Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta OBJEM TĚLES. Monika Tvrdá Katedra didaktiky matematiky

Univerzita Karlova v Praze ´ ln´ı fakulta Matematicko-fyzika

ˇ OBJEM TELES Bakal´ aˇ rsk´ a pr´ ace

Monika Tvrd´a

302. Katedra didaktiky matematiky

Vedouc´ı bakal´aˇrsk´e pr´ace: Studijn´ı program: Studijn´ı obor:

Mgr. Zdenˇek Halas, DiS., Ph.D. Chemie Chemie a matematika se zamˇeˇren´ım na vzdˇel´av´an´ı

Praha 2011

R´ada bych na tomto m´ıstˇe podˇekovala Mgr. Zdeˇ nku Halasovi, DiS., Ph.D. za pomoc a veden´ı m´e bakal´aˇrsk´e pr´ace a d´ale zap˚ ujˇcen´ı veˇsker´e literatury, protoˇze bez toho by tato pr´ace nevznikla.

Prohlaˇsuji, ˇze jsem tuto bakal´aˇrskou pr´aci vypracovala samostatnˇe a v´ yhradnˇe s pouˇzit´ım citovan´ ych pramen˚ u, literatury a dalˇs´ıch odborn´ ych zdroj˚ u. Beru na vˇedom´ı, ˇze se na moji pr´aci vztahuj´ı pr´ava a povinnosti vypl´ yvaj´ıc´ı ze z´akona ˇc. 121/2000 Sb., autorsk´eho z´akona v platn´em znˇen´ı, zejm´ena skuteˇcnost, ˇze Univerzita Karlova v Praze m´a pr´avo na uzavˇren´ı licenˇcn´ı smlouvy o uˇzit´ı t´eto pr´ace jako ˇskoln´ıho d´ıla podle §60 odst. 1 autorsk´eho z´akona.

V Praze dne 26. 5. 2011

Podpis autora

N´azev pr´ace: Objem tˇeles Autor: Monika Tvrd´a Katedra: 302. Katedra didaktiky matematiky Vedouc´ı bakal´aˇrsk´e pr´ace: Mgr. Zdenˇek Halas, DiS., Ph.D., 302. Katedra didaktiky matematiky Abstrakt: Tato didakticky zamˇeˇren´a bakal´aˇrsk´a pr´ace se zab´ yv´a pˇribl´ıˇzen´ım p˚ uvodu vztah˚ u pro objemy tˇeles prob´ıran´ ych na stˇredn´ı ˇskole student˚ um na u ´rovni stˇredn´ı a vysok´e ˇskoly. Vu ´vodu ukazuje historick´ y v´ yznam objem˚ u tˇeles a postupy, jichˇz bylo pˇri jejich v´ ypoˇctech vyuˇz´ıv´ano ve starovˇek´em Egyptˇe a Mezopot´amii. Pr´ace se d´ale zab´ yv´a definic´ı pojmu objem tˇelesa, pˇri jeho vysvˇetlen´ı vyuˇz´ıv´a Jordanovu m´ıru. Vztahy pro objemy vybran´ ych tˇeles jsou odvozeny na z´akladˇe integr´aln´ıho poˇctu. Na z´avˇer jsou prezentov´any jin´e zp˚ usoby ˇ odvozen´ı tˇechto vztah˚ u. Zaprv´e metodou, j´ıˇz vymyslel ve starovˇek´em Recku Archim´ed´es ze Syr´ak´ us, d´ale pak pomoc´ı n´azorn´ ych pˇredstav a Cavalieriova principu. Kl´ıˇcov´a slova: objem, Archim´ed´es, integr´al, funkce v´ıce promˇenn´ ych

Title: Volume of solids Author: Monika Tvrd´a Department: 302. Department of Mathematics Education Supervisor: Mgr. Zdenˇek Halas, DiS., Ph.D., 302. Department of Mathematics Education Abstract: This didactic oriented bachelor project helps to approach an origin of relations for the volumes of solids taught at high school. It is focused on high school and university students. At the beginning the project shows historical meaning of the volumes of solids and the processes which were used to enumerate them in the ancient Egypt and Mesopotamia. Further, the project deals with the definition of volume of solids; it is based on Jordan’s measure. The relations for volumes of the sorted solids are derived using the integral calculus. In the end the other ways of deriving of these relations are shown. At first, it is the method that Archimedes from Syracuse invented, furthermore by the visual imaginations and the Cavalieri’s principle. Keywords: volume, Archimedes, integral, functions of several variables

Obsah ´ Uvod 1 Objemy tˇ eles ve starovˇ eku 1.1 Egypt . . . . . . . . . . 1.1.1 Aritmetika . . . . 1.1.2 Jednotky objemu ´ 1.1.3 Ulohy . . . . . . 1.2 Mezopot´amie . . . . . . 1.2.1 Aritmetika . . . . 1.2.2 Jednotky objemu ´ 1.2.3 Ulohy . . . . . .

2

. . . . . . . .

3 3 3 4 4 5 5 6 6

2 M´ıra mnoˇ ziny 2.1 Definice objemu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Jordanova m´ıra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 8 9

3 Riemann˚ uv integr´ al 3.1 Definice Riemannova integr´alu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 V´ ypoˇcet integr´alu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 17 19

4 V´ ypoˇ cty objem˚ u tˇ eles pomoc´ı integr´ al˚ u 4.1 Jednoduch´ y integr´al . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Objem jehlanu se ˇctvercovou podstavou . 4.1.2 Objem rotaˇcn´ıho tˇelesa . . . . . . . . . . 4.2 Trojn´ y integr´al . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 V´alcov´e (cylindrick´e) souˇradnice . . . . . 4.2.2 Sf´erick´e souˇradnice . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Pˇrehled vzorc˚ u . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

20 20 20 21 25 25 26 28

5 Odvozen´ı vzorc˚ u bez pouˇ zit´ı integr´ al˚ u 5.1 Archim´ed´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Odvozen´ı nˇekter´ ych Archim´edov´ ych tvrzen´ı . . . 5.2 Jin´e postupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Objem jehlanu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Vzorce odvozen´e na z´akladˇe Cavalieriova principu

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

29 29 31 36 36 37

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

Z´ avˇ er

40

Seznam pouˇ zit´ e literatury

41

1

´ Uvod V´ ypoˇcty objem˚ u tˇeles zaj´ımaly matematiky jiˇz ve starovˇek´em Egyptˇe a Mezopot´amii, coˇz dokazuj´ı mnoh´e u ´lohy s touto tematikou objevuj´ıc´ı se v nalezen´ ych dobov´ ych materi´alech. Postupy, jak objemy urˇcit, i n´asledn´e v´ ypoˇcty byly d˚ uleˇzit´e zejm´ena v zemˇedˇelstv´ı a stavebnictv´ı. Typicky byl urˇcov´an objem s´ ypek nejr˚ uznˇejˇs´ıch tvar˚ u ˇci objem zeminy nutn´e k vykop´an´ı pˇri stavebn´ıch prac´ıch. Nejvˇetˇs´ım probl´emem tˇechto u ´loh vˇetˇsinou nebylo samotn´e urˇcen´ı objemu, ale n´asledn´ y pˇrevod jednotek, kter´ y byl vzhledem k jejich velk´emu mnoˇzstv´ı mimoˇr´adnˇe komplikovan´ y. Pokud chceme zkoumat objemy tˇeles, je d˚ uleˇzit´e stanovit, co pojmem objem tˇelesa matematicky rozum´ıme. Z tohoto d˚ uvodu je zaveden pojem m´ıra. V naˇsem textu pracujeme s Jordanovou m´ırou, kter´a je pro potˇrebu definov´an´ı objemu dostaˇcuj´ıc´ı a je m´enˇe komplikovan´a neˇz Lebesguova m´ıra. V kapitole o m´ıˇre ukazujeme, ˇze tˇelesa jsou mˇeˇriteln´ ymi mnoˇzinami a tak je moˇzn´e nal´ezt jejich objem. Nav´ıc odvod´ıme, ˇze objem je aditivn´ı a tak je moˇzn´e urˇcit objem tˇelesa jako souˇcet objem˚ u jeho ˇca´st´ı. Pro v´ ypoˇcty objem˚ u tˇeles vyuˇz´ıv´ame integr´aln´ıho poˇctu, a to obecnˇe trojn´eho integr´alu. Teorie zaveden´ı trojn´eho integr´alu je postavena na vystavˇen´e teorii m´ıry. Odvozen´ı vztah˚ u pomoc´ı integr´al˚ u v pˇr´ıpadˇe jednoduch´ ych tˇeles prob´ıran´ ych na stˇredn´ı ˇskole ukazujeme pomoc´ı jednoduch´eho integr´alu, a to pˇres vztah pro objem rotaˇcn´ıho tˇelesa. D´ale jsou uvedena odvozen´ı tˇechto vztah˚ u pomoc´ı trojn´eho integr´alu, nebot’ je tento postup obecnˇejˇs´ı a tak aplikovateln´ y i na jin´a neˇz rotaˇcn´ı tˇelesa. Z´avˇereˇcn´a kapitola ukazuje jin´e postupy urˇcen´ı vztah˚ u pro objemy tˇeles neˇz pomoc´ı integr´aln´ıho poˇctu. Vztah pro objem jehlanu lze didakticky uk´azat velmi n´azornˇe pomoc´ı dˇelen´ı krychle a kv´adru na jehlany o stejn´em objemu, coˇz podporuje jeho vyuˇzit´ı ve ˇskolsk´e matematice. V´ yznamnou ˇca´st´ı t´eto kapitoly jsou v´ ysledky prac´ı Archim´eda ze Syr´ak´ us. Jeho jedineˇcn´a metoda odvozen´ı objem˚ u tˇeles je zaloˇzen´a na principu rovnov´ahy na p´ace. Pomoc´ı t´eto metody ukazujeme odvozen´ı vztahu pro objem rotaˇcn´ıho paraboloidu a koule. Na z´avˇer uk´aˇzeme odvozen´ı vztahu pro kuˇzel a kouli pomoc´ı Cavalieriova principu.

2

1. Objemy tˇ eles ve starovˇ eku Potˇreba poˇc´ıtat objemy tˇeles nen´ı novodobou z´aleˇzitost´ı. Objevuje se uˇz v nejstarˇs´ıch dochovan´ ych matematick´ ych p´ısemn´ ych z´aznamech. Vu ´vodu je tˇreba zm´ınit, ˇze naˇse souˇcasn´e znalosti starovˇek´e matematiky jsou zaloˇzeny na zkoum´an´ı dochovan´ ych materi´al˚ u, jichˇz se nalezlo ˇzalostnˇe m´alo. Tud´ıˇz je obt´ıˇzn´e soudit, do jak´e m´ıry tyto texty tehdejˇs´ı znalost matematiky skuteˇcnˇe reprezentuj´ı. Nav´ıc nen´ı jist´e, zda pˇr´ıpadn´e chyby ve v´ ypoˇctech byly zaloˇzeny na neznalosti nebo byly zp˚ usobeny pouhou chybou pˇri pˇrepisu. Pro uk´azku v´ ypoˇctu objem˚ u tˇeles budeme uv´adˇet u ´lohy z [1].

1.1

Egypt

Metoda poˇc´ıt´an´ı ˇctverhrann´e obilnice, jej´ıˇz d´elka je 10, ˇs´ıˇrka 10 a v´yˇska 10. Co je to, co do ” n´ı vejde v obil´ı? Poˇc´ıtej s 10 10kr´at, vyjde 100. Poˇc´ıtej se 100 10kr´at, vyjde 1000. Pˇripoˇcti 1 1 z 1000, je to 500, vyjde 1500. To je jej´ı objem v char.1 Vypoˇcti 20 z 1500, vyjde 75. To 2 je to, co do n´ı vejde.“ V´ yˇse uveden´a u ´loha z Rhindova papyru (19. stolet´ı pˇr. n. l.) n´azornˇe ukazuje, ˇze ve staˇ napˇr´ıklad o tzv. ˇctverhrann´e obilnice rovˇek´em Egyptˇe byla potˇreba poˇc´ıtat objemy. Slo (krychle, kv´adr) a kruhov´e obilnice (v´alec); m´enˇe obvykl´ ym tˇelesem, jehoˇz objem umˇeli ’ Egypt an´e spoˇc´ıtat, byl komol´ y jehlan – komol´a pyramida. Egypt’an´e d´ale operovali s jehlanem (pyramidy), u nˇej vˇsak nezjiˇst’ovali objem, ale sklon stˇeny nebo jeho v´ yˇsku. Egyptsk´a matematika musela b´ yt na znaˇcnˇe vysok´e u ´rovni jiˇz v dobˇe staveb prvn´ıch ˇ pyramid, tj. v polovinˇe tˇret´ıho tis´ıcilet´ı pˇr. Kr. Reˇct´ı autoˇri (H´erodotos, Proklos) souˇ dili, ˇze se i Rekov´ e geometrii nauˇcili pr´avˇe od Egypt’an˚ u. Geometrie podle nich vznikla v Egyptˇe z ustaviˇcn´e potˇreby pˇremˇeˇrovat p˚ udu po kaˇzdoroˇcn´ıch z´aplav´ach zp˚ usoben´ ych rozvodnˇen´ ym Nilem.

1.1.1

Aritmetika

V Egyptˇe byla od nejstarˇs´ıch dob uˇz´ıv´ana nepoziˇcn´ı des´ıtkov´a soustava. Pˇrirozen´a ˇc´ısla byla zaznamen´av´ana prost´ ym nahromadˇen´ım potˇrebn´ ych znak˚ u. Egypt’an´e umˇeli sˇc´ıtat, odˇc´ıtat, n´asobit i dˇelit. N´asoben´ı a dˇelen´ı prov´adˇeli pomˇernˇe osobitou metodou. Pˇri n´asoben´ı postupovali tak, ˇze jednoho z ˇcinitel˚ u postupnˇe zdvojn´asobovali a jeho vhodn´e n´asobky potom seˇcetli. Pˇri dˇelen´ı postupnˇe zdvojn´asobovali dˇelitele, dokud z tˇechto jeho vhodn´ ych n´asobk˚ u nesloˇzili dˇelence. 1

Jednotka char odpov´ıd´ a pˇribliˇznˇe 96,1 litru.

3

1.1.2

Jednotky objemu

Z´akladem dut´ ych mˇer byla jednotka hekat, kter´a odpov´ıdala asi 4,8 litru; velmi ˇcasto byly pˇri dˇelen´ı t´eto jednotky uˇz´ıv´any ˇc´asti Horova oka tzv. Horovy zlomky (viz Obr´azek 1.1 1 1 1 , 32 a 64 , kter´e byly v praxi v´ yhodn´e pˇri p˚ ulen´ı i zdvojov´an´ı. a 1.2), tj. 21 , 14 , 18 , 16

Obr´azek 1.1: Horovo oko a jeho ˇca´sti

Obr´azek 1.2: Zlomky jednotky hekat

Pro u ´plnost uvedeme, ˇze jednotka hekat se dˇelila na 10 hin˚ u a jeden hin na 32 ro. Uˇz´ıv´ana byla i jednotka char (viz u ´loha v u ´vodu textu), kter´a obsahovala 20 jednotek hekat.

1.1.3

´ Ulohy

Nyn´ı uvedeme tˇri z´akladn´ı u ´lohy, na kter´ ych demonstrujeme tˇelesa, jejichˇz objem Egypt’an´e poˇc´ıtali. Nutno poznamenat, ˇze samotn´ y v´ ypoˇcet objemu obvykle nebyl zdaleka tak sloˇzit´ y jako n´asledn´ y pˇrevod jednotek. ´ Uloha 1.1.1 (Krychle a kv´ adr) V pˇr´ıkladu z u ´vodn´ıho odstavce je prezentov´an v´ ypoˇcet objemu kv´adru o rozmˇerech 10, 10 a 10 lokt˚ u (tj. krychle). Vyn´asoben´ım vˇsech tˇr´ı rozmˇer˚ u vyjde 1000 lokt˚ u krychlov´ ych. N´asledn´ y v´ ypoˇcet uˇz reprezentuje pr´avˇe jen pˇrevody jednotek. Nejprve z lokt˚ u krychlov´ ych na chary, pot´e je vypoˇcten objem obilnice ve dvacetin´asobn´ ych jednotk´ach – snad voz´ık. ´ Uloha 1.1.2 (V´ alec) Tak´e objem v´alce poˇc´ıtali Egypt’an´e standardn´ım zp˚ usobem, obsah z´akladny vyn´asobili v´ yˇskou. Zaj´ımav´e je, jak´ ym zp˚ usobem vypoˇc´ıtali obsah kruhov´e z´akladny. Egyptsk´ y v´ ypoˇcet obsahu S kruhu o pr˚ umˇeru d odpov´ıd´a v naˇs´ı symbolice vzorci  1 2  8 2 64 2 ·d = ·d . S = d− ·d = 9 9 81 Srovn´ame-li n´aˇs vzorec pro v´ ypoˇcet obsahu kruhu o pr˚ umˇeru d se vzorcem odpov´ıdaj´ıc´ım egyptsk´emu v´ ypoˇctu, dojdeme k rovnosti 1 64 2 π · d2 = ·d 4 81 a z´ısk´ame egyptskou hodnotu“ ˇc´ısla π: ” π=

256 . = 3, 1605. 81 4

Egypt’an´e tedy pˇribliˇznˇe nahradili obsah kruhu obsahem ˇctverce; jeho stranu nebylo tˇeˇzk´e z´ıskat, staˇcilo odebrat od pr˚ umˇeru kruhu jeho jednu dev´ıtinu. ´ Uloha 1.1.3 (Komol´ y jehlan) Egypt’an´e znali zcela pˇresn´ y postup pro v´ ypoˇcet objemu komol´eho jehlanu se ˇctvercov´ ymi z´akladnami odpov´ıdaj´ıc´ı naˇsemu vzorci: V =

 h  2 · a + ab + b2 , 3

kde a, b jsou strany doln´ı a horn´ı z´akladny a h je v´ yˇska. Zaj´ımav´e je, ˇze se ˇrada historik˚ u matematiky domn´ıv´a, ˇze tato metoda v´ ypoˇctu byla odvozena teoreticky, coˇz je pro egyptskou matematiku netypick´e.

1.2

Mezopot´ amie

Koryto. (3, 20) hlava, (2, 30) z´aklad, 23 lokte hloubky. Objem je co? ” Ty: (3, 20) a (2, 30) seˇcti. (5, 50) vid´ıˇs. 12 z (5, 50) odeˇcti, (2, 55). (2, 55) s (5), d´elka, n´asob. (14, 35) vid´ıˇs . . . (0, 40), v´yˇska, n´asob. (9, 43; 20) vid´ıˇs . . .“ V´ yˇse uveden´a u ´loha se vztahuje k v´ ypoˇctu objemu koryta pro uschov´an´ı obil´ı a m˚ uˇzeme ji n´alezt v matematick´ ych tabulk´ach uloˇzen´ ych v Lond´ ynˇe (British Museum). Tabulky, kter´e obsahuj´ı praktick´e u ´lohy na v´ ypoˇcty objem˚ u, poch´az´ı ze Starobabyl´onsk´e ˇr´ıˇse (2000 – 1600 pˇr. Kr.). Je tˇreba zd˚ uraznit, ˇze se v tˇechto u ´loh´ach t´emˇeˇr nevyskytuj´ı geometrick´e term´ıny pro tˇelesa; hovoˇr´ı se napˇr. o ˇclunu, korytu, ˇzlabu, kan´alu, kruhov´e n´adobˇe, studni, n´aspu, svahu, kruhov´emu n´aspu apod. Nem´ame doloˇzen v´ yskyt pˇr´ıklad˚ u na v´ ypoˇcet objemu koule, kuˇzele ani jehlanu. Poˇc´ıtalo se patrnˇe jen s tˇelesy, kter´a se vyskytovala v bˇeˇzn´em ˇzivotˇe ˇci ve stavebn´ı praxi.

1.2.1

Aritmetika

ˇ ısla na nalezen´ C´ ych tabulk´ach jsou zapisov´ana v ˇsedes´atkov´e soustavˇe. V Mezopot´amii se ˇ ısla byla zapisov´ana do ˇra´dk˚ pouˇz´ıvala poziˇcn´ı ˇsedes´atkov´a soustava. C´ u zleva doprava od nejvyˇsˇs´ıch ˇra´d˚ u k niˇzˇs´ım. Nyn´ı uvedeme pˇr´ıklad z´apisu ˇc´ısla 424 000 v poziˇcn´ı ˇsedes´atkov´e soustavˇe uˇz´ıvan´e v Mezopot´amii:

V naˇs´ı symbolice zapisujeme toto ˇc´ıslo v ˇsedes´atkov´e soustavˇe ve tvaru (1, 57, 46, 40), coˇz znaˇc´ı 1 · 603 + 57 · 602 + 46 · 60 + 40. Velk´ ym probl´emem v´ yˇse popsan´eho poziˇcn´ıho syst´emu byl chybˇej´ıc´ı znak pro nulu a s t´ım souvisej´ıc´ı nejasnosti pˇri rozliˇsov´an´ı ˇra´d˚ u. 5

Pˇresto se potˇreba nuly vynoˇrila aˇz asi v 8. stolet´ı pˇr. n. l., kdy zaˇcal b´ yt chybˇej´ıc´ı ˇr´ad vyznaˇcov´an nˇejak´ ym vhodn´ ym znakem. Mezopot´amsk´a matematika pracovala pouze s pˇrirozen´ ymi ˇc´ısly, kladn´ ymi ˇsedes´atinn´ ymi zlomky a sm´ıˇsen´ ymi ˇc´ısly. V Mezopot´amii umˇeli podobnˇe jako v Egyptˇe sˇc´ıtat, odˇc´ıtat, n´asobit i dˇelit. Pˇri n´asoben´ı vyuˇz´ıvali tabulky n´asoben´ı, pˇri dˇelen´ı tabulky reciprok´ych hodnot.

1.2.2

Jednotky objemu

Z´akladn´ı objemovou jednotkou byl 1 objemov´y sar ; ˇslo o objem hranolu se ˇctvercovou podstavou o stranˇe 1 gar (asi 6 m) a v´ yˇskou 1 loket (asi 21 m).2 Speci´aln´ı objemovou jednotkou byla 1 cihla. Pˇritom 720 cihel dalo cihlov´y sar, tj. 1 objemov´ y sar.

1.2.3

´ Ulohy

V n´asleduj´ıc´ım odstavci si uvedeme u ´lohy zachovan´e na tabulk´ach. Opˇet je d˚ uleˇzit´e podotknout, ˇze ˇcasto nejvˇetˇs´ım probl´emem v´ ypoˇctu byl pˇrevod jednotek. Tuto ˇc´ast u ´loh v zad´an´ı neuv´ad´ıme. ˇ ´ Uloha 1.2.1 (Krychle a kv´ adr) Clun. (1) gar d´elka, 21 gar a (2) lokte ˇs´ıˇrky, (6) ” hloubka. Objem ˇclunu je co?“ Starobabyl´onˇst´ı poˇct´aˇri umˇeli pˇresnˇe vypoˇc´ıtat objem krychle i kv´adru. Postup jejich v´ ypoˇctu lze v naˇs´ı symbolice zapsat vzorcem V = a3 , resp. V = abc, kde a je d´elka hrany krychle, resp. a, b a c jsou d´elky hran kv´adru. Vnitˇrn´ı prostor ˇclunu m´a tvar kv´adru o rozmˇerech 1 gar, 21 gar a 2 lokte, tj. (0,40) gar a 6 lokt˚ u. Objem ˇclunu je tedy V = (1) × (0; 40) × (6) = (4) sar. ´ Uloha 1.2.2 (Kl´ın) Zemina hr´aze, (30) d´elka, (2) lokte ˇs´ıˇrka, (6) v´yˇska. Zeminy je ” kolik?“ ˇ Rada mezopot´amsk´ ych matematick´ ych pˇr´ıklad˚ u se t´ yk´a pravideln´eho ˇci nepravideln´eho kl´ınu (´ ulohy o hr´az´ıch n´adrˇz´ı nebo kan´al˚ u apod.). V tˇechto u ´loh´ach je kromˇe objemu zeminy poˇc´ıt´ana v´ yˇska a d´elka n´aspu ˇci mnoˇzstv´ı pr´ace kop´aˇc˚ u. Objem pravideln´eho kl´ınu V je vypoˇc´ıt´an (v naˇs´ı symbolice) takto:

2

Proto je v pˇr´ıkladech na objem tˇeles v´ yˇska uv´adˇena vˇzdy v loktech narozd´ıl od ostatn´ıch veliˇcin uv´ adˇen´ ych v gar.

6

V =

1 · a · l · h, 2

kde a, l jsou d´elky hran z´akladny a h jeho v´ yˇska. Pro n´aˇs pˇr´ıklad tedy a = 2 lokte (tj.(0;10) gar), l = 30 gar a h = 6 lokt˚ u. Postup, v´ ypoˇcet i v´ ysledek 15 sar je spr´avn´ y. ´ Uloha 1.2.3 (Tˇ eleso s obd´ eln´ıkovou podstavou) V u ´loze z u ´vodn´ı uk´azky je poˇc´ıt´an objem zvl´aˇstn´ı n´adoby; dno je obd´eln´ık (o stran´ach l a a), dvˇe stˇeny jsou lichobˇeˇzn´ıky (o z´akladn´ach a, b a v´ yˇsce h) a dvˇe stˇeny obd´eln´ıky. Starobabyl´onsk´ y postup lze v naˇs´ı symbolice zapsat vzorcem

V =

a+b · l · h. 2

Babyl´on ˇan´e tedy vlastnˇe nahradili nepravideln´e tˇeleso kv´adrem o stran´ach ´ objem umˇeli spoˇc´ıtat (Uloha 1.2.1), a t´ım dospˇeli ke spr´avn´emu v´ ysledku.

a+b , 2

l, h, jehoˇz

´ Uloha 1.2.4 (V´ alec) Objem. (0; 30) obvod. (0;40) v´yˇska. Jak´y je objem?“ ” Jedn´a se o v´ ypoˇcet objemu V v´alcov´e s´ ypky, zn´ame-li jej´ı v´ yˇsku h a obvod o podstavy. V naˇs´ı symbolice lze n´asledn´ y v´ ypoˇcet zapsat vzorcem o2 · h . V = 12 Oznaˇc´ıme-li S obsah podstavy a vezmeme-li babyl´onskou hodnotu3 π = 3, snadno k tomuto postupu dojdeme: o o = π · d, tedy d = , π  d 2 2 d o2 o2 S = π · r2 = π · =π· =π· 2 = , 2 4 4π 4π o2 o2 · h V =S·h= ·h= . 4π 12 Postup v´ ypoˇctu je zˇrejmˇe spr´avn´ y, pokud pouˇzijeme zm´ınˇenou aproximaci pro π. Pozn´ amka 1.2.1 Podrobnˇejˇs´ı informace o matematice ve starovˇeku lze nal´ezt v [1], pˇr´ıklady pak v [2].

3

Mezopot´ amsk´ a matematika obyˇcejnˇe pracovala s hodnotou π = 3; m´ame vˇsak doklad (tabulky z konce starobabyl´ onsk´eho obdob´ı), ˇze uˇz´ıvala i aproximaci π = 3 18 .

7

2. M´ıra mnoˇ ziny Je zˇrejm´e, ˇze vztahy pro objemy tˇeles jsou potˇrebn´e. Snaha urˇcovat objem tˇeles se, jak jiˇz bylo ˇreˇceno, objevovala uˇz ve starovˇeku. Naˇs´ım u ´kolem ted’ bude naznaˇcit, jak se v matematice objem definuje. V pˇr´ıˇst´ı kapitole pak vypoˇcteme objem vybran´ ych tˇeles postupem, kter´ y pˇri odvozen´ı vyuˇz´ıv´a integr´aln´ı poˇcet.

2.1

Definice objemu

Objem tˇelesa vlastnˇe vyjadˇruje, kolik se toho vejde“ do omezen´e podmnoˇziny R3 (napˇr. ” kolik se toho d´a uskladnit v s´ ypce – viz u ´lohy v pˇredchoz´ı kapitole). Analogicky obsah rovinn´eho u ´tvaru ukazuje, kolik se toho vejde“ do omezen´e podmnoˇziny R2 . Je zˇrejm´e, ” ˇze v obou prostorech pracujeme se stejnou ideou. Odsud vznikla idea m´ıry. M´ıra je tedy jak´ ymsi obecn´ ym pojmem, kter´ y zahrnuje ploˇsn´y obsah v R2 , objem v R3 , pˇr´ıpadnˇe analogicky v prostoru Rn . M´ıru budeme obecnˇe znaˇcit µ. V devaten´act´em stolet´ı se matematici poprv´e zaˇcali teori´ı m´ıry zab´ yvat. V t´eto souvislosti zmiˇ nme pr´aci [6] francouzsk´eho matematika Camille Jordana (1832 – 1922) z roku 1892 a d´ılo [7] italsk´eho matematika Giuseppe Peana (1858 – 1932). Jordan se zab´ yval definov´an´ım tzv. mˇeˇriteln´e mnoˇziny, Peano jeho teorii doplnil o urˇcen´ı tzv. vnˇejˇs´ı a vnitˇrn´ı m´ıry mnoˇziny. Autorem podstatn´eho zobecnˇen´ı Jordanovy-Peanovy m´ıry je francouzsk´ y matematik Henri Lebesgue (1875 – 1941). Sv´e pr´ace [8] a [9] publikoval na sam´em poˇc´atku 20. stolet´ı. My se vˇsak zamˇeˇr´ıme na Jordanovu m´ıru, kter´a je bliˇzˇs´ı stˇredoˇskolsk´e matematice a pro objemy tˇeles je zcela dostaˇcuj´ıc´ı. Problematiku Jordanovy m´ıry si pro jednoduchost a n´azornost vysvˇetl´ıme v R2 . Samozˇrejmˇe veˇsker´e uveden´e teze je moˇzn´e pˇren´est do prostoru R3 , pˇr´ıp. prostor˚ u vyˇsˇs´ıch dimenz´ı. Ideu zaveden´ı m´ıry nyn´ı naznaˇc´ıme, v n´asleduj´ıc´ı podkapitole ji pak zpracujeme matematicky pˇresnˇe. Pˇredstavme si tedy dvojrozmˇern´ y objekt, u nˇehoˇz chceme urˇcit m´ıru (tedy obsah). Jin´ ymi slovy chceme napˇr. zjistit, kolik pap´ıru bychom spotˇrebovali na vystˇriˇzen´ı tohoto objektu z pap´ıru, ˇci kolik l´atky bychom museli m´ıt na potaˇzen´ı cel´eho takov´eho obrazce. Jak ale urˇc´ıme, kolik to je? Zˇrejmˇe potˇrebujeme zav´est nˇejak´ y jednotkov´ yu ´tvar“, ” kter´ y n´am pom˚ uˇze odpovˇedˇet na v´ yˇse uveden´e ot´azky a dok´aˇze tak´e pokr´ yt rovinn´ y objekt beze zbytku. Nejjednoduˇsˇs´ım takov´ ym u ´tvarem je zˇrejmˇe ˇctverec. Proto byl jednotkov´ y ˇctverec (o d´elce strany 1) zvolen za jednotku m´ıry. Kdyˇz tedy libovoln´ y obrazec (mnoˇzina M ) pokryjeme ˇctvercovou s´ıt´ı s dostateˇcnˇe mal´ ymi ˇctverci a spoˇc´ıt´ame jejich poˇcet, z´ısk´ame tak i pˇribliˇzn´ y obsah obrazce. Aproximace bude t´ım pˇresnˇejˇs´ı, ˇc´ım budou ˇctverce menˇs´ı, tedy s´ıt’ jemnˇejˇs´ı (jemnost s´ıtˇe ud´av´a tzv. norma dˇelen´ı, znaˇc´ıme ji kDk). Zavedeme n´asleduj´ıc´ı oznaˇcen´ı. Necht’ pˇri dan´em dˇelen´ı D znaˇc´ı SD souˇcet obsah˚ u 0 ’ vˇsech ˇctverc˚ u s´ıtˇe, kter´e jsou cel´e obsaˇzeny ve vnitˇrku mnoˇziny M , a necht SD je souˇcet obsah˚ u vˇsech ˇctverc˚ u s´ıtˇe, kter´e obsahuj´ı alespoˇ n jeden bod hranice mnoˇziny M . Souˇcet 0 ych obsah˚ u tˇech ˇctverc˚ u v dan´e ˇctvercov´e s´ıti, kter´e SD + SD = SD vyjadˇruje souˇcet ploˇsn´ 8

obsahuj´ı body mnoˇziny M .

Obr´azek 2.1: Vnitˇrn´ı Jordanova m´ıra

Obr´azek 2.2: Vnˇejˇs´ı Jordanova m´ıra

0 Protoˇze SD ≥ 0, tak je SD ≤ S D . Pˇri zjemˇ nov´an´ı ˇctvercov´e s´ıtˇe souˇcty SD rostou a S D klesaj´ı. Oznaˇcme S = lim SD a S = lim SD . kDk→0

kDk→0

Pro tyto limity plat´ı S ≤ S. Prvn´ı z tˇechto limit se naz´ yv´a vnitˇrn´ı, druh´a pak vnˇejˇs´ı Jordanova m´ıra. Jestliˇze jsou tyto hodnoty stejn´e, ˇrekneme, ˇze je mnoˇzina mˇeˇriteln´a. Touto spoleˇcnou hodnotou definujeme jej´ı m´ıru, tedy obsah. V pˇr´ıpadˇe ostr´e nerovnosti ˇrekneme, ˇze je mnoˇzina nemˇeˇriteln´a a jej´ı m´ıru (obsah) pak nelze zav´est. D´ale bude potˇreba dok´azat, ˇze m´ıra je aditivn´ı, tedy ˇze obsah u ´tvaru lze urˇcit jako obsah jeho jednotliv´ ych ˇca´st´ı (analogicky pro objem v R3 ).

2.2

Jordanova m´ıra

Nyn´ı se dost´av´ame k matematicky pˇresn´e definici objemu tˇeles. P˚ ujde vlastnˇe o zpˇresnˇen´ı idey z pˇredchoz´ıho odstavce. Jak jiˇz bylo ˇreˇceno, budeme vˇse vysvˇetlovat v rovinˇe, tedy v R2 . Zaˇcneme definov´an´ım z´akladn´ıch mnoˇzinov´ ych pojm˚ u, kter´e budeme nad´ale hojnˇe vyuˇz´ıvat. Definice 2.2.1 Eps´ılonov´ym okol´ım Uε (x) bodu x ∈ M , naz´ yv´ame mnoˇzinu Uε (x) = {y ∈ M | |x − y| < ε}. Pozn´ amka 2.2.1 Do eps´ılonov´eho okol´ı bodu x tedy patˇr´ı vˇsechny takov´e body y, jejichˇz vzd´alenost od bodu x je ostˇre menˇs´ı neˇz ε (ε > 0, ε ∈ R).

9

Obr´azek 2.3: Zn´azornˇen´ı Uε (x) v R2 Pˇri znalosti pojmu okol´ı ted’ jiˇz snadno zavedeme ostatn´ı pojmy. ˇ ık´ame, ˇze mnoˇzina M , M ⊂ P je otevˇren´a pr´avˇe tehdy, kdyˇz Definice 2.2.2 R´ ∀x ∈ M ∃ U (x) ⊂ M . D´ale M se naz´ yv´a uzavˇren´a, jestliˇze P − M je otevˇren´a. Pozn´ amka 2.2.2 Tedy mnoˇzina M je otevˇren´a pr´avˇe tehdy, kdyˇz kaˇzd´ y bod x n´aleˇz´ı do mnoˇziny M i s nˇejak´ ym sv´ ym okol´ım. Definice 2.2.3 Vnitˇrek M o mnoˇziny M je takov´a otevˇren´a mnoˇzina, kter´a je ze vˇsech otevˇren´ ych mnoˇziny obsaˇzen´ ych v mnoˇzinˇe M (tedy tyto mnoˇziny jsou podmnoˇzinami mnoˇziny M ) nejvˇetˇs´ı. Pozn´ amka 2.2.3 Zˇrejmˇe vˇzdy M o ⊂ M , z´aroveˇ n M o je otevˇren´a mnoˇzina. Tedy M je otevˇren´a ⇔ M = M o . Definice 2.2.4 Pˇredpokl´adejme, ˇze M ⊂ P . Potom pojmy vnˇejˇsek, hranice a uz´avˇer mnoˇziny M definujeme takto: vnˇejˇsek mnoˇziny M : hranice mnoˇziny M : uz´avˇer mnoˇziny M :

Ext M hr M M

= (P − M )o , = P − M o − (P − M )o , = M ∪ hr M .

Obr´azek 2.4: Vnˇejˇsek Ext M

Obr´azek 2.5: Vnitˇrek a hranice mnoˇziny

Jedn´ım z v´ yˇse uveden´ ych mnoˇzinov´ ych pojm˚ u byla i uzavˇren´a mnoˇzina. V dalˇs´ım textu budeme jiˇz operovat pouze s uzavˇren´ ymi mnoˇzinami. Uzavˇren´ ymi mnoˇzinami jsou napˇr. ˇctverec ˇci kruh, obecnˇe rovinn´e obrazce (v R2 ) a tˇelesa (v R3 ). Nyn´ı zavedeme nˇekolik pojm˚ u, kter´e jsou nutn´e pro zaveden´ı vnˇejˇs´ı a vnitˇrn´ı m´ıry. Jedn´ım z nich je dˇelen´ı a jeho norma. 10

Definice 2.2.5 Mˇejme interval J = ha1 , b1 i × ha2 , b2 i ⊂ R2 (tj. obecnˇe obd´eln´ık). Necht’ Dx resp. Dy jsou dˇelen´ı interval˚ u ha1 , b1 i resp. ha2 , b2 i s dˇelic´ımi body a1 = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b1 ,

a2 = y0 < y1 < y2 < . . . < ym = b2 ,

takov´ ymi, ˇze |xi − xi−1 | = |yj − yj−1 | pro i = 1, 2, . . . , n; j = 1, 2, . . . , m. Potom pˇr´ımky x = xi a y = yj , i = 0, 1, . . . , n, j = 0, 1, . . . , m rozdˇel´ı obd´eln´ık J na nm ˇctverc˚ u. Iij = hxi−1 , xi i × hyj−1 , yj i, i = 1, 2, . . . , n; j = 1, 2, . . . , m, jejichˇz sjednocen´ı budeme naz´ yvat dˇelen´ım obd´eln´ıku J. D´ale definujeme normu dˇelen´ı kDk jako def

kDk = x1 − x0 . Vezmˇeme nyn´ı mnoˇzinu M ⊂ R2 a obd´eln´ık J, kter´ y lze rozdˇelit na ˇctverce a kter´ y ˇ obsahuje mnoˇzinu M . Casto potˇrebujeme zjistit, jak´ y obsah m´a samotn´e pokryt´ı mnoˇziny M ˇctvercovou s´ıt´ı. Pro tyto u ´ˇcely bude uˇziteˇcn´e zaveden´ı pojmu element´arn´ı mnoˇzina. Element´arn´ı mnoˇzina Σn je sjednocen´ı koneˇcn´eho poˇctu ˇctverc˚ u dˇelen´ı D takov´ ych, ˇze ˇza´dn´e dva r˚ uzn´e ˇctverce nemaj´ı spoleˇcn´e vnitˇrn´ı body. Ploˇsn´ y obsah µ e(Σn ) element´arn´ı mnoˇziny Σn tedy zav´ad´ıme jako souˇcet obsah˚ u ˇctverc˚ u, z nichˇz se dan´a element´arn´ı mnoˇzina skl´ad´a. Nyn´ı se sezn´am´ıme s Jordanovou m´ırou. Pro zaveden´ı Jordanovy m´ıry definujeme nejprve pojmy j´adro a obal mnoˇziny. S obˇema pojmy jsme se jiˇz setkali v u ´vodn´ı ideji, jen jsme si je takto nepojmenovali. Definice 2.2.6 Bud’ M omezen´a mnoˇzina v R2 , M o jej´ı vnitˇrek, M jej´ı uz´avˇer. J´adro J(M, D) mnoˇziny M pˇri dˇelen´ı D definujeme jako sjednocen´ı vˇsech ˇctverc˚ u dˇelen´ı D o leˇz´ıc´ıch ve vnitˇrku M mnoˇziny M . D´ale definujeme obal O(M, D) mnoˇziny M pˇri dˇelen´ı D jako sjednocen´ı vˇsech ˇctverc˚ u dˇelen´ı D, kter´e maj´ı s uz´avˇerem M mnoˇziny M aspoˇ n jeden spoleˇcn´ y bod. Vzhledem k tomu, ˇze j´adro i obal jsou element´arn´ımi mnoˇzinami, je jejich obsah roven souˇctu obsah˚ u pˇr´ısluˇsn´ ych ˇctverc˚ u. Tedy v pˇr´ıpadˇe j´adra ˇctverc˚ u obsaˇzen´ ych ve vnitˇrku mnoˇziny, v pˇr´ıpadˇe obalu ˇctverc˚ u, kter´e maj´ı s jej´ım uz´avˇerem nepr´azdn´ y pr˚ unik. Vˇse si zn´azorn´ıme na Obr´azc´ıch 2.6 a 2.7:

11

Obr´azek 2.6: J´adro

Obr´azek 2.7: Obal

Pˇri pohledu na Obr´azky 2.6 a 2.7 si lze vˇsimnout, ˇze poˇcet ˇctverc˚ u tvoˇr´ıc´ıch j´adro, resp. obal, z´avis´ı na volbˇe dˇelen´ı D s´ıtˇe. Zˇrejmˇe plat´ı, ˇze ˇc´ım menˇs´ı bude norma dˇelen´ı kDk, t´ım jemnˇejˇs´ı s´ıt’ z´ısk´ame a t´ım vˇetˇs´ı poˇcet ˇctverc˚ u bude dˇelen´ı obsahovat. Nav´ıc budou ˇctverce mal´e, a tak bude j´adro a obal l´epe aproximovat mnoˇzinu M . Z t´eto myˇslenky vych´az´ı n´asleduj´ıc´ı vˇeta. Vˇ eta 2.2.1 Necht’ kD2 k ≤ kD1 k. Bud’ M mnoˇzina, J(M, D1 ), resp. J(M, D2 ), jej´ı j´adro pˇri dˇelen´ı D1 , resp. D2 . Bud’ O(M, D1 ), resp. O(M, D2 ), jej´ı obal pˇri dˇelen´ı D1 , resp. D2 . Pak plat´ı: J(M, D1 ) O(M, D2 )

⊂ ⊂

J(M, D2 ), O(M, D1 ).

N´azornˇe lze ˇr´ıci, ˇze j´adro se zjemˇ nov´an´ım zvˇetˇsuje, obal se zjemˇ nov´an´ım zmenˇsuje. o J(M, D) pˇri zjemˇ nov´an´ı dˇelen´ı D ˇc´ım d´al t´ım l´epe vyˇcerp´avaj´ı“ M a O(M, D) ˇc´ım d´al ” t´ım m´enˇe pˇresahuj´ı“ M . Pro obsah tˇechto element´arn´ıch mnoˇzin tedy bude platit ” µ e(J(M, D1 )) ≤ µ e(J(M, D2 )), µ e(O(M, D2 )) ≤ µ e(O(M, D1 )), coˇz je bezprostˇredn´ım d˚ usledkem Vˇety 2.2.1. D´ale pro vˇsechna D1 , D2 , plat´ı: µ e(J(M, D1 )) ≤ µ e(O(M, D2 )).

(2.1)

Kdyˇz tedy zmenˇsujeme normu dˇelen´ı D, tak µ e(J(M, D)) roste a µ e(O(M, D)) kles´a. D´ale si lze rozmyslet, ˇze obsah j´adra i obalu je nez´avisle na volbˇe dˇelen´ı D omezen´ y – zdola nulou, shora pak obsahem obd´eln´ıka, kter´ y mnoˇzinu M pokr´ yv´a, tj. ˇc´ıslem (b1 − a1 ) · (b2 − a2 ). Z monotonie a omezenosti µ e(J(M, D)) a µ e(O(M, D)) tedy plyne 1 existence vlastn´ıch limit (2.2) a (2.3), kter´e naz´ yv´ame vnitˇrn´ı a vnˇejˇs´ı Jordanovou m´ırou. Vnitˇrn´ı (Jordanova) m´ıra µ∗ (M ) µ∗ (M ) = lim µ e(J(M, D1 )). kD1 k→0

1ˇ

Rekneme, ˇze limitou j´ adra limkDk→0 µ e(J(M, D)) = a je a ∈ R, jestliˇze ∀ε > 0 ∃δ > 0; ∀D; 0 < kDk < δ : |e µ(J(M, D)) − a| < ε. Analogicky z´ısk´ame vztah pro limitu obalu.

12

(2.2)

Vnˇejˇs´ı (Jordanova) m´ıra µ∗ (M ) µ∗ (M ) = lim µ e(O(M, D2 )). kD2 k→0

(2.3)

Ze vztah˚ u (2.1), (2.2) a (2.3) pak vypl´ yv´a, ˇze vnitˇrn´ı m´ıra je vˇzdy menˇs´ı nebo rovna m´ıˇre vnˇejˇs´ı: µ∗ (M ) ≤ µ∗ (M ). (2.4) Definice 2.2.7 Mnoˇzina M se naz´ yv´a jordanovsky mˇeˇriteln´a, je-li µ∗ (M ) = µ∗ (M ). Tuto spoleˇcnou hodnotu pak nazveme Jordanovou m´ırou mnoˇziny M a znaˇc´ıme ji µ(M ). Nyn´ı uˇz tedy v´ıme, co znamen´a, ˇze je mnoˇzina mˇeˇriteln´a. Naˇs´ım c´ılem je uk´azat, ˇze vˇsechna tˇelesa (tj. uzavˇren´e souvisl´e mnoˇziny) jsou tak´e mˇeˇriteln´e mnoˇziny. Potom m´a smysl hledat jejich m´ıru, tedy objem. Ne vˇsechny omezen´e mnoˇziny jsou mˇeˇriteln´e, jak ukazuje n´asleduj´ıc´ı pˇr´ıklad. Pˇ r´ıklad 2.2.1 (nemˇ eˇ riteln´ a mnoˇ zina) Mˇejme mnoˇzinu M , kter´a je tvoˇrena uspoˇra´dan´ ymi dvojicemi (x, y) racion´aln´ıch ˇc´ısel z uzavˇren´eho intervalu h0, 1i, tj. M = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, x, y ∈ Q} (viz Obr´azek 2.8). Tato mnoˇzina je zaj´ımav´a t´ım, ˇze m´a pro kaˇzd´e dˇelen´ı pr´azdn´e j´adro (x a y jsou jen racion´aln´ı ˇc´ısla), ale nepr´azdn´ y obal. Obalem je pro kaˇzd´e dˇelen´ı D cel´ y ˇctverec h0, 1i × h0, 1i.

Obr´azek 2.8 Vid´ıme tedy, ˇze µ∗ (M ) = 1 a µ∗ (M ) = 0. Mnoˇzina M tak nen´ı mˇeˇriteln´a. Uˇziteˇcn´e bude zaveden´ı pojmu nulov´a mnoˇzina. Definice 2.2.8 Mnoˇzinu, jej´ıˇz vnˇejˇs´ı m´ıra je rovna nule, naz´ yv´ame nulov´a mnoˇzina. Pozn´ amka 2.2.4 Je-li µ∗ (M ) = 0, pak je i µ∗ (M ) = 0, protoˇze µ∗ (M ) ≤ µ∗ (M ) a nulov´a mnoˇzina M je tedy mˇeˇriteln´a. Nyn´ı si uvedeme z´akladn´ı vlastnosti m´ıry, n´asledovat bude vˇeta ohlednˇe jej´ı aditivity. Na z´avˇer uk´aˇzeme, ˇze vˇsechna tˇelesa jsou mˇeˇriteln´a. Vˇ eta 2.2.2 Bud’ M omezen´a mnoˇzina. Pak plat´ı: O(M, D) = J(M, D) ∪ O(hr (M ), D), µ e(O(M, D)) = µ e(J(M, D)) + µ e(O(hr (M ), D)).

(2.5)

D˚ ukaz: Sporem. Necht’ pˇri dan´em dˇelen´ı D existuje nepr´azdn´ y pr˚ unik ˇctverc˚ u s´ıtˇe a uz´avˇeru M mnoˇziny M . 13

Obr´azek 2.9 Pak bud’ ˇctverec n´aleˇz´ı do j´adra M o mnoˇziny M (ˇcern´e ˇctverce), nebo ˇctverec do M o nepatˇr´ı. Pak ale zˇrejmˇe pr˚ unik takov´eho ˇctverce a hranice hr M mnoˇziny M nen´ı pr´azdn´ y (ˇsed´e ˇctverce). Na z´akladˇe znalosti obsahu element´arn´ıch mnoˇzin ihned dost´av´ame dokazovan´e rovnosti.  Z (2.5) z´ısk´ame limitn´ım pˇrechodem n´asleduj´ıc´ı d˚ usledek. D˚ usledek 2.2.1 µ∗ (M ) = µ∗ (M ) + µ∗ (hr M ) N´asleduje jedna z kl´ıˇcov´ ych vˇet o mˇeˇritelnosti mnoˇzin. Vˇ eta 2.2.3 Omezen´a mnoˇzina je mˇeˇriteln´a ⇔ jej´ı hranice je nulov´a mnoˇzina. D˚ ukaz: Vych´az´ı z D˚ usledku 2.2.1. µ∗ (M ) = µ∗ (M ) pr´avˇe tehdy, kdyˇz µ∗ (hr M ) = 0. D´ale µ∗ (hr M ) = 0 pr´avˇe tehdy, kdyˇz µ(hr M ) = 0.  Z´akladn´ı vlastnost´ı Jordanovy m´ıry je aditivita, tj. pro libovoln´e dvˇe disjunktn´ı mnoˇziny M , N plat´ı: µ(M ∪ N ) = µ(M ) + µ(N ). Pro obsah element´arn´ıch mnoˇzin je aditivita zˇrejm´a, plyne pˇr´ımo z definice. Rozˇs´ıˇren´ı na libovoln´e mˇeˇriteln´e mnoˇziny lze nal´ezt napˇr. v [4]. My si v n´asleduj´ıc´ı vˇetˇe uk´aˇzeme zobecnˇen´ı aditivity na dvojice mnoˇzin, jejichˇz pr˚ unik nen´ı pr´azdn´ y, je vˇsak nulovou mnoˇzinou. Toto tvrzen´ı je pro urˇcov´an´ı objem˚ u tˇeles velmi uˇziteˇcn´e, protoˇze n´am umoˇzn´ı zanedb´avat“ ” jejich hranici. Vˇ eta 2.2.4 Necht’ M, N jsou mˇeˇriteln´e mnoˇziny. Pak jestliˇze µ(M ∩ N ) = 0, tak µ(M ∪ N ) = µ(M ) + µ(N ).

14

D˚ ukaz: M ∪ N = (M − N ) ∪ (N − M ) ∪ (N ∩ M ) M = (M − N ) ∪ (M ∩ N ) N = (N − M ) ∪ (M ∩ N )

µ(M ∪ N ) = µ(M − N ) + µ(N − M ) + µ(N ∩ M ) µ(M ) = µ(M − N ) + µ(N ∩ M ) µ(N ) = µ(N − M ) + µ(N ∩ M ) µ(M ∪ N ) − µ(M ) − µ(N ) = −µ(N ∩ M ) Plat´ı: µ(M ∪ N ) + µ(M ∩ N ) = µ(M ) + µ(N ).  Matematickou indukc´ı lze Vˇetu 2.2.4 rozˇs´ıˇrit na koneˇcnˇe mnoho mnoˇzin. Z´ısk´ame tak n´asleduj´ıc´ı d˚ usledek. D˚ usledek 2.2.2 Jsou-li Mi , i = 1, 2, . . . , k mˇeˇriteln´e mnoˇziny a m´ıra pr˚ uniku kaˇzd´ych dvou je rovna nule, pak je sjednocen´ı tˇechto mnoˇzin mˇeˇriteln´a mnoˇzina, jej´ıˇz m´ıra je rovna souˇctu mˇer jednotliv´ych mnoˇzin.

Mˇ eˇ ritelnost tˇ eles Uk´aˇzeme, ˇze mnoˇziny, jejichˇz hranice jsou tvoˇreny koneˇcn´ ym poˇctem graf˚ u stejnomˇernˇe spojit´ ych funkc´ı (speci´alnˇe kˇrivek, resp. ploch), jsou mˇeˇriteln´e. Vˇ eta 2.2.5 Necht’ g je funkce r−1 promˇenn´ ych, kter´a je spojit´a 2 na omezen´em uzavˇren´em intervalu J ⊂ Rr . Potom graf funkce g, tj. mnoˇzina M = {[x, g(x)]; x = (x1 , x2 , . . . , xr−1 ) ∈ J}, m´a r-rozmˇernou m´ıru nulovou. D˚ ukaz: D˚ ukaz provedeme opˇet v prostoru R2 , pˇriˇcemˇz lze rozˇs´ıˇrit i do prostor˚ u vyˇsˇs´ıch dimenz´ı. Pokryjeme mnoˇzinu M koneˇcn´ ym poˇctem obd´eln´ık˚ u tak, ˇze vezmeme dˇelen´ı D na intervalu J s normou dˇelen´ı kDk < δ a v kaˇzd´em dˇelic´ım intervalu hxi−1 , xi i zvol´ıme bod ˇ Bud’ g : R → R, x0 ∈ Dg . Rekneme, ˇze funkce g je spojit´a v bodˇe x0 , pr´avˇe tehdy, kdyˇz ∀ ε > 0 ˇ ∃ δ > 0 ∀ x ∈ Dg : |x − x0 | < δ ⇒ |g(x) − g(x0 )| < ε. Rekneme, ˇze g je spojit´a na intervalu J ⊆ Dg , pokud je spojit´ a v kaˇzd´em bodˇe x0 ∈ J. 2

15

ξi . Je-li Oi obd´eln´ık hxi−1 , xi i×hg(ξi )−ε, g(ξi )+εi, pak zˇrejmˇe sjednocen´ı tˇechto obd´eln´ık˚ u 3 pokr´ yv´a M a souˇcet jejich mˇer je roven 2ε(b − a). Pokud dok´aˇzeme, ˇze µ∗ (M ) ≤ 2ε(b − a) pro kaˇzd´e ε > 0, uk´aˇzeme, ˇze v´ yraz konverguje k nule pro ε → 0, takˇze µ∗ (M ) = 0. Zˇrejmˇe M ⊂ D, tedy i O(M ) ⊂ O(D), a tedy µ e(O(M )) ≤ µ e(O(D)). Dokazovanou rovnost pak z´ısk´ame limitn´ım pˇrechodem pro kDk → 0.  Z Vˇet 2.2.3 a 2.2.5 dost´av´ame mˇeˇritelnost tˇeles. Vˇeta 2.2.5 ukazuje, ˇze plocha v R3 (tedy hranice uzavˇren´e mnoˇziny – tˇelesa) m´a nulovou m´ıru µ3 . Podle Vˇety 2.2.3 pak v´ıme, ˇze mnoˇzina, jej´ıˇz hranice je tvoˇrena koneˇcn´ ym sjednocen´ım graf˚ u spojit´ ych funkc´ı definovan´ ych na uzavˇren´ ych intervalech, je mˇeˇriteln´a.

3

Protoˇze m´ıra kaˇzd´eho obd´eln´ıku je rovna 2ε(xi − xi−1 ).

16

3. Riemann˚ uv integr´ al Objem tˇeles lze vypoˇc´ıtat pomoc´ı trojn´eho integr´alu (t´eˇz trojrozmˇern´eho integr´alu nebo integr´alu v R3 ). Pro tyto u ´ˇcely se pokus´ıme uv´est definici integr´alu a nˇekter´e z´akladn´ı v´ ysledky, kter´e pak vyuˇzijeme v n´asleduj´ıc´ı kapitole pˇri praktick´ ych v´ ypoˇctech. V´ yklad budeme opˇet pro jednoduchost prov´adˇet v R2 .

3.1

Definice Riemannova integr´ alu

Bud’ M ⊂ R2 mˇeˇriteln´a mnoˇzina. Vezmˇeme obd´eln´ık J, kter´ y lze rozdˇelit na ˇctverce, M ⊂ J, D je jeho dˇelen´ı. Oznaˇcme ˇctverce Iij ∈ O(M, D) jako wk , k = 1, 2, . . . m (na Obr´azku 3.1 je napˇr. m = 28).

Obr´azek 3.1 Je-li nyn´ı f re´aln´a funkce, kter´a je na M omezen´a a αk = inf wk f, βk = supwk f , pak v´ yrazy m m X X s(f ; M, D) = αk µ e(wk ) resp. S(f ; M, D) = βk µ e(wk ) k=1

k=1

naz´ yv´ame doln´ım resp. horn´ım souˇctem funkce f pˇri dˇelen´ı D, odpov´ıdaj´ıc´ım mnoˇzinˇe M .

Obr´azek 3.2: Doln´ı souˇcet

Obr´azek 3.3: Horn´ı souˇcet

Lze uk´azat, ˇze pro D1 , D2 takov´a, ˇze kD1 k ≤ kD2 k plat´ı: s(f ; M, D1 ) ≤ s(f ; M, D2 ) S(f ; M, D1 ) ≥ S(f ; M, D2 ) a d´ale 17

(3.1) (3.2)

s(f ; M, D) ≤ S(f ; M, D)

(3.3)

pro kaˇzd´e dˇelen´ı D. Nav´ıc s(f ; M, D) i S(f ; M, D) jsou omezen´e, protoˇze f je omezen´a. Z omezenosti a monotonie s(f ; M, D) a S(f ; M, D) plyne existence vlastn´ıch limit Z lim s(f ; M, D) = f (x, y) dx dy, (3.4) kDk→0

M

Z lim S(f ; M, D) =

f (x, y) dx dy.

kDk→0

(3.5)

M

Limitu (3.4) naz´ yv´ame doln´ım integr´alem funkce f pˇres mnoˇzinu M pˇri dˇelen´ı D, limitu (3.5) naz´ yv´ame horn´ım integr´alem funkce f pˇres mnoˇzinu M pˇri dˇelen´ı D. Z nerovnosti (3.3) plyne Z

Z f (x, y) dx dy ≤ M

f (x, y) dx dy. M

Je-li horn´ı integr´al roven doln´ımu integr´alu, pak jejich spoleˇcnou hodnotu naz´ yv´ame integr´alem funkce f pˇres mnoˇzinu M , oznaˇcujeme jej Z f (x, y) dx dy M

a ˇr´ık´ame, ˇze funkce f je integrovateln´a na mnoˇzinˇe M . R Pozn´ amka 3.1.1 V R3 pouˇz´ıv´ame oznaˇcen´ı M f (x, y, z) dx dy dz. ’ Vˇ eta 3.1.1 Bud’ M ⊂ R R uzavˇren´a a mˇeˇriteln´a mnoˇzina. Bud f funkce spojit´a na M (vzhledem k M ). Pak f (x) dx existuje. M

D˚ ukaz: lze nal´ezt v [4].

18

3.2

V´ ypoˇ cet integr´ alu

Hlavn´ı zp˚ usoby v´ ypoˇctu v´ıcerozmˇern´ ych integr´al˚ u jsou zaloˇzeny na pouˇzit´ı Fubiniovy vˇety a vˇety o substituci. Vˇ eta 3.2.1 (Fubiniova vˇeta v R3 ) 1. Necht’ P je uzavˇren´a mnoˇzina v R2 , ϕ(x, y) a ψ(x, y) jsou spojit´e funkce na P , ϕ(x, y) ≤ ψ(x, y) pro (x, y) ∈ P . Necht’ mnoˇzina M je definov´ana pˇredpisem M = {(x, y, z) ∈ R3 , (x, y) ∈ P, ϕ(x, y) ≤ z ≤ ψ(x, y)}. Je-li d´ale f spojit´a na M , pak plat´ı Z Z Z f (x, y, z) dx dy dz = M

P

ψ(x,y)

 f (x, y, z) dz dx dy.

ϕ(x,y)

2. Necht’ M je uzavˇren´a mˇeˇriteln´a mnoˇzina v R3 , jej´ıˇz pr˚ umˇet do osy z je interval ha, bi. Pro dan´e z ∈ ha, bi oznaˇcme Qz = {(x, y) ∈ R2 , (x, y, z) ∈ M } (ˇrez mnoˇziny M rovinou z = konst.). Je-li funkce f spojit´a na mnoˇzinˇe M , potom plat´ı Z Z bZ  f (x, y, z) dx dy dz = f (x, y, z) dx dy dz. M

a

Qz

Pozn´ amka 3.2.1 Analogick´e vˇety dostaneme, kdyˇz zamˇen´ıme u ´lohy jednotliv´ ych promˇenn´ ych x, y, z. Nyn´ı n´asleduje definice transformace souˇradnic. Tu pot´e vyuˇzijeme pˇri vysloven´ı vˇety o substituci. Definice 3.2.1 Transformace souˇradnic je vz´ajemnˇe jednoznaˇcn´e zobrazen´ı ϕ otevˇren´e mnoˇziny M ⊂ Rr do Rr , jestliˇze pro y = yi (x) urˇcuj´ıc´ı ϕ plat´ı: 1. yi maj´ı spojit´e parci´aln´ı derivace na mnoˇzinˇe M ,   ∂yi Dy Dy := ∂x , kde i = 1, . . . , m a j = 1, . . . n. Plat´ı: det Dx (x) 6= 0 na 2. Oznaˇcme Dx j mnoˇzinˇe M . Tento determinant naz´ yv´ame jakobi´an. Vˇ eta 3.2.2 (Vˇeta o substituci) Bud’ M otevˇren´a, omezen´a a mˇeˇriteln´a v Rr . Bud’ d´ale ϕ : M −→ ϕ(M ) transformace souˇradnic s omezen´ ymi parci´aln´ımi derivacemi. Potom plat´ı Z Z Dy f (y) dy = f (ϕ(x)) det (x) dx, Dx ϕ(M ) M pokud jeden z tˇechto integr´al˚ u existuje.

19

4. V´ ypoˇ cty objem˚ u tˇ eles pomoc´ı integr´ al˚ u 4.1 4.1.1

Jednoduch´ y integr´ al Objem jehlanu se ˇ ctvercovou podstavou

Obr´azek 4.2: Pr˚ uˇrez jehlanu

Obr´azek 4.1: Jehlan

Na Obr´azku 4.1 m´ame zakreslen jehlan a jeho ˇrez rovinou rovnobˇeˇznou s podstavou ve vzd´alenosti z od podstavy. Obsahy tˇechto ˇrez˚ u se mˇen´ı line´arnˇe. Je tedy tˇreba zjistit, jak´ y je vztah mezi obsahem podstavy a obsahem ˇrezu v z´avislosti na v´ yˇsce z. Odvozen´ı si uk´aˇzeme na Obr´azku 4.2. Z podobnosti troj´ uheln´ık˚ u vypl´ yv´a n´asleduj´ıc´ı rovnost a0 a = , v v−z kde v je v´ yˇska jehlanu. Z v´ yˇse uveden´eho vztahu vyj´adˇr´ıme a0 , abychom zjistili, jak se mˇen´ı d´elka strany ˇrezu v z´avislosti na v´ yˇsce: a(v − z) a0 = , v odkud dostaneme:  z . a0 = a 1 − v Odtud dost´av´ame obsah ˇrezu ve v´ yˇsce z:  z 2 2 a 1− , v 2  coˇz je rovno souˇcinu obsahu podstavy Sp a 1 + vz . Velmi nepˇresnˇe m˚ uˇzeme ˇr´ıci, ˇze budeme sˇc´ıtat“ obsahy vˇsech ˇrez˚ u ve v´ yˇsce od 0 do v. Pˇresnˇe tuto myˇslenku zformulujeme ” 20

a provedeme pomoc´ı integrace. Integrujeme takto: Zv

Zv  Zv  h z 2 z z2  z2 z 3 iv z 2 1− 1 − 2 + 2 dz = Sp z − + 2 = Sp 1 − dz = Sp dz = Sp v v v v v 3v 0 0 0 0  v2 v3   02 03  v = Sp v − + 2 − 0− + 2 = Sp v 3v v 3v 3 

4.1.2

Objem rotaˇ cn´ıho tˇ elesa

Objem rotaˇcn´ıho tˇelesa budeme poˇc´ıtat podle vzorce Zb V =π

f 2 (x)dx,

a

kde f (x) znaˇc´ı funkci, jej´ıˇz graf se ot´aˇc´ı kolem osy x, ˇc´ımˇz vymezuje poˇzadovan´e tˇeleso. Rozmysleme si, co vzorec ˇr´ık´a. N´azornˇe, i kdyˇz velmi nepˇresnˇe, m˚ uˇzeme ˇr´ıci, ˇze m´ame seˇc´ıst vˇsechny obsahy kruh˚ u, kter´e dohromady tvoˇr´ı dan´e rotaˇcn´ı tˇeleso. Vych´az´ıme tedy ze vzorce pro obsah kruhu S = πr2 . Ve vzorci znaˇc´ı f (x) funkˇcn´ı hodnotu v bodˇe x, tj. hodnotu na y-ov´e ose. f 2 (x) je tedy druhou mocninou polomˇeru kruhu, kter´ y je 2 ˇrezem tˇelesa v bodˇe x, πf (x) je jeho obsah.

Obr´azek 4.3

Pomoc´ı tohoto vzorce m˚ uˇzeme spoˇc´ıtat napˇr´ıklad objem koule, polokoule, kulov´e u ´seˇce, v´alce ˇci kuˇzele.

21

Koule

Obr´azek 4.4: Koule Z Obr´azku 4.4 je zˇrejm´e, ˇze kolem osy x se ot´aˇc´ı ˇca´st kruˇznice. Funkce f (x) m´a tedy tvar1 f (x) =

√

r 2 − x2 .

D´ale je potˇreba urˇcit meze, kde integrujeme na ose x. Meze jsou opˇet zˇrejm´e z Obr´azku 4.4. Tedy a = −r, b = r. Nyn´ı m˚ uˇzeme zaˇc´ıt integrovat. Zr  h r3 r3  3r3 − r3 + 3r3 − r3 x3 ir 3 3 2 2 2 = π r − +r − =π· = V = π (r − x )dx = π r x − 3 −r 3 3 3 −r

4 4r3 = πr3 =π· 3 3 Objemy polokoule a kulov´e u ´seˇce vypoˇc´ıt´ame velmi podobnˇe jako objem koule. Vˇzdy nech´ame kolem osy x rotovat ˇc´ast kruˇznice o polomˇeru r. Jedin´e, v ˇcem se budou v´ ypoˇcty liˇsit, jsou meze, kde budeme integrovat.

1

Vztah vypl´ yv´ a z rovnice √ kruˇznice se stˇredem v poˇc´atku a polomˇerem r: x2 + y 2 = r2 . Pˇri vyj´adˇren´ı y z rovnice z´ısk´ ame vztah y = r2 − x2 .

22

Kulov´ au ´ seˇ c

Obr´azek 4.5: Kulov´a u ´seˇc Analogicky jako v pˇredchoz´ıch dvou pˇr´ıkladech urˇc´ıme meze, na kter´ ych budeme integrovat. Z Obr´azku 4.5 je zˇrejm´e, ˇze a = r − v, b = r. Nyn´ı m˚ uˇzeme zaˇc´ıt integrovat. Zr  h r3 (r − v)3  x3 ir = π r3 − − (r − v)r2 + = V = π (r2 − x2 )dx = π r2 x − 3 r−v 3 3 r−v

3r3 − r3 − 3r3 + 3r2 v + (r3 − 3r2 v + 3rv 2 − v 3 ) 3rv 2 − v 3 3r − v =π· =π· = πv 2 · 3 3 3 V´ alec

Obr´azek 4.6: V´alec Z Obr´azku 4.6 je zˇrejm´e, ˇze se kolem osy x ot´aˇc´ı pˇr´ımka rovnobˇeˇzn´a s osou x proch´azej´ıc´ı na ose y bodem r. Funkce f (x) m´a tedy tvar f (x) = r.

23

Urˇc´ıme meze, kde integrujeme. N´aˇs v´alec m´a v´ yˇsku v, tedy a = 0, b = v. Nyn´ı m˚ uˇzeme zaˇc´ıt integrovat. Zv h iv V = π r2 dx = π r2 x = πr2 v 0 0

Kuˇ zel

Obr´azek 4.7: Kuˇzel Z Obr´azku 4.7 je zˇrejm´e, ˇze se kolem osy x ot´aˇc´ı ˇca´st pˇr´ımky p, kter´a proch´az´ı body P1 = [v, 0] a P2 = [0, r]. Rovnice takov´e pˇr´ımky je tedy rx + vy − rv = 0. Odtud vyj´adˇr´ıme y: r(v − x) rv − rx = . v v Urˇcen´ı mez´ı ilustruje opˇet Obr´azek 4.7. Tedy f (x) = y =

a = 0, b = v. Nyn´ı m˚ uˇzeme zaˇc´ıt integrovat. Zv 2 Zv r (v − x)2 πr2 h 2 x2 x3 i v πr2 2 2 V =π dx = (v − 2vx + x ) dx = xv − 2v + = v2 v2 v2 2 3 0 0 0 πr2  3 v 3  πr2 v 3 1 3 = 2 v −v + = 2 · = πr2 v. v 3 v 3 3

24

4.2

Trojn´ y integr´ al

Objem tˇeles lze spoˇc´ıtat podle vzorce: V =

y

1 dx dy dz,

M

kde M je mnoˇzina, na kter´e integrujeme. Vzorec vych´az´ı ze samotn´e interpretace (n´asobn´eho) integr´alu. V jednorozmˇern´em pˇr´ıpadˇe integr´al odpov´ıd´a ot´azku, jak zjistit velikost plochy pod grafem funkce f (x) nad dan´ ym intervalem I → R. Rozˇs´ıˇr´ıme-li situaci o jednu dimenzi, pak ot´azka zn´ı, jak spoˇc´ıtat objem mnoˇziny pod grafem funkce f : M → R2 na mnoˇzinˇe M ⊂ R2 . Vˇsimnˇeme si, ˇze kdyˇz budeme integrovat funkci f (x, y) ≡ 1 na M , dostaneme obsah mnoˇziny M n´asoben´ y 2 jedniˇckou, tj. ˇc´ıselnˇe vyjde samotn´ y obsah mnoˇziny M ⊂ R . Podobnˇe trojn´ y integr´al na mnoˇzinˇe M ⊂ R3 funkce identicky rovn´e jedn´e m˚ uˇzeme interpretovat jako objem mnoˇziny M ⊂ R3 . Pomoc´ı trojn´eho integr´alu znovu vypoˇc´ıt´ame objemy tˇeles, kter´e jiˇz byly spoˇc´ıt´any v pˇredchoz´ı podkapitole. V´ ypoˇcet provedeme t´ımto sloˇzitˇejˇs´ım zp˚ usobem proto, abychom naznaˇcili, jak vypoˇc´ıtat objem i u jin´ ych neˇz rotaˇcn´ıch tˇeles.

V´ ypoˇ cty pomoc´ı substituc´ı Pro uˇzit´ı substituc´ı je potˇreba spoˇc´ıtat absolutn´ı hodnotu determinantu Jakobiho matice, kterou n´asob´ıme integrovan´ y v´ yraz. Vzorec se tedy zmˇen´ı n´asledovnˇe: y |J| ds1 ds2 ds3 . V = N

4.2.1

V´ alcov´ e (cylindrick´ e) souˇ radnice

Substituce: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z, kde r > 0, ϕ ∈ (0, 2πi, z ∈ R. Spoˇc´ıt´ame absolutn´ı hodnotu determinantu Jakobiho matice: ∂x ∂x ∂x cos ϕ r sin ϕ 0 ∂r ∂ϕ ∂z cos ϕ r sin ϕ ∂y ∂y ∂y = −r cos2 ϕ − r sin2 ϕ = J = ∂r ∂ϕ ∂z = sin ϕ −r cos ϕ 0 = sin ϕ −r cos ϕ ∂z ∂z ∂z 0 0 1 ∂r ∂ϕ ∂z = −r(cos2 ϕ + sin2 ϕ) = −r. Tedy vych´az´ı |J| = r. Pomoc´ı t´eto substituce m˚ uˇzeme spoˇc´ıtat napˇr´ıklad objem v´alce. 25

V´ alec

Z Obr´azku 4.8 jsou zˇrejm´e meze pro r, ϕ a z, na kter´ ych budeme integrovat: r ∈ (0, Ri, ϕ ∈ (0, 2πi, z ∈ h0, vi. Obr´azek 4.8: V´alec Nyn´ı m˚ uˇzeme zaˇc´ıt integrovat. Rv R2πRR

r dr dϕ dz =

Rv R2π 0 0

0 0 0

2

[ r2 ]R 0 dϕ dz =

Rv R2π R2 0 0

2

dϕ dz =

Rv 0

R2 2

[ϕ]2π 0 dz =

Rv

πR2 dz = πR2 [z]v0 =

0

= πR2 v

4.2.2

Sf´ erick´ e souˇ radnice

Substituce: x = % sin ϑ cos ϕ, y = % sin ϑ sin ϕ, z = % cos ϑ, kde % > 0, ϑ ∈ (−π, πi, ϕ ∈ h0, 2π). D´ale je opˇet potˇreba spoˇc´ıtat absolutn´ı hodnotu determinantu Jakobiho matice, kter´ y m´a pro tuto substituci tvar:

J=

∂x ∂% ∂y ∂% ∂z ∂%

∂x ∂ϑ ∂y ∂ϑ ∂z ∂ϑ

∂x ∂ϕ ∂y ∂ϕ ∂z ∂ϕ

sin ϑ cos ϕ −% cos ϑ cos ϕ % sin ϑ sin ϕ = sin ϑ sin ϕ −% cos ϑ sin ϕ −% sin ϑ cos ϕ = cos ϑ % sin ϑ 0

= %2 sin3 ϑ sin2 ϕ + %2 cos2 ϑ sin ϑ cos2 ϕ + %2 cos2 ϑ sin ϑ sin2 ϕ + %2 sin3 ϑ cos2 ϕ = = %2 sin ϑ (sin2 ϑ sin2 ϕ + cos2 ϑ cos2 ϕ + cos2 ϑ sin2 ϕ + sin2 ϑ cos2 ϕ) = = %2 sin ϑ (sin2 ϑ (sin2 ϕ + cos2 ϕ) + cos2 ϑ (cos2 ϕ + sin2 ϕ)) = = %2 sin ϑ (sin2 ϑ + cos2 ϑ) = %2 sin ϑ Pomoc´ı t´eto substituce m˚ uˇzeme napˇr´ıklad jin´ ym zp˚ usobem spoˇc´ıtat objem koule.

26

Koule

Obr´azek 4.9: Sf´erick´e souˇradnice – koule

Obr´azek 4.10: cos ϑ

Z Obr´azku 4.9 jsou zˇrejm´e meze pro %, coˇz je polomˇer tˇelesa. V naˇsem pˇr´ıpadˇe je polomˇer roven R. Rotace kolem osy y je opˇet zˇrejmˇe o 360◦ , tedy 2π. D´ale je potˇreba zamyslet se nad mezemi pro rotaci kolem osy z. Z obr´azku je patrn´e, ˇze je tˇreba otoˇcit o 180◦ (tedy o π), pˇriˇcemˇz pˇrech´az´ıme mezi z´aporn´ ymi a kladn´ ymi hodnotami. V substituci pro z se vyskytuje cos ϑ, jehoˇz pr˚ ubˇeh vid´ıme na Obr´azku 4.10. Nyn´ı jsou jiˇz zˇrejm´e vˇsechny meze. Tedy: % ∈ (0, Ri, ϑ ∈ (0, πi, ϕ ∈ (0, 2πi. M˚ uˇzeme zaˇc´ıt integrovat. Rπ RR R2π 0 0 0 Rπ

=

0

%2 sin ϑ dϕ d% dϑ =

Rπ RR

%2 sin ϑ [ϕ]2π 0 d% dϑ =

2π

dϑ =

R3 2π 3

2π%2 sin ϑ d% dϑ =

0 0

0 0 3 sin ϑ R3

Rπ RR

[−

cos ϑ]π0

=

R3 2π 3

27

(1 + 1) =

Rπ 0

4 πR3 3

3

2π sin ϑ [ %3 ]R 0 dϑ =

4.2.3

Pˇ rehled vzorc˚ u

V tabulce si nyn´ı pˇrehlednˇe shrneme dosavadn´ı v´ ysledky.

Krychle

V = a3

Kv´ adr

V = abc

Hranol

V = Sp · v

Jehlan, kuˇ zel V = 13 Sp · v

Koule

V = 43 πr3

2



Kulov´ au ´ seˇ c

V = πv

V´ alec

V = πr2 v

3r−v 3



Nask´ yt´a se ot´azka, zda by se k nˇekter´ ym z tˇechto vzorc˚ u dalo doj´ıt i bez znalosti integr´aln´ıho poˇctu. Na to n´am odpov´ı n´asleduj´ıc´ı kapitola.

28

5. Odvozen´ı vzorc˚ u bez pouˇ zit´ı integr´ al˚ u 5.1

Archim´ ed´ es

Archim´ed´es ze Syr´ak´ us (287? – 212 pˇr. n. l.) byl jedn´ım z nejvˇetˇs´ıch matematik˚ u star´eho ˇreck´eho svˇeta p˚ usob´ıc´ı na poˇca´tku hel´enistick´e ´ery. Jako matematik dos´ahl vrcholu tehdejˇs´ıho abstraktn´ıho myˇslen´ı a stal se pˇredch˚ udcem novovˇek´e matematick´e anal´ yzy a geometrie. Ze spis˚ u, kter´e se n´am od Archim´eda dochovaly, se pˇrev´aˇzn´a ˇca´st vˇenuje v´ ypoˇct˚ um obsah˚ u a objem˚ u. V t´eto kapitole se zamˇeˇr´ıme na jeho metody v´ ypoˇct˚ u objem˚ u tˇeles. V´ yznamn´ ym d´ılem z hlediska objem˚ u tˇeles bylo dvoud´ıln´e pojedn´an´ı O kouli a v´alci“. ” Nalezneme zde mimo jin´e d˚ uleˇzit´a tvrzen´ı o objemu koule a jej´ıch ˇc´ast´ı. V tˇechto spisech Archim´ed´es formuluje a dokazuje n´asleduj´ıc´ı tvrzen´ı: 1. Objem koule je roven ˇctyˇrn´asobku objemu kuˇzele, jehoˇz polomˇer i v´yˇska jsou rovny polomˇeru koule. 2. Objem kulov´e v´yseˇce je roven objemu kuˇzele, jehoˇz v´yˇska je rovna polomˇeru koule a jehoˇz podstava m´a obsah rovn´y povrchu pl´aˇstˇe kuˇzele vepsan´eho v pˇr´ısluˇsn´e u ´seˇci. 3. Objem koule je roven dvˇema tˇretin´am objemu opsan´eho v´alce. 4. Objemy kuˇzele o polomˇeru podstavy r a v´yˇsce 2r, koule o polomˇeru r a v´alce o polomˇeru r a v´yˇsce 2r jsou v pomˇeru 1:2:3. 5. Ze vˇsech kulov´ych u ´seˇc´ı se stejn´ym povrchem m´a polokoule nejvˇetˇs´ı objem. Druh´ ym (pro n´as d˚ uleˇzit´ ym) d´ılem obsahuj´ıc´ım v´ ysledky t´ ykaj´ıc´ı se objem˚ u tˇeles je spis O k´onoidech a sf´eroidech“. Zde Archim´ed´es definuje napˇr. rotaˇcn´ı paraboloid vzni” kaj´ıc´ı rotac´ı paraboly kolem sv´e osy, rotaˇcn´ı hyperboloid vznikaj´ıc´ı rotac´ı hyperboly kolem sv´e osy ˇci rotaˇcn´ı elipsoid vznikaj´ıc´ı analogicky rotac´ı elipsy kolem sv´e osy. Archim´ed´es v tomto spisu ˇr´ık´a, ˇze objem u ´seˇce rotaˇcn´ıho paraboloidu je roven tˇrem polovin´am objemu kuˇzele s touˇz podstavou a touˇz osou. V´ ypoˇctem objemu u ´seˇce rotaˇcn´ıho paraboloidu, elipsoidu a hyperboloidu se Archim´ed´es zab´ yval i v pojedn´an´ı s n´azvem O metodˇe“. Odvodil zde mimo jin´e, ˇze pomˇer objemu v´alce ” a vepsan´eho elipsoidu je 3:2, a tak vyj´adˇril objem elipsoidu.

29

D´ale se zam´ yˇslel nad situac´ı, kdy je v´alec veps´an do pravideln´eho ˇctyˇrbok´eho hranolu a ˇrez´an rovinou, kter´a proch´az´ı stˇredn´ı pˇr´ıˇckou doln´ı z´akladny hranolu a s n´ı rovnobˇeˇznou hranou z´akladny horn´ı (viz Obr´azek 5.1). Odvodil, ˇze objem odˇr´ıznut´e ˇc´asti v´alce je roven jedn´e ˇsestinˇe objemu uvaˇzovan´eho hranolu.

Obr´azek 5.1 Zaj´ımav´ ym pˇr´ıkladem, kter´ ym se Archim´ed´es zab´ yval, bylo urˇcen´ı objemu tˇelesa, kter´e vzniklo pr˚ unikem dvou na sebe kolm´ ych v´alc˚ u vepsan´ ych do krychle (viz Obr´azek 5.2). Uk´azal, ˇze objem tohoto tˇelesa tvoˇr´ı 2/3 objemu cel´e krychle.

Obr´azek 5.2 Dvˇe z v´ yˇse uveden´ ych Archim´edov´ ych tvrzen´ı nyn´ı odvod´ıme. Uk´aˇzeme si na nich jedineˇcn´ y postup, kter´ y tento ˇreck´ y matematik s´am objevil. Pokus´ıme se reprodukovat Archim´edovy postupy ze spisu O metodˇe; v´ ypoˇcet objemu rotaˇcn´ıho paraboloidu tak, jak ho uv´ad´ı 4. vˇeta a v´ ypoˇcet objemu koule tak, jak ho uv´ad´ı 2. vˇeta uveden´eho spisu. Obˇe odvozen´ı jsou zaloˇzena na principu rovnov´ahy na p´ace.

30

5.1.1

Odvozen´ı nˇ ekter´ ych Archim´ edov´ ych tvrzen´ı

Rovnov´ aha na p´ ace

Obr´azek 5.3: P´aka Archim´ed´es znal a vyuˇz´ıval vztah pro rovnov´ahu na p´ace m1 r1 = m2 r2 ,

(5.1)

tj. ˇc´ım vˇetˇs´ı je vzd´alenost pˇredmˇetu od bodu, kde je p´aka podepˇrena, t´ım menˇs´ı mus´ı b´ yt jeho hmotnost pro zachov´an´ı rovnov´ahy. Objem rotaˇ cn´ıho paraboloidu Jako prvn´ı si uvedeme odvozen´ı vzorce pro objem rotaˇcn´ıho paraboloidu. Postup je jednoduch´ y a n´azornˇe demonstruje metodu, j´ıˇz Archim´ed´es vyuˇz´ıval. Na Obr´azku 5.4 vid´ıme ˇrez paraboloidem veden´ y kolmo na u ´seˇcku AD, kter´a je z´aroveˇ n spoleˇcnou osou vˇsech zobrazen´ ych tˇeles. Paraboloid vznikl rotac´ı paraboly s vrcholem v bodˇe A kolem u ´seˇcky AD. Z´aroveˇ n je v obr´azku zakreslen´ y ˇrez v´alce o v´ yˇsce |AD| a polomˇeru podstavy |BD| = |DC|. D´ale vid´ıme na obr´azku ˇrez kuˇzele s vrcholem v bodˇe A a polomˇerem podstavy takt´eˇz |BD|. Dodejme, ˇze vzd´alenost |AD| = |AH| a |AK| = |DK| (K je tedy tˇeˇziˇstˇe v´alce). S je libovoln´ y bod u ´seˇcky AD, kter´ ym je veden ˇrez vˇsemi tˇremi tˇelesy. Obr´azek 5.4: Paraboloid Rovnice obecn´e paraboly g s vrcholem v poˇca´tku soustavy souˇradnic a osou spl´ yvaj´ıc´ı 2 s kladnou poloosou y m´a tvar: g : y = ax . Z t´eto vlastnosti paraboly vypl´ yv´a, ˇze |AD| = 2 2 a|BD| a |AS| = a|OS| . Odsud dost´av´ame vykr´acen´ım a rovnost |AD| |BD|2 = , |AS| |OS|2 31

kter´a je z´akladem hled´an´ı vztahu pro objem paraboloidu. Nyn´ı ji budeme d´ale upravovat. Z rovnost´ı |AD| = |AH| a |BD| = |N S| (viz Obr´azek 5.4) dost´av´ame |N S|2 |AH| = . |AS| |OS|2 Rozˇs´ıˇren´ım zlomku na prav´e stranˇe ˇc´ıslem π obdrˇz´ıme |AH| |N S|2 · π obsah kruhu ve v´alci = = . 2 |AS| |OS| · π obsah kruhu v paraboloidu Protoˇze |AH| = 2|AK|, plat´ı 2|AK| obsah kruhu ve v´alci = . |AS| obsah kruhu v paraboloidu

(5.2)

Vztah (5.2) m˚ uˇzeme na z´akladˇe (5.1) pˇrepsat ve tvaru 2|AK| · obsah kruhu paraboloidu = |AS| · obsah kruhu v´alce a interpretovat takto: kruh u ´seˇce paraboloidu um´ıstˇen´ y ve vzd´alenosti 2|AK| od stˇredu p´aky A vyv´aˇz´ı kruh vepsan´eho v´alce leˇz´ıc´ıho od bodu A ve vzd´alenosti |AS| (jeden kruh tedy mus´ıme d´at na druhou stranu“, tj. do bodu H). ” Jak bylo ˇreˇceno v u ´vodu, S je libovoln´ y bod u ´seˇcky AD, kter´ ym je veden ˇrez. Tato rovnost bude tedy nez´avisl´a na jeho volbˇe. Nech´ame-li bod S postupnˇe prob´ıhat u ´seˇcku AD, tak kruhy vznikl´e z tˇechto ˇrez˚ u postupnˇe vypln´ı cel´ y v´alec, resp. celou u ´seˇc paraboloidu. Pˇrenesme nyn´ı vˇsechny kruhy paraboloidu do bodu H tak, ˇze jejich tˇeˇziˇstˇe bude pr´avˇe v tomto bodˇe. V´alec z˚ ust´av´a na m´ıstˇe na p˚ uvodn´ı stranˇe ( vyvaˇzuje“ p´aku). Rovnov´ahu ne” poruˇs´ıme, pokud vˇsechny kruhy v´alce pˇresuneme do jeho tˇeˇziˇstˇe, tj. do bodu K. Z´ısk´av´ame 2|AK| · objem cel´eho paraboloidu = |AK| · objem cel´eho v´alce. Po u ´pravˇe z´ısk´ame vztah mezi objemem rotaˇcn´ıho paraboloidu a objemem v´alce o stejn´em pr˚ umˇeru podstavy a stejn´e v´yˇsce eho v´ alce. objem cel´ eho paraboloidu = 12 · objem cel´ Na z´akladˇe znalosti vztahu1 mezi objemem v´alce a kuˇzele se stejnou podstavou a v´yˇskou V (kuˇzel) = 13 V (v´alec) z´ısk´ame u ´pravou pˇredchoz´ıho vztahu vztah mezi objemem paraboloidu a kuˇzele o stejn´e podstavˇe a v´ yˇsce objem u ´ seˇ ce paraboloidu = 32 · objem vepsan´ eho kuˇ zele. 1

V (v´ alec) = πr2 v, V (kuˇzel) = 1/3 · πr2 v.

32

Objem koule

Na Obr´azku 5.5 je zn´azornˇena koule se stˇredem v bodˇe K a polomˇerem BK. Z´aroveˇ n je zde zakreslen´ y v´alec o v´ yˇsce |AG| a polomˇeru podstavy EG. D´ale vid´ıme kuˇzel s vrcholem v bodˇe A a polomˇerem podstavy takt´eˇz EG. Dodejme, ˇze vzd´alenost |AG| = |AH| a |AG| = |EG|. S je libovoln´ y bod u ´seˇcky AG, j´ımˇz je veden ˇrez kolmo na osu AG vˇsemi tˇremi tˇelesy. Zˇrejmˇe plat´ı, ˇze |AB| = |AD| = |BE| = |DZ|, |AP | = |AR| a |P S| = |SR|. Obr´azek 5.5: Koule D´ale vid´ıme, ˇze |M S| = |AG|,

|P S| = |AS|,

plat´ı tedy rovnosti |M S| · |P S| = |AG| · |AS|, |AG| |M S| = . |P S| |AS|

(5.3) (5.4)

Rovnost (5.3) pro n´as bude prvn´ım v´ ychoz´ım krokem, nyn´ı ji budeme d´ale upravovat. Pod´ıvejme se na troj´ uheln´ık AXG. Tento troj´ uheln´ık je na z´akladˇe Thal´etovy vˇety pravo´ uhl´ y (AG je pr˚ umˇer kruˇznice a bod X t´eto kruˇznici n´aleˇz´ı). D´ale XS je v´ yˇska na stranu AG tohoto troj´ uheln´ıka, tedy XS je kolm´a na AG. Z Eukleidovy vˇety o odvˇesnˇe (c · ca = a2 nebo c · cb = b2 ) a z P´ ythagorovy vˇety (c2 = a2 + b2 ) z´ısk´av´ame n´asleduj´ıc´ı vztahy

|AG| · |AS| = |AX|2 , |AX|2 = |XS|2 + |AS|2 . Obr´azek 5.6 Spojen´ım obou rovnost´ı dostaneme |AG| · |AS| = |XS|2 + |AS|2 . 33

Nyn´ı dosad´ıme v´ yˇse uvedenou rovnost do vztahu (5.3), z´ısk´ame tak |M S| · |P S| = |XS|2 + |AS|2 = |XS|2 + |P S|2 .

(5.5)

Druh´ ym v´ ychoz´ım krokem je rovnost (5.4), tak´e tu budeme d´ale upravovat. Zlomek na lev´e stranˇe rozˇs´ıˇr´ıme ˇc´ıslem |M S| a vyuˇzijeme rovnosti |AG| = |AH|. Dostaneme tak |AH| |M S|2 = . |AS| |M S| · |P S|

(5.6)

|AH| |M S|2 = . |AS| |XS|2 + |P S|2

(5.7)

S vyuˇzit´ım (5.5) obdrˇz´ıme

Rozˇs´ıˇren´ım zlomku na prav´e stranˇe ˇc´ıslem π z´ısk´ame |M S|2 · π |XS|2 · π + |P S|2 · π a odtud (viz Obr´azek 5.5)2 obsah kruhu ve v´alci |M S|2 · π = , |XS|2 · π + |P S|2 · π obsah kruhu v kouli + obsah kruhu v kuˇzeli coˇz dosad´ıme do rovnosti (5.7) a obdrˇz´ıme obsah kruhu ve v´alci |AH| = . |AS| obsah kruhu v kouli + obsah kruhu v kuˇzeli Z tohoto vztahu a ze z´akona rovnov´ahy na p´ace (podepˇrena v bodˇe A) lze usoudit, ˇze kruh ve v´alci, kdyˇz z˚ ustane na m´ıstˇe, vyv´aˇz´ı oba zbyl´e kruhy (v kouli a kuˇzeli) pˇrenesen´e do bodu H tak, ˇze jejich tˇeˇziˇstˇe je pr´avˇe v bodˇe H. Z tˇechto ˇrez˚ u sloˇz´ıme dohromady tˇelesa, stejnˇe jako v odvozen´ı pro objem paraboloidu. V´alec z˚ ust´avaj´ıc´ı na p˚ uvodn´ım m´ıstˇe na p´ace bude v rovnov´aze s koul´ı a kuˇzelem um´ıstˇen´ ymi sv´ ymi tˇeˇziˇsti v bodˇe H. V´alec m´a tˇeˇziˇstˇe v polovinˇe sv´e osy, tj. v bodˇe K. Budeme jej tedy br´at tak, jako by byl na p´ace um´ıstˇen v bodˇe K. Potom podle vztahu m1 r1 = m2 r2 m´ame |AK| · objem v´alce = |AH| · (objem koule + objem kuˇzele). Jelikoˇz |AH| = 2|AK|, dost´av´ame, ˇze v´alec je oproti kouli s kuˇzelem dvojn´asobn´ y: objem v´alce = 2 · (objem koule + objem kuˇzele). 2

Kuˇzelem po celou dobu budeme rozumˇet kuˇzel AEZ.

34

D´ale v´ıme, ˇze v´alec m´a oproti vepsan´emu kuˇzelu trojn´asobn´ y objem. Tedy 3 · objem kuˇzele = 2 · objem kuˇzele + 2 · objem koule, objem kuˇzele = 2 · objem koule.

(5.8)

Vrat’me se nyn´ı zpˇet k Obr´azku 5.5. Oznaˇcme % polomˇer koule, tj. % = |BK|. Vid´ıme, ˇze kuˇzel AEZ m´a v´ yˇsku v = 2% a polomˇer r = 2%. V´ıme, ˇze objem kuˇzele je V = 31 πr2 v. Jeho objem je tedy 8 1 V = π · 4%2 · 2% = π%3 . 3 3 Kuˇzel ABD, tedy kuˇzel, jehoˇz polomˇer z´akladny i v´yˇska jsou rovny polomˇeru koule (v = %, r = %), m´a objem 1 1 V = π · %2 · % = π%3 . 3 3 Je zˇrejm´e, ˇze objem kuˇzele AEZ je roven objemu osmi kuˇzel˚ u ABD. Dosad´ıme-li tento poznatek do rovnosti (5.8), dostaneme 8 kuˇzel˚ u = 2 koule, neboli Koule m´ a oproti kuˇ zelu, jehoˇ z polomˇ er i v´ yˇ ska jsou rovny polomˇ eru koule, ˇ ctyˇ rn´ asobn´ y objem. coˇz pˇresnˇe odpov´ıd´a zn´amemu vzorci V (koule) = 43 πr 3 .

35

5.2

Jin´ e postupy

Na z´avˇer se zamˇeˇr´ıme na takov´e postupy, kter´e sice nejsou matematicky zcela pˇresn´e, jsou vˇsak didakticky zaj´ımav´e. Mohou pˇribl´ıˇzit nˇekter´e vzorce pro objemy i mladˇs´ım ˇz´ak˚ um, jelikoˇz jsou zaloˇzeny zejm´ena na n´azorn´ ych pˇredstav´ach a obr´azc´ıch.

5.2.1

Objem jehlanu

Objem jehlanu je roven jedn´e tˇretinˇe objemu hranolu se stejnou podstavou a v´yˇskou. Objem jehlanu je tedy roven jedn´e tˇretinˇe souˇcinu obsahu podstavy a v´yˇsky. My se omez´ıme na pravo´ uhl´e jehlany, na kter´ ych je vztah pˇeknˇe demonstrovateln´ y. Lze si snadno pˇredstavit, ˇze krychli lze rozdˇelit na tˇri shodn´e jehlany:

Obr´azek 5.7 Takov´ yto model lze ˇz´ak˚ um vymodelovat z pap´ıru, aby si mohli sami zkusit, ˇze jsou jehlany skuteˇcnˇe stejn´e a ˇze jejich sloˇzen´ım vznikne krychle. O nˇeco sloˇzitˇejˇs´ı situace je v pˇr´ıpadˇe kv´adru. Ten nelze rozloˇzit na tˇri shodn´e jehlany, ale lze jej rozdˇelit na tˇri pravo´ uhl´e jehlany se stejn´ ym objemem. A to tak, ˇze d´elkami stran podstavy a v´ yˇsky jsou vˇzdy hodnoty a, b, c.

Obr´azek 5.8 Objem jehlanu se pomoc´ı krychle d´a uk´azat jeˇstˇe dalˇs´ım zp˚ usobem. Krychle je totiˇz sloˇzen´a pr´avˇe ze ˇsesti jehlan˚ u; podstavou kaˇzd´eho jehlanu je jedna stˇena krychle, vˇsechny jehlany se pak sb´ıhaj´ı v jednom bodˇe, a to v tˇeˇziˇsti krychle (viz Obr´azek 5.9).

36

Obr´azek 5.9 V´ıme, ˇze objem Vk krychle o stranˇe a je Vk = a3 . Krychle je vyplnˇena ˇsesti shodn´ ymi jehlany, objem Vj kaˇzd´eho je tak a3 Vk = , Vj = 6 6 coˇz pˇresnˇe odpov´ıd´a objemu jehlanu se ˇctvercovou podstavou (strana a, obsah S = a2 ) a v´ yˇskou v = a2 : a3 1 1 a Vj = = · a2 · = Sp · v. 6 3 2 3 Opˇet tedy dost´av´ame, ˇze objem jehlanu je roven jedn´e tˇretinˇe souˇcinu obsahu jeho podstavy a v´ yˇsky. Ze vztahu po objem kuˇzele nyn´ı odvod´ıme vztah pro objem v´alce.

5.2.2

Vzorce odvozen´ e na z´ akladˇ e Cavalieriova principu

Pˇri odvozen´ı lze tak´e s u ´spˇechem vyuˇz´ıvat Cavalieri˚ uv princip pro objemy tˇeles. Ten ˇr´ık´a, ˇze tˇelesa se stejnˇe velk´ymi podstavami3 a v´yˇskami maj´ı stejn´y objem, pokud ˇrezy rovnobˇeˇzn´e s podstavami veden´e ve stejn´e vzd´alenosti od podstav maj´ı stejn´e obsahy. Objem kuˇ zele Objem kuˇzele je roven jedn´e tˇretinˇe souˇcinu obsahu podstavy a v´yˇsky. Abychom mohli pouˇz´ıt Cavalieri˚ uv princip, budeme uvaˇzovat kuˇzel s polomˇerem √ podstavy R a v´ yˇskou h a jehlan se stejnou v´ yˇskou a ˇctvercovou podstavou o stranˇe a = π · R.

3

tj. podstavami, kter´e maj´ı stejn´ y obsah

37

Obr´azek 5.10 Obˇe tˇelesa maj´ı zˇrejmˇe stejn´ y obsah podstavy4 , tj. S = πR2 . Nyn´ı obˇema tˇelesy vedeme ve stejn´e v´ yˇsce v rovinu rovnobˇeˇznou s rovinami podstavy. Tato rovina protne kuˇzel v kruhu a jehlan ve ˇctverci. Jelikoˇz jsou troj´ uheln´ıky V Z1 S1 a V Z2 S2 shodn´e, jsou tak´e shodn´e u ´seˇcky Z1 S1 a Z2 S2 , a tak jsou si rovny i obsahy ˇrez˚ u v libovoln´e v´ yˇsce v, ˇc´ımˇz je splnˇena podm´ınka Cavalieriova principu. Z´ısk´av´ame tedy vztah pro objem kuˇzele analogick´ y jako vztah pro objem jehlanu: Vk = 13 π R2 h = 21 Sp · h. Objem koule Objem koule o polomˇeru R je roven objemu v´alce o pr˚ umˇeru podstavy R, v´yˇsce 2R, od nˇehoˇz odeˇcteme objem dvou kuˇzel˚ u o v´yˇsce R a polomˇeru podstavy R. Pˇri odvozen´ı vyuˇzijeme opˇet Cavalieri˚ uv princip pro objemy tˇeles. Na Obr´azku 5.11 vid´ıme tˇri tˇelesa o stejn´e v´ yˇsce 2R – v´alec, kouli a jak´ ysi dvojkuˇzel“. V obr´azku m´ame ” d´ale naznaˇcenu rovnost v´alec je roven souˇctu koule a dvou kuˇzel˚ u“, pˇriˇcemˇz pro struˇcnost ” hovoˇr´ıme o rovnosti a souˇctu tˇeles, m´ame vˇsak na mysli jejich objemy.

Obr´azek 5.11: Objem koule pomoc´ı Cavalieriova principu Pod´ıvejme se, jak vypad´a ˇrez tˇemito tˇelesy ve stejn´e v´ yˇsce v (mˇeˇreno od stˇredu tˇeles). Pokud budou m´ıt ˇrezy na obou stran´ach rovnosti stejn´ y obsah, pak budou m´ıt tˇelesa na obou stran´ach rovnosti stejn´ y objem. 4

S(ˇctverec) = a2 , S(kruh) = πr2

38

ˇ v´alcem je zˇrejmˇe v kaˇzd´e v´ Rez yˇsce ˇrezu kruh o polomˇeru R, tedy S (ˇrez v´alce) = πR2 . ˇ Rezem koule bude zˇrejmˇe tak´e kruh, ovˇsem s jeho polomˇerem je to obt´ıˇznˇejˇs´ı. Na Obr´azku 5.12 vid´ıme, ˇze hledan´ yˇsce v od stˇredu koule lze snadno dopoˇc´ıtat √y polomˇer ve v´ 2 2 podle P´ ythagorovy vˇety: rv = R − v a obsah ˇrezu je tedy

S (ˇrez koule) = π(R2 − v 2 ). Obr´azek 5.12 D´ale potˇrebujeme zjistit, jak vypad´a ˇrez kuˇzelem. T´ım bude opˇet kruh, tentokr´at s polomˇerem v (strana kuˇzele sv´ır´a s jeho podstavou u ´hel velikosti 45◦ , polomˇer je tedy vˇzdy roven v´ yˇsce od stˇredu) S (ˇrez kuˇzele) = πv 2 . Vzhledem k tomu, ˇze πR2 = π(R2 − v 2 ) + πv 2 , dost´av´ame S (ˇrez v´alce) = S (koule) + S (kuˇzel). M˚ uˇzeme tedy podle Cavalierova principu na z´akladˇe znalosti vzorc˚ u pro objem v´alce a dvou kuˇzel˚ u snadno dopoˇc´ıtat objem koule. Uvˇedomme si, ˇze n´ami zadan´ y v´alec m´a polomˇer R a v´ yˇsku 2R, kaˇzd´ y z kuˇzel˚ u pak m´a v´ yˇsku i polomˇer podstavy roven R. Dost´av´ame tak rovnost: 1 πR2 · 2R = V (koule) + 2 · πR2 · R, 3 neboli 2 2πR3 = V (koule) + πR3 , 3 odkud uˇz bezprostˇrednˇe plyne V (koule) =

39

4 πR3 . 3

Z´ avˇ er V t´eto pr´aci byl ˇcten´aˇri pˇredstaven v´ ypoˇcet objem˚ u vybran´ ych tˇeles, jak byly prov´adˇeny ve starovˇek´em Egyptˇe a Mezopot´amii. Byl uk´az´an jejich postup a vyuˇzit´ı a tak zd˚ uraznˇena potˇreba objemy poˇc´ıtat. D´ale byl ˇcten´aˇr sezn´amen s matematicky pˇresnou definic´ı objemu tˇeles pomoc´ı Jordanovy m´ıry. Zaveden´ım dˇelen´ı D se podaˇrilo dok´azat vˇety o mˇeˇritelnosti tˇeles a aditivitˇe jejich objem˚ u. D˚ ukazy pˇrinesly ˇcten´aˇri obohacen´ı pro pr´aci s mnoˇzinov´ ymi pojmy. Na z´akladˇe vystavˇen´e teorie m´ıry byla vybudov´ana teorie Riemannova integr´alu, coˇz bylo d˚ uleˇzit´e pˇri odvozen´ı vztah˚ u pomoc´ı integr´aln´ıho poˇctu. Vztahy pro objemy tˇeles, jeˇz jsou uv´adˇeny ve stˇredoˇskolsk´ ych pˇrehledech vzorc˚ u, byly n´azornˇe vypoˇc´ıt´any pomoc´ı jednoduch´eho integr´alu, ˇc´ımˇz bylo uk´az´ano, ˇze v pˇr´ıpadˇe rotaˇcn´ıch tˇeles je zbyteˇcn´e uˇzit´ı komplikovanˇejˇs´ıho n´asobn´eho integr´alu. Pro pˇr´ıpadn´e dalˇs´ı v´ ypoˇcty byla nˇekter´a odvozen´ı provedena podruh´e i pomoc´ı trojn´eho integr´alu, jehoˇz vyuˇzit´ı je obecnˇejˇs´ı. Na z´avˇer byly odvozeny vztahy pro objemy nˇekter´ ych tˇeles bez integr´aln´ıho poˇctu, a to pomoc´ı Archim´edovy metody, Cavalieriova principu a n´azorn´ ych pˇredstav. Nˇekter´e z tˇechto postup˚ u mohou b´ yt uˇziteˇcn´e pro pˇribl´ıˇzen´ı p˚ uvodu vztah˚ u i ˇza´k˚ um mladˇs´ıho vˇeku, pro kter´e je integr´aln´ı poˇcet zat´ım pˇr´ıliˇs komplikovan´ y.

40

Seznam pouˇ zit´ e literatury [1] Beˇcv´aˇr, J., Beˇcv´aˇrov´a, M., Vymazalov´a, H. Matematika ve starovˇeku, Egypt a Mezopot´amie. Prometheus, Praha, 2003. [2] Vymazalov´a, H. Staroegyptsk´a matematika, Hieratick´e matematick´e texty. Edice Dˇejiny matematiky, svazek 31, Praha, 2006. ˇ Sarmanov´ ˇ [3] Schwabik, S., a, P. Mal´y pr˚ uvodce histori´ı integr´alu. Prometheus, Praha, 1996. [4] Kop´aˇcek, J. Integr´aly. Matfyzpress, Praha, 2004. ˇ [5] Beˇcv´aˇr, J., Stoll, I. Archimedes, Nejvˇetˇs´ı vˇedec starovˇeku. Prometheus, Praha, 2005. [6] Jordan, C. Remarques sur les integrales d´efinies. Journ. de Math., 1892. [7] Peano, G. Applicationi geometriche del calcolo infinitesimale. 1887. [8] Lebesgue, H. L. Int´egrale, Longuer, Aire. Ann. di Matem., 1902. [9] Lebesgue, H. L. Lecons sur l’integration et la recherche des fonctions primitives profess´ees au College de France. Gauthier-Villars, Paris, 1904. [10] Heath, T. L. The Works of Archimedes. CUP, Cambridge, 1897.

41