Függvénytranszformációk

10. fejezet

Függvénytranszformációk A matematika talán legfontosabb „trükkje”, hogy különböz˝o matematikai területeket, meglep˝o és mély módon összekapcsol. A valószín˝uségszámítás legfontosabb analitikus eszköze a Fourier-transzformált. Ez az a kapu, amelyen keresztül a valószín˝uségszámítási problémák átvezethet˝ok a klasszikus, illetve a komplex analízis területére. A komplex analízis, a mérték- és integrálelmélet mellett, az analízis másik alapeszköze. A Fourier-transzformáció a valószín˝uségi változók összegének vizsgálata során természetes módon vet˝odik fel. Miként már korábban is láttuk, eloszlások összegének közvetlen kiszámolása, még a legegyszer˝ubb esetekben is, komoly analitikus feladatot jelenthet. Az ilyen típusú feladatok függvénytranszformációkkal esetleg1 könnyebben megoldhatóak, ugyanis független változók összegének Fourier-transzformáltja az összeadandók transzformáltjának szorzata. A transzformáció egy másik, ha lehet még fontosabb tulajdonsága, hogy az eloszlás végtelen távoli pontokban való „viselkedését” a nulla pontban való „viselkedésre” játsza át. Pontosabban a transzformáció nulla pontban való lokális tulajdonságai egyértelm˝uen meghatározzák a farokeloszlás nagyságrendjét és fordítva. A valószín˝uségszámítás alapjában véve a valószín˝uségi változók határeloszlásairól szóló tudomány, ugyanis az elmélet mögött meghúzódó alapvet˝o intuitív elképzelés az, hogy amit ténylegesen megfigyelünk, az nagy számú véletlen esemény ered˝oje. A változók határeloszlásainak vizsgálata során azonban távolról sem triviális módon kiderül, hogy a határeloszlás, vagyis a ténylegesen megfigyelt jelenség, az alapul vett, de a határeloszlásban „felolvadt” jelenségek „farokeloszlásainak” nagyságrendjét˝ol függ. A függvénytranszformációk azon tulajdonsága, hogy a „farokeloszlás” viselkedését „átjátsszák” a nulla pontba felbecsülhetetlen, ugyanis a transzformált függvény a nulla pont körül a klasszikus, gyakran az elemi, analízis eszközeivel kiválóan tárgyalható. A könyv hátralev˝o része lényegében err˝ol a módszerr˝ol szól. A módszer alkalmazásai közül kiemelkedik a centrális határeloszlás-tétel és annak általánosításai, vagyis a korlátlanul osztható és a stabil eloszlások elmélete.

1 Az

esetleg szó nem véletlen. Bár a módszer meglep˝o módon hatékony, a sikerre most sincs garancia.

443

444

10.

FÜGGVÉNYTRANSZFORMÁCIÓK

10.1. Fourier-transzformáció 10.1 Deníció. Legyen ξ valószín˝uségi változó. A t ∈ R 7→ ϕ (t) ⊜ M (exp (itξ)) = M (cos tξ) + iM (sin tξ) függvényt a ξ karakterisztikus függvényének nevezzük. Ha a ξ eloszlásfüggvénye F, akkor Z Z Z ϕ (t) = exp (itx) dF (x) = cos txdF (x) + i sin txdF (x) . R

R

R

Ha µ R-en értelmezett el˝ojeles mérték, akkor a Z ϕ (t) ⊜ exp (itx) dµ (x) R

függvényt a µ Fourier-transzformáltjának2 mondjuk. Az egydimenziós esettel analóg módon definiálható a ξ = (ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ m ) vektor változó ϕ (t)

= ϕ (t1 , t2 , . . . , tm ) ⊜ ⊜ M (exp (i (t1 ξ 1 + t2 ξ 2 + . . . + tm ξ m ))) = M (exp (i (t, ξ))) ,

illetve a µ el˝ojeles mérték ϕ (t) ⊜

Z

exp (i (t, x)) dµ (x) .

Rm

Fourier-transzformáltja.

10.1.1.

Fourier-transzformáció elemi tulajdonságai

Foglaljuk össze a Fourier-transzformáció legfontosabb tulajdonságait! Megjegyezzük, hogy a Fourier-transzformáció leghasznosabb tulajdonsága, hogy mindig létezik, és a teljes számegyenesen értelmezett. 1. Világos, hogy amennyiben két változónak azonos az eloszlása, akkor a Fouriertranszformáltjaik megegyeznek. 2. Alapvet˝o állítás, amelyet kés˝obb egy külön pontban tárgyalunk, hogy a fordított összefüggés is érvényes, vagyis ha két változó Fourier-transzformáltja megegyezik, akkor az eloszlásaik is megegyeznek. 3. Független változók összegének karakterisztikus függvénye a karakterisztikus függvények szorzatával egyenl˝o, hiszen ha ξ és η függetlenek, akkor függetlenek az exp (itξ) 2A

és

exp (itη)

valószín˝uségszámításban meghonosodott karakterisztikus függvény elnevezés gyakran problémát jelent, mivel összekeverhet˝o a halmazok karakterisztikus függvényével. A valószín˝uségszámítási irodalomban a halmazok karakterisztikus függvényét indikátor függvénynek szokás nevezni. A karakterisztikus függvény illetve a Fourier-transzformált elnevezéseket azonosnak tekintjük.

10.1.

FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ

445

változók is, és ezért ϕξ+η (t)

= M (exp (it (ξ + η))) = M (exp (itξ) · exp (itη)) = = M (exp (itξ)) · M (exp (itη)) = ϕξ (t) · ϕη (t) .

4. Ha η = aξ + b, akkor ϕη (t) = M (exp (itη)) = M (exp (it (aξ + b))) = exp (itb) · ϕξ (at) . 5. A transzformáció definíciójából nyilvánvaló, hogy ϕξ (0) = M (exp (i0ξ)) = M (1) = 1. 6. A karakterisztikus függvény abszolút értéke a teljes számegyenesen kisebb mint 1, hiszen |ϕ (t)| ⊜ |M (exp (itξ))| ≤ M (|exp (itξ)|) = M (1) = 1.

7. Tetsz˝oleges ξ változó karakterisztikus függvénye a teljes R számegyenesen egyenletesen folytonos3 . Valóban, legyen ε > 0 tetsz˝oleges. Ha An ⊜ {|ξ| > n} , akkor An ց ∅, ezért limn→∞ P (An ) = 0, tehát létezik olyan N > 1, hogy P (|ξ| > N ) < ε/3. Továbbá |ϕ (t + h) − ϕ (t)| ⊜ = ≤ =

|M (exp (i (t + h) ξ)) − M (exp (itξ))| = |M (exp (i (t + h) ξ) − exp (itξ))| ≤ M (|exp (itξ) (exp (ihξ) − 1)|) = M (|(exp (ihξ) − 1)|) = = M (exp (ihξ) − 1) χAN + χAcN ≤ ≤ 2P (AN ) + M |(exp (ihξ) − 1)| χAcN .

Ha x ∈ [−N, N ] , akkor a cos xh, illetve a sin xh hatványsorából könnyen látható, hogy amennyiben |hx| < 1, akkor |exp (ihx) − 1| = |cos xh − 1 + i sin xh| ≤ |cos xh − 1| + |sin xh| ≤ 2

≤

(xh) + |xh| ≤ 2 |xh| ≤ 2N |h| . 2

Ha pedig még teljesül a |h| < ε/ (6N ) feltétel is, akkor M |exp (ihξ) − 1| χAcN ≤ 2N |h| < ε/3,

ami alapján |ϕ (t + h) − ϕ (t)| < ε.

8. Ha a ξ-nek létezik a k-dik momentuma, vagyis létezik az M ξ k várható érték, akkor a ξ ϕ karakterisztikus függvénye k-szor differenciálható, és a t = 0 pontban ϕ(k) (0) = ik M ξ k , (10.1) 3A

majorált konvergencia tétel miatt a folytonosság evidens.

446

10.

illetve általánosabban ϕ(k) (t) =

Z


k

(ix) exp (itx) dF (x) .

(10.2)

R

Mivel a várható érték absztrakt integrál, ezért az állítás valójában egy integrál mögé való „bederiválási” tétel, hiszen például d d ϕ′ (t) ⊜ M (exp (itξ)) = M exp (itξ) = M (iξ exp (itξ)) , dt dt amib˝ol például ϕ′ (0) = iM (ξ) . Hasonlóan ϕ′′ (t) = és így

d M (iξ exp (itξ)) = M i2 ξ 2 exp (itξ) , dt ϕ′′ (0) = i2 M ξ 2 .

De miért hajtható végre az integrálás és a deriválás cseréje? Ha f (t, ω) ⊜ exp (iξ (ω) t) , akkor

∂f ∂t (t, ω) = |exp (itξ (ω)) iξ (ω)| ≤ |ξ (ω)| .

Mivel a feltételek alapján |ξ| integrálható, ezért használhatjuk a „bederiválásról” szóló 2.83. tételt, vagyis Z ∂ exp (itξ (ω)) dP (ω) = ϕ′ (t) = ∂t Z Ω Z ∂ = exp (itξ (ω)) dP (ω) = exp (itξ (ω)) iξ (ω) dP (ω) . Ω ∂t Ω n+1 < ∞, akkor a Indukcióval, ha M |ξ| Z n (n) exp (itξ (ω)) (iξ (ω)) dP (ω) , ϕ (t) = Ω

n+1

integrandusának t szerinti deriváltja exp (itξ (ω)) (iξ (ω)) , és mivel n+1 ≤ ξ n+1 (ω) , exp (itξ (ω)) (iξ (ω))

ezért a deriválás bevihet˝o az integrál mögé: Z ∂ n (n+1) exp (itξ (ω)) (iξ (ω)) dP (ω) = ϕ (t) = ∂t Ω Z ∂ n exp (itξ (ω)) (iξ (ω)) dP (ω) = = ∂t ZΩ n+1 = exp (itξ (ω)) (iξ (ω)) dP (ω) . Ω

10.1.

447


9. A fordított állítás nem igaz, vagyis abból, hogy a karakterisztikus függvény deriválható, még nem következik, hogy létezik a várható érték. 10.2 Példa.

Az f (x) ⊜

0 c/ x2 ln |x|

ha |x| ≤ 2 ha |x| > 2

s˝ur˝uségfüggvénnyel megadott eloszlásnak nincs várható értéke, de a karakterisztikus függvénye a nulla pontban deriválható. Mivel az

Z

∞

2

x dx = 2 x ln x

Z

∞

2

1/x ∞ dx = [ln ln x]2 = ∞ ln x

integrál divergens, az eloszlásnak nincs várható értéke. Az eloszlás szimmetrikus, ezért a karakterisztikus függvénye Z ∞ cos tx ϕ (t) = 2c dx, x2 ln x 2 ahol t ≥ 0. Ez alapján 1 − ϕ (t) = 2c

Z

1/t

2

Z

1 − cos tx dx + x2 ln x

∞

1 − cos tx dx. x2 ln x

1/t

Az 1 − ϕ függvény valós értékü, páros és nem negatív. Tetsz˝oleges u valós számra4 0 ≤ 1 − cos u ≤ min 2, u2 , ami alapján ha t elég kicsi

0 ≤ 1 − ϕ (t) ≤ K

t2

Z

2

1/t

1 dx + 2 ln x

Z

∞

1/t

! 1 dx . x2 ln x

Az els˝o integrálra − ln t 2 t t

Z

2

1/t

1 dx = −t ln t ln x

Z

2

1/t

1 dx → 1, ln x

ugyanis a l’Hôpital-szabály alapján R 1/t 1/ ln xdx 1/ t2 ln t ln t 2 = lim = lim = 1. lim t→0 ln t + 1 t→0 (ln t + 1) / (t ln t)2 t→0 −1/ (t ln t) Hasonlóan a második integrálra R∞ 1/ x2 ln x dx − (1/ ln t) t2 1/t2 ln t 1/t = lim = lim = 1, lim t→0 ln t − 1 t→0 (− ln t + 1) / (ln t)2 t→0 −t/ ln t 4 Az

u = 0 pontban az u2 és az 1 − cos u függvények megegyeznek, a deriváltjaikra pedig sin u < 2u.

448

10.


vagyis 1 − ϕ (t) ≤ O (−t/ ln t) = o (t) , tehát ϕ′ (0) = 0.

2

5

Ha azonban a 0 pontban léteznek a páros deriváltak, akkor léteznek a páros momentumok is. Ennek bizonyítása szinte szó szerint megegyezik a Linnik-tétel6 igazolásával ezért elhagyjuk. 10. A karakterisztikus függvényb˝ol a kés˝obb külön tárgyalt úgynevezett inverziós formulával közvetlenül kifejezhetjük az eloszlásfüggvényt. Ha például a ξ változó ϕ karakterisztikus függvénye integrálható, vagyis ha Z |ϕ (t)| dt < ∞, R

akkor a s˝ur˝uségfüggvényekre kimondott inverziós formula alapján a ϕ-hez tartozó eloszlásnak van f s˝ur˝uségfüggvénye, és Z 1 f (x) = ϕ (t) exp (−itx) dt. 2π R 11. S˝ur˝uségfüggvény létezése esetén a karakterisztikus függvény néhány speciális tulajdonsággal rendelkezik. Ha a ϕ-hez tartozó eloszlásnak létezik s˝ur˝uségfüggvénye, akkor lim ϕ (t) = 0, |ϕ (t)| < 1, t 6= 0. |t|→∞

A határérték a Riemann—Lebesgue-lemma7 következménye, ugyanis mivel az f integrálható, ezért Z ϕ (t) =

R

f (x) exp (itx) dx → 0.

A másik állítást indirekt módon igazoljuk. Tegyük fel, hogy van olyan t0 6= 0, amelyre |ϕ (t0 )| = 1. Ekkor alkalmas a számra ϕ (t0 ) = exp (iat0 ) , amib˝ol Z Z 1= exp (it0 (x − a)) dF (x) = cos it0 (x − a) dF (x) , R

R

R

amib˝ol R 1 − cos it0 (x − a) dF (x) = 0. Ez azonban csak úgy lehetséges, ha az F m.m. mérték szerint majdnem mindenhol 1 − cos it0 (x − a) = 0, vagyis az F mérték diszkrét pontokra koncentrálódik, tehát nincs s˝ur˝uségfüggvénye. 12. Megjegyezzük, hogy valójában többet láttunk be, mint amit állítottunk. Egy ξ változót rácsosnak mondunk, ha egyenl˝o távolságra es˝o diszkrét „rácspontokra” koncentrálódik. Az imént elmondottak szerint, ha valamilyen t0 6= 0 pontban |ϕ (t0 )| = 1, akkor az eloszlás rácsos, a rácspontok távolsága 2π/ |t0 | . A ξ változót degeneráltnak, vagy elfajulónak mondjuk, ha van olyan a pont, hogy ϕ (t) = exp (iat) , vagyis ha az eloszlás egyetlen a pontra koncentrálódik. Az elmondottak alapján, ha valamilyen t0 6= 0 és t1 6= 0 pontokban |ϕ (t0 )| = |ϕ (t1 )| = 1, és a |t0 | / |t1 | hányados irracionális, akkor az eloszlás degenerált. Speciálisan, ha egy valódi intervallum minden t pontjára |ϕ (t)| = 1, akkor az eloszlás degenerált. 5A

páratlan deriváltakkal kapcsolatban lásd. 16.46. állítás, 851. oldal. 10.63. tétel, 513. oldal. 7 V.ö: 3.36. következmény, 137. oldal. 6 V.ö.:

10.1.

449


10.1.2.

Speciális eloszlások Fourier-transzformáltjai

10.3 Példa.

A λ paraméter˝u Poisson eloszlás karakterisztikus függvénye ϕ (t) = exp (λ (exp (it) − 1)) . Valóban ϕ (t)

=

∞ X λk

k=0

=

k!

exp (−λ) exp (itk) = exp (−λ)

∞ X λk

k=0

exp (λ (exp (it) − 1)) .

k!

k

(exp (it)) =

2 10.4 Példa.

Az N (0, 1) standard normális eloszlás karakterisztikus függvénye 2 t ϕ (t) = exp − . 2 Tekintsük a ϕ (t)

= =

2 Z 1 x √ exp − (cos tx + i sin tx) dx = 2 2π R 2 Z 1 x √ cos txdx exp − 2 2π R

t szerinti deriváltját8 , majd a deriváltat parciálisan integrálva x szerint 2 Z 1 x ϕ′ (t) = − √ x sin txdx = exp − 2 2π R 2 2 ∞ Z x x 1 1 √ exp − √ exp − = sin tx t cos txdx = − 2 2 2π 2π R −∞ = −tϕ (t) .

Mivel a karakterisztikus függvény elemi tulajdonságai miatt ϕ (0) = 1, ezért a normális eloszlás karakterisztikus függvényének eleget kell tenni a dϕ = −tϕ (t) , dt

ϕ (0) = 1

(10.3)

egyenletnek. Közvetlen behelyettesítéssel látható, hogy a ϕ (t) = exp −t2 /2 eleget tesz a (10.3) egyenletnek, és a kezdeti érték feladat egyértelm˝u megoldhatósága miatt az exp −t2 /2 az egyetlen megoldása az egyenletnek9 . 2 8 Mivel a normális eloszlásnak van várható értéke, ezért a 8. tulajdonság miatt a ϕ deriválható, és be lehet deriválni az integrál mögé. V.ö. 445. oldal. 9 Lineáris differenciálegyenlet esetén a megoldás egyértelm˝ usége közvetlenül, elemi módon igazolható.

450

10.


10.5 Példa.

A Cauchy-eloszlás karakterisztikus függvénye ϕ (t) = exp (− |t|) . 1. A Cauchy-eloszlás karakterisztikus függvényét el˝oször az inverziós formula segítségé vel fogjuk meghatározni. A Cauchy-eloszlás s˝ur˝uségfüggvénye f (x) = 1/π 1 + x2 . A ϕ integrálható, hiszen Z R

exp (− |t|) dt = 2.

Az inverziós formula alapján a karakterisztikus függvényt egyértelm˝uen meghatározza az esetlegesen teljesül˝o Z 1 1 f (x) = = exp (−itx) exp (− |t|) dt = π (1 + x2 ) 2π R Z 1 cos (tx) exp (− |t|) dt = 2π R

összefüggés, amely közvetlen számolással ellen˝orizhet˝o10 . 2. A karakterisztikus függvényt közvetlenül is kiszámolhatjuk. Legyenek ξ és η független, standard normális eloszlással rendelkez˝o valószín˝uségi változók. Miként láttuk, a ξ/η hányados Cauchy-eloszlással rendelkezik11 . A teljes várható érték tétel alapján, a normális eloszlás karakterisztikus függvényének képletét felhasználva

ϕ (t)

= = = =

Z ∞ ξ ξ M exp it = | η = y dΦ (y) = M exp it η η −∞ Z ∞ ξ dΦ (y) = M exp it y −∞ Z ∞ 1 1 t2 1 2 √ exp − 2 exp − y dy = 2y 2 2π −∞ 2 ! Z ∞ 1 |t| exp (− |t|) √ exp − dy. −y 2 y 2π −∞

Legyen a ≥ 0, és számoljuk ki az Z

∞

1 I (a) ⊜ exp − 2 −∞

a −y y

2 !

dy

10 Használjuk ki, hogy az exp (− |t|) páros, és integráljunk kétszer parciálisan. A figyelmes olvasó észrevehette, hogy az indoklás némiképpen pontatlan, ugyanis nem világos, hogy az exp (− |t|) valaminek is a Fourier-transzformáltja, vagyis alkalmazható rá az inverziós formula. A 11.54. állítás, 558. oldal, szerinti Pólya-kritérium alapján a ϕ karakterisztikus függvény. Ugyanakkor ez közvetlenül is látható, ugyanis az (1/2) · ϕ tekinthet˝o s˝ur˝uségfüggvénynek, amely Fourier-transzformáltja c · f, amelyre alkalmazva az inverz transzformációt visszakapjuk a ϕ-t. De mivel mind a ϕ, mind az f páros, a Fourier és az inverz Fouriertranszformációk konstanstól eltekintve azonosak. 11 V.ö.: 292. példa, 8.12. oldal.

10.1.

451


integrált. Az a paraméter szerint az integrál alatt deriválva12 2 ! Z ∞ 1 a a ′ I (a) = exp − −y − 1 dy. 2 y y2 −∞ Az I ′ (a) értékét megadó integrál páros, így ha a > 0 u = a/y helyettesítéssel Z 0 u 1 a 2 −y I ′ (a) = 2 exp − −1 du = u− 2 u y u ∞ Z ∞ a a 2 1 = 2 exp − 1 − 2 du = u− 2 u u 0 = −I ′ (a) , √ következésképpen I ′ (a) = 0, így I (a) = I (0) = 2π, tehát ξ ϕ (t) = M exp it = exp (− |t|) . η 3. Egy másik kiszámolási mód a következ˝o: Z 1 1 (cos tx + i sin tx) dx = ϕ (t) = π R 1 + x2 Z 1 1 cos txdx = = π R 1 + x2 Z ∞ 1 2 cos tx. = π 0 1 + x2 Mivel ϕ (t) = ϕ (−t) ezért elég a t > 0 esettel foglalkozni. Vezessük be a Z 2 ∞ exp (−αx) ϕ (t, α) ⊜ cos txdx π 0 1 + x2 paraméteres integrált. Ha a > 0, akkor deriválhatunk az integrál alatt Z 2 ∞ exp (−αx) ′ ϕ (t, α) = − sin txdx x π 0 1 + x2 Újra deriválva, elemi átalakításokkal Z 2 ∞ 2 exp (−αx) cos txdx = x ϕ′′ (t, α) = − π 0 1 + x2 Z exp (−αx) 2 ∞ 2 = − cos txdx = x +1−1 π 0 1 + x2 Z 2 ∞ exp (−αx) cos txdx + ϕ (t, α) . = − π 0 12 Vegyük észre, hogy az y = 0 pontban az integrál alatti kifejezés deriváltja folytonos, így az y = 0 pont körül a deriváltnak van integrálható majoránsa.

452

10.


Az exponeciális eloszlás karakterisztikus függvényének képlete alapján Z 12 ∞ ′′ ϕ (t, α) = − α exp (−αx) cos txdx + ϕ (t, α) = απ 0 Z ∞ 12 = − α exp (−αx) cos txdx + ϕ (t, α) = απ 0 α 2 + ϕ (t, α) . = − 2 π α + t2 Összefoglalva: ϕ′′ (t, α) − ϕ (t, α) = −

2 α . 2 π α + t2

A differenciálegyenlet közvetlen megoldása nem t˝unik egyszer˝unek, ezért a két oldalt kétszer integráljuk: Z s Z s Z u α 2 ϕ′′ (u, α) du − ϕ (t, α) du = − du 2 + u2 π α 0 0 0 Az els˝o integrál

Z

s

ϕ′′ (u, α) du = ϕ′ (s, α) − ϕ′ (0, α) ,

0

amit újra integrálva Z tZ 0

s ′′

ϕ (r, α) drds =

0

Z

0

Ha α → 0, akkor a második tagra 2 ϕ (0, α) = π ′

Z

0

∞

α

t

ϕ′ (s, α) ds − ϕ′ (0, α) t.

exp (−αx) dx → 0. 1 + x2

Ismételten az integrálást elvégezve: Z

0

t

ϕ′ (s, α) ds = ϕ (t, α) − ϕ (0, α)

Tehát ϕ (t, α) − ϕ (0, α) − ϕ′ (0, α) t − Z tZ s α 2 drds. = − π α 2 + t2 0 0 Ha α → 0, akkor ϕ (t, 0) − ϕ (0, 0) − ϕ′ (0, 0) t +

Z tZ 0

Z tZ 0

0

s

ϕ (r, α) drds =

0

s

ϕ (r, 0) drds = 0.

10.1.

453


Kétszer deriválva ϕ′′ − ϕ = 0, ami már megoldható: ϕ(t) = exp (−t) , t ≥ 0. Vagyis ϕ(t) = exp (− |t|) . 4. Vegyük észre, hogy a ϕ a t = 0 pontban nem deriválható, az eloszlásnak nincs is várható értéke. Mivel nincs várható érték, felmerül a kérdés, hogy mi történik egy Cauchy-eloszlásból vett minta átlagával, ha a mintában szerepl˝o elemek számával a végtelenbe tartunk. A feladatot a karakterisztikus függvény segítségével nagyon egysn zer˝uen megoldhatjuk. Ha (ξ k )k=1 Pnfüggetlen standard Cauchy-eloszlással rendelkez˝o valószín˝uségi változók, akkor a k=1 ξ k változó eloszlásának karakterisztikus függvénye Az η ⊜

Pn

k=1

ϕ (t) = Πni=1 exp (− |t|) = exp (−n |t|) .

ξ k /n változó karakterisztikus függvénye ψ (t) = ϕ

t = exp (− |t|) , n

vagyis standard Cauchy-eloszlású. Ha n → ∞, akkor a minta eloszlása nem tart semmilyen konstans érték˝u valószín˝uségi változó eloszlásához. 2 10.6 Példa.

Független változók szorzatának és hányadosának karakterisztikus függvénye. Ha ξ és η független változók, akkor a ξ · η szorzat karakterisztikus függvénye Z

ϕξη (t) ⊜ M (exp (itξη)) = M (exp (itξη) | η = y) dG (y) = R Z Z = M (exp (itξy)) dG (y) = ϕξ (ty) dG (y) = R ZR = ϕη (tx) dF (x) , R

ahol F a ξ, G az η eloszlásfüggvénye. Analóg módon, ha a ξ/η értelmes, akkor Z ξ ξ ϕξ/η (t) ⊜ M exp it = | η = y dG (y) = M exp it η η R Z Z t ξ dG (y) = dG (y) . ϕξ = M exp it y y R R

454

10.


1. Legyenek ξ és η független N (0, 1) eloszlású változók.13 Z 1 2 ϕξη (t) = exp − (tx) dΦ (x) = 2 R Z ∞ 1 1 1 2 = √ exp − (tx) exp − x2 dx = 2 2 2π −∞ Z ∞ 1 1 exp − t2 + 1 x2 dx = = √ 2 2π −∞ 1 . = √ 2 t +1 2. Miként láttuk14 , ha τ a a w1 Wiener-folyamat a ponthoz tartozó elérési ideje, és w2 a w1 -t˝ol független Wiener-folyamat, akkor √ w2 (τ a ) ∼ = τ a · w2 (1) . √ √ Ebb˝ol, ha G a τ a eloszlásfüggvénye, akkor15 a τ a és a w2 (1) függetlensége miatt Z ∞ M (exp (itw2 (τ a ))) = ϕN (0,1) (tx) dG (x) = 0 ! Z ∞ 2 (tx) dG (x) = = exp − 2 0 2 t = exp (−a |t|) , = M exp − τ a 2 amely éppen a Cauchy-eloszlás karakterisztikus függvénye16 . 2

10.2. Momentumgeneráló függvények A Fourier-transzformáció szoros kapcsolatban áll a Laplace-transzformációval, illetve a momentumgeneráló függvényekkel.

10.7 Deníció. Jelölje F a ξ változó eloszlásfüggvényét. 1. A komplex számok részhalmazán értelmezett z 7→ M (z) ⊜ M (exp (zξ)) = 13 V.ö.:

Z

exp (zx) dF (x)

R

8.13. példa, 296. oldal. 9.141. példa, 426. oldal, (9.75) sor, 426. oldal. 15 V.ö.: 9.138. példa, 422. oldal. 16 A 9.141. példában, 426. oldal, közvetlenül, az inverz Fourier-transzformáció felhasználása nélkül, igazoltuk, hogy a w2 (τ a ) Cauchy-eloszlású. Ez alapján az a paraméter˝u Cauchy-eloszlás karakterisztikus függvénye exp (−a |t|) . 14 V.ö.:

10.2.

455

MOMENTUMGENERÁLÓ FÜGGVÉNYEK

leképezést, ahol z tetsz˝oleges olyan komplex szám, amelyre a várható érték létezik, a ξ, illetve az F komplex momentumgeneráló függvényének mondjuk. 2. A valós számokon értelmezett s 7→ M (s) ⊜ M (exp (sξ)) =

Z

exp (sx) dF (x)

R

függvényt a ξ változó, illetve az F eloszlás valós momentumgeneráló függvényének nevezzük, ahol az M értelmezési tartománya az olyan s valós számok halmaza, amelyekre az integrál véges. 3. A valószín˝uségszámításban szokásos momentumgeneráló függvény mellett használni fogjuk a komplex és valós Laplace-transzformáció elnevezéseket is17 . A valós Laplace-transzformációt definiáló integrál Z exp (−sx) dF (x) , L (s) ⊜ M (exp (−sξ)) = R

a komplex Laplace-transzformációt megadó integrál pedig értelemszer˝uen Z L (s) ⊜ M (exp (−zξ)) = exp (−zx) dF (x) , R

ahol az s valós a z pedig komplex paraméter. 4. A számegyenesen értelmezett tetsz˝oleges µ el˝ojeles mértékre definiálhatjuk a µ Z z 7→ M (z) ⊜ exp (zx) dµ (x) R

komplex momentumgeneráló függvényét, illetve Z z 7→ L (z) ⊜ exp (−zx) dµ (x) R

komplex Laplace-transzformáltját. Értelemszer˝uen az M és az L értelmezési tartománya az olyan z komplex számok halmaza, amelyekre az integrálok konvergensek. Világos, hogy a valós momentumgeneráló, illetve a karakterisztikus függvény a komplex momentumgeneráló függvény speciális esetei. Tetsz˝oleges változó esetén a komplex momentumgeneráló függvény értelmezési tartománya tartalmazza az imaginárius tengelyt, vagyis a komplex momentumgeneráló függvény a Fourier-transzformáció kiterjesztése. Ha a ξ korlátos, akkor az M valós momentumgeneráló függvény értelmezési tartománya a teljes R számegyenes, hiszen ha |ξ| ≤ K, akkor Z Z K M (s) ⊜ exp (sx) dF (x) = exp (sx) dF (x) ≤ exp (|s| K) < ∞. R

17 Laplace-transformációról

−K

általában akkor beszélünk, ha a ξ nem negatív. transzformáció kényelmesebb mint a momentumgeneráló függvény.

Ilyenkor a Laplace-

456

10.


A valós momentumgeneráló függvény mindig értelmezve van az s = 0 pontban. Ha értelmezve van valamilyen s pontban és se az s és a nulla közötti intervallum egy pontja, akkor az M értelmezve van az se pontban is, ugyanis ha például 0 < se < s, akkor18 Z Z 0 Z ∞ M (e s) ⊜ exp (e sx) dF (x) = exp (e sx) dF (x) + exp (e sx) dF (x) ≤ R 0

≤

Z

−∞

−∞ Z ∞

exp (0x) dF (x) +

0

0

exp (sx) dF (x) < ∞.

Ebb˝ol következ˝oen az M értelmezési tartománya mindig egy az origót tartalmazó intervallum. Ha ξ ≥ 0, akkor minden s ≤ 0 esetén 0 < exp (sξ) ≤ 1, és ezért az M értelmes a nem pozitív számok halmazán. Mivel ha s0 ≥ s > 0, akkor a ξ ≥ 0 esetben exp (s0 ξ) ≥ exp (sξ) > 0, ezért ha az M (s0 ) értelmes, akkor az M definiálva van a (−∞, s0 ] intervallumon. Hasonló megjegyzés vonatkozik a ξ ≤ 0 esetre. Mivel |exp (z)| = exp (Re (z)) , és mivel az integrálhatóság és az abszolút integrálhatóság azonos fogalmak, ezért ha az M értelmezve van a valós egyenes egy s pontjában, akkor az M értelmezve van az s + it alakú egyenesen. 10.8 Példa.

A momentumgeneráló függvény esetleg csak a képzetes tengely mentén értelmezhet˝o. Tekintsük például azt a Z egész számokra koncentrálódott ξ változót, amelyre C , n2 ahol a C konstanst P∞ úgy kell meghatározni, hogy eloszlást kapjunk. Ha s 6= 0, akkor M (s) = C k=−∞ exp (sk) /k 2 = ∞, ezért az M (s) az s 6= 0 pontokban nem értelmezhet˝o. 2 P (ξ = n) = P (ξ = −n) =

10.2.1.

A momentumgeneráló függvény elemi tulajdonságai

10.9 Állítás.

Ha ξ és η független változók, és z a komplex momentumgeneráló függvényeik értelmezési tartományának19 közös pontja, akkor Mξ+η (z) = Mξ (z) · Mη (z) . Bizonyítás: A feltételek alapján az exp (zξ) és az exp (zη) változók függetlenek és van várható értékük. A függetlenség alapján az exp (zξ) · exp (zη) változónak is van várható értéke, amely a tényez˝ok várható értékének szorzata. Mξ (z) · Mη (z) ⊜ M (exp (zξ)) · M (exp (zη)) = M (exp (zξ) · exp (zη)) = = M (exp (z (ξ + η))) = Mξ+η (z) . 2 18 A

0 > se > s eset tárgyalása analóg. 19 Fourier-transzformációk esetén a közös értelmezési tartomány a teljes számegyenes. Többek között az ebb˝ol származó nagyfokú egyszer˝uség indokolja a karakterisztikus függvények használatát.

10.2.

457


10.10 Állítás.

Legyen ξ tetsz˝oleges változó, jelölje M a ξ valós, M a ξ komplex momentumgeneráló függvényét. 1. Ha az M értelmezve van az R egy nyílt I intervallumán, akkor az M analitikus a komplex számsík Re (z) ∈ I sávjában, és ott20 dk M (z) = M ξ k exp (zξ) . k dz

(10.4)

2. Speciálisan az M az értelmezési tartománya belsejében végtelenszer deriválható. 3. Ha a 0 az M értelmezési tartományának bels˝o pontja21 , akkor αk ⊜ M (k) (0) = M ξ k ,

és az M a 0 pont körül az αk együtthatókkal hatványsorba fejthet˝o, vagyis M (s) =

∞ X αk

k=0

k!

sk .

(10.5)

4. A (10.5) sor konvergenciasugara megegyezik annak a 0 körüli maximális, szimmetrikus22 környezetnek a sugarával, amelyen az M véges. R Bizonyítás: Az els˝o tulajdonság valójában az M (z) ⊜ X exp (zx) dµ (x) integrálba való bederiválásról szóló tétel. Ha ε > 0, akkor elegend˝oen nagy K-ra, minden x-re |x| ≤ K exp (ε |x|) ≤ K [exp (εx) + exp (−εx)] , tehát ha z = s + it, akkor |x exp (zx)|

≤ K [exp (εx) + exp (−εx)] exp (sx) = = K exp ((s + ε) x + exp ((s − ε) x)) .

Mivel alkalmas ε-ra a valós momentumgeneráló függvény értelmezve van az s + ε, s − ε pontokban, ezért az utolsó függvény integrálható, tehát az integrandus deriváltja rendelkezik integrálható majoránssal, tehát bederiválhatunk az integrál mögé. A (10.4) igazolása indukcióval analóg módon történik. Tegyük fel, hogy a 0 az M értelmezési tartományának bels˝o pontja. Mivel exp (|sξ|) ≤ exp (sξ) + exp (−sξ) , 20 Az

(10.6)

állítás tetsz˝oleges mértékre érvényes. azt is szokás mondani, hogy az eloszlás karakterisztikus függvénye analitikus. 22 Természetesen az M értelmezve lehet a konvergenciasugár által meghatározott intervallumon kívül is, de ilyenkor csak az egyik oldalon. 21 Ilyenkor

458

10.


és mivel a jobb oldalon álló függvény a feltétel alapján minden |s| < s0 esetén integrálható, valamint mivel n ∞ k k X (sξ) X |sξ| ≤ = exp (|sξ|) , k! k! k=0

k=0

ezért a majorált konvergencia tétel alapján M (s) ⊜ M (exp (sξ)) = M

∞ k X (sξ)

k=0

k!

!

=

∞ X sk

k=0

k!

M ξk .

P∞ Megfordítva, tegyük fel, hogy az összes αk momentum létezik, és a k=0 αk sk /k! sor egy pozitív sugarú körön konvergens. Mivel a hatványsorok a konvergenciasugáron belül abszolút konvergensek, ezért létezik R > 0, hogy ∞ X

k=0

|αk |

Rk < ∞. k!

(10.7)

Ha egy |s| ≤ R értékre az M (exp (sξ)) = M

∞ X

k

!

(sξ) /k!

k=0

kifejezésben az integrált és az összegezést fel lehet cserélni, akkor ∞ ∞ X sk X sk k |M (s)| = αk < ∞. M ξ ⊜ k! k! k=0

Ha |s| ≤ s0 , akkor

k=0

n ∞ k X sk X (s0 |ξ|) k = exp (s0 |ξ|) , ξ ≤ k! k! k=0

k=0

és ezért az integrál és az összegzés felcserélhet˝oségének belátásához elegend˝o megmutatni, hogy ha 0 < s0 < R, akkor az exp (s0 |ξ|) integrálható. A monoton konvergencia tétel alapján ! ∞ ∞ ∞ X X sk0 k X sk0 sk0 k |ξ| M |ξ| ⊜ = βk , M (exp (s0 |ξ|)) = M k! k! k! k=0

k=0

k=0

elegend˝o tehát megmutatni, hogy ∞ X

k=0

βk

sk0 < ∞. k!

(10.8)

10.2.

459


2k

Mivel 0 < s0 < R, ezért elég nagy N -re ha k ≥ N, akkor 2k (s0 /R) < s0 , 2k−1 2k ≤ R2k /2k. Felhasználva az |x| ≤ 1 + |x| és az α2k = β 2k amib˝ol s2k−1 0 összefüggéseket s2k−1 0 β (2k − 1)! 2k−1

s2k−1 s02k−1 s2k−1 R2k 0 + β 2k 0 ≤ + β 2k = (2k − 1)! (2k − 1)! (2k − 1)! (2k)!

≤

s02k−1 R2k + α2k . (2k − 1)! (2k)!

=

Ez és a (10.7) valamint az α2k = |α2k | alapján ∞ X sk 0

k=0

k!

βk

∞ ∞ X X s2k s2k−1 0 0 β 2k + β ≤ (2k)! (2k − 1)! 2k−1

=

k=0 ∞ X

≤

k=0 N X

≤

k=0

k=1

s2k 0

(2k)! sk0 k!

α2k +

N X sk 0

k=0

k!

βk +

β k + exp (s0 ) + 2

∞ X

k=1 ∞ X

k=0

∞

X R2k s2k−1 0 α2k + ≤ (2k − 1)! (2k)!

|αk |

k=0

k

R < ∞, k!

ami éppen a (10.8). 2 10.11 Következmény.

Ha ξ ≥ 0, akkor az L komplex Laplace-transzformált analitikus a Re (z) > 0, és folytonos a Re (z) ≥ 0 félsíkon. Bizonyítás: Ha Re (z) ≥ 0 és ξ ≥ 0 akkor |exp (−zξ)| = exp (− Re (z) ξ) ≤ exp (0) ≤ 1, ezért a valószín˝uségi mérték végessége miatt a Laplace-transzformált létezik a [0, ∞) intervallumon. A majorált konvergencia tétel alapján, ha zn → z0 , akkor L (zn ) → L (z0 ) , vagyis az L folytonos a Re (z) ≥ 0 félsíkon. 2 10.12 Következmény.

Ha ξ momentumgneráló függvénye véges az [a, b] zárt intervallumon, akkor az L komplex Laplace-transzformált analitikus a a < Re (z) < b, és folytonos a a ≤ Re (z) ≤ b félsíkban. Bizonyítás: Elegend˝o megjegyezni, hogy ha zn → z, akkor |exp (zn x)| = exp (Re (z) x) ≤ exp (ax) + exp (bx) , és használhatjuk a majorált konvergencia tételt. 2

460

10.


10.13 Következmény.

Ha a ξ változónak létezik az összes momentuma, és a (10.5) sor konvergenciasugara pozitív, akkor a momentumok egyértelm˝uen meghatározzák az eloszlást, vagyis ha az η változó momentumai megegyeznek a ξ momentumaival, akkor a ξ és az η eloszlása azonos23 . Bizonyítás: Mivel a konvergenciasugár pozitív, ezért a ξ és az η momentumgeneráló függvénye egy az s = 0 pontot tartalmazó I nyílt szakaszon értelmes, tehát a komplex momentumgeneráló függvényeik is léteznek és analitikusak a Re (z) ∈ I sávban. Mivel a ξ és az η momentumgeneráló függvénye a valós tengely mentén egybeesik, az analitikus függvények egyértelm˝usége alapján, az imaginárius tengely mentén is azonosak, így a két karakterisztikus függvény is azonos, tehát a két eloszlás megegyezik. A bizonyítás, bár a lehet˝o legegyszer˝ubb, felhasználja az analitikus függvények egyértelm˝u kiterjeszthet˝oségér˝ol szóló állítást. Ezt azonban elkerülhetjük. Egyszer˝u számolással belátható, hogy ha létezik az els˝o m momentum, akkor24 tetsz˝oleges u ∈ R esetén m m k X (t − u) (t − u) + εm (t − u) , (10.9) ϕ (t) = ϕ(k) (u) k! m! k=0

m

ahol |εm | ≤ 3M (|ξ| ) . A (10.2) szerint Z Z k (k) k x dF (x) ⊜ β k . ϕ (u) = (ix) exp (iux) dF (x) ≤ R

R

Ha a (10.5) sor konvergens, akkor a (10.8) is konvergens, ezért a (10.9) sorban alkalmas R sugárra m (t − u)m ≤ 3 R β m → 0, ε (t − u) m m! m! vagyis ha |t − u| ≤ R, akkor25

ϕ (t) =

∞ X

k

ϕ(k) (u)

k=0

(t − u) . k!

Ha u = 0, akkor a momentumok segítségével a ϕ egyértelm˝uen definiálható ha |t| ≤ R. Ha |u| = R/2, akkor a ϕ egyértelm˝uen definiálható az u pontban vett deriváltjaival a |t − u| ≤ R szakaszon, de a momentumok egyértelm˝uen megadják a deriváltakat az u pontban vagyis a ϕ egyértelm˝uen adott a |t| ≤ 3R/2 szakaszon stb. 2 Id˝onként hasznos a következ˝o észrevétel: 10.14 Állítás. (Karakterisztikus függvények analitikus kiterjesztése)

Tegyük fel, hogy a ξ változó ϕ karakterisztikus függvényéb˝ol képzett f (z) ⊜ f (it) ⊜ ϕ (t) , 23 A

t ∈ R,

konvergenciasugárra tett feltétel fontos. V.ö.: lognormális eloszlás. 13.1. lemma, 631. oldal. 25 Vagyis mivel a ϕ analitikus egy sávban, ezért tetsz˝ oleges s pont körül hatványsorba fejthet˝o, és a konvergenciasugár minden pont körül azonos. 24 V.ö.:

10.2.

461


függvény analitikusan kiterjeszthet˝o a valós számegyenesen elhelyezked˝o a Re (z) ∈ I ⊜ (a, b) nyílt intervallumot tartalmazó valamilyen tartományra. 1. Ha a < 0 < b, akkor a ξ momentumgeneráló függvénye az I intervallumon véges, és az M komplex momentumgeneráló függvény analitikus a Re (z) ∈ I sávban. 2. Az állítás akkor is érvényben marad, ha a 0 az I nyílt intervallum valamelyik végpontja. Ilyenkor az M analitikus a Re (z) ∈ I nyílt sávban és folytonos a sávnak 0 pontot tartalmazó oldalán. Bizonyítás: Jelölje G az I intervallumot tartalmazó tartományt A feltétel szerint létezik a G tartományon értelmezett olyan f analitikus függvény, amely értéke a G és az imaginárius tengely metszetén éppen ϕ. Jelölje továbbá M a ξ momentumgeneráló függvényét. Az állítás lényege, hogy a G-ben lev˝o I intervallumon M (s) = f (s) < ∞.

(10.10)

1. Ha 0 ∈ G, akkor mivel az f analitikus, ezért a nulla pont körül X f (k) (0) k

k!

zk

hatványsorba fejthet˝o. 1 ϕ (t) − 1 f (it) − f (0) = lim = ϕ′ (0) , t→0 t→0 it it i

f ′ (0) = lim illetve általában

ik 1 (k) ϕ (0) = k αk = αk . k i i ahol αk .a ξ k-adik momentuma. Mivel a momentumokhoz rendelt hatványsor konvergenciasugara pozitív, ezért az M értelmezve van az origó egy környezetében. f (k) (0) =

2. Tegyük fel, hogy a = 0. Tekintsük az Z 0 Z M (z) = exp (zx) dF (x) + −∞

∞

exp (zx) dF (x) ⊜

0

⊜ M1 (z) + M2 (z) .

felbontást. Az M1 a Re (z) > 0 sávban analitikus, a Re (z) ≥ 0 sávban folytonos. Mivel az f analitikus a G-én, ezért a H ⊜ f − M1 , analitikus a {Re (z) > 0} ∩ G, folytonos a {Re (z) ≥ 0} ∩ G halmazon. Hasonlóan az M2 analitikus a {Re (z) < 0}, folytonos a {Re (z) ≤ 0} halmazon. Mivel Z ∞ f (it) = exp (itx) dF (x) , −∞

462

10.


ezért a {Re (z) = 0} ∩ G halmazon H (z) = L2 (z) .

(10.11)

Tekintsük azt a W függvényt, amely a {Re (z) ≤ 0} ∩ G halmazon L2 , a {Re (z) ≥ 0} ∩ G halmazon H. A Schwarz-féle tükrözési elv26 miatt a W analitikus. Ha a W -ét a nulla pont körül sorbafejtjük, akkor a sorfejtésben szerepl˝o együtthatóként vehetjük a L2 nulla pontban vett bal oldali deriváltjait, vagyis az Z ∞ dk exp (zx) dF (x) = αk ⊜ k dz 0 z=0 Z ∞ Z ∞ k d = xk dF (x) . = exp (zx) dF (x) dz k 0 0 z=0

számokat. Megjegyezzük, hogy az integrálba való bederiválást azért lehet végrehajtani, mert a ϕ végtelenszer deriválható, így az összes momentum véges, tehát minden kra az αk konstanst el˝oállító integrál R ∞konvergens. Az αk „momentumokhoz” tartozó hatványsor konvergenciája miatt a 0 exp (zx) dF (x) integrál konvergens a Re (z) > 0 oldalon is, vagyis az origó körül egy tartományon analitikus, tehát it is teljesül a (10.11), következésképpen az origótól jobbra f (z) = M (z) . 3. Jelölje s∞ az olyan s valós számok szuprémumát, amelyre a (10.10) teljesül. Ha s∞ = b, akkor az állítást beláttuk. A Fatou-lemma miatt, felhasználva, hogy az f folytonos Z ∞ > lim f (s) = lim M (s) = lim exp (sx) dF (x) ≥ sրs∞ sրs∞ sրs∞ R Z ≥ lim inf exp (sx) dF (x) = M (s∞ ) , R sրs∞

tehát a komplex Laplace-transzformált létezik, és folytonos a < Re (z) ≤ s∞ sávban. Az általánosság csorbítása nélkül feltehetjük, hogy b∞ = 0. Ha a második pont gondolatmenetét megismételjük, akkor megmutatható, hogy az M az s∞ ponton túl is kiterjeszthet˝o, ami ellentmondás, vagyis s∞ = b. 2 26 V.ö.:

[38] 334. oldal. A legegyszer˝ubben úgy láthatjuk be az R állítást, ha megmutatjuk, hogy a W integrálja minden zárt görbe mentén nulla. Ebb˝ol következ˝oen az zz W dz integrál jól definiált, és a W 0 folytonossága miatt analitikus.

10.2.

463


10.2.2.

Kumulánsgeneráló függvények

10.15 Deníció. Az M momentumgeneráló függvény C ⊜ ln M logaritmusát kumulánsgeneráló függvénynek mondjuk. A C (s) =

∞ X

ck

k=1

sk k!

sorfejtésében szerepl˝o ck együtthatókat kumulánsoknak27 nevezzük.

10.16 Példa. Tegyük fel, hogy a ξ momentumgeneráló függvény értelmezve van a 0 valamely környezetében. Számoljuk ki az els˝o négy kumulánst28 !

c1

= C ′ (0) =

M ′ (0) = M (ξ) , M (0)

c2

= C ′′ (0) =

M ′′ (0) M (0) − M ′ (0)

c3

′′′

2

c4

2

M (0)

= M ξ 2 − M2 (ξ) = D2 (ξ) , 3

′′′

= C (0) = M (0) − 3M ′ (0) M ′′ (0) + 2M ′ (0) = 3 3 = M ξ 3 − 3M (ξ) M ξ 2 + 2M (ξ) = M (ξ − M (ξ)) , 4 = C (iv) (0) = M (ξ − M (ξ)) − 3D4 (ξ) .

2 A magasabb kumulánsok kiszámítása már nehéz feladat. A számolás során hasznos lehet a n X dn k 1 dn k−1 n ln f (x) = f (x) (−1) dxn k kf k (x) dxn k=1

deriválási formula, amely indukcióval igazolható. 27 Mivel M (0) = 1, ezért C (0) = 0, vagyis a hatványsor nulladik tagja nulla. Mivel független változók momentumgeneráló függvényei összeszorzódnak, a kumulánsgeneráló függvények, és ennek megfelel˝oen a kumulánsok, összeadódnak. Éppen ez a „kumulatív” tulajdonság indokolja a kumuláns elnevezést. Szokás a karakterisztikus függvény logaritmusát is kumulánsgeneráló függvénynek mondani. Ennek az az el˝onye, hogy nem lép fel a momentumgeneráló függvény értelmezési tartományával kapcsolatos probléma, hátrány azonban, hogy kell dolgozni. Ilyenkor a kumulánsok azok a ck együtthatók, amelyePkomplex logaritmussal k kre C (t) = ∞ k=1 ck (it) /k!. A ck kumulánsok értéke független a definiciótól. 28 V.ö.: 10.10. állítás, 457. oldal.

464

10.

10.2.3.


Speciális eloszlások momentumgeneráló függvényei

10.17 Példa.

Számoljuk ki a Poisson-eloszlás Fourier-transzformáltját valamint a momentum- és a kumulánsgeneráló függvényeit! A momentumgeneráló függvény M (s)

=

∞ X λk

k=0

=

k!

exp (−λ) exp (sk) =

∞ k X (λ exp (s))

k=0

exp (λ (exp (s) − 1)) ,

k!

exp (−λ) =

P∞ amib˝ol C (s) = ln M (s) = λ (exp (s) − 1) . Mivel C (s) = λ k=1 sk /k!, ezért a Poisson-eloszlás összes kumulánsa29 λ. Mivel az exp (λ (exp (z) − 1)) a teljes komplex síkban analitikus, ezért ϕ (t) = exp (λ (exp (it) − 1)) . 2 10.18 Példa.

Számoljuk ki az N (0, 1) eloszlás momentumgeneráló függvényét, Fourier-transzformáltját, és határozzuk meg az eloszlás momentumait és kumulánsait! A momentumgeneráló függvény 2 Z x 1 exp (sx) exp − M (s) = √ dx = 2 2π R ! 2 Z 2 (x − s) s 1 exp − dx = = √ exp 2 2 2π R ! 2 Z 2 1 s (x − s) √ dx = = exp exp − 2 2 2π R 2 2 2 Z s u 1 s √ = exp exp − du = exp . 2 2 2 2π R Mivel az exp z 2 /2 a teljes komplex síkban analitikus, ezért 2 t . ϕ (t) = M (it) = exp − 2 Az k ∞ ∞ ∞ X X s2 /2 1 · 3 · . . . · (2k − 1) 2k X (2k − 1)!! 2k = s = s M (s) = k! (2k)! (2k)! k=0

k=0

k=0

sorfejtés alapján a páratlan momentumok mindegyike nulla, a páros momentumok pedig (2k − 1)!!. Mivel s2 s2 C (s) ⊜ ln exp = , 2 2 29 A Poisson-eloszlás momentumainak alakulása jóval bonyolultabb összefüggést követ, ezért nem részletezzük.

10.2.

465


ezért c1 = 0, c2 = 1, a többi kumuláns pedig nulla30 . 2 10.19 Példa.

Számoljuk ki az exponenciális eloszlás momentumgeneráló függvényét, Fourier-transzformáltját, és határozzuk meg a momentumait és a kumulánsokat!

M (s) =

Z

∞

exp (sx) λ exp (−λx) dx = λ

0

Z

∞

exp ((s − λ) x) dx =

0

λ . λ−s

A függvény értelmezve van az s < λ halmazon31 és az ∞

X sk 1 λ = = λ−s 1 − s/λ λk k=0

sorfejtes alapján a k-dik momentum k!/λk . A kumulánsgeneráló függvény ∞ X λ 1 k C (s) = ln s , = ln λ − ln (λ − s) = λ−s kλk k=1 amib˝ol ck = (k − 1)!/λk . Az exponenciális eloszlás momentumgeneráló függvénye értelmezve van a 0 (−∞, λ) környezetében, ami alapján ϕ (t) =

1 . 1 − it/λ 2

10.20 Példa.

Számoljuk ki az (a, λ) paraméter˝u Γ eloszlás momentumgeneráló függvényét, Fouriertranszformáltját és határozzuk meg a momentumait és a kumulánsokat! Az (a, λ) paraméter˝u Γ eloszlás s˝ur˝uségfüggvénye λa a−1 x exp (−λx) , Γ (a)

x > 0.

Ez alapján M (s)

= =

Z

λa a−1 exp (sx) x exp (−λx) dx = Γ (a) 0 Z ∞ λa xa−1 exp (− (λ − s) x) dx. Γ (a) 0 ∞

30 Mivel szimmetrikus eloszlások harmadik kumulánsa nulla, ezért egy szimmetrikus eloszlás normálistól való eltérése jellemezhet˝ o a negyedik kumulánssal. A normális eloszlásra a negyedik kumuláns nulla, ezért a M (ξ − M (ξ))4 /D4 (ξ) képlettel definiált kurtózis a normális eloszlásra 3.

31 Az exponenciális eloszlás momentumgeneráló függvénye értelmezve van a 0 (−λ, λ) környezetében, ami alapján ϕ (t) = 1/ (1 − it/λ) .

466

10.


Az integrál konvergens, ha λ−s > 0, vagyis ha s < λ. A t = (λ − s) x helyettesítéssel a−1 Z ∞ λa 1 t M (s) = exp (−t) dt = Γ (a) 0 λ−s λ−s a Z ∞ λ 1 1 ta−1 exp (−t) dt = = a. Γ (a) λ − s (1 − s/λ) 0 A (−λ, λ) intervallumban a binomiális sor összegképlete alapján ∞ ∞ s −a X −a s k X sk a (a + 1) . . . (a + k − 1) 1− , − = = k λ λ k! λk k=0 k=0 amib˝ol a k-dik momentum λ−k C (s) = ln

Qk−1 j=0

1 a (1 − s/λ)

(a + j) . A kumulánsgeneráló függvény

∞ X s 1 k s , = −a ln 1 − =a λ kλk k=1

amib˝ol ck = aλ−k (k − 1)! A s s −a ⊜ exp −a log 1 − 1− λ λ

kifejezés az s ⊜ Re (z) ∈ (−∞, λ) sávban analitikus, hiszen ekkor Re (1 − z/λ) > 0, tehát a logaritmus függvény létezik, így −a it it ϕ (t) = exp −a log 1 − ⊜ 1− . λ λ 2 10.21 Példa.

Határozzuk meg az n szabadságfokkal rendelkez˝o χ2n eloszlás Fourier-transzformáltját, momentumgeneráló függvényét, illetve az eloszlás momentumait és kumulánsait! A χ2n eloszlás azonos az (n/2, 1/2) paraméter˝u Γ eloszlással, ezért 1

M (s) = p

n,

(1 − 2s)

és a megfelel˝o momentumok 2k

k−1 Y i=0

1 ϕ (t) = p n, (1 − 2it)

k−1 Y n +i = (n + 2i) . 2 i=0

Ez alapján például a várható érték n, a szórás pedig kumulánsgeneráló függvény ∞

C (s) =

n X 2k sk , 2 k k=1

p √ n (n + 2) − n2 = 2n. A

10.2.

467


és ck = n2k−1 (k − 1)! 2 10.22 Példa.

Cauchy-eloszlás momentumgeneráló függvénye. Definíció szerint 1 M (s) ⊜ π

Z

R

exp (sx)

1 dx. 1 + x2

Ha s 6= 0, akkor az integrál divergens, ha s = 0, akkor M (s) = 1, amely azonban minden momentumgeneráló függvényre teljesül. 2 10.23 Példa.

Határozzuk meg a Gumbel-eloszlás momentumgeneráló függvényét és Fourier-transzformáltját! Emlékeztetünk, hogy Gumbel-eloszláson az F (x) = exp (− exp (−x)) eloszlásfüggvény által meghatározott eloszlást értjük. Deriválással az eloszlás s˝ur˝uségfüggvénye f (x) = exp (− exp (−x)) exp (−x) , így a momentumgeneráló függvénye Z f (x) exp (sx) dx = M (s) ⊜ R Z 1−s = exp (− exp (−x)) (exp (−x)) dx = R Z ∞ = exp (−t) t(1−s)−1 dt = Γ (1 − s) , 0

amely kifejezés az s = 0 környezetében létezik, így ϕ (t) = Γ (1 − it) .

2

p Számoljuk ki az f (x) ⊜ (1/4) exp − |x| s˝ur˝uségfüggvényhez tartozó eloszlás momentumait és a momentumgeneráló függvényét!

10.24 Példa.

A Z

R

p exp − |x| dx

= =

2 2

Z

∞

Z0 ∞ 0

√ exp − x dx = 2

Z

∞

exp (−u)

0

exp (−u) 2udu = 4Γ (2) = 4

dx du = du

468

10.


összefüggés alapján világos, hogy az f s˝ur˝uségfüggvény. A függvény páros, ezért a páratlan momentumok mindegyike nulla. A páros momentumokat az alábbi számolással határozhatjuk meg:

M ξ

2k

=

Z

2k

x

2

∞

0

R

=

Z p exp − |x| dx = 2

Z

∞

√ x2k exp − x dx =

u4k exp (−u) 2udu = 4Γ (4k + 2) = 4 (4k + 1)!.

0

Világos, hogy a ∞ X

k=0

∞ sk X 4 (4k + 1)! k M ξk = s k! k! k=0

sor konvergenciasugara nulla, és ennek megfelel˝oen ha s 6= 0, akkor a momentumgeneráló függvény Z Z p 1dx = ∞. M (s) = exp sx − |x| dx ≥ √ sx−

R

|x|≥0

A példából látható, hogy a momentumok létezéséb˝ol még nem következik, hogy a momentumgeneráló függvény értelmezési tartománya nem csak a 0 pontból áll. 2 10.25 Példa.

Határozzuk meg az32 f (x) ⊜ √

2 a , exp − 2x 2πx3 a

x > 0, a > 0

(10.12)

Lévy-eloszlás Laplace- és Fourier-transzformáltját! Mivel az eloszlás a nem negatív számokra koncentrálódik, ezért az L (s) ⊜

Z

∞

exp (−sx) f (x) dx,

0

s≥0

valós Laplace-transzformáltat számoljuk ki. Megjegyezzünk, hogy a (10.12) F eloszlásfüggvényére érvényes a következ˝o képlet: F (x) ⊜

Z

0

x

f (t) dt = 2

Z

a

∞

2 u 1 √ exp − du, 2x 2πx

(10.13)

32 Vegyük észre, hogy az f (0) = 0 definícióval függvény folytonosan kiterjeszthet˝ o. A Lévy-eloszlás fontos szerepet játszik a sztochasztikus folyamatok elméletében, mivel a Wiener-folyamat által az a pont els˝o elérési idejének eloszlását adja meg. A példa, fontossága mellett, arra is rámutat, hogy id˝onként nem csekély technikai tudás szükséges valamely momentumgeneráló függvény meghatározásához. V.ö.: (8.4) sor, 279. oldal. 9.138. példa, 422. oldal.

10.2.

469


ugyanis az els˝o integrálban t = xa2 /u2 helyettesítést végezve 2 Z a u au3 √ exp − F (x) = xa2 (−2) u−3 du = 3 3 2x 2πx ∞ a 2 Z ∞ u 1 √ = 2 exp − du. 2x 2πx a Parciálisan integrálva, és felhasználva, hogy F (0) = 0, ha s > 0 Z ∞ ∞ L (s) = [exp (−sx) F (x)]0 + s exp (−sx) F (x) dx = 0 Z ∞ = s exp (−sx) F (x) dx. 0

A (10.13) összefüggést behelyettesítve Z ∞ Z L (s) = 2s exp (−sx) 0

a

∞

2 u 1 √ exp − dudx. 2x 2πx

Az L (s) függvényt rögzített s esetén tekinthetjük az a változó függvényének. Jelöljük ez g (a)-val. Megmutatjuk, hogy ha a > 0, akkor a g (a)-ra teljesül a g ′′ (a) = 2sg (a)

(10.14)

differenciálegyenletet. Az integrálban szerepl˝o integrandus nem negatív, tehát Fubinitétele alapján az integrálás határai felcserélhet˝oek, vagyis 2 Z ∞Z ∞ u 1 exp − dxdu. g (a) = 2s exp (−sx) √ 2x 2πx a 0 A bels˝o integrál az u paraméter folytonos függvénye, mivel az Z ∞ 1 1 1 √ exp (−sx) dx = √ Γ <∞ 2 2πx 2πs 0 √ és ezért az 1/ 2πx exp (−sx) az integrandus integrálható majoránsa. Ezt felhasználva 2 Z ∞ 1 a ′ g (a) = −2s exp (−sx) √ exp − dx. 2x 2πx 0 A második derivált kiszámolásakor „bederiválhatunk” az integrál jel mögé ugyanis a 2 2 a a 1 1 2a ∂ exp − exp − exp (−sx) √ = exp (−sx) √ − ∂a 2x 2x 2x 2πx 2πx parciális deriváltnak az exp (−sx) √

2 b exp − 3 2x 2πx c

470

10.


az a ∈ (b, c) intervallumon integrálható majoránsa. 2 Z ∞ a a ′′ exp − g (a) = 2s exp (−sx) √ dx = 2sg (a) . 3 2x 2πx 0

√ A differenciálegyenlet karakterisztikus polinomja λ2 − 2s = 0, amib˝ol λ1,2 = ± 2s, tehát az általános megoldás √ √ A exp a 2s + B exp −a 2s . De mivel L (0) = A + B = 1, L (∞) = 0, ami alapján33 √ L (s) = exp −a 2s .

√ Mivel az exp −a 2s analitikus módon kiterjeszthet˝o a Re (z) > 0 komplex számokra, ezért ha z ⊜ s + it, akkor 1 1 z 1 1/2 = log z = exp ln (|z|) exp i arg z ⊜ exp 2 2 2 |z| p arctan (t/s) arctan (t/s) 4 = s2 + t2 cos + i sin . 2 2 amib˝ol, felhasználva, hogy a Laplace-transzformált folytonos34 ϕ (t)

= M (it) = L (−it) = " √ p arctan arctan −t 4 s 2 2 + i sin = lim exp −a 2 s + t cos sց0 2 2 p π π = exp −a 2 |t| cos − sgnt + i sin − sgnt = 4 4 p = exp −a |t| (1 − i · sgnt) .

−t s

#!

=

2

10.26 Következmény.

Ha ξ és η függetlenek a1 , illetve a2 paraméter˝u Lévy-eloszlások, akkor a ξ + η a1 + a2 paraméter˝u Lévy-eloszlású változó. Bizonyítás: A függetlenség miatt a Laplace-transzformáltak összeszorzódnak, vagyis az összeg Laplace-transzformáltja √ √ √ exp −a1 2s exp −a2 2s = exp − (a1 + a2 ) 2s .

33 A −a√s kumulánsgenerátor függvény nem fejthet˝ o sorba a nulla pont körül, ezért a kumulánsoknak nincs értelme. 34 V.ö.: 10.11. következmény, 459. oldal. Az eredményt v.ö. a stabil eloszlások (15.39), 778. oldal. reprezentációjával. Ez alapján a Levy-eloszlás eloszlás éppen az α = 1/2, β = 1 paraméter˝u stabil eloszlás.

10.2.

471


Az eloszlást egyértelm˝uen meghatározza a Laplace-transzformáltja35 , ezért az összeg a1 + a2 paraméter˝u Lévy-eloszlás. 2 10.27 Példa.

Ha ξ 1 ∼ = N (0, σ 2 ) és a két változó független, akkor = N (0, σ 1 ) , ξ 2 ∼ ξ ξ ∼ η⊜q 1 2 = N (0, σ 3 ) , ξ 21 + ξ 22

ahol

1 1 1 = + . σ3 σ1 σ2

(10.15)

Mivel 1/η 2 = 1/ξ 21 + 1/ξ 22 , ezért ha az η eloszlása normális, akkor a (10.15) összefüggés következik a Lévy-eloszlás definíciójából36 , illetve az el˝oz˝o következményb˝ol. Az 1/η 2 Levy-eloszlású, amib˝ol az |η| eloszlása F (x)

Z ∞ 2 1 a a 1 √ > = dt = exp − 2 2 3 η x 2t 2πt 1/x2 2 2 Z x a u 2 √ a exp − du, 2 2π 0

= P (|η| < x) = P =

vagyis éppen a normális eloszlás abszolút értéke. Az η és a −η eloszlása azonos, ezért az η normális eloszlású, ugyanis ha például x < 0, akkor P (η < x)

= =

1 P (|η| > −x) = 2 2 2 Z ∞ 1 2a a u √ a exp − dx, 2 2π −x 2

amit x szerint deriválva kapjuk, hogy az η s˝ur˝uségfüggvénye az x < 0 tartományban 1 f (x) = a √ exp 2π

−a2 x2 2

. 2

10.28 Példa.

A többdimenziós standard Cauchy-eloszlás karakterisztikus függvénye q 2 2 ϕ (t1 , . . . , tn ) = exp − t1 + . . . + tn . 35 V.ö.: 36 V.ö.:

10.29. tétel, 473. oldal. (8.4) sor, 279. oldal.

472

10.

Tekintsük a

n

ξ1 ξ ,..., n ξ0 ξ0


vektort, ahol a (ξ k )k=0 változók függetlenek és N (0, 1) eloszlásúak37 . A τ ⊜ 1/ξ 20 Lévy-eloszlású38 , így a normális eloszlás karakterisztikus függvénye, illetve a teljes várható érték tétel alapján !! X ξ k tk ϕ (t1 , . . . , tn ) ⊜ M exp i = ξ0 k !! ! X ξ = = M M exp i tk k | ξ 0 ξ0 k !! 1 1 X 2 = M exp − 2 tk = 2 ξ0 k #!! " 1X 2 tk = = M exp −τ · 2 k   sX t2k  . = exp − k

2

10.3. Unicitási tételek A függvénytranszformációk alkalmazását els˝osorban az indokolja, hogy egyértelm˝uen reprezentálják az eloszlást. Az unicitási tételek számos bizonyítása ismert. Minden bizonyítás magja valamilyen s˝ur˝uségi tétel39 , és a gondolatmenet lényege, hogy a mérhet˝o függvények el˝oállíthatók a transzformációban szerepl˝o függvények, illetve a bel˝olük képzett polinomok határértékeként. A gondolatmenet absztrakt lényege a következ˝o: Legyen (G, +) egy csoport, és µ a csoporton értelmezett mérték. Legyen P a G karaktereinek egy alkalmas halmaza, például ha a G topologikus csoport, akkor P legyen a folytonos karakterek halmaza.40 Világos, hogy ha Λ1 és Λ2 karakter, akkor a Λ1 Λ2 is karakter, ezért a karakterek π rendszert alkotnak41 . A µ mérték esetében 37 V.ö.:

8.12 példa, 292 oldal. (8.4) sor, 279. oldal. A feltételes várható érték kiszámítását lásd 9.29. példa, 339. oldal. 39 Legtöbbször a Stone—Weierstrass-tétel. 40 Emlékeztetünk, hogy egy Λ akkor karaktere a csoportnak, ha Λ (x + y) = Λ (x) Λ (y) , vagyis ha a csoportm˝uveletet szorzásba viszi át. A karakterek tehát egyfajta absztrakt exponenciális függvények. Gyakran fel szokás még tételezni, hogy a Λ értékészlete a {|z| = 1} komplex egységkör, de az alábbi gondolatmenet szempontjából ez túl megszorító, és a karakter kifejezést most némiképpen szabadon használjuk, mint a csoport leképezését valamilyen „kanonikus” csoportra, ahol a csoportm˝uveletet szorzással jelöljük. Vegyük észre, hogy a duális lineáris térrel analóg fogalomról van szó. 41 Feltéve, hogy az egyéb megszorítások, mint például a folytonoság meg˝ orz˝odik. Implicite felhasználtuk, hogy a szorzás például kommutatív, illetve hogy a karakter definíciójában szerepl˝o „szorzásból” valahogyan biztosítható, hogy a P valóban szorzás zárt. 38 V.ö.:

10.3.

473

UNICITÁSI TÉTELEK

R értelmezhet˝o a µ b (Λ) ⊜ G Λdµ transzformált, amely tekinthet˝o a µ absztrakt Fouriertranszformáltjának. Ha a P elemei korlátosak, akkor a Meyer-tétel miatt a µ b = νb egyenl˝oségb˝ol következik, hogy a µ és a ν megegyezik a σ (P) σ-algebrán, amib˝ol persze még nem következik, hogy µ = ν, ugyanis nem világos, hogy a σ (P) milyen kapcsolatban áll az eredeti σ-algebrával.

10.3.1.

Laplace-transzformáció egyértelmusége ˝

Mivel a Laplace-transzformált esetleg csak az s = 0 pontban értelmes, az unicitás kérdése általában nem vethet˝o fel, vagyis általában a Laplace-transzformált nem határozza meg az eloszlást. Éppen ezért igen érdekes a következ˝o állítás: 10.29 Tétel. (Unicitási tétel)

Ha ξ, η ≥ 0, és a valós Laplace-transzformáltjaik megegyeznek, akkor az eloszlásfüggvényeik is megegyeznek. Bizonyítás: Valamivel többet igazolunk. Legyenek µ és ν a nem negatív számokra koncentrálódott véges mértékek, és tegyük fel, hogy minden s ≥ 0 számra Z ∞ Z ∞ exp (−sx) dµ (x) = exp (−sx) dν (x) . 0

0

Jelölje P az exp (−sx) , s ≥ 0 alakú függvényeket. A P evidens módon multiplikatív függvénycsalád. Ha L az olyan korlátos f függvények összessége, amelyekre Z ∞ Z ∞ f dµ = f dν, (10.16) 0

0

akkor az L λ rendszer, ugyanis a mértékek végessége, és az s = 0 miatt 1 ∈ L, és az L evidens módon vektortér, és a monoton konvergencia tétel miatt ha 0 ≤ fn ր f és fn ∈ L, akkor f ∈ L. A Meyer-tétel42 miatt az L tartalmazza az exp (−sx) alakú függvények nívóhalmazainak karakterisztikus függvényeit, vagyis ha x ≥ 0, akkor µ (([x, ∞))) = ν ([x, ∞)) , amib˝ol az állítás evidens. 2 Érdemes felhívni a figyelmet arra, hogy tetsz˝oleges, a nem negatív számokra koncentrálódott Borel-mérték esetén definiálható a Laplace-transzformált. Példaként gondoljunk az Z ∞ 1 = exp (−sx) dx, s > 0 s 0 el˝oállításra, ahol a transzformált mérték a [0, ∞) Lebesgue-mértéke. Ha a mérték nem véges, akkor persze fel kell tételezni, hogy egy ilyen el˝oállítás létezik. A tételben a valószín˝uségszámítási háttér csak annyiban érdekes, hogy garantálja a transzformáció 42 V.ö.:

2.43. állítás, 46. oldal.

474

10.


létezését, és az állítás szempontjából még annak sincs jelent˝osége, hogy a transzformáció a teljes [0, ∞)-en, vagy csak valamilyen (a, ∞) részhalmazán véges, ugyanis az exp (−sx) , s ≥ a > 0 alakú függvények korlátos π-rendszert alkotnak, amelyekre a generált σ-algebra éppen a B ([0, ∞)) . Megjegyezzük, hogy némiképpen azonban óvatosan kell eljárni, ugyanis az olyan korlátos f függvények, amelyekre teljesül a (10.16) nem feltétlenül λ-rendszer, ugyanis ha a mértékek nem végesek, akkor 1 ∈ / L. Ha azonban L az olyan korlátos f függvények halmaza, amelyekre Z ∞ Z ∞ exp (−s0 x) f (x) dµ (x) = exp (−s0 x) f (x) dν (x) < ∞, 0

0

ahol s0 ≥ a fix elem, akkor a Meyer-tétel már alkalmazható, tehát tetsz˝oleges B ∈ B ([0, ∞)) halmazra Z Z µ e (B) ⊜ exp (−s0 x) dµ (x) = exp (−s0 x) dν (x) ⊜ νe (B) < ∞, B

B

következésképpen,

µ (B) =

Z

exp (s0 x) de µ (x) =

Z

exp (s0 x) de ν (x) = ν (B) .

B

B

10.30 Példa.

Az n-dimenziós, r sugarú gömb térfogata

2

2π n/2 n r . n · Γ n2

Tekintsük a g (x) ⊜ kxk2 leképezést, amely az Rn teret a [0, ∞) félegyenesre képezi. Az Rn -en vegyük a λn Lebesgue-mértéket, és számoljuk ki a ν (A) ⊜ λn g −1 (A)

indukált mértéket. A normális eloszlás s˝ur˝uségfüggvénye, és az absztrakt helyettesítéses integrálás formulája alapján Z √ n 1 2 σ 2π = exp − 2 kxk2 dλn (x) = 2σ Rn Z ∞ 1 = exp − 2 u dν (u) . 2σ 0 Ebb˝ol a ν Laplace-transzformáltja az s=

1 2σ 2

helyettesítéssel L (s) = π n/2 s−n/2 .

10.3.

475

UNICITÁSI TÉTELEK

Ugyanakkor a gamma függvény elemi tulajdonságai alapján Z ∞ Z ∞ n −1 n u 2 1 x 2 −1 exp (−sx) dx = exp (−u) du = s s 0 0 n n = s− 2 Γ . 2

A Laplace-transzformáció egyértelm˝usége miatt a ν mértékhez tartozó „s˝ur˝uségfüggvény” π n/2 n −1 x 2 . g (x) ⊜ Γ n2

Az x 7→ kxk2 által indukált mérték h s˝ur˝uségfüggvényét a transzformált valószín˝uségi változók esetében látott módon számolva π n/2 n−2 2π n/2 n−1 x h (x) = g x2 · 2x = · 2x = . n x Γ 2 Γ n2

Ebb˝ol az n dimenziós Bn (r) r sugarú gömb Lebesgue-mértéke λn (Bn (r)) =

Z

r

0

hdλ =

2π n/2 Γ n2

Z

r

xn−1 dx =

0

2π n/2 n r . n · Γ n2

Ha n = 2, akkor a képlet értéke πr2 , ha n = 3, akkor (4/3) πr3 .

2

10.3.2.

A valós Laplace-transzformáció inverziós formulája

10.31 Állítás. (Inverziós formula)

Ha ξ ≥ 0, és a ξ eloszlásfüggvénye F, akkor az F minden x folytonossági pontjában F (x) = lim

s→∞

sx k X (−s)

k=0

k!

L(k) (s) .

(10.17)

Bizonyítás: A λ paraméter˝u π λ Poisson-eloszlás várható értéke és varianciája λ. A Csebisev-egyenl˝otlenség alapján πλ − λ π λ − M (π λ ) 1 D2 (π λ ) P = 2, ≥ ε = P ≥ ε ≤ D2 (π λ ) λ ε2 D4 (π λ ) λε p

amely nullához tart ha λ → ∞, vagyis π λ /λ → 1, ezért ha t < 1, akkor π π π λ λ λ
ha viszont t > 1, akkor π π π λ λ λ P
476

10.


tehát ha Gλ (x) ⊜ P

π

λx X λk exp (−λ) , < x = P (π λ < λx) = λ k! λ

k=0

akkor43 lim Gλ (x) =

λ→∞

0 ha 1 ha

x<1 . x>1

A (10.4) sor miatt L(k) (s) =

Z

∞

k

(−t) exp (−st) dF (t) .

0

Ha az F folytonos az x pontban44 , akkor a majorált konvergencia tétel alapján lim

s→∞

sx k X (−s)

k=0

k!

L(k) (s)

Z

sx ∞X

k

(st) exp (−st) dF (t) = s→∞ 0 k! k=0 Z x dF (t) = Gst = F ({0}) + lim s→∞ t>0 t Z x lim Gst = F ({0}) + dF (t) = s→∞ t Zt>0 = F ({0}) + χ(0,x) dF = =

lim

=

Z

0

(0,∞)

∞

χ[0,x) dF = F (x) . 2

10.32 Példa.

Ellen˝orizzük a (10.17) összefüggést az exponenciális eloszlásra! A λ paraméter˝u exponenciális eloszlás momentumgeneráló függvénye45 M (s) =

λ , λ−s

L (s) =

λ . λ+s

amib˝ol a Laplace-transzformáltja

43 Ez speciális esete annak, hogy a sztochasztikus konvergenciából következik a gyenge konvergencia. A gyenge konvergenciával, illetve a gyenge és a sztochasztikus konvergencia kapcsolatával kés˝obb részletesen fogunk foglalkozni. 44 Erre azért van szükség, mivel alább az x = t pontban a G (x/t) konvergenciájáról semmit sem lehet st mondani, az {x} pont F mértéke azonban nulla. 45 V.ö. 10.19. példa, 465. oldal.

10.3.

477

UNICITÁSI TÉTELEK

Indukcióval könnyen igazolható, hogy k

L(k) (s) = λ

(−1) k! k+1

(λ + s)

.

Ha x ≤ 0, akkor a (10.17) evidens módon nulla. Ha x > 0, akkor lim

s→∞

sx k X (−s)

k=0

k!

L(k) (s)

sx X

1 = k+1 (λ + s) k=0 k sx s λ X = lim = s→∞ λ + s λ+s =

lim λ

s→∞

sk

k=0

[sx]+1

−1 λ (s/ (λ + s)) = s→∞ λ + s s/ (λ + s) − 1 [sx]+1 s = = 1 − lim s→∞ λ + s [sx]+1 λx = 1 − lim 1 − = s→∞ λx + sx = 1 − exp (−λx) . =

lim

2

10.3.3.

Fourier-transzformáció egyértelmusége ˝

A Fourier-transzformáció egyik alapvet˝o tulajdonsága, amelyet már ezidáig is többször használtunk, hogy meghatározza az eloszlásfüggvényt, vagyis különböz˝o mértékekhez különböz˝o Fourier-transzformáltak tartoznak. 10.33 Tétel. (Unicitási tétel)

Ha µ és ν az Rm téren értelmezett két el˝ojeles mérték, és a hozzájuk tartozó ϕ, illetve ψ Fourier-transzformációk megegyeznek, akkor a µ és ν mértékek is megegyeznek. Bizonyítás: Az indoklás lényegében azonos a Laplace-transzformáltra adott bizonyítással. Ha P osztály az x 7→ exp (i (t, x)) függvények halmaza46 , az L pedig az olyan f korlátos függvények összessége, amelyekre Z Z f dµ = f dν, Rn

Rn

akkor evidens módon ismételten alkalmazhatjuk a Meyer-féle π-λ tételt, következésképpen az L tartalmazza a trigonometrikus polinomok által generált σ-algebrára nézve mérhet˝o függvényeket, vagyis az összes Borel-halmazt47 . 2 46 A Meyer-tételben szerepl˝ o függvényeknek valós érték˝unek kell lenni, így az állítás közvetlenül az exp (i (t, x)) függvényekre nem alkalmazható, de alkalmazható a valós és a komplex részre, illetve a trigonometrikus polinomok családjára. 47 V.ö.: 17.4. példa, 872. oldal. A bizonyítás értelemszer˝ u módosítással átvihet˝o az Rn térre. Elég például Q B (R) . arra gondolni, hogy B (Rn ) = n k=1

478

10.


10.34 Példa.

A ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n változók pontosan akkor függetlenek, ha a ϕ együttes karakterisztikus függvényük megegyezik az egyes változók ϕi karakterisztikus függvényének szorzatával, vagyis48 n Y ϕi (ti ) . ϕ (t1 , t2 , . . . , tn ) = i=1

Ha a ξ k változók függetlenek, akkor ϕ (t1 , . . . tn ) ⊜ M exp

n X

itk ξ k

k=1

=

n Y

!!

M (exp (itk ξ k )) =

=M

n Y

n Y

!

exp (itk ξ k )

k=1

=

ϕk (tk ) .

k=1

k=1

Megfordítva, ha az együttes karakterisztikus függvény szorzat alakba írható, akkor a peremeloszlások segítségével képzett G (x1 , . . . , xn ) = F1 (x1 ) · · · Fn (xn ) eloszlásfüggvényre a Fubini-tételt használva ϕF (t)

=

n Y

ϕk (tk ) =

k=1

k=1

=

Z

Rn

n Z Y

exp (itk xk ) dFk (xk ) =

R

exp (i (t1 x1 + . . . + tn xn )) dG (x1 , . . . , xn ) ⊜ ϕG (t) .

Az unicitási tétel alapján F = G, vagyis az F is szorzat alakra bomlik, tehát a ξ k változók függetlenek. 2

10.3.4.

Eloszlásfüggvényekre vonatkozó inverziós formula

Mivel a függvénytranszformáltak egyértelm˝uen meghatározzák az eloszlást, felmerül a kérdés, miként számolható vissza az eloszlás a Fourier-transzformációból. Ezt tartalmazza az úgynevezett inverziós formula. 10.35 Tétel. (Inverziós formula)

A ϕ Fourier-transzformált és a hozzá tartozó F eloszlás között a következ˝o összefüggések érvényesek: 1. Ha a és b az F eloszlásfüggvény folytonossági pontjai, akkor 1 F (b) − F (a) = lim T →∞ 2π 48 V.ö.:

7.30. állítás, 256. oldal.

Z

T

−T

exp (−ita) − exp (−itb) ϕ (t) dt. it

(10.18)

10.3.

479

UNICITÁSI TÉTELEK

2. Az állítás akkor is érvényben marad, ha az F egy el˝ojeles mérték eloszlásfüggvénye. 3. Ha a ϕ integrálható, akkor az F -nek létezik f folytonos, korlátos s˝ur˝uségfüggvénye, és minden x valós számra Z 1 f (x) = exp (−itx) ϕ (t) dt. (10.19) 2π R 4. Ha az F rácsos eloszlású, vagyis olyan változó eloszlásfüggvénye, amely49 az (a + bn)n∈Z értékeket pn valószín˝uséggel veszi fel, akkor pn =

b 2π

Z

π/b

exp (−it (a + bn)) ϕ (t) dt,

−π/b

n ∈ Z,

speciálisan, ha az F az egész számokra koncentrálódik, akkor Z π 1 pn = exp (−itn) ϕ (t) dt, n ∈ Z. 2π −π

(10.20)

Bizonyítás: Az inverziós formula a nevezetes50 Z →∞ sin x dx = π →−∞ x Dirichlet-integrálra épül. Mivel az integrandus páros függvény, ezért Z →∞ π sin x dx = , x 2 0

(10.21)

vagyis Z

→∞

0

sin x dx ⊜ lim T →∞ x

Z

0

T

π sin x dx ⊜ lim S (T ) = , T →∞ x 2

ahol S (T ) ⊜

Z

0

1. Tekintsük az IT

⊜

Z

T

−T T

=

Z

−T

49 Értelemszer˝ uen 50 Emlékeztetünk,

értelemben létezik.

T

(10.22)

sin x dx. x

exp (−ita) − exp (−itb) ϕ (t) dt = it Z exp (−ita) − exp (−itb) exp (itx) dF (x) dt it R

feltételezzük, hogy b > 0. hogy a Dirichlet-integrál nem abszolút konverges, ezért az integrál csak improprius

480

10.


integrált. A Fubini-tétel segítségével a két integrált fel akarjuk cserélni. Mivel az integrál végés mérték felett értelmezett, elég megmutatni, hogy az integrandus korlátos. Ez azonban teljesül hiszen exp (−ita) − exp (−itb) = exp (−ita) 1 − exp (−it (b − a)) = exp (itx) it it 1 − exp (−it (b − a)) ≤ = (b − a) t (b − a) ≤ (b − a) , ugyanis ha u valós, akkor 2

|exp (iu) − 1|

= =

2

(cos u − 1) + sin2 u = cos2 u − 2 cos u + 1 + sin2 u = Z u Z u 2 (1 − cos u) = 2 sin tdt ≤ 2 tdt = u2 . 0

0

Az integrálok felcserélése után, felhasználva, hogy a koszinusz páros függvény, és ezért51 Z T cos t (x − a) − cos t (x − b) dt, 0 = t −T Z Z T sin t (x − a) sin t (x − b) − dtdF (x) . IT = t t R −T Az u = t |x − a| helyettesítéssel Z T sin t (x − a) dt = t −T = = ahol

Z

T

sin t (x − a) dt = t 0 Z T |x−a| sin u du = 2 · sgn (x − a) u 0 2 · sgn (x − a) S (T |x − a|) ,

2

  −1 ha x < 0 0 ha x = 0 sgn (x) ⊜  1 ha x > 0

az el˝ojel függvény. Ezt felhasználva Z IT = 2 sgn (x − a) S (T |x − a|) − sgn (x − b) S (T |x − b|) dF (x) . R

Az S (T ) a [0, ∞) halmazon folytonos, és konvergens ha T → ∞, következésképpen korlátos. Mivel az integrandus korlátos függvény, a majorált konvergencia tétel, és a lim S (T |x − a|) = lim S (T |x − b|) =

T →∞ 51 A

T →∞

π 2

l’Hôpital-szabállyal könnyen ellen˝orizhet˝o, hogy az integrandus határértéke a nulla pontban nulla.

10.3.

481

UNICITÁSI TÉTELEK

alapján 1 IT T →∞ 2π lim

Z 1 πsgn (x − a) πsgn (x − b) − dF (x) = π R 2 2 Z 1 = sgn (x − a) − sgn (x − b) dF (x) ⊜ 2 Z R ⊜ ψ (x, a, b) dF (x)

=

R

ahol

 0      1/2 1 ψ (a, b, x) ⊜   1/2    0

xb

ha ha ha ha ha

Ha az F függvény folytonos az a és b pontokban, akkor az integrál értékét nem befolyásolja az integrandus értéke az a, b pontokban, tehát lim

T →∞

1 IT = F (b) − F (a) , 2π

(10.23)

vagyis az els˝o összefüggés teljesül. 2. Mivel tetsz˝oleges µ el˝ojeles mérték F eloszlásfüggvénye felírható α+ F+ + α− F− módon52 , ahol az F+ és az F− valószín˝uségi mértékek, α+ és α− valós számok, ezért a (10.18) akkor is teljesül, ha az F egy el˝ojeles mérték eloszlásfüggvénye. 3. Ha a ϕ karakterisztikus függvény integrálható, vagyis Z |ϕ (t)| dt < ∞, R

akkor az

exp (−ita) − exp (−itb) ≤ (b − a) it

miatt az

Z

R

(10.24)

exp (−ita) − exp (−itb) ϕ (t) dt it

integrál létezik. A (10.23) alapján, ha a és b az F folytonossági pontjai, akkor Z exp (−ita) − exp (−itb) 1 ϕ (t) dt, F (b) − F (a) = 2π R it amib˝ol a (10.24) miatt |F (b) − F (a)| ≤ 52 Emlékeztetünk,

b−a 2π

Z

R

hogy az el˝ojeles mértékek mindig végesek.

|ϕ (t)| dt.

(10.25)

482

10.


Mivel az F folytonossági pontjai s˝ur˝uek az R-ben, és mivel az F balról folytonos, ezért a (10.25) minden pontban teljesül, tehát az F folytonos. De ekkor minden x és h 6= 0 számokra Z exp (−itx) − exp (−it (x + h)) 1 F (x + h) − F (x) = ϕ (t) dt. h 2π R ith Mivel

exp (−itx) − exp (−it (x + h)) ϕ (t) ≤ |ϕ (t)| ith

és a feltételezés alapján a ϕ integrálható, ezért a majorált konvergencia tétel alapján a határérték bevihet˝o az integrál mögé, és 1 F (x + h) − F (x) = h→0 h 2π lim

Z

exp (−itx) ϕ (t) dt,

R

tehát az F minden x pontban deriválható. A karakterisztikus függvény folytonosságának igazolásával analóg módon megmutatható, hogy az Z 1 ′ f (x) ⊜ F (x) = exp (−itx) ϕ (t) dt 2π R függvény minden x pontban folytonos. Az f folytonosságát felhasználva a Newton— Leibniz-formula alapján Z

a

b

f (x) dx = F (b) − F (a) ,

vagyis az f az F s˝ur˝uségfüggvénye. Mivel Z Z 1 1 |f (x)| ≤ |exp (−itx) ϕ (t)| dt ≤ |ϕ (t)| dt, 2π R 2π R ezért az f korlátos. 4. Ha az F eloszlás rácsos, akkor a karakterisztikus függvénye ϕ (t) =

X k

pk exp (itxk ) =

X

pk exp (it (a + bk)) .

k

Szorozzuk be mind aP két oldalt exp (−it (a + bn))-nel, és integráljunk a [−π/b, π/b] szakaszon. Mivel a k pk numerikus sor konvergenciája miatt a függvénysor t-ben egyenletesen konvergál, a [−π/b, π/b] integrációs tartomány pedig véges, az integrálást és az összegzést felcserélhetjük: Z

π/b

−π/b

ϕ (t) exp (−it (a + bn)) dt =

2π pn , b

10.3.

483

UNICITÁSI TÉTELEK

ugyanis ha n = k, akkor az integrandus 1, minden más esetben pedig Z

π/b

−π/b

exp (it (a + bk − it (a + bn))) dt

= =

Z

π/b

−π/b Z π

1 b

−π

exp (itb (k − n)) dt = exp (iu (k − n)) du = 0.

Átrendezve pn =

b 2π

Z

π/b

ϕ (t) exp (−it (a + bn)) dt,

−π/b

n ∈ Z. 2

10.36 Példa.

Helyettesíthet˝o-e a (10.18) összefüggésben a határérték egy az R halmazon vett integrállal? Ha az F eloszlás a 0 pontra koncentrálódik, akkor minden t-re ϕ (t) = M (exp (it0)) = 1, és ha F (b) − F (a) =

1 2π

Z

ϕ (t)

Z

sin t dt = π t

R

exp (−ita) − exp (−itb) dt it

lenne, akkor az a = −1, b = 1 választással Z Z 1 exp (it) − exp (−it) 2 sin t 1 dt = dt, 1= 2π R it 2π R t lenne. A

R

Dirichlet-integrál nem abszolút konvergens, és így az integrál Lebesgue értelemben nem létezik. 2 10.37 Példa.

Különböz˝o eloszlások karakterisztikus függvényei megegyezhetnek egy pozitív hosszúságú véges intervallumon53 . Tekintsük az

2

f (x) ⊜

2 (sin (x/2)) 1 − cos x = πx2 πx2

(10.26)

53 Ebb˝ ol a szempontból a Fourier és a Laplace-transzformáltak különböznek. Ha két Laplace-transzformált megegyezik egy nyílt szakaszon, akkor az analitikus kiterjesztéseik is megegyeznek, tehát a két függvény is megegyezik.

484

10.


s˝ur˝uségfüggvényt. A karakterisztikus függvénye +

ϕ (t) = (1 − |t|) ,

(10.27)

ugyanis a s˝ur˝uségfüggvényekre vonatkozó inverziós formula alapján Z Z 1 1 1 1 − cos x f (x) = . ϕ (t) exp (−itx) dt = (1 − t) cos txdt = 2π R π 0 πx2 Más oldalról a . . . , −2π, −π, 0, π, 2π, . . . pontokra koncentrálódó p0 p2kπ pπ(2k+1)

⊜ 1/2 ⊜ 0 ⊜

2 π2

2

(2k + 1)

eloszlás54 karakterisztikus függvénye a |t| ≤ 1 tartományon szintén 1 − |t| , ugyanis a rácsos eloszlásokra vonatkozó inverziós formula alapján Z 1 Z 1 π 1 p0 = (1 − |t|) cos (πt0) dt = (1 − t) dt = . 2π −1 2 0 Z 1 Z 1 π pn = (1 − |t|) cos (πtn) dt = (1 − t) cos πtndt = 2π −1 0 1 Z 1 sin πtn 1 1 1 = (1 − t) sin πtndt = + 2 [− cos πtn]0 = πn πn (πn) 0 0 0 ha n = 2k . = 2 2/ [π (2k + 1)] ha n = 2k + 1 2 10.38 Példa.

A konvolúcióra nem igaz a törlési szabály, vagyis ha F ∗ G = H ∗ G, akkor nem feltétlenül F = H. Ha F = G az el˝oz˝o példában szerepl˝o folytonos eloszlás, és H az ott szerepl˝o diszkrét eloszlás, akkor az F ∗ G és a H ∗ G karakterisztikus függvénye egyaránt 2 (1 − |t|) ha |t| ≤ 1 , 0 ha |t| ≥ 1 tehát a két eloszlás megegyezik, ugyanakkor F 6= H. 54 V.ö.

1.11. példa 11. oldal.

2

10.3.

485

UNICITÁSI TÉTELEK

10.3.5.

Sur ˝ uségfüggvényekre ˝ vonatkozó inverziós formula

A s˝ur˝uségfüggvényekre vonatkozó (10.19) inverziós formula jelent˝os korlátja, hogy csak folytonos s˝ur˝uségfüggvényekre használható. Mit lehet mondani nem folytonos s˝ur˝uségfüggvények esetén? 10.39 Példa.

Vizsgáljuk meg az egyenletes eloszlás s˝ur˝uségfüggvényére vonatkozó inverziós formulát! A [−1, 1] intervallumon egyenletes eloszlás s˝ur˝uségfüggvénye nem folytonos, és a ϕ (t) ⊜

Z

1

−1

1 1 exp (itx) dx = 2 2

Z

1

cos txdx =

−1

sin t t

RT karakterisztikus függvénye az R egyenesen nem is integrálható. Ha a limT →∞ −T R határértékre bevezetjük a v.p. R jelölést55 , valamint f jelöli az inverziós formula formális alkalmazásával kapott függvényt, akkor Z 1 sin t f (x) ⊜ v.p. exp (−ixt) dt = 2π t ZR sin t sin xt sin t cos xt 1 v.p. −i dt = = 2π t t ZR sin t cos xt 1 v.p. dt = = 2π t R Z sin (1 + x) t sin (x − 1) t 1 v.p. − dt. = 4π t t R Mivel v.p

Z

R

ezért

sin αt dt = πsgnα, t

  1/2 ha |x| < 1 0 ha |x| > 1 . f (x) =  1/4 ha |x| = 1

2

10.40 Példa.

Vizsgáljuk meg az exponenciális eloszlásra vonatkozó inverziós formulát! Jelölje f a λ paraméter˝u exponenciális eloszlás s˝ur˝uségfüggvényét. Az f az x = 0 pontban nem folytonos. Az f -hez tartozó karakterisztikus függvény ϕ (t) ⊜

λ . λ − it

55 A v.p. (valeur pricipale) a f˝ oértékben való konvergenciát R jelenti. Érdemes hangsúlyozni, hogy minden páratlan függvény f˝oértékben vett integrálja 0. Például v.p. R xdx = 0.

486

10.


Ha x = 0, akkor g (0) ⊜ = =

Z 1 λ v.p. dt = exp (−it0) ϕ (t) dt ⊜ 2π λ − it R R Z Z 1 1 λ2 λ (λ + it) v.p. dt = dt = 2π 2π R λ2 + t2 λ 2 + t2 Z ∞R λ f (0+) + f (0−) λ 1 du = = . 2π −∞ 1 + u2 2 2 1 v.p. 2π

Z

Tegyük fel, hogy x > 0. 1 v.p. 2π

Z

λ exp (−itx) dt = λ − it R Z T exp (x (λ − it)) λ exp (−λx) d (λ − it) = = lim T →∞ 2πi λ − it −T Z exp (xz) λ exp (−λx) dz, = lim T →∞ 2πi z γ(T )

g (x) ⊜

ahol γ jelöli az y tengellyel párhuzamos x = λ egyenesen lev˝o, x-tengelyre szimmetrikus 2T hosszú szakaszt. Ha Γ jelöli a (λ, T ) , (λ, −T ) , (−T, −T ) , (−T, T ) pontok által meghatározott négyzetet, akkor a Cauchy-féle integrálformula szerint 1 = exp (x0) =

1 2πi

Z

Γ

exp (xz) dz. z−0

Könnyen látható, hogy ha T → ∞, akkor a téglalap „új” szakaszainak hozzájárulása az integrálhoz nullához tart56 , így ha x > 0, akkor g (x) = λ exp (−λx) = f (x) . Ha x < 0, akkor a Γ legyen a (λ, T ) , (λ, −T ) , (T, −T ) , (T, T ) . Az exp (xz) /z a Γ görbén belül analitikus, így az integrál értéke nulla. Mivel T → ∞ esetén az „új” íveken vett integrálok ismét nullához tartanak, ezért x < 0 esetén g (x) = f (x) = 0. 2 A példák távolról sem egyediek. Legyen f szakaszonként folytonos, integrálható függvény. Tekintsük az f Z ϕ (t) ⊜ f (x) exp (itx) dx R

56 Vegyük észre, hogy az x-tengellyel párhuzamos görbék egymás konjugáltjai, így az integrál értéke ezeken az íveken tisztán képzetes.

10.3.

487

UNICITÁSI TÉTELEK

Fourier-transzformáltját. Az inverziós formula bizonyításakor már bemutatott gondolatmenetet megismételve IT (x) ⊜ ⊜ = = = = =

1 2π 1 2π 1 2π

Z

T

ϕ (t) exp (−itx) dt ⊜

−T Z T −T

Z

Z

f (u) exp (itu) du exp (−itx) dt =

R

f (u)

R

Z

T

exp (itu) exp (−itx) dtdu =

−T Z T

Z 1 f (u) cos t (u − x) dtdu = 2π R −T Z 1 sin T (u − x) f (u) du = π R u−x Z sin T v 1 f (v + x) dv = π R v Z ∞ 1 sin T v dv. [f (x + v) + f (x − v)] π 0 v

Tegyük fel, hogy léteznek az f (x ± 0) jobb, illetve bal oldali határértékek valamint léteznek a f (x ± h) − f (x ± 0) lim hց0 h deriváltak. Megmutatjuk, hogy ha T → ∞, akkor a f (x + 0) + f (x − 0) ∆ (T ) ⊜ IT (x) − = 2 Z ∞ f (x + v) − f (x + 0) 1 sin T vdv + = π 0 v Z ∞ 1 f (x − v) − f (x − 0) + sin T vdv π 0 v kifejezés nullához tart. Az utolsó két integrál azonosan kezelhet˝o, ezért csak az els˝ovel ′ foglalkozunk. Az f+ (x) egyoldali derivált létezése miatt az Z

0

1

f (x + v) − f (x + 0) sin T vdv v

integrálban a v 7→

f (x + v) − f (x + 0) v

függvény a [0, 1]-en szakaszonként folytonos57 , tehát integrálható, így ha T → ∞, akkor a Riemann—Lebesgue-lemma miatt az integrál nullához tart. Ugyancsak a Riemann— 57 Felhasználtuk,

hogy az f szakaszonként folytonos.

488

10.


Lebesgue-lemma miatt, felhasználva, hogy az [1, ∞) szakaszon az f (x + v) /v integrálható58 Z ∞ f (x + v) lim sin T vdv = 0. T →∞ 1 v Végezetül a Dirichlet-integrál konvergenciája miatt Z

∞

1

f (x + 0) sin T vdv v

= f (x + 0) = f (x + 0)

Z

∞

Z1 ∞ T

sin T v dv = v sin w dw → 0. w

Összefoglalva: 10.41 Állítás. (Fourier-féle integrálformula)

Ha a számegyenesen értelmezett integrálható f függvény az x pontban rendelkezik jobb ′ valamint bal oldali határértékekkel és léteznek az f± (x ± 0) deriváltak59 , akkor60 f (x + 0) + f (x − 0) 2

= ⊜ ⊜ =

1 v.p. 2π

Z

1 T →∞ 2π lim

1 T →∞ 2π lim lim

T →∞

ϕ (t) exp (−itx) dt ⊜

(10.28)

R

1 2π

Z

T

−T Z T −T Z T −T

ϕ (t) exp (−itx) dt ⊜ Z

∞

f (y) exp (ity) dy exp (−itx) dt =

−∞ Z ∞ −∞

f (y) exp (it (y − x)) dydt.

10.42 Következmény. (Mellin-formula)

Tegyük fel, hogy a számegyenesen értelmezett f függvényre az x pontban léteznek az ′ f (x ± 0) határértékek és az f± (x ± 0) jobb és bal oldali deriváltak. Ha a Re (z) > a félsíkban létezik az f Z M (z) ⊜ exp (−zt) f (t) dt R

komplex Laplace-transzformációja, akkor tetsz˝oleges s > a esetén 1 f (x + 0) + f (x − 0) = v.p. 2 2πi

Z

s+i∞

s−i∞

exp (xz) M (z) dz,

ahol az integrál az y-tengellyel párhuzamos x = s egyenes mentén, f˝oértékben vett improprius vonalintegrálként értelmezend˝o. 58 Ugyanis

az f integrálható. feltétel általánosítható, de a legtöbb alkamazásban ez a megkötés is teljesen kielégít˝o. 60 Értelemszer˝ uen ϕ az f integrálhatósága miatt létez˝o Fourier-transzformált. 59 A

10.3.

489

UNICITÁSI TÉTELEK

Bizonyítás: Vezessük be a g (u) ⊜ exp (−su) f (u) ,

s>a

függvényt. A g integrálható, így a g-re érvényes a (10.28) Fourier-formula. Ha felülvonással a komplex konjugáltat jelöljük, akkor

= = = = ⊜ = ⊜

g (x + 0) + g (x − 0) = 2 Z Z ∞ ∞ 1 v.p. g (y) exp (it (y − x)) dydt = 2π −∞ −∞ Z ∞Z ∞ 1 v.p. g (y) exp (it (y − x)) dydt = 2π −∞ −∞ Z ∞Z ∞ 1 v.p. g (y) exp (it (y − x))dydt = 2π −∞ −∞ Z ∞Z ∞ 1 v.p. g (y) exp (it (x − y)) dydt ⊜ 2π −∞ −∞ Z ∞Z ∞ 1 v.p. f (y) exp (−sy) exp (it (x − y)) dydt = 2π −∞ −∞ Z ∞ Z ∞ 1 v.p. exp (itx) f (y) exp (−y (s + it)) dydt ⊜ 2π −∞ −∞ Z ∞ 1 v.p. exp (itx) M (s + it) dt. 2π −∞

Ebb˝ol f (x + 0) + f (x − 0) 2

= =

1 v.p. 2π

Z

1 v.p. 2πi

∞

exp ((s + it) x) M (s + it) dt = (10.29)

−∞ Z s+i∞ s−i∞

exp (xz) M (z) dz. 2

10.43 Példa.

Ellen˝orizzük a Mellin-formulát a Lévy-eloszlás 2 a a , exp − f (x) ⊜ √ 3 2x 2πx

x > 0, a > 0

s˝ur˝uségfüggvényére. Ha az x ≤ 0 számokra f (x) ⊜ 0, akkor az f tekinthet˝o a teljes számegyenesen deriválható függvénynek. Emlékeztetünk61 , hogy az f Laplace-transzformáltja √ L (s) ⊜ exp −a 2s , s ≥ 0, 61 V.ö.:

10.25. példa, 468. oldal.

490

10.


amely az U ⊜ C \ {x ≤ 0, y = 0} egyszeresen összefügg˝o tartományban analitikus függvény. A Mellin-formula szerint f (x) =

1 i2π

Z

1+i∞

exp (zx) L (z) dz.

1−i∞

A Cauchy-féle integrálformula segítségével ezt közvetlen számolással is ellen˝orizhetjük. Ha x > 0, akkor tekintsük a következ˝o Γ ⊆ U zárt görbét: Az (1, −n) pontból az y-tengellyel párhuzamosan menjünk az (1, n) pontba, majd az x-tengellyel párhuzamosan menjünk a (−n, n) pontba, majd ismét az y-tengellyel párhuzamosan menjünk a (−n, 1/n) pontba. Ezt követ˝oen a számegyenessel párhuzamosan menjünk a (−1/n, 1/n) pontba. Az origó körüli 1/n sugarú kör mentén forduljunk vissza és a (−n, −1/n), (−n, −n) pontokon keresztül térjünk vissza az (1, −n) pontba. A Cauchy-formula szerint Z

Γ

√ exp (zx) exp −a 2z dz = 0.

Közvetlen számolással megmutatható, hogy ha n ր ∞, akkor az x > 0 feltétel miatt a Γ „új küls˝o” részén az integrál értéke nullához tart62 . Felhasználva, hogy a négyzetgyök az argumentumot felezi63 , elemi megfontolásokkal f (x)

Z 1+i∞ √ 1 v.p. exp zx − a 2z dz = i2π 1−i∞ Z 0 p 1 exp xt − ai 2 |t| dt − = − i2π −∞ Z −∞ p 1 exp xt + ai 2 |t| dt. − i2π 0 =

Az integrálokban u = −t helyettesítéseket végezve f (x)

Z ∞ √ 1 exp −xu − ai 2u du + i2π 0 Z ∞ √ 1 exp −xu + ai 2u dt. + i2π 0

= −

62 Az x-tengellyel párhuzamos „küls˝ o” íveken vett integrálok nullához való konvergenciája nem teljesen evidens, de ha az integrandusokat felírjuk az (x, y) koordinátákkal, akkor a konvergencia közvetlen becsléssel igazolható. Vegyük észre, hogy az x-tengellyel párhuzamos íveken vett integrálok egymás konjugáltjai. A példa célja a Mellin-formula tartalmának jobb megvilágítása és nem a komplex integrál kiszámolása, így a részletek kidolgozását az olvasóra bízzuk. √ √ 63 Pontosabban −1 + 0 = i + 0, −1 − 0 = −i − 0.

10.3.

491

UNICITÁSI TÉTELEK

Ismételten elemi megfontolásokkal, parciálisan integrálva a normális eloszlás karakterisztikus függvényének képlete szerint Z √ 1 ∞ f (x) = exp (−xu) sin a 2u du = π 0 Z √ 2 ∞ = 2av dv = v exp −xv 2 sin π 0 √ Z √ a 2 ∞ 2av du = exp −xv 2 cos = xπ 0 Z 1 1 ∞ x w2 = exp − 2 cos wdw = xπ 2 −∞ a 2 2 a a . exp − = √ 2x 2πx3 Ha x ≤ 0, akkor a Γ ⊆ U görbe legyen az (1, −n) , (1, n) , (n, n) , (n, −n) pontok által meghatározott téglalap kerülete. A Γ görbe mentén az integrál ismét nulla. Mivel x ≤ 0 ezért a téglalap „új” kerületén az x > 0 esethez hasonlóan az integrál n ր ∞ esetén nullához tart, így a „régi” oldalon vett integrál értéke nulla. 2

10.3.6.

Többdimenziós inverziós formula

Az inverziós formula átvihet˝o többdimenziós eloszlásokra is. 10.44 Állítás.

Ha µ az Rm -en értelmezett eloszlás, amelynek karakterisztikus függvénye ϕ, és az A ⊜ {x ∈ Rm : ai ≤ x < bi , (i = 1, . . . , m)} olyan m-dimenziós téglatest, amelyre az A ∂A határa µ nullamérték˝u, vagyis amelyre µ (∂A) = 0, akkor 1 m T →∞ (2π)

µ (A) = lim

Z

m Y exp (−itk ak ) − exp (−itk bk ) ϕ (t) dλm (t) . itk

[−T,T ]m k=1

Bizonyítás: Csak vázoljuk a bizonyítást, mivel szinte szó szerint megegyezik az m = 1 esettel. Ha a képletben a ϕ helyébe beírjuk a definícióját, majd Fubini-tétele alapján felcseréljük az integrálokat, akkor az állításban szerepl˝o integrál Z Y m exp (−itk ak ) − exp (−itk bk ) exp (itk xk ) dλm (t) dµ (x) = IT ⊜ itk X k=1 Z Y m = Hk (T, xk , ak , bk ) dµ (x) , Rm k=1

492

10.

m

alakú, ahol X ⊜ Rm × [−T, T ] vagyis az


és a Hk alakja analóg az m = 1 esetben leírttal,

S (T ) ⊜

Z

0

T

sin u du u

jelöléssel Hk (T, xk , ak , bk ) ⊜ sgn (xk − ak ) S (T |x − ak |) − sgn (xk − bk ) S (T |xk − bk |) . A korábbi bizonyítás során leírtak alapján világos, hogy egyrészt a határérték és az integrálás felcserélhet˝o, másrészt amennyiben a tétel feltétele fennáll, vagyis a téglalap határának mértéke nulla, akkor az integrandus T szerinti határértéke egy µ-nulla halmaztól eltekintve éppen a χA függvényhez tart. 2 10.45 Példa.

Ha n ≥ 3, akkor az egész érték˝u rácspontokon való n-dimenziós bolyongás nem érint minden rácspontot egy valószín˝uséggel. Tekintsük a Zn egész érték˝u koordinátákon való bolyongást, vagyis tegyük fel, hogy minden lépésben 1/ (2n) valószín˝uséggel az n koordináta valamelyike ±1 értékkel megváltozik. Az egy lépéses átmenet karakterisztikus függvénye ϕ (t) ⊜

n

n

k=1

k=1

1 X 1X (exp (itk ) + exp (−itk )) = cos tk . 2n n

Ha az egyes lépések függetlenek, akkor az m lépés utáni állapot eloszlásának karakterisztikus függvénye ϕm . Jelölje p (m, x) az m-lépéses átmenetvalószín˝uséget, vagyis annak a valószín˝uségét, hogy a 0 pontból kiindulva az m-edik lépésben a rendszer n éppen az x pontban lesz. A (10.20) közvetlen általánosítása alapján, ha Q ⊜ [−π, π] Z 1 exp (−i (x, t)) ϕm (t) dλn (t) , p (m, x) = n (2π) Q amib˝ol ∞ X

m=0

p (m, x) ≤

Z ∞ Z 1 X 1 1 m |ϕ| dλ = dλn . n n n (2π) m=0 Q (2π) Q 1 − |ϕ|

(10.30)

Mivel a Q korlátos, ezért az integrál csak úgy lehet végtelen, ha az ) ( n 1X cos tk = ±1 {1 − |ϕ| = 0} = n k=1

halmaz valamelyik pontjában divergál. A t pont csak akkor lehet eleme a halmaznak, ha vagy t = 0, ilyenkor az összes koszinusz egy, vagy ha az összes koszinusz −1,

10.3.

493

UNICITÁSI TÉTELEK

vagyis ha t = (±π) , tehát a lehetséges szingularitási pontok száma 2n + 1. Ha például t = 0, akkor a cos t sorfejtése alapján elegend˝oen kicsi tk -kra n n 1X 1 2 1X ϕ (t) = |ϕ (t)| = 1 − tk = cos tk ≤ n n 4 k=1

k=1

n

=

1 X 2 1− tk > 0, 4n k=1

amib˝ol az origó egy elegend˝oen kicsi U környezetében, ha64 n ≥ 3, akkor Z Z 4n 1 Pn dλn ≤ 2 dλn (t) < ∞. 1 − |ϕ| U U k=1 tk

Hasonlóan kezelhet˝oek a tk = ±π szingularitási pontok, vagyis ha n ≥ 3, akkor a (10.30) összeg véges. Ha η (x) jelöli az x pontba való belépések számát, A (m, x) azt az eseményt, hogy az m-edik lépésben a bolyongó pont éppen az x-ben lesz, akkor ! ∞ ∞ X X χ (A (m, x)) = M (η (x)) = M M (χ (A (m, x))) = m=0

=

∞ X

m=0

m=0

p (m, x) < ∞,

így P (η (x) < ∞) = 1, vagyis minden rögzített x ∈Zn pontba a rendszer egy valószín˝uséggel legfeljebb csak véges sokszor lép. Legyen B véges számú rácspontból álló halmaz, és π (y,B) jelölje annak a valószín˝uségét, hogy a rendszer az y pontból kiindulva valamikor a B halmazba jut. Indirekt módon megmutatjuk, hogy a π (y,B) nem lehet minden y-ra 1. Jelölje H (m, B) az olyan kimeneteket, amelyekre a rendszer az m-edik lépést követ˝oen valamikor a B halmazba esik. Ha minden y-ra π (y,B) = 1, akkor a teljes valószín˝uség tétele miatt minden m-re X X P (H (m, B)) = p (m, y) π (y,B) = p (m, y) = 1, y

y

tehát 1 valószín˝uséggel végtelen sokszor lesz a rendszer B-ben, ami ellentmondás. Mivel a bolyongás eltolásinvariáns, ezért π (y,B) = π (0,B − y) , tehát van olyan C véges elem˝u halmaz, amelyre π (0,C) < 1. 2 10.46 Példa.

A kétdimenziós standard Cauchy-eloszlás karakterisztikus függvénye q ϕ (t1 , t2 ) = ϕ (t) = exp − t21 + t22 = exp (− ktk2 ) . 64 V.ö.:

5.63. példa, 220. oldal.

494

10.


Kétdimenziós standard Cauchy-eloszlás65 s˝ur˝uségfüggvénye f (x1 , x2 ) ⊜

1 3/2

2π (1 + x21 + x22 )

.

A ϕ integrálható, ugyanis 1 1 |ϕ (t1 , t2 )| ≤ exp − (|t1 |) exp − (|t2 |) . 2 2 Az egydimenziós esettel analóg módon megmutatható, hogy ha a Fourier-transzformált integrálható, akkor az inverziós formula Z 1 f (x) = ϕ (t) exp (−i (t, x)) dλ2 (t) 4π 2 R2 alakba írható. Számoljuk ki az q Z ∞Z ∞ exp − t21 + t22 exp (−it1 x1 − it2 x2 ) dt1 dt2 I (x) ⊜ −∞

−∞

integrált. Polárkoordinátákra áttérve és felhasználva a (t, x) = cos ψ ktk kxk összefüggést I (x) =

Z Z L

0

∞

r exp (−r (1 + iρ cos (ϕ − θ))) drdϕ,

ahol (r, ϕ) a (t1 , t2 ) , (ρ, θ) az (x1 , x2 ) polárkoordinátái, L pedig tetsz˝oleges 2π hosszúságú intervallum. Ha bevezetjük az s > 0 paramétert, akkor az integrandus −

d exp (−r (s + iρ cos (ϕ − θ))) ds

módon írható, ahol természetesen a deriváltat az s = 1 helyen kell venni. A deriváltnak van integrálható majoránsa, tehát a deriválás kivihet˝o az integrálok elé. Elemi számolással66 , ha a > 0 Z ∞ Z ∞ −b a , , exp (−ax) sin bxdx = 2 exp (−ax) cos bxdx = 2 2 a +b a + b2 0 0 amib˝ol tetsz˝oleges z ⊜ a + bi, a > 0 komplex számra Z ∞ a − bi 1 exp (−rz) dr = 2 = , 2 a + b z 0 65 V.ö.:

8.12. példa, 292. oldal, 10.28. példa, 471. oldal. integráljunk parciálisan.

66 Kétszer

10.3.

495

UNICITÁSI TÉTELEK

következésképpen I (x) = −

d ds

Z

L

1 dϕ. s + iρ cos (ϕ − θ)

Az integrál értéke független a θ értékét˝ol, ugyanis helyettesítéssel Z Z 2π Z 1 1 1 dϕ = dψ = dψ, s + iρ cos (ϕ − θ) s + iρ cos ψ s + iρ cos ψ L−θ 0 L hiszen az integrál értéke az L konkrét megválasztásától független. Ha θ ⊜ π/2, és L ⊜ (−π, π), akkor az integrandust normálalakba írva, és felhasználva, hogy az i-hez tartozó rész páratlan: Z π Z s − iρ sin ϕ 1 dϕ = = 2 2 2 −π s + ρ sin ϕ L s + iρ cos (ϕ − θ) Z π s = 2 dϕ = 2 2 −π s + ρ sin ϕ Z π/2 s = 2 dϕ = 2 + ρ2 sin2 ϕ s −π/2 Z π/2 s tg 2 ϕ + 1 = 2 dϕ = 2 2 2 2 −π/2 s (tg ϕ + 1) + ρ tg ϕ Z ∞ s du = = 2 2 + ρ2 ) u2 + s2 (s −∞ Z 2 ∞ 1 2π = . du = p 2 2 + ρ2 s −∞ s2 +ρ 2 s u + 1 2 s Az s = 1 pontban deriválva I (x) = − tehát

2π 2π 2sπ d p = = , 3/2 3/2 ds s2 + ρ2 (s2 + ρ2 ) (1 + x21 + x22 ) 1 1 I (x) = , 2 3/2 4π 2π (1 + x21 + x22 )

vagyis az inverziós formula alapján a ϕ-hez tartozó s˝ur˝uségfüggvény éppen az f, és így az unicitási tétel miatt az f karakterisztikus függvénye a ϕ. Miként az egyváltozós esetben, most is óvatosan kell azonban eljárni, ugyanis az inverziós formula használatához be kell látni, hogy a ϕ karakterisztikus függvény. Mivel a ϕ nem negatív és integrálható, ezért alkalmas konstanssal beszorozva tekinthet˝o s˝ur˝uségfüggvénynek. A ϕ és az f mindegyike páros, így a Fourier-transzformáció és az inverz Fourier-transzformáció a két függvényen konstans erejéig megegyezik. A ϕ-hez tartozó Fourier-transzformáció I = 4π 2 f , amelyhez az inverziós formula miatt a ϕ tartozik, amely tehát valaminek, vagyis az f -nek a Fourier-transzformáltja. 2

496

10.


10.4. A többdimenziós normális eloszlás A többdimenziós normális eloszlás definíciójánál a probléma abból származik, hogy egy egységes tárgyalást akarunk adni az elfajult és a nem elfajult esetre. Az m-dimenziós elfajult esetben az eloszlás az Rm egy valódi alterére koncentrálódik, ezért a λm Lebesgue-mértékre nézve nem abszolút folytonos, tehát nincs s˝ur˝uségfüggvénye. A többdimenziós normális eloszlás definícióját visszavezetjük az egydimenziós esetre.

10.47 Deníció.

Az Rm érték˝u ξ = (ξP oleges t ∈ Rm 1 , . . . , ξ m ) változót normálisnak mondjuk, ha tetsz˝ m 67 68 vektorra a (t, ξ) ⊜ i=1 ti ξ i skaláris szorzat eloszlása normális .

A definíció szerint tetsz˝oleges t vektorra a (t, ξ) eloszlását egyértelm˝uen meghatározza az mt várható értéke és σ t szórása. Könnyen látható, hogy mt = (m, t) , ahol m a ξ várható értéke, valamint 2 2 2 σ 2t = M (t, ξ) − (m, t) = t, M ξξ T t − (m, t) = (t, St) , ahol az S mátrix sij eleme éppen M (ξ i − mi ) ξ j − mj , vagyis a ξ i és ξ j változók kovarianciája. Az S evidens módon pozitív szemidefinít. Az egydimenziós normális eloszlás karakterisztikus függvényének képlete alapján a (t, ξ) szorzat eloszlásának karakterisztikus függvénye 2 s2 2s = exp i (t, m) s − (t, St) , ϕt (s) = exp imt s − σ t 2 2 amely az s = 1 helyen éppen a ξ karakterisztikus függvénye a t helyen, amib˝ol 1 ϕ (t) = exp i (t, m) − (t, St) . 2 A többdimeziós normális eloszlás egy másik szokásos bevezetése szerint az eloszlást a karakterisztikus függvényén keresztül érdemes definiálni. A többdimenziós normális eloszlással kapcsolatos bizonyításokban legtöbbször az eloszlás helyett a karakterisztikus függvényét vizsgáljuk, így ez a megközelítés igen célratör˝o.

10.48 Deníció. A ξ = (ξ 1 , . . . , ξ m ) vektor eloszlását normálisnak mondjuk, ha a karakterisztikus függvénye 1 (10.31) ϕ (t) = exp i (t, m) − (t, St) 2 alakú, ahol az S (m × m)-es pozitív szemidefinít mátrix, az m m-dimenziós vektor. Az (m, S) paraméterekhez tartozó többdimenziós normális eloszlást N (m, S) módon jelöljük69 . 67 A lineáris algebrában szokásos módon a (a, b) skaláris szorzat jelölésben mind az a, mind a b oszlopvektor. Ha sorvektort akarunk írni, akkor ezt a T transzponálás szimbólummal fogjuk jelezni. 68 Az egydimenziós elfajult eloszlást szokás nulla szórással rendelkez˝ o normális eloszlású változónak tekinteni. A továbbiakban mi is így fogunk tenni. 69 A jelölés nem tökéletes, mivel az egydimenziós esetben a második paraméter a szórás és nem a szórás négyzete.

10.4.

497

A TÖBBDIMENZIÓS NORMÁLIS ELOSZLÁS

Az alábbiak során többször fogunk hivatkozni a következ˝o lineáris algebrai állításra70 : 10.49 Tétel. (Spektrálfelbontási tétel)

Tetsz˝oleges A szimmetrikus, valós érték˝u mátrixhoz létezik az A sajátvektoraiból alkotott olyan ortonomált bázis, amelyben az A diagonális alakra hozható, vagyis az A mátrixhoz található olyan C ortonormált mátrix, hogy D = CT AC = C−1 AC, ahol a D diagonális, és a diagonálisban lev˝o elemek éppen az A sajátértékei71 . Bizonyítás: Miként ismert az algebra alaptétele miatt tetsz˝oleges mátrix rendelkezik komplex sajátértékekkel, vagyis tetsz˝oleges A mátrix esetén van olyan λ ∈ C szám és x 6= 0 vektor, mindkett˝o esetlegesen komplex, amelyekre Ax = λx. 1. Ha λ1 és λ2 az A szimmetrikus, valós érték˝u mátrix két különböz˝o sajátértéke és λ2 6= 0 és x1 , illetve x2 a megfelel˝o sajátvektorok, akkor 1 1 (x1 , x2 ) = x1 , Ax2 = AT x1 , x2 = λ2 λ2 1 1 = Ax1 , x2 = λ1 x1 , x2 = λ2 λ2 λ1 (x1 , x2 ) , = λ2 ami csak akkor lehetséges, ha (x1 , x2 ) = 0. Ha λ1 komplex lenne, akkor a konjugáltja λ1 szintén sajátérték lenne, ugyanis az Ax1 = λ1 x1 egyenletet konjugálva, felhasználva, hogy az A valós Ax1 = Ax1 = Ax1 = λ1 x1 = λ1 x1 . Mivel λ1 6= λ1 ezért

(x,x) ⊜

X i

xi xi =

X i

2

|xi | = 0,

ami lehetetlen , ugyanis x 6= 0, vagyis a sajátértékek valósak. Ebb˝ol következ˝oen tetsz˝oleges szimmetrikus, valós mátrix esetén nem csak a sajátértékek, hanem a sajátvektorok sem lehetnek komplexek. 2. Ha x1 6= 0 egy sajátvektor, akkor x1 / kx1 k egységnyi hosszú sajátvektor. Tegyük fel, hogy x1 , x2 , . . . , xk ortonormált sajátvektorai az A-nak. Legyen L ⊜ lin (x1 , x2 , . . . , xk ) a kifeszített altér. Ha az L dimenziója nem azonos az A dimenziójával, akkor az L⊥ ⊜ {x : (x, xi ) = 0, i = 1, 2, . . . , k} 70 V.ö.:

[43] AT jelölés a A mátrix transzponáltja. Megjegyezzük, hogy a sajátértékek és a sajátvektorok mindig valósak. 71 Az

498

10.


altér nem üres. Ha x ∈ L⊥ , akkor (Ax, xi )

= x, AT xi = ((x, Axi )) = = λi (x, xi ) = 0,

vagyis az A az L⊥ alteret önmagára képezi. Így az A-nak van sajátvektora az L⊥ altérben. Ha xk+1 a megfelel˝o normalizált sajátvektor, akkor x1 , x2 , . . . , xk+1 egy k + 1 elemb˝ol álló ortonormált sajátvektor rendszer. 3. Legyen az A dimenziója n. Az elmondottak alapján léteznek az x1 , x2 , . . . , xn n ortonormált sajátvektorok. Ha C oszlopai éppen az (xk )k=1 sajátvektorok és a D diagonális mátrix átlójában éppen a sajátértékek vannak, akkor AC = CD, amit CT vel megszorozva CT AC = CT (CD) = CT C D = D, ami éppen a kívánt összefüggés.

2 10.50 Következmény.

Ha S olyan (m × m)-es szimmetrikus, pozitív szemidefinit mátrix, amely rangja r, akkor létezik olyan A (m × r)-es mátrix, amelyre S = AAT . Az A mátrix oszlopai az S sajátvektorai és az A minden ai oszlopára p kai k = λi ,

ahol λi az S valamelyik nullától különböz˝o sajátértéke.

Bizonyítás: A spektrálfelbontási tétel alapján az S sajátvektoraiból készíthet˝o ortonormált bázis. Ha a bázisvektorokból egy C mátrixot képezünk, akkor a sajátvektor definíciójából SC = CD, ahol D a sajátértékekb˝ol álló diagonális mátrix. Felhasználva a sajátvektorok ortonormalitását, S = CDCT . Mivel az S pozitív szemidefinit, ezért a D átlójában szerepl˝o sajátértékek nem negatívak, tehát képezhetjük a négyzetgyökeikb˝ol álló D1/2 mátrixot. Evidens módon a B ⊜ CD1/2 mátrixra BBT

T T = CD1/2 D1/2 CT = ⊜ CD1/2 CD1/2

(10.32)

= CD1/2 D1/2 CT = CDCT = S.

Mivel az S rangja r, ezért a D átlójában pontosan r pozitív elem található. Alkalmas indexelés mellett B ⊜ A 0 , ahol az A dimenziója (m × r) . Evidens módon T

BB =

A 0

AT 0

= AAT .

2

10.4.


499

10.51 Állítás.

Teljesülnek az alábbi állítások: 1. Ha m tetsz˝oleges Rm -beli vektor, és S (m × m)-es pozitív szemidefinit mátrix, akkor az (Rm , B (Rm )) téren létezik olyan eloszlás, amelynek karakterisztikus függvénye éppen (10.31). 2. Az N (m, S) eloszlás várható érték vektora m, kovariancia mátrixa S. 3. Ha ξ ∼ = N (m, S) és T : Rn → Rm lineáris leképezés, akkor72 Tξ ∼ = N Tm, TSTT . ∼ N (m, S), az S mátix diagonális és a diagonális elemek rendre σ 2 , 4. Ha ξ = i (i = 1, . . . , m) , akkor az egyes ξ i változók N (mi , σ i ) egydimenziós normális eloszlásúak, ahol feltételezzük, hogy definíció szerint a nulla szórású egydimenziós normális eloszlású valószín˝uségi változók majdnem mindenhol konstansok. Általában tetsz˝oleges t vektorra73 1/2 (t, ξ) ∼ . = N (t, m) , (t, St) ∼ N (m, S) és az S kovariancia mátrix rangja r, akkor létezik olyan F 5. Ha ξ = (m × r) mátrix, és η ∼ = N (0, Er ), ahol Er az r-dimenziós egységmátrix, hogy ξ = Fη + m. 6. Ha az S kovariancia mátrixa szigorúan pozitív definit, vagyis ha az S mátrix invertálható, akkor az N (m, S) eloszlás abszolút folytonos a λm Lebesguemértékre nézve, vagyis az eloszlásnak van s˝ur˝uségfüggvénye. A s˝ur˝uségfüggvény képlete: 1 1 1 −1 exp − x − m, S (x − m) . f (x) = √ n p 2 det (S) 2π 7. Ha ξ ∼ = N (m, S) , S ⊜ (sij ) és sij = 0, ha i 6= j, akkor a ξ i és ξ j változók függetlenek.

8. Ha valamely W mátrixra S = WWT , és a ξ várható értéke nulla, akkor a ξ 1 valószín˝uséggel eleme a W oszlopvektorai által kifeszített H altérnek. Ha M (ξ) = m, akkor P (ξ ∈ m+H) = 1. Bizonyítás: A bizonyítás a spektráltételre épül. 72 Megjegyezzük, hogy az elmondottakból speciálisan következik, hogy ha a (ξ, η) eloszlása normális, akkor a ξ + η is normális lesz. 73 Vegyük ismét észre, hogy az n = 1 esetben a N (m, σ) jelölés nem kompatíbilis az N (m, S) jelöléssel.

500

10.


1. Ha az S rangja r, akkor a 10.50. következmény alapján létezik (m × r)-es A mátrix, hogy S = AAT . Tetsz˝oleges η r-dimenziós változóra, ha ξ ⊜ Aη + m, akkor a ξ karakterisztikus függvénye ϕξ (t)

= M (exp (i (t, ξ))) = M (exp (i (t, Aη) + i (t, m))) = = M exp i AT t, η + i (t, m) = exp (i (t, m)) ϕη AT t .

Ha η r darab független, standard normális eloszlású változóból álló vektor, akkor r r Y Y 1 1 ϕη (s) = ϕi (si ) = exp − s2i = exp − (s, s) , 2 2 i=1 i=1 amib˝ol 1 T T = A t, A t ϕξ (t) = exp i (t, m) − 2 1 = exp i (t, m) − t, AAT t = 2 1 = exp i (t, m) − (t, St) , 2

ami éppen az els˝o állítás. 2. Elemi számolással látható, hogy M (ξ) = M (Aη + m) = A · M (η) + m = m, T T = M Aηη T AT = = M (Aη) (Aη) M (ξ − m) (ξ − m) = A · M ηη T ·AT = AEr AT = S,

vagyis teljesül a második állítás is.

3. Az el˝oz˝o gondolatmenetet értelemszer˝uen megismételve belátható a harmadik állítás is. 4. Vegyük a t 7→ (t, ξ) lineáris leképezést. A harmadik állítás alapján az η = (t, ξ) eloszlása N ((t, m) , (t, St)) , amely karakterisztikus függvénye 1 ψ (s) = exp s (t, m) − s2 (t, St) . 2 Ha t = ej , akkor

1 2 2 ψ (s) = exp mj − s σ j . 2

5. Feltehetjük, hogy a ξ várható értéke nulla. Ha T olyan ortonormált transzformáció, amelyre a D ⊜ TSTT diagonális, és ζ ⊜ Tξ, akkor a harmadik állítás alapján a

10.4.


501

ζ kovariancia mátrixa TSTT , vagyis diagonális. Az S rangjára tett feltétel szerint feltehet˝o, hogy a D diagonálisában lev˝o els˝ pozitív, a többi pedig nulla. Mivel o r elem η1 , ahol az η 1 r-dimenziós normális a ζ várható érték vektora nulla, ezért ζ ⊜ 0 eloszlású vektor.. Ebb˝ol74 η1 −1 −1 −1 = T−1 ξ = T ζ = T1 T2 1 η1 . 0 A T−1 1 oszlopait az η 1 szórásával elosztva az η 1 standardizálható, vagyis az ötödik állítás teljesül.

6. Ha S invertálható, és S = AAT , akkor az A is invertálható. Ha ξ = Aη + m, ahol η∼ = N (m, S) . Az integráltranszformációs-tétel alapján minden = N (0, E), akkor ξ ∼ B Borel-halmazra P (ξ ∈ B)

= P (Aη + m ∈ B) = P η ∈ A−1 (B − m) = Z n Y 1 1 √ exp − s2i ds = = 2 2π A−1 (B−m) i=1 Z 1 (s, s) = exp − ds = √ n 2 2π A−1 (B−m) ! det A−1 Z A−1 (s − m) , A−1 (s − m) exp − ds = = √ n 2 2π B   T (s − m) , A−1 A−1 (s − m) det A−1 Z  ds = exp − = √ n 2 2π B   −1 T Z (s − m) , AA (s − m) det A−1    ds = = exp  − √ n   2 2π B =

det A−1 Z 1 exp − (s − m) , S−1 (s − m) ds. √ n 2 2π B

p Mivel S = AAT , ezért det A−1 = 1/ |det S|, következésképpen a ξ s˝ur˝uségfüggvénye éppen az állításban szerepl˝o alakkal rendelkezik. 7. A ξ i , ξ j pár eloszlásának karakterisztikus függvénye az eredetib˝ol úgy kapható, hogy a többi változóhoz tartozó tk (k 6= i, j) értékét nullának válasszuk. Ha i 6= j, és sij = 0, akkor a ξ i , ξ j eloszlásának karakterisztikus függvényében szerepl˝o kovariancia mátrix diagonális. Ha a két eloszlás egyike sem elfajuló, akkor a kétváltozós eloszlásnak van s˝ur˝uségfüggvénye, és ennek alakjából a függetlenség már következik, 74 Értelemszer˝ uen

−1 oszlopaiból álló megfelel˝ a T−1 o blokk. 1 aT

502

10.


hiszen a két dimenziós eloszlás s˝ur˝uségfüggvénye az egyes peremeloszlások s˝ur˝uségfüggvényének szorzata. Ha valamelyik eloszlás elfajult, akkor az állítás következik abból, hogy minden konstans valószín˝uségi változó minden más változótól független75 . 8. Legyen η független standard normális eloszlású változókból álló oszlopvektor. Az elmondottak alapján tetsz˝oleges W mátrixra a ζ ⊜ Wη biztosan a H ⊜ lin (W) altérre koncentrálódó normális eloszlású vektor. A ζ kovariancia mátrixa éppen T M ζ · ζT ⊜ M Wη · (Wη) = M Wη · η T WT = = W · M η · η T · WT = WWT ⊜ S,

tehát a ξ és a ζ karakterisztikus függvénye megegyezik így a ξ és a ζ ⊜ Wη eloszlása megegyezik, tehát P (ξ ∈ H) = 1. 2

10.52 Példa.

A kétdimenziós normális eloszlás s˝ur˝uségfüggvénye. Tegyük fel, hogy a (ξ, η) pár kétdimenziós normális eloszlású. Tegyük fel, hogy az eloszlás nem elfajuló. Legyen s11 s12 rσ 1 σ 2 σ 21 S= = s21 s22 rσ 1 σ 2 σ 22 a kovariancia mátrix. 2 |S| = σ 21 σ 22 − r2 (σ 1 σ 2 ) = 1 − r2 σ 21 σ 22 . 1 σ 22 −rσ 1 σ 2 −1 S = . −rσ 1 σ 2 σ 21 (1 − r2 ) σ 21 σ 22 Ebb˝ol a s˝ur˝uségfüggvény f (x, y) =

1 × exp − 2 (1 − r2 )

x − m1 σ1

√

1

σ 1 σ2 1 − r2

2

√

2π

2 ×

(x − m1 ) (y − m2 ) + − 2r σ1 σ2

y − m2 σ1

2 !!

. 2

10.53 Példa.

A korrelálatlanságból csak akkor következik a függetlenség, ha az együttes eloszlás normális. 75 Az

állítás következik abból is, hogy az együttes karakterisztikus függvény szorzatra bontható.

10.4.


503

Legyenek f1 és f2 olyan ρ1 és ρ2 korrelációs együtthatóval rendelkez˝o kétdimenziós normális eloszlású s˝ur˝uségfüggvények, amelyek peremeloszlásai megegyeznek. Tegyük fel, hogy ρ1 > 0 és ρ2 < 0. Ha c1 , c2 ≥ 0, c1 + c2 = 1, akkor az f ⊜ c1 f1 + c2 f2 függvény s˝ur˝uségfüggvény, de a megfelel˝o együttes eloszlás nem normális, bár a peremeloszlások normálisak. Közvetlen számolással ellen˝orizhet˝o, hogy az f -hez tartozó korrelációs együttható ρ ⊜ c1 ρ1 +c2 ρ2 , amely alkalmas c1 , c2 -re lehet nulla. Az f (x, y) nem írható fel h (x) g (y) alakban, így az eloszlás mögötti változók nem függetlenek. 2 10.54 Példa.

Két normális eloszlású valószín˝uségi változó összege nem feltétlenül normális! Természetesen az el˝oz˝oek alapján ez csak akkor fordulhat el˝o, ha az összeadandók együttes eloszlása nem normális. Legyenek F1 illetve F2 kétdimenziós normális eloszlások. Tekintsük az F ⊜ (F1 + F2 ) /2 eloszlásfüggvényt76 . Tegyük fel, hogy mind a két eloszlásra nézve mind a két peremeloszlás várható értéke nulla, szórása egy, és az F1 -hez tartozó r1 korrelációs együttható különbözik az F2 -höz tartozó r2 együtthatótól. Az F -nek van s˝ur˝uségfüggvénye, amely a két s˝ur˝uségfüggvény 1/2 súllyal vett kombinációja. 1 1 2 2 p f (x, y) = + x − 2r1 xy + y exp − 2 (1 − r12 ) 4π 1 − r12 1 1 2 2 exp − x − 2r xy + y . + p 2 2 (1 − r22 ) 4π 1 − r22 A definíciókból világos, hogy az x és y szerinti peremeloszlásokra77 2 Z 1 x , f (x, y) dy = √ exp − g (x) ⊜ 2 2π R 2 Z 1 y √ f (x, y) dx = h (y) ⊜ exp − . 2 2π R

Ha a (ξ, η) eloszlása F, akkor a ξ és az η standard normális eloszlású. Számoljuk ki a ξ + η összeg eloszlását! A (8.8) és (8.10) képletek alapján az összeg s˝ur˝uségfüggvénye Z 1 1 1 1 z2 z2 √ exp − 2 + √ exp − 2 f (z − y, y) dy = 2 σ 1 2π 2σ 1 2 σ 2 2π 2σ 2 R p p ahol σ 1 ⊜ 2 (1 + r1 ), σ 2 ⊜ 2 (1 + r2 ). Mivel r1 6= r2 , ezért σ 1 6= σ 2 , ezért az összeg eloszlása nem normális. 2 10.55 Példa.

Többdimenziós elfajuló normális eloszlás s˝ur˝uségfüggvénye. 76 Az

F eloszlás nem normális. a peremeloszlások standard normális eloszlást alkotnak.

77 Tehát

504

10.


Definíció szerint valamely eloszlás s˝ur˝uségfüggvénye a megfelel˝o Lebesgue-mérték szerint értend˝o. Emlékeztetünk, hogy a többdimenziós normális eloszlás a H ⊜ lin (S) = lin (A) altérre koncentrálódik. Emlékeztetünk, hogy A az eloszlás S kovariancia mátrixának pozitív sajátértékeihez tartozó sajátvektorokból álló mátrix. Evidens módon S : H → H. Ha Sx1 = Sx2 és x1 , x2 ∈ H, akkor X (i) xi = α j aj . j

Mivel

  X X (i) (i) λ j α j aj , α j aj  = Sxi = S  j

j

ezért az Sx1 = Sx2 feltétel miatt X X (2) (1) λ j α j aj = λ j α j aj . j

j

Az aj sajátvektorok mer˝olegesek, tehát lineárisan függetlenek, így a koordinátákra (1) (2) (1) (2) λj αj = λj αj . Mivel λj 6= 0, következésképpen αj = αj , vagyis x1 = x2 . Így az S, megszorítva a H altérre invertálható. Az így kapott leképezést jelölje SH és jelölje S−1 oleges H az inverz leképezést. Jelölje λH a H altér Lebesgue-mértékét. Tetsz˝ B Borel-halmaz esetén µ (B) ⊜ λH (B). Az 1 1 1 exp − x − m, S−1 (x − m) f (x) ⊜ √ dim(H) p H 2 det (SH ) 2π

leképezés majdnem mindenhol definiált a µ ⊜ λH mérték szerint. A korábbi gondolatmenetet megismételve78 azonnal látható, hogy Z Z f dµ f dλH ⊜ P (ξ ∈ B) = P (ξ ∈ B ∩ H) = B∩H

B

ezért f a ξ „s˝ur˝uségfüggvénye" a µ ⊜ λH mértékre nézve.

2 Mivel az N (m, S) eloszlásnak nincsen feltétlenül s˝ur˝uségfüggvénye, a feltételes eloszlások meghatározásakor nem mindig tudjuk az elemi valószín˝uségszámításból ismert formulát használni.79 10.56 Állítás.

Legyen ζ ⊜ (ξ, η) , és jelölje

Sξξ Sηξ

Sξη Sηη

a ζ kovariancia mátrixának paricióját. Tegyük fel, hogy ξ változó Sξξ kovariancia mátrixa reguláris. A ζ vektor pontosan akkor normális eloszlású, ha 78 És

mátrix helyett mindenhol lineáris leképezést mondva. 9.40. példa, 353. oldal.

79 V.ö.:

10.4.


505

1. a ξ normális eloszlású, 2. és az η ξ szerinti feltételes eloszlása normális, valamint a feltételes eloszlás feltételes várható értéke M (η | ξ = x) = M (η) + Sηξ S−1 ξξ (x − M (ξ)) , az Sη|ξ=x feltételes kovariancia mátrixa pedig80 Sη|ξ=x = Sηη − Sηξ S−1 ξξ Sξη . Bizonyítás: Tegyük fel, hogy az együttes eloszlás normális. A Q ⊜ Sηξ S−1 ξξ jelöléssel az η ′ ⊜ η − Qξ, ζ ′ ⊜ ξ, η ′

vektorok eloszlása normális. A ξ és az η ′ korrelálatlan, ugyanis T Sη′ ξ ⊜ M [η ′ − M (η ′ )] · [ξ − M (ξ)] = T = = M [η − Qξ − M (η) − QM (ξ)] · [ξ − M (ξ)] = Sηξ − Q · Sξξ = Sηξ − Sηξ · S−1 ξξ ·Sξξ = 0, tehát a normalitás miatt függetlenek. A függetlenség felhasználásával

P (η ∈ C | ξ = x) ⊜ P (η ′ + Qξ ∈ C | ξ = x) = = P (η ′ + Qx ∈ C) , amely éppen az η ′ + Qx normális eloszlású vektor eloszlása. Az η ′ + Qx kovariancia megegyezik az η ′ kovariancia mátrixával, amelyet az egyszer˝uség kedvéért jelöje Sη′ η′ . A feltételes eloszlás reguláris, ezért a feltételes momentumok éppen a feltételes eloszlás szerinti momentumok, így M (η | ξ = x) Sη|ξ=x

= M (η ′ + Qx) = M (η − Qξ + Qx) = = M (η) + Q· (x − M (ξ)) , = Sη′ η′ ,

tehát a feltételes kovariancia nem függ a ξ = x feltételt˝ol. Az η ′ a ζ vektorból a x T (x, y) ⊜ y − Qx = −Q E y

transzformációval kapható, amib˝ol a feltételes kovarianciára vonatkozó képlet már közvetlen számolással adódik. Megfordítva, tegyük fel, hogy az η ξ szerinti feltételes eloszlása normális. Vezessük be az η ′′ ⊜ η − Aξ − b változót, ahol miként a feltételben szerepel M (η | ξ) = Aξ + b. Az η ′′ feltételes várható értéke 0, feltételes 80 Vegyük

észre, hogy a feltételes kovariancia mátrix független a ξ = x feltételt˝ol.

506

10.


kovarianciája pedig a feltétel szerint a konstans B mátrix, ugyanis az η és az η ′′ feltételes kovariancia mátrixa azonos, hiszen a korrekciós tag csak a feltételes várható értéket módosítja, amit a feltételes kovariancia kiszámolásakor le kell vonni. A (ξ, η ′′ ) együttes karakterisztikus függvénye, felhasználva, hogy a feltételes eloszlás normális ϕ (t, s) ⊜ M (exp (i ((t, ξ) + (s, η ′′ )))) = = M (M (exp (i ((t, ξ) + (s, η ′′ ))) | ξ)) = = M (exp (i (t, ξ)) M (exp (i (s, η ′′ )) | ξ)) = i = M exp (i (t, ξ)) exp − (s, Bs) = 2 = ϕ1 (t) ϕ2 (s) , vagyis az η ′′ és a ξ függetlenek, következésképpen a (ξ, η ′′ ) eloszlása normális, tehát a lineáris transzformációként el˝oálló (ξ, η) eloszlása is normális. Vegyük észre, hogy a bizonyítás második részében, az eloszlásokra tett feltételen kívül csak a regressziós függvény linearitását és a feltételes kovariancia konstans voltát használtuk, a regressziós függvény konkrét el˝oállítására nem volt szükség. 2

10.5. A normális eloszlás karakterizációi A valószin˝uségszámítás talán legfontosabb eloszlása a normális. Gyakran felmerül a kérdés, hogy milyen okok magyarázzák a normális eloszlás megjelenését. A legegyszer˝ubb karakterizációs tétel a következ˝o:

10.57 Állítás. (HerschelMaxwell)

Tegyük fel, hogy valamely vektor81 érték˝u valószín˝uségi változó eloszlására igazak a következ˝o feltevések: 1. A változó együttes eloszlásának van pozitív s˝ur˝uségfüggvénye. 2. Az egymásra mer˝oleges koordináták eloszlása független. 3. A tér valamely pontjában a s˝ur˝uségfüggvény értéke csak az origótól való v u n uX x2i kxk2 = t i=1

távolságtól függ. Ekkor a valószín˝uségi változó eloszlása normális. 81 Herschel síkban vizsgálta a kérdést és egy céltáblára való lövés hibáját vizsgálta, Maxwell a gázmolekulák sebességének eloszlását próbálta meghatározni.

Függvénytranszformációk

Recommend Documents