e6, (0%(5,(5)255È62.0,1,6=7e5,80$

RNWyEHU

0DWHPDWLND

HPHOW V]LQW -DYtWiVL pUWpNHOpVL ~WPXWDWy

0$7(0$7,.$

e5(776e*, 9,=6*$ ‡

(0(/7 6=,17% Ë5È6%(/, e5(776e*, 9,=6*$

-$9Ë7È6, e57e.(/e6, Ò7087$7Ï

(0%(5, (5 )255È62. 0,1,6=7e5,80$

0DWHPDWLND ² HPHOW V]LQW

-DYtWiVL pUWpNHOpVL ~WPXWDWy

)RQWRV WXGQLYDOyN )RUPDL HO tUiVRN .pUM•N KRJ\ D GROJR]DWRW D YL]VJi]y iOWDO KDV]QiOW V]tQ&W O HOWpU V]tQ& WROODO ROYDV KDWyDQ MDYtWVD NL $ IHODGDWRN PHOOHWW WDOiOKDWy V]•UNH WpJODODSRN N|]•O D] HOV EHQ D IHODGDWUD DGKDWy PD [LPiOLV SRQWV]iP YDQ D MDYtWy iOWDO DGRWW SRQWV]iP D PHOOHWWH OHY WpJODODSED NHU•OM|Q .LIRJiVWDODQ PHJROGiV HVHWpQ NpUM•N KRJ\ D PD[LPiOLV SRQWV]iP IHOW•QWHWpVH PHOOHWW NLSLSiOiVVDO MHOH]]H KRJ\ D] DGRWW JRQGRODWL HJ\VpJHW OiWWD pV MyQDN PLQ VtWHWWH +LiQ\RV KLEiV PHJROGiV HVHWpQ NpUM•N KRJ\ D KLED MHO]pVH PHOOHWW D] HJ\HV UpV]SRQW V]iPRNDW LV tUMD Ui D GROJR]DWUD +D D GROJR]DW MDYtWiViW MREEDQ N|YHWKHW Yp WHV]L DNNRU D YL]VJi]y iOWDO HOYHV]WHWW UpV]SRQWV]iPRN MHO]pVH LV HOIRJDGKDWy 1H PDUDGMRQ RO\DQ UpV]OHW D PHJROGiVEDQ DPHO\U O D MDYtWiV XWiQ QHP Q\LOYiQYDOy KRJ\ KHO\HV KLEiV YDJ\ I|O|VOHJHV $ MDYtWiV VRUiQ DONDOPD]]D D] DOiEEL MHO|OpVHNHW y KHO\HV OpSpV kipipálás y HOYL KLED kétszeres aláhúzás y V]iPROiVL KLED YDJ\ PiV QHP HOYL KLED egyszeres aláhúzás y URVV] NLLQGXOy DGDWWDO YpJ]HWW KHO\HV OpSpV szaggatott YDJ\ áthúzott kipipálás y KLiQ\RV LQGRNOiV KLiQ\RV IHOVRUROiV YDJ\ PiV KLiQ\ hiányjel y QHP pUWKHW UpV] kérd jel pV YDJ\ hullámvonal $] iEUiQ NtY•O FHUX]iYDO tUW UpV]HNHW QH pUWpNHOMH 7DUWDOPL NpUpVHN (J\HV IHODGDWRNQiO W|EE PHJROGiV SRQWR]iViW LV PHJDGWXN $PHQQ\LEHQ D]RNWyO HOWpU PHJROGiV V]•OHWLN NHUHVVH PHJ H]HQ PHJROGiVRNQDN D] ~WPXWDWy HJ\HV UpV]OHWHLYHO HJ\HQpUWpN& UpV]HLW pV HQQHN DODSMiQ SRQWR]]RQ $ SRQWR]iVL ~WPXWDWy SRQWMDL WRYiEE ERQWKDWyN KDFVDN D] ~WPXWDWy PiVNpSS QHP UHQGHONH]LN $] DGKDWy SRQWV]iPRN D]RQEDQ FVDN HJpV] SRQWRN OHKHWQHN +D D PHJROGiVEDQ V]iPROiVL KLED SRQWDWODQViJ YDQ DNNRU FVDN DUUD D UpV]UH QHP MiU SRQW DKRO D WDQXOy D KLEiW HON|YHWWH +D D KLEiV UpV]HUHGPpQQ\HO KHO\HV JRQGRODWPHQHW DODSMiQ WRYiEE GROJR]LN pV D PHJROGDQGy SUREOpPD OpQ\HJpEHQ QHP YiOWR]LN PHJ DN NRU D N|YHWNH] UpV]SRQWV]iPRNDW PHJ NHOO DGQL (OYL KLEiW N|YHW HQ HJ\ JRQGRODWL HJ\VpJHQ EHO•O H]HNHW D] ~WPXWDWyEDQ NHWW V YRQDO MHO]L D IRUPiOLVDQ KHO\HV PDWHPDWLNDL OpSpVHNUH VHP MiU SRQW +D D]RQEDQ D WDQXOy D] HOYL KLEiYDO NDSRWW URVV] HUHGPpQQ\HO ± PLQW NLLQGXOy DGDWWDO ± KHO\HVHQ V]iPRO WR YiEE D N|YHWNH] JRQGRODWL HJ\VpJHNEHQ YDJ\ UpV]NpUGpVHNEHQ DNNRU H]HNUH D UpV]HNUH NDSMD PHJ D PD[LPiOLV SRQWRW KD D PHJROGDQGy SUREOpPD OpQ\HJpEHQ QHP YiOWR]RWW PHJ +D D PHJROGiVL ~WPXWDWyEDQ ]iUyMHOEHQ V]HUHSHO HJ\ PHJMHJ\]pV YDJ\ PpUWpNHJ\VpJ DNNRU HQQHN KLiQ\D HVHWpQ LV WHOMHV pUWpN& D PHJROGiV

tUiVEHOL YL]VJD

RNWyEHU


E $] n nn


PiVRGLN PHJROGiV SRQW~ WHOMHV JUiI pOHLQHN V]iPD nn n QHO W|EE PLQW D] n SRQW~ WHOMHV

JUiI pOHLQHN V]iPD (QQHN DODSMiQ KD d HJ\ SR]LWtY HJpV] V]iP DNNRU D] n d SRQW~ WHOMHV JUiIQDN n n n d d d YHO W|EE pOH YDQ PLQW D] n SRQW~ nd JUiIQDN D] n d SRQW~ WHOMHV JUiIQDN SHGLJ d d YHO W|EE pOH YDQ PLQW D] n n d d

d

nd d

QHP OHKHW

gVV]HVHQ

tUiVEHOL YL]VJD


(J\ IHODGDWUD DGRWW W|EEIpOH PHJROGiVL SUyEiONR]iV N|]•O D YL]VJi]y iOWDO PHJMHO|OW YiOWR]DW pUWpNHOKHW $ MDYtWiV VRUiQ HJ\pUWHOP&HQ MHOH]]H KRJ\ PHO\LN YiOWR]DWRW pU WpNHOWH pV PHO\LNHW QHP $ PHJROGiVRNpUW MXWDORPSRQW D] DGRWW IHODGDWUD YDJ\ IHODGDWUpV]UH HO tUW PD[LPiOLV SRQWV]iPRW PHJKDODGy SRQW QHP DGKDWy (J\ IHODGDWUD YDJ\ UpV]IHODGDWUD DGRWW |VV]SRQWV]iP QHP OHKHW QHJDWtY $] RO\DQ UpV]V]iPtWiVRNpUW UpV]OpSpVHNpUW QHP MiU SRQWOHYRQiV PHO\HN KLEiVDN GH DPHO\HNHW D IHODGDW PHJROGiViKR] D YL]VJi]y WpQ\OHJHVHQ QHP KDV]QiO IHO $] iEUiN EL]RQ\tWy HUHM& IHOKDV]QiOiVD SpOGiXO DGDWRN OHROYDViVD PpUpVVHO QHP HOIR JDGKDWy 9DOyV]tQ&VpJHN PHJDGiViQiO KD D IHODGDW V]|YHJH PiVNpSS QHP UHQGHONH]LN D V]i]D OpNEDQ PHJDGRWW KHO\HV YiODV] LV HOIRJDGKDWy +D HJ\ IHODGDW V]|YHJH QHP tU HO NHUHNtWpVL N|WHOH]HWWVpJHW DNNRU D] ~WPXWDWyEDQ PHJ DGRWWyO HOWpU pV]V]HU& pV KHO\HV NHUHNtWpVHNNHO NDSRWW UpV] pV YpJHUHGPpQ\ LV HOIR JDGKDWy $ YL]VJDIHODGDWVRU ,, UpV]pEHQ NLW&]|WW IHODGDW N|]•O FVDN IHODGDW PHJROGiVD pUWpNHOKHW $ YL]VJi]y D] HUUH D FpOUD V]ROJiOy QpJ\]HWEHQ ± IHOWHKHW OHJ ± PHJMHO|OWH DQQDN D IHODGDWQDN D VRUV]iPiW DPHO\QHN pUWpNHOpVH QHP IRJ EHV]iPtWDQL D] |VV]SRQWV]iPiED (QQHN PHJIHOHO HQ D PHJMHO|OW IHODGDWUD HVHWOHJHVHQ DGRWW PHJRO GiVW QHP LV NHOO MDYtWDQL +D D YL]VJi]y QHP MHO|OWH PHJ KRJ\ PHO\LN IHODGDW pUWpNHOpVpW QHP NpUL pV D YiODV]WiV WpQ\H D GROJR]DWEyO VHP GHU•O NL HJ\pUWHOP&HQ DNNRU D QHP pUWpNHOHQG IHODGDW DXWRPDWLNXVDQ D NLW&]|WW VRUUHQG V]HULQWL XWROVy IHODGDW OHV]

SRQW

SRQW SRQW

SRQW

SRQW~ WHOMHV JUiIQDN 0LYHO d ! H]pUW n d d HJ\HQO nd YHO WHKiW D IHODGDW iOOtWiVD LJD]


SRQW SRQW SRQW

RNWyEHU

tUiVEHOL YL]VJD

RNWyEHU




,

E

D $ IHODGDW V]|YHJH V]HULQW x

x

x


HOV PHJROGiV

/HJ\HQ D KiURP WHOMHV JUiI SRQWMDLQDN V]iPD a a d a d DKRO a pV d SR]LWtY HJpV] V]iPRN

SRQW SRQW

x

x x x x x $] HJ\HQOHW NpW J\|NH x pV x (OOHQ U]pV pV V]iPWDQL N|]HSH PpUWDQL N| ]HSH pV V]iPWDQL N|]HSH PpUWDQL N|]HSH 7HKiW PLQGNpW V]iP PHJIHOHO gVV]HVHQ

SRQW SRQW SRQW

$] pOHN V]iPD UHQGUH aa a d a d

SRQW

,QGLUHNW PyGRQ WHJ\•N IHO KRJ\ D] pOHN V]iPD HJ\ V]iPWDQL VRUR]DW KiURP V]RPV]pGRV WDJMD (NNRU PLYHO D V]RPV]pGRV WDJRN VRUUHQGMH PHJHJ\H]LN D PHJIHOHO JUiIRN SRQWMDL V]iPiQDN VRUUHQGMpYHO aa a d a d a d a d

SRQW

E $] iOOtWiV LJD]

SRQW

PHUW NpW N•O|QE|] SR]LWtY V]iP PpUWDQL N|]HSH NLVHEE D V]iPWDQL N|]HS•NQpO

SRQW

x

gVV]HVHQ

d

a a

ad

a

ad

d

SRQW

d

PHUW x !

SRQW

SRQW

a a

F $] iOOtWiV PHJIRUGtWiVD +D D] x QHN pV D QHN D PpUWDQL N|]HSH NLVHEE D NpW V]iP V]iPWDQL N|]HSp QpO DNNRU x ! $] iOOtWiV KDPLV (J\ PHJIHOHO HOOHQSpOGD EiUPHO\LN QpO NLVHEE SR]LWtY YDOyV V]iP gVV]HVHQ

d a

x a

x

a

Legyen a három teljes gráf pontjainak száma SRQW a ± d, a, a d, ahol a, d pozitív egész számok, a!d Az élek száma rendre a d a d a a SRQW a d a d

a

ad d a d ad d a d ad d a d

d 0LYHO D IHODGDW V]|YHJH V]HULQW d ! H]pUW HOOHQW PRQGiVUD MXWRWWXQN 7HKiW D KiURP JUiI pOHLQHN V]iPD QHP OHKHW HJ\ V]iPWDQL VRUR]DW KiURP HJ\PiVW N|YHW WDJMD gVV]HVHQ

SRQW SRQW SRQW SRQW

SRQW

a

d

a

a

SRQW SRQW SRQW

D $ KHQJHU PDJDVViJD

GP DODSN|UpQHN VXJDUD

V r Sm ™S™ S§ D]D] N|U•OEHO•O OLWHU A rS r m ™ ™S™ D]D] N|U•OEHO•O GP

GP S

GP

Ez a pont akkor is jár, ha a vizsgázó cm-ben számol, SRQW de a térfogatot jól számítja át literbe. SRQW SRQW SRQW

gVV]HVHQ SRQW Megjegyzés: 1. Ha a vizsgázó valamelyik válaszában nem kerekít vagy rosszul kerekít, akkor ezért összesen 1 pontot veszítsen. 2. Ha a vizsgázó valamelyik válaszát mértékegység nélkül adja meg, akkor ezért összesen 1 pontot veszítsen.

tUiVEHOL YL]VJD

RNWyEHU

tUiVEHOL YL]VJD

RNWyEHU

a



E

QHJ\HGLN PHJROGiV 7•NU|]]•N D IpON|UW pV D WpJODOD SRW LV D IpON|U iWPpU MpQHN HJ\H QHVpUH pV HJ\HVtWV•N D W•NU|]pV VHO NDSRWW DODN]DWRNDW D] HUHGHWL HNNHO (J\ WpJODODSRW pV HQQHN N|U•OtUW N|UpW NDSMXN D N|U iW PpU MH P $ OHJQDJ\REE WHU•OHW& V]tQSDGRW DNNRU NDSMXN DPLNRU D P iWPpU M& N|UEH tUW WpJODODS WHU•OHWH YDJ\LV D V]tQSDG WHU•OHWpQHN D NpWV]HUHVH D OHJQDJ\REE $] iEUD MHO|OpVH V]HULQW HJ\ DGRWW r VXJDU~ N|UEH tUW ABCD WpJODODS WHU•OHWH rh (] DNNRU D OHJQDJ\REE KD D h PD[LPiOLV YDJ\LV h r, D]D] D WpJODODS QpJ\]HW

$ WpUIRJDWRN DUiQ\D KHO\HWW HOHJHQG D QDJ\REELN N|UV]HOHW pV D WHOMHV N|U WHU•OHWpQHN DUiQ\iW PHJDGQL $] iEUD V]HULQW D] OFA GHUpN V]|J& KiURPV]|JE O

SRQW

FRV D SRQW

(EE O D § ž WHKiW D QDJ\REELN N|UFLNN N|]pS SRQWL V]|JH ž± D§ ž $ QDJ\REELN N|UFLNNHW N|UV]HOHWWp NLHJpV]tW AOB HJ\HQO V]iU~ KiURPV]|J DODSMD GP EHQ V]iPROYD

SRQW

AB

™

WHU•OHWH T

n

$ PpUWDQL VRUR]DW WDJMDL ™ DODN~DN n • 1 N|]|WW•N RO\DQ YDQ DPHO\LN NLVHEE QpO $ PpUWDQL VRUR]DW k DODN~ WDJMDL UH YpJ] GQHN D YpJ] GpV QHP OHKHWVpJHV H]HN D pV H] D NpW V]iP WHKiW PLQGNpW VRUR]DWQDN WDJMD $ NpW VRUR]DWQDN HJ\•WW |VV]HVHQ ± RO\DQ WDJMD YDQ DPHO\ QpO NLVHEE NHGYH] HVH WHN V]iPD $] |VV]HV HVHW V]iPD §

SRQW

™ VLQ D

SRQW T

GP

™

GP

$ WHOMHV N|U WHU•OHWH T

SRQW S §

GP

$ EHW|OWKHW Yt] WpUIRJDWD SRQW

SRQW

T §

™

§

™

GP

SRQW

H]pUW D QDJ\REE N|UFLNN WHU•OHWH r D ™ S§ GP T r D QDJ\REE N|UV]HOHW WHU•OHWH T

$ V]iPWDQL VRUR]DW WDJMDL D] k DODN~ V]iPRN DKRO k • 1 $ VRUR]DW QpO NLVHEE WDJMDLQDN V]iPD $ OHJQDJ\REE PHJIHOHO WDJ k HVHWpQ

Ez a pont akkor is jár, ha SRQW ez a gondolat csak a megoldásból derül ki.

SRQW

D

GP V]i]DOpND

SRQW

A kisebb körcikk területe D ™ S§ T r § GP T– T ±T

SRQW

D WDUWiO\ WpUIRJDWiQDN gVV]HVHQ SRQW Megjegyzés: 1. A vizsgázó teljes pontszámot kap, ha jól számítja ki a betölthet víz térfogatát (kb. 135 l), majd ennek és a henger térfogata arányának kiszámítása után helyesen adja meg a válaszát. 2. A *-gal jelölt 4 pontot akkor is megkaphatja a vizsgázó, ha a körszelet és a kör területének r D ™ S T T r értékét nem számítja ki, a keresett százalékértéket pedig a T ™S r D § számítás segítségével határozza meg. r S 3. Ha a vizsgázó az üresen maradó résznek és a teljes térfogatnak az arányát adja meg válaszként, akkor legfeljebb 7 pontot kaphat.

SRQW SRQW SRQW SRQW

SRQW SRQW SRQW

DPL D NpUW DODNEDQ

SRQW

gVV]HVHQ

tUiVEHOL YL]VJD


E

(NNRU D NHUHVHWW V]|J . ž SRQW D OHJQDJ\REE V]tQSDG WHU•OHWH SHGLJ D QpJ\]HW WHU•OH SRQW WpQHN D IHOH P gVV]HVHQ SRQW Megjegyzés: Ha a vizsgázó kijelenti, hogy az adott körbe írható legnagyobb terület& téglalap a négyzet, de az állítását nem bizonyítja, akkor a *-gal jelölt 2 pontból 1 pontot kapjon.

$ NpUGH]HWW YDOyV]tQ&VpJ


SRQW

RNWyEHU

tUiVEHOL YL]VJD

RNWyEHU



D $] ÄHJ\KDUPDGRV´ HO tUiV WHOMHV•OpVpKH] D QDSL YRQDW N|]•O OHJDOiEE QDN SRQWRVDQ D]D] SHUFHV NpVpVVHO NHOO LQGXOQLD $ PiU HOLQGtWRWW YRQDW N|]•O D PHQHWUHQGEHQ HO tUW LG SRQWEDQ LQGXOW WHKiW D NpW XWROVy YRQDW N| ]•O OHJDOiEE D] HJ\LNQHN SRQWRVDQ NHOO LQGXOQLD $ PiVLN YRQDW NpVpVH OHJ\HQ x SHUF $ NpVpVHN iWODJD QHP KDODGKDWMD PHJ D SHUFHW ™ ™ ™ x e xe $ OHKHWVpJHV HJpV] pUWpNHN N|]•O x pV x HVH WpQ D PHGLiQ QDJ\REE OHQQH QiO PLQGNpW HVHWEHQ



E PiVRGLN PHJROGiV $ WpJODODS ROGDODLQDN KRVV]D PpWHUEHQ VLQ . LOOHWYH FRV . D WpJODODS WHU•OHWH SHGLJ VLQ . FRV . P .pW SR]LWtY V]iP PpUWDQL pV QpJ\]HWHV N|]HSH N|]|WWL HJ\HQO WOHQVpJ PLDWW VLQ D FRV D VLQ D FRV D e ™

SRQW

SRQW

SRQW

YDJ\LV

VLQ D FRV D e

™

VLQ D

SRQW

$ PiVLN YRQDW OHJIHOMHEE SHUFHW NpVKHW D] LQGXOiV SRQW QiO (]HNEHQ D] HVHWHNEHQ D PHGLiQ YDOyEDQ OHJIHO MHEE OHV] gVV]HVHQ SRQW Megjegyzés: Ha a vizsgázó szigorú egyenl tlenséggel dolgozik, akkor legfeljebb 5 pontot kaphat.

p · ¸ ¹ ±p

SRQW

SRQW

KDUPDGLN PHJROGiV $ WHUYUDM]RW KHO\H] ]•N HO D] iEUD V]HULQW NRRUGLQiWD UHQGV]HU EHQ SRQW

SRQW

SRQW p SRQW $ PiVRGIRN~ HJ\HQOHW NpW J\|NH p pV p ± SRQW (OOHQ U]pV +D p DNNRU ™ SRQW $ QHJDWtY J\|N QHP IHOHO PHJ D IHODGDW V]|YHJpQHN 7HKiW p SRQW gVV]HVHQ SRQW Megjegyzés: Ha a vizsgázó próbálgatással (például kétoldali becslésekkel) találja meg a helyes megoldást, de nem bizonyítja, hogy más megoldása nincs a feladatnak, akkor 3 pontot kapjon.

tUiVEHOL YL]VJD

SRQW

SRQW

gVV]HVHQ

E § p¨ © p p

SRQW

SRQW

FRV D

(NNRU WJ D YDJ\LV . ž 7HKiW D V]tQSDG PD[LPiOLV WHU•OHWH VLQ r FRV r P

E

SRQW

SRQW

(J\HQO VpJ SRQWRVDQ DNNRU OHKHWVpJHV KD

SRQW

SRQW

RNWyEHU

DKRO y u D] RUL $ IpON|U HJ\HQOHWH x y JyQ iWPHQ D LUiQ\V]|J& HJ\HQHV HJ\HQOHWH SHGLJ y mx DKRO m WJ D pV m ! (] D] HJ\HQHV D IpON|UW D] x mx SRQWEDQ PHWV]L WHKiW x

m x

HEE O x

SRQW m

$ WpJODODS WHU•OHWH t m x ™ mx mx m m! ™ m m m m td m ™ ™ m m 6]pOV pUWpN RWW OHKHW DKRO t d m DKRQQDQ m ! PLDWW m (]HQ D KHO\HQ D GHULYiOW SR]LWtYEyO QHJDWtYED PHJ\ iW WHKiW D I•JJYpQ\QHN LWW PD[LPXPD YDQ § · ™ $ OHJQDJ\REE WHU•OHW ¨ t ¸ P © ¹ D] D V]|J HNNRU ƒ RV gVV]HVHQ

tUiVEHOL YL]VJD

SRQW SRQW SRQW SRQW SRQW SRQW SRQW SRQW

RNWyEHU



D PiVRGLN PHJROGiV $] HODGRWW , LOOHWYH ,, NDWHJyULiV MHJ\HN V]iPD D IHO DGDW V]|YHJH V]HULQW x LOOHWYH x D ,,, NDWHJyULiV MHJ\HN V]iPD SHGLJ x

™

x

x

x

x

D

$ OHKHW VpJHNHW SO D] HSUHV t]HVtWpV& FVRNROiGpN V]iPD DODSMiQ V]iPROKDWMXN |VV]H

SRQW

+D D] HSUHV t]HVtWpV& FVRNROiGpN V]iPD DNNRU OHKHW VpJ YDQ DNNRU OHKHW VpJ YDJ\ OHKHW D PiOQiV t]HVt WpV& pV PLQGHQ HVHWEHQ D QDUDQFVRV t]HVtWpV&HN V]iPD PiU PHJKDWiUR]RWW DNNRU DNNRU DNNRU DNNRU OHKHW VpJ YDQ gVV]HVHQ OHKHW VpJ YDQ gVV]HVHQ

SRQW

x

7HKiW , NDWHJyULiV MHJ\E O HW ,, NDWHJyULiVEyO RW ,,, NDWHJyULiVEyO SHGLJ DW DGWDN HO tJ\ D IHODGDW V]|YHJpQHN IHOWpWHOHL WHOMHV•OQHN gVV]HVHQ

E HOV PHJROGiV $ WpJODODS ROGDODLQDN KRVV]D PpWHUEHQ VLQ . LOOHWYH FRV . D WpJODODS WHU•OHWH SHGLJ VLQ . FRV . P .HUHVV•N D] f I•JJYpQ\ PD[LPXPiW KD S D f D VLQ D FRV D pV f GHULYiOKDWy pV f ' D FRV D VLQ D $] f QHN RWW OHKHW V]pOV pUWpNH DKRO D GHULYiOWMD FRV D VLQ D S ILJ\HOHPEH YpWHOpYHO WJ D D DPLE O D

S

(]HQ D KHO\HQ D] f d SR]LWtYEyO QHJDWtYED PHJ\ iW WH KiW LWW f QHN PD[LPXPD YDQ $ PD[LPiOLV WHU•OHW& WpJODODS ROGDODLQDN KRVV]D Pp WHUEHQ § LOOHWYH § P D OHJQDJ\REE WHU•OHW ™ gVV]HVHQ

SRQW SRQW SRQW

SRQW SRQW Ez a pont akkor is jár, ha SRQW ez a gondolat csak a megoldásból derül ki. SRQW SRQW

SRQW

SRQW

ƒ is elfogadható §S· f dd¨ ¸ © ¹ ami negatív.


HOV PHJROGiV

SRQW

SRQW x


D PiVRGLN PHJROGiV +iURPIpOH FVRNROiGpEyO |W GDUDERW YiODV]WXQN NL ~J\ KRJ\ D NLYiODV]WRWW FVRNROiGpN VRUUHQGMH QHP V]iPtW WRYiEEi D] HJ\HV WtSXVRNDW W|EEV]|U LV NLYi ODV]WKDWMXN $ OHKHW VpJHN V]iPD D KiURPIpOH t]HVt WpV |W|GRV]WiO\~ LVPpWOpVHV NRPELQiFLyLQDN D V]iPD · § · § ¸¸ ¨¨ ¸¸ D]D] ¨¨ ¹ © ¹ ©


SRQW

SRQW SRQW

SRQW

SRQW

SRQW gVV]HVHQ SRQW Megjegyzés: Ha a vizsgázó felsorolja az összes lehetséges esetet (mindegyiket pontosan egyszer, továbbá hibás lehet séget nem ad meg), majd ez alapján helyesen válaszol, akkor teljes pontszámot kapjon.

§ S· VLQ ¨ ™ ¸ , ¹ ©

SRQW SRQW SRQW

A *-gal jelölt pontokat az alábbi gondolatmenetért is megkaphatja a vizsgázó: $ VLQ D FRV D VLQ D D]RQRVViJ PLDWW SRQW fD VLQ D SRQW $] f PD[LPiOLV KD VLQ D PD[LPiOLV S S 0LYHO D H]pUW D SRQW

tUiVEHOL YL]VJD

RNWyEHU

tUiVEHOL YL]VJD

RNWyEHU




F

E 7HJ\•N IHO KRJ\ n V]HOHW FVRNROiGpW YiViUROXQN n DQQDN D YD +D D UHNOiP iOOtWiVD LJD] DNNRU OyV]tQ&VpJH KRJ\ PLQGHJ\LN W|PHJH OHJDOiEE J tJ\ DQQDN YDOyV]tQ&VpJH KRJ\ N|]|WW•N YDQ n J QiO NLVHEE W|PHJ& n

$ IHOWpWHO V]HULQW n e

u

D]D]

$ HV DODS~ ORJDULWPXVI•JJYpQ\ V]LJRU~DQ PRQR WRQ Q|YHNHG WHKiW n OJ e OJ 0LYHO OJ OJ nu OJ /HJDOiEE

$> tJ\

³

º x» ¼

SRQW

§t ¨¨ © § ¨¨ © t

· t ¸¸ ¹

A alapú exponenciális (logaritmus) függSRQW vény szigorúan monoton csökken , ezért

SRQW

n u ORJ

SRQW

dx

t

ª x « ¬

§ ¨¨ ©

x

º x» ¼t

SRQW

· ™ ¸¸ ¹ ™

· § t ™ ¸¸ ¨¨ ¹ ©

™t

· ™ t ¸¸ ¹

SRQW

SRQW

t

³

@ LQWHUYDOOXPED HV

x

dx

SRQW

³

x

x

dx

gVV]HVHQ SRQW Megjegyzés: Ha a vizsgázó megmutatja, hogy a t megoldása a feladatnak, de nem igazolja, hogy más megoldás nincs, akkor 3 pontot kapjon.

D HOV PHJROGiV $] HODGRWW , ,, pV ,,, NDWHJyULiV MHJ\HN V]iPiW MH O|OMH UHQGUH a b pV c $ IHODGDW V]|YHJH V]HULQW

SRQW

a b

DKRQQDQ a b $ DW DUiQ\EDQ IHORV]WYD a pV b c ± 7HKiW , NDWHJyULiV MHJ\E O HW ,, NDWHJyULiVEyO RW ,,, NDWHJyULiVEyO SHGLJ DW DGWDN HO tJ\ D IHODGDW V]|YHJpQHN IHOWpWHOHL WHOMHV•OQHN gVV]HVHQ

SRQW SRQW SRQW

E D NHUHVHWW HJ\HQHV y

gVV]HVHQ

tUiVEHOL YL]VJD

x

SRQW

ÈWDODNtWYD x y $ NDSRWW HJ\HQOHWE O N|YHWNH]LN KRJ\ D N|U N|]pS SRQWMD D] ± SRQW VXJDUD SHGLJ HJ\VpJ gVV]HVHQ

KA HJ\ QRUPiOYHNWRUD D] HJ\HQHV HJ\HQOHWH x

x

$ NHUHVHWW V]iP D] HJ\HQOHW > J\|NH t t ± QHP OHKHWVpJHV

a b y

³

§

D x

dx

t

ªx « ¬

,, y

x

SRQW

QHJDWtY H]pUW

§

@ LQWHUYDOOXPRQ D I•JJYpQ\pUWpNHN SR]LWtYDN t

SRQW

V]HOHW FVRNROiGpW NHOO YiViUROQXQN SRQW gVV]HVHQ SRQW Megjegyzés: Ha a vizsgázó egyenl tlenség helyett egyenlettel jól dolgozik, és ez alapján helyes választ ad, akkor 5 pontot kapjon. További 1 pontot akkor kaphat, ha utal arra, hogy az egyenlet megoldásából hogyan következik a kérdésre adott válasza (például a vásárolt csokoládészeletek számának növekedésével növekszik annak a valószín&sége is, hogy közöttük lesz 100 g-nál kisebb tömeg& is).

x


SRQW SRQW SRQW SRQW SRQW

SRQW SRQW SRQW

RNWyEHU

tUiVEHOL YL]VJD

RNWyEHU




F

F

$ KiURP HJ\PiV PHOOHWW •O OiQ\W HJ\ HJ\VpJQHN WH NLQWYH N pV D] n IL~ n IpOH VRUUHQGEHQ •OKHW QHN HJ\PiV PHOOp 0LYHO D KiURP OiQ\ IpOH VRUUHQGEHQ •OKHW HJ\PiV PHOOHWW D NHGYH] HVHWHN V]iPD |VV]HVHQ ™ n $] n V]HPpO\ n IpOH N•O|QE|] VRUUHQGEHQ •OKHW OH HJ\PiV PHOOp |VV]HV HVHW V]iPD $QQDN D YDOyV]tQ&VpJH WHKiW KRJ\ D KiURP OiQ\ HJ\ ™ n PiV PHOOHWW •O n (J\V]HU&VtWYH

n

n n $] HJ\HQOHW NpW J\|NH n pV n ± $ ± QHP PHJROGiVD D IHODGDWQDN WHKiW FVDN n OHKHWVpJHV pV H] YDOyEDQ PHJIHOHO gVV]HVHQ

KA $] HJ\HQHV PHWV]pVSRQWMDLW D N|UUHO MHO|OMH B pV C $ KAC GHUpNV]|J& KiURPV]|JE O

SRQW

CA

SRQW

$ KBC KiURPV]|J HJ\HQO V]iU~ KA PDJDVViJD H]pUW IHOH]L D CB DODSRW

WHKiW x u

YDJ\ x e

F PiVRGLN PHJROGiV $ k HJ\HQOHWH x y

tUiVEHOL YL]VJD

§

SRQW

SRQW

y

SRQW

y

(EE O y pV y k N|U PHWV]pVSRQWMDL B

SRQW

SRQW Ez a pont akkor is jár, ha SRQW ez a gondolat csak a megoldásból kerül ki. SRQW SRQW

WHKiW D]

½ y ¾ x y ¿ HJ\HQOHWUHQGV]HU PHJROGiVD DGMD D PHWV]pVSRQWRNDW $ PiVRGLN HJ\HQOHWE O x ± y H]W D] HOV HJ\HQOHWEH EHKHO\HWWHVtWYH y y x

SRQW

SRQW SRQW

WHKiW D] e HJ\HQHV pV D C±

y

y

SRQW

SRQW § gVV]HVHQ SRQW Megjegyzés: Ha a vizsgázó a b) feladatban rossz egyenletet kap, és a kapott egyenlettel, mint kiinduló adattal, a c) feladatban jól számol, akkor a megfelel pontok járnak, ha a megoldandó probléma lényegében nem változott meg (a felírt egyenlethez tartozó egyenes metszi a kört). $ K~U KRVV]D CB

SRQW A megoldáshalmaz: @±’ ± @ Š > ’>.

SRQW

E $] f I•JJYpQ\ PLQLPXPKHO\H x D> @ LQWHUYDO OXPRQ D I•JJYpQ\ V]LJRU~DQ PRQRWRQ Q|YHNY f ! g x x $ g I•JJYpQ\ PD[LPXPKHO\H x D] DGRWW LQWHUYDO OXPRQ IHOYHWW OHJNLVHEE pUWpNH g g ! tJ\ D I•JJYpQ\HN D] DGRWW LQWHUYDOOXPRQ YDOyEDQ FVDN SR]LWtY pUWpNHNHW YHV]QHN IHO gVV]HVHQ

CA

gVV]HVHQ

SRQW SRQW

SRQW

KA

$ K~U KRVV]D H]pUW CB

SRQW

gVV]HVHQ

r

SRQW

D 0HJROGDQGy D ° x ° • HJ\HQO WOHQVpJ D YDOyV V]iPRN KDOPD]iQ $] DEV]RO~WpUWpN GHILQtFLyMD PLDWW x u YDJ\ x e

HOV PHJROGiV

SRQW

SRQW

n


SRQW SRQW SRQW SRQW SRQW

SRQW

RNWyEHU

tUiVEHOL YL]VJD

RNWyEHU



G

D

0LYHO K UiFVSRQW H]pUW D N|UYRQDO HJ\ P SRQWMD SRQWRVDQ DNNRU OHV] UiFVSRQW KD KP a b NRRUGL QiWiL HJpV]HN a b WHKiW D DW NHOO NpW QpJ\]HWV]iP |VV]HJpUH IHOERQWDQL $ OHKHW VpJHN a s s s b s s s gVV]HVHQ QDORQ


UiFVSRQW YDQ D N|UYR

SRQW

Ez a pont akkor is jár, ha ez a gondolat csak a megoldásból derül ki.

SRQW SRQW SRQW

gVV]HVHQ SRQW Megjegyzés: 1. A *-gal jelzett 2 pontot a következ gondolatmenetért is megkaphatja a vizsgázó: Azoknak az x; y rendezett számpároknak a számát keressük, amelyek kielégítik az egyenletet, továbbá x és y is egész szám. x y 2. Ha a vizsgázó indoklás nélkül felsorolja a 12 rácspontot, és ez alapján válaszol, akkor ezért 3 pont jár. A rácspontok a következ k: í í í í í í í í í í

D HOV PHJROGiV 9DJ\ KiURP RO\DQ V]HU] N|Q\YpW YLKHWL PDJiYDO DNLNW O P& YiODV]WKDWy YDJ\ NpW N|Q\YHW YiODV]W LO\HQ V]HU] W O D KDUPDGLNDW SHGLJ DWWyO DNLQHN P&YH LV YiODV]WKDWy § · IpOH $] HOV HVHWEHQ ¨¨ ¸¸ © ¹ § · D PiVRGLN HVHWEHQ ¨¨ ¸¸ ™ IpOH YiODV]WiVL OHKH © ¹ W VpJH YDQ $ YiODV]WiVL OHKHW VpJHN V]iPD D] HO ] NpW pUWpN |VV]HJH WHKiW gVV]HVHQ



PiVRGLN PHJROGiV

$] |VV]HV HVHW V]iPiEyO OHYRQMXN D NHGYH] WOHQ HVH WHN V]iPiW .HGYH] WOHQ HVHWHN D]RN DPHO\HNEHQ $QGL D]W D NpW N|Q\YHW LV NLYiODV]WMD DPHO\HNQHN D]RQRV D V]HU] MH (NNRU D KDUPDGLN N|Q\YHW IpOHNpSSHQ YiODV]WKDWMD NL § · $ Q\ROF N|Q\YE O |VV]HVHQ ¨¨ ¸¸ IpOHNpSSHQ © ¹ YiODV]WKDW NL KiUPDW gVV]HVHQ WHKiW ± YiODV]WiVL OHKHW VpJH YDQ $QGLQDN gVV]HVHQ

SRQW

SRQW SRQW SRQW

E HOV PHJROGiV &VDN D QHPHN V]HULQWL HOUHQGH]pVHNHW WHNLQWYH QpJ\ My VRUUHQG YDQ /)/)/) /)/))/ /))/)/ pV SRQW )/)/)/ 0LQGHQ My VRUUHQGHQ EHO•O D OiQ\RN pV D IL~N LV SRQW IpOH VRUUHQGEHQ KHO\H]NHGKHWQHN HO gVV]HVHQ WHKiW ™ ™ IpOHNpSSHQ •OKHWQHN OH SRQW D IHOWpWHOHNQHN PHJIHOHO HQ gVV]HVHQ SRQW Megjegyzés: Egy hiba (hiányzó, hibás vagy duplán említett lehet ség) esetén a *-gal jelölt 2 pontból 1 pontot, egynél több hiba esetén 0 pontot kapjon a vizsgázó.

SRQW

E PiVRGLN PHJROGiV $ IL~ VRUUHQGMH IpOH OHKHW $ IL~ ÄN|]WHV KHO\HW´ KDWiUR] PHJ D N|]|WW•N OpY NpW KHO\ WRYiEEi D KiURP IL~WyO MREEUD LOOHWYH EDOUD HV HJ\ HJ\ KHO\ H]HNE O KiUPDW YiODV]WXQN NL D OiQ\RN V]iPiUD $ OiQ\ D KHO\UH IpOHNpSSHQ •OWHWKHW OH tJ\ D PHJIHOHO VRUUHQGHN •OpVUHQGHN V]iPD

SRQW SRQW SRQW

gVV]HVHQ

tUiVEHOL YL]VJD


RNWyEHU

tUiVEHOL YL]VJD

SRQW Ez a pont akkor is jár, ha SRQW ez a gondolat csak a megoldásból derül ki. SRQW SRQW SRQW

RNWyEHU

e6, (0%(5,(5)255È62.0,1,6=7e5,80$

Recommend Documents