jegyzetek

Determináns A determinánsok tulajdonságai Inverz mátrix Lineáris egyenletrendszerek

Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd

[email protected] siva.banki.hu/jegyzetek Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar 2015 december 7.

Filip Ferdinánd

2016 februar 9.

Lineáris algebra 2.

1 / 37



Az el®adás vázlata

Determináns

A determinánsok tulajdonságai

Inverz mátrix

Lineáris egyenletrendszerek

Filip Ferdinánd

2016 februar 9.


2 / 37



A négyzetes mátrix determinánsa egy szám, amit det A vagy |A|-val jelölünk. A

Fontos Csak a négyzetes mátrixoknak van determinánsa.

1 × 1 eset Legyen

A = (a1,1 ), ekkor det

Filip Ferdinánd

2016 februar 9.

A = a1,1


3 / 37



2 × 2 eset Legyen

A=

a1,1 a1,2 a2,1 a2,2 det

ekkor

A = a1,1 a2,2 − a1,2 a2,1

vagyis

Filip Ferdinánd

a1,1 a1,2 a2,1 a2,2

2016 februar 9.

= a1,1 a2,2 − a1,2 a2,1


4 / 37



3 × 3 eset (Sarrus-szabály )

a1,1 a1,2 a1,3 a1,1 a1,2 a2,1 a2,2 a2,3 a2,1 a2,2

=

a3,1 a3,2 a3,3 a3,1 a3,2 =a1,1 a2,2 a3,3 + a2,1 a3,2 a1,3 + a3,1 a1,2 a2,3 −

− a3,1 a3,2 a1,3 − a3,2 a2,3 a1,1 − a3,3 a2,1 a1,2

Filip Ferdinánd

2016 februar 9.


5 / 37



n × n eset, ahol n ≥ 2 a11 a21 a31 .. . an 1 ahol

Aij

az

aij

a12 a22 a32 . . .

an 2

··· ··· ··· ..

.

...

a1n a2n a3n

= ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 + · · · ain Ain . . . ann

elemhez tartozó el®jeles aldetermináns, aminek az

i -edik sorát és j -edik oszlopát elhagyjuk és a kapott (n − 1) × (n − 1)-es mátrix

értékét úgy kapjuk, hogy az eredeti mátrix

determinánsának értékét szorozzuk

Filip Ferdinánd

2016 februar 9.

(−1)i +j -vel.


6 / 37



n × n eset, ahol n ≥ 2 Az

aij

elemhez tartozó

Aij

el®jeles aldetermináns el®jelenek

megjegyzését megkönnyíti a

+ − + −

− + − +

+ − + −

− + − +

. . .

. . .

. . .

. . .

··· ··· ··· ··· ..

.

séma.

Filip Ferdinánd

2016 februar 9.


7 / 37



Determináns tulajdonságai:

A egy n × n-es mátrix. Az |A| determináns tetsz®leges sora, vagy oszlopa szerint

Legyen

kifejthet®. Az

A mátrix determinánsa egyenl® az A transzponáltjának

determinánsával:

|A| = |AT |

Megjegyzés: A determinánsra vonatkozó tulajdonságok mindegyike érvényes akkor is, ha azok megfogalmazásában a "

sor " és "oszlop"

szavakat helyettesítjük egymással. Ha az

A mátrix valamely sorának (oszlopának) minden eleme |A| = 0.

0, akkor

Filip Ferdinánd

2016 februar 9.


8 / 37



Determináns tulajdonságai: Ha az

A mátrixban a f®átló felett (vagy alatt) minden elem 0, |A| egyenl® a f®átlón lév® elemek szorzatával.

akkor a

a11

0

0

a22

0

0

0

a33

0

= a11 a22 a33

Ha a determinánsban két sort (oszlopot) felcserélünk, akkor az el®jele megváltozik.

Filip Ferdinánd

2016 februar 9.


9 / 37



Determináns tulajdonságai: Ha a determináns valamely sorának (oszlopának) minden

c 6= 0 számmal, akkor a determináns értéke c -szeresére változik. a11 a12 a13 1 ca11 ca12 ca13 a21 a22 a23 = a21 a22 a23 a a a c a a a

elemét szorozzuk

31

32

33

31

32

33

Ha a determinánsban van két egyforma sor (oszlop), akkor

|A| = 0.

Filip Ferdinánd

2016 februar 9.


10 / 37



Determináns tulajdonságai: A determináns tetsz®leges sorának (oszlopának) többszörösét hozzáadva a determináns tetsz®leges másik sorához (oszlopához), a determináns értéke nem változik.

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

=

a11 + ca31 a12 + ca32 a13 + ca33 a21 a22 a23 a31 a32 a33

Ha a determinánsban valamely sor (oszlop) többszöröse egy másik sornak (oszlopnak), akkor

|A · B | = |A|.|B |

Filip Ferdinánd

2016 februar 9.

|A| = 0.


11 / 37



Deníció:

A négyzetes mátrix inverzének azt az A−1 mátrixot nevezzük, −1 = I . Amennyiben ilyen A−1 mátrix létezik, akkor az A melyre AA Az

mátrixot

regulárisnak, ellenkez® esetben szingulárisnak nevezzük.

Tétel: Az

A négyzetes mátrix akkor és csakis akkor reguláris, ha |A| = 6 0.

Filip Ferdinánd

2016 februar 9.


12 / 37



Inverz mátrix meghatározása Adjungált mátrix Egy négyzetes mátrix

adjungáltjának nevezzük a mátrix el®jeles

aldeterminánsaiból alkotott mátrix transzponáltját. Tehát

    adj A =   

Filip Ferdinánd

A1,1 A1,2 A2,1 A2,2 A3,1 A3,2

··· ··· ···

An,1 An,2

···

. . .

. . .

A1,n A2,n A3,n . . .

2016 februar 9.

A n ,n

T



       =    

A1,1 A2,1 A1,2 A2,2 A1,3 A2,3

··· ··· ···

A1,n A2,n

···

. . .

. . .


An,1 An,2 An,3 . . .

A n ,n

      

13 / 37



Inverz mátrix meghatározása Könnyen belátható, hogy

   A · adj A = adj A · A =    

|A| 0 0 . . . 0

··· |A| 0 · · · 0 |A| · · · 0

0

. . .

. . .

0

0

···

0



0

     

0 . . .

| A|

Innét

A−1 =

Filip Ferdinánd

2016 februar 9.

1

| A|

adj A


14 / 37




Az

a11 x1 a21 x1

+ +

a12 x2 a22 x2

+ ··· + ···

+ +

a1n xn a2n xn

= =

b1 b2

am1 x1

+

am2 x2

+ ···

+

amn xn

=

bn

. . .

egyenletrendszert

m egyenletb®l álló n ismeretlenes lineáris

egyenletrendszernek nevezzük.

Filip Ferdinánd

2016 februar 9.


15 / 37




Az

a11 x1 a21 x1

+ +

a12 x2 a22 x2

+ ··· + ···

+ +

a1n xn a2n xn

= =

0

am1 x1

+

am2 x2

+ ···

+

amn xn

=

0

. . .

0

egyenletrendszert homogén lineáris egyenletrendszernek nevezzük, ha a jobboldalon szerepl® konstansok közül csak egy is különbözik 0-tól, akkor inhomogén lineáris egyenletrendszerr®l beszelünk. nevezzük

Filip Ferdinánd

2016 februar 9.


16 / 37



Lineáris egyenletrendszerek Konkrét megoldás A lineáris egyenletrendszer egy konkrét megoldásán egy olyan

x = (x1 , x2 , . . . , xn ) szám n-est értünk, amelyet behelyettesítve az egyenletrendszerbe, minden egyenl®ség teljesül. A homogén egyenletrendszereknek mindig van legalább egy konkrét megoldása, mégpedig a

x = (0, 0, . . . , 0) szám n-es.

Általános megoldás A lineáris egyenletrendszer általános megoldásán az összes konkrét megoldás megadását értjük (ha van egyáltalán megoldás)

Filip Ferdinánd

2016 februar 9.


17 / 37




Együtthatómátrix 

A=   

Filip Ferdinánd

a1,1 a1,2 a2,1 a2,2

··· ···

a m ,1 a m ,2

···

. . .

2016 februar 9.

. . .

a1,n a2,n . . .

a m ,n

    


18 / 37




Kib®vített mátrix    [ A, b ] =  

Filip Ferdinánd

a1,1 a1,2 a2,1 a2,2

··· ···

a m ,1 a m ,2

···

. . .

2016 februar 9.

. . .

a1,n b1 a2,n b2 . . .

. . .

am,n bm

    


19 / 37



Lineáris egyenletrendszerek Egyenletrendszer mátrix szorzásos alakja     

a1,1 a1,2 a2,1 a2,2

··· ···

am,1 am,2

···

. . .

. . .

. . .

Tömör írásmódban

illetve homogén esetben

Filip Ferdinánd

a1,n a2,n

2016 februar 9.

am,n

    

x1 x2 . . .

xn





    =  

b1 b2 . . .

bm

    

Ax = b Ax = 0. Lineáris algebra 2.

20 / 37



Lineáris egyenletrendszerek Megoldás inverz mátrix segítségével az egyenletrendszer ugyanannyi ismeretlent tartalmaz mint

n = m),

ahány egyenletet (

Az együttható mátrix reguláris Ekkor

Ax = b A Ax = A−1 b I x = A−1 b x = A−1 b −1

Filip Ferdinánd

2016 februar 9.


21 / 37



Cramer-szabály az egyenletrendszer ugyanannyi ismeretlent tartalmaz mint

n = m),

ahány egyenletet (

Az együttható mátrix reguláris

Bi -vel jelöljük azokat az A-ból képzett mátrixokat, melyek i -edik oszlopa helyén a b vektor áll, azaz Jelöljük



Bi

  = 

a1,1 a2,1

··· ···

an , 1

···

. . .

··· ···

an,i −1 bn an,i +1

···

. . .

Ekkor

xi Filip Ferdinánd

a1,i −1 b1 a1,i +1 a2,i −1 b2 a2,i +1

=

|Bi | |A|

2016 februar 9.

. . .

. . .

a1,n a2,n . . .

an,n

    

i = 1, 2, . . . , n Lineáris algebra 2.

22 / 37



Cramer-szabály az egyenletrendszer ugyanannyi ismeretlent tartalmaz mint

n = m),

ahány egyenletet (

Az együttható mátrix reguláris

Bi -vel jelöljük azokat az A-ból képzett mátrixokat, melyek i -edik oszlopa helyén a b vektor áll, azaz Jelöljük



Bi

  = 

a1,1 a2,1

··· ···

an , 1

···

. . .

··· ···

an,i −1 bn an,i +1

···

. . .

Ekkor

xi Filip Ferdinánd

a1,i −1 b1 a1,i +1 a2,i −1 b2 a2,i +1

=

|Bi | |A|

2016 februar 9.

. . .

. . .

a1,n a2,n . . .

an,n

    

i = 1, 2, . . . , n Lineáris algebra 2.

23 / 37



Ekvivalens egyenletrendszerek Két lineáris egyenletrendszert ekvivalensnek mondunk, ha megoldáshalmazaik megegyeznek.

Az alábbi átalakítások egy lineáris egyenletrendszert vele ekvivalens lineáris egyenletrendszerbe visznek át: egyenlet szorzása nullától különböz® konstanssal egy egyenlethez egy másik egyenlet konstans szorosának hozzáadása, egyenletek sorrendjének felcserélése.

Filip Ferdinánd

2016 februar 9.


24 / 37



B®vített mátrix elemei átalakításai A lineáris egyenletrendszer elemi átalakításainak a b®vített mátrixa alábbi átalakításai felelnek meg: mátrix bármely sorának szorzása 0-tól különböz® valós számmal, mátrix egyik sorához másik sora tetsz®leges többszörösének hozzáadása, mátrix két sorának felcserélése.

Cél az egyenletrendszert ekvivalens átalakításokkal egyszer¶bb alakra hozni.

Filip Ferdinánd

2016 februar 9.


25 / 37



Lépcs®s alak

B®vített mátrix elemei átalakításai Egy mátrixot lépcs®s alakúnak nevezünk, ha fentr®l lefele haladva a sorok els® nem-0 elemei egyre kés®bb jelennek meg.

Példa:

   

Filip Ferdinánd

3

2

0

7

0

0

2

1

0

0

0

1

0

0

0

0

2016 februar 9.

   


26 / 37



Lépcs®s alak B®vített mátrix elemei átalakításai Egy mátrixot lépcs®s alakúnak nevezünk, ha fentr®l lefele haladva a sorok els® nem-0 elemei egyre kés®bb jelennek meg.

Példa: 



3

2

0

7

0

0

2

1

0

0

0

1

0

0

0

0



3

2

0

7





0

0

2

1



0

1

0

0

  

Filip Ferdinánd

  

lépcs®s

nem lépcs®s

2016 februar 9.


27 / 37



Mátrix rangja

Tétel: Elemi átalakításokkal bármely mátrix lépcs®s alakra hozható

Deníció: Egy mátrix rangja megegyezik egy vele ekvivalens lépcs®s mátrix nem nulla sorainak a számával.

Filip Ferdinánd

2016 februar 9.


28 / 37



Gauss elimináció

A egyenletrendszer b®vített mátrixát ekvivalens átalakításokkal lépcs®s mátrixá alakítjuk. Megoldjuk az így kapott lépcs®s mátrixhoz tartozó egyenletrendszert.

Filip Ferdinánd

2016 februar 9.


29 / 37



Az együttható mátrix rangja kisebb mint a b®vített mátrix rangja Ebben az esetben az egyenletrendszernek nincs megoldása.

Példa: 

3

2

0

7

2





0

0

2

1

0



0

0

0

0

5

A mátrix utolsó sorához tartozó egyenlet ekkor 0

x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 5

melyet semmilyen szám négyes sem elégit ki. Filip Ferdinánd

2016 februar 9.


30 / 37



Az együttható mátrix rangja megegyezik a b®vített mátrix rangjával, és a rang megegyezik az ismeretlenek számával Ebben az esetben az egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van.

Példa:

Filip Ferdinánd



3

2

0

7





0

1

2

1



0

0

3

2

2016 februar 9.


31 / 37



Az együttható mátrix rangja megegyezik a b®vített mátrix rangjával, és a rang kisebb az ismeretlenek számánál Ebben az esetben az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van. Az ismeretlenek számának és a rangnak a különbsége megadja, hogy hány ismeretlent választhatunk meg szabadon.

Példa:

Filip Ferdinánd



3

2

0

7

2

5





0

1

2

1

0

7



0

0

0

2

1

3

2016 februar 9.


32 / 37



GaussJordan-elimináció

Hasonló a Gauss eliminációhoz, de itt az együttható mátrix f®átló fölötti tagjait is kinullázzuk.

Példa:

Filip Ferdinánd



1

2

0

7





1

1

2

1



2

0

1

3

2016 februar 9.


33 / 37



Homogen linearis egyenletrenszer A homogén egyenletrendszereknek mindig van legalább egy konkrét megoldása, mégpedig a

x = (0, 0, . . . , 0) szám n-es

(triviális megoldás). Tehát az együttható mátrix rangja ebben az esetben mindig megegyezik a b®vített mátrix rangjával. Egy homogén egyenletrendszereknek akkor és csakis akkor van pontosan egy megoldása, ha együtthatómátrixának a rangja megegyezik az ismeretlenek számával. Egy homogén egyenletrendszereknek akkor és csakis akkor van a triviálistól különböz® megoldása is, ha együtthatómátrixának a rangja kisebb az ismeretlenek számánál.

Filip Ferdinánd

2016 februar 9.


34 / 37



Sajátvektor és sajátérték Legyen adott egy az

A négyzetes mátrix.

Azt mondjuk, hogy a

A mátrix sajátértéke, ha létezik olyan nem nulla x

λ

szám

vektor, melyre

Ax = λx . Az ilyen

x

vektorokat az

A mátrix λ sajátértékhez tartozó

sajátvektorainak nevezzük.

Példa: Mutassuk meg , hogy a

a

2

−2 −2

2 3

mátrixnak a

−1

sajátértéke es

1

Filip Ferdinánd

az egyik hozzátartozó sajátvektora.

2016 februar 9.


35 / 37



A sajátérték meghatározása Az egységmátrix felhasználásával

Ax = λx Ax = λI x Ax − λI x = 0 (A − λI ) x = 0 egyenletrendszerhez jutunk. Ennek csak akkor lesz a triviálistól különböz® megoldása, ha

A − λI ) = 0 .

det(

Filip Ferdinánd

2016 februar 9.

(1)


36 / 37



A sajátérték meghatározása Ez tehát azt jelenti, hogyλ pontosan akkor sajátérték, ha kielégíti az (1) egyenletet. Ezt az egyenletet az

A mátrix karakterisztikus

egyenletének nevezzük.

A egy n × n-es mátrix, akkor az egyenlet bal oldala a determináns kifejtése után egy n -edfokú polinom, melyet Ha

karakterisztikus polinomnak nevezünk.

Példa: Határozzuk meg a

−2 −2

2

3

mátrix sajátértékeit és sajátvektorait!

Filip Ferdinánd

2016 februar 9.


37 / 37

jegyzetek

Recommend Documents