Penalaran Dalam Matematika Drs. Slamin, M.Comp.Sc., Ph.D
Program Studi Sistem Informasi Universitas Jember
Outline 1
Berpikir p Kritis
2
Penalaran Induktif
3
Bekerja dengan Pola ¾ Pola Bilangan ¾ Pola Geometri ¾ Barisan Bilangan
4
Penalaran Deduktif
5
Sistem Matematika
PS Sistem PS Sistem Informasi Universitas Jember
Berpikir Kritis Berpikir kritis merupakan kegiatan yang melibatkan pemikiran dalam mengungkapkan permasalahan, merencanakan penyelesaian, mengkaji langkah-langkah penyelesaian menduga karena informasi yang tidak penyelesaian, lengkap dan membuktikan teorema
Dalam berpikir kritis diperlukan penalaran induktif dan/atau deduktif
PS Sistem PS Sistem Informasi Universitas Jember
Penalaran Induktif Penalaran induktif merupakan sistem penalaran yang berlangsung dari hal-hal yang khusus ke hal-hal yang umum (generalisasi) Simpulan didasarkan dari hasil observasi pada hal-hal yang khusus Penalaran induktif meliputi: meliputi Pengenalan pola Dugaan Pembentukan generalisasi
PS Sistem PS Sistem Informasi Universitas Jember
Bekerja dengan Pola (1) Perhatikan kedudukan himpunan titik-titik
yang berderet
Tentukan himpunan titik-titik berikutnya
sesuai dengan pola PS Sistem PS Sistem Informasi Universitas Jember
Bekerja dengan Pola (2)
PS Sistem PS Sistem Informasi Universitas Jember
Pola Bilangan (1) Apa kesimpulan anda tentang jumlah dua bilangan ganjil? Misalkan bilangan ganjil pertama adalah 2k+1 Misalkan bilangan ganjil kedua adalah 2h+1 Maka jumlahnya: (2k+1)+(2h+1)=2(h+k+1)
Jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap PS Sistem PS Sistem Informasi Universitas Jember
Pola Bilangan (2) Perhatikan daftar perkalian: 1.9 = 9 2.9 = 18 3.9 = 27 4.9 4 9 = 36 ………
J Jumlah bilangang bilangan pada hasil kalinya adalah sembilan bil
Bagaimana pola hasil kalinya? PS Sistem PS Sistem Informasi Universitas Jember
Pola Geometri (1) Perhatikan bilangan segitiga::
1
3
6
10
Bagaimana dengan dua bilangan setelah 10? PS Sistem PS Sistem Informasi Universitas Jember
Pola Geometri (2)
21
15
1
3 2
6 3
PS Sistem PS Sistem Informasi Universitas Jember
10 4
? 5
? 6
Barisan Bilangan (1) Sekumpulan bilangan yang disusun secara
terurut sehingga terdapat suku pertama, pertama kedua, ketiga dan seterusnya Tentukan dua bilangan berikutnya:
1
4 +3
7 +3
10 +3
? +3
Jawabannya: 13 dan 16 Bagaimana dengan suku ke-n? PS Sistem PS Sistem Informasi Universitas Jember
? +3
Barisan Bilangan (2) Perhatikan pola bilangan berikut: 1 = 1 + 3.0 4 = 1 + 3.1 31 7 = 1 + 3.2 10 = 1 + 3.3 13 = 1 + 3.4 16 = 1 + 3.5
1 + 3(n-1) = 3n - 2 Barisan ini disebut barisan aritmetika
M k suku Maka k ke-n k adalah d l h …. PS Sistem PS Sistem Informasi Universitas Jember
Barisan Bilangan (3) Perhatikan barisan bilangan berikut:
4
8 x2
16 x2
32 x2
? x2
Berapa dua bilangan berikutnya 64 dan 128 Bagaimana dengan suku ke-n ? PS Sistem PS Sistem Informasi Universitas Jember
? x2
Barisan Bilangan (4) Perhatikan pola bilangan berikut: 4 = 4 x 1 = 4 x 20 8 = 4 x 2 = 4 x 21 16 = 4 x 4 = 4 x 22 32 = 4 x 8 = 4 x 23 64 = 4 x 16 = 4 x 24 128 = 4 x 32 = 4 x 25
(n 1) a, ar, ar2, ar3,…, ar(n-1)
Barisan ini disebut Barisan Geometri
M k suku Maka k ke-n k adalah d l h …. PS Sistem PS Sistem Informasi Universitas Jember
Penalaran Deduktif (1) Penalaran deduktif merupakan sistem penalaran yang berlangsung dari hal-hal yang umum (generalisasi) ke hal-hal yang khusus
Simpulan didasarkan atas pernyataan generalisasi yang berlaku umum dan pernyataan khusus
Tidak menerima generalisasi dari hasil observasi seperti penalaran induktif
PS Sistem PS Sistem Informasi Universitas Jember
Penalaran Deduktif (2) Pernyataan generalisasi:
Suplemen S l d i sudut dari d t yangg kongruen k g adalah kongruen Pernyataan khusus: Sudut y suplemen p dari sudut x dan sudut z suplemen dari sudut x Kesimpulan: Sudut y kongruen dengan sudut z PS Sistem PS Sistem Informasi Universitas Jember
Penalaran Deduktif (3) Pernyataan generalisasi: suplemen x
x
Pernyataan khusus: y
x
z
Kesimpulan: K i l y PS Sistem PS Sistem Informasi Universitas Jember
z
x
Penalaran Deduktif (4) Penalaran deduktif berperan besar dalam
matematika Kebenaran suatu pernyataan harus didasarkan pada kebenaran penyataan sebelumnya Diperlukan pernyataan paling awal yang sudah disepakati kebenarannya yang disebut aksioma atau postulat Diperlukan juga pengertian yang tidak bisa didefinisikan lagi yang disebut pengertian pangkal PS Sistem PS Sistem Informasi Universitas Jember
Sistem Matematika (1) Rangkaian pembuktian kebenaran
pernyataan: pernyataan To Ö T1 Ö T2 Ö … Ö Tn-1 n 1 Ö Tn Kebenaran Tn didasarkan pada Tn-1 Kebenaran K b Tn-1 didasarkan did k pada d Tn-2 … Kebenaran T1 didasarkan pada To To merupakan pengertian pangkal PS Sistem PS Sistem Informasi Universitas Jember
Sistem Matematika (2) Diagram rangkaian terpadu pembuktian pernyataan penyataan benar (teorema): pernyataan-penyataan (teorema) Kumpulan Aksioma Pengertian Pangkal
Teorema
Definisi PS Sistem PS Sistem Informasi Universitas Jember
Sistem Matematika (3) Perhatikan pernyataan berikut ini:
A1 : Paling sedikit terdapat dua titik yang berbeda A2: Melalui dua titik yang berbeda hanya dapat dibuat satu garis Buktikan:
Jika dua Jik d garis g i a dan d b berbeda b b d berpotongan b t g di satu titik, maka titik tersebut merupakan satu satunya titik sekutu satu-satunya PS Sistem PS Sistem Informasi Universitas Jember
Sistem Matematika (4) Bukti:
Q Q
a
P b
Titik P satu-satunya titik potong garis a dan b Andai titik Q juga titik potong garis a dan b Menurut A2, garis a dan b adalah dua garis yang sama. Kontradiksi dengan yang diketahui bahwa garis a dan b adalah dua garis yang berbeda. Jadi tidak mungkin garis a dan b berpotongan di titik Q selain di titik P
PS Sistem PS Sistem Informasi Universitas Jember
Terima Kasih……… Kasih………
