T¨ ort´ eneti ´ attekint´ es
T¨ort´enelmi m´erf¨oldk¨ovek 1.
´ Az Okori K´ına Matematik´aja.
1
I.e. 1550-1050 k. A legkor´abbi ´allamalakulat a Hoang ho a V¨ or¨ os foly´ o v¨ olgy´eben, a San-Jin ´allam. Els˝ o ´ır´asos eml´ekek, bronzkori kult´ ura.
Klukovits Lajos
2
I.e. 1050-770 k. A Csou-dinasztia ´allama.
3
I.e. 770 k. Az ´allam f¨ olbomlik, n´eh´any nagyobb fejedelems´eg ´ f¨ uggetlen´ıti mag´at. Alland´ o harcok a hegem´ oni´a´ert: Tavasz ´es ˝ osz ” korszaka” I.e. 722-481, a Harcol´ o kir´alyok kora” I.e. 481-221. ” L´etrej¨ onnek a nagy vall´asfiloz´ ofiai iskol´ak: taoizmus (I.e. VI. sz. Lao-ce), konfucianizmus (Konfuciusz, vagy Kung-ce megh. 479).
TTIK Bolyai Int´ ezet
2015. szeptember 22.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
4
2015. szeptember 22.
1 / 46
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
T¨ ort´ eneti ´ attekint´ es
2
2 3 3 4
despotikus cs´asz´ari hatalom, centraliz´alt hivatali appar´atus, fejlett ad´ orendszer.
V´edm˝ u (a Nagy Fal el˝ode) a birodalom hat´ar´an. I.e. 206-I.sz. 8. Az els˝o, a korai Han-dinasztia. 1 2 3 4
5
K´ına
1
I.sz. 200 k. K´ına ´eszaki hat´ar´an megalakul a legkor´abbi ismert bels˝ o-´azsiai nom´ad birodalom: a hunok el˝ odei?
2
I.sz. 25-220 A m´asodik (k´es˝ oi) Han-dinasztia. A h´od´ıt´asokat m´ar csak d´el fel´e folytatj´ak. Behatolnak H´ats´ o-Indi´aba.
3
I.sz. 316 A bels˝ o-´azsiai nom´adok t´amad´asa megd¨ onti a Han-dinaszti´at k¨ ovet˝ o Csin-dinaszti´at. D´elre menek¨ ulve u ´j birodalmat hoznak l´etre a Jang ce, a S´arga foly´ o ment´en. ´ Eszakon nom´ad birodalmak alakulnak, ´es azok fokozatosan ´atveszik a k´ınai kult´ ur´at. ´ 439 A (barb´ar) Vej-dinasztia egyes´ıti Eszak-K´ ın´at, uralkod´ ov´a teszi a buddhizmust.
4
Folytat´ odik a b¨ urokratikus ´allamrend ki´ep´ıt´ese, szervezett hivatalnokk´epz´es, terjedni kezd a konfucianizmus, k´es˝obb ´allamvall´ass´a v´alik, h´od´ıt´ o politika: D´el-K´ına, Korea, Mandzsuria, Tarim-medence (els˝ o kapcsolat az indiai ´es a perzsa kult´ ur´aval), a Nagy Fal ´ep´ıt´ese.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
2 / 46
T¨ort´enelmi m´erf¨oldk¨ovek 3
I.e. 220-209 k. Csing Si Huang-ti legy˝ ozi ´es egyes´ıti a harcol´ o ” kir´alys´agokat”, cs´asz´ark´ent megalap´ıtja a K´ınai Birodalmat, Csin dinasztia, I.e. 221-206. Kialakul a k´es˝obb ´ azsiai t´ıpus´ u birodalomnak nevezett ´allamforma, benne az u ´n. ´azsiai termel´esi m´ od: 1
2015. szeptember 22.
T¨ ort´ eneti ´ attekint´ es
T¨ort´enelmi m´erf¨oldk¨ovek 2. 1
K´ına
2015. szeptember 22.
5
6
3 / 46
589-618 A Szuj-dinasztia uralma alatt u ´jra egys´eges¨ ul az eg´esz K´ına.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2015. szeptember 22.
4 / 46
´Ir´ asos eml´ ekek
A Kilenc K¨ onyv
Az els˝o ismert matematikai m˝u.
Az egyes k¨onyvek t´emak¨orei. I. Ter¨ uletsz´am´ıt´as, sz´amol´as t¨ ortekkel.
˝ ve ´szete Kilenc Ko ¨ nyvben Az Aritmetika Mu
II. A k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o szemes term´enyek k¨ olcs¨ onviszonya (pl. tiszt´ıtatlan k¨ oles, durv´an f¨ oldolgozott k¨ oles, tiszt´ıtott k¨ oles, ..., fejedelemnek val´ o k¨ oles). Line´aris hat´arozatlan egyenletek, egyenletrendszerek.
A Kilenc K¨onyv”. ” 1
2
El˝osz¨or az I.e. 179-k¨or¨ ul (korai Han dinasztia) ´all´ıtott´ak ¨ ossze az I. ´evezred k´ınai matematik´aja ¨ osszefoglal´asak´ent. A legr´egebbi f¨onnmaradt p´eld´any (egy szerkesztett v´altozat) szerz˝ oje az I.sz. III. sz´azad h´ıres geom´etere Liu Huj. 1
2
A matematikai ismeretek enciklop´edi´aja az ´allamszervezet hivatalnokainak szolg´alat´aban. A c´elszem´elyek: f¨ oldm´er˝ok ´es ´ep´ıt´eszek, p´enz¨ ugyi hivatalnokok ´es keresked˝ ok, gazd´alkod´ ok ´es k´ezm˝ uvesek.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2015. szeptember 22.
III. Ar´anyos oszt´asok (pl. 3 szarvas h´ us´anak f¨ oloszt´asa 5 k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o rang´ u hivatalnok k¨ oz¨ ott 5 : 4 : 3 : 2 : 1 ar´anyban.) IV. Sao kang. Geometriai probl´em´ak (pl, t´eglalap egy oldal´anak meghat´aroz´asa a ter¨ uletb˝ ol ´es a m´asik oldalb´ ol, k¨ or-, ill. g¨ omb ´atm´er˝ oj´enek meghat´aroz´asa a ter¨ uletb˝ ol ill. t´erfogatb´ ol). V. A munk´ak ´ert´ekel´ese: k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o falak, csatorn´ak, g´atak stb. (bonyolult alakzatok is) ´ep´ıt´es´ehez sz¨ uks´eges munk´asok sz´am´anak meghat´aroz´asa.
5 / 46
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
A Kilenc K¨ onyv
K´ına
2015. szeptember 22.
6 / 46
A k´ınai aritmetika.
Az egyes k¨onyvek t´emak¨orei.
A k´ınai sz´am´ır´as. Tizes alap´ u ´es bizonyos helyi´ert´ek-szer˝ u jegyeket hordoz. A sz´amjegyeket p´alcik´akb´ ol (sz´amol´ op´alc´ak) rakt´ak f¨ ugg˝ olegesen vonalazott t´abl´ara. F¨ ontr˝ ol lefel´e ´ırtak.
A sz´amjegyek. VI. Ar´anyos eloszt´as, benne v´eges sorok ¨ osszegz´ese.
egy, sz´az, . . . , 102k ,
VII. T¨obblet ´es hi´any.
kett˝ o, k´etsz´az, . . . , 2 · 102k ,
VIII. Fang-cseng, line´aris egyenletrendszerekre vezet˝ o probl´em´ak.
h´arom, . . . , 3 · 102k ,
IX. Kou-kuba, der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨ ogekkel kapcsolatos feladatok.
n´egy, . . . , 4 · 102k , ot, . . . , 5 · 102k , ¨ hat, . . . , 6 · 102k , h´et, . . . , 7 · 102k , nyolc, . . . , 8 · 102k , kilenc, . . . , 9 · 102k ,
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2015. szeptember 22.
7 / 46
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2015. szeptember 22.
8 / 46
A k´ınai aritmetika.
A k´ınai aritmetika.
A k´ınai sz´am´ır´as.
A k´ınai sz´am´ır´as.
A sz´amjegyek.
A sz´amjegyek.
t´ız, ezer, . . . , 102k+1 , h´ usz, k´etezer, . . . , 2 · 102k+1 , harminc, . . . , 3 · 102k+1 , negyven, . . . , 4 · 102k+1 , ¨otven, . . . , 5 · 102k+1 , hatvan, . . . , 6 · 102k+1 , hetven, . . . , 7 · 102k+1 , nyolcvan, . . . , 8 · 102k+1 , kilencven, . . . , 9 · 102k+1 ,
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
´ aban: Az egyesek ´allnak, a tizesek fekszenek, a sz´azasok ´allnak ´es az Altal´ ” ezresek ism´et fekszenek...”
Egy p´elda. A jelsorozat a 6728 sz´amot reprezent´alja.
2015. szeptember 22.
9 / 46
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2015. szeptember 22.
10 / 46
Probl´ em´ ak a Kilenc K¨ onyvb˝ ol.
Probl´ em´ ak a Kilenc K¨ onyvb˝ ol.
Probl´em´ak a Kilenc K¨onyv”-b˝ol. ”
Probl´em´ak a Kilenc K¨onyv”-b˝ol. ” A II/38. megold´asa (folytat´as).
II. K¨onyv: hat´arozatlan egyenletrendszerek 1. 38. Probl´ ema. 576 p´enzt fizett¨ unk 78 bambuszr´ ud´ert. Mennyit vett¨ unk a nagy- ´es a kis r´ udb´ol, ´es mennyit fizett¨ unk az egyes r´ udfajt´ak´ert?
1
y = 78 − x-et helyettes´ıtve a m´asodik egyenletbe (p − q)x + 78q = 576.
Az eredm´eny.
2
48 nagy rudat ´es 30 kis rudat vett¨ unk, az ´arak 8 ´es 7 p´enz voltak.
Mindig f¨ olt´etelezt´ek, hogy p, q eg´eszek, tov´abb´a p − q = 1 minden hasonl´ o feladatban. ´Igy a megoldand´ o egyenlet:
A megold´as.
x + 78q = 576
Mai szimbolik´aval, de k¨ovetve az eredeti sz¨ oveges megold´ast, az x + y = 78
Vil´agos, hogy x < 78, ´ıgy egyetlen (pozit´ıv eg´esz) megold´as ad´ odik: q ´eppen az 576 : 78 oszt´as h´anyadosa ´es x a marad´ek, azaz
px + qy = 576
q=7
3
x = 30
egyenletrendszert, ahol x, y a rudak sz´ama, p, q, p > q az ´arak, kell megoldani. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2015. szeptember 22.
11 / 46
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2015. szeptember 22.
12 / 46
Probl´ em´ ak a Kilenc K¨ onyvb˝ ol.
Probl´ em´ ak a Kilenc K¨ onyvb˝ ol.
Probl´em´ak a Kilenc K¨onyv”-b˝ol. ”
Probl´em´ak a Kilenc K¨onyv”-b˝ol. ”
A III/3. probl´ema: ar´anyos oszt´as. H´arom utaz´o, A,B,C ´erkezik a v´amhoz, A-nak 560, B-nek 350, C-nek 180 r´ezp´enze van. H´armuknak ¨osszesen 100 r´ezp´enz v´amot kell fizetni¨ uk. Megegyeznek, hogy mindegy´ık¨ uk ugyanolyan h´anyad´at ´aldozza f¨ ol e c´elra p´enz´enek. Mennyit fizet egy-egy utaz´ o?
A III/20. probl´ema: kamatsz´am´ıt´ass.
A v´alasz
A sz¨oveges megold´as.
41 12 56 A 51 109 , B 32 109 , m´ıg C 16 109 p´enzegys´eget fizet.
A h´ onap 30 nap, ezt szorzod 1000-rel, ez az oszt´ o. A 30 kamatot szorzod a 750-nel, a k¨ olcs¨ onnel, ´es a napok sz´am´aval, a 9-cel. Ez az osztand´ o. h´anyados: 6 34 .
A sz´amol´as.
Egy ember 1000 p´enz ut´an 30 p´enz kamatot fizet egy h´ onapra. Egy m´asik ember 750 p´enz hitelt vesz f¨ ol. 9 nap ut´an ezt visszafizeti. Mennyi kamatot kell fizetnie?
100 · 560 : (560 + 350 + 180) ´es ´ıgy tov´abb.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2015. szeptember 22.
13 / 46
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Probl´ em´ ak a Kilenc K¨ onyvb˝ ol.
K´ına
2015. szeptember 22.
14 / 46
Probl´ em´ ak a Kilenc K¨ onyvb˝ ol.
Probl´em´ak a Kilenc K¨onyv”-b˝ol. ”
Probl´em´ak a Kilenc K¨onyv”-b˝ol. ”
A V/2. probl´ema: t´erfogatsz´am´ıt´ass.
A t¨obblet ´es hi´any m´odszere”. ”
A VII/1. Probl´ ema. Emberek egy csoportja k¨ oz¨ osen akar megv´as´arolni egy t´argyat. Ha mindegyik¨ uk 8 p´enzt fizet, akkor 3 p´enz a t¨ obblet”, m´ıg ” ha 7 p´enzt fizetnek, akkor akkor 4 p´enz a hi´any”. H´any ember akar ” v´as´arolni, ´es mennyi a t´argy ´ara?
Van egy g´at. Az alap sz´eles´ege 4 ¨ ol, a tetej´enek sz´eless´ege 2 ¨ ol, magass´aga 5 ¨ol, hossza 126 ¨ol 5 l´ab. Mekkora a t´erfogata?
A m´ert´ekegys´egek 1¨ ol=10 l´ab
A megold´as. 7 ember v´as´arol ´es 53 p´enz a t´argy ´ara.
Eredm´eny. A t´erfogat 1897500 k¨obl´ab.
A sz´amol´as.
A sz´amol´as. (3 + 4) : (8 − 7) = 7 ember
Add ¨ossze az als´o ´es a fels˝o sz´eless´eget, vedd a fel´et, majd szorozzad a magass´ag´aval ´es m´eg a hossz´aval. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2015. szeptember 22.
(8 · 4 + 7 · 3) : (8 − 7) = 53 az ´ar. 15 / 46
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2015. szeptember 22.
16 / 46
Probl´ em´ ak a Kilenc K¨ onyvb˝ ol.
Probl´ em´ ak a Kilenc K¨ onyvb˝ ol.
Probl´em´ak a Kilenc K¨onyv”-b˝ol. ”
Probl´em´ak a Kilenc K¨onyv”-b˝ol. ”
A t¨obblet ´es hi´any m´odszere”. ”
A VII/2. Probl´ ema. Emberek egy csoportja k¨ oz¨ osen akar megv´as´arolni egy ty´ ukot. Ha mindegyik¨ uk 9 p´enzt fizet, akkor 11 p´enz a t¨ obblet”, m´ıg ” ha 6 p´enzt fizetnek, akkor akkor 16 p´enz a hi´any”. H´any ember akar ” v´as´arolni, ´es mennyi a ty´ uk ´ara?
A megold´as.
A t¨obblet ´es hi´any m´odszere”. ”
A VII/3. Probl´ ema. Emberek egy csoportja k¨ oz¨ osen akar megv´as´arolni egy Chin-k¨ ovet”. Ha mindegyik¨ uk 12 p´enzt fizet, akkor 4 p´enz a ” t¨ obblet”, m´ıg ha 31 p´enzt fizetnek, akkor akkor 3 p´enz a hi´any”. H´any ” ” ember akar v´as´arolni, ´es mennyi a k˝ o ´ara?
9 ember v´as´arol ´es 70 p´enz a ty´ uk ´ara.
A megold´as. A sz´amol´as.
42 ember v´as´arol ´es 17 p´enz a Chin-k˝ o” ´ara. ” (11 + 16) : (9 − 6) = 9 (9 · 16 + 6 · 11) : (9 − 6) = 70
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
ember a ty´ uk. 2015. szeptember 22.
17 / 46
Probl´ em´ ak a Kilenc K¨ onyvb˝ ol.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
Probl´em´ak a Kilenc K¨onyv”-b˝ol. ”
A sz´amol´as.
A megold´asi technika.
1 1 (4 + 3) : − = 42 ember 2 3 1 1 1 1 1 ·3+ ·4 : − = 42 · − 4 2 3 2 3 2 1 = 42 · + 3 = 17 3
K´ına
18 / 46
Probl´ em´ ak a Kilenc K¨ onyvb˝ ol.
Probl´em´ak a Kilenc K¨onyv”-b˝ol. ”
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
2015. szeptember 22.
A negyedik feladat ut´an megfogalmazt´ak a t¨ obblet ´es hi´any m´ odszer´et, a megoldand´ o egyenletrendszer: a1 x − f1 = s a2 x + f2 = s, a k˝ o.
2015. szeptember 22.
ahol x, s az emberek sz´ama ´es a t´argy ´ara.
19 / 46
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2015. szeptember 22.
20 / 46
Probl´ em´ ak a Kilenc K¨ onyvb˝ ol.
Probl´ em´ ak a Kilenc K¨ onyvb˝ ol.
A megold´asi technika.
A megold´asi technika.
A t´ablak´ep 1. Tedd a t´abl´ara a fizetend˝o p´enzt, al´ajuk a t¨ obbletet ´es a hi´anyt: a1 f1
a2 f2
A t´ablak´ep 3.
(a1 > a2 ) (f1 a t¨ obblet)
Vonjad ki a nagyobb´ ol a kisebbet: a1 − a2 . Ekkor (f1 + f2 ) : (a1 − a2 ) = N
A t´ablak´ep 2.
a1 f2 + a2 f1 ·N f1 + f2
Szorozz kereszbe, majd adj ¨ ossze, ez — az osztand´ o” — a harmadik ” sor, majd a t¨obblet ´es a hi´any ¨ osszege — az oszt´ o” — a negyedik ” sor:
az emberek sz´ama
az ´ar.
Ellen˝orz´es. a1 a2 f1 f2 a1 f2 + a2 f1 f1 + f2 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
(a1 > a2 ) (f1 a t¨ obblet)
K´ına
2015. szeptember 22.
Az ´ar N · a1 − f1 = N · a2 + f1 .
21 / 46
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Probl´ em´ ak a Kilenc K¨ onyvb˝ ol.
K´ına
2015. szeptember 22.
22 / 46
Probl´ em´ ak a Kilenc K¨ onyvb˝ ol.
A megold´asi technika.
Probl´em´ak a Kilenc K¨onyv”-b˝ol. ” VIII. k¨onyv, kett˝on´el t¨obb hat´arozatlanos egyenletrendszerek. E k¨ onyvben 3 - 5 hat´arozatlanos line´aris egyenletrendszerekre vezet˝ o probl´em´ak tal´alhat´ ok.
K´erd´esek. 1
Mai tud´asunkkal hogyan ´ırhatjuk le e sz´amol´ast?
2
A k¨onyv tov´abbi feladatai: mindkett˝ o t¨ obblet, illetve mindkett˝ o hi´any alak´ uak Ezekre is n´eh´any konkr´et feladat ut´an ´altal´anos sz´amol´asi elj´ar´ast fogalmaz meg. Tudn´ank rekonstru´alni ezeket is mai eszk¨oz¨okkel?
A VIII/1. Probl´ ema. 3 j´ o k´ev´eb˝ ol, 2 k¨ ozepes k´ev´eb˝ ol ´es 1 rossz k´ev´eb˝ ol 39 tau gabon´at kapunk. 2 j´ o k´ev´eb˝ ol, 3 k¨ ozepes k´ev´eb˝ ol ´es 1 rossz k´ev´eb˝ ol 34 tau gabon´at kapunk. 1 j´ o, 2 k¨ ozepes ´es 3 rossz k´ev´eb˝ ol pedig 26 tau gabon´at. Mennyi gabon´at kapunk 1 - 1 j´ o, k¨ ozepes ´es rossz k´ev´eb˝ ol?
A v´alasz. 1 j´ o k´eve 9 14 tau, 1 k¨ ozepes k´eve 4 14 , 1 rossz k´eve 2 43 tau gabon´at ad.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2015. szeptember 22.
23 / 46
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2015. szeptember 22.
24 / 46
Probl´ em´ ak a Kilenc K¨ onyvb˝ ol.
Probl´ em´ ak a Kilenc K¨ onyvb˝ ol.
Probl´em´ak a Kilenc K¨onyv”-b˝ol. ”
Probl´em´ak a Kilenc K¨onyv”-b˝ol. ”
A megold´as 1. A t¨om¨or v´alaszt a n´emileg r´eszletezett megold´as k¨ ovette, a megfelel˝oen kirakott sz´amol´ot´abla-k´epeket k¨ oz¨ olt´ek komment´ar n´elk¨ ul. Az elv meglep˝ o.
A t´abl´ak. 1 2 3 2 3 2 3 1 1 26 34 39
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
0 0 3 4 5 2 8 1 1 39 24 39
K´ına
0 0 3 0 5 2 36 1 1 99 24 39
2015. szeptember 22.
25 / 46
Probl´ em´ ak a Kilenc K¨ onyvb˝ ol.
A megold´as 2. 99 3 =2 , 36 4 1 (24 · 36 − 99) : 5 : 36 = 4 , 4 1 (39 · 36 − 1 · 99 − 2 · 153) : 3 : 36 = 9 . 4
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
26 / 46
Probl´ em´ ak a Kilenc K¨ onyvb˝ ol.
Probl´em´ak a Kilenc K¨onyv”-b˝ol. ”
Probl´em´ak a Kilenc K¨onyv”-b˝ol. ”
Ha x, y , z jel¨oli a j´o, a k¨ozepes ´es a rossz k´ev´ek adta gabon´at, akkor az
A 3. T´ablak´epnek megfelel˝ o egyenletrendszer:
A modern” megold´as 3. ”
A modern” megold´as 1. ”
3x + 2y + z = 39
3x + 2y + z = 39
2x + 3y + z = 34
5y + z = 24
x + 2y + 3z = 26
36z = 99
egyenletrendszert kell megoldani. Ez megfelel az 1. T´ablak´epnek.
A modern” megold´as 4. ”
Ezen utols´ o egyenletrendszer m´ar k¨ onnyen megoldhat´ o:
A modern” megold´as 2. ”
99 3 =2 36 4 1 (24 · 36 − 99) : 5 : 36 = 4 4 1 (39 · 36 − 1 · 99 − 2 · 153) : 3 : 36 = 9 . 4
A 2. T´ablak´epnek megfelel˝o egyenletrendszer: 3x + 2y + z = 39 5y + z = 24 4y + 8z = 39 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
2015. szeptember 22.
K´ına
2015. szeptember 22.
27 / 46
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2015. szeptember 22.
28 / 46
Probl´ em´ ak a Kilenc K¨ onyvb˝ ol.
Probl´ em´ ak a Kilenc K¨ onyvb˝ ol.
A VIII. k¨onyv egy meglepet´ese. A m´odszer egy ´altal´anos´ıt´asa. Az egyenletrendszerek megold´asakor k¨ onnyen bele¨ utk¨ ozhet¨ unk abba, hogy
Mit rejt e sz´amol´as?
I
kisebb sz´amb´ ol nagyobb sz´amot kellene kivonni.
B´armennyire is meglep˝o az nem m´as, mint az, amit ma
Mit tettek ilyenkor?
Gauss-elimin´aci´o n´even ismer¨ unk ´es kiterjedten haszn´alunk.
Megjelennek a negat´ıv sz´amok? A megold´asok erre utalnak, s˝ ot
Korabeli neve Feng csen.
I I
olykor sz´ınes sz´amol´ op´alc´akat haszn´altak, pirosat a pozit´ıv- ´es feket´et a negat´ıv sz´amok eset´en.
A t´abl´azat pozit´ıv elemeit csengnek, m´ıg a negat´ıvokat funak nevezt´ek. A k¨ ovetkez˝ o feladatb´ ol l´athat´ o, hogy — el˝ osz¨ or a matematik´aban — t¨ ok´eletesen sz´amoltak el˝ ojeles sz´amokkal. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2015. szeptember 22.
29 / 46
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
Probl´ em´ ak a Kilenc K¨ onyvb˝ ol.
Probl´ em´ ak a Kilenc K¨ onyvb˝ ol.
A VIII. k¨onyv 8. probl´em´aja.
A VIII. k¨onyv 8. probl´em´aja.
A feladat.
A megoldand´o egyenletrendszer.
2015. szeptember 22.
30 / 46
2015. szeptember 22.
32 / 46
Egy v´as´arl´asi - elad´asi probl´em´ar´ ol sz´ ol. 2 bivaly ´es 5 b´ar´any elad´asakor ´es 13 sert´es v´as´arl´asakor marad 1000 csien (r´eszp´enz).
2x + 5y = 13z + 1000
3 bivaly ´es 3 sert´es elad´asakor kapott p´enz ´eppen el´eg 9 b´ar´any v´as´arl´as´ara.
6y + 8z = 5x − 600
3x + 3z = 9y
Rendezve az egyenletrendszert.
6 b´ar´any ´es 8 sert´es elad´asakor 5 bivaly megv´etel´ehez 600 csien hi´anyzik.
2x + 5y − 13z = 1000
Az eredm´eny.
3x − 9y + 3z = 0
Egy bivaly ´ara 1200, egy b´ar´any ´ara 500, m´ıg egy sert´es ´ara 300 csien.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2015. szeptember 22.
−5x + 6y + 8z = −600
31 / 46
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
Probl´ em´ ak a Kilenc K¨ onyvb˝ ol.
Probl´ em´ ak a Kilenc K¨ onyvb˝ ol.
A VIII. k¨onyv 8. probl´em´aja.
Probl´em´ak a Kilenc K¨onyv”-b˝ol. ” A IX. k¨onyv.
Z¨ om´eben der´eksz¨ og˝ u h´aromsz¨ ogekkel kapcsolatos sz´am´ıt´asokat tartalmaz.
A kiindul´asi t´ablak´ep. 5 3 2 6 9 5 8 3 13 600 1000
Ezekben alapvet˝ o a Pithagorasz t´etel.
A IX/11. Probl´ema. Van egy ajt´ o, amelynek magass´aga 6 chih-vel ´es 8 tsun-nal t¨ obb a sz´eless´eg´en´el. Az egyik sark´at´ ol az ´atellenes sarokig 1 chang a t´avols´ag. Mennyi az ajt´ o magass´aga ´es sz´eless´ege.
A v´egs˝o t´ablak´ep. 2 33 5 48 45 13 1440 3000 1000
Az eredm´eny. A sz´eless´eg: 2 chih, 8 tsun, a magass´ag: 9 chih ´es 6 tsun.
A m´ert´ekegys´egek. 1 chang = 10 chih = 100 tsun. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2015. szeptember 22.
33 / 46
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Probl´ em´ ak a Kilenc K¨ onyvb˝ ol.
K´ına
2015. szeptember 22.
34 / 46
Probl´ em´ ak a Kilenc K¨ onyvb˝ ol.
Probl´em´ak a Kilenc K¨onyv”-b˝ol. ”
Probl´em´ak a Kilenc K¨onyv”-b˝ol. ” Az eredm´eny.
Az igen t¨ om¨ oren fogalmazott sz¨ oveges megold´asb´ ol az olvashat´ o ki, hogy az
A probl´ema mai jel¨ol´esekkel. Megoldand´o az
v u u1 x =t 2 v u u1 y =t 2
x − y = l = 6, 8 p x 2 + y 2 = d = 10 egyenletrendszer, ahol x, y , d rendre a magass´ag, a sz´eless´eg ´es az ´atl´ o.
d2 − 2
d2
2 ! l l + 2 2
2 ! l l −2 − 2 2
formul´ak szerint sz´amoltak, ´es azt kapt´ak, hogy x = 9 chih ´es 6 tsun Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2015. szeptember 22.
35 / 46
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
y = 2 chih ´es 8 tsun. 2015. szeptember 22.
36 / 46
Probl´ em´ ak a Kilenc K¨ onyvb˝ ol.
Probl´ em´ ak a Kilenc K¨ onyvb˝ ol.
Probl´em´ak a Kilenc K¨onyv”-b˝ol. ”
Probl´em´ak a Kilenc K¨onyv”-b˝ol. ” A megold´as l´ep´esei 2.
Elemz´es 1.
Emelj¨ uk n´egyzetre a m´asodik egyenletet, ´es x-et helyettes´ıts¨ uk be
K´ erd´ es, hogyan kapt´ak meg ezt a (korrekt) sz´amol´asi m´ odot. A k¨ onyv nem ad u ´tbaigaz´ıt´ast. T´ampontot adhat Jang Huj 1261-ben ´ırott, a Kilenc k¨onyv” matematikai szab´alyainak r´eszletes magyar´azata ´es ” oszt´alyoz´asa c. k´ezirata.
y +2 Egy kis egyenletrendez´es
A megold´as l´ep´esei 1.
2 l l +4 y = d2 2 2 2 2 ! l l l 1 2 2 y + +2 y= d −2 2 2 2 2 2 2 ! l 1 l y+ = d2 − 2 2 2 2
2y 2 + 4
A megoldand´o egyenletrendszer x − y = l = 6, 8 p x 2 + y 2 = d = 10 Fejezz¨ uk ki x-et az els˝o egyenletb˝ ol: x = y + 2
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
2 l + y2 = d2 2
l 2
K´ına
.
2015. szeptember 22.
37 / 46
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Probl´ em´ ak a Kilenc K¨ onyvb˝ ol.
K´ına
2015. szeptember 22.
38 / 46
Probl´ em´ ak a Kilenc K¨ onyvb˝ ol.
Probl´em´ak a Kilenc K¨onyv”-b˝ol. ”
Probl´em´ak a Kilenc K¨onyv”-b˝ol. ”
A megold´as l´ep´esei 3.
A megold´as tetszet˝ os, elk´epzelhet˝ o, hogy ´ıgy kapt´ak a megold´ast, de figyelembe kell venni, hogy a komment´ar legal´abb ezer ´evvel k´es˝ obb sz¨ uletett, mint az eredeti k¨ onyv.
Komment´ar.
Mindk´et oldalb´ol gy¨ok¨ot vonva v u 2 ! u1 l l t 2 y= d −2 − , 2 2 2
Elemz´es 2. Ez´ert megfontoland´ o, hogy — hasonl´ oan az ´ okori mezopot´amiaiakhoz —˝ ok is ink´abb a Diophantosz ´altal ¨ osszeg-szorzat m´ odszernek nevezettet k¨ ovett´ek-e.
v´eg¨ ul x = y + l. v u 2 ! u1 l l t 2 x= d −2 + . 2 2 2
Ha ezt alkalmazzuk, akkor el˝ obb egy u ´j hat´arozatlant kell bevezetni, x ´es y z sz´amtani k¨ ozep´et. Ekkor l l ´es y =z− . 2 2 Az ´atl´ ora f¨ ol´ırt Pithagorasz t´etelbe helyettes´ıtve a x =z+
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2015. szeptember 22.
39 / 46
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2015. szeptember 22.
40 / 46
Probl´ em´ ak a Kilenc K¨ onyvb˝ ol.
N´ egyzetgy¨ okvon´ o algoritmus
Probl´em´ak a Kilenc K¨onyv”-b˝ol. ”
Probl´em´ak a Kilenc K¨onyv”-b˝ol. ”
Elemz´es 2.
N´egyzetgy¨okvon´as 1.
l z+ 2
2
l 2 + z− = d2 2
Hasonl´ oan a mezopot´amiaiakhoz, e k´erd´es itt is megker¨ ulhetetlen. A m´ odszert sz¨ ovegesen adt´ak meg elmagyar´azva, hogy hogyan kell a p´alcik´akat rakosgatni a sz´amol´ ot´abl´an.
egyenletet kapjuk, amit egyszer˝ u megoldani 2 l 2z 2 + 2 = d2 2 v u u1 z =t 2
Ez sz´amunkra igen nehezen k¨ ovethet˝ o, ez´ert — mint m´ar t¨ o√ bbsz¨ or is tett¨ uk — mai algebrai szimbolik´aval ´ırjuk le m´ odszer¨ uket a 55.225 kisz´am´ıt´as´an kereszt¨ ul. Vil´agos, hogy e feladat ekvivalens az 2 ! l d2 − 2 , 2
x 2 = 55.225 egyenlet pozit´ıv gy¨ ok´enek meghat´aroz´as´aval.
ami ut´an x ´es y azonnal ad´ odik. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2015. szeptember 22.
41 / 46
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
N´ egyzetgy¨ okvon´ o algoritmus
2015. szeptember 22.
42 / 46
N´ egyzetgy¨ okvon´ o algoritmus
Probl´em´ak a Kilenc K¨onyv”-b˝ol. ”
Probl´em´ak a Kilenc K¨onyv”-b˝ol. ” N´egyzetgy¨okvon´as 3.
N´egyzetgy¨okvon´as 2.
amib˝ ol
1. l´ ep´ es. Meghat´arozzuk a gy¨ ok nagys´agrendj´et, ami 100, ´ıgy a k¨ovetkez˝o l´ep´es a gy¨ok sz´azasainak” meghat´aroz´asa lesz. ” 2. l´ ep´ es. A sz´azasok meghat´aroz´as´ahoz legyen x = 100x1 ´es x1 = p + y , ahol 0 ≤ p < 10 eg´esz, 0 ≤ y < 1. A 10.000x12 = 55.225
40.000y + 10.000y 2 = 15.225.
(2)
3. l´ ep´ es. A tizesek meghat´aroz´as´ahoz legyen 10y = y1 . Ezt (2)-be helyettes´ıtve 4.000y1 + 100y12 = 15.225.
(1)
(2’)
Az el˝ oz˝ o l´ep´eshez hasonl´ oan legyen y1 = q + z, ahol 0 ≤ q < 10 eg´esz ´es 0 ≤ z < 1.
egyenl˝os´egb˝ol ad´odik, hogy p = 2, ´ıgy x1 = 2 + y . Helyettes´ıts¨ uk ezt (1)-be:
Mivel (2’)-b˝ ol (4.000 + 100q)q ≤ 15.225,
10.000x12 = 10.000(2 + y )2 2
= 40.000 + 40.000y + 10.000y = 55.225,
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
K´ına
2015. szeptember 22.
kapjuk: q = 3 (hiszen ez a legnagyobb eg´esz, amelyre az el˝ obbi egyenl˝ otlens´eg teljes¨ ul), ´ıgy y1 = 3 + z. 43 / 46
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2015. szeptember 22.
44 / 46
N´ egyzetgy¨ okvon´ o algoritmus
N´ egyzetgy¨ okvon´ o algoritmus
Probl´em´ak a Kilenc K¨onyv”-b˝ol. ”
Probl´em´ak a Kilenc K¨onyv”-b˝ol. ”
N´egyzetgy¨okvon´as 4.
N´egyzetgy¨okvon´as 5. 4. l´ ep´ es. Az egyesek meghat´aroz´as´ahoz legyen 10z = z1 = r . Ezt (3)-ba helyettes´ıtve
Ezt (2’)-be helyettes´ıtve 15.225 = 100(3 + z)2 + 4.000(3 + z)
z12 + 460z1 = 2.325,
= 900 + 600z + 100z 2 + 12.000 + 4.000z = 100z 2 + 4.600z + 12.900
A z1 = r ´ert´ek´et 5-nek v´alasztott´ak (V´elhet˝ oen marad´ekos oszt´as seg´ıts´eg´evel)
Rendezve
V´ egeredm´ eny: 100z 2 + 4600z = 2325.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
(3)
2015. szeptember 22.
45 / 46
√
55.225 = 100 · 2 + 10 · 3 + 5 = 235.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2015. szeptember 22.
46 / 46
