ALJABAR LINIER “Ruang Hasil Kali Dalam”
Dosen Pengampu : DARMADI, S.Si, M.Pd
Oleh : Kelompok VI / VB 1. Agustin Syaraswari
( 08411.060 )
2. Chandra Andamari
( 08411.095 )
3. Mei Citra D.A
( 08411.186 )
4. Nur Alfin Laila
( 08411.207 )
5. Triwiyati Nuranis
( 08411.276 )
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM IKIP PGRI MADIUN 2011
Ruang Hasil Kali Dalam
Page | 1
RUANG HASIL KALI DALAM Sebuah Hasil kali dalam (inner product) pada ruang vektor riil adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil u,v
dengan masing – masing pasangan vektor u dan v pada V
sedemikian rupa sehingga aksioma – aksioma berikut dipenuhi untuk semua vektor u, v, dan w di V dan juga untuk semua skalar k. 1.
u,v = v,u
( aksioma simetri )
2.
u+v,w = u,w + v,w
( aksioma penambahan )
3.
ku,v = 𝑘 v,u
( aksioma kehomogenan )
4.
v,v ≥ 0 ; dan v,v = 0
( aksioma kepositifan )
jika dan hanya jika v = 0 Ruang vektor yang memenuhi keempat sifat Hasil Kali Dalam disebut sebagai Ruang Hasil Kali Dalam. Sebuah ruang vektor riil dengan sebuah hasil kali dalam dinamakan ruang hasil kali dalam riil (real product space). Hasil kali dalam euclides merupakan hasil kali dalam yang sangat penting pada 𝑅𝑛 . Akan tetapi, ada beberapa penerapan yang diinginkan untuk memodifikasi hasil kali dalam Euclidis dengan pembobotan suku – sukunya secara diferensial. Lebih jelasnya, jika 𝑤1 , 𝑤2 , … … , 𝑤𝑛 adalah bilangan riil positif yang kita namakan bobot, jika u= 𝑢1 , 𝑢2 , … … 𝑢𝑛
dan
v= 𝑣1 , 𝑣2 , … … 𝑣𝑛 adalah vektor pada 𝑹𝒏 , maka rumus u,v = 𝑤1 𝑢1 𝑣1 + 𝑤2 𝑢2 𝑣2 + … … + 𝑤𝑛 𝑢𝑛 𝑣𝑛 Didefinisikan sebagai hasil kali dalam pada 𝑅𝑛 ; hal ini kita namakan hasil kali dalam Euclidis yang diboboti dengan bobot 𝒘𝟏, 𝒘𝟐 , … … , 𝒘𝒏 . Contoh 1 Misalkan : 𝑢 = 𝑢1 , 𝑢2 dan 𝑣 = (𝑣1 , 𝑣2 ) adalah vektor – vektor pada 𝑅2 . Buktikan : hasil kali dalam Euclidis yang diboboti u,v = 6𝑢1 𝑣1 + 2𝑢2 𝑣2 merupakan Ruang hasil kali dalam ! Bukti
:
Perhatikan bahwa jika u dan v dipertukarkan dalam persamaan ini, maka ruas kanan selebihnya akan sama. Sehingga, u,v = v,u
Ruang Hasil Kali Dalam
Page | 2
Jika 𝑤 = (𝑤1 , 𝑤2 ), maka u+v,w = 6 𝑢1 +𝑣1 𝑤1 + 2 𝑢2 +𝑣2 𝑤2 = 6𝑢1 𝑤1 + 2𝑢2 𝑤2 + 6𝑣1 𝑤1 + 2𝑣2 𝑤2 = u,w + v,w Selanjutnya,
ku,v = 6𝑘𝑢1 𝑣1 + 2𝑘𝑢2 𝑣2 = 𝑘 6𝑢1 𝑣1 + 2𝑢2 𝑣2 = 𝒌 u,v Akhirnya,
v ,v = 6𝑣1 𝑣1 + 2𝑣2 𝑣2 = 6𝑣12 + 2𝑣22 Jelas bahwa , v,v = 6𝑣12 + 2𝑣22 ≥ 0. Selanjutnya, v,v = 6𝑣12 + 2𝑣22 = 0 jika dan hanya jika 𝑣1 = 𝑣2 = 0 ; yakni, jika dan hanya jika 𝑣 = (𝑣1 , 𝑣2 ) = 0. Jadi, keempat aksioma tersebut terpenuhi.
Hasil kali dalam Euclidis dan hasil kali dalam yang diboboti merupakan kasus khusus dari kelas yang umum mengenai hasil kali dalam pada 𝑹𝒏 , yang akan kita bahas kini. Misalkan 𝑢1 𝑢2 u= ⋮ 𝑢𝑛
𝑣1 𝑣2 v= ⋮ 𝑣𝑛
adalah vektor – vektor pada 𝑹𝒏 (nyatakan sebagai matriks 𝑛 𝑥 1), dan misalkan A adalah matriks (𝑛 𝑥 𝑛) yang dapat dibalik. Jika u ∙ v adalah hasil kali dalam Euclides pada 𝑹𝒏 , maka rumus u,v = 𝑨𝐮 ∙ 𝑨𝐯 mendefinisikansebuah hasil kali dalam; ini dinamakan Hasil kali dalam pada 𝑹𝒏 yang dibentuk oleh A. Dengan mengingat kembali bahwa hasil kali dalam Euclidis u ∙ v dapat ditulis sebagai hasil kali matriks v t 𝐮, berikutnya dapat kita tulis dalam bentuk alternatif u,v = 𝑨𝐯 t 𝑨𝐮 atau secara ekivalen u,v = v t𝑨t 𝑨𝐮
Ruang Hasil Kali Dalam
Page | 3
Contoh 2 Hasil kali dalam pada 𝑹𝒏 yang dibentuk oleh matriks identitas 𝑛 × 𝑛 adalah hasil kali dalam Euclidis, karena dengan menyulihkan A = I kedalam rumus u,v = 𝑨𝐮 ∙ 𝑨𝐯 , menghasilkan u,v = 𝑰𝐮 ∙ 𝑰𝐯 = u ∙ v Hasil kali dalam Euclidis yang diboboti u,v = 6𝑢1 𝑣1 + 2𝑢2 𝑣2 pada contoh 1 adalah hasil kali dalam pada 𝑹𝟐 yang dibentuk oleh 6 0
𝐴=
0 2
, karena dengan menyulihkan matriks ini ke dalam rumus
u,v =
v t 𝑨t𝑨𝐮 akan menghasilkan u,v = 𝑣1 = 𝑣1
6 0
𝑣2
𝑣2 6 0
0 6 2 0 0 𝑢1 2 𝑢2
0 𝑢1 2 𝑢2
= 6𝑢1 𝑣1 + 2𝑢2 𝑣2 Contoh 3 Misalkan p = 𝑝(𝑥) dan q = 𝑞(𝑥) adalah dua polinomial pada 𝑃𝑛 dan definisikanlah 𝑏 𝑎
p,q =
𝑝 𝑥 𝑞 𝑥 𝑑𝑥 , di mana a dan b adalah sebarang bilangan riil yang tetap
sehingga 𝑎 < 𝑏. Kini akan kita perlihatkan bahwa rumus ini mendefinisikan hasil kali dalam pada 𝑃𝑛 . 𝑏 𝑎
1. p,q =
𝑝 𝑥 𝑞 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑏 𝑎
2. p+q,s =
𝑏 𝑎
𝑞 𝑥 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = q,p
𝑝 𝑥 + 𝑞 𝑥 𝑠(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
=
𝑏
𝑝 𝑥 𝑠 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑎
𝑞 𝑥 𝑠 𝑥 𝑑𝑥 𝑎
……Aksioma 2 berlaku.
= p,s + q,s 3. 𝒌p,q =
𝑏 𝑎
……Aksioma 1 berlaku.
𝑘𝑝 𝑥 𝑞 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘
𝑏 𝑎
𝑞 𝑥 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = 𝒌 p,q
……Aksioma 3 berlaku.
4. Jika p = p(x) adalah sebarang polinomial pada 𝑃𝑛 , maka 𝑝2 𝑥 ≥ 0 untuk semua x ; maka, p,p = maka
𝑏 𝑎
𝑏 𝑎
𝑝2 𝑥 𝑑𝑥 ≥ 0 , karena 𝑝2 𝑥 ≥ 0 dan karena polinomial adalah fungsi kontinu,
𝑝2 𝑥 𝑑𝑥 ≥ 0
jika dan hanya jika
𝑝 𝑥 = 0 untuk semua x yang memenuhi
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.
Ruang Hasil Kali Dalam
Page | 4
𝑏 𝑎
Maka p,p =
𝑝2 𝑥 𝑑𝑥 = 0 jika dan hanya jika p = 0. ……Aksioma 4 berlaku.
Jika u, v, dan w adalah vektor – vektor pada ruang hasil kali dalam riil dan k sebarang skalar, maka a)
0,v = 0,v = 0
b)
u,v+w = u,v + u,w
c)
u,kv =k u,v
d) Bukti. Untuk bagian a) 0,v = v,0
……(dengan kesimetrian)
= v,0v
……(dengan perkalian)
= 0v,v
……(dengan kesimetrian)
= 0 v,v
……(dengan kehomogenan)
=0
……(dengan kepositifan)
Bukti. Untuk bagian b) u,v+w = v+w,u
……(dengan kesimetrian)
= v,u + w,u
……(dengan penambahan)
= u,v + u,w
……(dengan kesimetrian)
Bukti. Untuk bagian c) u,kv = kv,u
……(dengan kesimetrian)
= k v,u
……(dengan kehomogenan)
= k u,v
……(dengan kesimetrian)
Ruang Hasil Kali Dalam
Page | 5
