Perumusan Ensembel Mekanika Statistik Kuantum Part-2
Menghitung Banyak Status Keadaan • Asumsi : partikel tak punya spin (spinless!)-> apa konsekuensinya? • Karena TAK ADA INTERAKSI maka tingkat-tingkat energy yg bisa dimiliki system adalah tingkat energy PARTIKEL TUNGGAL. Yang membedakan adalah berapa banyak partikel bisa menempati suatu tingkat energy tsb. • Energi level system = Energy level dari 1 partikel! (non interacting!) • Energi system = total energy berdasarkan okupansi partikel pada level energy partikel tunggal: 𝑝2 2𝜋ℏ 𝜖𝒑 = dengan 𝒑 = 𝒏 2𝑚 𝐿 Dimana n = (nx, ny, nz) dengan nj =0,1, 2,… dan L3=V.
Menghitung Banyak Status Keadaan • Spesifikasi keadaan system ideal diberikan oleh set jumlah okupansi { np} dengan np: jumlah partikel dengan momentum p. • Kendala system: 𝐸=
𝑛𝒑 𝜖𝒑 𝒑
𝑁=
𝑛𝒑 𝒑
• Untuk kasus spinless boson dan fermion set {np} sudah secara unik menspesifikasi keadaan system. • Nilai yang diijinkan untuk masing-masing adalah: 0,1,2,3, … 𝑏𝑜𝑠𝑜𝑛 𝑛𝒑 = 0,1 𝑓𝑒𝑟𝑚𝑖𝑜𝑛
Gas Ideal di Ensembel Mikrokanonik Mekanika Kuantum • Untuk Boltzmann : 𝑛𝒑 = 0,1,2,3, …
𝑁! tetapi {np} menyatakan keadaan 𝑛1 !𝑛2 !….
system! Permutasi partikel dengan momentum yg berbeda (p) berbeda tak menghasilkan distribusi baru. • Tingkat energy system N partikel adalah tingkat energy partikel tunggal. • Pendekatan : spektrum energi tsb akan dibagi dalam sel-sel, tiap sel mengandung sejumlah level (tingkat) energi yg berdekatan.
Teknik Menghitung Banyak Keadaan Sistem Misal untuk sel ke-i : Rata-rata level energi bernilai i Banyak level di sel tsb: gi >>1 Jumlah partikel di sel tsb: ni : jumlah np untuk seluruh level di sel tsb. • Konstrain: 𝑖 𝑛𝑖 = 𝑁 dan 𝑖 𝑛𝑖 𝜖𝑖 = 𝐸 • Banyak cara mendistribusi N partikel ke sel-sel tsb, tiap kali menghasilkan satu Sel-3 3 macam distribusi n : W {ni} • Maka banyak keadaan status microstate terkait: Γ 𝑁, 𝑉, 𝐸 =
Jumlah Okupan level si
g3 ; n3
Sel-2 2
g2 ; n 2
Sel-1 1
g1 ; n1
𝑊{𝑛𝑖 } {𝑛𝑖 }
• Penjumlahan dilakukan terhadap berbagai cara mendistribusikan {ni} yg berbeda yg memenuhi konstrain di atas.
Boson • Sedangkan W{ni}: 𝑊 𝑛𝑖 =
𝑤𝑖 𝑖
• Dengan wi : banyak cara mendistribusikan partikel identik indistinguishable sejumlah ni di dalam sel ke-i yang memiliki jumlah level gi. • Nilai wi bergantung pada jenis partikel : Fermion atau Boson. • Kasus Boson: – Tiap level boleh berisi partikel : 0,1,2,dst – Persoalan : diberikan ni boson untuk menempati level energi yg berbeda sebanyak gi dalam sel-i.
Boson – Pertanyaan : ada berapa banyak cara berbeda untuk mendistribusikan boson tsb di sel-i tsb yg punya gi subsel? – Persoalan tsb bisa dipandang sbg: Diberikan ni partikel dan (gi-1) partisi. Carilah banyaknya cara berbeda untuk mendistribusikan ni partikel dan (gi-1) partisi tsb. Partikel ke: 1
Partisi ke:
2
3
1
4 …..
2
n
g i-1
• Jumlah partisi gi-1, sebab jumlah level (“ruang”) : gi
Boson • Banyak cara mendistribusikan ni partikel + (gi-1) partisi : (ni+gi-1)! • Akan tetapi : partikel identik (undistinguishable) demikian juga partisi!, maka permutasi ni diantara partikel dalam satu sel dan permutasi diantara (gi-1) partisi tidak menghasilkan konfigurasi distinc yg baru, jadi: • 𝑛𝑖 + 𝑔𝑖 − 1 ! 𝑤𝑖 = 𝑛𝑖 ! 𝑔𝑖 − 1 !
Fermion Ini berarti Total seluruh keadaan yang distinct untuk satu distribusi {ni} tertentu dari bosons adalah: (artinya seluruh n sudah didistribusikan dulu n1 berapa, n2 berapa dst) 𝑛𝑖 + 𝑔𝑖 − 1 ! 𝐵𝐸 𝑊𝐵𝐸 𝑛𝑖 = 𝑊𝑖 = 𝑤𝑖 = 𝑛𝑖 ! 𝑔𝑖 − 1 ! 𝑖
𝑖
• Kasus Fermion: – Tiap level hanya boleh diisi maksimum 1 partikel, jadi okupansi tiap level:0 atau 1. – Karena sel ke-i memiliki gi level yang akan ditempati ni partikel (tentu ni tidak bisa > gi), berarti akan ada ni level yg berisi 1 partikel dan sisanya (gi-ni) kosong.
Fermion • Kita bisa memandang ini spt di Boson, akan tetapi: Jumlah obyek yg akan didistribusikan, justru total jumlah levelnya : gi “Obyek” tsb akan dipartisi jadi 2 kelompok saja: kelompok satu masing-masing berisi 1 partikel (ni), sisanya (gi-ni) tidak ada partikel. • Jadi ada g! cara berbeda mendistribusi obyek tsb. Tetapi permutasi dalam tiap kelompok : isi (ni) dan kosong (gi-ni) tidak menghasilkan keadaan baru. Sehingga banyaknya cara yang berbeda diberikan oleh:
Fermion 𝑤𝑖 = 𝑖
Level:
1
2
3
𝑔𝑖 ! 𝑛𝑖 ! 𝑔𝑖 − 𝑛𝑖 !
4 …..
gi
kosong (gi-ni) berisi (ni buah) Partisi hanya 1, bisa berpindah-pindah tempat
Ini berarti Total seluruh keadaan yang distinct untuk satu distribusi {ni} tertentu dari Fermion adalah: (artinya seluruh n sudah didistribusikan dulu n1 berapa, n2 berapa dst) 𝑔𝑖 ! 𝐹𝐷 𝑊𝐹𝐷 𝑛𝑖 = 𝑊𝑖 = 𝑤𝑖 = 𝑛𝑖 ! 𝑔𝑖 − 𝑛𝑖 ! 𝑖
𝑖
Boltzon • Kasus : Boltzon (Partikel maxwell boltzmann: hipotetik) • Untuk partikel Boltzmann mula-mula anggap mereka terbedakan (distinguishable) dan mereka bisa menempati status keadaan yang sama seperti boson. • Untuk sel ke-i, ada gi level (subsel) dan terdapat ni partikel terbedakan yg harus didistribusikan ke gi tsb, jelas banyaknya cara berbeda untuk mendistibusikannya adalah: – Partikel ke-1, bisa menempati salah satu dari gi level, – Partikel ke-2, juga bisa menempati salah satu dari gi level – Partikel ke-n, juga bisa menempati salah satu dari gi level
Boltzon • Total cara berbeda mendistribusikan ni partikel dalam gi level adalah : 𝑔𝑖 𝑛𝑖 • Banyak cara membagikan N total partikel ke dalam berbagai sel yang masing-masing berisi n1, n2 dst dan permutasi dalam tiap sel tidak menghasilkan keadaan baru adalah (kombinasi): 𝑁! 𝑛1 ! 𝑛2 ! … • Faktor koreksi berikutnya (Gibbs) : 1/N!, karena permutasi diantara partikel tsb sendiri (N buah) tidak akan menghasilkan status keadaan baru.
Boltzon • Sehingga total banyak konfigurasi {ni} yang berbeda bagi Boltzon ini adalah: 𝑛𝑖 𝑔 1 𝑁! 𝑖 𝑛1 𝑛2 𝑀𝐵 𝑊 𝑛𝑖 = 𝑔1 𝑔2 … = 𝑁! 𝑛1 ! 𝑛2 ! … 𝑛𝑖 ! 𝑖
Problem of The most Probable Distribution • Setelah mengetahui banyaknya cara berbeda mendistribusikan partikel identic N buah, maka selanjutnya mesti dicari distribusi {ni*} seperti apa yang akan menghasilkan W yg terbesar. • Dengan kata lain berapa nilai masing-masing ni di tiap sel agar W paling besar! • Entropi S diberikan oleh : 𝑆 = 𝑘 ln (
𝑊 𝑛𝑖 ) {𝑛𝑖 }
Problem of The most Probable Distribution •
Nilai log ruas kanan, untuk N besar sekali bisa didekati dengan 1 suku saja yaitu : the largest W{ni}=W{n*i}, dengan {n*i} adalah distribusi {ni} yang akan menghasilkan the largest W : THE MOST PROBABLE STATE! Tetapi dengan tetap memenuhi dua kendala : total partikel dan energy • Jadi : 𝑆 ≈ 𝑘 ln 𝑊{𝑛𝑖∗ } • Konstrain: 𝑖 𝑛𝑖 = 𝑁 dan 𝑖 𝑛𝑖 𝜖𝑖 = 𝐸
Metoda Lagrange Multiplier • Memakai metoda Lagrange multiplier, maka kondisi untuk mendapatkan Wmax tsb diungkapkan oleh: 𝛿 ln 𝑊{𝑛𝑖 } − 𝛼Σ𝑖 𝛿𝑛𝑖 + 𝛽Σ𝑖 𝜖𝑖 𝛿𝑛𝑖 = 0 • Dengan 𝛼 , 𝛽 adalah parameter. – Asumsi: ni dan gi >>1 sehingga Aproksimasi Stirling boleh dipakai. Maka: Kasus : Distribusi Bose Einstein: 𝑛𝑖 + 𝑔𝑖 − 1 ! 𝑊𝐵𝐸 𝑛𝑖 = 𝑛𝑖 ! 𝑔𝑖 − 1 ! 𝑖
Distribusi Bose-Einstein Maka: ln 𝑊𝐵𝐸 =
ln 𝑛𝑖 + 𝑔𝑖 − 1 ! − ln 𝑛𝑖 ! − ln 𝑔𝑖 − 1 ! 𝑖
𝑛𝑖 + 𝑔𝑖 − 1 ln 𝑛𝑖 + 𝑔𝑖 − 1 − (𝑛𝑖 + 𝑔𝑖
ln 𝑊𝐵𝐸 ≈ 𝑖
Problem of The most Probable Distribution l𝑛 𝑊𝐵𝐸 ≈
𝑛𝑖 ln 1 + 𝑖
𝛿ln 𝑊𝐵𝐸 ≈
𝑔𝑖 𝑛𝑖 + 𝑔𝑖 ln 1 + 𝑛𝑖 𝑔𝑖
𝛿𝑛𝑖 ln 1 + 𝑖
𝑔𝑖 𝑛𝑖
Substitusi ke : 𝛿 ln 𝑊{𝑛𝑖 } − 𝛼Σ𝑖 𝛿𝑛𝑖 + 𝛽Σ𝑖 𝜖𝑖 𝛿𝑛𝑖 = 0
𝑖
𝑔𝑖 ln 1 + − 𝛼 − 𝛽𝜖𝑖 𝛿𝑛𝑖 𝑛𝑖
Berarti 𝑔𝑖 ln 1 + − 𝛼 − 𝛽𝜖𝑖 = 0 𝑛𝑖
=0
Distribusi BE, FD dan MB Jadi distribusi Boson yang terkait W terbesar (most probable): 𝑔𝑖 𝑛𝑖 = 𝛼+𝛽𝜖 ≡ 𝑛𝑖∗ (𝐵𝐸) 𝑖 −1 𝑒 Dapat dibuktikan dengan cara yg serupa untuk gas Fermion dan Boltzmann didapatkan, the most probable distributionnya: 𝑔𝑖 𝑛𝑖 = 𝛼+𝛽𝜖 ≡ 𝑛𝑖∗ (𝐹𝐷) 𝑖 +1 𝑒 𝑔𝑖 𝑛𝑖 = 𝛼+𝛽𝜖 ≡ 𝑛𝑖∗ (𝑀𝐵) 𝑖 𝑒
Distribusi BE, FD dan MB Dapat dibuktikan bahwa hubungan parameter 𝛼, 𝛽 dengan thermodinamika adalah :
𝛼=−
𝜇 𝑘𝑇
Sehingga dengan definisi fugacity :𝑧 𝑛𝑖∗
𝐵𝐸 =
1 𝑘𝑇 = 𝑒 𝛽𝜇
dan 𝛽 =
𝑔𝑖
𝑧 −1 𝑒𝛽𝜖𝑖 − 1 𝑔𝑖 ∗ 𝑛𝑖 𝐹𝐷 = −1 𝛽𝜖 𝑧 𝑒 𝑖 +1 𝑛𝑖∗ (𝑀𝐵) = 𝑔𝑖 𝑧𝑖 𝑒 −𝛽𝜖𝑖
:
Distribusi BE, FD dan MB Pelabelan thd sel ke-i yg memiliki degenrasi gi dapat diganti ke pelabelan momentum (yg unik), sehingga: 𝑛𝑖∗
𝑛𝑖∗
𝐵𝐸 =
𝐹𝐷 =
𝑔𝑖 𝑧 −1 𝑒𝛽𝜖𝑖
−1
𝑔𝑖
𝑧 −1 𝑒𝛽𝜖𝑖 + 1 𝑛𝑖∗ (𝑀𝐵) = 𝑔𝑖 𝑧𝑖 𝑒 −𝛽𝜖𝑖
→
𝑛𝒑∗
𝐵𝐸 =
→ 𝑛𝒑∗ 𝐹𝐷 =
1 𝑧 −1 𝑒𝛽𝜖𝒑 − 1 1
𝑧 −1 𝑒𝛽𝜖𝒑 + 1 → 𝑛𝒑∗ 𝑀𝐵 = 𝑧𝑒 −𝛽𝜖𝒑
Pelabelan momentum p ini identic dengan menggunakan bilangan gelombang k, sebab 𝒑 = ℏ𝒌
Okupansi dan Jumlah Partikel Jumlah total partikel N akan diberikan oleh : 𝑛𝑖∗ =
𝑁= 𝑖
𝒑
Untuk Boson dan Fermion : 1 𝒑
𝑧 −1 𝑒𝛽𝜖𝒑
𝑛𝒑∗
±1
=𝑁
Dalam limit thermodinamika N besar, spectrum energy nyaris kontinu: 𝑝2 𝜖𝒑 = , 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝒑 = 𝑝𝑥 , 𝑝𝑦 , 𝑝𝑧 𝑑𝑎𝑛 𝑝 = |𝒑| 2𝑚
Okupansi dan Jumlah Partikel Maka
𝒑
→
∞
𝑁≈ 0
𝑑𝑝 4𝜋𝑝2 ∞
2
4𝜋𝑝 𝑑𝑝 2 𝑧 −1 𝑒𝛽𝑝 /2𝑚
Substitusi 𝑥 2
=
±1
𝛽𝑝2 : 2𝑚
2𝑚 𝑁 ≈ 4𝜋 𝛽
→ 0
3/2 ∞
4𝜋𝑝2 𝑑𝑝 𝑒 −𝛽𝜇 𝑒𝛽𝑝
2 /2𝑚
±1
𝑥 2 𝑑𝑥 2
0
𝑒 −𝛽𝜇 𝑒 𝑥 ± 1
Pada limit suhu tinggi 𝛽 → 0 , N yang berhingga menuntut integralnya 0.
Okupansi dan Jumlah Partikel Agar integralnya kecil (0), maka penyebutnya ∞: 2
2
Untuk 𝛽 → 0, maka 𝑒 −𝛽𝜇 𝑒 𝑥 ± 1 → ∞ , 𝑒 −𝛽𝜇 𝑒 𝑥 → ∞ atau 𝑒 −𝛽𝜇 → ∞. Hal ini berarti dalam kasus 𝛽 → 0 atau suhu tinggi maka distribusi Fermion dan Boson menjadi seperti Maxwell Boltzmann saja. Jika suhu tinggi (𝛽 → 0) maka okupansi level tertentu sebanding dengan: 𝑒 −𝛽(𝜖𝑝 −𝜇) Jika 𝛽 kecil maka okupansi keadaan dengan energy tinggi akan sedikit, artinya dalam hal ini tak berpengaruh antara boson ataupun fermion, sebab tersedia jauh lebih banyak status keadaan dibandingkan partikel yg akan menempati.
Perbandingkan Okupansi rata-rata Distribusi Fermion, Boson dan Boltzon Nampak bahwa pada (-) besar distribusi FD,BE mendekati MB.
1 0.9
Padahal MB (klasik) adalah model yg cukup bagus untuk FD T tinggi, berarti: BE 𝜖−𝜇 ≫ MB 𝑘𝑇
0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -2
-1
0
1
(-)
2
3
4
Supaya bisa besar, padahal T tinggi maka <0 dan magnitude harus besar!
Pengaruh Spin partikel • Jika partikel memiliki spin S, maka status keadaan partikel tunggal dengan momentum tertentu p mesti dilengkapi dengan spin-nya (p,S). • Dalam banyak aplikasi kita hanya perlu memperhatikan jumlah total status keadaan yang perlu dijumlahkan, misalnya untuk N: 𝑁 = 𝑠 𝒑 𝑛𝑠,𝒑 = (2𝑆 + 1) 𝒑 𝑛𝒑
• Dengan s=-S,-S+1,…,S. 1 1
• Misal untuk spin S=1/2, maka 𝑠 = − , , jadi ada (2S+1)= 2 2 (2(1/2)+1)=2 keadaan terkait spin tsb. • Jadi jika spin=S, maka banyak status keadaan berlipat (2S+1).
Entropi – Ungkapan Entropi-nya berbentuk (BE): 𝑆 ≈ 𝑘 ln 𝑊
𝑛∗
=𝑘
∗ 𝑛 𝑖 𝑖 ln
1
𝑔 + ∗𝑖 𝑛𝑖
+ 𝑔𝑖 ln 1 +
𝑛𝑖∗ 𝑔𝑖
– Untuk Fermion, ungkapan entropinya dapat dibuktikan menjadi:
𝑆 ≈ 𝑘 ln 𝑊
𝑛∗
=𝑘
𝑔𝑖 ∗ 𝑖 𝑛𝑖 ln 𝑛∗ 𝑖
− 1 − 𝑔𝑖 ln 1 −
– dan Maxwell-Boltzmann
𝑆 ≈ 𝑘 ln 𝑊
𝑛∗
𝑛𝑖∗ ln
=𝑘 𝑖
𝑔𝑖 𝑛𝑖∗
𝑛𝑖∗ 𝑔𝑖
Entropi – Untuk hasil terakhir ini telah dilakukan aproksimasi : gi, ni >>1. Jika secara eksplisit, ni/gi untuk masing-masing distribusi, maka entropi: BE: 𝑆 ≈ 𝑘
FD : 𝑆 ≈ 𝑘
∗ 𝑖 𝑛𝑖 (𝛼 ∗ 𝑛 𝑖 𝑖 (𝛼
+ 𝛽𝜖𝑖 ) −𝑔𝑖 ln 1 − 𝑒 −𝛼−𝛽𝜖𝑖
+ 𝛽𝜖𝑖 ) +𝑔𝑖 ln 1 + 𝑒 −𝛼−𝛽𝜖𝑖
MB: 𝑆 ≈ 𝑘
∗ 𝑛 𝑖 𝑖 (𝛼 + 𝛽𝜖𝑖 )
– Nilai ni untuk masing-masing distribusi spt yg diturunkan sebelumnya!
Entropi – Atau dengan substitusi nilai 𝑛𝑖∗ , untuk Boson: 𝑆≈𝑘
𝑖 𝑔𝑖
(−𝑙𝑛 𝑧+𝛽𝜖𝑖 )
− ln 1 − 𝑧𝑒 −𝛽𝜖𝑖
𝑧 −1 𝑒 𝛽𝜖𝑖 −1
Untuk Fermion: 𝑆≈𝑘
𝑖 𝑔𝑖
(−𝑙𝑛 𝑧+𝛽𝜖𝑖 )
+ ln 1 + 𝑧𝑒 −𝛽𝜖𝑖
𝑧 −1 𝑒 𝛽𝜖𝑖 +1
Maxwell-Boltzmann: 𝑆 ≈ 𝑘𝑧 𝑖 𝑔𝑖 𝑒 −𝛽𝜖𝑖 (−𝑙𝑛 𝑧 + 𝛽𝜖𝑖 ) Fungsi thermodinamika diperoleh dengan eliminasi z dari persamaan di atas, dengan memanfaatkan kendala bagi 𝑛𝑖∗
𝑁= 𝑖
Contoh : Gas Boltzmann – Kita pakai untuk Boltzon, mulai dari 𝑛𝑖∗ = 𝑧
𝑁= 𝑖
𝑒 −𝛽𝜖𝒑
𝑔𝑖 𝑒 −𝛽𝜖𝑖 = 𝑧 𝑖
𝒑
Untuk hasil terakhir tsb karena gi adalah degenerasi level energy 𝜖𝑖 , ketika dinyatakan dlm momentum maka tiap p unik, jadi tidak ada degenerasi! – Bagaimana mengubah Σ → ? Volume elementer di ruang fasa (q,p) = h, jadi banyak status keadaan: 𝑉 → 3 ℎ 𝑖
Contoh : Gas Boltzmann 𝑧𝑉 𝑁≈ 3 ℎ
∞
𝛽𝑝2 4𝜋𝑝2 𝑒 − 2𝑚 𝑑𝑝
0
𝑧𝑉 = 3 𝜆
Dengan adalah thermal wavelength 𝜆 =
ℎ , 2𝜋𝑚𝑘𝑇
dengan
ini bisa juga dituliskan (𝑣 = 𝑉/𝑁): 𝜆3 𝑧= 𝑣 Energi system 𝐸 = 𝑛𝑖 𝜖𝑖 : (dengan bantuan N di atas) 𝑧𝑔𝑖 𝜖𝑖 𝑒 −𝛽𝜖𝑖 = 𝑧
𝐸= 𝑧𝑉 ≈ 3 ℎ
𝑖 ∞
4𝜋𝑝2 0
𝑝2 2𝑚
𝜖𝒑 𝑒 −𝛽𝜖𝒑
𝒑 𝛽𝑝2 𝑒 − 2𝑚 𝑑𝑝
3 = 𝑁𝑘𝑇 2
Entropi • Maxwell-Boltzmann: 𝑔𝑖 𝑒 −𝛽𝜖𝑖 (−𝑙𝑛 𝑧 + 𝛽𝜖𝑖 )
𝑆/𝑘 ≈ 𝑧 𝑖
Atau 𝑒 −𝛽𝜖𝒑 (−𝑙𝑛 𝑧 + 𝛽𝜖𝒑 )
𝑆/𝑘 ≈ 𝑧 𝒑
𝑆 ≈ 𝛽𝑧 𝑘
𝜖𝒑 𝑒 −𝛽𝜖𝒑 − (ln 𝑧)𝑧 𝒑
𝑒 −𝛽𝜖𝒑 𝒑
𝑆 ≈ 𝛽𝐸 − 𝑁 ln 𝑧 𝑘
Entropi 𝑆 3 ≈ 𝑁𝑘 − 𝑁 ln 𝑧 𝑘 2
Dengan 𝑧 =
𝜆3 : 𝑣
𝑆 3 𝜆3 ≈ 𝑁𝑘 − 𝑁 ln( ) 𝑘 2 𝑣
𝑆 3 𝑁 ℎ2 ≈ 𝑁𝑘 − 𝑁 𝑙𝑛 𝑘 2 𝑉 2𝜋𝑚 𝑘𝑇
3/2
Interpretasi Ambil misalnya (BE): 𝑆 ≈ 𝑘 𝑖 𝑛𝑖∗ (𝛼 + 𝛽𝜖𝑖 ) −𝑔𝑖 ln 1 − 𝑒 −𝛼−𝛽𝜖𝑖 Suku Σ𝑖 𝑛𝑖∗ = 𝑁 , total partikel dan Σ𝑖 𝑛𝑖∗ 𝜖𝑖 = 𝐸 total energi. Sehingga: 𝑆 ≈ 𝛼𝑁 + 𝛽𝐸 − 𝑔i ln(1 − 𝑒 −𝛼−𝛽𝜖𝑖 ) 𝑘 𝑖
Dapat dibuktikan bahwa arti parameter dan adalah : 𝛼=−
𝜇 𝑘𝑇
dan 𝛽 =
1 𝑘𝑇
sehingga: 𝑔i ln(1 − 𝑒 −𝛼−𝛽𝜖𝑖 )
𝑇𝑆 ≈ −𝜇𝑁 + 𝐸 − 𝑘𝑇 𝑖
Interpretasi Atau: E − 𝑇𝑆 + 𝜇𝑁 = 𝑘𝑇
−𝛼−𝛽𝜖𝑖 ) 𝑔 ln(1 − 𝑒 i 𝑖
– Dari thermodinamika diperoleh hubungan: 𝐴 + 𝜇𝑁 = 𝑃𝑉 – Sehingga (BE): 𝑃𝑉 = −𝑘𝑇
−𝛼−𝛽𝜖𝑖 𝑔 ln(1 − 𝑒 ) 𝑖 i
– Hasil serupa diperoleh juga untuk FD : 𝑔i ln(1 + 𝑒 −𝛼−𝛽𝜖𝑖 )
𝑃𝑉 = 𝑘𝑇 𝑖
– Dan MB: (gas ideal klasik) 𝑔i 𝑒 −𝛼−𝛽𝜖𝑖
𝑃𝑉 = 𝑘𝑇 𝑖
𝑛𝑖∗
= 𝑘𝑇 𝑖
= 𝑁𝑘𝑇
