Egyváltozós függvények differenciálszámítása

Egyváltozós függvények differenciálszámítása

1

NEM NYOMTATÁSRA!


Ebben a részben I egy tetszőleges, pozitív hosszúságú, intervallumot jelöl. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


2

NEM NYOMTATÁSRA!

Bevezető példa: a sebesség meghatározása az út-idő függvény ismeretében (egyenes vonalú mozgás) Átlagsebesség Ha a mozgó pont Δt (>0) idő alatt Δs utat tesz meg, akkor az adott időintervallumra vonatkozó átlagsebessége

Δs ⎡ m ⎤ v= Δt ⎢⎣ s ⎥⎦

A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


3

NEM NYOMTATÁSRA!

Pillanatnyi sebesség egyenletes mozogás esetén Egyenletes mozgás esetén a sebesség állandó. Az átlagsebesség bármely időintervallumra vonatkozóan ugyanannyi. A pillanatnyi sebesség átlagsebességgel.

minden

pillanatban

megegyezik

az

Δs v= Δt



4

NEM NYOMTATÁSRA!

Pillanatnyi sebesség nem egyenletes mozgás esetén A pillanatnyi sebesség az átlagsebesség határértéke, miközben az időintervallum hossza (Δt) nullához tart:

Δs v( t 0 ) = lim Δt →0 Δt



5

NEM NYOMTATÁSRA!

Definíció: differenciahányados függvény

Az f:I→R függvény x0∈I helyhez tartozó differenciahányados függvénye:

f (x) − f (x 0 ) x→ x − x0

x∈I\{x0}

Geometriai jelentés: rögzített x esetén a differencia-hányados függvény az (x0,f(x0)) és az (x,f(x)) függvénypontokat összekötő szelő meredekségét adja. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


6

NEM NYOMTATÁSRA!

Definíció: differenciálhányados

Ha az f:I→R függvény x0∈I helyhez tartozó differenciahányados függvényének az x0 helyen létezik véges határértéke, akkor azt mondjuk, hogy f differenciálható az x0 helyen, a határértéket pedig az f függvény x0 helyen vett differenciálhányadosának nevezzük. Jelölés:

f ′( x 0 )

df (x 0 ) dx

f (x) − f (x 0 ) f ′( x 0 ) = lim x →x 0 x − x0



7

NEM NYOMTATÁSRA!

Megjegyzés

f (x) − f (x 0 ) f ′( x 0 ) = lim x →x 0 x − x0

f ( x 0 + Δx ) − f ( x 0 ) Δx → x 0 Δx f ( x ) − f ( x 0 ) − f ′( x 0 ) ⋅ ( x − x 0 ) lim =0 Δx →0 x − x0

f ′( x 0 ) = lim

Δf − f ′( x 0 ) ⋅ Δx lim =0 Δx →0 Δx



8

NEM NYOMTATÁSRA!

A differenciálhányados fizikai jelentése: változási gyorsaság A következő példák azt mutatják, hogy két mennyiségek kapcsolatát megadó függvény differenciálhányadosának fontos fizikai jelentése van. Megjegyzés

Ha egy fizikai mennyiség időtől való függését vizsgáljuk, akkor a differenciálhányadost vessző helyett általában ponttal jelöljük. A t→x(t) függvény differenciálhányadosának jelölése a t0 helyen:

x& ( t 0 )

dx (t 0 ) dt



9

NEM NYOMTATÁSRA!

Sebesség egyenletes mozgás esetén Ha egy test egyenletesen (vagyis állandó sebességgel) mozog, akkor a sebességének nagysága egyenlő a t→s(t) (út-idő) függvény meredekségével.

[v] = m / s



10

NEM NYOMTATÁSRA!

Pillanatnyi sebesség nem egyenletes mozgás esetén Mennyi a sebesség nagysága egy adott pillanatban, ha a t→s(t) függvény grafikonja nem egyenes? A pillanatnyi sebesség a t→s(t) függvény differenciálhányadosa (meredeksége).

v( t 0 ) = s&( t 0 ) ds v( t 0 ) = ( t 0 ) dt

Δs v( t 0 ) = lim Δt →0 Δt



11

NEM NYOMTATÁSRA!

Teljesítmény egyenletes energialeadás esetén Ha egy rendszer egyenletesen (állandó teljesítménnyel) ad le energiát, akkor a teljesítmény egyenlő a t→E(t) (energia-idő) függvény meredekségével.

[P] = J / s



12

NEM NYOMTATÁSRA!

Pillanatnyi teljesítmény nem egyenletes energialeadás esetén Mennyi a teljesítmény egy adott pillanatban, ha a t→E(t) függvény grafikonja nem egyenes? A pillanatnyi teljesítmény a t→E(t) függvény differenciálhányadosa (meredeksége).

P( t 0 ) = E& ( t 0 ) dE P( t 0 ) = (t 0 ) dt

ΔE P( t 0 ) = lim Δt →0 Δt



13

NEM NYOMTATÁSRA!

Áramerősség egyenletes töltésáramlás esetén Ha egy vezető egy keresztmetszetén egyenletesen (állandó áramerősséggel) áramlik át töltés, akkor az áramerősség egyenlő a t→Q(t) függvény meredekségével.

[I] = C / s A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


14

NEM NYOMTATÁSRA!

Pillanatnyi áramerősség nem egyenletes töltésáramlás esetén Mennyi az áramerősség egy adott pillanatban, ha a t→Q(t) függvény grafikonja nem egyenes? A pillanatnyi áramerősség a t→Q(t) függvény differenciálhányadosa (meredeksége).

& (t ) I( t 0 ) = Q 0 dQ I( t 0 ) = (t 0 ) dt

ΔQ I( t 0 ) = lim Δt →0 Δt



15

NEM NYOMTATÁSRA!

A fenti példákban közös, hogy mindegyikben két mennyiség megváltozása közti pillanatnyi kapcsolatot keressük: az egyik mennyiség egységnyi megváltozása egy másik mennyiség mekkora megváltozását eredményezi, vagyis, hogy mennyi a VÁLTOZÁSI GYORSASÁG pillanatnyi értéke? A válasz minden esetben a DIFFERENCIÁLHÁNYADOS.



16

NEM NYOMTATÁSRA!

Megjegyzések

1. A differenciálhatóság pontbeli tulajdonság. 2. A differenciálhányados geometriai jelentése: az érintő meredeksége Valójában helyesebb a következőképpen fogalmazni: ha az f függvény x0 helyen differenciálható, akkor az ( x0 , f(x0) ) ponton átmenő, f ’ (x0) iránytangensű (meredekségű) egyenest az f függvény x0 pontbeli érintőjének nevezzük.



17

NEM NYOMTATÁSRA!

3. Beszélhetünk külön bal illetve jobb oldali differenciálhatóságról is, amennyiben a differencia-hányados függvény határértékének létezését csak egy oldalról vizsgáljuk.

4. Ahol egy függvény differenciálható, ott folytonos is.



18

NEM NYOMTATÁSRA!

Példa: a differenciálhányados kiszámítása

f(x) = x2 , x0=3

x −3 ( x − 3)( x + 3) = lim lim = lim( x + 3) = 6 x →3 x − 3 x →3 x →3 x −3 2

2



19

NEM NYOMTATÁSRA!

Példa: egy pontban nem differenciálható függvény

f(x) = | x |

|x|−|0| −x lim = lim = −1 x →0 −0 x →0 −0 x x−0 |x|−|0| x lim = lim = 1 x →0 + 0 x →0 − 0 x x−0

f nem differenciálható az x0=0 helyen



20

NEM NYOMTATÁSRA!

Példa: egy pontban nem differenciálható függvény

f (x) = x

lim

x →0 + 0

x− 0 1 = lim = +∞ x →0 + 0 x−0 x

f nem differenciálható az x0=0 helyen



21

NEM NYOMTATÁSRA!

Definíció: derivált függvény

A g:I→R függvényt az f:I→R függvény derivált függvényének nevezzük, ha az I intervallum bármely x0 pontjában f ’ (x0) = g (x0). Jelölés: g = f ’ A derivált függvény értékei tehát mindenhol az eredeti függvény differenciálhányadosát adják. A derivált függvény meghatározását szokás deriválásnak nevezni. Megjegyzés

A derivált függvény nem feltétlenül folytonos. Ha egy függvény deriváltja folytonos, akkor azt mondjuk, hogy a függvény folytonosan differenciálható.



22

NEM NYOMTATÁSRA!

Példa: a derivált függvény meghatározása

f(x) = x2 x 2 − x 02 ( x − x 0 )( x + x 0 ) lim = lim = x→x 0 x→x 0 x − x x − x0 0 = lim ( x + x 0 ) = 2 x 0 x→x 0

f ′( x ) = 2x

f ′(3) = 2 ⋅ 3 = 6

df ( x ) = 2x dx

df (3) = 2 ⋅ 3 = 6 dx



23

NEM NYOMTATÁSRA!

Néhány elemi függvény derivált függvénye Konstans függvények

Ha

f(x) = c, c∈R

akkor

f ’(x) = 0

c−c Indoklás: lim =0 x→x 0 x − x 0 Megjegyzés

A konstans függvény érintője bármely pontban egybeesik a függvény grafikonjával. Így az érintő mindenhol „vízszintes”, azaz 0 meredekségű, ezért a derivált függvény a konstans 0 függvény. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


24

NEM NYOMTATÁSRA!

Exponenciális függvények

⇒

f(x) = ax, 0
f ’(x) = ax⋅lna

x0 x −x0 x a − a a −1 x0 Indoklás: lim = a ⋅ lim = a x 0 ⋅ ln a x→x 0 x − x x→x 0 x − x 0 0

Speciálisan: Példa

f(x) = ex

′

(5 ) = 5 x

x

⇒

f ’(x) = ex

⋅ ln 5



25

NEM NYOMTATÁSRA!

Hatványfüggvények

⇒

f(x) = xn, n∈R

f ’(x) = n⋅xn-1

Indoklás, amennyiben n pozitív egész:

(

)

(x − x 0 ) x n −1 + x n −2 ⋅ x 0 + ... + x ⋅ x 0n −2 + x 0n −1 x n − x 0n = n ⋅ x 0n −1 = lim lim x →x 0 x − x x →x 0 x − x0 0 Példák

′

(x ) = 7 ⋅ x 7

′

6

( ) 5

⎛ 1 ⎞ −3 ′ = −3 ⋅ x − 4 ⎜ 3⎟ = x ⎝x ⎠

( )

⎛ x = ⎜⎜ x ⎝ ′

1 5

′

⎞ 1 15 −1 1 − 54 ⎟ = ⋅x = ⋅x ⎟ 5 5 ⎠



26

NEM NYOMTATÁSRA!

Szinusz függvény

f(x) = sin x

⇒

f ’(x) = cos x

Indoklás: sin x − sin x 0 lim = lim x →x 0 x →x 0 x − x0

2 ⋅ cos

x + x0 x − x0 x − x0 sin ⋅ sin 2 2 = lim cos x + x 0 ⋅ 2 = cos x 0 x →x 0 x − x0 x − x0 2 2

Az elemei függvények deriváltjainak táblázata megtalálható bármely, a diferenciálszámítással foglalkozó műben, például a Matematikai Feladatgyűjtemény III. c. segédlet végén is. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


27

NEM NYOMTATÁSRA!



28

NEM NYOMTATÁSRA!

Fizikai példa derivált függvényre: sebességfüggvény

Korábban láttuk, hogy a pillanatnyi sebesség a t→s(t) függvény differenciálhányadosa. Ebből következik, hogy a t→s(t) út-idő függvény derivált függvénye a t→v(t) sebesség-idő függvény. Példa: harmonikus rezgőmozgás

y(t) = A⋅sin(ωt) v(t) = Aω ⋅cos(ωt) A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


29

NEM NYOMTATÁSRA!

A differenciálás és az alapműveletek kapcsolata Tétel: összeg függvény differenciálása

Ha az f:I→R és a g:I→R függvények differenciálhatók az x helyen, akkor az f+g függvény is differenciálható az x helyen és

(f ± g )′( x ) = f ′( x ) ± g′( x ) Példa

′ 1 − ⎛ ⎞ ′ ′ ′ 1 x 8 + 4 x + x = x 8 + 4 x + ⎜⎜ x ⎟⎟ = 8 ⋅ x 7 + 4 x ⋅ ln 4 + ⋅ x 2 2 ⎝ ⎠

(

) ( ) ( )

1 2



30

NEM NYOMTATÁSRA!

Indoklás:

(f ( x ) + g ( x )) − (f ( x 0 ) + g( x 0 )) (f + g )' ( x 0 ) = lim = x →x 0 x − x0 f (x) − f (x 0 ) g( x ) − g( x 0 ) = lim + lim = f ' ( x 0 ) + g' ( x 0 ) x→x 0 x →x 0 x − x0 x − x0



31

NEM NYOMTATÁSRA!

Tétel: függvény konstansszorosának differenciálása

Ha az f:I→R függvény differenciálható az x helyen és c∈R, akkor a c⋅f függvény is differenciálhatók az x helyen és

(c ⋅ f )′( x ) = c ⋅ f ′( x ) Példa

(7 ⋅ sin x )′ = 7 ⋅ (sin x )′ = 7 ⋅ cos x



32

NEM NYOMTATÁSRA!

Indoklás:

(c ⋅ f )( x ) − (c ⋅ f )( x 0 ) (c ⋅ f )' ( x 0 ) = lim = x →x 0 x − x0 f (x) − f (x 0 ) = c ⋅ lim = c ⋅ f ' (x 0 ) x →x 0 x − x0



NEM NYOMTATÁSRA!

(f ± g )′( x ) = f ′( x ) ± g′( x ) (c ⋅ f )′( x ) = c ⋅ f ′( x )

Példa

(5 ⋅ x

33

8

)

′

− 3 ⋅ sin x + 7 ⋅ 4 + x − 15 ⋅ x + 6 = x

′ ⎛ ⎞ ′ ′ 8 ′ x ′ = 5 ⋅ x − (3 ⋅ sin x ) + 7 ⋅ 4 + ⎜⎜ x ⎟⎟ − (15 ⋅ x ) + (6)′ = ⎝ ⎠

(

)

(

)

1 2

1 − 1 7 x = 5 ⋅ 8 ⋅ x − 3 ⋅ cos x + 7 ⋅ 4 ⋅ ln 4 + ⋅ x 2 − 15 + 0 = 2

= 40 ⋅ x − 3 ⋅ cos x + 7 ⋅ 4 ⋅ ln 4 + 7

x

1 2 x

− 15



NEM NYOMTATÁSRA!

34

Tétel: szorzat függvény differenciálása

Ha az f:I→R és a g:I→R függvények differenciálhatók az x helyen, akkor az f⋅g függvény is differenciálható az x helyen és

(f ⋅ g )′( x ) = f ′( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g′( x ) Példa

′

′

′

(ln x ⋅ tg x ) = (ln x ) ⋅ tg x + ln x ⋅ (tg x )

=

1 1 = ⋅ tg x + ln x ⋅ 2 x cos x A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


35

NEM NYOMTATÁSRA!

Indoklás:

(f ( x ) ⋅ g ( x )) − (f ( x 0 ) ⋅ g ( x 0 )) (f ⋅ g )' ( x 0 ) = lim = x →x 0 x − x0 f ( x ) ⋅ g( x ) − f (x ) ⋅ g(x 0 ) + f (x ) ⋅ g( x 0 ) − f (x 0 ) ⋅ g( x 0 ) = lim = x →x 0 x − x0 f (x) − f (x 0 ) g( x ) − g( x 0 ) = g ( x 0 ) ⋅ lim + lim f ( x ) ⋅ lim = x →x 0 x →x 0 x →x 0 x − x0 x − x0 = f ' ( x 0 ) ⋅ g( x 0 ) + f ( x 0 ) ⋅ g' (x 0 )



36

NEM NYOMTATÁSRA!

Tétel: törtfüggvény differenciálása

Ha az f:I→R és a g:I→R függvények differenciálhatóak az x helyen és g(x) ≠ 0, ha x∈I, akkor az f/g függvény is differenciálható az x helyen és

′

⎛f ⎞ f ′( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g ′( x ) ⎜⎜ ⎟⎟ ( x ) = 2 g g (x) ⎝ ⎠



NEM NYOMTATÁSRA!

37

′

Példa

⎛f ⎞ f ′( x ) ⋅ g( x ) − f ( x ) ⋅ g ′( x ) ⎜⎜ ⎟⎟ ( x ) = 2 g g (x) ⎝ ⎠

′ ⎛ 3 − cos x ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = x ⎝ 5 ⋅ e + tgx − 1 ⎠

( 3 − cos x ) ⋅ (5 ⋅ e = ′

x

(

)

(

(5 ⋅ e

x

)

+ tgx − 1

2

′

)

+ tgx − 1 − (3 − cos x ) ⋅ 5 ⋅ e + tgx − 1 x

=

)

1 ⎞ ⎛ x sin x ⋅ 5 ⋅ e + tgx − 1 − (3 − cos x ) ⋅ ⎜ 5 ⋅ e + ⎟ 2 cos x ⎠ ⎝ = 2 x 5 ⋅ e + tgx − 1 x

(

)



38

NEM NYOMTATÁSRA!

Tétel: az összetett függvények differenciálása (lánc-szabály)

Ha a g:I→J függvény differenciálható az x helyen, továbbá az f:J→R függvény differenciálható az g(x) helyen, akkor az fog:I→R összetett függvény is differenciálható az x helyen és

(f o g ) ′( x ) = (f ′ o g )( x ) ⋅ g ′( x ) vagy másképpen írva:

′

[f (g( x ))]

= f ′(g ( x )) ⋅ g ′( x )



39

NEM NYOMTATÁSRA!

Példa

′

[f (g( x ))]

(sin(x

2

= f ′(g ( x )) ⋅ g ′( x ) ′

)

(

′

)

+ 3x ) = cos( x + 3x ) • x + 3x = 2

2

= cos( x 2 + 3x ) • (2 x + 3)

deriválási séma, amikor a külső függvény

sin

′

(sin(g) )

′

= cos(g ) • (g )



⎛ ⎛ ⎜ tg⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎝

′ 3 ′ ⎛ 1− x ⎞ 1 − x ⎞ ⎞⎟ 1 ⎟⎟ = ⎟⎟ = • ⎜⎜ 3 ⎟ 3 − x ⎠⎠ 2⎛ 1− x ⎞ ⎝ 3 − x ⎠ ⎟⎟ cos ⎜⎜ ⎝ 3− x ⎠ 3

40

NEM NYOMTATÁSRA!

[f (g( x ))]′ = f ′(g( x )) ⋅ g ′( x )

1

=

⎛ cos 2 ⎜⎜ ⎝

− 1 2 3 − 3x ⋅ 3 − x − (1 − x ) ⋅ (3 − x ) 2 ⋅ (−1) 1 2 • 3− x 1− x3 ⎞ ⎟⎟ ′ 3− x ⎠ ⎛f ⎞ f ′( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g ′( x )

⎜⎜ ⎟⎟ ( x ) = ⎝g⎠


(tg g )′ =


( )

tg

1 ⋅ g′ 2 cos g

⎛ g = ⎜⎜ g ⎝ ′

g 2 (x)

1 2

′

1 ⎞ 1 −2 ⎟ = ⋅ g ⋅ g′ ⎟ 2 ⎠


41

NEM NYOMTATÁSRA!

deriválási sémák egyes külső függvények esetén




42

NEM NYOMTATÁSRA!

Definíció: differenciál

Ha az f:I→R függvény differenciálható az x0 helyen, akkor az

f ′( x 0 ) ⋅ ( x − x 0 ) = f ′( x 0 ) ⋅ Δx értéket az f függvény x0 helyen vett, Δx eltéréshez tartozó differenciáljának nevezzük.


Egyváltozós függvények differenciálszámítása Példa

43

NEM NYOMTATÁSRA!

Határozzuk meg az f függvény Δx-hez tartozó differenciálját az x0 helyen!

f(x) = tg(3x-6), x0=2, Δx=0,2

f(x0)=f(2)=0 3 f ' (x) = cos 2 (3x − 6) A differenciálhányados az x0=2 helyen: f ’(x0)=f ’(2)=3 A differenciál:

f ’(x0)⋅Δx = f ’(2)⋅Δx = 3⋅0,2 = 0,6 A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


44

NEM NYOMTATÁSRA!

Definíció: érintő

Ha az f:I→R függvény differenciálható az x0 helyen, akkor az x0-beli érintője:

e( x ) = f ( x 0 ) + f ′( x 0 ) ⋅ ( x − x 0 )

Megjegyzés

Az érintő formulája könnyen érthető az alábbiak alapján: 1. az (x0,y0) pontokon átmenő, m meredekségű egyenes egyenlete: y = y0 + m⋅(x-x0) 2. az érintő egyenes átmegy az (x0,f(x0)) ponton, meredeksége pedig: f ’(x0). A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


45

NEM NYOMTATÁSRA!

Határozzuk meg az f függvény érintőjét az x0 helyen!

f(x) = tg(3x-6), x0=2 f(x0)=f(2)=0 f ’(x0)=f ’(2)=3 Az érintő:

e( x ) = f ( x 0 ) + f ′( x 0 ) ⋅ ( x − x 0 )

e(x)= f(x0)+f ’(x0)⋅(x-x0) = 0+3⋅(x-2) = 3x-6 A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


46

NEM NYOMTATÁSRA!

Definíció: lineáris közelítés

Ha az f:I→R függvény differenciálható az x0 helyen, akkor f-nek az x0-beli lineáris közelítésén a következőt értjük:

f ( x ) ≈ e( x ) = f ( x 0 ) + f ′( x 0 ) ⋅ ( x − x 0 ) A lineáris közelítés az érintővel való közelítést jelenti.



47

NEM NYOMTATÁSRA!

Definíció: lineáris közelítés

A lineáris közelítés másképpen úgy is megfogalmazható, hogy a függvény megváltozását a differenciállal közelítjük:

f ( x ) − f ( x 0 ) ≈ f ′( x 0 ) ⋅ ( x − x 0 ) = f ′( x 0 ) ⋅ Δx



48

NEM NYOMTATÁSRA!

Határozzuk meg a f(2.2) függvényértéket közelítőleg a függvény x0=2 helyen vett lineáris közelítésével!

f(x) = tg(3x-6), x0=2, Δx=0,2 f(x0)=f(2)=0 f ’(x0)=f ’(2)=3 e(x) = f(x0)+f ’(x0)⋅(x-x0) = 3(x-2) f(2.2) ≈ e(2.2) = 3⋅(2.2-2) = 3⋅0.2 = 0.6



49

NEM NYOMTATÁSRA!

Tétel: függvények inverzének differenciálhányadosa

Ha az f:I→J függvény • szigorúan monoton az I intervallumon • folytonos az I intervallumon • differenciálható az x∈I helyen és f ’ (x) ≠ 0 akkor az f -1 inverz függvény differenciálható az f(x) helyen és

′

(f ) −1

1 (f ( x )) = f ′( x )

avagy

′

(f ) (x) = ′( f f −1

1 −1

(x)

)



50

NEM NYOMTATÁSRA!

Példa

f(x) = 2x

f(2) = 4

f -1(x) = log2x

f -1(4) = 2

Az előző tétel szerint összefüggés van az f függvény 2 helyen vett és az f-1 függvény 4 helyen vett differenciálhányadosa (meredeksége között) A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


f(x) = 2x

51

f -1(x) = log2x

′

2x⋅ln2

(f )

f ’(2) = 4⋅ln2

(f )

f ’(x) =

NEM NYOMTATÁSRA!

−1

−1

1 (x) = x ⋅ ln 2 ′ 1 ( 4) = 4 ⋅ ln 2



52

NEM NYOMTATÁSRA!

Elemi függvény inverzének derivált függvénye Az inverzfüggvény differenciálhányadosára vonatkozó formulával egy függvény deriváltjának ismeretében meghatározható az inverzfüggvény deriváltja. Például:

(f )′ (x) = ′( 1 ) f f (x) −1

logaritmus függvény

′

(log a x )

=

−1

1 a

log a x

1 = ⋅ ln a x ⋅ ln a

arcsin függvény

′

1 1 1 (arcsin x ) = = = cos(arcsin x ) 1 − sin 2 (arcsin x ) 1− x2 A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


53

NEM NYOMTATÁSRA!

Magasabb rendű deriváltak Ha az f:I→R függvény differenciálható az I intervallumon, továbbá a derivált függvénye differenciálható az x0∈I helyen, akkor azt mondjuk, hogy f kétszer differenciálható x0-ban. Jelölés:

(f ′)′ ( x 0 ) = f ′′(x 0 ) Ha az f:I→R függvény (k-1)-szer differenciálható az I intervallumon (k pozitív egész), továbbá a (k-1)-edik derivált függvénye differenciálható az x0∈I helyen, akkor azt mondjuk, hogy f k-szor differenciálható x0-ban. Jelölés:

(f

( k −1)

′

) (x

0

)=f

(k)

(x 0 )



54

NEM NYOMTATÁSRA!

Differenciálható függvények néhány lokális jellemzője A normális egyenes egyenlete

1 y = f (x o ) − ⋅ (x − x o ) f ′( x o ) A tangens szakasz hossza

1 + (f ′( x o )) 2 T = f (x o ) ⋅ f ′( x o ) A normális szakasz hossza

N = f ( x o ) ⋅ 1 + (f ′( x o )) 2

Szubtangens

f (x o ) ST = f ′( x o ) Szubnormális

S N = f ( x o ) ⋅ f ′( x o )



55

NEM NYOMTATÁSRA!

Kétszer differenciálható függvények néhány lokális jellemzője Definíció: görbület

g= Megjegyzés

f ′′( x o )

(1 + [f ′(x )] ) o

3 2 2

Egyenes görbülete (bármely pontjában) 0. Egy R sugarú kör görbületének nagysága (a kör bármely pontjában) 1/R. Definíció: simulókör

Egy kétszer differenciálható függvény simulóköre adott függvénypontban az a kör, amely illeszkedik a függvénypontra, ebben a pontban a függvénnyel közös az érintője, továbbá a pontbeli görbületük is egyenlő. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


56

NEM NYOMTATÁSRA!

Kétszer differenciálható függvények néhány lokális jellemzője Simulókör

(x-u)2 + (y-v)2 = R2

ahol 2 ′ 1 + [f ( x o )] ′ u = x o − f (x o ) ⋅ f ′′( x o )

1 + [f ′( x o )] v = f (x o ) + f ′′( x o )

2

( 1 + [f ′( x )] ) R= o

3 2 2

f ′′( x o )



57

NEM NYOMTATÁSRA!

Differenciálható függvények közelítése polinommal Definíció: Taylor polinomok

Legyen a∈R, 0
differenciálható

az

(n) f ′(a ) f ′′(a ) f (a ) 2 Tn ,a ( x ) = f (a ) + (x − a ) + ( x − a ) + ... + (x − a )n 2! n! 1!

polinomot az f függvény a n-edfokú Taylor polinomjának nevezzük.

alapponthoz

tartozó

Megjegyzés

Az elsőfokú Taylor polinom azonos az érintővel. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


58

NEM NYOMTATÁSRA!

Határozzuk meg a sin függvény Taylor polinomjait az a=0 helyen az elsőfokútól az ötödfokúig!

a=0 f ( x ) = sin x

⇒

f (a ) = f (0) = sin 0 = 0

f ′( x ) = cos x

⇒

f ′(a ) = f ′(0) = cos 0 = 1

f ′′( x ) = − sin x

⇒

f ′′(a ) = f ′′(0) = − sin 0 = 0

f ′′′( x ) = − cos x

⇒

f ′′′(a ) = f ′′′(0) = − cos 0 = −1

f ( 4 ) ( x ) = sin x

⇒

f ( 4 ) (a ) = f ( 4 ) (0) = sin 0 = 0

f ( 5) ( x ) = cos x

⇒

f ( 5) (a ) = f (5) (0) = cos 0 = 1



59

NEM NYOMTATÁSRA!

a = 0 f (a ) = 0 f ′(a ) = 1 f ′′(a ) = 0 f ′′′(a ) = −1 f ( 4) (a ) = 0 f (5) (a ) = 1 f ′′′(a ) f ′(a ) f ′′(a ) 2 (x − a ) + ( x − a )3 + T5,a =0 ( x ) = f (a ) + (x − a) + 2! n! 1! ( 5) f ( 4 ) (a ) f (a ) 4 + (x − a ) + (x − a )5 4! 5!

T1,a =0 = x

T2,a =0 = x

T3,a =0

1 3 = x − ⋅x 6

T5,a =0

1 3 1 = x − ⋅x + ⋅ x5 6 120

T4,a =0

1 3 = x − ⋅x 6



T1,a =0 = x

T3,a =0

1 3 = x − ⋅x 6

T5,a =0

60

NEM NYOMTATÁSRA!

1 3 1 = x − ⋅x + ⋅ x5 6 120



61

NEM NYOMTATÁSRA!

Tétel: Taylor tétel

Legyen a∈R, 0
f ( n ) ( ξ) (x − a )n f ( x ) = Tn −1,a ( x ) + n! Megjegyzés

Hibatag:

f ( n ) ( ξ) ( x − a ) n = f ( x ) − Tn −1,a ( x ) n!



62

NEM NYOMTATÁSRA!

f n ( ξ) f ( x ) = Tn −1,a ( x ) + (x − a )n n!

Megjegyzés

A Taylor tétel szerint egy n-szer differenciálható f függvény esetén az f(x) függvényérték becsülhető az f-nek egy a helyen vett (első, második, … , (n-1). ) deriváltjaival úgy, hogy a becslés maximális hibája az n-edik derivált függvénnyel kifejezhető: ha az f(n) függvény korlátja az x és az a helyek között K, akkor a becslés hibája legfeljebb

K (x − a )n n!

ugyanis

f ( n ) ( ξ) K n (x − a ) ≤ (x − a )n n! n!



63

NEM NYOMTATÁSRA!

Definíció: Taylor sor

Ha az f:]a-r,a+r[→R függvény akárhányszor differenciálható az ]ar,a+r[ intervallumon, akkor az ∞

f ( n ) (a ) n ( x − a ) = ∑ n! n =0

f ′(a ) f ′′(a ) = f (a ) + (x − a ) + ( x − a ) 2 + ... 1! 2! hatványsort az f függvény Taylor sorának nevezzük.

a

alapponthoz

tartozó



64

NEM NYOMTATÁSRA!

Egy f függvény Taylor sorával kapcsolatban alapvető kérdés, hogy f egyenlő-e a hatványsorának összegfüggvényével. A Taylor tételből következik, hogy ha az f függvény deriváltjai közös korláttal rendelkeznek, akkor f egyenlő a Taylor sorának összegfüggvényével. Definíció

A 0 alapponthoz tartozó Taylor sort MacLaurin sornak is nevezzük.



NEM NYOMTATÁSRA!

65

Megjegyzés

Az x→ex, x→sinx, x→cosx függvényeknek MacLaurin sora azonos a függvényeket definiáló hatványsorral. ∞

1 n x e =∑ x n = 0 n!

2

3

4

x x x e ≈ 1+ x + + + + ... 2! 3! 4! x

(−1) sin x = ∑ x 2 n +1 n = 0 ( 2n + 1)!

x x x sin x ≈ x − + − + ... 3! 5! 7!

(−1) 2 n cos x = ∑ x n = 0 ( 2n )!

x2 x4 x6 cos x ≈ 1 − + − + ... 2! 4! 6!

∞

∞

n

n

3

5

7



66

NEM NYOMTATÁSRA!

Határozzuk meg az x→sin(ex) függvény harmadfokú Taylor polinomját az a=1 helyen!

Példa

a =1 f ( x ) = sin(e )

⇒

f (1) = sin( e) ≈ 0,411

f ′( x ) = e x ⋅ cos(e x )

⇒

f ′(1) = e ⋅ cos( e) ≈ −2,478

x

f ′′( x ) = −e 2 x ⋅ sin(e x ) + e x ⋅ cos(e x ) ⇒

f ′′(1) = −e 2 ⋅ sin(e) + e ⋅ cos(e) ≈ −5,515

f ′′′( x ) = −e 3 x ⋅ cos(e x ) − 3e 2 x ⋅ sin(e x ) + e x ⋅ cos(e x ) ⇒

f ′′′(1) = −e 3 ⋅ cos(e) − 3e 2 ⋅ sin(e) + e ⋅ cos(e) ≈ 6.716



67

NEM NYOMTATÁSRA!

a = 1 f (1) ≈ 0,411 f ′(1) ≈ −2,478 f ′′(1) ≈ −5,515 f ′′′(1) ≈ 6.716 f ′(a ) f ′′(a ) f ′′′(a ) 2 (x − a) + (x − a ) + (x − a )3 T3,a =1 ( x ) = f (a ) + 1! 2! n!

5,515 6,716 2 T3,a =1 ( x ) = 0,411 − 2,478 ⋅ ( x − 1) − ( x − 1) + ( x − 1) 3 2 6 sin(e x ) ≈ 0,411 − 2,478 ⋅ ( x − 1) − 2,758 ⋅ ( x − 1) 2 + 1,119 ⋅ ( x − 1) 3



68

NEM NYOMTATÁSRA!

sin( e x ) ≈ 0,411 − 2,478 ⋅ ( x − 1) − 2,758 ⋅ ( x − 1) 2 + 1,119 ⋅ ( x − 1) 3



69

NEM NYOMTATÁSRA!

Tétel: Lagrange tétel

Ha az f:[a,b]→R függvény • folytonos az [a,b] intervallumon • differenciálható az ]a,b[ intervallumon, akkor van olyan ξ∈]a,b[, melyre fennáll, hogy

f ( b ) − f (a ) f ′(ξ) = b−a



70

NEM NYOMTATÁSRA!

Megjegyzés

A Lagrange tételnek nagy jelentősége van a differenciálható függvények vizsgálatában. A tétel alapján könnyen belátható például, hogy ha egy differenciálható függvény derivált függvénye egy I intervallumon nemnegatív, akkor a függvény monoton növekvő az adott intervallumon: tetszőleges [x,y] ⊆ I részintervallumra alkalmazva a tételt kapuk, hogy f(x) ≤ f(y). Hasonlóan kapjuk, hogy ha egy differenciálható függvény derivált függvénye egy intervallumon nempozitív, akkor a függvény monoton növekvő ezen az intervallumon.



71

NEM NYOMTATÁSRA!

Tétel: L’Hospital szabály (határérték-számítás differenciálással)

Ha • f:]a,b[→R és g:]a,b[→R differenciálható függvények • g(x) ≠ 0 , ha x∈]a,b[ , g’(x) ≠ 0 , ha x∈]a,b[ • lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 vagy lim f ( x ) = lim g ( x ) = ∞ x →a

• létezik a

x →a

f ′( x ) lim x →a g′( x )

x →a

x →a

határérték,

f (x) akkor létezik a lim határérték is és x→a g ( x )

f (x) f ′( x ) = lim lim x →a g ( x ) x →a g′( x )



72

NEM NYOMTATÁSRA!

Példák

cos x sin x lim = lim =1 x →0 x →0 x 1 x − sin x

cos x sin x 1 − cos x = lim x = lim x = lim x = 1 lim 2 x →0 x 0 x 0 → → e − 1 x →0 e e −1− x x x e −1− x − 2



73

NEM NYOMTATÁSRA!

Differenciálható függvények vizsgálata Tétel: A monotonitás és az első derivált előjele

Ha az f:I→R függvény differenciálható, akkor

f monoton növekvő az I intervallumon ⇔ f ’ (x) ≥ 0 , x∈I f monoton csökkenő az I intervallumon ⇔ f ’ (x) ≤ 0 , x∈I

Megjegyzés

Az állítások a Lagrange tétel következményei. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


74

NEM NYOMTATÁSRA!

Tétel: Helyi szélsőértékek létezésének szükséges és elegendő feltétele

Ha az f:I→R differenciálható függvényre fennáll, hogy • f ’(x0) = 0 • az f ’ függvény x0-ban előjelet vált, azaz van x0-nak olyan ] x0–r , x0+r [ ⊆ I környezete, hogy f ’(x0) ≥ 0 , ha x∈] x0–r , x0 [ f ’(x0) ≤ 0 , ha x∈] x0 , x0+r [ vagy fordítva: f ’(x0) ≤ 0 , ha x∈] x0–r , x0 [ f ’(x0) ≥ 0 , ha x∈] x0 , x0+r [

akkor f-nek x0-ban helyi szélsőértéke van.



75

NEM NYOMTATÁSRA!

Megjegyzések

Egy f differenciálható függvény esetén az f’(x0)=0 egyenlőség szükséges feltétele annak, hogy f-nek x0-ban helyi szélsőértéke legyen.

Az f’(x0)=0 egyenlőség azonban nem elegendő a helyi szélsőérték létezéséhez: az f(x)=x3 függvény esetén például f’(0)=0, pedig f-nek a 0-ban nincs helyi szélsőértéke.



76

NEM NYOMTATÁSRA!

Tétel: A konvexitás és a második derivált előjele

Ha az f:I→R függvény kétszer differenciálható, akkor

f konvex az I intervallumon ⇔ f ” (x) ≥ 0 , x∈I f konkáv az I intervallumon ⇔ f ” (x) ≤ 0 , x∈I



77

NEM NYOMTATÁSRA!

Megjegyzések

1. Egy differenciálható függvény pontosan akkor konvex, ha a deriváltja monoton növekvő. 2. Egy differenciálható függvény pontosan akkor konkáv, ha a deriváltja monoton csökkenő. 3. Egy f:I→R differenciálható függvény pontosan akkor konvex, ha bármely x∈I és x0∈I esetén f(x) ≥ f(x0) + f ’(x0)⋅(x-x0) azaz a függvény bármely pontbeli érintője „felett” halad, 4. Egy f:I→R differenciálható függvény pontosan akkor konkáv, ha bármely x∈I és x0∈I esetén f(x) ≥ f(x0) + f ’(x0)⋅(x-x0) azaz a függvény bármely pontbeli érintője „alatt” halad. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


konvex függvény

78

NEM NYOMTATÁSRA!

konkáv függvény



79

NEM NYOMTATÁSRA!

Tétel: Inflexiós pont létezésének szükséges és elegendő feltétele

Ha az f: I→R kétszer differenciálható függvényre fennáll, hogy • f ”(x0) = 0 • az f ” függvény x0-ban előjelet vált, azaz van x0-nak olyan ] x0–r , x0+r [ ⊆ I környezete, hogy f ”(x0) ≥ 0 , ha x∈] x0–r , x0 [ f ”(x0) ≤ 0 , ha x∈] x0 , x0+r [ vagy fordítva f ”(x0) ≤ 0 , ha x∈] x0–r , x0 [ f ”(x0) ≥ 0 , ha x∈] x0 , x0+r [

akkor f-nek x0-ban inflexiós pontja van.



80

NEM NYOMTATÁSRA!

Megjegyzések

1. Egy f kétszer differenciálható függvény esetén az f”(x0)=0 egyenlőség szükséges feltétele annak, hogy f-nek x0-ban inflexiós pontja legyen. 2. Az f”(x0)=0 egyenlőség azonban nem elegendő az inflexiós pont létezéséhez: az f(x)=x4 függvény esetén például f”(0)=0, pedig f-nek a 0-ban nincs inflexiós pontja.



81

NEM NYOMTATÁSRA!



82

NEM NYOMTATÁSRA!

A függvényvizsgálat szempontjai 1. Amennyiben az értelmezési tartomány nem adott, a legbővebb valós számhalmaz megkeresése, amelyen a függvény értelmezhető. 2. A zérushelyek megkeresése. 3. A szakadási helyek megkeresése. 4. A határérték meghatározása a szakadási helyeknél, valamint az értelmezési tartomány „széleinél”. 5. A monotonitás vizsgálata és a helyi szélsőértékek meghatározása. 6. A konvexitás vizsgálata és az inflexiós pontok meghatározása. 7. A függvény felvázolása a megállapított tulajdonságok alapján. 8. Az értékkészlet meghatározása, a korlátosság vizsgálata.



83

NEM NYOMTATÁSRA!

Példa

f(x) = x3 – 7x2 + 10x 1. A legbővebb valós számhalmaz, amelyen a függvény értelmezhető: R (ez minden polinom esetén így van) 2. Zérushelyek: f(x) = x3 – 7x2 + 10x = x⋅(x2–7x+10) = x⋅(x–2)⋅(x-5) = 0 x1 = 0, x2 = 2, x3 = 5 3. Szakadási helyek: Szakadási hely nincs, mivel a polinomok folytonosak a teljes számegyenesen. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


84

NEM NYOMTATÁSRA!

f(x) = x3 – 7x2 + 10x 4. A határérték az értelmezési tartomány „széleinél”:

⎛ 7 10 ⎞ lim ( x − 7 x + 10 x ) = lim x ⋅ ⎜1 − + 2 ⎟ = −∞ x → −∞ x → −∞ ⎝ x x ⎠ 3

2

3

⎛ 7 10 ⎞ lim ( x − 7 x + 10 x ) = lim x ⋅ ⎜1 − + 2 ⎟ = +∞ x → +∞ x → +∞ ⎝ x x ⎠ 3

2

3

Megjegyzés

Amint azt a fenti számolások is mutatják, egy polinom (-∞)-beli, illetve (+∞)-beli „viselkedését” a legmagasabb fokszámú tag (annak kitevője és együtthatója) határozza meg.



NEM NYOMTATÁSRA!

85

5. Monotonitás, helyi szélsőértékek

f(x) = x3 – 7x2 + 10x f ’(x) = 3x2 – 14x +10

f’

f ’(x) = 0 f ’(x) = 3x2 – 14x +10 = 0 gyökök: x1 = 0,88 , x2 = 3,79 f ’(x) ≥ 0

f ’(x) ≤ 0

f ’(x) = 3x2 – 14x +10 ≥ 0

f ’(x) = 3x2 – 14x +10 ≤ 0

x ≤0,88, vagy x ≥3,79

0,88 ≤ x ≤ 3,79



86

NEM NYOMTATÁSRA!

6. Konvexitás, inflexiós pontok

f(x) = x3 – 7x2 + 10x

f ’’

f ”(x) = 6x – 14 f ”(x) = 0 f ”(x) = 6x – 14 = 0 gyök: x = 2,33 f ”(x) ≥ 0 f ”(x) = 6x – 14 ≥ 0 x ≥ 2,33

f ”(x) ≤ 0 f ”(x) = 6x – 14 ≤ 0 x ≤ 2,33


Egyváltozós differenciálszámítása f(x) = x3 –függvények 7x2 + 10x

87

NEM NYOMTATÁSRA!

7. Felvázolás A helyi maximum értéke: f(0.88) = 4.06 A helyi minimum értéke: f(3.79) = -8.21 Inflexiós pont: f(2.33) = -2.05

f ’(x) = 3x2 – 14x+10 f ”(x) = 6x – 14



88

NEM NYOMTATÁSRA!

f(x) = x3 – 7x2 + 10x 8. Értékkészlet: R A függvény alulról sem, felülről sem korlátos.



89

NEM NYOMTATÁSRA!

Példa

Keressük meg az f(x)=x3–7x2+10x, x∈[0,6] függvény (globális) minimumát és maximumát! Emlékeztetőül: zárt intervallumon folytonos függvény felveszi a minimumát és maximumát vagy az intervallum belsejében helyi szélsőérték formájában, vagy az intervallum határán.

Ezért a feladat megoldásának menete: 1. megkeressük a helyi szélsőértékeket a [0,6] intervallumon 2. meghatározzuk a függvény értékeit a végpontokban 3. a kapott értékeket összehasonlítva megkapjuk a keresett maximum és minimum értékeket.



90

NEM NYOMTATÁSRA!

Mivel az előzőekben megvizsgáltuk az f(x) = x3 – 7x2 + 10x függvényt, ennek eredményét most felhasználhatjuk:

Eszerint helyi maximum van az x=0.88 helyen, melynek értéke 4.06, helyi maximum van az x=3.79 helyen, melynek értéke –8.21. A végpontokban felvett értékek: f(0)=0, f(6)=24. Tehát: A maximum helye x=6, értéke 24. A maximum helye x=3.79, értéke –8.21. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


91

NEM NYOMTATÁSRA!

Harmonikus rezgőmozgás út-idő, sebesség-idő és gyorsulás-idő függvénye y(t) = A⋅sin(ωt) v(t) = Aω ⋅cos(ωt) a(t) = -Aω2⋅sin(ωt)

A sebesség-idő függvény az út-idő függvény derivált függvénye. A gyorsulás-idő függvény a sebesség-idő függvény derivált függvénye. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


92

NEM NYOMTATÁSRA!

Függvény szélsőértékének megkeresésével megoldható problémák Példa

Egy 100 m3-es víztároló medencét akarunk építeni. Milyenre kell választani a méreteit, hogy a megépítéséhez a legkevesebb anyagot kelljen felhasználni? Megoldás

Először be kell vezetni egy olyan változót, melynek segítségével felírható az a mennyiség, melynek a szélsőértékét kell megkeresni. Itt egy lehetséges megoldás az alapél hosszának bevezetése változóként, jelölje ezt x. A szükséges anyag mennyisége arányos a medence felületével (az alaplap és az oldallapok területének összegével), így a felület kell felírni az x függvényében. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


93

NEM NYOMTATÁSRA!

F( x ) = x 2 + 4 ⋅ m ⋅ x Itt látszólag két változó van, de a magasság kifejezhető az x segítségével, mivel a térfogat értéke rögzített:

V = 100

100 m= 2 x

400 F( x ) = x + x

⇒

2

(az x változó, a feladat jellegéből adódóan, csak pozitív értéket vehet fel)

400 F′( x ) = 2 x − 2 x A minimum helye:

x = 3 200

A minimum értéke:

F( 200 ) = 3

(

3

)

400 200 + 3 200 2



94

NEM NYOMTATÁSRA!

Példa

18 cm oldalú, négyzet alakú lapból a rajzon látható módon felül nyitott dobozt készítünk. Határozza meg a doboz maximális térfogatát!



95

NEM NYOMTATÁSRA!

Megoldás

A térfogat:

V(x) = x ⋅ (18 - 2x)2

A térfogat néhány x érték mellett:



96

NEM NYOMTATÁSRA!

A térfogat:

V(x) = x ⋅ (18 - 2x)2 = 4x3 - 72x2 + 324x A V függvény értelmezési tartománya:

0<x<9 A V függvény maximumát kell megkeresni.

V ’(x) = 12x2 -144x + 324 A V ’ (x) = 0 egyenlet megoldása a ]0,9[ intervallumon:

x=3



97

NEM NYOMTATÁSRA!

A derivált előjele:

V-nek maximuma van x=3-nál. A probléma megoldása: A maximális térfogat: V(3) = 432 (cm3)

V

V’



98

NEM NYOMTATÁSRA!

Példa

Egy hidat és egy csomópontot kell úttal összekötni. A csomópont a hídtól délkeletre van: 8 km keletre, 8 km délre. A folyó mellett 5 km széles mocsaras terület húzódik. Ha az építési költség kilométerenként 10 millió Ft a mocsaras területen és 7 millió Ft a száraz területen, akkor milyen nyomvonal mellett lesz minimális az építési költség? Mennyi ez a minimális költség? A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


99

NEM NYOMTATÁSRA!

Megoldás

Az út költsége:

C( x ) = 10 ⋅ x 2 + 25 + 7 ⋅ (8 − x ) 2 + 9 A C függvény értelmezési tartománya:

0≤x≤8 A C függvény minimumát kell megkeresni. Az építési költség néhány x érték mellett:



(

)

(

1 2

C( x ) = 10 ⋅ x + 25 + 7 ⋅ (8 − x ) + 9 2

(

)

2

100

NEM NYOMTATÁSRA!

)

(

1 2

)

1 1 − − 1 2 1 2 C′( x ) = 10 ⋅ ⋅ x + 25 2 ⋅ 2x + 7 ⋅ ⋅ (8 − x ) + 9 2 ⋅ 2(8 − x ) ⋅ (−1) 2 2

C′( x ) =

10 x x + 25 2

−

7 ⋅ (8 − x ) (8 − x ) 2 + 9

C’

A C’(x) = 0 egyenlet negyedfokú. Az egyenlet közelítő megoldása a [0,8] intervallumon:

x ≈ 3.56



101

NEM NYOMTATÁSRA!

Mivel az értelmezési tartomány zárt intervallum, elegendő a függvényértékek ellenőrzési az x=0, x=3.56 és x=8 helyeken:

C(0) = 109.8

C(3.56) = 98.9

C(8) = 115.3

A függvényértékek alapján látható, hogy (közelítőleg) az helyen van minimuma a függvénynek

x=3.56

A minimum értéke: 98.9 million Ft

C



102

NEM NYOMTATÁSRA!

Legfeljebb milyen hosszú fa fordítható be a 4 m széles csatornából a rá merőleges 2 m széles csatornába? (A fa vastagságát hanyagoljuk el!)



103

NEM NYOMTATÁSRA!

Megoldás

A rúd maximális hossza, mely adott α szög mellett elfér a rajzon látható pozícióban:

4 2 L(α ) = + cos α sin α



104

NEM NYOMTATÁSRA!

A maximális rúdhoszz néhány szögérték mellett:

α = 15°

α = 30°

α = 45°

α = 60°

⇓

⇓

⇓

⇓

L = 8.62 (m)

L = 8.49 (m)

L = 11.87 (m)

L = 10.31 (m)



105

NEM NYOMTATÁSRA!

4 2 L(α ) = + cos α sin α Az L függvény értelmezési tartománya:

π 0<α< 2 Az L függvény minimumát kell megkeresni.

L′(α ) =

0 ⋅ cos α − 4 ⋅ (− sin α ) 0 ⋅ sin α − 2 ⋅ cos α + 2 cos α sin 2 α

L′(α ) =

4 ⋅ sin α 2 ⋅ cos α − 2 cos α sin 2 α



106

NEM NYOMTATÁSRA!

Az L’(α) = 0 egyenlet megoldása:

L′(α ) = 0

4 ⋅ sin α 2 ⋅ cos α − =0 2 2 cos α sin α 4 ⋅ sin α 2 ⋅ cos α = 2 cos α sin 2 α

1 tgα = 3 ≈ 0.7937 2 α = 0.67 (rad) α = 38.4°

sin 3 α 1 = 3 cos α 2

L-nek az α=0.67 szög mellett van minimuma. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


107

NEM NYOMTATÁSRA!

A α=0.67 szög mellett a fa maximális hossza:

L(0.67) =

4 2 + = 8.33 cos 0.67 sin 0.67

A maximális hossz: L = 8.33 m

L

L’



108

NEM NYOMTATÁSRA!

Példa

Egy italos doboz térfogata 400 cm3. Ha a doboz alaplapja és a fedőlapja 2,23-szor olyan vastag anyagból készül, mint az oldala, akkor milyen méretek mellett lesz minimális az anyagfelhasználás?



109

NEM NYOMTATÁSRA!

Megoldás A szükséges anyagmennyiség (térfogata) a sugár (r) és a magasság (h) függvényében (d az anyag vastagsága az oldalon):

M(r,h) = 2⋅r2 ⋅π⋅2.23⋅d + h⋅2⋅r⋅π⋅d Az r és a h kapcsolata:

400 =

r2 ⋅π⋅h

400 ⇒ h= 2 r ⋅π

A szükséges anyagmennyiség (térfogata) a sugár függvényében:

400 ⎞ 400 ⎞ ⎛ ⎛ 2 2 M ( r ) = 2 ⋅ π ⋅ d ⋅ ⎜ 2.23 ⋅ r + r ⋅ 2 ⎟ = 2 ⋅ π ⋅ d ⋅ ⎜ 2.23 ⋅ r + ⎟ r ⋅π ⎠ r⋅π ⎠ ⎝ ⎝ A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


110

NEM NYOMTATÁSRA!

400 ⎞ ⎛ 2 M ( r ) = 2 ⋅ π ⋅ d ⋅ ⎜ 2.23 ⋅ r + ⎟ r⋅π ⎠ ⎝ Az M függvény értelmezési tartománya:

x ∈ ]0,∞[

Az M függvény minimumát kell megkeresni.

1 400 ⎞ ⎛ M′( r ) = 2 ⋅ π ⋅ d ⋅ ⎜ 4.46 ⋅ r − ⋅ 2 ⎟ π r ⎠ ⎝



111

NEM NYOMTATÁSRA!

Az M’(x) = 0 egyenlet megoldása:

1 400 ⎞ ⎛ 2 ⋅ π ⋅ d ⋅ ⎜ 4.46 ⋅ r − ⋅ 2 ⎟ = 0 π r ⎠ ⎝

1 400 4.46 ⋅ r = ⋅ 2 π r

1 400 r = ⋅ π 4.46 3

r ≈ 3.06

Az M függvénynek minimuma van at r = 3.06-nál. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


112

NEM NYOMTATÁSRA!

Az r = 3.06 cm mellett minimális az anyagfelhasználás.

M M’


Egyváltozós függvények differenciálszámítása

Recommend Documents