Generálparaméteres digitális szűrők tervezése

Generálparaméteres digitális szűrők tervezése HARKÁNYI GÁBOR Mikroelektronikai Vállalat

HARKÁNYI

ÖSSZEFOGLALÁS A cikk egy olyan módszert mutat be, melynek segítségével egyenletes ingadozású áteresztősávval és tetszőleges zárósávval rendelkező rekurzív digitális szűrők tervezhetők. Az elmélet bemutatása mellett elemzi a gyakorlati alkalmazás során felmerült problémákat, majd az eljárás használhatóságát a F O R T R A N I V nyelvű programmal készített mintapéldákon keresztül érzékelleti.

Bevezetés A monolit integrált, valamint a h i b r i d á r a m k ö r ö k gyártástechnológiájának rohamos fejlődése egyre i n ­ k á b b lehetővé teszi nagy bonyolultságú és nagy meg­ bízhatóságú rendszerek létrehozását. Az u t ó b b i tulaj­ donságot jelentősen fokozzák a hibridtechnika új irányzatai (multichip, multilayer technika). A k é t technológia „összeházasításával" készült áramkörökkel így egyre i n k á b b lehetőségünk nyílik a hagyományos analóg feldolgozási módszerek kiváltá­ sára a sok szempontból kedvezőbb tulajdonságú digi­ tális módszerekkel (természetesen csak a technológia által korlátozott sebességhatárig). Ez napjainkban főleg a jelfeldolgozásra, ezen belül is elsősorban a különféle szűrési feladatokra igaz; b á r a digitális jelfeldolgozás elméleti alapjai m á r régóta jól kidol­ gozottnak t e k i n t h e t ő k , csak az u t ó b b i idők technoló­ giai fejlődése tette lehetővé az algoritmusok meg­ felelő sebességű (real-time) és gazdaságos realizálását. Ezek a tendenciák indokolják és egyre sürgetőbbé teszik olyan számítógépes tervezőrendszerek kifej­ lesztését, melyek segítségével gyorsan és megbízha­ t ó a n el lehet végezni a k í v á n t típusú digitális jelfel­ dolgozó (pl. szűrő) szintézisét, illetve analízisét. Ezen cikk — az elméleti alapok tárgyalása u t á n — egy olyan programot mutat be, melynek segítségével a f r e k v e n c i a t a r t o m á n y b a n általánosan megadott specifikációjú digitális szűrőket t e r v e z h e t ü n k .

GÁBOR

Diplomáját 1980-ban sze­ rezte a Budapesti Mű­ szaki Egyetem Villamos­ mérnöki Karán, a Mű­ szer és Irányítástechnika Ágazaton. Ezután tanul­ mányait — mint a MEV (korábban HIKI) dol­

gozója — a BME nap­ pali szakmérnöki hallga­ tójaként folytatta. Téma­ területe: digitális jelfel­ dolgozás; ezen belül főleg a digitális szűrés elmé­ lete és gyakorlati alkal­ mazási lehetőségeinek kutatása.

függők, úgy variáns, egyébként invariáns szűrőről beszélünk. A {b } halmaz elemértékeitől függően a digitális szűrőket k é t nagy csoportba oszthatjuk. Ha 0 az összes í-re, azaz csak a bemeneti m i n t á k a t használ­ j u k fel a kimenet előállításához, akkor véges impul­ zusválaszú ( F I R ) s z ű r ő t k a p u n k , míg ha ez nem telje­ sül, akkor a szűrő rekurzív, végtelen impulzusválaszú ( I I R ) típusú lesz. A k é t nagy szűrőcsalád approximációs módszereit a következőképpen csoportosíthatjuk: t

1. Z á r t összefüggéseken alapuló analitikus mód­ szerek, melyek jellemzője, hogy t ö b b n y i r e vala­ milyen transzformációs módszer segítségével az analóg szűrőtervezés eredményeit „ m e n t i k á t " a digitális szűrőtervezéshez; végrehajtásukhoz viszonylag kis sebességű és t á r m é r e t ű gép is ele­ gendő. 2. O p t i m u m s z á m í t á s t alkalmazó numerikus mód­ szerek; a l k a l m a z á s u k nagyszámítógép segítsé­ gével célszerű.

A generálparaméteres approximáció a fenti k é t csoport h a t á r á r a h e l y e z h e t ő ; segítségével olyan szű­ rőket t e r v e z h e t ü n k , melyeket egyenletes ingadozású áteresztősáv jellemez amellett, hogy a zárósáv tetsző­ legesre készíthető adott számú átviteli zérus meg­ felelő elhelyezésével. (Megjegyezzük, hogy ez az állí­ Az elmélet áttekintése t á s akkor is igaz, ha az „ á t e r e s z t ő s á v " , illetve a „ z á r ó s á v " szavakat kölcsönösen felcseréljük, illetve A lineáris, diszkrét idejű szűrési feladatok alapegyen­ a „ z é r u s " szót „pólus"-sal helyettesítjük; azonban letét a következőképpen írhatjuk fel: ezzel a szűrőtípussal a cikkben nem foglalkozunk.) N Aí A generálparaméteres analóg szűrők tervezési mód­ y(nT)=2a {(n - i)T] - 2 M ( " - 0 ^ ] (1) szereit — főként G. C. Temes munkássága révén — m á r k o r á b b a n kidolgozták [ 1 , 2 ] , az eljárást digitális E b b ő l jól l á t h a t ó , hogy az /?-edik időpillanat kimeneti rekurzív szűrők esetére A. G. Deczky általánosította értéke N darab előző bemeneti és M darab k o r á b b i [3]. kimeneti minta lineáris kombinációja. Az {a,}, {£>,} A részletek tárgyalása előtt a módszer lényegét a halmazok a szűrő p a r a m é t e r e i ; amennyiben ezek idő- következőképpen foglalhatjuk össze. A tervezendő I I R szűrő \H{elf)\ függvényét írjuk fel a következő alakban: Beérkezett: 1984. V I . 14, ( A ) i3

2

Híradástechnika

XXXV.

évfolyam 1984. 10. szám

435

H(z)H(-

l + s*\T (z)\%^

'

n

(2)

ahol £ az ingadozási p a r a m é t e r , | T ( z ) | pedig a specifikáció alapján m e g h a t á r o z a n d ó racionális függvény (H(z) jelöli a szűrő z-tartománybeli átviteli függvényét;

= ooT, ahol a T a mintavételi intervallum, co pedig az analóg körfrekvencia). A z-tartománybeli megoldás helyett azonban a szűrő méretezését egy olyan új komplex w=£ + jr] t a r t o m á n y b a n végezzük, ahol a záró sáv tervezése függetlenül végezhető az áteresztősávtól. Ez k ö n n y e n elérhető, ha egy megfelelő z->w le­ képzéssel az áteresztősávot a z-tartományból úgy transzformáljuk, hogy a z a i o síknak a teljes képzetes tengelyére kerüljön, mivel egyszerű a w - t a r t o m á n y ban olyan T (w)T ( — w)=\T (w)\ függvényt „készí­ t e n i " , amely az imaginárius tengely m e n t é n egyenle­ tesen ingadozik a 0 és 1 k ö z ö t t , és ez a tulajdonság független \ T (w)\ paramétereitől. Ezek a p a r a m é t e r e k h a t á r o z z á k meg viszont a zárósávi tulajdonságokat, így ezeket egy algoritmus­ sal úgy választjuk meg, hogy az approximáló függ­ vény a tetszőlegesen előírt zárósávo(ka)t az adott fokszám mellett minimális hibával közelítse, és ez a hiba azonos legyen a teljes zárósávban. így a ro-tartománybeli tervezés elvégzése és a z-síkra való visszatérés u t á n egy e paraméterrel jel­ lemzett egyenletes ingadozású áteresztősávval és a fenti értelemben optimális zárósávval rendelkező I I R szűrőt kapunk eredményül. Egy lehetséges speci­ fikációt és az ehhez t a r t o z ó approximáló függvényt w az 1. ábra mutatja (az á b r á n w =— a normalizált 2

n

2

n

n

n

2

n

ahol W; lehet a k á r valós, a k á r komplex. (Az utóbbi esetben a konjugált párja is szerepel a szorzatban.) (3)-ból látszik, hogy a képzetes tengely m e n t é n F(w) abszolút értéke egységnyi \F(jy)\=l,

(4)

t e h á t igaz a k ö v e t k e z ő : (5) Szintén (3) alapján a fázisfüggvény megfelelő á t ­ alakítások u t á n : y-y-,

/(*?)=2^tg-i

(6)

ahol |,- = Re (»/), ^, = I m ( w , ) . E b b ő l az F(jrj) komplex függvényből m á r könnyen előállíthatunk egy olyan valósat, amely a jtj tengely m e n t é n 0 és 1 k ö z ö t t egyenletesen fog ingadozni, ugyanis megfelelő trigonometrikus azonosság felhasz­ nálásával : T (jri)T (-ir ) n

n

=

]

(7) Végül (7)-et analitikusan folytatva a w-síkon el­ j u t u n k a k í v á n t tulajdonságú valós, racionális függ­ vényhez : \T (w)\* = T (w)T„(-w) n

=

n

]J(w 1=1

i

+ w) +

1=1

J](w ~w) i

(8)

n

71

digitális „frekvencia", a pedig a csillapításkarakte­ risztikát jelöli). A t o v á b b i a k b a n t e h á t először a megfelelő ro-tartománybeli valós T (w)T ( — w) ún. Csebisev-féle racio­ nális függvényt kell m e g k o n s t r u á l n u n k , amely a jrj tengely m e n t é n paramétereitől függetlenül egyenle­ tes, egységnyi ingadozású. Ehhez kiindulásként vizsgáljuk meg a következő függvényt; W;+W (3) F(w)=n =1 Wj — W n

n

4/7 (Wj + w)(wi — w) E z u t á n egy olyan alkalmas transzformációt kell k e r e s n ü n k , amely a specifikált áteresztősávot z-ből a »-sík imaginárius tengelyébe viszi. A megfelelő komplex leképzés z — 2z cos q> + 1 2

m

(9)

z —2z cos 9?HI+1 2

alakú, ahol

H2

e'f — 2 cos
_cos

J,p

i

e

Hl

q> — cos

cp

m

cos cp — cos q> '

(10)

Hl

illetve a cos 9? —cos

m

(11)

H1

alakot kapjuk. E b b ő l az egyenletből látszik, hogy (pm-^fp-^fm esetén a gyök alatti mennyiség negatív, t e h á t w tisz­ t á n komplex; (p~>-^Hi esetén w = frj-^^, míg

m

436

Híradástechnika

XXXV.

évfolyam 1984. 10. szám

COS

cos
1 + cos

ahol e = num lg | ^ £

fm

q>

(12)

H2

Ezt kezelhetőbb formára hozhatjuk az A(w) és a B(w) páros polinomok bevezetésével:

H1

1—cos y 1 — cos 9?

n <}»oi+u>) +n ( OÍ - « ' ) i=i /=i 2

H 2

•fór

-1.

2

m

cos

S 2

n( oi+ ) -n( of

H1

Ez alapján 9? = 0 esetén aluláteresztő, míg cp =7i megfeleltetéssel felüláteresztő szűrőt kapunk. A sáv­ záró szűrő esete bonyolultabb, így ezzel i t t nem fog­ lalkozunk. (9) alapján t o v á b b á az is belátható, hogy a z-síkon levő egységkör belseje a w - t a r t o m á n y nyi­ t o t t jobb oldalára kerül. A leképzést a 2. ábra szem­ lélteti. A következő lépésünk az approximáció alapját képező H(w) transzfer függvény megkonstruálása lesz. Előbb azonban a m á r meghatározott T (w)T ( — w) függvényt kell egy kicsit módosíta­ nunk. Ennek az az oka, hogy a jó szelektivitás érde­ k é b e n a z-tartománybeli zérusok az egységkörön he­ lyezkednek el, és konjugált komplex p á r o k a t alkot­ nak, így — mivel a z á r ó t a r t o m á n y b e l i egységkörívek a | tengelyre kerülnek — a ro-síkon ezeknek dupla, valós w gyökök felelnek meg. Ennek megfelelően a Csebisev-féle racionális függvényt a következő alak­ ban í r h a t j u k : S1

n

S2

n

0i

oi

T {w)T (-w)-n

H(w)-

A\w)-w*B (w) (l + e*)A*(w)-w B (w) 2

(14)

ahol w jelöli a transzformált dupla zérusokat. A w-síkbeli transzfer függvény a w csillapítás­ pólusokkal és R , [ d B ] ingadozással az áteresztősáv­ ban (2) alapján

'

A(w) — wB(w) Yl +

e A(w)~wB(w) 2

d B

(!)=-201g|H(«;)U

(18)

(19)

= l

=

i o i í i \ j j (^áE.) + jj Í S s z E ' \ 4 [ f i j [w - w J üi \w + w g

oi

l

2

A számítások szempontjából előnyös, hogy a ne­ vező gyökei jobban szeparáltak a z - t a r t o m á n y b a n levő megfelelőikhez képest — mivel az egységkör bel­ seje a teljes jobb félsíkra kerül (2. ábra), — így a visszatranszformálás előtt ezeket i t t megfelelő pon­ tossággal megkereshetjük. A (19) alapján az approximálandó csillapítás­ karakterisztika (az a m p l i t ú d ó k a r a k t e r i s z t i k a reciproka):

=

i=

=

melyből a stabil, jobb oldali gyökökkel rendelkező transzfer függvény (1. a leképzést szemléltető 2. áb­ rát):

a

n

i=i

2

H(w)H(-w)

0i

1=1

(17)

w

(14)-et (15)-be behelyettesítve, és a lehetséges egy­ szerűsítéseket elvégezve k a p j u k :

ir(w +wf+n(u> -u>f 1=1

w 2

i=i

(13)

H 2

S2

(16)

2

H1

w

cos y - c o s y cos 99 -cos99

w

ol

(20)

oi

oi

m w ^ H ^ H i - w ^ ^ ^ y

(15)

ami közelítőleg, egyszerűbb f o r m á b a n : W l ) - 2 0 l g | - | + ^ 2 0 lg

w +w oi

-w

(21)

(Ha a specifikált csillapítás nagyobb, mint 20 d B , akkor a közelítésnél elkövetett hiba kisebb 1%-nál [3]-) Ezek u t á n r á t é r h e t ü n k az optimalizálási eljárásra, mellyel a i % transzformált csillapításpólusokat h a t á ­ rozzuk meg. Az algoritmus lényegében a legjobb csebisevi approximáció megkeresésére alkalmas Remez-féle kicserélési módszer, amelyet i t t megfelelően á t a l a k í t o t t formában használunk. A számításokhoz célszerű a (21) egyenletet t o v á b b alakítani. A kezel­ h e t ő b b szemléletes formát a p = In (w) Poi =

áteresztősáv egyenletes ingadozási tartomány

IH993-2I 2. ábra Híradástechnika

XXXV.

Ki)

(22)

transzformációval érhetjük el, ugyanis ekkor a (21) alakja:

zarosav <\ZVN

l n

évfolyam 1984. 10. szám

a(p, p ) - 2 0 lg | - 1 + ^ 2 0 lg cth w

(^)

dB, (23)

437

ta(P,P )[dB] oj

J

E z t i t e r a t í v a n (a deriváltak állandó újraszámításá­ val) addig oldjuk meg — például a teljes főelem­ kiválasztásos Gauss-elimináció segítségével — míg a őp és a őd korrekciók az előírt h i b a h a t á r o k n á l k i ­ sebbek nem lesznek. A módszer konvergencia-tulajdonságairól általá­ ban nehéz b á r m i t is mondani, mivel az elégséges fel­ tétel nem teljesül [4]; a tapasztalatok szerint jelen esetben gyorsan „ m e g t a l á l j a " a megoldást (e — = 10~ , e =ÍO~ mellett á l t a l á b a n maximum 10 ite­ r a t í v ciklus szükséges). A kezdeti érték felvételénél szükséges e ( p ) > 0 (az összes p-re) b e t a r t á s a a zárósáv(ok)ban, k ü l ö n b e n az eljárás divergenssé válik. A Remez-módszer végső lépése e z u t á n az, hogy a most kapott új p í = l , . . ., n halmaz felhasználásá­ val megkeressük e(p) új j ; = 1, . . ., (n + l ) mini­ mumhelyeit, és ezzel megismételjük az egész fenti eljárást. E z t addig folytatjuk, amíg a pj minimum­ helyek megváltozása az előző állapothoz k é p e s t egy előírt h i b á n á l kisebb m é r t é k ű nem lesz (a jelenlegi programban e = 10~ , és ekkor á l t a l á b a n 3—5 „ R e m e z - c i k l u s " szükséges). Az eljárás során t e r m é ­ szetesen ügyelnünk k e l l arra, hogy a p - k közül egy se „léphessen k i " a zárósáv(ok)nak megfelelő terü­ l e t e k b ő l ; ez alól csak a sávszűrő esete a kivétel (1. később). Az algoritmus egy lehetséges állapotát szin­ t é n a 4. ábra mutatja, aluláteresztő jellegű zárósáv spcifikációra. Qi

\ \

Poi=° n=1

POj

8

2

d

P 1H993-3I

o í

3. ábra

P

t e h á t az eredő csillapítás a 3. ábrán szemléltetett p - t a r t o m á n y b e l i csillapításpólusok összegeként je­ lentkezik. Egy ilyen pólus a .z-síkon k é t konjugált komplex g y ö k p á r k é n t jelentkezik (esetleg lehet dupla valós is), í g y n végső soron a realizációhoz k a s z k á d b a kapcsolt másodfokú alaptagok s z á m á t jelenti. Az optimum­ számítás első lépése t e h á t a z (pontosabban a 9?) sík­ beli csillapításkövetelmény p - t a r t o m á n y b a transz­ formálása a (11) egyenlet felhasználásával. Az így kapott lépcsős függvényt nevezzük « (p)-nek. E z u t á n következik a szükséges n érték m e g h a t á r o ­ zása és ez a l a p j á n egy kezdő p z = l , 2, . . ., n el­ rendezés felvétele oly módon, hogy a s

oi

e(p) = o(p, p , ) - a ( p ) 0

(24)

s

hibafüggvény pozitív vagy legfeljebb 0 legyen, h i ­ szen az aktuális csillapításnak az élőírtnál nagyobb­ nak kell lennie (vagy esetleg ezzel egyenlő is lehet), í g y n darab p pólus esetén e(p)-nek legfeljebb n + l darab minimuma lesz; ezeket jelöljük p -vel, 7 = = 1, 2, . . ., n + l (4. ábra). A k ö v e t k e z ő lépés az, hogy ezekhez a p -, / = 1, . . . , n + l helyekhez kiszámítjuk azt az új p z = l , . . ., n elrendezést, mely mellett a p helyeken az approximálő a(p, p ) függvény egyenlő d távolságra lesz az előírt oc (p) csillapítástól (a 4. ábrán e = e = e = d legyen), azaz a következő nemlineáris egyenlet­ rendszert kell megoldani: OÍ

;

s

Pj

0i

Az így m e g h a t á r o z o t t { p } halmaz biztosítja, hogy a zárósáv a k o r á b b a n leírt m ó d o n optimális lesz. A tervezés következő lépése a (19) egyenlet ne­ vező-gyökeinek meghatározása (ez jelen esetben Bairstow módszerével történik [4]). Végül a w-tartománybeli zérusok (ezek a (16) és a (17) alapján megegyeznek a w =eP°* inverz p->-w transzformáció­ val kapott értékekkel), illetve az i m é n t kapott pólu­ sok visszatranszformálása következik a z-tartományba a (9) inverzének felhasználásával: 0l

oi

z=w ±Yt4-í,

(28)

s

o í

;

ahol

0i

s

1

a(Py, P )-<x-ÁPj) = '>

/=1.

d

oi

2

(n + l ) .

3

(25)

ahol n + l ismeretlenünk v a n : n darab p - és a d t á ­ volság. Az egyenletrendszer megpldásához felhasználhat­ j u k például Newton—Raphson t ö b b változóra álta­ lánosított módszerét, s így a k ö v e t k e z ő linearizált rendszerhez j u t u n k :

ta,oí

s

[dB]

\J \K

a( ,p ) P

n=2

0(

í ]>

e p

o i

Poi; OCgCp)

:

=-[«(P;./»«)-«^P/)-fl;

7 = 1. •••> ( + !)> ( n

ahol

2 6

)

P

15

5

MPP

POÍ)

8p . 0í

20 In 10

1 sh(pj—p )'

fi,

P

;

~p*

)2

>1

J

p 2

3

IH993-AI

4. ábra

0i

Híradástechnika

XXXV.

évfolyam 1984. 10. szám

w cos

2

H1

H2

Az eredmény t e h á t egy z-tartománybeli pólus­ zérus k é p , mely alapján például a k a s z k á d szintézis m á r k ö n n y e n elvégezhető. A módszernek a tapasztalatok szerint t ö b b kritikus lépése van. Ilyen például a szükséges n értékének megbecslése. A [3] irodalom tesz egy javaslatot erre vonat­ kozóan, és az <x(p, p ) , illetve az oc (p) függvények görbe alatti területét veszi alapul. Eszerint a(p, p ) területe a z á r ó t a r t o m á n y b a n legyen nagyobb (eset­ leg egyenlő) a (p) területénél. Matematikailag: 0i

s

0(

s

óp n J20 lg cth | |

0

j

j

Pb J dp > p

a (p) dp, s

(29)

a

ahol Ap=p —p , p a p - t a r t o m á n y b e l i alsó, p pedig a felső transzformált z á r ó s á v h a t á r . (Sávszűrő esetén ezt m i n d k é t sávra külön-külön el kell végezni; az összeg adja a szükséges n értéket.) A bal oldali integrált sorba fejtve megfelelő pon­ tossággal kapjuk a becslő-képletet: b

a

a

b

po

J« (p)dp s

rnlÖ^S

~

C

P

9

25 J

Azonban ez a képlet nem mindig ad j ó e r e d m é n y t ; á l t a l á b a n csak viszonylag „ t e l í t e t t " , nem t ú l kiug­ ró „ l é p c s ő k e t " t a r t a l m a z ó specifikációk esetén fo­ g a d h a t ó el az így kapott becslés. „ T e l í t e t t " (kevés és alacsony „lépcsők", viszonylag nagy csillapításigény (~50 dB) előírásoknál t ö b b n y i r e fölé, míg ha kes­ keny, nagy „lépcső" is van a specifikációban, akkor ' á l t a l á b a n alul becsüli az optimális fokszámot, í g y a program jelen á l l a p o t á b a n egy i n t e r a k t í v fokszámmódosítási lehetőséget is tartalmaz, amelyet a kapott eredmények alapján elvégezhetünk. T o v á b b i probléma a teljes zárósávban pozitív e(p) hibafüggvényt biztosító inicializálás elvégzése. A [3]ban ajánlott algoritmus (sáváteresztőnél s á v o n k é n t végezzük, n ekkor a s á v o n k é n t kapott becsült é r t é k ) : Poi~

Pa+0,05z!p,

Poi=Pa+~^i>

Pon = Pa +

i=2, . .

(n-1),

(31)

W5Ap.

Ez főleg a kiugró, keskeny „ l é p c s ő k e t " t a r t a l m a z ó specifikációk esetén eredményez kezdésnek negatív hibafüggvény értéket. A hibás kezdeti elrendezést a program által n y ú j t o t t megfelelő információk alap­ j á n szintén i n t e r a k t í v a n módosíthatjuk. Ez azonban — sajnos — kissé nehézkessé teszi a program hasz­ n á l a t á t ; az esetleges továbbfejlesztés során ezt fel­ tétlenül k i kell küszöbölni. Híradástechnika

XXXV.

évfolyam 1984, 10. szám

A—1—1—1.

1H993-5I ábra Kis nehézség adódik még a sávszűrő tervezése fo­ l y a m á n . Ebben az esetben egy p csillapításpólus „jelenléte" megengedett a k é t z á r ó t a r t o m á n y n a k megfelelő terület k ö z ö t t is, ellentétben az analóg szűrők tervezése esetén a l k a l m a z h a t ó hasonló eljá­ rással [ 1 , 5]. (Ez a p csillapításpólus a z - t a r t o m á n y ban dupla valós zérusként jelenik meg.) E z t a lehet­ séges sávszűrő tervezési állapotot az 5/b. ábra m u ­ tatja. A jelenlegi inicializáló algoritmus kezdőérték­ nek nem helyez pólust a k é t t a r t o m á n y közé, s így elindítva a Remez-eljárást a k é t zárósávra á l t a l á b a n különböző optimumokat kapunk. E z é r t van lehetőség egy i n t e r a k t í v b e a v a t k o z á s r a , melynek se­ gítségével a felhasználó maga „ v i h e t be" egy pólust annak a z á r ó t a r t o m á n y n a k a rovására, ahol a t ú l m é ­ retezés l á t h a t ó a n nagyobb. (Persze a program a vál­ t o z t a t á s közben „ ü g y e l " arra, hogy negatív e(p) ne maradjon meg a Remez-algoritmus elindítása előtt.) A „ b e v i t e l t " az 5. ábra szemlélteti. Végül megemlítjük, hogy az e(p) minimumhelyei­ nek meghatározására nem magától é r t e t ő d ő anali­ tikus feladat; a programban erre az ú n . Fibonacciféle kereső algoritmust használjuk, amely meglehe­ tősen előnyös a gyorsaság szempontjából. A terjede­ lem korlátai m i a t t ezt i t t nem ismertetjük, t ö b b e k k ö o í

0 (

m

z ö t t a [3] irodalom is tartalmazza kielégítő részletes­ séggel. Összefoglalva t e h á t az eljárást, az említett jelen­ legi nehézségek ellenére gyors és megfelelő módszer­ nek bizonyult az általános zárósávi specifikációval elő­ í r t A Á , F Á és SÁ I I R szűrők tervezésére; ezt a k ö ­ vetkező példák is érzékeltetik.

[dB]

60.0

Mintapéldák A leírt approximációs módszert megvalósító prog­ ram — mely egy, a digitális szűrők tervezésére, illetve analízisére alkalmas programcsomag része — jelenleg az Országos Tervhivatal Számítástechnikai K ö z p o n t ­ j á n a k I C L System 4—70 számítógépén f u t t a t h a t ó az M J operációs rendszer segítségével. Maga a program­ csomag — így a most kiemelt program is — standard F O R T R A N I V nyelven í r ó d o t t és moduláris felépí­ t é s ű ; a gép, illetve az operációs rendszer sajátságaitól függő részek jól szeparáltak, így a programnak eset­ leges áthelyezése m á s i n t e r a k t í v rendszerekbe nem jelent különösebb p r o b l é m á t . A program használata; — mint az m á r a k o r á b b i a k ­ ban k i t ű n t — párbeszédes jellegű, a f u t t a t á s során a programcsomag egyéb szolgáltatásai (pl. a meg­ tervezett szűrő frékvencja-, fázismenetének analízise) is elérhetők. A tervezés kiindulópontja a csillapításkarakterisz­ t i k a „lépcsős" toleranciásémája, így elsőként ezt kell begépelni megfelelő sorrendben és formában a program kérdései alapján. E z u t á n elkezdődik az approximáció, mely k ö z b e n — a program által kiírt információk és kérdések alapján — lehetőség van a k o r á b b a n rész­ letezett esetleges módosítások, beavatkozások végre­ h a j t á s á r a . A tervezés végeredménye az ideálisnak fel­ tételezett (gyakorlatilag végtelen szóhosszúságú) szű­ rő z-tartománybeli pólus-zérus képe, illetve a m á ­ sodfokú alaptagokra épülő k a s z k á d realizáció e g y ü t t ­ hatói. . A t o v á b b i a k b a n k é t m i n t a p é l d á n keresztül mutat­ j u k be a tervező program lehetőségeit. . E l s ő k é n t tekintsük áz alábbi aszimmetrikus sáv­ szűrő specifikációt [ 3 ] : áteresztősáv:

0

Q1

Q2

03

OA

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0 —

ü

IH993-6Í

6. ábra Pólusok: z= pl

- 0 , 2 9 6 7 5 2 + j0,921435

z =-0,145099+j0,887690 p2

z =0,126594+j0,847019 p3

^ = 0 , 4 0 4 3 8 1 + j0,798395 z = 0,566144+j0,783578 p5

Az ideális szűrő csillapításkarakterisztikáját a 6. ábra mutatja. Az á b r á n jól l á t h a t ó , hogy az adott fokszám mellett kedvező e r e d m é n y t kaptunk; a záró­ sávi túlméretezés k b . 2 dB-es, ami megfelelő értéknek t e k i n t h e t ő . A feladat végrehajtása az említett gépen kb. 8,4 s CPU időt vett igénybe. A második példaként tervezzük meg a következő aluláteresztő s z ű r ő t : áteresztősáv: :


'/„//2= > > ()

;.

r

R = 0,2 dB p

zárósáv:

_

;

0,55<<^<0,6 : aX
R =l

0 , 9 < 9 > < l , 0 : a (r/> ) = .")0 dB n

dB

p

0<99„^0,2=99

nS1

: a (
< p „ = 0 , 7 s 9 v s l , 0 : <x(9? ) = 60 dB S 2

s

n

Az optimalizáció u t á n k a p o t t z-tartománybeli p ó ­ lus-zérus k é p á k ö v e t k e z ő :

z=

-0,169304+j0,985564

z=

- 0,345777+j0,938316

2l

z2

z = -0,559164 + j0,829057 í 3

2 4

z = -0,112445 z2

Zérusok:

z = -0,883135+j0,469118

Zérusok:

z=

n

Az approximáció eredménye a z-síkon;

zárósávok:

a

s

(dupla)

- 0 , 6 1 1 4 6 6 + j0,791270

Pólusok: z = -0,115856±j0,972177 p l

z = - 0,850408 ± j0,526124

z =0,587650±j0,891441

z =0,824821

z =0,2199720

23

zl

+ j0,565394

z =0,951348±j0,308118 25

440

p2

p3

± j0,705701

z =0,415438±j0,291773 p4

Híradástechnika

XXXV.

évfolyam 1984.10.

szám

A =1,118328

B =1,0

C = -0,439944

D =0,546402

^1 =1,766271

B = 1,0

C =-0,830875

D =0,257720

3

3

3

4

4

3

4

4

Összefoglalás

IH3S3-7I

7. ábra A kapott csillapításkarakterisztika a 7. ábrán lát­ h a t ó . I t t kissé kedvezőtlenebb e r e d m é n y t kaptunk, mint az előző példa esetében: a zárósávi túlméretezés mintegy 9 dB-es, 8-ad fokú közelítés mellett. A ter­ vezéshez felhasznált CPU idő k b . 1,4 s volt. Végül a teljesség k e d v é é r t közöljük az u t ó b b i szűrő kaszkád realizációjához szükséges e g y ü t t h a t ó k a t . Ekkor az átviteli függvény a következő alakban ír­ ható: (X ^0). 0

(32)

Jelen esetben ( n = 4 ) : K =0,206535

10"

1

^=0,231712 10-

1

0

A =0,338608

B,

±

Di =0,945263

^ =0,691555

B

2

2

= 1,0

C =0,H7530 2

A cikkben egy olyan tervezési módszert m u t a t t u n k be, melynek segítségével viszonylag általános csilla­ pítás-specifikációjú rekurzív digitális szűrők tervez­ h e t ő k . Az elmélet részletezése közben felhívtuk a f i ­ gyelmet a gyakorlati használat során felmerült ne­ hézségekre. Ezek jelenlegi megoldása jórészt ideig­ lenesnek t e k i n t h e t ő , a problémák mélyebb matema­ t i k a i vizsgálata t o v á b b i feladat. Az elmélet alapján megírt program h a s z n á l h a t ó ­ ságát m i n t a p é l d á k segítségével m u t a t t u k be, me­ lyekből k i t ű n t , hogy ilyen m ó d o n a gyakorlat szá­ m á r a megfelelő szűrők tervezhetők, t o v á b b á az, hogy a módszer bonyolultsága ellenére viszonylag gyors s ez újabb indok a továbbfejlesztés folytatására. IRODALOM [1] H. J . Orchard and G. C. Temes: „Filter design usign transformed variables" I E E E Trans. Circuit Theory, vol. GT-15, pp. 385-407, Dec. [2] G. C. Temes and M. Gyi: „Design of filters w i t h arbitrary passband and Chebyshev stopband attenuation" I E E E Internat'l Conv. Rec, pt. 5, pp. 2 - 1 2 , March 1967. [3] A. Deczky: „Computer aided synthesis of digital filters in thetfrequency domain" ScD. Thesis, Swiss Federal Institute of Technology, Zürich, Switzerland, 1973. [4] A. Ralison: „Bevezetés a numerikus analízisbe" Műszaki Könyvkiadó, 1969. [5] R. W. Daniels: „Approximation methods for electronic filter design" McGraw-Hill, Inc., 1974.

ORGTECHNIK HUNGÁRIA BUDAPEST '84 A Szervezési és Vezetési T u d o m á n y o s T á r s a s á g soron k ö v e t k e z ő ^ S z e r v e z é s t e c h n i k a i egyközök és alkalmazá­ suk" elnevezésű (konferenciával e g y b e k ö t ö t t ) szakkiállítása

1984. november 13-17. között a Budapest Sportcsarnokban kerül megrendezésre. L á t o g a t á s i idő naponta 10—18 óráig (13-án, kedden 12—18 óráig). A kiállítás megtekintése díjtalan. Híradástechnika

XXXV.

évfolyam 1984. 10. szám

441