Egyenáramú szervomotor modellezése 1. A gyakorlat célja: Az egyenáramú szervomotor m ködését leíró modell meghatározása. A modell validálása számításokkal és szoftverfejlesztéssel katalógusadatok alapján.
2. Elméleti bevezet : Az egyenáramú szervomotor napjainkban az egyik legelterjedtebb eszköz nagy pontosságú pozicionáló feladatok megoldására. A szervomotorok f jellemz i a kis mechanikai és elektromos id állandók (gyors dinamika), kiterjedt lineáris m ködési tartomány, könny vezérelhet ség. Használatosak ipari robotkarok, mobilis robotok, X-Y pozicionáló asztalok, stb. meghajtására. Ahhoz, hogy ezekkel a motorokkal nagy pontosságú szabályozást tudjunk végezni elengedhetetlen, hogy a motor viselkedését leíró matematikai modellt ismerjük. Kis teljesítmény szervomotoroknál a modell állórésze állandó mágnesb l készülhet, míg a forgórész tekercselt. A forgórészre kapcsolt feszültség (U) hatására a rotor forogó mozgást végez A modellezéshez a fizika és elektronika jól ismert alaptörvényeit használhatjuk. A Biot Savart t rvény következményeként a motor által kifejtet forgatónyomaték ( ) arányos a rotoron átfolyó árammal (i). A Lenz törvény következményeként, a rotorban visszaindukált feszültség (e) pedig arányos a rotor fordulatszámával ( ). Lenz : e = c1 ⋅ ω Biot Sa var t : τ = c 2 ⋅ in
ahol c1, c2 konsansok. Ismert, hogy a rotor egy sorba kötött L induktivitású ideális tekerccsel és R ellenállással modellezhet . Figyelembe véve a küls rákapcsolt feszültséget (U) és a Lenz törvényt a motor elektromos egyenlete: u = i⋅R+ L
di +e dt
(1)
1. Ábra: A rotor, mint elektromos áramkör A mechanikai mozgásegyenlet felírásához ismernünk kell a rotorra ható forgatónyomatékokat (2. Ábra): - a motor által kifejtet nyomaték, amit a Biot Savart t rvény alapján határozhatunk meg - a motorra ható küls nyomaték, amit a motor által mozgatott munkagép fejt ki ( ext) - a motor belsejében fellép súrlódási er k (a rotor felfüggesztése és a szénkefék miatt). Ezt Coulomb súrlódási modellel írhatjuk le. ( F f = − FC sign(ω ) , ahol FC a Coulomb súrlódási tényez )
2 Ábra: A rotorra ható er k A Newton mozgástörvény értelmében: JR
dω = c 2 ⋅ i − F f − τ ext dt
(2)
ahol JR a rotor inerciája. A motor dinamikus modelljéhez a mechanikai (2) és elektromos viselkedést (1) leíró egyenleteket használjuk: di + i ⋅ R + c1 ⋅ ω = u dt dω JR = c 2 ⋅ i − F f − τ ext dt dα =ω dt L
(3)
jelöli a rotor szögpozícióját. 2.1. Az egyenáramú motor állapotteres modellje és átviteli függvénye: Amint beláttuk, a motor viselkedését lineáris differenciálegyenletekkel írhatjuk le, ezért a motor sebesség- vagy pozíciószabályozásának tervezéséhez a lineáris rendszerek irányítástechnikáját alkalmazhatjuk. Ahhoz, hogy a lineáris szabályozótervezési algoritmusokat alkalmazni tudjuk, célszer a motor modelljét állapotteres alakba átírni vagy meghatározni a motor átviteli függvényét. x = Ax + Bu
Általában az állapotteres modell alakja:
y = Cx + Du
, ahol x az állapotok vektora, u a
bemenetek vektor, A, B , C, D pedig a rendszermátrixok, amelyek tartalmazzák a motor paramétereit. Az egyenáramú szervomotor esetében definiáljuk az alábbi állapot- valamint bemeneti vektort: i
Ff
x= ω
u = τ ext u
(4)
α Feltételezzük, hogy csak a motor szögelfordulása mérhet . Ebben az esetben a (3) egyenlet az alábbi alakba írható át: di R − dt L dω c2 = dt JR dα 0 dt
c1 L
−
0
1 L
i
0
0 ω + 0
1
0
α
0
0
0
1 − JR 0
1 − JR 0
u Ff
τ ext
(5) B
A
0 0 0
i
0 0 0
u
y = α = 0 0 0 ω + 0 0 0 Ff 0 0 1 α 0 0 0 τ ext C
D
Az (5) differenciál egyenletrendszer a motor állapotteres modelljét adja meg, amely alapján állapotteres tervezési algoritmusokat (pl. Ackerman módszer, LQ optimális irányítás). Vegyük észre, hogy a súrlódási er meg a küls nyomaték zavaró bemenetekként jelennek meg a modellbe. Ezek hatását terhelésbecsl algoritmusokkal kompenzálhatjuk. Az átviteli függvény meghatározására a súrlódási er meg a küls nyomaték hatását elhanyagoljuk ( F f = τ ext = 0 ). Az átvitelt az u vezérl jelr l a szögsebességre ( ) határozzuk meg. Induljunk ki a (2) mozgásegyenletb l: JR
dω = c2 ⋅ i dt
Ezt differenciálva és alkalmazva az (1) egyenletet: JR
c d 2ω di R R J R dω c1 = c2 ⋅ = c 2 − i − 1 ω + u = c2 − − ω +u 2 dt L L L c 2 dt L dt d 2ω R + JR 2 L dt 2 d ω R dω + + L dt dt 2
JR
dω c1c2 + ω =u dt L c1c 2 1 ω= u L⋅ JR JR
A fenti differenciálegyenletre alkalmazva a megkaphatjuk a motor átviteli függvényét:
H (s) =
ω ( s)
=
u( s)
Laplace transzformáltat könnyen 1 JR
s2 +
cc R s+ 1 2 L L⋅ JR
3. A mérés menete 3.1. A motor paramétereinek meghatározása A MAXON cég nagy pontosságot és jó szabályozási jellemz ket megkövetel alkalmazásokhoz gyárt kis teljesítmény szervomotorokat. Vegyük példának az A-max 32 24V/15W típusú motort. Keressük ki a motor katalógusa alapján (lásd a mellékelt katalóguslapot) a motor paramétereit és alakítsuk át SI mértákegyséekre: RR = 7.13 Ω
-
a rotor ellenállása (terminal resistance):
-
a rotor induktivitása (terminal inductance): LR = 1.05 mH = 1.05 ⋅ 10 −3 H A sebességállandó inverze (speed constant): c1 =
1
speed const
=1
250
V
rpm
=1
V 26.16 rad / sec
részletezve: 1 rpm = 1 ford
60 sec
;
1 ford ........2π rad ; 2π rad ....1 rpm; 60 sec rad x .......250 rpm; sec
-
[
A nyomatékállandó (torque constant): c 2 = (torque constant ) = 38.2 ⋅ 10 −3 Nm A
]
-
A rotor inerciája (rotor inertia): J R = 41.9 g ⋅ cm 2 = 41.9 ⋅ 10 −3 ⋅ 10 −11 kg m 2 = 41.9 ⋅ 10 −7 kg m 2
Az A, B állapotmátrixokban az alábbi paraméterek jelennek meg: RR 7.13 = = 6.79 ⋅ 10 3 LR 1.05 ⋅ 10 −3 1 c1 26.16 = 36.4 = LR 1.05 ⋅ 10 −3 c2 38.2 ⋅ 10 −3 = = 9.11 ⋅ 10 3 −7 J R 41.9 ⋅ 10 1 1 = = 0.95 ⋅ 10 3 LR 1.05 ⋅ 10 −3 1 1 = ⋅ 10 7 = 23.8 ⋅ 10 4 J R 41.9
A motor belsejében fellép Coulomb súrlódási együttható nem katalógusadat, azonban számolással meghatározhatjuk. Vegyük észre, hogy adott a rotor tekercsén küls terhelés nélkül folyó áram (no load current). Stacionárius állapotban a (2) egyenlet: dω . Innen a Coulomb súrlódási együttható: c 2 ⋅ i NO _ LOAD = FC + τ ext + J R 0
F f = c2 ⋅ i NO _ LOAD
dt 0
F f = 38.2 ⋅ 10 −3 ⋅ 74 ⋅10 −3 = 1.795 ⋅10 −3 Nm
3.2. A modellezés Simulink környezetben A kiszámított paraméterek alapján írjuk fel a motor állapotteres modelljét és építsük fel az alábbi Simulink modellt, amely tartalmazza: a motor állapotteres modelljét, bemeneteket (vezérl jel, küls nyomaték), a Coulomb súrlódási er modelljét. A három állapotot oszcilloszkópon figyeljük meg (válasszuk a C mátrixot egységmátrixnak). A szimulációs idánek válasszunk 0.5 mp-t. A modell validálásához válasszuk a küls nyomatékot zérónak. Ebben az esetben a szögsebesség kimeneten a tranziens lejárta után meg kell kapjuk a motor terhelés nélküli 2π sebességét (no load speed), ami katalógusadat ω NO _ LOAD = 5860 ⋅ = 613.38rad / sec . 60
3. Ábra. Simulink modell a motor dinamikus viselkedésének vizsgálatához 3.3. Szimulációs eredmények:
4. Ábra. A motoráram, rotor sebesség és pozíció
4. Kérdések és feladatok: 1. Tanulmányozzuk az (5) állapotteres modell irányíthatóságát és megfigyelhet ségét. 2. Határozzuk meg a motor átviteli függvényét a vezérl jelr l a szögpozíció kimenetre. 3. Tanulmányozzuk a nem zéró küls terhel nyomaték hatását a rotor áramra és a rotor szögsebességére.
