Mérési hibák

Mérési hibák

2007.02.22.

1

Mérés jel- és rendszerelméleti modellje

Mérési hibák/2

Mérési hibák • mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség • általánosított mérési hiba: a valóságos és az ideális mérési eredmények közötti távolság (az adott szimbólum halmazon értelmezve)

Mérési hibák/3

Mérési hibák • minden mérés hibával terhelt! • okai • megfigyelés, mérés körülményei • mérőeszköz tulajdonságai • külső zavarok

Mérési hibák/4

Hibaforrások • általánosan nehéz megadni, az adott mérési területre jellemző • mintavétel, előkészítés, egyes komponensek hatása • méréshez felhasznált segédanyagok • mérőeszköz állapota, pontossága • alkalmazott mérési módszer, matematikai modell pontossága • mérést végző személy szubjektivitása, hozzáértése, gondossága Mérési hibák/5

Hibaforrások • adatfeldolgozás problémái • programhibák • adatbeviteli, -tárolási hibák • hardware hibák • konverziós hibák

Mérési hibák/6

Irányított mérőrendszer • kísérletek rögzített körülmények között történő elvégzése • zavaróhatások • kiküszöbölés • állandó értéken tartás • figyelembe vétel • párhuzamos mérések • mérési eredmények feldolgozása a matematikai statisztika módszereivel • kísérlet minden adatának rögzítése Mérési hibák/7

Irányított mérőrendszer • ha teljesíthetőek ezek a feltételek, akkor a mérési eredmények • azonos (normális) eloszlásúak lesznek • a szórás kicsi • torzítatlanság • ha nem • nagyobb szórás • torzítottság

Mérési hibák/8

Mérési hibák • Mérési hibák csoportosítása • leírásuk hibafüggvények (abszolút hiba, relatív hiba) • jellegük hibatípusok (dinamikus, statikus, ….) • eredetük (műszerhiba, etalonhiba, környezeti hiba, mérési módszer hibája) Mérési hibák/9

Hibafüggvények • Hibafüggvények • abszolút hiba Hi Hi = xmi – x0 azaz a mért érték és a pontos érték különbsége • relatív hiba hi hi = (Hi / x0)⋅100 azaz az abszolút hiba és a pontos érték százalékos aránya

Mérési hibák/10

Hibafüggvények • műszer pontosságának megadása: • digitális kijelzésű műszer esetén ±0.5% ±5digit relatív hiba a teljes tartományban

abszolút hiba

• analóg kijelzésű műszer esetén abszolút hiba az osztásközre vonatkoztatva

Mérési hibák/11

Hibafüggvények • Példa • digitális kijelzőjű hőérzékelő o • tartomány: 0 – 600 C • pontosság: ±0.1% ±2digit o • mérendő hőmérséklet: 350 C • mérés relatív hibája: hi = 0 . 1 % +

2o C o

350 C

⋅ 100 % = 0 .671 %

Mérési hibák/12

Hibafüggvények • gond: a helyes értéket általában nem ismerjük ezért helyette a mért értékhez viszonyítjuk a műszerkönyvben megadott abszolút hibát o • például, ha az előző esetben 352 C volt a mérés eredménye, akkor a relatív hiba: hi = 0 . 1 % +

2o C o

352 C

⋅ 100 % = 0 .668 % o

• ugyanakkor, ha a helyes érték 350 C volt, akkor az abszolút hiba o Hi = 2 C Mérési hibák/13

Hibatípusok • Hibatípusok osztályzása • dinamikus hiba • statikus hiba • véletlenszerű hiba • véletlen hiba • kiugró hiba • nagyságrendi eltérés • rendszeres (módszeres) hiba

Mérési hibák/14

Dinamikus hiba • Dinamikus hiba a mérés a műszer tranziens állapotában történik

Mérési hibák/15

Statikus hiba • Statikus hiba • mérés a műszer „beállása” után történik • véletlenszerű hibák és rendszeres hibák • véletlenszerű hibák • konkrét értéke előre nem megadható, azaz nem lehet korrigálni • megadása konfidencia intervallummal • csökkentése párhuzamos méréssel • véletlen hibák, kiugró hibák, rendkívüli hibák Mérési hibák/16

Véletlen hibák • irányított mérés mellett is előfordul • hiba forrása alapvetően a zaj • statisztikai jellemzés • normális eloszlás • nulla várható érték • adott szórás • jellemzés a szórása alapján Mérési hibák/17

Véletlen hibák • elméleti szórás n

2 ( m − µ ) ∑ i

σ =

i =1

n

• ahol • µ a keresett paraméter ideális értéke • n a mérések száma, de n→∞ • azaz az elméleti szórás meghatározásához elvileg ismerni kellene a meghatározandó értéket és igen nagy számú mérést kellene végeznünk – ez csak speciális esetben lehetséges Mérési hibák/18

Véletlen hibák • tapasztalati szórás n

∑ (m

i

−m

i =1

s=

n −1

)

2

;

1 m= n

n

∑ mi i =1

• ahol • mi a mérések átlaga • n a mérések száma, de n véges érték • a becslés egyszerűsített képlete: n

∑ s=

m i2

−

 n   ∑ mi   i =1  n

i =1

n −1

2

n

∑ =

m i2 − n ⋅ m

2

i =1

n −1 Mérési hibák/19

Véletlen hibák • relatív szórás (százalékos relatív szórás) s rel =

s m

⋅100

ahol m a középérték

• középérték szórása s

sm =

ahol n a mérések száma

n

• középérték relatív szórása s mrel =

s

⋅100

m n Mérési hibák/20

Véletlen hibák • a szórás értéke az adott mérési eljárásra, műszerre jellemző • a pontosság a mérések számával általában nő • véletlen hibák esetében a tapasztalati szórást előírt, általában 2%-os értéken belül tartjuk • az optimális mérési szám meghatározható

Mérési hibák/21

Kiugró hibák • az irányított mérés feltételei nem teljesülnek • a hiba várható értéke nem feltétlenül nulla • meghatározás hihetőség vizsgálattal • értéke ± 3 – 6 σ

Mérési hibák/22

Rendkívüli hibák • több nagyságrendű eltérés • várható érték, szórás nem becsülhető • nem irányított mérés, de a kiugró hibához képest nagyobb gond • felderítéséhez alapos vizsgálat: mérési jegyzőkönyvek, bizonylatok

Mérési hibák/23

Rendszeres hibák • módszeres hiba, systematic error • hatása: a mérési eredmények várható értéke (átlaga) nem egyezik meg a valódi eredménnyel: ∆ = x m − µ0 ≠ 0

ahol x m a mérési eredmények átlaga µ 0 a mért változó valódi értéke

Mérési hibák/24

Rendszeres hibák • helyes mérés: nincs vagy csak minimális a rendszeres hiba • pontos mérés: csak véletlen hiba van és az is csak elfogadható mértékű • lövészet példa

Mérési hibák/25

Rendszeres hibák • mindig egy irányba hat – torzítja a mérési eredményt • okai • mérő eszköz • minta (mintavétel, minta előkészítése) • mérés • kiértékelés (számítási eljárás, kiértékelő görbe) • külső körülmények hatásai

Mérési hibák/26

Rendszeres hibák • Rendszeres hiba felkutatása • hiába pontos a mérés (kicsi a tapasztalati szórás), a rendszeres hiba ettől független, nincs összefüggés a kettő között • a pontatlan mérés azaz nagy tapasztalati szórás viszont nehezíti rendszeres hiba felkutatását

Mérési hibák/27

Rendszeres hibák • például 1%-os tapasztalati szórás mellett 99%-os valószínűséggel kell meghatározni a középérték eltérését a valódi értéktől: n=2 t

s

= 63,7

n n=3 n=4

9,80 5,8

1

= 45,04

2 1 3 1

= 5,72 = 2 ,9

4

Mérési hibák/28

Rendszeres hibák • rendszeres hiba kimutatása • a mérést etalon segítségével végezzük el • a mérési eredményeket a valódi érték függvényében ábrázoljuk • ha nincs rendszeres hiba, akkor 45o-os meredekségű egyenest kell kapni, mely az origóban metszi a tengelyeket (a véletlen hibák miatt lineáris regresszióval illeszteni kell a pontokra az egyenest)

Mérési hibák/29

Rendszeres hibák • ha meredekség eltér a 45o-tól vagy a tengelymetszet nem az origóban van → rendszeres hiba • legyen az mi mért érték és a µi0 valódi érték közötti összefüggés: mi = α + β µi0 + ε ahol α – a rendszeres hiba állandó része β - 1 – a rendszeres hiba arányos része ε – véletlen hiba Mérési hibák/30

Rendszeres hibák • következő esetek lehetségesek: • állandó rendszeres hiba • arányos rendszeres hiba • állandó és arányos rendszeres hiba • ha nem áll rendelkezésre etalon vagy nem lehetséges etalonnal mérni, akkor több különböző módon kell megmérni ugyanazt a mennyiséget

Mérési hibák/31

Pontossági osztályok • Pontosság • A mérőeszköznek az a tulajdonsága, hogy a mérendő mennyiség valódi értékéhez közeli értékmutatást vagy választ szolgáltat. • Egy adott mérendő mennyiség mért értékei a mérendő mennyiség helyes értékeitől egy előre megadott értéknél kevesebbel térnek el. Pontossági osztályok Mérési hibák/32

Pontossági osztályok • Pontossági minősítések: xk konvencionális (megállapodás szerinti) értékre vonatkoztatott relatív hiba (hp) • Pontossági osztályba sorolás: H max hp ≥ xk

jelentése: a műszer abszolút hibájának (Hmax) a konvencionális értékhez (xk) vonatkoztatott aránya nem haladhatja meg a pontossági osztályra előírt értéket Mérési hibák/33

Pontossági osztályok • jelölése: számmal vagy betűvel - osztályjel • szabványos osztályok: 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0; 5,0 • laboratóriumi műszer: 0,1; 0,2 • laboratóriumi üzemi műszer 0,5 • üzemi műszer 1,0; 1,5; 2,5; 5,0

Mérési hibák/34

Pontossági osztályok • konvencionális érték: • a műszer végkitérésben mért értéke (felső méréshatára) • helyes érték (etalon) • alkalmazása: pontossági osztály és a konvencionális érték ismeretében meghatározható, hogy mekkora lehet a műszertől származó abszolút és relatív hiba ⇒ abszolút hibakorlát, relatív hibakorlát Mérési hibák/35

Pontossági osztályok • abszolút hibakorlát Hmax = hp⋅xv független a mért értéktől: legyen a pontossági osztály: 1% méréshatár: 0 - 10A abszolút hibakorlát 0.1A (a végkitérésre vonatkoztatva) azaz bármekkora mérésnek maximum ekkora lehet az abszolút hibája Mérési hibák/36

Pontossági osztályok • relatív hibakorlát hmax

xv = hp xm

nagysága függ a mért értéktől legyen a pontossági osztály: 1% méréshatár: 0 – 10 A mérendő érték: 1 A ⇒ relatív hibakorlát 10% mérendő érték: 5 A ⇒ relatív hibakorlát 2%

Mérési hibák/37

Pontossági osztályok • legkisebb értelmesen mérhető mennyiség: a műszer abszolút hibakorlátjával mérhető érték • ez alatt a relatív hibakorlát 100%-nál is nagyobb lehet

Mérési hibák/38

Pontossági osztályok • Mérési tartomány tervezése

Mérési hibák/39

Pontossági osztályok • számított mennyiségek hibakorlátja: • ha a a számítás összeadás/kivonás, akkor a közvetlenül mért értékek abszolút hibakorlátja összeadódik • ha a a számítás szorzás/osztás, akkor a közvetlenül mért mennyiségek relatív hibakorlátja összeadódik

Mérési hibák/40

Pontossági osztályok • a hibakorlátok megadásának menete: • műszerek pontossági osztálya, a méréshatár és az éppen mérték alapján meghatározzuk a közvetlenül mért értékek abszolút vagy relatív hibakorlátját • a számítás jellege alapján megállapítjuk a számított eredmény abszolút vagy relatív hibakorlátját • a számított mennyiség és a meghatározott hibakorlát alapján meghatározzuk a másik hibakorlátot Mérési hibák/41

Pontossági osztályok • példa • ellenállás meghatározása feszültség- és áramerősség-méréssel • feszültségmérő relatív hibakorlátja hUmax = 8% • áramerősség-mérő relatív hibakorlátja hImax = 3% • ellenállásmérés relatív hibakorlátja hRmax = hUmax + hImax = 11% • legyen U = 20V, I = 4A ⇒ R = U/I = 5Ω • ellenállásmérés abszolút hibakorlátja Hmax = hRmax ⋅ R = 0,55 Ω Mérési hibák/42

Hibaterjedési törvény • ha a mért adat alapján további számításokat kell elvégezni, akkor a mérési hiba a számolt értékekben is megjelenik • például hosszúság mérés alapján számolt térfogatban három mérés hibája jelenhet meg • ennek követésére alkalmas a hibaterjedési törvény

Mérési hibák/43

Hibaterjedési törvény • legyen a számolt érték és a mért változók közötti összefüggés: F = F(x1, x2,…, xr) • meghatározandó, hogy az x1, x2,…, xr független változókban elkövetett δ1, δ2, …, δr hibák hogyan befolyásolják a számított változó értékét • Taylor sorba fejtve x1, x2,…, xr pont körül és elhanyagolva a magasabb rendű tagokat: F (x1 + δ1 , x2 + δ 2 ,K , xr + δ r ) − F (x1 , x2 ,K , xr ) ≡ δ F ≈  ∂F   ∂F δ1 +  ≈   ∂x1   ∂x2

  ∂F δ 2 + K +    ∂xr

 δ r  Mérési hibák/44

Hibaterjedési törvény • a lineáris közelítés akkor jogos, ha δi hibák kicsik és az F függvény magasabb deriváltjai nem szélsőségesen nagy értékek:  ∂2F    δ <<  ∂F  ∂x j  ∂x 2  j j   

   

• ha az xj változó mérésekor ismert nagyságú rendszeres hibát követünk el, akkor a számolt értékben elkövetett hiba ezzel becsülhető

Mérési hibák/45

Hibaterjedési törvény • általában: a rendszeres hiba pontos értéke nem ismert, csupán becsülhető az ±δ határ, amelyet nem halad meg • ha a számított F érték hibájára szabunk felső határt, akkor a deriváltak abszolút értékével kell számolni, azaz nem vesszük figyelembe az előjelet, és így a kompenzációs effektust sem, így a hibát túl becsüljük. • ezért az alábbi pitagoraszi összegzés alkalmazandó: 2  ∂F  2    ∂F ∂F 2 2   δ 1 +   δ 2 + K +  δ F ≈  ∂x2  ∂xr  ∂x1    

2

1 2

 2  δ r    

Mérési hibák/46

Hibaterjedési törvény • Tételezzük fel, hogy az elemi méréseknél csak véletlen hibát követünk el, melynek várható értéke zérus • kérdés, hogyan függ a számított függő változó varianciája (elméleti szórásnégyzete) a független változók varianciája függvényében • Jelöljük a varianciát a következő módon: Var [δ F ] ≡ σ δ2F

Mérési hibák/47

Hibaterjedési törvény • Ekkor

{

} { }

Var [δ F ] = E (δ F − E{δ F })2 = E δ F2 ≈

  ∂F   ∂F  ∂F  δ1 +  δ 2 + K +  ≈ E   ∂x2   ∂xr  ∂x1  r r  ∂F  ∂F     cov δ j ,δ i = = ∑∑   ∂x j  ∂xi  j =1 i =1  

(

 ∂F =   j =1  ∂x j r

∑

  δ r   

2

 = 

)

2

r r    Var δ j +  ∂F   ∂x j j = 1 i = 1  

( ) ∑∑ i≠ j

 ∂F   ∂xi 

hibaterjedési törvény

  cov δ j ,δ i  

(

)

Mérési hibák/48

Hibaterjedési törvény • Ha az elemi mérések hibái (δ1, δ2, …, δr) egymástól függetlenek:  ∂F Var [δ F ] ≈   j =1  ∂x j r

∑

2

  Var δ j  

( )

Mérési hibák/49

Hibaterjedési törvény • Hibaterjedési törvény alkalmazása • elsődleges cél: az elemi mérések hibájának mekkora hatása lesz a számolt változóban • ehhez kellenek az elemi mérések hibájára vonatkozó szórás • meghatározva az egyes elemi mérések hatását, megállapítható, hogy melyik mérést kell szükség esetén pontosabbá tenni • elemi mérések szórása: ha nem adott, akkor a párhuzamos mérések alapján becsülhető Mérési hibák/50

Hibaterjedési törvény • Legyen a mérendő mennyiség állandó • többszöri meghatározással megkapjuk a korrigált tapasztalati szórásnégyzetet • amennyiben a leolvasott értékek minden esetben megegyeznek, azaz mérési hiba nem észlelhető • a mérést megfelelő módon (pontosan) végeztük el • a mérőműszertől függő véletlen hiba viszont általában nem észlelhető a leolvasás során • rendszeres hiba lehetséges! Mérési hibák/51

Hibaterjedési törvény • ennek alapján a műszer tervezésekor a leolvashatóságot úgy állapítják meg, hogy a konstrukciós okokból származó véletlen hiba a ±3σ-nyi intervallumon belül maradjon, mivel a véletlen hibákat normális eloszlású valószínűségi változóknak tekintve, ebbe az intervallumba esnek 99,73%-os valószínűséggel • ennek alapján a mérőműszer okozta véletlen hiba felső határa a leolvashatóságból meghatározva: ±3σ-nak tekinthető Mérési hibák/52

Hibaterjedési törvény • Ha a mérendő mennyiség ingadozik: • a mérési eredmény ingadozása nem tekinthető csak a mérés hibájának • legyen 2 σ • xo a mérni kívánt változó varianciája 2 σ • xma mérés varianciája • ekkor a többszöri leolvasásnál észlelt szórás

σ x2 = σ x2o + σ x2m Mérési hibák/53

Hibaterjedési törvény • ennek alapján lehet olyan műszert választani, ahol a mérni kívánt változó ingadozása nem észlelhető • ekkor a két hatás együttese, amit nem akarunk észlelni: 6 σ x2o + σ x2m határozza meg a leolvashatóságot

Mérési hibák/54