Kecskeméti Fıiskola GAMF Kar Informatika Tanszék. Johanyák Zsolt Csaba

Kecskeméti Fıiskola GAMF Kar Informatika Tanszék

Johanyák Zsolt Csaba

2003

Tartalomjegyzék 1. Bevezetés................................................................................................................................ 1 2. A megbízhatóság fogalmai..................................................................................................... 1 2.1. A termék idıtıl függı képességei .............................................................................. 1 2.1.1. Használhatóság /Üzemkészség/ (Availability)......................................................... 1 2.1.2. Hibamentesség (Reliability) ..................................................................................... 2 2.1.3. Karbantarthatóság (Maintainability) ........................................................................ 2 2.1.4. Karbantartás-ellátás (Maintenance support)............................................................. 3 2.2. A termékek osztályozásának fogalmai ....................................................................... 3 2.2.1. Bonyolultság............................................................................................................. 3 2.2.2. Javíthatóság .............................................................................................................. 3 2.2.3. Helyreállíthatóság..................................................................................................... 4 2.2.4. Tartalékolás .............................................................................................................. 4 2.3. Meghibásodások és hibák........................................................................................... 4 2.4. Megfigyelt idıkre vonatkozó fogalmak ..................................................................... 6 2.4.1. A hibamentességre vonatkozó idık.......................................................................... 6 2.4.1.1. Mőködési idı (Time to Failure, Time Between Failures) ................................. 6 2.4.1.2. Üzemidı (Operating time) ................................................................................ 6 2.4.1.3. Élettartam (Life) ................................................................................................ 6 2.4.2. Karbantartásra vonatkozó idık................................................................................. 6 3. A megbízhatóság mennyiségi jellemzıinek (mérıszámainak) meghatározása ................... 7 3.1. A megbízhatósági mérıszámok (mutatók) elméleti és tapasztalati értékei................ 7 3.1.1. Elméleti értékek........................................................................................................ 7 3.1.2. Tapasztalati értékek.................................................................................................. 9 3.3. Használhatósági tényezı ............................................................................................... 14 3.4. A megbízhatósági mérıszámok (mutatók) különbözı fajtái......................................... 14 4. Elemek és rendszerek mőködési ideje eloszlásának modellezésére használt eloszlásfüggvények .................................................................................................................. 14 4.1. Általános képletek a megbízhatósági jellemzık elméleti értékeire............................... 14 4.2. Lineáris eloszlás ............................................................................................................ 15 4.3. Derékszögő (egyenletes) eloszlás.................................................................................. 15 4.4. Exponenciális eloszlás................................................................................................... 16 4.5. Normális (Gauss) eloszlás ............................................................................................. 17 4.6. Csonkított normális eloszlás.......................................................................................... 18 7.7. Lognormális eloszlás..................................................................................................... 18 4.8. Weibull eloszlás ............................................................................................................ 19 4. Megbízhatósági vizsgálatok és azok tervezése .................................................................... 20 4.1. A megbízhatósági vizsgálatok osztályozása ................................................................. 20 4.1.1. Osztályozás a vizsgálat célja szerint ...................................................................... 20 4.1.2. Osztályozás a vizsgálat és megfigyelés helye szerint ............................................ 20 4.1.3. Osztályozás az igénybevételi körülmények szerint................................................ 21 4.2. A vizsgálatok tervezése ................................................................................................. 21 4.2.1. Mőszaki szempontok.............................................................................................. 22 4.2.2. Matematikai szempontok ....................................................................................... 22 5. A megbízhatóság tervezési és elemzési módszerei .............................................................. 23 5.1. A megbízhatóság-elemzési módszerek alkalmazásának célja és általános menete ...... 23 5.2. Az egyes megbízhatóság-elemzési módszerek vázlatos ismertetése ............................ 24 6. Megbízhatósági számítások során használt eloszlásfüggvények ..................................... 25

6.1. Binomiális eloszlás........................................................................................................ 25 6.2. Poisson eloszlás............................................................................................................. 26 6.3. Mintavételezési eloszlás ................................................................................................ 26 8. Nem felújítható elemekbıl álló rendszerek megbízhatósága ........................................... 26 8.1. Független elemekbıl álló rendszer................................................................................ 26 8.1.1. Soros kapcsolású rendszer...................................................................................... 26 8.1.2. Párhuzamos kapcsolású rendszer ........................................................................... 27 8.1.3. Bonyolult rendszerek megbízhatósága................................................................... 27 3.1.3.1. A teljes valószínőség tételének alkalmazása................................................... 27 3.1.3.2. A Boole-féle igazságtáblázat alkalmazása ...................................................... 28 8.2. Nem független elemekbıl álló rendszer........................................................................ 29 9. Markov láncok...................................................................................................................... 29 Ajánlott irodalom ..................................................................................................................... 32

1. Bevezetés

1. Bevezetés A termék minıségét meghatározó tulajdonságok közül különleges figyelmet kell fordítanunk a termékek idıtıl függı jellemzıire. Ezekre átfogó kifejezésként a megbízhatóság fogalmát használja a szakirodalom. A termékek megbízhatóságának meghatározása és ellenırzése egyrészt összetett matematikai-statisztikai és valószínőség számítási módszerek alkalmazását követeli meg, másrészt a gyártástechnológiától függıen igényli a korszerő vizsgálati berendezések használatát is. Ezért a megbízhatóság témaköre igen kiterjedt, és a gyakorlati megvalósítás nagyon költségigényes. E segédletben arra törekedtünk, hogy csak a legfontosabb fogalmakat és eljárásokat ismertessük, valamint felkészítsük az olvasót arra, hogy a késıbbiekben a szakirodalom felhasználásával, az alkalmazási követelményeknek megfelelıen képes legyen a tárgykör részletesebb megismerésére és a módszerek gyakorlati elsajátítására.

2. A megbízhatóság fogalmai A megbízhatóság fogalomrendszerét az [1] ismerteti részletesen. A fogalmak közötti logikai kapcsolatra a [2] világít rá.

2.1. A termék idıtıl függı képességei A termék megbízhatóságának fogalmát [1] a következıképpen határozza meg: Megbízhatóság (Dependability) Győjtıfogalom, amelyet a használhatóság és az azt befolyásoló tényezık, azaz a hibamentesség, a karbantarthatóság és a karbantartás-ellátás leírására használnak.

Megbízhatóság

Használhatóság

Karbantarthatóság

Hibamentesség

Karbantartás-ellátás

Ez a megbízhatóság 1. ábra A megbízhatóság mint győjtıfogalom fogalom (1. ábra) teljesen általánosan értelmezett, és így mennyiségi leírásra nem használható. Korábban nem használták ilyen tág értelemben a megbízhatóság fogalmát, hanem csak a hibamentesség fogalmára szőkítették le értelmezését. A megbízhatóság az 1. ábrán szereplı képességeket tartalmazza. 2.1.1. Használhatóság /Üzemkészség/ (Availability) A terméknek az a képessége, hogy adott idıpontban vagy idıszakban, adott feltételek között ellátja az elıírt funkciót, feltéve, hogy a szükséges külsı erıforrások rendelkezésre állnak. Ez a képesség azt jelenti, hogy a terméket adott idıpontban használatba tudjuk venni, és ezt követıen folyamatosan használni tudjuk. Ennek érdekében biztosítani kell, hogy a termék hosszú ideig mőködjön hibamentesen (hibamentesség képessége), és meghibásodása esetén a termék mőködıképességének helyreállítása azonnal vagy lehetıleg igen rövid idı alatt megtörténjen (a termék karbantarthatóságának illetve karbantartás-ellátásának a képessége).

1

Megbízhatósági alapfogalmak A használhatóság képessége együttesen függ a fenti három képességtıl. A használhatóság képességének mennyiségi mérıszáma a használhatósági tényezı, amely azt fejezi ki, hogy a felhasználó a terméket az esetek hányad részében tudja mőködıképesen használni. 2.1.2. Hibamentesség (Reliability) A terméknek az a képessége, hogy elıírt funkcióját adott feltételek között, adott idıszakaszban ellátja. Ezt a fogalmat korábban a termék szőkebb értelemben vett megbízhatóságának nevezték. Általában azt tételezik fel, hogy a termék az idıszakok kezdıpontjában (a mőködés kezdetekor) olyan állapotban van, hogy képes elıírt funkcióját ellátni. A terméknek ezt a képességét adott igénybevételi és üzemeltetési feltételek között kell értelmezni. Például egy gépkocsi megbízhatósága, így ezen belül hibamentessége szempontjából lényeges az, hogy országúton vagy városban használjuk, milyen az út minısége, milyen a környezeti hımérséklet, stb. A hibamentesség mennyiségi mérıszámai többek között a következık. Hibamentes mőködés valószínősége (R(t)): annak a valószínősége, hogy a termék mőködni fog a t idıpontig. Meghibásodás valószínősége (F(t)): annak a valószínősége, hogy a termék elromlik a t idıpontig. Meghibásodási ráta (λ): a termék élettartamának egy meghatározott szakaszán belül, a mintában észlelt meghibásodások száma a megfigyelés összegzett idejéhez viszonyítva ugyanazon mintában. Átlagos mőködési idı a meghibásodásig (MTTF – Mean Time To Failure): a termék élettartamának egy meghatározott szakaszán belül, a termék összegzett mőködési idıi osztva a mintában észlelt teljes meghibásodási számmal. Javítások közötti átlagos idı (MTBR – Mean Time Between Reparations): átlagos mőködési idı a hiba javítására vagy megakadályozására végzett karbantartások között. Átlagos javítási idı (MTTR – Mean Time To Reparation): a termék elıírt állapotba történı helyreállításához szükséges idı. Elıírt az az állapot, amelyben a termék képes elıírt funkcióinak ellátására. 2.1.3. Karbantarthatóság (Maintainability) A terméknek az a képessége, hogy meghatározott használati feltételek között olyan állapotban tartható, illetve olyan állapotba állítható vissza, amelyben elıírt funkcióit teljesíteni tudja, ha karbantartását adott feltételek között és elıírt eljárások, valamint erıforrások felhasználásával végzik el. A karbantartásnak általában kétféle módja van: Megelızı karbantartás, amelyet elızetesen meghatározott idıpontokban végeznek vizsgálatok és ellenırzések segítségével a potenciális meghibásodások felkutatása, az elhasználódott vagy meghibásodásra hajlamos alkatrészek kicserélése érdekében. Javító karbantartás, amely nem tervezett, és célja a termék mőködıképességének helyreállítása meghibásodás esetén.

2

2. A megbízhatóság fogalmai A karbantarthatóság leggyakrabban használt mérıszámai a következık: átlagos javítási idı, átlagos helyreállítási idı, mőködıképesség helyreállítási valószínősége adott idı alatt, átlagos javítási ráta. 2.1.4. Karbantartás-ellátás (Maintenance support) A karbantartó szervezetnek az a képessége, hogy adott feltételek között - igény esetén - rendelkezésre bocsátja azokat az erıforrásokat és eszközöket, amelyek az adott karbantartási politika mellett a termék (hálózat, összeköttetés, berendezés) karbantartásához szükségesek. A karbantartás-ellátás tehát nem a termék képessége, hanem a karbantartó szervezeté. A karbantartás-ellátás hatékonyságát ennek a szervezetnek szolgáltatási minısége határozza meg (elérhetıség, szállíthatóság, hibaokok gyors felderítése, hibák gyors javítása, eszköz ellátottság, tartalék alkatrészkészletek szintje, stb.). A karbantartás-ellátás szokásos mérıszámai: átlagos késedelmi idı, átlagos karbantartási munkaidı-ráfordítás.

2.2. A termékek osztályozásának fogalmai Az [1] szabvány szerinti megbízhatósági terminológiában a termék fogalmát a következıképpen határozzák meg: Termék (Item): bármely olyan alkotóelem, alkatrész, eszköz, részrendszer, funkcionális egység, berendezés vagy rendszer, amelyet egyedileg meg lehet határozni. A termékek megbízhatósági szempontból a következı szempontok szerint osztályozhatók: • • • •

bonyolultság javíthatóság helyreállíthatóság tartalékolás

2.2.1. Bonyolultság Bonyolultság szempontjából megkülönböztetünk rendszert illetve elemet. A rendszer olyan termék, amely megbízhatósági elemzés vagy vizsgálat céljából részekre bontható. Rendszerre példaként tekinthetı egy repülıgép, gépkocsi, TV-készülék, amelynek megbízhatóságát részei megbízhatóságából számítják ki. Az elem olyan termék, amely megbízhatósági elemzés vagy vizsgálat céljából további részekre már nem bontható. Elemre példaként szolgálhat egy villanyégı vagy egy rádióelem, amelynek megbízhatóságát nem részei megbízhatóságából számítják ki, hanem fekete dobozként tekintik, és egyedként vizsgálják. A vizsgálat céljától függıen egy termék az egyik esetben lehet rendszer, másik esetben ugyanazon termék elemnek tekinthetı. Például egy rádió adó-vevı készülék, ha részeire bontva határozzuk meg megbízhatóságát, akkor rendszer. Ugyanez a rádió adó-vevı, ha egy repülıgép-rendszerben mőködik, és nem bontjuk részekre, akkor a repülıgép-rendszer elemeként vizsgálható. 2.2.2. Javíthatóság A termék javítható, ha mőködıképessége elvesztése után helyreállítható. Például egy hőtıgépet vagy egy számítógépet úgy terveznek, hogy meghibásodás után javítani lehessen ıket. Ez a termék tervezési (konstrukciós) tulajdonsága. 3

Megbízhatósági alapfogalmak A termék nem javítható, ha mőködıképessége meghibásodás esetén nem állítható helyre. Például nem-javítható termék a villanyégı vagy a rádióelem. 2.2.3. Helyreállíthatóság Nem biztos, hogy adott felhasználási körülmények között egy javítható terméken a javítást el tudják végezni. Ezért megkülönböztetünk: helyreállítható terméket illetve nem-helyreállítható terméket, amelyet meghibásodás után, adott alkalmazási körülmények között valóban meg tudnak javítani, illetve nem tudnak megjavítani. Ez a terméknek alkalmazás-függı tulajdonsága. Például egy számítógép, amely javítható termék, laboratóriumi alkalmazási körülmények között javítható, így helyreállítható termék. Ugyanezt a számítógépet őrhajóbeli felhasználás esetén lehet, hogy nem tudják megjavítani, tehát nem-helyreállítható termék. 2.2.4. Tartalékolás A termék lehet tartalékolt (egynél több eszköz látja el ugyanazt a funkciót, és az egyik meghibásodása esetén a másik (a többi) veszi át a feladat elvégzését) és tartalék nélküli. Tartalékolt termékre példa a szabadsághegyi TV-adó, ahol egy fıadó és egy tartalék adó is mőködik.

2.3. Meghibásodások és hibák Meghibásodás (Failure): olyan esemény, amelynek során a termék elveszti azt a képességét, hogy elıírt funkcióját ellássa. Hiba/Hibaállapot (Fault): a termék azon állapota, amelyben nem tudja ellátni az elıírt funkcióját, kivéve, ha ez az állapot megelızı karbantartás vagy egyéb tervezett tevékenység során fordul elı, illetve külsı erıforrások hiányából adódik. A meghibásodás tehát esemény, a hiba (hibaállapot) pedig állapot. Meghibásodás bekövetkezése után a termék mindig hibaállapotban van, de hibaállapot néha bekövetkezhet meghibásodás nélkül is. Például egy kondenzátor lehetséges meghibásodási eseménye a zárlat, a hibaállapot pedig az, hogy a kondenzátor zárlatos. A kondenzátor természetesen kerülhet hibaállapotba meghibásodás nélkül is, például eleve rossz kondenzátor kerül eladásra. A megbízhatósági vizsgálatok területén két termékállapotot különböztetnek meg a legegyszerőbb esetben: • •

mőködıképes állapot, amelyben a termék képes funkciója ellátására; mőködésképtelen állapot, amelyben bármilyen ok miatt a termék képtelen elıírt funkciója ellátására.

A mőködésképtelen állapot hibaállapot vagy a megelızı karbantartás állapota, esetleg hiányoznak a mőködéshez szükséges erıforrások, például áramszünet van. Többállapotú megbízhatósági modellek is. Az állapotok további részletezését az [1] szabvány is megadja, de ezekre nem térünk ki. Csak a kétállapotú megbízhatósági modellel foglalkozunk. A meghibásodások osztályozhatók bekövetkezésük oka, a bekövetkezés idıtartama, a mőködıképesség elvesztésének mértéke, a meghibásodás bekövetkezésének szakasza, és fontosság szerint (1. táblázat). A hibák (hibaállapotok) hasonlóan osztályozhatók. Ezt nem részletezzük.

4

2. A megbízhatóság fogalmai Meghibásodások osztályozása

1. táblázat

Az osztályozás szempontja

A meghibásodás fajtája

A meghibásodás bekövetkezésének oka

Túlterhelés következtében Független meghibásodás Függı meghibásodás Konstrukciós meghibásodás Gyártási eredető meghibásodás Üzemelési meghibásodás

A meghibásodás bekövetkezésének idıtartama

Váratlan meghibásodás Fokozatos meghibásodás

A mőködıképesség elvesztésének mértéke

Teljes meghibásodás Részleges meghibásodás Katasztrofális meghibásodás Degradációs meghibásodás

A meghibásodás bekövetkezésének szakasza

Korai meghibásodások szakasza Állandó meghibásodási ráta szakasz Elhasználódási meghibásodások szakasza

Fontosság

Kritikus meghibásodás Jelentıs meghibásodás Jelentéktelen meghibásodás

Az 1. táblázatban látható osztályozásban a fogalmak egy része magától értetıdı meghatározást tartalmaz, ezeket nem ismertetjük. A többi meghibásodás meghatározása a következı: Független meghibásodás/Elsıdleges meghibásodás (Primary failure): A termék olyan meghibásodása, amelyet közvetlenül vagy közvetve nem valamely más termék meghibásodása vagy hibája idéz elı. Függı meghibásodás/Másodlagos meghibásodás (Secondary failure): A termék olyan meghibásodása, amelyet közvetlenül vagy közvetve egy másik termék meghibásodása vagy hibája idéz elı. Ilyen például az, ha egy gépkocsiban elromlik a hıfokszabályozó termosztát, a hőtıvíz felforr, és ennek következtében a gépkocsi egy másik alkatrésze is tönkremegy. Ekkor ez az alkatrész a termosztát hibája miatt hibásodott meg. A teljes meghibásodás esetében a termék teljesen elveszti mőködıképességét (például a gépkocsi leáll). A részleges meghibásodás esetében a termék nem tudja ellátni az összes elıírt funkcióját (például valamilyen hiba miatt a gépkocsi nem tudja elérni a 100 km/óra sebességet, vagy elromlik a kilométer-óra, és így nem tudjuk, hogy milyen sebességgel utazunk). A degradációs meghibásodás olyan meghibásodás, amely fokozatos és részleges. A katasztrofális meghibásodás váratlan és teljes meghibásodás. A meghibásodások bekövetkezési szakaszai a jól ismert kádgörbével írhatók le, amelyet a következı fejezetben ismertetünk. A kritikus meghibásodás az élet- és vagyonbiztonságot veszélyezteti (például a gépkocsi fék elromlása).

5

Megbízhatósági alapfogalmak A jelentıs meghibásodás fontos funkciót befolyásol (például a tengelykapcsoló meghibásodása). A jelentéktelen meghibásodásra példa az ablaktisztító folyadék továbbító rendszerének hibája.

2.4. Megfigyelt idıkre vonatkozó fogalmak A termékek megbízhatóságának értékelését annak alapján végzik el, hogy a termék hibamentes mőködésére, karbantartására milyen jellegő mennyiségeket figyeltek meg. Rendszerint ezek idıdimenziójú mennyiségek, de látni fogjuk, hogy egyes esetekben célszerő ettıl eltérı mértékegységet választani. 2.4.1. A hibamentességre vonatkozó idık 2.4.1.1. Mőködési idı (Time to Failure, Time Between Failures) A meghibásodásig vagy két meghibásodás között mőködésben eltelt idıt mőködési idınek nevezzük. Mérésére idı mellett más mőködésre jellemzı mennyiséget (pl. km, ciklusszám stb.) is használunk. Egy TV mőködési idejét órákban mérik, de egy gépkocsi mőködését célszerőbb km-számmal jellemezni. Ezért a mőködési idıt különbözı mértékegységekben lehet megadni a termékmőködésének jellegétıl függıen. 2.4.1.2. Üzemidı (Operating time) A használatbavételtıl a határállapotig a termék mőködési ideje (illetve a mőködési idık öszszege). Határállapot a terméknek az az állapota, amelyben üzemeltetését be kell szüntetni az alábbi okok egyike miatt: élet- és vagyonbiztonság veszélyben van, elavult a termék (leírás, selejtezés), gazdaságtalan mőködés, teljes tönkremenés (totálkáros autó). 2.4.1.3. Élettartam (Life) A termék használatának naptári ideje a használatbavételtıl a határállapotig. Példák: a. Egy TV naponta 5 órát mőködik. Élettartama 6 év =6*8640 óra = 51840 óra Üzemideje: 5*360*6 = 10800 óra b. Egy gépkocsi évente 15000 km-t tesz meg. Élettartama: 12 év (Idıdimenzió!) Üzemideje: 12*15000 km = 180000 km. 2.4.2. Karbantartásra vonatkozó idık A karbantartásra vonatkozó idıket [1] alapján soroljuk fel, a fogalmak külön meghatározást nem igényelnek. • • • • • •

6

megelızı karbantartási idı, javító karbantartási idı, hiba – fel nem ismerési idı/hiba felismerési idı, ellenırzési idı, hibakeresési idı/hibadiagnózis idı, hibahely behatárolásának ideje,

3. A megbízhatóság mennyiségi jellemzıinek (mérıszámainak) meghatározása • •

hibajavítási idı, javítási idı Javítási idı = hibahely behatárolási idı + hibajavítási idı + ellenırzési idı.

3. A megbízhatóság mennyiségi jellemzıinek (mérıszámainak) meghatározása A megbízhatóság – ezen belül elsıdlegesen a hibamentesség – méréséhez egyrészt meg kell határoznunk, hogy milyen mennyiségi jellemzıket választunk kiértékelésre, és az értékelést milyen módszerekkel végezzük el, másrészt vizsgálatokat vagy üzemeltetési megfigyeléseket kell végeznünk, hogy tapasztalati adatok alapján számítsuk ki ezeket a mérıszámokat. A megbízhatóság mérıszámainak értékelését [3] részletesen tárgyalja. Ebben a segédletben csak a legfontosabb elemi ismereteket kívánjuk közölni. A termékek mőködése és karbantartása során megfigyelt mennyiségek – például a mőködési idık és a karbantartási idık – termékenként véletlenszerően változó értékeket vesznek fel. Például a mőködési idı (nem-javítható termékek esetében a meghibásodásig tart, javítható termékek esetében két meghibásodás között figyelhetı meg) véletlenszerően vesz fel értékeket. Például az egyik izzó világítási ideje 150 óra, a másiké pedig 1000 óra. Hasonlóképpen a gépkocsi egyik esetben 15.000 km-t fut hibátlanul, a második esetben pedig csak 20.000 km-t. A karbantartás és javítás mérıszámai hasonlóan értékelhetık, mint a hibamentes mőködést jellemzı mennyiségek a következıkben fıképpen a hibamentesség mérıszámaival foglalkozunk. Ezeket mennyiségi jellemzıknek vagy mutatóknak is nevezik.

3.1. A megbízhatósági mérıszámok (mutatók) elméleti és tapasztalati értékei Ha a termék mőködési idejét vizsgáljuk, akkor minden t idıértékre meghatározhatjuk a 2. táblázatban szereplı megbízhatósági mutatók elméleti és tapasztalati értékét. 3.1.1. Elméleti értékek Meghibásodás valószínősége (Meghibásodási eloszlásfüggvény). Ez a függvény megadja, hogy a t mőködési idı milyen valószínőséggel kisebb egy tetszıleges t értéknél, azaz mi annak valószínősége, hogy a termék a (0, t) szakaszban meghibásodik. A függvény grafikus képe a 2. ábrán látható exponenciális eloszlást követı termékek esetén. Megbízhatósági mutatók elméleti és tapasztalati értéke Megnevezés

Elméleti érték

2. táblázat Tapasztalati érték

Meghibásodás valószínősége

Annak valószínősége, hogy a ˆ N (t ) termék meghibásodik a (0,t) F (t ) = 1 − N (0) szakaszban: P(τ
7

Megbízhatósági alapfogalmak Megnevezés

Elméleti érték

Meghibásodási sőrőségfügg- (t,t+∆t) szakaszban való megvény hibásodás valószínősége osztva ∆t-vel, határértéket véve, ha ∆t→0 P (t ≤ τ < t + ∆t ) lim = f (t ) ∆t →0 ∆t Meghibásodási ráta Feltételes valószínőségi sőrőség

P (t ≤ τ 〈t + ∆t | τ ≥ t ) = ∆t →0 ∆t → 0

Tapasztalati érték N (t ) − N (t + ∆t ) fˆ (t ) = N (0) ⋅ ∆t

λˆ (t ) =

N (t ) − N (t + ∆t ) N (t ).∆t

lim

= Várható mőködési idı

f (t ) = λ (t ) 1 − F (t ) ∞

m = ∫ R(t ) ⋅ dt 0

n

m = t = ∑ ti i =1

Hibamentes mőködés valószínősége (3. ábra). Annak valószínőségét adja meg, hogy a termék túléli a t idıpontot. A hibamentes mőködés valószínőségének és a meghibásodás valószínőségének összege 1. Meghibásodási sőrőségfüggvény (4. ábra). A meghibásodási sőrőségfüggvény a meghibásodási valószínőség eloszlásfüggvényének deriváltja. Várható mőködési idı. Ez nem idıfüggı jellemzı, hanem a mőködési idı elméleti átlagértéke.

2. ábra Meghibásodás valószínősége (F(t))

Meghibásodási ráta (5. ábra). A meghibásodási ráta a meghibásodási sőrőségfüggvénynek és a hibamentes mőködés valószínőségének hányadosával egyenlı. A meghibásodási ráta függvény háromféle lehet: • • •

8

állandó (ez a hasznos élettartamszakaszt jellemzi); monoton csökkenı (a kezdeti meghibásodások bekövetkezését jellemzi); monoton növekvı (az elhasználódási meghibásodásokat írja le).

3. A megbízhatóság mennyiségi jellemzıinek (mérıszámainak) meghatározása Ebbıl a három szakaszból tevıdik össze a már klasszikusnak tekinthetı kádgörbe (6. ábra). I.

Kezdeti meghibásodások szakasza. Az üzembeállításkor kezdıdik és mindaddig tart, amíg a meghibásodási ráta rohamosan csökken a rákövetkezı periódushoz viszonyítva. II. Állandó meghibásodási ráta (hasznos élettartam) szakasza. III. Elhasználódási meghibásodások szakasza. A meghibásodási ráta a megelızı szakaszhoz képest gyorsan növekszik. 3.1.2. Tapasztalati értékek A megbízhatósági mutatók tapasztalati értékét kétféleképpen lehet meghatározni: •

•

paraméteres módszerrel, 3. ábra Hibamentes mőködés valószínősége (R(t)) amely esetben ismerjük a 2. táblázatban szereplı eloszlásfüggvény függvényt (például exponenciális függvény vagy Weibull-függvény), és az ebben szereplı ismeretlen állandókat (paramétereket) becsüljük a tapasztalati adatokból (ezzel az eljárással részletesen nem foglalkozunk, a késıbbiekben adjuk meg a két eloszlásra vonatkozó képleteket); nem-paraméteres módszerrel, amely esetben nem ismerjük a meghibásodási valószínőség elosz4. ábra Meghibásodási sőrőségfüggvény lás függvény alakját. Ilyenkor a tapasztalati érték meghatározását a 2. táblázatban vázolt és a 3. táblázatban részletezett módon határozzuk meg.

Kiinduló adatok a következık: • • •

a kezdeti vizsgálati darabszám (feltételezve, hogy a vizsgálat kezdetén minden termék mőködıképes), a t idıpontban mőködıképes termékek száma (a t-idıpontig meghibásodott termékek száma), T a vizsgálat elıre megadott idıtartama. 9

Megbízhatósági alapfogalmak A meghibásodás valószínőségének tapasztalati értéke a hibamentes mőködés valószínőségének tapasztalati értékébıl úgy számítható ki, hogy 1-bıl kivonjuk az utóbbi értékét. A 4. táblázatban egy példával illusztráljuk a számítás menetét. A vizsgálatot T=500 óráig végezzük. Adott idıközönként (100 óránként) ellenırizzük (mérjük) a termékeket és meghatározzuk a mőködıképes darabok N(t) számát, ezt osztjuk az N(0) kezdeti darabszámmal megkapjuk a hibamentes mőködés valószínőségét, ezt az értéket 1-bıl kivonva megkapjuk a meghibásodás valószínőségének tapasztalati értékét. Ezeket az értékeket az idı függvényében ábrázoljuk, és így kapjuk meg az idıfüggvényeket a 7. ábrán. A meghibásodás valószínősége monoton növekvı függvény, amely 0-tól 1-ig vesz fel értékeket, a hibamentes mőködés valószínősége pedig csökkenı függvény a kezdeti 1 értékrıl 0-hoz tart, ha az idıérték elég nagy. A meghibásodási sőrőségfüggvény és a meghibásodási ráta tapasztalati értékét adott idıszakra határozzuk meg. A sőrőségfüggvény becslését úgy kapjuk meg, hogy az idıszakaszban meghibásodott darabok számát osztjuk az idıszakasz hosszának és a kezdeti vizsgálati darabszámnak a szorzatával. A meghibásodási ráta tapasztalati értéke ettıl csak abban különbözik, hogy nem a kezdeti darabszámmal osztunk, hanem az idıszakasz kezdıpontjában még mőködıképes darabok számával. Ezért a meghibásodási ráta mindig nagyobb vagy egyenlı, mint a meghibásodási sőrőségfüggvény. Általában a meghibásodási rátát határozzák meg legtöbbször a gyakorlatban, mivel az figyelembe veszi a termék elhasználódási (öregedési) folyamatát, hiszen mindig az adott idıszakasz kezdıpontjára vonatkozó mőködıképes darabok száma alapján határozzák meg, a meghibásodási sőrőségfüggvény és a meghibásodási ráta függvényét a 8. ábrán ábrázoltuk úgy, hogy mindig az idıszakasz végpontjában ábrázoltuk a megfelelı függvényértéket (ezt szokásos a szakasz felezıpontjában is ábrázolni). Megbízhatósági mutatók tapasztalati értékei

3. táblázat

Hibamentességi mutatók Jelölés: N(t) a t idıpontban mőködıképes darabok száma r(t) a t idıpontig meghibásodott darabok száma N(0) a vizsgálati darabszám N(t) + r(t) = N(0) Meghibásodás valószínősége: r (t ) Fˆ (t ) = (∧ jelöli a tapasztalati értéket) N ( 0)

5. ábra Meghibásodási ráta

10

3. A megbízhatóság mennyiségi jellemzıinek (mérıszámainak) meghatározása

1

F(t), R(t)

0,8 0,6

F(t)

0,4

R(t)

0,2 0 0

100 200 300 400 500 t

7. ábra Tapasztalati megbízhatósági mutatók

Hibamentes mőködés valószínősége: Meghibásodási sőrőségfüggvény a (t1, t2) szakaszban:

N (t ) ˆ Rˆ (t ) = ; R (t ) = 1 − Fˆ (t ) N ( 0) N (t1 ) − N (t 2 ) fˆ (t1 , t 2 ) = N (0).(t 2 − t1 )

Meghibásodási ráta a (t1, t2) szakaszban:

λˆ (t1 , t 2 ) =

N (t1 ) − N (t 2 ) N (t1 ).(t 2 − t1 )

Átlagos mőködési idı: t1 + t 2 + ... + t r (T ) + [N (0) − r (T )]T t = T a vizsgálat befejezésének az idır (T ) pontja, t1, t2,…tr(T) a meghibásodások idıpontjai A meghibásodási sőrőségfüggvény és a meghibásodási ráta dimenziója 1/óra, de nagymegbízhatóságú termékek esetében szokásos 10-6/óra vagy 10-9/óra = 1 fit (failure in time) egységek használata is. Az általános mőködés tapasztalati értéke a szokásos átlagérték módosított változata. Ez abból adódik, hogy a vizsgálat során nem hibásodik meg az összes vizsgált termék. Ezért a szokásos átlag helyett (mőködési idık összege osztva a vizsgálati darabszámmal) pontosított becslést

6. ábra Kádgörbe

11

Megbízhatósági alapfogalmak kell használni. Ebben a mőködıképes termékek mőködési idejét a vizsgálat befejezési idıpontjával határozzuk meg (például a 4. táblázatban a két darab jó termék mőködési idejét 500 órának vettük) és csak a meghibásodott darabok számával osztunk és nem az összes darabszámmal (20 helyett 18-cal). A 7. ábrából látható, hogy az átlagos mőködési idıt (355 óra) csak 0,3 valószínőséggel éri el a termék (azaz 0,7 valószínőséggel meghibásodik). Nyilvánvaló, hogy ez az érték a vevı számára kevéssé biztonságos. Ezért szokásos az ú. n. γ - kvantilis vagy ρ - kvantilis használata, amely megadja, hogy a termék milyen idıtartamot mőködik hibamentesen adott γ (vagy ρ) valószínőséggel, amelynek értéke rendszerint 0,9 vagy 0,95. 8. ábra Meghibásodási sőrőségfüggvény és meghibáPéldánkban a 7. ábrából látsodási ráta ható, hogy a 0,9 – kvantilis (vagy 90%-os kvantilis) 100 óra, vagyis ezt a hibamentes mőködési idıt nagy valószínőséggel teljesíteni tudja a termék.

12

Tapasztalati megbízhatósági mutatók

4. táblázat

N(t) = a t idıpontban mőködıképes termékek száma;

N(t) + r(t) = N(0)

R(t) = a t idıpontig meghibásodott termékek száma; t

N(t)

0 100

20 18

200

14

300

8

400

4

500

2

Fˆ (t ) = N (t ) = 1− = N (0) r (t ) = N (0) 0 18 2 1= = 0,1 20 20 14 6 = = 0,3 120 20 8 12 1= = 0,6 20 20 4 16 = = 0,8 120 20 2 18 1= = 0,9 20 20

Rˆ (t ) = N (t ) = = N (0) = 1 − Fˆ (t ) 1 0,9 0,7 0,4 0,2 0,1

fˆ = (t1t + ∆t ) =

λˆ (t1t + ∆t ) =

N (t ) − N (t + ∆t ) = N (0)∆t

N (t ) − N (t + ∆t ) = N (t ).∆t

20 − 18 = 1.10 −3 / óra 20.100 18 − 14 = 2.10 −3 / óra 20.100 14 − 8 = 3.10 −3 / óra 20.100 8−4 = 2.10 −3 / óra 20.100 4−2 = 1.10 −3 / óra 20.100

r (T )

t =

Σ ti + ( N (0) − r (T ))T c =1

r (T )

20 − 18 = 1.10 −3 / óra 20.100 18 − 14 = 2,2.10 −3 / ó 18.100 14 − 8 = 4,3.10 −3 / ó 14.100 8−4 = 5.10 −3 / óra 8.100 4−2 = 5.10 −3 / óra 4.100

t1+t2 = 2.100 t3+t4+t5+t6 = 4.200 t7+t8+t9+t10+t11+t12 =6.300 t13+t14+t15+t16 = 4.400 t17+t18 = 2.500 T = 500 óra N(0)-r(T) = 20-18 = 2 (N(0)-r(T))T = 2.500 6400 t = = 355,5 18

Megbízhatósági alapfogalmak

3.3. Használhatósági tényezı Ha ismerjük az átlagos mőködési idı (ÁMI) és az átlagos javítási idı (ÁJI) tapasztalati értékét, akkor az A használhatósági tényezı tapasztalati értékét a következı képletbıl kell kiszámítani: A=

ÁMI = ÁMI + ÁJI

1 ÁJI 1+ ÁMI

Látható, hogy az A 0 és 1 között változik, és annál nagyobb, minél kisebb az átlagos javítási idı és az átlagos mőködési idı arányát kifejezı hányados. Ez azt jelenti, hogy az átlagos mőködési idı növelésével és/vagy az átlagos javítási idı csökkentésével növelhetjük a termék használhatósági tényezıjének értékét.

3.4. A megbízhatósági mérıszámok (mutatók) különbözı fajtái A megbízhatósági mutatóknak a következı fontosabb típusait szokták megkülönböztetni: A. Sokaságbeli vagy elméleti érték. Ebben az esetben csak az egész sokaság megfigyelésébıl származtatható a megbízhatósági mutató (például az átlagos mőködési idı). Ez mőszakilag nem valósítható meg a gyakorlatban és nagyon költséges is lenne. B. Becsült érték. Mintát vesznek a sokaságtól, és ezen a mintán végeznek adott idıtartamú vizsgálatot, adott igénybevételi feltételek között. Az ebbıl származtatott érték lehet pontbecslés (például a 4. táblázat példájában számított átlagos mőködési idı), vagy adott konfidencia szinten meghatározott konfidencia intervallum (intervallum-becslés). Ez utóbbi részletes ismertetését a [3] tartalmazza. C. Extrapolált érték. A vizsgálat idıtartamától és igénybevételi feltételeitıl eltérı vizsgálati körülményekre átszámított érték. Például a vizsgálatot 1000 óráig végzik 40 °C környezeti hımérsékleten, és az ebbıl kapott értéket egy függvény segítségével átszámítják 5000 órára és 70 °C-ra. D. Elıre jelzett érték. A j termékre vonatkozó megbízhatósági mutató értéke, amelyet rendszerint a tervezés során részeinek megbízhatósági mutatóiból számítanak ki. Például a gépkocsi átlagos mőködési idejét részeinek (motor, fék, üzemanyag-ellátó berendezés, tengelykapcsoló, kerékabroncs stb.) megbízhatósági adataiból határozzák meg. E. Üzemeltetési érték. A megbízhatósági mutató üzemeltetési körülmények között meghatározott értéke.

4. Elemek és rendszerek mőködési ideje eloszlásának modellezésére használt eloszlásfüggvények 4.1. Általános képletek a megbízhatósági jellemzık elméleti értékeire A hibamentes mőködés valószínősége: A meghibásodás valószínősége:

14

R(t ) = P(τ ≥ t )

F(t ) = 1 − R(t )

4.Elemek és rendszerek mőködési ideje eloszlásának modellezésére használt eloszlásfüggvények

A meghibásodási sőrőségfüggvény: f (t ) =

λ (t ) =

A meghibásodási ráta:

dF(t ) dt

f (t ) R (t )

∞

Átlagos élettartam:

m = ∫ R(t ) ⋅ dt 0

4.2. Lineáris eloszlás Olyan esetekben alkalmazzák, amikor a meghibásodási sőrőségfüggvény állandó (f(t)=konst.), azaz idıegységenként mindig azonos számú elem hibásodik meg, esik ki. 1 A hibamentes mőködés valószínősége: R(t ) = 1 − k ⋅ t ha 0 < t < k A meghibásodás valószínősége: F(t ) = k ⋅ t A meghibásodási sőrőségfüggvény: f (t ) = k

λ (t ) =

A meghibásodási ráta: Átlagos élettartam:

m=

k 1− k ⋅t

1 2⋅k

4.3. Derékszögő (egyenletes) eloszlás Olyan lineáris eloszlás, amelynél a meghibásodási sőrőségfüggvény csak egy tartományon belül állandó. A meghibásodások csak t1=a idıponttól következnek be és csak t2=b idıpontig tartanak.

ha 0 < t < a  1, b −t A hibamentes mőködés valószínősége: R(t ) =  , ha a < t < b b a −  ha t >b  0, ha 0 < t < a  0, t − a A meghibásodás valószínősége: F(t ) =  , ha a < t < b b − a  ha t >b  1, ha 0 < t < a  0,  1 A meghibásodási sőrőségfüggvény: F(t ) =  , ha a < t < b b − a  ha t >b  0,   ∞, ha t =b  1 A meghibásodási ráta: λ(t ) =  , ha a < t < b b − t   1 , ha t=a  b − a

15



m=

a+b 2

4.4. Exponenciális eloszlás Olyan esetekben használják, amikor a meghibásodási ráta független a használati idıtıl. Nem öregedı (nem elhasználódó) alkatrészek esetén alkalmazható, ezért szokásos „örökifjú” eloszlásnak is nevezni. Pl. félvezetı alkatrészek (kisjelő üzemmód), egy kondenzátor kisülése. Ha egy készülékben nagyon sok különbözı jellegő, a legkülönbözıbb meghibásodási mechanizmusok által veszélyeztetett alkatrész található. Az exponenciális eloszlás a kádgörbe (6. ábra) középsı szakaszának közelítésére alkalmas. A tapasztalati adatokból csak a λ-paramétert kell .A mőködési idı eloszlásának modellezésére az exponenciális eloszlást alkalmazzák a leggyakrabban. A hibamentes mőködés valószínősége: A meghibásodás valószínősége:

R(t ) = e − λ ⋅t

F(t ) = 1 − e − λ ⋅t

A meghibásodási sőrőségfüggvény: f (t ) = λ ⋅ e − λ ⋅t

λ (t ) = állandó


m=

1

λ

9. ábra Exponenciális eloszlásfüggvény

16

10. ábra Exponenciális eloszlásfüggvény


11. ábra A hibamentes mőködés valószínőségének függvénye exponenciális eloszlás esetén

12. ábra Sőrőségfüggvény Weibull eloszlás esetében

4.5. Normális (Gauss) eloszlás Az eloszlásfüggvényt két paraméter határozza meg: a szórás (σ - alakparaméter) és a várható érték (µ - helyzetparaméter). A meghibásodási sőrőségfüggvény egy szimmetrikus haranggörbe. A meghibásodási gyakoriság nullával kezdıdik, és az idı függvényében progresszíven növekszik. Ott alkalmazzák, ahol a meghibásodások túlnyomó többsége az elhasználódásra σ 1 vezethetı vissza, és amennyiben teljesül a < feltétel (kis szórás). Pl. elektroncsövek, µ 3 szénkefés villamos motorok, dugaszos csatlakozók, jelfogók. 2 ∞ − ( x−µ )

F(t ) =

A meghibásodás valószínősége:

λ(t ) =

2πσ 2 t

1 2πσ

2

1

A meghibásodási sőrőségfüggvény: f (t ) = A meghibásodási ráta:

1

R(t ) =

A hibamentes mőködés valószínősége:

2πσ 2

∫e

−

∫e

2σ 2

⋅ dx

t

( x − µ )2 2σ 2

⋅ dx

−∞ −

e

(t − µ )2 2σ 2

f (t ) R(t )

Átlagos élettartam: m = µ A gyakorlatban a standardizált normális eloszlást alkalmazzák.

z=

t−µ

σ

z2

1 −2 ϕ (z ) = e 2π

dz =

1

σ

dt

17

Megbízhatósági alapfogalmak A meghibásodási sőrőségfüggvény: f (t ) =

ϕ (z ) σ t

F (t ) = ∫ ϕ ( z ) ⋅dz = Φ ( z )


−∞


λ (t ) =


R(t ) = 1 − Φ ( z ) = Φ (− z )

ϕ (z )

σ ⋅ Φ(− z )

Átlagos élettartam: m = µ A ϕ(z) és φ(z) függvények értékei táblázatok segítségével határozhatók meg.

4.6. Csonkított normális eloszlás A standardizált normális eloszlásból származtatjuk, úgy, hogy az eloszlásfüggvényt a [0,∞) intervallumra értelmezzük. µ −t Φ   σ  A hibamentes mőködés valószínősége: R (t ) = µ Φ  σ  t − µ   µ Φ  − Φ −   σ   σ F(t ) = A meghibásodás valószínősége:  µ 1 − Φ −   σ

t − µ    σ  =  µ  σ ⋅Φ   σ 

ϕ

A meghibásodási sőrőségfüggvény:

f (t )

t − µ    σ  = µ −t σ ⋅ Φ   σ 

ϕ

λ (t )

A meghibásodási ráta: m=µ


7.7. Lognormális eloszlás Lognormális eloszlásnál az élettartam logaritmusa Gauss eloszlást követ. Kis idı értékek esetén megnövekszik a hibák gyakorisága, míg nagy t értékek esetén csökken. Akkor alkalmazzák, ha az elemek meghibásodása fıképpen az elhasználódásra vezethetı vissza, és az elhaszσ 1 nálódásnak kitett alkatrészek meghibásodási jellemzıi nagy szórásúak: ≥ . Pl. védıgázas µ 3 üvegcsöves érintkezı, Reed jelfogók. z=

18

ln t − µ

σ

ϕ=

1 2π

e

−

t2 2

dz =

1 dt σ ⋅t



ϕ (z ) σ ⋅t t

F(t ) = ∫ ϕ ( z ) ⋅dz = Φ ( z )


−∞

∞

R(t ) = ∫ ϕ ( z ) ⋅dz = 1 − Φ ( z ) = Φ (− z )


λ (t ) =


m = µ ⋅e

µ+

t

ϕ (z )

σ ⋅ t ⋅ Φ(− z )

σ2 2

4.8. Weibull eloszlás Weibull az anyagfáradással kapcsolatos meghibásodások gyakoriságának modellezésére hatványfüggvényt vezetett be, ami egy univerzálisan, a kádgörbe mindhárom szakaszában alkalmazható eloszláshoz vezetett. Az eloszlásfüggvényt három paraméter határozza meg: a helyzetparaméter (γ), az alakparaméter (β) és a skálaparaméter (η). Az η paramétert mértékparaméternek vagy karakterisztikus élettartamnak is szokták nevezni. Ha γ=0, akkor t=η esetben a túlélési valószínőség 37%. A helyzetparaméter adja meg a meghibásodások megkezdıdésének idıpontját. Ha a meghibásodások már kezdetben is felléphetnek, akkor γ=0. Amennyiben a helyzetparaméter értéke nagyobb nullánál, az azt jelenti, hogy csak γ idı eltelte után kezdıdnek a meghibásodások. Pl. dugaszos csatlakozókon fedıréteg megjelenése, korrózió. Az alakparaméter, vagy más néven Weibull kitevı adja meg, hogy milyen jellegő meghibásodásokkal találkozunk. Így a ß<1 a korai meghibásodások szakasza, a ß=1 a véletlen meghibásodások szakasza, és a ß>1 az elhasználódási meghibásodások szakasza. Általa válik alkalmassá az eloszlás a klasszikus kádgörbe mindhárom szakaszának modellezésére. A hibamentes mőködés valószínősége:


F(t ) = 1 − e

A meghibásodási sőrőségfüggvény: f (t ) = A meghibásodási ráta:


R (t ) = e

 t−γ   −   η 

 t −γ   −   η 

ha t>γ

β

β t − γ  ⋅ η  η 

β t − γ λ(t ) = ⋅   η  η 

β

β −1

⋅e

 t −γ   −  η 

β

β −1

 1 m = η ⋅ Γ 1 +  β 

Gamma függvény ß 1+1/ß Γ ∞ x −1 −z 0,5 3 2 Ahol a gamma függvény: Γ( x ) = ∫ z ⋅ e ⋅ dz . Értékeit szakkönyvek 1 2 1 0 táblázataiból olvashatjuk ki. 2 1,5 0,8862

19


4. Megbízhatósági vizsgálatok és azok tervezése A megbízhatósági vizsgálatokat adott ideig, adott igénybevételi feltételek között végzik a termékeken (a sokaságból kiválasztott mintán), hogy adatokat kapjanak a terméktípus megbízhatóságáról. Az igénybevétel elıtt és után (a legtöbb esetben az igénybevétel alatt is, meghatározott idıpontokban) mérik a termék mőködésére legjellemzıbb paramétereket, és ezek alapján állapítják meg, hogy a termék mőködése során mőködıképes maradt-e vagy sem. Ezekbıl az adatokból meghatározható a termék megbízhatóságának mérıszáma (lásd: 2. és 3. táblázatok)

4.1. A megbízhatósági vizsgálatok osztályozása A megbízhatósági vizsgálatok több szempontból osztályozhatók: • • •

vizsgálat célja, vizsgálat helye, vizsgálat igénybevételi körülményei.

4.1.1. Osztályozás a vizsgálat célja szerint A vizsgálat célja szerint megkülönböztetünk • •

meghatározó ellenırzı vizsgálatokat.

A meghatározó vizsgálatokat azzal a céllal végzik, hogy meghatározzák a termék megbízhatósági mutatóját. Ezt a vizsgálattípust rendszerint új terméktípus gyártásának megindítása elıtt vagy lényeges konstrukciós változtatások után végzik el a terméken, ekkor nem áll rendelkezésre elızetes információ a termék megbízhatóságáról. Az ellenırzı vizsgálatok célja, annak igazolása, hogy a termék megfelel az elızıleg már meghatározott megbízhatósági követelményeknek. Például az átlagos mőködési idı elıírt értéke 10.000 óra. Ezt az értéket kell vizsgálattal igazolni. Rendszerint meghatározott idıközönként végzik sorozatgyártásban levı termékeken, illetve akkor, ha az átadás-átvételi szerzıdésben ilyen jellegő követelményeket rögzítenek, és a termék szállításakor ezeket igazolni kell. 4.1.2. Osztályozás a vizsgálat és megfigyelés helye szerint Két fontosabb típus különböztethetı meg: • •

laboratóriumi vizsgálat üzemeltetési vizsgálat.

A laboratóriumi vizsgálatot elıírt és ellenırzött laboratóriumi feltételek között végzik. Elınyük, hogy a feltételek jól meghatározottak, és rendszerint közelítik az üzemeltetési feltételeket (de nem pontosan azonosak azokkal), a meghibásodások idıpontjai és okai jól meghatározhatók. Hátrányuk az, hogy a vizsgálati helyek száma korlátozott és a vizsgálati idıtartam sem lehet túlságosan hosszú (például több év). Ezért csak csekély termék-óra adatmennyiséget szolgáltatnak nagy megbízhatóságú termékek (átlagos mőködési idı 106 óránál nagyobb) statisztikailag megalapozott megbízhatósági mutatójának értékeléséhez. Az üzemeltetési vizsgálatokat helyszíni üzemeltetési feltételek között végzik. Elınyük, hogy nagy adatmennyiséget szolgáltatnak a megbízhatósági mérıszám értékeléséhez (például egy számítógép típus felhasználói nagy számú berendezést üzemeltetnek), és az adatok a valódi

20

4. Megbízhatósági vizsgálatok és azok tervezése üzemeltetési körülményekre vonatkoznak. Hátrányuk az, hogy a meghibásodási idıpontok és a meghibásodások okai nem minden esetben határozhatók meg kellı pontossággal. 4.1.3. Osztályozás az igénybevételi körülmények szerint Az igénybevétel szintje szerint megkülönböztetünk: • • •

névleges vizsgálatokat, gyorsított vizsgálatokat és szőrıvizsgálatokat.

A névleges vizsgálatot a termék referencia feltételeiben meghatározott körülmények között végzik. Ezek rendszerint a szokásos üzemeltetési feltételekre vonatkoznak. Például egy elektronikai alkatrészt (ellenállást) 40°C hımérsékleten és névleges villamos terhelés mellett vizsgálnak. Ez a vizsgálat azonban csak nagyon hosszú idı után eredményez meghibásodásokat és statisztikailag megalapozottan értékelhetı mutatókat nagy megbízhatóságú termékek esetében. A gyorsított vizsgálatokat olyan igénybevételi feltételek között végzik, amelyek szigorúbbak a névleges vizsgálat körülményeinél, és ezért a meghibásodások is rövidebb idı alatt következnek be. Így a vizsgálati idı is lerövidül. Alapvetı követelmény, hogy a meghibásodási mechanizmusok a névleges és gyorsított vizsgálatok során azonosak legyenek, mivel az eredmények csak így hasonlíthatók össze. A gyorsított vizsgálatoknak két fajtája van: •

állandó igénybevétel melletti gyorsítás: az igénybevételi feltételek a vizsgálatok során nem változnak, például az ellenállásokat 100 °C környezeti hımérsékleten és 1,5-szeres névleges villamos terhelés mellett vizsgálják 1000 óráig;

•

lépcsıs igénybevétel melletti gyorsítás: az igénybevételi szinteket lépcsızetesen emelik a névleges vizsgálati szintekrıl a maximális gyorsítási szintre, például az ellenállásokat az elsı idıszakban 40 °C-on vizsgálják névleges villamos terheléssel, majd 200 óránként egyenletesen növelik a hımérsékletet és 10%-kal a villamos terhelést, amíg a maximális hımérsékletet (jelen esetben 100 °C) és villamos terhelést (a névleges terhelés 150%-a) el nem érik.

A szőrıvizsgálatok célja az, hogy a potenciálisan hibás, illetve a korai meghibásodásokra hajlamos termékeket eltávolítsa a vizsgált tételbıl. A szőrıvizsgálat eltérıen a korábbi vizsgálati típusoktól nem mintavételes vizsgálat, hanem a tétel mindendarabos vizsgálata. Ezen túlmenıen roncsolás-mentes vizsgálat, azaz a szőrıvizsgálat a jó (megbízható) termékek megbízhatóságát nem csökkentheti, hogy azok felhasználhatók (azaz eladhatók) legyenek a késıbbiekben is. Általában, a kész-termékeken végzik, de egyes esetekben gyártásközi vizsgálatként is alkalmazzák a mikroelektronikában. A szőrıvizsgálatok példájaként említhetı meg a TVkészülékek elıégetése, valamint a gépkocsik próbajáratása. A fentiekben felsorolt vizsgálatok rendszerint a hibamentesség mérıszámainak (mutatóinak) meghatározására és ellenırzésére irányulnak.

4.2. A vizsgálatok tervezése A megbízhatósági vizsgálatok tervezésének mőszaki és matematikai szempontjai vannak.

21

Megbízhatósági alapfogalmak 4.2.1. Mőszaki kérdések A termék konstrukciójától és mőszaki paramétereitıl függıen kell meghatározni a következıket: •

A mérni kívánt mőszaki paramétereket: Ennek során meg kell határozni, hogy a termék mőködését (és így meghibásodását is) befolyásoló paraméterek közül melyek a legfontosabbak. Ezeket kell mérni a vizsgálat elıtt, alatt és után. Ezeknek a mérési eredményeknek alapján lehet a terméket mőködıképesnek vagy hibásnak minısíteni. Például egy ellenállás esetében elegendı az ellenállásérték mérése a mőködıképes állapot megítéléséhez. Egy gépkocsi esetében már jóval több paraméter mérése szükséges (végsebesség, gyorsulás, féktávolság, üzemanyag-fogyasztás, stb.).

•

Meghibásodási kritériumokat a mérni kívánt paraméterekre: Az egyes paraméterekre tőréstartományt kell megadni, amelynek túllépése a termék meghibásodását jelenti. A tőréshatárok (vagy tőréshatár) a meghibásodási kritériumok. Például az ellenállás vizsgálat kezdetén mért ellenállás értékéhez képest csak ±10%-ot változhat a vizsgálat során. A gépkocsi elıírt végsebessége 140 km/óra. A gépkocsit akkor minısítjük még mőködıképesnek, ha a végsebesség nem csökken 130 km/óra alá.

•

A vizsgálat igénybevételi feltételeit: Meg kell állapítani a vizsgálat igénybevételi feltételeit (hımérséklet, légnedvesség, villamos igénybevétel, mechanikai igénybevétel stb.).

•

A vizsgáló berendezések.

4.2.2. Matematikai kérdések A matematikai szempontok már nem termékfüggık, hanem általánosak. A tervezési lépések a következık: •

A termék mőködési idı elosztásának meghatározása. Ez az esetek nagy részében azt jelenti, hogy a vizsgálati terv meghatározásához valamilyen jól ismert eloszlást használunk fel. Rendszerint az exponenciális vagy a Weibull-eloszlást alkalmazzuk.

•

A terméket jellemzı megbízhatósági mérıszám (mutató) és a mérıszámra elıírt érték meghatározása. Például a vizsgálat során az átlagos meghibásodási idıt kívánjuk értékelni, és ennek elıírt értéke 10000 óra.

•

A megbízhatósági mérıszám meghatározásával kapcsolatos kockázat (kockázatok) meghatározása. Ez rendszerint a szállító (gyártó) és a vevı (felhasználó) átadási és átvételi kockázatát jelöli (értékük 0,1 rendszerint), amely megadja, hogy milyen valószínőséggel minısítjük a jó tételt rossznak, a rossz tételt pedig jónak (a tévedések kockázatai).

Az elızı tényezık ismeretében megszerkeszthetı a vizsgálati terv, amely a következı utasításokat tartalmazza: •

a vizsgálandó minta nagysága;

•

a vizsgálat elvégzésének módja (a vizsgálat során meghibásodott termékeket újakkal helyettesítjük vagy sem);

•

a vizsgálat befejezésének módja; a vizsgálat befejezésére a következı elıírásokat szokták leggyakrabban megadni: o elıírt idıtartamú vizsgálat, amelynek során a vizsgálatok elıírt ideig (például 10000 óráig) végzik, és a megfigyelt meghibásodások száma alapján értékelik a termék megbízhatóságát

22

5. A megbízhatóság tervezési és elemzési módszerei o elıírt meghibásodási számig tartó vizsgálat, ez esetben az értékelést a termékeken megfigyelt mőködési idık összege alapján végzik; o szekvenciális vizsgálat, amely során meghatározott idıpontokban döntenek vagy a vizsgálat folytatásáról, vagy a vizsgálat befejezésérıl.

1

2

n

R1

R2

Rn

R=R1 R2 Rn R1=0,9 R2=0,8 R3=0,85 R=0,9 0,8 0,85=0,61

13. ábra Soros rendszer Tömeggyártású termékek esetén általában az elıírt idıtartamú vizsgálatot alkalmazzák.

5. A megbízhatóság tervezési és elemzési módszerei A megbízhatósági mérıszámok meghatározása és igazolása bonyolult rendszerek esetében hosszú vizsgálati idıt és viszonylag nagy mintadarabszámot követel meg. Ez nagyon költséges és mőszakilag is csak nehezen valósítható meg. Ezért a rendszerek megbízhatóságának biztosítását már a tervezés és fejlesztés szakaszában meg kell valósítani. Erre szolgálnak a megbízhatóság tervezési és elemzési módszerei. Ezek segítségével a rendszert részeire bontják fel, és az alkotórészek megbízhatósági adataiból számítják ki a rendszer megbízhatóságát konstrukciójának kialakítása során, amelyek már biztosítják a megbízhatósági követelmények teljesítését. A megbízhatóság elemzési módszereivel a [4], [5] és [6] publikációk foglalkoznak részletesen. A segédletben csak áttekintést kívánunk adni a módszerek alkalmazásának céljáról, menetérıl, valamint a legfontosabb eljárásokat foglaljuk össze.

5.1. A megbízhatóság-elemzési módszerek alkalmazásának célja és általános menete Az elemzési eljárások célja az, hogy meghatározzák a rendszer (például repülıgép, gépkocsi, számítógép, TV-készülék) megbízhatósági mérıszámait alkotórészeinek megbízhatósági adataiból, és az elemzés eredményét összehasonlítsák az elıírt követelményekkel. A megbízhatóság-elemzés általános eljárásának menetét a következı lépésekben foglaljuk össze: A. A rendszer mőködési leírása: Meg kell határozni a rendszert, üzemeltetési módjait, környezeti és igénybevételi feltételeit, a rendszer egyes elemei közötti funkcionális kapcsolatokat. B. A hibakritériumok meghatározása: Meg kell állapítani, hogy a rendszert mikor tekintjük hibásnak, és ennek megfelelıen meg kell határozni a rendszer mőködését jellemzı mőszaki paraméterekre a hibakritériumokat. C. A követelmények kiosztása: Az elızetes tervezés alapján a megbízhatósági mérıszámokat ki kell osztani a rendszer egyes részei között. Például a rendszer még megengedett meghibásodási ráta értékét arányosan kiosztjuk az egyes részegységek között. D. A rendszerelemzés elvégzése: Kétféle lehetıség van: o Kvalitatív elemzés: Számszerő értéket nem határozunk meg, de elemezzük a rendszer és az alkotóelemek meghibásodási lehetıségeit és mechanizmusait, a meghibásodások hatásait és következményeit. A kvalitatív elemzés során elemezni kell a rendszer

23

Megbízhatósági alapfogalmak funkcionális struktúráját is, valamint meg kell határozni a rendszer megbízhatósági modelljét és lehetséges karbantartási és javítási stratégiáit. o Számszerő (kvantitatív) elemzés (analitikus módszerekkel vagy szimulációval): Meghatározzuk a rendszer megbízhatósági mérıszámait (például a meghibásodási rátát vagy a használhatósági tényezıt). Kiértékeljük, hogy milyen mértékben javul a rendszer megbízhatósága a tartalékolási módszerek és a karbantartási stratégiák alkalmazásával. E. Az eredmények felhasználása a tervezés során: Elıször azt állapítjuk meg, hogy teljesülnek-e a követelmények az eredmények és a követelmények összehasonlítása alapján. Ezt követıen összevetjük a különbözı konstrukciós változatok esetében kapott megbízhatósági mérıszámokat, és a legjobb változatot választjuk ki gyártásra. A további tevékenységek a következı területekre terjedhetnek ki: o A rendszer konstrukciójának felülvizsgálata, a gyenge pontok meghatározása, a veszélyes hibalehetıségek feltárása. o A megbízhatóság javítására szolgáló eljárások kidolgozása (tartalékolási módszerek, hibafelkutatási eljárások javítási módszerek stb. kidolgozása) o Gazdaságossági vizsgálatok elvégzése és a konstrukciós változatok költségeinek összehasonlítása.

1 F1 2 F2 n

5.2. Az egyes megbízhatóság-elemzési módszerek vázlatos ismertetése

Fn

Hibalehetıség és hibahatás elemzés (FMEA = Failure F=F1 F2 Fn Mode and Effects Analysis). A minıségtechnikák között F1=0,9 F2=0,8 F3=0,85 gyakorta alkalmazott módszer. Különösen biztonságtech- F=0,9 0,8 0,85=0,61 nikai szempontból fontos rendszerek esetében (például 14. ábra Párhuzamos rendszer atomerımővek, repülıgépek esetében) alkalmazzák a megbízhatósági gyakorlatban. A módszert akkor célszerő használni, ha azt vizsgáljuk, hogy az alkatrészek és részegységek hibái milyen hatással vannak a rendszer mőködıképességére. Ha a hibák következményeinek súlyosságát és elıfordulási valószínőségeiket együttesen értékelik, akkor az ún. kockázati tényezı számértékét határozzák meg (FMECA = Failure Mode, Effects and Criticality Analysis). Ennek ismeretében állapítják meg a legkritikusabb hibamódokat. Hibafaelemzés (FTA = Fault Tree Analysis). Az elemzés során fıeseménynek tekintik a rendszer hibaállapotát. Ezt követıen – lefelé bontva a rendszert – meghatározzák, hogy milyen alacsonyabb rendszerszinten bekövetkezett hiba okozta a rendszer hibáját. Ez a lebontás addig tart, amíg a tovább már nem bontható alkatrészszintig jutunk, ezt nevezzük elemi eseménynek. Az elemzés eredményeit hibafán ábrázoljuk. Megbízhatósági (tömb) diagram. Az elemzés során a rendszer sikeres mőködését olyan tömbökkel írjuk le, amelyek együttes mőködése szükséges a rendszer mőködéséhez. A 13. és 14. ábrán látható a két legegyszerőbb megbízhatósági tömbdiagram. Az egyes részegységeket itt téglalapok (tömbök) jellemzik, amelyek vagy soros-kapcsolásúak (soros rendszer), vagy párhuzamos kapcsolásúak (párhuzamos rendszer) megbízhatósági szempontból. A soros kapcsolású rendszer akkor hibásodik meg, ha egyetlen eleme meghibásodik (a leggyengébb láncszem elmélete). Ez azt jelenti, hogy a soros rendszer hibamentes mőködési valószínőségét (R)

24

6.

Megbízhatósági számítások során használt eloszlásfüggvények

úgy kell kiszámítani, Megbízhatósági mutahogy részegységei tó kiválasztása R1, R2 …, Rn hibamentes valószínőséAlkatrész geit összeszorozzuk. Berendezés mőszaki M. diagram Soros rendszer eseleírása, üzemeltetési Részegység tében a meghibásofeltételei Hibafa dási ráták összeadódnak. Minél több Berendezés eleme van a rendszernek, annál megJellemzık bízhatatlanabb. Párhuzamos rendszer Megbízhatósági moKépletek esetében a rendszer dell csak akkor hibásodik meg, ha a rendszer Közelítések összes eleme meghiJellemzık básodik. Ez a tartalékolás (megbízhatóBerendezés mőszaki Számítás Képletek ság-növelés) egyik leírása, üzemeltetési legegyszerőbb módfeltételei ja. A párhuzamos Szimuláció Közelítések rendszer meghibásodási valószínősége 15. ábra Berendezés megbízhatóságának elıre jelzése (F) részegységei F1, F2,… Fn meghibásodási valószínőségeinek szorzatával egyenlı. Ez a meghibásodási valószínőség csökken a részegységek (elemek) számának növelésével, így az R=1-F hibamentes mőködési valószínőség növekszik. Megbízhatóság elırejelzési módszere. A megbízhatóság-elırejelzés általános menetét a 15. ábra szemlélteti. Ennek alapján kell meghatározni a többi elemzési módszerhez hasonlóan a berendezés mőszaki leírását, megbízhatósági diagramját (a megbízhatósági modellt), majd rendszerint a soros rendszer matematikai modelljét. A számítást rendszerint úgy végzik el, hogy összeadják a rendszert alkotó alkatrészek meghibásodási rátáját, és így kapják a rendszer elıre jelzett meghibásodási ráta értékét. Például az egyszerősített példában álljon a rendszer három alkatrészbıl 10-6/óra, 10-5/óra és 5 x 10-6/óra meghibásodási rátákkal, ekkor a rendszer meghibásodási rátája = 10-6 + 10-5 + 5 x 10-6 = 1,6 x 10-5/óra.

6. Megbízhatósági számítások során használt eloszlásfüggvények 6.1. Binomiális eloszlás Az eloszlásfüggvény értéke megadja annak a valószínőségét, hogy n azonos kísérletben x „sikeres” eredményt érjünk el amennyiben minden egyes kísérletnél a „siker” valószínősége p. n n− x P( x ) =   ⋅ p x ⋅ (1 − p )  x

25

Megbízhatósági alapfogalmak A várható érték: µ = n ⋅ p

A szórás: σ = n ⋅ p ⋅ (1 − p )

6.2. Poisson eloszlás A binomiális eloszlásból származtatható, amennyiben n értéke nagyon nagy (n→∞) és egy kísérlet sikerének valószínősége nagyon kicsi (p→0). Gyakorlati szabály: ha p≤0,05 és n≥20, akkor a Poisson eloszlás jól alkalmazható a binomiális eloszlás megközelítésére. Az eloszlásfüggvény értéke: P( x ) = A várható érték: µ = n ⋅ p

e−µ ⋅ µ x x!

6.3. Mintavételezési eloszlás Egy populáció jellemzıire vonatkozóan többszöri mintavétel eltérı becsléseket adhat, ezért az átlag, a szórás és a hibaarány maguk is valószínőségi változók, amelyek saját várható értékkel és szórással rendelkeznek. Ha n darabú mintákat veszünk egy N darabú, µ átlagos értékkel és σ szórással rendelkezı populációból, akkor a minta átlagának értéke egy µ várható értékkel és σx szórással rendelkezı normál eloszlással modellezhetı, amennyiben a minta darabszáma n>30, vagy ha tudjuk, hogy a teljes populáció normál eloszlású. A minta átlagának szórása: n σ σx = végtelen nagyságú populáció esetén (ha ≤ 0,05 ) N n

σx =

N −n σ ⋅ N −1 n

véges populáció esetén (ha

n > 0,05 ) N

8. Nem felújítható elemekbıl álló rendszerek megbízhatósága Az olyan terméket nevezzük rendszernek, amelynek megbízhatóságát részeinek megbízhatóságából kiindulva határozzuk meg. Ezeket a részeket elemeknek nevezzük. A meghibásodás szempontjából a rendszereket két csoportba osztjuk: • Független elemekbıl felépülı rendszer: egy elem meghibásodása nem befolyásolja más elemek meghibásodását. • Nem független elemekbıl felépülı rendszer: egy elem meghibásodása befolyásolhatja más elem hibamentes mőködési valószínőségét.

8.1. Független elemekbıl álló rendszer 8.1.1. Soros kapcsolású rendszer 1

2

3

n n


R (t ) = R1 (t ) ⋅ R2 (t ) ⋅ R3 (t ) ⋅ ⋅ ⋅ Rn (t ) = ∏ Ri (t ) i =1


26

F(t ) = 1 − R(t )

8.

Nem felújítható elemekbıl álló rendszerek megbízhatósága


λ (t ) =


dF(t ) dt

f (t ) R (t )

∞


m = ∫ R(t ) ⋅ dt 0

8.1.2. Párhuzamos kapcsolású rendszer n


F (t ) = F1 (t ) ⋅ F2 (t ) ⋅ F3 (t ) ⋅ ⋅ ⋅ Fn (t ) = ∏ Fi (t ) i =1

1 2 3

A hibamentes mőködés valószínősége: A meghibásodási sőrőségfüggvény: f (t ) =

λ (t ) =


R(t ) = 1 − F(t ) dF(t ) dt

f (t ) R (t )

∞

n


m = ∫ R(t ) ⋅ dt 0

8.1.3. Bonyolult rendszer Azokat a rendszereket tekintjük bonyolultnak, amelyeknek a hibamentes mőködési valószínősége vagy meghibásodási valószínősége nem számítható ki sorosan vagy párhuzamosan kapcsolt elemcsoportok megbízhatósági jellemzıinek kombinációjával. Ezen rendszereknél két módszer közül választhatunk: • a teljes valószínőség tételének alkalmazása • a Boole-féle igazságtáblázat alkalmazása A két módszert egy feladat megoldásán keresztül tekintjük át. Egy kétmotoros repülıgép hajtómővének üzemanyag-ellátása látható az ábrán. A betőjelek jelentése: B1 C1 A a két hajtómő közös üzemanyag-ellátója B1 bal oldali hajtómő üzemanyag ellátója A B2 jobb oldali hajtómő üzemanyag ellátója C1 bal oldali hajtómő B2 C2 C2 bal oldali hajtómő A rendszer akkor van hiba állapotban, ha egyik motor se A B1 B2 C1 C2 mőködik. Ez az eset akkor áll elı, ha a motorok nem kapnak R 0,95 0,80 0,80 0,92 0,92 üzemanyagot vagy/és mindkét hajtómő elromlik. Ismerve az F 0,05 0,20 0,20 0,08 0,08 egyes elemek megbízhatósági jellemzıit (táblázat) meg kell határoznunk a teljes rendszer hibamentes mőködésének valószínőségét.

3.1.3.1. A teljes valószínőség tételének alkalmazása Úgy egyszerősítjük a rendszert, hogy kiemelünk egy elemet, és megvizsgáljuk a maradék rendszer mőködési feltételes valószínőségeit. RS = P(SS ) = P(SS| X ) ⋅ P( X ) + P(SS |x ) ⋅ P( X ) , ahol P(SS )

a rendszer hibamentes mőködési valószínősége (System Success)

P( X )

az X elem hibamentes mőködési valószínősége

27

Megbízhatósági alapfogalmak P( SS | X )

P( X ) P(SS | X )

a rendszer hibamentes mőködési valószínősége, ha tudjuk, hogy az X elem biztosan mőködik az X elem meghibásodási valószínősége a rendszer hibamentes mőködési valószínősége, ha tudjuk,

hogy az X elem biztosan nem mőködik Mivel az A elem akadályozza, hogy a rendszerünket soros és párhuzamos kapcsolású elemek részrendszereire bontsuk, ezért ezt az elemet emeljük ki. Ha az A elem hibás, rendszerünk megbízhatósági diagramja a mellékelt alsó ábrán látható módon egyszerősödik. Ekkor P(SS | A ) = 1 − (1 − RB1 ⋅ RC1 ) ⋅ (1 − RB 2 ⋅ RC 2 ) =

C1

C2

B1

C1

B2

C2

RB1 ⋅ RC1 + RB 2 ⋅ RC 2 − RB1 ⋅ RC1 ⋅ RB 2 ⋅ RC 2 Ha az A elem mőködik, a B elemek mőködési valószínősége nem számít. Rendszerünk megbízhatósági diagramja a mellékelt ábrán látható módon egyszerősödik. Ekkor P(SS | A ) = 1 − (1 − RC1 ) ⋅ (1 − RC 2 ) = RC1 + RC 2 − RC1 ⋅ RC 2 A rendszer hibamentes mőködési valószínősége: RS = P( SS | A ) ⋅ P( A ) + P(SS | A ) ⋅ P( A ) = (RC1 + RC 2 − RC1 ⋅ RC 2 ) ⋅ RA + (RB1 ⋅ RC1 + RB 2 ⋅ RC 2 − RB1 ⋅ RC1 ⋅ RB 2 ⋅ RC 2 ) ⋅ FA Behelyettesítve a táblázatban szereplı értékeket a következı eredményt kapjuk: RS= 0,9904

3.1.3.2. A Boole-féle igazságtáblázat alkalmazása Minden elem minden lehetséges állapotának összes változatát felírjuk egy táblázatban, és az utolsó oszlopban jelöljük a rendszer mőködı (1) vagy nem mőködı (0) állapotát. Kétállapotú elemeket feltételezve a táblázat sorainak száma 2n , ahol n az elemek száma. Kigyőjtjük azokat a sorokat, ahol a rendszer mőködı állapotban volt, soronként a táblázatban szereplı 0-knak és 1-eseknek megfelelıen összeszorozzuk a megfelelı F és R értékeket. Például a 10. esetben (10010) a szorzatot a következı képlettel számítjuk RA*FB1*FB2*RC1*FC2=0,95*0,2*0,2*0,92*0,08=0,0027968. A szorzatokat összege adja meg a rendszer hibamentes mőködési valószínőségét. Feladatunkban n=5 elemmel rendelkezik a rendszer, így 32 esetet kell megvizsgálnunk. az értékelés eredményeképpen úgy találjuk, hogy 19 esetben mőködik a rendszer. Eset A B1 B2 C1 C2 Mőködés Szorzat 1 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 3 0 1 0 0 0 0 0 4 1 1 0 0 0 0 0 5 0 0 1 0 0 0 0 6 1 0 1 0 0 0 0 7 0 1 1 0 0 0 0 8 1 1 1 0 0 0 0 9 0 0 0 1 0 0 0 10 1 0 0 1 0 1 0,0027968 11 0 1 0 1 0 1 0,0005888 12 1 1 0 1 0 1 0,0111872 13 0 0 1 1 0 0 0

28

9. Markov láncok Eset 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

A 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

B1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

B2 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

C1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

C2 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Mőködés Szorzat 1 0,0111872 1 0,0023552 1 0,0447488 0 0 1 0,0027968 0 0 1 0,0111872 1 0,0005888 1 0,0111872 1 0,0023552 1 0,0447488 0 0 1 0,0321632 1 0,0067712 1 0,1286528 1 0,0067712 1 0,1286528 1 0,0270848 1 0,5146112 Összeg 0,9904352

8.2. Nem független elemekbıl álló rendszer A válóságban amennyiben több párhuzamos elem közül egy meghibásodik, akkor megnı a többiek terhelése, és így megváltozhatnak megbízhatósági paramétereik. Az elemek közötti feltételes valószínőségek meghatározása kísérleti úton nagy ráfordítást igényel, ezért nem gazdaságos. A gyakorlatban ilyen esetekben azt a megoldást alkalmazzák, hogy a rendszert olyan részekre osztják, amelyek függetlennek tekinthetık, és a számításokban ezek lesznek az elemek. Ezen részrendszerek hibamentes mőködési valószínőségének kísérleti úton történı meghatározása kisebb költséggel jár.

9. Markov láncok Az eddigiekben úgy az elemek, mint a rendszerek vizsgálatánál abból indultunk ki, hogy ezek két lehetséges állapottal rendelkeznek: egy mőködıképes és egy hibaállapottal. A gyakorlatban azonban többállapotú elemek és rendszerek is elıfordulnak. Ezek vizsgálatához és lehetséges állapotaik elırejelzéséhez nyújtnak segítséget a Markov láncok. Tegyük fel, hogy egy rendszer lehetséges állapotai: A1, A2, …, Ai, …, An Meghatározott idıközönként vagy bizonyos kísérletek végrehajtása után megvizsgáljuk a rendszer állapotát. Ekkor annak a valószínőségét, hogy a rendszer a k-ik vizsgálatnál az i-ik állapotában lesz egy valószínőségi változóval tudjuk kifejezni, amit X (k , i ) -val jelöljük, ahol X (k , i ) = P( x k = i ) = P(k , Ai ) A rendszer állapota függ az elızı vizsgálatoknál észlelet állapotoktól. Amennyiben a rendszer állapota csak a közvetlenül megelızı állapottól függ, az egyes állapotok megjelenéséhez kap-

29

Megbízhatósági alapfogalmak csolódó valószínőségi változók sorozata egy Markov láncot alkot. A lánc tagjait állapothatározóknak nevezzük. Ekkor a teljes valószínőség tételét alkalmazva az alábbi képletet kapjuk: X (k , i ) = P( x k = i ) = P( x k = i | x k −1 = 1) ⋅ P( x k −1 = 1) + P(x k = i | x k −1 = 2 ) ⋅ P( x k −1 = 2 ) + ... +

P( x k = i | x k −1 = i ) ⋅ P( x k −1 = i ) + ... + P( x k = i | x k −1 = n ) ⋅ P( x k −1 = n ) Amennyiben a fenti képletben szereplı feltételes (átmeneti) valószínőségek értéke nem függ a k értékétıl, a valószínőségi változók egy homogén (stacionárius) Markov láncot alkotnak. Az átmeneti valószínőségeket ilyenkor egyszerősített módon pji alakban írjuk le, ahol p ji = P ( x k = i | x k −1 = j ) azt fejezi ki, hogy ha az elızı vizsgálatkor a rendszer állapota Aj volt, akkor mekkora annak a valószínősége, hogy a jelenlegi (k-ik) vizsgálatnál a rendszer állapota Ai lesz. X (k , i ) = P ( x k = i ) = p1i ⋅ P( x k −1 = 1) + p 2i ⋅ P ( x k −1 = 2 ) + ... + p ii ⋅ P ( x k −1 = i ) + ... + p ni ⋅ P( x k −1 = n ) A pji átmeneti valószínőségeket a sztochasztikus mátrix segítségével adjuk meg. A mátrix minden sorának összege 1-et kell eredményezzen.  p11 p12 ... p1i ... p1n  p   21 p 22 ... p 2i ... p 2 n   ... ... ... ... ... ...  Π=   p i1 pi 2 ... p ii ... pin   ... ... ... ... ... ...     p n1 p n 2 ... p ni ... p nn  Minden Markov lánc egyértelmően meghatározott, ha ismerjük a kezdeti eloszlást (k=0) és a sztochasztikus mátrixot (Π). A fenti képletek alkalmazását és a Markov láncok grafikus jelölését egy feladat megoldásán keresztül ismertetjük. Egy kétállapotú (A1, A2) rendszert p21 felügyelünk. A rendszer állapotát p11 p22 1 2 óránként vizsgáljuk meg. A tapaszp12 talatok szerint p12=0,3 és p21=0,2. Annak a valószínősége, hogy a rendszer kezdetben az 1-es állapotban van 0,9. Mekkora a valószínősége annak, hogy két óra múlva a rendszer az 1-es állapotban lesz? Az adatok ismeretében felállítjuk a sztochasztikus mátrixot: 0,7 0,3 Π=  0,2 0,8 A Markov lánc ábrázolása a jobb oldali rajzon látható. A kezdeti eloszlás: P ( x0 = 1) = 0,9 P ( x0 = 2 ) = 0,1 Annak a valószínősége, hogy két óra múlva a rendszer az 1-es állapotban lesz: X (2,1) = P( x 2 = 1) = p11 ⋅ P( x1 = 1) + p 21 ⋅ P( x1 = 2 ) P( x1 = 1) = p11 ⋅ P ( x 0 = 1) + p 21 ⋅ P( x 0 = 2 )

P ( x1 = 2 ) = p12 ⋅ P ( x 0 = 1) + p 22 ⋅ P ( x 0 = 2 ) P ( x 2 = 1) = p11 ⋅ ( p11 ⋅ P ( x0 = 1) + p 21 ⋅ P( x0 = 2 )) + p 21 ⋅ ( p12 ⋅ P ( x0 = 1) + p 22 ⋅ P ( x0 = 2 )) P( x2 = 1) = 0,7 ⋅ (0,7 ⋅ 0,9 + 0,2 ⋅ 0,1) + 0,2 ⋅ (0,3 ⋅ 0,9 + 0,8 ⋅ 0,1) = 0,525 Bonyolultabb esetekben mátrixszorzási mőveletekkel határozhatjuk meg az egyes állapotokhoz kapcsolódó valószínőségeket. A módszert az ábrán látható négyállapotú (A..D) rendszer példáján keresztül mutatjuk be. Az átmeneti valószínőségeket leíró sztochasztikus mátrix a következı:

30

9. Markov láncok

pAA

pBA

pBB

A

B pAB

pAD

pDA

pBC

pCB

pCD D pDD

C pDC

pcc

A

kezdeti eloszlás: A B C D P0A=0,2; 0,1 0,5 0,2 0,2 A P0B=0,4; Π= 0,2 0,1 0,1 0,6 B P0C=0,3 és 0,1 0,150,20,55C P0D=0,1. A 0,05 0,5 0,30,15D feladat az, hogy határozzuk meg az egyes állapotok bekövetkezési valószínőségeit 1, 2, …, 10 óra múlva. A számítások

eredményeit az alábbi táblázat tartalmazza. A táblázat 1-tıl 10-ig terjedı soraiban szereplı valószínőségeket úgy határozzuk meg, hogy mindig az elızı sor négy eleme és a fenti táblázat megfelelı oszlopának négy eleme között hajtunk végre egy mátrixszorzási mőveletet. Például ha azt a kérdést szeretnénk megválaszolni, hogy mi a valószínősége annak, hogy egy óra múlva a rendszer az A állapotban lesz, akkor a P( x1 = A) = P ( x 0 = A) ⋅ p AA + P (x 0 = B ) ⋅ p BA + P (x 0 = C ) ⋅ p CA + P ( x 0 = D ) ⋅ p DA képletbıl kiindulva: P( x1 = A) = 0,2 ⋅ 0,1 + 0,4 ⋅ 0,2 + 0,3 ⋅ 0,1 + 0,1 ⋅ 0,05 = 0,135 Állapot elıfordulási valószínősége Vizsgálat A B C D 0 0,2 0,4 0,3 0,1 1 0,135 0,235 0,17 0,46 2 0,1005 0,3465 0,2225 0,3305 3 0,118125 0,283525 0,1984 0,39995 4 0,108355 0,31715 0,211643 0,362853 5 0,113572 0,299065 0,20457 0,382792 6 0,110767 0,308774 0,208373 0,372086 7 0,112273 0,30356 0,206331 0,377836 8 0,111464 0,30636 0,207428 0,374748 9 0,111899 0,304856 0,206839 0,376406 10 0,111665 0,305664 0,207155 0,375516

31


Ajánlott irodalom [1] MSZ IEC 50(191):

Nemzetközi elektrotechnikai szótár 191. kötet: Megbízhatóság és a szolgáltatás minısége, 1993.

[2] Dr. Balogh Albert:

Az új megbízhatósági terminológia, Minıség és Megbízhatóság, 1993/2. és 3. szám.

[3] Balogh-Dukáti-Sallai:

Minıségellenırzés és Megbízhatóság, Mőszaki Könyvkiadó, Bp. 1980.


Megbízhatóság-elemzési eljárások, Minıség és megbízhatóság, 1993/4. szám.


Megbízhatósági diagram – a megbízhatóság-elemzés egyik módszere, Minıség és Megbízhatóság, 1993/5-6szám.


Hibafa-analízis, Minıség és Megbízhatóság, 1994/5-6. szám.

[7] Johanyák Zs. Cs.:

Hibafaelemzés a hibátlan tervezés érdekében, A Gépipari és Automatizálási Mőszaki Fıiskola Közleményei, XIII. Évfolyam 1996-1997., Kecskemét, 1997, 39-46. old. Megbízhatóság Karbantartás, Veszprémi Egyetem, 1994. Megbízhatóság és biztonság a mőszaki gyakorlatban, Novadat Bt., Gyır, 1995. A megbízhatóság-elmélet matematikai módszerei, Mőszaki Könyvkiadó, Budapest, 1970. Megbízhatósági vizsgálatok, Kandó Kálmán Villamosipari Mőszaki Fıiskola, Budapest, 1989. KKVMF 1099

[8] Gaál Z.; Kovács Z.: [9] Héray Tibor: [10] Gnyegyenko, Beljajev, Szolovjev: [11] Lendvay Marianna

32

Kecskeméti Fıiskola GAMF Kar Informatika Tanszék. Johanyák Zsolt Csaba

Recommend Documents