´ nd Tudoma ´ nyegyetem E¨ otv¨ os Lora ´szettudoma ´ nyi Kar Terme
T´oth L´aszl´o M´arton Matematikus MSc
´ lgeometriai formula ´k Integra
MSc - Szakdolgozat
T´emavezet˝o: Csik´os Bal´azs tansz´ekvezet˝o egyetemi docens Geometriai Tansz´ek
Budapest, 2013.
K¨ osz¨ onetnyilv´ an´ıt´ as Ez´ uton szeretn´em megk¨osz¨onni t´emavezet˝omnek, dr. Csik´os Bal´azsnak a szakdolgozat ´ır´asa sor´an ny´ ujtott seg´ıts´eg´et, szakmai u ´tmutat´as´at, munk´am lelkiismeretes ellen˝orz´es´et ´es legink´abb az ir´antam tan´ us´ıtott t¨ urelm´et. Szint´en h´al´as vagyok az a´ltala felvetett t´em´a´ert, amelyet az els˝o pillanatt´ol fogva szeml´eletesnek ´es eleg´ansnak tal´altam.
3
Tartalomjegyz´ ek Bevezet´ es
5
1. Integr´ algeometria a s´ıkban
6
1.1. Az egyenesek param´eterez´ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2. A Crofton-formula bizony´ıt´asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3. Cauchy-formula a s´ıkban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. A Buffon-f´ele t˝ uprobl´ema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2. Konvex halmazok
15
2.1. Approxim´aci´o polit´opokkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. Felsz´ın ´es t´erfogat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3. Cauchy-formula a felsz´ınre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4. A Steiner–Minkowski-t´etel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3. Ki´ ert´ ekel´ esek
25
3.1. Ki´ert´ekel´esek kiterjeszt´ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2. Kiterjeszt´es konvex halmazokr´ol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3. Ki´ert´ekel´esek parallelot´opokon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4. M´ert´ekek Grassmann-sokas´agokon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.5. Konvex testek bels˝o t´erfogatai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4. Hadwiger t´ etele
42
4.1. T´amaszf¨ uggv´enyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.2. A t´erfogat jellemz´ese polikonvex halmazokon . . . . . . . . . . . . . . 45 4.3. Bels˝o t´erfogatok normaliz´al´asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.4. A Hadwiger-t´etel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5. Alkalmaz´ asok
53
5.1. A Steiner–Minkowski-t´etel m´eg egyszer . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.2. Bels˝o t´erfogatok m´eg egyszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.3. A µ0 ki´ert´ekel´esr˝ol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.4. R´acspontok konvex halmazokban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 ¨ 5.5. Osszegz´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4
Bevezet´ es Az integr´algeometriai formula nem egzakt matematikai fogalom. Olyan egyenl˝os´egeket sorolunk ide, melyek egy geometriai objektum valamilyen m´er˝osz´am´at fejezik ki egy integr´al seg´ıts´eg´evel, ´es az integr´al´as is geometriai objektumok – p´eld´aul egyenesek, hipers´ıkok – t´eren t¨ort´enik egyenletes” m´ert´ek szerint. Az egyenletess´eg alatt ” azt ´ertj¨ uk, hogy valamilyen term´eszetes csoporthat´asra n´ezve a m´ert´ek invari´ans. A legnevezetesebb p´eld´ak a g¨orb´ek hossz´ara vonatkoz´o Crofton-formula, ´es a konvex testek felsz´ın´ere vonatkoz´o Cauchy-formula. Mint azt a p´eld´ak is mutatj´ak, a t´emak¨or – jelleg´eb˝ol ad´od´oan – alapvet˝oen differenci´algeometriai, azonban szoros kapcsolatban van a geometriai val´osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´assal is. A h´ıres Buffon-f´ele t˝ uprobl´em´aban az integr´al a metsz´espontok sz´am´anak v´arhat´o ´ert´ek´eben van elb´ ujtatva. A dolgozat els˝o fejezet´eben ezeket a p´eld´akat vizsg´aljuk meg t¨ uzetesen. A differenci´algeometriai megk¨ozel´ıt´es sor´an megtal´aljuk a bizony´ıt´astechnikai neh´ezs´egeket, melyek kezel´es´ehez komoly analitikus eszk¨oz¨okre van sz¨ uks´eg. Az a´ll´ıt´asokra gyakran tal´alunk intuit´ıv ´ervel´eseket, melyekben visszat´er˝o momentum az objektumok feldarabol´asa ´es ¨osszeragaszt´asa, amit az tesz lehet˝ov´e, hogy az ´eppen aktu´alisan vizsg´alt m´er˝osz´am ´es integr´al is o¨sszead´odik ragaszt´asn´al. Ez a gondolat vezet a ki´ert´ekel´esek defin´ıci´oj´ahoz. Egy µ f¨ uggv´enyt egy L h´al´on ki´ert´ekel´esnek nevez¨ unk, ha b´armely A, B ∈ L-re µ(A ∨ B) = µ(A) + µ(B) − µ(A ∧ ∧ B). Az L h´al´o eset¨ unkben mindig metszet- ´es uni´oz´art halmazrendszer lesz. A c´elunk az, hogy olyan eszk¨ozt´arat ´ep´ıts¨ unk fel, melynek seg´ıts´eg´evel az intuit´ıv gondolatmenetek prec´ızz´e tehet˝oek. A dolgozat nagy r´esz´eben kompakt, konvex halmazokon, illetve ilyenek v´eges uni´oin ´ertelmezett ki´ert´ekel´eseket vizsg´alunk. Konvex halmazok eset´eben ugyanis a polit´opokkal val´o k¨ozel´ıthet˝os´eg k¨onny´ıt az analitikus neh´ezs´egeken. A t´erfogat ´es felsz´ın mint´aj´ara bevezetj¨ uk el˝obb parallelot´opok, majd konvex halmazok bels˝o t´erfogatait, melyek k¨ozponti szerepet t¨oltenek be vizsg´al´od´asainkban. Az elm´elet ki´ep´ıt´ese ut´an bebizony´ıtjuk a Hadwiger-t´etelt, miszerint a bels˝o t´erfogatok b´azis´at adj´ak a folytonos, egybev´ag´os´ag-invari´ans ki´ert´ekel´eseknek. Ezzel rendk´ıv¨ ul er˝os eszk¨oz ker¨ ul a kez¨ unkbe konvex halmazokr´ol sz´ol´o integr´algeometriai formul´ak bizony´ıt´as´ara. Ha egy integr´alr´ol bebizony´ıtjuk, hogy ki´ert´ekel´es, ´es teljes´ıti a folytonoss´agra ´es invarianci´ara tett felt´etelt, akkor biztosan a bels˝o t´erfogatok line´aris kombin´aci´oja. Az integr´al homogenit´as´anak vizsg´alat´aval – a halmazunkat α-szoros´ara n¨ovelve az integr´al ´ert´eke α hanyadik hatv´any´aval szorz´odik – azt is r¨ogt¨on meg tudjuk mondani, hogy konstans szorz´o erej´eig melyik bels˝o t´erfogatot kaptuk. Egy tetsz˝olegesen v´alasztott halmazon kisz´amolva az integr´alt a konstans is meghat´arozhat´o. Az utols´o fejezetben a Hadwiger-t´etel seg´ıts´eg´evel a bels˝o t´erfogatokat o¨sszekapcsoljuk a Steiner–Minkowski-t´etelben bevezetett polinom egy¨ utthat´oival, amivel az elm´elet m´eg jobban letisztul. Mindek¨ozben sz´amos integr´algeometriai formul´aval ismerked¨ unk meg.
5
1. Integr´ algeometria a s´ıkban A s´ıkbeli integr´algeometri´at a Crofton-formul´an kereszt¨ ul k¨ozel´ıtj¨ uk meg, ´es mutatjuk be. Ez a t´emak¨or legalapvet˝obb t´etele, mely egy g¨orbe hossza, ´es a s´ık egyeneseinek a g¨orb´evel vett metsz´espontjainak sz´ama k¨ozt teremt ¨osszef¨ ugg´est. Ebben a fejezetben a legt¨obb t´etel¨ unket a Crofton-formul´ara vezetj¨ uk vissza, ´es tapasztalni fogjuk, hogy t¨obb neves t´etel ´es probl´ema v´alik k¨onnyen kezelhet˝ov´e ´ ez´altal. Erdemes azonban megjegyezni, hogy ezekre az ´all´ıt´asokra sokszor k¨ozvetlen, ´es felett´ebb szeml´eletes bizony´ıt´as is adhat´o, melyeknek azonban kritikus pontja a t¨or¨ottvonalr´ol g¨orb´ere val´o ´att´er´es. Ez ugyan csak bizony´ıt´astechnikai k´erd´es, de el´eg kellemetlen ahhoz, hogy k´enyelmesebb legyen a Crofton-formul´ara hivatkozni, ahol a g¨orb´ek k¨ozel´ıt´es´et m´ar elv´egezt¨ uk. Mivel hat´arozott c´elunk az integr´algeometria gondolatk¨or´enek bemutat´asa, ez´ert helyenk´ent kit´er¨ unk az intuit´ıv ´ervel´esekre is.
1.1. Az egyenesek param´ eterez´ ese Jel¨olje E az R2 euklideszi s´ık egyeneseinek halmaz´at, ezek persze jellemezhet˝ok az orig´ot´ol m´ert t´avols´aguk, ´es ir´anyuk (norm´alvektoruk sz¨oge) seg´ıts´eg´evel. Legyen teh´at eθ,d = {(x, y) ∈ R2 |cos(θ) · x + sin(θ) · y = d} ∈ E, ´es tekints¨ uk a p : R2 → E, p(θ, d) = eθ,d sz¨ urjekt´ıv lek´epez´est. Term´eszetesen eθ,d = eθ,˜ d˜ akkor ´es csak akkor, ˜ ahol k ∈ Z. Azt l´atjuk, hogy p-t a [0, π) × R ˜ ha θ − θ = k · π ´es d = (−1)k d, tartom´anyra megszor´ıtva m´ar bijekt´ıv f¨ uggv´enyt kapunk, ´es a (π, d) hat´arpont p a´ltal ugyanoda k´epz˝odik, mint a (0, −d), vagyis E-t a faktortopol´ogi´aval ell´atva egy ny´ılt M¨obiusz-szalagot kapunk. Ugyanez a faktoriz´al´as egy µ m´ert´eket is biztos´ıt E-n: legyen A ⊆ E m´erhet˝o akkor ´es csak akkor, ha p−1 (A) ∩ ([0, π] × R) Lebesgue m´erhet˝o, ´es ekkor legyen µ(A) = λ(p−1 (A) ∩ ([0, π] × R)). Az´ert szor´ıtkoztunk a [0, π] intervallumra, hogy az egyenesek sz¨oge l´enyeg´eben egy´ertelm˝ u legyen, de ennek a v´alaszt´asnak persze semmi jelent˝os´ege. Mivel a p szerinti o˝sk´ep periodikus a (θ, d) 7→ (θ + π, −d) cs´ usztatva t¨ ukr¨oz´esre, mely a Lebesgue-m´ert´eket nem v´altoztatja, ez´ert a µ defin´ıci´oj´aban [0, π] helyett b´armilyen [a, a + π], a ∈ R intervallumot haszn´alhatunk. ´ ıt´ 1.1.1. All´ as. A µ m´ert´ek invari´ans a s´ıkbeli egybev´ag´os´agokra n´ezve, azaz ha Φ ∈ ∈ Iso(R2 ), ´es A ⊆ E m´erhet˝o, akkor Φ(A) is m´erhet˝o, ´es µ(Φ(A)) = µ(A). Bizony´ıt´as. Az ´all´ıt´ast el´eg Iso(R2 ) egy gener´atorrendszer´ere bizony´ıtani. Jel¨olje Fα az orig´o k¨or¨ uli α sz¨oggel vett forgat´ast minden α ∈ [0, 2π] sz¨ogre, Ea az x tengellyel p´arhuzamos, a-val val´o eltol´ast minden a ∈ R val´os sz´amra, ´es T az x tengelyre vett t¨ ukr¨oz´est. Ezek egy¨ utt gener´alj´ak Iso(R2 )-t, ´es meg fogjuk mutatni, hogy ezekre n´ezve µ invari´ans. Mindh´arom esetben megvizsg´aljuk, hogy az adott egybev´ag´os´ag mik´eppen transzform´alja az A-hoz tartoz´o param´etereket. Az orig´o k¨or¨ uli forgat´asokn´al Fα (eθ,d ) = eθ+α,d , azaz p−1 (Fα (A)) a (θ, d) s´ıkon ´eppen p−1 (A) eltoltja az (α, 0) vektorral, jel¨olje ezt az eltol´ast E˜α . A k¨onnyebb ´erthet˝os´eg kedv´e´ert k¨ ul¨onb¨oztetj¨ uk meg Eα -t´ol, mert ugyan mindkett˝o R2 -en hat, de
6
E˜α eset´en R2 alatt az egyenesek param´eterter´et ´ertj¨ uk. A Lebesgue-m´ert´ek eltol´asinvarianci´aj´ab´ol, a sz¨oget kijel¨ol˝o intervallumot [α, α + π]-nek v´alasztva ad´odik az a´ll´ıt´as: µ(Fα (A)) = λ p−1 (Fα (A)) ∩ ([α, α + π] × R) = λ E˜α (p−1 (A)) ∩ ([α, α + π] × R) = = λ E˜α (p−1 (A) ∩ ([0, π] × R)) = λ p−1 (A) ∩ ([0, π] × R) = µ(A). A T t¨ ukr¨oz´esn´el T (eθ,d ) = e−θ,d , vagyis ennek a (θ, d) s´ıkon egy f¨ ugg˝oleges egyenesre val´o t¨ ukr¨oz´es felel meg, ami Lebesgue-m´ert´ek tart´o, teh´at λ p−1 (T (A)) ∩ ([−π, 0] × R) = λ p−1 (A) ∩ ([0, π] × R) . Ennek bal oldala µ(T (A)), jobb oldala pedig µ(A), ezzel T -re is bel´attuk az invarianci´at. V´eg¨ ul a v´ızszintes eltol´asokn´al Ea (eθ,d ) = eθ,d+a·cos(θ) . Vezess¨ unk be erre egy jel¨ol´est, legyen f (θ, d) = (θ, d + a · cos(θ)), enn´el a lek´epez´esn´el az els˝o koordin´ata nem v´altozik, ´ıgy f p−1 (A) ∩ ([0, π] × R) = f p−1 (A) ∩ ([0, π] × R) , vagyis el´eg az f -r˝ol megmutatni, hogy tartja a Lebesgue-m´ert´eket. Ezt k¨onnyen ellen˝orizhetj¨ uk a deriv´alt lek´epez´es determin´ans´anak kisz´am´ıt´as´aval, ´es val´oban 1-et kapunk. Miut´an megismerkedt¨ unk az egyenesek ter´evel, ´es a rajta ´ertelmezett m´ert´ekkel, kimondjuk a fejezet k¨ozponti t´etel´et, a Crofton-formul´at: 1.1.2. T´ etel (Crofton-formula). Legyen γ : [a, b] → R2 szakaszonk´ent folytonosan differenci´alhat´o g¨orbe, jel¨olje nγ (e) az e ∈ E egyenes γ-val vett metsz´espontjainak sz´am´at, azaz nγ (e) = |{t ∈ [a, b]|γ(t) ∈ e}|. Jel¨olje a γ g¨orbe hossz´at lγ . Ekkor: Z 1 nγ dµ lγ = 2 E
1.2. A Crofton-formula bizony´ıt´ asa Az al´abb ismertetett bizony´ıt´as alapgondolata megtal´alhat´o M.P. do Carmo [1] k¨onyv´eben. Az ott olvashat´o bizony´ıt´ast Csik´os Bal´azs Differenci´algeometria 1. el˝oad´asain elhangzottak alapj´an tett¨ uk teljess´e. Ismert a t´etelnek m´as bizony´ıt´asa is, mely a helyettes´ıt´eses integr´al´as t´etel´enek egy a´ltal´anos´ıt´as´at haszn´alja, l. [2]. A bizony´ıt´as sor´an el˝osz¨or szakaszra, majd t¨or¨ottvonalra mutatjuk meg az a´ll´ıt´ast, majd v´eg¨ ul a g¨orb´enket t¨or¨ottvonallal fogjuk k¨ozel´ıteni. Szakasz eset´en az im´ent bizony´ıtott egybev´ag´os´aginvariancia miatt feltehetj¨ uk, hogy a szakaszunk az orig´oban kezd˝odik, ´es v´ızszintes, vagyis v´egpontjai a (0,0) ´es (a,0) pontok, ahol a ∈ R. Figyelj¨ uk meg, hogy nγ ´ert´ekk´eszlete jelen esetben {0,1, ∞} lehet, azonban csak egyetlen olyan egyenes van, mely illeszkedik a szakaszra, ´ıgy a ∞t nullm´ert´ek˝ u halmazon veszi fel, ezt teh´at elhagyhatjuk. Akkor fogja egy egyenes metszeni a szakaszt, ha gyeng´en elv´alasztja a k´et v´egpontot, ami az egyenlet´evel kifejezve:
7
0 · cos(θ) + 0 · sin(θ) ≤ d, ´es a · cos(θ) + 0 · sin(θ) ≥ d , vagy 0 · cos(θ) + 0 · sin(θ) ≥ d, ´es a · cos(θ) + 0 · sin(θ) ≤ d Az egyenleteket egyszer˝ us´ıtve: a · cos(θ) ≥ d ≥ 0, vagy a · cos(θ) ≤ d ≤ 0 Azt l´atjuk, hogy d ´ert´eke be van szor´ıtva az a · cos(θ) f¨ uggv´eny grafikonja, ´es az x tengely k¨oz´e, ennek a tartom´anynak a ter¨ ulete a 0 ≤ θ ≤ π megszor´ıt´assal ´epp az a · cos(θ) f¨ uggv´eny f´elperi´odus´anak g¨orbe alatti ter¨ ulete,azaz 2a. Az nγ f¨ uggv´eny egy 2a m´ert´ek˝ u halmazon veszi fel az 1 ´ert´eket, integr´alja teh´at 2a, mely pont a hossz k´etszerese. Ezzel szakaszokra bebizony´ıtottuk az a´ll´ıt´ast. Egy pontb´ol ´all´o szakaszra ad´odik az al´abbi, egy´ebk´ent is trivi´alis k¨ovetkezm´eny. 1.2.1. K¨ ovetkezm´ eny. Egy adott ponton ´atmen˝o egyenesek halmaza nullm´ert´ek˝ u. Legyen most T egy t¨or¨ottvonal, mely az I1 , I2 , . . . Ik szakaszokb´ol tev˝odik ¨ossze, a megfelel˝o metsz´espontsz´aml´al´o f¨ uggv´enyek pedig legyenek nT , nI1 , nI2 , . . . , nIk . Ha az e ∈ E nem megy ´at egyik csatlakoz´asi ponton sem, akkor nT = nI1 +nI2 +· · ·+nIk , ´es az el˝oz˝o k¨ovetkezm´eny ´epp azt mondja, hogy ez az egyenlet majdnem mindenhol teljes¨ ul. Innen a szakaszokra m´ar bizony´ıtott formula ¨osszead´as´aval megkapjuk az a´ll´ıt´ast T -re.
lT =
k X j=1
lIj =
k Z X 1 j=1
2
E
nIj dµ
1 = 2
Z X k E j=1
nIj
1 dµ = 2
Z E
nT dµ
A g¨orb´ek t¨or¨ottvonallal val´o k¨ozel´ıt´ese el˝ott sz¨ uks´eg¨ unk lesz el˝ok´esz¨ uletekre. Haszn´aljuk a Sard-lemma egy speci´alis eset´et, melynek seg´ıts´eg´evel egy g¨orb´et ´erint˝o egyenesek halmaz´ar´ol fogjuk megmutatni, hogy nullm´ert´ek˝ u. 1.2.2. T´ etel (Sard-lemma, speci´alis eset). Legyen U ⊆ Rn ny´ılt halmaz, ´es F : U → Rn folytonosan differenci´alhat´o f¨ uggv´eny, Σ = {x ∈ U | det F 0 (X) = 0} a szingul´aris pontok halmaza. Ekkor a kritikus ´ert´ekek F (Σ) halmaza Lebesgue nullm´ert´ek˝ u. Tekints¨ unk most egy γ : [a; b] → R2 folytonosan differenci´alhat´o g¨orb´et, legyen γ(t) = (x(t), y(t)). Vezess¨ uk be az F f¨ uggv´enyt, mely az U = R × (a; b) → R2 halmazon van ´ertelmezve, ´es F (θ, t) = θ, x(t) · cos(θ) + y(t) · sin(θ) . Vil´agos, hogy F (θ, t) pont a g¨orbe γ(t) pontj´an a´t h´ uzott, θ sz¨ogh¨oz tartoz´o egyenes param´eter´ p´arja. Erdemes megjegyezni, hogy F is folytonosan differenci´alhat´o. Kisz´am´ıtva F deriv´altj´at:
0
F (θ, t) =
1 0 0 −x(t) · sin(θ) + y(t) · cos(θ) x (t) · cos(θ) + y 0 (t) · sin(θ)
8
.
A determin´ans teh´at x0 (t) · cos(θ) + y 0 (t) · sin(θ), ami ´epp a γ 0 (t) sebess´egvektor ´es a (cos(θ), sin(θ)) norm´alvektor skal´aris szorzata, vagyis pontosan akkor nulla, ha az F (θ, t) p´arhoz tartoz´o eθ,x(t)·cos(θ)+y(t)·sin(θ) egyenes ´erinti a γ g¨orb´et. Hallgat´olagosan megenged¨ unk olyan t ∈ [a, b] pontokat, ahol a g¨orbe sebess´egvektora 0, ekkor b´armely γ(t)-n a´tmen˝o egyenest ´erint˝onek h´ıvunk. Teh´at F -et a kor´abbi p lek´epez´es¨ unkkel kompon´alva azt kapjuk, hogy p(F (U )) ´eppen a γ g¨orbe ´erint˝oinek halmaza. Az F f¨ uggv´enyre alkalmazva a Sard-lemm´at kapjuk, hogy λ(F (U )) = 0, amib˝ol ad´odik, hogy µ(p(F (U ))) = 0, vagyis megkaptuk az al´abbi k¨ovetkezm´enyt: 1.2.3. K¨ ovetkezm´ eny. Egy folytonosan differenci´alhat´o g¨orbe ´erint˝oinek halmaza µ-nullm´ert´ek˝ u. Most m´ar be tudjuk bizony´ıtani a Crofton-formul´at g¨orb´ekre is. Legyen teh´at γ folytonosan differenci´alhat´o g¨orbe, ´es jel¨olje Ti azt a γ-ba ´ırt t¨ort vonalat, melyet az [a; b] intervallum 2i r´eszre oszt´as´ab´ol kapunk. Vezess¨ uk be tov´abb´a minden Ti -hez az ni metsz´espontsz´aml´al´o f¨ uggv´enyt. Mivel egy ponton ´atmen˝o egyenesek halmaza nullm´ert´ek˝ u, ´es az ¨osszes Ti -nek (minden i ∈ N-re) egy¨ utt is csak megsz´aml´alhat´oan v´egtelen sok t¨or´espontja van, ez´ert azon egyenesek halmaza, melyek valamely Ti t¨or´espontj´an a´thaladnak, nullm´ert´ek˝ u. Az el˝oz˝o k¨ovetkezm´eny¨ unk alapj´an azt is tudjuk, hogy γ ´erint˝oi is nullm´ert´ek˝ u halmazt alkotnak, ´ıgy mindezen egyenesekt˝ol eltekintve az nγ integr´alja nem v´altozik. Feltehet˝o teh´at, hogy egy a´ltal´anos e egyenes elker¨ uli a t¨or´espontokat, ´es nem ´erint˝oje a g¨orb´enek. Vegy¨ uk ´eszre, hogy egy ilyen e egyenesre ni (e) monoton n˝o az i param´eterben. Ha a Ti t¨or¨ottvonal egy I szakasza metszi e-t, akkor a Ti+1 t¨or¨ottvonalban I helyett megjelen˝o I0 ´es I1 szakaszok I-vel egy¨ utt egy olyan h´aromsz¨oget hat´aroznak meg, melynek I oldal´at e bels˝o pontban metszi, ´ıgy a Pasch-axi´oma alapj´an van a h´aromsz¨oggel m´eg egy k¨oz¨os pontja, ´ıgy metszi az I0 ∪I1 t¨or¨ottvonalat. Ezt a Ti minden szakasz´ara elmondva ad´odik a monotonit´as. Megmutatjuk, hogy limi→∞ ni (e) = = nγ (e). Vil´agos, hogy nγ (e) ≥ ni (e) ∀i, hiszen ha egy szakasz k´et v´egpontja egy egyenes k´et oldal´an van, akkor a g¨orbe v´egpontokat o¨sszek¨ot˝o ´ıve is metszi az egyenest. Ezt a Bolzano t´etel seg´ıts´eg´evel, a g¨orbe ment´en az egyenes norm´alvektor´aval vett skal´arszorzatot k¨ovetve l´athatjuk. Legyen teh´at N ≤ nγ (e), ´es megmutatjuk, hogy egy k¨ usz¨obindex ut´an N ≤ ni (e). Mivel nγ a metsz´espontokat sz´amolja, ez´ert persze tal´alhat´oak t1 < t2 < · · · < tN id˝opontok az [a; b] intervallumban, melyekre γ(ti ) ∈ e, ´es mivel feltett¨ uk, hogy az egyenes nem ´erinti a g¨orb´et, ez´ert tal´alhat´o a ti -knek olyan ε sugar´ u ny´ılt k¨ornyezete, hogy a γ g¨orbe megszor´ıt´asai a (ti − ε; ti ), illetve (ti ; ti + ε) szakaszokra az egyenes k´et ellent´etes oldal´an vannak. Ezek ut´an i-t olyan nagynak v´alasztva, hogy essen oszt´opont az o¨sszes ti bal- ´es jobboldali k¨ornyezet´ebe is, a Ti t¨or¨ottvonalnak a (ti − ε; ti + ε) szakaszon metszenie kell e-t. Persze ε megfelel˝o cs¨okkent´es´evel az is feltehet˝o, hogy ti +ε < ti+1 −ε, vagyis
9
a k¨ornyezetek diszjunktak, ´ıgy azt kaptunk, hogy Ti legal´abb N pontban metszi e-t, azaz N ≤ ni (e). Mindezek ut´an a monoton konvergencia t´etel szerint: Z
Z
E
nγ dµ =
Z lim ni dµ = lim
E i→∞
i→∞
E
ni dµ = lim 2 · lTi = 2lγ . i→∞
Ezzel a Crofton formul´at folytonosan differenci´alhat´o g¨orb´ekre bebizony´ıtottuk. Szakaszonk´ent folytonosan differenci´alhat´ora az a´ll´ıt´as egyszer˝ uen szakaszonk´ent o¨sszeadva ad´odik, azt kihaszn´alva, hogy a t¨or´espontokon a´tmen˝o egyenesekt˝ol eltekinthet¨ unk.
1.3. Cauchy-formula a s´ıkban A Crofton-formula speci´alis esetek´ent tegy¨ uk fel, hogy a γK g¨orb´enk egy K konvex lemezt hat´arol. K teh´at kompakt, konvex, ´es a belseje nem u ¨res. Az ilyen halmazokat a tov´abbiakban konvex lemez nek fogjuk nevezni. Vil´agos, hogy a K konvex lemez ker¨ ulete γK hossza. Erre fel´ırjuk a m´ar bizony´ıtott formul´ankat: lγK
1 = 2
Z E
nγK
1 dµ = 2
Z
π
Z nγK (eθ,t ) dt dθ.
0
R
Vizsg´aljuk meg, hogy az nγK f¨ uggv´eny milyen ´ert´ekeket vehet fel. Persze felvehet 0-´at, amikor az egyenes elker¨ uli K-t. Felvehet 1-et, amikor az egyenes ´erinti γK -t, ´es ∞-t is, amikor egy szakaszon illeszkedik r´a, de ezen egyenesek halmaza kor´abbi vizsg´alataink szerint nullm´ert´ek˝ u (1.2.3 K¨ovetkezm´eny). Azt is l´athatjuk, hogy 2-n´el nagyobb v´eges ´ert´eket nem vehet fel nγK , hiszen ha m´ar van h´arom hat´arpont egy ¨ egyenesen, akkor a k´et sz´els˝o k¨ozti szakasz minden pontja hat´arpont. Osszegz´ esk´eppen azt mondhatjuk, hogy nγK majdnem minden egyenesre 0 vagy 2 ´ert´eket vesz fel, att´ol f¨ ugg˝oen, hogy az egyenes metszi-e a K halmazt. R¨ogz´ıts¨ unk egy θ ∈ [0, π) sz¨oget, ´es ezzel egy¨ utt az orig´on ´athalad´o, θ argumentum´ u fθ egyenest. Vizsg´aljuk meg erre a θ-ra a bels˝o integr´alt. A t param´eter futtat´asa megfelel egy fθ -ra mer˝oleges egyenes eltol´as´anak, ´es a f¨ uggv´eny´ert´ek mindaddig 2, ´ am´ıg ez a mer˝oleges egyenes metszi K-t. Eppen ez´ert vezess¨ uk be a k¨ovetkez˝o jel¨ol´eseket: h1 (θ) = min{d ∈ R|eθ,d ∩ K 6= ∅}, ´es h2 (θ) = max{d ∈ R|eθ,d ∩ K 6= ∅}, ´ıgy az integr´alt a´t´ırhatjuk a k¨ovetkez˝o alakba:
1 2
Z 0
π
Z
1 nγK (eθ,t ) dt dθ = 2 R
Z
π
Z
h2 (θ)
Z
h2 (θ) − h1 (θ) dθ.
2 dt dµ = 0
h1 (θ)
π
0
´ Erdemes bevezetni a wK (θ) = h2 (θ)−h1 (θ) f¨ uggv´enyt. Ennek geometriai jelent´ese pontosan a K halmaz fθ egyenesre vett vet¨ ulet´enek hossza, ezt h´ıvjuk a K halmaz θ ir´any´ u sz´eless´eg´enek. Ezzel megkatuk az al´abbi a´ll´ıt´ast:
10
1. ´abra. Konvex lemez sz´eless´ege
´ ıt´ 1.3.1. All´ as (Cauchy-formula, speci´alis eset). Legyen K konvex lemez, melynek hat´ara a γK szakaszonk´ent folytonosan differenci´alhat´o z´art g¨orbe. Jel¨oRlje K θ ir´any´ u Rπ 1 π sz´eless´eg´et wK (θ). Ekkor lγK = 0 w(θ)dθ = πw(K), ahol w(K) = π 0 w(θ)dθ a K halmaz ´atlagsz´eless´ege. ´ Erdemes megjegyezni, hogy a fenti gondolatmenetben mind¨ossze annyi t¨ort´ent, hogy a m´ar bizony´ıtott integr´alformul´ankat lebontottuk, ´es ´eszrevett¨ uk, hogy a metsz´esi sz´am majdnem mindig 0 vagy 2. Val´oj´aban a Cauchy-formul´aban a hat´arra tett megszor´ıt´as felesleges. Konvex testek felsz´ın´et n dimenzi´oban is k¨onnyen lehet defini´alni be´ırt polit´opok seg´ıts´eg´evel, ´es a felsz´ınt konstans szorz´o erej´eig mindig megkaphatjuk a t´er minden ir´any´aba vett vet´ıt´esek (n − 1)-dimenzi´os m´ert´ekeinek a´tlagak´ent. Minderre a konvex halmazokkal foglalkoz´o fejezetben r´eszletesen kit´er¨ unk. Addig is a s´ıkbeli alkalmaz´asokn´al elfogadjuk, hogy konvex lemezeknek van ker¨ ulete, ´es hogy a Cauchy-formula teljes¨ ul a hat´arra tett megszor´ıt´as n´elk¨ ul. A formul´ank speci´alis esetek´ent megkapjuk Barbier t´etel´et: ´ 1.3.2. K¨ ovetkezm´ eny. Alland´ o sz´eless´eg˝ u konvex lemez ker¨ ulete megegyezik az azonos ´atm´er˝oj˝ u k¨or ker¨ ulet´evel. Felmer¨ ul a k´erd´es, hogy van-e a´lland´o sz´eless´eg˝ u lemez a k¨or¨on k´ıv¨ ul? Ellenkez˝o esetben Barbier t´etele nem volna sokatmond´o, ´ıgy sejthet˝o, hogy van. A legegyszer˝ ubb p´elda a Reuleaux-h´aromsz¨og. Ez egy szab´alyos h´aromsz¨og, melynek minden
11
cs´ ucs´ab´ol k¨or´ıvet h´ uzunk a szemk¨ozti k´et cs´ ucs k¨oz¨ott. Ez a konstrukci´o tetsz˝oleges p´aratlan oldal´ u szab´alyos soksz¨oggel elv´egezhet˝o, de vannak teljesen szab´alytalan” ” p´eld´ak is. A speci´alis Cauchy-formula bizony´ıt´as´anak egyik fontos pontja volt, hogy egy egyenes majdnem mindig 0 vagy 2 pontban metszi a hat´art, ´es ´ıgy az ´ert´ekb˝ol le tudjuk olvasni a metsz´esi viszonyt. Ez motiv´alja az Cauchy-formula k¨ovetkez˝o a´tfogalmaz´as´at: ´ ıt´ 1.3.3. All´ as. Legyen K konvex lemez, melynek ker¨ ulete k(K). Ekkor az ˝ot metsz˝o egyenesek halmaz´anak m´ert´eke k(K). Bizony´ıt´as. Z k(K) =
π
Z
π
Z
h2 (θ)
w(θ)dθ = 0
Z
dµ = µ {e|e ∪ K 6= ∅} .
1 dt dθ = 0
{e|e∩K6=∅}
h1 (θ)
Ennek az a´tfogalmaz´asnak a seg´ıts´eg´evel a formul´ankat felhaszn´alhatjuk geometriai val´osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´asi feladatok megold´as´ara. Legyenek p´eld´aul K ´es L konvex lemezek, ´es L ⊆ K. Ekkor annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy egy v´eletlen egyenes metszi k(L) . Ez m´ar o¨nmag´aban is figyelemrem´elL-et, felt´eve, hogy metszi K-t egyszer˝ uen k(K) t´o eredm´eny, azonban vizsg´aljuk meg azt az esetet is, amikor a bels˝o halmaz nem felt´etlen konvex lemez. Legyen teh´at ism´et K konvex lemez, ´es γ szakaszonk´ent folytonosan differenci´alhat´o g¨orbe, mely v´egig K-ban halad. Mivel nγ viselked´ese nem olyan egyszer˝ u, mint kor´abban, ez´ert nem a metsz´es val´osz´ın˝ us´eg´er˝ol, hanem a metsz´espontok v´arhat´o ´ert´ek´er˝ol tudunk mondani valamit. Jel¨olje a K-t metsz˝o egyenesek halmaz´at E(K), melynek m´ert´ek´ere µ(E(K)) = k(K). Az E(K)-beli egyenesek k¨oz¨ ul v´eletlenszer˝ uen v´alasztva egyet a metsz´espontok v´arhat´o ´ert´eke: R E(n) =
E(K)
nγ dµ
k(K)
=
2lγ . k(K)
Itt kihaszn´altuk, hogy nγ elt˝ unik az E(K) halmazon k´ıv¨ ul, hiszen ha egy egyenes metszi γ-t, akkor K-t is. Az el˝oz˝o a´ll´ıt´asnak egyszer˝ u k¨ovetkezm´enye, hogy van olyan egyenes, mely a 2lγ pontban metszi, hiszen a metsz´espontok maximuma nagyobb, g¨orb´et legal´abb k(K) mint az a´tlag. Ez ut´obbi a´ll´ıt´as ¨onmag´aban nem integr´algeometriai. Visszatekintve azt l´atjuk, hogy a bizony´ıt´as, melyen kereszt¨ ul eljutottunk id´aig a kombinatorik´aban el˝ofordul´o val´osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´asi m´odszerek egy folytonos megfelel˝oje: vegy¨ unk egy v´eletlen egyenest, ´es bebizony´ıtjuk, hogy a metsz´espontok sz´ama pozit´ıv val´osz´ın˝ us´eggel el´eg nagy. Amennyiben csak a γ g¨orbe adott, ´es mi v´alaszthatjuk a K-t, a 2lγ h´anyados akkor a legnagyobb,ha K a g¨orbe k´ep´enek konvex burka. k(K)
12
1.4. A Buffon-f´ ele t˝ uprobl´ ema A s´ıkbeli integr´algeometriai t´etelek sor´aba tartozik a m´elt´an nevezetes Buffon-f´ele t˝ uprobl´ema is. A k´erd´est m´eg a 18. sz´azadban vetette fel Georges-Louis Leclerc, Buffon gr´ofja: egy v´egtelen padl´on d t´avols´agonk´ent p´arhuzamos egyenes reped´esek tal´alhat´ok, mekkora a val´osz´ın˝ us´ege annak, hogy egy v´eletlenszer˝ uen leejtett l ≤ d hossz´ us´ag´ u t˝ u metszi az egyenesek valamelyik´et? A probl´ema figyelemrem´elt´o, hiszen a v´alaszban megjelenik a π, m´ıg a megold´as m´odszere megalapozta az integr´algeometria ´es geometriai val´osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as kapcsolat´at. Ebben a dolgozatban a feladatot nem a szokv´anyos m´odon bizony´ıtjuk. R¨ogz´ıts¨ uk a t˝ ut, ´es vegy¨ unk fel a felez˝opontja k¨or¨ ul egy d a´tm´er˝oj˝ u K k¨orlapot. Ezek ut´an helyezz¨ uk el a padl´ot v´eletlenszer˝ uen. A padl´o helyzet´et egy´ertelm˝ uen meghat´arozza a k¨oz´epponthoz legk¨ozelebbi egyenes. El˝ofordulhat, hogy k´et ilyen egyenes is van, ekkor azonban mindketten ´erintik a K-t, ´ıgy ennek val´osz´ın˝ us´ege az 1.2.3 k¨ovetkezm´eny szerint nulla. Ez´ert ezeket az eseteket is u ´gy szimul´aljuk, hogy egyetlen v´eletlen egyenest dobunk le, ´es ´ıgy csak nullm´ert´ek˝ u esetet sz´amolunk k´etszer”, ami a v´eg” eredm´enyt nem befoly´asolja. Ezen k´ıv¨ ul az is l´atszik, hogy csak ez az egy egyenes metszheti a t˝ ut, megint eltekintve az l = d esetben el˝oa´ll´o nullm´ert´ek˝ u kiv´etelt˝ol. Persze az egyenes az E(K) halmazb´ol ker¨ ul ki egyenletes val´osz´ın˝ us´eggel, ´ıgy a 2l 2l t˝ uvel vett metsz´espontok sz´am´anak v´arhat´o ´ert´eke k(K) = πd . Egy szakasznak egy egyenessel 0 vagy 1 metsz´espontja van, ´ıgy a v´arhat´o ´ert´ek megegyezik a metsz´es val´osz´ın˝ us´eg´evel. Ez a bizony´ıt´as egyb˝ol mutatja a k´erd´es lehets´eges a´ltal´anos´ıt´as´at. Engedj¨ uk meg, hogy a t˝ u szakasz helyett tetsz˝oleges szakaszonk´ent folytonosan differenci´alhat´o γ g¨orbe legyen, ´es a metsz´es val´osz´ın˝ us´ege helyett k´erdezz¨ uk a metsz´espontok sz´am´anak v´arhat´o ´ert´ek´et. Az el˝oz˝o gondolatmenet v´altoztat´as n´elk¨ ul m˝ uk¨odik, ha a γ g¨orbe befoglalhat´o egy d a´tm´er˝oj˝ u k¨orlapba. Az viszont vil´agos, hogy b´armely g¨orbe feloszthat´o ilyen darabokra, ´es a v´arhat´o ´ert´ek ´eppen a darabokra vett v´arhat´o ´ert´ekek o¨sszege, hiszen egy t¨or´espont nulla val´osz´ın˝ us´eggel fog valamely egyenesre esni. Ezzel megkaptuk a k¨ovetkez˝o t´etelt: 1.4.1. T´ etel. Egy γ szakaszonk´ent folytonosan differenci´alhat´o g¨orb´et v´eletlenszer˝ uen ledobva egy s´ıkra, melyen d t´avols´agonk´ent p´arhuzamos egyenesek tal´alhat´ok, a g¨orbe egyenesekkel vett metsz´espontjainak sz´ama v´arhat´oan 2l2dγ . Ennek a t´etelnek bemutatjuk egy intuit´ıv bizony´ıt´as´at is, melyet nem r´eszletez¨ unk ki teljes eg´esz´eben, de a gondolatmenet motiv´alja a k´es˝obb bevezet´esre ker¨ ul˝o ki´ert´ekel´es fogalm´at. M´asodik bizony´ıt´as: Tekints¨ unk egy l1 hossz´ u szakaszt, ´es legyen az X1 val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o a szakasznak az egyenesekkel vett metsz´espontjainak sz´ama. Tekints¨ unk egy l2 hossz´ us´ag´ u szakaszt, melyre ugyan´ıgy ad´odik egy X2 val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o. Ragasszuk ¨ossze a k´et szakasz egy-egy v´egpontj´at, ´ıgy a kapott t¨or¨ottvonalra az X1 + X2 − X1,2 val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o ad´odik, ahol X1,2 a k¨oz¨os v´egpont egyenesekkel vett metsz´espontjainak sz´am´at adja. Persze a ragaszt´as ut´an X1 ´es X2 nem f¨ uggetlenek, de a v´arhat´o ´ert´ekek ¨osszead´odnak:
13
E(X1 + X2 − X1,2 ) = E(X1 ) + E(X2 ) + E(X1,2 ) = E(X1 ) + E(X2 ). Vil´agos, hogy az E(X1 ) sz´am nem f¨ ugghet m´ast´ol, mint a szakasz egyetlen param´eter´et˝ol, a hossz´at´ol. Bevezetj¨ uk az f f¨ uggv´enyt, ahol f (t) a t hossz´ u szakasz egyenesekkel vett metsz´espontjainak v´arhat´o ´ert´eke. Ha az im´enti ragaszt´ast t¨ort´enetesen u ´gy v´egezz¨ uk, hogy a kapott t¨or¨ottvonal ism´et szakasz legyen, azt kapjuk, hogy f (l1 + l2 ) = E(X1 + X2 − X1,2 ) = E(X1 ) + E(X2 ) = f (l1 ) + f (l2 ). Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy a racion´alis sz´amokra megszor´ıtva f line´aris. Ha k´epzeletben egy hosszabb szakaszt egy r¨ovidebbre r¨ogz´ıt¨ unk l´atjuk, hogy a hosszabb szakasz mindig legal´abb annyi pontban metszi az egyeneseket, mint a r¨ovidebb, ´ıgy az f f¨ uggv´eny t-ben monoton, ´ıgy az eg´esz R-en line´aris, azaz f (t) = ct. T¨obb szakasz ¨osszeragaszt´as´aval tetsz˝oleges t¨or¨ottvonalra is l´atjuk, hogy a v´arhat´o ´ert´ek a hossz c-szerese. A γ g¨orb´et k¨ozel´ıts¨ uk a T t¨or¨ottvonallal, ekkor a g¨orb´ehez tartoz´o Y val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ot a T -hez tartoz´o X1 + · · · + Xk val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o j´ol k¨ozel´ıti, ´es hat´ar´atmenettel E(Y ) = f (lγ ) = c · lγ . Itt a c tov´abbra is univerz´alis konstans, nem f¨ ugg γ hossz´at´ol vagy alakj´at´ol. A meghat´aroz´as´ahoz v´alasszuk γ-t egy d a´tm´er˝oj˝ u k¨or ker¨ ulet´enek. Ekkor persze a ledobott k¨orvonal mindig k´et pontban metszi az egyeneseket, ´ıgy v´arhat´o ´ert´eke is 2 E(Y ) = 2. A g¨orbe hossza dπ, ´ıgy az egyenlet¨ unkbe be´ırva 2 = c · dπ, amib˝ol c = dπ ad´odik. Ezzel a t´etelt bel´attuk. ´ Erdemes kiemelni k´et gondolatot a bizony´ıt´asb´ol. El˝osz¨or is azt, hogy az egyenl˝os´eget el˝osz¨or egy konstanssal val´o szorz´ast´ol eltekintve bizony´ıtottuk, majd a l´enyeg´eben bebizony´ıtott t´etelt felhaszn´alva, egy j´ol v´alasztott p´elda seg´ıts´eg´evel hat´aroztuk meg a konstanst. A m´asodik gondolat m´ar nem annyira szembe¨otl˝o. A bizony´ıt´asunk alapjaiban azon m´ ulik, hogy szakaszokat ´es g¨orb´eket ¨ossze tudunk ragasztani. Ha az A ´es B g¨orb´ekre mint s´ıkbeli halmazokra gondolunk, melyek esetleg a´tfednek, az ´atfed´est A ∩ B-vel jel¨olve a hosszra lA∪B = lA + lB − lA∩B , ´es ugyanez igaz a metsz´espontok v´arhat´o ´ert´ek´evel is. Ez a tulajdons´ag lesz az alapja a ki´ert´ekel´es fogalm´anak.
14
2. Konvex halmazok Mint a Cauchy-formul´ab´ol ´es k¨ovetkezm´enyeib˝ol kider¨ ult, az integr´algeometria k´er´ d´esk¨or´eben fontos szerepet j´atszanak a konvex halmazok. Eppen ez´ert k¨ ul¨on fejezetet sz´anunk a konvex testek t´erfogat´anak ´es felsz´ın´enek prec´ız bevezet´es´ere, ´es az ezekhez kapcsol´od´o fontosabb t´etelek bizony´ıt´as´ara. A konvex halmazokkal kapcsolatos alapfogalmakat, mint p´eld´aul konvex burok, t´amaszhipers´ık, polit´op ´es konvex halmaz lapja, Minkowski-¨osszeg ismertnek t´etelezz¨ uk fel.
2.1. Approxim´ aci´ o polit´ opokkal Vizsg´alatainkat az Rn euklideszi t´erben v´egezz¨ uk, ahol d(x, y) jel¨oli az x ´es y pontok n t´avols´ag´at, ´es B(x, r) = {y ∈ R |d(x, y) < r} az x k¨oz´eppont´ u r sugar´ u ny´ılt g¨omu, r sugar´ u z´art g¨omb. Jel¨olje K a kompakt, b¨ot. Hasonl´oan B(x, r) az x k¨oz´eppont´ konvex r´eszhalmazok halmaz´at, m´ıg K+ ezek k¨oz¨ ul azokat, melyeknek belseje nem + u ¨res. K elemeit konvex testeknek, n = 2 esetben a kor´abbi sz´ohaszn´alatnak megfelel˝oen konvex lemez eknek nevezz¨ uk. Konvex polit´opon, vagy r¨oviden csak polit´opon v´eges sok pont konvex burk´at ´erj¨ uk, ´es ezek halmaz´at P-vel jel¨olj¨ uk, hasonl´oan P+ jel¨oli azokat, melyeknek belseje nem u ¨res. A K halmazra ´es r > 0 sz´amra legyen B(K, r) = {x ∈ Rn |d(x, K) < r} = S = y∈K B(y, r), ezt nevezz¨ uk a K halmaz r sugar´ u ny´ılt paralleltartom´any´anak. ´ Ertelemszer˝ uen a d(x, K) jel¨ol´esen az x pontnak a K kompakt halmazt´ol m´ert t´avols´ag´at ´ertj¨ uk. A B(K, r) halmaz fel´ırhat´o K + B(0, r) Minkowski-¨osszegk´ent, ami mutatja, hogy ha K konvex halmaz, S akkor tetsz˝oleges paralleltartom´anya is az. Hasonl´oan ´ertelmezz¨ uk a B(K, r) = y∈K B(y, r) z´art paralleltartom´anyt. Mivel mindig kompakt halmazok paralleltartom´anyait vizsg´aljuk, ez´ert B(K, r) lez´artja B(K, r). B˝ovebb halmaz paralleltarom´anya b˝ovebb, ´es a ford´ıtott ir´any is igaz, azaz ha K ´es L konvex halmazok, melyekre B(K, r) ⊆ B(L, r), akkor ebb˝ol K ⊆ L k¨ovetkezik. Val´oban, ha volna v ∈ K \ L, akkor v egy hipers´ıkkal szigor´ uan elv´alaszthat´o L-t˝ol. V´alasszuk ε-t az L ´es a hipers´ık t´avols´ag´an´al kisebbnek, ´es v-b˝ol az L-et nem tartalmaz´o f´elt´er ir´any´aban, a hipers´ıkra mer˝olegesen (r − ε)-t haladva olyan ponthoz ´er¨ unk, mely (B(K, r) \ B(L, r)) -ben van, ami ellentmond´as. Teh´at konvex testek k¨or´eben B(K, r) ⊆ B(L, r) akkor ´es csak akkor, ha K ⊆ L. Vil´agos, hogy P ⊆ K, ´es P+ ⊆ K+ , ´es az els˝o t´etel¨ unk azt fogalmazza meg, hogy konvex testek j´ol k¨ozel´ıthet˝ok polit´opokkal. ´ ıt´ 2.1.1. All´ as. Legyen K ∈ K+ konvex test. (a) B´armely L ⊆ int(K) kompakt halmazhoz ´es ε > 0 sz´amhoz tal´alhat´o olyan P ⊆ int(K) polit´op, melyre L ⊆ int(P ), ´es K ⊆ B(P, ε). (b) B´armely O ∈ int(K) ponthoz ´es η > 1 sz´amhoz tal´alhat´o olyan P ⊆ K polit´op, melyre K ⊆ int(NO,η (P )), ahol NO,η az O k¨oz´eppont´ u η ar´any´ u nagy´ıt´ast jel¨oli.
15
Bizony´ıt´as. Az (a) r´eszben el˝osz¨or vegy¨ unk minden L-beli pont k¨or´e egy olyan szimplexet, mely m´eg int(K)-ban van, majd ezek k¨oz¨ ul L kompakts´aga alapj´an v´alasszunk ki v´eges sokat, melyek fedik L-et, legyenek ezeknek cs´ ucsai az {S1 , S2 , . . . , Sk } pontok. Ekkor az Si -k konvex burka m´ar biztosan tartalmazza L-et. A m´asodik felt´etel biztos´ıt´as´ahoz vegy¨ unk fel minden int(K)-beli pont k¨or´e egy ε sugar´ u g¨omb¨ot, ezek egy¨ utt az eg´esz K-t fedik, ´ıgy annak kompakts´aga biztos´ıtja, hogy ezek k¨oz¨ ul kiv´alaszthat´o v´eges sok, melyek tov´abbra is fedik K-t. Ezek k¨oz´eppontjai legyenek a B1 , B2 , . . . , Bl pontok, ekkor az Si ´es Bj pontok k¨oz¨os konvex burk´anak ε sugar´ u paralleltartom´anya tartalmazza K-t. ´Igy h´at legyen P = conv({Si , Bj |i = = 1 . . . k, j = 1 . . . l}). A (b) r´eszhez legyen L = NO,1/η , ez persze int(K)-ban van, ez´ert alkalmazhatjuk r´a (tetsz˝oleges ε-nal) az (a) r´esz ´all´ıt´as´at, a kapott P polit´op megfelel˝o lesz. A fenti t´etel adta lehet˝os´egeket m´eg jobban ki tudjuk akn´azni, ha K-t metrik´aval l´atjuk el. Legyen K, L ∈ Rn korl´atos halmazokra δ(K, L) = inf {ε|K ⊆ B(L, ε) ´es L ⊆ B(K, ε)}. Ez a k´et halmaz Hausdorff-t´avols´aga. A defin´ıci´ob´ol vil´agos, hogy δ(K, L) = 0 ulvon´as lez´ar´ast jelent. Ez azt jelenti, akkor ´es csak akkor, ha K = L, ahol a fel¨ hogy ha kompakt halmazokra szor´ıtkozunk, akkor k´et halmaz t´avols´aga akkor ´es csak akkor 0, ha egybeesnek. Az is r¨ogt¨on l´atszik, hogy a Hausdorff-t´avols´ag szimmetrikus. V´eg¨ ul a h´aromsz¨og-egyenl˝otlens´eg k¨ovetkezik abb´ol, hogy ha K ⊆ B(L, ε) ´es L ⊆ B(M, η), akkor ezeket ¨osszef˝ uzve: K ⊆ B(L, ε) ⊆ B B(M, η), ε = B(M, ε + η) ¨ Osszefoglalva azt kaptuk, hogy: ´ ıt´ 2.1.2. All´ as. A Hausdorff-t´avols´ag metrika Rn kompakt r´eszhalmazain. ´ ıt´ 2.1.3. All´ as. P s˝ ur˝ u r´eszhalmaz K-ban, K pedig z´art r´eszhalmaz a kompakt halmazok ter´eben. ´ Bizony´ıt´as. A 2.1.1 ´all´ıt´as (a) pontj´ab´ol azonnal ad´odik, hogy P+ s˝ ur˝ u K+ -ban. Altal´aban elmondhat´o, hogy egy konvex halmaz a maga fesz´ıtette affin alt´erben konvex test, azaz erre az alt´erre szor´ıtkozva m´ar nem u ¨res a belseje, ´ıgy tudjuk haszn´alni az el˝obbi eredm´enyt. A 2.1.1 ´all´ıt´asb´ol ad´od´o, az affin alt´erben l´ev˝o P polit´op pedig az eredeti t´er dimenzi´oj´at´ol f¨ uggetlen¨ ul ε-n´al kisebb Hausdorff-t´avols´agra van K-t´ol. K z´arts´ag´ahoz vegy¨ unk egy nem konvex, de kompakt C halmazt. Mivel C nem konvex, vannak olyan X, Y ∈ C, Z ∈ [X; Y ] pontok, hogy Z ∈ / C. C kompakts´ag´a´ ıtjuk, hogy b´ol k¨ovetkezik, hogy ekkor l´etezik olyan ε > 0, hogy B(Z, ε) ∩ C = ∅. All´ 0 0 ha δ(C , C) < ε/2, akkor C sem lehet konvex, azaz K komplementere ny´ılt. C 0 -nek biztosan van pontja a B(X, ε/2) ´es B(Y, ε/2) g¨omb¨okben, legyenek ezek rendre X 0 ´es Y 0 . Ekkor az [X 0 ; Y 0 ] szakasz metszi a B(Z, ε/2) g¨omb¨ot. M´asr´eszt B(Z, ε/2) ∩ ∩B(C, ε/2) = ∅, hiszen B(Z, ε)∩C = ∅. Mivel δ(C 0 , C) < ε/2 miatt C 0 ⊆ B(C, ε/2), ´ıgy B(Z, ε/2) ∩ C 0 = ∅. B(Z, ε/2)-ben van [X 0 ; Y 0 ]-nek pontja, ami ´ıgy nem lehet C 0 -beli, ez´ert C 0 nem lehet konvex.
16
2.2. Felsz´ın ´ es t´ erfogat Minden polit´op Jordan-m´erhet˝o, ´es a 2.1.1 a´ll´ıt´as (b) pontja szerint minden K konvex testhez tudunk tal´alni P ⊆ K ⊆ Q polit´opokat, melyek t´erfogatainak k¨ ul¨onbs´ege tetsz˝olegesen kicsi lehet. Jel¨olje Vn az n-dimenzi´os Jordan-m´ert´eket. ´ ıt´ 2.2.1. All´ as. Minden K ∈ K+ konvex test Jordan-m´erhet˝o, ´es Vn (K) = sup{Vn (P )|P ∈ P+ , P ⊆ int(K)} = inf{Vn (Q)|Q ∈ P+ , K ⊆ int(Q)} A felsz´ın bevezet´ese m´ar egy kicsit t¨obb munk´at ig´enyel. Amennyiben n ≥ 2, egy polit´op felsz´ın´en a hiperlapok (n − 1)-dimenzi´os m´ert´ekeinek ¨osszeg´et ´ertj¨ uk, ´es S(P )-vel jel¨olj¨ uk. A k´es˝obbi alkalmaz´asok ´erdek´eben ´erdemes megvizsg´alni, hogy mi t¨ort´enik egy (n − 1)-dimenzi´os hipers´ıkban l´ev˝o m´erhet˝o halmaz (n − 1)-dimenzi´os t´erfogat´aval, ha mer˝olegesen vet´ıtj¨ uk egy hipers´ıkra. 2.2.2. Lemma. Legyenek H1 ´es H2 metsz˝o affin hipers´ıkok, ´es p : H1 → H2 a mer˝oleges vet´ıt´es. Ekkor minden M ⊆ H1 Jordan-m´erhet˝o halmazra Vn−1 (p(M )) = = cos(α)Vn−1 (M ), ahol α a k´et s´ık k¨ozbez´art sz¨oge. Bizony´ıt´as. Vil´agos, hogy a mer˝oleges vet´ıt´es megkaphat´o egy H1 ∩ H2 k¨or¨ uli forgat´as, majd ugyanezen tengely ment´en t¨ort´en˝o cos(α) ar´any´ u mer˝oleges affinit´as kompoz´ıci´ojak´ent. A forgat´as nem v´altoztatja a m´ert´eket, m´ıg az affinit´as a halmazt egy dimenzi´oj´aban (H1 ∩ H2 -re mer˝olegesen) h´ uzza ¨ossze, ´eppen a bizony´ıtand´o ar´annyal. ´ Erdemes megjegyezni, hogy a lemma az α = 0 esetben is igaz, amikor is H1 ´es H2 p´arhuzamosak. Ennek seg´ıts´eg´evel bebizony´ıtjuk a k¨ovetkez˝o a´ll´ıt´ast, mely a s´ıkbeli h´aromsz¨og-egyenl˝otlens´eg a´ltal´anos´ıt´as´anak is tekinthet˝o. ´ ıt´ 2.2.3. All´ as. Legyen L a P ∈ P+ polit´op egy hiperlapja, ilyenkor Vn−1 (L) < 1 < 2 S(P ). Bizony´ıt´as. Az a´ll´ıt´as azzal ekvivalens, hogy az L-t˝ol k¨ ul¨onb¨oz˝o hiperlapok t´erfogatuk a t¨obbi hiperlapot L hipers´ıkj´ara, ¨osszege nagyobb, mint az L t´erfogata. Vet´ıts¨ ekkor a vet¨ uletek fedik L-et, teh´at az ¨osszt´erfogat legal´abb akkora, mint L t´erfogata. A vet´ıt´es sor´an a hiperlapok t´erfogata a 2.2.2 lemma alapj´an nem n˝ohetett, s˝ot cs¨okkent is minden olyan esetben, amikor a vet´ıtett lap nem p´arhuzamos L-el, ´ıgy szigor´ u egyenl˝otlens´eget kapunk. ´ ıt´ 2.2.4. All´ as. Legyenek P1 , P2 ∈ P+ polit´opok, melyekre P1 ⊆ P2 . Ekkor A(P1 ) ≤ ≤ A(P2 ). Ezt az a´ll´ıt´ast n = 2 esetben a m´ar bizony´ıtott, speci´alis Cauchy-formul´ab´ol azonnal megkapjuk, hiszen soksz¨ogek hat´ara tekinthet˝o szakaszonk´ent folytonosan differenci´alhat´o g¨orb´enek. A formul´at fel´ırva, ´es kihaszn´alva, hogy b˝ovebb konvex halmaz minden ir´anyban sz´elesebb, megkapjuk az a´ll´ıt´ast.
17
Bizony´ıt´as. Jel¨olje k(P1 , P2 ) a P1 azon L hiperlapjainak sz´am´at, melyek t´enylegesen a P2 -ben vannak, azaz L * ∂P2 . Amennyiben k = 0, a k´et polit´op egybeesik, ´ıgy felsz´ın¨ uk egyenl˝o. Ezek ut´an a k(P1 , P2 ) sz´amra vonatkoz´o indukci´oval bizony´ıtunk. Az indukci´os l´ep´esben vegy¨ uk P1 -nek egy olyan L hiperlapj´at, melyre L * ∂P2 . V´agjuk kett´e a P2 polit´opot, L hipers´ıkja ment´en a P20 ´es P200 polit´opokra, ahol P1 ⊆ ⊆ P20 . Legyen a k´et polit´op k¨oz¨os hiperlapja L0 = hLi ∩ P2 . Ekkor kihaszn´alva, hogy unk biztos´ıtja, hogy S(P1 ) ≤ S(P20 ). A k(P1 , P20 ) < k(P1 , P2 ), az indukci´os feltev´es¨ 00 P2 polit´opra pedig alkalmazzuk az el˝obbi ´all´ıt´asunkat, miszerint S(P200 ) > 2Vn−1 (L0 ). Ezeket ¨osszerakva kapjuk, hogy S(P1 ) ≤ S(P20 ) + S(P200 ) − 2Vn−1 (L0 ) = S(P2 ), ezzel az indukci´os l´ep´est befejezt¨ uk. Most m´ar k¨onnyed´en be tudjuk vezetni tetsz˝oleges K konvex test felsz´ın´et. A t´erfogat mint´aj´ara vegy¨ uk az ¨osszes be´ırt ´es k¨or´e´ırt polit´opot, ´es vizsg´aljuk ezek felsz´ın´et. A 2.2.4 ´all´ıt´as szerint b´armely be´ırt polit´op felsz´ıne kisebb, mint b´armely k¨or´e´ırt´e. M´asr´eszt vegy¨ uk ´eszre, hogy egy NO,λ k¨oz´eppontos hasonl´os´agn´al n−1 S(NO,λ (P )) = λ S(P ), hiszen a felsz´ın (n − 1)-dimenzi´os t´erfogatok ¨osszege. ´Igy a 2.1.1 ´all´ıt´as seg´ıts´eg´evel azt l´atjuk, hogy tudunk u ´gy polit´opokat K-ba ´es K k¨or´e ´ırni, hogy azok felsz´ınei tetsz˝olegesen k¨ozel legyenek egym´ashoz. Ezt fogalmazza meg a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´as: ´ ıt´ 2.2.5. All´ as. B´armely K ∈ K+ konvex testre sup{S(P )|P ∈ P+ , P ⊆ int(K)} = = inf{S(Q)|Q ∈ P+ , K ⊆ int(Q)}. Ezt az S(K)-val jel¨olt k¨oz¨os ´ert´eket nevezz¨ uk a K konvex test felsz´ın´enek. Mind a t´erfogat, mind a felsz´ın monoton halmazf¨ uggv´eny, azaz ha k´et konvex testre K ⊆ L, akkor Vn (K) ≤ Vn (L), illetve S(K) ≤ S(L). Tov´abbi k¨oz¨os von´asuk, hogy homog´enek, azaz k¨oz´eppontos hasonl´os´agn´al mindig a hasonl´os´agi ar´any egy fix hatv´anyszoros´ara v´altoznak. A t´erfogat eset´en az ar´any n-edik, m´ıg a felsz´ın eset´en az (n − 1)-edik hatv´anyszoros´ara. ´ ıt´ 2.2.6. All´ as. Konvex testek t´erfogata ´es felsz´ıne folytonos a Hausdorff-metrik´ara n´ezve. Bizony´ıt´as. Legyen K ∈ K+ ´es ε > 0 tetsz˝oleges. Vegy¨ unk fel egy O pontot K belsej´eben, ´es O k¨oz´epponttal nagy´ıtsuk ´es kicsiny´ıts¨ uk K-t rendre η < 1 ´es 1 < λ ar´anyokkal, ´ıgy kapjuk a K1 ⊆ K ´es K ⊆ K2 konvex testeket. Vn (K1 ) = η n Vn (K), ´es Vn (K2 ) = λn Vn (K), teh´at az η ´es λ ar´anyokat 1-hez el´eg k¨ozel megv´alasztva el´erhet˝o, hogy Vn (K) − ε ≤ Vn (K1 ) ≤ Vn (K2 ) ≤ Vn (K) + ε. Legyen δ1 = d K1 , (Rn \int(K)) = inf{d x, (Rn \int(K)) |x ∈ K1 }, ´es hasonl´oan δ2 = d K, (Rn \ int(K2 )) , mely sz´amok a halmazok kompakts´ag´ab´ol ad´od´oan pozit´ıvak. Ezeknek a jelent˝os´ege az, hogy ha δ(K, L) < δ1 akkor a Hausdorff-metrika defin´ıci´oja szerint K ⊆ B(L, δ1 ), m´ıg a δ1 u ´gy lett megv´alasztva, hogy B(K1 , δ1 ) ⊆ K, ´ıgy a kett˝ob˝ol egy¨ utt B(K1 , δ1 ) ⊆ B(L, δ1 ) k¨ovetkezik, mely a halmazok konvexit´asa
18
miatt biztos´ıtja, hogy K1 ⊆ L. Hasonl´oan, ha δ(K, L) < δ2 akkor L ⊆ B(K, δ2 ) ⊆ ⊆ K2 . ´Igy teh´at azt l´atjuk, hogy ha δ(K, L) < min{δ1 , δ2 }, akkor K1 ⊆ L ⊆ K2 , amib˝ol a t´erfogat monotonit´as´anak seg´ıts´eg´evel: Vn (K) − ε ≤ Vn (K1 ) ≤ Vn (L) ≤ Vn (K2 ) ≤ Vn (K) + ε.
Ezzel a Vn t´erfogatf¨ uggv´eny K-beli folytonoss´ag´at bel´attuk. A felsz´ın folytonoss´ag´anak bizony´ıt´asa sz´or´ol sz´ora ugyan´ıgy t¨ort´enik azzal a k¨ ul¨onbs´eggel, hogy a hasonl´os´agn´al a felsz´ın η n−1 -gyel, illetve λn−1 -gyel szorz´odik, ´es u ´gy kell 1-hez kell˝oen k¨ozel v´alasztani ezeket, hogy a felsz´ın v´altozzon legfeljebb ε-nal.
2.3. Cauchy-formula a felsz´ınre A s´ıkban megismert 1.3.1 a´ll´ıt´as mint´aj´ara keres¨ unk formul´at konvex testek felsz´ın´ere. A s´ıkbeli esettel anal´og m´odon most is levet´ıtj¨ uk a test¨ unket a hipers´ıkokra, majd a vet¨ uletek eggyel kisebb dimenzi´os t´erfogatait a´tlagoljuk. Miel˝ott azonban t´etel¨ unket kimondjuk, bevezet¨ unk n´eh´any jel¨ol´est. Az Rn t´er t¨om¨or, ny´ılt egys´egg¨ombj´et jel¨olje Bn = B(0, 1), m´ıg a ennek hat´ar´at Sn−1 . Jel¨olje a z´art g¨omb t´erfogat´at ωn = Vn (Bn ), m´ıg a felsz´ın´et κn = S(Bn ). Egy V ≤ Rn line´aris alt´er ortogon´alis kieg´esz´ıt˝oter´et jel¨olje V ⊥ , m´ıg az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert egy 0 6= v ∈ Rn vektor eset´en legyen v ⊥ = hvi⊥ , azaz a v norm´alvektor´ u line´aris hipers´ık. V´eg¨ ul pedig jel¨olje pH a H ≤ Rn line´aris hipers´ıkra val´o mer˝oleges vet´ıt´est. 2.3.1. T´ etel. B´armely K ∈ K+ konvex testre S(K) =
1 ωn−1
Z
Vn−1 pv⊥ (K) dv.
Sn−1
Bizony´ıt´as. Legyen P ∈ P+ polit´op, melynek hiperlapjai {L1 , L2 , . . . , Lk }, az ezekhez tartoz´o k¨ uls˝o norm´alvektorok {u1 , u2 , . . . , uk }. Egy H hipers´ıkra vet´ıt´esn´el a k´ep ism´et polit´op lesz, melynek majdnem minden pontja k´etszeresen van fedve a hiperlapok vet¨ uletei a´ltal. Egy olyan k´eppont, melyre ez nem teljes¨ ul a vet¨ ulet hat´ar´ara esik, vagy t¨obb hiperlap metszet´enek vet¨ ulete. Azonban mindk´et esetben a kiv´eteles pontok halmaza nullm´ert´ek˝ u, ´ıgy igaz a k¨ovetkez˝o egyenl˝os´eg:
Vn−1
k 1X pH (P ) = Vn−1 pH (Li ) . 2 i=1
Ezek ut´an az integr´alt fel´ırva
19
Z Vn−1
k 1X Vn−1 pv⊥ (Li ) dv = Sn−1 2 i=1 k Z 1X cos α(Li , v ⊥ ) Vn−1 (Li ) dv = = 2 i=1 Sn−1 Z k 1X cos α(ui , v) dv. = Vn−1 (Li ) 2 i=1 Sn−1
pv⊥ (P ) dv =
Sn−1
Z
A fenti kifejez´esekben α(Li , v ⊥ ) az hLi i ´es v ⊥ hipers´ıkok sz¨og´et jel¨oli (melyet mindig π/2-n´el kisebbnek defini´alunk). Hasonl´oan α(ui , v) az ui ´es v vektorok sz¨og´et jel¨oli. Mivel a k´et vektor ´epp a hipers´ıkok norm´alvektora, ez´ert a sz¨ogek koszinuszainak abszol´ ut ´ert´eke megegyezik. Mivel minden vektorunk egys´eg hossz´ us´ag´ u, ´ıgy | cos(α(ui , v))| = |ui · v|, ahol a jobb oldal a vektorok skal´aris szorzat´anak abszol´ ut ´ert´ek´et jel¨oli. R Vegy¨ uk ´eszre, hogy az Sn−1 |ui ·v| dv kifejez´es nem f¨ ugg ui -t˝ol. Tekints¨ uk ugyanis n−1 n az fu : S → R , fu (v) = |u·v| f¨ uggv´enyeket. Jel¨olj¨ unk ki egy tetsz˝oleges w ∈ Sn−1 vektort, ´es legyen φi ∈ O(n) olyan ortogon´alis transzform´aci´o, melyre φi (ui ) = w. Ekkor fui = fw ◦ φi , ´es mivel az Sn−1 -en a felsz´ıni m´ert´ek O(n)-invari´ans, ez´ert ezek integr´alja az eg´esz t´eren egyenl˝o. Mivel az integr´al megegyezik az ¨osszes ui -re, ´ıgy kiemelhet˝o : ! X Z Z k k 1 1X |w · v| dv Vn−1 (Li ) = cn · S(P ). Vn−1 (Li ) |ui · v| dv = 2 i=1 2 Sn−1 Sn−1 i=1 R Itt cn = 21 Sn−1 |w · v| dv egy csak a dimenzi´ot´ol f¨ ugg˝o konstans. Az el˝obbi egyenl˝os´eget megmutatjuk tetsz˝oleges K konvex testre is. Legyenek P ⊆ K ⊆ Q be´es k¨or´e´ırt polit´opok, ekkor a t´erfogat monotonit´as´at az integr´alon bel¨ ul felhaszn´alva: Z cn S(P ) =
Vn−1 Sn−1
Z pv⊥ (P ) dv ≤ Vn−1 pv⊥ (K) dv ≤ Sn−1 Z ≤ Vn−1 pv⊥ (Q) dv = cn S(Q). Sn−1
Ebb˝ol hat´ar´atmenettel: Z cn S(K) ≤
Vn−1 pv⊥ (K) dv ≤ cn S(K).
Sn−1
V´eg¨ ul a cn konstans meghat´aroz´as´ahoz legyen K = Bn , ekkor a felsz´ın κn , m´ıg minden vet¨ ulet egy n − 1-dimenzi´os z´art, t¨om¨or g¨omb, melynek n − 1-dimenzi´os t´erfogata ωn−1 . Az integr´alban teh´at konstans f¨ uggv´enyt integr´alunk, m´eghozz´a egy κn m´ert´ek˝ u halmazon, ´ıgy az egyenlet a cn κn = κn ωn−1 alakot ¨olti, melyb˝ol cn = = ωn−1 . Ezzel a t´etelt bebizony´ıtottuk.
20
2.3.2. K¨ ovetkezm´ eny. Tetsz˝oleges w ∈ Sn−1 vektorra
R Sn−1
|w · v| dv = 2ωn−1 .
2.4. A Steiner–Minkowski-t´ etel ´Irjuk fel egy s´ıkbeli P soksz¨og r sugar´ u z´art paralleltartom´any´anak ter¨ ulet´et! A paralleltartom´any felbomlik a k¨ovetkez˝o r´eszekre: az eredeti soksz¨og, minden oldalra kifel´e a´ll´ıtott r sz´eless´eg˝ u t´eglalap, ´es a cs´ ucsokn´al egy-egy r sugar´ u k¨orcikk. A 2. ´abra. Soksz¨og norm´alfelbont´asa
k¨orcikkeket ¨osszetolva persze ´epp egy teljes k¨orlapot kapunk, ´ıgy a ter¨ ulet V2 (P ) + +k(P )r+πr2 , ahol k(P ) a soksz¨og ker¨ ulet´et jel¨oli. A kapott ter¨ ulet r-nek m´asodfok´ u polinomja, ´es az egy¨ utthat´ok k¨oz¨ott szerepel P ter¨ ulete, ´es ker¨ ulete is. Ugyanezt a jelens´eget szeretn´enk megvizsg´alni magasabb dimenzi´oban is. Legyen K konvex test, ´es a ∈ ∂K eset´en NK (a) = {x ∈ Rn \ int(K) |d(x, K) = = d(x, a)} azon pontok halmaza, melyekhez K-b´ol az a pont van a legk¨ozelebb. K konvexit´as´ab´ol k¨ovetkezik, hogy ha a 6= b, akkor NK (a) ∩ NK (b) = ∅. Ha x ∈ ∈ NK (a), akkor az x − a vektorra mer˝oleges, a-n ´athalad´o hipers´ık t´amaszhipers´ıkja a K halmaznak az a pontban, ´es megford´ıtva, a-b´ol b´armely ottani t´amaszhipers´ıkra mer˝olegesen kifel´e mutat´o f´elegyenesSNK (A)-ban van. Minden K-n k´ıv¨ uli ponthoz van K-ban legk¨ozelebbi, ez´ert K ∪ a∈∂K NK (a) = Rn , vagyis a t´er felbomlik az ~ K (a) = {x − a|x ∈ NK (a)} az NK (a)-beli vekNK (a) halmazok uni´oj´ara. Legyen N torok Shalmaza. Mivel egy konvex testnek minden ir´anyb´ol van t´amaszhipers´ıkja, ~ K (a) = Rn , vagyis minden ir´any megtal´alhat´o valamelyik N ~ K (a)-ban. ez´ert a∈∂K N Amennyiben L val´odi lapja K-nak, ´es a, b ∈ relint(L), akkor a hozz´ajuk tartoz´ o t´a~ ~ maszhipers´ıkok megegyeznek, ez´ert NK (a) = NK (b), ´es NK (b) = tb−a NK (a) , ahol tv a v ∈ Rn vektorral val´o eltol´as.
21
Poli´ederekre ez a felbont´as m´eg a´tl´athat´obb. Jel¨olje a P ∈ P+ laph´al´oj´at L(P ), ´es ~ P (L) = N ~ P (a) tetsz˝oleges a ∈ relint(L) v´alaszt´assal. hLi ´es L ∈ L(P ) eset´en legyen N ~ P (L)i mer˝oleges kieg´esz´ıt˝ok, amib˝ol k¨ovetkezik, hogy dim(N ~ P (L)) = n − dim(L), hN ~ P (L1 ) ⊇ N ~ P (L2 ), vagyis az {N ~ P (L)|L ∈ L(P )} halmaz a tar´es L1 ⊆ L2 lapokra N talmaz´asra n´ezve L(P )-vel du´alisan izomorf h´al´ot alkot. Ennek k¨ovetkezm´enyek´ent S n ~ a∈P cs´ ucs NP (a) = R . P val´odi lapjaira defini´aljuk a hozz´ajuk tartoz´o norm´altartom´anyt: [ NP (a) = {x ∈ (Rn \ int(K))|d(x, P ) = d(x, L)}. NP (L) = a∈relint(L)
L = P eset´en legyen NP (P ) = P , ´ıgy a kapott norm´altartom´anyok egy¨ utt fedik az eg´esz teret, ´es p´aronk´ent k¨oz¨os bels˝o pont n´elk¨ uliek. Az NP (L) norm´altartom´any ~ P (L) direkt szorzattal. egybev´ag´o az L × N Ebb˝ol a felbont´asb´ol term´eszetes m´odon kapjuk a B(P, r) paralleltartom´any fel~ P (L, r) = N ~ P (L) ∩ bont´as´at, legyen DP (L, r) = NP (L) ∩ B(P, r), ´es hasonl´oan D ~ P (L, r) direkt szor∩ B(0, r). Tov´abbra is igaz, hogy DP (L, r) egybev´ag´o az L × D zattal. S A B(P, r) = ∅6=L∈L(P ) DP (L, r) felbont´asb´ol a t´erfogatra a k¨ovetkez˝o egyenl˝os´eg ad´odik: Vn B(P, r) =
X
~ P (L, r) . Vdim(L) (L) · Vn−dim(L) D
∅6=L∈L(P )
~ P (L, r)) = Vn−dim(L) (D ~ P (L,1))·rn−dim(L) . A t´erfogat homogenit´as´ab´ol Vn−dim(L) (D Ezeket a kiemel´eseket elv´egezve, ´es az azonos fok´ u tagokat ¨osszevonva kapjuk, hogy: n X Vn B(P, r) = mi (P )ri , ahol mi (P ) = i=0
X
~ P (L,1) . Vn−i (L) · Vi D
∅6=L∈L(P ),dim(L)=n−i
Itt az mi (P ) egy¨ utthat´ok csak P -t˝ol f¨ uggnek. A konstans tag defin´ıci´oj´aban meg~ jelenik a V0 (DP (P,1)) t´enyez˝o, ami ´ertelmetlen, l´ev´en V0 -t nem defini´altuk. Mindenesetre ennek ´ert´ek´et 1-nek v´eve (amir˝ol k´es˝obb l´atni fogjuk, hogy nem alaptalan) m0 (P ) = Vn (P ), ´es val´oban ez az ¨osszegben az egyetlen tag, ami nulladfok´ u. Ugyanez S ~ a probl´ema fenn´all az mn egy¨ utthat´on´al is, ami pedig a∈P cs´ucs DP (a,1) = B(0,1) k¨ovetkezt´eben ωn -nel egyenl˝o. K¨onnyen ´at´ırhat´o m´eg az m1 egy¨ utthat´o is, hiszen egy L hiperlapra ~ P (L,1) = Vn−1 (L). Vn−1 (L) · V1 D Ezek o¨sszege ´eppen a polit´op S(P ) felsz´ıne. Ezzel teljess´eg´eben ´altal´anos´ıtottuk a s´ıkbeli esetet. A k¨ovetkez˝o t´etelben bebizony´ıtjuk egy ugyanilyen polinom l´etez´es´et tetsz˝oleges konvex test eset´en.
22
2.4.1. T´ etel (Steiner, Minkowski). Tetsz˝oleges K ∈ K+ konvex testhez l´eteznek mi (K) ≥ 0 egy¨ utthat´ok (i = 0, . . . , n), hogy a test r sugar´ u paralleltartom´any´ara n X Vn B(K, r) = mi (K)ri i=0
ahol az mi -k K-ban folytonosak, ´es speci´alisan m0 (K) = Vn (K), m1 (K) = S(K) ´es mn (K) = ωn . Bizony´ıt´as. Mivel a polinom l´etez´es´et polit´opokra m´ar igazoltuk, ez´ert vegy¨ unk egy Pk polit´opsorozatot, mely a Hausdorff-metrik´aban K-hoz tart. Ekkor tal´alhat´o kell˝oen nagy u g¨ombben tal´alhat´o. P R sug´ar, melyre az ¨osszes Pk polit´op egy R sugar´ Ebb˝ol ni=0 mi (Pk )ri ≤ ωn (R+r)k , ´ıgy mi (Pk )-ra k-t´ol f¨ uggetlen korl´atot adhatunk: mi (Pk ) ≤ (R + r)d /ri tetsz˝oleges r pozit´ıv sz´amra. Mivel az mi (Pk ) sz´amsorozat korl´atos, megfelel˝o konvergens r´eszsorozatra szor´ıtkozva feltehet˝o, hogy mi (Pk ) konvergens. Ezt a v´eges sok i indexre elv´egezve teh´at olyan Pk r´eszsorozatra t´ert¨ unk ´at, melyre mi (Pk ) konvergens minden i-re. Legyen teh´at mi (K) = limk→∞ mi (Pk ). A B(K, r) halmaz t´erfogat´at szeretn´enk fel´ırni, m´eghozz´a a B(P, r) halmazok t´erfogatainak seg´ıts´eg´evel. A t´erfogat folytonoss´ag´at m´ar bel´attuk, teh´at ha bebizony´ıtan´ank, hogy limk→∞ B(Pk , r) = B(K, r), akkor a t´erfogatot fel´ırhatn´ank limeszk´ent. Vegy¨ uk ´eszre, hogy ´eppen a B( . , r) oper´ator folytonoss´ag´at szeretn´enk haszn´alni. Val´oj´aban B( . , r) t´avols´agtart´o is, amib˝ol k¨ovetkezik, hogy folytonos. A t´avols´agtart´as abb´ ol l´atszik, hogy K 1 ⊆ B(K2 , ε) akkor ´es csak akkor, ha B(K1 , r) ⊆ ⊆ B B(K2 , ε), r = B B(K2 , r), ε . ´Igy Vn (B(K, r)) = Vn (B( lim Pk , r)) = Vn ( lim B(Pk , r)) = lim Vn (B(Pk , r)) = k→∞
= lim
k→∞
k→∞
n X
mi (Pk )ri =
i=0
n X i=0
k→∞
lim mi (Pk )ri =
k→∞
n X
mi (K)ri .
i=0
Bel´attuk teh´at, hogy a paralleltartom´any t´erfogata polinomf¨ uggv´enye az r-nek. M´arpedig egy polinomf¨ uggv´eny meghat´arozza az egy¨ utthat´oit, ´ıgy l´atjuk, hogy az mi (K) sz´amok val´oban csak i-t˝ol ´es K-t´ol f¨ uggnek, a polit´opok r´eszsorozat´anak v´alaszt´as´at´ol nem. A K-t´ol val´o folytonos f¨ ugg´est is hasonl´oan indokolhatjuk, hiszen a Vn folytonoss´ag´ab´ol k¨ovetkezik, hogy ha Ki → K, akkor ∀r > 0-ra a Ki -hez tartoz´o paralleltartom´anyok t´erfogata tart B(K, r)-hez, azaz a megfelel˝o polinomf¨ uggv´enyek pontonk´ent konverg´alnak egy polinomf¨ uggv´enyhez, ebb˝ol pedig az egyes egy¨ utthat´ok konvergenci´aja m´ar k¨ovetkezik. V´eg¨ ul pedig a folytonoss´ag k¨ovetkezm´enyek´ent kapjuk az m0 , m1 ´es mn egy¨ utthat´okra vonatkoz´o ´all´ıt´asokat, hiszen azokat polit´opokra m´ar meggondoltuk. A t´etel¨ unkben megjelen˝o mi (K) egy¨ utthat´oknak a k´es˝obbiekben komoly figyelmet szentel¨ unk. Addig is jegyezz¨ uk meg, hogy konvex testek t´erfogata ´es felsz´ıne is rendelkezik a Buffon t˝ uprobl´em´an´al kiemelt tulajdons´aggal, vagyis hogy ha A ´es B konvex testekre A ∪ B is konvex, akkor Vn (A ∪ B) = Vn (A) + Vn (B) − Vn (A ∩ B). Z´ar´ask´ent kimondjuk a Steiner–Minkowski-t´etel egy szeml´eletes k¨ovetkezm´eny´et.
23
2.4.2. T´ etel. Tetsz˝oleges K ∈ K+ konvex testre Vn B(K, r) − Vn (K) S(K) = lim r→0 r Bizony´ıt´as. A paralleltartom´any t´erfogat´at le´ır´o polinom konstans tagja kiesik, az oszt´as ut´an m1 (K) = S(K) lesz az u ´j konstans, ami persze ´epp a 0-ban felvett hat´ar´ert´ek.
24
3. Ki´ ert´ ekel´ esek A k¨ovetkez˝o fejezetben bevezetj¨ uk a ki´ert´ekel´esek fogalm´at, melyet a kor´abban kiemelt p´eld´akb´ol absztrah´alunk. Legyen S halmaz, ∅ ∈ L pedig S r´eszhalmazainak egy halmaza, vagyis L ⊆ P (S). Feltessz¨ uk tov´abb´a, hogy L z´art a v´eges metszet- ´es uni´ok´epz´esre, vagyis az L-beli halmazok disztribut´ıv h´al´ot alkotnak a tartalmaz´asra, mint r´eszbenrendez´esre n´ezve. Egy µ : L → R f¨ uggv´eny ki´ert´ekel´es, ha minden A, B ∈ L eset´en µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) − µ(A ∩ B), ´es
(3.0.1)
µ(∅) = 0.
(3.0.2)
Az egyik els˝o probl´ema, amivel szembes¨ ul¨ unk az, hogy a konvex halmazok – melyeknek k¨or´eben a ki´ert´ekel´eseket vizsg´alni szeretn´enk – nem z´artak az uni´ok´epz´esre. Ezt m´eg k¨onnyen meg tudjuk ker¨ ulni, ha konvex halmazok v´eges uni´oir´ol besz´el¨ unk. Ekkor azonban az el˝oz˝o fejezetben bevezetett t´erfogatot ´es felsz´ınt m´ar nem tudjuk minden tov´abbi indokl´as n´elk¨ ul ´ertelmezni.
3.1. Ki´ ert´ ekel´ esek kiterjeszt´ ese Vizsg´aljuk meg ´altal´anosan a k´erd´est. Legyen G ⊆ L olyan metszetz´art halmazrendszer, mely gener´alja az L h´al´ot abban az ´ertelemben, hogy minden A ∈ L halmaz el˝oa´ll A = B1 ∪ . . . ∪ Bk alakban, ahol Bi ∈ G. Vil´agos, hogy ha µ ki´ert´ekel´es az eg´esz L-en, akkor a 3.0.1 ism´etelt alkalmaz´as´aval kapjuk, a 3.1.1 formul´at. µ(B1 ∪ . . . ∪ Bk ) =
X
µ(Bi ) −
X
µ(Bi ∩ Bj ) + . . .
(3.1.1)
1≤i<j≤k
1≤i≤k
Ez a szita-formula megfelel˝oje a µ ki´ert´ekel´esre. Teh´at ha µ ki´ert´ekel´es, akkor el´eg csak egy olyan G ⊆ L halmazon ismerni az ´ert´ekeit, mely gener´alja L-et. Minket pont az ellenkez˝o ir´any ´erdekel, amikor a leend˝o ki´ert´ekel´es¨ unk adott Gn, ´es szeretn´enk l´atni, hogy van-e az eg´esz L-en olyan ki´ert´ekel´es, mely kiterjeszt´ese a m´ar adott ´ert´ekeknek. Persze a 3.1.1 seg´ıts´eg´evel ki tudjuk terjeszteni, azonban semmi sem garant´alja a j´oldefini´alts´agot. Egy µ0 : G → R halmazf¨ uggv´enyt akkor h´ıvunk ki´ert´ekel´esnek, ha teljes´ıti a 3.0.1 egyenletet minden olyan esetben, amikor A, B, ´es A ∪ B is G-beli halmazok. Mivel a´ltal´aban nem tudjuk, hogy A ∪ B ∈ G, ez´ert nem tudjuk iter´alni a 3.0.1 egyenletet, ´ıgy G-n nem felt´etlen teljes¨ ul a 3.1.1 formula. Form´alisan bevezetj¨ uk a µ szerinti integr´al´ast S-en, mert ennek l´etez´ese szorosan ugg a ki´ert´ekel´es kiterjeszthet˝os´eg´evel. Jel¨olje IA az A ∈ L halmaz karakterisz¨osszef¨ tikus f¨ uggv´eny´et, vagyis IA : S → {0,1}, mely pontosan A elemein vesz fel 1-et. Egy f : S → R f¨ uggv´enyt egyszer˝ u nek h´ıvunk, ha el˝oa´ll L-beli Pk halmazok karakterisztikus f¨ uggv´enyeinek v´eges line´aris kombin´aci´ojak´ent, f = i=1 ci IAi , ahol minden Ai ∈ L.
25
Egy f¨ uggv´eny egyszer˝ us´ege persze f¨ ugghet att´ol, hogy mely L h´al´ot vizsg´aljuk, sz¨ uks´eg eset´en ezt hangs´ ulyozni fogjuk. Az egyszer˝ u f¨ uggv´enyek vektorteret alkotnak, hiszen a felbont´asban szerepl˝o halmazrendszerek o¨sszefinom´ıthat´oak L metszetz´arts´aga miatt. Ha G gener´alja az L-et, akkor egy f egyszer˝ u f¨ uggv´eny felbont´as´aban feltehet˝o, hogy minden Ai halmaz G-beli. Val´oban, minden L-beli halmaz el˝oa´ll G-beliek uni´ojak´ent, ´es n´eh´any halmaz uni´oj´anak karakterisztikus f¨ uggv´enye kifejezhet˝o a k¨ovetkez˝ok´eppen: X X IB1 ∪...∪Bk = IBi − IBi ∩Bj + · · · + (−1)k−1 IB1 ∩...∩Bk . 1≤i≤k
1≤i<j≤k
Legyen µ0 ki´ert´ekel´es G-n, ekkor tudjuk defini´alni az el˝obbi f egyszer˝ u f¨ uggv´eny µ szerint vett integr´alj´at: 0
Z
0
f dµ =
k X
ci µ0 (Ai ).
i=1
Mivel az f felbont´asa nem egy´ertelm˝ u, ez´ert persze az el˝obbi integr´alr´ol sem l´atjuk, hogy j´oldefini´alt volna. 3.1.1. T´ etel. Legyen G gener´al´o halmaza az L h´al´onak, ´es µ0 ki´ert´ekel´es G-n. A k¨ovetkez˝o ´all´ıt´asok ekvivalensek: (a) A µ0 ki´ert´ekel´es kiterjed az eg´esz L h´al´o egy ki´ert´ekel´es´eve. (b) A µ0 -re teljes¨ ul a szita-formula µ0 (A1 ∪ . . . ∪ Ak ) =
X
µ0 Ai −
1≤i≤k
X
µ0 (Ai ∩ Aj ) + . . .
1≤i<j≤k
minden esetben, amikor A1 ∪ . . . ∪ Ak ∈ G. (c) A µ0 ki´ert´ekel´es ´altal defini´alt integr´al az egyszer˝ u f¨ uggv´enyeken j´oldefini´alt. Bizony´ıt´as. Ha µ0 kiterjeszthet˝o, akkor a kiterjesztettre a 3.0.1 egyenlet ism´etl´es´evel kapjuk a szita formul´ankat, mely t¨obbek k¨oz¨ott G-beli halmazokkal is teljes¨ ul, ezzel az (a) ⇒ (b) ir´anyt bel´attuk. A (b) ⇒ (c) ir´any igazol´as´ahoz indirekten tegy¨ uk fel, hogy egy egyszer˝ u f¨ uggv´eny k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o fel´ır´as´ab´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o integr´alok ad´odnak. A fel´ır´asok k¨ ul¨onbs´ege ekkor olyan fel´ır´asa az azonosan nulla f¨ uggv´enynek, melynek integr´alja nem nulla: k X i=1
ci IAi = 0,
k X i=1
26
ci µ0 (Ai ) 6= 0.
Vegy¨ uk az Ai halmazok ¨osszes lehets´eges metszet´et: L1 = A1 , . . . , Lk = Ak , Lk+1 = = A1 ∩A2 , Lk+2 = A1 ∩A3 , . . . , Lp = A1 ∩. . .∩Ak . A kapott {Li } rendszer tov´abbra is G-beli halmazokb´ol a´ll, ´es metszetz´art. Vegy¨ unk olyan αi egy¨ utthat´okat, melyekre: p X i=q
αi ILi = 0,
p X
αi µ0 (Li ) 6= 0.
i=q
Az indirekt feltev´es¨ unk pont az volt, hogy ilyen line´aris kombin´aci´o van, most az ¨osszes ilyen k¨oz¨ ul vett¨ uk azt, melyre q a lehet˝o legnagyobb. A maximalit´asb´ol k¨ovetkezik, hogy αq 6= 0, k¨ ul¨onben n´ezhetn´enk a szumm´at (q + 1)-t˝ol. S p ´ All´ıtjuk, hogy Lq ⊆ Lq+1 ∪ . . . ∪ Lp . Ellenkez˝o esetben egy x ∈ Lq \ i=q+1 Li Pp elemben ki´ert´ekelve a f¨ uggv´enyt αq = i=q αi ILi (x) = 0 ad´odna, amit l´attunk, hogy lehetetlen. S p Ekkor viszont az Lq = os´eg mutatja, hogy Lq fel´ırhai=q+1 (Lq ∩ Li ) egyenl˝ t´o magasabb index˝ u Lj halmazok uni´ojak´ent, ´es ´ıgy karakterisztikus f¨ uggv´enye is kifejezhet˝o a magasabb index˝ u halmazok karakterisztikus f¨ uggv´enyeivel, a karakterisztikus f¨ uggv´enyekre fel´ırt szita-formula seg´ıts´eg´evel. Az αq ILq tag hely´ere ezt be´ırva, majd az azonos karakterisztikus f¨ uggv´enyek egy¨ utthat´oit ¨osszevonva kapjuk Pp β I = 0. A (b) a´ll´ıt´as viszont ´eppen azt a βi egy¨ utthat´okat, melyekkel i=q+1 i Li 0 garant´alja, hogy a µ (Lq ) ´ert´ek is fel´ırhat´o a szita-formul´aP val, ´es ´ıgy ugyanazokkal az ¨osszevon´asokkal ugyanazokat a βi egy¨ utthat´okat kapva pi=q+1 βi µ0 (Li ) 6= 0, ami ellentmond q maximalit´as´anak. Ezzel a (b) ⇒ (c) implik´aci´ot bel´attuk. ul a (c) ⇒ (a) ir´anyhoz defini´aljuk a µ ki´ert´ekel´est az eg´esz L-en a µ(A) = RV´eg¨ = IA dµ0 formula seg´ıts´eg´evel. Ekkor IA∪B = IA + IB − IA∩B alapj´an, az integr´al linearit´as´at haszn´alva azonnal ad´odik, hogy µ ki´ert´ekel´es L-en. A bizony´ıt´ast befejezt¨ uk. A bizony´ıt´as utols´o szakasz´ab´ol l´atszik, hogy ha T az egyszer˝ u f¨ uggv´enyek ter´en ´ertelmezett line´ a ris f¨ u ggv´ e ny, akkor a µ(A) = T (I ) halmazf¨ u ggv´ eny ki´ert´ekel´es, A R melyre f dµ = T (f ) minden f egyszer˝ u f¨ uggv´enyre, teh´at bijekt´ıv kapcsolat van a ki´ert´ekel´esek, ´es az egyszer˝ u f¨ uggv´enyeken ´ertelmezett line´aris f¨ uggv´enyek k¨oz¨ott. Mivel IA\B = IA − IA∩B , ami tov´abbra is egyszer˝ u f¨ uggv´eny, ´ıgy egy L-en ´ertelmezett ki´ert´ekel´es kiterjeszthet˝o a B(L) halmazrendszerre, ahol B(L) a legkisebb olyan L-et tartalmaz´o halmazrendszer, mely nem csak a v´eges metszetre ´es uni´ora z´art, hanem halmazok k¨ ul¨onbs´eg´enek k´epz´es´ere is.
3.2. Kiterjeszt´ es konvex halmazokr´ ol Mint azt m´ar eml´ıtett¨ uk, konvex halmazok v´eges uni´oin szeretn´enk ki´ert´ekel´eseket vizsg´alni. A 2. fejezet jel¨ol´eseivel o¨sszhangban jel¨olje Kn az n-dimenzi´os euklideszi t´er kompakt, konvex halmazainak halmaz´at. Kn -beli halmazok v´eges uni´oj´at polikonvex nek h´ıvjuk, ´es ezek halmaz´at Polycon(n)-nel jel¨olj¨ uk. Mivel Kn metszetz´art, ez´ert
27
Polycon(n) h´al´o, melyet persze Kn gener´al. A 3.1.1 t´etel seg´ıts´eg´evel terjessz¨ uk ki a konvex halmazokon l´ev˝o ki´ert´ekel´eseinket – mint p´eld´aul a t´erfogatot, vagy ahogy k´es˝obb l´atni fogjuk, a felsz´ınt – Polycon(n)-re! Egy ki´ert´ekel´es konvex-folytonos, ha minden Ki → K esetben, ahol a Ki halmazok konvexek teljes¨ ul, hogy µ(Ki ) → µ(K). Ennek nem kell teljes¨ ulnie, ha a Ki halmazokat Polycon(n)-b˝ol vessz¨ uk. A konvergenci´at konvex halmazok eset´en a Hausdorff-metrik´ara n´ezve ´ertj¨ uk. 3.2.1. T´ etel. B´armely Kn -en adott konvex-folytonos µ ki´ert´ekel´es egy´ertelm˝ uen kiterjeszthet˝o Polycon(n) egy ki´ert´ekel´es´ev´e. Bizony´ıt´as. El´eg bebizony´ıtanunk, hogy tudunk µ szerint integr´alt defini´alni. A dimenzi´ora vonatkoz´o indukci´oval bizony´ıtunk. Az ´all´ıt´as n = 0 dimenzi´oban semmitmond´o. Indirekten tegy¨ uk fel, hogy n dimenzi´oban l´eteznek K1 , . . . Kk konvex halmazok, melyekre k k X X αi IKi = 0, αi µ(Ki ) = 1. i=1
i=1
Tegy¨ uk fel tov´abb´a, hogy k minim´alis, vagyis kevesebb halmaz eset´en ha a karakterisztikus f¨ uggv´enyek o¨sszege nulla, akkor az integr´al is. Vegy¨ unk egy olyan H + − affin hipers´ıkot, melyhez tartoz´o H ´es H z´art f´elterek k¨oz¨ ul az egyik diszjunkt + K1 -t˝ol, legyen K1 ⊆ int(H ). Ekkor k X
αi IKi ∩H + =
k X
i=1
i=1
k X
k X
αi IKi ∩H − =
i=1 k X
! αi IKi
IH + = 0, !
αi IKi
IH − = 0,
i=1
αi IKi ∩H =
i=1
k X
! αi IKi
IH = 0.
i=1
Mivel µ ki´ert´ekel´es, ´ıgy az integr´alhoz tartoz´o ¨osszeget sz´et tudjuk szedni: ! ! ! k k k X X X αi µ(Ki ∩ H + ) + αi µ(Ki ∩ H − ) − αi µ(Ki ∩ H) = 1. i=1
i=1
i=1
A h´arom tag k¨oz¨ ul kett˝o elt˝ unik. Amikor H-val metsz¨ unk, akkor az indukci´os − felt´etel szerint kell az ¨osszegnek null´anak lennie, m´ıg ha H -szal, akkor K1 ∩H − = ∅ miatt k-n´al kevesebb halmazunk van, ´ıgy az integr´al 0. Vagyis azt kaptuk, hogy k X i=1
αi IKi ∩H + = 0,
k X i=1
28
αi µ(Ki ∩ H + ) = 1.
T + Ezt az elj´ar´ast v´egezz¨ uk el a H1 , H2 , . . . hipers´ıkokkal, melyekre K1 = ∞ i=1 Hi . Ilyen hipers´ıkok vannak, hiszen minden racion´alis koordin´at´aj´ u cs´ ucsokkal rendelkez˝o, K1 -t˝ol diszjunkt szimplexet el tudunk v´alasztani hipers´ıkkal K1 -t˝ol, ´es b´armely k¨ uls˝o P pont be´ırhat´o ilyen szimplexbe. Az el˝obbi gondolatmenetet k¨ovetve kapjuk, k + + oleges q-ra, ´es µ folytonoss´ag´ab´ol hogy i=1 αi µ(Ki ∩ H1 ∩ . . . ∩ Hq ) = 1 tetsz˝ q → ∞ hat´ar´atmenettel kapjuk, hogy k X
αi IKi ∩K1 = 0,
i=1
k X
αi µ(Ki ∩ K1 ) = 1.
i=1
Ezt sorban elism´etelj¨ uk a K2 , K3 , . . . , Kk halmazokkal is. Legyen K = K1 ∩ . . . ∩ ∩ Kk , ekkor ! ! k k X X αi IK = 0, αi µ(K) = 1. i=1
i=1
P Az els˝o felt´etel szerint vagy ki=1 αi = 0, vagy K = ∅. A m´asodik felt´etel szerint P viszont ki=1 αi 6= 0, ´ıgy marad a K = ∅ eset. Viszont a m´asodik felt´etelb˝ol µ(∅) = = µ(K) 6= 0 is k¨ovetkezik, ami ellentmond´as. Ezzel a t´etel¨ unket bebizony´ıtottuk.
3.3. Ki´ ert´ ekel´ esek parallelot´ opokon Legy¨ unk egyel˝ore szer´enyebbek, ´es szor´ıtkozzunk csup´an a tengelyp´arhuzamos parallelot´opokra, illetve ezek v´eges uni´oira. A t´etel¨ unk bizony´ıt´asa persze m˝ uk¨odik, hiszen ezek is konvex halmazok, azonban ebben az esetben nem kell felhaszn´alnunk a µ ki´ert´ekel´es folytonoss´ag´at. Az im´ent a H hipers´ıkunkat u ´gy vett¨ uk fel, hogy − K1 ⊆ int(H + ). Ennek az´ert volt jelent˝os´ege, mert ´ıgy K1 ⊆ int(H ) = ∅ alapj´an Pk az ellenp´eld´ank minimalit´as´ara hivatkozva mondhattuk, hogy a i=1 αi µ(Ki ∩ H − ) unik. ¨osszeg elt˝ Parallelot´opok eset´en egy kicsit m´ashogy j´arunk el: az ellenp´eld´aban nem a parallelot´opok sz´am´at, hanem az n-dimenzi´os parallelot´opok sz´am´at v´alasztjuk minim´alisnak. Egy parallelot´opot akkor h´ıvunk n-dimenzi´osnak, ha nem tartalmazza hipers´ık. Az a´ltal´anos esetben H + belsej´ebe kellett esnie K1 -nek, azonban most a Ht vehetj¨ uk az egyik n-dimenzi´os parallelot´op (P1 ) hiperlapj´ara illeszked˝onek. Ekkor a P1 ∩ int(H − ) halmaz ugyan nem u ¨res, de H-ba esik, ´ıgy P az n-dimenzi´os parallelot´opok sz´ama cs¨okken, teh´at megint hivatkozhatunk a ki=1 αi µ(Pi ∩ H − ) ¨osszeg elt˝ un´es´ere. Mindezzel azt nyerj¨ uk, hogy a P1 z´art f´elterek metszetek´ent val´o el˝oa´ll´ıt´as´an´al csak v´eges sok f´elt´erre van sz¨ uks´eg¨ unk, ´ıgy nem kell kihaszn´alnunk a µ folytonoss´ag´at. El˝obb persze be kell bizony´ıtani, hogy egy ellenp´eld´aban mindig van n-dimenzi´os parallelot´op. Legyen m az n-dimenzi´os parallelot´opok sz´ama az ellenp´eld´ankban, erre az m-re n´ezve v´alasztottuk minim´alisnak az ellenp´eld´at. Tegy¨ uk fel, hogy m = = 0. Ekkor minden Pi -hez tal´alunk o˝t tartalmaz´o hipers´ıkot. Legyenek H1 , . . . , Hl olyanok, hogy az uni´ojuk fedi az ¨osszes Pi -t. Ha l = 1, akkor az eg´esz ellenp´elda
29
egy hipers´ıkban van, ami ellentmond a dimenzi´ Pok ra vonatkoz´o indukci´os feltev´esnek. ´ Altal´aban tetsz˝oleges Hj eset´en igaz, hogy i=1 αi IPi ∩Hj = 0, ez´ert az indukci´os P feltev´es miatt ki=1 αi µ(Pi ∩ Hj ) = 0. Ugyanez igaz akkor is, ha nem egy hipers´ıkra, hanem k´et hipers´ık metszet´ere szor´ıtkozunk. ´Igy az integr´alt fel tudjuk bontani a szita formul´aval: k X
αi µ(Pi ) =
i=1
k X
αi µ Pi ∩ (H1 ∪ . . . ∪ Hl ) =
i=1
=
k X
! αi
i=1
X
X
µ(Pi ∩ Hj ) −
1≤j≤m
µ Pi ∩ (Hj ∩ Hh ) + . . .
.
1≤j
A z´ar´ojelet felbontva, majd minden tagban a szumm´akat felcser´elve csupa 0 tagot kapunk, ´ıgy az eg´esz kifejez´es is nulla, holott azt tett¨ uk fel, hogy nem az. Ezzel bel´attuk, hogy minden ellenp´eld´aban van n-dimenzi´os Pi . A kit´er˝o el˝ott ott tartottunk, hogy az n-dimenzi´os P1 -et el˝o´all´ıtottuk v´eges sok f´elt´er metszetek´ent, ´es ezekkel a f´elterekkel metszve az ¨osszes Pi -t tov´abbra is ellenp´eld´at kellett kapnunk. Itt megint dolgozni kell egy kicsit, hiszen nem tudunk a´tt´erni az ¨osszes Pi metszet´ere, mivel csak az n-dimenzi´osakat tudjuk metszetk´ent el˝oa´ll´ıtani a kor´abbi m´odszerrel. Legyen P = P1 ∩ . . . ∩ Pm , ezeket tudjuk f´elterek metszetek´ent el˝oa´ll´ıtani, ´es a 3.2.1 t´etel bizony´ıt´as´anak mint´aj´ara kapjuk, hogy
m X i=1
! αi
IP +
k X i=m+1
αi IPi ∩P = 0,
m X i=1
! αi
µ(P ) +
k X
αi µ(Pi ∩ P ) = 1.
i=m+1
Az els˝o ¨osszeg mindk´et tagja k¨ ul¨on-k¨ ul¨on is 0 kell hogy legyen. Mivel minden ellenp´eld´aban van n-dimenzi´ os, ´ıgy egy os parallelot´op, ´ıgy P biztosan n-dimenzi´ Pm x ∈ P \ Pm+1 ∪ . . . ∪ Pk pontban ki´ert´ekelve kapjuk, hogy i=1 αi = 0. Ilyen x pont van, hiszen Pk az n-dimenzi´os P -t nem tudjuk v´eges sok kisebb dimenzi´os Pi -vel ´ lefedni. Igy i=m+1 αi IPi ∩P = 0, ´es mivel itt nincs n-dimenzi´os parallelot´op, ez´ert P nem lehet ellenp´elda, vagyis ki=m+1 αi µ(Pi ∩ P ) = 0. ´Igy P -re megkapjuk ugyanazt az ellentmond´ast, amit a 3.2.1 bizony´ıt´as´anak v´eg´en K-ra kaptunk. Mindezzel azt bizony´ıtottuk be, hogy: 3.3.1. T´ etel. B´armely parallelot´opokon ´ertelmezett µ ki´ert´ekel´es egy´ertelm˝ uen kiterjed parallelot´opok v´eges uni´oira. Vezess¨ uk be a ezeknek a v´eges uni´oknak a halmaz´ara a Par(n) jel¨ol´est. Szeretn´enk meg´erteni Par(n) ki´ert´ekel´eseit. Itt egy ki´ert´ekel´est akkor h´ıvunk folytonosnak, ha Pi → P parallelot´opok eset´en µ(Pi ) = µ(P ). Egy L h´al´on adott ki´ert´ekel´est egy G csoport L-en vett hat´as´ara n´ezve invari´ansnak mondunk, ha minden g ∈ G, A ∈ L eset´en µ(gA) = µ(A). Milyen csoport hat Par(n)-en, melyre term´eszetesnek tekinten´enk, hogy a ki´ert´ekel´eseinknek –
30
amiket a t´erfogat ´es a felsz´ın motiv´alt – invari´ansnak kell lennie? Az euklideszi t´er eltol´asai persze hatnak Par(n)-en, ´es a t´er koordin´at´ainak permut´aci´oi is tengelyp´arhuzamos parallelot´opot ugyanilyenbe visznek. Egy Par(n)-en ´ertelmezett ki´ert´ekel´es invarianci´aj´at – amennyiben nem pontos´ıtjuk a csoport pontos megnevez´es´evel – ezekre a transzform´aci´okra ´ertj¨ uk. Legyen n = 1, ekkor minden A ∈ Par(1) halmaz z´art intervallumok v´eges uni´oja. Tekints¨ uk a k¨ovetkez˝o k´et ki´ert´ekel´est: µ10 (A) = A ¨osszef¨ ugg˝o komponenseinek sz´ama, µ11 (A) = A komponenseinek ¨osszhossza. Mindkett˝o folytonos ´es invari´ans ki´ert´ekel´es. Megmutatjuk, hogy l´enyeg´eben csak ez a k´et folytonos ´es invari´ans ki´ert´ekel´es van Par(1)-en, azaz minden ilyen µ ki´ert´ekel´es ennek a kett˝onek line´aris kombin´aci´oja. Legyen egy tetsz˝oleges x ∈ R pontra µ({x}) = c, ez persze az eltol´asinvariancia miatt nem f¨ ugg x-t˝ol. Tekints¨ uk a µ0 = unik. = µ − cµ10 ki´ert´ekel´est, ez tov´abbra is folytonos ´es invari´ans, ´es a pontokon elt˝ 0 0 Vezess¨ uk be az f (x) = µ ([0, x]) f¨ uggv´enyt, mely folytonos. Mivel µ invari´ans, ez´ert b´armely x hossz´ u A intervallumra µ0 (A) = f (x). Legyenek A ´es B olyan intervallumok, melyeknek metszete egyetlen pont, legyenek rendre x ´es y hossz´ uak. f (x + y) = µ0 (A ∪ B) = µ0 (A) + µ0 (B) − µ0 (A ∩ B) = f (x) + f (y) Mivel f folytonos, ez´ert line´aris, vagyis valamilyen r ∈ R-re f (x) = rx. Ez viszont pont azt jelenti, hogy az A intervallumra µ0 (A) = rµ11 (A), vagyis az intervallumokon µ = cµ10 + rµ11 , ´es a kiterjeszt´es szerint ekkor Par(n)-en is. Ezzel 1 dimenzi´oban karakteriz´altuk a folytonos, invari´ans ki´ert´ekel´eseket. Ez a bizony´ıt´as er˝osen eml´ekeztet a Buffon-f´ele t˝ uprobl´em´an´al l´atott gondolatmenetre, melyet – t¨obbek k¨oz¨ott – pont ennek a kapcsolatnak az ´erdek´eben ismertett¨ unk. Magasabb dimenzi´oban gondolkodva jel¨olje σk a k-adik n-v´altoz´os elemi szimmetrikus polinomot: X σk (x1 , . . . , xn ) = xi1 . . . xik , σ0 = 1 1≤i1 <···
´ ıt´ 3.3.2. All´ as. Minden n ∈ N-re ´es 0 ≤ k ≤ n-re egy´ertelm˝ uen l´etezik olyan folytonos, invari´ans µnk ki´ert´ekel´es Par(n)-en, mely minden P parallelot´opon a µkn (P ) = = σk (x1 , . . . , xn ) ´ert´eket veszi fel, ahol x1 , . . . , xn a parallelot´op ´elhosszai. Bizony´ıt´as. A 3.3.1 t´etel alapj´an el´eg meggondolni, hogy a fenti halmazf¨ uggv´enyek parallelot´opok k¨or´eben val´oban ki´ert´ekel´esek. Egy P tengelyp´arhuzamos parallelot´op a tengelyekre vett I1 , . . . , In mer˝oleges vet¨ uleteinek a Descartes-szorzata, azaz P = = I1 ×. . .×In . Oldalhossz alatt persze az Ij intevallumok hosszait ´ertj¨ uk. A P 1 ´es P 2 parallelot´opok uni´oja pontosan akkor lesz szint´en parallelot´op, ha az el˝obbi vet¨ uletek k¨oz¨ ul (n − 1) darab pontosan megegyezik, az n-edik vet¨ uletek pedig metsz˝oek. Az 1 a´ltal´anoss´ag megs´ert´ese n´elk¨ ul feltehetj¨ uk, hogy az I2 = I22 , . . . , In1 = In2 szakaszok
31
egyeznek meg, m´ıg I11 ∩ I12 6= ∅. Legyenek az I2 , . . . , In intervallumok hosszai rendre x2 , . . . , xn , m´ıg az I11 ´es I12 intervallumok´e rendre y ´es z, ´es az I11 ∩ I12 a´tfed´es hossza x. Ekkor az uni´o megfelel˝o ´elhossza persze y + z − x, ´ıgy µnk defin´ıci´oj´at fel´ırva: µnk (P1 ∪ P2 ) = σk (y + z − x, x2 , . . . , xn ) = σk (y, x2 , . . . , xn )+ +σk (z, x2 , . . . , xn ) − σk (x, x2 , . . . , xn ) = µnk (P1 ) + µnk (P2 ) − µnk (P1 ∩ P2 ). Itt a m´asodik egyenl˝os´eg az´ert igaz, mert az els˝o v´altoz´ot nem tartalmaz´o tagok a jobb oldali h´arom szimmetrikus polinomban megegyeznek, ´es az egyik esetben negat´ıv el˝ojellel vessz¨ uk ˝oket, ´ıgy az ilyen tagokb´ol ¨osszevon´as ut´an 1 darab marad. Az els˝o v´altoz´ot tartalmaz´o tagok viszont line´arisak ebben a v´altoz´oban, ´ıgy ott az els˝o v´altoz´o ´ert´ekeit ¨osszevonhatjuk, ´ıgy ´eppen a bal oldali szimmetrikus polinom els˝o v´altoz´ot tartalmaz´o tagjait kapjuk. Vegy¨ uk ´eszre, hogy µnk nem ´erz´ekeny arra, hogy a polit´opra milyen befoglal´o t´erben gondolunk. Legyen ugyanis k ≤ m < n, ´es Q ∈ Par(n) olyan, hogy Q ⊆ ⊆ H, ahol H egy m-dimenzi´os tengelyp´arhuzamos affin alt´er. Ekkor H-n bel¨ ul n m tudjuk ´ertelmezni a µk (Q) ´ert´eket, ami megegyezik a µk (Q) ´ert´ekkel, hiszen ha egy szimmetrikus polinom n´eh´any v´altoz´oj´aba null´at helyettes´ıt¨ unk, akkor visszakapjuk a kevesebb v´altoz´os megfelel˝o szimmetrikus polinomot. Ennek megfelel˝oen jel¨ol´es¨ unkben elhagyjuk a dimenzi´o felt¨ untet´es´et. Az n-dimenzi´os P parallelot´opra a µ0 (P ), . . . , µn (P ) ´ert´ekeket a parallelot´op bels˝o t´erfogatai nak nevezz¨ uk, utalva arra, hogy nem f¨ uggnek a befoglal´o t´er dimenzi´oj´at´ol. A t´erfogat sz´o indokolt, hiszen µn (P ) = Vn (P ), ´es µn−1 = 21 S(P ). Egy µ ki´ert´ekel´es egyszer˝ u, ha minden olyan P ∈ Par(n)-re, mely n-n´el kevesebb dimenzi´os µ(P ) = 0, ´es monoton n¨ ov˝o, ha P ⊆ Q eset´en µ(P ) ≤ µ(Q). Hasonl´oan defini´alhatjuk a monoton cs¨okken˝o ki´ert´ekel´eseket, ´es egy ki´ert´ekel´es monoton, ha n¨ov˝o vagy cs¨okken˝o. A µn ki´ert´ekel´es egyszer˝ u ´es monoton n¨ov˝o, ´es az al´abbi t´etel mutatja, hogy ezek a tulajdons´agok konstans erej´eig karakteriz´alj´ak is. 3.3.3. T´ etel. Legyen µ eltol´asinvari´ans egyszer˝ u ki´ert´ekel´es Par(n)-en, mely folytonos vagy monoton. Ekkor µ konstans erej´eig megegyezik a t´erfogattal, azaz l´etezik c ∈ R, hogy µ(P ) = cµn (P ) ∀P ∈ Par(n). Bizony´ıt´as. Legyen c = µ([0; 1]n ), ´es v´agjuk fel ezt (1/k) oldal´ u z´art kock´akra. Ezek µ-´ert´ekei az eltol´asinvarianca miatt megegyeznek, ´es ¨osszeg¨ uk c, hiszen metszeteik legfeljebb (n − 1)-dimenzi´osak, ´ıgy azokon µ elt˝ unik. Ezzel megkaptuk, hogy n n n µ([0; 1/k] ) = c/k = cµn ([0; 1/k] ). Ebb˝ol m´ar k¨ovetkezik, hogy b´armely racion´alis oldalhosszakkal rendelkez˝o P parallelot´opra µ(P ) = cµn (p), hiszen P megfelel˝o k-ra u kock´akb´ol. Ezek ut´an ak´ar a folytonoss´agra, ak´ar a mo¨osszerakhat´o (1/k) oldal´ notonit´asra hivatkozva kapjuk az a´ll´ıt´ast tetsz˝oleges oldal´ u parallelot´opokra. V´eg¨ ul a kiterjeszt´esi t´etel¨ unkb˝ol tudjuk, hogy ha a k´et ki´ert´ekel´es megegyezik parallelot´opokon, akkor az eg´esz Par(n)-en is. 3.3.4. T´ etel. A bels˝o t´erfogatok Par(n)-en b´azis´at adj´ak a folytonos, eltol´asokra ´es koordin´at´ak permut´al´as´ara invari´ans ki´ert´ekel´eseknek.
32
Bizony´ıt´as. Indukci´oval bizony´ıtunk, n = 1 esetben az a´ll´ıt´ast m´ar bel´attuk. Vegy¨ unk most egy H tengelyp´arhuzamos hipers´ıkot, erre megszor´ıtva a µ ki´ert´ekel´es tov´abbra is P folytonos ´es invari´ans, ´ıgy H-n bel¨ uli halmazokon az indukci´os feltev´es n−1 szerint µ = i=0 ci µi . Az egyenl˝os´egben szerepl˝o ki´ert´ekel´esek invarianci´aj´ab´ol k¨ovetkezik, hogy ezek a ci konstansok nem f¨ uggnek H v´alaszt´as´at´ol, hiszen b´armely k´et tengelyp´arhuzamos hipers´ık egym´ a sban Pn−1 vihet˝o a koordin´at´ak permut´al´asa, ´es egy eltol´as seg´ıts´eg´evel. Tekints¨ uk a µ− i=0 ci µi ki´ert´ekel´est, ez b´armely tengelyp´arhuzamos hipers´ıkon 0, ´es ´ıgy az n-n´el kisebb dimenzi´os Par(n)-beli halmazokon elt˝ unik. Mivel folytonos, invari´ans ki´ert´ekel´esek line´aris kombin´aci´oja, ´ıgy magaP is folytonos, n−1 invari´ans, teh´at a 3.3.3 t´etel szerint a t´erfogat konstansszorosa: µ − i=0 ci µ i = = cn µn , ezzel az ´all´ıt´ast bel´attuk. Mir˝ol lehet felismerni, hogy egy µ folytonos, invari´ans ki´ert´ekel´es¨ unk valamelyik µk bels˝o t´erfogat, vagy legal´abbis annak konstansszorosa? Egy µ Par(n)-en adott ki´ert´ekel´es k-adfok´ u homog´en, ha b´armely α ≥ 0-ar´any´ u ϕ k¨oz´eppontos nagy´ıt´asra n´ezve µ ϕ(P ) = αk µ(P ) minden P ∈ Par(n) halmazon. Term´eszetesen a µk bels˝o t´erfogat k-adfok´ u homog´en, hiszen parallelot´opokon a k-adik szimmetrikus polinomb´ol sz´armazik, ami pedig k-adfok´ u homog´en. 3.3.5. T´ etel. Megyen µ egy Par(n)-en adott k-adfok´ u homog´en, folytonos, invari´ans ki´ert´ekel´es, 0 ≤ k ≤ n. Ekkor l´etezik c ∈ R, hogy µ = cµk . Bizony´ıt´as. Az el˝oz˝o t´etelb˝ol tudjuk, hogy µ = a Kα = [0; α]n kock´akon: µ(Kα ) =
n X
ci µi (Kα ) =
i=0
k
µ(Kα ) = α µ(K1 ) = α
n X
Pn
i=0 ci µi
i
ci α µi (K1 ) =
i=0
k
n X
´ ekelj¨ alakban. Ert´ uk ki µ-t
n X i=0
ci µi (K1 ) =
i=0
n X i=0
n ci α , i i
n ci α . i k
A k´et egyenlet jobb oldal´an l´ev˝o kifejez´esek teh´at minden α ≥ 0-ra megegyeznek, ami csak akkor lehet, ha i 6= k esetben ci = 0, ami ´eppen a t´etel a´ll´ıt´asa. A k´es˝obbiekben a bels˝o t´erfogatokat fogjuk kiterjeszteni konvex halmazokra, ´es szeretn´enk megkapni a 3.3.4 megfelel˝oj´et is a kiterjesztett bels˝o t´erfogatokkal.
3.4. M´ ert´ ekek Grassmann-sokas´ agokon A bels˝o t´erfogatok kiterjeszt´es´ehez sz¨ uks´eg¨ unk lesz arra, hogy valamilyen fix dimenzi´os affin alterek ter´en integr´aljunk. A s´ıkban k¨onnyen tudtunk defini´alni m´ert´eket az egyenesek ter´en, azonban magasabb dimenzi´oban ez nem mindig ilyen egyszer˝ u. A k¨ovetkez˝o szakasz c´elja egy egybev´ag´os´aginvari´ans m´ert´ekek defini´al´asa affin alterek terein. A m´ert´ekeinket u ´gy szeretn´enk sk´al´azni, hogy a formul´aink min´el egyszer˝ ubb alakot ¨oltsenek. Ehhez j´o kiindul´as a konvex testekre bizony´ıtott Cauchy-formula. Legyen K konvex test az n-dimenzi´os t´erben. Ekkor a Cauchy-formula szerint
33
S(K) =
Z
1 ωn−1
Vn−1 pv⊥ (K) dv.
Sn−1
A parallelot´opokon l´attuk, hogy µn−1 (P ) = 21 S(P ), ez´ert el´eg term´eszetes az ¨osszes konvex testek halmaz´an ´ertelmezni µn−1 -et, mint a felsz´ın fel´et. A hipers´ıkban (n − 1)-dimenzi´os t´erfogatot m´er¨ unk, ami megegyezik a µn−1 ki´ert´ekel´essel a parallelot´opokon, ´es az el˝obbihez hasonl´o m´odon kiterjeszthetj¨ uk µn−1 -et a hipers´ıkbeli konvex halmazokra azok t´erfogatak´ent. Az integr´alt pedig n´ezhetj¨ uk az egys´egg¨omb helyett az egyenesek ter´en, hiszen minden egyenes k´et pontban metszi a g¨omb¨ot. Jel¨olje Gr(1, n) az n-dimenzi´os t´er egyeneseinek halmaz´at, vagyis az (n − 1)-dimenzi´os projekt´ıv teret. Az Sn−1 felsz´ıni m´ert´ek´eb˝ol ad´odik egy m´ert´ek Gr(1, n)-en: egyenesek egy halmaz´anak m´ert´ek´et defini´alhatjuk az egys´egg¨ombbel vett metszeteik halmaz´anak felsz´ıni m´ert´ekek´ent. A kapott m´ert´eket sk´al´azzuk u ´gy, hogy az eg´esz t´er m´ert´eke 1 legyen. Az integr´alunk a k¨ovetkez˝o alakot ¨olti: Z
µn−1 pl⊥ (K) dl
µn−1 (K) = α Gr(1,n)
Itt az α konstans ism´et meghat´arozhat´o azzal, hogy K-nak az egys´egg¨omb¨ot v´alasztjuk. Az egys´egg¨omb felsz´ın´et a 2.4.2 seg´ıts´eg´evel k¨onnyed´en megkaphatjuk: (1 + r)n ωn − ωn = nωn . r→0 r lim
Ekkor a formul´at fel´ırva megkapjuk α-t: nωn = αωn−1 , 2
α=
nωn . 2ωn−1
Most ism´et sk´al´azzuk a´t a Gr(1, n)-en l´ev˝o m´ert´eket, de most u ´gy, hogy az eg´esz t´er m´ert´eke α legyen, ´es jel¨olje ezt a m´ert´eket τn . Bevezetj¨ uk a [n] jel¨ol´est az eg´esz Gr(1, n) t´er m´ert´ek´ere. Ekkor nωn τn Gr(1, n) = = [n]. 2ωn−1 Ez a τn m´ert´ek O(n)-invari´ans, hiszen a felsz´ıni m´ert´ekb˝ol sz´armazik, ´es u ´gy sk´al´aztuk, hogy vele fel´ırva a Cauchy-formul´at a konstansok elt˝ unnek: Z µn−1 (K) =
µn−1 (pl⊥ (K)) dτn . Gr(1,n)
C´elunk hasonl´o m´ert´ek bevezet´ese magasabb dimenzi´os alterekb˝ol a´ll´o sokas´agokon is. Jel¨olje Lin(n) az n-dimenzi´os t´er line´aris altereinek halmaz´at. Ezek h´al´ot alkotnak a tartalmaz´asra n´ezve, melynek a 0 vektorb´ol ´all´o alt´er minim´alis eleme, m´ıg a teljes Rn maxim´alis eleme. Jel¨olje Gr(k, n) ⊆ Lin(n) a k-dimenzi´os alterek halmaz´at. Alterek egy V0 ≤ V1 ≤ . . . ≤ Vn sorozat´at z´aszl´o nak nevez¨ unk, ha
34
dim(Vi ) = i, ∀i ∈ {0, . . . , n}. Minden z´aszl´ora V0 = 0, ´es Vn = Rn . Jel¨olje Flag(n) a z´aszl´ok halmaz´at. Minden z´aszl´ohoz gy´arthatunk p´aronk´ent mer˝oleges egyenesek egy sorozat´at a k¨ovetkez˝ok´eppen: ⊥ l1 = V1 , l2 = V2 ∩ V1⊥ , l3 = V3 ∩ V2⊥ , . . . , ln = Vn ∩ Vn−1 .
A megfeleltet´es k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ u, hiszen a z´aszl´o visszakaphat´o az egyenesekb˝ol, Vi = hl1 , . . . , li i. Legyen f : Flag(n) → R egy f¨ uggv´eny, ´es jel¨olje f˜(l1 , . . . , ln ) = = f (V0 , . . . , Vn ) a megfelel˝oj´et az egyenesekre. Defini´aljunk Flag(n)-en integr´alt a k¨ovetkez˝o formul´aval:
Z
Z f dφn =
Flag(n)
Z
Z
f˜(l1 , . . . , ln ) dτ1 (ln ) dτ2 (ln−1 ) . . . dτn (l1 ).
... Gr(1,n)
Gr(1,2)
Gr(1,1)
A bal oldali integr´alt a jobb oldal seg´ıts´eg´evel defini´aljuk minden olyan esetben, amikor az ´ertelmes. A motiv´aci´o egyszer˝ u, az l1 egyenest k¨orbeforgatjuk Gr(1, n)-en, ezt persze a megfelel˝o τn m´ert´ek szerint tessz¨ uk. R¨ogz´ıtett l1 -re az l2 m´ar csak l1⊥ -ben mozoghat, vagyis o˝t Gr(1, n − 1)-en forgatjuk k¨orbe, megint csak a vonatkoz´o τn−1 m´ert´ek szerint, ´es ´ıgy tov´abb. Ha a bels˝o (n − 1) integr´alt tekintj¨ uk r¨ogz´ıtett l1 -re, ⊥ akkor az tekinthet˝o egy Flag(n − 1)-en vett integr´alnak az l1 hipers´ıkon. Vagyis az integr´alt defini´alhatjuk rekurz´ıvan is a k¨ovetkez˝o formul´aval. Jel¨olje τ˜n azt a m´ert´eket Gr(n − 1, n)-en, melyet a τn m´ert´ekb˝ol kapunk az egyenesek ´es hipers´ıkok ortogon´alis dualit´as´aval: Z
Z
Z
f dφn = Flag(n)
fVn−1 dφn−1 d˜ τn (Vn−1 ) , ahol Gr(n−1,n)
Flag(Vn−1 )
⊥ ⊥ ⊥ fVn−1 (0, U1 , . . . , Un−2 , Vn−1 ) = f (0, Vn−1 , hU1 , Vn−1 i, . . . , hUn−2 , Vn−1 i, Rn ).
Ezzel persze defini´altuk a φn m´ert´eket is, ´es a τi -k O(k)-invarianci´aj´ab´ol ad´odik, hogy φn is O(n)-invari´ans. Az eg´esz Flag(n) halmaz m´ert´ek´ere: n! ωn nωn (n − 1)ωn−1 . . . 1ω1 = n . φn Flag(n) = [n][n − 1][n − 2] . . . [1] = 2ωn−1 2ωn−2 . . . 2ω0 2 Erre az ´ert´ekre bevezetj¨ uk az [n]! jel¨ol´est, ez teh´at Flag(n) m´ert´ek´et jel¨oli. Siker¨ ult a z´aszl´okon forgat´asinvari´ans m´ert´eket defini´alnunk, de val´oj´aban Gr(k, n)en szeretn´enk m´ert´eket kapni. Ez´ert egy A ∈ Gr(k, n) halmazra legyen Flag(A) azon z´aszl´ok halmaza, melyek a´thaladnak” A-n, azaz Flag(A) = {(V0 , . . . , Vn ) ∈ ” ∈ Flag(n)|Vk ∈ A}. K´ezenfekv˝o A-t Flag(A) seg´ıts´eg´evel m´erni, ´ıgy bevezetj¨ uk a νkn O(n)-invari´ans m´ert´eket Gr(k, n)-en: νkn (A) =
φn (Flag(A)) . [k]! [n − k]!
35
A norm´al´ast a k¨ovetkez˝o intu´ıci´o sugallja. Vk r¨ogz´ıt´es´evel a V0 , . . . , Vk−1 , Vk alterek egy Flag(k)-val izomorf halmazon futhatnak, m´ıg hasonl´oan a Vk , Vk+1 , . . . , Vn alterek egy Flag(n − k)-val izomorf halmazon. Ez´ert minden Vk -t [k]! [n − k]!-szor sz´amoltunk. A teljes Gr(k, n) m´ert´ek´et fel´ırva pedig kapjuk, hogy
νkn (Gr(k, n))
[n]! n n ωn = = = . [k]! [n − k]! k k ωk ωn−k
Mindeddig line´aris alterek halmazait m´ert¨ uk. A m´ert´ek¨ unk kiterjeszt´ese az affin esetre m´ar nem okoz neh´ezs´eget. Jel¨olje Aff(n) az n-dimenzi´os t´er affin altereinek halmaz´at, ´es Graff(k, n) ezek k¨oz¨ ul a k-dimenzi´osakat. Ezek persze jellemezhet˝oek az orig´oba eltolt p´eld´anyukkal, ´es egy pontjukkal. Legyen V ∈ Graff(k, n), ekkor jel¨olje V ⊥ a r´a mer˝oleges affin alterek k¨oz¨ ul az orig´on a´thalad´ot. V0 = (V ⊥ )⊥ ´eppen az el˝obb eml´ıtett line´aris alt´er, melynek eltoltja a p(V ) = V ∩ V ⊥ vektorral maga V . Rendelj¨ uk h´at hozz´a V -hez a (V0 , p(V )) p´art, ezzel minden affin alt´ernek adtunk param´etert. M´asfel˝ol minden U line´aris alt´erhez, ´es p ∈ U ⊥ vektorhoz a tp (U ) affin alt´er param´eterei ´eppen (U, p), ahol tp a p vektorral val´o eltol´ast jel¨oli. Legyen f : Graff(k, n) → R f¨ uggv´eny, ekkor ´ertelmezz¨ uk az fb : Gr(k, n) × n × R f¨ uggv´enyt, legyen fb(U, p) = f tp (U ) . A Graff(k, n)-en val´o integr´al´ast ekkor visszavezetj¨ uk Gr(n, k) ´es Rn−k eset´ere, melyeken m´ar tudunk integr´alni: Z f
dλnk
Z
Z
=
Graff(k,n)
Gr(k,n)
U⊥
fb(U, p) dp dνkn .
A bal oldali integr´alt a jobb oldal seg´ıts´eg´evel defini´aljuk minden olyan esetben, amikor az l´etezik. A kapott λnk eltol´asinvair´ans. Vegy¨ unk ugyanis egy w ∈ Rn vektor, \ ´es kompon´aljuk az f f¨ u ggv´ e ny¨ u nket t -vel, ekkor f ◦ t (U, p) = (f ◦ t ) t (U ) = w w w p = f tp+w (U ) = f tp+w|U ⊥ (U ) , ahol w|U ⊥ jel¨oli a w vektor U ⊥ -re vett mer˝oleges vet¨ ulet´et. Ekkor
Z f◦ Graff(k,n)
tw dλnk
Z
Z
f tp+w|U ⊥ (U ) dp dνkn = ⊥ ZGr(k,n) ZU Z n = f tp (U ) dp dνk = =
Gr(k,n)
U⊥
f dλnk .
Graff(k,n)
K¨ozben kihaszn´altuk a Lebesgue-integr´al eltol´asinvarianci´aj´at. Hasonl´oan megmutatjuk, hogy λnk az O(n)-beli transzform´aci´okra is invari´ans. Legyen ϕ ∈ O(n), ´es kompon´aljuk f -et ϕ-vel: f[ ◦ ϕ(U, p) = (f ◦ ϕ) tp (U ) = f tϕ(p)(ϕ(U )) . Ki fogjuk haszn´alni, hogy a νkn m´ert´ek O(n)-invari´ans, ´es hogy ha a p vektor befutja az U alteret, akkor ϕ(p) befutja ϕ(U )-t, s˝ot mi t¨obb ϕ m´ert´ektart´o is abban az ´ertelemben, hogy egy U -beli m´erhet˝o halmaz k´ep´enek m´ert´eke – ϕ(U )-ban – v´altozatlan marad.
36
Z f ◦ϕ
dλnk
Z
Z
=
Graff(k,n)
Gr(k,n)
Z
U⊥
f tϕ(p) (ϕ(U )) dp dνkn =
Z
= Gr(k,n)
ϕ(U )⊥
f tr (ϕ(U )) dr dνkn =
Z
f dλnk .
Graff(k,n)
A k´et invarianci´at ¨osszefoglalva λnk invari´ans az egybev´ag´os´agokra n´ezve.
3.5. Konvex testek bels˝ o t´ erfogatai Konvex testek t´erfogata ´eppen azon pontok halmaz´anak m´ert´eke, melyek a testben vannak. A felsz´ın a Cauchy-formula szerint szorosan ¨osszef¨ ugg a konvex testet metsz˝o egyenesek halmaz´anak m´ert´ek´evel. Ezek az ´eszrev´etelek azt vet´ıtik el˝ore, hogy a defini´alni k´ıv´ant bels˝o t´erfogatoknak er˝osen ¨ossze kell f¨ uggni¨ uk a halmazt metsz˝o valamilyen fix dimenzi´os alterek halmaz´anak m´ert´ek´evel. 3.5.1. Lemma. Legyenek A ´es B kompakt konvex halmazok, melyekre A ∪ B is konvex. Ha a V line´aris alt´er legal´abb 1 dimenzi´os, ´es V ∩ A = 6 ∅ ´es V ∩ B 6= ∅, akkor V ∩ (A ∩ B) 6= ∅. Bizony´ıt´as. Tekints¨ uk a V ∩ A ´es V ∩ B halmazokat. V´eve az egyikb˝ol egy a, a m´asikb´ol egy b pontot, az ¨osszek¨ot˝o [a; b] szakasz v´egig V ∩ (A ∪ B)-ben van, hiszen ez is konvex. [a; b] ⊆ (V ∩ A) ∪ (V ∩ B), ´es indirekten felt´eve, hogy V ∩ (A ∩ B) = = ∅ azt l´atjuk, hogy [a; b]-ben [a; b] ∩ A ´es [a; b] ∩ B z´art halmazok, melyek egym´as komplementerei. Ez viszont ellentmond [a; b] ¨osszef¨ ugg˝os´eg´evel. R¨ogz´ıts¨ uk az n dimenzi´ot, ´es A ⊆ Rn halmazra jel¨olje Graff(k, A) azoknak a kdimenzi´os affin altereknek a halmaz´at Graff(k, n)-ben, melyek metszik A-t. Az el˝oz˝o lemma a´ll´ıt´asa ´epp az, hogy ha A ´es B kompakt konvex halmazok uni´oja is konvex, akkor Graff(k, A) ∩ Graff(k, B) = Graff(k, A ∩ B). Emellett teljesen trivi´alis a Graff(k, A) ∪ Graff(k, B) = Graff(k, A ∪ B) egyenl˝os´eg. Ennek seg´ıts´eg´evel fel tudjuk ´ırni Graff(k, A ∪ B) m´ert´ek´et: λnk Graff(k, A ∪ B) = λnk Graff(k, A) + λnk Graff(k, A) − − λnk Graff(k, A) ∩ Graff(k, B) = = λnk Graff(k, A) + λnk Graff(k, B) − − λnk Graff(k, A ∩ B) . Vagyis a µ(A) = λnk Graff(k, A) f¨ uggv´eny ki´ert´ekel´es a konvex testeken, ´ıgy kiterjed a polikonvex halmazok egy kiterjeszt´es´ev´e. Err˝ol a ki´ert´ekel´esr˝ol szeretn´enk megmutatni, hogy parallelot´opokra visszaadja a bels˝o t´erfogatok fogalm´at.
37
A λnk m´ert´ek invari´ans az egybev´ag´os´agokra n´ezve, ´ıgy ha az el˝obbi kiterjeszt´est tengelyp´arhuzamos parallelot´opokon vizsg´aljuk, akkor az eltol´asokra ´es koordin´atapermut´aci´okra invari´ans ki´ert´ekel´est kapunk. Megmutatjuk a folytonoss´agot ´es homogenit´ast is. Legyen P parallelot´op, ´es a hozz´a tartoz´o Graff(k, P ) halmaz karakterisztikus f¨ uggv´enye fP . Ekkor Z Z Z n n n µ(P ) = λk Graff(k, P ) = fP dλk = fc P (U, p) dp dνk . Graff(k,n)
Gr(k,n)
U⊥
Vizsg´aljuk a bels˝o integr´alt egy fix U ∈ Gr(k, n)-re. fc P (U, p) pontosan akkor 1, ha p beleesik a P parallelot´op U ⊥ alt´erre vett mer˝ o leges vet¨ ulet´ebe, k¨ ul¨onben ⊥ nulla. Vagyis a bels˝o integr´al ´ert´eke Vn−k pU ⊥ (P ) , ahol pU ⊥ az U -re vett mer˝oleges vet´ıt´est jel¨oli. Ezt behelyettes´ıtve: Z µ(P ) =
Vn−k pU ⊥ (P ) dνkn .
Gr(k,n)
Ebb˝ol a k´epletb˝ol kiolvashat´o, hogy a ki´ert´ekel´es¨ unk (n − k)-adfok´ u homog´en, hiszen az (n − k)-dimenzi´os t´erfogat is az. M´asfel˝ol ha Pi → P parallelot´opok konvergens sorozata, akkor a mer˝oleges vet¨ uletek is konverg´alnak a megfelel˝o mer˝oleges vet¨ ulethez, ´ıgy a t´erfogat folytonoss´agb´ol ad´od´oan a vet¨ uletek t´erfogatai tartanak P vet¨ ulet´enek t´erfogat´ahoz. Mivel a vet´ıt´es az alt´er ´all´as´at´ol f¨ uggetlen¨ ul a Hausdorfft´avols´agot nem n¨ovelheti, ez´ert a Vn−k pU ⊥ (Pi ) → Vn−k pU ⊥ (P ) konvergencia U ban is egyeneletes, ´ıgy az integr´al´as ut´an is igaz lesz, hogy µ(Pi ) → µ(P ), azaz a µ ki´ert´ekel´es folytonos. A 3.3.5 t´etelre hivatkozva a k¨ovetkez˝o eredm´enyt kaptuk: ´ ıt´ 3.5.2. All´ as. Minden k ≤ n eset´en l´etezik Ckn konstans, hogy minden P ∈ Par(n) parallelot´opra µn−k (P ) = Ckn λnk Graff(k, P ) . Ennek f´eny´eben defini´aljuk egy K kompakt, konvex halmazra a µnn−k (K) = = Ckn λnk Graff(k, K) ki´ert´ekel´eseket. Ezeket kiterjesztj¨ uk Polycon(n)-re, ´es bels˝o t´erfogatoknak fogjuk ˝oket nevezni. Ezek konvex-folytonosak, azaz ha Ki → K, ahol Ki konvex halmazok, akkor µnn−k (Ki ) → µnn−k (K). A folytonoss´ag pontosan u ´gy k¨ovetkezik a Vn−k t´erfogat folytonoss´ag´ab´ol, mint parallelot´opokra. Par(n)-en m´ar bel´attuk, hogy a bels˝o t´erfogatok nem f¨ uggnek a befoglal´o t´er dimenzi´oj´at´ol. Konvex halmazokra ezt csak k´es˝obb fogjuk elv´egezni, ´es addig ezt a jel¨ol´esben is felt¨ untetj¨ uk. n Ugyancsak k´es˝obb fogjuk a Ck konstansokat meghat´arozni. Fontos hangs´ ulyozni, hogy a 3.5.2 a´ll´ıt´as csak a parellelet´opokra igaz, nem pedig Par(n) minden elem´ere. Ugyan´ıgy, a konvex halmazokon defini´alt k´eplet sem lesz igaz minden Polycon(n)-beli halmazra. M´ar a s´ıkbeli integr´algeometria vizsg´alat´an´al l´attuk, hogy egy konvex lemezt metsz˝o egyenesek halmaz´anak m´ert´eke a ker¨ ulettel f¨ ugg ¨ossze, ´es ez azon m´ ulott,
38
hogy az egyenesek majdnem mindig k´et pontban metszett´ek a konvex lemez¨ unk hat´ar´at. Ez persze polikonvex lemezekre m´ar nem teljes¨ ulne, ´ıgy ha ezekr˝ol akarunk mondani valamit, akkor nem el´eg a metsz˝o egyenesek halmaz´anak m´ert´ek´et vizsg´alni, hanem ezen a halmazon valami megfelel˝o f¨ uggv´enyt kell integr´alni, mint a s´ık eset´eben tett¨ uk a metsz´esi sz´ammal. Figyelm¨ unket a bels˝o t´erfogatok k¨oz¨ ul eddig a µn ´es µn−1 ki´ert´ekel´esekre – a t´erfogatra ´es a felsz´ınre – o¨sszpontos´ıtottuk. Vizsg´aljuk meg a m´asik v´egletet, ´es foglaljuk ¨ossze, hogy mit tudunk a µn0 ki´ert´ekel´esr˝ol. Egy dimenzi´oban – ahol Par(1) = = Polycon(1) – ez az ¨osszef¨ ugg˝o komponensek sz´ama. Magasabb dimenzi´oban parallelot´opokon ez a 0-adik szimmetrikus polinom, teh´at mindig 1 ´ert´eket vesz fel. ´Irjuk fel a 3.5.2 a´ll´ıt´asban szerepl˝o egyenlet¨ unket valami P parallelot´opra:
1=
µnn−n (P )
=
Cnn λnn
Graff(n, P ) = {z } |
Cnn νkn
n n ωn Gr(n, n) = Cn = Cnn . n ωn
=Graff(n,n)
Ezzel a Cnn konstansot meghat´aroztuk, ´es most pontosan ugyanezt fel´ırhatjuk egy konvex K halmazra, hiszen az az ´eszrev´etel¨ unk, hogy Graff(n, P ) = Graff(n, n) igaz akkor is, ha P helyett tetsz˝oleges K-val n´ezz¨ uk. ´Igy µn0 (K) = λnn Graff(n, K) = 1. ures, kompakt, konVagyis µn0 egy olyan folytonos ki´ert´ekel´es, mely minden nem¨ vex halmazon 1. Azonnal l´atjuk, hogy nem f¨ ugg a befoglal´o t´er dimenzi´oj´at´ol, ez´ert ezt – kiz´ar´olag µ0 eset´en – mostant´ol nem jel¨olj¨ uk. Eml´ekezz¨ unk vissza, hogy a kor´abbi gondolatmenet¨ unkben az fc uggv´eny P (U, p) f¨ integr´alj´ar´ol meggondoltuk, hogy ´eppen egy mer˝oleges vet¨ ulet (n − k)-dimenzi´os t´erfogata. Az fc uggv´eny a k¨ovetkez˝o : P (U, p) f¨ fc P (U, p) =
1 ha tp (U ) ∩ P = 6 ∅, 0 ha tp (U ) ∩ P = ∅.
Ezt a f¨ uggv´enyt ´eppen az´ert haszn´altuk, mert uk jelzi a metsz´esi viszonyt. Vegy¨ ´eszre, hogy P parallelot´opra a µ0 P ∩ tp (U ) f¨ uggv´eny pontosan megegyezik az el˝oz˝ovel. Ha a metszet nem u ¨res, akkor biztosan kompakt, konvex halmaz, ´ıgy µ0 rajta 1-et vesz fel. Mivel azonban µ0 maga is ki´ert´ekel´es, ez´ert fc elve P (U, p)-t lecser´ esetleg kaphatunk olyan formul´at, mely nem csak a parallelot´opokon igaz, hanem az eg´esz Par(n)-en, illetve hasonl´oan polikonvex k¨ornyezetben. S˝ot, ezt l´enyeg´eben be is l´attuk! Defini´aljuk a µ ˜nn−k f¨ uggv´enyt az al´abbi m´odon:
µ ˜nn−k (L)
=
Ckn
Z Gr(k,n)
Z U⊥
µ0 L∩tp (U ) dp dνkn (U ) = Ckn
Z Graff(k,n)
39
µ0 (L∩V ) dλnk (V ).
Itt a defin´ıci´oban nincs kik¨otve hogy L konvex, vagyis Polycon(n) b´armely eleme lehet. Mivel µ0 ki´ert´ekel´es a V alt´erre megszor´ıtva is: µ0 (A ∪ B) ∩ V = µ0 A ∩ V + µ0 (B ∩ V − µ0 (A ∩ B) ∩ V . Ez pedig az integr´al´ason kereszt¨ ul ¨or¨okl˝odik µ ˜nn−k -ra, teh´at ez is ki´ert´ekel´es. Viszont µ ˜nn−k a konvex halmazokon megegyezik a µnn−k ki´ert´ekel´essel. Egy konvex hal mazra µnn−k -et fel´ırva, az integr´alban az fc uggv´enyt µ0 K ∩tp (U ) -ra cser´elve K (U, p) f¨ – ezzel az ´ert´eket nem v´altoztatva – kapjuk µ ˜nn−k -et. Ebb˝ol viszont k¨ovetkezik, hogy n a konvex halmazokra szor´ıtkozva µ ˜n−k konvex-folytonos ki´ert´ekel´es, melynek egy´ern telm˝ u kiterjeszt´ese megegyezik µn−k kiterjeszt´es´evel. A µ0 ki´ert´ekel´es 1 dimenzi´oban ´eppen az ¨osszef¨ ugg˝os´egi komponensek sz´ama, ´ıgy egy s´ıkbeli L polikonvex lemezre µ0 (L∩e) majdnem mindig az e egyenes hat´arral vett metsz´esi sz´am´anak fele. Ez is mutatja, hogy mennyire hasonl´o jelleg˝ u a´ltal´anos´ıt´as n aµ ˜n−k defin´ıci´oja a s´ıkban l´atott p´eld´akhoz, amikor a metsz´es val´osz´ın˝ us´ege helyett a metsz´esi sz´am v´arhat´o ´ert´ek´et tudtuk meghat´arozni. Ennek a szakasznak a z´ar´asak´ent az el˝obbi integr´alt ´atrendezz¨ uk a Cauchyformul´ahoz hasonl´o alakba:
µnn−k (K)
=
Ckn λnk
Graff(k, P ) = Ckn
Z
Z
Gr(k,n)
=
Ckn
Z
µn−k n−k
pU ⊥ (K)
dνkn
=
Gr(k,n)
Ckn
U⊥
I(pU ⊥ (K)) (p) dp dνkn =
Z
n µn−k n−k pV (K) dνn−k .
Gr(n−k,n)
Az utols´o l´ep´esben egyszer˝ uen annyit tett¨ unk, hogy az U futtat´asa helyett ´att´er´ t¨ unk r¨ogt¨on a V = U ⊥ futtat´as´ara, persze a megfelel˝o m´ert´ek szerint. Erdemes µnn−k helyett µnk -re fel´ırni az el˝obbi egyenl˝os´eget. Az al´abbi t´etel a Cauchy-formula k¨ozvetlen a´ltal´anos´ıt´asa. Azt fogalmazza meg, hogy az n-dimenzi´oban ´ertelmezett µnk konstans szorz´o erej´eig megegyezik a k-dimenzi´os alterekre vett mer˝oleges vet¨ uletek k-dimenzi´os t´erfogatainak ´atlag´aval. ´ ıt´ 3.5.3. All´ as. B´armely K ∈ Kn -re Z n n µk (K) = Cn−k
µkk pU (K) dνkn .
Gr(k,n)
Ez az eredm´eny ugyan t´enyleg a´ltal´anos´ıt´asa a Cauchy-formul´anak, de n´emi hia´ny´erzetet m´egis hagy maga ut´an. A bal oldalon a´ll´o ki´ert´ekel´est alterek egy halmaz´anak m´ert´ekek´ent defini´altuk, ´es az a´ll´ıt´as bizony´ıt´asa sem a´llt m´asb´ol, mint a m´ert´eket ad´o integr´al egyszer˝ u a´t´ır´as´ab´ol. A val´odi eredm´enyt abban ´erezz¨ uk, hogy n k = n − 1 esetben a bal oldalon l´ev˝o µn−1 (K) ´ert´ek ´eppen a felsz´ın fele. A felsz´ın fogalm´ahoz szeml´eletes – ´es kimer´ıt˝o – u ´ton jutottunk el, ´es ez´ert ´erezhetj¨ uk azt, hogy ebben az esetben a t´etel¨ unk t¨obb, mint az integr´alok a´t´ır´asa. Val´oj´aban azonban a felsz´ın nem egyed¨ ul´all´o, hiszen ha egy fix n-dimenzi´os t´erben ´eppen a
40
k-adik bels˝o t´erfogat lenne ´erdekl˝od´es¨ unk t´argya, ´es azt defini´aln´ank polit´opokra, akkor bels˝o- illetve k¨ uls˝o k¨ozel´ıt´essel azonnal ad´odna kompakt, konvex halmazokra, ´es a konvex-folytonoss´agb´ol tudjuk, hogy ez j´ol defini´alt volna, vagyis fel´ep´ıthetn´enk µnk -et szeml´eletesen” is. Mindebb˝ol a tanuls´ag tal´an az, hogy a ki´ep´ıtett eszk¨ozt´ar ” – a ki´ert´ekel´esek kiterjeszt´esi t´etele, a bels˝o t´erfogatok folytonoss´aga ´es kapcsolata Grassmann-sokas´agokon vett integr´alokkal – el´eg er˝os ahhoz, hogy gyors bizony´ıt´ast adjon egy´ebk´ent nehezebb a´ll´ıt´asokra is. A k¨ovetkez˝o fejezetben r´at´er¨ unk ennek az eszk¨ozt´arnak a leger˝osebb t´etel´ere, melynek seg´ıts´eg´evel m´eg jobban letisztul a konvex-folytonos, invari´ans ki´ert´ekel´esek, ´es a bels˝o t´erfogatok fogalma is.
41
4. Hadwiger t´ etele Ebben a fejezetben bebizony´ıtjuk a 3.3.4 t´etel megfelel˝oj´et Polycon(n)-re. A fel´ep´ıt´es is hasonl´o lesz, mint parallelot´opok eset´en. El˝osz¨or felt´eteleket keres¨ unk arra, hogy egy egyszer˝ u ki´ert´ekel´es a t´erfogat konstansszorosa legyen, ´es ennek felhaszn´al´as´aval indukci´oval bizony´ıtjuk, hogy a bels˝o t´erfogatok b´azis´at adj´ak a folytonos, invari´ans ki´ert´ekel´eseknek. A tov´abbiakban a t´erfogatra mint ki´ert´ekel´esre fogunk gondolni, ez´ert a Vn jel¨ol´es helyett a µn jel¨ol´est fogjuk haszn´alni. A Hadwiger-t´etel itt bemutatott bizony´ıt´asa Daniel A. Klein nev´ehez f˝ uz˝odik, ´es a [6] cikkben jelent meg.
4.1. T´ amaszfu enyek ¨ ggv´ M´eg a s´ıkbeli konvex lemezek sz´eless´eg´enek defini´al´asakor vezett¨ unk be olyan f¨ uggv´enyeket, melyek minden ir´anyhoz hozz´arendelt´ek az adott ir´anyra mer˝oleges t´amaszhipers´ıkok orig´ot´ol m´ert t´avols´ag´at. A sz´eless´eg k´et ilyen t´avols´ag k¨ ul¨onbs´ege n−1 volt. Ennek mint´aj´ara defini´aljuk a K ∈ Kn -beli halmaz hK : S → R t´amaszf¨ uggv´eny´et: hK (u) = sup{x · u|x ∈ K} = sup{α ∈ R|tαu (u⊥ ) ∩ K 6= ∅}. A fenti defin´ıci´oban K kompakts´aga miatt val´oj´aban mindig maximumot vesz¨ unk. Az is vil´agos, hogy ha K, L ∈ Kn , ´es K + L jel¨oli a Minkowski-¨osszeg¨ uket, akkor hK+L = hk + hL . Val´oban, ha x ∈ K + L, akkor tal´alhat´ok hozz´a k ∈ K ´es l ∈ L pontok, hogy x = k + l. Ekkor u · x = u · (k + l) = u · k + u · l ≤ hK (u) + hL (u). ´Igy a bal oldal maximuma is kisebb a korl´atn´al, azaz hK+L (u) ≤ hK (u) + hL (u) minden u ∈ Sn−1 -re. M´asr´eszt viszont legyenek k ´es l azok a vektorok, melyeken hK (u) ´es hL (u) rendre felv´etetik, ekkor k + l ∈ K + L mutatja, hogy hK+L (u) ≥ ≥ hK (u) + hL (u). Vagyis t´enyleg hK+L (u) = hK (u) + hL (u). Tekints¨ uk a hK ´es hL t´amaszf¨ uggv´enyek k¨ ul¨onbs´eg´enek abszol´ ut ´ert´ekben vett maximum´at Sn−1 -en, legyen ez d. Ekkor az el˝obbi a´ll´ıt´as szerint: hB(K,d) = hK+B(0,d) = hK + hB(0,d) = hK + d ≥ hL . Ez az egyenl˝otlens´eg K ´es L felcser´el´es´evel is igaz marad, ´es a kett˝o egy¨ utt pont azt fogalmazza meg, hogy L ⊆ B(K, d) ´es K ⊆ B(L, d). A d sz´am defin´ıci´oj´ab´ol ad´od´oan d a legkisebb ilyen sz´am. Mindebb˝ol az k¨ovetkezik, hogy a K ´es L halmazok Hausdorff-t´avols´aga megegyezik a t´amaszf¨ uggv´enyeik t´avols´ag´aval a maximumnorma a´ltal induk´alt metrik´ara n´ezve. Megjegyezz¨ uk, hogy ez egy trivi´alis bizony´ıt´as´at adja annak a t´enynek, hogy a B(. , r) : Kn → Kn lek´epez´es t´avols´agtart´o.
42
Egy K ∈ Kn halmaz pontosan akkor k¨oz´eppontosan szimmetrikus az orig´ora n´ezve, ha a hK f¨ uggv´eny p´aros, vagyis hK (−u) = hK (u). Jel¨olje Kcn a konvex halmazok k¨oz¨ ul azokat, melyek – nem felt´etlen¨ ul az orig´ora – k¨oz´eppontosan szimmetrikusak. A k¨ovetkez˝o lemma bizony´ıt´astechnikai eszk¨oze lesz a fejezet legfontosabb, eltol´asinvari´ans egyszer˝ u ki´ert´ekel´esekr˝ol sz´ol´o t´etel´enek. Zonot´opon v´eges sok szakasz Minkowski-¨osszeg´et ´ertj¨ uk, m´ıg zonoid on olyan halmazt, mely a Hausdorffmetrik´aban el˝oa´ll zonot´opok hat´ar´ert´ekek´ent. A lemma bizony´ıt´as´aban olyan elm´eletre fogunk hivatkozni, melyet ebben a dolgozatban nem ´ep´ıt¨ unk fel r´eszletesen. Legyen egy g : Sn−1 → R f¨ uggv´eny koszinusz-transzform´altja a C(g) f¨ uggv´eny, amit az al´abbi k´eplet defini´al: Z C(g) (u) = g(v)|u · v| dv. Sn−1
Err˝ol szeretn´enk felhaszn´alni, hogy line´aris sz¨ urjekci´o a p´aros, sima f¨ uggv´enyeken. Ennek bizony´ıt´as´ahoz vezess¨ uk be az Rn -en ´ertelmezett k-adfok´ u homog´en polinomok halmaz´ara a Hk jel¨ol´est, ´es ezek Sn−1 -re vett megszor´ıt´asaira a Sk jel¨ol´est. Ekkor Sk minden k-ra v´eges dimenzi´os vektort´er. V´alasszunk minden k-ra egy Yk,1 , . . . , Yk,m(k) ortonorm´alt b´azist Sk -ban. Jel¨olje L2 (Sn−1 ) az Sn−1 -en n´egyzetesen integr´alhat´o val´os f¨ uggv´enyeket. Ezek Hilbert-teret u halmazon R alkotnak – nullm´ert´ek˝ k¨ ul¨onb¨oz˝o f¨ uggv´enyeket azonos´ıtva – az hf, gi = Sn−1 f g dσ skal´arszorzattal. Bel´athat´o, hogy az {Yi,j |i ∈ N, 0 ≤ j ≤ m(i)} teljes ortonorm´alt rendszer L2 (Sn−1 )-ben. A Funk–Hecke-t´etel k¨ovetkezm´enyek´ent b´armely Yk ∈ Sk f¨ uggv´enyre C(Yk ) = ck Yk , ahol ck csak k-t´ol – ´es a teljes t´er n dimenzi´oj´at´ol – f¨ ugg˝o konstans, ami pontosan akkor nulla, ha k p´aratlan. Az elm´elet fel´ep´ıt´ese, ´es a Funk–Hecke-t´etel bizony´ıt´asa megtal´alhat´o a [7] cikkben. Szeretn´enk l´atni, hogy egy G p´aros f¨ uggv´eny benne van a C(.) lek´epez´es ´ert´ekk´eszlet´eben. V´alasszuk minden k-ra Yk -t a G f¨ uggv´eny Sk alt´erre vett vet¨ ulet´enek: m(k)
Yk =
X
hG, Yk,j iYk,j , ekkor
j=1
G=
∞ X
Yk .
k=0
Vil´agos, hogy p´aratlan k-ra egy k-adfok´ u homog´en f¨ uggv´eny p´aratlan, teh´at Gvel vett skal´arszorzata 0. Ebb˝ol az k¨ovetkezik, hogy Yk =0 minden p´aratlan k-ra. P´aros k-ra viszont Yk nem at´ert´ekhez tartoz´o saj´atvektora a C(.) lek´epez´esP nulla saj´ −1 nek. Tekints¨ uk a g = i∈N (c2i ) Y2i f¨ uggv´enyt. Az ¨osszeg l´etez´es´enek bizony´ıt´asa megfelel˝o simas´agi felt´etel mellett megtal´alhat´o a [8] k¨onyvben. Erre a g-re: X X C(g) = C (c2i )−1 Y2i = Y2i = G. i∈N
i∈N
Teh´at val´oban tudtunk olyan g p´aros f¨ uggv´enyt tal´alni, melyre C(g) = G.
43
uggv´enye 4.1.1. Lemma. Legyen K ∈ Kcn olyan konvex halmaz, melynek hK t´amaszf¨ sima. Ekkor K-hoz tal´alhat´ok Y1 , Y2 zonoidok, melyekkel K + Y1 = Y2 . Bizony´ıt´as. A C(.) lek´epez´es sz¨ urjektivit´asa alapj´an tal´alhat´o olyan g : Sn−1 → R sima p´aros f¨ uggv´eny, melyre C(g) = hK . Jel¨olje g + ´es g − rendre a g f¨ uggv´eny pozit´ıv ´es negat´ıv r´esz´et, ekkor Z Z − hk + g (v)|u · v| dv = g + (v)|u · v| dv. Sn−1
Sn−1
Tekints¨ uk p´eld´aul a jobb oldali integr´al egy k¨ozel´ıt˝o ¨osszeg´et. A felsz´ınt felosztjuk az A1 , . . . , Ak , a felsz´ıni m´ert´ek szerint m´erhet˝o halmazokra, ´es mindegyikb˝ol v´alasztunk egy vi ∈ Ai vektort. Ekkor a k¨ozel´ıt˝o ¨osszeg k X
σ(Ai )g + (vi )|u · vi |,
i=1 n−1
ahol σ a felsz´ıni m´ert´ek S
-en.
Az |u · vi | mint u-nak f¨ uggv´enye ´eppen a [−vi , vi ] szakasz t´amaszf¨ uggv´enye. Mivel a k¨ozel´ıt˝o ¨osszeg ilyenek line´aris kombin´aci´oja, ´es a t´amaszf¨ uggv´enyek ¨osszead´asa megfelel a halmazok Minkowski-¨osszeg´enek k´epz´es´enek, ez´ert minden k¨ozel´ıt˝o ¨osszeghez tartozik egy zonot´op. Persze a k¨ozel´ıt˝o ¨osszegekkel k¨ozel´ıtett integr´alhoz tartoz´o halmaz a zonot´opok hat´ar´ert´eke a Hausdorff-metrik´aban, vagyis zonoid. Legyenek teh´at a Y1 ´es Y2 azok a halmazok, melyeket rendre a bal- illetve jobboldali integr´alok mint u v´altoz´oban Sn−1 → R t´amaszf¨ uggv´enyek meghat´aroznak. Ekkor a t´amaszf¨ uggv´enyek ´es konvex halmazok ¨osszead´as´anak kapcsolat´ab´ol kapjuk, hogy K + Y1 = Y2 . Nem vizsg´altuk meg, hogy egy f¨ uggv´eny mikor lesz konvex halmaz t´amaszf¨ uggv´enye. Az el˝oz˝o bizony´ıt´as sor´an onnan tudjuk, hogy az integr´alok t´amaszf¨ uggv´enyek, hogy a hozz´ajuk tart´o k¨ozel´ıt˝o ¨osszegek zonot´opok t´amaszf¨ uggv´enyei voltak, melyek egyben konvex halmazok is, ´ıgy a Hausdorff-metrik´aban konvex halmazhoz tartanak, mert a konvex halmazok z´art halmazt alkotnak a kompaktok k¨oz¨ott. Mivel a t´amaszf¨ uggv´enyeknek a maximumnorm´aban konverg´alni ugyanaz, mint a konvexek halmazoknak a Hausdorff-metrik´aban konverg´alni, ez´ert az integr´al ´eppen a zonot´opok hat´ar´ert´ek´enek t´amaszf¨ uggv´enye. Felmer¨ ul azonban a k´erd´es, hogy mi´ert egyenletes a k¨ozel´ıt˝o ¨osszegek konvergenci´aja u-ban? Egy k¨ozel´ıt˝o ¨osszeg is folytonos u-ban, ´es a k¨ozel´ıtett integr´al is. Ez´ert ha egy als´o vagy fels˝o k¨ozel´ıt˝o ¨osszeg az u pontban ε-n´al k¨ozelebb van az integr´al ´ert´ek´ehez, akkor ez u egy k¨ornyezet´eben is teljes¨ ul. Minden pont k¨or´e vegy¨ unk fel n−1 n−1 egy ilyen k¨ornyezetet, ezek fedik az eg´esz S -et. S kompakts´ag´ab´ol kapunk v´eges sok k¨ornyezetet, ´es minden k¨ornyezethez egy hozz´a tartoz´o als´o ´es fels˝o k¨ozel´ıt˝o ´gy, hogy a k¨ornyezeten az als´o ´es fels˝o k¨ozel´ıt˝o ¨osszeg is ε-n´al k¨ozelebb ¨osszeget u van az integr´al ´ert´ek´ehez. Ekkor a v´eges sok k¨ozel´ıt˝o ¨osszeghez tartoz´o feloszt´asok o¨sszefinom´ıt´as´aval kapott feloszt´asra az als´o ´es fels˝o k¨ozel´ıt˝o o¨sszeg is ε-n´al k¨ozelebb van az integr´al ´ert´ek´ehez minden u ∈ Sn−1 -re. Ezzel a konvergencia egyenletess´eg´et is bel´attuk.
44
4.2. A t´ erfogat jellemz´ ese polikonvex halmazokon M´eg egy utols´o lemm´ara sz¨ uks´eg¨ unk van, miel˝ott belekezdhet¨ unk a l´enyegi t´etel bizony´ıt´as´aba. Legyen B = {e1 , . . . , en } a standard ortonorm´alt b´azis az Rn vektort´erben. Jel¨olje SB ⊆ SO(n) azon ir´any´ıt´astart´o ortogon´alis transzform´aci´okat, melyek a B-nek (n − 2) elem´et helyben hagyj´ak. 4.2.1. Lemma. Minden SO(n)-beli transzform´aci´o el˝o´all SB -beliek kompoz´ıci´ojak´ent, vagyis SB gener´alja SO(n)-et. Bizony´ıt´as. Az a´ll´ıt´as n = 2 esetben semmitmond´o, n ≥ 3 esetben indukci´oval bizony´ıtunk. Legyen φ ∈ SO(n), ´es tegy¨ uk fel, hogy φ(en ) = v 6= en . Ekkor vesz¨ unk egy ψ SO(n)-beli lek´epez´est, melyre ψ(en ) = en , ´es a ψ(v) vektor az hen−1 , en i s´ıkba esik. Ezt meg tudjuk tenni, hiszen az en helyben hagy´asa mellett a v vet¨ ulet´et az he1 , . . . , en−1 i hipers´ıkban be tudjuk forgatni en−1 ir´any´aba. R´aad´asul ez a ψ transzform´aci´o az indukci´os feltev´es szerint el˝oa´ll SB -beliek szorzatak´ent. Mivel ψ(v) ∈ hen−1 , en i, tal´alhat´o olyan η ∈ SB , melyre η ψ(v) = en . Ekkor ηψφ(en ) = = en miatt az indukci´os feltev´est alkalmazni tudjuk ϑ = ηψφ-re. Mivel η maga SB -beli, m´ıg ψ ´es ϑ ilyenek szorzatak´ent el˝o´all, ez´ert φ = ψ −1 η −1 ϑ is el˝oa´ll SB -beliek szorzatak´ent. Erre az´ert volt sz¨ uks´eg¨ unk, mert a k¨ovetkez˝o t´etelt a lehet˝o leg´altal´anosabban szeretn´enk bizony´ıtani. A 3.3.3 t´etel mint´aj´ara szeretn´enk el´egs´eges felt´eteleket arra, hogy egy egyszer˝ u ki´ert´ekel´es a t´erfogat konstansszorosa legyen. 4.2.2. T´ etel. Legyen µ egyszer˝ u, eltol´asinvari´ans, ´es folytonos ki´ert´ekel´es Polycon(n)n en, melyre µ([0; 1] ) = 0 ´es minden K ∈ Kn -re µ(K) = µ(−K), ahol −K jel¨oli a K halmaz orig´ora vett k¨oz´eppontos t¨ uk¨ork´ep´et. Ekkor µ(L) = 0 minden L ∈ ∈ Polycon(n)-re. A t´etel teh´at azt fogalmazza meg, hogy ha egy egyszer˝ u, folytonos ki´ert´ekel´es az eltol´asokon t´ ul egyetlen k¨oz´eppontos t¨ ukr¨oz´esre is invari´ans, ´es egy kock´an elt˝ unik, akkor m´ar minden konvex – ´es polikonvex – halmazon elt˝ unik. Bizony´ıt´as. A kiterjeszt´esi t´etel¨ unk szerint el´eg megmutatni, hogy µ(K) = 0 minden K ∈ Kn halmazra. Az n = 1 esetben a t´etel nem mond semmi u ´jat, hiszen ekkor a konvex testek ´es a parallelot´opok megegyeznek, parallelot´opokra pedig m´ar bel´attuk a 3.3.3 t´etelt, amit alkalmazva azonnal kapjuk az ´all´ıt´ast. Az n ≥ 2 esetben indukci´oval bizony´ıtunk. Ism´et a 3.3.3 mint´aj´ara elmondhat´o, hogy mivel a µ ki´ert´ekel´es¨ unk elt˝ unik az egys´egkock´an, ez´ert az 1/k oldal´ u kock´akon is, ebb˝ol ad´od´oan a racion´alis oldalhossz´ us´ag´ u tengelyp´arhuzamos parallelot´opokon, majd a folytonoss´ag k¨ovetkezt´eben az ¨osszes tengelyp´arhuzamos parallelot´opon. El˝osz¨or a tengelyp´arhuzamoss´ag felt´etel´et˝ol szeretn´enk megszabadulni, ebben lesz seg´ıts´eg¨ unkre a 4.2.1 lemma. Legyen ugyanis n = 2 esetben C egy tengelyp´arhuzamos parallelot´op, m´ıg D egy elforgatottja, vagyis valami m´as ortonorm´alt b´azisra n´ezve tengelyp´arhuzamos. Azt m´ar
45
tudjuk, hogy µ(C) = 0, ´es a 3. a´bra mutatja, hogy C ´es D a´tdarabolhat´oak egym´asba v´ag´asok, eltol´asok, ´es ¨osszeilleszt´esek seg´ıts´eg´evel. Mivel µ egyszer˝ u, ´es a darabok metszetei kisebb dimenzi´osak, ´ıgy µ(D) = 0 ad´odik. 3. ´abra. T´eglalapok ´atdarabol´asa eltol´asokkal
Tetsz˝oleges n dimenzi´oban az el˝obbi a´tdarabol´as a tengelyp´arhuzamos C parallelot´opot egy ψ ∈ SB -beli transzform´aci´oval elforgatott ψ(C)-be viszi. Az a´tdarabol´as nem v´altoztatja meg a µ ´ert´ek´et, ´ıgy µ ψ(C) = µ(C). Ezt minden ψ ∈ SB transzform´aci´ora elmondhatjuk, ´es mivel ezek gener´alj´ak SO(n)-t, ez´ert bel´attuk, hogy b´armely ortonorm´alt b´azishoz viszony´ıtjuk a tengelyp´arhuzamoss´agot, a parallelot´opok µ-´ert´eke nulla. R¨oviden: b´armilyen ´all´as´ u D t´egl´ara µ(D) = 0. Tekints¨ uk a H = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn |xn = 0} hipers´ıkon a τH ki´ert´ekel´est, ahol K ∈ Kn−1 -re τH (K) = µ K × [0; 1] . Ez a τH eltol´asinvari´ans, folytonos, τH ([0; 1]n−1 ) = 0, ´es persze τh (K) = τH (−K). Az indukci´os feltev´es¨ unk szerint teh´at τH azonosan 0. Ekkor viszont a racion´alis v´egpont´ u [a; b] intervallumokkal is µ(K × × [a; b]) = 0, hiszen K × [a; b] megkaphat´o K × [0; 1/k] t´ıpus´ u darabokb´ol, ezekre pedig µ(K × [0; 1/k]) = (1/k)µ(K × [0; 1]) = 0. A folytonoss´agb´ol ad´od´oan pedig azt sem kell kik¨otni, hogy a ´es b racion´alisak legyenek, vagyis µ elt˝ unik minden konvex alap´ u mer˝oleges has´abon. A H hipers´ıkot b´armilyen a´ll´as´ unak v´alaszthatjuk, hiszen az indukci´os l´ep´es haszn´alat´ahoz a trivi´alisan ¨or¨okl˝od˝o tulajdons´agok mellett csak azt kell bebizony´ıtanunk, hogy τH a hipers´ıkbeli egys´egkock´an 0. Mivel bel´attuk, hogy µ b´armilyen ´all´as´ u kock´an 0, ez´ert a H-beli egys´egkock´ara a´ll´ıtotton is. A τH -ra ez el˝obbi gondolatmenetet v´egigmondva azt kapjuk, hogy b´armilyen a´ll´as´ u, konvex alap´ u, mer˝oleges has´abon
46
µ elt˝ unik. Ez´ uttal a mer˝olegess´eg felt´etel´et˝ol szeretn´enk megszabadulni. A 4. a´bra mutatja, hogy ezt hogyan tudjuk megtenni. 4. ´abra. Has´abok ´atdarabol´asa
Vegy¨ unk egy K kompakt, konvex halmazt egy hipers´ıkban, majd toljuk el a hipers´ıkon k´ıv¨ ulre, ´es az eltolt p´eld´any minden pontj´at k¨oss¨ uk ¨ossze az o˝sk´ep´evel. Ha az eltol´as vektora mer˝oleges a s´ıkra, akkor mer˝oleges has´abot kapunk, ´altal´anos esetben azonban nem. Ilyenkor v´agjuk kett´e a ferde has´abunkat az eltol´as ir´any´ara mer˝oleges hipers´ıkkal, majd az alap ´es fed˝olapokat toljuk o¨ssze. Mivel ezek am´ ugy is egym´as eltoltjai voltak, ezt meg tudjuk tenni. Ez a m´odszer azonban csak akkor m˝ uk¨odik, amikor az eltol´as ir´any´ara mer˝oleges hipers´ıkkal az ´abr´an l´athat´o m´odon tudjuk kett´ev´agni a has´abunkat, vagyis a hipers´ık elker¨ uli az eredeti konvex halmazt ´es az eltoltj´at is. Ezt akkor nem tudjuk megtenni, ha a has´abunk t´ ul sz´eles”, teh´at az alapj´anak ´atm´er˝oje nagy a magas” s´ag´ahoz k´epest. Ebben az esetben viszont az alapot kisebb a´tm´er˝oj˝ u halmazokra bontva a magass´ag nem v´altozik, azonban az a´tm´er˝o tetsz˝olegesen cs¨okkenthet˝o. A kapott v´ekony” has´abokra azt´an alkalmazhat´o a fenti a´tdarabol´as, melynek seg´ıt” s´eg´evel mer˝oleges has´abokat kapunk, ezeken viszont a µ elt˝ unik, ´ıgy az eredeti ferde has´abon is 0. Vizsg´aljuk meg, hogy egy P polit´op ´es egy szakasz Minkowski-¨osszege hogyan bomlik fel kezelhet˝o darabokra. Legyen v ∈ Rn , ´es tekints¨ uk a P + [0; v] ¨osszeget. Legyenek a P polit´op L1 , . . . , Lk hiperlapjainak k¨ uls˝o norm´alvektorai rendre az u1 , . . . , uk vektorok. Feltehetj¨ uk, hogy L1 , . . . , Lm azok a hiperlapok, melyekre ui · v > 0. A Minkowski-¨osszegben ezekre a lapokra a´ll´ıtott – ferde – has´abok fognak
47
megjelenni: P + [0; v] = P ∪ L1 + [0; v] ∪ . . . ∪ Lm + [0; v] . Mivel itt a tagok metszetei legfeljebb (n−1)-dimenzi´ osak, ´ıgy a µ egyszer˝ us´eg´eb˝ol ad´odik, hogy µ P + [0; v] = µ(P ) + µ L1 + [0; v] + . . . + µ Lm + [0; v] . Has´abokon a µ elt˝ unik, ´ıgy µ P +[0; v] = µ(P ). Ennek az a´ll´ıt´asnak az iter´al´as´aval megkapjuk, hogy b´armely P polit´opra ´es Z zonot´opra µ(P + Z) = µ(P ). P -t egyetlen pontnak v´alasztva kapjuk, hogy b´armely Z zonot´opra µ(Z) = 0. Mivel µ folytonos, ez´ert ez ¨or¨okl˝odik hat´ar´ert´ekekre is, vagyis b´armely K kompakt, konvex halmazra ´es Y zonoidra µ(Y ) = 0 ´es µ(K + Y ) = µ(K). Ezen a ponton mag´at´ol ´ertet˝od˝o, hogy haszn´aljuk a 4.1.1 lemm´at. Legyen teuggv´enye sima. A lemma szerint tal´alunk Y1 ´es Y2 h´at K ∈ Kcn , melynek t´amaszf¨ zonoidokat, melyekkel K + Y1 = Y2 . Ebb˝ol pedig megkapjuk, hogy µ(K) = µ(K + Y1 ) = µ(Y2 ) = 0. ´ Altal´ aban egy k¨oz´eppontosan szimmetrikus, de nem sima t´amaszf¨ uggv´eny˝ u konvex halmaz t´amaszf¨ uggv´eny´et a maximumnorm´aban tudjuk sima f¨ uggv´enyekkel k¨ozel´ıteni, ez´ert a µ folytonoss´aga garant´alja, hogy µ(K) = 0 minden K ∈ Knc halmazra. Bebizony´ıtjuk, hogy tetsz˝oleges T szimplexre µ(T ) = 0. Az eltol´asinvariancia miatt feltehet˝o ugyanis, hogy T egyik cs´ ucsa az orig´o, m´ıg a t¨obbi cs´ ucsot jel¨olje v1 , . . . vn . Legyen P parallelot´op a [0, v1 ] + · · · + [0, vn ] Minkowski-¨osszeg. P ugyan n pontra, teh´at nem tengelyp´arhuzamos, de k¨oz´eppontosan szimmetrikus a v1 +···+v 2 µ(P ) = 0. Legyen u = v1 + · · · + vn , ´es v´agjuk sz´et P -t k´et affin hipers´ık seg´ıts´eg´evel. Legyen H1 az a hipers´ık, mely illeszkedik a v1 , . . . , vn vektorokra, m´ıg H2 illeszkedjen az u−v1 , . . . , u−vn vektorokra. Ekkor H1 orig´ot tartalmaz´o z´art f´eltere P -b˝ol ´eppen az eredeti T szimplexet metszi ki. Hasonl´oan a H2 orig´ot nem tartalmaz´o z´art f´eltere P -b˝ol a tu (−T ) halmazt metszi ki. A k´et hipers´ık k¨oz¨otti z´art tartom´any metszete P vel legyen P 0 . P 0 is k¨oz´eppontosan szimmetrikus, hiszen P -b˝ol T -t ´es a k¨oz´eppontra szimmetrikus k´ep´et v´agtuk le. Teh´at µ(P 0 ) = 0, ´es mivel a P darabjainak metszetei kisebb dimenzi´osak, ´ıgy 0 = µ(P ) = µ(T ) + µ(P 0 ) + µ tu (−T ) = µ(T ) + µ(−T ). Itt kihaszn´aljuk a felt´etel¨ unket, miszerint µ(T ) = µ(−T ), ´es kapjuk, hogy µ(T ) = 0. B´armely P polit´op felbomlik szimplexek uni´oj´ara u ´gy, hogy a szimplexek metszetei kisebb dimenzi´osak. Ezt indukci´oval k¨onnyen igazolhatjuk: a polit´op belsej´eben r¨ogz´ıts¨ unk egy tetsz˝oleges pontot, a hiperlapjait pedig az indukci´os feltev´es szerint felbontjuk, ´es minden kapott – alacsonyabb dimenzi´os – szimplexekhez cs´ ucsk´ent hozz´avessz¨ uk a r¨ogz´ıtett pontot. Mivel µ minden szimplexen elt˝ unik, ´ıgy az egyszer˝ us´eg miatt ezek uni´oj´an is, teh´at µ(P ) = 0 minden polit´opra. V´eg¨ ul tetsz˝oleges konvex halmazt k¨ozel´ıthet¨ unk polit´opokkal, ´ıgy a folytonoss´agb´ol µ(K) = 0 minden K ∈ Kn -re. A t´etel a´ll´ıt´as´at bizony´ıtottuk. Ezzel a technikai munka jav´at elv´egezt¨ uk, ´es innent˝ol k¨onnyen kapjuk a szeml´eletesebb eredm´enyeket.
48
4.2.3. T´ etel. Legyen µ egyszer˝ u, folytonos, eltol´asinvari´ans ki´ert´ekel´es Polycon(n)en. Ekkor l´etezik c ∈ R, hogy minden K ∈ Polycon(n)-re µ(K) + µ(−K) = cµn (K). Bizony´ıt´as. Vezess¨ uk be az η ki´ert´ekel´est az al´abbi k´eplettel: η(K) = µ(K) + µ(−K) − 2µ [0; 1]n µn (K). Ez az η egyszer˝ u, folytonos ´es eltol´asinvari´ans, hiszen ilyen ki´ert´ekel´esek line´aris kombin´aci´oja. A szimmetriz´aci´o miatt η(K) = η(−K), ´es mivel levontuk az egy n s´egkocka m´ert´ek´et, ez´ert η [0; 1] = 0. Teh´at η teljes´ıti a 4.2.2 t´etel felt´eteleit, ´ıgy azonosan nulla. Ebb˝ol pedig µ(K) + µ(−K) = 2µ [0; 1]n µn (K) k¨ovetkezik. Az im´ent a 4.2.2 t´etelb˝ol vezett¨ uk le a 4.2.3 t´etelt, azonban az ellenkez˝o ir´any´ u implik´aci´o mag´at´ol ´ertet˝od˝o. Val´oban, ha egy µ ki´ert´ekel´es teljes´ıti a 4.2.2 felt´eteleit, akkor a 4.2.3 szerint 2µ(K) = µ(K) + µ(−K) = cµn (K). Ezt pedig a [0; 1]n kock´an ki´ert´ekelve kapjuk, hogy c = 0. 4.2.4. T´ etel. Legyen µ egyszer˝ u, folytonos, eltol´as- ´es SO(n)-invari´ans ki´ert´ekel´es Polycon(n)-en. Ekkor l´etezik c ∈ R, hogy µ(K) = cµn (K) minden Polycon(n)-beli K halmazra. Bizony´ıt´as. Persze az ´all´ıt´ast el´eg Kn -beli halmazokra bebizony´ıtani. A 4.2.3 t´etel alkalmaz´as´aval m´aris ad´odik, hogy µ(K)+µ(−K) = cµn (K). A b˝ovebb csoportra vonatkoz´o invarianci´ank kihaszn´al´as´aval bebizony´ıtjuk, hogy µ(K) = µ(−K) minden Kn -beli K halmazra. Ezzel k´eszen lesz¨ unk, mert az el˝obbi egyenl˝os´egb˝ol µ(K) = = c/2µn (K) ad´odik. Amennyiben n p´aros, az orig´ora val´o k¨oz´eppontos t¨ ukr¨oz´es SO(n)-beli transzform´aci´o, ´ıgy nincs mit bizony´ıtani. A p´aratlan esetben kicsit bonyolultabb az ´ervel´es¨ unk. Megmutatjuk, hogy b´armely T szimplex felbonthat´o polit´opok P1 , . . . , Pk uni´oj´ara u ´gy, hogy a polit´opok metszetei kisebb dimenzi´osak, ´es minden polit´op szimmetrikus egy hipers´ıkra n´ezve. Ezzel k´eszen lesz¨ unk, hiszen tetsz˝oleges halmaz k¨oz´eppontos t¨ uk¨ork´epe megkaphat´o egy tetsz˝oleges hipers´ıkra t¨ ukr¨oz´es, majd egy SO(n)-beli transzform´aci´o kompoz´ıci´ojak´ent. A vizsg´alt Pi polit´op szimmetrikus egy t¨ ukr¨oz´es hipers´ıkj´ara, ´ıgy az els˝o transzform´aci´o ¨onmag´ara k´epezi, vagyis a −Pi k¨oz´eppontosan szimmetrikus k´ep megkaphat´o SO(n)-beli transzform´aci´oval, ´ıgy µ(Pi ) = µ(− −Pi ). Ekkor a szimplexre µ(T ) = µ(P1 ) + · · · + µ(Pk ) = µ(−P1 ) + · · · + µ(−Pk ) = = µ(−T ). A 4.2.2 t´etel bizony´ıt´as´aban l´atott m´odon minden polit´opot felbontunk szimplexek uni´oj´ara, amib˝ol megkapjuk, hogy minden P polit´opra is µ(P ) = µ(− −P ). V´eg¨ ul tetsz˝oleges konvex halmazt polit´opokkal k¨ozel´ıt¨ unk, ´es a ki´ert´ekel´esek folytonoss´ag´ara hivatkozva kapjuk, hogy µ(K) = µ(−K). Fel kell teh´at bontanunk egy tetsz˝oleges T szimplexet hipers´ıkra szimmetrikus polit´opokra. Legyenek a szimplex hiperlapjai L1 , . . . , Ln+1 , ´es be´ırt g¨ombj´enek k¨o´ ıtsunk x-b˝ol mer˝olegest az Li hiperlapra, legyen ennek talppontja z´eppontja x. All´ xi . Minden 1 ≤ i < j ≤ n + 1 p´arhoz defini´aljuk a Pi,j = conv{x, xi , xj , Li ∩ Lj }
49
polit´opot. Elemi geometria, hogy minden Pi,j szimmetrikus az hx, Li ∩ Lj i hipers´ıkra, uni´ojuk az eg´esz T , ´es b´armely kett˝o metszete legfeljebb (n − 1)-dimenzi´os. A felbont´as l´etez´es´et, ´es ezzel egy¨ utt a t´etel¨ unket bebizony´ıtottuk. Ez a t´etel mutatja, hogy polikonvex halmazok k¨or´eben az invarianci´at az ir´any´ıt´astart´o egybev´ag´os´agokra ´erdemes n´ezni. Mostant´ol – amennyiben nem pontos´ıtunk – invariancia alatt ezt fogjuk ´erteni.
4.3. Bels˝ o t´ erfogatok normaliz´ al´ asa Miel˝ott a 3.3.4 t´etel mint´aj´ara tov´abbvinn´enk az eredm´eny¨ unket, ´erdemes bebizon uggnek a befoglal´o t´er dimenzi´oj´any´ıtani, hogy a µk ki´ert´ekel´esek val´oj´aban nem f¨ t´ol. Ezt Par(n)-en m´ar bizony´ıtottuk, Polycon(n) -en viszont m´eg nem. A t´erfogat jellemz´es´evel megsz¨ uletett az eszk¨oz, amellyel ez k´enyelmesen bizony´ıthat´o. A bels˝o t´erfogatokat eddig nem defini´altuk az n < k esetben. Legyen mostant´ol n < k eset´en µnk azonosan nulla. 4.3.1. T´ etel. A polikonvex halmazokon ´ertelmezett µnk bels˝o t´erfogatok f¨ uggetlenek a befoglal´o t´er n dimenzi´oj´at´ol. Bizony´ıt´as. Azt kell bel´atni, hogy l < n eset´en µnk megszor´ıt´asa egy l-dimenzi´os alt´erre µlk . A k = 0 esetet m´ar meggondoltuk kor´abban. Az n dimenzi´ora vonatkoz´o indukci´oval bizony´ıtunk. Tekints¨ uk a k¨ovetkez˝o indukci´os feltev´est: b´armely k ≤ l ≤ n−1 ≤ (n − 1)-re µk megszor´ıt´asa b´armely l-dimenzi´os alt´erre ´eppen µlk . Ez n − 1 = 0 esetben trivi´alisan igaz. Indukci´os l´ep´esk´ent szeretn´enk ugyanezt bebizony´ıtani µnk re. Ehhez egy bels˝o indukci´ot alkalmazunk l-re n´ezve, el˝osz¨or is megvizsg´aljuk az l = k esetet. Ha a µnk ki´ert´ekel´est megszor´ıtjuk egy l = k dimenzi´os tengelyp´arhuzamos affin alt´erre, akkor azon egy egyszer˝ u, folytonos, invari´ans ki´ert´ekel´est kapunk. Ebb˝ol egyed¨ ul az egyszer˝ us´eg nem trivi´alis. Legyen K legfeljebb (k−1)-dimenzi´os kompakt, konvex halmaz. Megmutatjuk, hogy µnk (K) = 0. Graff(n−k, K) ⊆ Graff(n−k, hKi), el´eg teh´at megmutatni, hogy λnn−k Graff(n − k, hKi) = 0. λnn−k
Graff(n − k, hKi) =
Z
Z fd hKi (U, p) dp dU
Gr(n−k,n)
U⊥
Itt fhKi a Graff n − k, hKi halmaz karakterisztikus f¨ uggv´enye, vagyis pontosan azon affin altereken nem 0, melyek metszik hKi-t. A bels˝o integr´al´as mindig egy k-dimenzi´os euklideszi t´eren t¨ort´enik, de csak hKi mer˝oleges vet¨ ulet´enek pontjaiban kell nem nulla ´ert´eket integr´alni. Viszont hKi vet¨ ulete is legfeljebb (k −1)-dimenzi´os, ´ıgy az integr´aland´o f¨ uggv´eny csak nullm´ert´ek˝ u halmazon nem nulla. Teh´at a bels˝o integr´al 0, f¨ uggetlen¨ ul a k¨ uls˝o integr´al v´altoz´oj´anak v´alaszt´as´at´ol. A k¨ uls˝o integr´alban teh´at az azonosan nulla f¨ uggv´enyt integr´aljuk, vagyis null´at kapunk. Ezzel n bel´attuk µk megszor´ıt´as´anak egyszer˝ us´eg´et.
50
Ott tartunk, hogy µnk megszor´ıt´asa teljes´ıti a 4.2.4 t´etel felt´eteleit, teh´at a kdimenzi´os alt´er polikonvex halmazain cµkk -val egyenl˝o. A c konstans meghat´aroz´as´ahoz vegy¨ unk egy tetsz˝oleges k-dimenzi´os tengelyp´arhuzamos parallelot´opot az alter¨ unkben, ilyet az alter¨ unk tengelyp´arhuzamoss´aga miatt tudunk v´alasztani. Erre azonban tudjuk, hogy a k´et ki´ert´ekel´es¨ unk megegyezik, ´es nem nulla, amib˝ol c = 1 k¨ovetkezik. V´eg¨ ul a tengelyp´arhuzamoss´agot elhagyhatjuk, hiszen mindk´et ki´ert´ekel´es invari´ans. Ez alatt µkk eset´en azt ´ertj¨ uk, hogy a k-dimenzi´os t´erfogat nem f¨ ugg att´ol, hogy melyik alt´erben defini´aljuk. Ezzel bel´attuk n-re az l = k esetet. Tegy¨ uk fel, hogy valamilyen k ≤ l < n − 1-re bel´attuk, hogy b´armely l-dimenzi´os unk most egy (l + 1)-dimenzi´os H affin alt´erre megszor´ıtva µnk -et µlk -et kapjuk. Vegy¨ n alteret, ´es arra szor´ıtsuk meg µk -et; jel¨olje ezt a ki´ert´ekel´est ν. Szeretn´enk bel´atni, hogy ν = µl+1 aljuk meg, hogy mi ezeknek a megszor´ıt´asa egy L ⊆ H lk . Vizsg´ dimenzi´os affin alt´eren. Mivel ν-t µnk -b˝ol kaptuk, ez´ert az l-re vonatkoz´o indukci´os megszor´ıt´as´ara feltev´es szerint a megszor´ıt´asa µlk . Tov´abb´a l + 1 ≤ n − 1 miatt µl+1 k l a k¨ uls˝o – n-re vonatkoz´o – indukci´os feltev´esb˝ol ugyancsak µk ad´odik. Vagyis a ν − −µl+1 egyszer˝ u, folytonos, invari´ans ki´ert´ekel´es a H-beli polikonvex halmazokon, ´ıgy k valamilyen c konstansra megegyezik a cµl+1 ert´ekel´essel. Az el˝oz˝o meggondol´ashoz l+1 ki´ hasonl´oan – H-t tengelyp´arhuzamosnak v´alasztva, majd invarianci´ara hivatkozva – a parallelot´opokra m´ar bizony´ıtott a´ll´ıt´asb´ol kapjuk, hogy c = 0. Ezzel bel´attuk az l-re vonatkoz´o indukci´os l´ep´est, annak ism´etl´es´evel pedig az n-re vonatkoz´ot. Befejez´es¨ ul tekints¨ uk az l < k esetet. Ekkor egy l-dimenzi´os alt´erre megszon ´ ezt l´attuk be azzal, hogy egy r´ıtva µk -et azonosan nulla ki´ert´ekel´est kapunk. Epp k-dimenzi´os alt´erre vett megszor´ıt´as egyszer˝ u. Mivel ekkor µlk is azonosan null´anak van defini´alva, ez´ert a t´etel¨ unk ekkor is igaz.
4.4. A Hadwiger-t´ etel Ezek ut´an teljes pomp´aj´aban tudjuk kimondani a t´emak¨or legfontosabb t´etel´et. 4.4.1. T´ etel (Hadwiger). A µ0 , . . . , µn bels˝o t´erfogatok b´azis´at alkotj´ak Polycon(n) folytonos, invari´ans ki´ert´ekel´eseinek. Bizony´ıt´as. A bizony´ıt´as pontosan u ´gy fog t¨ort´enni, mint a 3.3.4 t´etel bizony´ıt´asa. Indukci´oval bizony´ıtunk, az n = 1 esetet m´ar kit´argyaltuk, ekkor igaz az a´ll´ıt´as. Az indukci´os l´ep´esben vegy¨ unk egy H hipers´ıkot, ´es szor´ıtsuk meg erre a hipers´ıkra Pn−1 µ-t. A kapott ki´ert´ekel´es H-n folytonos, ´es invari´ans, teh´at el˝oa´ll i=0 ci µi alakban, ahol az invariancia utthat´ok nem f¨ uggnek a H v´alaszt´as´at´ol. Az eg´esz Pn−1 miatt a ci egy¨ t´eren a µ − i=0 ci µi ki´ert´ekel´es teh´at egyszer˝ u, folytonos, ´es invari´ans, ´ıgy a 4.2.4 t´etel szerint cn µn -nel egyenl˝o. A bels˝o t´erfogatok most is felismerhet˝oek a homogenit´asukr´ol, melyet pontosan u ´gy defini´alunk, mint parallelot´opokon ´ertelmezett ki´ert´ekel´esekn´el. Ennek bizony´ıt´asa pontosan megegyezik a 3.3.5 t´etel bizony´ıt´as´aval, ´es k¨ozvetlen k¨ovetkezm´enye a Hadwiger-t´etelnek.
51
4.4.2. T´ etel. Legyen 0 ≤ k ≤ n, ´es µ ki´ert´ekel´es Polycon(n)-en, mely k-adfok´ u homog´en, folytonos, ´es invari´ans. Ekkor l´etezik c ∈ R, melyre µ = cµk . A 3. fejezetben f´arads´agos munk´aval fel´ep´ıtett¨ uk a polikonvex halmazok bels˝o t´erfogatainak fogalm´at, ´es a 4. fejezetben bebizony´ıtottuk a Hadwiger-t´etelt, ami bizonyos szempontb´ol az elm´elet cs´ ucsa, hiszen pont azt mondja ki, hogy a bels˝o t´erfogatokon kereszt¨ ul meg´ertett¨ uk a polikonvex halmazok ¨osszes folytonos, invari´ans ki´ert´ekel´es´et. A k¨ovetkez˝o fejezetben visszatekint¨ unk bizonyos kor´abbi t´etelekre ´es fogalmakra, melyeket a Hadwiger-t´etel seg´ıts´eg´evel tov´abb finom´ıtunk. Ez egyr´eszt j´ol fogja demonstr´alni a t´etel – ´es a ki´ep´ıtett elm´elet – erej´et, m´asr´eszt m´eg tiszt´abb k´epet ad a bels˝o t´erfogatok fogalm´ar´ol.
52
5. Alkalmaz´ asok El˝osz¨or eleven´ıts¨ uk fel a konvex halmazok paralleltartom´anyainak t´erfogat´at le´ır´o Steiner–Minkowski-t´etelt.
5.1. A Steiner–Minkowski-t´ etel m´ eg egyszer A 2.4.1 t´etel azt mondta ki, hogy egy K kompakt, konvex halmaz z´art paralleltartom´any´anak ter¨ ulete n-edfok´ u polinomja a tartom´any sugar´anak. A polinom egy¨ utthat´oi persze K-t´ol f¨ ugg˝o val´os sz´amok: n X mi (K)ri . µn B(K, r) = i=0
Bebizony´ıtjuk, hogy az mi f¨ uggv´enyek ki´ert´ekel´esek. Legyenek K, L ∈ Kn olyanok, hogy K ∪ L is konvex. A defin´ıci´o trivi´alis k¨ovetkezm´enye, hogy B(K ∪ L, r) = = B(K, r) ∪ B(L, r), ´es megmutatjuk, hogy a metszetre is B(K ∩ L, r) = B(K, r) ∩ ∩B(L, r). A bal oldalon azok a pontok vannak, melyekt˝ol van legfeljebb r t´avols´agra K ∩L-beli pont, m´ıg a jobb oldalon azok, melyekt˝ol van legfejebb r t´avols´agra L-beli ´es K-beli pont is. Ebb˝ol a ⊆ tartalmaz´as m´aris l´atszik. Legyen x ∈ B(K, r)∩B(L, r), ´es k ∈ K, l ∈ L olyan pontok, hogy k, l ∈ B(x, r). Ekkor a [k; l] szakasz v´egig B(x, r)ben halad. A 3.5.1 lemma bizony´ıt´as´aban m´ar megmutattuk, hogy ha k´et kompakt konvex halmaz uni´oja is konvex, ´es adott egy olyan szakasz, melynek egyik v´egpontja az egyik, a m´asik v´egpontja a m´asik konvex halmazban van, akkor a szakasznak van pontja a konvex halmazok metszet´eben. Ez a szakasz ¨osszef¨ ugg˝os´eg´en ´es a konvex halmazok kompakts´ag´an m´ ulott. Most ugyanezt felhaszn´alva [k; l] ∩ (L ∩ K) 6= ∅, ´ıgy B(x, r) ∩ (L ∩ K) 6= ∅, teh´at x ∈ B(K ∩ L, r), amivel a ⊇ tartalmaz´ast is bel´attuk. Ezt ¨osszevetve azzal, hogy µn ki´ert´ekel´es: n X
mi (K ∪ L)ri = µn B(K ∪ L, r) = µn B(K, r) ∪ B(K, r) =
i=0
= µn B(K, r) + µn B(L, r) − µn B(K, r) ∩ B(L, r) = | {z } =B(K∩L,r)
=
n X
mi (K) + mi (L) − mi (K ∩ L) ri .
i=0
Ezt minden r ≥ 0-ra elmondhatjuk, ´ıgy a k´et polinom egy¨ utthat´oi megegyeznek, teh´at minden i-re mi (K ∪ L) = mi (K) + mi (L) − mi (K ∩ L). K¨ovetkez´esk´eppen mi ki´ert´ekel´es a konvex halmazokon. Megmutatjuk, hogy folytonos is. Legyenek Kk ∈ ∈ Kn konvex halmazok, melyek a Hausdorff-metrik´aban konverg´alnak a K ∈ Kn halmazhoz. Ekkor a B(., r) oper´atort´avols´agtart´asamiatt B(Kk , r) → B(K, r), ´es a µn folytonoss´aga miatt µ B(Kk , r) → µn B(K, r) . Vegy¨ unk fel r0 , r1 , . . . , rn k¨ ul¨onb¨oz˝o pozit´ıv val´os sz´amokat, ´es k´epezz¨ unk bel˝ol¨ uk Vandermond t´ıpus´ u m´atrixot, ´es jel¨olje m(K) ~ az mi (K) egy¨ utthat´okb´ol k´epzett oszlopvektort, azaz
53
A=
1 r0 . . . r0n 1 r1 . . . r1n .. .. . . . . .. . . 1 rn . . . rnn
,
m(K) ~ =
m0 (K) m1 (K) .. .
.
mn (K)
Ekkor a t´erfogatok konvergenci´aj´at fel´ırva az r0 , . . . , rn sugarakkal azt kapjuk, hogy Am(K ~ k ) → Am(K). ~ Az A m´atrix invert´alhat´o, ez´ert m(K ~ k ) → m(K), ~ vagyis a mi ki´ert´ekel´esek folytonosak. Ekkor pedig kiterjeszthet˝ok Polycon(n)-re. Az invarianci´ajuk teljesen egy´ertelm˝ u µn invarianci´aj´ab´ol. Vizsg´aljuk meg, hogy milyen homogenit´ast kapunk mi -re. Vegy¨ unk egy α ar´any´ u ϕ k¨oz´eppontos nagy´ıt´ast. ! n n r i X X n = mi (K)αn−i ri mi (K) µn B(ϕ(K), r) = µn ϕ B(K, r/α) = α α i=0 i=0 A 4.4.2 t´etelb˝ol k¨ovetkezik, hogy mi (K) = ci µn−i (K). Vagyis azt l´atjuk, hogy a Steiner–Minkowski-t´etelben r´eges-r´eg bevezetett egy¨ utthat´ok konstans erej´eig megegyeznek a bels˝o t´erfogatokkal, melyeket a K-t metsz˝o alterek m´ert´ekek´ent defini´altunk. Ezt az igaz´an figyelemre m´elt´o kapcsolatot a Hadwiger-t´etel seg´ıts´eg´evel k¨onnyen igazoltuk. A felt´etelek ellen˝orz´es´ehez nem volt sz¨ uks´eg halad´o eszk¨oz¨okre, gyorsan, k´enyelmesen be tudtuk ˝oket bizony´ıtani. ´ Hat´arozzuk meg a ci konstansokat. Erdemes felid´ezni a 2. fejezetb˝ol, hogy a mn (K) f˝oegy¨ utthat´o ωn , m´ıg µ0 (K) = 1, teh´at cn = ωn . Mint ki fog der¨ ulni, ez nem elszigetelt jelens´eg. Vegy¨ uk ugyanis a C = [0; 1]n egys´egkock´at. Erre aparallelot´on pokn´al t´argyaltak miatt tudjuk, hogy µn−i (C) = σn−i (1, . . . , 1) = n−i . Az mi (C) egy¨ utthat´o meghat´aroz´asa m´ar nem ennyire k¨onny˝ u, de tov´abbra is kombinatorikus gondolatmenetet ig´enyel. A paralleltartom´any norm´alfelbont´as´ab´ol l´atszik, hogy az (n − i)-dimenzi´os lapokn´al lesz a t´erfogat r-nek i-edik hatv´anya. Ezeket csoportos´ıtsuk u ´gy, hogy az egym´asba tolhat´o (n−i)-dimenzi´os lapok ker¨ uljenek egy csoportba. A csoportok sz´ a ma megegyezik az (n − i)-dimenzi´ o s koordin´ ata-alterek” sz´am´aval, ” n ami n−i . Tov´abb´a az egy csoportba tartoz´o norm´altartom´anyokat ¨osszetolva ´eppen u halmazt kapunk, ahol Bi (0, r) egy i-dimenzi´os, orig´o egy [0; 1]n−i × Bi (0, r) alak´ k¨oz´eppont´ u, r sugar´ u g¨omb a csoportos´ıtott (n − i)-dimenzi´os alterek mer˝oleges kieg´esz´ıt˝oj´eben. Ennek a szorzathalmaznak a t´erfogata ωi ri , teh´at ¨osszevon´as ut´an az n ri tag egy¨ utthat´oja n−i ωi . Vagyis a mi (C) = ci µn−i (C) egyenletb˝ol ci = ωi ad´odik. 5.1.1. T´ etel. A Steiner–Minkowski-t´etelben szerepl˝o polinom mi (K) egy¨ utthat´oira mi (K) = ωi µn−i (K). Ford´ıtva megfogalmazva: egy K ∈ Kn konvex test paralleltarom´any´anak t´erfogat´ara n X µn B(K, r) = ωi µn−i (K)ri . i=0
54
5.2. Bels˝ o t´ erfogatok m´ eg egyszer Az el˝obbi kapcsolat seg´ıts´eg´evel k´enyelmesen meg tudjuk hat´arozni az egys´egg¨omb bels˝o t´erfogatait. A paralleltartom´any t´erfogata ωn (1 + r)n , amib˝ol a megfelel˝o egy¨ utthat´o leolvas´as´aval ωn n n n µn−i (B ) = = ωn−i . ωi i i Az nk jel¨ol´est m´eg a 3.4 szakaszban vezett¨ uk be az ωk ωωnn−k nk kifejez´es r¨ovid´ıt´es´ere, ami ´eppen a Gr(k, n) t´er m´ert´eke volt a νkn m´ert´ek szerint. A bels˝o t´erfogatok konvex halmazokra t¨ort´en˝o kiterjeszt´es´en´el a defin´ıci´oban szerepelt a Ckn konstans: µnn−k (K) = Ckn λnk Graff(k, K) . A Ckn konstans kisz´am´ıt´as´ahoz v´alasszuk K-t a Dn = Bn t¨om¨ or, z´art egys´egn ´ n n n n g¨ombnek. Ekkor µn−k (D ) = ωn−k k . Irjuk fel a λk Graff(k, D ) m´ert´eket integr´alk´ent: Z Z n n λk Graff(k, D ) = µ0 Dn ∩ tp (U ) dp dνkn (U ). Gr(k,n)
U⊥
Ahogyan m´ar sokszor l´attuk, a bels˝o integr´al ωn−k , hiszen az integr´aland´o f¨ uggv´eny pontosan akkor 1, ha p a g¨omb mer˝oleges vet¨ ulet´ebe esik, ´es ennek a vet¨ uletnek a t´erfogata ωn−k . Ekkor viszont a k¨ uls˝o integr´alban konstans f¨ uggv´enyt integr´alunk, ´es ´ıgy n n n n λk Graff(k, D ) = νk Gr(k, n) ωn−k = ωn−k . k Ebb˝ol pedig Ckn = 1 ad´odik, ami ism´et figyelemre m´elt´o. Grassmann-sokas´agokon a m´ert´ek bevezet´es´en´el kezdetben Gr(k, n)-en olyan m´ert´ekb˝ol indultunk, melyre a Cauchy-formula egyszer˝ u alakot ¨olt, majd a megkonstru´alt νkn m´ert´ek¨ unket intuit´ıvan norm´altuk. Azt l´atjuk, hogy ez olyan j´ol siker¨ ult, hogy a bels˝o t´erfogatok pontosan megegyeznek a konvex halmazt metsz˝o megfelel˝o dimenzi´os affin alterek halmaz´anak m´ert´ek´evel. A 3.5 szakaszban k´et formul´ankban is haszn´altuk a Ckn konstansokat, ezeket a formul´akat ´erdemes most u ´jra el˝ovenni. Az els˝o formula azt fogalmazta meg, hogy a bels˝o t´erfogat megkaphat´o a µ0 (K ∩ V ) f¨ uggv´eny integr´al´as´aval, ahol a V alt´er befut valami affin Grassmann-sokas´agot. Mint m´ar akkor is kiemelt¨ uk, ez a Croftonformul´ara eml´ekeztet abban, hogy az alterekkel vett metszeteket vizsg´alja. Ez a formula minden polikonvex halmazra ´erv´enyes, ´es a Ckn = 1 konstans elhagy´as´aval az al´abbi m´odon ´ırhat´o fel: Z µn−k (L) = µ0 (L ∩ V ) dλnk (V ). (5.2.1) Graff(k,n)
55
A m´asik formul´ank azt fogalmazta meg, hogy konvex K-ra a k-dimenzi´os alterekre vett vet¨ uletek k-dimenzi´os t´erfogatainak ´atalaga µk . Ez a Cauchy-formul´at a´ltal´anos´ıt´o 3.5.3 a´ll´ıt´as is egyszer˝ ubb alakot o¨lt: Z (5.2.2) µk (K) = µk pU (K) dνkn (U ). Gr(k,n)
M´ar a konstansok elt˝ un´ese is el˝orel´ep´es, de a Hadwiger-t´etel seg´ıts´eg´evel mindk´et formul´ankat tov´abb ´altal´anos´ıthatjuk. 5.2.1. T´ etel. Tetsz˝oleges 0 ≤ i, j ≤ n eset´en minden K ∈ Polycon(n)-re Z i+j n µj (K ∩ V ) dλn−i (V ) = µi+j (K). j Graff(n−i,n) Ez j = 0, i = n − k v´alaszt´assal visszaadja az 5.2.1 egyenl˝os´eget. Bizony´ıt´as. Ha i + j > n, akkor mindk´et oldal nulla, teh´at igaz az a´ll´ıt´as. Tegy¨ uk fel teh´at, hogy i + j ≤ n. Vezess¨ uk be a bal oldali integr´alra az η(K) jel¨ol´est. Az integr´alon bel¨ ul ´ırjuk fel µj (K ∩ V )-re az 5.2.1 formul´at: Z
µj (K ∩ V ) dλnn−i (V ) = Graff(n−i,n) Z Z n−i µ0 (K ∩ V ) ∩ U dλn−i−j (U ) dλnn−i (V ) = Graff(n−i,n) Graff(n−i−j,V ) Z Z n−i µ0 (K ∩ U ) dλn−j (U ) dλnn−i (V ) = Graff(n−i,n) Graff(n−i−j,V ) Z Z Z Z n−i n µ0 (K ∩ U0 + u + v) du dνn−i−j (U0 ) dv dνn−i (V0 ) = Gr(n−i,n) V0⊥ Gr(n−i−j,V0 ) U0⊥ ∩V0 Z Z Z Z n−i n µ0 (K ∩ U0 + u + v) du dv dνn−i−j (U0 ) dνn−i (V0 ) = ⊥ ⊥ Gr(n−i,n) Gr(n−i−j,V0 ) V0 U0 ∩V0 Z Z Z n−i n µ0 (K ∩ U0 + w) dw dνn−i−j (U0 ) dνn−i (V0 ) = ⊥ ⊥ Gr(n−i,n) Gr(n−i−j,V0 ) V0 ⊕ (U0 ∩ V0 ) | {z } η(K) =
⊥ =U0
Z
Z
Gr(n−i,n)
Z
Gr(n−i−j,V0 )
Z Gr(n−i,n)
U0⊥
n−i n IK|U0⊥ (w) dw dνn−i−j (U0 ) dνn−i (V0 ) =
Z
n−i n (U0 ) dνn−i (V0 ). µi+j (K|U0⊥ ) dνn−i−j
Gr(n−i−j,V0 )
Itt K|U0⊥ jel¨oli a K mer˝oleges vet¨ ulet´et az U0⊥ alt´erre. A µi+j ki´ert´ekel´es folytonos, (i + j)-edfok´ u homog´en, ´es ezek a tulajdons´agok az integr´al´ason kereszt¨ ul ¨or¨okl˝odnek η-ra. A m´ert´ekek invarianci´aja miatt η invari´ans is, ez´ert a 4.4.2 t´etel szerint η(K) = cµi+j (K).
56
A konstans meghat´ aroz´as´ahoz ´ırjuk fel az egyenl˝os´eget a Dn egys´egg¨ombre. n µi+j (Dn ) = ωi+j i+j , ´es a Dn vet¨ ulet´enek t´erfogata b´armely (i + j)-dimenzi´os alt´er n ⊥ eset´en ωi+j = µi+j (D |U0 ). Vagyis a konstans ωi+j f¨ uggv´enyt integr´aljuk k´etszer, ´ıgy n n n−i n−i n η(D ) = ωi+j νn−i−j Gr(n − i − j, V0 ) νn−i Gr(n − i, n) = ωi+j . n−i n−i−j Mindezeket ¨osszevetve megkapjuk c ´ert´ek´et: −1 n n n−i c= = i+j n−i n−i−j −1 n ωn n ωn−i n−i ωn = = ωi+j ωn−i−j i + j ωi ωn−i i ωj ωn−i−j n − i − j ωi+j i + j i+j = = . ωi ωj j j
5.2.2. T´ etel. Legyenek k ´es l eg´esz sz´amok, melyekre 0 ≤ k ≤ l ≤ n, ´es legyen K ∈ Kn . Ekkor Z n−k n µk (K|V ) dνl (V ) = µk (K). l−k Gr(l,n) Az l = k v´alaszt´assal visszakapjuk az 5.2.2 egyenl˝os´eget. R Bizony´ıt´as. Legyen most is η(K) = Gr(l,n) µk (K|V ) dνln (V ), ez folytonos, invari´ans ´es k-adfok´ u homog´en, teh´at η(K) = cµk (K). A konstans meghat´aroz´as´ahoz ism´et legyen K = Dn . Az egyenl˝os´eget fel´ırva c kisz´am´ıthat´o : n l n c ωk = ωk νl Gr(l, n) k k −1 l n n n−k c= = ... = . k l k l−k
5.3. A µ0 ki´ ert´ ekel´ esr˝ ol M´eg a 3.5 szakaszban megjegyezt¨ uk, hogy µ0 az az egy´ertelm˝ u konvex-folytonos ki´ert´ekel´es, mely minden Kn -beli halmazon 1. A µ0 kisz´am´ıt´as´ara mutatunk most egy u ´j m´odszert. Tekints¨ uk Rn -ben az els˝o koordin´at´ahoz tartoz´o t = {(x1 , . . . , xn ) ∈ n ∈ R |x2 = . . . = xn = 0} tengelyt, ´es jel¨olje az erre mer˝oleges hipers´ıkokat Hx , ahol Hx = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn |x1 = x}. Legyen adott a K ∈ Polycon(n) halmaz, erre legyen fK (x) = µ0 (Hx ∩ K), vagyis µ0 ´ert´eke a K halmaz x-n´el vett szelet´en.
57
Legyen tov´abb´a f : R → RP tetsz˝oleges, a Polycon(1) h´al´ora egyszer˝ u f¨ uggv´eny, ekkor defini´aljuk r´a az L(f ) = x∈R (f (x) − f (x + 0)) funkcion´alt. f (x + 0) alatt az f f¨ uggv´eny x-beli jobboldali hat´ar´ert´ek´et ´ertj¨ uk. Ez ´ertelmes, mert a szumm´aban f egyszer˝ us´ege miatt csak v´eges sok nem nulla tag van. Azt a´ll´ıtjuk, hogy az L(fK ) lek´epez´es ki´ert´ekel´es a K v´altoz´oban. El˝osz¨or ´ırjuk fel az fK1 ∩K2 f¨ uggv´enyt: fK1 ∪K2 (x) = µ0 Hx ∩ (K1 ∩ K2 ) = µ0 (Hx ∩ K1 ) + µ0 (Hx ∩ K2 ) − − µ0 Hx ∩ (K1 ∩ K2 ) = fK1 (x) + fK2 (x) − fK1 ∩K2 (x). Mivel az L lek´epez´es line´aris, L(fK ) ki´ert´ekel´es a K v´altoz´oban. Az eltol´asinvariancia trivi´alis, ´es az is l´atszik µ folytonoss´ag´ab´ol, hogy Kk → K eset´en fKk → fK x-ben egyenletesen, ebb˝ol pedig m´ar k¨ovetkezik, hogy L(fKk ) → L(fK ), vagyis a ki´ert´ekel´es¨ unk folytonos. A µ0 nulladfok´ u homogenit´asa miatt hasonl´os´agn´al fK csak line´arisan a´tparam´eterez˝odik, ami L(fK )-t nem befoly´asolja, a kapott ki´ert´ekel´es teh´at szint´en nulladfok´ u homog´en, ´ıgy L(fK ) = cµ0 (K). A konstans meghat´aroz´as´ahoz tetsz˝oleges Kn -beli K halmazt vehet¨ unk, amihez tartoz´o fH f¨ uggv´eny egy intervallum karakterisztikus f¨ uggv´enye. Ez csak a jobboldali v´egpontban ad nemnulla tagot az L(fK ) ¨osszegbe, ott pontosan 1-et. Teh´at L(fK ) = 1, ´es ´ıgy c = 1. ´ ıt´ 5.3.1. All´ as. Legyen K ∈ Polycon(n), ekkor az el˝obb defini´alt jel¨ol´esekkel µ0 (K) = = L(fK ). Ezt fogjuk haszn´alni a k¨ovetkez˝o t´etel¨ unk bizony´ıt´as´ahoz. Egy P polit´op hat´ara ugyan nem konvex halmaz, de polikonvex, hiszen a hiperlapok Kn -beli halmazok. Szeretn´enk meghat´arozni µ0 -t egy – konvex – polit´op hat´ar´an. ´ ıt´ 5.3.2. All´ as. Legyen P egy n-dimenzi´os konvex polit´op, vagyis P ∈ P+ n . Ekkor a hat´ar´ara µ0 (∂P ) = 1 − (−1)n . Bizony´ıt´as. Indukci´oval bizony´ıtunk, ´es az el˝obbi a´ll´ıt´ast haszn´aljuk. Az n = 1 esetben a polit´opunk egy z´art szakasz, melynek hat´ara k´et pont, ezek uni´oj´an µ0 a 2 ´ert´eket veszi fel, ¨osszhangban a t´etel a´ll´ıt´as´aval. Az ´altal´anos esetben tekints¨ uk a Hx ∩ ∂P halmazt, vagyis a hat´ar metszet´et egy hipers´ıkkal. Ez majdnem mindig megegyezik a ∂(Hx ∩ P ) halmazzal, vagyis a hipers´ıkkal vett metszet hat´ar´aval. Ez csak akkor nem igaz, ha Hx illeszkedik P egy lapj´ara, ekkor Hx ∩∂P maga a hiperlap. A polit´op vet¨ ulete a t koordin´ata-tengelyre egy z´art intervallum, jel¨olje v´egpontjait a ´es b. Az x ∈ (a; b) bels˝o pontokhoz tartoz´o Hx nem illeszkedhet hiperlapra, ´ıgy ott az indukci´os feltev´es szerint µ0 (Hx ∩ ∂P ) = µ0 ∂(Hx ∩ P ) = 1 − (−1)n−1 . Az a ´es b pontokban a hipers´ık ´es ∂P metszete konvex polit´op (el˝ofordulhat, hogy egyetlen pont), teh´at itt f∂P (X) = µ0 (Hx ∩ ∂P ) = 1. Az [a; b] intervallumon k´ıv¨ ul pedig f∂P nulla. Azt l´atjuk, hogy az f∂P az a ´es b pontokon k´ıv¨ ul mindenhol jobbr´ol folytonos, teh´at az L(f∂P ) kisz´am´ıt´as´an´al csak ezek a pontok sz´am´ıtanak.
58
Az f∂P (a) = 1, f∂P (a + 0) = 1 − (−1)n−1 , f∂P (b) = 1, f∂P (b + 0) = 0 ´ert´ekeket kisz´am´ıtva µ0 (∂P ) = L(f∂P ) = 1 − 1 − (−1)n−1 + 1 − 0 = 1 − (−1)n .
A 3.1 szakasz legv´eg´en, a 3.1.1 t´etel k¨ovetkezm´enyek´ent bel´attuk, hogy egy v´eges metszet- ´es uni´oz´art L halmazrendszerr˝ol egy ki´ert´ekel´es kiterjed arra a B(L) legsz˝ ukebb halmazrendszerre is, mely L-et tartalmazza, de z´art a halmazok k¨ ul¨onbs´eg´enek k´epz´es´ere is. Mindeddig erre nem volt sz¨ uks´eg¨ unk, most azonban k´enyelmesebb lesz, polit´ op hat´ara polikonvex halmaz, a belha hivatkozunk erre. Mivel egy P ∈ P+ n seje megkaphat´o polikonvex halmazok k¨ ul¨onbs´eg´enek k´epz´es´evel. A µ0 ki´ert´ekel´es kiterjed B Polycon(n) -re, ez´ert fel´ırhatjuk µ0 (P )-t ¨osszegk´ent: µ0 (P ) = µ0 (∂P ) + µ0 int(P ) , µ0 (int(P )) = (−1)n . Ez csak n-dimenzi´os polit´opokra igaz, azonban b´armely polit´opot tekinthet¨ unk az a´ltala gener´alt affin alt´erben. Jel¨olje dim(P ) ennek az affin alt´ernek a dimenzi´oj´at, ´ıgy ad´odik a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´as. ´ ıt´ 5.3.3. All´ as. Legyen P ∈ Pn konvex polit´op, ekkor µ0 (relint(P )) = (−1)dim(P ) . Poli´eder en polit´opok v´eges uni´oj´at ´ertj¨ uk. Poli´ederekre is igaz, hogy a hat´aruk polikonvex, teh´at vizsg´alhatjuk µ0 -t poli´ederek hat´ar´an is. Egy polit´op lapjair´ol tudunk besz´elni, hiszen az elemi konvex geometri´aban tetsz˝oleges konvex halmaz lapjait lehet defini´alni, mint a t´amaszhipers´ıkok metszeteit a halmazzal. Poli´ederekre a fogalmat nem igaz´an szeretn´enk bevezetni, ez´ert azt fogjuk mondani, hogy az {L1 , L2 , . . . , Lk } halmazrendszer a P poli´edernek laprendszere, ha a k¨ovetkez˝o intuit´ıv felt´eteleknek eleget tesz: (1) minden Li konvex polit´op, S (2) ki=1 relint(Li ) = P , (3) ha i 6= j, akkor relint(Li ) ∩ relint(Lj ) = ∅. 5.3.4. T´ etel. Legyen a P poli´edernek {L1 , . . . , Lk } laprendszere, ´es legyen fk az Li -k k¨oz¨ ul a k-dimenzi´osak sz´ama. Ekkor µ0 (P ) fel´ırhat´o a k¨ovetkez˝o formul´aval: µ0 (P ) = f0 + f1 − f2 + . . . Bizony´ Sk ıt´as. A formula azonnal ad´odik abb´ol, hogy a µ0 ki´ert´ekel´est fel´ırjuk a P = = i=1 relint(Li ) diszjunkt felbont´asra, ahol µ0 minden tagon ´ertelmes, hiszen kiterjesztett¨ uk B Polycon(n) -re. Az uni´o tagjain µ0 persze az 5.3.3 ´all´ıt´as miatt ±1 a dimenzi´o parit´as´at´ol f¨ ugg˝oen, ´ıgy az azonos dimenzi´os tagokat ¨osszevonva kapjuk az ´all´ıt´ast.
59
Ez a t´etel mutatja, hogy a µ0 ki´ert´ekel´es nem m´as, mint az Euler-karakterisztika. ´ Altal´aban az Euler-karakterisztik´at az f0 − f1 + . . . ¨osszeg seg´ıts´eg´evel defini´alj´ak. Az a´ltalunk fel´ep´ıtett elm´eletb˝ol k¨onnyen megkapjuk az Euler-karakterisztika n´eh´any nevezetes tulajdons´ag´at. Mivel megegyezik a µ0 bels˝o t´erfogattal, ez´ert azonnal l´atszik, hogy f¨ uggetlen a laprendszer v´alaszt´as´at´ol, az 5.3.2 t´etel pedig pont azt a h´ıres t´enyt fogalmazza meg, hogy konvex polit´opok fel¨ ulet´ere a dimenzi´o parit´as´at´ol f¨ ugg˝oen 0 vagy 2.
5.4. R´ acspontok konvex halmazokban Z´ar´ask´ent ism´et egy geometriai val´osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´asi probl´em´at mutatunk be. Vegy¨ unk Rn -ben egy tetsz˝oleges v1 , . . . , vn b´azist, ´es jel¨olje L a b´azishoz tartoz´o r´acspontokat, azaz legyen L = {z1 v1 +. . .+zn vn |zi ∈ Z}. Legyen K egy konvex, kompakt halmaz. Szeretn´enk megmondani, hogy K egy v´eletlenszer˝ uen” elhelyezett p´eld´a” nya v´arhat´oan h´any r´acspontot tartalmaz. Ezt a µ0 seg´ıts´eg´evel k¨onnyen tudjuk m´erni, µ0 (K ∩ L) ´eppen a K-beli r´acspontok sz´ama. A v´eletlenszer˝ u elhelyez´est kell alaposabban magyar´azni. Kezdetnek foglalkozzunk csup´an K eltolt p´eld´anyaival. A gond az, hogy a v´arhat´o R ´ert´eket nem tudjuk az Rn µ0 (tx (K)∩L) dx integr´allal ´ertelmezni, hiszen az diverg´al. Legyen C = {x1 v1 + . . . + xn vn |xi ∈ [0; 1)} a r´acs egy cell´aja. Maga az L r´acs szimmetrikus az L-beli vektorokkal val´o eltol´asra, ez´ert x − y ∈ L eset´en µ0 (tx (K) ∩ ∩ L) = µ0 (ty (K) ∩ L). Minden x ∈ Rn vektorhoz egy´ertelm˝ uen tal´alunk egy x0 ∈ ∈ C vektort, melyre x − x0 ∈ L, ami azt jelenti, hogy a v´arhat´o ´ert´ek defini´al´as´an´al szor´ıtkozhatunk egyszer˝ uen a C-beli vektorokkal val´o eltol´asokra. Ekkor az integr´al´as m´ar korl´atos halmazon t¨ort´enik, ´ıgy az integr´al nem fog diverg´alni. Ha C helyett a uen az x vektort, akkor csak nullm´ert´ek˝ u z´art C halmazb´ol v´alasztjuk v´eletlenszer˝ halmazt – a hat´arra es˝o vektorokat – dupl´aztuk meg, ez´ert a v´arhat´o ´ert´ek nem ´ v´altozik. Eppen ez´ert mostant´ol C alatt ´erts¨ uk a z´art cell´at. 5.4.1. T´ etel. Jel¨olje XK a tx (K) halmazba es˝o L-beli r´acspontok sz´am´at, ahol x ∈ n ∈ R v´eletlen vektor. Ekkor XK v´arhat´o ´ert´ek´ere E(XK ) =
µn (K) . µn (C)
Bizony´ıt´as. Mint az el˝obb kifejtett¨ uk, a v´arhat´o ´ert´eket egy C-n vett integr´al adja: Z 1 E(XK ) = µ0 (tx (K) ∩ L) dx. µn (C) C Ebb˝ol kiolvashatjuk, hogy E(XK ) eltol´asinvari´ans ki´ert´ekel´es K-ban. Az egyszer˝ us´ege is mag´at´ol ´ertet˝od˝o, hiszen egy kisebb dimenzi´os konvex halmaz 0 val´osz´ın˝ us´eggel fogja metszeni a r´acsot. Az is vil´agos, hogy ez a ki´ert´ekel´es monoton n¨ov˝o, vagyis b˝ovebb halmazon nagyobb ´ert´eket vesz fel. Ugyan a t´erfogatot a monotonit´as seg´ıts´eg´evel csak parallelot´opokra karakteriz´altuk, de hasonl´o t´etel – azonos
60
bizony´ıt´assal – igaz polikonvex k¨ornyezetben is. Nevezetesen Polycon(n)-en b´armely eltol´asinvari´ans, monoton, egyszer˝ u ki´ert´ekel´ese konstans erej´eig megegyezik a t´erfogattal. Ezt parallelot´opokra bel´attuk, ´es kihaszn´aljuk, hogy a Kn -beli halmazok Jordan-m´erhet˝oek, ´es a Jordan-m´ert´eket parallelot´opok seg´ıts´eg´evel ´ertelmezz¨ uk. A monotonit´asb´ol azonnal ad´odik, hogy a ki´ert´ekel´es¨ unk a konvex halmazokon is l´enyeg´eben egybeesik a t´erfogattal. Val´oj´aban polikonvex k¨ornyezetben monotonit´assal sokkal k¨onnyebb karakteriz´alni a t´erfogatot. Az´ert nem ´ıgy j´artunk el, mert a monotonit´as nem o¨r¨okl˝odik line´aris kombin´aci´okra, ´ıgy a Hadwiger-t´etelhez nem tudtuk volna felt´etelk´ent haszn´alni. Teh´at E(XK ) = cµn (K). A konstans meghat´aroz´as´ahoz legyen K = ϕ(C), ahol ϕ az orig´o k¨oz´eppont´ u, k ∈ N ar´any´ u nagy´ıt´as. Megmutatjuk, hogy tetsz˝oleges x ∈ ∈ Rn -re k n ≤ µ0 tx ϕ(C) ∩ L ≤ (k + 1)n . Az x vektor felbomlik x = x1 v1 +. . .+xn vn alakban. Ekkor egy z1 v1 +. . .+zn vn ∈ ∈ L r´acspont pontosan akkor esik tx ϕ(C) -be, ha minden i-re xi ≤ zi ≤ k + xi . A zi v´alaszt´ os´eg van, teh´at az ¨osszes as´ara ´ıgy minden i eset´en k vagyn k + 1 lehet˝ n tx ϕ(C) -be es˝o r´acspontok sz´ama biztosan k ´es (k + 1) k¨oz´e esik. Ezek viszont becsl´est adnak a v´arhat´o ´ert´ekre is, teh´at k n ≤ E(Xϕ(C) ) = c µn ϕ(C) = ck n µn (C) ≤ (k + 1)n . Mivel ezt a becsl´est minden k ∈ N-re tudjuk, megkapjuk, hogy c = 1/µn (C), ´es ezzel az ´all´ıt´ast bebizony´ıtottuk. Amennyiben K-nak nemcsak az eltoltjait, hanem az elforgatottjait is megengedj¨ uk, akkor persze az integr´al´ast nemcsak az eltol´as vektor´ara, hanem a forgat´asokra n´ezve is integr´alni kell. Jel¨olje ism´et XK a metsz´espontok sz´am´at, a v´arhat´o ´ert´eke Z
Z
E(XK ) = O(n)
µ0 tx φ(K) ∩ L dx dφ.
C
A k¨ uls˝o integr´al´as t¨ort´enjen tetsz˝oleges O(n)-en adott val´osz´ın˝ us´egi m´ert´ek szerint. A bels˝o integr´alt m´ar meghat´aroztuk: Z µn φ(K) µn (K) = . µ0 tx φ(K) ∩ L dx = µn (C) µn (C) C A k¨ uls˝o integr´alban teh´at konstans f¨ uggv´enyt integr´alunk val´osz´ın˝ us´egi m´ert´ek szerint, ´ıgy a v´arhat´o ´ert´ek µn (K) E(XK ) = . µn (C) Mint l´attuk, ez igaz att´ol f¨ uggetlen¨ ul, hogy a K konvex halmaz a´ll´as´at” mi” ´ lyen val´osz´ın˝ us´egi eloszl´as szerint v´alasztjuk. Erdemes azonban ezt is egyenletesnek venni, azaz O(n)-en az egy´ertelm˝ uen l´etez˝o invari´ans val´osz´ın˝ us´egi m´ert´ek szerint integr´alni. Ezzel a k¨ovetkez˝o t´etelt kaptuk:
61
5.4.2. T´ etel. Legyen K ∈ Kn , ´es jel¨olje XK az L r´acs g(K)-ba es˝o pontjainak sz´am´at, ahol g v´eletlen egybev´ag´os´ag. Ekkor XK v´arhat´o ´ert´eke µµnn(K) . (C)
¨ 5.5. Osszegz´ es Z´ar´ask´ent ¨osszefoglaljuk, hogy mit is tudunk a ki´ert´ekel´esekr˝ol. Egy Kn -en adott konvex-folytonos ki´ert´ekel´es egy´ertelm˝ uen kiterjed a Kn -beli halmazok v´eges uni´oib´ol a´ll´o Polycon(n) halmazrendszer ki´ert´ekel´es´ev´e. Hasonl´oan egy parallelot´opokon adott ki´ert´ekel´es – folytonoss´agi felt´etel n´elk¨ ul is – egy´ertelm˝ uen kiterjed Par(n) ki´ert´ekel´es´ev´e. Polycon(n)-en bevezett¨ uk a µk bels˝o t´erfogatokat, melyekr˝ol bel´attuk, hogy monoton, folytonos, egybev´ag´os´ag-invari´ans ki´ert´ekel´esek. A µk bels˝o t´erfogat k-adfok´ u homog´en, ´es ´ert´eke egy polikonvex halmazon nem f¨ ugg att´ol, hogy a halmazt h´any dimenzi´os t´erben tekintj¨ uk. A µ0 bels˝o t´erfogat az Euler-karakterisztika, mely 1 minden K ∈ Kn -re. Nevezetes m´eg a µn t´erfogat, ´es a µn−1 , ami a felsz´ın fele. Tetsz˝oleges K kompakt, konvex halmazra
µk (K) = λnk Graff(k, K) , mn−k (K) = , ωn−k Z = µ0 (L ∩ V ) dλnn−k (V ), ´es ez igaz polikonvex K -ra is, Graff(n−k,n) Z = µk pU (K) dνkn (U ), Gr(k,n)
= σk (x1 , . . . , xn ), ha K parallelot´op ´es oldalhosszai x1 , . . . , xn . A Hadwiger-t´etel szerint a µ0 , . . . , µn bels˝o t´erfogatok b´azis´at adj´ak Polycon(n) folytonos, SO(n)-invari´ans ki´ert´ekel´eseinek. Ha az η ki´ert´ekel´es az el˝obbiek mellett egyszer˝ u is, akkor η = cµn . V´eg¨ ul pedig ha k-adfok´ u homog´en, akkor η = cµk .
62
Hivatkoz´ asok [1] M. P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1976. ´ s, Differential Geometry, Typotex Kiad´o, 2013. [2] B. Csiko ´ bor, Konvex testek euklideszi t´erben, egyetemi jegyzet, ELTE, [3] Moussong Ga 2009. [4] Andrejs Treibergs, Integral Geometry and Geometric Probability, Undergraduate Colloquium, University of Utah, 2008. [5] D. A. Klein and G.-C. Rota, Introduction to Geometric Probability, Cambridge University Press, 1997. [6] D. A. Klein, A short proof of Hadwiger’s characterization theorem, Mathematika, 42 (1995), p. 329-339. [7] R. T. Seeley, Spherical harmonics, The American Mathematical Monthly, 73 (1966), p. 115-121. [8] R. Schneider, Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory, Cambridge University Press, 1993, p. 182-186.
63
