Penerapan Operasi Matriks dalam Kriptografi

Penerapan Operasi Matriks dalam Kriptografi Muhammad Farhan Kemal 13513085 Program Studi Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132, Indonesia [email protected]

Abstract— Dalam era informatika seperti saat ini, pengiriman dan penerimaan pesan teks secara digital telah memegang peranan yang sangat penting dalam pertukaran informasi. Pengiriman pesan teks secara digital tersebut contohnya adalah surat elektronik atau e-mail, SMS, media sosial berbasis chat seperti whatsapp dan LINE, dan masih banyak lagi. Namun dalam prosesnya, dalam sebuah pesan suatu huruf yang sama memiliki image yang sama. Hal ini memiliki risiko yang besar terhadap tingkat keamanan pertukaran informasi tersebut karena mudah ditebak apa isi pesan tersebut dan bisa saja merugikan berbagai pihak. Untuk itu dalam pengiriman sebuah pesan, isi pesan tersebut harus disandikan (encoded) terlebih dahulu. Tujuan penyandian ini agar aman dari para pembongkar sandi dan hanya penerima pesan yang mengetahui isi pesan tersebut. Pesan dikemas dan ditulis dalam bentuk barisan bilangan atau huruf tidak beraturan. Pesan sandi yang dikirim merupakan hasil pengolahan dan pemrosesan dengan satu atau lebih operasi matriks. Tingkat keamanan suatu pesan tergantung pada kompleksitas pemrosesan operasi matriks yang digunakan. Pada proses pengiriman pesan, sender(pengirim) menyertakan juga perangkat yang digunakan untuk mengolah/merubah pesan. Perangkat yang dimaksud adalah aturan konversi dan matriks pemrosesnya (matriks kunci). Berdasarkan ketiga perangkat inilah receiver (penerima) dapat membongkar/membaca makna pesan yang dikirim. Keywords— kriptografi, encoding, matriks, invers.

I. INTRODUCTION Pertukaran informasi adalah hal yang sangat penting saat ini. Tidak seperti dahulu, saat ini informasi sudah berada pada jalur yang sangat bebas dan dengan perputaran yang sangat cepat. Dahulu sebelum ada teknologi perpindahan informasi seperti saat ini, informasi cenderung statis dan persebarannya sangat sempit. Karena dibutuhkan waktu yang lama dan biaya yang mahal agar pertukaran informasi bisa terjadi. Pada saat ini, informasi bisa dikirimkan dengan cepat dengan menggunakan berbagai media. Biaya dan waktu sudah tidak menjadi isu yang perlu diperhatikan. Saat ini, hal yang menjadi perhatian dalam pengiriman sebuah informasi adalah tingkat keamanan informasi tersebut saat dikirim. Sebab

dalam prosesnya, ternyata dalam suatu pesan huruf yang sama memiliki penggambaran dan penyimbolan yang sama pula. Hal ini mengakibatkan saat perpindahan informasi tersebut, jika terdapat pembobolan paksa maka pesan tersebut akan Mesin Kriptografi Lorenz diketahui maknanya yang digunakan Jerman secara mudah. Untuk itu pada masa perang Dunia I diperlukan suatu metode Sumber : yang efektif dalam hal billtuttememorial.org.uk keamanan informasi tersebut. Hal ini disebut kriptografi. Kriptografi adalah algoritma untuk mengubah suatu informasi dari bentuk aslinya ke dalam bentuk yang acak/random yang hanya bisa dibobol oleh orang yang mengetahui passwordnya. Pada makalah ini metode kriptografi yang dilakukan adalah dengan mengubah setiap huruf ke dalam bilangan dan menempatkannya ke dalam sebuah matriks. Tingkat keamanan suatu pesan tergantung pada kompleksitas pemrosesan operasi matriks yang digunakan. Pada proses pengiriman pesan, sender(pengirim) menyertakan juga perangkat yang digunakan untuk mengolah/merubah pesan. Perangkat yang dimaksud adalah aturan konversi dan matriks pemrosesnya (matriks kunci). Berdasarkan ketiga perangkat inilah receiver (penerima) dapat membongkar/membaca makna pesan yang dikirim. Pada tulisan ini akan dibahas proses pengiriman dan pembacaan suatu pesan sandiyang sangat sederhana.

Makalah IF2123 Aljabar Geometri – Informatika ITB –Semester I Tahun 2015/2016

II. KRIPTOGRAFI

anggota matriks. Contoh matriks dengan 2 baris dan 3 kolom yaitu

Pemanfaatan matriks misalnya dalam menemukan solusi sistem persamaan linear. Penerapan lainnya adalah dalam transformasi linear, yaitu bentuk umum dari fungsi linear, misalnya rotasi dalam 3 dimensi. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Sebuah scytale, benda yang merupakan mesin kriptografi klasik . Sumber google.com

Kata kriptografi berasal dari bahasa Yunani, yaitu kriptos yang berarti rahasia dan graphein yang berarti menggambar. Kriptografi merupakan keahlian dan ilmu dari cara-cara untuk komunikasi aman pada kehadirannya di pihak ketiga. Secara umum, kriptografi ialah mengenai mengkonstruksi dan menganalisis protokol komunikasi yang dapat memblokir pihak ketiga. Aplikasi dari kriptografi termasuk ATM, password komputer, dan Ecommerce. Hingga zaman modern kriptografi mengacu hampir secara ekslusif pada enkripsi, yang merupakan proses mengkonversikan informasi biasa menjadi teks yang tak dapat dipahami (disebut teks sandi). Deskripsi merupakan kebalikan, dengan kata lain, memindahkan teks sandi yang tidak dapat dibaca menjadi teks yang dapat dipahami secara eksplisit Sebelum zaman modern, kriptografi dilihat hanya semata-mata berhubungan dengan pesan rahasia seperti enkripsi-konversi pesan dari bentuk dapat dipahami menjadi bentuk yang tak dapat dipahami dan kembali lagi satu dengan yang lain, menjadikannya tak dapat dibaca oleh pencegat atau penyadap tanpa ilmu khusus (di mana sandi dibutuhkan untuk dekripsi pesan itu). Enkripsi digunakan untuk menyakinkan kerahasiaan di komunikasi, termasuk teknik untuk pemeriksaan integritas pesan, autentikasi identitas pengirim/penerima, tanda-tangan digital, bukti interaktif dan komputasi keamanan, serta banyak lagi yang lain.

III. MATRIKS Dalam matematika, matriks adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi, berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau

Matriks dapat dioperasikan dengan berbagai operasi. Salah satunya perkalian matriks. Hasil perkalian skalar k dengan sebuah matriks A yang berordo m x n adalah sebuah matriks yang berordo m x n dengan elemenelemennya adalah hasil kali skalar k dengan setiap elemen matriks A. Dua matriks A dan B dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks A (matriks kiri) sama dengan jumlah baris matriks B (matriks kanan). Ordo hasil perkalian matriks Amxn dengan Bnxp , misalnya matriks C yang akan berordo mxp. Cara mengalikan matriks A dan B yaitu dengan menjumlahkan setiap perkalian elemen pada baris matriks A dengan elemen kolom matriks B dan hasilnya diletakkan sesuai dengan baris dan kolom pada matriks C (matriks hasil perkalian).

Matriks dapat dioperasikan dengan menggunakan operasi baris elementer (OBE). Banyak kegunaan dari OBE itu sendiri, diantaranya menentukan solusi dari persamaan linier yang telah diaugmentasikan ke dalam matriks, menentukan inverm matriks, dan lain sebagainya. OBE ini didapatkan dalam suatu tahapan dengan menerapkan ketiga tipe operasi berikut untuk menghilangkan bilangan-bilangan tak diketahui secara


sistematik. • Kalikan persamaan dengan konstanta yang tak sama dengan nol. • Pertukarkan dua persamaan tersebut. • Tambahkan kelipatan dari satu persamaan bagi yang lainnya. Sifat-sifat matriks yang berbentuk eselon baris (rowechelon form) dan eselon baris tereduksi (reduced rowechelon form) : •

•

•

•

Jika baris tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka bilangan taknol pertama dalam baris tersebut adalah 1. (kita namakan ini 1 utama). Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka semua baris seperti itu dikelompokkan berama-sama dibawah matriks. Dalam sebarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak terdiri dari nol, maka 1 utama dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh kekanan dari 1 utama dalam baris yang lebih tinggi. Masing-masing kolom yang mengandung 1 utama mempunyai nol di tempat lain.

Dikatakan matriks berada dalam bentuk eselon baris jika memiliki sifat 1, 2, dan 3. Prosedur untuk mereduksi menjadi eselon baris tereduksi disebut Eliminasi GaussJordan. Jika memiliki keempat sifat tersebut, maka matriks tersebut berada dalam bentuk eselon baris tereduksi dan prosedurnya disebut Eliminasi Gauss. Selain itu, dapat ditentukan invers matriks menggunakan operasi baris elementer. Pertama, susun matriks menjadi dua bagian dengan ukuran yang identik sebesar matriks yang akan dicari inversnya. Matriks disebelah kiri adalah matriks A dan sebelah kanan adalah matriks identitas. Kemudian lakukan Operasi Baris Elementer sedemikan sehingga matriks sebelah kiri menjadi matriks identitas dan matriks identitas (pada sebelah kanan) yang akan menjadi invers matriks tersebut.

gunakan, misal

• • •

Tulis pesan (1) dalam bentuk konversi Tulis pesan (3) dalam bentuk matriks, misal M Tentukan matriks kunci A, dengan kriteria sbb: Semua unsur dari matriks A dan A-1 adalah bulat Matriks A dan M dapat dikalikan(multiplicable)

• Tentukan matriks P, dengan P = AM • Tulis matriks P dalam deretan bilangan. [ P inilah pesan yang dikirim] Dalam proses pengiriman pesan khusus tersebut, seorang penerima (receiver) akan menerima beberapa perangkat. Perangkat yang disertakan digunakan untuk membongkar/membaca pesan yang dikirimkan. Perangkat tersebut adalah : - Pesan dalam deretan bilangan [pesan (7)] - Aturan konversi [pesan (2)] - Matriks kunci [pesan (5)]. Contoh: Seseorang mengirim pesan . Pesan tersebut adalah “BE SELF FOREVER.” • Pesan : BE SELF FOREVER. • Aturan konversi :

• Pesan (1) menjadi : 2 5 27 19 5 12 6 27 6 15 18 5 22 5 18 29 • Tulis pesan (3) dalam matriks,

IV. KRIPTOGRAFI DENGAN MENGGUNAKAN OPERASI MATRIKS

Dalam operasi kriptografi ini, dibagi ke dalam dua tahapan yaitu mengirim pesan dan menerima pesan tersebut. 1.

Mengirim Pesan Langkah-langkah yang harus dilakukan dalam mengirim pesan adalah: • Tulis pesan yang akan dikirim [dalam deretan huruf yang bermakna] • Tentukan “aturan konversi” yang Anda

• Ukuran matriks M bergantung pada ukuran matriks kunci A. Ukuran M adalah (2x…), angka 2 mengacu pada ukuran A, yaitu 2x2. Misalkan diberikan matriks kunci A, dengan


• Misalkan P, dengan P = AM maka diperoleh

•

Tulis pesan dalam matriks P, yaitu

• Mencari A-1 Dengan menggunakan invers matriks, didapat

• Mencari M • Pesan akhir yang didapat adalah 22 55 108 53 76 39 66 141 14 35 63 29 49 22 42 85 • Perangkat yang dikirim terdiri 3 hal yaitu : - Pesan : 22 55 108 53 76 39 66 141 14 35 63 29 49 22 42 85 - Aturan konversi - Matriks kunci

2.

• Menulis pesan P dalam deretan bilangan, yaitu : 2 5 27 19 5 12 6 27 6 15 18 5 22 18 29 • Tulis pesan dalam bentuk konversi yang dikirim, yaitu : B E _S E L F _ F O R E V E R .

Membaca Isi Pesan Seseorang mengirim pesan mengharapkan pesan tersebut dapat dibaca sehingga isi pesan segera diketahui oleh penerima. Maka penulisan alamat, bahasa dan teknik penulisan sangatlah penting untuk diketahui kedua pihak. Khusus teknik penulisan pesan, disamping faham cara membaca juga diberi fasilitas untuk membongkarnya. Dalam membaca suatu pesan sandi, penentuan matriks balikan dari matriks kunci menjadi langkah pokok. Langkah-langkah pembacaan pesan : • Tulis pesan yang diterima dalam bentuk matriks, misal P. Ukuran P • multiplicable dengan matriks A-1 artinya matriks A-1 dan matriks P dapat dikalikan. [ ingat : ukuran matriks A-1 = ukuran matriks A] • Tentukan A-1 (dengan menggunakan metode yang telah diketahui) • Tentukan M = A-1 P. [ karena A-1 P = A-1 (AM) = (A-1.A) M = I. M = M] • Tulis M dalam bentuk deretan bilangan • Tulis konversi dari (4) dengan aturan konversi • . Tulis pesan yang dimaksud. Contoh: akan dilakukan pembacaan pesan dari hasil enkripsi pada contoh pengiriman pesan. • Pesan : 22 55 108 53 76 39 66 141 14 35 63 29 49 22 42 85 • Aturan konversi : masih sama dengan yang sebelumnya • matriks kunci A,

• Pesan yang dikirim adalah : BE SELF FOREVER.

V. KESIMPULAN Berdasarkan pembahasan dapat disimpulkan sebagai berikut: 1. Matriks memberikan tingkat keamanan yang tinggi dalam mengirim suatu pesan sandi 2. Tingkat keamanan suatu pesan sandi ditentukan oleh kompleksitas aturan konversi dan matriks kunci yang digunakan

VI. DAFTAR PUSTAKA [1]

https://pinooon.wordpress.com/2014/03/19/aljabar-linier-danaplikasinya/. Tanggal akses 15 Desember 2015

[2]

Anton, Howard, “Elementary Linear Algebra”, 10th ed, NewYork: John WIley & Sons

[3]

Munir, Rinaldi. Bahan Kuliah Aljabar Geometri

[4]

https://www.academia.edu/9966743/OPERASI_MATRIKS, Diakses tanggal 15 Desember 2015

PERNYATAAN Dengan ini saya menyatakan bahwa makalah yang saya tulis ini adalah tulisan saya sendiri, bukan saduran, atau terjemahan dari makalah orang lain, dan bukan plagiasi.


Bandung, 16 November 2015

Muhammad Farhan Kemal 13513085


Penerapan Operasi Matriks dalam Kriptografi

Recommend Documents