Model Rangkaian Elektrik

Tugas Sistem Linier

Model Rangkaian Elektrik Model – model untuk beberapa rangkaian elektrik, seperti: resistansi, kapasitansi, dan induktansi secara sederhana diperlihatkan dalam gambar

dibawah . Dalam

gambar tersebut juga di diperlihatkan sebuah sumber tegangan ideal dan sumber arus ideal. Kapasitansi

Resistansi

i (t)

V(t)

Induktansi i(t)

i (t)

C

R

V(t)

V(t)

L

i(t)

v(t)

i(t)

Sumber teg angan

V(t)

Sumber arus

Untuk gambar rangkaian elektrik diatas dapat dituliskan bentuk persamaannya sebagai berikut: Model resistansi, dapat dituliskan dalam bentuk : V (t )  i(t )  R bentuk Laplacenya adalah: V (s)  I (s)  R . t Model kapasitansi, dapat dituliskan dalam bentuk persamaan: V (t )  1  i(t )dt

C

bentuk Laplacenya adalah: V ( s) 

0

1 I ( s) . Cs

Model induktansi, dapat dituliskan dalam bentuk persamaan: V (t )  L

di (t ) dt

bentuk Laplacenya adalah: V (s)  Ls  I (s)

Putu Nopa Gunawan / D411 10 009

1

Tugas Sistem Linier

Contoh: Pada rangkaian elektrik yang diperlihat pada gambar dibawah ini, kita menganggap Vi(t) sebagai tegangan masukan rangkaian dan Vo(t) adalah tegangan keluarannya. Penyelesaian dari persamaan fungsi alih rangkaian ini nantinya akan dapat menghasilkan fungsi dalam bentuk Transformasi Laplace, yakni Vo(s) sebagai fungsi dari Vi(s). L

R

Vo(t)

Vi(t)

C

Tahapan penyelesaian rangkaian diatas adalah: t

Ri (t )  L

di ( 1 t )   i (t )dt  Vi (t ) dt C0 t

1 i (t )dt  Vo (t ) C 0 Perubahan kedalam bentuk variabel s Transformasi Laplace yang dihasilkan dari persamaan diperoleh :

RI ( s)  sLI ( s) 

1 I ( s)  Vi ( s) sC

( R  sL 

1 ) I ( s)  Vi ( s) sC

I ( s) 

Vi ( s) R  sL 

1 sC

Putu Nopa Gunawan / D411 10 009

2

Tugas Sistem Linier t

Dari persamaan

1 i(t )dt  Vo (t ) diperoleh: C 0

1 I ( s)  Vo ( s) sC selanjutnya, dengan mensubstitusikan nilai I(s) yang telah didapat sebelumnya akan menghasilkan:

(

1 )( sC

Vi ( s) 1 R  sL  sC

)  Vo ( s)

Penyusunan kembali persamaan diatas akan menghasilkan fungsi alih G(s) sebagai berikut.

G( s) 

1 LCs  RCs  1 2

Model Translasi Mekanik Pada sistem translasi mekanik elemen-elemennya meliputi massa, redaman (gesekan), dan elastansi (pegas). Lambang dari ketiga elemen mekanik tersebut diperlihatkan pada gambar dibawah.

Elemen pertama adalah massa. Didefinisikan berdasarkan hukum Newton

Putu Nopa Gunawan / D411 10 009

3

Tugas Sistem Linier

kedua,

f (t )  Ma(t )  M

dv(t ) d 2 x(t ) M dt dt 2

dimana v(t) adalah kecepatan dan a(t) adalah percepatan, sedangkan x(t) mewakili perpindahan dan M mewakili massa benda. Elemen yang kedua adalah gesekan, yang didefinisikan berdasarkan hubungan : f (t )  B(

dx1  dx 2 (t ) ) dt

dimana B merupakan koefisien redaman. Elemen translasi mekanik yang terakhir adalah pegas. Persamaan yang didefinisikan berdasarkan hukum Hooke dapat dituliskan sebagi berikut: f (t )  K ( x1 (t )  x2 (t ))

dimana K merupakan konstanta pegas. Contoh Seperti yang terlihat dalam gambar rangkaian translasi mekanik dibawah ini, gaya f(t) yang diberikan merupakan masukan sistem dan perpindahan dari massa x(t) sebagai keluaran. Adanya tiga gaya yang mempengaruhi pergerakan massa, yaitu gaya yang diberikan, gaya gesek, dan gaya pegas maka persamaan matematis dari rangkaian

M

translasi

mekanik

ini

dapat

dituliskan

sebagai

berikut:

d 2 x(t ) dx(t )  f (t )  B  Kx(t ) 2 dt dt

Putu Nopa Gunawan / D411 10 009

4

Tugas Sistem Linier Dengan kondisi awal yang dianggap nol, maka persamaan Transformasi Laplacenya adalah

F (s)  Ms 2 x(s)  Bsx(s)  Kx(s)

F (s)  (Ms 2  Bs  K ) x(s) Persamaan Fungsi alih yang diberikan adalah

G( s) 

x( s ) 1  2 F ( s) Ms  Bs  K

Sistem Rotasi Mekanik Pada sistem rotasi mekanik terdapat tiga elemen dasar. Elemen pertama adalah momen inersia yang didefinisikan dengan hubungan

d (t ) d 2 (t )  (t )  J J dt dt 2 dimana (t) adalah torka yang diberikan, J adalah momen inersia,  adalah kecepatan sudut, dan  adalah sudut putaran. Persamaan ini analog dengan persamaan massa pada sistem translasi. Dalam hal ini, momen inersia untuk sebuah benda adalah fungsi dari massa dan geometrinya. Elemen yang kedua adalah gesekan, didefinisikan dengan hubungan  (t )  B(

d1 (t )  d 2 (t ) ) dt

dimana (t) adalah torka , B adalah koefisien redaman, dan  adalah sudut putaran. Dalam hal ini, elemen rotasi diasumsikan memiliki momen inersia nol.

Putu Nopa Gunawan / D411 10 009

5

Tugas Sistem Linier Juga di asumsikan bahwa gesekan terjadi pada elemen yang diperlihatkan pada gambar :

Elemen yang ketiga adalah pegas rotasi, didefinisikan dengan hubungan  (t )  K (1 (t )   2 (t ))

dimana K adalah koefisien pegas. Contoh Gambar rangkaian rotasi mekanik di bawah ini diasumsikan sebagai pendulum yang di aplikasikan pada jam yang biasanya tertutup oleh kaca lengkung. Momen inersia dari ujung diwakili oleh J, gesekan antara ujung dan udara oleh B, dan elastansi lempengan oleh K. Disini, torka diberikan pada ujung pendulum. Penjumlahan torka pada ujung pendulum akan dapat menghasilkan persamaan:

K

B

J

T,0

Putu Nopa Gunawan / D411 10 009

6

Tugas Sistem Linier

J

d 2 (t ) d (t )   ( t )  B  K (t ) dt dt 2

Dengan kondisi awal yang dianggap nol, maka persamaan transformasi Laplace yang terbentuk adalah:

 (s)  Js 2 (s)  Bs (s)  K (s)

 (s)  ( Js 2  Bs  K ) (s) Persamaan fungsi alih diperoleh

G( s) 

 ( s) 1  2  (s) Js  Bs  K

Putu Nopa Gunawan / D411 10 009

7