok maguktól rendeződnek, akkor azt mondjuk, hogy az anyagnak spontán mágnesezettsége van. Ilyen anyagok az ún. a ferromágneses anyagok, amelyek egy bizonyos – anyagtól függő – hőmérséklet, az ún. Curie-pont felett paramágnesesek, a Curiepont alatt viszont külső mágneses tér nélkül is kialakul bennük egy spontán mágnesezettség. Energetikai okokból egy makroszkopikus mintában a mágnesezettség nem azonos irányú a teljes anyagban, hanem ellenkező mágnesezettségű tartományok (ún. domének) jönnek létre. Az ilyen anyag kifelé nem mutat mágneses tulajdonságokat. Ha azonban az anyagot erős mágneses térbe tesszük, akkor a domének mágnesezettsége egy irányúvá tehető, és ez az állapot a tér megszűnte után is fennmarad. Az ilyen anyag mágnesként viselkedik. Ferromágneses anyag pl. a vas, a nikkel és számos ötvözet. A ferromágneses anyagok fontos jellemzője, hogy relatív permeabilitásuk ( µ r ) igen nagy lehet, elérheti a 104-105 értéket is. Ha a mágneses erőteret létrehozó áramok közötti térrészt ilyen anyaggal töltjük ki, akkor ott a mágneses indukció nagysága a vákuumbeli értéknél nagyságrendekkel nagyobb lehet. Ezért tesznek pl. a tekercsekbe vasmagot, ha a mágneses indukció megnövelése a cél.

TÓTH A.: Elektromágneses indukció/1 (kibővített óravázlat)

1

Az elektromágneses indukció Elektromágneses indukció néven azokat a jelenségeket szokás összefoglalni, amelyekben egy vezető hurokban mágneses erőtér jelenlétében, a szokásos telepek nélkül elektromos áram (elektromotoros erő) jön létre. A jelenségeket – létrejöttük körülményeinek megfelelően – két csoportra oszthatjuk: ha az elektromotoros erő mágneses erőtérben mozgó vezetőben keletkezik, akkor mozgási indukcióról-, ha pedig nyugvó vezetőben, változó mágneses erőtér hatására jön létre, akkor nyugalmi indukcióról beszélünk. Az elektromágneses indukció mindkét esete egyszerű kísérletekkel bemutatható.

Iind Iind B Iind

x

x

x

x

x

x

x

x x x

x xV x

Bbefelé

x

v

xV

x

xV

x

mozgás

x

KÍSÉRLET_2: ♦ Téglalap alakú áramkört állítunk össze, amelyben nincs telep csak egy érzékeny árammérő (galvanométer). Az áramkör-téglalap egyik oldala csúsztatható a két merőleges oldal által képezett sínen (ábra). A vezető hurkot a síkjára merőleges mágneses erőtérbe (pl. egy patkómágnes rúdjai közé) helyezzük, majd a mozgatható oldalt gyorsan elmozdítjuk. Ekkor az áramkörben indukált áram ( I ind ) jön létre: az árammérő a vezető mozgásának ideje alatt áramot mutat. ♦ Ha a mozgás irányát megfordítjuk, akkor az indukált áram ellenkező irányú lesz (a galvanométer ellenkező irányban tér ki). ♦ Az indukált áram nagysága függ a vezető elmozdításának sebességétől: a sebesség növelésekor I ind növekszik.

Iind

xV

KÍSÉRLET_1: ♦ Áramkört állítunk össze, amelyben nincs telep csak egy érzékeny árammérő (galvanométer). Az áramkörnek van egy olyan U-alakú szakasza, ami szabadon lengeni tud (ábra). Az U-alakú vezető vízszintes részét egy patkó alakú mágnes két szára között helyezzük el, és kimozdítjuk az egyensúlyi állapotából (az U két szára eredetileg függőleges helyzetű). Ekkor az árammérő a vezető mozgásának ideje alatt áramot mutat. Ezt az ún. indukált áramot az ábrán I ind szimbólummal jelöltük. ♦ Ha a kitérés irányát megfordítjuk, akkor az indukált áram ellenkező irányú lesz (a galvanométer ellenkező irányban tér ki). ♦ Az indukált áram nagysága függ a vezető kimozdításának sebességétől: a sebesség növelésekor I ind növekszik.

Iind

KÍSÉRLET_3: ♦ Hajlékony vezetőből készült hurokba bekötünk egy érzékeny árammérőt, és az áramhurkot a síkjára merőleges mágneses erőtérbe helyezzük. Ezután a hurok két átellenes pontját gyors mozdulattal széthúzva, a hurok által körülzárt felületet közel nullára csökkentjük. Ekkor az áramkörben indukált áram jön létre: az árammérő a vezető mozgásának ideje alatt áramot mutat.


2

KÍSÉRLET_4: ♦ Sok menetet tartalmazó tekercshez érzékeny árammérőt kapcsolunk, majd a tekercset egy patkómágnes pólusai között forgatni kezdjük. Ekkor az árammérő a forgással azonos periódusú váltakozó irányú áramot jelez. Ez tulajdonképpen a váltóáramú generátor egyszerű modellje. Ezek a kísérletek a mozgási indukció jelenségét mutatják be: mágneses erőtérben mozgó vezetőben elektromotoros erő ébred, amely egy áramkörben indukált áramot hoz létre. Indukált elektromos áram rögzített vezető hurokban is létrehozható, ha a vezető hurok környezetében változik a mágneses erőtér. Ezt demonstrálják az alábbi kísérletek. KÍSÉRLET_5: ♦ Sok menetet tartalmazó tekercshez érzékeny árammérőt kapcsolunk, majd a tekercs közepén lévő hengeres üregbe erős mágnes egyik pólusát betoljuk. Az árammérő a mozgás ideje alatt áramot mutat, vagyis a mágnes mozgatásával indukált áramot hoztunk létre. ♦ Ha a mágnesnek ugyanezt a pólusát kihúzzuk a tekercsből, akkor ellenkező irányú áram indukálódik. ♦ Itt is megfigyelhető, hogy az indukált áram nagysága a mágnes mozgatásának sebességével nő. KÍSÉRLET_6: ♦ Sok menetet tartalmazó tekercshez érzékeny árammérőt kapcsolunk, majd a tekercs közepén lévő hengeres üregbe egy másik tekercset tolunk be, amelyet egy kapcsolón keresztül egy áramforráshoz kapcsolunk. Ezzel a tekerccsel mágneses erőteret tudunk létrehozni a külső tekercs belsejében. Ha a belső tekercsben bekapcsoljuk az áramot, akkor a külső tekercshez kapcsolt árammérő rövid ideig áramot mutat, vagyis a mágneses erőtér bekapcsolásával a külső tekercsben indukált áramot hoztunk létre. ♦ Ha a belső tekercsben az áram állandósul, akkor az indukált áram megszűnik. Ha most a belső tekercsben az áramot kikapcsoljuk, akkor a külső tekercsben ismét indukált áramlökés jön létre, amely ellentétes irányú, mint a bekapcsoláskor észlelt indukált áram. ♦ Itt azt figyelhetjük még meg, hogy az indukált áram annál nagyobb, minél nagyobb a kapcsoláskor létrejött áramváltozás. Ezek a kísérletek azt mutatják, hogy ha egy vezető hurokban megváltozik a mágneses erőtér, akkor abban indukált áram jön létre függetlenül attól, hogy a mágneses tér változását állandó mágnes mozgatásával vagy elektromágnes áramának változtatásával értük el. A kísérletekből az is látszik, hogy indukált áramot csak a mágneses erőtér változása idején tapasztalunk, és az indukált áram annál nagyobb, minél gyorsabban változik a mágneses erőtér. Most megpróbáljuk a tapasztalt jelenségeket értelmezni, illetve az indukált áramot számszerűen jellemezni. Mozgó vezető mágneses erőtérben, a mozgási indukció Az indukált áram létrejötte egyszerűen értelmezhető mágneses erőtérben mozgó vezetők esetén, ezért az elektromágneses indukció jelenségeinek tárgyalását a mozgási indukcióval kezdjük. Ha elektromos töltés (q) mágneses erőtérben mozog, akkor arra erő hat, amely merőleges a mozgás sebességére (v) és a mágneses indukció-vektorra (B). Korábban megállapítottuk, hogy ezt az Fm erőt – amelyet gyakran Lorentz-erőnek neveznek – az


3

Fm = qv × B összefüggés adja meg. Ennek az erőnek a hatására a mozgó töltés eltérül eredeti mozgásirányától. Mivel az erő iránya pozitív- és negatív töltésekre ellentétes, a mágneses erőtér a kétféle töltést egymással ellentétes irányban téríti el (baloldali ábra).

Fm+ +q + -q

x

xV

x

x

x

xV

x

x

x

x

x

xV

Fm- x

x

xV

xV

x

x

x

x

xV

xV

xV

Bbefelé

x

x

x

+

Bbefelé x

-

x x

x

x

x

x

x

x

+ E -

xV

xV

xV

v x

x

x

x

x

x

Ha egy vezetőt mágneses erőtérben mozgatunk, akkor a benne lévő mozgásképes töltésekre is hat ez az erő, és az ellentétes előjelű töltéseket szétválasztja. A jobboldali ábrán ezt egy vezető rúd esetében mutatjuk be. A mágneses erőhatás következtében a vezető rúd átellenes oldalain ellentétes töltések halmozódnak fel, a vezetőben elektromos erőtér keletkezik, és a rúd két vége között potenciálkülönbség jön létre. Az ábrán – pusztán a szemléltetés céljából – berajzoltunk néhány szaggatott elektromos térerősségvonalat. A töltések felhalmozódása egészen addig folytatódik, amíg a létrejött elektromos erőtér visszatérítő ereje (más szóval: a már felhalmozott töltések taszító hatása) egyenlő nem lesz a mágneses erőtér által kifejtett erővel. Ekkor beáll az egyensúly, és kialakul a felhalmozódott egyensúlyi töltésmennyiségnek megfelelő egyensúlyi elektromos térerősség. Ennek az a feltétele, hogy a vezető adott pontjában lévő q töltésre ható Fe=qE elektromos erő és az Fm = qv × B mágneses erő eredője nulla legyen: Fe + Fm = qE + qv × B = 0 . Így a vezető adott helyén létrejött elektromos térerősség E = −v × B . Az ábrán látható egyszerű esetben a sebesség, a mágneses erőtér és a mozgatott vezető rúd egymásra páronként merőlegesek, ezért az elektromos erőtér párhuzamos a rúddal. Ekkor a vezető adott helyén létrejött elektromos térerősség nagysága: E = vB , irányát a mágneses erőre vagy a térerősségre vonatkozó vektori összefüggésből állapíthatjuk meg. Ha még azt is feltételezzük, hogy a mágneses erőtér homogén, vagyis a vezető minden pontjában ugyanaz, a rúddal párhuzamos, homogén elektromos térerősség jön létre, akkor könnyen kiszámíthatjuk a vezető végei között létrejött feszültséget (potenciálkülönbséget) is: U = El = vBl , ahol l a vezető rúd hossza. Ezt a jelenséget, amelynek során a mozgó vezetőben elektromos feszültség lép fel, mozgási indukciónak, magát a feszültséget pedig indukált feszültségnek nevezik. A rúdban kialakult elektrosztatikus feszültséget a mágneses erőtér által kifejtett, nem elektrosztatikus jellegű „idegen erő” tartja fenn. Ez a töltésszétválasztó idegen hatás elektromotoros erőt hoz létre, amelyet az elektromos áramkörök tárgyalásánál egy fiktív elektromos térerősséggel jellemeztünk. Ezt a fiktív elektromos térerősséget „idegen térerősségnek” neveztük, és E∗ -gal jelöltük. Esetünkben ehelyett az Eind jelölést használjuk, mert az idegen térerősség oka a mozgási indukció. Mivel az egyensúly a két „térerősség” együttes fellépésének következménye, az indukált térerősség Eind = −E = v × B .


4

A fenti ábra alapján könnyen kiszámíthatjuk az indukált térerősség által létrehozott ε ind indukált elektromotoros erőt. Ha a vezető negatív végétől a pozitívig haladunk, akkor +

+

−

−

ε ind = ∫ Eind dr = − ∫ Edr = U + − U − . Ez azt jelenti, hogy egyensúlyi helyzetben az idegen hatás által keltett elektromotoros erő megegyezik a létrejött elektrosztatikus feszültséggel. ****************** ********************** ********************** Ha nem tételezzük fel, hogy a vezető sebessége, a mágneses erőtér és a vezető rúd speciális helyzetű, akkor a tárgyalásnál a sebességvektor és a mágneses indukció vektor mellett a vezető rúd helyzetét is meg kell adnunk. Ennek érdekében vezettük be az ábrán látható uT egységvektort, amely a vezetővel párhuzamos. Az egyensúly feltételét most is az

1 B E

E = −v × B

összefüggés adja meg, de – amint az az ábrán is látható – a térerősség általában nem párhuzamos a vezető rúddal. A rúd két vége közti potenciálkülönbséget az 2

2

1

1

uT v 2

U 12 = − ∫ Edr = ∫ (v × B )uT dr kifejezés adja meg. Itt felhasználtuk, hogy uT dr , ezért dr = druT . Ha a mágneses erőtér homogén, a rúd- és a sebességének iránya is állandó, akkor 1

2

1

1

U 12 = ∫ (v × B )uT dr = (v × B )uT ∫ dr = (v × B )uT l , ahol l a vezető rúd hossza. Ha a három irány (vezető, sebesség és mágneses erőtér) egymásra merőleges, akkor (v × B )uT = vB , és az általános tárgyalás speciális eseteként megkapjuk korábbi eredményünket:

U 12 = vBl . ****************** ******************** ************************

A vezetőnek mágneses erőtérben történő mozgatásánál létrejött indukált feszültséget áram keltésére is felhasználhatjuk, az ábrán látható elrendezés segítségével. Párhuzamos vezető sínpár egyik végét vezetővel összekötjük, és a sínpáron egy mozgatható vezető szakaszt fektetünk keresztbe A sínpárt a síkjára merőleges mágneses erőtérbe tesszük (az erőteret jellemző Bbefelé x x x B mágneses indukció-vektor az ábrán a rajz síkjára merőlegesen x x befelé mutat), és a keresztbefektetett vezetődarabot mozgásba x x x x x hozzuk. Ekkor a mozgó rúdban a töltésekre fellép a korábban már l tárgyalt mágneses erő (Lorentz- erő) és az ellenkező előjelű töltések v x x x x x szétválnak. A mozgó rúd tehát olyan telepként működik, amelyben ∆x I az „idegen” hatás a mágneses erőhatás, és az általa létrehozott x x ind x x x elektromotoros erő az áramkörben az óramutató járásával ellentétes irányú indukált áramot ( I ind ) hoz létre. Korábbi számításunkból tudjuk, hogy a rúdban létrejött indukált elektromotoros erő (illetve indukált ε Blv feszültség) nagysága ε ind = Blv , a körben folyó áram pedig I = ind = , ahol R a kör elektromos R R ellenállása. Az indukált elektromotoros erő kifejezése egy kis átalakítással más alakba is átírható, ami a ∆x jelenség általánosabb leírására is lehetőséget ad. Az átalakításhoz használjuk fel, hogy v = , ahol ∆t ∆x a rúd elmozdulása ∆t idő alatt. Ezt beírva az indukált elektromotoros erő kifejezésébe, azt kapjuk, hogy V

V

V


ε ind = Blv = Bl

5

∆x ∆A ∆( BA ) ∆Φ B . =B = = ∆t ∆t ∆t ∆t

Itt felhasználtuk, hogy ∆A = l∆x az áramhurok területének megváltozása (a fenti ábrán a besatírozott rész), és állandó B mellett B∆A az áramhurok területére vett indukciófluxus megváltozása. Az előjelek részletesebb vizsgálata azt mutatja, hogy a törvény előjelhelyes alakja:

ε ind = −

∆Φ B . ∆t

Vegyük észre, hogy az indukált elektromotoros erő itt a fluxus növekedésével van kapcsolatban, a keletkezett indukált áram mágneses erőtere viszont az eredeti erőtérrel ellentétes irányú. Vagyis az indukált áram a hurokra vett fluxust csökkenti. Ezt a tapasztalatot általánosabban úgy fogalmazhatjuk meg, hogy az indukált feszültség mindig olyan, hogy az őt létrehozó hatást csökkenteni igyekszik. Ez a Lenz-törvény, Bbefelé x x x x x amivel később még találkozunk. Ahhoz, hogy a körben áramot hozzunk létre, munkát kell végezni. A x x xu x munkavégzés közvetlen oka pedig az, hogy a rúdban folyó indukált T x F l F m áramra a mágneses erőtér x x x v x x Fm = I ind luT × B I x x ind x x erőt fejt ki (ábra), ahol uΤ az áram irányába mutató egységvektor. Ez x az erő a rúd mozgásirányával ellentétes, ezért ahhoz, hogy a rudat egyenletes mozgásban tartsuk F = −Fm erőt kell kifejtenünk, vagyis munkát kell végeznünk. Ez a jelenség szintén a Lenz-törvény megnyilvánulása: az indukált feszültség oka az, hogy a vezetőt mozgatjuk, ezért az indukált feszültség olyan áramot kelt, amire ható mágneses erőhatás fékezi a mozgást. V

V

V

Láttuk, hogy a mozgási indukció segítségével a fenti módszerrel elektromotoros erőt lehet létrehozni, vagyis elvileg ezt a jelenséget feszültségforrásként lehet használni. Ez a módszer azonban praktikusan nem nagyon használható, hiszen a feszültség fenntartásához igen hosszú sínre lenne szükség. Ezt a nehézséget úgy lehet kiküszöbölni, hogy egy vezető keretet forgatunk mágneses erőtérben. Ekkor a keretben váltakozó irányú feszültség keletkezik, amely – megfelelő technikai megoldással – váltóáramú generátorként használható. A váltakozó feszültség létrejöttét, más szóval a generátor működési elvét, két módon is értelmezhetjük. Az egyik értelmezés közvetlenül a Lorentz-erő töltésszétválasztó hatásán alapul, amellyel eddig is magyaráztuk a mozgási indukció jelenségét. Az a) ábrán a generátor egyszerű modellje látható: egy vezető keret (az egyszerűség kedvéért függőleges és vízszintes oldalakból álló, téglalap) ω szögsebességgel forog a vízszintes irányú, B ω mágneses indukciójú, homogén mágneses erőtérben. b l' A keletkező indukált feszültség kiszámításához a B b α ugyanezt a keretet a b) ábrán felülnézetben ábrázoltuk l' l v (felülről az l’ hosszúságú, vízszintes, ab oldalt látjuk). B l ω A vezető keret egyes oldalaiban létrejött indukált elektromos térerősséget az -v a c d Eind = v × B l' összefüggésből számíthatjuk ki. a) b) Az l’ hosszúságú, vízszintes szakaszokon (ab és cd) ez az indukált térerősség merőleges a vezetőre, ezért az a és b pontok között, illetve a c és d pontok között nem lesz potenciálkülönbség. A mágneses indukcióra merőleges l hosszúságú szakaszokon (ad és bc) a térerősség párhuzamos lesz a vezető szakaszokkal, ezért az a és d illetve a b és c pontok között lesz potenciálkülönbség. A fenti


6

képletből kiderül, hogy az ad szakaszon az indukált térerősség felfelé mutat, a bc szakaszon pedig lefelé. Emiatt a vezetőt körbejárva a két szakaszon fellépő potenciálkülönbség összeadódik. Ha a körbejárásnál a térerősséggel szemben haladunk, akkor a térerősség nagysága a keretnek az ábrán berajzolt helyzeténél Eind = vB sin α . Így az elektromotoros erő nagysága az egyik függőleges szakaszon ε 1 = El = vBl sin α , a két szakaszon, tehát a teljes keretben létrejött indukált elektromotoros erő pedig ε ind = 2ε 1 = 2vbl sin α . Mivel a függőleges vezeték-szakaszok ω szögsebességű körmozgást végeznek, a kerületi sebesség és a szögsebesség továbbá a szögelfordulás és szögsebesség összefüggését l' v = rω = ω α = ωt 2 felhasználva, az indukált feszültségre azt kapjuk, hogy ε ind = Bll' ω sin ωt = BAω sin ωt , ahol A = ll' a keret felülete. Látható, hogy a keretben időben szinuszosan változó feszültség jön létre. Ha a keretet megszakítjuk, és két kivezetését a keret tengelyére szerelt csúszó érintkezőkre visszük (ábra), akkor az indukált feszültség egy külső áramkörben váltóáramú generátorként hasznosítható. Az indukált feszültség számításának másik módja az, hogy felhasználjuk az indukált feszültség és a ω fluxusváltozás között fennálló b dΦ B a b ε ind = − A dt összefüggést. A B B α Az ábrán látható helyzetben a keret felületére ω vonatkozó fluxus uN a c d Φ B = ∫ Bu N dA = B cos α ∫ dA = BA cos α . A

N

A

a) b) A változó a szög időfüggését az α = ωt összefüggés adja meg, így a fluxus időbeli változása Φ B = BA cos ωt . Ezzel az indukált feszültség dΦ B ε ind = = BAω sin ωt , dt ami megegyezik a Lorentz-erő felhasználásával kapott eredménnyel. Ez az eredmény megerősíti azt a feltevésünket, hogy az indukált elektromotoros erő a fluxusváltozással hozható kapcsolatba.


1

Nyugalmi indukció, a Faraday–Lenz-törvény Az elvégzett kísérletek alapján sejthető, hogy egy nyugvó vezető hurokban létrejött indukált áram a mágneses indukcióvektor nagyságának változásával és a változás sebességével van összefüggésben. Ezt a további nagyszámú tapasztalat megerősíti, és pontosítja: az indukált áram nagysága arányos az indukcióvektor változási sebességével, azaz dB I ind ~ . dt A Faraday–Lenz-törvény

Ahhoz, hogy egy áramkörben áram jöjjön létre, ott elektromotoros erőnek kell lenni, vagyis az áramkörben elsődlegesen egy indukált feszültség jön létre, és ez hozza létre az indukált áramot, ami függ a vezető hurok ellenállásától is. Emiatt célszerűbb az indukált feszültségre vonatkozó összefüggést keresni. Mivel az áram és a feszültség adott áramkörben egymással arányos, a tapasztalatok alapján írhatjuk, hogy dB nyug U ind ~ . dt Azt is láttuk azonban, hogy egy áramhurokban a hurok A felületének változása is indukált áramot hoz létre, ami a tapasztalat szerint a felület változási sebességével arányos, ezért az így keletkező indukált feszültségre fennáll, hogy dA mozg U ind ~ . dt Amint Faraday vizsgálataiból kiderült, a kétféle indukált feszültség egyetlen összefüggéssel is leírható, ha feltételezzük, hogy az indukált feszültséget – illetve az indukált elektromotoros erőt – a mágneses indukció fluxusának változási sebessége szabja meg, vagyis d (BA) dΦ B = . U ind = ε ind ~ dt dt Részletesebb kísérleti vizsgálatok szerint az SI rendszerben a fenti összefüggésben az arányossági tényező éppen 1, tehát azt írhatjuk, hogy dΦ B . U ind = ε ind = dt Az indukált elektromotoros erőt megadó pontos összefüggés ⎞ dΦ B d ⎛ ε ind = − = − ⎜⎜ ∫ BdA ⎟⎟ dt dt ⎝ A ⎠ Ez a Faraday-féle indukciótörvény. *************** ******************* *************** A törvény fenti alakja bövebben kifejtve:

d⎛

⎞

∫ Edr = − dt ⎜⎜⎝ ∫ BdA ⎟⎟⎠ , L

A

ahol a baloldali integrál adja az elektromotoros erőt. Azt, hogy valóban szükség van a jobboldalon a ”negatív” előjelre, a következőképpen láthatjuk be.


2

A kísérletek tanúsága szerint az a) ábrán látható áramhurokban az indukcióvektor berajzolt dB változása esetén az óramutató járásával egyirányú indukált áram (Iind) jön létre. Ez azt jelenti, hogy a hurokban ugyanilyen irányú indukált elektromos erőtérnek (E) kell kialakulni, hiszen a tapasztalt irányban ez mozgatja a pozitív töltéseket. Az indukált elektromotoros erő kiszámításához az L vezetőhurok mentén ki kell számítani az

Edr

A

uN

dB B

uN L

dr Iind

E

dr

a)

b)

mennyiségek összegét, a fluxusváltozás pedig a

dBdAu N mennyiségeknek a hurok A felületére történő összegzésével kapható meg (itt u N a hurok dA felületelemére merőleges egységvektor). Mivel az indukált elektromotoros erőt megadó összefüggés két oldalán éppen ezek a mennyiségek állnak, meg kell vizsgálni az előjeleiket, hiszen a két oldalon azonos előjelű mennyiségeknek kell állni. Ha a körüljárást és a felület normálvektorát az a) ábrán látható módon választjuk, akkor Edr < 0 , és

dΦ B . Ha a körüljárás és a felület normálvektora közül az dt dΦ B egyiket ellenkező irányban vesszük fel, akkor viszont ε ind = . (Ugyanerre az eredményre jutunk dt akkor is, ha a dB vektor ellenkező irányú, mert ekkor mind az E, mind a dB ellenkező irányú lesz.)

dBdAu N > 0 . Ekkor tehát ε ind = −

Ez azt jelenti, hogy az összefüggés csak akkor lesz egyértelmű, ha az egyébként tetszőlegesen választható körüljárás- és felület-normálvektor irányát meghatározott módon rendeljük egymáshoz. Az elfogadott eljárás az, hogy a két irányt a b) ábrán látható jobbkéz-szabály szerint választjuk meg. ******************* ************************* ********************

A tapasztalat szerint a mágneses indukció dB változásakor ( dB ) a jelenlévő vezető hurokban B keletkező indukált áram ( I ind )- illetve indukált elektromos térerősség (E) irányát az ábra mutatja. L Ennek alapján könnyen megállapítható, hogy a létrejött indukált áram olyan mágneses erőteret hoz Eind Iind létre, amely ellentétes a dB változással, vagyis az Bind indukált áramot okozó változást csökkenteni igyekszik. Ezt a szabályt először Lenz ismerte fel, ezért Lenz-törvénynek nevezik, és a fenti indukciótörvényre is gyakran a Faraday–Lenz-törvény elnevezést használják. A tapasztalat azt mutatja (de a törvényből is látszik), hogy a vezető hurokban létrejött elektromos erőtér nem konzervatív, az indukált elektromos erőtér erővonalai önmagukban záródnak. Ez az elektromos erőtér mozgatja körbe a töltéseket a vezető hurokban. Felmerül a kérdés, hogy mi történik, ha a változó mágneses erőtérben nincs vezető hurok, amelyben az indukált áram létrejönne. A tapasztalat azt mutatja, hogy elektromos erőtér ekkor is létrejön, és ez a mágneses tér változása által létrehozott ún. indukált elektromos tér a sztatikus tértől eltérő tulajdonságokkal rendelkezik. Erővonalai zárt hurkokat alkotnak, amelyek a dB mágneses indukcióvektor megváltozását, a dB vektort veszik körül. A keletkező tér irányát az ábra mutatja.

E


3

Az indukált elektromos erőtér jellegéből is következik, hogy nem lehet konzervatív, tehát az elektrosztatikában felírt ∫ Edr = 0 törvény változó erőterek esetén nem L

érvényes, helyette a Faraday–Lenz-törvényt kell használni. Ez a törvény azonban határesetként tartalmazza az elektrosztatika I. alaptörvényét is, hiszen állandó terek esetén a fluxusváltozás – és ezzel az egyenlet jobboldala – nulla. Ebből következik, hogy a mindig érvényes alaptörvény a ⎞ d⎛ ⎜ ⎟ = − E d r B d A ∫L ⎟ dt ⎜⎝ ∫A ⎠ Faraday–Lenz-törvény, amely helyettesíti az elektrosztatika I. alaptörvényét, annak változó terek esetén is érvényes általánosítása. A Lenz-törvény, örvényáramok

A Lenz-törvényt számos tapasztalat igazolja. Ezzel a törvénnyel magyarázható pl. változó mágneses erőtérbe helyezett, kiterjedt vezetőkben az ún. örvényáramok kialakulása miatt fellépő számos jelenség. Az örvényáramok a vezetőben zárt hurkok mentén kialakuló áramok, amelyek azért lépnek fel, mert az indukált elektromos erőtér erővonalai zárt hurkok, és a vezetőben lévő mozgásképes töltések ezek mentén mozognak. KÍSÉRLETEK: ♦ Lengethetően felfüggesztett alumínium karikához, a felületére merőlegesen erős mágnest közelítve, a karika a mágnes mozgásirányában kilendül (csökkenti a mágnes hozzá viszonyított sebességét), és a mágnes ide-oda mozgatásával jelentős amplitúdójú lengésbe hozható. Ha ugyanezt a kísérletet olyan alumínium karikával végezzük el, amely nem folytonos, hanem egy helyen meg van szakítva, a jelenség nem lép fel. ♦ Alumínium lemezből készült ingát erős mágneses térben kilendítve, a lengés igen gyorsan lecsillapodik. Ha a kísérletet olyan lemez-ingával végezzük el, amelyet fésűszerűen bevagdostunk, akkor a csillapodás látványosan csökken. ♦ Egy tekercs meghosszabbított, függőleges helyzetű vasmagjára a vasmagon csúszni képes alumínium karikát teszünk, és a tekercset egy kapcsolón keresztül váltakozó feszültségű áramforráshoz kapcsoljuk. Ha az áramot bekapcsoljuk, akkor a karika lerepül a vasmagról (Thomson-ágyú). Ha ugyanezt a kísérletet megszakított alumínium karikával végezzük el, a jelenség nem lép fel. A tekercs áramerősségének szabályozásával elérhető, hogy a folytonos karika egy bizonyos magasságban lebegjen. Egy idő múlva a karika felmelegszik. ♦ Függőleges réz csőben könnyen mozgó, nem mágneses fémhengert ejtünk le, és megfigyeljük az esési időt. Ha ugyanebben a csőben egy henger alakú mágnest ejtünk le, akkor az esési idő látványosan megnő. Ezek a jelenségek az örvényáramok kialakulásával magyarázhatók. A lengő alumínium karika azért mozdul el a közeledő mágnes irányában, mert a közeledő mágnes inhomogén erőtere miatt változik a karikára vonatkozó indukciófluxus. A létrejött indukált feszültség a karikában örvényáramot hoz létre, amely annál nagyobb, minél gyorsabban közeledik a mágnes a karikához. A Lenztörvény értelmében az indukált áram olyan hatást kelt, ami csökkenteni igyekszik az indukált áramot. Ez úgy következik be, hogy a karika elmozdul a mozgó mágnes elől,


4

így csökkentve a karika és a mágnes relatív sebességét. A megszakított karikában nem tud kialakulni indukált áram, ezért a jelenség nem jön létre. Az alumínium lemezből készült ingában a lemez mozgása miatt jön létre indukált feszültség, ami a lemezben örvényáramokat okoz. Az örvényáramok olyanok, hogy az őket létrehozó hatást, vagyis a lemez mozgását akadályozzák, ezért csillapodik az inga lengése. A bevagdosott ingában az örvényáramok nem tudnak kialakulni, ezért ekkor gyakorlatilag nincs csillapodás. A Thomson-ágyú működésének magyarázata szintén az, hogy a váltakozó áram által létrehozott váltakozó mágneses erőtérben az alumínium gyűrűben örvényáram lép fel, és a Lenz-törvénynek megfelelően a gyűrű le akar menni az indukált áramot okozó vasmagról. A mágnesnek rézcsőben történő ejtésénél a mágnes mozgása miatt a csőben örvényáramok jönnek létre, amelyek akadályozzák az őket létrehozó hatást, vagyis a mágnes mozgását. A nem mágneses anyag ejtésekor nincs indukált örvényáram, így fékezés sem lép fel. Az örvényáramok által okozott veszteségek kiküszöbölése érdekében készítik a transzformátorok vasmagját egymástól elszigetelt, összeragasztott lemezekből és nem tömör anyagból. Kölcsönös indukció és önindukció

Ha egy árammal átjárt vezető hurok (1) mellett egy másik vezető hurkot (2) helyezünk el, akkor az 1 hurok I1 árama által keltett mágneses erőtér a 2 hurok helyén is megjelenik. Ezért, ha az 1 hurokban változik az áram, akkor a 2 hurok környezetében is változik a mágneses erőtér, és a 2 hurokban feszültség (és áram) indukálódik. A gondolatmenet fordítva is érvényes: a 2 hurokban folyó I2 áram változása az 1 hurokban hoz létre indukált feszültséget (és áramot). Ezt a jelenséget kölcsönös indukciónak nevezik, és ez teszi lehetővé, hogy időben változó elektromos jeleket egyik áramkörből a másikba úgy vigyünk át, hogy a két áramkör között nincs vezetővel létrehozott kapcsolat. Az ilyen áramköröket csatolt áramköröknek is nevezik. A 2 hurokban létrejött indukált feszültséget az dΦ B 2 Ui2 = dt összefüggés adja meg, ahol Φ B 2 a 2 hurokra vonatkozó indukciófluxus. Ha ezt az 1 hurokban folyó áram hozza létre, akkor Φ B 2 = M 21 I 1 , hiszen az I1 áram által keltett mágneses indukció- és így a létrehozott fluxus is arányos az árammal. Az M 21 arányossági tényező az áramhurkok geometriai jellemzőitől (pl. alak, egymástól mért távolság) függ. Ennek alapján a 2 hurokban létrejött indukált feszültség dΦ B 2 dI = M 21 2 . Ui2 = dt dt Hasonló gondolatmenettel kaphatjuk az I2 áram változása miatt az 1 hurokban létrejött indukált feszültséget: Φ B 1 = M 12 I 2 dΦ B 1 dI = M 12 1 . U i1 = dt dt


5

Kimutatható, hogy a két együttható egyenlő egymással, ezért, ha bevezetjük az M 21 = M 12 = M jelölést, akkor a kölcsönös indukció miatt a két hurokban fellépő indukált feszültségek az dΦ B 1 dI U i1 = = M 12 2 dt dt dΦ B 2 dI Ui2 = = M 12 2 dt dt alakba írhatók. Az M állandót a rendszer kölcsönös indukciós együtthatójának nevezik. Számítsuk ki a kölcsönös indukciós együtthatót abban az egyszerű esetben, amikor a két áramkör két egymásba tekercselt, azonos l hosszúságú és azonos A keresztmetszetű, N1 és N2 menetszámú tekercs. µ N I Az 2 tekercsben az 1 tekercs I1 árama által keltett B1 = 0 1 1 mágneses indukció l fluxusa µ N I µ N N A Φ B 2 = N 2 AB1 = N 2 A 0 1 1 = 0 1 2 I 1 . l l Ebből következik, hogy a kölcsönös indukciós együttható: µ N N A M= 0 1 2 . l Indukált feszültség nem csak két kölcsönható áramhurokban lép fel, hanem egyetlen hurokban is, ha benne változik az áramerősség. Itt arról van szó, hogy a hurok benne van a saját mágneses erőterében, ezért, ha az változik, akkor benne feszültség indukálódik. A jelenséget, amely igen fontos szerepet játszik a váltóáramú áramkörökben önindukciónak nevezik. Mivel az áramhurokban a mágneses indukciót itt a hurok saját I árama hozza létre, a fluxust a Φ B = LI összefüggés adja meg, ahol L a geometriai viszonyoktól függő állandó, amit önindukciós együtthatónak (néha egyszerűen „önindukciónak”) neveznek. Az áramkörben indukált feszültség eszerint dΦ B dI Ui = =L . dt dt Mivel a tekercs a váltakozó áramú áramkörökben igen fontos áramköri elem, számítsuk ki egy N menetű, l hosszúságú, A keresztmetszetű tekercs önindukciós együtthatóját. A tekercs saját árama által létrehozott mágneses indukció nagysága: µ NI B= 0 . l Az egy menetre vonatkozó fluxus µ NA Φ B 1 = BA = 0 I, l a teljes fluxus pedig µ N2A I. Φ B = NΦ B 1 = 0 l Ebből következik, hogy az önindukciós együttható


6

L=

µ0 N 2 A

. l Az önindukciós együttható legegyszerűbben és leghatékonyabban a menetszám növelésével – és mint később látni fogjuk – a tekercsben elhelyezett vasmaggal növelhető. Tranziens jelenségek induktivitást tartalmazó áramkörben Ha egy induktivitást tartalmazó áramkörben az áram valamilyen okból megváltozik, akkor az induktivitás ezt a változást akadályozni igyekszik (Lenz-törvény). Ennek a következménye az, hogy egy ilyen áramkörben az áram bekapcsolása vagy kikapcsolása után az egyensúlyi áram nem azonnal áll be, hanem csak egy hosszabb-rövidebb átmeneti időszak után. Most ilyen átmeneti – idegen szóval tranziens – jelenségeket vizsgálunk meg. UL I ind

Az áram kikapcsolása

(+)

(-)

L

I(t) csökken

Első példánkban egy induktivitást tartalmazó áramkörben a telep lekapcsolásának hatását vizsgáljuk. Az ábrán UR R 2 látható áramkörben eredetileg (kapcsoló 1 állása) a telep U által létrehozott I 0 = T áram folyt (az induktivitás 1 K R UT ellenállása elhanyagolható). Ezután a telepet a kapcsoló segítségével leválasztjuk az áramkörről, és egyidejűleg zárjuk is a telep nélküli áramkört (kapcsoló 2 állása). Az időt az átkapcsolás pillanatától (t=0) mérjük. Az áramkör vizsgálatának kezdetén még az eredeti áram folyik, tehát I ( 0 ) = I 0 , viszont feszültségforrás már nincs az áramkörben, tehát U T = 0 (ezek a probléma megoldásához szükséges ún. kezdeti feltételek). Azt várjuk, hogy az áram megszűnik, hiszen az áramkörben nincs már telep, de az induktivitás jelenléte miatt az áram csak fokozatosan csökken nullára. Mivel a tapasztalat szerint a Kirchhoff-törvények nem túl gyorsan változó áramok esetén, bármely időpillanatban, változatlan formában érvényesek, az áram időbeli változását ezek segítségével fogjuk meghatározni. Az I. (csomóponti) törvény szerint egy t időpillanatban az áramkör minden pontján ugyanakkora és ugyanolyan irányú I(t) áram folyik. A II. (hurok-) törvény felírásához választani kell az áramhurokban egy körüljárási irányt (az ábrán az óramutató járásával ellentétes), fel kell tételezni egy pillanatnyi áramirányt, és azt, hogy az adott t időpillanatban az áram nő vagy csökken (mindezek tetszőlegesen választhatók, a választás a végeredményt nem befolyásolja). Az általunk választott körüljárás és pillanatnyi áramirány az ábrán látható, az áram változásáról azt tételezzük fel, hogy ebben a pillanatban éppen csökken. A II. törvény szerint a hurokban körbejárva a feszültségek előjeles összegére fennáll, hogy UR +UL = 0 . Az ellenálláson eső feszültséget az U = IR Ohm-törvényből, az induktivitáson eső dI önindukciós törvényből kaphatjuk meg, de meg kell feszültséget az U i = L dt vizsgálni a feszültség előjelét. Az ellenálláson az áram irányában haladunk át, vagyis az áthaladásnál a potenciál csökken, U R < 0 , ezért U R = − IR


7

(itt I az áram nagysága, tehát pozitív szám). Az önindukciós feszültség csökkenő áram esetén az áram növekedését okozza, vagyis a csökkenő árammal azonos irányú áramot indít (az ábrán Iind). Az induktivitás tehát olyan „telepként” működik, amelynek polaritását az ábrán zárójelben feltüntettük. Ha ezen a „telepen” a körüljárás irányában áthaladunk, akkor potenciálnövekedést tapasztalunk, vagyis U L > 0 . Mivel feltételezésünk szerint az áram csökken, dI < 0 , ezért UL csak akkor lesz pozitív, ha az dI U L = −L dt alakban írjuk be. A fenti kifejezéseket a huroktörvénybe beírva, a dI U R + U L = − IR − L = 0 dt összefüggést kapjuk. Az egyenletet egyszerűsítve, és figyelembe véve, hogy az áramerősség időben változik, tehát I = I ( t ) , a probléma megoldásához felhasználható egyenlet az alábbi alakot ölti dI ( t ) RI ( t ) + L =0. dt Ebből az egyenletből kell „kitalálnunk” az I (t) függvény konkrét alakját. A probléma az, hogy az egyenletben a meghatározandó I ( t ) függvény mellett annak differenciálhányadosa is szerepel (ez egy ún. differenciálegyenlet). A differenciálegyenletek megoldásának módszereit a matematika tárgyban részletesen tárgyalják, ennek az egyenletnek a megoldása azonban nem igényel speciális ismereteket. Első lépésként rendezzük át az egyenletet az alábbi módon: dI R = − dt . I L Ezzel elértük, hogy a két változó mennyiség (I és t) közül az egyenlet egyik oldalán csak az I, a másik oldalán pedig csak a t szerepel. (Ezt úgy szokták megfogalmazni, hogy sikerült a változókat szétválasztani, ezért az ilyen típusú differenciálegyenleteket szétválasztható differenciálegyenleteknek nevezik.) Ezek után a két oldalt a megfelelő változó szerint integráljuk az adott mennyiség határai között (az idő szerint 0 és t, az áramerősség szerint az ennek megfelelő I ( 0 ) = I 0 és I ( t ) = I között): I

t

dI R ∫I I = − ∫0 L dt . 0 Az integrálás elvégzése után azt kapjuk, hogy I R ln = − t . I0 L Az I(t) függvényt innen a logaritmus eliminálása és rendezés után kapjuk: R − t

I( t ) = I0e L . Eszerint az áram valóban nem azonnal tűnik el a telep lekapcsolása után, hanem exponenciálisan csökken a nulla érték felé (ábra). Az áram csökkenésének kezdeti meredekségét a R ⎛ dI ⎞ ⎜ ⎟ = − I0 L ⎝ dt ⎠ t =0 kifejezés adja meg.

I(t) I0

(R /L )

1

(R /L )

2

>(

R/ L)

1

t


8

Látható, hogy az áram csökkenése annál meredekebb, minél kisebb az L induktivitás, ami érthető, hiszen az áram megszűnésének lelassulását éppen az induktivitás okozza. Kevésbé nyilvánvaló, hogy adott induktivitás esetén az áram csökkenése annál gyorsabb, minél nagyobb a körben az R ellenállás. Ezért, ha az áramkört a telep lekapcsolása után nem zárjuk, hanem megszakítjuk, akkor a körben igen nagy ellenállás jelenik meg, és az áram csökkenésének meredeksége nagyon nagy lesz. Tudjuk, hogy az önindukció jelensége miatt megjelenő indukált feszültség éppen az dI sebességével arányos. Ez az oka annak, hogy egy áramkör áramváltozás dt megszakításakor igen nagy – gyakran az áramkörben jelenlévő eredeti feszültségnél sokkal nagyobb – indukált feszültség keletkezik, ami a kapcsoló egymástól eltávolodó fém részei között szikrát hozhat létre (száraz levegőben 1 mm-es szikra létrehozásához durván 1000 V feszültség szükséges). Az áram bekapcsolása

(-)

UL

(+) L

Iind

I(t) Második példaként az áram bekapcsolását vizsgáljuk, növekszik ugyancsak egy induktivitást tartalmazó áramkörben. RB UR Az ábrán a megszakított áramkörbe (kapcsoló 1 állása) bekapcsoljuk a telepet (kapcsoló 2 állása). Az 1 időt a bekapcsolás pillanatától mérjük, ekkor a körben áram még nem folyik, tehát I ( 0 ) = 0 , a telep viszont 2 K már az áramkörben van. UT Most Kirchhoff II. törvénye az U R + U L + UT = 0 alakban írható fel. A kikapcsolásnál követett gondolatmenetet megismételve, a megoldandó egyenlet dI − IR − L + U T = 0 . dt Az egyenletet L-lel elosztjuk, majd átrendezzük annak érdekében, hogy a változókat szétválasszuk: dI 1 = t. U T − RI L Ezután az egyenlet két oldalát integráljuk: I t 1 dI = ∫0 U T − RI ∫0 L t . Az integrálás után azt kapjuk, hogy 1 U − RI 1 − ln T = t. UT L R A logaritmust eliminálva, majd az egyenletet rendezve, megkapjuk az áramerősség időfüggését: I(t) R − t⎞ UT/R UT ⎛ ⎜1 − e L ⎟ . I( t ) = (R/L)1 ⎟ R ⎜⎝ ⎠ A bekapcsolásnál tehát az induktivitás akadályozza (R/L)2>(R/L)1 az áram növekedését, ami miatt az áram nem tudja azonnal felvenni az ellenállásnak és a telepnek U t megfelelő T értéket (ábra), azt csak fokozatosan R


9

R hányados, vagyis adott L ellenállás mellett minél nagyobb az induktivitás. Ez érthető, hiszen a lassú emelkedés oka éppen az induktivitás jelenléte. Az induktivitás hatása néhány egyszerű kísérlettel is szemléltethető.

éri el. Az emelkedés annál lassúbb, minél kisebb az

KÍSÉRLET: Két párhuzamosan kapcsolt, azonos izzólámpát egy telepre kapcsolunk, majd az egyik izzóval egy nagy induktivitású (L) tekercset-, a másikkal egy kis induktivitású ellenállást (R) kapcsolunk sorba. A feszültséget és az ellenállást úgy állítjuk be, hogy mindkét izzó világítson. Ezután a telephez vezető vezetéket megszakítjuk, ekkor az izzók kialszanak. Ha most a telepet ismét bekapcsoljuk, akkor azt észleljük, hogy a tekercset tartalmazó ágban az izzó jól megfigyelhetően később gyullad fel, mint a másik ágban.

L

R

UT

K

Ez a kísérlet látványosan megmutatja, hogy az egyensúlyi áram kialakulása az induktivitás jelenléte miatt késik. KÍSÉRLET: Ha az előző kísérletnél használt áramkörbe a telep helyett egy váltakozó feszültségű generátort kapcsolunk, akkor az izzók periodikusan felgyulladnak és kialszanak. Jól megfigyelhető azonban, hogy a két ágban a periodikus változás nem ugyanabban az ütemben történik: a két periodikus változás között fáziseltolódás van. Ez a kísérlet is az induktivitásnak a változást késleltető hatását mutatja: az induktivitást tartalmazó ágban az áram változása késik a másik ág áramának változásához képest, ezért a különböző induktivitású ágakban a változások időben eltolva, fáziskülönbséggel zajlanak. Ennek a ténynek nagy jelentősége van a váltóáramú áramkörökben. A transzformátor alapelve A csatolt áramkörök alkalmazásának egyik közismert példája a transzformátor, amelyben két tekercs kölcsönös indukciója segítségével – a tekercsek mentszámának megfelelő megválasztásával – adott amplitúdójú váltakozó feszültségből kisebb vagy nagyobb amplitúdójú feszültséget kaphatunk. Egyszerűsített transzformátor modellként használjuk azt az elrendezést, amelyben a kölcsönös indukciós együtthatót kiszámítottuk: a vizsgált két N1 áramkörben (az ábrán 1 és 2) két egymásba tekercselt, N2 L L2 1 azonos l hosszúságú és azonos A keresztmetszetű, N1 és N2 menetszámú (és ennek megfelelően különböző L1 és L2 önindukciójú) tekercs van. Az ábrán látható Rk l 2 U1(t) 1 l szimbólumon a két hullámos vonal jelképezi a tekercseket, a két párhuzamos vonal pedig azt jelzi, hogy a két tekercs vasmagra van tekercselve. A1=A2=A Tegyük fel, hogy az 1 áramkörben egy változó U 1 ( t )


10

feszültségű áramforrás, a 2 áramkörben egy Rk ellenállású fogyasztó van. A vezetékek és a tekercsek (ohmikus) ellenállása elhanyagolható, ugyancsak elhanyagolhatók az áramkörökben fellépő kapacitások és a tekercseken kívüli induktivitások is. Egy ilyen veszteségmentes, ideális transzformátor esetén az 1 áramkörbe betáplált U 1 - és a 2 áramkörben létrejött U 2 feszültség-amplitúdók hányadosára fennáll, hogy U1 N1 . = U2 N2 A mágneses erőtér energiája Az elektromos erőtér tárgyalásánál láttuk, hogy a létrehozásakor végzett munka árán az erőtérhez rendelhető energia jelenik meg. Tudjuk, hogy a mágneses erőtér létrehozásához is munkavégzés (pl. elektromos áram keltése) szükséges. Kérdés, hogy ez a munka is megjelenik-e valamilyen mágneses energia formájában. Az induktivitást tartalmazó áramkörökre vonatkozó tapasztalatok azt sugallják, hogy I U ilyen energia létrejön, hiszen pl. a kikapcsolásnál a tekercs (-) L (+) ind mágneses erőtere fokozatosan szűnik meg, és az áramkörben I(t) L a kikapcsolás után is fenntartja az áramot. növekszik RB A tekercsben felhalmozott energia meghatározásához UR használjuk fel a bekapcsolási jelenségnél tárgyalt áramkört 1 (ábra), amelyre Kirchhoff II. törvénye szerint fennáll az dI − IR − L + U 0 = 0 2 K dt U 0 összefüggés. Ebből a dt idő alatt végzett munkát Idt-vel való szorzással kaphatjuk meg: dI − I 2 Rdt − LI dt + U 0 Idt = 0 , dt amiből átrendezéssel az dI U 0 Idt = I 2 Rdt + LI dt dt ⇑ ⇑ ⇑ áramforrás Joule - hő ??? munkája egyenletet kapjuk. Ebben az egyenletben az egyes tagokat megvizsgálva megállapíthatjuk, hogy a baloldalon az áramforrás által dt idő alatt végzett munka áll, a jobboldal első tagja pedig az ellenálláson hővé alakuló munkát (Joule-hő) adja meg. Látható, hogy a telep munkájának csak egy része alakul át termikus energiává, a maradékot a jobboldal második tagja képviseli. Kézenfekvőnek látszik, hogy ez a tag adja meg a tekercsben a mágneses erőtérnek a dt idő alatt bekövetkező változásával összefüggő dE mágn energiaváltozást:

dI dt = LIdI . dt A dt idő alatt bekövetkező energiaváltozásból kiszámíthatjuk, hogy mekkora az E mágn mágneses energia akkor, ha a tekercsben I áram folyik. Ehhez az áramerősség változását 0-tól I-ig elemi lépésekben kell végrehajtani, és összegezni (integrálni) kell az eközben bekövetkező elemi energiaváltozásokat: dE mágn = LI


11

I

1 2 LI . 2 0 Ekkora energia van jelen az I árammal átjárt, L önindukciójú tekercsben. Ahhoz, hogy az energia kifejezésére általánosabb alakot kapjunk, próbáljuk meg kiküszöbölni az összefüggésből konkrétan a tekercsre vonatkozó adatokat (L, I), és helyettesítsük azokat a tekercsben kialakult mágneses erőtér jellemzőivel. Használjuk fel az önindukcióra kapott µN 2 A L= l kifejezést (N a tekercs menetszáma, A a keresztmetszete, l a hossza) és a tekercs mágneses erőterére vonatkozó µNI Bl ⇒ I= B= µN l összefüggést. Ezeket a mágneses energia kifejezésébe behelyettesítve, egyszerűsítések után azt kapjuk, hogy 1 B2 1 B2 E mágn = Al = V, 2 µ 2 µ ahol V = Al a tekercs térfogata. Ebből a kifejezésből látszik, hogy a tekercsben tárolt energia arányos azzal a térfogattal, ahol mágneses erőtértér van jelen (az itt feltételezett ideális esetben csak a tekercs belsejében van mágneses erőtér), egyébként pedig – a tekercset kitöltő adott anyag esetén – csak az erőteret jellemző mágneses indukcióvektor nagyságától függ. Már ebből a meggondolásból is sejthető, hogy ez az energia a tekercsben létrejött mágneses erőtérrel hozható kapcsolatba, de ez még világosabbá válik, ha kiszámítjuk az energia térfogati sűrűségét: E mágn 1 B 2 . wmágn = = V 2 µ Ez azt jelenti, hogy a tekercs által bezárt térfogat, vagyis a mágneses erőtér bármely pontján ilyen energiasűrűség van jelen, és ez az energiasűrűség (a tekercset kitöltő adott anyag esetén) csak az erőteret jellemző mágneses indukcióvektortól függ. Egyelőre a tapasztalatokra hivatkozva csak feltételezzük (később az elektrodinamikában ezt be is bizonyítják), hogy ez az összefüggés mindenféle mágneses erőtér esetén igaz: ahol mágneses erőtér van, ott ilyen energiasűrűség van jelen függetlenül attól, hogy az erőteret mi (mágnes, elektromos áram) hozta létre. A fenti összefüggés homogén, izotróp, lineáris anyag esetén – a B = µH összefüggés segítségével átírható a 1 1 wmágn = HB = HB 2 2 alakba is. A vektori írásmód itt azért lehetséges, mert ilyen anyagokban B H , ezért HB = HB . E mágn = ∫ LI ′dI ′ =

Kimutatható hogy ez a vektori formában felírt összefüggés általánosan – tehát nem csak a fenti megszorítások mellett – érvényes, vagyis a mágneses erőtér energiasűrűsége általában a 1 wmágn = HB 2 összefüggéssel adható meg.

Időben változó elektromos erőtér, az eltolási áram Ha az ábrán látható, kondenzátort tartalmazó áramkörbe időben változó feszültségű áramforrást kapcsolunk, akkor az árammérő áramot mutat, B B annak ellenére, hogy az áramkör nem zárt (a kondenzátor lemezei között nincs vezető). Ennek az az oka, hogy a B B kondenzátorra kapcsolt feszültség változása a rajta lévő töltés megváltozásával jár, vagyis a kondenzátorba befolyó illetve onnan kifolyó töltések áramlását észleljük. Mivel a I(t) I(t) vezető szakaszokon áram folyik, természetesnek tűnik, hogy a vezető körül mindenütt kialakul egy mágneses erőtér, amely időben változik, de az indukcióvonalak a U(t) szokásos képet mutatják (ábra). Felmerül a kérdés, hogy van-e ilyen mágneses erőtér a kondenzátor lemezei között. A tapasztalat azt mutatja, hogy a lemezek közötti térrészben ugyanolyan jellegű mágneses erőtér jön létre, mint a vezető körül, annak ellenére, hogy itt nyilvánvalóan nem folyhat szokásos értelemben vett elektromos áram (nincsenek töltéshordozók). Ha viszont nincs elektromos áram, akkor vajon mi kelti a mágneses erőteret? Ha a létrejött mágneses erőteret vizsgáljuk, akkor úgy látszik, mintha az áramkör mégis zárt lenne, hiszen a mágneses erőtér mindenütt megjelenik. A lemezek közötti térrészben tehát kell lenni valamilyen mechanizmusnak, amely ugyanolyan hatást kelt, mint a valódi áram. Ezzel kapcsolatban két fontos megállapítást tehetünk: ♦ Az egyetlen dolog, ami a lemezek között történik, az az elektromos erőtér változása, vagyis a jelenségnek ezzel kell kapcsolatban állnia. ♦ Az elektromos erőtér változásának oka az, hogy a kondenzátor lemezein változik az elektromos töltés. Mivel a lemezeken lévő töltés változása szoros kapcsolatban áll a vezetőben létrejött árammal, lehetőség nyílik arra, hogy „kitaláljuk” a lemezek közötti térben létrejött „áramot” formálisan megadó összefüggést. Számítsuk ki az elektromos erőtér változása és a vezetőben folyó áram közötti összefüggést egy egyszerű modell-áramkör segítségével, amelybe egy síkkondenzátort kapcsoltunk be. A vezetőben folyó áram és a kondenzátor töltésének változása között fennáll az dQvez dQC I vez = = dt dt összefüggés, hiszen a vezető egy keresztmetszetén dt idő alatt az a dQvez = dQC töltés folyik át, ami a kondenzátor lemezére áramlott (vagy onnan eltávozott). A vezetőben folyó áram a fenti összefüggés segítségével kifejezhető a kondenzátor lemezein Q lévő σ = C töltéssűrűséggel (A a lemezek felülete): A dQC dσ I vez = = A dt dt Másrészt tudjuk, hogy homogén, izotróp, lineáris dielektrikummal kitöltött síkkondenzátorban az elektromos térerősség

? ?

E= Ezzel a vezetőben folyó áram az I vez =

σ σ = . ε 0ε r ε

dσ dE A=ε A dt dt

2

alakba írható. Ha a kondenzátor mágneses erőterére vonatkozó tapasztalatunk alapján feltételezzük, hogy a kondenzátort tartalmazó áramkör is zárt, akkor a lemezek közötti térrészben ugyanekkora „áramot” kell feltételeznünk. A fenti kifejezés ennek az „áramnak” a megadására alkalmasnak látszik, mert – azon kívül, hogy a kívánt nagyságú áramot adja – a lemezek közötti térrészben bekövetkező térerősség-változással van kapcsolatban. Az így bevezetetett – nem töltésmozgással kapcsolatos – áramot történeti okok miatt eltolási áramnak nevezik, amit az dE I elt = I vez = ε A dt összefüggéssel adhatunk meg. A tapasztalat azt mutatja, hogy az itt tárgyalt jelenség és a kapott összefüggés nem csak síkkondenzátort tartalmazó áramkörben igaz, hanem dE általánosabban is: a változó elektromos erőtér olyan hatást fejt ki, mint az elektromos áram, vagyis ha valahol változik az elektromos térerősség, akkor ott mágneses erőtér jön létre, amelynek indukcióvonalai a térerősség változását megadó vektort úgy veszik körül, mint a valódi elektromos áramot az B általa keltett indukcióvonalak. Az elektromos térerősség változása és az indukcióvonalak iránya közötti összefüggés sematikusan az ábrán látható. Az eltolási áram létezése azt jelenti, hogy az elektromos- és mágneses erőtér egyfajta szimmetriát mutat: a mágneses erőtér változása elektromos erőteret-, az elektromos erőtér változása mágneses erőteret kelt. Ez a szimmetria teszi lehetővé, hogy egy elektromos vagy mágneses zavar (erőtér-változás) a térben tovaterjedjen, és elektromágneses hullám jöjjön létre. Az eltolási áramra kapott kifejezés általánosabb alakba is írható, ha figyelembe vesszük, hogy abban az elektromos térerősség fluxusának dΦ E = AdE megváltozása szerepel: ⎞ dΦ E dE d ⎛ = ε ⎜⎜ ∫ EdA ⎟⎟ . A=ε dt dt dt ⎝ A ⎠ A tapasztalat szerint ez az összefüggés nem csak az itt feltételezett egyszerűsítő feltevések esetén használható, hanem általában is érvényes. I elt = ε

******************** ****************** ******************** A kifejezés tovább egyszerűsíthető, ha bevezetjük az elektromos eltolás vektorát a homogén, izotróp, lineáris dielektrikumokra érvényes D = εE összefüggéssel. Ekkor az eltolási áramra azt kapjuk, hogy

I elt =

⎞ dΦ D d ⎛ ⎜ ∫ D dA ⎟ = . ⎜ ⎟ dt ⎝ A dt ⎠

Vagyis az eltolási áram az eltolási vektor fluxusának változási sebességével adható meg. (Az eltolási áram elnevezés egyébként éppen innen származik.) ******************** ****************** ********************

Az eltolási áram bevezetésével a hagyományos értelmezés szerint megszakítottnak számító áramkörök is zártaknak tekinthetők, és a gerjesztési törvény egy áramkör tetszőleges helyén (a megszakításnál is) eredeti alakjában érvényes, ha ott a törvényben áramként az eltolási áramot írjuk be. Mivel a kétféle áram együtt is felléphet, a gerjesztési törvény általános alakja

3

∫ B dr = µ ( I

vez

+ I elt ) = µI vez + µε

L

elt

dΦ E . dt

Itt I vez az L zárt hurok által körülölelt áramok előjeles összege, I elt pedig az elektromos erőtér változása miatt esetleg fellépő eltolási áramot jelenti. ******************** ****************** ******************** Ha bevezetjük a H mágneses térerősséget (homogén, izotróp, lineáris anyagokban B = µH ), és felhasználjuk a

D = εE összefüggéssel korábban bevezetett elektromos eltolás vektort, akkor a törvény a dΦ ∫L Hdr =I vez + dt D alakot ölti. A gerjesztési törvénynek ez az alakja nem csak az itt feltételezett egyszerűsítések esetén, hanem általában is érvényes. Ha az áramerősséget az áramsűrűséggel fejezzük ki, akkor a gerjesztési törvény újabb alakját kapjuk:

∫ Hdr = ∫ jvez dA + L

A

⎞ d⎛ ⎜ ∫ DdA ⎟ . ⎟ dt ⎜⎝ A ⎠

Ha az L hurok időben állandó alakú, akkor az integrálás és a differenciálás sorrendje felcserélhető, és az integrálok összevonhatók. Ekkor a törvényt a

⎛

∫ Hdr = ∫ ⎜⎝ j L

vez

+

A

dD ⎞ ⎟dA dt ⎠

alakba írhatjuk. Látható, hogy az eltolási áram sűrűsége a

jelt =

dD dt

összefüggéssel adható meg, amivel a gerjesztési törvény a

∫ H dr = ∫ ( j L

vez

+ jelt )dA

A

alakba is írható. Ha figyelembe vesszük az elektromos eltolás

D = ε 0E + Pe

definíciós egyenletét, akkor az eltolási áramsűrűség a

jelt = ε 0

dE dPe + dt dt

alakba írható. Ez azt jelenti, hogy az eltolási áram létrejöttében szerepet játszik a jelenlévő anyag is, hiszen a polarizáció változása is eltolási áramot okoz és mágneses erőteret kelt. Ezt az áramot polarizációs áramnak nevezik. ***************** ******************* **********************

Az elektromágnességtan alapegyenletei integrális alakban (Maxwellegyenletek) Az elektromos és mágneses erőtér vizsgálata során kiderült, hogy a két erőtér egymással igen szoros kapcsolatban áll (mindkettőt elektromos töltések hozzák létre, egyik erőtér változása létrehozza a másikat), ezért a két erőteret elektromágneses erőtérnek, a velük kapcsolatos jelenségeket elektromágneses jelenségeknek-, az ezeket vizsgáló tudományterületet pedig elektromágnességtannak nevezik. Az elektromágneses erőtér jellemzésére itt (homogén, izotróp anyagok) az E és B térmennyiségeket vezettünk be, és az elektromágneses erőtér különböző megnyilvánulásait

4

általános törvények alakjában foglaltuk össze. Ezek az általános törvények, amelyeket kidolgozójuk, J. C. Maxwell tiszteletére Maxwell-egyenleteknek neveznek, az összes elektromágneses jelenséget leírják, az elektromágneses térre vonatkozó összes speciális törvény (pl. Coulomb-törvény, Biot–Savart-törvény) ezekből levezethető. Most – egyelőre integrális alakjukban – összefoglaljuk a Maxwell-egyenleteket és a hozzájuk csatlakozó kiegészítő összefüggéseket.

I.

∫ Edr = − L

dΦ B dt

d⎛

⎞

∫ Edr = − dt ⎜⎜⎝ ∫ BdA ⎟⎟⎠

vagy részletezve

L

A

(Itt A az L zárt hurok által bezárt felületet jelenti) Ez az egyenlet egyrészt azt fejezi ki, hogy a mágneses indukcióvektor fluxusának változása – az elektromágneses indukció – olyan indukált elektromos erőteret hoz létre, amely nem konzervatív. Megjegyzés: A

∫ Edr mennyiséget az E erőtér örvényerősségének nevezik. Ha ez nulla, akkor az erőteret örvénymentesnek-, L

ha nem nulla, akkor örvényesnek nevezik. Az elnevezés azzal függ össze, hogy – amint kimutatható – örvényes erőtérben az erővonalak lehetnek zárt hurkok, az örvénymentes erőtérben viszont ez nem lehetséges. Az örvényerősség fogalmát felhasználva azt mondhatjuk, hogy az indukált elektromos erőtér örvényes, erővonalai lehetnek zárt hurkok (és tapasztalatból tudjuk, hogy valóban azok).

Másrészt abban a speciális esetben, amikor a térmennyiségek időben állandóak, az egyenlet jobboldalán nulla áll: ∫ Edr = 0 , vagyis visszakapjuk az elektrosztatika I. alaptörvényét. L

Ilyenkor az erőteret elektromos töltések hozzák létre, és ez a sztatikus elektromos erőtér konzervatív, erővonalai nem lehetnek önmagukba záródó vonalak. Az I. törvény akkor is igaz, ha egyidejűleg mindkét fajta elektromos erőtér jelen van.

II.

∫ EdA = ε A

Q 0ε r

vagy részletezve

∫ EdA = ε A

1 0ε r

∫ ρ dV

V

(Itt V az A zárt felület által bezárt térfogatot jelenti) Ez az egyenlet azt fejezi ki, hogy a töltések által keltett elektromos erőtér térerősségvonalai töltéseken kezdődnek és töltéseken végződnek. Ezek a töltések lehetnek szabad töltések (Q), vagy polarizációs töltések. Utóbbiak járulékát az egyenletben szereplő ε r relatív permittivitással vesszük figyelembe. Megjegyzés: A

∫ E dA mennyiséget

az elektromos erőtér forráserősségének nevezik. Ha ez nulla, akkor az erőteret

A

forrásmentesnek-, ha nem nulla, akkor forrásosnak nevezik. Kimutatható, hogy forrásos erőtérben az erőtér vonalai valahol kezdődnek vagy végződnek, forrásmentes erőtérben viszont nincs kezdő- és végpontjuk, lehetnek pl. önmagukba záródóak. A forráserősség fogalmát használva a töltések által keltett elektromos erőtér forrásos.

5

Ebben az egyenletben nem jelenik meg az elektromágneses indukció által keltett, indukált elektromos erőtér, hiszen töltések hiányában ∫ E d A = 0 . Ez azt jelenti, hogy az indukált A

erőtér erővonalai nem kezdődnek és nem végződnek sehol. Az I. törvényt is figyelembe véve, levonható az a következtetés, hogy az indukált elektromos erőtér erővonalai önmagukba záródnak. (A szokásos elnevezést használva, az elektromágneses indukció által keltett, indukált elektromos erőtér örvényes és forrásmentes.)

III.

∫ B dr = µ

0

µ r I + µ0 µ rε 0ε r

L

d EdA dt ∫A

vagy részletezve

∫ B dr = µ L

0

µ r ∫ jd A + µ 0 µ r ε 0 ε r A

d EdA dt ∫A

(Itt A az L zárt görbe által határolt felületet jelenti) Ez az egyenlet azt fejezi ki, hogy a mágneses indukcióvektor a valódi áramokkal, az atomi mágneses dipólusokkal és az elektromos térerősség fluxusának változásával hozható összefüggésbe (Az atomi mágneses dipólusok hatását a µ r relativ permeabilitással vesszük figyelembe). Az indukcióvonalak lehetnek zárt hurkok (tapasztalatból tudjuk, hogy tényleg azok). Fontos része a törvénynek, hogy tükrözi azt a tapasztalatot is, hogy az elektromos erőtér változása mágneses erőteret hoz létre. (Az örvényerősség fogalmát használva azt mondhatjuk, hogy a mágneses erőtér örvényes.)

IV.

∫ B dA = 0 A

Ez a törvény azt mutatja, hogy az indukcióvonalak sehol nem kezdődhetnek vagy végződhetnek. A III. törvénnyel együtt ez azt jelenti, hogy csak önmagukba záródhatnak, ami egybevág a tapasztalatokkal. (Az örvényerősség és forráserősség fogalmát használva azt mondhatjuk, hogy a mágneses erőtér örvényes és forrásmentes.)

TÓTH A.: El.mágn. rezgések/1 (kibővített óravázlat) 1

2005.06.09.

Elektromágneses rezgések A rezgés általános értelemben valamilyen mennyiség értékének bizonyos határok közötti – periodikus vagy nem periodikus – ingadozását jelenti. Mivel az ilyen típusú jelenségek rendkívül gyakoriak, a rezgésekkel külön is érdemes foglalkozni. Fontos, hogy a fizikában rezgés alatt nem csak a hétköznapi értelemben rezgésnek nevezett – általában mechanikai mozgással összekapcsolt – jelenségeket értjük, hanem bármilyen mennyiség "rezgéstípusú" változását. Korábban megismerkedtek a mechanikai rezgésekkel, most az elektromágneses rezgéseket tárgyaljuk.


2005.06.09.

Szabad elektromágneses rezgések Szabad rezgésről akkor beszélünk, ha a rezgésre képes rendszert a rezgés elindulása után magára hagyjuk. Ilyen rezgés jön létre például, ha egy rugóra felfüggesztett tömeget az egyensúlyi helyzetéből kimozdítunk, és magára hagyjuk, vagy egy kondenzátort és tekercset tartalmazó elektromos rezgőkörben a kondenzátort feltöltjük és a rendszert magára hagyjuk. Az alábbiakban szabad elektromágneses rezgéseket vizsgálunk. Először az energiaveszteség nélkülinek feltételezett ideális, harmonikus rezgésekkel-, majd az energiaveszteség miatt csillapodó rezgésekkel foglalkozunk. Szabad harmonikus rezgések Definíció szerint a harmonikus rezgés egy mennyiség olyan változása, amelynek időfüggése harmonikus (szinusz- vagy koszinusz) függvénnyel írható le. Kísérletileg szabad harmonikus rezgést nem könnyű bemutatni, mivel a valóságban a szabad rezgések kisebb-nagyobb mértékben mindig csillapodnak. Közelítőleg harmonikus rezgést azonban megvalósíthatunk. A harmonikus rezgést leíró függvény

Az x-tengelyen mozgó tömegpont akkor végez harmonikus rezgőmozgást, ha koordinátájának időfüggését az x( t ) = A sin( ω 0 t + ϕ ), vagy x( t ) = A cos( ω 0 t + ϕ ) típusú függvény írja le, ahol A a legnagyobb kitérés értéke, amit a rezgés amplitúdójának neveznek, ω0 a rezgés T0 rezgésidejét (egy periódus hosszát) 2π meghatározó körfrekvencia ( ω0 = ), ϕ pedig az időmérés kezdetétől függő T0 fázisállandó. A rezgések jellemzésére gyakran használt f 0 frekvencia számértéke az egységnyi idő alatt lezajló rezgési periódusok száma, amely a fenti jellemzőkkel az 1 ω f 0 = = 0 összefüggésben van. A továbbiakban általában a körfrekvenciát T0 2π használjuk, de ebből a vele arányos frekvencia a fenti összefüggés segítségével mindig megkapható. Korábban már szó volt arról, hogy a harmonikus rezgés nem csak rezgőmozgást jelent. Harmonikus rezgésről beszélünk akkor is, ha egy áramkörben mért I áramerősség- vagy U feszültség időbeli változása például az I ( t ) = I m sin( ω0 t + ϕ 1 ),

U ( t ) = U m cos( ω0 t + ϕ 2 ) összefüggésekkel adható meg (itt Im és Um az áramerősség- illetve feszültség maximális értékét megadó áramerősség- illetve feszültség-amplitúdó). Ha a szögek összegének szinuszára (koszinuszára) vonatkozó ismert trigonometriai összefüggést alkalmazzuk, akkor a fenti kifejezéseket fázisszög bevezetése nélkül is felírhatjuk. Ez például az x( t ) = A sin( ω0 t + ϕ ) rezgés esetében az alábbi módon történhet:


2005.06.09.

x( t ) = A sin( ω0 t + ϕ ) = A sin ω0 t cos ϕ + A cos ω0 t sin ϕ . Bevezetve a B = A cos ϕ , C = A sin ϕ jelöléseket, a harmonikus rezgést leíró függvény az alábbi (az eredetivel egyenértékű) alakba írható: x( t ) = B sin ω0 t + C cos ω0 t . A harmonikus rezgés alapegyenlete

A mechanikában láttuk, hogy ha egy folyamatban egy f(t) mennyiség változására fizikai meggondolások alapján egy d 2 f (t ) + Kf ( t ) = 0 , dt 2 alakú differenciálegyenletet kapunk, akkor minden további matematikai elemzés nélkül állíthatjuk, hogy a mennyiség változása harmonikus rezgés, amit az f ( t ) = f m sin( K t + ϕ ) = f m sin( ω0 t + ϕ ) vagy az f ( t ) = f m cos( K t + ϕ' ) = f m cos( ω0 t + ϕ' ) . függvénnyel írhatunk le. Itt fm a mennyiség maximális értéke, ω 0 = K pedig a rezgés körfrekvenciája. Mivel a fenti differenciálegyenlet megoldása harmonikus függvény, az ilyen típusú egyenletet a harmonikus rezgés differenciálegyenletének vagy a harmonikus rezgés alapegyenletének nevezik. Harmonikus rezgés ideális elektromos rezgőkörben

Ez az eset tulajdonképpen az előző esethez hasonló példaként is szerepelhetne, de különleges jelentősége miatt mégis külön tárgyaljuk. UL Iind (-) (+) Ha egy C kapacitású, feltöltött kondenzátorra rákapcsolunk egy L önindukciójú tekercset L (ábra), akkor a körben áram indul meg. A változó áram feszültséget indukál a I(t) csökken tekercsben, ami fékezi az áram változását. Ahogy a kondenzátor töltése csökken, az C QC(t) áramerősség is csökkenne, de a tekercs önindukciója ezt a csökkenést lassítja, és - + akkor is tovább folyik az áram, amikor a UC kondenzátoron már nincs töltés. Mire az áram megszűnik, a kondenzátor már ellenkező előjelű töltésre tett szert, ami ellenkező irányú áramot indít, stb. Úgy látszik tehát, hogy itt rezgés jön létre, amelynek során az áramerősség a körben periodikusan változik, ezért ezt az áramkört rezgőkörnek nevezik. Ennek a rezgőkörnek van egy különlegessége, hiszen – amint az ábrán is látható – feltételeztük, hogy az áramkörben nincs ellenállás. Ez a valóságban biztosan nincs így (legfeljebb annyit állíthatunk, hogy az ellenállás elhanyagolható), ezért az ilyen rezgőkört ideális rezgőkörnek nevezik. A rezgőkörben folyó áram kísérleti vizsgálata azt mutatja, hogy az áram változása jó közelítéssel harmonikus rezgés. Most megpróbáljuk az áramerősség időfüggését


2005.06.09.

fizikai megfontolások segítségével számítás útján meghatározni. Ehhez az áramkörökre vonatkozó törvényeket használhatjuk fel. A tapasztalat szerint ugyanis nem túl gyorsan változó (ún. kvázistacionárius) áramoknál az áramok és feszültségek pillanatnyi értékeire érvényesek a Kirchhoff-törvények. Ez azt jelenti, hogy egy adott időpillanatban a rezgőkör minden pontján ugyanaz az áram folyik (I. törvény), és adott időpillanatban a hurokban a feszültségek összege nulla (II. törvény). Írjuk fel Kirchhoff II. törvényét a rezgőkörre a t időpillanatban: U L( t ) +UC ( t ) = 0 . Tudjuk, hogy az induktivitáson fellépő indukált feszültség és a kapacitáson fellépő Q (t) dI ( t ) feszültség abszolút értékét az U L ( t ) = L illetve az U C ( t ) = C dt C összefüggés adja meg. A Kirchhoff-törvény alkalmazásánál ezeket a feszültségeket előjelhelyesen és lehetőleg abszolút érték-jel nélkül kell beírnunk, ami nem túl bonyolult elemzéssel megvalósítható. ******************** ******************** ******************* A Kirchhoff-törvénynek a konkrét áramkör adatait tartalmazó alakját akkor tudjuk felírni, ha sikerül meghatároznunk a feszültségek előjelét. Ehhez egy konkrét helyzetet kell megvizsgálnunk, amit pl. a fenti ábrán láthatunk. Feltételezzük, hogy a vizsgált pillanatban a kondenzátor az ábrának megfelelő QC töltéssel rendelkezik, az I áram az ábrán bejelölt irányban folyik (a kondenzátort tölti), és éppen csökken. Emiatt az induktivitáson – a Lenz-törvénynek megfelelően – olyan feszültségnek kell keletkeznie, amely az áram csökkenését akadályozza, vagyis az eredeti árammal egyirányú Iind áramot kelt. Ha az induktivitást feszültségforrásként képzeljük el, akkor az említett feltételnek az a polaritás felel meg, amit az ábrán zárójelben megadtunk (baloldalt a negatív-, jobboldalt a pozitív sarok). Ezután az áramhurkot az áram irányában körbejárva, megállapíthatjuk a feszültségek előjelét. Az induktivitáson áthaladva a potenciál nő, tehát a feszültség (potenciálkülönbség) pozitív, a kapacitáson áthaladva a potenciál csökken, vagyis a feszültség (potenciálkülönbség) negatív. Az

dI ( t ) dt összefüggést használjuk (a mínusz jel azért kell, mert az áram csökken, tehát dI < 0 ). Ha QC a induktivitáson eső feszültségre akkor kapunk pozitív értéket, ha az U L ( t ) = − L

kapacitáson lévő töltés nagyságát jelöli, akkor a rajta eső negatív feszültséget előjelhelyesen az

UC ( t ) = −

QC ( t ) összefüggés adja meg. C

Így a rezgőkörben végbemenő folyamatok leírására a

−L

dI ( t ) QC ( t ) − =0 dt C

egyenletet kapjuk. Megjegyezzük, hogy ugyanezt az egyenletet kapjuk akkor is, ha más – fizikailag lehetséges – pillanatnyi helyzetet tételezünk fel. ******************** ******************** *******************

Az induktivitáson és a kapacitáson eső feszültségek előjelhelyes beírása után a törvény a dI ( t ) QC ( t ) dI ( t ) QC ( t ) −L − =0 illetve az L + =0 dt C dt C alakot ölti. Az egyenletben két ismeretlen függvény, az áramerősség és a kondenzátor töltése szerepel, ezért valamelyiket az egyenletből eliminálni kell. Erre az ad lehetőséget, hogy a vezetékben folyó áram a kondenzátor töltésének változásával egyértelmű kapcsolatban van, hiszen a vezető egy keresztmetszetén adott idő alatt az a töltés


2005.06.09.

folyik át, ami a kondenzátor lemezére érkezik. Ezért érvényes az I ( t ) =

dQC ( t ) dt

összefüggés. Az egyenletből legegyszerűbben az áram küszöbölhető ki, ha kifejezzük a dQC ( t ) dI(t) d 2QC ( t ) töltésváltozás sebességével: I( t ) = ⇒ = . Ezt dt dt dt 2 behelyettesítve, a töltésre az d 2 QC ( t ) 1 L + QC ( t ) = 0 dt 2 C illetve a d 2 QC ( t ) 1 + QC ( t ) = 0 dt 2 LC differenciálegyenletet kapjuk. Ez láthatólag harmonikus rezgés differenciálegyenlete, vagyis a kondenzátor töltése időben szinusz vagy koszinusz függvény szerint változik. A megoldást felírhatjuk például a QC ( t ) = Qm sin( ω0 t + ϕ ) alakban, ahol Qm a töltés maximális értéke (ez esetünkben attól függ, hogy a kondenzátort mennyire töltöttük fel). A rezgés körfrekvenciája (a QC(t) függvény 1 , amit az ideális rezgőkör saját szorzójának négyzetgyöke): ω0 = LC körfrekvenciájának neveznek. Az ennek megfelelő f 0 =

1 2π

1 mennyiség a LC

rezgőkör sajátfrekvenciája. Egy áramkör esetében általában nem a kondenzátor töltése, hanem a körben folyó áram érdekel bennünket. Az áram időbeli változását legegyszerűbben az áramerősség és a töltésváltozás közötti összefüggés segítségével kaphatjuk meg: Q dQC ( t ) I( t ) = = Qmω0 cos( ω0 t + ϕ ) = m cos( ω0 t + ϕ ) . dt LC Ha az áram maximális értékére bevezetjük az Q I m = Qmω0 = m LC jelölést, akkor az áramerősség változása az egyszerűbb I ( t ) = I m cos( ω0 t + ϕ ) alakba írható. ******************** ******************** ******************* Az áram időbeli változása úgy is megkapható, hogy az eredeti egyenletből a töltést küszöböljük ki. Ehhez differenciáljuk az egyenletet idő szerint, és használjuk ki, hogy

dQC = I . Ekkor – rendezés dt

után – az alábbi egyenletet kapjuk:

d 2I( t ) 1 + I( t ) = 0 . 2 dt LC Ebből az egyenletből is azt kapjuk, hogy az áram

ω0 =

rezgésnek megfelelően változik, és időfüggése például az

1 körfrekvenciájú harmonikus LC


2005.06.09.

I ( t ) = I m cos( ω 0 t + ϕ ) függvénnyel írható le. ********************

********************

*******************

A számításunk tehát igazolja azt a várakozást, hogy a kondenzátor feltöltése után magára hagyott ideális rezgőkörben az áramerősség harmonikus függvény szerint változik, az ideális rezgőkörben harmonikus rezgés jön létre. Ez azt jelenti, hogy az egyszer elindított rezgés állandó amplitúdóval elméletileg örökké fennmarad. A tapasztalat ezzel a következtetéssel nem egyezik, hiszen kísérletileg csak az valósítható meg, hogy egy elhanyagolható ellenállást tartalmazó rezgőkörben a közel harmonikus rezgés hosszú ideig fennmarad, de csillapodik, és előbb-utóbb megszűnik. Ez az ellentmondás azzal az egyszerűsítéssel függ össze, hogy számításainknál használt ideális rezgőkörben elhanyagoltuk az energiát fogyasztó ohmikus ellenállást. Érdemes a kondenzátor-töltés-, az áramerősség- és a kondenzátoron illetve az induktivitáson kialakuló feszültség időbeli változását összehasonlítani. A kondenzátoron illetve az induktivitáson eső feszültség változása szintén harmonikus rezgés. A feszültségeket leíró függvények: Q 1 U C ( t ) = QC ( t ) = m sin(ω0 t + ϕ ) C C Qm sin(ω0 t + ϕ ) . U L ( t ) = −U C ( t ) = − C A kondenzátoron eső feszültség tehát a töltéssel azonos fázisban, az induktivitáson eső feszültség azzal ellentétes fázisban QC(t) Qm változik. Az áram változását – a fent alkalmazott t koszinusz függvény helyett – leírhatjuk UC(t) szinusz függvénnyel is:

I ( t ) = I m cos( ω0 t + ϕ ) = I m sin( ω0 t + ϕ + Az áramerősség változása tehát

π

π

2

U(t)

).

-vel „siet” a 2 kondenzátoron eső feszültség (és a töltés) változásához képest. A töltés-, a kondenzátoron és induktivitáson eső feszültség- és az áramerősség változását leíró függvényeket a mellékelt ábra mutatja (a ϕ=0 feltételezéssel).

Um t UL(t) I(t) Im t

A mágneses erőtér energiája

Az elektromos rezgőkörben energiaátalakulások mennek végbe, hiszen a kondenzátor periodikusan elveszti, majd visszakapja az elektromos töltését, és ezzel az elektrosztatikus energiáját is. Kérdés, hogy hol van az energia akkor, amikor a kondenzátorban éppen nincs töltés (és így energia sincs). Az egyetlen lehetőségnek az látszik, hogy ilyenkor az energia a tekercsben felépülő mágneses erőtérben van (az áram akkor maximális, amikor a kondenzátor töltése nulla). A mágneses erőtér energiájának pontos kifejezését a rezgőkör energiamérlegének vizsgálata alapján kaphatjuk meg. Az energia-mérlegegyenletet formálisan úgy kaphatjuk meg, hogy a rezgőkörre felírt Kirchoff-törvényt beszorozzuk Idt-vel:


2005.06.09.

U L Idt + U C Idt = 0 . A baloldal második tagja a kondenzátor elektrosztatikus energiájának változását adja meg dt idő alatt ( U C Idt = U C dQ ), az első tagot pedig a tekercsben kialakult mágneses erőtér energiájának (Emagn) megváltozásaként foghatjuk fel. A tekercsben kialakult mágneses erőtér energiájának dt idő alatt bekövetkező változása eszerint: dI dE magn = U L Idt = L Idt = LIdI . dt Ha a tekercsben az áramot 0-ról I-re növeljük, akkor a teljes energiaváltozás, vagyis az I árammal átjárt tekercs mágneses erőterének energiája I 1 E magn = L ∫ I ′dI ′ = LI 2 . 2 Figyelembe véve a tekercs mágneses erőterére és önindukciós tényezőjére korábban kapott kifejezéseket, a mágneses erőtér energiája az erőtér jellemzőivel is kifejezhető. Az l hosszúságú, N menetszámú, A keresztmetszetű, µ abszolút permeabilitású anyaggal kitöltött, hosszú, egyenes tekercsben a mágneses indukció µNI µN 2 A , egy ilyen tekercs önindukciós együtthatója pedig L = . Ezekkel I-t B= l l és L-et kiküszöbölve, azt kapjuk, hogy 1 2 1 E magn = B V = HBV 2µ 2 (V=Al a tekercs térfogata). Ebből az energia térfogati sűrűsége mágneses erőtérben E magn 1 2 1 wmagn = = B = HB . V 2µ 2 Ezek a kifejezések nem csak a levezetés alapjául szolgáló speciális esetben, hanem homogén, izotróp anyagban bármilyen mágneses erőtérre érvényesek. Vagyis ahol 1 2 B indukcióvektorral jellemzett mágneses erőtér van jelen, ott wmagn = B 2µ energiasűrűség is van. A harmonikus rezgés energiaviszonyai elektromos rezgőkörben

Egy fizikai mennyiség változásai – így a rezgések is – általában energiaátalakulásokkal járnak. Most az elektromágneses harmonikus rezgés energiaviszonyait vizsgáljuk meg. A rezgőkör energiája minden pillanatban a tekercs mágneses- és a kondenzátor elektrosztatikus energiájának összege: E( t ) = Emagn ( t ) + Eel ( t ) = 1 2 1 2 1 2 2 1 2 Qm cos 2 ( ω0 t + ϕ ). LI + Q = LI m sin ( ω0 t + ϕ ) + 2 2C 2 2C Felhasználva a töltés- és az áramerősség maximális értéke között fennálló Q2 I m2 = Qm2 ω02 = m összefüggést, az összenergiára azt kapjuk, hogy LC 1 Qm2 1 Qm2 1 2 ( E= sin 2 ( ω0 t + ϕ ) + cos 2 ( ω0 t + ϕ )) = = LI m = állandó 2 C 2 C 2 =


2005.06.09.

Itt tehát az energiának a mágneses- és az elektromos energiaformák közötti átalakulása megy végbe, miközben az összenergia állandó marad. Itt is érvényes az a megállapítás, hogy a rezgés energiája arányos az áram illetve a töltés amplitúdójának négyzetével. A csillapodó rezgés

Az előbb tárgyalt rezgések mindegyike ideális rezgés, mert a rezgés során nincs energiaveszteség. A valóságos rezgéseknél az elektromos- és mágneses energia a rendszerből fokozatosan eltávozik, amiből – az energiára vonatkozó előbbi megállapításaink alapján – következik, hogy a rezgés amplitúdója is csökken. Az ilyen csökkenő amplitúdójú rezgéseket csillapodó (vagy csillapított) rezgéseknek nevezik.

Csillapodó rezgés elektromos rezgőkörben

A valóságos elektromos rezgőkör mindig tartalmaz elektromos ellenállást (ábra), amelyben az elektromos erőtér energiája hővé alakul. Az ellenállás tehát a rezgést csillapítja. Ennek a csillapításnak nyilvánvaló jele az, hogy egy magára hagyott rezgőkörben a rezgés megszűnik. A jelenség azonban megfelelő kísérletekkel pontosabban is megvizsgálható.

(-) UL (+)

Iind

L R I(t)

UR

csökken

C -

QC(t) + UC

KÍSÉRLET: − Ha egy ellenállást is tartalmazó rezgőkör ellenállásán eső U R feszültséget (ami a körben folyó áramerősséggel arányos) katódsugár oszcilloszkópra visszük, akkor az áram amplitúdójának csökkenése pontosan felrajzolható, és a csillapodás az ellenállás nagyságának függvényében is vizsgálható. Azt találjuk, hogy az ellenállás növelésével a csillapodás is nő.

A rezgőkör viselkedésének leírásához most is Kirchhoff II. törvénye segítségével juthatunk el, ami ellenállást is tartalmazó rezgőkörre így írható fel (ábra): U L +UC +U R = 0 . Az ideális rezgőkörnél követett gondolatmenetet megismételve, ebből az alábbi egyenletet kapjuk: dI ( t ) QC ( t ) −L − − IR = 0 dt C (itt egyetlen új tag jelenik meg, az ellenálláson eső feszültség, ami az adott esetben negatív). Az egyenletet (-L)-lel végigosztva, az alábbi alakot kapjuk: dI ( t ) QC ( t ) R + + I =0. dt LC L dQC Itt ismét felhasználhatjuk a = I összefüggést, hogy a töltést vagy az dt áramerősséget elimináljuk az egyenletből. Mivel általában fontosabb az


2005.06.09.

áramerősség változásának ismerete, most a töltést küszöböljük ki. Ehhez az egyenletet differenciáljuk t szerint, és használjuk fel az említett összefüggést. Ekkor az áramerősségre az alábbi differenciálegyenletet kapjuk: d 2 I ( t ) R dI ( t ) 1 + + I( t ) = 0 . dt 2 L dt LC Felhasználva az ω0 =

R 1 összefüggést, majd bevezetve a 2 β = jelölést, azt LC L

kapjuk, hogy

d 2 I( t ) dI ( t ) + 2β + ω02 I ( t ) = 0 . 2 dt dt Ez pontosan ugyanolyan alakú egyenlet, mint amit a mechanikában a csillapodó mechanikai rezgés kitérésére kaptunk. Ez szemmel láthatóan nem harmonikus rezgés egyenlete (az egyenletben megjelent a függvény első deriváltja is). Ez az eredmény várható volt, hiszen a csillapító tag miatt a rezgés amplitúdója csökken, a csökkenő amplitúdójú rezgés pedig nem írható le egyetlen harmonikus függvénnyel. A fenti egyenlet matematikai megoldása nem egyszerű feladat, ezért az ún. próbafüggvény eljárást alkalmazzuk. Ennek lényege az, hogy a kísérleti tapasztalatok alapján megpróbáljuk kitalálni a megoldást, majd ezt a feltételezett megoldást az egyenletbe behelyettesítjük, és megnézzük, hogy milyen feltételek mellett lesz ez valóban megoldás. A csillapodó rezgésre vonatkozó kísérletek alapján felrajzolhatjuk egy ilyen rezgés jellegzetes kitérésidő függését, amit sematikusan az alábbi ábra mutat. Az ábrán szaggatott vonallal az amplitúdó időbeli változását (A(t)) is feltüntettük. A kísérleti görbék azt sugallják, hogy a kitérés időfüggése tulajdonképpen egy torzított harmonikus függvény, amely egy időfüggő (időben csökkenő) amplitúdó és egy harmonikus függvény szorzata: I ( t ) = A( t ) sin( ωt + ϕ ) . A kísérletek alapján ennél konkrétabb feltevéssel is élhetünk, ugyanis a tapasztalat szerint a vizsgált esetben az amplitúdó csökkenése jól leírható egy exponenciális függvénnyel: A( t ) = I m e − at . Itt a egyelőre ismeretlen állandó. Ezzel a feltételezett megoldás az I ( t ) = I m e − at sin( ωt + ϕ ) alakot ölti. A probléma csak az, hogy nem tudjuk az a állandó értékét, és azt sem, hogy mennyi a harmonikus rész ω körfrekvenciája. Ahhoz, hogy kiderüljön, hogy egy ilyen függvény valóban lehet megoldása a rezgést leíró differenciálegyenletnek, be kell helyettesíteni az egyenletbe. Ebből az is kiderül, hogy milyen a és ω érték mellet lehet megoldás a fenti függvény.


2005.06.09.

A feltételezett megoldásnak a differenciálegyenletbe való behelyettesítésével valóban megkapjuk a keresett két állandót, és ezzel a megoldás I ( t ) = I m e − βt sin( ωt + ϕ ) ,

R 1 és ω = ω02 − β 2 ( ω0 = ). Eszerint az idővel exponenciálisan 2L LC csökkenő amplitúdó kitevőjében szereplő állandó éppen az energiaveszteséget okozó ellenállással arányos, a harmonikus rész körfrekvenciája pedig kisebb, mint az ideális rezgőkör csillapítatlan, harmonikus rezgésének megfelelő ω0 körfrekvencia. Ez a megoldás visszaadja a csillapodó rezgés kísérletekből már ismert sajátságait: minél nagyobb a csillapításra jellemző β állandó (vagyis minél nagyobb a csillapítás), annál gyorsabban csökken a rezgés amplitúdója, és annál nagyobb a rezgés körfrekvenciájának eltérése a csillapítatlan rezgés körfrekvenciájától. Nagyon kis β érték (kis csillapító hatás) esetén a rezgés közelítőleg harmonikus, körfrekvenciája közelítőleg megegyezik az ideális, csillapítatlan rezgés körfrekvenciájával. A megoldás most is felírható az I ( t ) = I m e − βt cos( ωt + ϕ' ) alakban is.

ahol β =

TÓTH A.: El.magn. rezgések_2 (kibővített óravázlat)11

Kényszerrezgés, rezonancia Gyakorlatilag is igen fontos eset az, amikor egy rezgésre képes rendszer rezgései valamilyen külső, periodikus hatás (kényszer) működése közben zajlanak le. Az ilyen rezgéseket – szemben a korábban tárgyalt szabad rezgésekkel – kényszerrezgéseknek nevezik. A külső kényszer sokféle lehet, itt a legegyszerűbb esetet vizsgáljuk, amikor a külső hatás mértéke időben szinusz vagy koszinusz függvény szerint változik. Kényszerrezgés elektromos rezgőkörben Egy rezgőkörben úgy lehet kényszerrezgést létrehozni, hogy a UC UR UL körbe beiktatunk egy U k ( t ) váltakozó feszültséget adó generátort (ábra). Gyakorlati szempontból a legfontosabb az az R L C eset, amikor a kényszert jelentő generátorfeszültség harmonikus rezgés, ezért itt is ezzel az esettel foglalkozunk. Ennek megfelelően a kényszert az Uk(t) U k = U 0 sin ω k t függvénnyel adjuk meg. A rendszert leíró egyenlet abban különbözik a csillapodó rezgést leíró egyenlettől, hogy megjelenik benne az U k ( t ) generátorfeszültség: U L + UC + U R = Uk ( t ) , amivel a kondenzátor töltésének változására felírt egyenlet így alakul dI ( t ) QC ( t ) L + + RI = U 0 sin ωk t . dt C dQC Az egyenletet differenciálva, és felhasználva a = I összefüggést kiküszöbölhető a dt töltés: d 2 I( t ) dI ( t ) 1 L +R + I ( t ) = U 0ωk cos ωk t . 2 dt dt C R 1 és az ω0 = jelöléseket Az egyenletet L-lel végigosztva, és bevezetve a 2 β = L LC U d 2 I( t ) dI ( t ) + 2β + ω02 I ( t ) = 0 ωk cos ωk t 2 dt dt L egyenletet kapjuk. A tapasztalat szerint egy ilyen áramkörben egy kezdeti berezgési folyamat elhalása után harmonikus rezgés jön létre a generátorfeszültség ω k körfrekvenciájával, tehát a töltés időfüggését harmonikus függvénnyel írhatjuk le. Ilyen lehet például a I ( t ) = I m sin( ωk t − ϕ ) függvény. Itt egyelőre ismeretlen a rezgés Im amplitúdója, továbbá a generátorfeszültség és az áram fáziseltolódását megadó ϕ fázisszög.


Az ismeretlen állandókat ugyanúgy határozhatjuk meg, mint a csillapodó rezgés esetén tettük: a feltételezett megoldást behelyettesítjük a rezgés differenciálegyenletébe, és megvizsgáljuk, hogy ez az említett mennyiségek milyen értékeinél lesz valóban megoldás. A számolásból kiderül, hogy a fent feltételezett I ( t ) = I m sin( ωk t − ϕ ) kifejezés csak akkor megoldása az egyenletnek, ha az amplitúdó és a fáziskülönbség is függ az ω k kényszerfrekvenciától, az alábbi módon: U 0ωk I m ( ωk ) = L ( ωk2 − ω02 )2 + 4 β 2ωk2

ω02 − ωk2 tgϕ = 2 βω k Ha ω0 -t és β-t az áramkör adataival fejezzük ki, akkor rövid számolás után az áramerősség-amplitúdó frekvenciafüggésére az U0 , I m ( ωk ) = 2 ⎛ 1 ⎞ ⎟ R 2 + ⎜⎜ ω k L − ω k C ⎟⎠ ⎝ a fázisszögre pedig a 1 − Lωk Cωk tgϕ = R kifejezést kapjuk. Az amplitúdófüggvényt sematikusan a mellékelt ábra I (ω ) mutatja. Látható, hogy – a mechanikai m k kényszerrezgéshez hasonlóan – itt is van rezonancia, ami az ωk = ω0 = ωr körfrekvencián következik be 1 = 0 ). (ekkor I m maximális, mert ωk L − ωk C ωr=ω0 ωk Az itt tárgyalt áramkör (szinuszosan változó feszültségforrás R, L és C elemeket tartalmazó körben) tulajdonképpen a váltakozó áramú áramkörök egyik alaptípusa, az ún. soros RLC kör. Láttuk, hogy az áram és a feszültség maximális értékei között az U0 Im = 2 ⎛ 1 ⎞ 2 ⎟ R + ⎜⎜ ω k L − ω k C ⎟⎠ ⎝

összefüggés érvényes. A váltakozó áram tárgyalásánál ezt az összefüggést az I m = 2

U0 alakban írják fel, ahol Z

⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ . Ezt a frekvenciafüggő Z mennyiséget az itt tárgyalt áramkör Z = R + ⎜⎜ ω k L − ω C k ⎝ ⎠ impedanciájának nevezik. 2


Hasonló módon – egy impedancia bevezetésével – adható meg az áram és feszültség maximális értékei közötti összefüggés más váltakozó áramú áramkörök esetén is (a tárgyalás komplex számokkal a legegyszerűbb). A rezonanciának az elektromágneses rezgések esetén is komoly gyakorlati jelentősége van. Alkalmazásának egyik legismertebb példája a rádió vevőkészülék működése: ahhoz, hogy egy rádióadást fogni tudjunk, a készülékünket „rá kell hangolnunk” az adó frekvenciájára, vagyis (pl. a kapacitás változtatásával) a rezgőkör sajátfrekvenciáját úgy kell beállítanunk, hogy azonos legyen az adó frekvenciájával.

TÓTH A.: Rezgésösszetevés (kibővített óravázlat)

30

2005.06.09.

Harmonikus rezgések összetevése és felbontása Gyakran előfordul, hogy egy rezgésre képes rendszerben több, közelítőleg harmonikus rezgés egyszerre jelenik meg, és meg kell határoznunk a létrejött eredő rezgést, ezért a harmonikus rezgések összetevésének vizsgálata fontos feladat. A fordított feladat is nagy jelentőségű, amikor egy bonyolult rezgést kell harmonikus összetevőkre bontani. Harmonikus rezgések összetevése A rezgések összetevésének néhány jellegzetes és gyakorlatilag is fontos esete az azonos- és különböző frekvenciájú, azonos irányú, továbbá az egymásra merőleges harmonikus rezgések összetevése. Egyirányú, azonos frekvenciájú harmonikus rezgések összetevése

Vizsgáljuk először azt az esetet, amikor egy rezgő rendszerben egyidejűleg két egyirányú harmonikus rezgés lép fel. A kérdés az, hogy milyen lesz az eredő rezgést megadó függvény. A két rezgés amplitúdója és fázisa eltérő lehet, de az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy a rezgések körfrekvenciája (ω) azonos. A két rezgés kitérésének időfüggését ekkor az alábbi összefüggésekkel adhatjuk meg: x1 ( t ) = A1 cos( ωt + ϕ1 ) x2 ( t ) = A2 cos( ωt + ϕ 2 ). Ha a szuperpozíció elve alkalmazható, akkor a rezgések eredője bármely pillanatban egyszerűen a két rezgés pillanatnyi értékeinek összege: x( t ) = x 1 ( t ) + x 2 ( t ) = A1 cos( ωt + ϕ 1 ) + A2 cos( ωt + ϕ 2 ) . Ebből az alakból nehéz megállapítani az eredő rezgés jellegét, ezért célszerű úgy átalakítani, hogy csak egyetlen trigonometriai függvényt tartalmazzon. Az átalakítást két módszerrel végezhetjük el: trigonometriai összefüggések alapján vagy az ún. forgó vektoros módszerrel. Itt az utóbbi eljárást alkalmazzuk, mert egyszerűbb, szemléletesebb, és más problémák tárgyalásánál is hasznos. A forgó vektoros módszer azon alapszik, hogy egy egyenletes körmozgást végző y pontnak a körpálya síkjával párhuzamos vetülete harmonikus rezgést végez. Ezért, ha a y(t)=Asin(ωt+ϕ) rezgés A amplitúdójával azonos hosszúságú ω vektort az ábrán látható módon, ω állandó A szögsebességgel körbeforgatunk, akkor a x ωt+ϕ vektor végpontjának bármelyik tengelyre vett vetülete ω körfrekvenciájú harmonikus rezgést végez. Ha az időmérést abban a pillanatban x(t)=Acos(ωt+ϕ) kezdjük, amikor a vektor az x-tengellyel ϕ szöget zár be, akkor a t időpillanatban a vektor végpontjának a tengelyekre vett vetülete x( t ) = A cos( ωt + ϕ )

y( t ) = A sin( ωt + ϕ ). A továbbiakban az x-tengelyre vett vetületet használjuk. Ha a korábban említett


2005.06.09.

31

x1 ( t ) = A1 cos( ωt + ϕ1 ) x2 ( t ) = A2 cos( ωt + ϕ 2 ) rezgéseket akarjuk összegezni, akkor a megfelelő fázisszöggel mindkét rezgés forgó vektorát felrajzoljuk. Az ábrán a két vektort a t=0 pillanatban tüntettük fel. Az eredő rezgés forgó vektorát a két összetevő y ω vektor vektori összege adja meg, hiszen az ábra alapján megállapítható, hogy minden pillanatban x = x1 + x2 , ahol x1 = OB , x2 = BC és x = OC . A Mivel az eredő vektor az összetevő vektorokkal A2 A2 együtt ω szögsebességgel forog, végpontjának A1 vetülete ugyanilyen körfrekvenciájú harmonikus x O ϕ2ϕ1 ϕ B C rezgésnek felel meg. Ez azt jelenti, hogy az eredő rezgés harmonikus, és x( t ) = A cos( ωt + ϕ ) alakban írható fel, ahol egyelőre nem ismerjük az A amplitúdót és a ϕ fázisállandót. Ezekre az ábra alapján az alábbi összefüggéseket kapjuk: A=

A12 + A22 + 2 A1 A2 cos( ϕ 2 − ϕ 1 )

tgϕ =

A1 sin ϕ 1 + A2 sin ϕ 2 . A1 cos ϕ 1 + A2 cos ϕ 2

******************** ******************** Az ábra jelöléseivel az amplitúdóra az

*******************

A2 = ( OC )2 + ( CE )2 = ( OB + BC )2 + ( CD + DE )2 = = ( A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2 )2 + ( A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2 )2 = = A12 cos 2 ϕ1 + A22 cos 2 ϕ 2 + 2 A1 A2 cos ϕ1 cos ϕ 2 + + A12 sin 2 ϕ1 + A22 sin 2 ϕ 2 + 2 A1 A2 sin ϕ1 sin ϕ 2 = = A12 + A22 + 2 A1 A2 (cos ϕ1 cos ϕ 2 + sin ϕ1 sin ϕ 2 ) = = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos( ϕ 2 − ϕ1 ) összefüggést kapjuk, amiből a fenti egyenlet gyökvonással kapható. A fázisszög tangensére fennáll, hogy

tgϕ =

CE CD + DE A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2 = = , OC OB + BC A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2

ami azonos a fent felírt összefüggéssel. ******************** Megjegyezzük, hogy a forgóvektoros módszer több egyirányú, azonos körfrekvenciájú rezgés összegzésére is alkalmas. Ilyenkor a vektorokat a parallelogramma módszer helyett a vektoroknak egymás után történő felrajzolásával célszerű összegezni, amint azt 3 vektor esetére a mellékelt ábra mutatja. A vetületekre most is fennáll minden pillanatban, hogy x( t ) = x1 ( t ) + x2 ( t ) + x3 ( t ) . Mivel az eredő vektor együtt forog az összetevőkkel, végpontja harmonikus rezgést végez a közös körfrekvenciával. ********** *********** **********

y

x1=OB x2=BC x3=CD

ω

A O

A2 A1 B C

A3 D

x

x=OD


32

2005.06.09.

Azonos irányú, különböző frekvenciájú rezgések összetevése, lebegés

Két azonos irányú, különböző ω1 és ω 2 frekvenciájú rezgés összegzése jóval bonyolultabb, mint az azonos frekvenciájúaké. Ez jól érzékelhető, ha az összegzésre a forgó vektoros eljárást akarjuk y alkalmazni. Ilyenkor az összetevőket ábrázoló vektorok eltérő szögsebességgel ω1<ω2 forognak, ezért a rezgések közötti fáziskülönbség és az eredő rezgés A1 ω2 amplitúdója is változik az időben (az A A2 ábrán ∆ϕ ⇒ ∆ϕ ′ illetve A ⇒ A' ). A' A1 Ebben az esetben a forgó vektorok helyett a trigonometriai módszert ∆ϕ x ∆ϕ' használjuk egy ω1 és egy ω 2 A2 frekvenciájú rezgés összegzésére. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy a rezgések amplitúdója azonos (A1 = A2 = A), fáziskülönbségük pedig nulla. Ekkor a két rezgés az x1 ( t ) = A cos ω1t

x2 ( t ) = A cos ω 2 t alakba írható. A két rezgés eredője: x( t ) = x1 ( t ) + x2 ( t ) = A cos ω1t + A cos ω 2 t . Felhasználva a α −α1 α +α1 cos α 1 + cos α 2 = 2 cos 2 cos 2 2 2 trigonometriai összefüggést, az eredőre azt kapjuk, hogy ω − ω1 ω + ω2 x( t ) = 2 A cos 2 t cos 1 t. 2 2 ω + ω2 A fenti kifejezés úgy is felfogható, mint egy ω' = 1 frekvenciájú harmonikus 2 ω − ω1 rezgés, és egy ω A = 2 frekvenciával periodikusan változó A( t ) = 2 A cos ω At 2 amplitúdó szorzata: x( t ) = 2 A cos ω At cos ω ′t . Ez különösen jól érzékelhető abban a gyakorlatilag is fontos esetben, amikor a két rezgés frekvenciája csak kissé különbözik egymástól. Ilyenkor ugyanis ω A << ω' , így az amplitúdó lassan változik, és változása jól nyomon követhető (ábra). Az ábrán feltüntettük a két összetevő


2005.06.09.

33

rezgést (x1 és x2) és az összegződésük eredményeként előálló eredő rezgést (x) is, amelynek amplitúdója jól láthatóan ingadozik. Az ilyen periodikusan változó amplitúdójú („lüktető”) rezgést lebegésnek-, a maximális kitérés ismétlődési frekvenciáját ( f L ) pedig a lebegés frekvenciájának nevezik. Ha a két frekvencia közel azonos, akkor érdemes bevezetni ω 2 − ω1 = ∆ω és az ω1 = ω jelölést, amivel ω 2 = ω + ∆ω ≈ ω hiszen a feltételezés szerint ∆ω << ω . ω + ω 2 2ω ω − ω 1 ∆ω Ezzel ω' = 1 ≈ = ω , ωA = 2 = , és így az eredő rezgés 2 2 2 2 időfüggését megadó összefüggés az alábbi módon alakul

∆ω

t cos ωt . 2 A lebegés frekvenciájának kiszámításához használjuk fel az ábra jelöléseit. Látható, hogy a lebegés TL periódusideje éppen fele a koszinusz függvénnyel megadott A(t) amplitúdó TA periódusidejének: T TL = A . 2 Ebből következik, hogy a lebegés körfrekvenciája 2π 4π 4π ωL = = = ω A = 2ω A . TL TA 2π x( t ) = 2 A cos

Mivel az amplitúdófüggvény körfrekvenciája ω A =

ω L = ω 2 − ω 1 = ∆ω .

∆ω 2

, a lebegés körfrekvenciája

Az ω = 2πf összefüggést felhasználva, ebből azt kapjuk, hogy f L = f 2 − f 1 = ∆f , vagyis a lebegés frekvenciája a két összetevő rezgés frekvenciájának különbségével egyenlő. Ennek alapján a lebegést fel lehet használni frekvenciák eltérésének megállapítására illetve frekvenciamérésre. Egy hegedűhúr hangolásánál például segíthet, ha megfigyeljük a húr hangjának és a referencia hangnak a lebegését, és a hangolást addig folytatjuk, amíg a lebegés megszűnik. Ez jelzi, hogy a két hang magassága (frekvenciája) megegyezik. A lebegést több egyszerű kísérlettel bemutathatjuk, amelyek közül itt kettőt ismertetünk. KÍSÉRLETEK: − Hatásosan bemutatható a lebegés két kissé különböző frekvenciájú hangvilla egyidejű megszólaltatásával. Ekkor valóban halljuk a hang intenzitásának periodikus változását, lüktetését. A kissé eltérő frekvenciát legegyszerűbben úgy állíthatjuk elő, hogy két azonos hangvilla egyikét – egy ráerősített kis súllyal – „elhangoljuk”. − A lebegés elektromos rezgések esetén könnyen bemutatható katódsugár oszcilloszkóp segítségével, ahol külön látjuk az összetevő rezgések- és az eredő rezgés (lebegés) képét is, ahogy azt a fenti ábrán már bemutattuk.


2005.06.09.

34

Merőleges rezgések összetevése

Ha egy rendszerben egyidejűleg két egymásra merőleges irányú rezgés van jelen, akkor ezeket az eredő rezgés két merőleges komponenseként foghatjuk fel, az eredő rezgést tehát az így meghatározott vektor végpontjának mozgása adja meg. Vizsgáljunk először két azonos frekvenciájú, különböző amplitúdójú rezgést x( t ) = A cos ωt y( t ) = B cos( ωt + δ ), amelyek között δ fáziseltolódás van. Az eredő rezgés pályaegyenletét az idő kiküszöbölésével kapjuk meg. Fejezzük ki az első egyenletből cosωt-t, és helyettesítsük be a második egyenletbe, amelyet az összeg koszinuszának kifejtésével és a felhasználásával átalakítunk: x cos ωt = , A

sin ωt = 1 − cos 2 ωt

összefüggés

y = B cos ωt cos δ − B sin ωt sin δ = B cos ωt cos δ − B sin δ 1 − cos 2 ωt , x x2 cos δ − B sin δ 1 − 2 . A A Az utolsó egyenlet rendezésével a pálya egyenlete az alábbi alakra hozható: x2 y 2 2 xy + 2 − cos δ = sin 2 δ . 2 AB B A Ez egy ellipszis egyenlete, vagyis az eredő rezgés általában az xy-síkban elhelyezkedő ellipszis mentén zajlik. Az ellipszis alakja és helyzete függ a rezgések A, B amplitúdóitól és a köztük lévő δ fáziskülönbségtől. A legegyszerűbb eset az, amikor a két rezgés fázisa azonos vagy ellentétes ( δ = nπ, ahol n = 0, 1, 2...). Ekkor az egyenlet az y=B

2

⎛ x y⎞ ⎜ ± ⎟ =0 ⎝ A B⎠ alakot ölti, ami azt jelenti, hogy az eredő rezgés az B y=± x A egyenesek mentén ω körfrekvenciával zajló harmonikus rezgés (a „+” jel az azonos-, a „–” jel az ellenkező fázisú rezgésekre vonatkozik). Egy másik egyszerű eset, amikor a fáziskülönbség π/2 páratlan számú többszöröse:

δ = ( 2n + 1 )

π

2

. Ekkor az

x2 y2 + =1 A2 B 2 összefüggést kapjuk, vagyis ekkor az ellipszis tengelyei a koordinátatengelyeken vannak. Azonos amplitúdók esetén a pálya ilyenkor kör alakú. A merőleges rezgések összetevése kísérletileg is bemutatható mind mechanikaimind pedig elektromágneses rezgések esetén. A mechanikai rezgés vizsgálatára alkalmas eszköz többféleképpen megvalósítható. Ezek közül egyik lehetséges megoldás a következő.


35

2005.06.09.

KÍSÉRLET: − Az ábrán egy olyan berendezést látunk, amellyel megvalósítható, hogy az eszköz alsó részén látható tölcsér egyidejűleg két egymásra merőleges irányban (x és y) rezegjen. A tölcsér egyúttal írószerkezetként is szolgál, amely a belőle kifolyó tinta vagy homok segítségével egy papírlapra felrajzolja az eredő rezgésnek megfelelő mozgást végző tölcsér pályáját. Egyszerűbben megvalósítható az összegzés elektromos rezgések esetén. KÍSÉRLET: − Elektromos rezgések esetén az összegzése legegyszerűbben katódsugár oszcilloszkóppal végezhető el. Merőleges rezgések úgy állíthatók elő, hogy az egyik váltakozó feszültséget (rezgést) a függőleges- a másikat pedig a vízszintes eltérítő lemezpárra kapcsoljuk. Ennek a módszernek az az előnye, hogy itt az összegzés paraméterei egyszerűen változtathatók, és így a fent tárgyalt különböző esetek könnyen megvalósíthatók. A fenti kísérletek segítségével (de elméleti úton is) megvizsgálhatók az összegzés különböző esetei. Két merőleges rezgés összegzésénél kapott pályagörbéket mutatunk be az alábbi ábrán azonos frekvenciájú, azonos amplitúdójú rezgéseknél.

További számítások és kísérleti vizsgálatok azt mutatják, hogy ha a merőleges rezgések körfrekvenciája különböző ( ω1 ≠ ω 2 ), akkor a pálya többnyire igen bonyolult alakú, és általában nem zárt görbe. Ha a frekvenciák aránya egész számok arányával adható meg, akkor a pálya zárt, de általában szintén bonyolult görbe. A görbe alakja ilyenkor a frekvenciák arányától függ. Ezeket a jellegzetes görbéket gyakran Lissajous-görbéknek nevezik. Az alábbi ábrán néhány ilyen – az eredő rezgés pályáját megadó – Lissajous-görbe látható különböző frekvencia-arányok ( ω1 : ω 2 ) és fáziskülönbségek (δ) esetén.


36

2005.06.09.

Az ilyen görbék felvétele legegyszerűbb katódsugár oszcilloszkóppal, de a fent vázolt mechanikai rendszerrel is lehetséges. A görbék vizsgálata azt mutatja, hogy a frekvencia-arány és a görbe alakja között sajátos geometriai összefüggés van. Látható, hogy a zárt pályagörbe érinti a befoglaló négyszög oldalait. Ha megszámoljuk az egyik függőleges és az egyik vízszintes oldalon az érintési pontokat, akkor azt találjuk, hogy az érintési pontok számának aránya megegyezik a körfrekvenciák (frekvenciák) ω1 : ω 2 arányával. (A b ábrán az egy ciklusnak megfelelő útvonal: ABCBA, vagyis a „zárt hurok” a vízszintes oldalt kétszer érinti.) Ezt az összefüggést a gyakorlatban (elsősorban elektromágneses rezgések esetén) frekvenciamérésre lehet használni. Az ismeretlen frekvenciájú rezgést az egyik lemezpárra kapcsoljuk, és összeadjuk az erre merőleges másik lemezpárra kapcsolt, ismert frekvenciájú rezgéssel. A kapott Lissajous-görbe segítségével az ismeretlen frekvencia kiszámítható. Rezgések felbontása harmonikus rezgések összegére Említettük, hogy egy nem harmonikus, periodikus rezgés felbontható harmonikus rezgések összegére. Ezt úgy képzelhetjük el, hogy különböző körfrekvenciájú és amplitúdójú harmonikus rezgéseket (vagyis szinusz és koszinusz függvényeket) adunk össze, aminek eredményeképpen megkapjuk a nem harmonikus rezgést leíró függvényt. A függvény pontos előállításához egy végtelen sort – ún. Fourier-sort – kell felírnunk, ha azonban közelítő leírással is megelégszünk, akkor véges számú tagból álló összeget is használhatunk. Ez az eljárás fizikailag azt jelenti, hogy egy nem harmonikus rezgést harmonikus rezgések összegeként állíthatunk elő. Az összeg tagjaiban szereplő harmonikus rezgések amplitúdóit és körfrekvenciáit az előállítandó periodikus függvénynek „megfelelően” kell megválasztani. Egy függvénynek Fourier-sorral történő előállítására jól kidolgozott matematikai módszerek állnak rendelkezésre. Ennek részleteivel itt nem foglalkozunk, de szemléltetés céljából bemutatunk egy példát arra, hogy egy periodikus – de nem harmonikus – függvényt hogyan lehet egyre pontosabban előállítani, amint egyre több, megfelelően választott


2005.06.09.

37

harmonikus függvényt adunk össze. A példa egy ún. „négyszög-függvény”, amelynek egy periódusát láthatjuk az ábrán (jelölése: y(x)). Az ábra felső részén vastag vonallal feltüntettük az első közelítésként használt s1 részösszeget, ami egyetlen szinusz függvény. Ez elég durván közelíti a négyszögfüggvényt. Ha ehhez hozzáadunk egy megfelelően választott újabb szinusz-tagot, akkor az így kapott s2 részösszeg már valamivel jobb közelítést ad (ábra középső része, vastag vonal). A harmadik tag hozzáadása után kapott s3 részösszeg láthatóan még jobban közelíti az y(x) függvényt (ábra alsó része, vastag vonal). Az eljárást tovább folytatva, az összeg egyre jobb közelítést ad. A vizsgált példa esetében a teljes sor az alábbi módon írható fel: ∞

∞

k =0

k =0

y( x ) = ∑ s 2 k +1 = ∑ a 2 k +1 sin( 2k + 1 ) x , 4 és k egész szám. ( 2k + 1 )π Ha az előállítandó függvény nem periodikus (rezgések esetén például egy egyszeri kitérés), akkor a fenti eljárással nem tudjuk előállítani, de harmonikus függvények integrálja segítségével ilyenkor is megoldható a feladat. Ez lényegét tekintve csak annyiban különbözik a diszkrét tagokból álló összegzéstől, hogy ilyenkor a harmonikus függvény argumentumában szereplő 2k+1 szám – az előbbi példában 1, 3, 5,… – nem diszkrét értékeket vesz fel, hanem folytonosan változik, és az összegzés helyett a folytonos k változó szerint integrálunk. (Rezgések esetén ez azt jelenti, hogy nem diszkrét körfrekvenciájú harmonikus rezgéseket adunk össze, hanem folytonosan változó körfrekvenciára „összegzünk”, azaz integrálunk). ahol a 2 k +1 =

1

Elektrosztatika 1. Két pontszerű töltés egymástól d=0,5 m távolságban van rögzítve. Mekkora Q1 d Q2 és milyen irányú az elektromos + térerősség a töltések összekötő egyenesében, a negatív töltéstől r=2 m távolságban lévő P pont-ban? (Ql =2·10-6 C; Q2 =-2·10-6 C) (E=1620 V/m, a töltések felé mutat)

P

r

E=?

2. Homogén elektrosztatikus erőtér pontjaiban a térerősség 105 V/m. Mekkora erő hat az erőtérben levő 2·10-8C töltésű kicsi fémgolyóra? Mennyi a golyó gyorsulása, ha tömege 5g? ( F = 2 ⋅ 10 −3 N , a = 0 ,4 m / s 2 ) 3. Síkkondenzátor homogén elektromos erőterében a térerősség 1000 N/C. Az ábra szerinti elrendezés esetén, az AD és BC szakaszok 1 cm hosszúságúak. (a) Mennyi munkát végeznek az D C elektromos erők, ha 5 ⋅ 10 −6 C pozitív töltés az A pontból a C pontba: az ABC; vagy az ADC; vagy közvetlenül az E AC úton mozdul el? (b) Mennyivel kisebb a B; C; D; pontban a potenciál, mint az A pontban? (c) Mennyi a A B kondenzátor lemezei között a feszültség, ha a lemezek távolsága 3 cm? ( W AC = 5 ⋅ 10 −5 J ; B: 0; C,D: 10 V; U=30 V) 4. Mekkora sebességre gyorsul fel vákuumban, homogén elektrosztatikus erőtérben, s úton az eredetileg nyugvó elektromos részecske (m=l0-6 g; Q=10-7 C; E=104 V/m; s=10 cm)? (v=4,47·102 m/s)

Elektromos áram 1. Egy 0,2 cm átmérőjű egyenes fémpálcában 3 A áramerősségű áram folyik. A pálca 1,5 m hosszú, a két vége között a feszültség 40 V. Határozzuk meg (a) az áramsűrűséget, (b) a térerősséget a pálcában, (c) a pálca fajlagos ellenállását! ( j = 9,55·10 5 A/m 2 , E=27 V/m; ρ=2,8·10-5 ohm·m) U

2. Az ábrán látható három ellenállás értéke R1=25 ohm, R2=50 ohm, R3=100 ohm. (a) Mekkora az eredő ellenállás? (b) Mekkora és milyen irányú a három ágban folyó áram, ha a telep feszültsége U=12V? (R=53,8 ohm; I1=0,206 A; I2=0,137 A; I3=0,0685 A)

-

+ R2

R1

R3

3. 120 V-os hálózati áramkörben egy 40 W-os, egy 60 W-os és egy 75 W-os égőt üzemeltetünk. Határozzuk meg ezeknek a fényforrásoknak az eredő ellenállását! (a hálózatban az égőket

2 párhuzamosan kapcsolják!) (R=82 ohm)

U1

4. Határozzuk meg az ábrán látható kapcsolásban I1, I2 és I3 értékét és irányát, valamint az A és B pontok közötti potenciálkülönbséget! Adatok: R1=9,5 ohm, R2=1,4 ohm, U1= 15 V, U2= 10 V, U3= 3 V, Rb1=1 ohm, Rb2=0,5 ohm, Rb3=0,1 ohm. (I1=2A, jobbra; I2=8 A, balra; I3=6 A, jobbra; UBA=+13 V )

I1

-

Rb1

+ U2

I2

+

A

R1

Rb2

U3

I3

B

-

R2

Rb3

+

Mágneses erőtér 1. Egy elektron 5 ⋅ 10 7 m / s sebességgel halad egy 0,5 T indukciójú mágneses erőtérben az indukció vektorra merőlegesen. (a) Mekkora mágneses erő hat az elektronra? (b) Mekkora sugarú körpályán mozog az elektron? Az elektron töltése 1,6 ⋅ 10 −19 C , tömege 9 ,11 ⋅ 10 −31 kg . ( F = 4 ⋅ 10 −12 N , r = 0 ,57 mm )

B

35o

cm

I

16 cm

C

20

2. Számítsuk ki az alábbi ábrán látható vezető különböző szakaszaira ható erőket, ha B = 0 ,15T és a vezetőben folyó áram B I = 5A. (az AB és DE szakaszon: F=0; a BC A szakaszon: F = 0 ,12 N , az ábra síkjára merőlegesen befelé mutat; a CD szakaszon: F = 0 ,136 N , az ábra síkjára merőlegesen kifelé mutat)

D

E

3. 250 menetes, 40 mm sugarú körvezetőben 20 mA áram folyik. Mekkora a mágneses indukció a körvezető közepében? (B= 0 ,785 ⋅ 10 −4 T ) 4. Egy 20 menetes lapos tekercs keresztmetszete 800 mm2, a tekercsben 0,5 A áram folyik. A tekercset lapjával párhuzamos, 0,3 T indukciójú mágneses erőtérbe helyezzük. Határozzuk meg a tekercsre ható forgatónyomatékot. (M= 2 ,4 ⋅ 10 −3 Nm ) 5. Egy 2000 menetes tekercs hossza 0,5 m. A tekercsben 16 A áram folyik. Mekkora a mágneses indukció a tekercs belsejében? (B=0,08 T)

3

Elektromágneses indukció 1. Egy 50 menetes kör keresztmetszetű tekercs sugara 30 cm. A tekercs úgy helyezkedik el, hogy a mágneses indukció vektor merőleges a tekercs síkjára. A mágneses indukció 2 ms alatt 0,1 T-ról egyenletesen 0,35 T-ra nő. Mekkora elektromotoros erő indukálódik a tekercsben? ( ε = 17 ,7V ) 2. A mellékelt ábrán látható áramkört egy fémrúd zárja le, x x x x amely az egymástól l=50 cm-re lévő két fém sínen elcsúszhat. Bbefelé x Az áramkör síkja a B=0,15 T indukciójú homogén mágneses x x x x x erőtérre merőleges. Mekkora erővel lehet a rudat az ábrán l v látható irányba 2 m/s sebességgel húzni, ha az áramkör teljes x x x x x ellenállása 30 ohm? x x x x x ( F = 3,75 ⋅ 10 −3 N ) V

V

V

3. Egy 30 cm hosszú, 2000 menetes tekercs 1,5 cm2 keresztmetszetű légrését vasrúd tölti ki. (a) Mekkora a tekercs önindukciós együtthatója, ha a vas relatív permeabilitása 600? (b) Mekkora átlagos elektromotoros erő indukálódik a tekercsben, ha a tekercsben folyó áram értéke 0,03 s alatt 0,6 A-ről 0,1 A-re csökken? (ε=25 V) 4. Egy 400 menetes tekercsben folyó áram Φ B = 10 −4 W fluxust hoz létre a tekercsben. Számítsuk ki (a) a tekercsben indukált átlagos elektromotoros erőt, ha az áram 0,8 s alatt 0-ra csökken, (b) a tekercs induktivitását, (c) a tekercsben eredetileg tárolt mágneses energiát. ( ε = 0 ,5V , L=002 H, E mágn = 0 ,04 J ) 5. Egy feszültségforrást nem tartalmazó L-C kört állítunk össze úgy, hogy a kondenzátort bekötés előtt 100 V potenciálkülönbségre feltöltjük. Mekkora legyen L és C ahhoz, hogy az áram maximális érétke 10 A, a rezgések frekvenciája pedig 1000 Hz legyen? (L=1,59 mH, C=15,9 µF)

TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló)

1

Hullámtani összefoglaló

A hullám fogalma és leírása A hullám valamilyen (mechanikai, elektromágneses, termikus, stb.) zavar térbeli tovaterjedése. Terjedésének mechanizmusa függ a zavar jellegétől, így például a mechanikai deformáció az anyag részei közti rugalmas kapcsolatok miatt terjed, az elektromágneses zavar terjedése a változó mágneses- és elektromos tér egymást létrehozó hatásán alapul, a termikus zavar terjedésének oka az anyag hővezetése, stb. A hullám általános leírása, a hullámfüggvény

A terjedő zavar adott helyen valamilyen mennyiség időbeli változását jelenti, adott időpillanatban pedig a mennyiség pillanatnyi értéke helyről-helyre más. Emiatt a hullám leírására helytől és időtől függő ún. hullámfüggvény szükséges. Ha a zavar a ψvel jelölt mennyiség változásának tovaterjedésével jár, akkor a zavarterjedés leírására használt hullámfüggvény általános matematikai alakja ψ = ψ ( r , t ) (r annak a pontnak a helyvektora, ahol a zavart vizsgáljuk, t az idő). A zavar lehet vektor-jellegű, amelynek iránya van (pl. elmozdulás), ilyenkor ψ a vektor nagyságát, vagy egyik komponensét jelöli, de lehet skaláris is (pl. hőmérsékletváltozás) Az egyszerűség kedvéért vizsgáljunk egy irányban (pl. az x tengely mentén) terjedő zavart (egydimenziós zavarterjedés). Ha az x = 0 helyen (például a zavar forrásánál) a zavar időbeli változása f(t-x/c) f(t) ψ ( 0 ,t ) = f ( t ) , és a zavar adott c sebességgel terjed a térben, akkor a zavar egy pozitív x helyre t t x tk + = x c x 0 egy negatív x helyre tk+=x/c x tk − = − c késéssel érkezik meg, így az x helyen a zavar időbeli változását a x ψ m ( x ,t ) = f ( t m ) c hullámfüggvény írja le (a "-" jel az x-tengely pozitív-, a "+" jel az x-tengely negatív irányában terjedő hullámot jelent). Ez a hullámfüggvény általános alakja, amely konkrét zavarterjedés esetén meghatározott függvényalakot ölt. A hullámok változatos formái közötti eligazodás kedvéért célszerű a hullámokat csoportosítani. Ezt többféle szempont szerint tehetjük meg, amik közül a legfontosabbak a következők. A hullám lehet a terjedés térbeli viszonyai szerint: – egydimenziós (pl. rugalmas zavar kötélen) – kétdimenziós (pl. hullám vízfelületen) – háromdimenziós (ez a leggyakoribb, pl. hang terjedése egy teremben).

a terjedés és a zavar irányának viszonya szerint:

TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) – –

2

transzverzális hullám (a zavart jellemző vektor iránya merőleges a terjedés irányára, pl. egy húrra merőleges kitérés terjedése a húr mentén) longitudinális hullám (a zavart jellemző vektor iránya párhuzamos a terjedés irányával, pl. egy rugó hosszirányú összenyomásával keltett zavar terjedése a rugó mentén).

a zavar azonos értékeinek megfelelő (azonos fázisban lévő) pontok elhelyezkedése szerint: – síkban terjedő hullámoknál az azonos fázisú helyek egy vonalon vannak, és a hullámokat a vonal alakja szerint is lehet csoportosítani: pl. egyenes hullám, körhullám (utóbbira példa egy vízfelületen egy pontban keltett hullámok terjedése), – háromdimenziós hullámoknál az azonos fázisú helyeknek megfelelő felületek alakja szerint beszélünk síkhullámról, hengerhullámról, gömbhullámról, – a vonal- és síkhullám terjedése egyetlen (az azonos fázisú vonalakra, illetve síkokra merőleges) koordinátával leírható, a kör-, henger- és gömbhullámok a forrástól távol közelítőleg egyenes- illetve síkhullámnak tekinthetők. A harmonikus hullám fogalma és jellemzői

Ha a terjedő zavar időben koszinusz illetve szinusz függvény szerint változik (harmonikus rezgés), akkor – egydimenziós terjedés esetén – a zavarterjedést leíró függvény is ilyen lesz, tehát egy A amplitúdójú, ω körfrekvenciájú harmonikus rezgés c sebességgel történő terjedése a x ⎡ ⎤ ψ ( x ,t ) = A cos ⎢ω ( t m ) + α ⎥ c ⎣ ⎦ hullámfüggvénnyel írható le, ahol α fázisállandó. Az ilyen – állandó amplitúdójú – hullámot harmonikus hullámnak nevezzük. A harmonikus hullám tulajdonságainak megismerésével tetszőleges hullám leírható, mert tetszőleges zavar terjedése felfogható harmonikus hullámok szuperpozíciójaként. A harmonikus hullám terjedésének fontos jellemzője egy kiválasztott fázisú (pl. a zavar maximális értékének megfelelő) hely haladási sebessége a hullámban, amit a hullám fázissebességének nevezünk. Ennek kiszámításához felhasználjuk, hogy adott fázisú hely x koordinátája adott t időben olyan helyen van, amelyre x ω ( t m ) + α = állandó. c Az összetartozó x-t értékpárokra ebből kapjuk: c( állandó − α ) x=m ± ct

ω

Az azonos fázisú helyek sebessége eszerint dx vf = = ±c , dt ahol a "+" jel a pozitív x irányban, a "-" jel a negatív x irányban haladó hullámra érvényes. A fázissebesség tehát azonos a korábban "zavarterjedési sebesség"-ként bevezetett mennyiséggel. Megjegyezzük, hogy egy nem harmonikus zavar (pl. egy rövid pulzus, amit néha hullámcsomagnak neveznek) különböző frekvenciájú harmonikus hullámok szuperpozíciójának tekinthető, vagyis benne különböző frekvenciájú harmonikus hullámok terjednek. Gyakran előfordul, hogy a hullám terjedési sebessége függ a


3

frekvenciától, így az összetevő hullámok fázissebessége eltérő (a jelenséget diszperziónak nevezik). A zavar terjedési sebessége ilyenkor az ún. csoportsebességgel egyezik meg. A hullám másik fontos jellemzője a hullámhossz, ami az adott t időpillanatban azonos fázisban lévő szomszédos pontok távolsága, jelölése λ. Ezt annak felhasználásával kaphatjuk meg, hogy az azonos fázisban lévő helyeken a hullámfüggvény értéke azonos: ψ ( x ,t ) = ψ ( x + d n ,t ) . Ez a harmonikus hullámban a koszinusz függvény argumentumára azt jelenti, hogy x + dn x ω( t − ) + α − ω ( t − ) − α = n 2π c c (n egész szám). Ebből 2πc dn = n = ncT .

ω

A hullámhossz pedig:

λ = d 1 = cT . A hullámhosszal összefüggő, gyakran használt mennyiség a hullámszám (k), aminek definíciója: 2π ω = k= λ c Ezzel az egydimenziós harmonikus hullám egyenlete átírható az alábbi alakba: ψ ( x ,t ) = A cos( ωt − kx + α ) . Hullámok visszaverődése és törése, a Huygens-elv A hullám terjedésére vonatkozó fenti fogalmak akkor használhatók, ha a hullám homogén közegben, állandó sebességgel terjed. Ha egy hullám egy közeg határához ér, akkor a tapasztalat szerint onnan részben visszaverődik, részben pedig behatol a szomszédos közegbe. A hullám terjedésében mindkét esetben változások állnak be. A határon visszaverődő és áthaladó hullámok a határfeltételektől függő fázisváltozást szenvedhetnek a beeső hullámhoz képest (pl. rögzített kötélvégről visszaverődő hullámban a kitérésnek a határon a beeső hullámmal ellentétesnek kell lennie a beeső hulláméval – a fázisváltozás π – mert csak így maradhat ott mindig nulla a kitérés). A határfelületen, nem merőleges beesésnél, általában a hullám terjedési iránya is megváltozik. Ha a hullám egyik közegből átmegy egy másikba, akkor a terjedés körülményei is megváltoznak, és például más lesz a hullám terjedési sebessége. A visszaverődésnél és törésnél bekövetkező irányváltozás törvényei megérthetők a Huygenselv alapján. Eszerint egy hullámfront (az a vonal vagy felület, ameddig a hullám eljutott) minden pontjából elemi r r t+∆t hullámok indulnak ki, és ezek burkológörbéje adja meg a ∆t t r=c∆t idővel későbbi hullámfrontot (ábra). Ennek felhasználásával a hullámok visszaverődésénél és törésénél tapasztalt törvényszerűségek egyszerűen megmagyarázhatók az alábbi ábrák segítségével. A visszaverődést az a) ábrán láthatjuk, ahol egy felületre, a felület normálisával αb szöget bezáró irányban egy síkhullám érkezik. Ezt abban a pillanatban ábrázoltuk, amikor a hullámfront egy pontja éppen eléri a felületet. Az ábrán ∆t idő múlva (amikor a hullámfront egy másik, kiszemelt pontja is elérte a felületet) megszerkesztettük a visszavert hullám hullámfrontját a Huygens-elv segítségével. A hullám haladási iránya a visszaverődés után a


4 1 -- c1

αb αv

αb c1∆t

αb αb

αv

αt

c1∆t

αt 2 -- c2 a)

b)

felület normálisával αv szöget zár be. Az ábráról leolvasható, hogy a beeső és visszavert hullám haladási iránya szimmetrikus a beesési merőlegesre, vagyis αb = αv A b) ábrán az 1 közegbe beeső hullám átmegy a 2 közegbe, ahol haladási irányát a felület normálisával bezárt αt törési szöggel adjuk meg. A két közegben a hullám terjedési sebessége eltérő: c1 és c2. Az új hullámfrontot most a 2 közegben szerkesztettük meg, és ebből kiderül, hogy az új közegbe behatoló (a határfelületen átmenő) hullám törésére érvényes a sin α b c1 = = n21 sin α t c2 összefüggés. Az így bevezetett n21 mennyiség a 2 közegnek az 1 közegre vonatkozó törésmutatója. A hullámterjedés dinamikai leírása, a hullámegyenlet A hullám leírása akkor teljes, ha a hullámfüggvényt a hullámot létrehozó hatások segítségével le tudjuk vezetni, azaz ismerjük a hullámfüggvény meghatározására szolgáló fizikai egyenletet. Ez a hullámegyenlet, amelyet mechanikai hullámok esetén a hullámban elmozduló közeg térfogatelemére felírt mozgásegyenlet segítségével, elektromágneses hullámoknál pedig az elektromágnességtan alapegyenleteiből (Maxwell-egyenletek) kaphatunk meg. Itt részletesebben csak a mechanikai hullámokkal foglalkozunk. Hullámegyenlet mechanikai hullámok esetén

A hullámegyenlet levezetésének alapelve az, hogy a közeg elemi darabjára felírjuk a mozgásegyenletet, és a mennyiségeket a hullámfüggvénnyel fejezzük ki. Ekkor a hullámfüggvényre vonatkozó differenciálegyenletet kapunk. Példaként S keresztmetszetű rugalmas rúdban x-irányban terjedő egydimenziós longitudinális hullámra végezzük el a számolást. A mozgásegyenlet egy dm tömegű térfogatelemre dF = dm ⋅ a x A rúd elemi darabjára ható dF erő a Hooke-törvény segítségével fejezhető ki az elmozdulást megadó hullámfüggvénnyel. Ehhez először írjuk fel az elemi darab ε deformációját (ábra), ami a S x+dx x dψ = ψ ( x + dx , t ) − ψ ( x , t ) . hosszváltozás és az eredeti dx hossz hányadosa, vagyis F(x,t) F(x+dx,t) ∂ψ ( x , t ) ε= ∂x ψ(x,t)

ψ(x+dx,t)


5

A Hooke törvény szerint az erő és a deformáció arányos egymással: ∂ψ ( x , t ) F ( x , t ) = SEε ( x , t ) = SE . ∂x Az elemi darabra ható erő adott időpillanatban ∂F ( x , t ) dF = dF t = F ( x + dx ,t ) − F ( x ,t ) = dx , ∂x ami az erő kifejezése alapján: ∂ 2ψ ( x , t ) dF = SE dx . ∂x 2 A gyorsulás a helykoordináta (itt a hullámfüggvény) második időderiváltja, azaz ∂ 2ψ ( x , t ) ax = . ∂t 2 A vizsgált térfogatelem tömege a ρ sűrűséggel kifejezve: dm = Sdxρ . Így a dF = dm ⋅ a x mozgásegyenlet a hullámfüggvénnyel kifejezve: E ∂ 2ψ ( x , t ) ∂ 2ψ ( x , t ) = . ρ ∂x 2 ∂t 2 Ez a hullámterjedést leíró hullámegyenlet a vizsgált esetben. Ennek megoldása a harmonikus hullámot leíró ψ ( x ,t ) = A cos( ωt − kx + α ) hullámfüggvény is. Behelyettesítés után kapjuk, hogy ez a függvény akkor megoldás, ha a terjedési sebesség E . c=

ρ

A vizsgált esetben tehát a hullámegyenlet a ∂ 2ψ ( x , t ) ∂ 2ψ ( x , t ) = c2 ∂x 2 ∂t 2 alakba írható. Kimutatható, hogy ez az alak nem csak a fenti speciális esetben érvényes, hanem ez az egydimenziós hullámegyenlet általános alakja. Konkrét hullámterjedés vizsgálatánál a hullámegyenlet levezetése során mindig megkapjuk a terjedési sebesség kifejezését az adott esetben. Így pl. F Transzverzális hullám megfeszített húrban: c = (F a húzóerő, S a húr ρS keresztmetszete). K Nyomás- és sűrűséghullám gázban: c = (K a kompressziómodulus, ρ0

ρ0

az átlagos sűrűség).

Nyírási hullám rugalmas rúdban: c =

G

ρ

(G a nyírási modulus)

Gázban és folyadékban gyakorlatilag csak longitudinális hullámok terjednek (nyírófeszültség nem ébred bennük). Szilárd anyagokban longitudinális és transzverzális hullámok is terjednek, és terjedési sebességük eltérő: általában a longitudinális hullámok terjednek gyorsabban.


6

Hullámegyenlet elektromágneses hullámokra

A Maxwell-egyenletekből levezethető, hogy a hullámegyenlet fenti általános alakja elektromágneses hullámok esetén is érvényes, csak ekkor ψ helyébe az elektromos térerősség (E) illetve a mágneses indukció (B) vektor megfelelő komponensei kerülnek, a c terjedési sebesség pedig a fénysebesség. Ebben a hullámban a mágnesesés elektromos tér egymással azonos fázisban változik, és egymásra merőlegesek. Így pl. x-irányban haladó síkhullám esetén az y-tengelyt az elektromos tér irányában felvéve, a mágneses indukció z-irányú lesz, és a hullámot leíró egyenletek: 2 ∂ 2 E y ( x ,t ) 2 ∂ E y ( x ,t ) = , c ∂x 2 ∂t 2 ∂ 2 Bz ( x , t ) ∂ 2 Bz ( x , t ) = . c2 ∂x 2 ∂t 2 A levezetés során kiderül, hogy az elektromágnenses hullám terjedési sebessége 1 c= .

ε 0ε r µ0 µ r

A fenti hullámegyenletnek megfelelő harmonikus hullámban az elektromos- és mágneses tér változásait az alábbi y hullámfüggvények adják meg: Ey E y ( x , t ) = E0 cos( ωt − kx ), B z ( x , t ) = B0 cos( ωt − kx ). A két térmennyiség pillanatnyi értékeit az xtengely mentén az ábra mutatja. Mivel a hullám mind az elektromos- mind pedig a mágneses tér irányára merőlegesen terjed, a hullám terjedési irányát az E × B vektor iránya adja meg.

x Bz

z

Állóhullámok Véges közegben a hullám visszaverődik a közeg határáról, ezért a forrásból kiinduló és a visszavert hullámok találkoznak és interferálnak. Az interferencia eredménye általában bonyolult, időben változó hullámalakzat. A tapasztalat szerint azonban harmonikus hullámok esetén bizonyos feltételek teljesülésekor (pl. egy kötélben indított hullámnál meghatározott frekvenciákon) sajátos, a haladó hullámtól különböző, állandósult hullámalakzatok jöhetnek létre, amelyekben a hullámtér egész tartományai azonos fázisban rezegnek, csak a rezgés amplitúdója változik helyről-helyre. Az ilyen hullámalakzatot állóhullámnak nevezik. Az állóhullám jellemzői a tapasztalat szerint: – helyfüggő amplitúdó – nagyobb térrészre kiterjedő, azonos fázisú rezgés Mivel a hullámegyenlet elvileg minden hullámjelenséget leír, véges közeg esetén az állóhullámnak is ki kell jönni az egyenletből. Egyszerű példaként próbáljuk megoldani a hullámegyenletet egy mindkét végén rögzített, L hosszúságú rugalmas húrban terjedő transzverzális harmonikus hullámra (ábra). Ha a közeg véges, akkor az egyenlet megoldásánál ezt

ψ(0,t)=0 0

ψ(L,t)=0 L

x


7

figyelembe kell venni, ami a határfeltételek megadásával történik. Esetünkben a határfeltételek: ψ ( 0 ,t ) = ψ ( L ,t ) = 0 . Meg kell adni még a kezdeti feltételeket is (a húr kezdeti alakját és pontjainak kezdeti sebességét): ψ ( x ,0 ) = f ( x ) és ∂ψ ( x , t ) = g( x ). ∂t t =0 Az f és g függvények adottak. Keressük az állóhullámokra vonatkozó tapasztalatok alapján a 2 ∂ 2ψ ( x , t ) 2 ∂ ψ ( x ,t ) = c ∂x 2 ∂t 2 hullámegyenlet megoldását az ψ ( x ,t ) = ϕ ( x ) ⋅ cos( ωt + α ) alakban (helyfüggő amplitúdó, helyfüggetlen fázis). Behelyettesítve a hullámegyenletbe, az időfüggő rész kiesik, az amplitúdó helyfüggésére pedig az alábbi differenciálegyenletet kapjuk: d 2ϕ ( x ) + k 2ϕ ( x ) = 0 2 dx Ez az egydimenziós állóhullám-egyenlet. Mivel az egyenlet formailag teljesen azonos a harmonikus rezgőmozgás egyenletével, megoldása is ugyanaz, csak most a változó nem t, hanem x: ϕ ( x ) = A sin( kx + ϕ ) . A ψ(0,t)=0 határfeltétel miatt ϕ =0, így ϕ ( x ) = A sin( kx ) . A ψ(L,t)=0 határfeltétel miatt viszont k értéke nem lehet tetszőleges, hanem csak a

kn = n értékeket veheti fel (n egész szám). Ezzel a hullámegyenlet n-től függő megoldása:

ψ n ( x ,t ) = A sin( n

π

L

π

x ) cos( ωt + α ) . L A határfeltételek miatt a húron kialakuló hullámok frekvenciája és hullámhossza sem tetszőleges, hanem π 2L ω n = k n c = n c illetve λn = . L n Az állóhullám legjellegzetesebb sajátsága az amplitúdó helyfüggése:

ϕ n ( x ) = A sin n

π

amplitúdó x. L A húron az n-től függő számú maximális amplitúdójú ún. duzzadóhely és nyugalomban lévő hely – ún. csomópont – jön létre, a csomópontok közötti részek azonos fázisban rezegnek. Néhány ilyen jellegzetes állóhullám-kép látható a mellékelt ábrán, a mindkét végén rögzített húr esetén. Megjegyzés: a fenti, egyetlen n értékhez tartozó megoldás csak igen speciális kezdeti feltételek mellett valósítható meg (harmonikus gerjesztés). Általában egy húr gerjesztésekor

n=1

n=2

n=3 L


8

bonyolult hullám alakul ki, amely különböző frekvenciájú harmonikus hullámok szuperpozíciója, így az n = 1 értékhez tartozó alapfrekvencia (alaphang) mellett – rendszerint kisebb intenzitással – egyéb lehetséges frekvenciák (az ún. felharmonikusok) is megjelennek. A fentihez hasonló módon tárgyalhatók egyéb peremfeltételek is (pl. egyik végén szabad kötél, zárt és nyitott síp (levegőoszlop), stb. A két- vagy háromdimenziós hullámegyenlettel síkon vagy térben terjedő hullámok által létrehozott állóhullámok is tárgyalhatók. Elektromágneses hullámok esetén is hasonló az eljárás, csak az elektromágneses hullámra érvényes peremfeltételeket kell alkalmazni. Energiaterjedés hullámban

A hullámban energia terjed. Mechanikai (rugalmas) hullám esetén ez a hullámban terjedő rezgés, elektromágneses hullámban pedig a létrehozott elektromágneses tér energiájaként jelenik meg. Részletesebben itt egy longitudinális rugalmas hullám esetét vizsgáljuk meg, a kapott eredmények azonban általánosan érvényesek. Energiaterjedés rugalmas hullámban

Az energia kiszámításához ismét egy elemi térfogatot választunk ki. A térfogatelem mechanikai energiája a mozgási és helyzeti energia összege, ezért először ezeket írjuk fel: 2

2

⎛ ∂ψ ⎞ ⎛ ∂ψ ⎞ ⎟ ∆V ⎟ = 12 ρ ⎜ ⎝ ∂t ⎠ ⎝ ∂t ⎠

∆E m = 12 ∆mv 2 = 12 ρ∆x∆S ⎜

2

⎛ ∂ψ ⎞ ∆E h = Eε ∆x∆S = E ⎜ ⎟ ∆V ⎝ ∂x ⎠ (ρ az anyag sűrűsége, E a Young-modulus). Felhasználva a longitudinális rugalmas hullám terjedési sebességére vonatkozó E ∆x c= → E = ρc 2 1 2

2

1 2

ρ

∆S

összefüggést, azt kapjuk, hogy 2 ⎛ ∂ψ

energia

2

⎞ ∆E h = ρc ⎜ ⎟ ∆V . ⎝ ∂x ⎠ Az összenergia pedig 1 2

x

2 ⎡⎛ ∂ψ ⎞ 2 ⎤ 2 ⎛ ∂ψ ⎞ ∆E = ∆E m + ∆E h = ρ∆V ⎢⎜ ⎟ ⎥. ⎟ +c ⎜ ⎝ ∂x ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣⎝ ∂t ⎠ Az energia térfogati sűrűsége: 2 2 ⎤ ∆E 1 ⎡⎛ ∂ψ ⎞ 2 ⎛ ∂ψ ⎞ w= = 2 ρ ⎢⎜ ⎟ ⎥. ⎟ +c ⎜ ∆V ⎝ ∂x ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣⎝ ∂t ⎠ Harmonikus hullám esetén ψ ( x ,t ) = A cos( ωt − kx + α ) , ezért az energiasűrűség: w = 12 ρ ω 2 A2 sin 2 ( ωt − kx + α ) + c 2 k 2 A2 sin 2 ( ωt − kx + α ) . 1 2

[

]

Felhasználva az ω =kc összefüggést, az energiasűrűségre azt kapjuk, hogy w = ρA2ω 2 sin 2 ( ωt − kx + α ) .


9

Az energiasűrűség adott helyen időben periodikusan változik, adott időpillanatban pedig a helynek periodikus függvénye. A hullámmal adott x helyen áthaladó energiasűrűség időbeli átlaga: T

w‡tl =

1 w( x , t )dt = 12 ρA2ω 2 . ∫ T 0

Az ennek megfelelő energiaáram úgy kapható meg, hogy c ∆t kiszámítjuk adott S felületen, a felületre merőlegesen ∆t c idő alatt áthaladó energiát: ∆E = c∆tSw . S Az átlagos energiaáram ezzel ∆E I= = cSw = 12 ρA2ω 2 cS , ∆t amit gyakran a hullám intenzitásának neveznek. Ennek alapján az átlagos energia-áramsűrűség I j = = 12 ρA2ω 2 c , S azaz j = wc . Mivel az áramsűrűség és a terjedési sebesség iránya azonos, az áramsűrűség vektori formában az alábbi módon adható meg: j = wc . Az átlagos energiasűrűség ennek alapján j ‡tl = w‡tl c = 12 ρA2ω 2 c . Ha egy olyan felületen átmenő energiaáramot akarjuk kiszámítani, amely a terjedési sebességre nem merőleges, akkor egy elemi ∆S felületen átmenő energiaáram ∆I = j∆S , ahol ∆S a felületvektor. Véges S felületen átmenő energiaáram pedig

∆S

∆S

j

I S = ∫ jdS . S

Energia-áramsűrűség elektromágneses hullámban

A fenti általános formulák érvényesek elektromágneses hullámra is, csak ekkor az itt érvényes energiasűrűség kifejezést kell alkalmazni, ami vákuumban welm = ε 0 E 2 (itt E az elektromos térerősség!). Mivel E2 = cE ×B , az áramsűrűség az alábbi alakba írható: jelm = ε 0 c 2E × B . Az E×B vektort, amely az energia terjedési irányát mutatja meg, Poynting-vektornak nevezik.


10

Az energiaáramsűrűség- és az amplitúdó térbeli változása egyszerű esetekben

Az energia-áramsűrűség és ezzel együtt a hullám amplitúdója változhat geometriai okokból és a közegben történő energiaveszteségek (elnyelés) miatt.

Amplitúdócsökkenés gömbhullámban Pontforrásból kiinduló hullám esetén mindig fellép egy geometriai jellegű áramsűrűség-változás, aminek az az oka, hogy ugyanaz az energiaáram a terjedés során egyre nagyobb felületen oszlik el. Gömbhullám esetén a forrásból kisugárzott állandó I0 energiaáramot (intenzitást) és homogén, izotróp közeget feltételezve, a forrástól r távolságban lévő helyen az áramsűrűség és az áram összefüggése: I 0 = j 4r 2π . Mivel elnyelést nem tételezünk fel, az áramsűrűségnek, és így a hullám amplitúdójának az I 0 = j( r )4 r 2π = 12 ρA2 ( r )ω 2 c4 r 2π = állandó összefüggés miatt a forrástól mért r távolsággal fordított arányban kell változnia: 1 A( r ) ∝ . r Hasonló meggondolásokkal kapjuk, hogy egy pontforrásból kiinduló felületi körhullámban (pl. vízhullám) az amplitúdó helyfüggése 1 A( r ) ∝ r jellegű.

Amplitúdócsökkenés elnyelés miatt Az áramsűrűség változásának másik lehetséges oka, hogy a közeg a hullám energiájának egy részét elnyeli. Ilyenkor maga az energiaáram, azaz a hullám intenzitása is változik. Ha az enrgiaveszteség nem túl nagy, akkor egy x-irányban terjedő síkhullámban dx hosszúságú szakaszon való áthaladás közben az intenzitás változása arányos a szakasz hosszával és az eredeti intenzitással: dI = I ( x + dx ) − I ( x ) = − µIdx . Ebből azt kapjuk, hogy dI = − µdx , I I ( x ) = I 0 exp( − µx ) (I0 az intenzitás az x = 0 helyen). Mivel az intenzitás arányos az amplitúdó négyzetével, ez azt jelenti, hogy a hullám amplitúdója az elnyelés következtében az alábbi módon csökken: A( x ) = A0 exp( − (Itt bevezettük a β = µ/2 jelölést.)

µ 2

x ) = A0 exp( − βx ) .

1

Elektromágneses hullámok, a fény Az elektromos töltéssel rendelkező testeknek a töltésük miatt fellépő kölcsönhatását az elektromos és mágneses tér segítségével írhatjuk le. A kölcsönhatás úgy működik, hogy egyrészt minden töltés maga körül elektromágneses teret hoz létre, másrészt az elektromágneses tér a töltésekre erőt fejt ki. Így azt mondhatjuk, hogy két töltött test kölcsönhatása az elektromágneses tér közvetítésével valósul meg. Az elektromágneses tér létrehozásához munkát kell végezni, amely munka révén a létrehozott elektromágneses térben energia halmozódik fel. Tudjuk, hogy az elektromágneses tér időbeli változása a térben meghatározott sebességgel (ez a fénysebesség, amely vákuumban c = 3⋅108 m/s) tovaterjed: elektromágneses hullám jön létre, ami energiát visz magával, az elektromágneses tér energiájának sajátos transzportja jön létre. Az elektromágneses hullám energiaszállító képességére utal az elektromágneses sugárzás elnevezés. Egy hozzánk képest nyugvó elektromos töltés elektromos teret, egyenletesen mozgó töltés elektromos és mágneses teret hoz létre maga körül. Kimutatható, hogy a fenti két esetben a tér és a benne felhalmozott energia a töltéstől nem szakítható el, mintegy hozzá van láncolva. Ha azonban a töltés gyorsul, akkor a körülötte kialakuló, időben változó elektromágneses tér elektromágneses hullámot kelt, amely a töltésről leszakadva a térben tovaterjed, és energiát visz magával: a gyorsuló töltés elektromágneses sugárzást bocsát ki magából. Természetesen a hétköznapi értelemben lassulónak nevezett töltés is sugároz, aminek közismert megnyilvánulása a fékezési röntgensugárzás létrejötte: nagysebességű elektronok egy fémtömbbe ütközve lefékeződnek és elektromágneses sugárzást (röntgensugárzást) bocsátanak ki (ezt a jelenséget használják ki a röntgensugárzás létrehozására a röntgenkészülékekben). Elektromos töltéssel rendelkező testek azonban nemcsak sugározni képesek, hanem a rájuk eső elektromágneses sugárzást el is nyelhetik. Ha ugyanis az anyag egy töltött részecskéjét elektromágneses sugárzás éri, akkor a sugárzás elektromágneses tere a tér által a töltésre ható erő révén a részecskét felgyorsítja, miáltal a test a ráeső sugárzás egy részét elnyeli (abszorbeálja). A fenti két folyamat teszi lehetővé, hogy két test kölcsönhatásba léphet egymással úgy is, hogy az egyik a másiknak elektromágneses sugárzás formájában energiát ad át. Ennek a jelenségnek számos konkrét példáját ismerjük. Az elektromágneses sugárzás útján történő energiaátadás közismert példája az elektromágneses hullámokkal megvalósított távközlés (rádió, TV): egy rádióadóban pl. a továbbítandó elektromos jellel (váltakozó áram) rezgőmozgásba (gyorsuló mozgás) hozzák az adóantenna elektronjait, amelyek ennek megfelelő elektromágneses sugárzást bocsátanak ki. Ennek a sugárzásnak egy része eléri a vevőkészülék antennáját, és a benne lévő elektronokat a sugárzás elektromos tere rezgésbe hozza. Az elektronoknak ez a rezgőmozgása (váltakozó áram) azután a vevőkészülékben létrehozza a leadott jelnek megfelelő elektromos jelet. A sugárzásos energiaátadás másik, közismert példája a korábban már említett hőmérsékleti sugárzás kibocsátása és elnyelése. Tapasztalati tény, hogy az anyagok a hőmérsékletüktől függően különböző hullámhosszú elektromágneses sugárzást bocsátanak ki magukból, s a rájuk eső sugárzás egy részét elnyelik. A klasszikus, de már bizonyos anyagszerkezeti ismereteket is felhasználó elgondolás szerint ez az elektromágneses sugárzás úgy jön létre, hogy az atomokat vagy molekulákat alkotó töltött részecskék a hőmozgás hatására rezgésbe jönnek, s a töltéseknek ez a (gyorsuló) mozgása kelti az elektromágneses sugárzást. Az ilyen sugárzás frekvenciája a rezgő rendszer frekvenciájával azonos. Ha ez a sugárzás egy másik

2

testre esik, akkor a sugárzás elektromágneses tere rezgésbe hozza a töltött részecskéket, és így a sugárzásban terjedő energia egy része a rezgés energiájává alakul: az anyag elnyeli azt. Az életünkben teljesen természetesnek számító látható fény, az orvosi gyakorlatból ismert röntgensugárzás és a sokat emlegetett veszélyforrás, a gamma sugárzás ugyancsak elektromágneses sugárzás. A különböző körülmények között létrejött elektromágneses sugárzások lényegében a kibocsátott hullám hullámhosszában (frekvenciájában) térnek el egymástól, és ez eredményezi azt, hogy az anyaggal való kölcsönhatásaik, az anyagra gyakorolt hatásaik is eltérőek. A mellékelt ábrán vázlatosan bemutatjuk az elektromágneses sugárzás hullámhossz szerinti felosztását, az ún. elektromágneses spektrumot. frekvencia (Hz)

1024

1021

1018

gamma

1015 UV

röntgen

1 GHz

1 MHz

1 kHz

1 Hz

109

106

103

1

AM

hosszú

1012 IR

látható

mikro

FM TV

10-15

10-12

10-9

1 fm

1 pm

1 nm

10-6 1 µm

10-3 1 mm

1

103

1m

1 km

106

109

hullámhossz (m)

A fény sajátságai és terjedése

A fény szűkebb értelemben az elektromágneses spektrumnak az a része, amelyet az emberi szem érzékelni képes. Tágabb értelemben ide sorolják a tartományhoz közvetlenül csatlakozó hosszabb hullámhosszú infravörös- és a rövidebb hullámhosszú ultraibolya sugárzást is. Az emberi szem érdekes sajátsága, hogy a különböző hullámhosszú fényt különböző színűnek észleli. A klasszikus felfogás szerint a fény hullámként terjed, tehát érvényesek rá mindazok az általános törvények, amelyek a hullámokra érvényesek. A fénynek azonban vannak, elektromágneses jellegével és a hullámhosszával összefüggő, speciális tulajdonságai is. A fény egy anyagban terjedve, és egy határfelülethez érve részben behatol az új anyagba, részben pedig visszaverődik a határfelületről. Vannak anyagok amelyekbe a fény gyakorlatilag nem tud behatolni, mert a határfelületeikről a fénysugárzás nagyobb része visszaverődik (tükrök), vagy igen rövid távolságon belül elnyelődik. Az anyagok egy része a fényt többé-kevésbé átereszti, ezeket az anyagokat legtöbbször átlátszó anyagoknak nevezzük. A fény és anyag kölcsönhatása általában függ a fény hullámhosszától, így egy anyag bizonyos hullámhosszakra lehet áteresztő, más hullámhosszakat viszont elnyel (üvegház-hatás). A fény terjedésének vizsgálatánál sohasem végtelen hullámfrontú hullámot használunk, hanem a hullámfront kiterjedését valamilyen módon (pl. résekkel)

3

korlátozzuk és véges keresztmetszetű fénynyalábbal dolgozunk. Ha nincsenek elhajlásjelenségek, akkor az ilyen fénynyaláb nem szélesedik ki, tehát a terjedés során ugyanaz a nyaláb jelenik meg mindenütt. Ilyenkor a nyalábból kiválasztható egy végtelenül vékony rész-nyaláb, és ennek terjedésével is jellemezhetjük az egész nyaláb terjedését. Az ilyen igen vékony, vonalszerű nyaláb-részletet fénysugárnak nevezzük, és gyakran a fényterjedést ilyen fénysugarak segítségével ábrázoljuk. Visszaverődés és törés

A határfelületre való érkezésnél a fény terjedési irányára érvényesek az általános törési és visszaverődési törvények, vagyis a felületről visszaverődő fényre a már tárgyalt αb =αv visszaverődési törvény (αb a beesési- αv a visszaverődési szög), a törésre pedig a sin α b c1 = = n 21 sin α t c 2 összefüggés (αt a törési szög, c1 és c2 a két közegbeli terjedési sebességek). Az n21 mennyiség a 2 közegnek az 1 közegre vonatkozó relatív törésmutatója, ami tehát két anyagra jellemző mennyiség. Egy anyagra jellemző mennyiséget kapunk, ha a törésmutatót egy referencia-anyagra vonatkoztatjuk. A vákuumra vonatkozó törésmutatót az illető anyag abszolút törésmutatójának (vagy egyszerűen a törésmutatójának) nevezzük, és a közeg sorszámával jelöljük (n1 és n2): n c c n1 = , és így n21 = 2 . n2 = c1 c2 n1 A vákuumra vonatkozó törésmutató csak igen kevéssé különbözik a levegőre vonatkozó törésmutatótól, ezért törésmutatóként gyakran a levegőre vonatkoztatott törésmutatót használják. A fentiek alapján könnyen belátható, hogy a relatív törésmutatóra érvényes az 1 n12 = n 21 összefüggés. Két anyag összehasonlításakor a nagyobb törésmutatójú anyagot optikailag sűrűbbnek, a másikat optikailag ritkábbnak nevezik.

A visszaverődés és törés törvényein alapszik a geometriai optika, ezek teszik lehetővé számos optikai eszköz (pl. lencsék-, tükrök képalkotása, összetett optikai eszközök) működésének megértését illetve eszközök tervezését. Teljes visszaverődés A törés érdekes esete, amikor a fény optikailag sűrűbb közegből megy optikailag ritkább közegbe. Ekkor a törési szög nagyobb, mint a beesési szög (az ábrán az aa’ sugár), így előállhat az az eset, hogy a beesési szög egy 900-nál kisebb αh értékénél a törési szög eléri a 900-ot (b-b’ sugár). Az αb ≥ αh beesési szögekre a törési törvény nyilván nem érvényes, ezért ilyenkor a fény továbbhaladásának irányát kísérletileg kell megvizsgálni. A kísérletek szerint ekkor a

a b

c

αb>αh v1 v2>v1

αh ϑb

ϑ'v=ϑ'b

c' b'

αt,h=900

αt

a'

4

határfelület tükörként működik, és a fény a visszaverődés törvénye szerint a felületről visszaverődik (c-c’ sugár). Ezt a jelenséget teljes visszaverődésnek, az αh szöget pedig a teljes visszaverődés határszögének nevezik. Erre a szögre a törési törvény szerint a sin α h = n 21 összefüggés áll fenn. A teljes visszaverődésen alapul a napjainkban nagyon fontos szerepet játszó, speciális n2 hullámvezetők, az optikai szálak működése. Ha egy fényáteresztő vékony szál (rendszerint n1 üveg) abszolút törésmutatója nagyobb, mint a környező anyag törésmutatója, és a szál elég vékony, akkor a bevezetett fény a szál falain n1>n2 mindenütt teljes visszaverődést szenved, és nagyon kevés veszteséggel halad végig a szálon (ábra). A kis veszteség mellett az optikai szál fénysugár további előnye, hogy a fény haladási iránya viszonylag szabadon változtatható (túl nagy görbület esetén előfordulhat, hogy a teljes visszaverődés feltétele nem teljesül). Szálak segítségével optikai kép is továbbítható. Ezen alapulnak pl. az orvosi gyakorlatban használt száloptikai vizsgáló eszközök. Fénypolarizáció visszaverődésnél és törésnél, a Brewster-törvény

A fény transzverzális hullám, hiszen benne a változó elektromos és mágneses tér a terjedési irányra merőleges. Az anyaggal való y kölcsönhatást gyakran az is befolyásolja, hogy a E beeső fényhullámban az anyag felületéhez viszonyítva hogyan áll az elektromos (E)- illetve mágneses (B) tér iránya, ezért a fény teljes x jellemzésére ezt is meg kell adni. Mivel a két térerősség a hullámban egymásra merőleges (ábra), B elég csak az egyiknek az irányát ismerni. A z gyakorlatban mindkét tér irányát használják jellemzőként: az elektromos tér és a terjedési irány (az ábrán az x-tengely) által meghatározott síkot a fény rezgési síkjának, a mágneses tér és a terjedési irány síkját a fény polarizációs síkjának nevezik. A közönséges fényforrásokkal előállított fényben mindenféle polarizációs sík egyenlő gyakorisággal fordul elő. Az ilyen fényt természetes vagy nem poláros fénynek nevezzük. Ezzel szemben például a lézerrel előállított fényben majdnem teljesen egy irányba rendezett polarizációs síkú hullámok terjednek, az ilyen fényt síkban poláros fénynek nevezzük. A polarizáció síkjának helyzete fontos szerepet játszik a fényvisszaverődésnél. A tapasztalat azt mutatja, hogy egy szigetelő határfelületre (pl. levegőből üvegbe) érkező nem poláros fényhullám a visszaverődés és törés után részben polárossá válik. A visszavert hullámban nagyobb intenzitású a beesési síkra merőleges (vagyis a határfelülettel párhuzamos) rezgési síkú összetevő, az áteresztett, megtört hullámban pedig nagyobb intenzitású a beesési síkba eső rezgési síkú összetevő. Az alábbi a) ábra a polarizáció tényét szemlélteti (az egyes összetevők intenzitásai itt nem láthatók), a nyilak a beesési síkkal párhuzamos térerősségvektort (rezgési síkot) jelzik, a pontok az erre merőleges térerősségvektorokat szemléltetik. A tapasztalat szerint a polarizáció foka függ a beesési szögtől.

5

D. Brewster megállapítása szerint a beesési szög változtatásával mindig lehet találni egy olyan speciális beesési szöget ( α Br ), amelynél a visszavert fényben csak a határfelülettel párhuzamos térerősségkomponens marad meg. Ez az a beesési szög, amelynél a visszavert és megtört sugár egymásra merőleges (b) ábra), vagyis a törési törvény szerint

αBr αBr 90o

αt

a)

b)

sin α Br sin α Br sin α Br sin α Br = = = = n 21 , sin α t sin( 180 − α Br − 90 ) sin( 90 − α Br ) cos α Br vagyis

tgα Br = n 21 . Ez a Brewster-törvény, amely elméletileg is értelmezhető, és az egyes összetevők intenzitása is meghatározható. Ez a törvény lehetőséget ad lineárisan poláros fény előállítására, bár a poláros, visszavert sugárzás intenzitása nem túl nagy (levegő-üveg határfelületnél mintegy 15%). A megtört sugárban túlsúlyban van a beesési síkba eső rezgési irány, de a merőleges rezgésirány is jelen van. A beesési síkba eső rezgési irány hányada több rétegen való töréssel jelentősen megnövelhető. A fényterjedés függése a frekvenciától, diszperzió, a színképelemzés alapelve.

A fény és anyag kölcsönhatása általában többé-kevésbé függ a fény frekvenciájától, így a fény terjedési sebessége is frekvenciafüggő. Ezt a jelenséget diszperziónak nevezzük. A diszperzió egyenes következménye, hogy a törésmutató is függ a fény frekvenciájától (n21=n21(ν)), ezért a törési törvény szerint egy határfelületre adott beesési szöggel érkező fény törési szöge - tehát haladási iránya a törés után különböző frekvenciájú fénysugaraknál más és más lesz: sin α b sin α t ( ν ) = . n21 ( ν ) Ez a jelenség számos problémát okoz a fényt felhasználó eszközökben, van azonban egy haszna is, segítségével ugyanis ugyanabban a nyalábban terjedő, különböző frekvenciájú (hullámhosszú) fényhullámok szétválaszthatók, sőt frekvenciájuk (hullámhosszuk) is megmérhető. Ehhez a fénynyalábot olyan határfelületen kell átvinni, ahol a nyaláb megtörik. A leggyakrabban használt ilyen eszköz a prizma (ábra). A prizmára beeső fény két törés után 2 lép ki a prizmából, így az effektus λ + λ 1 2 megkettőződik. A beeső keverék-fénynyaláb a prizma másik oldalán frekvencia λ1> λ2 n21>1 (hullámhossz) szerint (látható fény esetén 1 1 színek szerint) különböző helyen jelenik meg λ2 az ernyőn. A keverék színeknek ilyen módon szétválogatott sorozatát színképnek vagy spektrumnak nevezzük. Ha ismert hullámhosszakkal a prizma eltérítését előzőleg kalibráltuk, akkor ismeretlen hullámhosszú fény hullámhosszát meghatározhatjuk annak alapján, hogy hova térül el

6

a prizmán való áthaladás után. Ezen a módon a keverék színekből álló hullámhosszakat számszerűen is meg tudjuk határozni. Ezt az eljárást színképelemzésnek, az erre szolgáló eszközt pedig spektrométernek (ábra) nevezzük. Speciálisan a prizma eltérítésén alapuló spektrométer neve: prizmás spektrométer.

ϑ

T

P

K

F

A színképelemzés más módon is megvalósítható. Láttuk, hogy egy rácson áthaladó hullám periodikus intenzitáseloszlást hoz létre a rács mögött, amelynél az intenzitásmaximumoknak a beeső nyaláb egyeneséhez viszonyított iránya (ϑn) szintén függ a hullámhossztól (λ): d sin ϑ n = nλ . Megfelelő d rácsállandójú optikai rácson áthaladva, a különböző hullámhosszú fénysugarak különböző helyeken adnak intenzitás-maximumokat. Az optikai rács felhasználásával készülnek a rácsspektrométerek. A közönséges fényforrások által kibocsátott fény gyakorlatilag minden fényhullámhosszt tartalmaz, ilyenkor a színkép minden színt tartalmazó, a vöröstől az ibolyáig folytonosan változó színű folt (alakja a prizmára vagy rácsra eső fénynyaláb alakjától függ). Az ilyen színképet folytonos színképnek nevezzük. Vannak azonban olyan fényforrások is, amelyek csak meghatározott hullámhosszú fénysugarakat bocsátanak ki (pl. felhevített gázok, lézer). Az ilyen fényforrás színképe rendszerint egymástól jól elkülönülő színes vonalakat tartalmaz, ezért az ilyen színképet vonalas színképnek nevezik (vonalak azért láthatók, mert a fény rendszerint egy résen át jut be a spektrométerbe, és a rés vonalszerű képe jelenik meg az ernyőn - minden jelenlévő színben, különböző helyen).

1

Hullámok találkozása, interferencia Ha a tér egy pontjában két hullám van jelen, akkor hatásuk ott valamilyen módon összegződik. A hullámok összeadódását interferenciának nevezzük. Mi az interferencia eredménye? Ha a szuperpozíció elve érvényes (és szélsőséges esetektől eltekintve általában érvényes), akkor adott helyen (r), a hullámok által okozott változás (ψ) minden időpillanatban (t) a két hullám által külön-külön okozott változások eredője, vagyis a két hullámfüggvény egyszerűen összeadható:

ψ ( r , t ) = ψ 1 ( r ,t ) + ψ 2 ( r , t ) . Két pontforrásban keltett gömbhullám interferenciája

Általános következtetések levonására is alkalmas példaként vizsgáljuk meg két pontforrásból induló (ábra), azonos frekvenciájú, harmonikus gömbhullám vagy körhullám (pl. P vízhullámok) interferenciáját. A két hullám r1 r2 hullámfüggvénye: ψ 1( r1 ,t ) = A1 cos( ωt − kr1 )

ψ 2 ( r2 ,t ) = A2 cos( ωt − kr2 + ϕ ) O1 O2 (ϕ időben állandónak feltételezett fázisszög). Az eredő hullám a P pontban a szuperpozíció elve szerint: ψ ( P ,t ) = ψ 1( r1 ,t ) + ψ 2 ( r2 ,t ) . Ez áttekinthetőbb alakban írható fel, ha felhasználjuk a rezgések összegzésénél használt összefüggést: A1 cos( ωt + α 1 ) + A2 cos( ωt + α 2 ) = A cos( ωt + α ) ahol A = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos( α 2 − α 1 ) A1 sin α 1 + A2 sin α 2 . A1 cos α 1 + A2 cos α 2 Most az α1 = -kr1 és α2 = -kr2 + ϕ fázisszögek adott helyen állandók, így α is az. Ezzel az eredő hullám: tg α =

ψ ( P, t ) = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(kr1 − kr2 + ϕ ) ⋅ cos(ωt + α ) , A P pontban tehát ω körfrekvenciájú harmonikus rezgés lesz (a kifejezés második tényezője), amelynek az amplitúdója (az első tényező) azonban a helytől függ: A = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos( kr1 − kr2 + ϕ ) = A( P ) = A( r1 , r2 ) . Az amplitúdó maximális lesz akkor, ha a négyzetgyök alatti kifejezés maximális, vagyis ha a cos értéke éppen +1. Ekkor Amax = A1 + A2 lesz, vagyis a két hullám amplitudója összeadódik. A cos függvény tulajdonságaiból következik, hogy maximális amplitúdó ott alakul ki, ahol kr1 − kr2 + ϕ = ± n 2π , vagyis a két hullám ∆s max = r1 − r2 útkülönbsége:

2

ϕ λ (n = 0, 1, 2, 3, ...). 2π Hasonlóan belátható, hogy a minimális amplitúdó Amin = A1 - A2, amely azokon a helyeken jön létre, ahol λ ϕλ (n = 0, 1, 2, 3, ...). ∆smin = ±( 2n + 1 ) − 2 π 2 ∆smax = ± nλ −

Ha a hullámok között nincs fáziskülönbség (ϕ=0), akkor a két feltétel egyszerűbben megfogalmazható: maximális amplitúdó ott jön létre, ahol a két hullám ∆s útkülönbsége a hullámhossz egész számú többszöröse: ∆s max = ± nλ minimális amplitúdó pedig ott, ahol az útkülönbség a félhullámhossz

λ ∆smin = ±( 2 n + 1 ) . 2 Az eredő hullám amplitúdójának helyfüggésére vonatkozó összefüggést négyzetre emelve az A2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos( kr1 − kr2 + ϕ ) összefüggést kapjuk. Mivel a hullám által szállított energiát jellemző I intenzitás (energiaáram) az amplitúdó négyzetével arányos, amplitúdó I = C ⋅ A2 , I 1 = CA12 , I 2 = CA22 . Ezeket az összefüggéseket figyelembe véve fenti egyenletből az intenzitásokra az alábbi összefüggést kapjuk: I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos( kr1 − kr2 + ϕ ) . Az interferenciánál tehát az eredő hullám I O1 O2 intenzitása nem egyszerűen az interferáló hullámok I1 és I2 intenzitásainak összege, hanem megjelenik egy – a helytől és a hullámok fáziskülönbségétől maximum függő – ún. interferencia-tag. Ha a ϕ fáziskülönbség időben állandó, akkor a fenti minimum egyenletekből azt kapjuk, hogy a maximális és minimális amplitúdójú (intenzitású) helyek egy-egy időben állandó helyzetű hiperbola-seregen helyezkednek el (ábra). Másrészt az intenzitás helyfüggése a két hullámforrást összekötő egyenessel párhuzamos bármely egyenes mentén maximumok és minimumok sorozatát mutatja (ábra). Az állandó fáziskülönbségű hullámokat koherens hullámoknak nevezik, és koherens hullámok interferenciájánál általánosan is igaz, hogy az interferencia jellegzetes térbeli intenzitás (amplitúdó)-eloszlást ún. interferenciaképet eredményez. Ez a hullámok egyik legjellegzetesebb tulajdonsága. Ha a ϕ fáziskülönbség időben változik, azaz ϕ=ϕ(t), akkor adott helyen (r1, r2) a találkozó hullámok interferenciájának intenzitás-eloszlása is függni fog az időtől I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos(kr1 − kr2 + ϕ ( t )) = I ( r1 , r2 ,t ) , így az intenzitás-eloszlás állandóan változik, és nem figyelhető meg állandósult interferenciakép. Ha a fáziskülönbség minden szabályszerűség nélkül, véletlenszerűen és a megfigyelő reakcióidejéhez képest gyorsan változik, akkor a megfigyelő az átlagos intenzitást észleli. Mivel ekkor az interferencia-tagban szereplő cos(kr1 − kr2 + ϕ ( t )) időbeli átlaga nulla, a megfigyelt intenzitás a két hullám intenzitásának összege lesz: I = I 1 + I 2 . Ilyenkor interferenciakép helyett egyenletes intenzitás-eloszlást észlelünk. (Ez az oka annak, hogy két közönséges lámpa fényének interferenciáját nem észleljük: a lámpák fényében a hullámok fáziskülönbsége véletlenszerűen változik.

páratlan számú többszöröse:

3

Sok pontforrásban keltett hullámok interferenciája

Sok pontforrásból induló azonos amplitúdójú gömbhullámok interferenciáját abban az egyszerű esetben vizsgáljuk, amikor a pontforrások egy egyenes mentén egymástól azonos a távolságban helyezkednek el, nincs közöttük fáziskülönbség, és az interferenciát a forrásoktól nagyon nagy (elvileg végtelen) távolságban vizsgáljuk (ábra). Ilyenkor az egyes pontokból kiinduló hullámok akkor erősítik egymást, ha az útkülönbségük a hullámhossz egész számú többszöröse. Az ábrából látható, hogy ez olyan irányokban ϑ teljesül, amelyekre fennáll, hogy a ∆s n = a sin ϑ n = nλ , ∆s=a sinϑ azaz λ sin ϑ n = n . a Mivel a hullámok amplitúdója azonos, a maximális amplitúdó – a két pontforrás esetéhez hasonlóan – az egyes amplitúdók összege lesz. Ha N számú, A amplitúdójú pontforrás van, akkor Amax=NA, ennek megfelelően a maximális intenzitású irányokban az intenzitás I max = N 2 I , ahol I az egyes forrásokból érkező hullámok intenzitása. A maximális intenzitású irányok között minimális (esetünkben nulla) intenzitások találhatók, így a pontforrásokat összekötő egyenessel párhuzamosan haladva – a két pontforrás esetéhez hasonlóan – periodikus térbeli intenzitásváltozásokat észlelünk. Az a sin ϑ alábbi ábrán a különböző n = értékekhez tartozó maximális intenzitások λ láthatók különböző számú (N) pontforrás esetén.

Az intenzitás-eloszlás részletesebb vizsgálatából ugyanis kiderül, hogy a tárgyalt ún. főmaximumok között jóval kisebb intenzitású mellékmaximumok is vannak. Ezek intenzitása a források számának növelésével csökken: a fenti ábra mellékmaximumok nélküli eloszlását igen nagy számú forrás esetén kapjuk. Az interferencia látványos megnyilvánulása az, hogy vékony hártyákról (pl. olajréteg a víz felületén) visszaverődő fényben színes csíkokat látunk. Ezt a hártya két oldaláról visszaverődő fényhullámok interferenciája okozza (ábra): a

4

hártyáról a szemünkbe érkező b és d fényhullámok között útkülönbség van, ami adott hullámhossznál, a hártyára megfelelő szög alatt nézve, erősítést jelent az adott hullámhosszra. A hártya különböző pontjairól – tehát különböző szög alatt – a szemünkbe érkező fénynél az erősítés feltétele (az útkülönbség a hullámhossz egész számú többszöröse) különböző hullámhosszakra teljesül. Ezért látunk különböző színű sávokat.

Hullámelhajlás, a Huygens--Fresnel-elv Ha egy hullám réseken halad át vagy akadályok szélénél halad el, akkor olyan jelenségek figyelhetők meg, amelyek a fényre vonatkozó hétköznapi tapasztalatokkal ellentmondásban állnak. Így pl. a keskeny résen áthaladó fény nem az ismert árnyékjelenséget hozza létre, hanem behatol az akadály mögötti térbe is. Ezt a jelenséget fényelhajlásnak – általánosabban, nem csak a fényhullámokra vonatkoztatva – hullámelhajlásnak vagy diffrakciónak nevezik. Ilyen ún. elhajlásjelenségeket mutat az alábbi ábra. d>>λ

d≈λ

d<<λ

Az elhajlásjelenségek a Huygens-elvvel már nem értelmezhetők: az árnyékjelenség és a hullám részleges behatolása az árnyéktérbe csak úgy magyarázható, ha az új hullámfrontot nem az elemi hullámok burkolójaként értelmezzük, hanem az elemi hullámok interferenciájából számítjuk ki. Ez a Huygens--Fresnel-elv. Ilyen számításokból kiderül, hogy az árnyékjelenség oka az, hogy az elemi hullámok a rés túloldalán az "árnyéktérben" – a rés méretétől függő mértékben – kioltják egymást. Diffrakció hosszú, keskeny résen

A diffrakciót első példaként egy keskeny résen áthaladó hullám esetén vizsgáljuk meg (ábra). Itt tulajdonképpen arról van szó, hogy a réshez megérkező hullámfront minden pontjából kiinduló elemi gömbhullámok interferenciáját vizsgáljuk meg, és ismét feltételezzük, hogy az interferencia eredményét a réstől nagyon távoli pontokban szemléljük. A számítást az nehezíti, hogy végtelen sok pontforrás interferenciáját kell figyelembe venni, de a minimális intenzitásnak megfelelő irányok (ezekben az elemi hullámok gyengítik egymást) viszonylag egyszerűen meghatározhatók. A számítás végeredménye az, hogy minimális intenzitás olyan irányokban jön létre, amelyekre fennáll a b sin ϑ = n ′λ összefüggés, ahol b a rés szélessége, n' pedig egész szám ( n ′ ≠ 0 ). Az n ′ = 0 irányban nyilván maximum van, hiszen ebben az irányban a hullámok között nincs útkülönbség, a fenti egyenlet által megadott minimumhelyek között pedig további maximumok vannak, amelyek a főmaximumtól távolodva egyre kisebbek. A

5

mellékelt ábrán az egyes n' értékekhez I tartozó intenzitások láthatók, amelyek a fenti összefüggésnek megfelelő irányokban jelennek meg. Ha tehát egy keskeny (a hullámhosszal összemérhető szélességű) résen áthaladt fényt egy ernyőre ejtjük, -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 akkor az ernyőn középen erős világos n'=b⋅sinϑ/λ csíkot, ennek két oldalán pedig egymástól sötét csikkal elválasztott, egyre halványabb világos csíkokat látunk. A diffrakciós rács

Gyakorlatilag is fontos eset az, amikor a hullám egymástól áthatolhatatlan akadályokkal elválasztott rések sorozatán – ún. rácson – halad át. Az (a) ábra felülnézetben, a (b) ábra pedig oldalnézetben mutat egy rácsot. A rések egymástól

mért távolsága a, amit rácsállandónak neveznek, a rések szélessége b. A rácson áthaladt hullámban a ráccsal párhuzamos, a résekre merőleges irányban kialakuló intenzitás-eloszlást itt is az egyes résekből jövő elemi hullámok interferenciája adja meg. A részletes számolást nem végezzük el, csak a végeredményt értelmezzük kvalitatív módon. A különböző rések azonos helyzetű pontjaiból (pl. a rések tetejéről) kiinduló hullámokat páronként megvizsgálva (ábra), az erősítés feltétele az, hogy a hullámok közötti útkülönbség a hullámhossz egész számú többszöröse ϑ a legyen: ∆s = nλ . Az ábra jelöléseivel ez azt jelenti, hogy – a pontforrások interferenciájához hasonlóan – a a sin ϑ n = nλ (n = 0 ,±1,±2 ,....) feltételnek kell teljesülni. Ez a pontforrás-szerű ∆s=a sinϑ interferencia (a a rések távolsága!) periodikus intenzitáseloszlást eredményezne, a feltételnek megfelelő irányokban azonos fő intenzitásmaximumokkal. A következő ábra a részletes számolás eredményeként kapott intenzitáseloszlást mutatja. A pontforrás-modellből kiszámolt maximumok a vizszintes tengelyen a sin ϑ számoknál láthatók, de a pontforrásoknál kapott azonos feltüntetett n = λ magasságú maximumok helyett csökkenő magasságú csúcsok jelennek meg.

6

Ezt az eltérést a korábban tárgyalt diffrakció okozza, ami miatt a véges méretű résen való áthaladásnál az elemi hullámok interferenciája a középső maximumtól távolodva csökkenő intenzitású maximumokat eredményez. Az ábrán ezt az eloszlást szaggatott görbe mutatja. Mivel a diffrakció hatása minden résnél jelentkezik, ez módosítja a pontforrások interferenciájának megfelelő képet: az azonos magasságú intenzitásmaximumok helyett a diffrakciónak megfelelő magasságú maximumokat kapunk, vagyis a két eloszlás eredője jelenik meg Az összefüggésből az a rácsállandó ismeretében a hullámhossz meghatározható, a hullámhossz ismeretében viszont a rácsállandó számítható ki. A rácson való elhajlás a hullámok jellegzetes tulajdonsága. Előfordul, hogy egy jelenség hullámtermészetének bizonyítékául éppen az szolgál, hogy megfelelő rácson elhajlást mutat. Röntgensugarak elhajlása kristályban

Azt a lehetőséget, hogy egy ismert hullámhosszú hullámnak rácson való elhajlása (diffrakciója) alapján a rácsállandó meghatározható, a gyakorlatban a kristályok szerkezetének vizsgálatára használják (röntgendiffrakciós módszer). A kristályra röntgensugárzást bocsátanak, ami a rácsban szabályos rendben elhelyezkedő atomok által alkotott rácssíkokról visszaverődik. A ϑ szomszédos, párhuzamos rácssíkokról visszavert hullámok között útkülönbség jön d · ϑϑ · létre (ábra), ezért az interferencia következtében bizonyos irányokban intenzitásmaximumokat észlelünk. A ∆s/2 hullámok akkor erősítik egymást, ha a ∆s útkülönbségükre fennáll, hogy ∆s = nλ (n egész szám). Az ábra alapján látható, hogy erősítés olyan ϑ irányokban jön létre, amelyre 2d sin ϑ = nλ , (d a párhuzamos rácssíkok távolsága). Ez a Bragg-egyenlet. Ha a maximális intenzitás irányait meghatározzuk, akkor az erősítés feltételét felhasználva a rácssíkok d távolsága kiszámítható. Gyakran előfordul az is, hogy ismeretlen röntgensugárzás hullámhosszát kell meghatározni. Ilyenkor a sugárzást ismert rácssík-távolságú kristályra kell bocsátani, és meghatározni az intenzitásmaximumok irányát. Ismerve a síktávolságot és lemérve a maximális intenzitásokhoz tartozó szögeket a sugárzás hullámhossza meghatározható. Így módunk van ismeretlen sugárzás spektrumának felvételére is (röntgenspektrométer).

Elektromos áram U - telep a) b)

Recommend Documents