Budapesti M˝ uszaki ´ es Gazdas´ agtudom´ anyi Egyetem Villamosm´ern¨oki ´es Informatikai Kar Ir´ any´ıt´ astechnika ´es Informatika Tansz´ek
Szenzorf´ uzi´ o alkalmaz´ asa bakdaru ´ allapotbecsl´ enek megval´ os´ıt´ as´ ara s´ url´ od´ asos k¨ ornyezetben
´ nyos Dia ´ kko ¨ ri Konferencia dolgozat Tudoma
Szerz˝o: T´emavezet˝o:
Patartics B´alint Kiss B´alint
2014. okt´ober 22.
Kivonat Napjaink ipari gyakorlat´ aban sz´eles k¨orben alkalmaznak darukat nagy t¨omeg˝ u terhek ´ ıtkez´eseken, kik¨ mozgat´as´ ara. Ep´ ot˝ okben ´es rakt´arakban egyar´ant el˝ofordulnak bakdaruk, amelyek a munkat´er felett fel´ep´ıtett s´ıneken mozognak, ´es dr´otk¨ot´el sodronyok seg´ıts´eg´evel emelik fel rakom´ anyukat. Daruk haszn´alata sor´an ´altal´aban c´el a teher leng´es´enek minimaliz´al´asa. Jelenleg ezt leggyakrabban tapasztalt kezel˝oszem´elyzet biztos´ıtja k´ezi beavatkoz´assal. Sz´amos, a k´ezi ir´ any´ıt´ asn´ al nagyobb pontoss´agot ´es kisebb ciklusid˝ot eredm´enyez˝o ir´any´ıt´asi algoritmus l´etezik a leng´escs¨okkent˝o szab´alyoz´as megval´os´ıt´as´ara. Ezek az algoritmusok azonban rendszerint ´ allapot-visszacsatol´ason alapulnak, teh´at ig´enylik a teher poz´ıci´oj´anak ismeret´et, vagy ezzel ekvivalensen a leng´es sz¨og´enek ´ert´ek´et. Ennek gyakorlati m´er´esi lehet˝ os´egei korl´ atozottak, a sz¨oget k¨ozvetlen¨ ul m´er˝o szenzor ´altal´aban nem ´all rendelkez´esre. ´ A m´er´es egy lehets´eges alternat´ıv´aja az ´allapotbecsl´es. Allapotbecsl´ esen azt az elj´ar´ast ´ertj¨ uk amely sor´ an egy dinamikus rendszer bels˝o ´allapotait hat´arozzuk meg a rendszer m´ert kimenetei ´es a beavatkoz´ o jelek alapj´an. Bizonyos zavar´asok azonban sz¨ uks´egess´e tehetik, hogy a bemeneteket ismeretlennek t´etelezz¨ uk fel. Ilyen zavar´as lehet a beavatkoz´o szerv meghib´ asod´ asa, vagy a s´ url´ od´ as. Ut´obbi mechanikai rendszerek eset´en igen gyakori, a bakdaru ´ allapotbecsl´es´et is neh´ezz´e teszi. A daru elmozdul´ asa ´es k¨ otel´enek hossza inkrement´alis ad´okkal m´erhet˝o. A k´ıs´erleti tapasztalatok alapj´ an a s´ url´ od´ as zavar´o hat´asa mellett ezek ismerete nem elegend˝o a leng´es sz¨og´enek konvergens becsl´es´ehez. Ez´ert alkalmazunk k´et l´ezeres h´ezag szenzort is, melyek jelzik, ha a terhet tart´ o k¨ ot´el ´ athalad el˝ott¨ uk. Ezek a szenzorok teh´at nem ´alland´o mintav´eteli id˝ ovel szolg´ altatnak m´er´esi adatokat, hanem aszinkron esem´enyek hat´as´ara. E dolgozatban m´ odszert adunk ilyen aszinkron szenzorok f´ uzi´oj´ara ´es egyben a s´ url´od´as zavar´o hat´ as´ anak cs¨ okkent´es´ere az ´ allapotbecsl´es sor´an. K´et elt´er˝o megval´os´ıt´ast is bemutatunk, az egyik egy ismeretlen bemenet˝ u rendszerekhez tervezett K´alm´an-sz˝ ur˝on, a m´asik pedig egy unscented K´ alm´ an-sz˝ ur˝ on alapul. Az algoritmusok alkalmazhat´os´ag´at k´ıs´erleti eredm´enyekkel t´ amasztjuk al´ a, darumodellen v´egzett m´er´esek seg´ıts´eg´evel.
Abstract Cranes are widely applied for shot-distance handling of heavy loads in the industry. Overhead cranes often appear on construction sites and in harbors and in other storage facilities. They move on rails built above the workspace and use cable wires to lift the cargo. For safety and economic reasons crane based weight handling usually requires minimize the sway of the load which is usually done by experienced operators and manual control. Numerous sway-reducing control algorithms can be found in the literature providing increased accuracy over a shorter period of time, compared to manual control. The computations of these algorithms are mostly based on full state feedback, therefore they require the knowledge of the load position or the swinging angle equivalently. The measurement options for these quantities are limited, there are generally no sensors available for the direct measurement of the angle. State estimation provides a possible alternative. These estimation techniques determine the states of a dynamical system based on the measured output and on the knowledge of the actuating signals. In some cases certain disturbances make it necessary to consider the inputs as unknown. The cause can be the fault of the actuators or friction. The latter often appears in case of mechanical systems, it makes the state estimation of the overhead crane difficult as well. In our setup, the horizontal displacement of the crane and the length of its rope can be measured using incremental encoders. Based on experimental results, due to the disturbing effect of the friction, these measurements are not sufficient for the convergent estimation of the swinging angle. For this reason two additional laser slot sensors are applied which are capable of pinpointing two specific angle values in time. These sensors do not provide measurements in every sampling period but only when asynchronous events occur. This study introduces a method for both the fusion of asynchronous sensors and the reduction of the disturbing effect of the friction in the state estimation. Two different implementations are presented, one is based on an unknown input Kalman filter and the other on the unscented Kalman filter. Experimental results are provided to prove the applicability of the concepts.
Tartalomjegyz´ ek Jel¨ ol´ esek ´ es r¨ ovid´ıt´ esek
1
1. Bevezet´ es
5
2. A bakdaru dinamikus modellje ´ es anal´ızise
7
2.1. A fizikai modell levezet´ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Folytonos idej˝ u´ allapotteres modellek ´es tulajdons´agaik
7
. . . . . . . . . . . . 10
2.3. Diszkr´et idej˝ u´ allapoteres modellek ´es tulajdons´agaik . . . . . . . . . . . . . . 13 3. Szenzorf´ uzi´ o´ es ´ allapotbecsl´ es
17
3.1. K´alm´ an-sz˝ ur˝ ok a s´ url´ od´ as zavar´o hat´as´anak elimin´al´as´ara . . . . . . . . . . . 17 3.1.1. Ismeretlen bemenet˝ u K´ alm´an-sz˝ ur˝o (UIKF)
. . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.2. Unscented K´ alm´ an-sz˝ ur˝ o (UKF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2. Szenzorf´ uzi´ o K´ alm´ an-sz˝ ur´essel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3. A bakdarun alkalmazott szenzorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4. K´ıs´ erleti eredm´ enyek
33
¨ 5. Osszefoglal´ as
43
K¨ osz¨ onetnyilv´ an´ıt´ as
44
Irodalomjegyz´ ek
45
Jel¨ ol´ esek ´ es r¨ ovid´ıt´ esek A
Folytonos idej˝ u line´ aris rendszer ´allapotm´atrixa
B
Folytonos idej˝ u line´ aris rendszer bemeneti m´atrixa
C
Line´ aris rendszer kimeneti m´atrixa
F , uF A daru kocsij´ at mozgat´ o er˝ o H(.)
Inerciam´ atrix
J
A daru cs¨ orl˝ oj´enek tehetetlens´egi nyomat´eka
K
Az UKF K´ alm´ an-er˝ os´ıt´ese
Kd
Az ismeretlen bemenetekre vonatkoz´o K´alm´an-er˝os´ıt´es UIKF eset´en
Kx
Az ´ allapotv´ altoz´ okra vonatkoz´o K´alm´an-er˝os´ıt´es UIKF eset´en
L
Lagrange-f¨ uggv´eny
M
A daru kocsij´ anak t¨ omege
Pd
Az ismeretlen bemenetek becsl´esi bizonytalans´ag´anak kovarianciam´atrixa
Pv
Sztochasztikus ´ allapotteres modell m´er´esi zaj´anak kovarianciam´atrixa
Pw
Sztochasztikus ´ allapotteres modell modellzaj´anak kovarianciam´atrixa
Px
Az ´ allapotbecsl´es bizonytalans´ag´anak kovarianciam´atrixa
T , uT A daru cs¨ orl˝ oj´et mozgat´ o forgat´onyomat´ek Ts
Mintav´eteli id˝ o
Wm , Wc Az UKF s´ ulyoz´ o param´eterei Γ
Diszkr´et idej˝ u line´ aris rendszer kimeneti m´atrixa
Γd
Diszkr´et idej˝ u line´ aris rendszer ismeretlen bemenetekre vonatkoz´o bemeneti m´atrixa
Γu
Diszkr´et idej˝ u line´ aris rendszer ismert bemenetekre vonatkoz´o bemeneti m´atrixa
Λ
Egy¨ utthat´ om´ atrix, amelyen kereszt¨ ul a s´ url´od´as a bemenetre hat
Φ
Diszkr´et idej˝ u line´ aris rendszer ´allapot´atmeneti m´atrixa
Ψ
Az ´ allapotbecsl´eshez rendelkez´esre ´all´o szenzorok halmaza
Ξ
A megval´ osul´ o´ allapotjel konfigur´aci´ok halmaza
2
Jel¨ol´esek ´es r¨ovid´ıt´esek
α
Az UKF szigma pontjainak kiterjed´es´et meghat´aroz´o ´alland´o
β
Az UKF eloszl´ asi ´ alland´ oja
cov{.} A kovariancia m´ atrix k´epz´es oper´atora δu
A bemenet elt´er´ese a munkaponti ´ert´ekt˝ol
δx
Az ´ allapotvektor elt´er´ese a munkaponti ´ert´ekt˝ol
˙ x˙ `, `
A daru kocsij´ anak sebess´ege
˙ x˙ θ, θ
A daru k¨ ot´el leng´es´enek sz¨ ogsebess´ege
q, ˙ xq˙
´ Altal´ anos´ıtott sebess´egek vektora
r, ˙ xr˙
A daru k¨ ot´elhossz´ anak v´ altoz´asi sebess´ege
`, x`
A daru kocsij´ anak v´ızszintes elmozdul´asa
η
A s´ url´ od´ asi er˝ ok karakterisztik´aja
E{.}
A v´ arhat´ o ´ert´ek k´epz´es oper´ atora
γ
Az UKF sk´ al´ az´ o v´ altoz´ oja
ˆ | i] Az ismeretlen bemenetek becs¨ d[k ult ´ert´eke a k. mintav´etelkor, az i. mintav´etelig rendelkez´esre ´ all´ o adatok alapj´ an x ˆ[k | i] Az ´ allapotvektor becs¨ ult ´ert´eke a k. mintav´etelkor, az i. mintav´etelig rendelkez´esre ´all´ o adatok alapj´ an yˆ
A kimenet becs¨ ult ´ert´eke az UKF sz´am´ıt´asaiban
λ
Az UKF kompozit sk´ ala t´enyez˝oje
O
Diszkr´et idej˝ u line´ aris id˝ oinvari´ans rendszer megfigyelhet˝os´egi m´atrixa
T
´ Altal´ anos´ıtott koordin´ ata transzform´aci´o
U(.)
Az ´ altal´ anos´ıtott nyomat´ekok kifejez´ese, amely az ´allapotv´altoz´okt´ol ´es a bemenetekt˝ ol f¨ ugg
Ux (.) Lek´epez´es az ´ allapot ´es az ´ altal´anos´ıtott nyomat´ek k¨oz¨ott, amely a bemenetet szorozza, a bemenetben line´ aris nyomat´ek eset´en X
Az UKF ´ allapotv´ altoz´ okra vonatkoz´o szigma pontjait tartalmaz´o m´atrix
Y
Az UKF kimenetekre vonatkoz´o szigma pontjait tartalmaz´o m´atrix
dim
Vektor dimenzi´ oja
µ
A szenzorok ´ allapotjele, amely megmutatja hogy adott mintav´etelig mely szenzoroknak van m´er´esi eredm´enye
ν
M´er´esi rezidu´ al
ω0
A daru line´ aris modellj´eben a k¨ot´el leng´es´enek k¨orfrekvenci´aja
Jel¨ol´esek ´es r¨ ovid´ıt´esek
φ(.)
3
Diszkr´et idej˝ u´ allapotteres modell ´allapot´atmeneti f¨ uggv´enye
φu (.) Diszkr´et idej˝ u input affin rendszer eset´en az az ´allapott´ol f¨ ugg˝o vektormez˝o, amely a bemenetet szorozza. φx (.) Diszkr´et idej˝ u input affin rendszer eset´en csak az ´allapott´ol f¨ ugg˝o vektormez˝o ψj
A j sorsz´ am´ u szenzor
ρ
A daru cs¨ orl˝ oj´enek sugara
σα
Az xα ´ allapotv´ altoz´ o m´er´esi bizonytalans´aga
τ
´ Altal´ anos´ıtott nyomat´ekok vektora
θ, xθ
A daru k¨ otel´enek leng´esi sz¨ oge
τ˜
S´ url´ od´ assal terhelt nyomat´ekok vektora
u ˜
´ Allapotteres modell zavart bemenete
ζ
A szenzorok ´ allapotjel-kombin´aci´oihoz sorsz´amot rendel˝o lek´epez´es
d
´ Allapotteres modell ismeretlen bemenete
f (.)
Az ´ allapotvektor deriv´ altj´ at kifejez˝o vektormez˝o folytonos idej˝ u ´allapotteres modellben
fu (.)
Input affin rendszer eset´en az az ´allapotv´altoz´okt´ol f¨ ugg˝o vektormez˝o, amely a bemenetet szorozza
fx (.)
Input affin rendszer eset´en csak az ´allapotv´altoz´okt´ol f¨ ugg˝o vektormez˝o
g
Gravit´ aci´ os gyorsul´ as
g(.)
A kimenetet kifejez˝ o vektormez˝o folytonos ´allapotteres modellben
h(.)
Gravit´ aci´ os, centripet´ alis, Coriolis hat´ast le´ır´o vektormez˝o
hs (.)
S´ url´ od´ asi hat´ ast le´ır´ o vektormez˝o
m
A daru ´ altal sz´ all´ıtott teher t¨omege
nq
Az ´ altal´ anos´ıtott koordin´ at´ ak sz´ama, a mechanikai rendszer szabads´agi foksz´ama
nx
´ Allapotv´ altoz´ ok sz´ ama
nΨ
Az ´ allapotbecsl´eshez rendelkez´esre ´all´o szenzorok sz´ama
nΞ
A megval´ osul´ o´ allapotjel konfigur´aci´ok sz´ama
q, xq
´ Altal´ anos´ıtott koordin´ at´ ak vektora
r, xr
A daru k¨ otel´enek hossza
s
S´ url´ od´ asi er˝ ok vektora
sF
A daru kocsija ´es a s´ın k¨ oz¨ ott fell´ep˝o s´ url´od´asi er˝o nagys´aga
4
Jel¨ol´esek ´es r¨ovid´ıt´esek
sT
A daru cs¨ orl˝ oj´en fell´ep˝ o s´ url´ od´asi er˝o nagys´aga
u
´ Allapotteres modell bemenete
u0
A bemenet ´ert´eke a munkapontban
v
Sztochasztikus ´ allapotteres modell m´er´esi zaja
w
Sztochasztikus ´ allapotteres modell modellzaja
x
´ Allapotteres modell ´ allapotvektora
x0
Az ´ allapotvektor ´ert´eke a munkapontban
y
´ Allapotteres modell kimenete
z
´ Allapotteres modell m´ert kimenete
CKF Klasszikus K´ alm´ an-sz˝ ur˝ o (classical Kalman filter ) UIKF ismeretlen bemenet˝ u K´ alm´ an-sz˝ ur˝o (unknown input Kalman filter ) UKF unscented K´ alm´ an-sz˝ ur˝ o (unscented Kalman filter )
1 Bevezet´ es Nagy t¨ omeg˝ u terhek r¨ ovid t´ av´ u mozgat´as´ara jelenleg t¨obb t´ıpus´ u darut is haszn´alnak az iparban. Kik¨ ot˝ okben ´es tengeri ´ep´ıtkez´eseken gyakran l´athat´ok u ´gynevezett u ´sz´odaruk, melyeket v´ızen k¨ ozleked˝ o haj´ otesten alak´ıtanak ki. A bakdaruk a munkat´er felett fel´ep´ıtett ´ odaru ´es s´ıneken mozognak, els˝ osorban rakt´ arakban ´ep´ıtkez´eseken alkalmazz´ak ˝oket. Usz´ bakdaru l´ athat´ o az 1. ´ abr´ an.
´ amr´ol elnevezett u 1. ´abra. A Margith´ıd fel´ uj´ıt´ as´ an dolgoz´o Clark Ad´ ´sz´odaru, ´es egy bakdaru. Daruk alkalmaz´ asa sor´ an felmer¨ ul˝o egyik probl´ema a teher leng´ese, melynek sor´an a rakom´any a daru t¨ obbi r´esz´et˝ ol f¨ uggetlen¨ ul mozog. A leng˝o terhet neh´ez a k´ıv´ant poz´ıci´oba elhelyezni, ez´ert a mozgat´ ashoz sz¨ uks´eges id˝o jelent˝osen megn˝ohet. E leng´es k¨ozvetlen elimin´aci´oj´ ara nem ´ all rendelkez´esre beavatkoz´o szerv, ´ıgy annak cs¨okkent´es´ere tapasztalt kezel˝oszem´elyzetet alkalmaznak. A darukezel˝ok a teher mozg´as´at figyelve k´ezi beavatkoz´o szerveken kereszt¨ ul k´epesek a rakom´any pozicion´al´as´ara. Kim ´es Singhose (2010) azonban k´ıs´erletileg igazolja, hogy valamilyen ir´any´ıt´o rendszer alkalmaz´asa az emberi beavatkoz´as kiseg´ıt´es´ere nagyobb pontoss´ agot eredm´enyez. Az irodalomban sz´ amos leng´esminimaliz´al´o ir´any´ıt´asi algoritmus lelhet˝o fel. Hyla (2012) bemutat l´ agy sz´ am´ıt´ asi m´ odszereket, amelyek fuzzy technik´aval, neur´alis h´al´oval, genetikus algoritmussal valamint ezek hibridjeivel k¨ozel´ıtik meg a probl´ema megold´as´at. Tal´alhatunk tov´ abb´ a p´eld´ at ezek kombin´aci´oj´ara hagyom´anyos m´odszerekkel is. Ezek az ir´any´ıt´o rendszerek ´ allapot-visszacsatol´ason alapulnak, teh´at sz¨ uks´eg¨ uk van a teher poz´ıci´oj´anak vagy a leng´es sz¨ og´enek ´ert´ekere. Ezek m´er´es´ere gyakran g´epi l´at´asra ´ep¨ ul˝o munkat´er-vizualiz´ aci´ ot haszn´ alnak. Kem´eny sz´am´ıt´asi m´odszerek k¨oz¨ ul Schindele, Menn ´es Aschemann (2009) szint´en g´epi l´ at´ason alapul´o sz¨ogm´er´est javasol H2 optim´alis ir´any´ıt´o rendszer´ehez, Kim, Hong ´es Sul (2004) d˝ol´esmutat´o ´erz´ekel˝ot haszn´al e c´elra. Kiss, L´eine ´es M¨ ullhaupt (1999) bebizony´ıtja hogy a bakdaru rendelkezik az u ´gynevezett differenci´ alis simas´ ag tulajdons´aggal, ami azt jelenti, hogy megfelel˝o visszacsatol´assal egzaktul lineariz´ alhat´ o. Ezt haszn´alja ki p´alyatervez˝o ir´any´ıt´as konstru´al´as´ara Neupert, Hildebrandt, Sawodny ´es Schneider (2006). Szint´en differenci´alis simas´agon alapul´o szab´alyoz´ ot mutat be Boustany ´es Novel (1992), amely a daru ismeretlen param´etereinek
6
1. Bevezet´es
meghat´aroz´ as´ ara becsl˝ ot alkalmaz. E m´odszerek is ig´enylik az ´allapotv´altoz´ok ´ert´ek´enek ismeret´et, mivel az sz¨ uks´eges a lineariz´al´o visszacsatol´as el˝o´all´ıt´as´ahoz. Smoczek (2014) leg´ ujabb eredm´enye alapj´an el˝o´all´ıthat´o olyan fuzzy szab´alyoz´o is, amely sz¨ ogm´er´es n´elk¨ ul k´epes leng´esminimaliz´al´o szab´alyoz´as megval´os´ıt´as´ara. R´ozsa ´es Kiss (2011) ir´ any´ıt´ orendszere szint´en nem ig´enyli a sz¨og m´er´es´et, egyszer˝ u line´aris ´allapotmegfigyel˝ ot haszn´ al a nem m´ert ´allapotok kisz´am´ıt´as´ara. Ez a t¨orekv´es azzal magyar´azhat´ o hogy ipari k¨ or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott a sz¨og m´er´ese egy´altal´an nem, vagy csak k¨or¨ ulm´enyesen megoldhat´ o, ´ıgy a teljes ´allapot-visszacsatol´as-alap´ u megold´asok nehezen alkalmazhat´ ok. A teher poz´ıci´ oj´ anak vagy a leng´es sz¨og´enek m´er´es´ere helyett alternat´ıv megold´as az a´llapotbecsl´es. E dolgozat c´elja k´et olyan ´allapotbecsl´esi elj´ar´as bemutat´asa, amely k´epes az ´allapotv´ altoz´ ok ´ert´ek´enek hossz´ u t´avon is konvergens sz´am´ıt´as´ara. E m´odszerek teh´at alkalmazhat´ ok b´ armely ´ allapot-visszacsatol´ast ig´enyl˝o szab´alyoz´oban, illetve felv´althatj´ak R´ozsa ´es Kiss (2011) line´ aris megfigyel˝oj´et. Az ´allapotbecsl´es megval´ os´ıt´ as´ ahoz felhaszn´alunk k´et l´ezeres h´ezag szenzort, amelyek a sz¨og egy-egy r¨ ogz´ıtett ´ert´ek´et k´epesek jelezni. A szenzorok m˝ uk¨od´ese aszinkron, nem ´alland´ o mintav´eteli id˝ ok¨ oz¨ onk´ent szolg´altatnak m´er´esi adatot, hanem k¨ uls˝o esem´eny hat´as´ara. M´ odszert adunk ilyen aszinkron szenzorok f´ uzi´oj´ara szinkron szenzorokkal, valamint a s´ url´ od´ as zavar´ o hat´ as´ anak kik¨ usz¨ob¨ol´es´ere. A rendszerben jelen l´ev˝o s´ url´od´asok ugyanis megnehez´ıtik az ´ allapotbecsl´est, mivel jelent˝osen eltorz´ıtj´ak a rendszer viselked´es´et a rendszerr˝ ol alkotott modellhez k´epest. A becsl˝ok m˝ uk¨od´est m´ert adatok feldolgoz´as´an kereszt¨ ul demonstr´ aljuk. A dolgozat h´ atral´ev˝ o r´esze a k¨ ovetkez˝ok szerint ´ep¨ ul fel. A 2. fejezetben bemutatjuk a bakdaru modelljeit ´es megvizsg´ aljuk annak tulajdons´agait. A 3. fejezetben ismertetj¨ uk a szenzorf´ uzi´ o ´es ´ allapotbecsl´es k´et algoritmus´at valamint a bakdarun alkalmazott szenzorokat. A 4. fejezetben t´ argyaljuk a m´odszereink m´er´esi eredm´enyeken t¨ort´en˝o futtat´as´aval kapott eredm´eny´et. V´eg¨ ul az 5. fejezetben ¨osszefoglaljuk eredm´enyeinket ´es munk´ank folytat´asi lehet˝ os´egeivel is foglalkozunk.
2 A bakdaru dinamikus modellje ´ es anal´ızise Egy digit´ alis sz´ am´ıt´ og´epen futtathat´o ´allapotbecsl˝o tervez´es´ehez sz¨ uks´eg¨ unk van a rendszer modellj´ere differenciaegyenlet-rendszer form´aj´aban. Ennek el˝o´all´ıt´as´ahoz el˝osz¨or levezetj¨ uk a rendszer fizikai modellj´et, amelyet ´atalak´ıtva megkapjuk a folytonos idej˝ u ´allapotv´altoz´ os le´ır´ as´ at. Ek¨ ozben r´ amutatunk a rendszer n´eh´any, az ´allapotbecsl´es megval´os´ıt´asa szempontj´ ab´ ol fontos tulajdons´ag´ara, t¨obbek k¨oz¨ott arra, hogy a s´ url´od´as hat´asa bemeneti zavar´ asnak tekinthet˝ o. V´eg¨ ul megmutatjuk, hogy hogyan t´erhet¨ unk ´at a folytonos idej˝ u´ allapotteres modellekr˝ ol diszkr´et idej˝ ure.
2.1. A fizikai modell levezet´ ese A bakdaru dinamikai modellj´enek megalkot´as´ahoz Lagrange-formalizmust haszn´alunk. B´armely Lagrange-f´ele mechanikai rendszer eset´en ehhez meg kell v´alasztanunk a rendszer ´altal´anos´ıtott koordin´ at´ ait, ´es meg kell keresn¨ unk Lagrange-f¨ uggv´eny´et, amely a kinetikus ´es potenci´ alis energi´ aj´ anak k¨ ul¨ onbs´ege. Legyen az ´altal´anos´ıtott koordin´at´ak vektora q, a Lagrange-f¨ uggv´eny L. A mozg´ asegyenletek az Euler-Lagrange-egyenletek seg´ıts´eg´evel ad´odnak, amelyek d ∂L ∂L − = τi (2.1) dt ∂ q˙i ∂qi i alak´ uak, ahol τi az ´ altal´ anos´ıtott nyomat´ek, q˙i = dq altal´anos´ıtott sebess´eg, i = dt az ´ 1, . . . nq , nq = dim q az ´ altal´ anos´ıtott koordin´at´ak sz´ama, amelyet a rendszer szabads´agi foksz´am´anak is nevez¨ unk. Az ´ıgy fel´ırt modell ´at´ırhat´o
H(q)¨ q + h(q, q) ˙ =τ
(2.2)
alakba. Az egyenletben H(q) a rendszer inerciam´atrixa, h(q, q) ˙ a gravit´aci´os, centripet´alis ´es Coriolis hat´ ast mag´ aba foglal´ o tag, τ az ´altal´anos´ıtott nyomat´ekok vektora. A bakdaru mozg´ as´ at k´et dimenzi´oban vizsg´aljuk a 2. ´abra szerint. A terhet pontszer˝ unek tekintj¨ uk, a k¨ otelet pedig a mozg´as sor´an merevnek t´etelezz¨ uk fel, a k¨ozegellen´all´as hat´ as´ at elhanyagoljuk. A rendszerben fell´ep s´ url´od´as is, amelynek hat´asa nem hanyagolhat´ o el. A modellt el˝ osz¨ or a s´ url´od´as n´elk¨ ul ´ırjuk fel, csak ezut´an eg´esz´ıtj¨ uk ki azzal. ´ Altal´ anos´ıtott koordin´ at´ aknak v´alasszuk a kocsi v´ızszintes elmozdul´as´at (`), a k¨ot´el T hossz´at (r) ´es a k¨ ot´el leng´esi sz¨ og´et (θ), ´ıgy q = ` r θ . Legyen a kocsi t¨omege M , a teher t¨omege m, a cs¨ orl˝ o sugara ρ, a cs¨orl˝o forg´astengely´ere vonatkoztatott tehetetlens´egi nyomat´eka J, a gravit´ aci´ os gyorsul´ as g. A rendszer potenci´alis energi´aja −mgr cos θ ha a nullszintet a k¨ ot´el r¨ ogz´ıtett v´eg´en´el v´alasztjuk meg. A daru kinetikus energi´aja ´all egyr´eszt a kocsi mozg´ asi energi´ aj´ ab´ ol ami 21 M `˙2 , a cs¨orl˝o forg´asi energi´aj´ab´ol ami 21 J( ρr˙ )2 valamint a teher mozg´ asi energi´ aj´ ab´ ol. Ut´obbi kisz´am´ıt´as´ahoz haszn´aljuk a 2. ´abr´an jel¨olt
8
2. A bakdaru dinamikus modellje ´es anal´ızise
`
0
` + r sin θ
kocsi
T
cs¨orl˝o J
0
ρ
M
F
θ r
teher
s´ın r cos θ
m 2. ´ abra. A bakdaru k´etdimenzi´os s´em´aja. koordin´ata-rendszert, amelyben a teher poz´ıci´oja ` + r sin θ r cos θ , ´ıgy teljes mozg´asi energi´aja 2 2 ! 1 d d m (` + r sin θ) + (r cos θ) 2 dt dt (2.3) 1 ˙2 1 2 1 2 ˙2 ˙ θ˙ cos θ. = m` + mr˙ + mr θ + m`˙r˙ sin θ + `r 2 2 2 Ezeket egybevetve a bakdaru Lagrange-f¨ uggv´enye 1 1 J 1 ˙ θ˙ cos θ + mgr cos θ. (2.4) L = (M + m) `˙2 + + m r˙ 2 + mr2 θ˙2 + m`˙r˙ sin θ + m`r 2 2 2 ρ 2 A (2.1) egyenlet ´ altal el˝ o´ırt deriv´al´asokat elv´egezve d ∂L dt ∂ `˙ d ∂L dt ∂ r˙ d ∂L dt ∂ θ˙ ∂L ∂` ∂L ∂r ∂L ∂θ
= (M + m)`¨ + m¨ r sin θ + mrθ¨ cos θ + 2mr˙ θ˙ cos θ − mrθ˙2 sin θ, J ¨ = m` sin θ + + m r¨ + m`˙θ˙ cos θ, ρ2 ˙ θ˙ sin θ, = mr`¨cos θ + mr2 θ¨ + 2mrr˙ θ˙ + m`˙r˙ cos θ − m`r
(2.5)
= 0, = mrθ˙2 + m`˙θ˙ cos θ + mg cos θ, ˙ θ˙ sin θ − mgr sin θ = m`˙r˙ cos θ − m`r
eredm´enyekre jutunk. A (2.1) t¨ orv´enybe helyettes´ıtve az `-re vonatkoz´o mozg´asegyenlet (M + m)`¨ + m¨ r sin θ + mrθ¨ cos θ + 2mr˙ θ˙ cos θ − mrθ˙2 sin θ = F,
(2.6)
2.1. A fizikai modell levezet´ese
9
ahol F a kocsit a s´ın ment´en mozgat´o er˝o a 2. ´abra szerint. A k¨ot´elhosszra vonatkoz´o tagokat felhaszn´ alva ´es m-mel osztva J T ¨ ` sin θ + + 1 r¨ − rθ˙2 − g cos θ = − , (2.7) 2 mρ ρm differenci´ alegyenletet kapjuk, ahol T a cs¨orl˝ot mozgat´o forgat´onyomat´ek (l´asd a 2. ´abr´at). A θ egyenlet´eben nincs nyomat´ek, alakja mr-rel osztva `¨cos θ + rθ¨ + 2r˙ θ˙ + g sin θ = 0.
(2.8)
A (2.8) egyenletb˝ ol rθ¨ + 2r˙ θ˙ kifejez´est a (2.6) egyenletbe helyettes´ıtve ´es m-mel osztva kapjuk (2.6) t¨ om¨ orebb alakj´ at M F 2 + sin θ `¨ + r¨ sin θ − rθ˙2 + g cos θ sin θ = . (2.9) m m A (2.8) a teher leng´es´et le´ır´ o differenci´alegyenlet. L´athat´o, hogy a nyomat´ekok nem hatnak k¨ozvetlen¨ ul e leng´esre, csup´ an a kocsi v´ızszintes gyorsul´asa jelenik meg az egyenletben. A leng´es teh´ at a dinamika elszigetelt r´esz´et k´epzi, ez´ert neh´ez p´eld´aul a nyomat´ekok seg´ıts´eg´evel cs¨ okkenteni azt. A rendszer inerciaparam´eterei sem jelennek meg a (2.8) egyenletben. Bel´ athat´ o, hogy alulir´any´ıtott mechanikai rendszerek eset´en mindig tal´alhat´ok ilyen inerciaf¨ uggetlen dinamikai egyenletek [BN92]. 1. Megjegyz´ es. Az ´ altal´ anos´ıtott koordin´ at´ ak megv´ alaszt´ asa nem egy´ertelm˝ u. q helyett b´ armely q˜ = T (q) koordin´ atavektor alkalmas lehet, ha T invert´ alhat´ o transzform´ aci´ o. A bakdaru eset´eben p´eld´ aul megfelel˝ o a kocsi v´ızszintes elmozdul´ asa (`) ´es a teher 2. ´ abr´ ar´ ol leolvashat´ o koordin´ at´ ai. Ekkor a transzform´ aci´ o ` (2.10) T (`, r, θ) = ` + r sin(θ) . r cos(θ) T invert´ alhat´ o, ha a k¨ ot´el hossza nem nulla, ´es a teher nem leng ki a daru kocsij´ anak szintj´eig. Ez a daru norm´ al m˝ uk¨ od´esi tartom´ any´ an´ al b˝ ovebb halmaz, teh´ at a T ´ altal lek´epzett koordin´ at´ ak is ´ altal´ anos´ıtott koordin´ at´ ak, amelyek fizikai jelent´essel is b´ırnak. A (2.7)-(2.9) egyenletek seg´ıts´eg´evel a modell fel´ırhat´o (2.2) alakban. Az inerciam´atrix M 2 sin θ 0 m + sin θ J + 1 0 , H(q) = sin θ (2.11) mρ2 cos θ 0 r alak´ u, a gravit´ aci´ os, centripet´ alis ´es Coriolis hat´as modellje − rθ˙2 + g cos θ sin θ h(q, q) ˙ = , −rθ˙2 − g cos θ 2r˙ θ˙ + g sin θ
(2.12)
az ´altal´anos´ıtott nyomat´ekok vektora pedig τ=
F m − T . ρm
0
(2.13)
10
2. A bakdaru dinamikus modellje ´es anal´ızise
Newtoni elvek alapj´ an k¨ onnyen bel´athat´o, hogy Lagrange-f´ele mechanikai rendszerekben a s´ url´ od´ as hat´ asa (2.2) egyenletben egy addit´ıv taggal modellezhet˝o. A (2.2) alakja ekkor H(q)¨ q + h(q, q) ˙ + hs (s) = τ, (2.14) ahol hs a s´ url´ od´ as hat´ as´ at le´ır´ o addit´ıv tag, s pedig a s´ url´od´asi er˝ok vektora. A bakdaru eset´en a s´ url´ od´ asi er˝ ok addit´ıvan illeszthet˝ok a (2.7)-(2.9) egyenletekbe, ez´ert sF −m hs (s) = − smT , (2.15) 0 ahol sF ´es sT rendre a s´ın ´es a kocsi k¨oz¨ott, illetve a cs¨orl˝o tengely´en fell´ep˝o s´ url´od´asi er˝o. A s´ url´ od´ asi er˝ ok s = η (q, q, ˙ q¨, τ )
(2.16)
karakterisztik´ aj´ at kifejezni b´ armely mechanikai rendszer eset´en neh´ez feladat. K¨ ul¨onb¨oz˝o ¨osszetetts´eg˝ u modellek ´ allanak rendelkez´esre e c´elra az irodalomban [AHDDW94]. Az adott probl´em´aban azonban legt¨ obbsz¨ or azok a modellek, amelyek m´ar megfelel˝o pontoss´aggal ´ırj´ak le a jelens´eget bonyolultak, nemline´arisak, ´es sz´amos nehezen vagy egy´altal´an nem m´erhet˝o param´etert tartalmaznak. Ez´ert ir´any´ıt´o rendszer tervez´es´ehez nem c´elszer˝ u (´es nem is szok´ asos) ilyen modellek alkalmaz´asa. Explicit s´ url´od´asmodellek alkalmaz´asa helyett a probl´ema m´ ask´epp is megk¨ ozel´ıthet˝o. A (2.14) egyenletben vigy¨ uk ´at hs -t a jobb oldalra, ´ıgy H(q)¨ q + h(q, q) ˙ = τ − hs (s) alakot kapjuk. Bevezetj¨ uk τ˜ = τ − hs (s)
(2.17)
mennyis´eget, amely a s´ url´ od´ assal terhelt nyomat´ekok vektorak´ent ´ertelmezhet˝o. Az egyenlet u ´j alakja H(q)¨ q + h(q, q) ˙ = τ˜, (2.18) amely hasonl´ıt a (2.2) egyenletre. Ebb˝ol az alakb´ol l´athat´o, hogy a s´ url´od´as u ´gy kezelhet˝o, mintha az csak a nyomat´ekokra lenne hat´assal. Mivel mechanikai rendszerek eset´en e nyomat´ekok legt¨ obbsz¨ or bemenetek, az ´allapotbecsl´eshez c´elszer˝ u ismeretlen bemenet˝ u rendszerekhez tervezett becsl´esi technik´akat, p´eld´aul a 3.1. szakaszban ismertetett K´alm´an-sz˝ ur˝ oket.
2.2. Folytonos idej˝ u´ allapotteres modellek ´ es tulajdons´ agaik Az ir´any´ıt´ aselm´eletben sok esetben a rendszerek folytonos idej˝ u x˙ = f (x, u)
(2.19)
y = g(x, u)
(2.20)
alak´ u, u ´gynevezett ´ allapotteres modellj´et haszn´aljuk, ahol f ´es g nemline´aris vektormez˝ok. A (2.19) egyenletet ´ allapotegyenletnek nevezz¨ uk, a benne szerepl˝o x a rendszer ´allapotvektora, u a bemenete. A (2.20) az u ´gynevezett kimeneti egyenlet, y a rendszer kimenete. A kimenet mechanikai rendszerek eset´en ´altal´aban nem f¨ ugg k¨ozvetlen¨ ul a bemenett˝ol, ekkor y = g(x) jel¨ ol´est alkalmazzuk. A kimeneti egyenlet a rendszerben haszn´alt
2.2. Folytonos idej˝ u´ allapotteres modellek ´es tulajdons´agaik
11
szenzorok alapj´ an ´ırhat´ o fel, ennek megalkot´as´at a 3.2. szakaszban t´argyaljuk. Ebben a szakaszban csak az ´ allapotegyenlettel foglalkozunk. A (2.2) alak´ u mechanikai rendszer eset´en ´allapotv´altoz´onak v´alaszthatjuk q-t, ekkor azonban q¨ jelenl´ete miatt q-t ˙ is annak kell v´alasztanunk, ´ıgy q x= . (2.21) q˙ Vezess¨ uk be xq = q, xq˙ = q˙ jel¨ ol´est annak hangs´ ulyoz´as´ara, hogy ezek a mennyis´egek ´allapotv´altoz´ ok. Ezekkel a jel¨ ol´esekkel (2.2) H(xq )x˙ q˙ + h(x) = τ
(2.22)
alakot ¨olti. Az ´ allapotteres modellt az 1. ´all´ıt´as alapj´an tudjuk megalkotni. ´ ıt´ 1. All´ as. A (2.22) mechanikai rendszerben ha xq x= xq˙
(2.23)
v´ alaszt´ as mellett a nyomat´ekok kifejezhet˝ ok az ´ allapotv´ altoz´ ok ´es a bemenetek f¨ uggv´eny´eben, azaz τ = U(x, u), (2.24) akkor a rendszer ´ allapotteres modellj´enek alakja xq˙ 0 U(x, u) x˙ = + H −1 (xq ) −H −1 (xq )h(x)
(2.25)
Bizony´ıt´ as. A (2.23) v´ alaszt´ assal ´elve az ´allapotegyenletek els˝o csoportja abb´ol sz´armazik, hogy az ´allapotv´ altoz´ ok egyik fele a t¨obbi deriv´altja, mivel x˙ q = xq˙ . A marad´ek ´allapotegyenletek (2.22) ¨ osszef¨ ugg´esb˝ ol ad´ odnak, ahonnan x˙ q˙ -t kifejezve x˙ q˙ = H −1 (xq ) (τ − h(xq , xq˙ )) egyenletet kapjuk. Az ´ allapotvektor deriv´altja ezek szerint x˙ q xq˙ xq˙ 0 x˙ = = = + τ. x˙ q˙ H −1 (xq ) (τ − h(x)) −H −1 (xq )h(x) H −1 (q)
(2.26)
(2.27)
A (2.24) felt´etelt is helyettes´ıtve (2.25) ¨osszef¨ ugg´es ad´odik. Miel˝ott fel´ırn´ ank a daru ´ allapotteres modellj´et, tiszt´azzunk egy ir´any´ıt´asi szempontb´ol fontos fogalmat. 1. Defin´ıci´ o. Input affin rendszer Egy folytonos idej˝ u dinamikus rendszert input affinnak nevez¨ unk ha ´ allapotegyenlete a bemenetekben line´ aris, azaz fel´ırhat´ o x˙ = fx (x) + fu (x)u alakban, ahol fx ´es fu csak az a ´llapotv´ altoz´ okt´ ol f¨ ugg˝ o vektormez˝ ok.
(2.28)
12
2. A bakdaru dinamikus modellje ´es anal´ızise
Fizikai mennyis´eg
´ Allapotteres v´altoz´o
A kocsi elmozdul´ asa
`
x`
A k¨ot´el hossza
r
xr
A teher leng´es´enek sz¨ oge
θ `˙
xθ
r˙ θ˙
xr˙ xθ˙
A kocsit mozgat´ o er˝ o
F
uF
A cs¨ orl˝ ot mozgat´ o fogat´ onyomat´ek
T
uT
N´ev ´ Allapotv´ altoz´ ok
A kocsi sebess´ege A k¨ot´el hosszv´ altoz´ as´ anak sebess´ege A teher leng´es´enek sz¨ ogsebess´ege
x`˙
Bemenetek
1. t´abl´ azat. A bakdaru ´ allapotteres modellj´eben haszn´alt v´altoz´ok ´es jel¨ol´eseik. K¨ ovetkezm´ eny. Az 1. ´ all´ıt´ asb´ ol ´es az 1. defin´ıci´ ob´ ol k¨ ovetkezik, hogy minden olyan Lagrange-f´ele mechanikai rendszer input affin, amelynek nyomat´ekai a bemenetekt˝ ol line´ arisan f¨ uggnek, azaz τ = Ux (x)u alakba ´ırhat´ ok. A vektormez˝ ok a (2.25) egyenletb˝ ol leolvashat´ oan xq˙ 0 . (2.29) fx (x) = , fu (x) = H −1 (xq )Ux (x) −H −1 (xq )h(x) A bakdaru ´ allapotteres modellj´eben v´alasszuk meg az ´allapotv´altoz´okat (2.23) szerint. A bemenet legyen F ´es T , mivel ezeket tudjuk beavatkoz´o szervek seg´ıts´eg´evel el˝o´ırni. A kor´abbihoz hasonl´ oan haszn´ aljuk az 1. t´abl´azatban olvashat´o u ´j jel¨ol´eseket, amelyek kifejezik a v´ altoz´ ok ´ allapotteres modellben bet¨olt¨ott szerep´et. A daru eset´en a nyomat´ekok a (4.3) ¨osszef¨ ugg´es alapj´an 1 1 0 0 0 uF m m 1 1 uF 0 uT = 0 − ρm τ = 0 − ρm (2.30) uT 0 0 0 0 0 0 alakba ´ırhat´ ok. Innen l´ athat´ o, hogy a nyomat´ekok line´arisan f¨ uggnek a bemenetekt˝ol (´es Ux nem f¨ ugg az ´ allapott´ ol, csup´an a param´eterekt˝ol). Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy az ´allapotteres modell input affin, ´es fel´ırhat´o (2.29) ¨osszef¨ ugg´esek seg´ıts´eg´evel. A nemline´aris ´allapotegyenletek x˙ ` = x`˙, x˙ r = xr˙ , x˙ θ = xθ˙ , Jmxr x2θ˙ sin xθ + 12 Jmg sin (2xθ ) + J + mρ2 uF + mρuC sin xθ x˙ `˙ = , J M + m sin2 (xθ ) + M mρ2 M mρ2 xr x2θ˙ + g cos xθ − mρ2 uF sin xθ + M + m sin2 xθ ρuT x˙ r˙ = , J M + m sin2 (xθ ) + M mρ2 Jmxr xθ˙ sin(2xθ ) + 2 J + mρ2 uF cos xθ + mρuT sin(2xθ ) g sin xθ + 2x`˙xθ˙ x˙ θ˙ = − xr 2J M + m sin2 (xθ ) xr + 2M mρ2 xr (2.31)
2.3. Diszkr´et idej˝ u´ allapoteres modellek ´es tulajdons´agaik
13
alak´ uak. Line´aris becsl˝ o alkalmaz´ as´ ahoz sz¨ uks´eg¨ unk van a rendszer line´aris modellj´ere. Ezt (2.31) egyenletek Taylor-sor´ anak els˝orend˝ u k¨ozel´ıt´es´evel nyerj¨ uk egyens´ ulyi trajekt´oria k¨or¨ ul. Legyen a trajekt´ oria egy konstans munkapont, melyben az ´allapotvektor x(t) ≡ x0 , a bemenet u(t) ≡ u0 . Az ´ıgy nyert modell line´aris a centr´alt v´altoz´okban, amelyek a munkapontt´ ol vett t´ avols´ agot fejezik ki, ezek δx = x − x0 ´es δu = u − u0 . A line´aris egyenletek alakja δ x˙ = Aδx + Bδu. (2.32) Munkapontnak olyan ´ alland´ osult a´llapotot v´alaszthatunk, amelyben a sebess´egek null´ak, ol l´athat´o, hogy a modell teh´at x`,0 ˙ = 0 rad/s. A (2.31) egyenletekb˝ ˙ = xr,0 ˙ = 0 m/s, xθ,0 x` ´ert´ek´et˝ ol f¨ uggetlen, teh´ at ´elhet¨ unk p´eld´aul x`,0 = 0 m v´alaszt´assal. A munkapont csak akkor lehet egyens´ ulyi, ha xθ,0 = 0 rad, mivel ett˝ol k¨ ul¨onb¨oz˝o esetben a teher a gravit´aci´o hat´ as´ ara elmozdulna. xr ´ert´eke tetsz˝oleges pozit´ıv xr,0 lehet. Teh´at a munkaT pontban az ´ allapotvektor x0 = 0 xr,0 0 0 0 0 , xr,0 > 0 m. A konstans bemenetet, amely a rendszert k´epes e pontban tartani h(x0 ) = Ux (x0 )u0 egyenlet megold´asak´ent T odik. ´Igy a line´aris modell m´atrixai u0 = 0 mgρ -nak ad´ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 A= , B = (2.33) . 1 m 0 0 0 g 0 0 0 M M 0 0 0 − mρρ2 +J 0 0 0 0 M +m 1 0 0 − M xr,0 g 0 0 0 − M xr,0 0 q q +m)g (M +m)g , −j osszes A line´ aris rendszer saj´ at´ert´ekei 0, 0, 0, 0, j (M M xr,0 M xr,0 . Mivel az ¨ saj´at´ert´ek val´ os r´esze nulla, a rendszer aszimptotikusan nem stabilis, a stabilit´as hat´arhelyzet´eben van. Ennek egyik oka a leng´est le´ır´o line´aris differenci´alegyenletben keresend˝o, amely (M + m) g 1 δx ¨θ = − δxθ − δuF . (2.34) M xr,0 M xr,0 Er˝ohat´as n´elk¨ ul, teh´ at ha δuF = 0 N, a (2.34) egy s (M + m) g ω0 = M xr,0
(2.35)
k¨orfrekvenci´ aj´ u rezg´es egyenlete. A mag´ara hagyott rendszer teh´at k´epes csillap´ıtatlan rezg´esekre, ekkor ´ allapotv´ altoz´ oi nem tartanak null´ahoz, de nem is diverg´alnak. Ezzel magyar´azhat´ o, hogy a rendszer a stabilit´as hat´ar´an van.
2.3. Diszkr´ et idej˝ u ´ allapoteres modellek ´ es tulajdons´ agaik A szab´ alyoz´ ok ´es becsl˝ ok megval´ os´ıt´asa jellemz˝oen be´agyazott sz´am´ıt´og´epeken t¨ort´enik. E rendszerek az anal´ og szab´ alyoz´ okkal szemben ´alland´o mintav´eteli id˝ok¨oz¨onk´ent olvass´ak be a rendelkez´esre ´ all´ o jeleket ´es sz´am´ıtj´ak ki a sz¨ uks´eges beavatkoz´ast. Az ir´any´ıt´o rendszerek digit´ alis megval´ os´ıt´ asa sz´amos el˝onyt k´ın´al az anal´oggal szemben. Digit´alis
14
2. A bakdaru dinamikus modellje ´es anal´ızise
a´llapotbecsl˝ o (szab´ alyoz´ o) konstru´ al´as´ara t¨obb m´odszer is ismert, mi a vizsg´alt rendszer modellj´enek diszkretiz´ al´ as´ aval, ´es az ´ıgy kapott modellhez t¨ort´en˝o diszkr´et idej˝ u becsl˝o tervez´es´evel foglalkozunk [RCM96]. A (2.19)-(2.20) rendszer diszkr´et idej˝ u modellj´et azzal a felt´etelez´essel kapjuk meg, hogy a kimenetet ´ alland´ o Ts mintav´eteli id˝ok¨oz¨onk´ent m´erj¨ uk, a bemenet pedig a mintav´eteli id˝ opontok k¨ oz¨ ott konstans. A mintav´etelezett jelekre haszn´aljuk x[k] = x(kTs ) jel¨ol´est, ekkor a diszkr´et idej˝ u kimeneti egyenlet y[k] = g (x[k], u[k]). Az ´allapot´atmeneti egyenlet (k+1)T Z s x˙ dt = x[k + 1] − x[k] (2.36) kTs
´es (2.19) ¨ osszef¨ ugg´es felhaszn´ al´ as´ aval kaphat´o meg (k+1)T Z s
f (x, u[k]) dt
x[k + 1] = x[k] +
(2.37)
kTs
form´aban. Az ´ıgy nyert nemline´ aris differenciaegyenlet-rendszer alakja x[k + 1] = φ (x[k], u[k]) ,
(2.38)
y[k] = g (x[k], u[k]) .
(2.39)
¨ Osszetett nemline´ aris modellek eset´en (k+1)T Z s
f (x, u[k]) dt
(2.40)
kTs
nem mindig ismert. Ekkor diszkretiz´al´asra haszn´alhatjuk az Euler-m´odszert, amely (2.36) ¨osszef¨ ugg´es helyett Ts x˙ ≈ x[k + 1] − x[k] (2.41) k¨ozel´ıt´est alkalmazza. Ezzel az ´ allapotegyenlet alakja x[k + 1] = x[k] + Ts f (x[k], u[k]) .
(2.42)
A bakdaru diszkr´et idej˝ u modellje eset´en is ezt a k¨ozel´ıt´est alkalmazzuk. A konkr´et ´allapot´atmeneti egyenletek (2.31) egyenletekb˝ol ad´odnak x[k] hozz´aad´as´aval ´es Ts -sel szorz´assal. 2. Megjegyz´ es. Folytonos id˝ oben input affin rendszer diszkr´et idej˝ u modellje is input affin, azaz ´ at´ırhat´ o x[k + 1] = φx (x[k]) + φu (x[k])u[k] (2.43) alakba. Ez bel´ athat´ o (2.28) alapj´ an, mivel (2.37) egyenletet felhaszn´ alva a diszkr´et idej˝ u ´ allapot´ atmeneti egyenlet (k+1)T Z s
x[k + 1] = x[k] +
(k+1)T Z s
fx (x) dt + kTs
fu (x) dt u[k]. kTs
(2.44)
2.3. Diszkr´et idej˝ u´ allapoteres modellek ´es tulajdons´agaik
15
A megfelel˝ o vektormez˝ ok ezek szerint (k+1)T Z s
(k+1)T Z s
fx (x) dt,
φx (x[k]) = x[k] +
fu (x) dt.
φu (x[k]) =
(2.45)
kTs
kTs
Az integr´ al b´ armilyen fu -ra n´ezve homog´en I oper´ atorral t¨ ort´en˝ o k¨ ozel´ıt´es´evel is input affin modellt kapunk, mivel I {fu (x)u[k]} = I {fu (x)} u[k] = φu (x[k])u[k], teh´ at u[k] kiemelhet˝ o. Ez az Euler-m´ odszerben haszn´ alt (2.41) k¨ ozel´ıt´esre teljes¨ ul, ekkor a vektormez˝ ok φx (x[k]) = Ts fx (x[k]),
φu (x[k]) = Ts fu (x[k])
(2.46)
alakot ¨ oltik. Diszkr´et id˝ oben is bevezetj¨ uk a rendszer line´aris modellj´et amely δx[k + 1] = Φδx[k] + Γδu[k],
(2.47)
ahol Φ az ´ allapot´ atmeneti m´ atrix, Γ a bemeneti m´atrix, a δ prefixum pedig most is centr´alt v´ altoz´ okat jel¨ ol, mint (2.32) eset´en. A 2. ´all´ıt´asban gyakorlati sz´am´ıt´asi m´odszert adunk a diszkr´et idej˝ u modell m´ atrixainak meghat´aroz´as´ara a folytonos idej˝ u (2.32) modell m´atrixai alapj´ an. ´ ıt´ 2. All´ as. Defini´ aljuk a Laplace-transzform´ aci´ ot egy x(t) id˝ of¨ ugg˝ o vektor eset´en Z∞ L{x(t)} = x(t)e−pt dt
(2.48)
−0
¨ osszef¨ ugg´essel, ahol p a komplex frekvencia. Ekkor a (2.32) folytonos idej˝ u line´ aris id˝ oinvari´ ans rendszer (2.47) alak´ u diszkr´et idej˝ u modellj´enek m´ atrixait n o −1 −1 −1 −1 1 Φ= L (pI − A) , Γ= L (pI − A) B (2.49) p t=Ts t=Ts formul´ ak seg´ıts´eg´evel kapjuk. Bizony´ıt´ as. A (2.32) egyenlet megold´asa δx(t0 ) kezdeti felt´etel ismeret´eben [Lan01, 44. o.] δx(t) = e
A(t−t0 )
Zt δx(t0 ) +
0
eA(t−t ) Bδu(t0 ) dt0 .
(2.50)
t0
A t0 = kTs , t = (k+1)Ts v´ alaszt´ assal, a bemenetet (t0 , t] intervallumon konstans δu[k]-nak felt´etelezve valamint figyelembe v´eve, hogy a rendszer id˝oinvari´ans, a megold´as δx[k + 1] = e
ATs
ZTs δx[k] + eAt dt Bδu[k]
(2.51)
0
alakra hozhat´ o. Ezt ¨ osszevetve (2.47) egyenlettel l´athat´o, hogy Φ = eATs ,
ZTs Γ = eAt dt B. 0
(2.52)
16
2. A bakdaru dinamikus modellje ´es anal´ızise
Laplace transzform´ aljuk eAt kifejez´est, ekkor ) (∞ ∞ ∞ X X ti At Ai 1X A i i = L e =L = = (pI − A)−1 A i! pi+1 p p i=0
i=0
(2.53)
i=0
o¨sszef¨ ugg´est kapjuk. Felhaszn´ altuk, hogy A induk´alt norm´aja (legnagyobb
saj´at´ert´eke) korl´atos, ez´ert a komplex sz´ ams´ık egy v´eges sugar´ u k¨or´en k´ıv¨ ul teljes¨ ul As < 1, teh´at a Neumann-sor konvergens. Ezzel az ´all´ıt´as Φ-re vonatkoz´o r´esz´et be is l´attuk. Γ eset´en tekints¨ uk t Z 1 1 0 L eAt dt0 B = L eAt B = (pI − A)−1 B, (2.54) p p 0
Laplace-transzform´ altat amelyb˝ ol az ´all´ıt´as m´asodik r´esze is l´athat´o. A diszkr´et idej˝ u, line´ aris darumodell ´allapot´atmeneti m´atrixa mg(sin (ω0 Ts )−ω0 Ts ) 2mg 2 ω0 Ts sin 1 0 M T 0 − s 2 3 2 ω0 M ω0 0 1 0 0 Ts 0 sin (ω0 Ts ) 0 0 cos (ω T ) 0 0 0 s , ω0 Φ= mg sin (ω0 Ts ) 2mg 2 ω0 Ts sin 1 0 0 0 2 M ω 2 M ω 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 −ω0 sin (ω0 Ts ) 0 0 cos (ω0 Ts ) ahol ω0 a (2.35) ¨ osszef¨ ugg´essel defini´alt k¨orfrekvencia, a bemeneti m´atrix pedig T2 2mg ω0 Ts 2 2 ω0 Ts s 0 + − sin 2M 2 2 M 2 ω04 xr,0 ρTs2 0 − 2 2(mρ +J) cos (ω0 Ts )−1 0 2x M ω . 0 r,0 Γ= mg(sin (ω0 Ts )−ω0 Ts ) Ts + 0 3 2 M M ω0 xr,0 ρTs 0 − mρ2 +J (ω0 Ts ) − sin 0 M ω0 xr,0 A modell param´etereinek sz´ amszer˝ u ´ert´ekei a 2. t´abl´azatban tal´alhat´ok. Le´ır´ as A kocsi t¨ omege A teher t¨ omege A cs¨ orl˝ o tehetetlens´egi nyomat´eka A cs¨ orl˝ o sugara Neh´ezs´egi gyorsul´ as Munkaponti k¨ ot´elhossz A gerjesztetlen leng´es k¨ orfrekvenci´aja Mintav´eteli id˝ o
Jel M m J ρ g xr,0 ω0 Ts
Sz´am´ert´ek 4.532 48 3.802 · 10−4 18 9.81 0.565 4.19 1
M´ert´ekegys´eg kg g kg sm2 mm m/sec2 m rad/sec msec
2. t´ abl´ azat. A darumodell param´etereinek numerikus ´ert´eke.
(2.55)
(2.56)
3 Szenzorf´ uzi´ o´ es ´ allapotbecsl´ es S´ url´od´ assal terhelt mechanikai rendszerek eset´en az ´allapotbecsl´es ´altal´aban neh´ez feladat, mivel a s´ url´ od´ as a rendszer viselked´es´et jelent˝osen eltorz´ıtja. A s´ url´od´asr´ol modellt alkotni, ´es ezt felhaszn´ alni a becsl´eshez probl´em´as lehet a modellben felmer¨ ul˝o ismeretlen param´eterek miatt. Ebben a fejezetben m´odszert adunk az ´allapotbecsl´es megval´os´ıt´as´ara a s´ url´ od´ as zavar´ o hat´ as´anak kik¨ usz¨ob¨ol´es´evel, explicit s´ url´od´asi modellek haszn´alata n´elk¨ ul, K´ alm´ an-sz˝ ur˝ ok alkalmaz´as´aval. A 2.1. szakaszban l´ attuk, hogy a s´ url´od´as bemeneti zavar´ask´ent modellezhet˝o. A (2.18) ¨osszef¨ ugg´es alapj´ an k´et v´ alaszt´ asunk is van. A bemenetet tekinthetj¨ uk teljesen ismeretlennek, ekkor az ´ allapotbecsl´es megval´os´ıt´as´ara az ismeretlen bemenet˝ u K´alm´an-sz˝ ur˝o (unknown input Kalman filter - UIKF) alkalmazhat´o. A s´ url´od´ast kezelhetj¨ uk addit´ıv zavar´ask´ent is, ekkor a terhel´esbecsl˝ovel kieg´esz´ıtett unscented K´alm´an-sz˝ ur˝o (unscented Kalman filter - UKF) haszn´ alhat´ o´ allapotbecsl´esre. Az ´allapotbecsl´eshez a vizsg´ alt rendszerr˝ol m´er´eseket kell k´esz´ıten¨ unk. A m´er´esekhez gyakran elt´er˝ o, esetleg nem is ´ alland´o mintav´eteli idej˝ u szenzorokat van lehet˝os´eg¨ unk alkalmazni. Megmutatjuk, hogy az a´llapotbecsl´eshez haszn´alt K´alm´an-sz˝ ur˝okre alapozva konstru´alhat´ o olyan elj´ ar´ as, amellyel lehets´eges ilyen szenzorok f´ uzi´oja. V´eg¨ ul bemutatjuk a bakdarun alkalmazott szenzorokat ´es megvizsg´aljuk alkalmazhat´os´agukat a fenti c´elokra.
3.1. K´ alm´ an-sz˝ ur˝ ok a s´ url´ od´ as zavar´ o hat´ as´ anak elimin´ al´ as´ ara Napjainkban a K´ alm´ an-sz˝ ur˝ o algoritmusok igen sok v´altozata lelhet˝o fel a szakiroda´ lomban [Hay+01]. Altal´ anosan elmondhat´o, hogy ezek az ´allapotbecsl˝ok x[k + 1] = φ (x[k], u[k], d[k], w[k]) , z[k] = g (x[k], v[k])
(3.1) (3.2)
rendszerek valamilyen speci´ alis alakj´anak megfigyel´es´ere k´epesek, ahol d a rendszer ismeretlen bemenete, z az y = g(x, 0) kimenetr˝ol rendelkez´esre ´all´o zajjal terhelt m´er´es. A rendszer modellj´et kieg´esz´ıtett¨ uk zajv´altoz´okkal. A w modellzaj a modell val´os´agt´ol val´o elt´er´es´et, m´ıg v m´er´esi zaj a szenzorok pontatlans´ag´at fejezi ki. Mindkett˝o eleget tesz a sztochasztikus hipot´ezisnek, azaz v´ arhat´o ´ert´ek¨ uk nulla, Gauss-eloszl´ast k¨ovetnek, ´es feh´er zajnak tekinthet˝ ok. A modellzaj kovariancia m´atrixa cov{w} = Pw , amelyet Pw [k], ha k = i T E w[k]w [i] = (3.3) 0, ha k 6= i ¨osszef¨ ugg´es defini´ al, cov{v} = Pv eset´en hasonl´oan. A K´alm´ an-sz˝ ur˝ ok k´etl´epcs˝ os rekurz´ıv algoritmusok. Az els˝o, u ´gynevezett predikci´os l´ep´esben csak a k − 1. mintav´etelig rendelkez´esre ´all´o adatokat ´es a rendszer modellj´et haszn´alj´ak fel. Legyen x ˆ[k|i] az ´ allapotvektor becs¨ ult ´ert´eke a k. mintav´etelkor, az i.
18
3. Szenzorf´ uzi´o ´es ´allapotbecsl´es
mintav´etelig rendelkez´esre ´ all´ o adatok alapj´an. A predikci´o sor´an teh´at el˝o´all x ˆ[k|k − 1], ˆ erre alkalmas K´ alm´ an-sz˝ ur˝ o eset´en d[k|k − 1] is. A friss´ıt´es l´ep´esben ezut´an z ´es (3.2) ˆ felhaszn´al´ as´ aval sz´ am´ıtjuk x ˆ[k|k]-t ´es d[k|k]-t. Az ´ıgy nyert becsl´esek optim´ alisak abban az ´ertelemben, hogy ur˝ok a n o a K´alm´an sz˝ ˆ becsl´esek Px [k|k] = cov{x[k] − x ˆ[k|k]}, Pd [k|k] = cov d[k] − d[k|k] kovarianci´aj´anak infimum´ara t¨ orekednek. 3. Megjegyz´ es. Az 1960-ban publik´ alt klasszikus K´ alm´ an-sz˝ ur˝ o ( classical Kalman filter CKF) volt a legels˝ o K´ alm´ an-sz˝ ur˝ o. Ezt az algoritmust line´ aris rendszerek ´ allapotbecsl´es´ere tervezt´ek, teh´ at (3.1)-(3.2) eset´en φ ´es g line´ aris tov´ abb´ a a rendszernek nincs ismeretlen bemenete [Kal+60].
3.1.1. Ismeretlen bemenet˝ u K´ alm´ an-sz˝ ur˝ o (UIKF) Tekints¨ uk a (3.1)-(3.2) rendszert abban az esetben, ha φ ´es g line´aris. Ekkor a modell alakja x[k + 1] = Φx[k] + Γu u[k] + Γd d[k] + w[k], z[k] = Cx[k] + v[k],
(3.4) (3.5)
ahol Γu az ismert, Γd az ismeretlen bemenetekre vonatkoz´o bemeneti m´atrix. Ilyen rendszerek eset´en x ´es d becsl´es´ere alkalmas az UIKF, amennyiben a rendszer kiel´eg´ıti dim d ≤ dim y
(3.6)
rank{C} = dim y
(3.7)
rank{Γd } = dim d
(3.8)
rank{CΓd } = dim d.
(3.9)
felt´eteleket [DZON95]. Az UIKF-ben a predikci´ o k´et l´ep´esben t¨ort´enik. El˝osz¨or az ismeretlen bemeneteket null´anak felt´etelezve sz´ am´ıtjuk az ´ allapotot x ¯[k − 1|k − 1] = Φˆ x[k − 1|k − 1] + Γu u[k − 1]
(3.10)
egyenlet seg´ıts´eg´evel, ahol x ¯ az ´ allapot el˝ozetes predikci´oj´at jel¨oli. A CKF-hez hasonl´oan sz´am´ıtunk m´er´esi rezidu´ alt amely ebben a f´azisban ν¯[k] = z[k] − C x ¯[k − 1|k − 1].
(3.11)
Tov´abbi m˝ uveletekkel kisz´ am´ıthat´ o az ismeretlen bemenetekre vonatkoz´o K´alm´an-er˝os´ıt´es Kd , amellyel az ismeretlen bemenetek becs¨ ult ´ert´eke ˆ − 1|k] = Kd [k]¯ d[k ν [k].
(3.12)
Ennek ismeret´eben meghat´ arozhat´ o az ´allapotv´altoz´ok predikci´oja, amely ˆ − 1|k]. x ˆ[k|k − 1] = x ¯[k − 1|k − 1] + Γd d[k
(3.13)
3.1. K´alm´ an-sz˝ ur˝ ok a s´ url´ od´ as zavar´o hat´as´anak elimin´al´as´ara
19
A friss´ıt´es f´ azisban a (3.11) m´er´esi rezidu´alt u ´jra kisz´am´ıtjuk ν[k] = z[k] − C x ˆ[k|k − 1]
(3.14)
alakban, amely seg´ıts´eg´evel egy u ´j, az ´allapotokra vonatkoz´o K´alm´an-er˝os´ıt´est sz´amolunk, ezt jel¨olje Kx . A (3.12) anal´ ogi´ aj´ ara a becs¨ ult ´allapot x ˆ[k|k] = x ˆ[k|k − 1] + Kx [k]ν[k].
(3.15)
Az UIKF teljes algoritmusa a 3. ´ abr´an l´athat´o. A (2.18) ¨ osszef¨ ugg´esb˝ ol l´ athat´ o hogy a s´ url´od´as hat´asa modellezhet˝o u ´gy, mint bemenetei zavar´ as. Tekints¨ uk a (2.47) line´aris darumodell minden bemenet´et ismeretlennek. Ekkor (3.5) rendszer Φ m´ atrixa a daru (2.55) ´allapot´atmeneti m´atrixa, Γu = 0 (nincs ismert bemenet), Γd a daru (2.56) bemeneti m´atrixa. Az modellzaj kovarianciam´ atrix´ at k´ıs´erleti tapasztalatok alapj´an id˝oben ´alland´o −8 10 0 0 0 0 0 0 10−8 0 0 0 0 −8 0 0 10 0 0 0 Pw = (3.16) 0 0 10−8 0 0 0 0 0 0 0 10−8 0 0
0
0
0
0
10−8
´ert´ek˝ ure v´ alasztjuk. A m´er´esi zaj kovarianciam´atrix´at a 3.3. szakaszban ismertetj¨ uk. A 3.3. szakaszban tov´ abb´ a megmutatjuk azt is, hogy a fentiekben megalkotott modell az alkalmazott szenzorokkal kiel´eg´ıti a (3.6)-(3.9) felt´eteleket. Feltessz¨ uk, hogy a rendszer ´ allapot´anak ´es ismeretlen bemenet´enek munkaponti ´ert´ek´et valamilyen pontoss´ aggal ismerj¨ uk, ezek rendre a 2.2. szakaszban ismertetett x0 ´es u0 . A becsl´esek kezdeti ´ert´eke az UIKF eset´en a centr´alt v´altoz´ok kezdeti ´ert´ek´et jelenti, teh´at ˆ x ˆ[0|0] = 0, d[−1|0] = 0. Ebb˝ ol az is k¨ovetkezik, hogy a val´odi rendszer ´allapot´anak ´es ˆ ismeretlen bemenet´enek becs¨ ult ´ert´eke rendre x ˆ[k|k] + x0 ´es d[k|k] + u0 . Ha Px [0|0] saj´ at´ert´ekei nagyok, akkor a becsl´esi hiba gyorsan konverg´al a null´ahoz a kezdeti ´ allapot hib´ as becsl´ese eset´en is [LSRJ11]. Ennek megfelel˝oen Px [0|0] = 100Pw inicializ´al´ ast alkalmazzuk. Pd [−1|0]-ra ez az ´all´ıt´as nem vonatkozik, ez´ert Pd [−1|0] = 0 v´alaszt´assal ´el¨ unk.
3.1.2. Unscented K´ alm´ an-sz˝ ur˝ o (UKF) Tekints¨ uk a (3.1)-(3.2) rendszert abban az esetben, ha a rendszernek nincs ismeretlen bemenete, teh´ at ´ allapotegyenlete x[k + 1] = φ (x[k], u[k], w[k]) alak´ u. Ilyen rendszer ´allapotbecsl´es´ere alkalmas az UKF [Hay+01]. Az UKF sz´amos vari´ansa k¨oz¨ ul mi egy olyat v´alasztottunk, amikor a modell ´es a m´er´esi zaj is addit´ıv, teh´at a rendszer egyenletei x[k + 1] = φ (x[k], u[k]) + w[k] z[k] = g (x[k]) + v[k]
(3.17) (3.18)
alak´ uak [Hay+01, 233. o.]. Az UKF a rendszer nemline´ aris modellje alapj´an v´egzi az ´allapotbecsl´est, lok´alisan lineariz´alt modellek helyett hat´ arozott mintav´etelez´est (deterministic samplig) alkalmaz. Ehhez az el˝ oz˝ o ciklusban becs¨ ult ´ allapot k¨or¨ ul az ´allapott´er minden dimenzi´oja ment´en
20
3. Szenzorf´ uzi´o ´es ´allapotbecsl´es
Param´ eterek: ◦ Pw = cov{w[k]} ◦ Pv = cov{v[k]} Inicializ´ al´ as: x ˆ[0|0] = E{x[0]} ˆ d[−1|0] = E{d[0]} Px [0|0] = cov{x[0] − x ˆ[0|0]} n o ˆ Pd [−1|0] = cov d[0] − d[−1|0]
Ism´ etl´ es k = 1, 2, . . . ∞-re: Predikci´ o az ismert bemenetek alapj´ an:
x ¯[k − 1|k − 1] = Φˆ x[k − 1|k − 1] + Γu u[k − 1] P¯x [k − 1|k − 1] = ΦPx [k − 1|k − 1]ΦT + Pw
Az ismeretlen bemenetek sz´ am´ıt´ asa:
ν¯[k] = z[k] − C x ¯[k − 1|k − 1] Pν¯ [k] = C P¯x [k − 1|k − 1]C T + Pv −1 Pd [k − 1|k] = ΓTd C T Pν¯−1 [k]CΓd Pdx [k|k] = Pd [k − 1|k]ΓT P¯ −1 [k − 1|k − 1](P¯ −1 [k − 1|k − 1] + CPv C T )−1 Kd [k] = Pdx [k|k]C
T
d x Pv−1
x
ˆ − 1|k] = Kd [k]¯ d[k ν [k]
Predikci´ o korrekci´ oja:
ˆ − 1|k] x ˆ[k|k − 1] = x ¯[k − 1|k − 1] + Γd d[k
Friss´ıt´ es:
ν[k] =z[k] − C x ˆ[k|k − 1]
Kx [k] = P¯x−1 [k − 1|k − 1] + C T Pv C
−1
C T Pv−1
x ˆ[k|k] =ˆ x[k|k − 1] + Kx [k]ν[k] Px [k|k] = P¯ −1 [k − 1|k − 1] + C T Pv C− x
P¯x−1 [k − 1|k − 1]Γd ΓTd P¯x−1 [k − 1|k − 1]Γd
−1
−1 ΓTd P¯x−1 [k − 1|k − 1]
3. ´ abra. Az ismeretlen bemenet˝ u K´alm´an-sz˝ ur˝o algoritmusa.
3.1. K´alm´ an-sz˝ ur˝ ok a s´ url´ od´ as zavar´o hat´as´anak elimin´al´as´ara
21
mindk´et ir´ any´ aban felvesz k´et szigma pontot. Legyen nx = dim x, α a sz˝ ur˝o szigma −4 ≤ α ≤ 1 teljes¨ pontok kiterjed´ e s´ e t meghat´ a roz´ o param´ e tere, amelynek ´ e rt´ e k´ e re 10 ul, 2 λ = nx α − 1 kompozit sk´ ala t´enyez˝o. A szigma pontok hely´et az el˝oz˝o becsl´es bizony√ talans´aga ´es γ = nx + λ param´eter alapj´an hat´arozzuk meg T x ˆT [k − 1|k − 1] T p x ˆ [k − 1|k − 1] + γ P [k − 1|k − 1] ¯ x X [k − 1|k − 1] = (3.19) , T p x ˆ[k − 1|k − 1] − γ Px [k − 1|k − 1] o¨sszef¨ ugg´essel, ahol vektor ´es m´ atrix ¨osszead´asa azt jelenti, hogy a vektort a m´atrix minden oszlop´ahoz hozz´ aadjuk. A predikci´ o sor´ an a szigma pontokat transzform´aljuk a rendszer modellje szerint, ´ıgy X¯ [k|k − 1] = φ X¯ [k − 1|k − 1], u[k − 1] . Az hogy φ argumentum´aban vektor helyett m´atrix szerepel azt jelenti, hogy X¯ [k −1|k −1] minden X¯i [k −1|k −1] oszlop´ara ki´ert´ekelj¨ uk a f¨ uggv´enyt ´es az eredm´enyeket rendre X¯ [k|k − 1] oszlopaiban t´aroljuk. A predikci´o a transzform´ alt szigma pontok s´ ulyozott ¨osszegek´ent ´all el˝o azaz x ˆ[k|k − 1] = ahol
( Wm (i) =
2nx X i=0
λ nx +λ 1 2(nx +λ)
Wm (i)X¯i [k|k − 1], ha i = 0 . ha i = 1, . . . 2nx
(3.20)
(3.21)
A predikci´ o eredm´eny´eu ¨l kapott szigma pontokat kiterjesztj¨ uk a modell bizonytalans´aga szerint √ √ X [k|k − 1] = X¯ [k|k − 1] X¯ [k|k − 1] + γ Pω X¯ [k|k − 1] − γ Pω . (3.22) ¨osszef¨ ugg´essel. A line´ aris modelleken alapul´ o K´ alm´an-sz˝ ur˝okh¨oz hasonl´oan a m´er´esi rezidu´al sz´am´ıt´asa a modell alapj´ an t¨ ort´enik, az UKF eset´en azonban itt t¨obb l´ep´esre is sz¨ uks´eg van. El˝osz¨or a kiterjesztett szigma pontokat transzform´aljuk (3.18) egyenletnek megfelel˝oen v[k] = 0 mellett, ´ıgy a kimeneti szigma pontok ´ert´eke Y[k] = g(X [k|k −1]). A (3.20) ¨osszef¨ ugg´eshez hasonl´oan a modell alapj´ an j´ osolt kimenet is yˆ[k] =
2nx X
Wm (i)Yi [k].
(3.23)
i=0
alak´ u s´ ulyozott ¨ osszeg. Ezekkel a mennyis´egekkel kisz´am´ıthat´o az UKF K´alm´an-er˝os´ıt´ese K, amellyel a becs¨ ult ´ allapot x ˆ[k|k] = x ˆ[k|k − 1] + K[k](z[k] − yˆ[k]). Az UKF teljes algoritmusa az 5. ´ abr´ an l´ athat´ o. A bakdaru ´ allapotbecsl´es´ehez a modell azon tulajdons´ag´at haszn´aljuk ki, hogy a s´ url´od´as hat´asa kezelhet˝ o a nyomat´ekokra hat´o addit´ıv zavar´ask´ent (2.17) egyenlet alapj´an. A nyomat´ekokat a (2.30) ¨ osszef¨ ugg´es szerint transzform´aljuk bemenetekk´e. Ezt ´es a (2.15) ¨osszef¨ ugg´est felhaszn´ alva τ˜ kifejez´ese 1 1 0 0 m m u sF F 1 1 τ˜ = 0 − ρm + 0 − ρm uT −ρsT 0 0 0 0 (3.24) 1 0 m uF 1 0 sF 1 = 0 − ρm + uT sT 0 −ρ 0 0
22
3. Szenzorf´ uzi´o ´es ´allapotbecsl´es
u s
s = η(x, x, ˙ u)
Λ + +
u
u ˜ x˙ = f (x, u ˜)
x˙
R
x
y = g(x)
y
modell val´ odi rendszer ´ 4. ´abra. A s´ url´ od´ assal terhelt bakdaru bels˝o szerkezete. Allapotbecsl˝ o tervez´es´ehez csak a szaggatott vonallal bekeretezett blokkr´ol tudunk modellt alkotni. alakra hozhat´ o. Ez alapj´ an l´ athat´ o hogy a s´ url´od´as a bemenetekre n´ezve is tekinthet˝o addit´ıv zavar´ asnak. A beavatkoz´ o jelek helyett teh´at a rendszer u ˜ = u + Λs
(3.25)
1 0 . Λ= 0 −ρ
(3.26)
bemeneteket ´erz´ekeli, ahol
Ezt figyelembe v´eve a daru bels˝ o szerkezet´et a 4. ´abra szeml´elteti. Az ´abr´an bejel¨olt¨ uk a rendszer azon r´esz´et, amelyet megb´ızhat´oan tudunk modellezni. Az s-re nem haszn´ alunk s´ url´ od´ asi modellt, helyette terhel´esbecsl˝ot alkalmazunk a bemeneten. Ehhez vegy¨ uk fel s-et az a´llapotv´altoz´ok k¨oz´e xd [k] = s[k] alakban, ´es ´elj¨ unk a legegyszer˝ ubb felt´etelez´essel, ami szerint xd konstans. Ekkor a modell az xd [k + 1] = xd [k] ´allapotegyenlettel eg´esz´ıtend˝ o ki. Ezzel a (3.17)-(3.18) rendszer x ˜[k + 1] = φ˜ (˜ x[k], u[k]) + w[k] z[k] = g˜ (˜ x[k]) + v[k] alakot ¨olti, ahol x[k] x ˜[k] = , xd [k]
φ˜ (˜ x[k], u[k]) =
φ (x[k], u[k] + Λxd [k]) , xd [k]
(3.27)
g˜ (˜ x[k]) = g (x[k]) .
(3.28) A (3.27) rendszerhez tervezett UKF teh´at a beavatkoz´o jelek ´ert´ek´et haszn´alja fel ´es az bakdaru ´allapotv´ altoz´ oin k´ıv¨ ul becsli a s´ url´od´asi er˝ok nagys´ag´at is. A nemline´ aris ´ allapotegyenleteket az Euler-k¨ozel´ıt´es ellen´ere meglehet˝osen megb´ızhat´onak ´ıt´elj¨ uk. Ezzel szemben xd ´ allapotegyenlete jelent˝osen elt´er a val´os´agt´ol, ez´ert ehhez nagyobb bizonytalans´ agot kell rendeln¨ unk. Ezekb˝ol kiindulva tapasztalati u ´ton a modellzaj kovarianciam´ atrix´ at konstans −10 10 0 0 0 0 0 0 0 0 10−10 0 0 0 0 0 0 −6 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 10−8 0 0 0 0 Pw = (3.29) −8 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 10−8 0 0 0 0 0 0 0 0 100 0 0 0 0 0 0 0 0 100
3.2. Szenzorf´ uzi´ o K´ alm´ an-sz˝ ur´essel
23
´ert´ek˝ ure v´ alasztjuk. A sz˝ ur˝ o α ´es β param´etere rendre 0.5 ´es 2. A kezdeti becs¨ ult ´ allapot ´ert´eke x0 x ˆ[0|0] = , 0
(3.30)
teh´at az ismeretlen bemeneteket kezdetben null´anak felt´etelezz¨ uk, a t¨obbi ´allapotv´altoz´ot a 2.2. szakaszban t´ argyalt munkaponti ´ert´ekre ´all´ıtjuk. Ez a kezdeti ´ert´ek lehet bizonytalan, k¨ ul¨ on¨ osen xd eset´en, ez´ert ´es a gyors konvergencia ´erdek´eben P [0|0] = 100Pw v´alaszt´assal ´el¨ unk, mint a 3.1.1. szakaszban bemutatott UIKF eset´en.
3.2. Szenzorf´ uzi´ o K´ alm´ an-sz˝ ur´ essel Az ´allapotbecsl´es megval´ os´ıt´ asa sor´an a rendelkez´esre ´all´o szenzorok m´er´eseire t´amaszkodunk. A szenzorok f´ uzi´ oja k¨ onnyen megval´os´ıthat´o K´alm´an-sz˝ ur˝ovel abban az esetben ha mindegyik mintav´eteli ideje azonos. A gyakorlatban el˝ofordul azonban, hogy ez nem teljes¨ ul, s˝ ot vannak aszinkron szenzorok is, amelyek mintav´eteli ideje nem ´alland´o. A k¨ovetkez˝okben bemutatjuk, hogy a f´ uzi´o ilyen esetben is megval´os´ıthat´o K´alm´an-sz˝ ur´essel. Legyen a rendelkez´esre ´ all´ o szenzorok halmaza Ψ, sz´amuk nΨ = |Ψ|. Tegy¨ uk fel hogy a szenzoroknak van sorsz´ ama, azaz defini´alhat´o k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ u Ψ 7−→ N lek´epez´es. Tegy¨ uk fel tov´ abb´ a, hogy miden szenzornak van egy ´allapotjele, amely minden mintav´etelkor jelzi, hogy a szenzor kimenet´en rendelkez´esre ´all-e m´ert adat. Form´alisan egy ψj ∈ Ψ szenzor eset´en az ´ allapotjel µj : N 7−→ {0, 1} lek´epez´es, melynek defin´ıci´oja 1 ha ψj -nek van m´er´esi eredm´enye a [(k − 1)Ts , kTs ) intevallumon , µj (k) = 0 egy´ebk´ent (3.31) T j = 1, 2, . . . nΨ . Az egyes ´ allapotjeleket rendezz¨ uk egy µ = µ1 µ2 , . . . µnΨ vektorba. Ekkor µ : ΨnΨ × N 7−→ {0, 1}nΨ olyan lek´epez´es amely egy mintav´eteli id˝opontban megmutatja hogy az ¨ osszes szenzor k¨oz¨ ul melyekb˝ol tudunk m´er´esi eredm´enyt kiolvasni. Az ´allapotjelek 2nΨ lehets´eges vari´aci´oj´ab´ol nem felt´etlen¨ ul fordul el˝o az ¨osszes fizikainΨ lag. Legyen a megval´ osul´ o vari´ aci´ ok halmaza Ξ ⊆ {0, 1} . Sz´amozzuk meg e vari´aci´okat, teh´at defini´ aljuk egy tov´ abbi ζ : Ξ 7−→ N lek´epez´est. Amennyiben 0 ∈ Ξ, legyen ζ(0) = 0, teh´at a nulla sorsz´ amot tartsuk fenn annak az ´allapotnak, amikor egyik szenzor sem produk´al m´er´est, ha ilyen el˝ ofordulhat. Ezen fel¨ ul ζ tetsz˝olegesen megv´alaszthat´o. Jel¨olje a megval´osul´ o konfigur´ aci´ ok sz´ am´ at nΞ = |Ξ|. Az ´allapotbecsl´es u ´gy val´ os´ıthat´ o meg ilyen k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott, hogy miden x[k + 1] = φ (x[k], u[k], d[k], w[k]) z[k] = gi (x[k], vi [k])
(3.32)
rendszerhez konstru´ alunk egy K´ alm´an-sz˝ ur˝ot, i ∈ ζ(Ξ). A K´alm´an-sz˝ ur˝ok k¨oz¨ ul mindig kiv´alasztjuk az ´ allapotjelek ´ altal kijel¨oltet ´es inicializ´aljuk az el˝oz˝o sz˝ ur˝o becsl´es´enek eredm´eny´evel. Ezut´ an az aktu´ alis K´alm´an-sz˝ ur˝o elv´egzi a sz´am´ıt´asokat, ´ıgy kapjuk meg a becs¨ ult ´ert´ekeket. Az algoritmus r´eszletesebb le´ır´asa l´athat´o a 6. ´abr´an. A 7. ´abra algoritmusa egyetlen K´alm´an-sz˝ ur˝ot haszn´al, amelyet olyan rendszerhez tervezz¨ uk, amelynek t¨ obb lehets´eges kimeneti egyenlete van, amelyek k¨oz¨ ul az ´allapotjelek
24
3. Szenzorf´ uzi´o ´es ´allapotbecsl´es
Param´ eterek: ◦ nx = dim x ◦ Pw = cov{w[k]} ◦ Pv = cov{v[k]} ◦ α: a szigma pontok kiterjed´ese (10−4 ≤ α ≤ 1) ◦ β: eloszl´ asi ´ alland´ o (Gauss-eloszl´as eset´en β = 2 optim´alis) ◦ λ=√ nx (α2 − 1) kompozit sk´al´az´o t´enyez˝o ◦ γ = nx + λ sk´ al´ az´ o v´ altoz´o ◦ Wc (i), i = 0, . . . 2nx : a kovarianciam´atrixok s´ ulyoz´o t´enyez˝oi, Wc (0) = nxλ+λ + 1 − α2 + β, Wc (i) = 2(nx1+λ) , i = 1, . . . 2nx ◦ Wm (i), i = 0, . . . 2nx : a m´er´esek s´ ulyoz´o t´enyez˝oi, λ Wm (0) = nx +λ , Wm (i) = Wc (i), i = 1, . . . 2nx Inicializ´ al´ as: x ˆ[0|0] = E{x[0]} Px [0|0] = cov{x[0] − x ˆ[0]}
Ism´ etl´ es k = 1, 2, . . . ∞-re: A szigma pontok sz´ am´ıt´ asa: p p ¯ X [k − 1|k − 1] = x ˆ[k − 1|k − 1] + 0 γ Px [k − 1|k − 1] −γ Px [k − 1|k − 1] Predikci´ o: ¯ X [k|k − 1] = φ(X¯ [k − 1|k − 1], u[k − 1]) x ˆ[k|k − 1] = Px [k|k − 1] =
2nx X
i=0 2n x X i=0
Wm (i)X¯i [k|k − 1] T Wc (i) X¯i [k|k − 1] − x ˆ[k|k − 1] X¯i [k|k − 1] − x ˆ[k|k − 1] + Pw
A szigma pontok kiterjeszt´ ese: √ √ ¯ X [k|k − 1] = X [k|k − 1] X¯ [k|k − 1] + γ Pw X¯ [k|k − 1] − γ Pw Kimenet predikci´ oja:
Y[k] = g(X [k|k − 1]) yˆ[k] = Py [k] = Pxy [k] =
2nx X i=0 2n x X
i=0 2n x X i=0
Wm (i)Yi [k] Wc (i) (Yi [k|k − 1] − yˆ[k])(Yi [k|k − 1] − yˆ[k])T + Pv Wc (i) (Xi [k|k − 1] − x ˆ[k|k − 1])(Yi [k|k − 1] − yˆ[k])T
Friss´ıt´ es: K[k] = Pxy [k]Py−1 [k] x ˆ[k|k] = x ˆ[k|k − 1] + K[k](z[k] − yˆ[k])
Px [k|k] = Px [k|k − 1] − K[k]Py [k]K T [k] 5. ´ abra. Az unscented K´alm´an-sz˝ ur˝o algoritmusa.
3.3. A bakdarun alkalmazott szenzorok
25
alapj´an v´ alasztunk. A rendszer alakja e szerint x[k + 1] = φ (x[k], u[k], d[k], w[k]) , ∅, ha ζ(µ(k)) = 0 g1 (x[k], v1 [k]), ha ζ(µ(k)) = 1 z[k] = . .. . gnΞ −1 (x[k], vnΞ −1 [k]), ha ζ(µ(k)) = nΞ − 1
(3.33)
(3.34)
A K´alm´an-sz˝ ur˝ ot nem ilyen rendszer ´allapotbecsl´es´ere tervezt´ek. Ennek ellen´ere, mivel az ´allapot´atmenti egyenlet nem v´ altozik, a rendszer ´allapotvektor´anak fizikau ´ertelme sem v´altozik az ´ allapotjelek hat´ as´ ara. Ez azt eredm´enyezi, hogy a 6. ´abra algoritmus´aban a K´alm´an-sz˝ ur˝ ok ´ allapotv´ altoz´ oi is megegyeznek. Ennek ´ertelm´eben az nΞ K´alm´an-sz˝ ur˝o ¨osszevonhat´ o eggy´e, teh´ at a 6. ´es a 7. ´abr´an l´athat´o algoritmus ekvivalens. Az eredm´eny¨ ul kapott m´ odszerrel teh´at megval´os´ıthat´o olyan rendszer ´allapotbecsl´ese, amelynek szenzorai k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o mintav´eteli id˝ovel vagy aszinkron m´odon mintav´eteleznek, ha rendelkez´es¨ unkre ´ all olyan fizikai jel, amely amely alapj´an tudjuk, hogy egy mintav´etelkor mely szenzorok m´er´ese ´ all rendelkez´esre. 4. Megjegyz´ es. A m´ odszer alkalmazhat´ o olyan esetekben is, amikor a mintav´eteli id˝ ok nem egym´ as eg´esz sz´ am´ u t¨ obbsz¨ or¨ osei. Ebben az esetben az algoritmus ciklusidej´et a mintav´eteli id˝ ok legkisebb k¨ oz¨ os oszt´ oj´ ara ´ all´ıtva minden szenzor adata feldolgozhat´ o. Azokban a ciklusokban, amikor egyik szenzor sem ad m´er´esi adatot, a K´ alm´ an-sz˝ ur˝ o predikci´ oja szolg´ altatja a becsl´est a 7. ´ abr´ anak megfelel˝ oen.
3.3. A bakdarun alkalmazott szenzorok A k´ıs´erletek sor´ an haszn´ alt bakdaru modellen t¨obbf´ele szenzor is rendelkez´esre ´all. Haszn´alunk inkrement´ alis ad´ okat a kocsi elmozdul´as´anak ´es a k¨ot´el hossz´anak m´er´es´ere is. Az ad´ok 500 inkremenssel rendelkeznek, amelyek a n´egyszeres ki´er´eskel´esnek k¨osz¨onhet˝oen 2π ogfelbont´ ast eredm´enyeznek. A bakdarun alkalmazott inkrement´alis ad´ok k¨oz¨ ul 2000 -es sz¨ kett˝o a 8. ´ abr´ an l´ athat´ o. Egy kis t¨ omeg˝ u f´emszerkezet (a k¨ozvet´ıt˝oelem) egyik v´eg´et r¨ogz´ıtj¨ uk a kocsin, amely a r¨ogz´ıt´esi pont k¨ or¨ ul szabadon elfordulhat, a m´asik v´ege k¨oveti a k¨ot´el mozg´as´at. A konstrukci´ o kivitelez´es´et a 9. ´ abra mutatja. A kocsihoz r¨ogz´ıtett v´eg´enek elfordul´as´at inkrement´alis ad´ oval m´erj¨ uk, ´ıgy a k¨ ot´el leng´esi sz¨og´enek m´er´es´ere alkalmas ´erz´ekel˝ot nyer¨ unk. Ugyan a szenzor mozg´ or´esz´enek tehetetlens´ege igen kicsi, a leng´est m´egis befoly´asolja, a m´ert jelben felharmonikust okoz. Ezeken fel¨ ul alkalmazunk k´et u ´gynevezett h´ezag szenzort is, amelyek a 10. ´abr´an l´athat´ok. Ezekben a szenzorokban egy-egy l´ezer m˝ uk¨odik, amely sugar´at megszak´ıtja a szenzor ´erz´ekel´esi ter¨ ulet´en ´ athatol´o t´argy. A sug´ar megszak´ıt´as´anak hat´as´ara a szenzor kimenete logikai null´ ab´ ol egybe v´ alt. A kiolvas´o elektronika seg´ıts´eg´evel a kimenetet a kiolvas´as ut´ an vissza´ all´ıtjuk logikai null´aba, ´ıgy a szenzor egy impulzussal jelzi ha a sug´ar megszak´ıtott ´ allapotba ker¨ ult. El˝ ofordul, hogy az ´erz´ekelt t´argy lassan halad ´at a szenzoron, ekkor az t¨ obb impulzust is leadhat. A pontoss´ag n¨ovel´ese ´erdek´eben az ism´etelt impulzusokat nem vessz¨ uk figyelembe, ha azok 0.1 sec id˝otartamon bel¨ ul k¨ovetik egym´ast. Az inkrement´ alis ad´ on alapul´ o sz¨ogm´er˝ot csak valid´aci´ora alkalmazzuk, annak jel´et nem haszn´ aljuk fel az ´ allapotbecsl´eshez. Az eddig ismertetett fizikai ´erz´ekel˝ok alapj´an a tov´abbiakban bemutatjuk az ´ allapotbecsl´eshez haszn´alt fizikai ´es virtu´alis szenzorokat, teh´at Ψ halmaz elemeit ´es a 3.2. szakaszban t´argyalt jellemz˝oiket.
26
3. Szenzorf´ uzi´o ´es ´allapotbecsl´es
Param´ eterek: ◦ nΞ : a megval´ osul´ o szenzorvari´aci´ok sz´ama ◦ x ˆ[0|0]: kezdeti ´ allapot becs¨ ult ´ert´eke ˆ ◦ d[−1|0]: kezdeti ismeretlen bemenetek becs¨ ult ´ert´eke ◦ Px [0|0]: kezdeti ´ allapot becsl´esi hib´aj´anak kovarianci´aja ◦ Pd [−1|0]: kezdeti ismeretlen bementek becsl´esi hib´aj´anak kovarianci´ aja Ism´ etl´ es k = 1, 2, . . . ∞-re: 1. µ(k) ´ allapotjelek beolvs´asa 2. i = ζ (µ(k)) ´ 3. Allapotbecsl´ es az i. K´alm´an-sz˝ ur˝ovel ˆ − 2|k − 1], (a) Inicializ´ al´ as x ˆ[k − 1|k − 1], d[k Px [k − 1|k − 1], Pd [k − 2|k − 1] ´ert´ekkel ˆ − 1|k − 1], Px [k|k − 1], (b) Predikci´ o: x ˆ[k|k − 1], d[k Pd [k − 1|k − 1] sz´am´ıt´asa x[k + 1] = φ (x[k], u[k], d[k], 0) alapj´ an (c) Friss´ıt´es: • ha i 6= 0: i. zj beolvas´asa ∀ψj ∈ Ψ eset´en, amelyre µj (k) = 1 ˆ − 1|k], Px [k|k], Pd [k − 1|k] sz´am´ıt´asa ii. x ˆ[k|k], d[k y[k] = gi (x[k], 0) alapj´an • ha i = 0: x ˆ[k|k] = x ˆ[k|k − 1] ˆ − 1|k] = d[k ˆ − 1|k − 1] d[k Px [k|k] = Px [k|k − 1]
Pd [k − 1|k] = Pd [k − 1|k − 1] 6. ´abra. Szenzorf´ uzi´ o algoritmusa nΞ k¨ ul¨onb¨oz˝o K´alm´an-sz˝ ur˝o haszn´alat´aval.
3.3. A bakdarun alkalmazott szenzorok
27
Param´ eterek: ◦ nΞ : a megval´ osul´ o szenzorvari´aci´ok sz´ama Inicializ´ al´ as: x ˆ[0|0] = E{x[0]} ˆ d[−1|0] = E{d[0]} Px [0|0] = cov{x[0] − x ˆ[0|0]} n o ˆ Pd [−1|0] = cov d[0] − d[−1|0]
Ism´ etl´ es k = 1, 2, . . . ∞-re: ˆ − 1|k − 1], Px [k|k − 1], 1. Predikci´ o: x ˆ[k|k − 1], d[k Pd [k − 1|k − 1] sz´ am´ıt´asa x[k + 1] = φ (x[k], u[k], d[k], 0) alapj´ an 2. µ(k) ´ allapotjelek beolvs´asa 3. i = ζ (µ(k)) 4. zi [k] beolvas´ asa a rendelkez´esre ´all´o szenzorokb´ol 5. Friss´ıt´es: • ha i 6= 0:
(a) zj beolvas´asa ∀ψj ∈ Ψ eset´en, amelyre µj (k) = 1 ˆ − 1|k], Px [k|k], Pd [k − 1|k] sz´am´ıt´asa (b) x ˆ[k|k], d[k y[k] = gi (x[k], 0) alapj´an
• ha i = 0:
x ˆ[k|k] = x ˆ[k|k − 1] ˆ − 1|k] = d[k ˆ − 1|k − 1] d[k Px [k|k] = Px [k|k − 1]
Pd [k − 1|k] = Pd [k − 1|k − 1] 7. ´abra. Szenzorf´ uzi´ o egyetlen t¨ obb kimeneti modellel rendelkez˝o rendszerhez tervezett K´alm´an-sz˝ ur˝ o seg´ıts´eg´evel.
28
3. Szenzorf´ uzi´o ´es ´allapotbecsl´es
a k¨ot´elhossz m´er´es´ehez haszn´alt inkrement´alis ad´o
sz¨ogm´er´eshez haszn´alt inkrement´alis ad´o 8. ´ abra. A bakdarun xr ´es xθ m´er´esre alkalmazott inkrement´alis ad´ok. felf¨ uggeszt´es
k¨ozvet´ıt˝o elem
9. ´abra. A bakdarun alkalmazott inkrement´alis ad´ora ´ep¨ ul˝o sz¨ogm´er˝o szenzor.
h´ezag szenzorok 10. ´ abra. A bakdarun alkalmazott h´ezag szenzorok. π 1. Az egyik inkrement´ alis ad´ ot x` m´er´esre haszn´aljuk fel. Az ad´o sz¨ogfelbont´asa 1000 , −5 sugara pedig hozz´ avet˝ olegesen 1.5 cm, teh´at bizonytalans´aga 10 m nagys´agrend˝ u. A jelfeldolgoz´ o elektronika pontatlans´aga ´es a jelterjed´es k¨ozben megjelen˝o zajok miatt a szenzor bizonytalans´ ag´at ink´abb σ` = 10−3 m-re becs¨ ulj¨ uk. Enn´el nagyobb pontoss´ agra az elmozdul´ as m´er´es´ehez nincs sz¨ uks´eg. A szenzorr´ol feltessz¨ uk, hogy minden mintav´etelkor szolg´ altat m´er´esi adatot, ez´ert ´allapotjele µ1 (k) ≡ 1.
3.3. A bakdarun alkalmazott szenzorok
29
2. Egy tov´ abbi inkrement´ alis ad´ot xr m´er´es´ere haszn´alunk. Ez a szenzor azonos az el˝oz˝ ovel, teh´ at bizonytalans´ aga σr = σ` = 10−3 m, ´allapotjele µ2 (k) ≡ 1. 3. A 10. ´ abr´ an l´ athat´ o k´et h´ezag szenzor k¨oz¨ ul a pozit´ıv sz¨og ir´any´aba elhelyezked˝ot virtu´ alis szenzork´ent alkalmazzuk. A h´ezag szenzor kimenet´et ψ3 ´allapotjel´enek ´ tekintj¨ uk, a m´ert jele pedig az a θ+ ´ert´ek, amelyn´el a szenzor jelt ad. Ugy tekint¨ unk teh´ at e szenzorra, mintha θ-t m´ern´e, de nem minden mintav´eteli id˝oben szolg´ altatna adatot. Az ´erz´ekel˝ovel v´egzett m´er´esek alapj´an θ+ = 0.05 rad, bizonytalans´ aga σθ+ = 0.0025 rad. 4. A negat´ıv sz¨ ogek ir´ any´ aba elhelyezett h´ezag szenzort ψ3 -mal azonosan haszn´aljuk fel. A virtu´ alis ´erz´ekel˝ o adatai θ− ≈ −θ+ = −0.05 rad, σθ− ≈ σθ+ = 0.0025 rad. 5. Ha a daru k¨ otele a k´et szenzor k¨oz¨ott el´eg r¨ovid id˝o alatt halad ´at, akkor a kett˝o k¨oz¨ ott eltel id˝ o m´er´es´evel sz¨ ogsebess´eget is sz´am´ıtunk. Defini´aljuk az E3,4 esem´enyt E3,4 = {µ3 (k − ∆k) = 1 ´es µ4 (k) = 1 ´es
µ3 (k 0 ) = µ4 (k 0 ) = 0, ha k − ∆k < k 0 < k ´es ∆kTs < T∆
(3.35)
egyenl˝ os´eggel. E3,4 azt jelenti, hogy a k¨otelet el˝osz¨or a pozit´ıv, majd a negat´ıv ir´anyban elhelyezked˝ o h´ezag szenzor ´erz´ekeli rendre a k − ∆k. ´es k. mintav´etelkor. A kett˝ o k¨ oz¨ ott a k¨ ot´el nem halad ´at egyik szenzoron sem, ´es mindez T∆ id˝on bel¨ ul lezajlik. K´ıs´erleti tapasztalatok alapj´an T∆ = 0.5 sec ´ert´eket ´allap´ıtottunk meg. Az E4,3 esem´eny legyen az E3,4 -hez hasonl´o, de ford´ıtott szenzorsorrenddel, teh´at E4,3 = {µ4 (k − ∆k) = 1 ´es µ3 (k) = 1 ´es
µ3 (k 0 ) = µ4 (k 0 ) = 0, ha k − ∆k < k 0 < k ´es ∆kTs ≤ T∆ .
A sz¨ ogsebess´eg ´ert´ek´et, vagyis a virtu´alis ψ5 kimenet´et θ− −θ+ , ha E3,4 k¨ ovetkezik be a k − 1. ´es k. mintav´etel k¨oz¨ott ∆kTs θ+ −θ− ˙ = θ[k] ha E4,3 k¨ ovetkezik be a k − 1. ´es k. mintav´etel k¨oz¨ott ∆kTs , ∅, egy´ebk´ent
(3.36)
(3.37)
szab´ aly alapj´ an sz´ am´ıtjuk. A virtu´alis szenzor ´allapotjele ezek szerint 1, ha E3,4 vagy E4,3 k¨ovetkezik be a k − 1. ´es k. mintav´etel k¨oz¨ott µ5 (k) = . 0, egy´ebk´ent (3.38) , ahol T a deriv´ al´as A m´er´es bizonytalans´ aga σθ˙ = σθ+ + σθ− + Ts = 6 · 10−3 rad s sec k¨ozel´ıt´es´ere haszn´ alt Euler-m´ odszer hib´aja. A megval´ osul´ o ´ allapotjel vari´ aci´ok ´es a hozz´ajuk rendelt sorsz´am a 3. t´abl´azatban olvashat´o. Ezek alapj´ an a daru UKF ´altal haszn´alt (3.34) m´er´esi modellje g1 (x[k]) + v1 [k], ha ζ(µ(k)) = 1 g2 (x[k]) + v2 [k], ha ζ(µ(k)) = 2 g3 (x[k]) + v3 [k], ha ζ(µ(k)) = 3 , z[k] = (3.39) g4 (x[k]) + v4 [k], ha ζ(µ(k)) = 4 g5 (x[k]) + v5 [k], ha ζ(µ(k)) = 5
30
3. Szenzorf´ uzi´o ´es ´allapotbecsl´es
µ1 1 1 1 1 1
µ2 1 1 1 1 1
µ3 0 1 0 1 0
µ4 0 0 1 0 1
µ5 0 0 0 1 1
ζ 1 2 3 4 5
3. t´abl´azat. ζ hozz´ arendel´es defin´ıci´oja a bakdarun alkalmazott szenzorok eset´en. A t´abl´azatban nem szerepl˝ o vari´ aci´ ok nem fordulhatnak el˝o, ha m´egis, akkor azokat hib´anak kell tekinteni. T T ahol g1 (x[k]) = ` r , g2 (x[k]) = g3 (x[k]) = ` r θ , g4 (x[k]) = g5 (x[k]) = T uk a virtu´alis m´er´esekkel, teh´at ` r θ θ˙ . A szenzorok jeleit ζ 6= 1 eset´en kieg´esz´ıtj¨ az UKF bemenet´ere r´ aadjuk a megfelel˝o sz´am´ıtott sz¨og ´es sz¨ogsebess´eg ´ert´eket. Az UIKF eset´en is haszn´ aljuk ezeket a virtu´alis m´er´eseket, azonban itt a m´er´esi eredm´enyek helyett z[k] − Cx0 ´ert´eket dolgozzuk fel, mivel az UIKF ´altal haszn´alt modellt lineariz´al´ assal kaptuk. A gi f¨ uggv´enyek ugyanezen okb´ol Ci δx alak´ uak, i = 1, 2, . . . 5. A kimeneti m´ atrixok ´ert´eke 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 , C2 = C3 = 0 1 0 0 0 0 , C1 = 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 (3.40) 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 C4 = C5 = 0 0 1 0 0 0 . 0 0 0 0 0 1 Mindk´et sz˝ ur˝ o azonos m´er´esi zaj kovarianci´akat haszn´al, amelyek ´ert´eke a szenzorok bizonytalans´ ag´ ab´ ol k¨ ovetkezik. Az ´erz´ekel˝oket f¨ uggetlennek felt´etelezve 2 2 2 0 σ` 0 0 σ` 0 σ` 0 Pv,1 = , Pv,2 = 0 σr2 0 , Pv,3 = 0 σr2 0 , 0 σr2 0 0 σθ2− 0 0 σθ2+ 2 2 (3.41) 0 0 σ` 0 0 0 σ` 0 0 σr2 0 0 σr2 0 0 0 , Pv,5 = . Pv,4 = 0 0 σθ2 0 0 σθ2 0 0 − + 0 0 0 σθ2˙ 0 0 0 σθ2˙ A rendszer kimeneti modellj´enek ismeret´eben a diszkr´et idej˝ u line´aris modell ´allapotbecsl´es szempontj´ ab´ ol fontos k´et tulajdons´ag´at tudjuk meg´allap´ıtani. ´ ıt´ 3. All´ as. A diszkr´et idej˝ u line´ aris id˝ oinvari´ ans darumodell a C1 , C2 . . . , C5 kimeneti m´ atrixok mindegyike eset´en teljesen megfigyelhet˝ o. Bizony´ıt´ as. Diszkr´et idej˝ u line´ aris ´es id˝oinvari´ans rendszerek eset´en a megfigyelhet˝os´egi m´atrix defin´ıci´ oja C CΦ O= (3.42) , .. . CΦnx −1
3.3. A bakdarun alkalmazott szenzorok
31
a teljes megfigyelhet˝ os´eg sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etele, hogy rank{O} = nx teljes¨ ulj¨on [Lan01, 283. o.]. A megfigyelhet˝ os´egi m´ atrix ζ = 1 esetben 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 mg(sin(ω T )−ω T s) 2mg 0 s 0 2 ω0 Ts Ts 0 − 1 0 M ω2 sin 2 M ω03 0 0 1 0 0 T 0 s 2 2mg sin (ω0 Ts ) mg(sin(2ω0 Ts )−2ω0 T s) 2T s 0 − 1 0 2 3 M ω0 M ω0 0 1 0 0 2T s 0 O1 = (3.43) mg(sin(3ω0 Ts )−3ω0 T s) . mg(cos(3ω0 Ts )−1) 3T 0 − 1 0 − s 2 3 M ω M ω 0 0 0 1 0 0 3Ts 0 2 mg(sin(4ω0 Ts )−4ω0 T s) 2mg sin (2ω0 Ts ) 4T 0 − 1 0 s 2 3 M ω0 M ω0 0 1 0 0 4Ts 0 mg(sin(5ω0 Ts )−5ω0 T s) 1 0 − mg(cos(5ω0 Ts )−1) 5T 0 − s 2 3 M ω0 M ω0 0 1 0 0 5Ts 0 V´alasszuk ki O1 els˝ o¨ ot sor´ at ´es a hetediket is. Az ´ıgy k´epzett m´atrix determin´ansa 4m2 g 2 Ts2 sin (ω0 Ts ) 2 2 ω0 Ts . (3.44) − sin (ω0 Ts ) − 4 sin 2 M 2 ω05 A kifejez´esben megjelen˝ o param´eterek k¨oz¨ ul M , m, J, ρ inerciaparam´eterek, teh´at ´ert´ek¨ uk csak pozit´ıv lehet, g pozit´ıv fizikai ´ alland´o, Ts pedig mintav´eteli id˝o, amely szint´en null´an´al nagyobb. A (2.35) ¨ osszef¨ ugg´es ´es a benne megjelen˝o mennyis´egekre tett megk¨ot´es ´ertelm´eben ω0 is pozit´ıv sz´ am. Ezek szerint (3.44) determin´ans ´ert´eke akkor ´es csak akkor lehet nulla ha 2 2 ω0 Ts sin (ω0 Ts ) = 4 sin (3.45) 2 A bal oldalt ´ atalak´ıtva sin (ω0 Ts ) = 2 sin ω02Ts cos ω02Ts trigonometrikus azonoss´ag seg´ıts´eg´evel ω0 Ts cos2 =1 (3.46) 2 felt´etelt kapjuk. A param´eterek pozit´ıv ´ert´eke miatt ez sosem teljes¨ ul, ez´ert (3.44) determin´ans a param´eterek semmilyen el˝ ofordul´o ´ert´eke mellett nem nulla. Ez azt is jelenti hogy az O1 m´ atrixb´ol kiv´alasztott r´eszm´atrix teljes rang´ u, azaz rangja hat, ami ekvivalens azzal hogy oszlopai line´arisan f¨ uggetlenek. Egy line´arisan f¨ uggetlen vektorrendszer elemeit ak´ armilyen u ´jabb komponensekkel b˝ov´ıtve a rendszer line´arisan f¨ uggetlen marad, ez´ert O1 oszlopai is line´arisan f¨ uggetlenek. Eszerint rank{O1 } = 6 = nx , vagyis a rendszer a C1 kimeneti m´ atrixszal teljesen megfigyelhet˝o. A C2 = C3 , C4 = C5 kimeneti m´atrixokat u ´gy kapjuk hogy C1 -et sorokkal b˝ov´ıtj¨ uk, ez´ert Oi m´ atrixok is sorok hozz´ at´etel´evel ´allnak el˝o O1 -b˝ol i = 2, 3, 4, 5. A kor´abbi okfejt´es alapj´ an teh´ at elmondhat´ o hogy az ¨osszes megfigyelhet˝os´egi m´atrix oszlopai line´arisan f¨ uggetlenek, ´ıgy a line´ aris modell minden Ci kimenetei m´atrix eset´en teljesen megfigyelhet˝o i = 1, 2, . . . 5. ´ ıt´ 4. All´ as. A diszkr´et idej˝ u line´ aris id˝ oinvari´ ans darumodell ´ allapotmegfigyel´es´ere a bemeneteket ismeretlennek felt´etelezve a C1 , C2 , . . . , C5 kimeneti m´ atrixok mindegyike eset´en konstru´ alhat´ o UIKF.
32
3. Szenzorf´ uzi´o ´es ´allapotbecsl´es
Bizony´ıt´ as. Az UIKF konstru´ alhat´ os´ag´anak sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etele, hogy a bakdaru line´aris modellje a (3.6)-(3.9) krit´eriumokat kiel´eg´ıtse. Az ismeretlen bemenetek sz´ ama a kimeneti modellt˝ol f¨ uggetlen¨ ul kett˝o. A kimenetek sz´ama kett˝ o, h´ arom vagy n´egy, teh´ at (3.6) minden esetben teljes¨ ul. A kimeneti m´atrixok rangja rank{C1 } = 2, rank{C2 } = rank{C3 } = 3, rank{C4 } = rank{C5 } = 4, amit ¨osszevetve a kimenetek sz´ am´ aval l´ athat´o, hogy (3.7) felt´etel is teljes¨ ul. A (3.9) kiel´eg¨ ul´es´enek vizsg´ alat´ ahoz tekints¨ uk 2 Ts 2mg 2 ω0 Ts + sin − 4 2 2 M ω0 xr,0 C1 Γd = 2M 0
ω0 Ts 2 2
0 ρTs2 − 2(mρ 2 +J)
(3.47)
m´atrixot. A rendszer param´etereinek fizikai jelent´ese miatt M, m, J, ρ, Ts > 0, ´es ebb˝ol k¨ovetkez˝oen ω0 > 0. C1 Γd rangja akkor akkor ´es csak akkor nem kett˝o, ha 2 ! ω T Ts2 2mg ω T 0 s 0 s + 2 4 sin2 − = 0. (3.48) 2M 2 2 M ω0 xr,0 ´ Atrendezve 2
sin
ω0 Ts 2
−
ω0 Ts 2
2
T 2 M ω04 xr,0 =− s =− 4mg
ω0 Ts 2
2
M ω02 xr,0 mg
(3.49)
egyenletet kapjuk. A jobb oldalon ω02 hely´ere (2.34) szerinti kifejez´est ´ırva (3.49) ´atrendezhet˝o M ω0 Ts 2 2 ω0 Ts sin + =0 (3.50) 2 m 2 alakra. Mivel a param´eterek pozit´ıvak, (3.50) sosem teljes¨ ul. Ezek szerint a rendszer param´etereinek miden el˝ ofordul´ o ´ert´eke eset´en rank{C1 Γd } = 2. Mivel C1 Γd a Ci Γd m´atrixok fels˝ o blokkja i = 2, 3, 4, 5 eset´en, ez´ert 2 ≤ rank{Ci Γd }. E m´atrixok oszlopainak sz´ama kett˝ o, ez´ert rank{Ci Γd } ≤ 2 is igaz, ´ıgy rank{Ci Γd } = 2, i = 1, 2, . . . 5. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy (3.9) felt´etel is teljes¨ ul miden kimenti modell eset´en. Mivel C1 Γd fels˝ o blokkja Γd m´ atrixnak is, ez´ert az el˝obbi okfejt´eshez hasonl´oan l´athat´o hogy rank{Γd } = 2. E szerint a (3.8) felt´etellel egy¨ utt valamennyi tervez´esi krit´erium kiel´eg¨ ul.
4 K´ıs´ erleti eredm´ enyek A 3. fejezetben bemutatott m´ odszereket laborat´oriumi k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott egy darumodellen v´egzett m´er´esek feldolgoz´as´aval v´egezz¨ uk. A daru mozg´as´ar´ol r¨ogz´ıtett jelek a 12. ´abr´an l´ athat´ ok. A beavatkoz´ o jelek ´es x` , xr , xθ ´ert´ekek k¨ozvetlen¨ ul rendelkez´es¨ unkre ´allnak. Ut´ obbiak a 3.3. szakaszban ismertetett inkrement´alis ad´ok ´es a 9. ´abra mechanikus sz¨ogm´er˝ oje seg´ıts´eg´evel m´erhet˝ ok. A sebess´egeket a m´er´esek numerikus deriv´al´as´ab´ol kaptuk Euler-m´ odszerrel, ´es lok´ alisan s´ ulyozott regresszi´o alap´ u sim´ıt´assal (locally weighted scatterplot smoothing - LOWESS) [Cle79]. A sim´ıt´as az ´allapotbecsl´esben nem j´atszik szerepet, csak az ¨ osszehasonl´ıthat´ os´ agot seg´ıti. A teher a gravit´ aci´ o hat´ as´ ara zuhanni kezdene, ez´ert a k¨ot´elhossz el˝o´ırt ´ert´eken tart´as´ara P szab´ alyoz´ ot haszn´ alunk. Ett˝ol eltekintve a jeleket felnyitott k¨orben r¨ogz´ıtett¨ uk, amelyben a tol´ oer˝ ot ´es a k¨ ot´elhossz ra alapjel´enek ´ert´eket k´ezi beavatkoz´oszervekkel ´all´ıtottuk el˝o. Az ´ıgy kapott rendszer blokkv´azlata l´athat´o a 11. ´abr´an. uF ra
+ -
uT
P szab´alyz´o
bakdaru
x` xθ xr
xr 11. ´abra. A m´er´eshez haszn´ alt felnyitott k¨or blokkv´azlata a k¨ot´elhosszt szab´alyoz´o P szab´alyoz´ oval. A beavatkoz´ o jeleken j´ ol megfigyelhet˝o a s´ url´od´as hat´asa. L´athat´o hogy az er˝o egy r¨ovid ideig u ´gy n¨ ovekszik, hogy a kocsi nem mozdul meg, mivel uF addig nem l´epi ´at a tapad´as hat´ ar´ at. A hetedik m´ asodperc k¨orny´ek´en van egy r¨ovid negat´ıv er˝oimpulzus, amelyre a rendszer szint´en a tapad´ as miatt nem reag´al. A P szab´alyoz´o a k¨ot´el hossz´at j´o pontoss´ aggal az el˝ o´ırt ´ert´eken tartja, csup´an kis m´ert´ek˝ u t´ ull¨ov´es ´eszlelhet˝o xr jelben. Itt is megfigyelhet˝ o, hogy xr˙ csak akkor kezd n¨ovekedni, amikor uT m´ar meghaladta a tapad´asi hat´ art. A kocsit r¨ ovid er˝ oimpulzusok seg´ıts´eg´evel elmozgatjuk a s´ın ment´en n´eh´any poz´ıci´oba. Ek¨ozben a teher az ipari viszonyokhoz k´epest nagy leng´eseket produk´al, el˝ofordul, hogy xθ meghaladja a 12 ◦ -ot is. A leng´es cs¨ okkent´es´ere egy kezdetleges m´odszer a kocsit a leng´es sz´els˝o helyzet´eben a leng´es ir´ any´ aba mozd´ıtani. Ezt a technik´at azonban neh´ez alkalmazni, a beavatkoz´ as kezdete ´es a kocsi t´enyleges megmozdul´asa k¨ozti k´esleltet´es miatt (ami a s´ url´od´as k¨ ovetkezm´enye). A 12. ´ abr´an l´athat´o, hogy az amplit´ ud´ot csak kis m´ert´ekben siker¨ ult ´ıgy cs¨ okkenteni. Ez is j´ ol szeml´elteti a k´ezi ir´any´ıt´as neh´ezs´eg´et daruk eset´en. A laborat´ oriumi darumodellen csak kis k¨ot´elhosszok val´os´ıthat´ok meg, ez okozza a teher leng´es´enek nagy frekvenci´ aj´ at. Az 25. ´es 30. m´asodperc k¨oz¨ott a kocsi ´all, ´es ekkor hozz´avet˝olegesen h´ arom peri´ odus zajlik le. Ez alapj´an a leng´es k¨orfrekvenci´aja 3.8 rad/sec. Mivel a kocsi ´ all, a line´ aris modell a (2.34) ¨osszef¨ ugg´ese M → ∞ hat´ar´ert´ekben ´erv´enyes, ami alapj´ an s r (M + m) g g rad = = 4.2 (4.1) lim M →∞ M xr,0 xr,0 sec
34
4. K´ıs´erleti eredm´enyek
´ert´eket kapjuk. A m´ert ´es sz´ am´ıtott ´ert´ek k¨ozel esik egym´ashoz, figyelembe v´eve azt is hogy a k¨ ul¨ onbs´eg¨ uket a grafikon pontatlan leolvas´asa is okozza. A bakdaru line´ aris modellje a 3. a´ll´ıt´as ´ertelm´eben megfigyelhet˝o csak x` ´es xr m´er´es´evel is ha nincs jelen s´ url´ od´ as. Ebben az esetben az ´allapotbecsl´es megval´os´ıthat´o a h´ezag szenzor jel´et nem felhaszn´ alva, teh´ at egyszer˝ uen a 3.1. szakaszban bemutatott K´alm´ansz˝ ur˝okkel is. Az ´ıgy v´egzett sz¨ ogbecsl´es hib´aj´at mutatja 13. ´abra. L´athat´o hogy a hiba kezdetben kicsi, azonban az id˝ o m´ ul´as´aval egyre n¨ovekszik. Ennek f˝ o oka a s´ url´ od´ as jelenl´ete. Amikor a kocsi a tapad´as k¨ovetkezt´eben meg´all, x` ´es xr v´altozatlan, csak uT ingadozhat a k¨ot´elhossz v´altoz´as´anak kompenz´al´asra. A beavatkoz´o jelek ´ert´eke azonban megb´ızhatatlan a s´ url´od´as miatt a 2. fejezetben t´argyaltak alapj´an. Ezek szerint a kocsi ´ all´ o helyzet´eben az ismert jelek ´ert´eke nem hordoz inform´aci´ot a teher poz´ıci´ oj´ ar´ ol. A K´ alm´ an-sz˝ ur˝ok becsl´esei teh´at ink´abb szimul´aci´ok, amelyek a modell pontatlans´ agaira ´erz´ekenyek. Ennek hat´as´ara marad´o amplit´ ud´o ´es f´azishiba keletkezik a becsl´esben, ez´ert periodikusak a hib´ak a 13. ´abr´an. A s´ url´od´ast is figyelembe v´eve teh´at a hosszm´er´esek el´egtelenek, a h´ezag szenzorok alkalmaz´asa indokolt a becsl˝ok konvergenci´ aj´ anak jav´ıt´ as´ ara. 5. Megjegyz´ es. A 14. ´ abra szeml´elteti azt az esetet, amikor szint´en puszt´ an inkrement´ alis ad´ ok jel´enek felhaszn´ al´ as´ aval az ´ allapotbecsl´est a line´ aris diszkr´et idej˝ u darumodellhez tervezett CKF-fel v´egezz¨ uk. Els˝ o r´ an´ez´esre a hiba ekkor nem t˝ unik jelent˝ osen k¨ ul¨ onb¨ oz˝ onek a 13. ´ abr´ an l´ athat´ ot´ ol. Vegy¨ uk figyelembe azonban, hogy a becsl´es ez esetben kezdett˝ ol fogva pontatlan, a f´ azis ´es amplit´ ud´ o az els˝ o m´ asodpercekt˝ ol elt´er a val´ odit´ ol. Ezek ut´ an a hiba amplit´ ud´ oja esetleg lehet kisebb, mint az UIKF-n´el tapasztalt, az UIKF azonban a CKF-rel szemben kezdetben val´ oban pontos becsl´eseket produk´ alt. Ez arra utal, hogy ha bizonyos id˝ ok¨ oz¨ onk´ent a sz¨ og ´ert´ek´er˝ ol rendelkez´esre ´ all pontos inform´ aci´ o, akkor a CKF-rel ellent´etbe a zavart bemenet˝ u rendszerekhez tervezett becsl˝ ok hossz´ u t´ avon is k´epesek pontos becsl´eseket produk´ alni. K´ıs´erleti eredm´enyek alapj´ an is l´ athatjuk teh´ at, hogy az ismeretlen bemenet˝ u becsl˝ ok alkalmaz´ asa indokolt. A tov´ abbiakban a bakdaru ´ allapotbecsl´es´ere a 3. fejezetben ismertetett algoritmust alkalmazzuk. A 15. ´ abr´ an l´ athat´ o a virtu´alis ψ3 , ψ4 , ψ5 szenzor ´allapotjele. A 3.3. szakaszban feltett¨ uk, hogy az inkrement´alis ad´ok miden id˝opontban rendelkez´esre ´allnak, teh´at azok ´ allapotjele µ1 (k) = µ2 (k) ≡ 1. Mivel a teher leng´ese viszonylag nagy frekvenci´aj´ u, a sz¨ og m´ert ´ert´eke is gyakran rendelkez´esre ´all, viszont mindig csak egy mintav´eteli peri´odusra, ez´ert a jelek r¨ ovid idej˝ u impulzusok. L´athat´o, hogy ha a teher el´eg gyorsan lend¨ ul ´at a k´et h´ezag szenzor k¨ oz¨ ott, akkor a sz¨ogsebess´eg m´ert ´ert´eke is rendelkez´esre ´all. Az UIKF becsl´esi hib´ aja x` ´es x`˙ eset´en 16. ´abr´an l´athat´o. A hiba sz´am´ıt´asakor a m´ert ´es becs¨ ult jelet hasonl´ıtjuk ¨ ossze, ez´ert azt nem csak a becsl´es, hanem a m´er´es pontatlans´aga is okozhatja. Az ¨ osszehasonl´ıt´as a sebess´eg eset´en egy sim´ıtott jellel t¨ort´enik, ´ıgy ott a hiba ´ertelmez´ese m´eg bizonytalanabb. A bemutatott grafikonok viszont a pontoss´ag nagys´agrendj´enek meg´ allap´ıt´ as´ ara alkalmasak. Az UIKF a poz´ıci´ ot n´eh´ any millim´eter hib´aval k´epes becs¨ ulni. A becsl˝o zajsz˝ ur˝o k´epess´ege viszont korl´ atozottnak bizonyul, a deriv´alt jelben a m´er´esi zaj megjelenik. Megfigyelhet˝o azonban, hogy a h´ezag szenzorok hat´as´ara a hiba ugr´asszer˝ uen v´altozik, sokszor lecs¨okken. A k¨ot´elhossz becsl´esi hib´ aj´ at a 17. ´abra illusztr´alja. A becsl´es ez esetben is nagyon pontos, csak tranziens ´ allapotban mutatkozik elt´er´es a null´at´ol. Miut´an azonban az xr t megv´altoztatjuk a P szab´ alyoz´ o seg´ıts´eg´evel, xr˙ becsl´ese nagy hib´aval terhelt x`˙-hoz hasonl´oan.
3 2 1 0 −1 −2 −3 0
5 10 15 20 25 30 35 40 t [sec]
0.6
0.4
0.4
0.2 0.0 −0.2 0
xr˙ [m/sec]
xr [m]
0.8 0.7 0.6 0.5 0
5 10 15 20 25 30 35 40 t [sec]
xθ˙ [rad/sec]
0.2 0.1 0.0 −0.1 −0.2 0
5 10 15 20 25 30 35 40 t [sec]
0
5 10 15 20 25 30 35 40 t [sec]
0.2 0.0 −0.2 −0.4
5 10 15 20 25 30 35 40 t [sec]
0.9
xθ [rad]
0.06 0.04 0.02 0.00 −0.02 −0.04 −0.06
0.6 x`˙ [m/sec]
x` [m]
35
uT [Nm]
uF [N]
4. K´ıs´erleti eredm´enyek
0.3 0.2 0.1 0.0 −0.1 −0.2 −0.3
1.5 1.0 0.5 0.0 −0.5 −1.0 −1.5
0
5 10 15 20 25 30 35 40 t [sec]
0
5 10 15 20 25 30 35 40 t [sec]
0
5 10 15 20 25 30 35 40 t [sec]
12. ´abra. A bakdaru mozg´ as´ ar´ ol r¨ ogz´ıtett jelek. Az x`˙, xr˙ ´es xθ˙ ´er´etkek numerikus deriv´al´as ´es sim´ıt´as eredm´enyei.
36
4. K´ıs´erleti eredm´enyek
xθ − x ˆθ [rad]
0.2
xθ − x ˆθ [rad]
0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 −0.1 −0.2 −0.3 −0.4
0.1 0.0
−0.1
0
5 10 15 20 25 30 35 40 t [sec]
−0.2
0
5 10 15 20 25 30 35 40 t [sec]
13. ´abra. A leng´esi sz¨ og becsl´es´enek hib´ai csak x` ´es xr m´er´es´evel rendre UIKF-rel ´es UKF-rel.
xθ − x ˆθ [rad]
0.3 0.2 0.1 0.0 −0.1 −0.2 −0.3
0
5 10 15 20 25 30 35 40 t [sec]
14. ´abra. A leng´esi sz¨ og becsl´es´enek hib´aja csak x` ´es xr m´er´es´evel CKF alkalmaz´asa eset´en. Az UIKF ´ altal becs¨ ult sz¨ ogsebess´eg sem pontos, ahogy azt a 18. ´abra mutatja. A sz¨ogbecsl´es hib´ aja viszont kisebb, mint a h´ezag szenzor alkalmaz´asa n´elk¨ uli esetben a 13. ´abr´an. A hiba itt is periodikus jelleget mutat, de itt ez a mechanikus sz¨ogm´er˝o okozta felharmonikus k¨ ovetkezm´enye. A 19. a´br´an l´athat´o a m´ert ´es becs¨ ult jelek ¨osszehasonl´ıt´asa. Az ´abra alapj´ an az UIKF becsl´ese amplit´ ud´ohib´as, de a m´ert jelben l´athat´o ingadoz´as a becsl´esben nem jelenik meg. Mivel egy val´os darun ez a jelens´eg nem tapasztalhat´o, a felharmonikus jelenl´ete okozta elt´er´es nem tekinthet˝o hib´anak. A k¨ot´elhossz v´altoztat´asa azonban tov´ abbi hib´ at eredm´enyez, mivel e miatt a rendszer elt´avolodik a munkapontt´ol, amely k¨orny´ek´en a lineariz´ alt modell pontos. Az UKF nemline´ aris modellt haszn´al a becsl´eshez, ´ıgy annak pontoss´aga nem f¨ ugg a munkapontt´ ol val´ o elt´ avolod´ ast´ ol. A 20. ´abra alapj´an a kocsi poz´ıci´oj´at ´es sebess´eg´et is pontosan becsli. A h´ezag szenzorok kis bizonytalans´ag´ u jel´enek pillanatszer˝ u rendelkez´esre ´all´asakor a becsl˝ o´ allapotai ugr´ asszer˝ uen v´altoznak, ez okozza a hibajelekben megjelen˝o t¨ usk´eket. Az UIKF-n´el pontosabbak a becsl´esek, k¨ ul¨on¨osen a sebess´eg eset´en. A k¨ot´elhossz hib´ aja a 21. ´ abr´ an l´athat´o m´odon hasonl´oan alacsony az UIKF-hez, x ˆr˙ viszont nagys´ agrendekkel pontosabb. Itt is megjelennek a t¨ usk´ek, amelyek az becs¨ ult jelek ugr´asszer˝ u v´ altoz´ as´ anak k¨ ovetkezm´enyei. Az alapjelv´alt´as okozta tranziensben a hiba csak r¨ovid id˝ore n˝ o meg, ´es ´ert´eke ekkor is viszonylag alacsony marad.
37
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
µ4
µ3
4. K´ıs´erleti eredm´enyek
0.4 0.2
0.4 0.2
0.0
0.0 0
5
10 15 20 25 30 35 40 t [sec]
0
5
10 15 20 25 30 35 40 t [sec]
1.0
µ5
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0
5
10 15 20 25 30 35 40 t [sec]
15. ´ abra. A virt´ alus sz¨ og- ´es sz¨ogsebess´eg´erz´ekel˝ok ´allaptjelei.
x`˙ − x ˆ`˙ [m/sec]
20
x` − x ˆ` [m]
0.004 0.002 0.000 −0.002 −0.004 −0.006 −0.008 −0.010
10 0
−10
0 5 10 15 20 25 30 35 40 t [sec]
−20
0
5 10 15 20 25 30 35 40 t [sec]
16. ´abra. A kocsi poz´ıci´ oj´ anak ´es sebess´eg´enek becsl´esi hib´aja UIKF alkalmaz´asa eset´en. A sz¨ogbecsl´es pontoss´ aga majdnem k´et nagys´agrenddel jobb a 13. ´abr´ahoz k´epest, ´es hozz´avet˝olegesen egy nagys´ agrenddel jobb az UIKF eredm´eny´evel ¨osszehasonl´ıtva. Fontos kiemelni hogy a 13. m´ asodperc k¨ ozel´eben megn¨oveked˝o hiba a k´es˝obbiekben lecs¨okken. A becsl´esi hiba teh´ at ezzel az algoritmussal jobban konverg´al null´ahoz, mint a h´ezag szenzort nem haszn´ al´ ok a 13. ´ abr´ an l´ athat´ o hibagrafikonok alapj´an. Ax ˆθ˙ hibagrafikonj´ ar´ ol is l´ athat´ o, hogy az UKF jobb sz˝ ur´esi tulajdons´agokkal rendel-
38
4. K´ıs´erleti eredm´enyek
3 2 1 0 −1 −2 −3
xr˙ − x ˆr˙ [m/sec]
xr − x ˆr [m]
0.0003 0.0002 0.0001 0.0000 −0.0001 −0.0002 −0.0003
0 5 10 15 20 25 30 35 40 t [sec]
0
5 10 15 20 25 30 35 40 t [sec]
17. ´abra. A k¨ ot´el hossz´ anak ´es v´ altoz´asi sebess´eg´enek becsl´esi hib´aja UIKF alkalmaz´asa eset´en.
30 20 10 0 −10 −20 −30
xθ˙ − x ˆθ˙ [rad/sec]
xθ − x ˆθ [rad]
0.10 0.05 0.00
−0.05 0
5 10 15 20 25 30 35 40 t [sec]
0
5 10 15 20 25 30 35 40 t [sec]
18. ´abra. A leng´es sz¨ og´enek ´es sz¨ ogsebess´eg´enek becsl´esi hib´aja UIKF alkalmaz´asa eset´en.
xθ , x ˆθ [rad]
0.2 0.1 0.0 −0.1 −0.2
18 19 20 21 22 23 24 25 26 t [sec]
19. ´abra. M´ert ´es becs¨ ult sz¨ og ¨ osszehasonl´ıt´asa UIKF eset´en (folytonos - m´ert, szaggatott - becs¨ ult).
4. K´ıs´erleti eredm´enyek
x`˙ − x ˆ`˙ [m/sec]
0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 −0.02 −0.04 −0.06
x` − x ˆ` [m]
0.0008 0.0006 0.0004 0.0002 0.0000 −0.0002 −0.0004 −0.0006
39
0 5 10 15 20 25 30 35 40 t [sec]
0
5 10 15 20 25 30 35 40 t [sec]
20. ´abra. A kocsi poz´ıci´ oj´ anak ´es sebess´eg´enek becsl´esi hib´aja UKF alkalmaz´asa eset´en.
xr˙ − x ˆr˙ [m/sec]
0.010
xr − x ˆr [m]
0.0003 0.0002 0.0001 0.0000 −0.0001 −0.0002 −0.0003
0.005 0.000
−0.005
0 5 10 15 20 25 30 35 40 t [sec]
−0.010
0 5 10 15 20 25 30 35 40 t [sec]
21. ´abra. A k¨ ot´el hossz´ anak ´es v´ altoz´asi sebess´eg´enek becsl´esi hib´aja UKF alkalmaz´asa eset´en. kezik, mint line´ aris p´ arja. A 23. ´ abra ¨osszeveti a m´ert ´es sz´am´ıtott jeleket. Megfigyelhet˝o, hogy az UKF kisz˝ uri a mechanikus sz¨ogm´er˝o okozta torzul´ast is, ´ıgy a legt¨obb szakaszon x ˆθ ´es x ˆθ˙ jellegre a szenzor jel´en´el pontosabbnak tekinthet˝o. Ez abb´ol ered, hogy a (2.31) modell nem tartalmazza a k¨ ovet˝ oelemet, ´ıgy a becsl˝o nem tud e viselked´esr˝ol. Vizsg´aljuk meg a bemutatott algoritmusokat robusztuss´ag szempontj´ab´ol is. Ehhez a becsl˝ok ´ altal felhaszn´ alt M , m, J, ρ inerciaparam´eterek 2. t´abl´azatbeli ´ert´eke helyett εM , εm, εJ, ερ param´etereket haszn´aljuk, ε > 0. Mink´et becsl˝ovel elv´egezz¨ uk a becsl´est ε = 1.5, 0.5 esetre is, teh´ at az inerciaparam´etereket eltoljuk 50%-al mindk´et ir´anyba. A becsl´esi hib´ akat most csak xθ ´es xθ˙ eset´eben k¨oz¨olj¨ uk, mivel ezeket az ´allapotv´altoz´okat a legnehezebb becs¨ ulni, teh´ at ezek eredm´enyeib˝ol lehet k¨ovetkeztetni a t¨obbi pontoss´ag´ara is. A 24. ´ abra az UIKF hib´ aj´ at mutatja mindk´et ir´any´ u eltol´as eset´en. Meg´allap´ıthatjuk, hogy a grafikonok nagym´ert´ekben egyeznek a 18. ´abr´an l´athat´oval. Az UKF eset´en szint´en nem mutatkozik jelent˝ os elt´er´es a pontatlan param´eterek k¨ovetkezt´eben a 25. ´abra tan´ us´aga szerint. Az ε = 1.5 ´es az ε = 0.5 ´ert´ekhez tartoz´o g¨orb´ek is szinte teljesen fedik egym´ast mindk´et K´ alm´ an-sz˝ ur˝ o eset´en. Az eredm´enyek magyar´ azata r´eszben a modell tulajdons´agaiban r´eszben pedig abban keresend˝o, hogy a becsl˝ ok zavart bemenetekre vannak felk´esz´ıtve. Tekints¨ uk ugyanis a
40
4. K´ıs´erleti eredm´enyek
xθ − x ˆθ [rad]
xθ˙ − x ˆθ˙ [rad/sec]
0.06 0.04 0.02 0.00 −0.02 −0.04
1.0 0.5 0.0
−0.5
0
5 10 15 20 25 30 35 40 t [sec]
0
5 10 15 20 25 30 35 40 t [sec]
22. ´abra. A leng´es sz¨ og´enek ´es sz¨ ogsebess´eg´enek becsl´esi hib´aja UKF alkalmaz´asa eset´en.
xθ˙ , x ˆθ˙ [rad/sec]
xθ , x ˆθ [rad]
0.2 0.1 0.0 −0.1 −0.2
18 19 20 21 22 23 24 25 26 t [sec]
1.0 0.5 0.0 −0.5 −1.0
18 19 20 21 22 23 24 25 26 t [sec]
23. ´abra. A m´ert ´es sz´ am´ıtott jelek ¨osszevet´ese UKF-n´el. (folytonos - m´ert, szaggatott becs¨ ult) bakdaru (2.11) inerciam´ atrix´ at. L´ athat´o hogy ennek csup´an k´et eleme f¨ ugg az inerciaparam´eterekt˝ ol, melyek k¨ oz¨ ul az egyik a param´eterv´altoz´asra ´erz´eketlen, mivel H11 =
M εM + sin x2θ = + sin2 (xθ ) . εm m
(4.2)
A h vektormez˝ o nem f¨ ugg az inerciaparam´eterekt˝ol, ´ıgy ez v´altozatlan. A modell eddigi tagjai k¨oz¨ ul teh´ at csak H22 f¨ ugg ε-t´ ol. Az xθ becsl´es´enek pontoss´ag´at tov´abb n¨oveli, hogy a leng´est le´ır´ o (2.8) differenci´ alegyenlet f¨ uggetlen az inerciaparam´eterekt˝ol. A nyomat´ekokat kifejez˝o τ elemeit viszont befoly´ asolj´ak a v´altoz´asok, ennek u ´j alakja F F εm 1 mT T τ = − ερεm = − 1ε ρm . ε 0 0
(4.3)
Ez a torzul´ as a becsl´est azonban csak kev´ess´e befoly´asolja, mivel mindk´et becsl˝o zavar´assal terheltnek tekinti a nyomat´ekokat.
4. K´ıs´erleti eredm´enyek
30 20 10 0 −10 −20 −30
xθ˙ − x ˆθ˙ [rad/sec]
0.10 xθ − x ˆθ [rad]
41
0.05 0.00
−0.05 0
5 10 15 20 25 30 35 40 t [sec]
0
5 10 15 20 25 30 35 40 t [sec]
24. ´abra. Becsl´esi hib´ ak ε-szoros inercaiparem´eter ´ert´ekeket haszn´alva UIKF eset´en. (folytonos: ε = 1.5, szaggatott: ε = 0.5)
xθ − x ˆθ [rad]
xθ˙ − x ˆθ˙ [rad/sec]
0.06 0.04 0.02 0.00 −0.02 −0.04
1.0 0.5 0.0
−0.5
0
5 10 15 20 25 30 35 40 t [sec]
0
5 10 15 20 25 30 35 40 t [sec]
25. ´abra. Becsl´esi hib´ ak ε-szoros inercaiparem´eter ´ert´ekeket haszn´alva UKF eset´en. (folytonos: ε = 1.5, szaggatott: ε = 0.5) Bel´attuk teh´ at hogy a becsl´esre az inerciaparam´eterek eltol´asa nincs jelent˝os hat´assal, m ha ε minden param´eter eset´en azonos. Ha ez nem ´all fenn, de M ar´anyt viszonylag pontosan ismerj¨ uk, akkor a fent elmondottak ´erv´enyben maradnak. A folytonos idej˝ u m ´ert´ek´et˝ol f¨ ugg. line´aris modell ´ allapotm´ atrixa p´eld´ aul csak M Az eredm´enyek ki´ert´ekel´es´et ¨ osszefoglalva meg´allap´ıthatjuk hogy a 3.1. szakaszban le´ırt K´alm´ an-sz˝ ur˝ ok a 3.2. szakasz algoritmus´aval nagys´agrendekkel pontosabb´a ´es konvergenss´e v´ alnak. A k´et becsl´esi m´ odszer k¨oz¨ ul az UKF-re ´ep¨ ul˝o bizonyul pontosabbnak az UIKF-rel szemben, k¨ ul¨ on¨ osen a m´ert jelek deriv´altjainak becsl´es´eben. Az UIKF sz˝ ur´esi tulajdons´ againak jav´ıt´ asa tov´ abbi kutat´ast ig´enyel. A sz˝ ur˝o el˝onye azonban, hogy line´aris, ez´ert z´art k¨ or˝ u szab´ alyoz´ asban t¨ ort´en˝o alkalmaz´as sor´an nem sz¨ uks´eges a szepar´aci´os elv teljes¨ ul´es´enek vizsg´ alata. A sz´ am´ıt´asi ig´enye is az UIKF-nek kisebb. L´etezik azonban olyan UKF implement´ aci´ o, az u ´gynevezett n´egyzetgy¨ok unscented K´alm´an-sz˝ ur˝o (squareroot UKF - SR-UKF), amelynek sz´ am´ıt´asi ig´enye a kiterjesztett K´alm´an-sz˝ ur˝oj´ehez k¨ozeli [Hay+01, 273. o.]. Mindk´et sz˝ ur˝ o robusztusnak bizonyul az inerciaparam´eterek pontatlans´ag´aval szemben. 6. Megjegyz´ es. L´ athattuk, hogy a becsl˝ ok konvergenci´ aja javul, amennyiben a h´ezag szen-
42
4. K´ıs´erleti eredm´enyek
zor jele rendelkez´esre ´ all a fut´ as sor´ an. Azonban a h´ezag szenzor alkalmaz´ asa sor´ an is lehets´eges k´et szitu´ aci´ o, melyekben xθ hossz´ u ideig nem veszi fel a θ+ vagy θ− ´ert´eket. A nemline´ aris rendszer (2.31) egyenletrendszer´enek megold´ asa az a trajekt´ oria, amely ment´en x˙ `˙(t) = x ¨` (t) ≡ a0 , xr (t) ≡ r0 , xθ (t) ≡ θ0 . Ez azt jelenti, hogy megadhat´ ok olyan bemenetek, amelyek mellett a kocsi a ´lland´ o gyorsul´ assal mozog, ´es a teher ´ alland´ o θ0 sz¨ oggel lemaradva k¨ oveti. Ebben az esetben a h´ezag szenzorok nem detekt´ alnak ´ athalad´ ast. Ez a lehet˝ os´eg csak elm´eleti jelent˝ os´eg˝ u, mivel a daru mozg´ astere korl´ atos, teh´ at nem tud tetsz˝ olegesen hossz´ u ideig ´ alland´ o gyorsul´ assal mozogni. A m´ asik szitu´ aci´ oban a leng´esek amplit´ ud´ oja olyan kicsi, hogy a xθ v´egig θ+ ´es θ− k¨ oz¨ ott marad. Ez k¨ ul¨ on¨ osen olyankor fordulhat el˝ o, amikor z´ art k¨ orben m˝ uk¨ odik a daru ´es a szab´ alyoz´ o a kijel¨ olt poz´ıci´ o k¨ ozel´ebe vitte m´ ar a rendszert. A konvergencia teh´ at ´eppen olyan helyzetben v´ alik k´erd´esess´e, amikor a szab´ alyoz´ onak pontos becsl´esre van sz¨ uks´ege az el˝ o´ırt poz´ıci´ o el´er´es´ehez. E lehet˝ os´eg teh´ at a j¨ ov˝ obeli kutat´ asban tov´ abbi elemz´est k´ıv´ an. Annyit azonban elmondhatunk, hogy ekkor a becsl´esi hiba biztosan korl´ atos, hiszen θ− < xθ < θ+ .
5 ¨ Osszefoglal´ as A dolgozatban bakdaru ´ allapotmegfigyel´es´et vizsg´altuk abban az esetben, ha rendelkez´esre ´all inkrement´ alis ad´ o a kocsi elmozdul´as´anak ´es k¨ot´elhossz´anak m´er´es´ere, tov´abb´a k´et h´ezag szenzort is alkalmazunk a teher leng´esi sz¨og´enek k´et r¨ogz´ıtett ´ert´ek´enek detekt´al´as´ara. M´ odszert adtunk e szenzorok f´ uzi´oja mellett olyan becsl˝oalgoritmusok konstrukci´oj´ara, amelyek a s´ url´ od´ as ellen´ere k´epesek a leng´es sz¨og´et pontosan becs¨ ulni. R´amutattunk arra is, hogy csak az inkrement´alis ad´ok alapj´an mi´ert nem megoldhat´o a sz¨og becsl´ese, ´es a h´ezag szenzorok haszn´alata mi´ert jav´ıt a pontoss´agon ´es a konvergenci´an. M´er´esi eredm´enyek seg´ıts´eg´evel mutattuk be a m´odszerek eredm´enyess´eg´et. Ezek alapj´an arra a k¨ ovetkeztet´esre jutottunk hogy a s´ url´od´ast bemeneti zavar´asnak tekintve annak zavar´ o hat´ asa az ´ allapotbecsl´esre cs¨okkenthet˝o. Megmutattuk, hogy az UKF alap´ u algoritmus nagyobb sz´ am´ıt´ asi ig´eny ellen´eben eredm´enyesebben sz˝ uri a m´er´esi zajt, mint az UIKF. L´ attuk tov´ abb´ a, hogy mindk´et becsl˝o robusztus az inerciaparam´eterek pontatlan ismeret´evel szemben. Az ´allapotbecsl˝ ok tervez´ese sor´ an a daru ´altal sz´all´ıtott teher t¨omeg´et ismertnek t´etelezt¨ uk fel, azonban val´ os alkalmaz´asban ez nem ´all fenn. Erre a probl´em´ara megold´ast jelenthet az ´ allapotbecsl´es kombin´al´asa param´eterbecsl´essel. A szakirodalomban tal´alhat´o speci´ alisan a bakdaruhoz tervezett param´eterbecsl˝o elj´ar´as, amely megfelelhet e c´elnak [BN92]. A kutat´ as folytat´as´aban ebb˝ol kiindulva keres¨ unk egy alkalmas param´eterbecsl´esi algoritmust, valamint megvizsg´aljuk ennek seg´ıts´eg´evel ¨onhangol´o adapt´ıv ir´any´ıt´as konstrukci´ oj´ anak lehet˝ os´eg´et. Az ´allapotbecsl˝ ok m˝ uk¨ od´es´et felnyitott k¨orben mutattuk be, ez ut´an a becsl˝okre alapozott z´art k¨ or˝ u szab´ alyoz´ as m˝ uk¨ od´es´et tervezz¨ uk tesztelni. Ennek kapcs´an az egyik felmer¨ ul˝o probl´ema a becs¨ ult ´ allapotokban tapasztalt ugr´asszer˝ u v´altoz´as amely a h´ezag szenzorok jelad´ asakor k¨ ovetkezik be. Ilyen hirtelen v´altoz´o visszacsatol´asra beavatkoz´ast nem lehet alapozni, ´ıgy ezeket a helyzeteket valamilyen m´odszerrel ´at kell hidalni. Egy lehets´eges megold´ as a rendszer felnyitott k¨orben t¨ort´en˝o m˝ uk¨odtet´ese n´eh´any mintav´eteli peri´odusig a h´ezag szenzor jelad´ as´ at k¨ovet˝oen. A j¨ov˝oben m´odszert szeretn´enk biztos´ıtani e probl´ema megold´ as´ ara. A rendelkez´esre ´all´o szab´alyoz´ok k¨oz¨ ul a lineariz´al´o visszacsatol´ason alapul´ o p´ alyatervez˝ o ir´ any´ıt´ ast tervezz¨ uk els˝osorban alkalmazni, mivel ez az algoritmus haszn´ al ´ allapotmegfigyel˝ ot, amelyet kiv´althatnak a dolgozatban le´ırt becsl˝ok [RK11]. A szab´ alyoz´ as eredm´enyek´ent, k¨ ul¨on¨osen az kijel¨olt v´eg´allapot k¨ozel´eben kialakulhatnak olyan kis sz¨ og˝ u leng´esek is, amelyeket a h´ezag szenzor nem detekt´al. Ilyen helyzetekben sz¨ uks´eges megvizsg´ alni a becsl˝ok pontoss´ag´at ´es konvergenci´aj´at, mivel ett˝ol f¨ ugg hogy a szab´ alyozott bakdaru milyen pontoss´aggal k´epes k¨ovetni az el˝o´ırt p´aly´at.
K¨ osz¨ onetnyilv´ an´ıt´ as K¨osz¨on¨ om t´emavezet˝ omnek, Dr. Kiss B´alintnak a m´odszerek kidolgoz´asa sor´an adott hasznos ir´ anymutat´ as´ at ´es a m´er´esek elk´esz´ıt´es´eben ny´ ujtott seg´ıts´eg´et. K¨osz¨on¨om tov´abb´a a bakdaru m´er˝ orendszer´enek hardver´en ´es szoftver´en dolgoz´o tansz´eki hallgat´oknak, ´ amnak ´es Herbay M´at´enak a k´ıs´erletek elv´egz´es´ehez n´elk¨ k¨ozt¨ uk Lakatos Ad´ ul¨ozhetetlen hozz´aj´arul´ asukat.
Irodalomjegyz´ ek [AHDDW94]
Brian Armstrong-H´elouvry, Pierre Dupont, and Carlos Canudas De Wit. “A survey of models, analysis tools and compensation methods for the control of machines with friction”. In: Automatica 30.7 (1994), pp. 1083– 1138.
[BN92]
F Boustany and Brigitte d’Andrea Novel. “Adaptive control of an overhead crane using dynamic feedback linearization and estimation design”. In: Proceedings of the 1992 IEEE International Conference on Robotics and Automation. 1992, pp. 1963–1968.
[Cle79]
William S Cleveland. “Robust locally weighted regression and smoothing scatterplots”. In: Journal of the American statistical association 74.368 (1979), pp. 829–836.
[DZON95]
Mohamed Darouach, Michel Zasadzinski, A Bassong Onana, and Samuel Nowakowski. “Kalman filtering with unknown inputs via optimal state estimation of singular systems”. In: International journal of systems science 26.10 (1995), pp. 2015–2028.
[Hay+01]
Simon S Haykin et al. Kalman filtering and neural networks. Wiley Online Library, 2001.
[Hyl12]
Pawel Hyla. “The crane control systems: A survey”. In: Proceedings of the 2012 17th International Conference on Methods and Models in Automation and Robotics (MMAR). 2012, pp. 505–509.
[Kal+60]
Rudolph E. Kalman et al. “A new approach to linear filtering and prediction problems”. In: Journal of basic Engineering 82.1 (1960), pp. 35–45.
[KHS04]
Yong-Seok Kim, Keum-Shik Hong, and Seung-Ki Sul. “Anti-sway control of container cranes: inclinometer, observer, and state feedback”. In: International Journal of Control, Automation, and Systems 2.4 (2004), pp. 435– 449.
[KLM99]
B´ alint Kiss, Jean L´evine, and Philippe M¨ ullhaupt. “Modelling, flatness and simulation of a class of cranes”. In: Electrical Engineering vol. 43 (1999), pp. 215–225.
[KS10]
Dooroo Kim and William Singhose. “Performance studies of human operators driving double-pendulum bridge cranes”. In: Control Engineering Practice 18.6 (2010), pp. 567–576.
[Lan01]
B´ela Lantos. Ir´ any´ıt´ asi rendszerek elm´elete ´es tervez´ese I. Egyv´ altoz´ os szab´ alyoz´ asok. Akad´emia Kiad´o, 2001.
[LSRJ11]
Magnus Linderoth, Kristian Soltesz, Anders Robertsson, and Rolf Johansson. “Initialization of the Kalman filter without assumptions on the initial state”. In: Robotics and Automation (ICRA), 2011 IEEE International Conference on. IEEE. 2011, pp. 4992–4997.
46
Irodalomjegyz´ek
[NHSS06]
J¨ org Neupert, Achim Hildebrandt, Oliver Sawodny, and Klaus Schneider. “Trajectory tracking for boom cranes using a flatness based approach”. In: Proceedings of the International Joint Conference, SICE-ICASE 2006. 2006, pp. 1812–1816.
[RCM96]
Nadra Rafee, Tongwen Chen, and Om P Malik. “A technique for optimal digital redesign of analog controllers”. In: Control Systems Technology, IEEE Transactions on 5.1 (1996), pp. 89–99.
[RK11]
Tam´ as R´ ozsa and B´ alint Kiss. “Tracking control for tow-dimensional overhead crane”. In: Proceedings of the 8th International Conference on Informatics in Control, Automation, and Robotics, ICINCO 2011. Vol. 1. 2011, pp. 427–432.
[SMA09]
Dominik Schindele, Ingolf Menn, and Harald Aschemann. “Nonlinear optimal control of an overhead travelling crane”. In: Proceedings of the 2009 18th IEEE International Conference on Control Applications. 2009, pp. 1045– 1050.
[Smo14]
Jaroslaw Smoczek. “Fuzzy crane control with sensorless payload deflection feedback for vibration reduction”. In: Mechanical Systems and Signal Processing 46.1 (2014), pp. 70 –81. issn: 0888-3270.
