Magyar Eszter
Emelt szintő érettségi tételek
10. tétel Számsorozatok Sorozat: Olyan függvény, melynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza. Számsorozat képhalmaza a valós számok halmaza. f : N + → R f (n ) = a n jelöli a sorozat n-edik tagját. Sorozat megadása: - képlettel 1) explicit képlet, pl: a n = 2 ⋅ n n =1 2 2) rekurzív képlettel: a n = a n −1 + 2 n > 1 - szöveggel a n = az n-edik pozitív páros szám Sorozatok ábrázolása: derékszögő koordinátarendszerben (de csak pontokat). Sorozatok jellemzése: monotonitás: {an} sorozat monoton növı, ha a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ …. (szigorúan, ha a1
a2>a3>….) {an} sorozat monoton, ha a négy valamelyikét kielégíti. korlátosság: {an} sorozat felülrıl korlátos, ha van felsı korlátja, azaz ∃K ∈ R ∀n − re a n ≤ K . {an} sorozat alulról korlátos, ha van alsó korlátja, azaz ∃L ∈ R ∀n − re a n ≥ L {an} sorozat korlátos, ha alulról és felülrıl is korlátos. megjegyzés: - ha egy sorozat alulról korlátos, akkor létezik legnagyobb alsó korlátja (infimuma) - ha egy sorozat felülrıl korlátos, akkor létezik legkisebb felsı korlátja (szuprémuma) határérték: Az {an} sorozat az A számhoz konvergál, ha ∀ε >0-hoz ∃ n0 küszöbindex, hogy n>n0 esetén an ∈(A–ε;A+ε), azaz a n − A < ε . Jelölés: an → A, vagy lim a n = A . n →∞
Például:
lim n →∞
1 =0 n
Magyar Eszter
Emelt szintő érettségi tételek
Az {an} sorozat végtelenhez tart, ha ∀ K-hoz ∃ n0, hogy ∀ n>n0 esetén an>K. Jelölés: an → ∞ , vagy lim a n = ∞ . n →∞
Például: lim n = ∞ 2
n →∞
Az {an} sorozat mínusz végtelenhez tart, ha ∀L-hez ∃n0, hogy ∀n>n0 esetén an
Például: lim − n = −∞ n →∞
{an} konvergens, ha ∃A∈R, hogy an → A, azaz ha létezik véges határértéke. {an} divergens, ha nem létezik határértéke, vagy ha a határértéke ± ∞ . n Például a n = (− 1) divergens. Tétel: Minden konvergens sorozat korlátos. Tétel: Korlátos és monoton sorozat konvergens. Tétel: Monoton sorozatnak mindig van határértéke. - Ha korlátos, akkor konvergens (van véges határértéke). - Ha nem korlátos, akkor +∞ vagy -∞.
Határértékek meghatározási módszerei - definícióval, becsléssel - rendır-elv - ismert határértékekre való visszavezetéssel - mőveleti szabályok alapján (a kritikus határértékek átalakítása) - gyöktelenítés, a nevezı legnagyobb tagjával való egyszerősítés
Számtani sorozat: Definíció: an sorozat számtani sorozat, ha a szomszédos tagjainak különbsége állandó, azaz: ∀n > 1 − re a n +1 − a n = állandó = d (differencia). azaz: a n +1 = a n + d (rekurzív képlet) ha d>0 : szigorúan monoton nı, a1a2>a3>a4>... Állítás: a n = a 1 + (n − 1) ⋅ d Bizonyítás: teljes indukcióval a 1 = a 1 + (1 − 1) ⋅ d 1. n=1-re n=2-re a 1 = a 1 + (2 − 1) ⋅ d (def) 2. Tegyük fel, hogy:n=k –ra igaz azaz: a k = a 1 + (k − 1) ⋅ d kell, hogy k+1 –re is igaz legyen, azaz: a k +1 = a 1 + k ⋅ d
a k +1 = a k + d = a 1 + (k − 1) ⋅ d + d = a 1 + k ⋅ d
definíció indukciós feltétel
Magyar Eszter
Emelt szintő érettségi tételek
Állítás: a n = a k + (n − k ) ⋅ d , vagyis a n − a k = (n − k ) ⋅ d Bizonyítás: a n = a 1 + (n − 1) ⋅ d
− a k = a 1 + (k − 1) ⋅ d
a n − a k = (n − 1) ⋅ d − (k − 1) ⋅ d = (n − k ) ⋅ d Állítás: Egy számtani sorozat három szomszédos tagja közül a középsı a két szélsı a + a n +1 számtani közepe, azaz: a n = n −1 ( ∀n > 1 esetén) 2 Bizonyítás: a n −1 = a n − d + a n +1 = a n + d
(definíciók alapján)
a n −1 + a n +1 = 2 ⋅ a n Megjegyzés: ez szimmetrikus tagokra szintén igaz: a n =
a n−k + a n +k ha n > k 2
Állítás: Egy számtani sorozat elsı n tagjának összege a + an 2a + (n − 1) ⋅ d Sn = 1 ⋅n ⋅n = 1 2 2 Bizonyítás: Gauss-módszere alapján
S n = a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n − 2 + a n −1 + a n + S n = a n + a n −1 + a n − 2 + ... + a 3 + a 2 + a 1
2 ⋅ S n = (a 1 + a n ) + (a 2 + a n −1 ) + (a 3 + a n − 2 ) + ... + (a k + a n − k −1 ) + .... + (a n + a 1 ) ∀k − ra viszont: a k + a n −(k −1) = a 1 + (k − 1) ⋅ d + a n − (k − 1) ⋅ d = a 1 + a n Tehát 2 ⋅ S n = n ⋅ (a 1 + a n ) , amibıl adódik a tétel. Mértani sorozat: Definíció: an sorozat mértani sorozat, ha a szomszédos tagjainak hányadosa állandó, a n +1 azaz: ∀n > 1 − re = állandó = q (kvóciens), ahol q ≠ 0 és a n ≠ 0 . an Tehát: a n +1 = a n ⋅ q (rekurzív képlet)
- ha q>1 és a1>1 , akkor szigorúan monoton nı és így alulról korlátos és a1<1 , akkor szigorúan monoton csökken és így felülrıl korlátos - ha q=1 , akkor konstans (korlátos és monoton) - ha 00 , akkor szigorúan monoton csökken és korlátos és a1<0 , akkor szigorúan monoton nı és korlátos - ha -1≤q<0, akkor nem monoton, de korlátos - ha q<-1, akkor nem monoton, és nem is korlátos
Magyar Eszter
Emelt szintő érettségi tételek
Állítás: a n = a 1 ⋅ q n −1 Bizonyítás: teljes indukcióval a 1 = a 1 ⋅ q 1−1 1. n=1-re
n=2-re
a 2 = a 1 ⋅ q 2−1 (def)
2. Tegyük fel, hogy:n=k –ra igaz azaz: a k = a 1 ⋅ q k −1 kell, hogy k+1 –re is igaz legyen, azaz: a k +1 = a 1 ⋅ q k a k +1 = a k ⋅ q = a 1 ⋅ q k −1 ⋅ q = a 1 ⋅ q k
definíció indukciós feltétel Állítás: a n = a k ⋅ q n −k , vagyis Bizonyítás:
an = q n−k ak
a n = a 1 ⋅ q n −1
: a k = a 1 ⋅ q k −1
mivel a n ≠ 0 ezért eloszthatjuk az egyenleteket
an = q (n −1)−(k −1) = q n − k ak Tétel: Egy mértani sorozat három szomszédos tagja közül a középsı abszolút értéke a két 2 szélsı mértani közepe, azaz: a n = a n −1 ⋅ a n +1 , vagy inkább a n = a n −1 ⋅ a n +1 Bizonyítás: a n −1 = a n / q
⋅ a n +1 = a n ⋅ q a n −1 ⋅ a n +1 = a n
(definíciók alapján)
2
Megjegyzés: ez szimmetrikus tagokra szintén igaz: a n = a n − k ⋅ a n + k ha n > k 2
Állítás: Egy mértani sorozat elsı n tagjának összege q n −1 persze ha q ≠ 1 Sn = a 1 ⋅ q −1 Bizonyítás: S n = a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n − 2 + a n −1 + a n /⋅ q q ⋅ S n = a 1 ⋅ q + a 2 ⋅ q + a 3 ⋅ q + ... + a n − 2 ⋅ q + a n −1 ⋅ q + a n ⋅ q , azaz q ⋅ S n = a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n −1 + a n + a n ⋅ q ebbıl kivonva Sn-t q ⋅ S n − S n = a n ⋅ q − a 1 = a 1 ⋅ q n − a 1 = a 1 ⋅ (q n − 1) ,
S n ⋅ (q − 1) = a 1 ⋅ (q n − 1)
q −1 q −1 Megjegyzés: S n = a 1 ⋅ n , ha q = 1 n
Sn = a 1 ⋅
így mivel q ≠ 1
Magyar Eszter
Emelt szintő érettségi tételek
Nevezetes sorozatok:
1) Fibonacci-sorozatok: olyan sorozatok, melynél az elsı két tag adott, és minden azt követı tag az elızı kettı összege. a n = a n −1 + a n − 2 n > 2 esetén. n
n
1 1+ 5 1 1− 5 (jaj) − ⋅ ⋅ Ha a 1 = 1 és a 2 = 1 , akkor speciel a n = 5 2 5 2 n
n
c 1 2) 1 + , határértéke e, illetve lim 1 + = e c n →∞ n n
Alkalmazások: - a virágszirmok száma gyakran Fibonacci-szám (liliom 3, vadrózsa 5; vérpipacs 8, körömvirág 13, cikória 21, útilapú 34) - fenyıtoboz, ananász, karfiol, málna Fibonacci spirálba rendezıdik - baktériumok szaporodása a Fibonacci-sorozat szerint történhet - kamatszámítás - összegzési problémák - pénzügyi számításokban - kamatos kamat számításakor - törlesztés évi részletének számításában - népességnövekedés (mértani sorozat)
