Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, dan Nanomaterial dengan Metode Ikatan Terkuat Ahmad Ridwan Tresna Nugraha (NIM: 10204001), Pembimbing: Sukirno, Ph.D
KK FisMatEl, Institut Teknologi Bandung
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
1 / 70
Daftar Isi 1
Pendahuluan
2
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
3
Metode SCF untuk Atom
4
Ikatan pada Molekul
5
Konsep Fungsi Basis
6
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D Graphene dan Semikonduktor Struktur Nanomaterial
7
Simpulan ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
2 / 70
Pendahuluan
Sistematika 1
Pendahuluan
2
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
3
Metode SCF untuk Atom
4
Ikatan pada Molekul
5
Konsep Fungsi Basis
6
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D Graphene dan Semikonduktor Struktur Nanomaterial
7
Simpulan ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
3 / 70
Pendahuluan
Latar Belakang dan Motivasi
Penentuan struktur elektronik merupakan kajian yang paling penting dalam bidang fisika material. Sifat-sifat fisis material ⇔ tingkat-tingkat energi yang diizinkan. Kendala penentuan struktur elektronik: kerumitan perhitungan seiring banyaknya elektron yang terlibat ⇔ pemecahan ¨ persamaan Schrodinger untuk banyak partikel. Dibutuhkan beberapa aproksimasi untuk menyederhanakan ¨ persamaan Schrodinger sesuai dengan sistem elektron tertentu.
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
4 / 70
Pendahuluan
Latar Belakang dan Motivasi
Penentuan struktur elektronik merupakan kajian yang paling penting dalam bidang fisika material. Sifat-sifat fisis material ⇔ tingkat-tingkat energi yang diizinkan. Kendala penentuan struktur elektronik: kerumitan perhitungan seiring banyaknya elektron yang terlibat ⇔ pemecahan ¨ persamaan Schrodinger untuk banyak partikel. Dibutuhkan beberapa aproksimasi untuk menyederhanakan ¨ persamaan Schrodinger sesuai dengan sistem elektron tertentu.
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
4 / 70
Pendahuluan
Latar Belakang dan Motivasi
Penentuan struktur elektronik merupakan kajian yang paling penting dalam bidang fisika material. Sifat-sifat fisis material ⇔ tingkat-tingkat energi yang diizinkan. Kendala penentuan struktur elektronik: kerumitan perhitungan seiring banyaknya elektron yang terlibat ⇔ pemecahan ¨ persamaan Schrodinger untuk banyak partikel. Dibutuhkan beberapa aproksimasi untuk menyederhanakan ¨ persamaan Schrodinger sesuai dengan sistem elektron tertentu.
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
4 / 70
Pendahuluan
Latar Belakang dan Motivasi
Penentuan struktur elektronik merupakan kajian yang paling penting dalam bidang fisika material. Sifat-sifat fisis material ⇔ tingkat-tingkat energi yang diizinkan. Kendala penentuan struktur elektronik: kerumitan perhitungan seiring banyaknya elektron yang terlibat ⇔ pemecahan ¨ persamaan Schrodinger untuk banyak partikel. Dibutuhkan beberapa aproksimasi untuk menyederhanakan ¨ persamaan Schrodinger sesuai dengan sistem elektron tertentu.
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
4 / 70
Pendahuluan
Metode dan Objek Perhitungan Perangkat Matematik + Komputasi: I I
Trik komputasi −→ persamaan matriks :: Matriks Hamiltonian Aproksimasi Beda Hingga :: Self-Consistent Field :: Pemilihan Fungsi Basis
Objek yang diamati: Atom: Hidrogen dan Helium Molekul: Gas Hidrogen (H2 ) Struktur ”Bulk”: Rantai Atomik, Graphene, Galium Arsenida Nanomaterial: Carbon Nanotube
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
5 / 70
Pendahuluan
Metode dan Objek Perhitungan Perangkat Matematik + Komputasi: I I
Trik komputasi −→ persamaan matriks :: Matriks Hamiltonian Aproksimasi Beda Hingga :: Self-Consistent Field :: Pemilihan Fungsi Basis
Objek yang diamati: Atom: Hidrogen dan Helium Molekul: Gas Hidrogen (H2 ) Struktur ”Bulk”: Rantai Atomik, Graphene, Galium Arsenida Nanomaterial: Carbon Nanotube
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
5 / 70
Pendahuluan
Metode dan Objek Perhitungan Perangkat Matematik + Komputasi: I I
Trik komputasi −→ persamaan matriks :: Matriks Hamiltonian Aproksimasi Beda Hingga :: Self-Consistent Field :: Pemilihan Fungsi Basis
Objek yang diamati: Atom: Hidrogen dan Helium Molekul: Gas Hidrogen (H2 ) Struktur ”Bulk”: Rantai Atomik, Graphene, Galium Arsenida Nanomaterial: Carbon Nanotube
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
5 / 70
Pendahuluan
Metode dan Objek Perhitungan Perangkat Matematik + Komputasi: I I
Trik komputasi −→ persamaan matriks :: Matriks Hamiltonian Aproksimasi Beda Hingga :: Self-Consistent Field :: Pemilihan Fungsi Basis
Objek yang diamati: Atom: Hidrogen dan Helium Molekul: Gas Hidrogen (H2 ) Struktur ”Bulk”: Rantai Atomik, Graphene, Galium Arsenida Nanomaterial: Carbon Nanotube
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
5 / 70
Pendahuluan
Model Atom Klasik Spektrum energi:
Panaskan gas atom-atom bersifat seperti hidrogen
h
spektrum energi diskret dapat teramati
Pola emisi foton: 1 1 2 hν = E0 Z − , n dan m bilangan bulat; n2 m2
En = −
Z2 n2
E0
¨ Persamaan Schrodinger satu partikel: i~
ART Nugraha (ITB)
∂Ψ(~r, t) ~2 = − ∇2 Ψ(~r, t) + U(~r)Ψ(~r, t) ∂t 2m Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
6 / 70
Pendahuluan
Model Atom Klasik Spektrum energi:
Panaskan gas atom-atom bersifat seperti hidrogen
h
spektrum energi diskret dapat teramati
Pola emisi foton: 1 1 2 hν = E0 Z − , n dan m bilangan bulat; n2 m2
En = −
Z2 n2
E0
¨ Persamaan Schrodinger satu partikel: i~
ART Nugraha (ITB)
∂Ψ(~r, t) ~2 = − ∇2 Ψ(~r, t) + U(~r)Ψ(~r, t) ∂t 2m Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
6 / 70
Pendahuluan
Model Atom Klasik Spektrum energi:
Panaskan gas atom-atom bersifat seperti hidrogen
h
spektrum energi diskret dapat teramati
Pola emisi foton: 1 1 2 hν = E0 Z − , n dan m bilangan bulat; n2 m2
En = −
Z2 n2
E0
¨ Persamaan Schrodinger satu partikel: i~
ART Nugraha (ITB)
∂Ψ(~r, t) ~2 = − ∇2 Ψ(~r, t) + U(~r)Ψ(~r, t) ∂t 2m Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
6 / 70
Pendahuluan
Model Atom Klasik Energi diskret untuk atom hidrogen (abaikan gerak inti masif): U(~r) = −
Ze2 4π0 r
maka tebakan solusinya: Ψ(~r, t) = e−iEn t/~ φnlm (~r)
Ze
2 Z En = − E0 n2 2 n rn = a0 Z a0 = 4π0 ~2 /(me2 ) ≈ 0, 053 nm
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
7 / 70
Pendahuluan
Pentingnya Metode Numerik ¨ Solusi analitik pers. Schrodinger lebih banyak yang sulit ditentukan meski hanya 1 partikel yang ditinjau. Semakin banyak elektron yang terlibat, perhitungan akan semakin rumit karena interaksi elektron-elektron I
Bentuk fungsi potensial menyulitkan pemecahan persamaan diferensial.
Besaran yang selanjutnya perlu dihitung: I I
Tingkat energi dasar (ground state) + struktur pita energi Kerapatan elektron :: konsekuensi postulat probabilitas Born
n(x, t) =
X
Ψ∗i Ψi .
i
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
8 / 70
Pendahuluan
Pentingnya Metode Numerik ¨ Solusi analitik pers. Schrodinger lebih banyak yang sulit ditentukan meski hanya 1 partikel yang ditinjau. Semakin banyak elektron yang terlibat, perhitungan akan semakin rumit karena interaksi elektron-elektron I
Bentuk fungsi potensial menyulitkan pemecahan persamaan diferensial.
Besaran yang selanjutnya perlu dihitung: I I
Tingkat energi dasar (ground state) + struktur pita energi Kerapatan elektron :: konsekuensi postulat probabilitas Born
n(x, t) =
X
Ψ∗i Ψi .
i
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
8 / 70
Pendahuluan
Pentingnya Metode Numerik ¨ Solusi analitik pers. Schrodinger lebih banyak yang sulit ditentukan meski hanya 1 partikel yang ditinjau. Semakin banyak elektron yang terlibat, perhitungan akan semakin rumit karena interaksi elektron-elektron I
Bentuk fungsi potensial menyulitkan pemecahan persamaan diferensial.
Besaran yang selanjutnya perlu dihitung: I I
Tingkat energi dasar (ground state) + struktur pita energi Kerapatan elektron :: konsekuensi postulat probabilitas Born
n(x, t) =
X
Ψ∗i Ψi .
i
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
8 / 70
Pendahuluan
Pentingnya Metode Numerik ¨ Solusi analitik pers. Schrodinger lebih banyak yang sulit ditentukan meski hanya 1 partikel yang ditinjau. Semakin banyak elektron yang terlibat, perhitungan akan semakin rumit karena interaksi elektron-elektron I
Bentuk fungsi potensial menyulitkan pemecahan persamaan diferensial.
Besaran yang selanjutnya perlu dihitung: I I
Tingkat energi dasar (ground state) + struktur pita energi Kerapatan elektron :: konsekuensi postulat probabilitas Born
n(x, t) =
X
Ψ∗i Ψi .
i
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
8 / 70
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
Sistematika 1
Pendahuluan
2
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
3
Metode SCF untuk Atom
4
Ikatan pada Molekul
5
Konsep Fungsi Basis
6
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D Graphene dan Semikonduktor Struktur Nanomaterial
7
Simpulan ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
9 / 70
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
Kerangka Matriks Hamiltonian ¨ Notasi Matriks −→ Kunci utama pemecahan pers. Schrodinger secara numerik. ˆ ≡ − ~2 ∇2 + U(~r): Definisikan H 2m
i~
∂ ˆ ~r, t) Ψ(~r, t) = HΨ( ∂t
Nyatakan Ψ(~r, t) sebagai vektor (matriks) kolom {ψ(t)}, sehingga i~
iT h iT d h ψ1 ψ2 . . . = [H] ψ1 ψ2 . . . dt
Konversi ke bentuk matriks dilakukan dengan menggunakan kisi (sejumlah titik) diskret −→ Beda hingga (finite difference)
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
10 / 70
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
Kerangka Matriks Hamiltonian ¨ Notasi Matriks −→ Kunci utama pemecahan pers. Schrodinger secara numerik. ˆ ≡ − ~2 ∇2 + U(~r): Definisikan H 2m
i~
∂ ˆ ~r, t) Ψ(~r, t) = HΨ( ∂t
Nyatakan Ψ(~r, t) sebagai vektor (matriks) kolom {ψ(t)}, sehingga i~
iT h iT d h ψ1 ψ2 . . . = [H] ψ1 ψ2 . . . dt
Konversi ke bentuk matriks dilakukan dengan menggunakan kisi (sejumlah titik) diskret −→ Beda hingga (finite difference)
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
10 / 70
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
Kerangka Matriks Hamiltonian ¨ Notasi Matriks −→ Kunci utama pemecahan pers. Schrodinger secara numerik. ˆ ≡ − ~2 ∇2 + U(~r): Definisikan H 2m
i~
∂ ˆ ~r, t) Ψ(~r, t) = HΨ( ∂t
Nyatakan Ψ(~r, t) sebagai vektor (matriks) kolom {ψ(t)}, sehingga i~
iT h iT d h ψ1 ψ2 . . . = [H] ψ1 ψ2 . . . dt
Konversi ke bentuk matriks dilakukan dengan menggunakan kisi (sejumlah titik) diskret −→ Beda hingga (finite difference)
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
10 / 70
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
Kerangka Matriks Hamiltonian ¨ Notasi Matriks −→ Kunci utama pemecahan pers. Schrodinger secara numerik. ˆ ≡ − ~2 ∇2 + U(~r): Definisikan H 2m
i~
∂ ˆ ~r, t) Ψ(~r, t) = HΨ( ∂t
Nyatakan Ψ(~r, t) sebagai vektor (matriks) kolom {ψ(t)}, sehingga i~
iT h iT d h ψ1 ψ2 . . . = [H] ψ1 ψ2 . . . dt
Konversi ke bentuk matriks dilakukan dengan menggunakan kisi (sejumlah titik) diskret −→ Beda hingga (finite difference)
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
10 / 70
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
Beda Hingga Tinjau sistem 1D: xn = na n
a 1
2
3 n−1 n n1
...
N
x
Operasi turunan kedua: (bagian dari suku kinetik) 2 1 ∂ Ψ = 2 [Ψ(xn+1 ) − 2Ψ(xn ) + Ψ(xn−1 )] 2 ∂x x=xn a Potensial: [U(x)Ψ(x)]x=xn = U(xn )Ψ(xn ) ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
11 / 70
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
Beda Hingga Tinjau sistem 1D: xn = na n
a 1
2
3 n−1 n n1
...
N
x
Operasi turunan kedua: (bagian dari suku kinetik) 2 1 ∂ Ψ = 2 [Ψ(xn+1 ) − 2Ψ(xn ) + Ψ(xn−1 )] 2 ∂x x=xn a Potensial: [U(x)Ψ(x)]x=xn = U(xn )Ψ(xn ) ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
11 / 70
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
Beda Hingga Tinjau sistem 1D: xn = na n
a 1
2
3 n−1 n n1
...
N
x
Operasi turunan kedua: (bagian dari suku kinetik) 2 1 ∂ Ψ = 2 [Ψ(xn+1 ) − 2Ψ(xn ) + Ψ(xn−1 )] 2 ∂x x=xn a Potensial: [U(x)Ψ(x)]x=xn = U(xn )Ψ(xn ) ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
11 / 70
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
Beda Hingga Misalkan ~2 /2ma2 = τ0 dan Un = U(xn ), maka persamaan ¨ Schrodinger untuk ψn : i~
dψn ˆ x=x = (Un + 2τ0 ) − τ0 ψn−1 − τ0 ψn+1 = [Hψ] n dt X (Un + 2τ0 )δn,m − τ0 δn,m+1 − τ0 δn,m−1 ψm = m
Bentuk matriks lengkap: i~
d {ψ(t)} = [H]{ψ(t)} dt
dengan Hn,m = [Un + 2τ0 ]δn,m − τ0 δn,m+1 − τ0 δn,m−1
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
12 / 70
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
Beda Hingga Misalkan ~2 /2ma2 = τ0 dan Un = U(xn ), maka persamaan ¨ Schrodinger untuk ψn : i~
dψn ˆ x=x = (Un + 2τ0 ) − τ0 ψn−1 − τ0 ψn+1 = [Hψ] n dt X (Un + 2τ0 )δn,m − τ0 δn,m+1 − τ0 δn,m−1 ψm = m
Bentuk matriks lengkap: i~
d {ψ(t)} = [H]{ψ(t)} dt
dengan Hn,m = [Un + 2τ0 ]δn,m − τ0 δn,m+1 − τ0 δn,m−1
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
12 / 70
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
Beda Hingga Lebih eksplisit: 2τ0 + U1 ψ1 ψ2 −τ0 . 0 d .. = i~ dt ψn 0 . . . 0 ψN 0
−τ0 2τ0 + U2
0
0 −τ0 .. . .. .
0 0
0 0
−τ0
0 0 .. . .. . .. .
0 0 0 .. . .. .
0
−τ0
ψ1 ψ2 . .. 0 . ψn 0 .. −τ0 . ψN 2τ0 + UN 0 0
Reduksi parameter waktu: [H]{α} = Eα {α};
Eα nilai eigen dari [H] X {ψ(t)} = cα e−iEα t/~ {α} α
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
13 / 70
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
Beda Hingga Lebih eksplisit: 2τ0 + U1 ψ1 ψ2 −τ0 . 0 d .. = i~ dt ψn 0 . . . 0 ψN 0
−τ0 2τ0 + U2
0
0 −τ0 .. . .. .
0 0
0 0
−τ0
0 0 .. . .. . .. .
0 0 0 .. . .. .
0
−τ0
ψ1 ψ2 . .. 0 . ψn 0 .. −τ0 . ψN 2τ0 + UN 0 0
Reduksi parameter waktu: [H]{α} = Eα {α};
Eα nilai eigen dari [H] X {ψ(t)} = cα e−iEα t/~ {α} α
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
13 / 70
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
Beda Hingga untuk 3D Bagian yang membedakan sistem 1D, 2D, dan 3D adalah elemen diagonal pada matriks [H]. Secara umum, elemen diagonal [H] adalah potensial U(~r) yang dievaluasi pada titik kisi tertentu ditambah dengan τ0 kali banyaknya titik tetangga terdekat. Jumlah titik-titik tetangga: dua untuk 1D, empat untuk 2D, enam untuk 3D. Separasi variabel −→ supaya ukuran matriks 2D/3D tetap sama dengan sistem 1D. Ψ(~r) = X(x)Y(y)Z(z) U(~r) = Ux (x) + Uy (y) + Uz (z)
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
14 / 70
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
Beda Hingga untuk 3D Bagian yang membedakan sistem 1D, 2D, dan 3D adalah elemen diagonal pada matriks [H]. Secara umum, elemen diagonal [H] adalah potensial U(~r) yang dievaluasi pada titik kisi tertentu ditambah dengan τ0 kali banyaknya titik tetangga terdekat. Jumlah titik-titik tetangga: dua untuk 1D, empat untuk 2D, enam untuk 3D. Separasi variabel −→ supaya ukuran matriks 2D/3D tetap sama dengan sistem 1D. Ψ(~r) = X(x)Y(y)Z(z) U(~r) = Ux (x) + Uy (y) + Uz (z)
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
14 / 70
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
Beda Hingga untuk 3D Bagian yang membedakan sistem 1D, 2D, dan 3D adalah elemen diagonal pada matriks [H]. Secara umum, elemen diagonal [H] adalah potensial U(~r) yang dievaluasi pada titik kisi tertentu ditambah dengan τ0 kali banyaknya titik tetangga terdekat. Jumlah titik-titik tetangga: dua untuk 1D, empat untuk 2D, enam untuk 3D. Separasi variabel −→ supaya ukuran matriks 2D/3D tetap sama dengan sistem 1D. Ψ(~r) = X(x)Y(y)Z(z) U(~r) = Ux (x) + Uy (y) + Uz (z)
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
14 / 70
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
Beda Hingga untuk 3D Bagian yang membedakan sistem 1D, 2D, dan 3D adalah elemen diagonal pada matriks [H]. Secara umum, elemen diagonal [H] adalah potensial U(~r) yang dievaluasi pada titik kisi tertentu ditambah dengan τ0 kali banyaknya titik tetangga terdekat. Jumlah titik-titik tetangga: dua untuk 1D, empat untuk 2D, enam untuk 3D. Separasi variabel −→ supaya ukuran matriks 2D/3D tetap sama dengan sistem 1D. Ψ(~r) = X(x)Y(y)Z(z) U(~r) = Ux (x) + Uy (y) + Uz (z)
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
14 / 70
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
Beda Hingga untuk 3D Setiap fungsi X(x), Y(y), dan Z(z) merupakan solusi dari ¨ persamaan Schrodinger 1D yang saling bebas: ~2 d2 Ex X(x) = − + U (x) X(x), x 2m dx2 ~2 d2 Ey Y(y) = − + Uy (y) Y(y), 2m dy2 ~2 d2 Ez Z(z) = − + Uz (x) Z(z) 2m dz2 dan energi total: E = Ex + Ey + Ez
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
15 / 70
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
Potensial Simetri Bola Fungsi gelombang lengkap: f (r) m Y (θ, φ) r l ¨ Solusi f (r) diperoleh dari penyelesaian persamaan Schrodinger radial yang ternyata tereduksi menjadi bentuk 1D: l(l + 1)~2 ~2 d2 + + U(r) f (r) Ef (r) = − 2m dr2 2mr2 Ψ(~r) = Ψ(r, θ, φ) =
l = 0: keadaan s (sharp), l = 1: keadaan p (principal), dan seterusnya Fungsi Ylm (θ, φ) adalah fungsi harmonik sferis: r Y00 (θ, φ)
=
ART Nugraha (ITB)
1 ; Y10 (θ, φ) = 4π
r
3 ; Y1±1 (θ, φ) = ± 4π
Simulasi Struktur Energi Elektronik
r
3 sin θ e±iφ ; . . . 8π 25 Juni 2008
16 / 70
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
Potensial Simetri Bola Fungsi gelombang lengkap: f (r) m Y (θ, φ) r l ¨ Solusi f (r) diperoleh dari penyelesaian persamaan Schrodinger radial yang ternyata tereduksi menjadi bentuk 1D: l(l + 1)~2 ~2 d2 + + U(r) f (r) Ef (r) = − 2m dr2 2mr2 Ψ(~r) = Ψ(r, θ, φ) =
l = 0: keadaan s (sharp), l = 1: keadaan p (principal), dan seterusnya Fungsi Ylm (θ, φ) adalah fungsi harmonik sferis: r Y00 (θ, φ)
=
ART Nugraha (ITB)
1 ; Y10 (θ, φ) = 4π
r
3 ; Y1±1 (θ, φ) = ± 4π
Simulasi Struktur Energi Elektronik
r
3 sin θ e±iφ ; . . . 8π 25 Juni 2008
16 / 70
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
Potensial Simetri Bola Fungsi gelombang lengkap: f (r) m Y (θ, φ) r l ¨ Solusi f (r) diperoleh dari penyelesaian persamaan Schrodinger radial yang ternyata tereduksi menjadi bentuk 1D: l(l + 1)~2 ~2 d2 + + U(r) f (r) Ef (r) = − 2m dr2 2mr2 Ψ(~r) = Ψ(r, θ, φ) =
l = 0: keadaan s (sharp), l = 1: keadaan p (principal), dan seterusnya Fungsi Ylm (θ, φ) adalah fungsi harmonik sferis: r Y00 (θ, φ)
=
ART Nugraha (ITB)
1 ; Y10 (θ, φ) = 4π
r
3 ; Y1±1 (θ, φ) = ± 4π
Simulasi Struktur Energi Elektronik
r
3 sin θ e±iφ ; . . . 8π 25 Juni 2008
16 / 70
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
Potensial Simetri Bola Normalisasi: Z
∞
r=0
Z 0
Z
π
Z
θ=0
∞
|f (r)|2 dr = 1;
2π
|Ψ|2 r2 sin θ drdθdφ = 1
φ=0
Z
π
θ=0
Z
2π
φ=0
|Ylm |2 sin θdθdφ = 1
|f (r)| disimpulkan sebagai fungsi distribusi probabilitas radial, sehingga |f (r)|2 dr merupakan probabilitas untuk menemukan elektron dalam volume antara r dan (r + dr). Hasil numerik dengan jarak antartitik kisi a harus dibandingkan dengan nilai analitik |f (r)|2 a. Untuk tingkat 1s dan 2s, hasil analitiknya adalah 4 2r/a0 r2 r 2 −r/a0 2 2 |f1s (r)| = 3 e ; |f2s (r)| = 3 2 − e a0 a0 8a0 ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
17 / 70
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
Potensial Simetri Bola Normalisasi: Z
∞
r=0
Z 0
Z
π
Z
θ=0
∞
|f (r)|2 dr = 1;
2π
|Ψ|2 r2 sin θ drdθdφ = 1
φ=0
Z
π
θ=0
Z
2π
φ=0
|Ylm |2 sin θdθdφ = 1
|f (r)| disimpulkan sebagai fungsi distribusi probabilitas radial, sehingga |f (r)|2 dr merupakan probabilitas untuk menemukan elektron dalam volume antara r dan (r + dr). Hasil numerik dengan jarak antartitik kisi a harus dibandingkan dengan nilai analitik |f (r)|2 a. Untuk tingkat 1s dan 2s, hasil analitiknya adalah 4 2r/a0 r2 r 2 −r/a0 2 2 |f1s (r)| = 3 e ; |f2s (r)| = 3 2 − e a0 a0 8a0 ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
17 / 70
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
Potensial Simetri Bola Normalisasi: Z
∞
r=0
Z 0
Z
π
Z
θ=0
∞
|f (r)|2 dr = 1;
2π
|Ψ|2 r2 sin θ drdθdφ = 1
φ=0
Z
π
θ=0
Z
2π
φ=0
|Ylm |2 sin θdθdφ = 1
|f (r)| disimpulkan sebagai fungsi distribusi probabilitas radial, sehingga |f (r)|2 dr merupakan probabilitas untuk menemukan elektron dalam volume antara r dan (r + dr). Hasil numerik dengan jarak antartitik kisi a harus dibandingkan dengan nilai analitik |f (r)|2 a. Untuk tingkat 1s dan 2s, hasil analitiknya adalah 4 2r/a0 r2 r 2 −r/a0 2 2 |f1s (r)| = 3 e ; |f2s (r)| = 3 2 − e a0 a0 8a0 ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
17 / 70
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
Potensial Simetri Bola Normalisasi: Z
∞
r=0
Z 0
Z
π
Z
θ=0
∞
|f (r)|2 dr = 1;
2π
|Ψ|2 r2 sin θ drdθdφ = 1
φ=0
Z
π
θ=0
Z
2π
φ=0
|Ylm |2 sin θdθdφ = 1
|f (r)| disimpulkan sebagai fungsi distribusi probabilitas radial, sehingga |f (r)|2 dr merupakan probabilitas untuk menemukan elektron dalam volume antara r dan (r + dr). Hasil numerik dengan jarak antartitik kisi a harus dibandingkan dengan nilai analitik |f (r)|2 a. Untuk tingkat 1s dan 2s, hasil analitiknya adalah 4 2r/a0 r2 r 2 −r/a0 2 2 |f1s (r)| = 3 e ; |f2s (r)| = 3 2 − e a0 a0 8a0 ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
17 / 70
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
Pembenaran: Potensial Simetri Bola
Tingkat 1s. Energi eigen numerik: E = −13, 56 eV. Kisi: N = 100, a = 0, 05 × 10−10 m. ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
18 / 70
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
Pembenaran: Potensial Simetri Bola
Tingkat 2s. Energi eigen numerik: −2, 96 eV. Kisi: a = 0, 05 × 10−10 m.
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
19 / 70
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
Pembenaran: Potensial Simetri Bola
Tingkat 1s. Energi eigen numerik: E = −13, 56 eV. Kisi: N = 100, a = 0, 1 × 10−10 m. ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
20 / 70
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
Pembenaran: Potensial Simetri Bola
Tingkat 2s. Energi eigen numerik: −2, 96 eV. Kisi: a = 0, 1 × 10−10 m.
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
21 / 70
Metode SCF untuk Atom
Sistematika 1
Pendahuluan
2
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
3
Metode SCF untuk Atom
4
Ikatan pada Molekul
5
Konsep Fungsi Basis
6
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D Graphene dan Semikonduktor Struktur Nanomaterial
7
Simpulan ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
22 / 70
Metode SCF untuk Atom
Hidrogen versus Helium
Berdasarkan rumus tingkat energi atom hidrogen, sebuah elektron yang berada pada tingkat 1s memiliki energi ionisasi E = 13, 6 eV pada tingkat 2s ionisasinya E = 3, 4 eV. Energi sebesar itu dapat diukur dari proses emisi optik −→ dibalik menjadi pengukuran energi ionisasi. Bagaimana dengan Helium (atau atom-atom lain yang berelektron banyak)?
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
23 / 70
Metode SCF untuk Atom
Hidrogen versus Helium Berdasarkan rumus tingkat energi atom hidrogen, sebuah elektron yang berada pada tingkat 1s memiliki energi ionisasi E = 13, 6 eV pada tingkat 2s ionisasinya E = 3, 4 eV. Energi sebesar itu dapat diukur dari proses emisi optik −→ dibalik menjadi pengukuran energi ionisasi.
2p foton
1s
Bagaimana dengan Helium (atau atom-atom lain yang berelektron banyak)? ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
23 / 70
Metode SCF untuk Atom
Hidrogen versus Helium Berdasarkan rumus tingkat energi atom hidrogen, sebuah elektron yang berada pada tingkat 1s memiliki energi ionisasi E = 13, 6 eV pada tingkat 2s ionisasinya E = 3, 4 eV. Energi sebesar itu dapat diukur dari proses emisi optik −→ dibalik menjadi pengukuran energi ionisasi.
2p foton
1s
Bagaimana dengan Helium (atau atom-atom lain yang berelektron banyak)? ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
23 / 70
Metode SCF untuk Atom
Hidrogen versus Helium Atom Helium Helium dengan model klasik: E = 22 (13, 6 eV) = 54, 4 eV. Akan tetapi, hasil eksperimen (ionisasi pertama): E ≈ 24, 8 eV E = 54, 4 eV muncul di ionisasi kedua, He + (hν = +24, 8 eV) → He+ + e− He + (hν = He+ + 54, 4 eV) → H2+ + e− Model klasik belum menyertakan interaksi elektron-elektron. Koreksi bentuk potensial (untuk segala macam atom): U(~r) = Uinti (~r) + Uscf (~r)
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
24 / 70
Metode SCF untuk Atom
Hidrogen versus Helium Atom Helium Helium dengan model klasik: E = 22 (13, 6 eV) = 54, 4 eV. Akan tetapi, hasil eksperimen (ionisasi pertama): E ≈ 24, 8 eV E = 54, 4 eV muncul di ionisasi kedua, He + (hν = +24, 8 eV) → He+ + e− He + (hν = He+ + 54, 4 eV) → H2+ + e− Model klasik belum menyertakan interaksi elektron-elektron. Koreksi bentuk potensial (untuk segala macam atom): U(~r) = Uinti (~r) + Uscf (~r)
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
24 / 70
Metode SCF untuk Atom
Hidrogen versus Helium Atom Helium Helium dengan model klasik: E = 22 (13, 6 eV) = 54, 4 eV. Akan tetapi, hasil eksperimen (ionisasi pertama): E ≈ 24, 8 eV E = 54, 4 eV muncul di ionisasi kedua, He + (hν = +24, 8 eV) → He+ + e− He + (hν = He+ + 54, 4 eV) → H2+ + e− Model klasik belum menyertakan interaksi elektron-elektron. Koreksi bentuk potensial (untuk segala macam atom): U(~r) = Uinti (~r) + Uscf (~r)
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
24 / 70
Metode SCF untuk Atom
Hidrogen versus Helium Atom Helium Helium dengan model klasik: E = 22 (13, 6 eV) = 54, 4 eV. Akan tetapi, hasil eksperimen (ionisasi pertama): E ≈ 24, 8 eV E = 54, 4 eV muncul di ionisasi kedua, He + (hν = +24, 8 eV) → He+ + e− He + (hν = He+ + 54, 4 eV) → H2+ + e− Model klasik belum menyertakan interaksi elektron-elektron. Koreksi bentuk potensial (untuk segala macam atom): U(~r) = Uinti (~r) + Uscf (~r)
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
24 / 70
Metode SCF untuk Atom
Hidrogen versus Helium Atom Helium Helium dengan model klasik: E = 22 (13, 6 eV) = 54, 4 eV. Akan tetapi, hasil eksperimen (ionisasi pertama): E ≈ 24, 8 eV E = 54, 4 eV muncul di ionisasi kedua, He + (hν = +24, 8 eV) → He+ + e− He + (hν = He+ + 54, 4 eV) → H2+ + e− Model klasik belum menyertakan interaksi elektron-elektron. Koreksi bentuk potensial (untuk segala macam atom): U(~r) = Uinti (~r) + Uscf (~r)
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
24 / 70
Metode SCF untuk Atom
Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree ¨ Persamaan Schrodinger radial: ~2 d2 ~2 l(l + 1) Ze2 Ef (r) = − + Uscf (r) f (r) + − 2m dr2 2mr2 4π0 r
Self-consistent field menurut Hartree: 2
∇ Uscf (~r) = −
e2 e2 n(~r) atau Uscf (~r) = 0 4π0
Z
n(~r 0 )d~r 0 |~r − ~r 0 |
Dalam koordinat bola, jumlah elektron total menjadi Z X fn (r) 2 m 2 Ne = r02 sin θdθdφdr0 × r |Yl | n,l,m
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
25 / 70
Metode SCF untuk Atom
Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree ¨ Persamaan Schrodinger radial: ~2 d2 ~2 l(l + 1) Ze2 Ef (r) = − + Uscf (r) f (r) + − 2m dr2 2mr2 4π0 r
Self-consistent field menurut Hartree: 2
∇ Uscf (~r) = −
e2 e2 n(~r) atau Uscf (~r) = 0 4π0
Z
n(~r 0 )d~r 0 |~r − ~r 0 |
Dalam koordinat bola, jumlah elektron total menjadi Z X fn (r) 2 m 2 Ne = r02 sin θdθdφdr0 × r |Yl | n,l,m
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
25 / 70
Metode SCF untuk Atom
Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree ¨ Persamaan Schrodinger radial: ~2 d2 ~2 l(l + 1) Ze2 Ef (r) = − + Uscf (r) f (r) + − 2m dr2 2mr2 4π0 r
Self-consistent field menurut Hartree: 2
∇ Uscf (~r) = −
e2 e2 n(~r) atau Uscf (~r) = 0 4π0
Z
n(~r 0 )d~r 0 |~r − ~r 0 |
Dalam koordinat bola, jumlah elektron total menjadi Z X fn (r) 2 m 2 Ne = r02 sin θdθdφdr0 × r |Yl | n,l,m
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
25 / 70
Metode SCF untuk Atom
Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree Ylm ternormalisasi, sehingga Z X Ne = σ(r)dr dengan σ(r) = |fn (r)|2 n,l,m
Jumlahkan pada seluruh keadaan energi yang terisi: n(~r) =
X α
X fn (r) 2 m 2 |ψα (~r)| = r |Yl (θ, φ)| 2
n,l,m
Besaran σ(r) memberikan informasi seberapa banyak muatan terdistribusi di kulit yang berada pada jarak tertentu dari inti
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
26 / 70
Metode SCF untuk Atom
Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree Ylm ternormalisasi, sehingga Z X Ne = σ(r)dr dengan σ(r) = |fn (r)|2 n,l,m
Jumlahkan pada seluruh keadaan energi yang terisi: n(~r) =
X α
X fn (r) 2 m 2 |ψα (~r)| = r |Yl (θ, φ)| 2
n,l,m
Besaran σ(r) memberikan informasi seberapa banyak muatan terdistribusi di kulit yang berada pada jarak tertentu dari inti
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
26 / 70
Metode SCF untuk Atom
Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree Ylm ternormalisasi, sehingga Z X Ne = σ(r)dr dengan σ(r) = |fn (r)|2 n,l,m
Jumlahkan pada seluruh keadaan energi yang terisi: n(~r) =
X α
X fn (r) 2 m 2 |ψα (~r)| = r |Yl (θ, φ)| 2
n,l,m
Besaran σ(r) memberikan informasi seberapa banyak muatan terdistribusi di kulit yang berada pada jarak tertentu dari inti
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
26 / 70
Metode SCF untuk Atom
Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree Perhitungan integral pada Ne : bagi dua daerah r
luar r
r
dalam
(a)
(b)
(a) Kulit muatan berjarak r dari pusat. (b) Ruang bola dibagi menjadi dua daerah, dalam dan luar.
Kontribusi pada potensial SCF: 2 Z r Z ∞ Z−1 e e2 σ(r 0 )dr 0 0 0 Uscf (r) = σ(r )dr + Z 4π0 r 0 4π0 r r0 ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
27 / 70
Metode SCF untuk Atom
Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree Perhitungan integral pada Ne : bagi dua daerah r
luar r
r
dalam
(a)
(b)
(a) Kulit muatan berjarak r dari pusat. (b) Ruang bola dibagi menjadi dua daerah, dalam dan luar.
Kontribusi pada potensial SCF: 2 Z r Z ∞ Z−1 e e2 σ(r 0 )dr 0 0 0 Uscf (r) = σ(r )dr + Z 4π0 r 0 4π0 r r0 ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
27 / 70
Metode SCF untuk Atom
Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree AWAL Hitung U scf pendekatan Hartree Tebak U scf (misalnya nol)
Pecahkan persamaan Schrödinger: dapatkan nilai eigen dan fungsi eigen
Belum Konvergen
Periksa Konvergensi Sudah Konvergen
r Hitung kerapatan n AKHIR
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
28 / 70
Metode SCF untuk Atom
Terapan SCF pada Helium
Perbandingan potensial inti dan potensial SCF untuk atom helium. ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
29 / 70
Metode SCF untuk Atom
Terapan SCF pada Helium
Distribusi probabilitas radial untuk keadaan 1s atom helium dan hidrogen. Energi eigen numerik untuk helium: E = 24, 73 eV ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
30 / 70
Ikatan pada Molekul
Sistematika 1
Pendahuluan
2
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
3
Metode SCF untuk Atom
4
Ikatan pada Molekul
5
Konsep Fungsi Basis
6
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D Graphene dan Semikonduktor Struktur Nanomaterial
7
Simpulan ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
31 / 70
Ikatan pada Molekul
Ikatan Ionik Pedoman konfigurasi elektron: ¨ → Pers. Schrodinger dan Prinsip larangan Pauli Ikatan ionik biasanya dibentuk antara atom pada bagian kiri tabel periodik (misalnya Na) dengan atom pada bagian kanan tabel periodik (misalnya Cl) −→ elektronegativitas ekstrem. Konfigurasi NaCl: Elektron valensi pada atom Na: 3s, energi −5 eV. Elektron valensi pada atom Cl: 3s (energi −29, 2 eV) dan 3p (energi −13, 8 eV) Elektron atom Na memiliki energi lebih tinggi −→ “turun tingkat” dalam proses pembentukan ikatan. Hasilnya: Keadaan 3s atom Na tidak terisi elektron. ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
32 / 70
Ikatan pada Molekul
Ikatan Ionik Pedoman konfigurasi elektron: ¨ → Pers. Schrodinger dan Prinsip larangan Pauli Ikatan ionik biasanya dibentuk antara atom pada bagian kiri tabel periodik (misalnya Na) dengan atom pada bagian kanan tabel periodik (misalnya Cl) −→ elektronegativitas ekstrem. Konfigurasi NaCl: Elektron valensi pada atom Na: 3s, energi −5 eV. Elektron valensi pada atom Cl: 3s (energi −29, 2 eV) dan 3p (energi −13, 8 eV) Elektron atom Na memiliki energi lebih tinggi −→ “turun tingkat” dalam proses pembentukan ikatan. Hasilnya: Keadaan 3s atom Na tidak terisi elektron. ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
32 / 70
Ikatan pada Molekul
Ikatan Ionik Pedoman konfigurasi elektron: ¨ → Pers. Schrodinger dan Prinsip larangan Pauli Ikatan ionik biasanya dibentuk antara atom pada bagian kiri tabel periodik (misalnya Na) dengan atom pada bagian kanan tabel periodik (misalnya Cl) −→ elektronegativitas ekstrem. Konfigurasi NaCl: Elektron valensi pada atom Na: 3s, energi −5 eV. Elektron valensi pada atom Cl: 3s (energi −29, 2 eV) dan 3p (energi −13, 8 eV) Elektron atom Na memiliki energi lebih tinggi −→ “turun tingkat” dalam proses pembentukan ikatan. Hasilnya: Keadaan 3s atom Na tidak terisi elektron. ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
32 / 70
Ikatan pada Molekul
Ikatan Ionik Pedoman konfigurasi elektron: ¨ → Pers. Schrodinger dan Prinsip larangan Pauli Ikatan ionik biasanya dibentuk antara atom pada bagian kiri tabel periodik (misalnya Na) dengan atom pada bagian kanan tabel periodik (misalnya Cl) −→ elektronegativitas ekstrem. Konfigurasi NaCl: Elektron valensi pada atom Na: 3s, energi −5 eV. Elektron valensi pada atom Cl: 3s (energi −29, 2 eV) dan 3p (energi −13, 8 eV) Elektron atom Na memiliki energi lebih tinggi −→ “turun tingkat” dalam proses pembentukan ikatan. Hasilnya: Keadaan 3s atom Na tidak terisi elektron. ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
32 / 70
Ikatan pada Molekul
Ikatan Kovalen Gas Hidrogen
Argumen “penurunan tingkat” tidak berlaku untuk molekul dengan atom penyusun yang elektronegatifnya sama. −→ menghasilkan ikatan kovalen. Contoh: H2 .
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
33 / 70
Ikatan pada Molekul
Ikatan Kovalen Gas Hidrogen
Argumen “penurunan tingkat” tidak berlaku untuk molekul dengan atom penyusun yang elektronegatifnya sama. −→ menghasilkan ikatan kovalen. Contoh: H2 .
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
33 / 70
Ikatan pada Molekul
Ikatan Kovalen Gas Hidrogen Argumen “penurunan tingkat” tidak berlaku untuk molekul dengan atom penyusun yang elektronegatifnya sama. −→ menghasilkan ikatan kovalen. Contoh: H2 . Pembentukan molekul H2 . H
H
H
H
EA E0
1s
1s
E0
E 0=−13,6 eV
ART Nugraha (ITB)
EB
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
33 / 70
Konsep Fungsi Basis
Sistematika 1
Pendahuluan
2
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
3
Metode SCF untuk Atom
4
Ikatan pada Molekul
5
Konsep Fungsi Basis
6
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D Graphene dan Semikonduktor Struktur Nanomaterial
7
Simpulan ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
34 / 70
Konsep Fungsi Basis
Formalisme ¨ Persamaan Schrodinger tak bergantung waktu, dalam bentuk persamaan nilai eigen: ˆ α = Eα Φα HΦ
Fungsi gelombang Φα dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari himpunan fungsi basis {um }: Φα (~r) =
M X
cm um (~r)
m=1
atau dalam matriks: Φ(~r) → {c1
c2
...
. . . cM }T
Pemilihan basis yang tepat dapat mereduksi ukuran matriks Hamiltonian [H] dan waktu komputasi secara signifikan.
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
35 / 70
Konsep Fungsi Basis
Formalisme ¨ Persamaan Schrodinger tak bergantung waktu, dalam bentuk persamaan nilai eigen: ˆ α = Eα Φα HΦ
Fungsi gelombang Φα dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari himpunan fungsi basis {um }: Φα (~r) =
M X
cm um (~r)
m=1
atau dalam matriks: Φ(~r) → {c1
c2
...
. . . cM }T
Pemilihan basis yang tepat dapat mereduksi ukuran matriks Hamiltonian [H] dan waktu komputasi secara signifikan.
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
35 / 70
Konsep Fungsi Basis
Formalisme ¨ Persamaan Schrodinger tak bergantung waktu, dalam bentuk persamaan nilai eigen: ˆ α = Eα Φα HΦ
Fungsi gelombang Φα dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari himpunan fungsi basis {um }: Φα (~r) =
M X
cm um (~r)
m=1
atau dalam matriks: Φ(~r) → {c1
c2
...
. . . cM }T
Pemilihan basis yang tepat dapat mereduksi ukuran matriks Hamiltonian [H] dan waktu komputasi secara signifikan.
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
35 / 70
Konsep Fungsi Basis
Formalisme ¨ Substitusikan ekspansi Φα ke dalam persamaan Schrodinger: ˆ H
X
cm um (~r) = E
m
X
cm um (~r)
m
Kalikan dengan u∗n (~r) dan integrasi kedua ruas untuk seluruh r: Z
" u∗n (~r)
# ˆ H
X
Z
cm um (~r) d~r =
" u∗n (~r)
# E
X
m
cm um (~r) d~r
m
X
Hnm cm = E
m
X
Snm cm
m
dengan Z
ˆ m (~r)d~r = Hnm , u∗n (~r)Hu Z u∗n (~r)um (~r)d~r = Snm .
ART Nugraha (ITB)
I
¨ Persamaan Schrodinger matriks dalam fungsi basis:
Simulasi Struktur Energi Elektronik
[H]{φ} = E[S]{φ} 25 Juni 2008
36 / 70
Konsep Fungsi Basis
Formalisme ¨ Substitusikan ekspansi Φα ke dalam persamaan Schrodinger: ˆ H
X
cm um (~r) = E
m
X
cm um (~r)
m
Kalikan dengan u∗n (~r) dan integrasi kedua ruas untuk seluruh r: Z
" u∗n (~r)
# ˆ H
X
Z
cm um (~r) d~r =
" u∗n (~r)
# E
X
m
cm um (~r) d~r
m
X
Hnm cm = E
m
X
Snm cm
m
dengan Z
ˆ m (~r)d~r = Hnm , u∗n (~r)Hu Z u∗n (~r)um (~r)d~r = Snm .
ART Nugraha (ITB)
I
¨ Persamaan Schrodinger matriks dalam fungsi basis:
Simulasi Struktur Energi Elektronik
[H]{φ} = E[S]{φ} 25 Juni 2008
36 / 70
Konsep Fungsi Basis
Formalisme ¨ Substitusikan ekspansi Φα ke dalam persamaan Schrodinger: ˆ H
X
cm um (~r) = E
m
X
cm um (~r)
m
Kalikan dengan u∗n (~r) dan integrasi kedua ruas untuk seluruh r: Z
" u∗n (~r)
# ˆ H
X
Z
cm um (~r) d~r =
" u∗n (~r)
# E
X
m
cm um (~r) d~r
m
X
Hnm cm = E
m
X
Snm cm
m
dengan Z
ˆ m (~r)d~r = Hnm , u∗n (~r)Hu Z u∗n (~r)um (~r)d~r = Snm .
ART Nugraha (ITB)
I
¨ Persamaan Schrodinger matriks dalam fungsi basis:
Simulasi Struktur Energi Elektronik
[H]{φ} = E[S]{φ} 25 Juni 2008
36 / 70
Konsep Fungsi Basis
Aplikasi pada H2 uN r
u N ' r
+
+ UN'
UN R
Pemilihan fungsi basis untuk molekul hidrogen. Ditunjukkan pula sketsa potensial akibat dua inti positif.
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
37 / 70
Konsep Fungsi Basis
Aplikasi pada H2
Kerapatan elektron di sumbu yang menghubungkan dua atom hidrogen dalam molekul. ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
38 / 70
Konsep Fungsi Basis
Energi Ikat Gas Hidrogen
Beberapa energi yang terlibat dalam pembentukan molekul gas hidrogen. Energi ikat sebuah molekul H2 diestimasi dari 2(EB0 − E0 ) + UNN0 + Uee0 . ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
39 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Sistematika 1
Pendahuluan
2
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
3
Metode SCF untuk Atom
4
Ikatan pada Molekul
5
Konsep Fungsi Basis
6
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D Graphene dan Semikonduktor Struktur Nanomaterial
7
Simpulan ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
40 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Alur Perhitungan Perangkat Matematik + Komputasi: I I
Trik komputasi −→ persamaan matriks :: Matriks Hamiltonian Aproksimasi Beda Hingga :: Self-Consistent Field :: Pemilihan Fungsi Basis
Objek yang diamati: Atom: Hidrogen dan Helium Molekul: Gas Hidrogen (H2 ) Struktur ”Bulk”: Rantai Atomik, Graphene, Galium Arsenida Nanomaterial: Carbon Nanotube
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
41 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Alur Perhitungan Perangkat Matematik + Komputasi: I I
Trik komputasi −→ persamaan matriks :: Matriks Hamiltonian Aproksimasi Beda Hingga :: Self-Consistent Field :: Pemilihan Fungsi Basis
Objek yang diamati: Atom: Hidrogen dan Helium Molekul: Gas Hidrogen (H2 ) Struktur ”Bulk”: Rantai Atomik, Graphene, Galium Arsenida Nanomaterial: Carbon Nanotube
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
41 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Alur Perhitungan Perangkat Matematik + Komputasi: I I
Trik komputasi −→ persamaan matriks :: Matriks Hamiltonian Aproksimasi Beda Hingga :: Self-Consistent Field :: Pemilihan Fungsi Basis
Objek yang diamati: Atom: Hidrogen dan Helium Molekul: Gas Hidrogen (H2 ) Struktur ”Bulk”: Rantai Atomik, Graphene, Galium Arsenida Nanomaterial: Carbon Nanotube
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
41 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Alur Perhitungan Perangkat Matematik + Komputasi: I I
Trik komputasi −→ persamaan matriks :: Matriks Hamiltonian Aproksimasi Beda Hingga :: Self-Consistent Field :: Pemilihan Fungsi Basis
Objek yang diamati: Atom: Hidrogen dan Helium Molekul: Gas Hidrogen (H2 ) Struktur ”Bulk”: Rantai Atomik, Graphene, Galium Arsenida Nanomaterial: Carbon Nanotube
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
41 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Rantai Atomik 1D
Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1D Pemodelan zat padat: periodisitas fungsi gelombang Rantai atomik satu dimensi dengan satu atom per titik kisi: Jika irisan fungsi gelombang antaratom diabaikan: H = diag (E0
E0
...
E0 ).
Jika atom-atom dibawa saling mendekat dan terjadi irisan antaratom, maka tetangga terdekat dari elemen diagonal matriks Hamiltonian tidak lagi bernilai nol.
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
42 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Rantai Atomik 1D
Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1D Pemodelan zat padat: periodisitas fungsi gelombang Rantai atomik satu dimensi dengan satu atom per titik kisi:
...
... 1
2
3
...
N −1
N
Jika irisan fungsi gelombang antaratom diabaikan: H = diag (E0
E0
...
E0 ).
Jika atom-atom dibawa saling mendekat dan terjadi irisan antaratom, maka tetangga terdekat dari elemen diagonal matriks Hamiltonian tidak lagi bernilai nol. ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
42 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Rantai Atomik 1D
Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1D Pemodelan zat padat: periodisitas fungsi gelombang Rantai atomik satu dimensi dengan satu atom per titik kisi:
...
... 1
2
3
...
N −1
N
Jika irisan fungsi gelombang antaratom diabaikan: H = diag (E0
E0
...
E0 ).
Jika atom-atom dibawa saling mendekat dan terjadi irisan antaratom, maka tetangga terdekat dari elemen diagonal matriks Hamiltonian tidak lagi bernilai nol. ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
42 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Rantai Atomik 1D
Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1D Pemodelan zat padat: periodisitas fungsi gelombang Rantai atomik satu dimensi dengan satu atom per titik kisi:
...
... 1
2
3
...
N −1
N
Jika irisan fungsi gelombang antaratom diabaikan: H = diag (E0
E0
...
E0 ).
Jika atom-atom dibawa saling mendekat dan terjadi irisan antaratom, maka tetangga terdekat dari elemen diagonal matriks Hamiltonian tidak lagi bernilai nol. ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
42 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Rantai Atomik 1D
Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1D Irisan dua fungsi gelombang yang bertetangga pada rantai atomik: fungsi gelombang beririsan
1s
1s
...
...
Matriks Hamiltonian:
E0 Ess 0 0 0 0 Ess E0 Ess 0 .. . 0 H = 0 Ess E0 .. .. . . 0 Ess 0 0 0 0 Ess E0 ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
43 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Rantai Atomik 1D
Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1D Irisan dua fungsi gelombang yang bertetangga pada rantai atomik: fungsi gelombang beririsan
1s
1s
...
...
Matriks Hamiltonian:
E0 Ess 0 0 0 0 Ess E0 Ess 0 .. . 0 H = 0 Ess E0 .. .. . . 0 Ess 0 0 0 0 Ess E0 ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
43 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Rantai Atomik 1D
Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1D Ditambah syarat periodisitas: E0 Ess 0 0 0 Ess ψ1 ψ1 .. ψ2 Ess E0 . 0 Ess 0 ψ2 .. .. . . . . . 0 . . Ess 0 . 0 E ψ = . . . . ψ n n 0 . . 0 0 Ess . .. .. . . 0 Ess 0 . E0 Ess . ψN ψN Ess 0 0 0 Ess E0 Untuk setiap baris matriks berlaku: Eψn = Ess ψn−1 + E0 ψn + Ess ψn+1
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
44 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Rantai Atomik 1D
Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1D Ditambah syarat periodisitas: E0 Ess 0 0 0 Ess ψ1 ψ1 .. ψ2 Ess E0 . 0 Ess 0 ψ2 .. .. . . . . . 0 . . Ess 0 . 0 E ψ = . . . . ψ n n 0 . . 0 0 Ess . .. .. . . 0 Ess 0 . E0 Ess . ψN ψN Ess 0 0 0 Ess E0 Untuk setiap baris matriks berlaku: Eψn = Ess ψn−1 + E0 ψn + Ess ψn+1
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
44 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Rantai Atomik 1D
Solusi Rantai 1D Tebak: ψn = ψ0 einφ , sehingga E = Ess
ψn−1 ψn+1 + E0 + Ess = Ess e−iφ + E0 + Ess e+iφ ψn ψn
= E0 + 2Ess cos φ.
Beri batasan E → terkait dengan jumlah nilai eigen yang berhingga, tidak kontinu. Batasi rentang φ dan diskretisasi nilainya: ψn = ψ0 ein(φ+2π) = ψ0 einφ ;
ψn+1 = ψ0 ein(N+1)φ = ψ1
eiNφ = 1 ⇒ Nφ = 2πα ⇒ φ = α
2π N
Jika jarak antartitik kisi a, maka: φα = kα a = α
ART Nugraha (ITB)
2π N
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
45 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Rantai Atomik 1D
Solusi Rantai 1D Tebak: ψn = ψ0 einφ , sehingga E = Ess
ψn−1 ψn+1 + E0 + Ess = Ess e−iφ + E0 + Ess e+iφ ψn ψn
= E0 + 2Ess cos φ.
Beri batasan E → terkait dengan jumlah nilai eigen yang berhingga, tidak kontinu. Batasi rentang φ dan diskretisasi nilainya: ψn = ψ0 ein(φ+2π) = ψ0 einφ ;
ψn+1 = ψ0 ein(N+1)φ = ψ1
eiNφ = 1 ⇒ Nφ = 2πα ⇒ φ = α
2π N
Jika jarak antartitik kisi a, maka: φα = kα a = α
ART Nugraha (ITB)
2π N
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
45 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Rantai Atomik 1D
Solusi Rantai 1D Tebak: ψn = ψ0 einφ , sehingga E = Ess
ψn−1 ψn+1 + E0 + Ess = Ess e−iφ + E0 + Ess e+iφ ψn ψn
= E0 + 2Ess cos φ.
Beri batasan E → terkait dengan jumlah nilai eigen yang berhingga, tidak kontinu. Batasi rentang φ dan diskretisasi nilainya: ψn = ψ0 ein(φ+2π) = ψ0 einφ ;
ψn+1 = ψ0 ein(N+1)φ = ψ1
eiNφ = 1 ⇒ Nφ = 2πα ⇒ φ = α
2π N
Jika jarak antartitik kisi a, maka: φα = kα a = α
ART Nugraha (ITB)
2π N
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
45 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Rantai Atomik 1D
Solusi Rantai 1D Tebak: ψn = ψ0 einφ , sehingga E = Ess
ψn−1 ψn+1 + E0 + Ess = Ess e−iφ + E0 + Ess e+iφ ψn ψn
= E0 + 2Ess cos φ.
Beri batasan E → terkait dengan jumlah nilai eigen yang berhingga, tidak kontinu. Batasi rentang φ dan diskretisasi nilainya: ψn = ψ0 ein(φ+2π) = ψ0 einφ ;
ψn+1 = ψ0 ein(N+1)φ = ψ1
eiNφ = 1 ⇒ Nφ = 2πα ⇒ φ = α
2π N
Jika jarak antartitik kisi a, maka: φα = kα a = α
ART Nugraha (ITB)
2π N
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
45 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Rantai Atomik 1D
Struktur Dua Atom per Titik Kisi Distorsi Peirl mengubah bentuk 1 atom (orbital) per titik kisi menjadi 2 atom (orbital) per titik kisi.
...
... 1 1'
2 2'
...
3 3'
N N'
Pers. matriks:
E0 Ess ψ1 ψ10 Ess E0 E0ss . E .. = E0ss E0 ψ .. . N 0 ψN0 Ess
ART Nugraha (ITB)
E0ss ..
.
..
.
Simulasi Struktur Energi Elektronik
ψ1 ψ10 .. . ψ N ψN0 25 Juni 2008
46 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Rantai Atomik 1D
Struktur Dua Atom per Titik Kisi Distorsi Peirl mengubah bentuk 1 atom (orbital) per titik kisi menjadi 2 atom (orbital) per titik kisi.
...
... 1 1'
2 2'
...
3 3'
N N'
Pers. matriks:
E0 Ess ψ1 ψ10 Ess E0 E0ss . E .. = E0ss E0 ψ .. . N 0 ψN0 Ess
ART Nugraha (ITB)
E0ss ..
.
..
.
Simulasi Struktur Energi Elektronik
ψ1 ψ10 .. . ψ N ψN0 25 Juni 2008
46 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Rantai Atomik 1D
Struktur Dua Atom per Titik Kisi ( Triks solusi {φn } =
ψn ψn0
)
H11 H12 φ1 φ2 H21 H22 H23 = E .. H32 H33 . .. φN .
φ1 φ2 .. .. . . .. φN .
dengan "
Hnm
# E0 Ess = , Ess E0
ART Nugraha (ITB)
# 0 0 = 0 , Ess 0
"
"
Hn,n+1
Simulasi Struktur Energi Elektronik
Hn,n−1
0 Ess = 0 0
25 Juni 2008
#
47 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Rantai Atomik 1D
Solusi Dua Orbital Rantai Atom Untuk setiap baris persamaan matriks, dapat dituliskan Eφn = Hnn φn + Hn,n−1 φn−1 + Hn,n+1 φn+1 Tebak solusi: φn = φ0 eikna Substitusikan: Eφ0 = Hnn φ0 + Hn,n−1 e−ika φ0 + Hn,n+1 eika φ0 , menghasilkan "
# E0 Ess + E0ss e−ika E{φ0 } = {φ0 }. Ess + E0ss eika E0
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
48 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Rantai Atomik 1D
Solusi Dua Orbital Rantai Atom Untuk setiap baris persamaan matriks, dapat dituliskan Eφn = Hnn φn + Hn,n−1 φn−1 + Hn,n+1 φn+1 Tebak solusi: φn = φ0 eikna Substitusikan: Eφ0 = Hnn φ0 + Hn,n−1 e−ika φ0 + Hn,n+1 eika φ0 , menghasilkan "
# E0 Ess + E0ss e−ika E{φ0 } = {φ0 }. Ess + E0ss eika E0
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
48 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Rantai Atomik 1D
Solusi Dua Orbital Rantai Atom Untuk setiap baris persamaan matriks, dapat dituliskan Eφn = Hnn φn + Hn,n−1 φn−1 + Hn,n+1 φn+1 Tebak solusi: φn = φ0 eikna Substitusikan: Eφ0 = Hnn φ0 + Hn,n−1 e−ika φ0 + Hn,n+1 eika φ0 , menghasilkan "
# E0 Ess + E0ss e−ika E{φ0 } = {φ0 }. Ess + E0ss eika E0
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
48 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Rantai Atomik 1D
Solusi Dua Orbital Rantai Atom
Tentukan nilai eigen: E −E 0 e−ika E + E ss 0 ss =0 Ess + E0ss eika E0 Hasilnya: E = E0 ±
q 0 E2ss + E02 ss + 2Ess Ess cos(ka)
Muncul dua cabang kurva yang berkaitan dengan jumlah basis (orbital atom) yang dipilih per titik kisi.
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
49 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Rantai Atomik 1D
Solusi Dua Orbital Rantai Atom
Tentukan nilai eigen: E −E 0 e−ika E + E ss 0 ss =0 Ess + E0ss eika E0 Hasilnya: E = E0 ±
q 0 E2ss + E02 ss + 2Ess Ess cos(ka)
Muncul dua cabang kurva yang berkaitan dengan jumlah basis (orbital atom) yang dipilih per titik kisi.
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
49 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Rantai Atomik 1D
Solusi Dua Orbital Rantai Atom
Tentukan nilai eigen: E −E 0 e−ika E + E ss 0 ss =0 Ess + E0ss eika E0 Hasilnya: E = E0 ±
q 0 E2ss + E02 ss + 2Ess Ess cos(ka)
Muncul dua cabang kurva yang berkaitan dengan jumlah basis (orbital atom) yang dipilih per titik kisi.
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
49 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Rantai Atomik 1D
Hubungan Dispersi
Hubungan dispersi untuk rantai atomik satu dimensi dengan dua atom per titik kisi. ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
50 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Rantai Atomik 1D
Generalisasi Prosedur Prosedur perhitungan struktur energi untuk rantai atomik dapat diperluas untuk sembarang zat padat periodik dengan sembarang jumlah fungsi basis per titik kisi (atau sel satuan) Tinjau sebuah sel satuan n yang terkait dengan sel satuan tetangganya m oleh matriks [Hnm ] berukuran (b × b), dengan b adalah jumlah fungsi basis per sel satuan: X [Hnm ]{φm } = E{φn } m ~
Tebakan solusi: {φm } = {φ0 }eik·~rm sehingga X ~ [Hnm ]eik·(~rm −~rn ) E{φ0 } = [h(~k)]{φ0 }; [h(~k)] = m
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
51 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Rantai Atomik 1D
Generalisasi Prosedur Prosedur perhitungan struktur energi untuk rantai atomik dapat diperluas untuk sembarang zat padat periodik dengan sembarang jumlah fungsi basis per titik kisi (atau sel satuan) Tinjau sebuah sel satuan n yang terkait dengan sel satuan tetangganya m oleh matriks [Hnm ] berukuran (b × b), dengan b adalah jumlah fungsi basis per sel satuan: X [Hnm ]{φm } = E{φn } m ~
Tebakan solusi: {φm } = {φ0 }eik·~rm sehingga X ~ [Hnm ]eik·(~rm −~rn ) E{φ0 } = [h(~k)]{φ0 }; [h(~k)] = m
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
51 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Rantai Atomik 1D
Generalisasi Prosedur Prosedur perhitungan struktur energi untuk rantai atomik dapat diperluas untuk sembarang zat padat periodik dengan sembarang jumlah fungsi basis per titik kisi (atau sel satuan) Tinjau sebuah sel satuan n yang terkait dengan sel satuan tetangganya m oleh matriks [Hnm ] berukuran (b × b), dengan b adalah jumlah fungsi basis per sel satuan: X [Hnm ]{φm } = E{φn } m ~
Tebakan solusi: {φm } = {φ0 }eik·~rm sehingga X ~ [Hnm ]eik·(~rm −~rn ) E{φ0 } = [h(~k)]{φ0 }; [h(~k)] = m
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
51 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Graphene dan Semikonduktor
Geometri Graphene y
x
sel satuan
a0
Sketsa graphene: sel satuan dipilih terdiri dari dua atom karbon. ~ = m~a1 + n~a2 R ~a2 = aˆ x − bˆ y √ 3a0 dan b = . 2
~a1 = aˆ x + bˆ y a=
ART Nugraha (ITB)
3a0 2
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
52 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Graphene dan Semikonduktor
Geometri Graphene Kisi nyata dan kisi resiprok graphene. a , b
/a , /3b
0, 2 /3b
a1
b1
a2
− /a ,− /3b
b2
a ,−b
Vektor kisi resiprok ~ = M~b1 + N~b2 K π ~b1 = 2π(~a2 × ˆz) = π ˆ x+ ˆ y; ~a1 · (~a2 × ˆz a b ART Nugraha (ITB)
~b2 = 2π(ˆz × ~a1 ) = π ˆx − π ˆy. ~a2 · (ˆz × ~a1 ) a b
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
53 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Graphene dan Semikonduktor
Perhitungan Dispersi Graphene Ukuran matriks [h(~k)] bergantung pada jumlah fungsi basis per sel satuan. Cukup gunakan orbital pz untuk graphene ini: " # " # " # i~k·~a1 i~k·~a2 E −t 0 −te 0 −te 0 [h(~k)] = + + −t E0 0 0 0 0 " # " # 0 0 0 0 + + ~k·~a1 ~k·~a2 −i −i −te 0 −te 0 " # E0 h0 [h(~k)] = ∗ h0 E0 ~
~
dengan h0 = −t(1 + eik·~a1 + eik·~a2 ) = −t(1 + 2eikx a cos(ky b). ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
54 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Graphene dan Semikonduktor
Perhitungan Dispersi Graphene Ukuran matriks [h(~k)] bergantung pada jumlah fungsi basis per sel satuan. Cukup gunakan orbital pz untuk graphene ini: " # " # " # i~k·~a1 i~k·~a2 E −t 0 −te 0 −te 0 [h(~k)] = + + −t E0 0 0 0 0 " # " # 0 0 0 0 + + ~k·~a1 ~k·~a2 −i −i −te 0 −te 0 " # E0 h0 [h(~k)] = ∗ h0 E0 ~
~
dengan h0 = −t(1 + eik·~a1 + eik·~a2 ) = −t(1 + 2eikx a cos(ky b). ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
54 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Graphene dan Semikonduktor
Perhitungan Dispersi Graphene Ukuran matriks [h(~k)] bergantung pada jumlah fungsi basis per sel satuan. Cukup gunakan orbital pz untuk graphene ini: " # " # " # i~k·~a1 i~k·~a2 E −t 0 −te 0 −te 0 [h(~k)] = + + −t E0 0 0 0 0 " # " # 0 0 0 0 + + ~k·~a1 ~k·~a2 −i −i −te 0 −te 0 " # E0 h0 [h(~k)] = ∗ h0 E0 ~
~
dengan h0 = −t(1 + eik·~a1 + eik·~a2 ) = −t(1 + 2eikx a cos(ky b). ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
54 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Graphene dan Semikonduktor
Kurva Dispersi (Surface) untuk Graphene 1/2 E = E0 ± |h0 | = E0 ± t 1 + 4 cos2 (ky b) + 4 cos(kx a) cos(ky b)
3 2
E t
1 0 −1 −2 −4
−3 −4
−2
−2
k y a0
0
0 2
2 4
ART Nugraha (ITB)
k x a0
4
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
55 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Graphene dan Semikonduktor
Semikonduktor Zat Padat a
y
x
Penampang dua dimensi dari kisi fcc. Setiap titik ditempati oleh satu macam atom. Dua kisi yang sama kemudian dapat membentuk struktur intan jika dipisahkan oleh seperempat jarak diagonal ruang. ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
56 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Graphene dan Semikonduktor
Galium Arsenida −→ Struktur Zincblende
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
57 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Graphene dan Semikonduktor
Galium Arsenida
Plot E(~k) galium arsenida untuk setiap nilai ~k dalam rentang Γ − X dan Γ − L. Daerah Γ − X terbentang pada ~k = 0 → 2π ˆ x (digambarkan di sumbu a
horizontal positif), sedangkan Γ − L pada ~k = 0 →
π ˆ a (x
+ ˆy + ˆz) (sumbu
horizontal negatif). Celah energi: 1, 41 ≈ eV ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
58 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Struktur Nanomaterial
Quantum Well, Wire, dan Dot Quantum wire
Quantum well
Zat padat biasa
Quantum dot
Struktur Bulk: Aproksimasi parabolik, E(~k) ≈ Ec + Quantum well: kz =
nz π Lz
~2 (kx2 + ky2 + kz2 )
2m∗ (nz bilangan bulat)
Enz (kx , ky ) ≈ Ec + n2z z + z = ART Nugraha (ITB)
~2 (kx2 + ky2 ) 2m∗
~2 π 2 2m∗ L2z
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
59 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Struktur Nanomaterial
Quantum Well, Wire, dan Dot Quantum wire: Eny ,nz (kx ) ≈ Ec + n2y y + n2z z + y =
~2 kx2 2m∗
~2 π 2 2m∗ L2y
Quantum dot: Enx ,ny ,nz
ART Nugraha (ITB)
~2 π 2 ≈ Ec + 2m∗
2 n2x ny n2z + + L2x L2y L2z
Simulasi Struktur Energi Elektronik
!
25 Juni 2008
60 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Struktur Nanomaterial
Ketersediaan Keadaan Energi pada Graphene Carbon Nanotube −→ penggulungan graphene
3 2
E t
1 0 −1 −2 −4
−3 −4
−2
−2
k y a0
0
0 2
2 4
ART Nugraha (ITB)
k x a0
4
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
61 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Struktur Nanomaterial
Konduksi Graphene untuk CNT Titik-titik dengan E = 0 pada bidang kx − ky : (h0 = 0) (kx a, ky b) = (0, −2π/3),
(−π, +π/3),
(+π, +π/3)
(kx a, ky b) = (0, +2π/3),
(−π, −π/3),
(+π, −π/3)
ky
ky
kx
kx
Translasi titik zona Brillouin pada graphene yang berperan dalam konduksi: (kx a, ky b) = (0, ±2π/3) ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
62 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Struktur Nanomaterial
Vektor Chiral dan Periodisitas Begitu graphene digulung menjadi CNT, nilai-nilai k yang diizinkan akan tergantung pada syarat periodik di bagian kelilingnya. Definisikan vektor keliling (chiral): ~ch = m~a1 + n~a2 = a(m + n)ˆ x + b(m − n)ˆy Syarat batas periodik yang berlaku adalah ~k · ~ch = kc |~ch | = kx a(m + n) + ky b(m − n) = 2πν.
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
63 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Struktur Nanomaterial
Konsep Subpita Energi ky 0,2/ 3b
kx
kc∣ch∣=2
0,−2/ 3b
kontur energi (konstan)
Garis-garis sejajar sebagai subpita pada CNT. −→ Kurva dispersi energi dapat digambarkan terhadap kx a atau ky b sesuai dengan jenis nanotube. ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
64 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Struktur Nanomaterial
Kurva Dispersi CNT
Aproksimasi kurva dispersi energi untuk CNT sebagai fungsi ky b sepanjang garis kx a = 0. ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
65 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Struktur Nanomaterial
Kurva Dispersi CNT
Dua subpita terendah pada zigzag-CNT dengan m = 45. Tidak adanya celah energi menunjukkan sifat yang seperti logam. ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
66 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Struktur Nanomaterial
Kurva Dispersi CNT
Dua subpita terendah pada zigzag-CNT dengan m = 44. Keberadaan celah energi menunjukkan sifatnya yang semikonduktor Eg = 0, 25 eV. ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
67 / 70
Simpulan
Sistematika 1
Pendahuluan
2
Persamaan Schrodinger ¨ dalam Matriks
3
Metode SCF untuk Atom
4
Ikatan pada Molekul
5
Konsep Fungsi Basis
6
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D Graphene dan Semikonduktor Struktur Nanomaterial
7
Simpulan ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
68 / 70
Simpulan
Simpulan Struktur elektronik, atom, molekul, dan khususnya nanomaterial, telah diturunkan secara analitik disertai visualisasi numerik. Banyak sifat menarik yang dapat diketahui dari suatu material apabila rumusan struktur elektronik, yakni hubungan dispersi, dijabarkan secara lengkap. Beberapa aproksimasi yang digunakan dalam metode ikatan terkuat dengan memecahkan matriks Hamiltonian menunjukkan hasil yang cukup baik sesuai eksperimen. Pilihan fungsi basis yang tepat akan sangat membantu dalam kemudahan dan kecepatan perhitungan.
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
69 / 70
Simpulan
Simpulan Struktur elektronik, atom, molekul, dan khususnya nanomaterial, telah diturunkan secara analitik disertai visualisasi numerik. Banyak sifat menarik yang dapat diketahui dari suatu material apabila rumusan struktur elektronik, yakni hubungan dispersi, dijabarkan secara lengkap. Beberapa aproksimasi yang digunakan dalam metode ikatan terkuat dengan memecahkan matriks Hamiltonian menunjukkan hasil yang cukup baik sesuai eksperimen. Pilihan fungsi basis yang tepat akan sangat membantu dalam kemudahan dan kecepatan perhitungan.
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
69 / 70
Simpulan
Simpulan Struktur elektronik, atom, molekul, dan khususnya nanomaterial, telah diturunkan secara analitik disertai visualisasi numerik. Banyak sifat menarik yang dapat diketahui dari suatu material apabila rumusan struktur elektronik, yakni hubungan dispersi, dijabarkan secara lengkap. Beberapa aproksimasi yang digunakan dalam metode ikatan terkuat dengan memecahkan matriks Hamiltonian menunjukkan hasil yang cukup baik sesuai eksperimen. Pilihan fungsi basis yang tepat akan sangat membantu dalam kemudahan dan kecepatan perhitungan.
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
69 / 70
Simpulan
Simpulan Struktur elektronik, atom, molekul, dan khususnya nanomaterial, telah diturunkan secara analitik disertai visualisasi numerik. Banyak sifat menarik yang dapat diketahui dari suatu material apabila rumusan struktur elektronik, yakni hubungan dispersi, dijabarkan secara lengkap. Beberapa aproksimasi yang digunakan dalam metode ikatan terkuat dengan memecahkan matriks Hamiltonian menunjukkan hasil yang cukup baik sesuai eksperimen. Pilihan fungsi basis yang tepat akan sangat membantu dalam kemudahan dan kecepatan perhitungan.
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
69 / 70
Penutup
In the end... “We have no right to assume that any physical laws exist or if they have existed up to now, that they will continue to exist in a similar manner in the future” [Max Planck]
ART Nugraha (ITB)
Simulasi Struktur Energi Elektronik
25 Juni 2008
70 / 70
