Miért van az, hogy a legtöbben a szöveges feladatokkal nem boldogulnak?
Részletek a szövegértést fejleszt , kidolgozott feladatlapokból
El szó
20 éves személyes tapasztalataim azt mutatják, hogy a tanulóknak egyre kevesebb idejük marad arra, hogy olvassanak. Az információt a legrövidebb id alatt kell megszerezniük, ezért a különböz online – keres kb l egyszer en kimásolják a szükséges anyagokat és kész… Azonban ha olyan helyzetbe kerülnek, hogy egy szöveg lényeges mondanivalóját megértsék, akkor… Miért van az, hogy a legtöbben a szöveges feladatokkal nem boldogulnak? A válasz egyszer : nem alakult ki a megfelel szövegértés. (amikor valaki idegen nyelv szöveget olvas úgy, hogy a szavakat egymás után elolvassa, de semmit nem ért bel le). A következ oldalakon néhány részletet találsz abból a több száz feladatlapból, amelyek a lazamatek.hu oldalon találhatók, és a szövegértés kialakítására szolgálnak. A feladatlapokat csak olvasni kell, a „Négyjegy függvénytáblázat” segítségével, majd lépésr l–lépésre követni a levezetéseket úgy, hogy közben egy tollal vagy ceruzával a kezünkben jegyzetelünk. A példákhoz szükséges összes magyarázat és képlet is mellé van írva, amik a Négyjegy
függvénytáblázatban is szerepelnek. Továbbá minden feladathoz
vannak gyakorló példák, így más számokkal is lehet birkózni. Nincs több meglepetés a dolgozatírásnál sem! A dolgozatírásnál és az érettségin már a függvénytáblázat használata mellett a példamegoldás is rutin lesz, és ezzel a tudással már komoly eséllyel tudsz harcba szállni. „ Ne feledd: aki akar, az képes!” Javaslatom: ne higgy el mindent, amit itt leírtam! Azonban azt kérem, hogy próbáld ki, hogy m ködik–e. Ha m ködik, akkor használd, ha nem, akkor gyorsan felejtsd el! Sok sikert és jó tanulást kívánok!
Kiss János
Részlet a „Térgeometria 4” feladatlapból
1. Egy téglatest térfogata 5184 cm³, az egyik csúcsában összefutó éleinek aránya2 : 3 : 4. Mekkora a téglatest felszíne? Megoldás: 1. lépés: Nézzük a rajzot!
Adatok: − Az A csúcsot válasszuk a téglatest egyik csúcsának. − A három él : a, b és c. Ezek valóban az A csúcsban futnak össze. − A téglatest térfogata: V = 5184 cm³ Tudjuk, hogy a térfogat: V = alapterület · testmagasság = At · b At = a · c (a fels téglalap területe, vagyis a téglatest teteje) V=a·b·c 5184 = a · b · c 2. lépés: Jelöljük az egységet x-el! Akkor az oldalak: b = 2x
mert ez a legrövidebb
a = 3x
mert ez a közepes hosszúságú
c = 4x
mert ez a leghosszabb
3. lépés: Az így kapott mennyiségeket helyettesítsük be az 5184 = a · b · c egyenletbe!
5184 = 3 x ⋅ 2 x ⋅ 4 x 5148 = 24 x 3 216 = x 3
: 24 3
x=6 Az egység (vagyis az x) 6-al egyenl , tehát az oldalak: b = 2x = 2 · 6 = 12 cm a = 3x = 3 · 6 = 18 cm c = 4x = 4 · 6 = 24 cm 4. lépés: A téglatest felszíne a határoló téglalapok területeinek az összege! Mivel minden lapból kett egyforma van, így a következ módon kell felírni az egyenletet: A = 2 · (At + T1 + T2) A téglatest tehát a következ :
A = 2 ⋅ ( At + T1 + T2 ) = = 2 ⋅ ( a ⋅ c ) + ( a ⋅ b ) + (b ⋅ c ) = = 2 ⋅ (18 ⋅ 24 ) + (18 ⋅12 ) + (12 ⋅ 24 ) = 2 ⋅ ( 432 + 216 + 288 ) = = 2 ⋅ 936 = 1872 cm3 A téglatest felszíne tehát 1872 cm³ 1. Gyakorló feladat: a; Egy téglatest térfogata 3000 cm³. Az egyik csúcsában összefutó éleinek aránya: 2 : 3 : 4. Mekkora a téglatest felszíne? (A = 1300 cm2; a = 15 cm; b = 10 cm; c = 20 cm)
b; Egy téglatest térfogata 20 580 cm³. Az egyik csúcsában összefutó éleinek aránya: 3 : 4 : 5. Mekkora a felszíne? (A = 4606 cm2; a = 28 cm; b = 21 cm; c = 35 cm) c; Egy téglatest térfogata 16 464 cm³. Az egyik csúcsában összefutó éleinek aránya: 1 : 2 : 3. Mekkora a felszíne? ( A = 4312 cm2; a = 28 cm; b = 14 cm; c = 42 cm)
Részlet az „Algebrai törtek 4” feladatlapból 5. Oldd meg a következ feladatot!
x 2 − 25 x 2 + 5x : =? x 2 − 3x x 2 − 9 Megoldás: 1. lépés: A törtek között álló osztás−jel miatt, a jobb oldali tört reciprokát vesszük, vagyis megfordítjuk a törtet, és kicseréljük a számlálót a nevez vel, így a két kifejezés közé már szorzás−jel kerülhet!
x 2 − 25 x 2 + 5x x 2 − 25 x 2 − 9 : = 2 ⋅ x 2 − 3x x 2 − 9 x − 3x x 2 + 5x 2. lépés: A következ kben már az el z
feladathoz hasonlóan járunk el! Megnézzük a
számlálókat és a nevez ket, hogy milyen kiemeléseket illetve nevezetes szorzatokat használhatunk fel annak érdekében, hogy egyszer bb kifejezést kapjunk! Kezdjük el ször az els tört számlálójával! Nevezetes azonosságot találtunk!
x 2 − 25 x 2 − 9 ⋅ x 2 − 3x x 2 + 5x
x 2 − 25 = x 2 − 52 = ( x − 5 )( x + 5 )
3. lépés: Mi a helyzet az els tört nevez jével? Emeljünk ki „x”−et!
x 2 − 25 x 2 − 9 ⋅ x 2 − 3x x 2 + 5x 4. lépés: Következ
x 2 − 3x = x ( x − 3)
lépésként, a második tört számlálóját vizsgáljuk! Alkalmazzuk a 2.
lépében bemutatott azonosságot!
x 2 − 25 x 2 − 9 ⋅ x 2 − 3x x 2 + 5x
x 2 − 9 = x 2 − 32 = ( x − 3 )( x + 3 )
5. lépés: Mi a helyzet a második tört nevez jével? Szintén emeljünk ki „x”−et!
x 2 − 25 x 2 − 9 ⋅ x 2 − 3x x 2 + 5 x
x 2 + 5x = x ( x + 5 )
6. lépés: Az eredeti kifejezésbe, annak is a szorzattá alakított formájába, helyettesítsük be, az el z lépésekben kapott, kerettel ellátott kifejezéseket!
x 2 − 25 x 2 − 9 ( x − 5 )( x + 5 ) ( x − 3 )( x + 3 ) ⋅ = ⋅ x 2 − 3x x 2 + 5x x ( x − 3) x ( x + 5) 7. lépés: Keresztben tudunk egyszer síteni!
( x − 5 ) ( x + 5 ) ( x − 3) ( x + 3) ( x − 5 )( x + 3) ⋅ = x2 x ( x − 3) x ( x + 5) Gyakorló feladatok
A feladatot tehát megoldottuk!
5. Oldd meg a következ feladatot!
a.)
x 2 − 49 x 2 + 7x =? : x 2 − 5x x 2 − 25
( x − 7 )( x + 5)
b.)
x 2 − 64 x 2 + 8x =? : x 2 − 7x x 2 − 49
( x − 8)( x + 7 )
c.)
x 2 − 9 x 2 + 3x =? : x 2 − 2x x 2 − 4
( x − 3)( x + 2 )
x2 x2 x2
Részlet az „Koordináta geometria 3” feladatlapból 3. Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái A(- 4 ; 6) , B(3 ; -4) és a C(5 ; 6). Hol metszi a C csúcsból induló magasságvonal a koordináta tengelyeket? Megoldás: 1. lépés: El kell készítenünk a feladat megoldásához szükséges ábrát!
Az ábrából láthat, hogy az „mc” magasságvonal mer leges az AB oldalra. Az el z feladathoz hasonlóan itt is el állítjuk az AB irányvektort: A(− 4 ; 6) és
AB ( 3 − ( −4 ) ; − 4 − 6 )
B(3 ; − 4)
{A végpont ( B) koordinátáiból kivonom a kezd
pont ( A ) koordinátáit}
AB ( 7 ; − 10 ) 2. lépés: Tehát az AB ( 7 ; − 10 ) irányvektor lesz az „mc” normálvektora!
n ( 7 ; − 10 ) A normálvektor els száma (koordinátája) lesz az „A”, míg a második a „B”!
3. lépés: Ismerjük most már a magasságvonal normálvektorát, és ha megnézzük az ábrát, az átmegy a C(5 ; 6) csúcsponton (hiszen onnan indul ki), ezért a „Négyjegy függvénytáblázat”-ban is megtalálható, egyenes normálvektoros egyenletébe be tudunk helyettesíteni!
Ax + By = Ax 0 + By0
Ax + By = Ax 0 + By 0
7 ⋅ x + ( −10 ) ⋅ y = 7 ⋅ 5 + ( −10 ) ⋅ 6 7x − 10y = 35 − 60 7x − 10y = −25
Az "m c " magasságvonal egyenlete!
4. lépés: Most nézzük meg, hogy a magasságvonal hol metszi az „y” tengelyt! Ilyenkor az a lényeg, hogy ott van a metszéspont, ahol az „x” koordináta egyenl „0”-val! Tehát az „y” tengely metszéspontja, amit elneveztünk „M”-nek, a következ képpen írható fel:
5. lépés: Most pedig az „mc” magasságvonal egyenletébe ( 7x − 10y = −25 ) helyettesítsük be az M y ( 0 ; y ) metszéspont „x” koordinátáját, azaz a „0”-át!
7x − 10y = −25 7 ⋅ 0 − 10y = −25 6. lépés: Ebb l az egyismeretlenes egyenletb l kiszámítható az „y”!
7 ⋅ 0 − 10y = −25 0 − 10y = −25 −10y = −25 : −10 −25 y= = 2, 5 −10
y = 2, 5
Tehát az „My” metszéspont a függ leges tengelyt az „y = 2,5” pontban metszi! Ennek koordinátái: My(0 ; 2,5) 7. lépés: Most nézzük meg, hogy ugyanez a magasságvonal, hol metszi az „x” tengelyt! Ennek a pontnak a koordinátái a következ képpen írhatók fel:
Ilyenkor tehát az a lényeg, hogy ott van a metszéspont, ahol az „y” koordináta egyenl „0”-val! Megint behelyettesítünk az „mc” magasságvonal egyenletébe ( 7x − 10y = −25 ) :
7x − 10y = −25 7x − 10 ⋅ 0 = −25 Ebb l az egyismeretlenes egyenletb l kiszámítható az „x”!
7x − 10 ⋅ 0 = −25 7x − 0 = −25 7x = −25 :7 −25 25 x= =− 7 7 Tehát az „Mc” metszéspont a vízszintes tengelyt az koordinátái: M x −
x=−
25 pontban metszi! Ennek 7
25 ;0 7 E két metszéspont tehát a feladat megoldásai!
3. Gyakorló feladatok Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái a következ k: a; A( -2 ; 5 ) ; B( 0 ; 1 ) ; C( 5 ; 6 )
{ M(-7 ; 0) } { M(0 ; 3,5) }
b; A( -5 ; 6 ) ; B( -1 ; 2 ) ; C( 3 ; 6 )
{ M(-3 ; 0) } { M(0 ; 3) }
c; A( -4 ; 3 ) ; B( - 2 ; 5 ) ; C( 6 ; 6 )
{ M(12 ; 0) } { M(0 ; 12) }
Mindhárom esetben számítsd ki, hogy hol metszi a C csúcsból induló magasságvonal a koordinátatengelyeket!
Részlet a „Szögfüggvények 1” feladatlapból 5. Egy derékszög
háromszög rövidebb befogója a = 8cm. Az átfogó hossza c = 20cm.
Határozd meg a háromszög szögeit és a hiányzó oldal hosszát! Megoldás: 1. lépés: készítsük el a megfelel ábrát a megfelel adatok feltüntetésével:
2. lépés: Látható, hogy az „ α ”-val szembeni befogó van megadva. a = 8cm. A szöggel szembeni befogó miatt a szinusz szögfüggvényt írjuk fel és ebb l kiszámítjuk az „ α ”-t. Nézzük a megadott β -ra vonatkozóan a szinusz szögfüggvény szabályát. A szinusz alapszabálya a következ :
sin α =
α szöggel szembeni befogó átfogó
si n α =
α - val szembeni befogó a = átfogó c
sin α =
a c
sin α =
sin α =
8 = 0, 4 20
szsz
8 20 α = 23,578
3. lépés: most használjuk fel az „ α ”koszinusz szögfüggvényét is a „b”oldal kiszámításához:
cos α =
cos α =
b c
α szög melletti befogó b = átfogó c
cos 23,578 =
b 20
b / ⋅20 20 20 ⋅ cos23,578 = b b = 20 ⋅ 0,9165 ≈ 18,33cm cos 23,578 =
Természetesen kiszámolhatjuk az „ β ” szöget is, mert tudjuk, hogy a háromszög bels szögeinek az összege 180 :
α + β + 90 = 180 23,578 + β + 90 = 180 β +113,578 = 180
/ -113,578
β = 66, 422 5. Gyakorló feladatok 5. a. Egy derékszög háromszög rövidebb befogója a = 6cm. Az átfogó hossza c = 20 cm. Határozd meg a háromszög szögeit és a hiányzó oldal hosszát! (α = 17,457°; b = 19,07 cm; β = 72,543°) 5. b. Egy derékszög háromszög rövidebb befogója a = 14cm. Az átfogó hossza c = 46 cm. Határozd meg a háromszög szögeit és a hiányzó oldal hosszát! (α = 17,71°; b = 43,819 cm; β = 72,29°) 5. c. Egy derékszög háromszög rövidebb befogója a = 10cm. Az átfogó hossza c = 36 cm. Határozd meg a háromszög szögeit és a hiányzó oldal hosszát!
(α = 16,127°; b = 34,583 cm; β = 73,873°)
Részlet a „Szögfüggvények 1” feladatlapból 5. Egy 545 cm hosszú kötelet szeretnénk fonni. Az els nap 23cm-t fonunk, majd minden nap az el z napinál 7cm-rel hosszabb darabot készítünk, akkor hány nap alatt készül el a kötél?
Megoldás:
1. lépés: Ebben a feladatban a számtani sorozat szöveges alakban történ megadása látható. A megoldás kulcsfontosságú menete, hogy a szöveget megfelel en értelmezve az adatokat a számtani sorozat valamelyik elemével azonosítsuk. Magyarul: meg kell határoznunk, hogy a fenti adatok a számtani sorozat mely adatai! Ha az egyes napokon font kötéldarabok hosszát összeadjuk, akkor a kötél teljes hosszát kapjuk. Tehát az egyes napokon font darabok a számtani sorozat egymást követ tagjai. Az els napon font darab az els elem, a második napon font a sorozat második eleme. Mivel tudjuk, hogy naponta az el z napinál 7cm-rel többet fonunk, így a 7 lesz a differencia. A magyarázat alapján vegyük fel az adatokat:
Az els elem: a1 = 23, a differencia: d = 7, Sn = 545. 2. lépés: Azt azonban nem tudjuk, hogy ez a sorozat hány elemb l áll, ezért ez lesz az „n”. Vagyis, azt kell meghatározni, hogy 23-tól kezdve 7-tel növelve a számokat, mikor fogunk
545–t kapni! A számtani sorozat „n” darab elem összegére az alábbi definíciót használhatjuk:
Sn =
n ⋅ ( 2a1 + ( n − 1) ⋅ d ) 2
Helyettesítsük be azt ismert adatokat a fenti összefüggésbe:
n ⋅ ( 2 ⋅ 23 + ( n − 1) ⋅ 7 ) 2 n 545 = ⋅ ( 46 + 7n − 7 ) 2 1090 = n ⋅ ( 39 + 7n ) 545 =
/ ⋅2
1090 = 39n + 7n 2 Tehát a következ másodfokú egyenletet kell megoldani, 0–ra rendezés után:
7n2 + 39n – 1090 = 0 3. lépés: A megoldó képlet segítségével megoldjuk az egyenletet:
n1 =
−39 +
( 39 )
2
− 4 ⋅ 7 ⋅ ( −1090 )
2⋅7
=
−39 + 179 140 = = 10 14 14
Azért elegend csak a megoldó képlet összeadás jelével dolgoznunk, mert nekünk most csak a pozitív megoldás kell, mert az „n” a napok számát jelöli. S ugye negatív napok száma nem létezik.
4. lépés: A feladat megoldásaként 10 adódott. Tehát, ha a fenti ütemezés szerint fonjuk a kötelet, akkor 10 nap alatt készülünk el a munkával.
A feladatot tehát sikeresen megoldottuk. 5. Gyakorló feladatok a; Egy sálat kötünk. Az els nap megkötünk 15cm-t, majd minden nap az el z nél 5cmrel hosszabbat. A sál hosszát 315cm-re terveztük. Hány nap alatt lesz kész a sál? (n = 9 nap) b; Gyalogtúrán veszünk részt. Az els nap 23 km-t gyalogoltunk, majd minden nap az el z napi távnál 4 km-rel több utat teszünk meg. A túra teljes távja 296 km. Hány napos a túra?
(n = 8 nap) c; Vízi túrán indulunk el. Az els napon 16 km-t eveztünk, majd minden nap az el z napi távnál 5 km-rel többet kajakoztunk. Összesen 451 km-t tettünk meg. Hány napos volt a túra?
(n =11 nap)
Részlet a „Szögfüggvények 1” feladatlapból 3. Két zsebemben összesen 35 Ft van. Ha az egyik zsebb l átrakok 10 Ft-t a másikba, akkor a másik zsebemben 6-szor annyi pénz lesz, mint az els ben. Mennyi pénzem volt eredetileg a zsebeimben?
Megoldás:
1. lépés: minden esetben célszer készíteni egy rajzos vázlatot, amiben az egyes m veletek logikai sorrendjét tudjuk követni: Ha megvan, hogy összesen 35 Ft van a két zsebben, ezt így célszer jelölni:
2. lépés: az egyik zsebemb l átrakok 10 Ft-t a másik zsebembe, ekkor az egyik zsebemben 10 Ft-tal kevesebb lesz, és a másik zsebemben 10 Ft-tal több lesz. Ezt így tudjuk jelölni:
3. lépés: szeretnénk egyenl vé tenni a két zsebben lev golyók számát azért, hogy egyenletet tudjunk megoldani. Ezt úgy tudjuk megtenni, hogy a többet elosszuk 6-al, vagy a kevesebbet megszorozzuk 6-al. Most azt válasszuk azt, hogy a kevesebbet szorozzuk 6-al:
6 ( x − 10 ) = 35 − x + 10 4. lépés: végül oldjuk meg az egyenletet!
6 ( x − 10 ) = 35 − x + 10 6x − 60 = 45 − x / +x 7x − 60 = 45 7x = 105
/ +60 / :7
x = 15 Tehát az egyik zsebemben 15 Ft volt, a másikban pedig 35 – 15 = 20 Ft.
3. Gyakorló feladat a.) Két zsebemben összesen 42 Ft van. Ha az egyik zsebb l átrakok 3 Ft-t a másikba, akkor a másik zsebemben 2-szer annyi pénz lesz, mint az els ben. Mennyi pénzem volt eredetileg a zsebeimben? (17Ft és 25Ft)
b.) Két zsebemben összesen 80 Ft van. Ha az egyik zsebb l átrakok 6 Ft-t a másikba, akkor a másik zsebemben 3-szor annyi pénz lesz, mint az els ben. Mennyi pénzem volt eredetileg a zsebeimben? (26Ft és 54Ft)
c.) Két zsebemben összesen 96 Ft van. Ha az egyik zsebb l átrakok 16 Ft-t a másikba, akkor a másik zsebemben 3-szor annyi pénz lesz, mint az els ben. Mennyi pénzem volt eredetileg a zsebeimben? (40Ft és 56Ft)
