EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSÁNAK ALKALMAZÁSAI I.Feladat: Egyváltozós függvény grafikonjához húzható érintőkkel kapcsolatos feladatok. 1.feladat: Határozza meg az ( )
függvény x = 1 abszcisszájú pontjába húzható érintő egyenletét !
2.feladat: Határozza meg az ( )
függvény x = 1 abszcisszájú pontjába húzható érintő egyenletét !
3.feladat: Határozza meg az ( )
függvény y = ordinátájú pontjába húzható érintő egyenletét !
4.feladat: Határozza meg az ( )
√
függvény y = 2 ordinátájú pontjába húzható érintő egyenletét !
5.feladat: Határozza meg a P(3;2) pontból az ( )
√ függvény grafikonjához húzható érintő egyenletét !
6.feladat: Határozza meg a P(1;-1) pontból az ( )
függvény grafikonjához húzható érintő egyenletét !
7.feladat: Határozza meg az ( )
függvény 4x – 2y = -5 egyenletű egyenessel párhuzamos érintőjének egyenletét !
8.feladat: Határozza meg az ( )
függvény 12x + 3y = 8 egyenletű egyenesre merőleges érintőjének egyenletét !
II.Feladat: Egyváltozós függvény szélsőértékeivel, monotonitási szakaszaival kapcsolatos feladatok. 1.feladat: Határozza meg az alábbi függvények szélsőértékhelyeit, szélsőértékeit és monotonitási szakaszait ! 1/a.feladat:
( )
1/b.feladat:
1/d.feladat:
( )
1/e.feladat:
1/c.feladat:
( ) √
( )
1/f.feladat:
( )
√
( )
2.feladat: Határozza meg, hogy az alábbi függvényeknek lehet e szélsőértéke, és ha lehet, akkor mely x érték esetén és milyen típusú (minimum vagy maximum) szélsőértékük van ! ( )
2/a.feladat:
2/d.feladat:
( )
2/b.feladat:
( )
2/c.feladat:
( )
2/e.feladat:
( )
2/f.feladat:
( )
III.Feladat: Egyváltozós függvény inflexiós pontjaival, konvex és konkáv szakaszaival kapcsolatos feladatok. 1.feladat: Határozza meg az alábbi függvények inflexiós pontjait, konvex és konkáv szakaszait ! 1/a.feladat:
1/d.feladat:
( )
( )
1/b.feladat:
1/e.feladat:
( )
1/c.feladat:
( )
1/f.feladat:
( )
(
)
( )
2.feladat: Határozza meg, hogy az alábbi függvényeknek van e inflexiós pontja, és ha van, akkor mely x érték esetén ! 2/a.feladat: 2/d.feladat:
( ) ( )
2/b.feladat: 2/e.feladat:
( ) ( )
√
2/c.feladat: 2/f.feladat:
( ) ( )
MEGOLDÁSOK: I.Feladat: 1.feladat: az érintési pont koordinátái x0 = 1 és y0 =
( )
(
)
(
)
az érintő meredeksége m =
(
)
(
)
= -2
; az érintő egyenlete -2(x-1)+2 = y, azaz -2x+4 = y 2.feladat: az érintési pont koordinátái x0 = 1 és y0 =
( )
az érintő meredeksége m =
=1;
az érintő egyenlete 1(x-1)+0 = y, azaz x-1 = y 3.feladat: az érintési pont koordinátái y0 = , tehát (
m=[
(
) ) ]
meredeksége m = (
)√
=
, tehát
=
( )
√
( )
√
( )
(
(
)
az érintő
)√
)
√
( )]
; az érintő egyenlete
√
= 2 egyenletet kapjuk, melyből x0 = 1
(3- x0)+√
(x- 9)+√ = y , azaz x+ = y
az érintő meredeksége m = (
= y, melybe behelyettesítve P(1;-1) pont koordinátáit (
(x- x0) +
kapjuk, melyből x0 = 0 és x0 = -2, melyből az érintők egyenletei [ 2) +
√
(x- 1)+√ = y , azaz x+ = y és
6.feladat: az érintési pont koordinátái x0 és y0 = )
(
az érintő meredeksége m =
√
= y, melybe behelyettesítve P(3;2) pont koordinátáit
és x0 = 9, melyből az érintők egyenletei
egyenlete (
az érintő meredeksége
)
; az érintő egyenlete 3(x-1)+ = y, azaz 3x-1 = y
5.feladat: az érintési pont koordinátái x0 és y0 = √ (x- x0)+√
(
; az érintők egyenletei - (x-1)+ = y, azaz - x+1 = y és (x+1)+ = y, azaz x+1 = y
=
4.feladat: az érintési pont koordinátái y0 =
√
( )
=
(x- 0) +
( )
)
(1- x0) +
; az érintő
)
= -1 egyenletet
x+ = y és [
= y , azaz
(
)]
(x+
= y , azaz - x- = y
7.feladat: a 4x – 2y = -5 egyenletű egyenes egyenletét átrendezve y = 2x + , melyből az egyenes meredeksége mismert = 2, a ( ) párhuzamosság miatt az érintő meredeksége is ugyanekkora; az érintési pont koordinátái x0 és y0 = az érintő meredeksége m = 2= ; y0 = = = e; az érintő egyenlete 2(x-e)+e = y, azaz 2x-e = y 8.feladat: a 12x + 3y = 8 egyenletű egyenes egyenletét átrendezve y = -4x + , melyből az egyenes meredeksége mismert = -4, a merőlegesség miatt az érintő meredeksége (
)
az érintő meredeksége m = (
; az érintési pont koordinátái x0 és y0 = =(
)
)
; y0 =
( ) = ; az érintő
=
egyenlete (x-e)+ = y, azaz x+ e = y II.Feladat: 1/a.feladat:
ÉT: ( )
1/b.feladat:
és , melyből , összesítve ; SZÉLSŐÉRTÉKHELYEK: ( ) , melynek nincs megoldása, ezért a függvénynek nincsen szélsőértéke; MONOTONITÁS: a teljes értelmezési tartományon, ezért a függvény mindenütt szigorúan monoton nő
ÉT:
; SZÉLSŐÉRTÉKHELYEK:
( )
( (
)
, melynek
)
megoldásai és , melyek megfelelnek ÉT-nek, tehát lehetséges szélsőérték helyek; [ intervallumon ( ) [ MONOTONITÁS: ] , tehát szigorúan monoton nő, ] [ intervallumon ( ) intervallumon ( ) , tehát szigorúan monoton csökken, ] , tehát [ intervallumon ( ) szigorúan monoton csökken, ] , tehát szigorúan monoton nő, és esetén ( ) előjelet vált, tehát itt szélsőérték van, esetén lokális maximum, esetén lokális minimum; SZÉLSŐÉRTÉKEK: a lokális maximum értéke ( lokális minimum értéke ( ) 1/c.feladat:
ÉT: √
)
( ) ( )
( ) ( )
; SZÉLSŐÉRTÉKHELYEK:
( )
(
)
megoldása, ezért a függvénynek nincsen szélsőértéke; MONOTONITÁS: ( ) értelmezési tartományon, ezért a függvény mindenütt szigorúan monoton csökken
, melynek nincs a teljes
,a
1/d.feladat:
( ) ÉT: ; SZÉLSŐÉRTÉKHELYEK: ( ) , melynek megoldásai és , melyek megfelelnek ÉT-nek, tehát lehetséges szélsőérték helyek; [ intervallumon ( ) [ MONOTONITÁS: ] , tehát szigorúan monoton csökken, ] [ intervallumon ( ) intervallumon ( ) , tehát szigorúan monoton nő, ] , tehát szigorúan monoton csökken, és esetén ( ) előjelet vált, tehát itt szélsőérték van, esetén lokális minimum, esetén lokális maximum; SZÉLSŐÉRTÉKEK: a lokális ( ) minimum értéke ( ) ( ) , a lokális maximum értéke ( ) ( ) ( )
1/e.feladat:
ÉT: ; SZÉLSŐÉRTÉKHELYEK: ( ) √ függvénynek nincsen szélsőértéke; MONOTONITÁS: ( ) ezért a függvény mindenütt szigorúan monoton nő
1/f.feladat:
ÉT: és
, melynek nincs megoldása, ezért a a teljes értelmezési tartományon,
( ; SZÉLSŐÉRTÉKHELYEK: ( ) , melyek közül csak felel meg ÉT-nek, tehát
√
√
MONOTONITÁS: ]
√
√
, tehát szigorúan monoton csökken, ]
( )
, tehát szigorúan monoton nő,
( )
intervallumon
[ intervallumon
, melynek megoldásai lehetséges szélsőérték hely;
)
esetén
√
[
( ) előjelet vált, tehát itt
szélsőérték van, lokális minimum; SZÉLSŐÉRTÉKEK: a lokális minimum értéke ( ) √
( )
( )
√
2/a.feladat:
√
ÉT: ; SZÉLSŐÉRTÉKHELYEK: ( ) ( megfelel ÉT-nek, tehát lehetséges szélsőérték hely; ] ( ) értéke helyen ( ) [( )
SZÉLSŐÉRTÉKEK: a lokális maximum értéke ( ) 2/b.feladat:
ÉT:
; SZÉLSŐÉRTÉKHELYEK:
( )
, melynek megoldása , amely ) , melynek helyettesítési helyen lokális maximum van;
) ( ) ( , ezért
(
( )
( )
, melynek megoldásai
)
, melyek megfelelnek ÉT-nek, tehát lehetséges szélsőérték helyek; helyettesítési értéke
(
helyen
minimum van, a helyettesítési érték
)
(
)[(
)
[
(
) ]
helyen
)
(
, melynek
)
, ezért ( )[( )
( )
(
( )
]
és
[
helyen lokális
]
, ezért
( ) ]
helyen lokális maximum van; SZÉLSŐÉRTÉKEK: a lokális minimum értéke (
ÉT:
, melyből
megoldásai szélsőérték hely; (
√
; SZÉLSŐÉRTÉKHELYEK:
és
√
) √
√
( ) √
(
(
)
(
)
(
)
√
√
√
lehetséges
( )
helyen
√
)
( )
(
, amely megfelel ÉT-nek, tehát lehetséges szélsőérték hely;
, melynek helyettesítési értéke
helyen
(
)
[(
)
(
)
)
( )
]
, [(
ezért
, melynek
felel meg ÉT-nek, tehát
; SZÉLSŐÉRTÉKHELYEK:
, melynek megoldása
) )
helyen lokális maximum van; SZÉLSŐÉRTÉKEK: a lokális
ÉT:
(
√
( )
, melynek helyettesítési értéke
, ezért
maximum értéke ( ) 2/d.feladat:
, melyek közül csak
( )
( (
( ) ( )
, a lokális maximum értéke ( ) 2/c.feladat:
)
)
(
)
]
helyen lokális maximum van; SZÉLSŐÉRTÉKEK: a lokális maximum értéke ) [(
)
(
)
]
2/e.feladat:
ÉT:
; SZÉLSŐÉRTÉKHELYEK:
és
, melynek helyettesítési értéke (
√
(
)
, ezért
√
( )
helyen
√
√
√
]
√
maximum értéke ( ) √
ÉT:
( )
(
√
(
√
)
, ezért
√
( )
√
)[ (
√
)
√
)
helyen lokális maximum
√
(
√
√
(
)
√
)
, a lokális
√
√
, melynek megoldása
( )
megfelel ÉT-nek, tehát lehetséges szélsőérték hely; ( )
(
√
(
)
√
; SZÉLSŐÉRTÉKHELYEK:
helyen
)
√
( )
helyen lokális minimum van, a helyettesítési érték
√
( )[ ( )
(
helyen
van; SZÉLSŐÉRTÉKEK: a lokális minimum értéke (
2/f.feladat:
, melynek megoldásai
)
, melyek megfelelnek ÉT-nek, tehát lehetséges szélsőérték helyek;
√
) ]
( )
, ezért
, amely
, melynek helyettesítési értéke
( )
helyen lokális minimum van;
( )
SZÉLSŐÉRTÉKEK: a lokális minimum értéke ( )
( ) ( )
III.Feladat: 1/a.feladat:
) ÉT: ; INFLEXIÓS PONT HELYE: ( ) ( , melynek megoldása , amely megfelel ÉT-nek, tehát lehetséges inflexiós pont; KONVEX-KONKÁV [ intervallumon ( ) [ intervallumon ( ) SZAKASZOK: ] , tehát konkáv, ] , tehát konvex, esetén ( ) előjelet vált, tehát itt inflexiós pont van; INFLEXIÓS PONT: az inflexiós pont függvényértéke ( ) ( ) ( )
1/b.feladat:
ÉT: , melyből ; INFLEXIÓS PONT HELYE: ( ) , melynek nincs megoldása, ezért a függvénynek nincsen inflexiós pontja; KONVEX-KONKÁV SZAKASZOK: ( ) a teljes értelmezési tartományon, ezért a függvény mindenütt konkáv
1/c.feladat:
ÉT:
; INFLEXIÓS PONT HELYE:
( )
(
)
, melynek
megoldása , amely megfelel ÉT-nek, tehát lehetséges inflexiós pont; KONVEX-KONKÁV [ intervallumon ( ) [ intervallumon ( ) SZAKASZOK: ] , tehát konvex, ] , [ intervallumon ( ) tehát konvex, ] , tehát konkáv, esetén ( ) előjelet vált, tehát itt inflexiós pont van; INFLEXIÓS PONT: az inflexiós pont függvényértéke ( ) 1/d.feladat:
1/e.feladat:
ÉT:
; INFLEXIÓS PONT HELYE:
( )
[( )
(
( ) ]
)
,
melynek nincs megoldása, ezért a függvénynek nincsen inflexiós pontja; KONVEX-KONKÁV [ intervallumon ( ) [ intervallumon ( ) SZAKASZOK: ] , tehát konvex, ] [ intervallumon ( ) tehát konkáv, ] , tehát konvex ÉT: ; INFLEXIÓS PONT HELYE: ( ) ( (
) )
, melynek nincs megoldása, ezért a függvénynek nincsen inflexiós pontja; KONVEX-
[ intervallumon ( ) KONKÁV SZAKASZOK: ] [ intervallumon ( ) intervallumon , tehát konkáv, ]
[ , tehát konvex, ] ( ) , tehát konvex
,
1/f.feladat:
ÉT:
; INFLEXIÓS PONT HELYE:
√ és
( )
(
, melynek megoldásai
)
√ , melyek megfelelnek ÉT-nek, tehát lehetséges inflexiós pontok; KONVEX-
KONKÁV SZAKASZOK: ]
, tehát konkáv, ] √
( )
√ [ intervallumon
intervallumon
( )
, tehát konvex, ] √ [ intervallumon
( )
intervallumon
( )
, tehát konvex,
√ esetén
és
√
[
, tehát konkáv, ]√
[
( ) előjelet vált, tehát
itt inflexiós pontok vannak; INFLEXIÓS PONTOK: az inflexiós pontok függvényértéke ( √ )
( √ )
( √ )
és ( )
√
( )
( )
valamint (√ )
(√ )
(√ )
√ 2/a.feladat:
ÉT: ; INFLEXIÓS PONT HELYE: ( ) ( amely megfelel ÉT-nek, tehát lehetséges inflexiós pont; ] ( ) ( ) [( ) értéke helyen
) , melynek megoldása , ( ) ( ) , melynek helyettesítési , ezért helyen inflexiós pont
van; INFLEXIÓS PONT: az inflexiós pont függvényértéke ( 2/b.feladat:
ÉT:
; INFLEXIÓS PONT HELYE:
( )
(
)
(
)
(
)
, melynek nincs megoldása, ezért
)√
a függvénynek nincsen inflexiós pontja 2/c.feladat:
ÉT:
; INFLEXIÓS PONT HELYE:
, melynek megoldása
( )
amely megfelel ÉT-nek, tehát lehetséges inflexiós pont; értéke
√
helyen
(
√
)
(
√
INFLEXIÓS PONT: az inflexiós pont függvényértéke 2/d.feladat:
ÉT: és
; INFLEXIÓS PONT HELYE:
(
√
helyen inflexiós pont van;
√
)
(
√
)
(
√ , melyek megfelelnek ÉT-nek, tehát lehetséges inflexiós pontok;
helyettesítési értéke
( √ )
√ helyen
inflexiós pont van, a helyettesítési érték
)
√
, melynek megoldásai
( )
( √ )
√ helyen
,
, melynek helyettesítési
( )
, ezért
√
)
√
, ezért
√
(√ )
( )
(√ )
√
√ , melynek √ helyen , ezért
√ helyen inflexiós pont van; INFLEXIÓS PONT: az inflexiós pontok függvényértéke ( √ ) ( √ ) ( √ )
√
, és (√ )
(√ ) (√ )
√
