1
ELEKTROMÁGNESSÉG
(A jelen segédanyag, az előadás és a számonkérés alapja:) Hevesi Imre: Elektromosságtan, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2007
2
ELEKTROMOSSÁGTAN A. 1. 2. 3.
Elektrosztatikai tér vákuumban Az elektromos töltés. Coulomb törvénye Az elektromos tér. Gauss tétele Az elektromos potenciál
B. Elektrosztatikai tér anyag jelenlétében 4. Elektromos tér vezető jelenlétében 5. Elektrosztatikai tér szigetelő (dielektrikum) jelenlétében C. A stacionárius áram (egyenáram) 6. Áram és ellenállás 7. Egyenáramú áramkörök D. A stacionárius áram és a mágneses tér 8. Mágneses tér vákuumban 9. Mágneses tér az anyagban 10. Töltött részecskék mozgása elektromos és mágneses térben E. Az elektromos áram szilárd testekben, folyadékokban és gázokban 11. Az elektromos áram fémekben és félvezetőkben 12. Kontakt- és termoelektromos jelenségek 13. Az elektromos áram folyadékokban 14. Az elektromos áram gázokban
3
F. Az időben változó elektromágneses tér 15. Az elektromágneses indukció 16. A Maxwell-egyenletek 17. Elektromágneses rezgések 18. Váltakozó áramok 19. Az indukció és az áram mágneses hatásának néhány technikai alkalmazása 20. Elektromágneses hullámok
4
A. AZ ELEKTROSZTATIKAI TÉR VÁKUUMBAN 1. AZ ELEKTROMOS TÖLTÉS. COULOMB TÖRVÉNYE Elektromos alapjelenségek 1. Borostyánkő-hatás - elektromos hatás - papírdarabokat vonzza! - i.e. 600: milétoszi Thales - borostyánkő: elektron (görög)
5
2. Kétféle (+ és-) elektromos töltés
töltését pozitív -nak nevezték el 3. A dörzsölés eredménye: a kétféle (+ és-) elektromos töltés szétválasztása
6
4. Fémrúd is elektromos töltésre tesz szert dörzsölés hatására
Fém (vezető) rúdban az elektromos töltés könnyen mozog! → érintkezés esetén átmehet az egyik testről a másikra! → vezetők-szigetelők 5. Az elektroszkóp és az elektrométer (működésük magyarázata!)
7
Kísérletek elektroszkóppal (a) (b)
- a töltés átvihető (ismételve: nő a kitérés!) - ellentétes előjelű töltések (c)
vezetők-szigetelők közömbösítés! → a kétféle (+ és -) töltés azonos mennyiségű → érintkezéskor a töltések szétválnak, de az össztöltés állandó marad!
8
Az elektromos megosztás (a)
(b)
így az eredetileg semleges vezető töltései szétválaszthatók!
a megosztással szétválasztott egyik fajta töltés elvezethető, így a vezető töltött lesz
9
Megosztáson alapuló, egyszerű elektrosztatikus „töltés-generátor” az elektrofor
- a feltöltött szigetelő nem veszíti el töltését, így a művelet ismételhető; ilymódon tetszőleges mennyiségű töltés összegyűjthető! - a töltések összegyűjtésével felhalmozható többletenergia az elektrosztatikus erők ellenében végzett munka eredménye!
Az elektromos megosztással értelmezhető:
10
Elektronikus mérőműszer a töltés mérésére - az előadás elektrosztatikai kísérleteinek jelentős részében a próbagolyó töltését nem a korábban már ismertetett, elektromechanikus elvű elektrométerrel határozzuk meg, hanem az ábrán látható elektronikus elektrométer kimenetére kötött voltmérőről olvassuk le - ennek okai: - sokkal érzékenyebb (nincs súrlódás!) - kvantitatív - a polaritást közvetlenül mutatja Működése: - a K kapcsoló nyitásával megszüntetjük P földelését (így lesz a készülék mérőkész) - ha az M mintavevő golyót a P fémpohár belsejéhez érintjük, akkor annak teljes (!) Q töltése a pohárra kerül (ld. később: töltések vezetőn) - ez a töltés a C║CP kapacitást (C ≈ 103·(CM ill. CP) miatt) -az M -en tipikus, kV -os feszültségek (földhöz képest!) helyett- a műveleti erősítő számára biztonságos, V -os feszültségre tölti fel - ha az e feszültség (és ezzel a Q=U·C töltés) mérésére szolgáló feszültségmérőt közvetlenül a C -re kötnénk, akkor rögtön kisütné azt! → ennek megelőzésére szolgál a FET bemenetű elektrométer műveleti erősítő, amely kimenetén (esetünkben 10 -szeresre beállított feszültségerősítés mellett) akár mA -es áramot is kiadhat a feszültségmérő számára úgy, hogy eközben bemenete mindössze ≈100 fA (ekkora a speciális, elektrométer műveleti erősítő ún. bias árama) árammal süti ki a C║CP kapacitást - (a 10 MΩ-os védőellenállás (100µA max. bemenő áramnál) ≈1 kV -ig védi az erősítőt)
11
Az elektromos töltés (Q) (a) Az elektromos töltés az anyag egyik alaptulajdonsága Atomok: - mag (≈ 10-15 m): p+ , n - e--felhő (≈ 10-10 m): e- abszolút értékben megegyeznek → elektromos töltése semleges - - e- felvétellel vagy leadással: ion; össztöltése ≠ 0 Vezetők: - elektromos töltései elmozdulhatnak elektromos térben (Fémek szerkezete: + ionokból álló kristályrács és arra delokalizálódó e- -gáz) Szigetelők: – szabad elektronok nincsenek bennük, atomjaik/molekuláik csak polarizálódhatnak, elektromos dipólussá válhatnak elektromos tér hatására ⇒ Ezzel az anyagszerkezeti képpel az eddigi kísérletek (érintkezési elektromosság, megosztás, vezetés-szigetelés, stb.) magyarázhatók!
12
(b) Az elektromos töltés kvantáltsága pl. Millikan kísérletéből (ld. később!) következően: Q = ± N ⋅ e
,
itt:
e − elemi töltés , N: természetes szám
Minden létező töltés az e elemi töltés egész számú (amely lehet negatív is!) többszöröse. (e azonban olyan kicsiny, hogy makroszkopikus vizsgálatokban a töltést (folytonos) fluidumnak tekinthetjük!) (c) Az elektromos töltés megmaradásának tétele Zárt rendszerben az elektromos töltések teljes mennyisége (azaz a pozitív és negatív töltések algebrai összege) állandó. (Zárt rendszer: olyan rendszer, amelynek határán töltések nem halad(hat)nak át) (+ és – töltés keletkezhet és eltűnhet ugyan, de csak egyszerre, pl. párkeltés, annihiláció) (d) Az elektromos töltés relativisztikusan invariáns mennyiség Az elektromos töltés nagyságát különböző vonatkoztatási rendszerekben mérve mindig ugyanakkora érték adódik. ____________________________________________________________________________
13
Részecskék jele, töltése és tömege részecske neve elektron
jele
töltése
tömege
e–
–e
me=9,110 ⋅ 10–31 kg
proton
p
+e
mp=1,673 ⋅ 10–27 kg
neutron
n
0
mn=1,675 ⋅ 10–27 kg
α-részecske
α
+2e
mα=6,697 ⋅ 10–27 kg
kvark
±e/3, ±2e/3
De kvarkokat szabad állapotban soha nem észleltek!
14
Coulomb-törvénye (1785) Coulomb-féle torziós inga (gondoljuk végig a korabeli kísérleti nehézségeket: geom. szimmetria felhasználásával töltés-osztás, töltés-szivárgás, stb.)
F~
1 r2
F ~ Q1 Q2 F=K
Q1 Q 2 r2
pontszerű töltések (v. ponttöltések) esetére áll fenn
egynemű töltések:
Q1Q2 > 0
különnemű töltések: Q1 Q2 < 0
→
F 12 = K
Q1 Q 2 rˆ 12 r122
látszik:
F 12 = − F 21
15
(vö. Newton III. törv.)
a) A reciprok négyzetes távolságfüggés
F~
1 r
2 +δ
mekkora a δ ?
Direkt kísérleti bizonyítékok: néhány % pontosság Indirekt kísérleti bizonyítékok: SOKKAL pontosabbak! Alapja: töltött, üres gömbben az elektromos erőhatás (térerősség) akkor és csak akkor zérus, ha δ = 0 Plimpton, Lawton (1936): │δ│< 2 ⋅ 10–9 Williams, Faller, Hill (1971): │δ│≤ 2 ⋅ 10–16
16
b) A Coulomb-törvény érvényessége különböző r távolságoknál - a C.-törv. érvényességét az r= ~10–15 m ... 103 m tartományban tekinthetjük bizonyítottnak r < 10-16 m – az elmélet érvényessége(?)
(Nem tekinthető ponttöltésnek)
r > 103 m – kísérleti ellenőrzés hiánya (?) (de: δ ≠ 0 esetén (kvantumtérelmélet): a foton nyugalmi tömege véges → vákuumbeli fény (elektromágneses hullám) terjedési sebesség λ-függő lenne. Az elektromos töltés SI – egysége 1 coulomb (1C)
az SI -ben származtatott egység!
,
1C ≡ 1As
2 Q1 Q 2 9 Nm F = K 2 → ilyen egységekkel: K ≈ 9 ⋅ 10 C2 r
1 elemi töltés: e ≈ 1,6 ⋅ 10-19 C → 1C ∼ 6 ⋅ 1018 elektron töltése _____________________________________________________________________________
K=
1 4πε 0
állandója);
ε0 =
1 4π K
ezzel:
= 8,85 ⋅ 10
−12
C2 N m2
itt ε0 a vákuum permittivitása (vagy dielektromos
F=
1
Q1 Q 2
4π ε 0
r
2
17
Az elektromágnesesség elmélete szerint (ld. később!) K ill. ε0 a következő kapcsolatban áll a c vákuumbeli fénysebességgel:
K=
1 4π ε 0
= 10 −7
N 2 c 2 A
ahol c a vákuumbeli fénysebesség,
c ≈ 3⋅108 m/s
Az elektromos töltés CGS-egysége
önkényesen válasszuk:
K=1
F=
→
Q1 Q 2 r
2
1 el. sztat. töltésegység = 1 cm3/2 ⋅ g1/2 ⋅ s-1 El. sztat. töltésegység, g,
cm,
s:
abszolút elektrosztatikai egységrendszer, másnéven elektrosztatikai CGS-rendszer
1 C = 3 ⋅ 109 el.sztat. töltésegység e = 4,80 ⋅ 10–10 el.sztat. töltésegység Az elektromos erők szuperpozíciójának elve - ahhoz, hogy egy több ponttöltésből álló (Q1, Q2, ..., QN) ill. egy „folytonos” töltéselosztású rendszernek egy ponttöltésre (ábránkon Qa) gyakorolt hatását kiszámolhassuk, a Coulombtörvény nem elegendő!
18
- egy másik törvényre is szükség van, amely a következő kísérleti tapasztalat: két töltés közötti erőhatást más töltések jelenléte nem változtatja meg (vö. a Coulomb-törvény lineáris a Q.-kban) N
N
i =1
i =1
F a = F a1 + F a 2 + K + F aN = ∑ F ai = ∑ K
Qa Qi rˆ ai 2 rai
Töltésrendszer által egy ponttöltésre gyakorolt erő megegyezik a töltésrendszer egyes töltései által külön-külön a ponttöltésre gyakorolt Coulomb-erők vektori összegével.
Térfogati, felületi, vagy vonalmenti töltéseloszlás esetén: -
Térfogatelem: dV
dQ
ezek a dQ töltéselemek már ponttöltésnek tekinthetők!
- Felületelem:
df
dQ
→ mindre: Coulomb törvény
- Vonalelem:
dl
dQ
→ az eredő erő integrálással megkapható!
19
Vessük össze egy H -atom protonja és elektronja közötti elektrosztatikus és gravitációs erőket!
Fg = γ
memp r
2
= 3,6 ⋅ 10 −47 N
e2 Fe = ⋅ 2 = 8,2 ⋅ 10 −8 N 4π ε 0 r 1
Fe ≈ 2,3 ⋅ 10 39 Fg
(mindkettő inverz négyzetes távolságfüggésű, így r –től nem is függ)
→ az elemi részecskék kölcsönhatásainak vizsgálatakor az elektrosztatikus erőkhöz képest a gravitációs erőket elhanyagolhatjuk! - viszont a kozmikus testek kölcsönhatásaiban a gravitációs erők a meghatározók!
Kölcsönhatások: Gravitációs kölcsönhatás: Gyenge k. Elektromágneses k. Erős k.
Relatív erősség: 1 1025 1038 1040
20
21
2. AZ ELEKTROMOS TÉR. GAUSS TÉTELE Elektromos tér (v. elektromos mező) - „Távolhatás” elmélete (a töltések közvetítő nélkül „érzik” egymás jelenlétét) - „Közelhatás” (Faraday) elmélete: a töltés elektromos teret hoz létre, és ez a tér hat a másik töltésre - EZ A HELYTÁLLÓ! Az elektromos tér fizikai realitás, ugyanis energiája, impulzusa van! A
B
Elektromos töltés ' elektromos tér ' elektromos töltés (E) (Q2) (Q1) Kétféle feladat: a,
adott töltéselosztás
→
tér meghatározása
b,
adott térerősség
→
töltésre ható erő meghatározása
Teret létrehozó töltés (Q) „Próbatöltés” (Qp)
(pontszerű, kis töltésű!)
Az elektromos térerősség (E) - az elektromos teret a Qp (kicsiny) próbatöltéssel detektáljuk
22
Milyen mennyiséggel jellemezzük az elektromos (elektrosztatikus) teret? Tapasztalat (Coulomb-törvénye): a (geometriai) tér bármely (A, B, C, ... ) pontjában a próbatöltésre ható erő (F(A), F(B), F(C), ...) egyenesen arányos Qp -vel (a próbatöltés nagysága) ⇒ hányadosuk csak a térre jellemző!
F 1 (A) F 2 (A) = = ... = E (A) Q p1 Qp2 F 1 (B) F 2 (B) = = ... = E (B) Q p1 Qp2
⇒
F (A) = E (A) ⋅ Q p
⇒
F (B) = E (B) ⋅ Q p
- Az E (r) elektromos térerősség jellemzi az elektromos teret! - Egysége (SI): 1
F ( r ) = E( r ) Qp
N C
;
E( r ) =
F( r ) Qp
Elektromos erők szuperpozíciójának elve → elektromos térerősségek szuperpozíciójának elve →
E = ∑ Ei
23
Ponttöltések elektromos tere a) Egy ponttöltés (Tetszőleges előjelű Q, Qp –re:)
E=
F ⎡ 1 Q Qp ⎤ 1 Q r 1 ˆ = ⋅ ⋅ =⎢ ⋅ r ⎥ 2 2 Qp ⎦ Q p 4π ε 0 r r ⎣ 4π ε 0 r
E=
→
1
Q rˆ 2 4π ε 0 r
b, Több ponttöltés: (elektromos erők → térerősségek szuperpozíciójának elve:)
E=
1 4π ε 0
N
∑ i =1
Q i ri ri2 ri
24
Folyamatosan eloszló töltés elektromos tere (vö.: a töltés kvantált!)
töltéssűrűség
⎧λ dl ⎪ dQ = ⎨ σ df ⎪ ρ dV ⎩
dE =
( vonalmenti) (felületi)
⎛ ⎧∫ λ dl ⎞ ⎟ ⎜ ⎪ ⎜ Q = ⎨ ∫ σ df ⎟ ⎜⎜ ⎪ ρ dV ⎟⎟ ⎩∫ ⎠ ⎝
( térfogati)
1
dQ rˆ 2 4π ε 0 r
(itt
E=
rˆ
az
r r
rˆ dQ
∫ 4π ε
Q
0
r2
irányú egységvektor)
25
Elektromos erővonalak Az elektromos tér szemléltetésére szolgálnak, de ennél többre alkalmatlanok: a tér megadásához az E (r) függvény kell!
- Erővonal (irányítást is jelölünk rajtuk): olyan görbék, amelyek (irányított) érintője minden pontjukban az ottani térerősség iránya. -
sűrűségük arányos a térerősséggel
26
Néhány egyszerű töltés(rendszer) erővonalai:
27
- az elektrosztatikus tér erővonalai mindig a + töltésből indulnak, és a – töltésekben végződnek
→ nincs a „semmiben” induló/végződő, sem pedig zárt erővonal → az elektrosztatikai tér örvénymentes vektortér, forrásai/nyelői a +/- töltések - az erővonalak sohasem metszik egymást - a ponttöltések általában NEM az erővonalak mentén mozognak! Elektromos erővonalak „láthatóvá” tétele
A(z elnyújtott alakú) szigetelő szemcsék az elektromos térben -dielektromos polarizáció révéndipólusokká válnak → ezek beállnak a tér irányába és láncokba rendeződnek → kirajzolják az erővonalakat!
28
Elektromos dipólus - ellentétesen egyenlő töltések ℓ távolságban: elektromos dipólus - ha hatását tőle távoli pontban vizsgáljuk, azaz ℓ << r , akkor: pontszerű dipólus Elektromos dipólmomentum def.:
p = Q ⋅l
itt ℓ a negatív töltésből a pozitívba mutató helyvektor
SI egysége : 1 C ⋅ m (célszerű definíció, mert ez határozza meg a pontszerű dipól terét, ill. az el. térnek a dipólra gyakorolt hatását) - Az elektromos dipólus fontos töltésrendszer, mivel (a permanens- vagy az indukált polarizáció miatt) elektromosan semleges rendszerekben (az atomok, molekulák is ilyenek!) igen gyakori! _________________ Elektromos súlypont:
rs =
∑ Qi ⋅ ri ∑ Qi
(analóg a tömegközépponttal (súlypont))
(itt ri egy referenciapontból az i. töltésbe mutató helyzetvektor, rs pedig a referenciapontból az elektromos súlypontba mutató helyzetvektor) - Semleges töltésrendszerben (pl. atom) a polarizáció miatt a + és – töltések súlypontja gyakran nem esik egybe → dipólus!
29
Dipólus elektromos tere A dipólus elektromos terét célszerűen először az ún. Gauss-féle főhelyzetekben számítjuk ki, azután ezek alapján általánosítunk: a) az „A” pont a dipólushoz képest a Gauss-féle első főhelyzetben van (ld. ábra!) - A térerősség a dipólustól távol (r >> l): az erők egyirányúak, ezért: ahol: E+ =
E− =
1 4π ε 0
1 4π ε 0
⋅
⋅
EA = E+ ─ E¯
Q
(r − l / 2)2 Q
(r + l / 2)2
(közös nevező, r >> ℓ , p = ℓ · Q kihasználásával adódik:)
EA =
1
2p
⋅ 4π ε 0 r 3
b) a „B” pont a dipólushoz képest a Gauss-féle második főhelyzetben van (ld. ábra!)
30
- a töltések távolsága a B ponttól azonos, így:
E+ = E− =
1 4π ε 0
⋅
Q r 2 + (l / 2)2
- EB+ és EB- a töltéseken átmenő egyenessel ugyanakkora (Θ) szöget zárnak be, ezért az EB -nek ℓ -re merőleges komponense zérus, vagyis EB iránya megegyezik -p irányával - EB nagysága pedig az ábráról láthatóan:
E B = 2 ⋅ E + ⋅ cos Θ = - ebből
1
4π ε 0
⋅
2Q l/2 ⋅ r 2 + (l / 2 )2 r 2 + (l / 2 )2
r >> ℓ , p = ℓ · Q kihasználásával a keresett térerősség:
EB= −
1
⋅
p
4π ε 0 r 3
___________________ FONTOS:
E∝
1 r3
(fennáll a dipólustól tetszőleges (rögzített) irányban távolodva is!) ,
azaz r → ∞ –re gyorsabban cseng le, mint a ponttöltés terének térerőssége
( E ∝ r −2 )
31
Tetszőleges helyzetű pontban: - általános esetben a térerősség meghatározása szellemesen visszavezethető a két gaussi főhelyzetre (ezért volt érdemes definiálni azokat!):
- a B pontból bocsássunk merőlegest az AP egyenesre, és az így kapott C metszéspontba képzeletben helyezzünk egy +Q és egy -Q töltést (azaz együttesen semmit)! - így a C -be tett +Q az A -beli -Q -val olyan dipólt alkot, amelyre P az első főhelyzetben van, a C -be tett -Q a B -beli +Q -val pedig olyan dipólt, amelyhez képest P a második főhelyzetben helyezkedik el - az eredeti dipól p dipólmomentumából a P pont helyzete által meghatározott CAB szög ismeretében kiszámolható a p1 és p2, így a fenti eredmények felhasználásával a P -beli térerősség meghatározható
(Általános esetben, a dipólustól távol:
( )
p⎤ ⎡3 pr ⋅ ⋅r − 3⎥ E= 4π ε 0 ⎢⎣ r 5 r ⎦ 1
)
- láthatóan -bármely rögzített irányban- ez is r-3 szerint csökken a távolsággal!
32
Erőhatások dipólusok között (egyirányú dipólok esete)
ℓ << r
6 p2 F=− ⋅ 4π ε 0 r 4 1
- ez vonzó erő (ui. a jobboldali dipólt a baloldali dipól pozitív töltése jobban vonzza, mint amennyire a -távolabb lévő!- negatív töltése taszítja) - ellentétes irányú dipólmomentumok esetén viszont: taszítás __________________________________________________________________________ ( különböző momentumú dipólusok esetén:
⎛ 6p p 1 ⎜⎜ F = − ⋅ 14 2 4π ε 0 r ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
)
__________________________________________________________________________ (egyirányú dipólok esete)
3 p2 F '= 4π ε 0 r 4 1
- ez taszító erő (a baloldali dipól mindkét töltése jobban taszítja a jobboldali dipólt, mint vonzza) - ellentétes irányú dipólmom. -ok között viszont: vonzás Még gyorsabban lecseng (r -rel), mint a dipólus-töltés kölcsönhatás:
F ∝ r− 4
33
A dipólusok által egymásra gyakorolt erő nemcsak távolságuktól függ, hanem egymáshoz viszonyított helyzetüktől is! → Nem centrális erő! ____________________________________________ Van der Waals erők - semleges molekulák között ható gyenge vonzóerők (mindig vonzó, mert indukált dipólra hat!) - a biológiában igen fontos szerepük van, pl. a fehérjék -működésükhöz elengedhetetlen- konformációs stabilitásának biztosításában Ezek erők a fentiek alapján értelmezhetők, távolságfüggésük meghatározható: - a p1 dipólmomentumú (1) molekula polarizálja a (2) molekulát, p2 dipólmomentumot indukálva benne - minthogy a dipól tere r -3 szerint cseng le, a (2) helyen a polarizáló térerősség: - az indukált dipólmomentum ezzel arányos:
p2 ∝
- a fentiek szerint két dipól kölcsönhatási ereje:
p1 r3 p1 p2 p12 F~ 4 ~ 7 r r
→ tehát a fenti módon keletkező van der Waals erőkre fennáll:
p12 F~ 7 r
E2 ∝
p1 r3
34
Egyenletes töltéseloszlások által keltett térerősség a) Végtelenül hosszú egyenes vonal mentén homogén módon, folytonosan eloszló töltés elektromos tere dQ = λ dy
(λ: lineáris töltéssűrűség)
⎛ 1 dQ ⎞ ⎜⎜ dE = ⎟ 2 ⎟ 4 π ε r ⎝ 0 ⎠
E=
1 λ 2πε 0 x
⎛ rˆ dQ ⎞ ⎜⎜ E = ∫ ⎟ 2 ⎟ 4 π ε r ⎝ 0 ⎠
tehát:
E ~ x-1
b) Végtelen kiterjedésű síkon homogén módon, folytonosan eloszló töltés elektromos tere dQ = σ df
(σ: felületi töltéssűrűség)
- a satírozott csíkok terét az a) pontban már kiszámoltuk! - ennek felhasználásával:
E=
σ 2ε 0
35
→ A térerősség nem függ a lemeztől való távolságtól! → A töltött lemez mindkét oldalán homogén az elektromos tér!
c) Két végtelen kiterjedésű, párhuzamos síkon homogén módon eloszló, ellentétes előjelű töltések elektromos tere - a b) alatti eredményünkből, a szuperpozíció elvének alkalmazásával kapható:
→ a tér a lemezek között homogén, kívül viszont zérus (síkkondenzátor!):
36
Ponttöltés elektromos térben Ponttöltés mozgása homogén elektromos térben - konstans erő → egyenletesen gyorsuló mozgás (vö. hajítás gravitációs térben) F = Q·E
→
a=
F Q ⋅E = m m
- példaként elektron (e, me) mozgását tárgyaljuk, homogén elektromos térben (pl. síkkondenzátorban) - ha az elektront v0 kezdősebességgel lőjük be a koo. rsz. kezdőpontjában, az el. térre merőlegesen (ld. ábra; vö. vízszintes hajítás):
v0 ⊥ E
x (t ) = v 0 ⋅ t
,
v y (t ) = a ⋅ t = −
eE t me
ax = 0
→
,
,
ay = −
eE me
1 eE 2 y (t ) = a t 2 = − t 2 2 me
x(t) és y(t) fenti kifejezéséből az időt eliminálva adódik a pálya egyenlete:
37
y ( x) = −
eE x2 2 2 me v 0
parabolapálya!
- gyakran így térítik el az elektronsugarat (pl. katódsugár oszcilloszkópban) Millikan kísérlete (1910) Előzmény:
Helmholtz (∼ 1880): az elektrolízis Faraday-törvényeiből → ha az anyag atomos, akkor a töltés is az, van legkisebb elemi töltés:
e=
F ≈ 1,6 ⋅ 10 −19 C NA
(itt: F a Faraday-állandó, NA az Avogadro-szám)
- de ez sok ion töltésének átlagát adja, nem direkt mérése egy ion töltésének! ________________________________________________ - a porlasztással nyert olajcseppek -a dörzsölés miatt- elektromosan töltöttek! - ha szükséges, a cseppek töltése megváltoztatható a röntgenforrás bekapcsolásával (a röntgensugár ionizálja a levegőben lévő molekulákat, amelyek a cseppekkel ütközve megváltoztatják azok töltését) - a síkkondenzátorra kapcsolt V feszültség a kondenzátorban homogén el. teret hoz létre, amely a cseppekre a töltésüktől függő erővel hat -így a cseppeket lebegtetni ill. mozgatni lehet; ilyen viselkedésükből töltésük megállapítható!
38
- lebegtetés helyett (a Brown-mozgás okozta nehézségek elkerülésére) olyan térerősséget választunk, amelynél a csepp mozog (mondjuk, felfelé) - az elektrosztatikus erő és a nehézségi erő eredőjének hatására a csepp addig gyorsul, míg a -Stokes-törvénnyel számolható- közegellenállás azt ki nem egyenlíti - az egyenletes mozgás v1 sebességére fennáll:
Q⋅E −
4π (ρ − ρ l ) r 3 g = 6 π η r v1 3
- a Q kiszámításához szükség van még a csepp r sugarára, ami azonban a fényelhajlás és a Brown-mozgás miatt a mikroszkópon nem leolvasható - ezért az elektr. teret kikapcsolva a cseppet esni hagyjuk, amelynek állandó v2 sebességére:
4π (ρ − ρl ) r 3 g = 6 π η r v2 3 - az ebből kifejezett r-et beírva a két egyenlet összeadásával nyert
Q=
6π η r (v 1 + v 2 ) E
kifejezésbe, a csepp Q töltése meghatározható
39
M. változtatta: (↑ mindig érdemes!)
V: 1700 ... 5000 V r: 0,5 ... 6 µm p (a levegő nyomása): 102 ... 105 Pa
Minden mért töltés-érték (a kísérleti hibán belül) az e=1,6·10-19C egész számú többszöröse volt! Dipólus homogén elektromos térben
⏐F⏐= QE - a töltések absz. értéke azonos → a dipólusra ható eredő erő zérus! - a dipólusra ható forgatónyomaték: M = (l x F) = Q (l x E)
M = p×E ________________________________________________________________________ Kísérlet:
a dipólra forgatónyomaték hat!
→ magára hagyva forgási rezgő mozgást végez! 2 p E ⎞⎤ ⎡ ⎛ ϕ d α ϕ⎟ → = − (itt α: szöggyorsulás kis kitérésnél) Θ 2 = − p E sin ϕ ⎜ ⎢ Θ ⎠⎥⎦ dt ⎣ ⎝
40
T = 2π
Θ pE
periódusidővel leng
(a súrlódás miatt természetesen csillapodik!)
vezető rúddal ugyanez: megosztás → dipólus → ez is beáll a tér irányába!
Dipólus potenciális energiája elektromos térben - a dipólra ható forgatónyomaték:
M = p E sin ϕ
- a dipólus ϕ 1 → ϕ 2 elforgatásakor a külső erők munkája: ϕ2
W=
ϕ2
∫ M dϕ = ∫ pE ⋅ sin ϕ dϕ = pE (cos ϕ − cos ϕ 1
ϕ1
2
)
ϕ1
→ ha az elforgatást lassan végeztük (azaz közben nem változott (zérus maradt) a rendszer kinetikus
41
energiája), akkora a forgatás közben a külső erők W munkája a rendszer U potenciális energiáját (konzervatív a tér!) növelte: U2–U1 = W - a dipól U=0 -hoz tartozó
ϕ0 helyzetéből (ha van ilyen!) kiindulva:
U ϕ = U ϕ0 + Wϕ0 → ϕ = Wϕ0 → ϕ
- tudjuk, hogy a potenciális energia csak egy additív konstans erejéig meghatározott; válasszuk e konstanst úgy, hogy az U ϕ függvény egyszerű legyen: minthogy a W első tagja ϕ 0 = π 2 esetén eltűnik ( cos ( π 2) = 0 ), válasszuk e helyzetet a potenciál zérushelyének, U π
2
= 0!
U = − p E cos ϕ = − p E
→ ezzel a választással:
- e kifejezésnek ϕ = 0 –ra van minimuma → a dipólus igyekszik befordulni a tér irányába! Dipólus inhomogén elektromos térben - a töltésekre ható erők: F+ = Q ⋅ E’ - ezeknek megfelel:
F- = -Q E
erőpár: (-Q E , +Q E) erő: F = Q (E’ - E)
forgatónyomaték + erő → általában forogva gyorsul a nagyobb térerő felé
42
Speciális eset: - a térerősségek (E, E’) iránya a +Q és a -Q helyén egyenlőnek tekinthető - tegyük fel: E független y és z-től! → a térerősség (és a térerősség változásának) irányában (x):
E′ − E =
dE ⋅ l ⋅ cos ϕ dx
Fx = Q (E ' − E ) = Q ⋅
(kis ℓ-re)
dE dE ⋅ l ⋅ cos ϕ = p cos ϕ dx dx
dE Fx = p x dx
;
ha
ϕ=0,
akkor:
Fx = p ⋅
dE dx
Általános eset: ℓ = (ℓx, ℓy, ℓz) - ekkor a
∆E =
∂E ∂E ∂E ⋅ lx + ⋅ ly + ⋅l ∂x ∂y ∂z z
közelítésben:
F = Q ⋅ ∆E =
∂E ⋅ p + ... ∂x x
vagyis:
F = ( p ∇ ) E = ( p grad ) E
⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ⎜⎜ ahol a p ∇ formális jelölés ezt takarja : p ∇ = p x ⎟⎟ + py + pz x y z ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠
43
Az elektromosan töltött test vonzza a töltetlen vezetőt és szigetelőt (mélyebb értelmezés) - a fentiek fényében világos, hogy a megosztással vagy polarizációval létrehozott dipólust csak az inhomogén el. tér vonzza (és az MINDIG vonzza, sohasem taszítja, mivel a dipól irányát a tér határozza meg, és a töltések tere a töltésektől távolodva mindig csökken!) a) fémgolyó (megosztás) ill. bodzabélgolyó (polarizáció)
b)
Az elektromos fluxus (ΦE): (vulgárisan, dimenziótól eltekintve: „a felületen átmenő E -vonalak száma”) A fluxus bármely vektortérre definiálható így (pl. mágneses indukcióra)! a) ha a felület(elem) merőleges a (felületelemen) homogén E elektromos térre:
44
ill. (oldalnézet)
ilyenkor:
ΦE = E·f
b) ha a felület(elem) normálisa Θ szöget zár be a(felületelemen) homogén E térrel: ill. oldalnézetben: ΦE = En ⋅ f (f a felületelem területe) azaz: ΦE = E f cos Θ , másképpen: ΦE = E ⋅ f
(itt f az ún. „felületvektor”)
(felületvektor def.: iránya a felületelem normálisa, nagysága a felületelem területe)
- az elektromos fluxus SI-egysége:
N m2 1 C
45
c) tetszőleges felület és elektromos tér esetén:
∆f1, ∆f2,…∆fN : a felület egy (N elemű) beosztása (olyan legyen, amelyre (előírt pontossággal) a ∆fi -ken belül E konstans, és a ∆fi -k sík felületelemek!) ΦE ≈ ∑ Ei ∆fi
∆f → 0
esetén:
ΦE = ∫ E d f f
d) tetszőleges, zárt felület és tetszőleges elektromos tér esetén:
Megállapodás: df mindig kifelé mutat a zárt térrészből (külső normális)
46
ΦE = ∫ E d f f
a fentiek szerint: - negatív fluxus: a térfogatba belépő fluxus - pozitív fluxus: a térfogatból kilépő fluxus
Példa: f1: több erővonal lép ki, mint be → ∑Q > 0 → ΦE > 0 f2: több erővonal lép be, mint ki → ∑Q < 0 → ΦE < 0 f3, f4: ugyanannyi erővonal lép be, mint ki → ∑Q = 0 → ΦE = 0 Vegyük észre: itt a térfogatból nem indul ki, és abban nem végződik erővonal (→ nincs benne elektromos töltés!), VAGY: a térfogatból kiinduló és abban végződő erővonalak száma egyenlő (→ ∑Q = 0)
47
A Gauss-tétel Számoljuk ki az elektromos térerősségfluxust egy Q ponttöltés köré rajzolt, r sugarú gömbfelületre! - a felületen:
E=
1
Q 4π ε 0 r 2
- E minden pontban merőleges a gömbfelületre (E ║ df), ezért:
ΦE = ∫ E d f = ∫
Q Q Q 2 df r = = ( 4 ) π 4π ε 0 r 2 4π ε 0 r 2 ε0 1
→ ΦE tehát független a gömb sugarától, csak attól függ, mekkora töltés van a gömbfelületen belül! Most bebizonyítjuk, hogy a kapott összefüggés tetszőleges, zárt felületre is fennáll: a) Egyetlen ponttöltés esetére: - tetszőleges felület beosztását tetszőlegesen finomítva (úgy, hogy a legnagyobb felületelem átmérője is 0 -hoz tartson!), a beosztások felületelemei egyre jobban közelíthetők kis síklapokkal - egy ilyen kis síklap fluxusa (láttuk ui., hogy homogén térben lévő síklap fluxusa a síklap térre merőleges síkra való vetülete területének szorzata a térerősséggel) a beosztás finomítása közben egyre jobban megközelíti annak a gömbfelület-darabnak a fluxusát, amely (akárhol) átmegy
48
a kis síklapon, és amelyet a töltésből kiinduló, a kis síklap határán végigfutó félegyenesek vágnak ki a gömbfelületből (ld. ábra!) - emiatt ilymódon tetszőleges F felület minden beosztásához hozzárendelhető a ponttöltés körül (általában különböző sugárral) írt gömbfelület-darabok egy halmaza, amelynek darabjai együttesen (egymás közti átfedés nélkül) kiteszik azt az ΩF térszöget, amely alatt a felület a Q pontból látható, és amely a beosztás finomításával egyre jobban megközelíti tetszőleges felületünket, fluxusa pedig annak fluxusát - egyetlen ilyen FG gömbfelület-darab fluxusa (a korábbiak szerint) független a sugarától; a Q töltésen kívül csak attól függ, mekkora Ω FG térszög alatt látszik FG a Q pontból:
ΦE = ∫ E d f = FG
Q df Q = 2 ∫ 4πε0 r 4π ε0 FG
∫ dΩ =
FG
Q ⋅ Ω FG 4πε0
- mindezek alapján a térerősség tetszőleges F felületre vett fluxusa a teret létrehozó Q töltésen kívül csak attól függ, mekkora ΩF térszög alatt látható az F felület a Q ponttöltés helyéről, és e fluxus értéke:
ΦE =
Q ⋅ ΩF 4πε0
(ezt a részeredményt érdemes megjegyezni!)
- a töltést körülvevő bármely zárt felület térszöge a Q pontból 4π, így az arra vett térerőfluxus Q/ε0 , vagyis ezzel bebizonyítottuk, hogy tetszőleges zárt felületre is fennáll:
ΦE = ∫ E d f =
Q
ε0
b) Fenti (besatírozott) erdményünkből következik (tekintettel korábbi, a zárt felület felületvektorának irányára vonatkozó konvenciónkra), hogy tetszőleges zárt felületen kívüli ponttöltés fluxusa e felületre mindig zérus (hiszen a felület Q -ból látható és az eltakart részének térszöge megegyezik, így fluxusaik abszolút értéke is ugyanakkora, azonban fluxusaik előjele -felületvektoraik
49
iránya miatt- ellentétes). Ugyanígy az is nyilvánvaló, hogy ha egy zárt felületnek olyan darabjai vannak (ld. az ábrát!), amelyek a töltés helyéről nézve eltakarják egymást (a felület zártsága miatt az egymás mögötti ilyen darabok száma szükségképpen páratlan!), akkor a Q -ból látható darab (az ábrán f1) kivételével a többi (ábránkon f2 és f3) fluxusa (a felületen kívüli töltés fenti esetével azonos okból) zérusra összegződik, így fenti a) eredményünk ilyen típusú zárt felületekre is érvényes. c) Több ponttöltés esetére:
Φ E = ∫ E d f = ∫ (∑ E i ) d f = ∑ ∫ E i d f i
(a szuperpozíció elve miatt ↑) - a jobboldalon egyetlen töltésre vonatkozó fluxusok szerepelnek, ame-
1
lyeket a) és b) alatt már tárgyaltunk, tehát: Φ E = ∫ E d f = ε0
N
∑ Qi = i =1
1
ε0
Q
→ vagyis tetszőleges zárt felület fluxusa a felületen belüli ponttöltések összegének 1/ε0 -szorosa! d) Tetszőleges töltéselosztás (a töltés kvantáltsága miatt) mindig összetehető ponttöltésekből, így a tétel arra is érvényes! Bebizonyítottuk tehát: Gauss tétele (vákuumban): tetszőleges, zárt f felületre vonatkoztatott elektromos fluxus megegyezik a felületen belüli elektromos töltések algebrai összegének 1/ε0 -szorosával.
50
(vegyük észre, hogy -bizonyításunk szerint- e tétel akkor is érvényes, ha az elektromos térhez a zárt felületen kívüli töltések hatása is hozzájárul!) _______________________ Gauss tétele ekvivalens Coulomb törvényével! belátjuk (egyszerű esetben):
Gauss-tétel → Coulomb-törvény
- a Q ponttöltés köré írt r sugarú gömbre (f = 4r2π) (feltéve, hogy centrális az erőtér!):
Q
ε0
= ∫ Edf = E ∫ df = E ⋅ (4π r 2 )
→ F = Q′ ⋅ E =
Q′Q 4π ε 0 r 2 1
→
E=
1 4π ε 0
⋅
Q r2
(ami a Coulomb-törvény!)
- azt pedig már láttuk, hogy: Coulomb-törvény → Gauss-tétel, VAGYIS: EKVIVALENSEK! A Gauss-tétel jelentősége (előnyei a C. -törv. -hez viszonyítva): a) Megfelelő szimmetriájú elektromos térben a Gauss-tétellel egyszerűbben kiszámítható a térerősség! b) JOBBAN KIFEJEZI A TÉRSZEMLÉLETET! (→ Maxwell-törvények)!
51
A Gauss-tétel és a reciprok négyzetes törvény E∼
1 r2
,
gravitációs tér erőtörvénye is ∼
1 r2
- a Gauss-tételt a reciprok négyzetes távolságtörvényből kaptuk → minden reciprok négyzetes fizikai térre (pl. gravitációs ∼) érvényes! de: CSAKIS ilyenre!
1 lenne a távolságtörvény, akkor a Gauss-tétel nem állna fenn: r3 Q 1 Q 2 φE = ∫ E df = ( 4 π r ) = , vagyis függene r -től, noha a felületen (gömbön) belüli 4π ε 0 r 3 ε0 r f - ha pl. E ∼
töltésmennyiség változatlan!
→
Nem lenne érvényes a Gauss-tétel!
A Gauss-tétel differenciális alakja - tekintsünk az el. térben egy tetsz. F’ zárt felületet; az általa körülzárt térfogatot jelölje V’! - jelölje
Q = ∫ ρ (r ) dV
ρ(r) a térfogati töltéssűrűséget!
- ezzel a Gauss-tétel integrális alakja:
V'
∫E d f =
F'
1 ε0
∫ ρ dV
V'
52
- a matematikai Gauss -féle integráltétel: bm. olyan vektortérre, amelynek divergenciája létezik az F’ zárt felület által közrefogott V’
∫ E d f = ∫ div E dV
térfogatban, fennáll:
F'
V'
⎛ ρ⎞ ⎜ ⎟⎟ dV = 0 div E − - a két utóbbi egyenlet balodala megegyezik, így jobboldaluk is; ebből: ∫ ⎜ ε 0 ⎠ V'⎝ - ez csak akkor lehetséges tetszőleges V’ -re, ha az integrandusz eltűnik:
div E =
→ a Gauss-tétel differenciális alakja:
ρ ε0
(Maxwell első törvénye!)
__________________________________________________________ Emlékeztető:
div F (r) ≡ ∇ ⋅ F
vektortér divergenciája (jelölés)
koordinátafüggetlen def.:
vektor-skalár függvény
div F ( r ) = lim V →0
;
∫Fd f f'
V
ahol f’ a V térfogatot határoló kis, zárt felület, amely a határátmenetkor az r végpontjára húzódik össze nabla differenciáloperátor (jelölés):
Derékszögű koordinátákkal kifejezve:
⎛∂ ∂ ∂⎞ ∇ ≡ ⎜⎜ , , ⎟⎟ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
div F ( r ) =
∂Fx ∂Fy ∂Fz + + ∂x ∂y ∂z
53
__________________________________________________________ A Gauss-tétel differenciális alakja szerint - ha ρ = 0 → ugyanannyi erővonal megy ki, amennyi bejön → nincs ott forrása - ha ρ < 0 → több jön be: nyelő - ha ρ > 0 → több megy ki: forrás ,
Az elektrosztatikai tér forrásos vektortér, amelynek forrásai a töltések. Példák a Gauss-törvény alkalmazásaira 1) R sugarú gömb felületén egyenletesen eloszló Q töltés elektromos tere (a Coulomb-törvény alapján meghatározása nem triviális …) - gömbszimmetrikus töltéseloszlás → gömbszimmetrikus tér →
→ térerőssége radiális irányú, és csak r -től függ:
E = E (r ) ⋅
r r
a) a gömb középpontjától r > R távolságban (ld. ábra):
a G.-tételből:
2 ∫ E d f = 4r π E = f1
Q ε0
→
E=
1 Q r ⋅ 4π ε0 r 2 r
→ vagyis a gömbön kívül a tér olyan, mint a gömb középpontjában elhelyezett Q ponttöltés tere! b) a gömb középpontjától r < R távolságban (ld. ábra):
ezért:
====>
54
a G.-tételből:
2 E d f = 4 r π E=0 ∫
→
f2
E=0
→ tehát a gömbhéjon belül nincs elektromos tér, a térerősség ott zérus! 2) R sugarú, szigetelő gömb térfogatában egyenletesen eloszló Q töltés elektromos tere a) a gömb középpontjától r > R távolságban (ld. ábra):
a G.-tételből:
2 E d f = r 4 π E= ∫ f1
Q ε0
→
E=
1 Q r ⋅ 4π ε0 r 2 r
→ vagyis, ugyanúgy, mint fenti esetünkben, a gömbön kívül a tér olyan, mint a gömb középpontjában elhelyezett Q ponttöltés tere! b) a gömb középpontjától r < R távolságban (ld. ábra):
a G.-tételből:
r3 Q ∫f E d f = 4 r π E = R 3 ⋅ ε0 2 2
→
E=
1 Q ⋅r 4π ε0 R 3
55
→ a gömbhéjon belül az elektromos tér a középponttól mért távolsággal egyenesen arányos
3) Végtelen egyenes mentén állandó lineáris töltéssűrűséggel eloszló töltések elektromos tere geometriai szimmetria → E ⊥ az egyenesre, és csak r től függ:⏐E⏐= ⏐E(r)⏐ a G.-tételből (a koaxiális henger alaplapjaira (azokon: E ⊥ df2, df3) a fluxus zérus, marad a palást):
E (r ) ⋅ l ⋅ 2 r π =
λ⋅l ε0
E=
→
1 λ r ⋅ ⋅ 2π ε0 r r
4) Végtelen síkon állandó felületi töltéssűrűséggel eloszló töltések elektromos tere - geometriai szimmetria → E ⊥ a síkra - a G.-tételből (a henger palástjára a fluxus zérus, maradnak az
alaplapok):
2⋅ f ⋅ E =
σf ε0
→
E=
σ 2 ⋅ε0
- már a Gauss-törvény felírásakor látszik: E nem függ a síktól mért távolságtól!
56
3. AZ ELEKTROMOS POTENCIÁL Az elektromos tér munkája a) Egyetlen Q ponttöltés terének munkája, mialatt a QP próbatöltés az „1” pontból a „2” pontba jut: dW =F dl = Qp E ⋅ dl 2
2
1
1
W12 = ∫ F dl= Qp ∫ E dl
1
Q∧ r, E= 2 4π ε 0 r
A Q tere:
Qp Q r 1 ∧ W12 = ∫ r dl 4π ε 0 r r 2
ezzel:
2
,
amelyben:
1
∧
r ⋅ d l = dl ⋅ cos Θ = dr , (ld. az ábrán!)
Qp Q r dr 1 W12 = = ∫ 4π ε 0 r r 2 4π ε 0 2
emiatt:
1
⎡ Q Qp Q Q p ⎤ ⎢ r − r ⎥ 2 ⎦ ⎣ 1
57
vagyis: a W12 munka csak r1 és r2 értékétől (azaz a kezdő- és végponttól) függ, az úttól nem! b) A szuperpozíció elve miatt ez tetszőleges töltésrendszer terére is érvényes!
→ Az elektrosztatikai tér konzervatív erőtér! - bizonyításunk során F(r) –re nem használhatunk ki semmit! → következésképp: ∧
Bármely CENTRÁLIS (F(r) = F(r)⋅ r ) ERŐTÉR KONZERVATÍV! (pl. a gravitációs erőtér is) De: nem minden konzervatív tér centrális! (pl.: egy dipól tere is konzervatív, pedig nem is gömbszimmetrikus) Az elektrosztatikai tér örvénymentessége - Minden konzervatív tér örvénymentes, hiszen: - konzervatív térben tekintsünk egy tetszőleges zárt görbét! - válasszuk ki e görbe akármelyik két (különböző) pontját („1” és „2”); ezek a görbét két részre („3” és „4”) osztják - a tér (adott próbatöltésen végzett) munkája a tetszőleges zárt görbe mentén: W13241 = W132 + W241 - a konzervatív tér „1” és „2” között végzett munkája def. szerint
58
független az úttól:
W132 = W142 , ezért
W13241 = W142 + W241
- itt a jobboldalon ugyanazon úton ellentétes irányban végzett munkák állnak, így abszolút értékük azonos, de előjelük ellentétes (mert akármelyik közelítő összegükben minden Ei ·∆ℓi elemi belső szorzat ellentett lesz cos ϕ = -cos (π-ϕ) miatt), így a jobboldal mindig zérus, vagyis: W13241 = 0
→ konzervatív tér tetszőleges zárt görbe mentén végzett munkája zérus! - az ilyen teret (amelyre tetsz. zárt g görbén W = ∫ Q p E d l = 0 ) örvénymentesnek mondják g
Az elektrosztatikus tér örvénymentes vektortér, azaz tetsz. zárt g görbéjére fennáll: - ez az energiamegmaradás törvényéből is következik: ha a
∫
∫ E dl = 0 g
valamely úton nem lenne zérus,
akkor vagy ezen az úton, vagy ezt az utat ellenkező irányban befutva a
∫
> 0 lenne; közben
azonban sem a próbatöltés, sem a tér nem változik → energiát (munkát) nyernénk „semmiből”!
→ Az elektrosztatikus tér erővonalai nem lehetnek zárt görbék (ezt említettük már)! hiszen: ha lehetnének, akkor az erővonal irányában haladva minden E dℓ elemi belső szorzat > 0 lenne, vagyis az erővonal mentén mondana az örvénymentességnek!
∫ E dl 〉 0 lenne, ami ellent-
59
→ Nincs olyan 3 dimenziós elektrosztatikus tér, amelynek erővonalai azonos irányba mutatnának, de eltérő sűrűségűek lennének! ennek oka: a bejelölt útvonalon
∫ E dl 〉 0 lenne, ami ellentmondana az
örvénymentességnek! Az örvénymentesség definíciójának differenciális alakja - az örvénymentesség eddig használt
∫ Edl = 0 g
integrális def. -ját most átírjuk differenciális
alakba: Stokes tétele: bármely g zárt görbére kifeszített tetszőleges f felületre (ha azokon a vektortér folytonosan differenciálható) fennáll, hogy
∫ E dl = ∫ rot E df g
f
∫ rot E d f = 0
- a fenti két egyenletből:
f
tetszőleges f -re ez csak akkor teljesülhet, ha:
rot E = 0
,
ez az örvénymentesség differenciális definíciója
Minden örvénymentes vektortérben (és csakis ott) bevezethető egy (skalár)potenciál!
60
__________________________________________________________ Emlékeztető:
vektortér rotációja
rot F (r ) ≡ ∇ x F
(jelölés)
koordinátafüggetlen def.:
vektor-vektor függvény
;
a rot F vektor n irányú komponense:
rot n F = lim
∫F ds g
f →0
f
ahol: - g: kis, zárt síkgörbe (normálisa n, amely a g körüljárási irányával jobbcsavart alkot), amely a határátmenetkor az r végpontjára húzódik össze - f: a g által bezárt terület
∂ Fx ∂x ∂ Derékszögű komponensei: Fy ∇xF ≡ j ∂y ∂ Fz k ∂z __________________________________________________________ i
Az elektromos potenciál Láttuk:
a Q ponttöltés terének munkája, ha Qp elmozdul az „1” helyről a „2” helyre:
W12 =
⎡ Q Qp Q Qp ⎤ − 4π ε 0 ⎢⎣ r1 r2 ⎥⎦ 1
- a tér konzervatív, így W12 felírható a két pontban vett Ui potenciális energiák különbségeként:
61
W12 = U1 – U2 emiatt
U=
1
Q Qp
4π ε 0
r
+ konst. ; válasszuk:
r=∞
-nél U=0
→
konst. = 0
→
→ tehát ponttöltés potenciális energiája a töltéstől r távolságban a nullnívó ilyen választása
U=
esetén:
1
Q Qp
4π ε 0
r
A szuperpozíció elve miatt töltésrendszer potenciális energiája ilyen tagok ∑ -ja. ha a töltések előjele azonos: ha a töltések előjele eltérő:
Q Qp > 0 Q Qp < 0
→ →
U>0 U<0
- ez a potenciális energia a tér bármely P pontjában a tértől ÉS a Qp-próbatöltéstől függ → ha az utóbbi függést kiküszöböljük, AKKOR A TÉR JELLEMZÉSÉRE ALKALMAS! Az elektromos potenciál: - a tér tetszőleges P pontjában az odahelyezett pot. energiája:
Q’p, Q’’p,… U’, U’’,…
próbatöltés
- a tapasztalat (és az azt kifejező C. -törv.) szerint közöttük a tér tetszőleges (rögzített) P pontjában fennáll:
U' U '' = = ... Q' p Q' ' p
=ϕ
62
Ez a hányados Qp-től már független, az adott pontban csak a térre jellemző, így a tér jellemzésére használható:
ϕ=
U Qp
elektromos potenciál
- ezzel Qp töltés potenciális energiája φ potenciálú helyen:
U = Qp·ϕ
- Az elektromos potenciállal a tér bármely úton végzett munkája felírható, miközben a Qp töltés a tér „1” pontjából a „2” pontjába jut: W12= U1-U2 =Qp (ϕ1 - ϕ2) = Qp V - Elnevezés:
V ≡ ϕ1 - ϕ2
potenciál különbség, másnéven feszültség
- Ha a Qp a P pontból a ∞ –be mozog:
Wp,∞ = QP (ϕ p - ϕ ∞); választás: ϕ ∞ = 0
(a gyakorlatban: a potenciál nullnívója a Föld potenciálja (praktikus választás)) ekkor:
Wp,∞ = Qp ⋅ ϕ
,
ϕ=
W p, ∞ Qp
→ A potenciál számértéke az a munka, amelyet a tér végez, miközben a pozitív egységnyi töltést az adott pontból a zérusnak választott potenciálú pontba (∞ ill. a földfelület) juttatja. - a potenciál egysége (Alessandro Volta (1745-1827) tiszteletére): 1 volt (V) (1µV = 10-6 V, 1mV = 10-3 V, 1kV = 103 V, 1MV = 106 V) Az elektronvolt:
1 eV (energia- ill. munkaegység, NEM potenciál egység!)
;
1V = 1
J C
–19
1 eV = 1,6⋅10 (1 keV = 103 eV,
1 MeV = 106 eV,
C ⋅ 1 V = 1,6⋅10
–19
63
J
1 GeV = 109 eV)
- Az elektromos térerősség egysége (láttuk: 1 N/C) a potenciál egységével 1 V/m alakban is
1
megadható, hiszen:
N Nm J 1 V =1 =1 ⋅ =1 C Cm C m m
.
Látni fogjuk: az elektrosztatikus térnek a térerőséggel ill. a potenciállal való meghatározása EKVIVALENS! (ui. egymásból -additív konstanstól eltekintve- meghatározhatók, amint ezt a térerősség-függvény → potenciálfüggvény esetre már láttuk is!) Ponttöltések potenciálja a) Egy ponttöltés potenciálja: - a potenciál a tér tetszőleges, a teret létrehozó Q ponttöltéstől r távolságban lévő pontjában: 1
ϕ=
⋅
Q Qp
r U 4π ε 0 = Qp Qp
=
1 4π ε 0
⋅
Q r
b) Ponttöltések rendszerének potenciálja: Q1, Q2,…,QN ponttöltések, r1, r2,…,rN
64
- a potenciál a tér tetszőleges, a teret létrehozó Qi ponttöltésektől ri távolságokban lévő pontjában: A szuperpozíció elve értelmében F = ∑ Fi, így az „a” és a „b” pont közötti vonalintegrálja hasonN 1 ⎡ Qi Qp Qi Qp ⎤ − , ahol , vagyis lóképpen: Wab = ∑ Wi Wi = ⎥ 4πε 0 ⎢⎣ ri,a i =1 ri,b ⎦ 1 N QiQ p 1 N QiQp Wab = − ∑ ∑ 4π ε 0 i =1 ri ,a 4π ε 0 i =1 ri ,b Wab = U1 − U 2
U=
1 4π ε 0
N
QiQ p
i =1
ri
∑
ϕ=
Qi ∑ 4π ε 0 i=1 ri 1
N
Folytonosan eloszló töltések potenciálja
dϕ =
1
dQ , 4π ε 0 r
Térfogati töltéseloszlás esetén:
→
ϕ=
1
dQ ∫ 4π ε 0 r
dQ = ρ dV
→
ϕ=
1
∫ 4π ε
ρ dV r
0 V
Felületi térfogateloszlás esetén:
dQ = σ df
→
ϕ=
1 4π ε 0
∫ f
σ df r
65
Elektromos dipólus potenciálja tetszőleges, a dipólustól távoli pontban:
r >> ℓ (=2a)
r = r rˆ
;
láttuk: a potenciál a két ponttöltés potenciáljának összege:
1 Q (r − − r + ) ⎡Q Q⎤ ϕ (r ) = = − 4π ε 0 ⎢⎣ r + r − ⎥⎦ 4π ε 0 r+r− 1
(itt r+, r- : absz. ért. → skalár!) ∧
+
r ≈ r − a cos Θ = r − a ⋅ r →
+
∧
r ≈ r + a cos Θ = r + a ⋅ r
, ∧
r − r = 2a r = l r −
∧
−
;
r+r− ≈ r2 ∧
ϕ( r ) =
e közelítésekkel: ∧
vagy más formában (minthogy p r = p cos Θ ):
ϕ ( r , Θ) =
1 4π ε 0
⋅
(adott r távolságban φ irányfüggő;
1 p⋅r 4π ε0 r 2 p cos Θ r2
Θ = π/2 -re pl. zérus!)
→ a dipólus potenciálja r-2 szerinti távolságfüggésű; gyorsabban lecseng, mint a ponttöltés (r-1 -es távolságfüggésű) potenciálja!
66
Töltésrendszer potenciálja nagy távolságban ℓ << r
1 ϕ (r) = 4π ε0
N
Qi ∑ i=1 | r − r i |
ri << r a) ponttöltés közelítés:
⏐r - ri⏐ ∼ r
1 N ϕ (r ) = ⋅ ⋅ ∑ Qi 4π ε 0 r i =1 1
→ Ebben a közelítésben a töltésrendszer potenciálja olyan, mint a töltések algebrai összegével egyenlő töltésű ponttöltés potenciálja! b) dipólus közelítés (pontosabb!): ezzel:
1 1 1 1 ⎡ r ⋅ rˆ ⎤ ≈ ⋅ ≈ ⎢1 + i ⎥ , r − r i r 1 − r i ⋅ rˆ r ⎣ r ⎦ r
⎛ r ⋅ rˆ ⎞ r − r i ≈ r − r i ⋅ rˆ = r ⎜1 − i ⎟ r ⎠ ⎝ amelyben kihasználtuk, hogy ∆ <<1 esetén:
∆ 1 1− ∆ + ∆ = =1+ ≈1+ ∆ 1− ∆ 1− ∆ 1− ∆ (↑ itt 1 - ∆ ≈ 1)
67
1
∑ 4 π ε 0 i=1
ϕ (r ) =
tehát:
N
Qi r
∑ Qi 1 ( ∑ Qi ⋅ r i ) ⋅ rˆ + ϕ (r ) = ⋅ ⋅ 4π ε 0 r 4π ε 0 r2 1
↑ ponttöltés potenciálja
⎡ r i ⋅ rˆ ⎤ ⎢⎣1 + r ⎥⎦
,
másképpen:
N
itt p = ∑ Q i ⋅ r i
a töltéseloszlás dipólmomentuma
i =1
↑ dipólus potenciálja
Ez az eredmény közvetlen folyománya a ponttöltésre és a dipólra kapott korábbi eredményeinknek! (szuperpozíció elve!) Elektromosan semleges töltéshalmaz esetén (ilyenkor nem „nyomja el” a fenti 1. tag a 2 -at):
ϕ (r ) = 0 +
1
p ⋅ rˆ
4π ε 0 r 2
Példák: a) Dipólközelítés vízmolekula (H2O, ld. ábra!) potenciálja
∑ Qi =0 → dipólközelítés:
de
↓ esetünkben p = ∑ Qi r i = p1 + p2 ≠ 0
ϕ (r ) ~
1 r2
68
b) Kvadrupól-közelítés A kvadrupólust két, ellentétes irányú dipólus alkotja, amelyek egymáshoz közel helyezkednek el, és dipólmomentumaik abszolút értéke megegyezik. - def. -jából következően a kvadrupólusnak mind össztöltése, mind eredő dipólmomentuma zérus! szén-dioxid molekula (CO2, ld. ábra!) potenciálja
∑ Qi =0
és
↓ esetünkben p = p1 + p2 = 0
- emiatt a CO2 molekula potenciálja mind ponttöltés-, mind pedig dipól-közelítésben zérus, pedig valójában nem az!
1 - a nemzérus potenciál értelmezéséhez a potenciál r − r i
ri faktorának szerinti sorfejtésében (ri << r) a harmadik tagot is figyelembe kell venni r - e közelítésben ϕ (r ) ~
1 (még gyorsabban lecseng r -rel, mint a dipól potenciálja!) r3
69
Az elektromos térerősség és a potenciál kapcsolata 2
ϕ1 − ϕ 2 = ∫ E dl
a) E → ϕ összefüggés:
(már láttuk!)
1
b) ϕ → E kapcsolat 2
∆ϕ ≡ ϕ 2 − ϕ 1 = − ∫ E d l
- az a) összefüggésből:
1
- ebből kis ∆ℓ esetén: ∆ϕ ≈ − E 1 ⋅ ∆ r (ez vektorok belső szorzata!) (amelyben E1 a térerősség az „1” pontban; ∆r = r2 – r1) - ez derékszögű komponensekkel:
∆ ϕ ≈ − (E1x ⋅ ∆ x + E1 y ⋅ ∆ y + E1z ⋅ ∆ z ) E 1x = −
∂ϕ ; ∂x 1
E 1y = −
,
amelyből:
∂ϕ ; ∂y 1
E 1z = −
∂ϕ ∂z 1
(itt az „1” index arra utal, hogy a térerő ill. a derivált értékét az „1” pontban kell venni) Vagyis:
⎛ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ⎞ E ( x, y, z ) = − ⎜⎜ ⋅ i + ⋅ j + ⋅ k ⎟⎟ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x
(itt i, j, k rendre az x, y,z irányú egységvektor)
Ez derékszögű koordinátarendszerben épp a ϕ (r) gradiense!
E (r ) = − grad ϕ (r )
→
a térerősség vektor a potenciál negatív gradiense!
70
(a leggyorsabb potenciálcsökkenés irányába mutat) __________________________________________________________ Emlékeztető:
grad U ≡ ∇U
skalártér gradiensvektora (jelölés)
skalár-vektor függvény;
a skalártér differenciálhányados vektora
- Az U(r) skalártér az r0 pontban differenciálható, ha van olyan d vektor, amely az r0 (kis) ∆r megváltozásával megszorozva (ez (minthogy irányfüggő!) vektorok skaláris szorzata!) kis (h(∆r)) hibával (pontosan: ∆r →0 esetén még relatív értékben (h(∆r)/|∆r|) is 0 -hoz tartó hibával!) megadja az U(r) (az r0 helyről való ∆r elmozdulásnak megfelelő) megváltozását: ∆U ≡ U(r0+∆r) - U(r0) = d·∆r + h(∆r)
,
amelyben
∆r →0
esetén
h( ∆ r ) →0 ∆r
.
(ez a definíció azért nem olyan alakú, mint az egyetlen skalár változós függvény differenciálhányadosát definiáló, megszokott kifejezés, mert itt a független változó ∆r megváltozása vektor, amellyel nem lehet osztani!) Ez a d vektor az r0 pontban az U(r) skalártér differenciálhányadosa, másnéven gradiensvektora. (ez a gradiens koordinátafüggetlen definíciója) - A gradiensvektor derékszögű koordinátákkal (a gradiens létezik, ha U koordinátái szerint folytonosan parciálisan differenciálható):
grad U =
∂U ∂U ∂U ⋅i + ⋅j+ ⋅k ∂x ∂y ∂z
,
ahol i, j, k rendre az x, y, z irányú egységvektor - Egy skalármező gradiensvektorának iránya minden pontban megadja a mező változása legnagyobb meredekségének adott pontbeli irányát, hossza pedig a legnagyobb meredekség nagyságát.
__________________________________________________________
71
A potenciálegyenlet (Laplace-Poisson egyenlet) felmerül a kérdés: hogyan lehet a töltéseloszlásból kiszámítani a potenciálfüggvényt? - a potenciálegyenlet megadásához szükséges: az el. teret (E) meghatározó összefüggés (→ Gauss-tétel), és az E (φ) kapcsolat
- ezeket elektrosztatikus térre már ismerjük:
ρ (r ) ε0
(1)
div E (r ) =
(2)
E ( r ) = − grad ϕ ( r )
(Gauss-tétel)
(2)-t behelyettesítve (1)-be kapjuk a keresett potenciálegyenletet:
∆ϕ = −
(
ρ ε0
itt ∆ a Laplace-operátor:
,
(ϕ (∞)=0)
Laplace-Poisson egyenlet
∂2 ∂2 ∂2 ∆ ≡ div grad ≡ + + ≡ ∇2 2 2 2 ∂x ∂y ∂z
)
- a L.-P. egyenlet egyszerű (és szép) alakú, de megoldani (egzaktul, analitikusan) általában igen nehéz, gyakran nem is lehet! ____________________________________________ Példa: Határozzuk meg síkkondenzátor feszültségét (a fegyverzetei közötti potenciálkülönbséget) a térerősség függvényében!
72
- láttuk: síkkondenzátorban E = konst. (homogén elektromos tér) - a lemezekre merőleges úton (azaz a térerősség irányában) haladva: x
ϕ a − ϕ x = ∫ E dx = E ⋅ x
(φ az x távolság lineáris fgv. -e)
0
ϕx = ϕb,
- a másik lemeznél: b – pontnál: x = d,
ϕa − ϕb = E ⋅ d
E=
→
ϕa − ϕb d
≡
V d
Ekvipotenciális felületek - a potenciáltér szemléltetésére hasznosak (többre nem!) A ϕ ( x, y, z ) = const . egyenlettel megadott felületeket ekvipotenciális felületeknek nevezik. keressük: dℓ -eket, amelyekre dϕ = 0 (ezek a dℓ -ek vannak az ekvipotenciális felület P pontbeli érintősíkjában) láttuk:
dϕ = - E dℓ
→
a keresett dℓ -ek merőlegesek E -re!
tehát: az ekvipotenciális felületek minden pontban ⊥ E -re Az erővonalak merőlegesek az ekvipotenciális felületekre!
73
Ha az ekvipotenciális felületek közötti potenciálkülönbség értéke minden szomszédos felületpárra ugyanakkora értékű, akkor az ekvipotenciális felületek (E irányában mért) sűrűsége arányos a térerősséggel. Példák: egyszerű töltésrendszerek által keltett el. tér - (baloldali ábrák:) potenciálfüggvényei (folytonos vonalak) - (jobboldali ábrák:) erővonalai (folytonos vonalak) és ekvipotenciális felületei (szaggatott vonalak) a) (pozitív) ponttöltés tere
( ϕ ∝ 1 r : hiperbolikus) b) két egynemű (pozitív) ponttöltés tere
74
c) elektromos dipólus tere
Töltésrendszer elektrosztatikus energiája Tekintsünk egy N számú ponttöltésből álló töltésrendszert (a töltés kvantált mivolta miatt ez az általános eset!)! - a rendszer potenciális energiája a töltéseiből képezhető minden lehetséges Qi, Qj töltéspár (távolságuk rij) Uij potenciális energiájából tevődik össze; a szuperpozíció elve miatt ezek összege (vigyázat, itt a Qi, Qj és a Qj, Qi töltéspár ugyanaz, így csak egyszer (pl. i<j -re) kell figyelembe venni!) (ezt úgy is indokolhatjuk, hogy ha a töltésrendszert úgy építjük fel, hogy a töltéseket -növekvő index szerinti sorrendben- a
75
végtelenből (a potenciál(is energia) választott zérushelye) egyenként mozgatjuk végső helyükre, akkor eközben a rendszer potenciális energiáját lépésenként rendre U12; U13+U23; U14+U24+U34; ... értékkel, vagyis összesen ezek összegével növeljük)
U=
- a rendszer U potenciális energiája tehát:
N
∑U
i , j =1
ij
i< j
- ezt gyakran célszerű azokkal az Ui potenciális energiákkal felírni, amelyekkel az egyes töltések N
a többi töltés terében rendelkeznek ( U i = ∑U i j ; a töltés önmagára nem hat, ezért hiányzik bej =1 j ≠i
lőle U ii ) - csakhogy ezek
∑U i
i
összegében minden Uij tag kétszer szerepel (Uij az Ui -ből, a vele meg-
egyező értékű Uji pedig az Uj -ből), noha U fenti kifejezésében csak az egyikre (a kisebb első indexűre) van szükség, emiatt:
1 N U = ⋅ ∑U i 2 i =1
, vagyis:
A töltésrendszer potenciális energiája azon potenciális energiák összegének a fele, amelyekkel a rendszer egyes töltései a rendszer többi töltésének terében rendelkeznek. - az e kifejezésben szereplő Ui -ket sokszor előnyös a többi töltés terének az adott töltés helyén vett φi potenciáljával kifejezni (Ui=φi·Qi), ezekkel: A töltésrendszer potenciális energiája:
1 N U = ⋅ ∑ Qi ⋅ ϕi 2 i =1
,
ahol φi a rendszer többi töltése által keltett elektromos tér potenciálja a Qi helyén; értéke:
76
(amint azt korábban, a potenciál tárgyalásakor láttuk:)
ϕi =
1 4π ε 0
N
⋅∑
Qj
j =1 ri j j ≠i
Töltött vezetőkből álló rendszer energiája - tegyük fel, hogy a Q1, Q2, ... töltésű „1”, „2”, ... testek (ld. ábra) anyaga vezető! - láttuk: elektrosztatikus egyensúlyban minden vezető teljes térfogata ekvipotenciális tartomány → adott vezető minden töltésének ugyanakkora a potenciálja (ϕ1, ϕ2, …) → fenti eredményünk tehát esetünkre közvetlenül alkalmazható: Töltött vezetőkből álló rendszer energiája: U =
1 1 Q 1ϕ 1 + Q 2ϕ 2 + K 2 2
ahol ϕ i a többi töltés (Q j, j ≠ i) terének potenciálja az i. test (teljes) térfogatában ez folytonos töltéseloszlásra: - felületi töltéseloszlásra:
( Q = ∫ σ df )
U=
1 σ ϕ df 2 ∫f
- térfogati töltéseloszlásra:
( Q = ∫ ρ dV )
U=
1 ρ ϕ dV 2 V∫
77
Az elektromos tér energiája Határozzuk meg egy Q töltésű, nagyméretű síkkondenzátor energiáját! - nagyméretű → az inhomogén tér térfogata << a homogén tér térfogatánál (ui. a kerület a lineáris méret 1., a felület viszont a lineáris méret 2. hatványával nő!) → így a tér homogénnek tekinthető! A töltésrendszer energiájára kapott korábbi eredményünkből a kondenzátor pot. energiája:
U =
1 1 1 1 1 1 Q 1 ϕ 1 + Q 2 ϕ 2 = Q ϕ 1 − Q ϕ 2 = Q (ϕ 1 − ϕ 2 ) = Q ⋅ E ⋅ d 2 2 2 2 2 2 (↑ láttuk: ϕ1 - ϕ2 = E⋅d) (ϕ helyett az E térerősséget akarjuk behozni!)
- láttuk: E =
Q σ = ε0 ε0 ⋅ f
→
ebből E(Q) ill. Q(E) kifejezését a jobboldalon beírva kapjuk:
1 Q2 d U= ⋅ ⋅ 2 ε0 f
ill.
1 1 2 2 U = ε0 E f d = ε 0 E ⋅V 2 2
V = f ⋅ d a kondenzátor térfogata ↑ (amelyben az E ≠ 0 elektromos tér található)
→ a jobboldali kifejezésből a térfogategységre eső potenciális energia:
1 U = ε0 ⋅ E2 2
az elektromos tér energiasűrűsége
78
1 2 U = (ezzel: ∫V 2 ε 0 E dV ) Hol tárolódik az elektromos energia?
- a töltések hordozzák? - az elektromos tér hordozza?
Az időben változó elektromos terek elektromágneses hullámként, az azokat létrehozó töltésektől függetlenül terjednek ⇒ AZ ELEKTROMOS TÉRBEN!
