GEOMETRI DIMENSI DUA

GEOMETRI DIMENSI DUA 1

SUDUT

A Pengertian Sudut Sudut adalah bangun yang dibentuk dari ruas garis yang bertemu pada suatu titik. Titik pertemuannya disebut titik sudut. Kedua ruas garisnya disebut kaki sudut / sisi sudut. Perhatikan gambar berikut : A

O

650

B

AOB = = 65 sudut refleks AOB = 295

B Macam-macam Satuan Sudut 1. Satuan Derajat ( ) 1 1 = keliling lingkaran sehingga 1 keliling lingkaran = 360 . 360 1 = 60 (60 menit) dan 1 = 60 (60 detik) 2. Satuan radian (rad) 1 rad adalah besarnya sudut pusat suatu lingkaran yang panjang busur dihadapan sudut itu sama dengan panjang jari-jarinya. 180 = rad sehingga 1 keliling limgkaran = 2 rad. 3. Satuan Centisimal / gone / grade (g) 1 1g = keliling lingkaran sehingga 1 keliling lingkaran = 400g. 400

C Mengkonversikan Satuan Sudut Contoh: Nyatakan : (i) 30 dalam satuan radian 2 (ii) radian dalam derajat 3 (iii) 57,215 dalam derajat, menit dan detik (iv) 65 50 25 dalam desimal derajat (v) 45 ke satuan grade 1 (vi) radian ke satuan grade 5 Jawab: 30 1 (i) 30 = rad = rad 180 6 2 2 (ii) rad = .180 = 120 3 3 215 (iii) 57,215 = 57 + .60 1000 = 57 + 12,9 9 = 57 + 12 + .60 10 = 57 + 12 + 54 = 57 12 54 SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

1

(iv) 65 50 25

= 65 +

50 60

24 3600

= 65 + 0,83 3 + 0,00 6 = 65,84 45 . 200g = 50g 180 1 rad = . 200g = 40g 5

(v) 45 = (vi)

1 5

D Jenis-jenis Sudut 1. Sudut lancip : 0 < < 90 2. Sudut siku-siku : = 90 3. Sudut tumpul : 90 < < 180 4. Sudut pelurus : = 180

Latihan 1 1. Nyatakan ke dalam satuan radian ! a. 15,3 b. 60 2. Nyatakan ke dalam satuan derajat 1 2 1 a. rad b. rad 3 2 3. Nyatakan ke dalam satuan grade/gon !

c. 120g

d. 240g

c. 25g

d. 100g

1 rad 6 4. Nyatakan derajat berikut ke dalam derajat, menit, dan detik 1 a. 45,5 b. 60,75 c. 60,42

a.30

2

b. 42

c.

d.

2 6

rad

d. 50,36

KELILING DAN LUAS BANGUN DATAR

A Macam-macam Bangun datar Beraturan 1. Segitiga  Berdasarkan sisinya segitiga dibedakan menjadi 3 macam, yaitu : a) Segitiga sembarang b) Segitiga sama kaki c) Segitiga sama sisi  Berdasarkan sudutnya segitiga dibedakan menjadi 3 macam, yaitu : a) Segitiga lancip b) Segitiga tumpul c) Segitiga siku-siku C b

a t

A L=

c 1 a.t 2

B a = panjang alas t = tinggi

SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

2

1 a b Sin C 2 1 = a c Sin B 2 1 = b c Sin A 2

L=

s(s a)(s b)(s c) 1 dengan s = ( a + b + c ) 2

L=

K=a+b+c

2. Persegi Panjang L= p.l l p

K= 2(p+l) p = panjang l = lebar

3. Persegi L = s2 K = 4s s s = sisi s 4. Jajar Genjang L= a.t D

C K = 2 (AB + BC)

t A

B

a = panjang alas t = tinggi

a 5. Belah Ketupat B

L= s

d2 A

K = 4s

C d1

1 d1 . d2 2

d1 = AC = diagonal pertama d2 = BD = diagonal kedua s = sisi

s D 6. Layang-Layang B B A

L=

d1d

C

D SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

1 d1 . d2 2

K = 2 (AB + AD) d1 = AC = diagonal pertama d2 = BD = diagonal kedua 3

7. Trapesium  Trapesium dibedakan menjadi 3 macam, yaitu : a) Trapesium sembarang b) Trapesium sama kaki c) Trapesium siku-siku

D

C

L=

t

1 (AB + CD) . t 2

K = AB + BC + CD +DA A

B

8. Lingkaran

K=2 r= d r = jari-jari d = diameter

C

APC BPC

Q A

L juringAPC

AC BC

L juringBPC

B E

P

LjuringAPC =

360

r2

D AC = L=

r2 =

4

d2

360

2

r

Ltembereng = Ljuring - Lsegitiga

9. Segi-n Beraturan Jika r adalah jari-jari lingkaran pada segi-n beraturan, maka : Lsegi-n =

n 2 360 r Sin 2 n

Jika sisinya s dan sudut kelilingnya ada n, maka :

(n 2).180 2n (n 2).180 2.Sin n

n.s 2 .Sin 2 Lsegi-n =

B Taksiran Luas Daerah Bidang Tak beraturan Ada tiga aturan yang dipergunakan untuk mencari luas daerah bidang tak beraturan . 1. Aturan Trapesoida Bangun daerah bidang tak beraturan dibagi menjadi beberapa bagian yang lebarnya sama. Masing-masing bagian disebut pias / partisi. SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

4

Perhatikan gambar berikut : A1

A2

A3 A4 An

y1

y2

y3

y4 yn

d

d

d

B1 B2 B3 B4 Bn Satu bidang pias A1B1B2A2, luasnya mendekati trapezium dengan sisi sejajar y1 dan y2 serta jaraknya d. y1 y 2 Luas pias A1B1B2A2 .d 2 Demikian seterusnya untuk luas pias-pias berikutnya, sehingga luas total merupakn jumlah dari msing-masing pias. ordinatpertama ordinatterakhir ordinatlain L lebar pias 2 L

y1

d

yn

y2

2

y3

y4

... y n

1

Contoh: Tentukan luas daerah pada gambar di bwah ini dengan aturan trapesoida ! 8

10

8

5

5 d=1

0

0

A

B

C

D

E

F

G

Jawab: Enam pias vertical dengan ordinat : 0, 5, 8, 10, 8, 5, 0 L

d

y1

y7

y 2 y3 y 4 y5 2 0 0 5 8 10 8 5 1 2 36 satuan luas.

y6

2. Aturan Mid Ordinat Perhatikan gambar berikut : G A C E d y1 B

y2

y3

D F

H


5

y1, y2, y3, … menunjukkan ordinat-ordinat di tengah-tengah ordinat terdahulu. Luas pias ABCD y1 x d Luas pias CDEF y2 x d Dan seterusnya. AB CD CD EF EF GH Jadi y1 = , y2 = , y3 = , dan seterusnya. 2 2 2 Luas total = jumlah luas masing-masing pias. L y1.d + y2.d + y3.d + … d (y1 + y2 + y3 + …) L

d ( jumlah ordinat tengah )

Contoh: Tentukan luas bangun pada gambar di bawah ini dengan aturan mid ordinat !

15

22

32

39

40

39

35

22

8

Jawab: L d ( jumlah ordinat tengah ) 8 ( 15 + 22 + 32 + 39 + 40 + 39 + 35 + 22 ) 8 (244) 1952 satuan luas 3. Aturan Simpson Perhatikan gambar berikut !

Y

2 1

3 4 n+1 y = f(x) y1 y2 y3 y4

yn+1 X

a

b

Untuk mencari luas daerah di bawah kurva y = f(x) dengan sumbu X di antara x = a dan x = b, sebagai berikut : Bagilah gambar tersebut menjadi n buah trapezium yang genap, dengan lebar (s) sama dan tingginya y1, y2, y3, … , yn+1 dari interval [a,b]. Sehingga diperoleh luas daerah menurut kaidah Simpson adalah ;: s L [(y1 + yn+1) + 4(y2 + y4 + …) + 2(y3 + y5 + …)] dengan n bilangan genap 3 s L [(F + L) + 4E + 2R 3 6 SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

Dengan F = ordinat pertama interval a L = ordinat terakhir interval b E = jumlah ordinat bernomor genap R = jumlah ordinat bernomor ganjil Contoh: Tentukan luas daerah kurva yang dibatasi oleh kurva y = x2 , garis x = 2, gari x = 6 dan sumbu X, dengan menggunakan aturan Simpson ! Jawab: y = x2

Y 36

25 16 9 4 , 1

O

, 2

, 3

, 4

, 5

, 6

X

s = 1, F = 4, L = 36, E = 9 + 25 = 34, R = 16 Substitusi ke rumus s L [(F + L) + 4E + 2R 3 1 [(4 + 36) + 4(34) + 2(16)] 3 1 1 [40 + 136 + 32] (208) 69,3 satuan luas 3 3

Latihan 2 1. Hitunglah daerah bangun datar gambar di bawah ini !

. 40 cm

10 cm 50 cm

2. Sebuah ruang dengan 15 m x 20 m akan dipasang keramik yang berukuran 20 cm x 20 cm. Berapa jumlah keramik yang diperlukan ?


7

3. AB DE ; AD = 5 mm ; DC = 2 AD ; dan DC = DE. Carilah sudut-sudut yang belum diketahui jika diketahui pula 1 = 40 C 5 3

4

D 1

E 2

A

B

4. Hitunglah luas daerah yang diperlihatkan oleh gambar di bawah ini dengan aturan trapesoida, mid ordinat, dan Simpson ! D

15

C

10

8

9

12

13

A

16 B

4

3

TRANSFORMASI BANGUN DATAR

Transformasi pada bidang ada 4 jenis yaitu ; - Pergeseran (Translasi) - Pencerminan (Refleksi) - Perputaran (Rotasi) - Perkalian (Dilatasi) Transformasi isometri adalah suatu transformasi yang menghasilkaan bayangan yang kongruen dengan bangun aslinya. Misal : translasi, refleksi, dan rotasi. Catatan:  Jarak dan arah suatu pergeseran dapat ditentukan dengan : ruas garis berarah, misal RS atau a sebuah pasangan bilangan, misal . b  Pencerminan ditentukan dengan suatu garis yang dianggap sebagai sumbu pencerminannya.  Perputaran ditentukan dengan : - pusat putaran. - besar dan arah sudut putar, misalnya searah atau berlawanan arah jarum jam.  Perkalian ditentukan dengan pusat dan factor skalanya. Misal [P,k] merupakan dilatasi berpusat di P dan factor skala k.

A Translasi (Pergeseran) Suatu translasi yang memindahkan setiap titik “ a satuan ke kanan dan b satuan ke a atas ‘ dinyatakan dengan suatu pasngan bilangan bentuk kolom . b a Translasi T: memetakan setiap titik (x,y) ke titik (x ,y ) sehingga x = x + a b dan y = y + b. Ditulis T: (x,y) (x ,y ) = (x + a , y + b) 8 SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

Dalam bentuk matriks kolom, ditulis : x' x a x a

y'

y b

y

b

Contoh: Tentukan bayangan segi empat OABC dengan O(0,0), A(5,0), B(0,6) dan C(5,6) sebagai 1 hasil translasi ! 3 Jawab: 1

3 O(0,0) O (1,3) A(5,0) A (6,3) B(0,6) B (1,9) C(5,6) C (6,9) Jadi bayangannya O A B C dengan O (1,3), A (6,3), B (1,9), dan C (6,9). Cara lain : O A B C 0 5 0 5

1 1 1 1

O A B C 1 6 1 6

0 0 6 6 3 3 3 3 3 3 9 9 Jadi bayangannya O A B C dengan O (1,3), A (6,3), B (1,9), dan C (6,9).

B Refleksi (Pencerminan) Pencerminan Terhadap sumbu X (Mx) Y (x,y) O

X (x,-y)

Mx memetakan setiap titik (x,y) ke titik (x ,y ) sehingga x = x dan y = -y. Ditulis Mx : (x,y) (x ,y ) = (x,-y) Jika x dan y dinyatakan dengan x dan y, didapat : x = x = 1.x + 0.y y = -y = 0.x + 1.y yang dapat disajikan dengan matriks : x' 1.x 0. y 1 0 x

y'

0.x 1. y 0 1 y 1 0 Matriks Mx = disebut matriks operator pencerminan terhadap sumbu X. 0 1 Cara lain: Y -B(0,1) , A(1,0)

X


9

Gunakan titik A(1,0) dan B(0,1) sebagai pembentuk matriks awal, yaitu : x A xB 1 0

y A yB 0 1 Pencerminan terhadap sumbu X A(1,0)

A (1,0)

B(0,1)

B (0,-1)

matriknya :

x' A

x' B

1

y' A

y' B

0

0 1

Silahkan dicoba sendiri untuk :  Pencerminan terhadap sumbu Y  Pencerminan terhadap garis y = x  Pencerminan terhadap garis y = -x  Pencerminan terhadap titik asal O  Pencerminan terhadap garis x = a  Pencerminan terhadap garis y = b Contoh: Tentukan bayangan segi empat OABC dengan O(0,0), A(5,0), B(0,6) dan C(5,6) sebagai hasil refleksi terhadap sumbu X ! Jawab: Mx =

1 0

Sehingga :

0 1 1

0

O A B C 0 5 0 5

O A B C 0 5 0 5

= 0 1 0 0 6 6 0 0 6 6 Jadi bayangannya O A B C dengan O (0,0), A (5,0), B (0,-6), dan C (5,-6).

C Rotasi (Perputaran) Y A (r, + )

A (r, )

O

X

A (r, )

x = r Cos y = r Sin A (r, + ) x = r Cos ( + ) y = r Sin ( + ) x = r Cos ( + ) = r Cos Cos - r Sin Sin = x Cos - y Sin y = r Sin ( + ) = r Sin Cos + r Cos Sin = y Cos + x Sin = x Sin + y Cos SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

10

Secara matriks dapat ditulis : x' xCos ySin Cos

y'

xSin

yCos

Sin

Sin

x

Cos

y

Sudut rotasi positif jika berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, dan negative jika sesuai dengan arah perputaran jarum jam. Contoh: Tentukan bayangan segi empat OABC dengan O(0,0), A(5,0), B(0,6) dan C(5,6) sebagai hasil rotasi di O sejauh 30 berlawanan dengan arah jarum jam ! Jawab: RO,30 =

1 2

1 2

Jadi

Sin30

Sin30

Cos30

1 2

3 1 2

Cos30

3

1 2 1 2

O A B C 0 5 0 5

O 0 = 0 0 6 6 0

bayangannya

1 2

3

OABC

1 2

5 2

A 3 5 2

3

B 3 3 3

dengan

5 2 5 2

C 3 3 3 3

O (0,0),

A ( 52 3, 52 ),

B ( 3,3 3 ),

dan

C ( 52 3 3, 52 3 3 ) Rotasi dengan Pusat P(a,b) x = {(x-a) Cos - (y-b) Sin } - a y = {(x-a) Sin + (y-b) Cos } – b atau x' a Cos Sin x a

y' b

Sin

Cos

y b

Contoh: Diketahui titik A(4,5), tentukan bayangannya akibat rotasi 90 dengan titik pusat P(1.1) ! Jawab: x' 1 Cos90 Sin90 4 1

y' 1

Sin90 Cos90 5 1 0 1 3 4 = = 1 0 4 3 x' 4 1 3

y' 3 1 4 Jadi, bayangan titik A(4,5) akibat rotasi 90 dengan titik pusat P(1.1) adalah A (-3,4).

D Dilatasi (Perkalian) Suatu dilatasi dengan pusat O dan factor skala k dinyatakan dengan [O,k]. Dilatasi [O,k] memetakan setiap titik (x,y) ke titik (x ,y ) sehingga x = kx dan y = ky. Ditulis [O,k] : (x,y) (x ,y ) = (kx,ky) Y

A (kx,ky) OA = k OA A(x,y)

O

X


11

Jika x dan y dinyatakan dengan x dan y, didapat : x = kx = k.x + 0.y y = ky = 0.x + k.y yang dapat disajikan dengan matriks : x' k.x 0. y k 0 x

y'

0.x k. y 0 k y k 0 Matriks [O,k] = disebut matriks operator dilatasi dengan pusat O dan factor skala k. 0 k Catatan:  Jika k>0 maka bangun asal dan bayangan letaknya sepihak terhadap pusat dilatasi.  Jika k<0 maka bangun asal dan bayangan letaknya berlainan pihak terhadap pusat dilatasi.  Jika 01 dilatasi merupakan pembesaran.  Jika k = -1 maka dilatasi itu sama dengan pencerminan terhadap O dan sama dengan rotasi 180 dengan pusat O. Contoh: Tentukan bayangan segi empat OABC dengan O(0,0), A(5,0), B(0,6) dan C(5,6) sebagai hasil dilatasi [O,3] ! Jawab; [O,3] =

3 0

3 0 0 3 O A B C 0 5 0 5

O A B 0 15 0

C 15

= 0 3 0 0 6 6 0 0 18 18 Jadi bayangannya O A B C dengan O (0,0), A (15,0), B (0,18), dan C (15,18).

Dilatasi dengan Pusat P(a,b) A(x,y) atau x' a

[ P ( a ,b ),k ]

k

0

A (k(x-a) + a, k(y-b) + b)

x a

y' b 0 k y b x' k ( x a) a y'

k

x a y b

k ( y b) b

Contoh: Diketahui titik A(5,9), tentukan hasil bayangannya karena dilatasi [P,3] dengan titik pusat P(2,1) ! Jawab: Dilatasi [P,3] x' 2 5 2 3.2 2 11 3. y' 1 9 1 3.8 1 25 Jadi, titik bayangan hasil dilatasi adalah: A (11,25).


12

E Transformasi Linear Transformasi linear adalah transformasi yang memetakan setiap titik (x,y) ke titik (x ,y ) sedemikian sehingga : x' ax by x' a b x atau y' cx dy y' c d y Contoh: Diketahui dua buah titik dipetakan sebagai berikut : (2,1) (5,1) (0,1) (1,3) Tentukan matriks transformasinya ! (2,1) (0,1) a b

c d

a b c d

2

(5,1) (1,3) 5

1

1

2a + b =5 2c + d = 1

a b 0

1

b=1;d=3 c d 1 3 Sehingga : a = 2 ; c = -1 2 1 Jadi matriks transformasinya 1 3 Tabel Matriks Transformasi NO 1

TRANSFORMASI Identitas

PEMETAAN (x,y)

(x,y)

MATRIKS 1 0

0 1 2 3

Translasi Mx

(x,y) (x,y)

(x ,y ) = (x + a , y + b) (x,-y)

x'

x

a

y'

y

b

1

0

0 4

My

(x,y)

(-x,y)

1 1 0

0 5

My=x

(x,y)

(y,x)

1

0 1 1 0

6

My=-x

(x,y)

(-y,-x)

1 0

7

Mo

(x,y)

(-x,-y)

1 0

8 9

R(O,

)

D[O,k]

(x,y) (x,y)

(xCos - ySin , xSin + yCos ) (kx,ky)

0 1 0 1

Cos

Sin

Sin

Cos

k 0 0 k

Catatan: Untuk memperoleh matriks transformai tunggal dari beberapa matriks transformasi, dapat dilakukan dengan mengalikan matriks-matriks transformasi tersebut. SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

13

Contoh:

3 1 dan T2 = menyatakan matriks translasi, maka tentukan bayangan titik A(0 2 3,1) oleh T2oT1 ! Jawab: T2oT1 = T1 + T2 3 1 4 = + = 0 2 2 3 4 1 Sehingga : + = 1 2 3 Jadi, bayangan A(-3,1) oleh T1 + T2 adalah A (1,3) Jika T1 =

Contoh: Tentukan bayangan A(2,5) oleh pencerminan terhadap sumbu Y dilanjutkan terhadap sumbu X! Jawab: 1 0 1 0 1 0 Mx o My = = 0 1 0 1 0 1 1 0 2 2

0 1 5 5 Jadi, bayangan A(2,5) oleh My dilanjutkan Mx adalah A (-2,-5).

Latihan 3 1. Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik A(1,1), B(3,5) dan C(5,2). Tentukanlah bayangan 2 segitiga tersebut setelah digeser oleh T ! 1 2. Diketahui segi empat ABCD dengan titik-titik sudut A(1,2), B(1,5), C(3,4) dan D(5,1). Tentukan bayangan segi empat ABCD tersebut akibat pencerminan terhadap sumbu X! 3. Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik sudut A(0,1), B(3,0), dan C(5,4). Tentukanlah bayangan segitiga tersebut akibat pencerminan terhadap titik asal! 4. Tentukanlah bayangan titik A(6,3) akibat diputar dengan aturan sebagai berikut: a. 90 dengan pusat O(0,0). b. 180 dengan pusat O(0,0). c. 90 dengan pusat P(1,2). d. -90 dengan pusat O(0,0). 5. Dengan menggunakan matriks operator, tentukan bayangan segitiga PQR dengan titik sudut P(2,3), Q(-1,5) dan R(2,2) akibat pencerminan berikut: a. terhadap sumbu X b. terhadap sumbu Y c. terhadap garis y = x d. terhadap garis y = -x e. terhadap titik asal 6. Diberikan segitiga sama kaki ABC dengan AB = 6 cm dan AC = 5 cm. Titik Odi tengah AC. Tentukan hasil dilatasi segitiga ABC dengan pusat O dan faktor dilatasi 2!


14

7. Diberikan persegi ABCD dengan sisi 10 cm. Titik O perpotongan AC dan BD. Tentukan hasil dilatasi persegi ABCD dengan pusat O dan faktor dilatasi 34 ! 8. Segitiga ABC siku-siku di A, AB = 6 cm dan AC = 8 cm. Titik O di tengah BC. Gambarkan hasil dilatasi segitiga ABC dengan pusat O dan faktor dilatai 3! 9. Jajar genjang ABCD dengan AB = 8 cm dan AD = 6 cm. Gambarkan hasil dilatasi jajar genjang tersebut apabila memiliki pusat A dan faktor dilatasi 2! 10. Layang-layang PQRS dengan diagonal PR QS berpotongan di O sehingga OP = OR = 2 cm, OQ = 4 cm dan OS = 2 cm. Tentukan hasil dilatasi laying-layang PQRS dengan pusat O dan faktor dilatasi 2!


15

GEOMETRI DIMENSI DUA

Recommend Documents