Elektromágneses terek (VIHVA204, BSc kurzus) Szóbeli vizsgakérdések 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
Ismertesse az elektromágneses tér forrásmennyiségeit és a köztük lévő kapcsolatot! Ismertesse az elektromágneses tér intenzitásvektorait és a köztük lévő kapcsolatot! Ismertesse az elektromágneses tér gerjesztettség vektorait és a köztük lévő kapcsolatot! Ismertesse az elektromágneses tér térjellemzőire vonatkozó folytonossági és peremfeltételeket! Ismertesse a Maxwell egyenletek integrális és differenciális alakjait! Ismertesse az elektrodinamika felosztását! Ismertesse az elektromágneses térben az energiasűrűségre és az energiaáramlásra vonatkozó összefüggéseket! Ismertesse az elektrosztatika Poisson egyenletét és megoldását! Ismertesse az áramlási tér alapösszefüggéseit! Ismertesse a elektrosztatika Laplace egyenletét és a peremfeltételeket! Ismertesse az elektrosztatikus feladatok megoldását a helyettesítő töltések módszerével!
12. 13.
Ismertesse az elektrosztatikus feladatok megoldását az integrálegyenletek módszerével! Ismertesse a véges differenciák módszerét!
14. 15.
20. 21.
Ismertesse a részkapacitások fogalmát és meghatározásának módját! Ismertesse a stacionárius áram mágneses terére vonatkozó összefüggéseket, a vektorpotenciál bevezetését! Ismertesse a Biot-Savart törvényt, az ön és kölcsönös indukció együttható számítását! Ismertesse a távíróegyenleteket és megoldásukat szinuszos gerjesztés esetén! Ismertesse a lezárt távvezetékeken a reflexió tényező, a bemeneti impedancia fogalmát! Ismertesse speciális lezárások esetén az ideális távvezetéken kialakuló áram- és feszültségviszonyokat, állóhullámokat! Ismertesse a távvezeték illesztési kérdéseit, vezetékcsonkkal, ill. ideális transzformátorral! Ismertesse az ideális távvezeték szakaszból készült rezgőrendszert és tulajdonságait!
22. 23.
Ismertesse a távvezetékek időtartománybeli vizsgálatát, a menetdiagramokat! Ismertesse a síkhullámokra vonatkozó egyenleteket és tulajdonságait! Ismertesse a távvezeték
16. 17. 18. 19.
26. 27. 28.
analógiát! Ismertesse a síkhullámok viselkedését ideális és veszteséges szigetelőben, a síkhullámok polarizációját! Ismertesse a síkhullámok viselkedését vezetőben, az áramkiszorítás jelenségét, váltakozó áramú ellenállás fogalmát! Ismertesse a TE és TM módusú hullámterjedésre vonatkozó összefüggéseket! Ismertesse a Hertz dipólus elektromágneses terét! Ismertesse a Hertz dipólus távoli terét, az antenna jellemzőket!
29. 30.
Ismertesse a TE módusú csőtápvonalra vonatkozó összefüggéseket, erővonalképet! Ismertesse a TM módusú csőtápvonalra vonatkozó összefüggéseket, erővonalképet!
31.
Ismertesse a csőtápvonalakban haladó hullám diszperziós egyenletét és a határhullámhossz fogalmát!
24. 25.
1 - Ismertesse az elektromágneses tér forrásmennyiségeit és a köztük lévő kapcsolatot! Forrásmennyiségek: •
Töltés o o o o
Minden elektromágneses jelenség oka Jele: Q Mértékegysége: C (Coulomb), As (Amper szekundum) Nagyszámú töltött részecskék fizikájával foglalkozunk, kvantáltságot elhanyagoljuk ( 1.6 ∙ 10 ) o Töltéseloszlások: makroszkopikusan kicsi, mikroszkopikusan nagy térrészt kell választani Térbeli:
Felületi:
Vonalmenti: o Coulomb törvény: | |
•
két töltés között fellépő erő : Vákuum permittivitása, értéke 8,854 ∙ 10 Tapasztalati törvény Azonos előjelű töltések taszítják, ellentétes előjelűek vonzzák egymást
Elektromos áram o A töltések mozgása o Áramsűrűségek: Térbeli:
Felületi: Vonalszerű: I [A]
̅̅
!"#
o Ampère törvény | | két áramjárta vezetődarab között fellépő erő ($%##& ≃ ∞, ≃ 0) tapasztalati törvény ) : Vákuum permeabilitása, értéke 4* ∙ 10 Forrásmennyiségek kapcsolata: • +,-.• Folytonossági tétel o A töltés megmaradásának elve o / 0 → ̅̅ / 0 → +1 ̅ / 0 •
Mozgó töltések árama o
∙ ∙∙
∙1
o 1 o vektorosan is igaz különböző töltések esetén: ̅ 1̅ / 1̅
2 - Ismertesse az elektromágneses tér intenzitásvektorait és a köztük lévő kapcsolatot! Általánosságban: • Az erőteret a forrás- és gerjesztőmennyiségek hozzák létre, ebben az esetben töltések, áramok. • Az elektromágneses tér nem csak erőhatást közvetít, hanem o az energia hordozója o a teljesítmény közvetítője Villamos térerősség • Jele: E, Mértékegysége: V/m • 2" •
Vonalintegrálja: feszültség o 3 2" ̅ 3 : A és B pont között eső feszültség
o A feszültség egy skaláris térjellemző o Energetikai tartalma: A-ból B-be vitt töltésen végzett munka: 4 3 o Ha konzervatív az erőtér, akkor ∮ 2" ̅ 0 → 2" / 2" 0 → 2" 2" Az integrálás tehát útfüggetlen ! o Potenciál: Adott P pont és az ’O’ alappont között eső feszültség: 6 2" ̅ o Az alappont megváltoztatásával 6 egy konstanssal változik ! o 3 2" ̅ 2" ̅ / ! 2" ̅ → 2" ̅ 2" ̅ 7 2" ̅ → 6 7 6 o Térerősség számolása skalárpotenciálból: 6 72" ̅ 6 89:6 ̅
2 789:6 Mágneses indukció • jele: B, mértékegysége: #/< • " ,1̅ = >" . • 1̅ ∙ ∙ ∙ 1̅ ̅ ̅ ̅ → " ̅ = >" • Mérőkeret: o ? 2: >#+!6; T: nyomaték o mágneses dipólnyomaték: < ) !" o ?" < = >" •
•
felületi integrálja: mágneses fluxus o Számítása: A ≜ >" ̅ , mértékegysége: Vs ∮ >" ̅ 0 → +1> 0
o tapasztalati törvény o B vonalak zártak, B tér forrásmentes (nincs mágneses töltés)
Térintenzitások kapcsolata • Lorentz-törvény: " ,2" / 1̅ = >" . •
o 3" 7
Faraday-féle indukciótörvény: #
o minden időben változó fluxus környezetében feszültség indukálódik. A vezető hurok „integrálja” a villamos térerősséget
o
∮$ 2" ̅ 7 >" ̅ → 9%-2" 7
3 - Ismertesse az elektromágneses tér gerjesztettség vektorait és a köztük lévő kapcsolatot! Eltolási vektor (villamos eltolás)
•
jele: D, mértékegysége: #/< C C ,2" . o általános esetben: C 2" / D" P: villamos polarizáltság lineáris, izotróp közegben D" lineáris függvénye 2" -nek: D" E2" • E: villamos szuszceptibilitás; E F 0 Ebben az esetben C 2" / E2" ,1 / E.2" ≡ 2" ≡ 2" o lineáris, izotróp közegben tehát C 2"
• •
o Zárt felület villamos fluxusa megegyezik a benne lévő össztöltéssel o csak akkor hozható ki az integrál elé, ha értéke állandó a felület mentén o Differenciális alak megkapható a Gauss tétel alkalmazásával: +1 C E-nek ott is forrása van, ahol változik (az anyag polarizációjából fakadóan) Elektrosztatikában E mindig örvénymentes, de D lehet örvényes is
• •
Gauss törvény: ∮ C ̅
Mágneses térerősség • •
•
jele: H, mértékegysége: A/m >" >" ,H . o általános esetben: >" ) ,H / I. M: mágneses polarizáltság lineáris, izotróp közegben I lineáris függvénye H -nak: I JH • J: mágneses szuszceptibilitás; J K 0 Ebben az esetben >" ) ,H / JH . ) ,1 / J.H ≡ ) ) H ≡ )H o lineáris, izotróp közegben tehát >" )H Gerjesztési törvény: ∮ H L /
%
M
o az áram – és az eltolási áram is – mágneses teret kelt o ) csak akkor hozható ki az integrál elé, ha értéke állandó a vonal mentén
Gerjesztési vektorok kapcsolata • •
∮ H ̅ L ̅ / 9%-H ̅ /
& %
& %
M ̅ |#-%O#
Az áramsűrűségre vonatkozó folytonossági tétel • • • •
9%-H ̅ /
& %
|div mindkét oldal
+19%-H +1 ̅ / +1 C
+19%-H +1 ̅ / +1C
|C -nél a tér- és az idő szerinti deriválás felcserélhetőek |mat: divrot x = 0; +1C
+1 ̅ / 0 →folytonossági tétel
4 - Ismertesse az elektromágneses tér térjellemzőire vonatkozó folytonossági és peremfeltételeket!
Folytonossági feltételek: • •
Két közeg határán a teret jellemző vektorok mindig ezek alapján viselkednek Villamos térerősségre: o ∮ 2" ̅ >" ̅
o lim ,2 / 2( # 7 2 / 2(( #. lim L7# ∙ M → 2 7 2 0
2 2
→
o •
→
o A villamos térerősség tangenciális komponense folytonosan megy át a közeghatáron Mágneses térerősségre: o ∮ H ̅ ̅̅ o lim→ ,H / H( # 7 H / H(( #. → H 7 H o H 7 H
•
o A mágneses térerősség tangenciális komponense ugrik, ha a felületen áram folyik A mágneses Indukcióvektorra: o ∮ >" ̅ 0 o lim→ S7>) / >) / ΔA*+ á U 0 o
•
o A mágneses indukcióvektor normális komponense folytonosan megy át a közeghatáron Az elektromos eltolási vektorra o ∮ C ̅ - -./ / o lim→ S7C) / C) / ΔA*+ á U o
•
>) >)
C) 7 C)
o Az D vektor normális komponense ugrik, ha a közeghatáron felületi töltéssűrűség van Áramsűrűségre o ∮ ̅̅ 7 o ) 7 )
0
→ /) /)
o Közeghatáron a totális áramsűrűség normális komponense folytonosan megy át
Peremfeltételek •
•
Fém elektróda belsejében a villamos térerősség 0. A folytonossági feltétel alapján a perem másik oldalán 0 a tangenciális komponense az elektróda felületére E vektor minden pontban merőleges. Következmény: az elektróda felülete ekvipotenciális Ideális fém belsejében H = 0. Ebből adódóan H
5 - Ismertesse a Maxwell egyenletek integrális és differenciális alakjait!
Kiegészítés az eddigiekhez •
Eltolási áramsűrűség o Kondenzátor töltése során a fegyverzeten változik a töltéssűrűség o Az áramsűrűség vektorok nem záródnak (fegyverzetek: nyelő és forrás) o
•
á
o ki kell egészíteni a gerjesztési törvényt Beiktatott (vagy idegen) térerősség o Olyan térerősség, amelyet az elektrodinamikán kívül eső jelenség kelt (pl. kémiai töltésszétválasztás – galvánelem). Ezt a térerősséget is figyelembe kell venni a differenciális Ohm törvényben.
Integrális alak •
Gerjesztési törvény: % o ∮ H ̅ L ̅ / M ̅ $
•
$
•
•
• •
o Az áram - és az eltolási áram is - mágneses teret kelt Indukció törvény: ̅ o ∮ 2" ̅ 7
o A mágneses indukció időbeli változása villamos teret kelt Mágneses Gauss tétel: o ∮ >" ̅ 0
o A mágneses erővonalak zártak, mágneses monopólus nincs Elektrosztatikus Gauss tétel: o ∮ C ̅
o Zárt felület villamos fluxusa megegyezik a benne lévő össztöltéssel Anyagjellemzők: o C 2" >" )H ̅ ,2" / 2"1 . Energiasűrűség o V 2 / )H
o A fizika többi ágával teremt kapcsolatot
Feltételek: • • • •
lineáris, izotróp közeg (D(E), B(H), J(E) lineáris, irányfüggetlen) V ∙ ≫ $X, vagyis nem vesszük figyelembe az energia kvantáltságát ∙ ≫ , vagyis nem vesszük figyelembe a töltések kvantáltságát 1 ≪ Z, különben a relativisztikus Maxwell egyenletekkel kell dolgozni
Átalakítás: • •
Stokes tétel: ∮$ 1̅ ̅ 9%-,1̅ .̅ Gauss tétel: ∮ 1̅ ̅ +1,1̅ .
Differenciális alak: •
% 9%-H [ ̅ / ; &
9%-2" 7 ; +1>" 0; +1C
6 - Ismertesse az elektrodinamika felosztását! Maxwell egyenletek: • • • • •
= ̅ +
= −
= 0 =
= = ̅ = +
Elektrosztatika: ̅ = 0; • • • •
A nyugvó töltések által keltett elektromos tér számításával foglalkozik = 0 =
=
Stacionárius áramlási tér: • • • •
=0
= 0
̅ = 0 ̅ =
=0
kvázistacionárius tér (pl. nagyfeszültség ~50Hz):
Stacionárius áramok mágneses tere: = 0
• • • • •
≪ |̅|
Időben állandó áramok által keltett mágneses terek számításával foglalkozik = ̅
= 0
= ha ̅ = 0 magnetosztatika
Időtől függő jelenségek: •
Elektromágneses hullámok: a teljes Maxwell egyenletrendszer
7 - Ismertesse az EM térben az energiasűrűségre és az energiaáramlásra vonatkozó összefüggéseket! Energiamérleg • • •
= ̅ + M(II): = − ; M(I):
− ∙ ==> ∙ − ∙ = − − − ∙
o vektorazonosság: ̅ ∙ − ∙ ̅ = × ̅ ; é időgüggetlen
= ̅ + × − −
o = + , ℎ = → = 2 → = ( )′
o ̅ → ̅ + → − !!!"
ണത మ
−
•
−
−
$ = − + × # $ − #
•
మ
+ & = %
& − '( (*
& + % %()( '((((()(((((* '() (*
మ
é á
•
ő
|integrálás V térfogat szerint × + % '( $ (()(((*
!á"#
" á% "í&é'
Jelentése: Ha csökken adott térfogat elektromágneses energiája, akkor annak egy része hővé válik, egy része pedig sugárzás formájában távozik. A térfogatban lévő források növelik az összenergiát.
Joulehő •
l hosszúságú A keresztmetszetű vezetőre: %
మ
& = ∙ $ = ,
Források • •
Feszültség- és áramforrások az előjel a termelő jellegre utal
Kisugárzott teljesítmény •
Poynting vektor o definíciója:-̅ = × $
(
o Mértékegysége: &మ , &మ o megadja egy felületegységen a felületen áthaladó teljesítményt
Energiamérleg másik felírása: + . + ." = 0
•
(
• • •
Energiasűrűség: w Teljesítménysűrűség: p Poynting vektor: S
W = % / & P = % pdV P) = % S dA
8 - Ismertesse az elektrosztatika Poisson egyenletét és megoldását! Poisson egyenlet • • • •
Elektrosztatika: 9%-2" 0 +1C C 2" Ezekből: 2" 789:6 +12" Ezekből: +189:6 7 , vagyis
Δ6 7
Descartes koordináta rendszerben: Δ6
2 3
/
2 4
/
2 5
Poisson egyenlet általános megoldása
• • • •
Egy pontszerű töltés potenciálja tőle r távolságban: ∙
rész töltései által létrehozzott potenciál: 6,D.
Egy tértöltésfelhő úgy hozza létre a potenciált, mint pontszerű töltések szuperpozíciója A teljes potenciál P pontban: 6,D.
• Kibontva: , , •
1
697
∭ 4<=
67∙
, ,
Egy töltés pontszerűnek tekinthető, ha r >> mint a V legnagyobb lineáris mérete
9 - Ismertesse az áramlási tér alapösszefüggéseit! A =0 A
Maxwell egyenletek: • • • • •
= ̅ +
= −
= 0 =
= = ̅ = +
Stacionárius áramlási tér: • • •
= 0
̅ = 0 (nincs töltésfelhalmozódás) ̅ = (differenciális ohm örvény)
Peremfeltételek • • •
Elektrosztatikában az elektróda ekvipotenciális felület, de stacionárius áramlási térben ez nem mondható ki (a fém véges vezetőképességű). Töréstörvény: #ó ≫ #ö% esetén az elektróda felülete közelítően ekvipotenciális Az elektróda peremén ̅ = 0
Analógia • •
Az alapegyenletek hasonlósága és a peremfeltételek teljesülése mellett analógia fedezhető fel az elektrosztatika és a stacionárius áramlási tér mennyiségei között C és G kapcsolata +̅ 1 ∮ ∮ +̅9 0= = = 2 % 4 ̅ % 4 ̅ 7 = ∮ ̅ +̅ ∮ +̅ 8 5= = = 7 2 % 4 ̅ % 4 ̅ 6 elektrosztatika : ; < > == ? = @
áramlási tér ̅ 5= 2
Egyenáramú ellenállás: • •
,=
* $
= $
ρ: fajlagos ellenállás σ: fajlagos vezetőképesség l: hasáb hossza A: hasáb alapfelülete
10 - Ismertesse az elektrosztatika Laplace egyenletét és a peremfeltételeket! Laplace egyenlet: • •
Poisson egyenlet: ΔB = −
*
= 0 töltésmentes (forrásmentes) esetben: ΔB = 0 +
Peremfeltételek levezetése •
Kiindulás: o A felületi töltéssűrűséget nem ismerjük, nem foglalkozunk vele o a vizsgált térrészben = 0
o Ha ez a kettő igaz, akkor miből lesz a tér? A kezdeti feltételekből! Itt: a peremértékekből o Peremérték: az elektródák felületén fellépő térerősség és potenciál
•
A Laplace egyenlet egyértelmű megoldhatóságának feltételei
o Green tétel (aszimmetrikus): ∮$ + = % ∙ ΔC + (C) ∙ ( ) &
o
TFH a Laplace egyenletnek létezik két megoldása: B ; B
n: az A felület normálisa
Mindkét megoldásra igaznak kell lennie: •
Δφ = −ρ/ε kielégítik a Poisson egyenlet
•
Ha egy AD felületen elő van írva a potenciál értéke (f(s) - tetszőleges helyfüggvény is lehet), itt mindkét megoldásnak meg kell egyeznie
•
Ha egy AN felületen a potenciál normális irányú deriváltja van előírva (g(s) – tetszőleges helyfüggvény is lehet), itt is meg kell egyezniük a megoldásoknak
Vegyük a megoldás különbségét: B − B ≜ D Green tétel alkalmazása: = C = D •
•
∮$ D + = % DΔD + (D) &
,
D + + '(()((* D & ∮ ∮$ D + = % D ΔD E +
'()(* $ವ '(()((* ಿ
,
,
....
--.
/భ
/మ
•
II. AN felületrészen
•
III. ΔB = ΔB → ΔD = 0
•
-.
I. AD felületrészen B = B → D = 0, tehát az integrál 0 -.
•
/A felület felbontása: A=AD+AN
=
→
,
= 0, tehát az integrál 0
IV. Az előző három miatt D = 0 → B − B = FG G
A térerősség számításakor a deriválás során kiesik a konstans o Tehát: Ha a felület egy részén a potenciál, egy másik részén pedig annak a normális irányú deriváltja elő van írva, akkor a Laplace egyenlet egyértelmű megoldáshoz vezet.
• •
Dirichlet típusú peremfeltétel: A felületen előírjuk a potenciált (pl. elektróda) B|$ವ = ( ) Neumann típusú peremfeltétel: A felületen előírjuk: o Homogén: = 0, tehát 0 = 0
o Inhomogén: ( ) ≠ 0
o Szimmetriák kezelésénél jól alkalmazható
/
H
$ಿ
= ( )
11 - Ismertesse az elektrosztatikus feladatok megoldását a helyettesítő töltések módszerével! Az elektródák terét (az elektródákon kívül) úgy számítjuk, mintha a helyettesítő töltések hozták volna létre. Kritérium: a helyettesítő töltések együttes potenciálja ekvipotenciálissá kell tegye az elektródák felületét (teljesüljenek a peremfeltételek). Ekkor a helyettesítő töltések potenciálja eleget tesz a Laplace egyenletnek, kivéve a töltés helyét. Poisson egyenlet megoldásának közelítése: 697 • 6,D. •
•
Ha 9 9 távolság S ponttól való függése elhanyagolható térrészen belül, akkor kihozható az integrálból. 9 ≜ 9 9 6,D. , tehát a töltött térrész egy ponttöltéssel helyettesíthető ,]. ∙
Alkalmazás: • •
Egyedülálló töltött gömb ponttöltés a gömb közepén Két töltött gömb egy-egy ponttöltés a gömbök közepén o csak közelítő eredményt ad, de használható
•
Egyedülálló fémhenger vonalmenti töltés a fémhenger tengelyén
q
•
Két fémhenger egy-egy vonalmenti töltés a fémhengerek tengelyén o ezzel a megoldással csak közelítő eredményt ad, de használható o ha a vonaltöltéseket nem pont a tengelyre helyezzük, akkor pontos megoldást is adhat
•
Fémsík, felette tetszőleges töltéseloszlás a töltések tükrözése a fémsíkra ellentétes előjellel
•
Két fémsík alkotta sarok o a töltések tükrözése a síkokra ellentétes előjellel o a töltések középpontos tükrözése a síkok metszésvonalára az eredetivel megegyező előjellel
q h
q
Q
-Q
Q
Q
-Q
h
h -q
12 - Ismertesse az elektrosztatikus feladatok megoldását az integrálegyenletek módszerével!
Integrálegyenlet a felületi töltéssűrűségre • • • • • •
Feladat: elektróda terének meghatározása úgy, hogy a felületen nem ismerjük a töltéssűrűséget, csak a potenciált A peremet felosztjuk részekre, itt a felületi töltéssűrűség A peremen a potenciálnak 6 -nak kell lennie. A peremen a potenciál a Poisson képlet megoldásából: 6
0 ∮
Innen csak a ismeretlen, ez egy integrálegyenlet. Az integrálegyenlet megoldása után a felületi töltéssűrűségből megkaphatjuk az egész teret
Az integrálegyenlet numerikus megoldása • • • • •
A felületet N felületdarabra osztjuk Minden ilyen felületdarabon " -t konstansnak tekinthetjük, ponttöltéssel helyettesíthetjük Az integrálegyenlet teljesülését N pontban megköveteljük, ebből N egyenlet születik Ezeket a pontokat célszerű az ismeretlen pontjának választani, innen a módszer neve: kolokáció (egybeejtés) A felületi töltéssűrűség eloszlás kiszámítása tehát: 6
∙ ∙ ^
6 ∙ ∙ ^
0
; 0
6 ∙ ∙ ^
0
;
0
;
/
⋮
;
/
0
;
/
0
;
/⋯/
0
;
/⋯/
0
;
/ ⋯/
0
` `
;
`
Általánosabban: két elektródás feladat
•
D és D pont potenciáljába a mind a két elektróda felületi töltéssűrűsége beleszámít 1 1 6 b / b 4* 9* 4* 9*
1 1 6 b / b 4* 9* 4* 9*
•
Az egyik felületet c , a másikat c részre osztjuk, ebből c / c egyenletet kapunk
13 - Ismertesse a véges differenciák módszerét! A véges differenciák módszere (vagy rácsmódszer) egyike a Laplace egyenlet numerikus megoldásainak: A megoldandó térrészt egy rács segítségével felosztjuk, majd a potenciált csak a rácspontokban keressük. A módszer segítségével a peremfeltételek meghatározása után egy véges térrész potenciál és térerősség függvényei gyorsan megkaphatóak mátrixszámítások segítségével.
A megoldás menete •
Kiindulás: o I. Töltésmentes villamos teret feltételezve ∮ 2" ̅ 0 o II. Konzervatív villamos teret feltételezve ∮ 2" ̅ 0
o A határfelületeken előírjuk a zérus Neumann peremfeltételt: ) 0 → 2) 0
• •
•
o Elektródákon Dirichlet peremfeltétel: az adott rácsponton ismert lesz 6" értéke > II. következménye: 9%- 2" 0, ezért a rácspontok között alkalmazhatjuk az 2 egyszerűsítést
I. egyenlet egy adott rácspont körül általános helyen: (J: jobb, B:bal, F:fent, L:lent) 2? / 2$ / 2 / 2 0 | 2 3/, %#&-á# 7 1: 6 7 6? 6 7 6$ 6 7 6 6 7 6 / / / 0 | ∙ 46 7 6? 7 6$ 7 6 7 6 0 I. egyenlet egy adott rácspont körül határfelület szélén: 2? / 2$ / 2 0
22
•
/
22
/
22
0
46 7 26? 7 6$ 7 6 0
I. egyenlet egy adott rácspont körül 2 határfelület sarkán:
2 / 2$ 0 ?
22
/
22
0
46 7 26? 7 26$ 0
•
2
6 6 e @A@ ∙ f g 0 Az egyenleteken a rács minden pontjára fel lehet írni: I ⋮ 6@ o M mátrix főátlójában mindenhol 4-es szerepel (hiszen 46" 7 ⋯ 0) o Az összes többi elemre érvényes, hogy <"B h 0 o M mátrix úgynevezett sávos/ritka (sparse) mátrix lesz c helyett kb. 5! memóriaterület optimalizált algoritmusokkal lehet dolgozni velük (pl. inkomplett LU dekompozíció)
14 - Ismertesse a részkapacitások fogalmát és meghatározásának módját! Kapacitás •
két semleges fém elektróda közé U feszültséget kapcsolunk
•
Az egyik +Q, a másik –Q töltésűre töltődik, ahol Q arányos lesz a feszültséggel
•
kapacitás: ≜ >
Részkapacitások •
Kettőnél több elektróda van, itt a teljes rendszer össztöltése lesz 0
•
Meghatározásuk:
o Maxwell együtthatók ,i"B . felírása: 6" i̅̅ ∙ "
i"B
C
D!
j
D "! E
i"B iB" o Invertálás: " i̅̅ = 6" Z̅̅ = 6"
o Bővítés, átrendezés " " 6" / " ,6" 7 6 . / ⋯ / ") ,6" 7 6) . alakra
Itt "B együtthatók már a részkapacitások Mivel i"B iB" , ezért "B B"
Példa •
3 elektróda + föld
6 i / i / iF F
6 i / i / iF F
̅̅ ̅̅
6F iF / iF / iFF F
Z 6 / Z 6 / ZF 6F
Z 6 / Z 6 / ZF 6F
F ZF 6 / ZF 6 / ZFF 6F
Z 6 / Z 6 / ZF 6F / Z 6 / ZF 6 7 Z 6 7 ZF 6
Z 6 / Z 6 / ZF 6F / Z 6 / ZF 6 7 Z 6 7 ZF 6
F ZF 6 / ZF 6 / ZFF 6F / ZF 6F / ZF 6F 7 ZF 6F 7 ZF 6F
15 - Ismertesse a stacionárius áram mágneses terére vonatkozó összefüggéseket, a vektorpotenciál bevezetését! 9%-H [ ̅ /
Maxwell egyenletek: • • • • •
& %
9%-2" 7 +1>" 0
+1C C 2" >" )H ̅ ,2" / 2"1 .
y 0 y-
Stacionárius áramok mágneses tere: • • • •
9%-H ̅ +1>" 0 >" )H
ha ̅ 0 magnetosztatika
Vektorpotenciál • • • • • • • •
ha B-t egy vektor rotációjából vezetjük le, akkor a +1 >" 0 automatikusan teljesül. >" 9%- ̅ 9%-H ̅ |>" )H 9%->" ) ̅ |>" 9%-̅ 9%-9%-̅ ) ̅ |<:-: 9%-9%-̅ 89: +1 ̅ 7 Δ̅ 89: +1 ̅ 7 Δ̅ ) ̅ mértékválasztás: +1̅ értékével szabadon rendelkezünk; Coulomb mérték: +1̅ ≜ 0 Δ̅ 7) ̅
Descartes koordináta rendszerben:
A Δ̅ ) ̅ egyenlet általános megoldása •
• •
y 3 y 3 y 3 / / 7) 3 yz y{ y& y 4 y 4 y 4 Δ4 / / 7) 4 yz y{ y& y 5 y 5 y 5 Δ5 / / 7) 5 yz y{ y& Δ3
Elektrosztatikában: Δ6 7 , aminek az általános megolása: 6,D.
G̅67 Ezzel analóg módon: ̅,D.
Tér meghatározása: forrás , ̅.segédmennyiség ,̅.tér ,H .
Fluxus számítása vektorpotenciálból • Jelölés: mivel a vektorpotenciál jele A, a felületé legyen F • Φ >" " |>" 9%-̅ •
•
Φ 9%-̅" |]-%O#: ̅ " ∮ ̅ ̅
Φ ∮ ̅ ̅
Vonalszerű vezető vektorpotenciálja: • • •
G̅67 ̅,D. | ∙
G̅67 ̅,D. ̅ | ̅ ∙ , <+!!$% :&%!%#
̅,D. ∮$ ̅
697
16 - Ismertesse a Biot-Savart törvényt, az ön és kölcsönös indukció együttható számítását!
Biot-Savart törvény levezetése • • • •
Vonalszerű vezető által keltett mágneses térerősséget szeretnénk kiszámolni egy P pontban vonalszerű vezetőre: ̅,D. ̅
>" 9%-̅ →B csak a P pontban kell: >" ,D. 9%- ̅ |̅ }${--#í-é# >" ,D. 9%- L ∮ ̅ M ∮ 9%- L ̅ M
o 9%-
o
$
$ L ̅ M |<:-: 9%-,:
∙ 9%- S̅ U / 89: L
∙ 1̅ . : ∙ 9%- 1̅ / 89:,:. = 1̅
M = ̅ |9%- S̅ U 0, mert ̅ csak S-től függ, P-től nem
o 89: L M = ̅ |89: L M 7 9̅ , ahol9̅ ̅ , vagyis r irányú egységvektor
|negatív előjel eltűnik, ha megcseréljük a keresztszorzás sorrendjét
o
o
̅ ̅ ̅ ̅
0
∮ • 4 ∮ 2 0 → 2 4 ̅
̅
o A betűk jelentése H ,D".: Az vezeték által keltett mágneses térerősség a P pontban I: A vezetéken folyó áram :̅ A vezeték egy pontszerű darabja 9̅ : ̅ pontból P felé mutató egységvektor 9: P és dl pontok távolsága
̅
̅
r
P
I
Önindukciós együttható • • • •
A >" ̅ ≜
#
A vezető keretben létrejövő mágneses fluxus aránya az őt létrehozó árammal Szolenoid esetén a keretre feszített felület olyasmi mint a húsdaráló spirálja. (Fluxuskapcsolódás) o Ezen a felületen közelítően: A cA -)-
Kölcsönös indukciós együttható • • •
≜
#
E
Egy árammentes vezető keretben keletkező fluxus aránya az őt létrehozó, de másik vezetőben folyó árammal Ha nincsenek ferromágneses anyagok, akkor
17 - Ismertesse a távíróegyenleteket és megoldásukat szinuszos gerjesztés esetén! ( + , )
(, )
l
(, )
( + , )
(, )
(, )
( + , )
( + , )
dx
dx
Ha egy vezető hossza összemérhető a rajta terjedő jel hullámhosszával, akkor az elosztott paraméterű hálózatokra érvényes egyenletekkel kell dolgozni. A távíró egyenletek • A távvezeték paraméterei: R’, G’, L’, C’ • ∮ 4 ̅ = − % +̅ felírása az l körre
o szakaszok felosztása:I, ,′ I, I + I, ,′ I ; D = ∫ + i esetén mindegy, hogy melyiket írjuk fel, mert a limes után I, = (I + I, )
o – I, + I, , I + I + I, + I, , I = − ,
, ≜ , + , ; D = J = IJ
o −I, + I + I, + I, , I = − K IJ I, L osztás dx-szel, IJ′ idő szerint konstans
o
1232,45 12,4
•
12,4
+ , I, = −J
12,4
lim2→6 M G Fé 4 4 , lim2→6
2
o
+ , I, =
12,4 −J
1232,45 12,4 2
→ − 2 = , + J′
≜ 2
7 ∮$ ̅ +̅ = − felírása a felső eret körülvevő dx hosszú hasábra 2
o szakaszok felosztása: I, I5 I, I + I ; 1 = 02 = I0 (I, ) u esetén mindegy, hogy melyiket írjuk fel, mert a limes után I, = (I + I, )
o − I + I5 I, + I + I, = − I0′
o
(2,) 2
+ 5 I, = −0′
lim2→6 M G Fé 4 4 , lim2→6
2
o
osztás dx-szel, I0′ idő szerint konstans
1232,45(2,)
+ 5 I, = −0
12,4
1232,4512,4 2
→ − 2 = 5 + 0′
≜
2
A távíróegyenletek megoldása szinuszos gerjesztés esetén: AI/A = NI •
• •
IO 8 L, I, = ℝOK ̅ IO 8 L Helyfüggő komplex csúcsértékek bevezetése: I, = ℝOK2 IO 8 L$ = , ℝOK ̅ IO 8 L + J #ℝOK ̅ IO 8 L$ − 2 = , + J → − 2 #ℝOK2
−ℝO # 2 O 8 $ = ℝOPK, ̅ I + NJ ̅ ILO 8 Q 9
o o o o
t=0 behelyettesítéssel: O 8 = 1, tehát a két komplex szám megegyezik t=T/4 behelyettesítéssel O 8 = , tehát a két komplex szám megegyezik mivel a felső kettő teljesül, ezért minden t időpillanatban megegyezik a két komplex szám a másik egyenlettel hasonló módon ugyanez jön ki
• • • • • • •
. 7
. 7
& > 3 ̅
3
, ( / ( . ,̅ z.
, ( / ( .3,z.
I. egyenletet még egyszer deriválva: 7 3 , ( / ( . & >
behelyettesítve a II. egyenletet: 7
& > 3
6̅ 37 3
( 7 , / ( ., ( / ( . 3,z. →
A fenti diff. egyenletet kielégítik: I&3 ; I&3 ; és ezek lineáris kombinációi A megoldás tehát: 3,z. 3 I&3 / 3 I&3 & I
Kell még az áram: I. egyenletből: ,̅ z. 7
,̅ z. o
& I
M# BN$#
M# BN$# & I
3 I&3 7
3 I&3
& I
M# BN$#
M# BN$#
O6M# BN$# 76P # BNQ # 7
• A megoldás tehát:
M# BN$#
&637 > 3
7
M# BN$# 3
> & 3,z.
JK á -L4-) -
3
,3 I&3 . /
3
,3 I&3 .
P # BNQ # ≜ hullámimpedancia M# BN$#
̅
̅
Az egyenletek fizikai értelmezése tagonként: •
o ̅ ≜
Hullámimpedancia ̅
o ̅ •
o 3 3 BR $ $ o ,z, -. 3 I&3 BN 3 BR 6S BT73 BN 3 S3 B6NT3 R 7
Pozitív irányba haladó feszültséghullám $
o
,z, -. 3 S3 cos,- 7 z / . csillapodva „jobbra” haladó hullám
o cos,- 7 z. → cos Lz 7 T -M → 1U ≜
•
o 1U : fázissebesség; 1U
•
N T
→ cosSz 7 1U -U
Pozitív irányba haladó áramhullám o
•
V
√
N
+ ,z, -.
>$ X
S3 cos,- 7 z / 7 6.
Negatív irányba haladó feszültséghullám % o 3 3 BR o ,z, -. 3 S3 cos,- / z / . o ̅ / ,
Terjedési tényező
: csillapítási tényező • csúcsérték helyfüggését adja : fázistényező • értelmezése: hosszegységre eső kezdőfázis • az x hosszra z fázisváltozás esik • L 2* (L : vezetett hullám hosza)
18 - Ismertesse a lezárt távvezetékeken a reflexió tényező, a bemeneti impedancia fogalmát!
ଶ
Koordináta rendszer váltás • • •
Adott a feszültség és áram hányadosa a távvezeték egy adott pontjában z új koordinátarendszer választása: z tengely a lezárásától mutat a távvezeték eleje irányába
most csak ideális távvezetékkel foglalkozunk: ,’ = 5’ = 0 → R = S ; T6 = U; ᇲ :ᇲ
o A hullámhossz nagyságrendjébe eső távvezetékek jó közelítéssel ideálisnak tekinthetőek I = 2 63 O 5<2 + 2 65 O <2 → 2 V = 2 63 O =% + 2 65 O 5=% 2 o Ezzel: శ ష శ ష 9 9 9 9 ̅ I = బ O 5<2 − బ O <2 → ̅ V = బ O =% − బ O 5=% >బ
>బ
>బ
>బ
Bemeneti impedancia • • • •
̅ V ≜ 91%4 T -(̅ %)
̅ ≠ T6̅ , amit a csak előrehaladó hullámokra írtunk fel T ̅ helyfüggő A feszültség és áram viszonyok folyamatosan változnak a távvezetéken, ezért T
A h hoszú, T -vel lezárt távvezeték elején (z=h): T = T6
Reflexió tényező •
•
̅ V = 91%4 = 9ഥబశ T ೆ -(̅ %)
̅ V = T6 T o
శ ೕഁ 39 బష షೕഁ
ഥష బ ೕഁ 5ೆబ షೕഁ ೋబ ೋబ షೕഁ ഥష ೆ 3 బశ ೕഁ ഥ ೆ బ ഥ ష షೕഁ ೆ 5 బశ ೕഁ ഥ ೆ బ
బష షೕഁ 9 బశ ೕഁ 9
>మ 3>బ 1 = 4 >బ 3>మ 1= 4
63 O =% L − 4 WT6 F OMO4é O, Vá (2
vizsgálata: z pontban megadja az előre- és hátrafele haladó feszültséghullámok
komplex amplitúdóinak arányát
o ̅ V ≜
= 9బశ O 5 =%
బష షೕഁ 9 బశ ೕഁ 9
ష 9
o Lezáráson: ̅ V = 0 = 9బశ O 5 =% = 9బశ O 5 =6 = 9బశ
•
బ
ష 9
ష 9
ష 9
బ
బ
బ
Ezzel egy másik felírás: ̅ V = ̅ (0)O 5 =% A reflexiótényezőnek csak a szöge változik a távvezeték mentén o ö Vá ← −1 ≤ |̅ | ≤ 1 → V F á
̅ V = T6 3̅ (%) T 5̅ (%)
o Innen ̅ V = >್ 1%43>బ >
1%45>
̅ V = 0 = T → 0 = >మ 5>బ o A lezáráson: T > 3> ್
బ
మ
బ
Kapcsolat az előre- és hátra irányú feszültség komplex amplitúdói között • •
̅ 0 = 9బశ = ష 9
9బష ೕഃ
ష
9బశ ೕഃ
శ
|̅ 0 = |̅ 0|O /
265 O @ = |̅ 0|O / ∙ 263 O @ X బ
ష
శ
265 = |̅ 0263| Y 5 = Y 3 + B
0
19 - Ismertesse speciális lezárások esetén az ideális távvezetéken kialakuló áram- és 3,z.
,̅ z.
̅
Illesztett lezárás: •
9
/ 3 BT3 → 3,&. 3 BT5 / 3 BT5 → 3 BT5 / 9̅ ∙ 3 BT5 3 BT3 3 BT5 3 BT5 3 BT5 3 BT5 ̅ 7 → ,&. 7 → 7 9̅ ∙ ̅
3 BT3 3 BT3
0→
X X X X
feszültségviszonyokat, állóhullámokat!
3,z. 3 BT3 ,̅ z.
&$ > X
BT3
•
Nincs visszaverődés, tehát csak balról jobbra haladó hullám alakul ki
•
9
Rövidzár a távvezeték végén: 0
•
71 →
X X X X
3,&. 23 sin βz ,̅ &. 2 X cos & &$ >
,̅ &.
&$ > X
S BT5 / BT5 U
|mat: Z%# z
- &' - %&'
; #+!z
- &' - %&' B
→ ,&, -. S3,&. BN U S23 sin βz BN U
o ≡ 0 → ,3 . 3 ; BN BN ° ; S BN ° U cos,- / 90°. 7 sin
•
3,&. 3 S BT5 7 BT5 U
,&, -. 723 sin & sin +,&, -. 2 X cos & cos >
sin &: szinuszos helyfüggés sin -: „lélegeztető” függvény állóhullám alakul ki a távvezetéken Az áram és feszültség között 90° fázis van
o o o o
•
1-
&657 > 6̅ 57
&$ Z[\ ]^ B> )$ ( _`Z T5 *
_`Z T5 tan & Z[\ T5
o Energetikailag a lezárás tisztán képzetes S=jQ o Az ilyen módon létrehozott távvezeték csonkkal tetszőleges reaktanciát ki lehet alakítani
Ohmos lezárás (de nem illesztett): •
• • • • •
9 M X valós értékű lesz M X
A teljes ,z, -. függés túl bonyolult lenne, csak a csúcsérték helyfüggésével foglalkozunk 3,&. 3 S BT5 / 9 BT5 U |29: BT5 cos & / ∙ sin & 3 ,cos & / ∙ sin & / 9 cos & 7 9 sin &. 3 ,1 / 9 . cos & / ,1 7 9 . sin & }#3,&. 3,&. √: / } 3 ,1 / 9 . cos & / ,1 7 9 . sin &=
3 ¡,1 / 29 / 9 . cos & / ,1 7 29 / 9 . sin & | cos z / sin z 1
3 ¡1 / 9 / 29 ,cos & 7 sin &. | cos & 7 sin & cos 2βz :$% cos 2& 1 → 3 +3 3 ,1 / |9 |. 3,&. 3 ¡1 / 9 / 29 cos 2& → ¢ :$% cos 2& 71 → 3 ") 3 ,1 7 |9 |.
Állóhullámarány: ]4 ≜
>+,' >+-.
>$6| |7 7£ > $ 6 | |7
| | | |
+#&--- ← 1 h ]4 h ∞ → áó$á<
21 - Ismertesse az ideális távvezeték szakaszból készült rezgőrendszert és tulajdonságait!
A távvezeték, mint rezgőkör
speciális eset: soros LC kör • ̅ / ̅ / BNQ 0 ,?$%
Egy gyakorlati feladat • • • •
A rezgőkört egy végén rövidre zárt h hosszúságú távvezeték alkotja A távvezetéket egy aktív elem hajtja, ezt a kimeneti kapacitásával modellezzük 1- -8,$. ̅ / ̅ 0 → / -8,$. 0 ; /1U
o ha körfrekvenciát keressük, akkor ez egy transzcendens egyenlet o ha h-t keressük egy adott körfrekvenciáhhoz, akkor ez egy egyszerű egyenlet BNQ
h
̅
Z2
•
Speciális lezárások esetén a távvezeték úgy működik, mint például akusztikában a síp o Rövidzár esetén a feszültség a lezáráson 0 o Szakadás esetén a feszültség a lezáráson 3 +3 o Az olyan frekvenciákon, ahol ezek a feltételek teljesülnek a távvezeték rezonálni fog Általános esetben a lezárás lehet tetszőleges impedancia o A probléma elektrotechnikai megfelelője: két sorba kapcsolt impedancia a hálózat gerjesztetlen, az áramot a kezdeti értékekből kapjuk meg ̅ ̅ / ̅ ̅ 0 → ,̅ ̅ / ̅ . 0 Huroktörvény: X 7 X 0 → Keressük a triviálistól különböző megoldást: K 0 → ̅ / ̅ 0
Z1
•
23 - Ismertesse a síkhullámokra vonatkozó egyenleteket és tulajdonságait! Ismertesse a távvezeték analógiát! A vektoriális hullámegyenlet • • • •
; = 0, gerjesztetlen: ̅ = 0, és tértöltésmentes: = 0 A közeg veszteségmentes ̅ = = ; = −
A villamos és a mágneses tér egymást gerjesztik A hullámegyenlet levezetése a villamos térerősségre: o = − | M G Fé 4 4 o = −
| = ; M : = − Δ
o − Δ = − o
Δ =
మ
| = / = 0
మ
A vektoriális hullámegyenlet megoldása síkhullámokra (Descartes koordinátákban) • • •
మ ೣ
+
మ ೣ
+
మ ೣ
=
kell még: = 0 → 2 మ
' మ
% మ
మ ೣ
మ ೣ 2
2 మ +
+
మ
'
+
మ
' మ %
+
మ % మ
=0
=
2 మ +
మ మ మ
మ ' మ
+
మ % మ
=
మ మ
Az egyenletek alkalmazása z irányba terjedő síkhullámra
o A kialakuló tér független két térbeli koordinátától: 2 = 0; ' = 0 o Jelentése: adott pillanatban valamely x-y síkon nézve a térerősség vektorok megegyeznek o Ezek után a hullámegyenlet:
o És a = 0 kifejezésből:
• •
మ ೣ % మ
=
మ ೣ మ
=0
% మ = మ
Ami megmaradt:
మ ೣ
=
మ ೣ
o Ennek minden 2 = (V − ) alakú függvény megoldása % మ
o Ebből adódik:
మ
= → =
మ ೣ % మ
మ
= A మ % మ
→ =
D
általában = 1, különben az EM hullám gyorsan csillapodik – kivéve ferrit frekvenciafüggő, ez az alapja a diszperzió jelenségének Aమ
BCబ Cೝ +బ +ೝ
√+ೝ Cೝ
A mágneses térerősség meghatározása
•
మ
jelentése: Ha van % , akkor csak helyfüggetlen lehet mi olyan tereket vizsgálunk, ahol % = 0 A továbbiakban csak azzal az esettel foglalkozunk, hogy ' = 0 o Ha ' is van: polarizáció %
o Bizonyítás: kétszer deriválás után
•
మ
[̅ ̅ F [̅ ̅ "í# á& F 0 − = = det ZA/AI A/A\ A/AV] !!!!!" F det Z 0 2 ' 2 ' % o tudjuk, hogy F = 0 0 1, és F × épp a fenti egyenletet adja − = KF × L |2 = (V − ) miatt = −
%
A
F 1] %
• • •
7)
& a
7
SO" = 2" U | … - ; 1 1/√)
H √) SO" = 2" U / H"U , ahol H"U az integrálásból adódó időtől független tag (nekünk nem kell)
H SO" = 2" U
o O" a terjedés iránya, tehát H § 2" § O" o A térerősség vektorok benne vannak a terjedés irányával merőleges ún. transzverzális síkban
Közeg hullámellenállása • •
≜ a b
vákuumban:
377Ω ≅ 120π
Síkhullám veszteséges szigetelőben: távvezeték analógia alapján • ebben az esetben K 0 → ̅ 2" K 0 •
9%- H ̅ / 2" / ; 9%- 2" 7) b
b
& a
•
Speciális esetet vizsgálunk: o 2" -nek csak x komponense van (2" 23 ) o H -nak csak y komponense van (H H4 ) ®̅ ̅ O" b b b b 9%- 23 det y/yz y/y{ y/y&¯ 7 ̅ L7 5' M / O" L7 4' M ̅ 5' 5'
23 0 0 E
•
Ezekkel átírva a két kiindulási egyenlet:
•
•
• •
hasonlóan: 9%- H4 7
a/ 5
]íO$á<%O ?á11&-éOO yH4 y+ y23 y 7 ) ( + / ′ 7 ⇔ yz y& yyyH4 y+ y y23 7 ′ / ′ 7 23 / yz yy& y-
Az egyenletek megoldása tehát ugyanaz:
23 23 ,0. S5 cos,ωt 7 βz.
H4
b' 67
S5 cos,ωt 7 βz 7 φ.
Az analógia alapján a síkhullámokra jellemző ̅ és ̅ értékek egyszerű betűcserével megkaphatóak ´ µ ¶ · ¸ ¹ fémsík º ¡»¼·,¸ / »¼¹.
Síkhullámok
½c ¾
X
+ ′ ′ ′ ′ rövidzár ̅ ¡, ( / ′., ( / ′. Távvezetékek
»¼· ( / ′ ̅ ¾ ( ¸ / »¼¹ / ′
24 - Ismertesse a síkhullámok viselkedését ideális és veszteséges szigetelőben, a síkhullámok polarizációját! Vektoriális hullámegyenlet levezetése • • • •
•
= + ; = − |második egyenlet rotálása
= − # + $ = − = −
−Δ + +
|M : = ')* − Δ
మ
మ
6
=0
Szinuszos változások esetén: −Δ + N + NN = 0 → −Δ + N + N = 0 '((()(((* Síkhullámokra: Δ =
మ ೣ % మ
మ ೣ
→
% మ
= R̅ 2 → ^
O 5<% + 2 5 O <% 2 = 2 3 6 6 ' =
ೣ శ బ >బ
O 5<% +
ೣ ష బ >బ
మ <
O <%
Síkhullám viselkedése ideális szigetelőben 8 • = 0 → −Δ + NN = 0 → R̅ = _NN = N√ = '()(* tisztán képzetes D √ • •
T6 = U 8+ = U + = U 8C
23 V,
=
'3 V, =
C
Cబ
2 3 cosN 6 ೣ శ బ >బ
ೝ ೝ U + = 377Ω ∙ U + , tisztán valós
C
C
− SV
+బ
=
ೝ
ೝ
cosN − SV
o balra haladó, csillapítatlan hullám jön létre o 2 és ' fázisban vannak egymásal
Síkhullám viselkedése veszteséges szigetelőben • •
= + !!!!!!!!!!!!" = + N "% "%" Aá %á"
= + N = N # + 1$ = N #1 − $ 8+ 8+
o Komplex permittivitás bevezetése: # ≜ #1 − 8+$
o A Valós része az igazi permittivitás, és a képzetes része tartalmazza a vezetőképességet
o Másképp is ki lehet fejezni: tan δ ≜
• •
|A%é" á&"űű"é|
| |
| |
o # = 1 − tan Y = −
= N# →Erre alkalmazhatjuk az ideális szigetelőre kapott formulákat | á" á&"űű"é|
= |/| = |8+| = 8+ = 8+
Másik módszer: távvezeték analógia alkalmazása
Síkhullámok polarizációja మ ೣ
=
మ ೣ
% మ = మ
మ
, most figyelembe vesszük ' -t is
•
Síkhullám hullámegyenletei:
•
Y = 0 →Lineáris polarizáció: Az eredő térerősség vektora egy egyenesen lüktet Y = ±90° ; 2 6 = ' 6 → Cirkuláris polarizáció: Az egy körön forog balra vagy jobbra Y = ±90° ; 2 ≠ ' → Elliptikus polarizáció: Az egy szabályos ellipszis mentén forog
• • • • •
2 V, = 2 6 cosN − SV ' V, = ' 6 cosN − SV − Y % మ
మ
మ
Y = O Vő4O O →Általános polarizáció: Az egy általános helyzetű ellipszis mentén forog Ezeket úgy kell elképzelni, mint oszcilloszkópon az x-y módban rajzolható Lissajous ábrákat 6
6
25 - Ismertesse a síkhullámok viselkedését vezetőben, az áramkiszorítás jelenségét, a váltakozó áramú ellenállás fogalmát! Síkhullámok viselkedése jó vezetőben • • • •
• •
̅-5-é" ≫ ̅- / á" → ≫ ̅
≅
BN
0 BN
BN 0
̅ ¡) , / . ≅ ¡) ¡ ∙ √)
B √
¡2*X) ¡*X) ¡*X)
/
2,&, -. 2 cos,- 7 &. o A vezetőbe bejutó síkhullám térerősségeinek csúcsértékei exponenciálisan csökkennek o Időállandó az elektrotechnikában: S ≡ /f , ahol ¿ időállandó o Ennek mintájára: S5 ≡ 5/R , ahol „hosszállandó”, de inkább: behatolási mélység o A térerősség amplitúdója a vezetőben a behatolási mélyégnél csökken -ad részére S5
̅ R / R
S
BN BN0 OBN0 ̅ ≅ 0 0
0∙0
T
ú
& I
0
Az áramkiszorítás jelensége • •
Más néven: skin-hatás A frekvencia növelésével az áramsűrűség a vezető szélei felé sokkal nagyobb lesz, mint a közepén.
A váltakozó áramú ellenállás (példán keresztül) • •
• • •
Az ábrán látható vezetőn számoljuk a veszteséget Térszemlélet: az energia a szigetelőben áramlik, a vezetőknek csupán a tér kialakításánál van szerepük. A szigetelőben kialakult tér viszont a vezetőben is teret gerjeszt: & irányba egy exponenciálisan csökkenő síkhullám indul el a vezetőben. Feltételezve, hogy ≫ → 9 0 23 ,&. 23 S5 BT5 H4 ,&.
b' X
S5 BT5
A vezetőben folyó teljes áramot megkapjuk, ha a térfogatára integráljuk az áramsűrűséget ( ̅ 2" ), amely csak z-től függ 23 }& } 23 & } 23 I&5 &
}23 7 I& I& / I& I& ∗ }23 /̅ → 23 01
& I
o * L7 I& I& M ≅ 0, mert ≪
•
A vezetékbe áramló teljesítmény számítása: o
] D / 23 H4 ∗ }$ 23 H4 ∗ }$ 23
o … }$
hb' h
•
X∗
ÀÁÁÁÁÁÁÁÁÁÂ ) ) 12 2 ; X E 34 3
b' E
& | ∙|| 0 1J |I
&∗ 0 1 I
& ∙I & ∗ ∙|| J∙I &∗ 01I
b' ∗ X∗
|̅ ∙ ̅ ∗ |̅ |
& ∙|| J∙I 01
ÀÁÁÁÁÁÂ ,1 / . 01R
D 01R Ã | | kifejezésből megkapjuk a váltakozó áramú ellenállást J
& E6 B7 I
5
o A keresztmetszet: } →mintha csak mélységig folyna a helyfüggetlen áram M
J||
27 - Ismertesse a Hertz dipólus elektromágneses terét! Elektromágneses hullámok gerjesztése • •
A Maxwell egyenletek teljes rendszere: 9%-H [ ̅ / ; 9%-2" 7 ; +1>" 0; +1C Ezekből, és a >" 9%- ̅ felhasználásával megkaphatjuk az inhomogén hullámegyenleteket & %
o
Δ̅ 7 )
o
7) ̅ : Vektoriális inhomogén hullámegyenlet
0 Speciális esetben: Δ̅ 7) ̅ vektoriális Poisson egyenlet
̅ 0 Speciális esetben: Δ̅ )
Δ6 7 )
•
̅
2
̅
vektoriális homogén hullámegyenlet
7 : Skaláris inhomogén hullámegyenlet
0 Speciális esetben: Δφ 7 / skaláris Poisson egyenlet
̅ 0 Speciális esetben: Δ6 )
2
skaláris homogén hullámegyenlet
időre van szüksége, hogy megtegye az 9
Ezek általános megoldásait a retardált (késleltetett) potenciál bevezetésével lehet megkapni o a gerjesztés változás hatásának o 6,D, -.
6, /7 ̅,D, -.
G̅6, /7
9
utat
A Hertz dipólus • •
•
•
•
•
Adott egy : keresztmetsztű vezetékdarab, amelyben sin - áram folyik A vezetékdarab olyan rövid, hogy rajta az áramsűrűség egy adott időpillanatban homogén eloszlású , ≪ . Z%# - $: 0 Ä & Ä ,&, -. ¢ 0 8{é}Oé!o Lépésfüggvénnyel ablakozva: ,&, -. cos,-. ∙ 1,&. 7 1,& 7 . +1 ̅ / 0 ÀÁÁÁÁÁÁÁÂ 7 N sin,-.,&. / N sin,-.,& 7 . → "B7 EB/5
B
B
B
2" 789:6 7
→k
A hertz dipólus teljes tere
o 2 L1 7 TM cos Å ∙ BT
o 2l
BT
B
L1 7 T 7 TM sin Å ∙ BT
B
o 22 H Hl 0 →szimmetriák
o H2
BT
L1 7
BT
M sin Å ∙ BT
együtthatóval szereplő részek, ezek akkor érvényesülnek, ha r kicsi Közeltér: ,1/9 ., és F o Sztatikus tér: ,1/9 .: itt még elhanyagolható a késleltetés o Indukciós tér: ,1/9 .: az ,1/9 .-es mágneses tér villamos teret indukál Távoltér, vagy sugárzó tér: Az ,1/9.-rel szereplő komponensek, általában csak ezzel számolunk
,1/9 F .
̅
H >" ∙ 9%- ̅
o A tér számítása során bevezetjük az antenna nyomatékot: lim → ∙ O%!#-:!#
•
B
,, -. N sin -
A tér számításának menete: források,, ̅. →segédmennyiségek,6, ̅. →tér
•
,0, -. 7 N sin -
¯
28 - Ismertesse a Hertz dipólus távoli terét, az antenna jellemzőket! A Hertz dipólus teljes tere 2 •
L1 7
B
T
M cos Å ∙ BT
2l
22 H Hl 0
BT
H2
L1 7
BT
T
L1 7
B
T
7
B
T
M sin Å ∙ BT
M sin Å ∙ BT
Távoltér, vagy sugárzó tér: Az ,1/9.-rel szereplő komponensek, általában csak ezzel számolunk
A Hertz dipólus távoltere • •
2 is kell a tér szerkesztéséhez, de nem írjuk most fel 2l
H2
BT
BT
sin Å ∙ BT ∗
sin Å ∙ BT ∗
T
T
sin Å ∙ BT
sin Å ∙ BT
o * A képletekben megjelenő szorzó a térerősségek 90 fokos fáziskésését jelenti az áramhoz képest. Ez minket most nem érdekel, új kezdőfázist választunk, hogy ezt elhagyhassuk
•
Az időfüggvény: 2l ,9, Æ, -. S2l BN U Ç sin Å B6NT7 È
2l ,9, Å, -. sin Å cos,- 7 9.
• •
T
H2 ,9, Å, -. sin Å cos,- 7 9. T
T
ÀÁÁÂ TE
8 9
2l ,-. m n sin Å cos,- 7 9.
H2 ,-.
mn
sin Å cos,- 7 9.
A távoltér tulajdonságai o Nagy távolságokban ez a gömbhullám jól közelíthető síkhullámmal ,1 1/√). o 2 § H § -9é# +9á!{: o
2l H2 377Ω ∙ H2
Antennajellemzők, számításuk Hertz dipólusra •
p ̅ o Poynting vektor: ]"őá +L p 2H q LmM
Sugárzási ellenállás
n
sin Å ∙ ̅
o Elsugárzott teljesítmény: D ∮ ]̅̅ ∮ ] ⋯ ∙ 80 ∙ * LmM ∙
•
o egy fiktív ellenállás: a generátor felől így látszik az antenna Iránykarakterisztika o 2l irányfüggését fejezi ki a távoltérben o 2l m n sin Å 2 +3 sin Å
M
z
• • •
Teljesítmény iránykarakterisztika o S irányfüggését fejezi ki a távoltérben. ] ] +3 sin Å Irányhatás o C≜ o ≜
Nyereség
"á)4 5-")" rst 9 á +L/ 9
9+,' 67
4:á;á; /
9+,' 67
:;<=á>7? /
→ dipólusra ≅ 1.5
, ebbe be benne vannak a valós antenna fizikai jellemzői is
x
29 - Ismertesse a TE módusú csőtápvonalra vonatkozó összefüggéseket, erővonalképet! A Maxwell egyenletek Descartes koordináta rendszerben, szinuszos változásokra, ideális közegben: •
9%-H
& %
→
a7 4
7
a/ 5
23
a' 5
7
a7 3
o Speciális esetet: z irányba terjedő hullám
• • •
9%-H
→
& %
9%-2" 7 →
Átrendezés után:
a7
4 b7 4
H3
5
24
/ 24 7)H3 7 23 7
b7
7
4 b7
H4 N I 7
a7
7
3 a7
3
7
a' 4
25
,2 I5 . 7,2 I5 . →
/ H4 23 7 H3 7 N I
a/
24
a7
3 b7 3
23
7)H4
N I
24
7) )
a/
3 b/
3 a7
4 a7
4
N I
A TE módusra vonatkozó egyenletek • • • •
H4
I
I
a7
3 a7
N I 4
23 N I
24
4 a7
N I 3
zM cos L 1 {M
A fenti egyenletekbe H5 -t behelyettesítve megkapjuk: o 23 ∙ N I BN
o 24 ∙ N I
o H3 ∙ N I I
o H4 ∙ N I I
•
BN
)
cos L
1
+ + ) 1
sin L
+
sin L
cos L
+
+ +
+
)
zM sin L 1 {M )
25
7)H5
4 b7
7
a7
Vektoriális hullámegyenletből: H5 ∙ cos L BN
•
BN
7
3 b7 4
módus erővonalképe
25 0 esetet vizsgáljuk (Transzverzális, Elektromos) H3 N I
3
7
4 b'
7
o 25 és H5 ismeretével mindegyik komponens kiszámolható o 25 és H5 hatása szuperpozíció módon jelenik meg: TE és TM alapterek 3
7
5 a'
zM cos L 1 {M )
zM cos L 1 {M )
zM sin L 1 {M )
Az egyenletek kielégítik a peremfeltételeket, miszerint a cső falán (ideális fém) E-nek nem lehet tangenciális komponense y o 23 ,z, { 0. 0 b o 23 ,z, { }. 0 o 24 ,z 0, {. 0 x o 24 ,z :, {. 0
Szabály: ?2 módus nincs; < / ! K 0 (különben minden komponens 0 lenne) a
30 - Ismertesse a TM módusú csőtápvonalra vonatkozó összefüggéseket, erővonalképet! A Maxwell egyenletek Descartes koordináta rendszerben, szinuszos változásokra, ideális közegben: •
9%-H
& %
→
a7 4
7
a/ 5
23
7
a' 5
a7 3
o Speciális esetet: z irányba terjedő hullám
• • •
9%-H
→
& %
9%-2" 7 →
Átrendezés után:
a7
4 b7 4
H3
5
24
/ 24 7)H3 7 23 7
b7
7
4 b7
H4 N I 7
a7
7
3 a7
3
7
a' 4
25
,2 I5 . 7,2 I5 . →
/ H4 23 7 H3 7 N I
a/
24
a7
3 b7 3
23
7)H4
N I
24
7) )
a/
3 b/
3 a7
4 a7
4
N I
3
7
4 b'
7
25
7)H5
4 b7
7
7
o 25 és H5 ismeretével mindegyik komponens kiszámolható o 25 és H5 hatása szuperpozíció módon jelenik meg: TE és TM alapterek 3
7
5 a'
3 b7 4
A TM módusra vonatkozó egyenletek • • • •
H5 0 esetet vizsgáljuk (Transzverzális, Mágneses) H3 N I
H4
BN
BN
b7
4 b7
N I 3
23 N I
24
3 b7
N I 4
zM sin L 1 {M
A fenti egyenletekbe H5 -t behelyettesítve megkapjuk: o 23 ∙ N I I
o 24 ∙ N I
o H3 ∙ N I BN
o H4 ∙ N I BN
•
I
b7
Vektoriális hullámegyenletből: 25 ∙ sin L I
•
I
+ )
1 )
sin L
+
sin L
1 +
cos L
+
+
)
zM sin L 1 {M )
zM cos L 1 {M )
zM cos L 1 {M
+
cos L
+
)
zM sin L 1 {M )
Az egyenletek kielégítik a peremfeltételeket, miszerint a cső falán (ideális fém) E-nek nem lehet tangenciális komponense y o 23 ,z, { 0. 0 b o 23 ,z, { }. 0 o 24 ,z 0, {. 0 x o 24 ,z :, {. 0 a Szabály: ! ∙ < K 0, különben nem lehetnének zártak a >" erővonalak
31 - Ismertesse a csőtápvonalakban haladó hullám diszperziós egyenletét és a határhullámhossz fogalmát! Ha a terjedés során a különböző hullámhosszakon más és más a jel futási ideje, akkor a távvezeték végén egy „szétkent” jelet kapunk (Diszperzió: szétfolyás). A diszperziós görbét a fázistényező adja a körfrekvencia függvényében: ,. b Villamos térerősségre vonatkozó vektoriális hullámegyenlet: Δ2" )
Diszperziós egyenlet a csőtápvonalra • •
z irányú terjedésre: Δ25 ) o Szinuszos változások:
• • • •
b7 3
/
b7 4
Ê
u 3
o
/É
v
4
•
•
/
b7 4
3
/
/
;
5 b7 b7 4
/ , / ) .ÉÊ 0 ÀÁÁÁÁÁÁÁÁÂ
b7 5
)
b7
7
/ , / ) .25 0
/5á uv+ u
u
u 3
u 3 v
4
≡ 7O3 ,
u
3
/
v
v 4
/ , / ) . 0
v
v 4
≡ 7O4 ,
, / ) . O3 / O4
7O3 É → É,z. #+!,O3 z. / >Z%#,O3 z.
7O4 Ê → Ê,{. C#+!,O4 {. / Z%#SO4 {U
a >Z%#,O3 z. és Z%#SO4 {U tagok nem tesz eleget a peremfeltételeknek
y 25 ,z, {. É,z.Ê,{. ∙ #+!,O3 z.#+!,O4 {. b o O3 és O4 meghatározását a peremfeltételekből tehetjük meg o Cső fala ideális fém→ 2 0 a falon o 25 ,z, { 0. 0 → ∙ #+!,O3 z.#+!,O4 0. 0 o 25 ,z, { }. 0 → #+!,O4 }. 0 → O4 } !*; ! 1,2,3 … o 25 ,z 0, {. 0 → ∙ #+!,O3 0.#+!,O4 0. 0 o 25 ,z :, {. 0 → sin,O3 :. 0 → O3 : <*; < 1,2,3 …
, / ) . O3 / O4 → , / ) . L
x a
M /L1M
)
o Az így kapott diszperziós egyenlet a ?2 ) és?I ) módusokra is igaz
A határhullámhossz
•
3
7 →
/ 25 7) 25 →
•
5
b7
o (csak x-től függő rész) + (csak y-tól függő rész) = konstans o ez csak úgy teljesülhet, ha a csak x-től és y-tól függő részek is konstansok
o
•
→
Az így kapott parciális differenciálegyenletet szorzatszeparálással oldjuk meg 25 ,z, {. É,z.Ê,{. →A szorzatot egy csak x-től és csak y-tól függő részekre bontjuk. Ahol x szerint kell deriválni, ott Y-t ki lehet emelni, és fordítva
o
•
b7
, / ) . L Ha ) Ä L
M / L 1 M → L
+
)
+
M / L 1 M 7 )
+
Cଶ
)
M / L M , akkor a gyök alatt pozitív érték lesz, valós szám )
@ଶ AB
határfrekv.
o 25 ,&, -. S25 I5 BN U 25 S cos,-. → nem jön létre hullámterjedés
Ha ) £ L
+
1
M / L 1 M , akkor a gyök alatt negatív érték lesz, tisztán képzetes
)
o 25 ,&, -. S25 I5 BN U 25 cos,- 7 &. → csillapítatlan terjedés jön létre +
A terjedés feltétele tehát (V 2*Z/V behelyettesítéssel): Ä V
√>
wx+y x.y , 4
Mennyiségek, mértékegységek Jel
Mennyiség
V-A-s-m
név
Jel
Mennyiség
V-A-s-m
név
Jel
A
Amper
E
energia
VAs
J, Joule
S
Poynting vektor
W
munka
VAs
σ
fajlagos vezetőképesség
S
látszólagos teljesítmény S = P + jQ
VA
VA
ρ
fajlagos ellenállás
P
hatásos teljesítmény
VA
W, Watt
δ
behatolási mélység
m
hosszegységre eső ellenállás hosszegységre eső kapacitás hosszegységre eső induktivitás terjedési tényező
= +
1 1 1 1 1
I
áram
K
felületi áramsűrűség
térbeli áramsűrűség
ࢋ
eltolási áramsűrűség
U
feszültség
V
Volt
Q
meddő teljesítmény
VA
var
R’
potenciál
V
Volt
p
teljesítmény-sűrűség
ଷ
ଷ
C’
Q
töltés
As
ϕ
mágneses fluxus
Vs
Wb, Weber
L’
térbeli töltéssűrűség
B
mágneses indukció
T, Tesla
felületi töltéssűrűség
H
mágneses térerősség
q
vonalmenti töltéssűrűség
M
mágneses polarizáltság
R
ellenállás
Ω, Ohm
mágneses szuszceptibilitás
S
vezetőképesség
S, Siemens
E
villamos térerősség
Z
impedancia
Ω, Ohm
D
villamos eltolási vektor
Ω, Ohm
P
villamos polarizáltság
S, Siemens
villamos szuszceptibilitás vektorpotenciál (mágneses)
hullámimpedancia
Y
admittancia
vákuum permittivitása 8,85 ∙ 10ିଵଶ / vákuum permeabilitása 4 ∙ 10ି / fénysebesség 1/ = 299 792 458
c F
erő
ଶ ଶ
ଷ ଶ
C, Coulomb ଷ ଶ
A
N, Newton
C
kapacitás
L
induktivitás
w
energiasűrűség
ଶ ଶ ଶ ଷ
F, Farad H, Henry ଷ
Mennyiség
csillapítási tényező
fázistényező
f
frekvencia
ω
körfrekvencia
V-A-s-m ଶ
, VSWR
állóhullámarány
-
r
reflexiós tényező
-
név ଶ Ω Ω
Hz, Hertz
Legfontosabb összefüggések - A Maxwell egyenletek
̅ = ̅ + = ̅ + →
_ab
̅ → = −
̅ = −
̅ = 0 → = 0
̅ = →
=
=
=
=
̅ = +
1 1 + 2 2
= 0 ; ̅ = 0 ; ̅ = 1 = ̅ ̅
7 − 7 ∙ $ = 0; Δ = 0
మ
; =
1 4'
↔ ; 7 ↔ ; ↔
Lecher: = =
ln + మ, ; F =
బ
భ
ln + , ; F = బ
D = E
ೝ ೝభ
!"# మ $
%
= F
బ
|భ మ | మ
=
∙
= ; = −" # ೀ
( − ) × $ = 0 ; − ∙ $ =
%$ ö é&: =
4'
∞ $# ö é&: =
; =
1 1 ( − ) 4'
*
* ; = ln + , 2' 2'
; = − |/|; 2 2
Stacionárius mágneses tér = ̅ ; = 0 ; =
9 = 1 &$
= ̅ ; Δ ̅ = −8 ; ; = ̅ ̅
elektrosztatika analógia:
బ
Coulomb: 0 =
∙ !
− × $ = −: ; − × $ = 0
3é4"ö45 -ö/6"56$: ! =
Koax: = =
Δ = − ; =
I áramú dl szakaszra ható erő: 0 = 1( ̅ × )
1 ; 2 = % 2
pontforrás: 8 =
= ;
=
= 0 ;
∞ &í-: = ±
stacionárius áramlás
%=
matek
Elektrosztatika
ೝబ
!"# $
− <## . : = =
1 × − 4' | − |
1 1 =1 ; ∞ 6/6 ő: = 2 2' indukálási jelenségek
? > = − ; ? = ̅
̅ = + ̅ × ; > =
> = − − × @ABAC @AAABAAAC
á
Csőtápvonal Egyszerű elrendezések Hasábellenállás: R =
.
Egyenes tekercs: = = Síkkondenzátor: F =
%
=
/మ
4' $' S + T = + , + + , # 5 P < P- =
2√
V+4, + +$, # 5
̅ kör: : = 2 ' ; = '; M = /
gömb: = 4' ; = cos x =
'ౠ౮ ('షౠ౮
య
; sinx =
'ౠ౮ )'షౠ౮ *
Stokes tétel: N ̅ ̅ = ∮ ̅ ̅
Gauss tétel: N+ ̅ ̅ = ∮ ̅
Descartes rendszerben (a,b: skalár -- u,v: vektor): |> × ̅ | = |>| ∙ |̅ | ∙ &$ ; |> ∙ ̅ | = |>| ∙ |̅ | ∙ G& " # # = H# =
# # # 6 + 6 + 6 I & J /
̅ = ∇ ∙ ̅ =
̅& ̅ ̅ + + I J /
6&
̅ = ∇ × ̅ = det K / I ̅&
Δ# = " # # = ∇ # =
6 6 / J / /L ̅ ̅
# # # + + I J /
Δ̅ = " # ̅ − ̅ Azonosságok:
" # # = 0
> = 0
" # # ∙ 5 = # ∙ " # 5 + 5 ∙ " # #
> × ̅ = ̅ ∙ > − > ∙ ̅
# ∙ ̅ = # ∙ ̅ + ̅ ∙ " # #
# ∙ ̅ = # ∙ ̅ + " # # × ̅ Hertz dipol , =
1 1 sin Q E 2 P
=
1 1 sin Q 2 P
' R = 80 ( ) ; = 1,5 P
Legfontosabb összefüggések - B Távvezetékek
−
> = R + = /
> = [> + F /
Szinuszos gerjesztés: ! / = ! ( 6 )0& + ! ) 6 0& 1 / = 1 ( 6 )0& + 1 ) 6 0&
1 / =
!( )0& !) 0& 6 + 6 D
D
T = W R + 8S=′ [ + 8SF D =
!( !) R + 8S= = − =E 1( 1) [ + 8SF
>( I, = ! ( 6 )1& cos S − XI + Y ( >) I, = ! ( 6 1& cos S + XI + Y )
P=
2 + 8 = <̅ =
1 ! ∙ 1∗ 2
2' 2' G 1 = ; = ; G = S X √ √= F
ℎ =
!) 6 04 1 ) 6 04 = − ( )04 ( )04 ! 6 1 6
ℎ = 0 =
+567 =
D − D
D + D
|!| & 1 + | | = |!| 1 − | |
! &/ = |!( | 1 ± | |
Gℎ Tℎ ! \ ] = \ ) 1 D &ℎ Tℎ D8 = D
D &ℎ Tℎ ! ]\ ] 1 Gℎ Tℎ
D Gℎ Tℎ + D &ℎ(Tℎ) D Gℎ Tℎ + D &ℎ(Tℎ)
Ideális esetben: G& Xℎ ! \ ] = \ ) 1 D 8&$ Xℎ D8 = D
D 8&$ Xℎ ! ]\ ] 1 G& Xℎ
−
analógia
−
Elektromágneses hullámok
u ࢞ i ௬ R’ 0 L’ G’ C’ ̅ ̅
−
D = ∞ → D8 =
/
8 "(Xℎ)
/ = 0 → D8 = / 8 " Xℎ
& = & + /
Szinuszos gerjesztés:
& / = &( 6 )0 + &) 6 0
/ = ( 6 )0 + ) 6 0
/ =
&( )0 &) 0 6 + 6 D
D
T = W 8S + 8S
D =
&( &) 8S =− (=E ) + 8S
)1 &( /, = & ( cos S − X/ + Y (
6 1 cos S + X/ + Y ) &) /, = & (
6
<̅ =
1 ∗ × 2
Δ =
időátlaga: < = , cos ?
Δ − @AAABAAAC 8S + 8S = 0 0మ
Ideális szigetelőben = 0
T = 8SW → X = SW ; =
G √
Ideális vezetőben ≫ 8S
T = W8S =
1+8 1 ; Y = Y W'3
Vezetőben: 8 / = 8 0 ∙ 6 ) /3
Réz vezetőben: = 1; = 57Z
D + D 8 "(Xℎ) D + D 8 "(Xℎ)
P / ℎ = 2$ + 1 → D8 = 4 D
& = /
2 ≜ +1 − 8
, S
Összeállította: Halász Csaba –
[email protected]. Felhasznált anyagok: 2010 előadás videók (video.bme.hu); Bilicz Sándor – EMT példatár; Ecker Tibor Ádám – 2010 Órai jegyzet; Steierlein Márton kidolgozás; Gorócz Vilmos kidolgozás; Kiss Gergely kidolgozás; Csóti László Zoltán kidolgozás. Ezúton köszönet a munkáikért. Utolsó javítás: 2011-06-14
