Elektromágneses alapjelenségek

0-0

I. rész

Elektromágneses alapjelenségek Thalész (i.e. 600 körül): gyapjúval dörzsölt borostyánk® ('élektron') az apróbb tárgyakat magához vonzza, majd eltaszítja. Dörzsölés hatására a testek elektromos töltésre tehetnek szert (dörzsölési elektromosság, pl. van der Graaf generátor). Elektromosan töltött testek vonzzák vagy taszítják egymást (befolyásolják egymás mozgását) ⇒ kétféle (pozitív és negatív) töltés. Következmény: töltések kiegyenlít®désére irányuló folyamatok. Kiegyenlítetlen töltések létének mikroszkopikus magyarázata: elemi részek - elektron, proton, stb. - saját elektromos töltéssel rendelkeznek(elemi töltés). Próbatöltés :

pontszer¶nek tekinthet® kicsiny töltés, melynek hatása a többi töltésre elhanyagolható, nem befolyásolja azok mozgásállapotát.

0-1 Töltéss¶r¶ség : egységnyi ´ 3~

ség: Q =

ρd r .

térfogatban (felületen) található töltésmennyi-

Wilcke és Aepinus, 1760 körül: eredetileg semleges fémdarabot küls® töltések közelében két részre osztva elektromosan töltött részeket kapunk (elektromos megosztás); részek töltése azonos, de ellentétes el®jel¶ (vonzzák egymást). Mikroszkopikus magyarázat: a fémes kristályban az elektronok egy része szabadon elmozdulhat a küls® er® hatására (vezetési elektronok), míg a magok helyzete rögzített, így küls® elektromos mez®ben a töltéseloszlás már nem kiegyenlített. Elektromos töltések áramlása jellemezhet® az árams¶r¶ség -vektorral, melynek iránya megegyezik az áramlás irányával, míg nagysága az áramlás irányára mer®leges egységnyi felületen egységnyi id® alatt átáramló töltésmennyiséget adja. (mikroszkopikus) és zet®k és szigetel®k.

Konduktív

konvektív

(makroszkopikus) áramok; ve-

Thalész (i.e. 600 körül): bizonyos vasércek (magnetit, akkori f® lel®he-

1. ELEKTROMOS TÉRJELLEMZK

0-2

lye a kisázsiai Magnesia városa) apró vasdarabokat képesek magukhoz vonzani és megtartani. Kínaiak (i.sz. 200 körül): mágnesezett vas darabkák bizonyos id® után közelít®leg az észeki irányba mutatnak (irányt¶. Európában a 12-ik század során jelenik meg) ⇒ mágneses testekre forgatónyomaték hat a Föld felszínén. Oersted (1820): elektromos áram közelében az irányt¶ elfordul ⇒ elektromos áram mágneses mez®t gerjeszt ⇒ Ampère (1822): mikroszkopikus molekuláris köráramok felel®sek a mágneses viselkedésért.

1. Elektromos térjellemz®k Töltésekre hathatnak er®k más töltések hiányában is; a töltésrendszer hatását valamely kiválasztott próbatöltésre az elektromágneses térrel, a próbatöltésre kifejtett er®k segítségével írhatjuk le. Fizikai realitás (energiával, impulzussal bír, stb.), nemcsak matematikai segédeszköz.


0-3

két különböz® próbatöltésre egyazon helyen azonos irányú, de különböz® nagyságú er®k hatnak; az er®k nagyságának hányadosa független a térbeli elhelyezkedést®l, csak a próbatöltéseket jellemzi, azaz ~ 1 (~r) = αF ~ 2 (~r) , F

Tapasztalat:

ahol α független a helyt®l. Következmény:

adott próbatöltésre ható er® felbontható

~ = qE ~ F ~ az elektalakban, ahol q a próbatöltés nagyságát jellemzi, míg E romos teret. ~ r) vektormez® elnevezése: E(~ batest (elektromos) töltése.

elektromos térer®sség,

míg a q skalár a pró-

Kiterjedt, ρ(~r) térfogati töltéss¶r¶séggel jellemezhet® töltésrendszerre ható er® ˆ ~ = ρ(~r) E(~ ~ r) d3~r F


0-4

ahol az integrálás a test egész térfogatára értend®. Dipólus nak

nevezzük a két azonos nagyságú, de ellentétes el®jel¶, egymáshoz közeli töltésb®l álló rendszert (töltéssemleges, küls® er®k stabilizálják). Pontszer¶ határesetben jellemezhet® a

~p = q~a dipólmomentum -vektorral,

ahol q a töltések nagysága, míg ~a az ®ket összeköt® vektor. Amennyiben ~r jelöli a két töltést összeköt® szakasz felez®pontjának helyvektorát, míg ~r± =~r ± 1/2~a az egyes töltésekét, akkor a dipólusra ható er®

~ = q E(~ ~ r+ ) − q E(~ ~ r− ) . F A pontszer¶ határesetben |~a| |~r|, ezért els® rendben sorba fejtve ~a (−~a) · grad Ex = ~p·grad Ex , Fx = q Ex (~r) + · grad Ex − Ex (~r) − 2 2 és hasonló kifejezés adódik az er® többi Descartes-komponensére is.


0-5

A fentiek alapján homogén elektromos mez®ben nem hat er® a dipólusra, ellenben hat rá forgatónyomaték, melynek kifejezése (a dipólus középpontjára vonatkoztatva)

~ = (~r+ − ~r) × q E(~ ~ r+ ) + (~r− − ~r) × (−q) E(~ ~ r− ) M (−q) (−~a) ~ q~a ~ ~ r) , × E(~r) + × E(~r) = ~p × E(~ = 2 2 a sorfejtés legalacsonyabb el nem t¶n® rendjében. Ennek alapján az elektromos mez® mindaddig forgatja a dipólust, míg annak dipólmomentuma párhuzamos nem lesz a térer®sség adott pontbeli irányával. elektromos megosztás során keletkez® töltések nagysága arányos az elválasztó felület nagyságával, és függ annak irányától.

Tapasztalat:

Következmény:

megosztás során keletkez® töltés

~ · d~f Q=D ~ az elektromos alakú, ha az elválasztó felület elég kicsiny; itt D mez® megosztási képességét jellemz® eltolási vektor.

2. MÁGNESES TÉRJELLEMZK

0-6

~ és D ~ együtt teljes mértékben jellemzik az elektromos teret. E

2. Mágneses térjellemz®k Alapvet® tapasztalat: mágnest¶ elfordul mágneses térben, illetve mozgó töltések (elektromos áram) eltérülnek. különböz® mágnest¶kre ható forgatónyomatékok a tér egyazon pontjában azonos irányúak, de különböz® nagyságúak; nagyságuk aránya a helyt®l független, de függ a mágnest¶ irányától (bizonyos irányokban zérus, bizonyosakban pedig maximális).

Tapasztalat:

Következmény:

adott mágnest¶re ható forgatónyomaték felírható

~ ~ ×H m ~ csak a mágnest¶ jellemz®je (mágneses momenalakban, ahol m ~ a mágneses mez®t jellemz® mágneses térer®sség vektum ), míg H tora.

2. MÁGNESES TÉRJELLEMZK

0-7

mágneses mez®ben mozgó elektromos töltésre er® hat, amelynek nagysága arányos a töltés nagyságával és sebességével, míg iránya mer®leges ez utóbbira, de egyébként csak a térbeli helyzett®l függ.

Tapasztalat:

Következmény:

mozgó elektromos töltésre ható er®

~ ~ = q ~v × B F c alakú, ahol q és ~v a próbatöltés nagysága és sebessége, c ≈ 3 · ~ a mágneses mez®t jellemz® mágne1010 m/s a fénysebesség, míg B ses indukció vektora. Faraday, 1831: id®ben változó mágneses tér elektromos teret kelt (elektromágneses indukció).

~ és B ~ együtt teljes mértékben jellemzik a mágneses mez®t. H Gyakran

~ = µH ~ B

2. MÁGNESES TÉRJELLEMZK lineáris kapcsolat, ahol µ a közeget jellemz® mennyiség (mágneses ~ =H ~. meabilitás ); vákuumban µ = 1, azaz B

0-8 per-

~ =H ~ + 4π M ~ , ahol M ~ a küls® mágneses tér által a közegben Általában B indukált mágneses dipólusok s¶r¶sége.

3. A MAXWELL-EGYENLETEK

0-9

3. A Maxwell-egyenletek Elektromágneses térjellemz®k közötti alapvet® összefüggések, amelyek minden körülmények között teljesülnek. Szokásos megfogalmazásban (els®rend¶, lineáris) parciális dierenciálegyenlet-rendszert alkotnak. Konkrét meggyeléseken alapulnak, ezért eredend®en véges kiterjedés¶ tartományokra vonatkoznak (integrális alak). Térjellemz®k lassú, folytonos változása makroszkopikus tartományokban (közelhatás) ⇒ lehetséges lokális, pontonkénti leírás. Maxwell-egyenletek dierenciális alakjának származtatása integráltételek alkalmazásával. Jelölések: F egy felület, ∂F annak határoló görbéje, c a fénysebesség, míg V a ∂V zárt felület által határolt térrész.


0-10

A Gauss-törvény

ˆ ~ · d~f = 4πQ D ∂V

ahol Q jelöli a ∂V zárt felület által határolt V térrészben foglalt teljes töltés mennyiségét.

~ eltolási vektort gerjesztik, amely ezek szerint nem függ a A töltések a D közeg milyenségét®l. ´ Mivel Q = V ρ d3~r, ahol ρ a térfogati töltéss¶r¶ség, és a Gauss-tétel szerint ˆ ˆ ~ · d~f = ~ d3~r D div D ∂V

V

ezért a dierenciális alak

~ = 4πρ div D


0-11

A mágneses Gauss-törvény

A tapasztalat szerint nincsenek önálló mágneses töltések (monopólus ok), ezért a mágneses indukciónak nincs forrása, azaz egy adott térrész határára vett integrálja elt¶nik (vesd össze a Gauss-törvénnyel):

ˆ ~ · d~f = 0 B ∂V

bármely V térrészre (integrális alak). A Gauss-tétel miatt

ˆ

ˆ ~ · d~f = B

∂V

~ d3~r div B V

ezért

~ =0 div B


0-12

Az Ampère-törvény

Oersted (1820): mozgó töltések mágneses mez®t keltenek. ˆ ˆ ˆ 4π 1 d ~ ~ ~ r) · d~f ~(~r) · df + H(~r) · d~r = D(~ c F c dt ∂F F ´ ´ ~ ~ · d~f Stokestétel: ∂F H(~r) · d~r = F rot H ´ ´ ∂D ~ d ~ r) · d~f = F id®ben állandó ⇒ dt F D(~ · d~f F ∂t ! ˆ ~ 4π 1 ∂ D ~ − ~ − rot H · d~f = 0 c c ∂t F Az F felületet egy pontra összehúzva:

~ 4π 1 ∂D ~ ~ + rot H = c c ∂t Jobb oldal második tagja (Maxwell):

eltolási áram !


0-13

A Faraday-törvény

Id®ben változó mágneses mez® örvényes elektromos mez®t gerjeszt (mágneses uxus változási sebessége arányos a gerjesztett elektromos mez® cirkulációjával).

ˆ

~ · d~r = − 1 d E c dt ∂F

ˆ

~ · d~f B

F

Id®ben nem változó felület esetén, a Stokestételt felhasználva ! ˆ ~ 1 ∂B ~ · d~f = 0 rot E + c ∂t F Az F felületet egy pontra zsugorítva kapjuk, hogy

~ 1 ∂B ~ rot E = − c ∂t

4. KONTINUITÁSI EGYENLET

0-14

4. A kontinuitási egyenlet és a töltésmegmaradás ~ H, ~ D ~ és B ~ elektromágneses térjellemz®k az Maxwell-egyenletekben az E, ismeretlenek, míg ρ és ~ az (elvileg) ismert forrásai az elektromágneses mez®nek, melyek a peremfeltételekkel közösen meghatározzák azt. Maxwell-egyenletek alapján

1 ∂ ∂ρ ~ = div = div D ∂t 4π ∂t

~ 1 ∂D 4π ∂t

!

c ~ − ~ = −div~ = div rot H 4π

Valós zikai szituációban ρ és ~ nem független, ki kell hogy elégítsék a

∂ρ + div~ = 0 ∂t kontinuitási egyenletet.

4. KONTINUITÁSI EGYENLET

0-15

V egy id®ben nem változó térrész, Q = teljes töltés mennyisége.

´

3~ ρ(~ r ) d r a térrészben található V

Kontinuitási egyenlet + Gauss-tétel

d dQ = dt dt

ˆ

3

ρ(~r) d ~r V

ˆ

=

V

∂ρ 3 d ~r ∂t ˆ ˆ = (− div~) d3~r = − V

~(~r) · d~f

∂V

´

Itt ∂V ~(~r) · d~f a V térrész határán id®egység alatt kiáramló töltés mennyisége. Adott térfogatban található töltés megváltozása egyenl® a térrészt határoló felületen átfolyó töltés mennyiségével: lokális töltésmegmaradás.

5. ANYAGI ÖSSZEFÜGGÉSEK

0-16

5. Anyagi összefüggések A Maxwell-egyenletek rendszere skaláris

vektoriális

~ 1 ∂B ~ rot E = − c ∂t ~ 4π 1 ∂D ~ ~ + rot H = c c ∂t

~ = 4πρ div D ~ =0 div B

8 egyenlet 12 ismeretlen függvényre ⇒ közegre jellemz® anyagi gések ismerete szükséges a megoldásukhoz.

összefüg-

~ =E ~ és B ~ =H ~. Vákuumban D ~ =E ~ + 4π P ~ és B ~ =H ~ + 4π M ~. Általában D ~ a közeg P

polarizációs vektora,

~ a közeg míg M

mágnesezettsége.

5. ANYAGI ÖSSZEFÜGGÉSEK

0-17

Mikroszkopikus eredet

Küls® elektromos mez® hiányában a közeget alkotó mikroszkopikus töltések (atommagok és elektronok) általában semlegesítik egymást makroszkopikus méretekben (kivéve ionizált közegek). Küls® mez® hatására új er®egyensúly alakul ki, töltések relatív helyzete megváltozik, a közeg polarizálódik.

~ polarizációs P a közegben.

vektor ral

jellemzett dipólmomentum-s¶r¶ség indukálódik

~ = ~0. Mivel vákuumban nincs polarizálható közeg, ezért ott P Küls® tér hiányában általában nem lép fel polarizáció (kivételt képeznek ~ = ~0 ha E ~ = ~0, ezért nem túl er®s mez®k esetén jó az elektrétek ), azaz P közelítéssel ~ = χE ~ P lineáris kapcsolat (kivéve lézerek, stb.), ahol χ a közeg (elektromos) szuszceptibilitása.

5. ANYAGI ÖSSZEFÜGGÉSEK Fentiek alapján

0-18

~ = εE ~ D

ahol ε = 1+4πχ a közeget jellemz® mennyiség, a elektromos állandó (vákuumban ε = 1).

permittivitás

vagy

di-

~ = χm H ~ és Hasonló meggondolásból M ~ = µH ~ B ahol χm a közeg mágneses szuszceptibilitása, míg µ = 1+4πχm a permeabilitása (kivétel: permanens mágnesek ). Izotrop közegben az anyagi állandók skalárok, míg anizotrop közegben (kristályok) tenzorok. Fentiek gyelembe vételével 8 egyenletet kapunk 6 ismeretlenre (túlhatározott rendszer). De: két skalár egyenlet mindig teljesül, ha egy adott kezdeti id®pontban teljesülnek kezdeti feltételek szerepét játsszák.

6. VEZETK ÉS SZIGETELK

0-19

6. Vezet®k és szigetel®k közegben (dielektrikum) nincsenek szabad mikroszkopikus töltéshordozók, ezért nem folynak bennük konduktív áramok (legfeljebb nagyon rövid ideig) ~kond = ~0 Szigetel®

Ha nincs makroszkopikus töltésáramlás (konvektív áram ), akkor a kontinuitási egyenlet alapján ∂ρ ∂t = 0, azaz ρ id®ben állandó. Vezet® ben

a mikroszkopikus töltések szabadon áramolhatnak küls® elektromos tér hatására, így kialakulhatnak konduktív áramok. Nem túl nagy térer®sség esetén lineáris közelítés (Ohm-törvény)

~ , ~kond = σ E ahol σ a vezet®t jellemz® skalár- (kristályokban tenzor-)mennyiség, a közeg vezet®képesség e; szigetel®k köztük a vákuum vezet®képessége zérus.

6. VEZETK ÉS SZIGETELK

0-20

~ = εE ~ lineáris anyagi összefüggés + Ohm-törvény + kontinuitási egyenD let ⇒ homogén, izotrop vezet® belsejében ∂ρ ~ = − σ div D ~ = − 4πσ ρ = −div~ = −div σ E ∂t ε ε amib®l

t ρ(~r, t) = ρ(~r, 0) exp − tr tr =

ε 4πσ a relaxációs id®

(értéke réz esetén kb. 10−19 s)

Vezet®k belsejében exponenciális gyorsasággal csökken a töltéss¶r¶ség. A töltések a vezet® belsejéb®l gyakorlatilag azonnal kiszorulnak a vezet® felületére, és úgy oszlanak ott el, hogy a vezet® belsejében leárnyékolják ~ = ~0 legyen (Faraday-ketrec elve). a teret, ott E

7. ILLESZTÉSI FELTÉTELEK

0-21

7. Illesztési feltételek közegek határán Adott közeg belsejében a térjellemz®k folytonosan változnak, de két különböz® közeg határán egyesek ugrást szenvedhetnek. Ha minden térjellemz® folytonosan változna, akkor mindkét közegben ugyanazon anyagi összefüggések teljesülnének. Érintkezési felületen töltések halmozódhatnak fel, illetve áramolhatnak annak mentén (felületi töltések és áramok kialakulása). Határfelület egy adott pontjában a térjellemz®k értéke attól függ, hogy a felület melyik oldalán (melyik közegben) vizsgáljuk. Térjellemz®k ugrásának jellemzése a Maxwell-egyenletek integrális alakjából származtatott illesztési feltételek segítségével. ~ 1 illetve X ~ 2 az X ~ térjellemz® értéke a határfelület egy pontjában attól X függ®en, hogy melyik térrészb®l közelítjük meg a határfelületet. ~ vektormennyiség normális és tangenciális komponensei: Xn = X·~ ~ n és X ~ t =X ~ − Xn ~n, ahol ~n a felület normális egységvektora. X


0-22

Az eltolási vektor és a mágneses indukció vektorának illesztési feltétele

Tekintsük a határfelület egy F darabját, és jelölje V határfelületet mer®legesen metsz®, mindkét közegbe h távolságra benyúló, F alapú hengeres testet

F1 és F2 a hengerfelület alap és fed®lapja, míg P a palástja. Q jelöli a V térrészben található összes töltést. Gauss-törvény szerint ˆ ˆ ˆ ~ · d~f = ~ · d~f + 4πQ = D D ∂V

P

F1

ˆ ~ · d~f + D

~ · d~f D F2

A hengert a felületre lapítva (h → 0 határeset) a P palástra vett integrál nullához tart (mert felülettel arányos), ˆ ~ · d~f → 0 D P

7. ILLESZTÉSI FELTÉTELEK míg

ˆ ~ · d~f D ˆF1 ~ · d~f D F2

0-23

ˆ ~ 1 · d~f →− D ˆF ~ 2 · d~f → D F

mert a d~f felületelem a ∂V küls® normálisának irányába mutat. ˆ ~2−D ~ 1 · d~f 4πQ = D F

Ahogy a henger magassága nullához tart, a belsejében elhelyezked® töltések a határfelületre koncentrálódnak ˆ Q= η(~r) ~n(~r) · d~f F

ahol η(~r) a felületi töltéss¶r¶ség, míg ~n(~r) a határfelület ~r pontbeli normálisa.


0-24

Fentiek szerint a határfelület bármely F darabjára

ˆ

~2−D ~ 1 − 4πη~n · d~f = 0 D

F

Az F felületet egy pontra összehúzva (mivel d~f párhuzamos az ~n normális egységvektorral) ~ 2 − ~n · D ~ 1 = 4πη ~n · D Eltolási vektor normális komponensének ugrása a felületi töltéss¶r¶séget adja (4π szorzó erejéig). Mivel nincsenek mágneses töltések, ezért hasonló gondolatmenettel a mágneses Gauss-törvényb®l

~ 2 = ~n · B ~1 ~n · B A mágneses indukció vektor normális komponense folytonos.


0-25

A mágneses és az elektromos térer®sségek illesztési feltétele

F egy h magasságú, a határfelületet mer®legesen metsz® téglalap, melynek alsó oldala L1 , fels® oldala L2 , és metszete a határfelülettel L. Az Ampère-törvény szerint ˆ ˆ ~ 1 ∂D 4π ~ IF + · d~f , H · d~r = c c F ∂t ∂F ahol IF az F téglalapon átfolyó áram. A téglalapot összenyomva a felületre (h → 0) ˆ ~ ∂D · d~f → 0 F ∂t mivel az integrál a téglalap területével arányos, és mivel az érintett oldalak hossza szintúgy elt¶nik, ezért ˆ ~ · d~r → 0 H ∂F −L1 −L2

7. ILLESZTÉSI FELTÉTELEK Innen ˆ ˆ ~ r= H·d~ ∂F

ˆ ~ r+ H·d~

L2

0-26

ˆ ~ r+ H·d~

L1

~ r→ H·d~ ∂F −L1 −L2

ˆ

~2−H ~ 1 ·d~r H

L

gyelembe véve az irányítást ∂F körbejárásánál.

L mentén d~r érint® irányú (tangenciális), így amennyiben az L görbét egy ~r pontra húzzuk össze, a limesben ˆ ~ · d~r → H ~ 2 (~r) − H ~ 1 (~r) · ~t H ∂F

ahol ~t jelöli az L érint®vektorát az ~r pontban, míg |L| az L hossza. Fenti gondolatmenet tetsz®leges, a határfelület belsejében haladó L görbére alkalmazható ⇒ fenti összefüggés igaz bármely ~t érint® irányú (~n normálisra mer®leges) vektorra . Végül h → 0 esetén IF a határfelület belsejében, az L-re mer®leges irányban id®egység alatt átáramló töltés mennyisége (felületi áramer®sség), azaz ˆ IF = (if (~r) × ~n(~r)) · d~r L


0-27

ahol if a felületi árams¶r¶ség (a felület mentén, az áramlás irányára mer®leges egységnyi hosszú szakaszon id®egység alatt átáramló töltés), és ~n a felület normális egységvektora. Következésképpen 4π ~ 2 (~r) − H ~ 1 (~r) − if (~r) × ~n(~r) · ~t = 0 H c minden ~n-re mer®leges ~t vektor esetén. Innen

4π ~ ~ H2 (~r) − H1 (~r) = if (~r) × ~n(~r) c t

Mivel nincsenek mágneses áramok, ezért hasonló gondolatmenet alapján

~ 2 (~r) = E ~ 1 (~r) E t t Az elektromos térer®sség tangenciális és a mágneses indukció normális komponense folytonosan változik két közeg határán.

8. EM MEZ ENERGIÁJA

0-28

8. Az elektromágneses mez® energiája és a Poyntingvektor ρ(~r) töltéss¶r¶séggel jellemzett töltött test(ek) mozgása elektromágneses mez® hatására vákuumban, más er®forrásoktól távol. EM mez® hiányában szabad mozgás: impulzus, energia (kinetikus), impulzusmomentum megmarad. EM mez® er®t gyakorol a testre ⇒ sebessége megváltozik ⇒ impulzusa, kinetikus energiája, stb. megváltozik. Lokális energiamegmaradás: adott térrészben fellelhet® összes energiafajta összege csak úgy változhat, ha energia áramlik át a határon. Közeg hiányában csak EM mez® energiája kompenzálhatja kinetikus energia változását (hasonlóan impulzusra és impulzusmomentumra) ⇒ EM mez® az anyag egyik megjelenési formája: bár nem áthatolhatatlan, de rendelkezik az alapvet® attribútumokkal (energia, impulzus, impulzusmomentum), közegt®l függetlenül.


0-29

EM mez® folytonos változása ⇒ energia (impulzus, impulzusmomentum) folytonos eloszlása ⇒ térfogati energias¶r¶ség. 1 ~ r) ~ r) + ~v(~r) × B(~ ~r középpontú egységnyi térfogatra ható er® ρ(~r) E(~ c

~ v Egységnyi id® alatt végzett munka = ρE·~ Kinetikus energia megváltozása = testen végzett munka ˆ dK ~ r) · ~v(~r) d3~r = ρ(~r) E(~ dt V

V : a töltéseloszlást és az EM mez®t végig magában foglaló térrész. Energiamegmaradás (izolált rendszer):

Eem

dEem dK =− dt dt nem függhet a vizsgált test tulajdonságaitól, csak a térjellemz®kt®l!

Vákuumban nincsenek konduktív áramok (~ =~konv = ρ~v) ˆ dK ~ · ~ d3~r = E dt V


0-30

Ampère- és Faraday-törvények szerint

~ c ~ 1 ~ ∂D ~ = −E ~ · ~ E· − E · rot H 4π ∂t 4π ~ c ~ 1 ~ ∂B ~ =0 H· + H · rot E 4π ∂t 4π ezért

~ · ~ = 1 −E 4π

~ ~ ∂ D ∂ B ~ · ~ · E +H ∂t ∂t 1 = 4π

!

c ~ ~ E·rot ~ ~ + H·rot E− H 4π ! ~ ~ ∂ ∂ D B c ~ · ~ ×H ~ ~ · +H div E E + ∂t ∂t 4π

~ · rot E ~ −E ~ · rot H ~ = div E ~ ×H ~ . kihasználva, hogy H ~ =E ~ és B ~ =H ~ , végül Mivel vákuumban D ∂w ~ −E · ~ = + div ~S ∂t

energiamérleg


0-31

ahol

1 ~ ~ ~ ·H ~ D·E+B w= 8π és

~ ×H ~ ~S = c E 4π ~S elnevezése: Poynting-vektor. V -re integrálva, és felhasználva, hogy ˆ ˆ div ~S d3~r = V

~S · d~f = 0

∂V

~ és H ~ (és így ~S is) elt¶nik: mivel V határán E ˆ ˆ ˆ d ∂w dK 3 3 3 ~ ~ w(~r) d ~r = +div S d ~r = − E·~ d ~r = − dt V ∂t dt V V ´ w(~r) az EM mez® energias¶r¶sége, és Eem = V w(~r) d3~r a V térrészben található EM energia.


0-32

Ha a V térrészen kívül is van EM mez® (de nincsenek töltések), akkor bels® és küls® mez® kölcsönhatása miatt energiaáram: ˆ d(K +Eem ) ~S · d~f =− dt ∂V

~S az energiaáram-s¶r¶ség vektora (iránya párhuzamos az energiaáram irányával, nagysága az egységnyi id® alatt az irányára mer®leges egységnyi felületen átáramló energia mennyisége). Anyagi közegben

d(K +Eem ) =− dt

ˆ

ˆ ~S · d~f −

∂V

~ · ~kond d3~r E V

~ · ~ Joule-h®: −E kond disszipatív tag (em energia

termikus energia).

Csak az összenergia (mechanikai + elektromágneses + termikus) marad meg, az egyes energiafajták átalakulhatnak egymásba. Impulzuss¶r¶ség =

1 ~ c2 S

(fénynyomás).

Elektromágneses alapjelenségek

Recommend Documents