Geometrie
Plochy
Sedlov´ a plocha (hyperbolick´ y paraboloid) v koso´ uhl´ em prom´ıt´ an´ı do n´ arysny ˇ sen´ Reˇ eu ´lohy Pˇ r´ıklad: V koso´ uhl´em prom´ıt´an´ı do n´arysny ν (ω = 120◦ , q = 1/2) sestrojte vrchol V , osu o a teˇcnou rovinu τ v bodˇe T hyperbolick´eho paraboloidu, kter´ y je d´an zborcen´ ym ˇctyˇru ´heln´ıkem ABCD; A[0; 3; 9], B[6; 0; 1], C[10; 8; 7], D[4; 11; 4], T [3; 4; ?]. (Poˇc´atek O zvolte 7 cm zleva a 13 cm zdola.)
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
1
Geometrie
Plochy z Ak
Ck
Bk B1k
O
x
120◦
Ak1
Dk T1k
C1k
yk
D1k
• v koso´ uhl´em prom´ıt´an´ı do n´arysny se zachov´a prav´ yu ´hel mezi osami x, z, osa y se zkos´ı ◦ pod u ´hlem ω = 120 ; pˇri v´ yn´aˇsen´ı souˇradnic jednotliv´ ych bod˚ u postupujeme nejl´epe takto: nejprve naneseme na koso´ uhl´ y pr˚ umˇet y k osy y pˇr´ısluˇsnou y-ovou souˇradnci n´asobenou zadan´ ym kvocientem q = 1/2, pot´e udˇel´ame rovnobˇeˇzku s osou x (v obr´azku naznaˇceno teˇckovanˇe), na ni naneseme x-ovou souˇradnici dan´eho bodu ve skuteˇcn´e d´elce, ˇc´ımˇz dostaneme pˇr´ısluˇsn´ y koso´ uhl´ y p˚ udorys, nad kter´ y jiˇz jen naneseme jeho z-ovou souˇradnici opˇet ve skuteˇcn´e d´elce; pro bod T m˚ uˇzeme ovˇsem zat´ım sestrojit jeho k koso´ uhl´ y p˚ udorys T1 ; m´ame tak koso´ uhl´ y pr˚ umˇet zborcen´eho ˇctyˇru ´heln´ıka ABCD i jeho p˚ udorysu A1 B1 C1 D1 a m˚ uˇzeme se pustit do samotn´eho ˇreˇsen´ı u ´lohy
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
2
Geometrie
Plochy z
k
nα =nβ =r
A
Ck
Bk B1k
O
x
120◦
Ak1
Dk
pα
T1k
C1k
yk
D1k
pβ
• vektory D1 −A1 = [4; 11; 0]−[0; 3; 0] = (4; 8; 0) a C1 −B1 = [10; 8; 0]−[6; 0; 0] = (4; 8; 0) jsou rovnobˇeˇzn´e a stejnˇe dlouh´e, p˚ udorys A1 B1 C1 D1 je tedy rovnobˇeˇzn´ık, coˇz se v pr˚ umˇetu tak´e zachovalo; dokonce pro skal´arn´ı souˇcin vektor˚ u D1 −A1 = (4; 8; 0) a B1 −A1 = = [6; 0; 0]−[0; 3; 0] = (6; −3; 0) plat´ı (4; 8; 0) · (6; −3; 0) = 0, tj. tyto vektory jsou kolm´e a rovnobˇeˇzn´ık A1 B1 C1 D1 je tedy obd´eln´ık – to se ovˇsem uˇz v pr˚ umˇetu nezachov´a; proloˇzme u ´seˇckou AB svislou rovinu α = ABA1 ; podle pˇredchoz´ıch v´ ypoˇct˚ u je protˇejˇs´ı strana CD s rovinou α nutnˇe rovnobˇeˇzn´a, a rovina α je tak jednou tzv. ˇr´ıdic´ı rovinou paraboloidu, kter´a urˇcuje jeden pˇr´ımkov´ y regulus plochy; analogicky je rovina β=BCB1 druhou ˇr´ıdic´ı rovinou, kter´a urˇcuje druh´ y regulus tvoˇric´ıch pˇr´ımek; obˇe roviny roviny se prot´ınaj´ı v pˇr´ımce r = α ∩ β, kter´a spl´ yv´a s jejich spoleˇcnou n´arysnou stopou nα = nβ
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
3
Geometrie
Plochy z
k
nα =nβ =r
A
Ck 2k
C ′k 1k uk
Bk B1k
O B ′k B1′k = Ak1
x
120◦
Dk
pα
T1k 2k1 C1k uk1
yk
1k1 C1′k = D1k
pβ
• nejprve se pokusme sestrojit vrchol V plochy; ten leˇz´ı v pr˚ useˇc´ıku vrcholov´ ych teˇcen u, v, jeˇz mus´ı b´ yt podle teorie plochy kolm´e k pr˚ useˇcnici r ˇr´ıd´ıc´ıch rovin α, β; sestrojme tedy vrcholovou teˇcnu u prvn´ıho regulu, kter´a mus´ı b´ yt rovnobˇeˇzn´a s p˚ udorysnou π (aby byla kolm´a k r), souˇcasnˇe rovnobˇeˇzn´a s rovinou α (aby patˇrila prvn´ımu regulu) a jeˇstˇe mus´ı prot´ınat pˇr´ımky AD, BC druh´eho regulu; souhrnnˇe ˇreˇceno, vrcholov´a teˇcna u je pˇr´ıˇckou mimobˇeˇzek AD, BC rovnobˇeˇzn´a s pˇr´ımkou pα = α ∩ π; jej´ı konstrukci proved’me takto: u ´seˇcku BC posuˇ nme rovnobˇeˇznˇe se stopou pα = A1 B1 do roviny ADA1 , ˇc´ımˇz z´ısk´ame u ´seˇcku B 0 C 0 , a jej´ı pr˚ useˇc´ık 1 s u ´seˇckou AD je jedn´ım bodem hledan´e pˇr´ımky u; ta je rovnobˇeˇzn´a s pα a mus´ı u ´seˇcku BC protnout v bodˇe 2; spr´avnost konstrukce m˚ uˇzeme ovˇeˇrit sestrojen´ım p˚ udorysu u1 = 11 21 , pro kter´ y mus´ı platit u1 k u; t´ım jsme popsali situaci pˇr´ımo v prostoru, jej´ı koso´ uhl´ y pr˚ umˇet je n´azornˇe proveden v obr´azku. . .
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
4
Geometrie
Plochy z
k
nα =nβ =r
A
C ′′k
ok
3k
Ck D′′k
2k
C ′k Vk
1k
4k
uk
v k B1k =C1′′k
O B ′k D1′′k =B1′k = Ak1
Bk
Dk
pα
x
3k1
120◦
T1k 2k1
V1k
C1k uk1 yk
1k1 C1′k = D1k
4k1 v1k
pβ
• analogicky jako v pˇredchoz´ım kroku se stroj´ıme vrcholovou teˇcnu v druh´eho regulu jako pˇr´ıˇcku mimobˇeˇzek AB, CD rovnobˇeˇznou se stopou pβ = β ∩ π; tentokr´at posuˇ nme u ´seˇcku CD rovnobˇeˇznˇe s pˇr´ımkou pβ = B1 C1 do roviny α, ˇc´ımˇz z´ısk´ame u ´seˇcku C 00 D00 , a jej´ı pr˚ useˇc´ık 3 s u ´seˇckou AB je jedn´ım bodem hledan´e teˇcny v; ta je rovnobˇeˇzn´a β s pˇr´ımkou p a prot´ın´a u ´seˇcku CD v bodˇe 4; opˇet m˚ uˇzeme v p˚ udorysu ovˇeˇrit, ˇze plat´ı v1 k v; pˇr´ımky u, v urˇcuj´ı tzv. vrcholovou teˇcnou rovinu, jej´ımˇz bodem dotyku je vrchol V = u ∩ v plochy; bodem V pak proch´az´ı osa o, kter´a je rovnobˇeˇzn´a s pr˚ useˇcnic´ı r ˇr´ıdic´ıch rovin α, β; t´ım m´ame horˇs´ı ˇc´ast u ´lohy vyˇreˇsenu. . .
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
5
Geometrie
Plochy z
k
nα =nβ =r
A
C ′′k
ok
bk ak 5k
8k 3k Tk
D′′k
Ck 2k
C ′k Vk
1k
4k
uk
Bk
7k
v k B1k =C1′′k
O B ′k
Dk
8k1
pα
6k1 T1k
5k1
ak1
x
3k1
120◦
D1′′k =B1′k = Ak1
6k
2k1
V1k
C1k uk1 yk
1k1 C1′k = D1k
7k1
4k1 bk1
v1k
pβ
• zb´ yv´a dokonˇcit teˇcnou rovinu τ v bodˇe T , pro nˇejˇz m´ame zad´an jeho p˚ udorys T1 ; sestrojme proto pˇr´ımky a, b obou regul˚ u plochy, kter´e se budou v bodˇe T prot´ınat a souˇcasnˇe tak budou urˇcovat hledanou rovinu τ ; pro p˚ udorys a1 pˇr´ımky a prvn´ıho regulu α plat´ı a1 k p a T1 ∈ a1 ; pr˚ useˇc´ıky 51 , 61 pˇr´ımky a1 se stranami A1 D1 , B1 C1 jsou p˚ udorysy bod˚ u 5, 6, kter´e leˇz´ı na u ´seˇck´ach AD, BC a urˇcuj´ı tedy pˇr´ımku a = 56; analogicky pro p˚ udorys b1 pˇr´ımky b druh´eho regulu plat´ı b1 k pβ a T1 ∈ b1 ; pak je b = 78, kde p˚ udorysy 71 , 81 bod˚ u 7, 8 leˇz´ı v pr˚ useˇc´ıc´ıch pˇr´ımky b1 se stranami C1 D1 , A1 B1 ; pˇr´ımky a, b se prot´ınaj´ı v bodˇe T , kter´ y leˇz´ı nad sv´ ym p˚ udorysem T1 ; souˇcasnˇe plat´ı τ = ab, ˇc´ımˇz je u ´loha vyˇreˇsena; na z´avˇer je v obr´azku naznaˇcen obrys plochy, urˇcena viditelnost jednotliv´ ych tvoˇric´ıch u ´seˇcek a r˚ uznˇe sytou barvou jsou odliˇseny horn´ı a spodn´ı ˇc´ast plochy. . . 2 Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
6
