Irányításelmélet és technika II

Irányításelmélet és technika II. Modell-prediktív szabályozás

Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék [email protected]

2010 november 8.

Bevezetés

Áttekintés

1

Bevezetés

2

Modell-Prediktív Szabályozók

3

Dinamikus Mátrix Szabályozás

4

Esettanulmány - hőcserélő

Magyar A. (Pannon Egyetem)

Irányításelmélet

2010 november

2 / 29

Bevezetés

Bevezetés

Nem egy módszer, hanem szabályozó család a rendszer jövőbeli válaszainak becslése egy prediktív modell segítségével a rendszerre adott bemenetek meghatározása egy költségfüggvény minimalizálásával a tervezési horizont minden időpillanatban a jövő felé tolódik

MPC előnyei kevés irányításelméleti tudással rendelkező kezelő személyzet is megérti a lényegét sokféle folyamatra alkalmazható (késleltetett, nem minimumfázisú, stb.) MIMO rendszerekre is alkalmazható korlátozások kezelése is bevehető a tervezésbe



2010 november

3 / 29

Bevezetés

MPC stratégia 1

2

3

A következő N jövőbeli kimenet (y (t + k|t), k = 1, . . . , N) becslése az eddigi bemenetek és kimenetek és a következő N bemenet (u(t + k|t), k = 0, . . . , N − 1 ismert!) felhasználásával A jövőbeli bemenetek egy meghatározott költségfüggvény minimalizálásával határozhatók meg. A cél, hogy a jövőbeli y (t + k) kimenetek a lehető legközelebb legyenek a w (t + k) referenciához. A kiszámolt u(t + k) bemeneti sorozat első elemét ráadjuk a rendszerre, és visszatérünk az első lépéshez.



2010 november

4 / 29

Bevezetés

MPC stratégia



2010 november

5 / 29

Bevezetés

MPC stratégia MPC ∼ autóvezetés: Referencia trajektória egy véges horizonton (látómező) Modell (az autó mentális modellje) Bemenetek (gáz, fék, kormány)

Klasszikus módszerek csak a múltbeli hibát minimalizálják (pl. PI) Autóvezetés csak a visszapillantó tükröt használva



2010 november

6 / 29


Áttekintés

1

Bevezetés

2

Modell-Prediktív Szabályozók Prediktív modell Célfüggvény Szabályozási algoritmus levezetése

3


4




2010 november

7 / 29



A modell-prediktív szabályozók minden típusánál megtalálható az alábbi három elem Prediktív modell Célfüggvény Szabályozási algoritmus levezetése

A fenti elemek különböző megválasztása különböző szabályozó típushoz vezet



2010 november

8 / 29


Prediktív modell

Prediktív modell

Folyamat modell jövőbeli yˆ (t + k|t) kimenetek meghatározására

Zavarás modell mérhető zavarás hatása nem mérhető bemenetek hatása



2010 november

9 / 29


Prediktív modell

Folyamat modell Impulzusválasz függvény y (t) =

∞ X

hi u(t − i)

i=1

Stabil, integrátort nem tartalmazó folyamat esetén elég ez első N minta N X y (t) = hi u(t − i) = H(z −1 )u(t) = h1 z −1 + · · · + hN z −N u(t) i=1

Előny: ki lehet mérni Hátrány: általában N = 40 − 50, sok paraméter! Prediktív modell yˆ (t + k|t) =

N X

hi u(t + k − i|t) = H(z −1 )u(t + k|t)

i=1 Magyar A. (Pannon Egyetem)


2010 november

10 / 29


Prediktív modell

Folyamat modell Lépésválasz függvény, stabil és integrátort nem tartalmazó folyamatokra y (t) = y0 +

N X

gi ∆u(t − i) = y0 + G (z −1 )(1 − z −1 )u(t)

i=1

∆u(t) = u(t) − u(t − 1) A konstans y0 elhagyható, így a prediktív modell alakja yˆ (t + k|t) =

N X

gi ∆u(t + k − i|t) = H(z −1 )u(t + k|t)

i=1

Kapcsolat az impulzusválasz függvénnyel hi = gi − gi−1 ,

gi =

i X

hj

j=1

Előny/hátrány: mint az impulzusválasz függvénynél Magyar A. (Pannon Egyetem)


2010 november

11 / 29


Prediktív modell

Folyamat modell



2010 november

12 / 29


Prediktív modell

Folyamat modell

Átviteli függvény A(z −1 )y (t) = B(z −1 )u(t) = 1 + a1 z −1 + a2 z −2 + · · · + ana z −na −1 B(z ) = b1 z −1 + b2 z −2 + · · · + bnb z −nb

A(z −1 )

A prediktív modell alakja yˆ (t + k|t) =

B(z −1 ) u(t + k|t) A(z −1 )

Előny: instabil rendszerekre is alkalmazható, és kevés paraméterrel leírható Hátrány: az A és B polinomok a priori ismerete szükséges



2010 november

13 / 29


Prediktív modell

Zavarás modell CARIMA (Controlled Auto-Regressive and Integrated Moving Average) n(t) =

C (z −1 )e(t) D(z −1 )

véletlenszerű időpontban véletlen változás (pl. anyagminőség-változás) leírására Brown mozgás szerű zavarás leírására becslése nˆ(t + k|t) = Fk (z −1 )n(t)

ARIMA (Auto-Regressive and Integrated Moving Average) n(t) =

e(t) 1 − z −1

DMC-nél használatos becslése nˆ(t + k|t) = n(t)



2010 november

14 / 29


Prediktív modell

Szabad- és kötött válasz A bemeneti jelsorozat szétbontása két sorozatra u(t) = uf (t) + uc (t) Szabad bemenetek uf (t) uf (t − j) = u(t − j), uf (t + j) = u(t − 1),

j = 1, 2, . . . j = 0, 1, 2, . . .

Kötött bemenetek uc (t) uc (t − j) = uc (t + j) =

0, u(t + j) − u(t − 1),

j = 1, 2, . . . j = 0, 1, 2, . . .

A becsült kimenet is felbontható két részre Szabad kimenet yf (t): a becsült kimenet, ha a bemenet uf (t) Kötött kimenet yc (t): a becsült kimenet, ha a bemenet uc (t)



2010 november

15 / 29


Prediktív modell

Szabad- és kötött válasz



2010 november

16 / 29


Célfüggvény

Célfüggvény Általában a cél, hogy a jövőbeli y kimenet egybeessen a w referenciával, ugyanakkor a szabályozó energiát büntessük Általános alak: N2 Nu X X λ(j) [∆u(t + j − 1)]2 J(N1 , N2 , Nu ) = δ(j) [ˆ y (t + j|t) − w (t + j)]2 + j=1

j=N1

Paraméterek: N1 - minimum predikciós horizont N2 - maximum predikciós horizont Nu - szabályozási horizont δ(j), λ(j) súlytényező, általános alakja δ(j) = αN2 −j α ∈ (0, 1) - a jelenhez közelebbi hibákat büntetjük α > 1 - a későbbi hibákat büntetjük

Korlátozások: beavatkozó jelek és deriváltjaik végesek umin ≤ u(t) ≤ umax , ∀t dumin ≤ u(t) − u(t − 1) ≤ dumax , ∀t ymin ≤ y (t) ≤ ymax , ∀t Magyar A. (Pannon Egyetem)


2010 november

17 / 29


Szabályozási algoritmus levezetése

Szabályozási algoritmus levezetése

Keresendő az az u(t + k|t), amely minimalizálja J-t Ehhez a jövőbeli yˆ (t + k|t) kimenetet kell kifejezni múltbeli bemenetek és kimenetek segítségével. Analitikus megoldás négyzetes célfüggvény, lineáris modell esetében, korlátozások nélkül lehetséges



2010 november

18 / 29


Áttekintés

1

Bevezetés

2


3

Dinamikus Mátrix Szabályozás Prediktív modell Mérhető zavarások Szabályozási algoritmus

4




2010 november

19 / 29


Prediktív modell

Prediktív modell Egységugrás válasz függvény modell ∞ X gi ∆u(t − i) y (t) = i=1

Prediktív modell yˆ (t + k|t) =

∞ X

gi ∆u(t + k − i) + nˆ(t + k|t) =

i=1

=

k X

gi ∆u(t + k − i) +

i=1

∞ X

gi ∆u(t + k − i) + nˆ(t + k|t)

i=k+1

Konstans zavarást feltételezve nˆ(t + k|t) = nˆ(t|t) = ym (t) − yˆ (t|t) k ∞ X X yˆ (t + k|t) = gi ∆u(t + k − i) + gi ∆u(t + k − i) + ym (t)− i=1

−

∞ X

i=k+1

gi ∆u(t − i) =

i=1 Magyar A. (Pannon Egyetem)

k X

gi ∆u(t + k − i) + f (t + k)

i=1 Irányításelmélet

2010 november

20 / 29


Prediktív modell

Prediktív modell A rendszer f (t + k) szabad válasza ∞ X (gk+i − gi )∆u(t − i) f (t + k) = ym (t) + i=1

Aszimptotikusan stabil rendszer esetén valamely N után feltehető, hogy gk+i − gi ≈ 0, i > N, ezért N X f (t + k) = ym (t) + (gk+i − gi )∆u(t − i) i=1

m (= Nu ) szabályozási lépést feltételezve kiszámíthatók a predikciók a horizonton (k = 1, . . . , p) yˆ (t + 1|t) = g1 ∆u(t) + f (t + 1) yˆ (t + 2|t) = g2 ∆u(t) + g1 ∆u(t + 1) + f (t + 2) .. .. .. . . .P p yˆ (t + p|t) = i=p−m+1 gi ∆u(t + p − i) + f (t + p) Magyar A. (Pannon Egyetem)


2010 november

21 / 29


Prediktív modell

Prediktív modell

Mátrixba rendezve (dinamikus mátrix) az együtthatókat   g1 0 ... 0  g2  g1 ... 0    ..  .. .. ..  .  . . .   G =  g1  gm gm−1 . . .   ..  .. . . . .  .  . . . gp gp−1 . . . gp−m+1 A predikciós egyenletek mátrixos alakja yˆ = G · u + f



2010 november

22 / 29


Mérhető zavarások

Mérhető zavarások A mérhető zavarások rendszerbemenetként adhatók a predikciós egyenletekhez: yˆd = D · d + fd yˆd - mérhető zavarás hatása a kimenetre D - hasonló mátrix, mint G d - zavarás megváltozásainak vektora fd - a kimenet zavarástól nem függő komponense

Abban az esetben, ha mérhető és nem mérhető zavarások is vannak, a szabad válasz az alábbi alakban írható fel f = fu + D · d + fd + fn fu - a bemenetre adott válasz D · d - a mérhető zavarásra adott válasz fd - a nem mérhető zavarásra adott válasz fn - a folyamat aktuális állapotára adott válasz

A predikciós egyenlet így yˆ = G · u + f alakba írható Magyar A. (Pannon Egyetem)


2010 november

23 / 29


Szabályozási algoritmus

Szabályozási algoritmus Cél: a kimenet a lehető legközelebb kerüljön a referenciához, esetleg a bemenetbeli változások büntethetők A legkisebb négyzetes célfüggvény alakja, ha csak a jövőbeli hibát nimimalizáljuk... p X J= [ˆ y (t + j|t) − w (t + j)]2 j=1

...és ha a bemenetbeli változásokat is büntetjük p m X X J= [ˆ y (t + j|t) − w (t + j)]2 + λ [∆u(t + j − 1)]2 j=1

j=1

Abban az esetben, ha nincs korlátozás (bemenet, vagy kimenet), az analitikus megoldás u = (G T G + λI )−1 G T (w − f ) Az u vektornak csak az első eleme van valójában ráadva a rendszerre Magyar A. (Pannon Egyetem)


2010 november

24 / 29


Szabályozási algoritmus

Szabályozási algoritmus - korlátozások

A megoldást jelentősen bonyolítja Bemeneti és kimeneti korlátozások az alábbi alakban adhatók az optimalizációhoz N X Cyij yˆ (t + k|t) + Cuij u(t + k − i) + c j ≤ 0, j = 1, . . . , Nc i=1 Magyar A. (Pannon Egyetem)


2010 november

25 / 29


Áttekintés

1

Bevezetés

2


3


4




2010 november

26 / 29


Vízmelegítő

Hőcserélő rendszer víztartály ki- és befolyással kimeneti hőmérséklet mérése szabályozható gázégő



2010 november

27 / 29


Folyamat modell - lépésválasz függvény Lépésválasz függvény kimérése Egységugrás bemenet (gázszelep) A hőmérséklet válasz rögzítése Aszimptotikusan stabil rendszer (konvergál a kimenet)



2010 november

28 / 29


Matlab - dmc.m függvény Szintaxis: p=dmc(p) p - struktúra bemenetek p.sr p.u p.v p.G p.F p.k p.r p.p p.m p.y p.la

-

egységugrás válasz aktuális bemenet korábbi bemenetek dinamikus mátrix mátrix a szabad válasz kiszámításához DMC erősítés referencia bemenet predikciós horizont szabályozási horizon aktuális kimenet a bemeneteket súlyozó λ faktor

kimenetek p.u - a következő lépésbeli bemenet p.f - frissített szabad válasz Magyar A. (Pannon Egyetem)


2010 november

29 / 29

Irányításelmélet és technika II

Recommend Documents