ANALISIS REGRESI PADA DATA OUTLIER DENGAN METODE MM-ESTIMASI SKRIPSI. Oleh LUKMANUL HAKIM NIM

ANALISIS REGRESI PADA DATA OUTLIER DENGAN METODE MM-ESTIMASI

SKRIPSI

Oleh LUKMANUL HAKIM NIM. 09610051

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG

2016

ANALISIS REGRESI PADA DATA OUTLIER DENGAN METODE MM-ESTIMASI

SKRIPSI

Diajukan Kepada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si)

Oleh Lukmanul Hakim NIM. 09610051

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2016

ANALISIS REGRESI PADA DATA OUTLIER DENGAN METODE MM-ESTIMASI

SKRIPSI

Oleh Lukmanul Hakim NIM. 09610051

Telah Diperiksa dan Disetujui untuk Diuji Tanggal 30 Juli 2016 Pembimbing I,

Pembimbing II,

Dr. Sri Harini, M.Si NIP. 1971014 2001122 002

Evawati Alisah, M.Pd NIP. 19720604 199903 2 001

Mengetahui, Ketua Jurusan Matematika

Dr. Abdussakir, M.Pd NIP. 19751006 200312 1 001

PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN

Saya yang bertandatangan di bawah ini: Nama

: Lukmanul Hakim

NIM

: 09610051

Jurusan

: Matematika

Fakultas

: Sains danTeknologi

JudulSkripsi

: Analisis Regresi Pada Data Outlier Dengan Metode MMEstimasi.

Menyatakan dengan sebenarnya bahwa skripsi yang saya tulis ini benar-benar merupakan hasil karya saya sendiri, bukan merupakan pengambilan data, tulisan, atau pikiran orang lain yang saya akui sebagai hasil tulisan atau pikiran saya sendiri, kecuali dengan mencantumkan sumber cuplikan pada daftar pustaka. Apabila di kemudian hari terbukti atau dapat dibuktikan skripsi ini hasil jiplakan, maka saya bersedia menerima sanksi atas perbuatan tersebut.

Malang, 30 Juni 2016 Yang membuat pernyataan,

Lukmanul Hakim NIM. 09610051

MOTO

“Selalu berusaha melakukan yang terbaik meski manusia mempunyai kelebihan ataupun kekurangan, takdir bisa berubah jika kita berusaha”

PERSEMBAHAN

Skripsi ini penulis persembahkan untuk:

Ibu Munawaroh, bapak Bonasir (Alm.) dan adik tersayang Wardatul Jannah,keluarga dari ibu penulis. Bapak Moh. Sholeh, ibu Murniati dan adik Moh. Hadi Rizqi serta keluarga dari bapak penulis. Inspirator penulis yaitu Abah Romo Kyai Haji Prof. Abdul Ghofur pemangku Pondok Pesantren Sunan Drajat Lamongan.

BAB IKATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh. Puji syukur kepada Allah Swt. Berkat rahmat dan izin-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana dalam bidang matematika di Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. Dalam menyelesaikan skripsi ini, penulis banyak mendapat bimbingan dan arahan dari berbagai pihak. Untuk itu ucapan terimakasih yang sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya penulis sampaikan terutama kepada: 1. Prof. Dr. H. Mudjia Rahardjo, M.Si, selaku rektor Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. 2. Dr. drh. Bayyinatul Muchtaromah, M.Si, selaku dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. 3. Dr. Abdussakir, M.Pd, selaku ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. 4. Dr. Sri Harini, M.Si., selaku dosen pembimbing I yang dengan sabar telah meluangkan waktunya demi membimbing, mengarahkan, menasihati serta memberim otivasi dalam penyelesaian skripsi ini. 5. Evawati Alisah, M.Pd., selaku dosen pembimbingII yang telah membimbing dan berbagi ilmu kepada penulis sampai menyelesaikan skripsi ini. Segenap sivitas akademika Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi

viii

Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang terutama seluruh dosen terimakasih atas ilmu dan bimbingan yang telah diberikan pada penulis. 6. Ibu penulis yaitu ibu Munawaroh, adik penulis yaitu Wardatul Jannah dan bapak Bonasir (Alm.) yang tidak pernah henti-hentinya memberikan kasih sayang, do’a, serta motivasi kepada penulis. 7. Bapak Moh. Sholeh dan ibu Murni serta adik Rizki. 8. Guru-guru Madrasah Ibtida’iyah, Madrasah Tsanawiyah, TPA, TPQ, MA. Ma’arif 07 Sunan Drajad yang telah membimbing penulis dari yang bukan siapa-siapa dan tidak mengerti apa-apa sampai bisa seperti ini. Sungguh jasajasa Beliau tidak ternilai harganya. 9.

Semua mahasiswa Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang khususnya Jurusan Matematika terutama angkatan 2009 serta semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, atas keikhlasan bantuan moril maupun materiil, penulis ucapkan terimakasih.

Semoga skripsi ini bermanfaat bagi semua pihak dan menambah wawasan keilmuan khususnya di bidang matematika statistika. Aamiin ya Robbal ‘Aalamiin. Wassalamu’alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh. Malang, Juni 2016

Penulis

ix

DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL HALAMAN PENGAJUAN HALAMAN PERSETUJUAN HALAMAN PENGESAHAN HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN HALAMAN MOTO HALAMAN PERSEMBAHAN KATA PENGANTAR ...................................................................................... viii DAFTAR ISI ..................................................................................................... x DAFTAR TABEL ............................................................................................ xii DAFTAR SIMBOL .......................................................................................... xiii DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................... xv ABSTRAK ........................................................................................................ xvi ABSTRACT ...................................................................................................... xvii

‫ ملخص‬.................................................................................................................... xviii BAB I PENDAHULUAN 1.1 .................................................................................................... Lat ar Belakang ....................................................................................... 1 1.2 .................................................................................................... Ru musan Masalah .................................................................................. 5 1.3 .................................................................................................... Tuj uan Penelitian .................................................................................... 5 1.4 .................................................................................................... Bat asan Masalah....................................................................................... 5 1.5 .................................................................................................... Ma nfaat Penelitian ................................................................................... 6 1.6 .................................................................................................... Sist ematika Penulisan .............................................................................. 7 BAB II KAJIAN PUSTAKA 2.1 .................................................................................................... Ana lisis Regresi ........................................................................................ 8

x

2.2 .................................................................................................... Mo del Persamaan Regresi ........................................................................ 9 2.3 .................................................................................................... Out lier....................................................................................................... 10 2.3.1 Nilai Leverage ........................................................................... 12 2.3.2 Nilai Discrepancy ...................................................................... 14 2.3.3 Nilai Influence ........................................................................... 17 2.3.3.1 Pengukuran nilai influence secara global ...................... 17 2.3.3.2 Pengukuran nilai influence secara khusus ..................... 20 2.4 .................................................................................................... Met ode Robust .......................................................................................... 21 2.4.1 MM-Estimasi ............................................................................. 22 2.5 .................................................................................................... Kaji an Al-Quran dan Al-Hadits Tentang Regresi dan Outlier .................. 24 2.5.1 Ayat Al-Quran Tentang Analisis Regresi .................................. 24 2.5.2 Ayat Al-Quran Tentang Outlier ................................................ 26 BAB III METODE PENELITIAN 3.1 .................................................................................................... Ker angka Penelitian .................................................................................. 29 3.2 .................................................................................................... Met ode Pengumpulan Data ....................................................................... 29 3.3 .................................................................................................... Ana lisis Data ............................................................................................. 31 BAB IV PEMBAHASAN 4.1 Deteksi Outlier ................................................................................... 4.1.1 Leverage .................................................................................... 4.1.2 Discrepancy ............................................................................... 4.1.3 Influence .................................................................................... 4.2 MM-Estimasi ...................................................................................... 4.3 Kajian Outlier dalam Al-Quran .........................................................

33 34 35 36 37 39

BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpulan ........................................................................................ 41 5.2 Saran ........ ......................................................................................... 42 DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 43 LAMPIRAN ....................................................................................................... 44 RIWAYAT

HIDUP

xi

DAFTAR TABEL Tabel 4.1 Survival Time ..................................................................................... Table 4.2 Deteksi Leverage pada Data Durvival Time ...................................... Table 4.3 Deteksi Discrepancy pada Data Survival Time ................................. Table 4.4 Deteksi Nilai Influence pada Data Survival Time ..............................

viii

30 34 35 37

DAFTAR SIMBOL

:

variabel bebas

:

variabel terikat

:

intercept pada sumbu y, titik potong dengan sumbu y

:

kemiringan dari garis regresi

:

error

:

vektor variabel terikat

:

matriks variabel bebas

:

vektor koefisien parameter regresi

:

matriks pembobot spatial

:

matriks bobot spatial error

:

parameter koefisien spatial lag variabel dependen

:

parameter koefisien spatial lag error

:

vektor error yang diasumsikan mengandung autokorelasi

:

vektor error yang diasumsikan tidak mengalami autokorelasi, yang berdistribusi normal dengan mean nol dan varians

:

matriks identitas

:

fungsi objektif

:

fungsi influence (pengaruh)

:

matriks pembobot

:

leverage kasus ke-i

viii

n

:

banyaknya data

:

nilai untuk kasus ke-i

:

mean dari X

:

jumlah kuadrat n kasus dari simpangan

ix

dari meannya

DAFTAR LAMPIRAN Data Survival Time ............................................................................................. 30 Data Deteksi Leverage pada Data Durvival Time .............................................. 34 Data Deteksi Discrepancy pada Data Survival Time ......................................... 35 Data Deteksi Nilai Influence pada Data Survival Time ...................................... 37

viii

ABSTRAK Hakim, Lukmanul. 2016. Analisis Regresi pada Data Oulier dengan Metode MM-Estmasi. Skripsi. Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. Pembimbing: (I) Dr. Sri Harini, M.Si, (II) Evawati Alisah, M.Pd. Kata Kunci: Regresi, Outlier, Robust MM-Estimasi. Model regresi digunakan untuk mempelajari hubungan antara sebuah variabel terikat (y) dan variabel bebas (x). Metode estimasi yang paling sering digunakan untuk menganalisis regresi adalah metode kuadrat terkecil. Metode kuadrat terkecil untuk model regresi linier dikenal sangat sensitif terhadap outlier. Salah satu alternatif untuk memperbaiki kelemahan metode kuadrat terkecil adalah menggunakan estimasi yang bersifat robust yang mampu bertahan terhadap kehadiran outlier pada data pengamatan. Tugas akhir ini akan membahas salah satu metode regresi robust yaitu metode MM-estimatsi (Method of Momment) yang bertujuan mengestimasi parameter regresi ketika data terkontimasi outlier. Estimasi ini merupakan gabungan metode estimasi yang mempunyai nilai breakdown yang besar dan sifat efisiensi yang tinggi. Tujuan penulisan tugas akhir ini adalah mendeteksi outlier dengan menggunakan nilai leverage, nilai discrepancy dan nilai influence. Setelah itu data dianalisis dengan menggunakan metode regresi robust MM-Estimasi. Data yang digunakan dalam penulisan ini adalah data skunder yang diperoleh dari riset H. N. Cahya (2010) tentang survival time. Berdasarkan hasil analisis dapat disimpulkan bahwa penerapan metode MM-Estimasi pada survival time menghasilkan model:

dan R-square yang dihasilkan adalah 94,1% serta menghasilkan estimasi residual sebesar 20,96. Hal tersebut menyatakan bahwa keakuratan metode MM-Estimasi tidak terpengaruh dengan adanya outlier, sehingga dapat diputuskan bahwa metode MM-Estimasi sangat cocok digunakan apabila dalam suatu data penelitian terdapat outlier.

viii

ABSTRACT Hakim, Lukmanul. 2016. Regression Analyzes on Data of Outlier with MMEstimation Method. Thesis. Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, Islamic State University of Maulana Malik Ibrahim Malang. Advisors: (I) Dr. Sri Harini, M.Si, (II) Evawati Aisah, M.Pd. Keywords: Regression, Outlier, MM-Robust Regression Estimates. Regression models were used to study the relationship between a dependent variable (y) and the independent variable (x). The estimation method is most often used to analyze the regression is the least squares method. The least squares method for the linear regression model known to be highly sensitive to outliers. One alternative to improve weaknesses in the least squares method is to use estimates that are robust which is able to withstand the presence of outliers in the data observations. This final project will discuss a robust regression method is the method of MM-the estimates (Method of Moment) aimed at estimating the regression parameters when data have contamination outlier. This estimate is a combination of estimation methods that have great value and nature of the breakdown of high efficiency. The purpose of writing this final task is to detect outliers by using leverage, the value of the discrepancies and values influence. After the data is analyzed using a robust regression method MM-estimation. The data used in this paper is secondary data obtained from research H. N. Cahya (2010) on survival time. Based on the analysis it can be concluded that the application of MMestimation methods on survival time in a model:

and R-square produced was 94.1% and generate an estimated residual of 20.96. It states that the accuracy of MM-estimation method is not affected by the presence of outliers, so it can be decided that MM-estimation method is suitable for use when in a research data are outliers.

viii

‫ملخص‬ ‫لقمان احلكيم‪ .6102 .‬تحليل االنحدار في البيانات أوتلير مع أسلوب– تقدير م م (طريقة‬ ‫لحظة)‪ .‬حبث جامعى شعبة الرياضيات‪ ،‬كلية العلوم والتكنولوجيا‪ ،‬جامعة اإلسالمية‬ ‫احلكومية موالنا مالك إبراهيم ماالنج ‪.‬املشرف‪ :‬الدكتورة سري هاريىن‪ ،‬املاجسترية و‬

‫إيفاواتى عالسة‪ ،‬املاجسترية‬ ‫كلمات الرئيسية‪ :‬االحندار‪ ،‬أوتلري‪ ،‬تقدير م م‬ ‫واستخدمت مناذج االحندار لدراسة العالقة بني املتغري التابع (‪ )y‬واملتغري املستقل (‪.)x‬‬ ‫تستخدم أسلوب التقدير لتحليل االحندار هو طريقة املربعات االصغر‪ .‬طريقة أقل املربعات لنموذج‬ ‫االحندار اخلطي املعروف أن تكون حساسة للغاية اللقيم أوتلري‪ .‬بديل واحد لتحسني نقاط الضعف‬ ‫يف طريقة املربعات الصغرى هو استخدام التقديرات اليت هي قوية واليت هي قادرة على حتمل وجود‬ ‫القيم أوتلري يف هذه املالحظات البيانات‪.‬‬ ‫هذا املشروع النهائي ومناقشة طريقة االحندار القوي هو طريقة التقدير (طريقة حلظة)‪ ،‬واليت‬ ‫هتدف إىل تقدير معامل االحندار عندما ملوثة البيانات مع القيم أوتلري‪ .‬هذا التقدير هو مزيج من‬ ‫أساليب تقدير أن هلا قيمة كبرية وطبيعة اهنيار كفاءة عالية‪.‬‬ ‫والغرض من كتابة هذه املهمة األخرية هي للكشف عزالء باستخدام القيم املتطرفة ‪ ،‬وقيمة‬ ‫تأثري والقيم التناقضات‪ .‬بعد حتليل البيانات باستخدام قوي طريقة االحندار تقدير طريقة حلظة ‪.‬‬ ‫البيانات املستخدمة يف هذه الورقة هو البيانات الثانوية اليت مت احلصول عليها من البحث ه ن جهيا‬ ‫(‪ ) 6101‬عن الوقت احملدد استنادا إىل حتليل ميكن االستنتاج أن تطبيق أساليب تقدير طريقة حلظة‬ ‫يف الوقت احملدد البقاء على قيد احلياة يف منوذج‪:‬‬ ‫وكان ‪ R-square‬تنتج ‪ ٪1..0‬وتوليد املتبقية املقدرة ‪. 61.12‬وهو ينص على أن‬

‫دقة طريقة تقدير طريقة حلظة ال يتأثر وجود القيم أوتلري ‪ ،‬لذلك ميكن أن يتقرر أن طريقة حلظة‬ ‫تقدير مناسب لالستخدام يف حني حبث البيانات هي القيم أوتلري‬

‫‪viii‬‬

BAB II PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Statistik adalah cabang matematika yang berkaitan dengan pengumpulan data, pengolahan data, penyajian data, analisis data dan penarikan kesimpulan. Suatu kegiatan utama statistik adalah pengumpulan data. Dalam hal pengumpulan data yaitu mencatat atau pembukuan data, al-Quran juga membicarakannya dalam surat al-Kahfi ayat 49.

                              “Dan diletakkanlah kitab, lalu kamu akan melihat orang-orang yang bersalah ketakutan terhadap apa yang (tertulis) di dalamnya dan mereka berkata : “Aduhai celaka kami, kitab apakah ini yang tidak meninggalkan yang kecil dan tidak (pula) yang besar, melainkan ia mencatat semuanya” dan mereka dapati apa yang telah mereka kerjakan ada (tertulis). Dan Tuhanmu tidak menganiaya seorang juapun”(QS. al-Kahfi/18:49). Dari ayat di atas menjelaskan keterkaitan antara isi kandungan surat alKahfi ayat 49 dengan matematika, yaitu pada khususnya statistik. Pada penggalan ayat terdapat kata alkitabu yang berarti mencatat, sama halnya pada statistik langkah awalnya adalah mencatat terlebih dahulu data yang dibutuhkan, setelah mencatatnya barulah data tersebut dapat diolah. Pada ayat di atas juga terdapat kata ‘amilu yang berarti data. Jadi dalam statistik terdapat kegiatan mencatat dan mengumpulkan data setelah itu data tersebut dapat diolah sehingga diperoleh kesimpulan.

1

2 Model matematika dalam statistika merupakan penyederhanaan dari realitas atau permasalahan yang diteliti oleh statistikawan. Oleh karena itu, diperlukan

asumsi-asumsi

agar

model

tersebut

dapat

menggambarkan

permasalahannya. Selain itu, asumsi diperlukan agar dapat merumuskan apa yang statistikawan ketahui atau terka mengenai penganalisisan data atau masalah pemodelan statistik yang dihadapinya dan pada saat yang bersamaan asumsi diperlukan agar model yang dihasilkan dapat memudahkan dalam sudut pandang teoritik dan komputasinya. Salah satu asumsi yang paling banyak ditemukan adalah asumsi kenormalan, yang telah ada selama dua abad, asumsi kenormalan menjadi kerangka berpikir dalam suatu metode statistik inferensi, yaitu : regresi, analisis variansi, analisis multivariate, model runtun waktu dan lain-lain. Sering kali dalam praktenya asumsi kenormalan terpenuhi secara aproksimasi pada sebagian besar data observasi. Bahkan beberapa observasi berbeda pola atau bahkan tidak berpola mengikuti distribusi normal. Hal ini dikarenakan observasi yang tidak normal, observasi yang terpisah dari observasiobservasi lainya yang dikenal dengan data outlier. Dengan data outlier asumsi kenormalan sering kali tidak terpenuhi, walaupun jumlah data cukup besar. Sehingga statistikawa kemungkinan melakukan kesalaha dalam memodelkan suatu fenomena dengan adanya kehadiran data outlier. Ordinary Least Square adalah metode yang tepat untuk menyelesaikan model regresi dengan syarat semua asumsi harus terpenuhi, akan tetapi dalam kenyataannya sering kita temui ada sebagian asumsi dalam regresi yang tidak terpenuhi dikarenakan terdapatnya data outlier. Asumsi kenormalan seringkali tidak terpenuhi karena adanya pengamatan outlier yang memberikan pengaruh

3 besar terhadap estimasi parameter model. Jika asumsi kenormalan terpenuhi, maka metode Ordinary Least Square (OLS) dapat menduga dengan baik. Namun jika tidak terpenuhi, maka estimasi OLS tidak dapat digunakan (Montgomery, 1992). Outlier itu sendiri adalah sebuah data pencilan dari kebanyakan data atau bisa diartikan juga bahwa outlier adalah sebuah data yang tidak mengikuti ritme sebuah alur dari kebanyakan data yang ada. Seperti yang telah didefinisikan oleh Barnett dan Lewis (1994), outlier adalah data yang muncul tidak konsisten dengan sisa data. Dalam mengatasi data outlier harus dilihat dari sumber munculnya data yang menjadi outlier tersebut. Outlier mungkin ada karena adanya data terkontaminasi, yaitu adanya kesalahan pada saat melakukan pengambilan sampel pada populasi. Outlier yang disebabkan oleh data terkontaminasi dapat dihapuskan dari data penelitian atau jika memungkinkan dilakukan sampling ulang. Akan tetapi, jika setelah melakukan beberapa kali sampling ulang namun data outlier tetap muncul, maka data tersebut jangan dihapuskan dari data penelitian, karena analisis data yang dihasilkan akan tidak mencerminkan populasi yang diteliti. Metode Ordinary Least Square tidak tepat untuk menyelesaikan data yang terdapat outlier, maka diperlukan metode lain supaya analisis data dengan hadirnya outlier tetap tahan terhadap asumsi yang diterapkan pada penganalisisan datanya. Metode tersebut dikenal dengan Metode Robust. Model matematika dalam statistika yang banyak ditemukan dalam berbagai bidang adalah model regresi. Model regresi merupakan suatu model

4 yang menggambarkan hubungan dari variabel dependen dengan variabel-variabel independen. Dengan adanya hubungan tersebut diharapkan variabel independen dapat memprekdisikan nilai-nilai variabel dependen. Perlu diketahui bahwa data itu mempunyai pola bentuk. Berdasarkan pola bentuk kelinearan data, model regresi dapat diklasifikasikan menjadi dua macam yaitu linear dan non-linear. Jika pola data linear, maka digunakan pemodelan linear. Model regresi mengasumsikan bahwa error dari model tersebut harus berdistribusi normal, bervariasi konstan dan saling independen antar observasi. Dengan adanya outlier pada data regresi mengakibatkan model regresi tidak memenuhi asumsi-asumsinya dan model regresi tidak cocok terhadap data yang akan dimodelkan karena nilai koefisien dari model regresi tersebut sangat dipengaruhi oleh adanya outlier. Oleh karena itu, model yang dihasilkan tidak dapat digunakan untuk memprediksikan. Sehingga, outlier pada regresi harus di atasi. Salah satu metode guna mengatasi data outlier pada regresi adalah metode robust. Ada banyak macam metode robust diantaranya adalah Least Trimmed Squarse (LTS) Estimate, M Estimate, MM Estimate, S Estimate (Seber, 2007). Salah satu metode robust yang mempunyai nilai breakdown point tinggi adalah MM-Estimasi yaitu hampir 50%. Dalam MM-Estimasi dibutuhkan iterasi awal (initial) dan iterasi akhir (final). Metode MM-Estimasi inilah yang akan dipakai oleh peneliti untuk menganalisis sekaligus mengatasi outlier pada model regresi. Disamping penanganan outlier pada regresi, yang lebih penting adalah pengidentifikasian data yang menjadi outlier. Metode pengidentifikasian yang digunakan peneliti adalah dengan melihat leverage, nilai discrepancy dan nilai

5 influence-nya. Leverage hanya menggambarkan kasus yang terjadi pada variabel independen. Untuk tiap kasus, leverage menginformasikan seberapa jauh kasus tersebut dari nilai mean himpunan data variabel independen. Sedangkan discrepancy merupakan jarak antara nilai prediksi dengan nilai observasi dari variabel dependen ( ), yaitu

yang merupakan nilai dari residual

. Pada

dasarnya nilai yang menjadi outlier menyebabkan nilai residual menjadi besar dan tidak jatuh pada garis regresi. Sedangkan nilai influence merupakan kombinasi dari ukuran leverage dan discrepancy yang menginformasikan mengenai bagaimana perubahan dari persamaan regresi jika kasus ke-i dihilangkan dari himpunan data (Cohen, 2003).

1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalah pada penelitian ini adalah bagaimana menganalisis outlier dalam model regresi dengan metode MM-Estimasi.

1.3 Tujuan Penelitian Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah untuk dapat menganalisis outlier dalam model regresi dengan metode MM-Estimasi.

1.4 Batasan Masalah Berdasarkan rumusan masalah dan tujuan penelitian yang telah disebutkan di atas, maka batasan masalah yang diberikan adalah:

6 1. asumsi regresi yang dipakai hanya asumsi kenormalan 2. untuk pengidentifikasian outlier dengan nilai leverage menggunakan metode hmatrik, 3. untuk pengidentifikasian outlier dengan nilai discrepancy menggunakan metode externally studentized residual, 4. untuk nilai influence diidentifikasi dengan metode DFFIT’S dan Cook’s, 5. metode robust yang digunakan dalam penelitian ini adalah MM-Estimasi untuk menganalisis sekaligus mengatasi outlier pada model regresi.

1.5 Manfaat Penelitian Skripsi ini diharapkan bermanfaat bagi berbagai kalangan, antara lain : 1. Bagi Penulis Dapat mengaplikasikan ilmu yang telah diperoleh selama kuliah dan menambah ilmu pengetahuan dalam hal cara menganalisis sekaligus mengatasi outlier dalam model regresi dengan metode MM-Estimasi. 2. Bagi Pembaca Dapat dijadikan sebagai tambahan refrensi bagi mahasiswa matematika dalam memahami khususnya ilmu statistika dan aplikasinya dalam kehidupan. 3. Bagi Instansi Sebagai tambahan bahan kepustakaan yang dapat dijadikan sebagai sarana pengembangan wawasan keilmuan khususnya di Jurusan Matematika mengenai ilmu statistika.

7 1.6 Sistematika Penulisan Untuk mempermudah memahami skripsi ini secara keseluruhan, maka penulis menggunakan sistematika penulisan yang terdiri dari empat bab dan masing-masing akan dijelaskan sebagai berikut : Bab I Pendahuluan Pada bab ini diuraikan tentang latar belakang, rumusan masalah, tujuan penelitian, batasan masalah, manfaat penelitian, dan sistematika penulisan. Bab II Kajian Pustaka Pada bab ini disajikan tentang konsep-konsep atau teori-teori yang mendukung bagian pembahasan. Bab III Metode Penelitian Pada bab ini akan dibahas tentang metode-metode penelitian untuk menjelaskan secara garis besar bagaimana langkah-langkah penelitian ini dilakukan. Bab IV Pembahasan Pada bab ini dijelaskan tentang pengaplikasian metode MM-Estimasi terhadap studi kasus pada persamaaan model regresi yang terinfeksi outlier baik pada variabel dependen dan independen atau bahkan keduanya. Bab V Penutup Pada bab ini dipaparkan tentang kesimpulan dari hasil pembahasan setelah itu diberikan saran oleh penulis untuk pembaca sekalian.

BAB III KAJIAN PUSTAKA

2.1 Analisis Regresi Istilah regresi pertama kali diperkenalkan oleh Francis Galton dalam artikelnya “family likenes in stature” pada tahun 1886. Studinya ini menghasilkan apa yang dikenal dengan hukum regresi universal tentang tingginya anggota suatu masyarakat. Hukum tersebut menyatakan bahwa distribusi tinggi suatu masyarakat tidak mengalami perubahan yang besar antar generasi. Hal ini dijelaskan Galton pada fakta yang memperlihatkan adanya kecenderungan mundurnya tinggi rata-rata anak dari orang tua dengan tinggi tertentu menuju tinggi rata-rata seluruh anggota masyarakat. Ini berarti terjadi penyusutan kearah keadaan sedang. Tetapi sekarang istilah regresi telah diberikan makna yang jauh berbeda dari yang dimaksud oleh Galton. Secara luas sekarang analisis regresi diartikan sebagai suatu analisis tentang ketergantungan suatu variabel kepada variabel lain dalam rangka membuat suatu estimasi atau prediksi dan rata-rata nilai variabel tergantung dengan diketahuinya nilai variabel bebas (Alghifari, 1997). Secara umum ada dua macam hubungan antara dua variabel atau lebih, yaitu bentuk hubungan dan keeratan hubungan. Untuk mengetahui bentuk hubungan digunakan analisis regresi, sedangkan untuk keeratan hubungan dapat diketahui dengan analisis korelasi. Analisis regresi dipergunakan untuk menelaah hubungan antara dua variabel atau lebih, terutama untuk menelusuri pola hubungan yang modelnya belum diketahui dengan sempurna atau untuk

8

9 mengetahui bagaimana variasi dari beberapa variabel bebas mempengaruhi variabel terikat dalam suatu fenomena yang kompleks. Jika

variabel bebas dan

antara

dan

adalah

adalah variabel terikat, maka terdapat hubungan fungsional

, dimana variabel dari

akan diiringi pula oleh variabel dari

.

Analisis regresi adalah teknik analisis yang mencoba menjelaskan bentuk hubungan antara peubah-peubah yang mendukung sebab akibat. Proses analisisnya didasarkan atas distribusi probabilitas bersama peubah-peubahnya. Bila hubungan ini dapat dinyatakan dalam persamaan matematika, maka dapat bermanfaatkan untuk keperluan-keperluan lain misalnya peramalan. Tujuan utama dari analisis regresi adalah mendapatkan dugaan (ramalan) dari suatu variabel dengan menggunakan variabel lain yang diketahui. Untuk menguji model analisis regresi terdapat empat langkah antara lain (Wibisono, 2005): 1. Menentukan estimasi parameter dari model regresi, 2. Menguji normalitas data, 3. Menguji asumsi homoskedatisitas, 4. Menguji asumsi multikolinieritas.

2.2 Model Persamaan Regresi Regresi merupakan suatu alat ukur untuk mengukur ada atau tidak adanya hubungan antara variabel bebas ( ) dan variabel terikat ( ). Istilah regresi yang

berarti ramalan atau taksiran pertama kali diperkenalkan oleh Sir Francis Galton

10 (1877). Dengan mengetahui adanya hubungan antara variabel tersebut dapat dilakukan pendugaan suatu variabel berdasarkan variabel lain melalui persamaan yang dihubungkan tersebut (Alghifari, 1997). Model regresi linier secara umum dapat dinyatakan dengan: (2.1)

dimana: y

= variabel terikat

x

= variabel bebas = intercept pada sumbu y, titik potong dengan sumbu y = kemiringan dari garis regresi = error.

2.3 Outlier Outlier adalah pengamatan yang berada jauh (ekstrim) dari pengamatanpengamatan lainnya. Outlier juga dapat diartikan data yang tidak mengikuti pola umum pada model atau yang keluar pada model dan tidak berada dalam daerah selang kepercayaan (Sembiring, 1995). Oleh karena itu apabila dalam suatu data pengamatan terdapat outlier, maka untuk mencari solusinya tidak diperkenankan menggunakan metode Least Square Estimate (LS) karena metode LS didasarkan pada asumsi bahwa error dari model yang dihasilkan harus berdistribusi normal. Error yang merupakan outlier adalah yang nilai mutlaknya jauh lebih besar dari pada error lainnya dan bisa jadi terletak tiga atau empat kali simpangan baku atau lebih jauh lagi dari rata-rata errornya. Outlier merupakan suatu

11 keganjilan dan menandakan suatu titik data yang sama sekali tidak tipikal dibandingkan data lainnya (Draper dan Smith 1998). Sebagaimana yang telah dikemukakan Soemarti (2007) bahwa Ferguson mendefinisikan outlier sebagai suatu pengamatan yang menyimpang dari sekumpulan pengamatan yang lain. Barnett mendefinisikan outlier adalah pengamatan yang tidak mengikuti sebagian besar pola dan terletak jauh dari pusat. Adakalanya outlier memberikan informasi yang tidak bisa diberikan oleh titik lainnya, misalnya karena outlier timbul dari kombinasi keadaan yang tidak biasa yang mungkin saja sangat penting dan perlu diselidiki lebih jauh. Outlier merupakan nilai ekstrim dari suatu pengamatan. Seperti yang diketahui bahwa pada analisis regresi terdapat suatu variabel dependen dan indipenden yang digambarkan dalam scatterplot sebagai arah x dan y, oleh karena itu kemungkinan keberadaan outlier bisa terjadi pada arah x atau y dan bahkan bisa terjadi pada arah x dan y sekaligus. Apabila data outlier terdapat pada arah x, maka akan memberikan pengaruh yang sangat besar pada estimator metode LS karena outlier pada arah x akan membalikkan garis ideal (LS). Oleh karena itu, outlier pada arah x disebut dengan titik leverage. Sedangkan apabila data outlier itu terletak pada arah y, maka akan memberikan nilai residual r yang sangat besar (negatif atau positif) sehingga tidak menunjukan garis LS (Rousseuw, 1986). Untuk mengetahui ada atau tidak adanya data outlier dapat dicari dengan menggunakan diagram pencar dari variabel independen maupun dependen atau dapat juga dicari dengan pemeriksaan visual dari data mentahnya, akan tetapi apabila dalam suatu kasus ketika terdapat lebih dari dua variabel independen,

12 maka akan sulit ditemukan data yang mangandung outlier denggunakan menggunakan pemeriksaan visual. Oleh karena itu, oleh karena itu dibutuhkan alat bantu dengan menggunakan uji statistik tertentu yang dikenal dengan regresi diagnostik yang dapat membantu dalam pendeteksian outlier. Regresi diagnostik merupakan kasus statistik, artinya akan terdapat satu nilai dari setiap kasus diagnostik statistik dari setiap n-kasus dalam himpunan data. Semisal dalam suatu sampel dengan 200 kasus, maka akan menghasilkan 200 nilai dari setiap diagnostik statistiknya dan masing-masing nilai akan mempresentasikan setiap kasus dalam himpunan data tersebut. Fungsi regresi diagnostik adalah digunakan untuk memeriksa tiga karakteristik yang berpotensial merupakan data yang mengandung outlier. Yang pertama adalah leverage, yang mana akan mendiskripsikan seberapa tidak biasanya kasus atau data tersebut dalam ruang lingkup variabel independennya (x). Yang kedua adalah discrepancy, jarak antara nilai prediksi dan nilai observasi pada variabel hasil (y). Dan yang terakhir adalah nilai influence, yang mana secara konseptual influence mempresentasikan perkalian antara nilai leverage dan nilai discrepancy. Ketiga karakteristik ini harus diperiksa secara detail terlebih dahulu karena ketiga karakteristik tersebut akan menentukan letak dari setiap kasus data yang mengandung outlier. Artinya dengan ketiga karakteristik tersebut bisa mencari titik dimana data outlier itu berada, apakah dalam scatterplot x atau scatterplot y atau dalam keduanya (Cohen, 2003). 2.3.1 Nilai Leverage Secara fungsi umumnya nilai leverage akan menggambarkan suatu kasus yang terletak dalam scatterplot x atau variabel independennya dalam suatu regresi.

13 Untuk setiap kasus leverage menginformasikan seberapa jauh kasus tersebut dari nilai mean himpunan data variabel independen. Seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya bahwa dalam sebuah kasus terdapat sebuah data yang hanya mempunyai satu vaiabel independen dan ada pula data yang mengandung lebih dari dua variabel independennya. Jika hanya terdapat satu variabel independen, maka leverage dapat dipersamakan sebagai (Cohen, 2003): Leverage =

dengan :

(2.2)

= leverage kasus ke-i n

= banyaknya data = nilai untuk kasus ke-i = mean dari X = jumlah kuadrat n kasus dari simpangan

Jika kasus ke-i bernilai

dari meannya

bentuk persamaan di atas akan 0 dan

akan

memiliki nilai kemungkinan minimum . Misalkan kasus ke-i skor pada X

menjadi jauh dari

, maka akan menaikkan

. Nilai maksimum dari

adalah

1 dan nilai mean dari leverage untuk n kasus dalam suatu sampel adalah , dengan k merupakan jumlah dari variabel independen dan n

adalah banyaknya data. Perhitungan di atas dikhususkan untuk kasus dengan satu variabel independen. Sedankan untuk kasus dengan lebih dari satu variabel independen, maka yang menjadi menarik adalah seberapa jauh nilai-nilai untuk k variabel untuk kasus ke-i, misalkan

dari centroid variabel

14 independen, centroid merupakan mean dari data,

nilai

perhitungan

untuk kasus ini dengan menggunakan persamaan (Weisberg, 2005). (2.3)

Dengan H merupakan matrik

sedangkan X adalah matrik

Dengan n merupakan banyaknya data dan k adalah jumlah koefisien

indipenden ditambah 1 sebagai nilai konstanta

.

variabel

. Diagonal dari nilai H berisi

nilai-nilai leverage. Jadi, untuk leverage kasus ke-i,

, merupakan nilai dari baris

ke-i dan kolom ke-i dari H. Penentuan nilai yang memiliki leverage yang besar didasarkan pada nilai cutoff. Nilai

yang melebihi nilai cutoff dideteksi sebagai outlier. Adapun nilai

cutoff yang telah ditentukan adalah

sedangkan untuk data yang sedikit

untuk data yang banyak

,

digunakan nilai cutoff

(Cohen, 2003). 2.3.2 Nilai Discrepancy Langkah kedua mendiagnostik statistik untuk data outlier adalah discrepancy antara nilai prediksi dan nilai observasi dari variabel dependen yaitu yang mana merupakan nilai residual

. Pada dasarnya nilai yang menjadi

outlier menyebabkan nilai residual menjadi besar dan tidak jatuh pada garis

15 regresi. Untuk mencari dari nilai discrepancy dilakukan dengan dua metode yaitu internally studentized residuals dan externally studentized residuals. Yang dimaksud internally studentized residual adalah suatu metode yang menunjukan satu dari dua hal yang menyangkut residual mentah (raw). Variansi residual untuk kasus ke-i diekspektasikan sebagai (Cohen, 2003). Variansi dengan

(2.4)

merupakan estimasi dari keseluruhan variansi dari residual

sekitar garis regresi

.

merupakan leverage dari

kasus ke-i. Standart deviasi dari residual kasus ke-i adalah (2.5) internally studentized residual merupakan rasio dari besaran nilai residual dari kasus ke-i dengan standart deviasi dari residual kasus ke-i yaitu (Cohen, 2003). internally studentized residual

(2.6)

Nilai dari internally studentized residuals berjarak antara 0 dan hal ini sangat tidak menguntungkan karena internally studentized

residuals tidak mengikuti distribusi standart statistik karena persamaan (2.6) penyebut dan pembilangnya tidak saling bebas. Jadi internally studentized residuals tidak bisa diinterpretasikan menggunakan kurva normal atau t table. Oleh sebab itu metode tersebut jarang digunakan sehingga metode kedua yaitu externally studentized residuals lebih sering digunakan untuk menghitung nilai discrepancy.

16 externally studentized residuals merupakan metode yang kedua untuk perhitungan data yang mengandung outlier dalam lingkup discrepancy. externally studentized residuals menunjukan permisalan terhadap apa yang terjadi jika kasus yang dianggap outlier dihapuskan dari himpunan data pengamatan. Misalkan

nilai prediksi kasus ke-i, akan tetapi pengamatan kasus ke-i dihapuskan dari himpunan data pengamatan. Outlier berkontribusi secara subtansial terhadap estimasi variansi residual disekitar garis regresi,

. Sedangkan

untuk variansi residual dengan kasus ke-i yang merupakan outlier

dihapuskan dari hinpunan data pengamatan. Misalkan

sebagai perbedaan antara

data yang asli dari pengamatan dengan nilai prediksi untuk kasus ke-i yang berasal dari himpunan data pengamatan dengan kasus ke-i yang dihapuskan yaitu . externally studentized residuals untuk kasus ke-i,

dihitung sebagai

berikut (Cohen, 2003): (2.7) Untuk paralel dari persamaan (2.6) dan pembilang dari persamaan (2.7) merupakan residual untuk kasus ke-i dihapuskan dan penyebut merupakan standar error dengan kasus ke-i juga dihapuskan. Residual yang dihapuskan,

dihitung dengan menggunakan residual awal,

, dapat

, yaitu dengan persamaan sebagai

berikut: (2.8)

17 sedangkan untuk nilai standar residual dapat dihitung dengan persamaan berikut: (2.9) jika persamaan (2.8) dan (2.9) dimasukkan kedalam persamaan (2.7), maka akan menjadi: (2.10)

Metode untuk penentuan nilai outlier berdasarkan nilai externally studentizet residuals lebih sering digunakan dari pada metode internally studentized residuals karena jika model regresi cocok dengan data, makan externally studentizet residuals akan mengikuti pola distribusi t dengan . Penentuan nilai cutoff-nya berdasarkan distribusi t, jika nilai

lebih besar dari nilai

dengan derajat kepercayaan α, maka data tersebut

memiliki nilai discrepancy yang besar dan dikategorikan sebagai outlier (Cohen, 2003). Perbedaan segnifikan antara metode internally studentized residuals dengan metode externally studentizet residuals adalah teletak pada interpretasi kurva normal atau t table. Bahwa internally studentized residuals tidak bisa diinterpretasikan menggunakan kurva normal atau t table karena suatu hal tertentu, sedangkan externally studentizet residuals sebaliknya. Perbedaan tersebut yang menyebabkan metode externally studentizet residuals lebih sering digunakan dibandingkan dengan metode internally studentized residuals dalam menentukan nilai discrepancy. 2.3.3 Nilai Influence

18 Ukuran nilai Influence merupakan kombinasi dari ukuran nilai leverage dan nilai discrepancy yang menginformasikan mengenai bagaimana perubahan dari persamaan regresi jika kasus ke-i dihilangkan dari himpunan data. Dua jenis metode yang biasa digunakan untuk pengukuran nilai influence ialah yang pertama ukuran ke-influence-an global (DFFITS dan Cook’sD) yang memberikan informasi bagaimana kasus ke-i mempengaruhi keseluruhan karakteristik dari persamaan regresi. Sedangkan yang kedua adalah ukuran ke-influece-an khusus (DFBETAS)

yang

menginformasikan

mengenai

bagaimana

kasus

ke-i

mempengaruhi tiap-tiap koefisien regresi (Cohen, 2003). 2.3.3.1 Pengukuran nilai influence secara global ada dua metode untuk melakukan pengukuran nilai influence yaitu DFFITS dan Cook’sD. Keduanya merupakan aspek yang membandingkan persamaan regresi yang mana ketika untuk kasus ke-i dihapuskan dan tidak dihapuskan dalam perhitungan himpunan data dalam penelitian. Yang pertama untuk pengukuran nilai ke-influece-an adalah dengan metode DFFITS, yang mana secara teori didefinisikan sebagai berikut (Cohen, 2003): (2.11) dengan

merupakan nilai prediksi ketika kasus ke-i tidak dihapuskan atau

dimasukkan kedalam himpunan data penelitian,

adalah nilai prediksi ketika

kasus ke-i dihapuskan atau tidak dimasukkan kedalam himpunan data penelitian,

19 merupakan nilai variansi dari residual ketika kasus ke-i dihapuskan

dari himpunan data penelitian sedangkan

adalah merupakan nilai leverage.

Menurut penjelasan di atas, bahwa ukuran nilai influence adalah merupakan perkalian antara nilai leverage dan nilai discrepancy sehingga DFFITS dapat ditulis seperti persamaan berikut (Cohen, 2003): (2.12) dengan

adalah externally stundentized residuals yang terdapat pada persamaan

(2.13), sedangkan

adalah nilai dari leverage yang terdapat pada persamaan (2.2

dan 2.3). Jika nilai dari

dan

keduanya naik, maka besar nilai dari DFFITS

juga akan naik. Hal ini menunjukkan kasus tersebut mempunyai pengaruh yang besar pada hasil analisis regresi. DFFITS = 0 ketika kasus ke-i persis terletak pada garis regresi, sehingga nilai

tidak mengalami perubahan ketika kasus ke-i tidak

dimasukkan atau dihapuskan. Akan tetapi jika terletak pada centroid data sampel, maka akan memberikan beberapa pengaruh (influence) dikarenakan nilai minimum dari

adalah

. Tanda untuk nilai DFFITS

dan juga sebaliknya, jika tanda untuk nilai DFFITS

negatif.

adalah positif

, maka akan bernilai

20 Ukuran kedua untuk mengukur ke-influece-an secara global pada hasil model regresi dikarenakan kasus ke-i adalah dengan metode Cook’sD, yang didefinisikan sebagai berikut (Cohen, 2003): (2.13)

dengan

merupakan nilai prediksi ketika nilai kasus ke-i dimasukkan kedalam

himpunan data penelitian, sedangkan

merupakan nilai prediksi ketika kasus

ke-i dihilangkan dari himpunan data penelitian, model regresi, dan

merupakan jumlah koefisien

merupakan nilai variansi dari residual. Secara garis

besar metode Cook’sD membandingkan nilai prediksi dari Y dengan kasus ke-i dimasukkan dan dihapuskan dari data. Interpretasi untuk penyebut pada persamaan (2.16) di atas memberikan nilai standardisasi. Maksudnya tidak seperti metode DFFITD, Cook’sD akan selalu mempunyai nilai

, maka tidak bisa

negatif. DFFITS dan Cook’sD adalah merupakan dua metode ukuran yang saling berhubungan antara satu sama lainnya. Oleh karena itu, DFFITS dan Cook’sD mempunya persamaan matmatik sebagai berikut (Cohen, 2003): (2.14) Keduan metode (DFFITS dan Cook’sD) dapat digunakan untuk memberikan informasi mengenai ke-influence-an dari kasus ke-i yang merupakan outlier. Penentuan untuk kasus ke-i sebagai outlier berdasarkan nilai cutoff masing-masing. Untuk DFFITS nilainya dengan mengabaikan tandanya yang besarnya > 1 untuk data ukuran kecil

data ukuran sedang dideteksi

21 sebagai outlier, sedangkan untuk data berukuran besar nilai

merupakan data outlier. Untuk metode Cook’sD digunakan nilai cutoff 1.0 atau dengan

nilai

kritik

dari

distribusi

F

dengan

α

=

0,5

sedangkan

. Jika nilai Cook’sD melebihi niai kritik dari ditribusi F,

maka dideteksi sebagai outlier (Cohen, 2003). 2.3.3.2 Pengukuran nilai influence secara khusus Pengukuran nilai influence secara khusus yaitu bisa disebut dengan metode merupakan jenis kedua dari ke-influence-an statistik yang penting

jika ingin memfokuskan pada koefisien regresi tertentu dalam persamaannya. mempunyai fungsi yang sangat penting yaitu membandingkan

koefisien-koefisien regresi ketika kasus ke-i yang mengandung outlier dimasukkan dalam himpunan data atau tidak dimasukkan dalam himpunan data penelitian. Persamaan

untuk kasus ke-i dapat didefinisikan menjadi

(Cohen 2003): (2.15) Pada persamaan di atas, pembilang merupakan perbedaan dari koefisien dengan seluruh data yang dimasukkan ( ), dengan koefisien jika kasus ke-i

dihilangkan

. Sedangkan penyebut

merupakan standart error dari

22 setelah data ke-i dihilangkan. Pembanding dengan

memberikan nilai

yang distandardisasi, fungsinya untuk mengintrepretasi secara umum pengaruh dari kasus ke-i untuk semua koefisien regresi. Tiap kasus data akan memiliki yang berkorespondensi dengan tiap koefisien regresi dalam

persamaannya termasuk intercept

.

Penentuan nilai kasus yang memiliki ke-influence-an yang merupakan outlier berdasarkan

adalah kasus yang memiliki

untuk ukuran sampel yang kecil dan sedang, sedangkan penentuan dengan cutoff untuk ukuran sampel besar (Cohen, 2003).

2.4 Metode Robust Regresi robust diperkenalkan Andrews (1972). Metode ini merupakan alat penting untuk menganalisis data yang dipengaruhi oleh outlier untuk menghasilkan model yang robust atau resistant terhadap outlier. Suatu estimasi yang resistant adalah relatif tidak terpengaruh oleh perubahan besar pada bagian kecil data atau perubahan kecil pada bagian besar data. Metote robust ditujukan untuk mengakomodasi adanya keanehan data, sekaligus meniadakan identifikasi adanya data outlier dan juga bersifat otomatis dalam menanggulangi data outlier (Aunuddin, 1989). Sifat efisiensi, titik kerusakan (breakdown point), dan titik leverage yang tinggi digunakan untuk menentukan kinerja teknik robust dalam arti teoritis.

23 Breakdown point adalah salah satu cara untuk mengukur ke-robust-an suatu estimator. Breakdown juga merupakan ukuran proporsi minimal dari banyaknya data yang terkontaminasi pencilan dibandingkan seluruh data pengamatan. Beberapa estimator regresi kemungkinan memiliki breakdown point paling sedikit

atau

. Dengan kata lain, hanya dengan satu outlier akan

menyebabkan persamaan regresi yang akan diberikan tidak berguna. Penduga lain kemungkinan memiliki breakdown point tertinggi

atau 50%. Jika teknik

estimasi robust memiliki 50% breakdown point, maka 50% dari data bisa berisi outliers dan koefisien akan tetap bisa digunakan. pengamatan

yang setiap kali

Titik leverage adalah

terletak jauh dari sebagian besar

dalam

sampel. Chen (2002) menyebutkan beberapa metode estimasi parameter dalam regresi robust yaitu Least Trimmed Squarse (LTS) Estimation, M Estimation, Yohai MM Estimation, S Estimation, Least Mean Square (Seber, 2007). Yang digunakan peneliti untuk melakukan penelitian adalah dengan menggunakan metode MM-Estimasi. 2.4.1 MM-Estimasi Metode MM-Estimasi dikenalkan oleh Yohai pada tahun 1987 yang menghubungkan suatu high breakdown point 50% dengan efisien tinggi mencapai 95% (Wilcox, 2005). MM-Estimasi dimulai dengan mencari S Estimasi yang sangat robust dan resisten yang meminimumkan suatu skala residual. Selanjutnya skala residual tetap konstan dan diakhiri dengan menetapkan parameter-parameter regresi

24 menggunakan M Estimasi. MM-Estimasi mempunyai breakdown point yang tinggi sama dengan S Estimasi yaitu sebesar 0,5 atau 50%, sehingga MMEstimasi dapat menjelaskan bahwa banyaknya outlier hingga separuh data pengamatan tidak berpengaruh terhadap MM-estimasi. Berikut formula MMEstimasi dapat dijelaskan seperti dibawah ini: (2.16) S Estimasi sebagai permulaan dengan nilai high breakdown yang tinggi (50%) dan diakhiri dengan M Estimasi yang membuatnya mempunyai efisiensi yang tinggi. Pada umumnya digunakan fungsi Tukey Bisquare baik pada S Estimasi maupun M Estimasi (Wilcox, 2005). Sebagaimana dalam kasus M Estimasi, MM-Estimasi juga menggunakan metode Iteratively Reweighted Least Square (IRLS) untuk mencari estimasi parameter regresi. Prosedur MM-Estimasi dapat diuraikan sebagai berikut: 1. Mengestimasi koefisien

, sehingga diperoleh residual

yang

diambil dari regresi robust dengan high breakdown point. 2. Residual

residual M Estimasi,

3. Residual

pada langkah pertama digunakan untuk menghitung skala

dan dihitung pula bobot awal

dan skala residual

dari langkah kedua digunakan dalam

iterasi awal dengan metode WLS untuk menghitung koefisien regresi dimana

Bisquare.

menggunakan pembobot Huber atau Tukey

25 4. Menghitung pembobot baru

menggunakan residual dari iterasi awal

WLS (langkah ketiga) 5. Langkah kedua, ketiga dan keempat diulang (reiterasi dengan skala residual tetap konstan) sampai

kurang dari

konvergen, yaitu selisih

atau sampai mendekati 0 (

dengan

= banyaknya iterasi), maka

iterasi dihentikan (Yohai, 1987).

2.5 Kajian Al-Quran dan Al-Hadits Tentang Regresi dan Outlier Statistik adalah cabang matematika yang berkaitan dengan pengumpulan data, pengolahan data, analisis data dan penarikan kesimpulan. Kegiatan utama dalam statistik adalah pengumpulan data, hal ini dibicarakan al-Quran dalam surat al-Kahfi ayat 49.

                              “Dan diletakkanlah kitab, lalu kamu akan melihat orang-orang yang bersalah ketakutan terhadap apa yang (tertulis) di dalamnya dan mereka berkata : “Aduhai celaka kami, kitab apakah ini yang tidak meninggalkan yang kecil dan tidak (pula) yang besar, melainkan ia mencatat semuanya” dan mereka dapati apa yang telah mereka kerjakan ada (tertulis). Dan Tuhanmu tidak menganiaya seorang juapun”( QS. al-Kahfi/18:49). Dari ayat di atas menjelaskan keterkaitan antara isi kandungan surat alKahfi ayat 49 dengan matematika, yaitu pada khususnya statistik. Pada penggalan ayat terdapat kata alkitabu yang berarti mencatat, sama halnya pada statistik

26 langkah awalnya adalah mencatat terlebih dahulu data yang dibutuhkan, setelah mencatatnya barulah data tersebut dapat diolah. Pada ayat di atas juga terdapat kata ‘amilu yang berarti data. Jadi dalam statistik terdapat kegiatan mencatat dan mengumpulkan data setelah itu data tersebut dapat diolah sehingga diperoleh kesimpulan. 2.5.1 Ayat Al-Quran Tentang Analisis Regresi Al-Quran merupakan kitab Allah yang didalamnya terkandung ilmu-ilmu Allah. Untuk mendapatkan ilmu tersebut perlu mengkaji al-Quran secara mendalam. al-Quran surat al-Baqarah ayat 2-3 dapat digunakan untuk analisis regresi dengan cara mempartisinya (membagi) dan hasil partisian ayat tersebut dimisalkan dengan sebuah variabel, ayat tersebut berbunyi:

                                                                                       “Kitab al-Qur’an ini tidak ada keraguan padanya : petunjuk bagi mereka yang bertaqwa. Yaitu mereka yang beriman kepada yang ghoib, mendirikan shalat dan menafkahkan sebagian rezeki yang kami anugerahkan kepada mereka”(QS. alBaqarah/2:2-3). Dalam ayat tersebut dijelaskan bahwa tidak ada keraguan didalam kitab suci al-Quran. Al-Quran ini juga merupakan petunjuk bagi mereka yang bertaqwa (dianggap Y variabel respon). Sedangkan kriteria taqwa itu adalah gabungan orang-orang yang mempunyai karakter ‘beriman kepada yang ghoib, yang mendirikan shalat dan menafkahkan sebagian rezeki yang dianugrahkan Allah kepada mereka’ (dianggap X variabel prediktor).

27 Mempelajari matematika yang sesuai paradigma taqwa tidak cukup berbekal kemampuan intelektual semata, akan tetapi dibutuhkan secara bersama dengan kemampuan emosional dan spiritual. Pola piker deduktif dan logis dalam matematika juga bergantung pada kemampuan intuitif imajinatif serta mengembangkan pendekatan rasional empiris dan logis. Sering kali dijumpai dalam masyarakat umum sebuah pandangan bahwa konsep agama dan matematika tidak memiliki relasi yang setara. Agama yang diekspresikan oleh para pemeluknya di satu sisi cenderung memfokuskan diri pada kegiatan yang bersifat ritual suci dan ukhrawi, sedangkan matematika memiliki corak yang kental. Namun, dalam sejarah dapat dicermati bahwa agama ternyata memiliki peran yang signifikan dalam membangun umatnya untuk mengkaji ilmu matematika lebih mendalam.

2.5.2 Ayat Al-Quran Tentang Outlier

                              “Dan diletakkanlah kitab, lalu kamu akan melihat orang-orang yang bersalah ketakutan terhadap apa yang (tertulis) di dalamnya dan mereka berkata : “Aduhai celaka kami, kitab apakah ini yang tidak meninggalkan yang kecil dan tidak (pula) yang besar, melainkan ia mencatat semuanya” dan mereka dapati apa yang telah mereka kerjakan ada (tertulis). Dan Tuhanmu tidak menganiaya seorang juapun” ( QS. al-Kahfi/18:49). Selain menjelaskan tentang pentingnya mengolah data, surat al-Kahfi ayat 49 di atas ini juga menjelaskan tentang data yang menimpang atau data outlier. Pada ayat tersebut menjelaskan bahwa kita dalam kehidupan tidak selalu menemui

28 orang-orang yang benar, tetapi terdapat pula orang-orang yang bersalah. Ada pula diantara mereka yang berpaling dari haluan yang benar. Barang siapa yang beriman kepada Allah dan mentaati-Nya, maka sesungguhnya dia akan menempuh jalan yang akan menyampaikan kebada kebahagiaan dan telah melakukan sesuatu yang akan menyelamatkan dari siksa neraka. Jika ditelaah ayat di atas menjelaskan suatu penyimpangan, layaknya suatu data yang mengalami penyimpangan dari sekumpulan data. Sehingga dari gambaran di atas dapat diketahui bahwa itulah contoh outlier dalam al-Quran. Pengamatan

outlier

adalah

suatu

pengamatan

dimana

terdapat

penyimpangan-penyimpangan sekumpulan data hasil penelitian. Data yang menyimpang dari sekumpulan data yang lain disebut dengan data outlier. Apabila dalam suatu data terdapat outlier, maka bisa mengakibatkan nilai residu makin besar dan dapat memperkecil atau menurunkan nilai koefisien regresi dan juga nilai korelasi, selain itu bisa menyebabkan data hasil pengamatan tidak menyebar normal. Dalam tafsir Fi Dzilalil Quran menjelaskan bahwa sesungguhnya diantara kami (setelah mendengar al-Quran itu) ada golongan menjadi muslim dan ada pula golongan menjadi nyeleweng. Oleh karena itu, barang siapa yang menjadi muslim, maka merekalah orang-orang yang memilih jalan hidayah (Quth, 2008). Sesungguhnya diantara kami terdapat orang-orang yang taat dan juga ada pula orang-orang yang menyimpang dari kebenaran yakni melewati batas disebabkan kekafiran mereka. Barang siapa yang taat, maka mereka itu benarbenar memilih jalan petunjuk atau menuju ke jalan hidayah.

29 Setelah diuraikan di atas dapat diambil kesimpulan bahwa yang menjelaskan outlier adalah kalimat “Dan diletakan kitab, lalu kamu akan melihat orang-orang yang bersalah ketakutan terhadap apa yang (tertulis) di dalamnya” dalam arti outlier adalah suatu penyimpangan. Kata penyimpangan dalam surat di atas pada konsep statistika dapat diartikan sebagai outlier, sebab suatu outlier dikatakan sebagai penyimpangan dilihat dari pengertiannya yaitu: Yang pertama, outlier adalah yang nilai mutlaknya jauh lebih besar dari pada sisaan-sisaan lainya dan bisa jadi terletak tiga atau empat simpangan baku atau lebih jauh dari rata-rata sisaannya. Yang kedua, outlier adalah suatu keganjilan dan menandakan suatu titik data yang sama sekali tidak tipikal dibandingkan data yang lainnya (Drape dan Smith, 1998). Dan yang ketiga, outlier adalah data yang tidak mengikuti pola umum model (Sembiring, 1995) Penafsiran ayat ini menjelaskan bahwa para penyimpangan yakni mereka yang telah sangat jauh dari kebenaran dan sangat mantap kekufurannya. Penyimpangan ini mempunya arti yang sama dengan outlier yaitu sama-sama terletak sangat jauh diantara data dalam model tersebut. Dijelaskan dalam sebuah tafsir bahwa diantara hamba-hamba Allah yang hidup dialam semesta ini adalah ada yang muslim dan ada juga yang melakukan penyimpangan. Maksudnya disini adalah mereka melakukan penyimpangan terhadap kebenaran Allah, berarti mereka jauh dari kebenaran-kebenaran Allah (Katsir, 2007). Dapat diketahui bahwa Allah adalah Dzat yang ahli dari segalanya melebihi ahli-ahli dan pakar-pakar ilmu lainnya. Jadi, jika dibumi Allah ini

30 terdapat ilmu matematika, maka Allah adalah ahlinya yang paling mengetahui. Dialah Allah Dzat ahli matematika. Dan meskipun dibumi Allah ini terdapat ilmu fisika, biologi, arsitek dan lain-lain, maka Allah paling mengetahui tentang semua itu. Tidak ada yang tidak diketahui oleh Allah. Dan tidak ada yang tidak diketahui Allah. Tidak ada yang tersembunyi bagi Allah sesuatupu yang terjadi dibumi dan bahkan dilangit, wallahua’lam (Abdussakir, 2007).

BAB IV METODE PENELITIAN

3.1 Kerangka Penelitian Untuk melakukan suatu penelitian perlu adanya kerangka pemikiran sebagai penuntun untuk menjelaskan konsep dari penelitian itu sendiri. Kerangka pemikiran akan memudahkan para pembaca secara jelas dan ringkas mengenai apa yang dilakukan peneliti. Hal pertama yang dilakukan peneliti adalah mengumpulkan informasi serta data yang bersangkutan dengan outlier dan cara penyelsaiannya dengan menggunakan metode MM-Estimasi. Data tersebut kemudian diproses sesuai dengan teori metode MM-Estimasi pada literatur yang tersedia. Berdasarkan analisis data yang telah dilakukan, maka diharapkan dapat mengidentifikasi permasalahan pada data tersebut. Apabila permasalahannya adalah terdapat outlier dalam kumpulan data tersebut, maka peneliti akan melakukan pendeteksian dimana letak keberadaan outlier tersebut.

3.2 Metode Pengumpulan Data Metode pengumpulan data digunakan untuk mengumpulkan data, baik data primer atau sekunder yang diperlukan dalam penelitian. Langkah metode pengumpulan data tersebut harus dilakukan dengan teliti dan bila perlu dilakukan dengan berulang-ulang supaya tidak terjadi kesalahan yang mengakibatkan penelitian tersebut akan gagal dalam melakukan penarikan hasil yang efektif. Data primer adalah data yang diperoleh atau dikumpulkan oleh peneliti secara langsung dari sumber datangnya. Untuk mendapatkan data primer, peneliti 31

32 harus mengumpulkannya secara langsung. Teknik yang dapat digunakan peneliti untuk mengumpulkan data primer adalah dengan cara antara lain observasi, wawancara, diskusi dan penyebaran kuisioner. Sedangkan yang dimaksud data skunder adalah data yang diperoleh atau dikumpulkan peneliti dari berbagai sumber yang sudah ada seperti halnya jurnal, buku, biro pusat statistik, perpustakaan, media dan lain-lain. Kali ini peneliti melakukan penelitian dengan munggunakan data skunder yang diperoleh dari hasil riset H. N. Cahya (2010) tentang survival time yang mendeskripsikan tentang empat variabel prediktor (x) dan satu variabel respon (y). Berikut adalah table 3.1 penyajian data yang digunakan dalam penelitian kali ini (H. N. Cahya 2010). Tabel 3.1 Survival Time No.

x1

x2

x3

x4

y

1

7.8

65

115

4.3

509

2

5.8

38

72

1.42

80

3

5.1

59

66

1.7

101

4

6.5

73

41

2.01

101

5

7.4

57

83

2.16

204

6

6.7

62

81

2.59

200

7

5.7

46

63

1.91

80

8

3.7

68

81

2.57

127

9

6

67

92

2.5

202

10

3.7

76

94

2.4

203

11

6.3

84

83

4.13

329

12

6.7

51

43

1.86

65

13

7.4

74

68

2.4

217

14

7.7

62

67

3.4

168

15

5.8

83

88

3.95

330

16

7.3

68

74

3.56

215

17

5.6

57

87

3.02

172

18

6

85

28

2.98

87

19

3.7

51

41

1.55

34

20

5.2

52

76

2.85

109

33 21

6.7

26

68

2.1

70

22

3.4

83

53

1.12

136

23

5.8

96

114

3.95

830

24

5.8

67

86

3.4

220

25

6.3

59

100

2.95

276

26

5.8

61

73

3.5

144

27

5.2

52

86

2.56

181

28

5.8

76

59

2.58

178

29

5.2

54

56

2.71

72

30

11.2

76

90

5.59

574

31

3.2

64

65

0.74

71

32

5.4

58

70

2.64

115

33

5.8

72

93

3.3

295

34

5

59

73

3.5

116

35

8.7

45

23

2.52

58

36

5.3

57

99

2.6

184

37

2.6

74

86

2.05

118

38

5.4

52

88

1.18

148

39

4.8

61

76

2.45

151

40

4.3

8

120

2.85

120

41

5.2

49

72

1.84

95

42

3.4

77

93

1.48

191

43

6.5

40

84

3

123

44

4.5

73

106

3.05

311

45

3.6

28

99

1.3

75

46

8.8

90

88

6.4

483

47

6.7

56

77

2.85

153

48

5.1

67

77

2.86

158

49

8.8

78

72

3.2

313

50

4.8

86

101

4.1

398

51

6.4

85

40

1.21

128

52

6.6

77

46

1.95

124

53

6.4

59

85

2.33

198

54

3.8

82

108

4.55

310

3.3 Analisis Data Metode penelitian selanjutnya adalah setelah semua data sudah terkumpulkan dan akan diproses, maka hal pertama yang harus dilakukan terlebih

34 dulu adalah peneliti menganalisa data tersebut. Setelah menganalisa datanya peneliti akan memproses sesuai dengan apa yang akan diteliti. Dalam penelitian kali ini peneliti akan membahas tentang data yang mengandung outlier. Setelah data tersebut dinyatakan terdapat outlier, maka akan dianalisa dimana letak terdapatnya outlier. Kalau outliernya terdapat pada arah sumbu x, maka disebut dengan nilai leverage. apabila terletak pada arah sumbu y, maka disebut nilai discrepancy. Dan apabila terletak pada arah keduanya (x dan y), maka disebut sebagai nilai influence. Setelah semua langkah-langkah diatas selesai, maka data tersebut akan diproses sesuai apa yang akan diteliti. Dan pada penelitian kali ini, peneliti ingin menganalisis tentang ketahanan dan keakuratan metode MM-Estimai terhadap adanya sebuah outlier. Berikut langkah-langkah detilnya metode penganalisisan penelitian: 6. untuk pengidentifikasian outlier dengan nilai leverage menggunakan metode h-matrik, 7. untuk pengidentifikasian outlier dengan nilai discrepancy menggunakan metode externally studentized residual, 8. untuk nilai influence diidentifikasi dengan metode DFFIT’S dan Cook’s, 9. metode robust yang digunakan dalam penelitian ini adalah MM-Estimasi untuk menganalisis sekaligus mengatasi outlier pada model regresi. Setelah langkah-langkah diatas selesai dilakukan maka peneliti dapat menarik kesimpulan tentang cocok atau ketidak cocokan metode MM-Estimasi tersebut untuk mengatasi data yang mengandung outlier.

BAB VBAB IV PEMBAHASAN

Pada bab ini akan dijelaskan tentang bagaimana cara dan tahap-tahap mendeteksi outlier pada arah scatterplot x atau scatterplot y atau pada arah keduanya. Kemudian akan dianalisis dengan metode robust MM-Estimasi. Data yang dipakai merupakan data skunder yang diperoleh dari H. N. Cahyadi (2010). Data tersebut merupakan data survival time yang berjumlah 54 dengan satu variabel y dan empat variabel x. 10 data pertama akan disajikan dalam Tabel (4.1) seperti di bawah ini dan data selengkapnya akan disajikan dalam Lampiran 1. Tabel 4.1 Survival Time

No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x1 7.8 5.8 5.1 6.5 7.4 6.7 5.7 3.7 6 3.7

x2 65 38 59 73 57 62 46 68 67 76

x3 115 72 66 41 83 81 63 81 92 94

x4 4.3 1.42 1.7 2.01 2.16 2.59 1.91 2.57 2.5 2.4

y 509 80 101 101 204 200 80 127 202 203

4.1 Deteksi Outlier Sebelum menganalisis menggunakan metode robust, terlebih dahulu akan diperiksa apakah data tersebut mengandung outlier pada arah sumbu x (dengan metode Leverage) atau sumbu y (dengan metode Discrepancy) atau bahkan pada arah keduanya (dengan metode Influence).

35

36 4.1.1 Leverage Seperti yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya, bahwa deteksi outlier dengan leverage adalah memeriksa apakah terdapat outlier pada arah x dari setiap pengamatan ke-i dengan melihat nilai

dan dengan membandingkan nilai

centroidnya. Data yang lebih besar dari nilai centroid (mean) variabel independen dan nilai

yang melebihi nilai cutoff

dengan k merupakan banyaknya

variabel independen dan n merupakan banyaknya data, maka akan digolongkan sebagai outlier. Nilai_nilai mean (centroid) dari masing-masing keempat data independen adalah 5.783333 (x1), 63.42593 (x2), 77.2037 (x3), 2.774259 (x4). Sedangkan nilai cutoffnya adalah 0,1852. Untuk data survival time akan ditampilkan 10 data pertama dari nilai cutoff dan nilai h-nya pada Tabel (4.2) dan data selengkapnya akan disajikan dalam Lampiran 2. Table 4.2 deteksi leverage pada data survival time

No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x1 7.8 5.8 5.1 6.5 7.4 6.7 5.7 3.7 6 3.7

x2 65 38 59 73 57 62 46 68 67 76

x3 115 72 66 41 83 81 63 81 92 94

x4 4.3 1.42 1.7 2.01 2.16 2.59 1.91 2.57 2.5 2.4

y 509 80 101 101 204 200 80 127 202 203

cutoff 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852

HI1 0.124131 0.08127 0.036983 0.081727 0.106676 0.039845 0.047382 0.060138 0.055526 0.07453

Jenis data bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan

Untuk menentukan nilai yang termasuk leverage dapat dihipotesiskan sebagai berikut: H0:

≤ cutoff, maka data bukan merupakan leverage

37 H1:

≥ cutoff, maka data merupakan leverage

Dari perhitungan didapatkan bahwa data ke-18, 30, 35, 40, 46 mempunyai nilai hii masing-masing adalah 0.189087, 0.264561, 0.219006, 0.31775, 0.260665 yang mana nilainya lebih besar dari nilai cutoffnya yaitu 0.1852. Oleh karena itu, seperti hipotes di atas H0 ditolak sehingga data-data tersebut terbukti merupakan outlier pada arah x (leverage). 4.1.2 Discrepancy Nilai discrepancy adalah pendeteksian outlier pada arah y yang penghitungannya dapat dilakukan dengan dua metode yaitu internally studentized residuals dan externally studentized residuals. Pemeriksaan outlier pada arah y pada penelitian kali ini dilakukan dengan menggunakan metode externally studentized residuals (ti). Penentuan nilai outlier berdasarkan metode externally studentized residuals berdasarkan nilai cutoffnya yang mengikuti distribusi t dengan df=n-k-1. untuk menentukan nilai tersebut adalah outlier diberikan hipotesis jika nilai ti lebih besar dari nilai ttabel dengan drajat kepercayaan α, maka data tersebut dikategorikan sebagai outlier Untuk data pada Tabel (4.1) di atas tersebut dengan menggunakan metode discrepancy menunjukkan bahwa nilai ttabel dengan derajat kepercayaan α = 0,05 adalah

dan 10 nilai yang dihasilkan akan ditunjukan pada Tabel (4.3) di

bawah ini dan untuk data selengkapnya akan dilampirkan pada Lampiran 3. Table 4.3 deteksi discrepancy pada data survival time

No. 1 2 3

TRES1 1.0872 0.4743 0.0746

ttabel 2.01 2.01 2.01

Jenis data Bukan Bukan Bukan

38 4 5 6 7 8 9 10

-0.06 -0.6346 -0.5893 0.4706 -0.5425 -1.2699 -0.708

2.01 2.01 2.01 2.01 2.01 2.01 2.01

Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan

Dari data Tabel (4.3) di atas dengan menggunakan metode externally studentized residuals menghasilkan bahwa nilai pada data ke-19 dan ke-23 masing-masing adalah 2.2679 dan 10.0852 yang menunjukan bahwa nilai data tersebut lebih besar dari nilai ttabel. Oleh karena itu, bisa dikatakan bahwa data ke-19 dan ke-23 adalah outlier. 4.1.3 Influence Metode yang ketiga untuk mendeteksi keberadaan serta letak outlier adalah metode influence. Seperti yang dijelaskan pada bab dua di atas bahwa metode nilai influence adalah kombinasi dari nilai leverage dan nilai discrepancy. Lebih spesifiknya metode influence adalah metode yang mendeteksi keberadaan dan letak outliier pada data x dan data y. Metode influence tersebut mendeteksi outlier dengan cara melihat nilai dari jarak Cook’s dan DFFITS. Dihipotesiskan bahwa penentuan outlier dengan menggunakan Cook’s adalah jika nilai yang melebihi Ftabel dengan

dengan

derajat kepercayaan α = 0.05, maka data tersebut digolongkan sebagai outlier. Sedangkan hipotesis untuk menentukan outlier dengan melihat nilai DFFITS adalah jika nilai yang melebihi

maka disebut sebagai outlier. Dari

data Table (3.1) nilai Ftabel untuk menentukan berdasarkan Cook’s adalah 2.31, sedangkan nilai cutoff untuk menentukan berdasarkan DFFITS adalah

.

39 Untuk nilai 10 data pertama dengan metode influence menggunakan Cook’s dan DFFITS akan disajikan dalam Tabel (4.4) di bawah ini dan untuk data selengkapnya akan disajikan dalam Lampiran 4. Table 4.4 deteksi nilai influence pada data survival time

No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

COOK1 0.03338 0.00404 0.00004 0.00007 0.00974 0.00292 0.00224 0.00382 0.01873 0.00816

cutoff 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31

DFIT1 0.4093 0.14107 0.01462 -0.01791 -0.21928 -0.12005 0.10496 -0.13724 -0.30792 -0.30792

cutoff 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61

Jenis data bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan

Dari data pada Tabel (4.4) di atas menjelaskan bahwa nilai data ke-19, ke23 dan ke-35 masing-masing adalah 0.95775, 4.29843 dan 0.6478 sehingga data tersebut dikatakan outlier karena nilai yang dihasilkan melebihi nilai cutoffnya yaitu 0.61.

4.2 MM-Estimasi MM-Estimasi dimulai dengan mencari S Estimasi yang sangat robust dan resisten yang meminimumkan suatu skala residual. Selanjutnya skala residual tetap konstan dan diakhiri dengan menetapkan parameter-parameter regresi menggunakan M Estimasi. MM-Estimasi mempunyai breakdown point yang tinggi sama dengan S Estimasi yaitu sebesar 0,5 atau 50%, sehingga MMEstimasi dapat menjelaskan bahwa banyaknya outlier hingga separuh data pengamatan tidak berpengaruh terhadap MM-estimasi. Berikut formula MMEstimasi dapat dijelaskan seperti di bawah ini:

40

S Estimasi sebagai permulaan dengan nilai high breakdown yang tinggi (50%) dan diakhiri dengan M Estimasi yang membuatnya mempunyai efisiensi yang tinggi. Pada umumnya digunakan fungsi Tukey Bisquare baik pada S Estimasi maupun M Estimasi. Prosedur MM-Estimasi dapat diuraikan sebagai berikut: 1. Mengestimasi koefisien

, sehingga diperoleh residual

yang

diambil dari regresi robust dengan high breakdown point. 2. Residual

residual M Estimasi,

3. Residual

pada langkah pertama digunakan untuk menghitung skala

dan dihitung pula bobot awal

dan skala residual

dari langkah kedua digunakan dalam

iterasi awal dengan metode WLS untuk menghitung koefisien regresi dimana

menggunakan pembobot Huber atau Tukey

Bisquare. 4. Menghitung pembobot baru

menggunakan residual dari iterasi awal

WLS (langkah ketiga) 5. Langkah kedua, ketiga dan keempat diulang (reiterasi dengan skala residual tetap konstan) sampai

konvergen, yaitu selisih

dengan

41 kurang dari

atau sampai mendekati 0 (

= banyaknya iterasi), maka

iterasi dihentikan. Penerapan metode MM-Estimasi pada data table (4.1) di atas menghasilkan model:

Dengan metode MM-Estimasi, R-square yang dihasilkan adalah 94,1% dan menghasilkan estimasi residual sebesar 20,96. Hal tersebut menyatakan bahwa keakuratan metode MM-Estimasi tidak terpengaruh dengan adanya outlier, sehingga dapat diputuskan metode MM-Estimasi sangat cocok digunakan apabila bila dalam suatu data penelitian terdapat outlier.

4.3 Kajian Outlier dalam Al-Quran Outlier dapat diartikan sebuah data pencilan dari kebanyakan data atau bisa diartikan juga bahwa outlier adalah sebuah data yang tidak mengikuti ritme sebuah alur dari kebanyakan data yang ada. Seperti yang telah didefinisikan oleh Barnett dan Lewis (1994), outlier adalah data yang muncul tidak konsisten dengan sisa data. Secara umum outlier dapat diartikan data yang tidak mengikuti pola umum model, atau dapat dikatakan sebagai data yang menyimpang. Dalam kehidupan, outlier dapat dikatakan sebagai sesuatu yang menyimpang dalam kebenaran. Menyimpang dari kebenaran berhubungan dengan amal perbuatan manusia. Amal perbuatan manusia terbagi menjadi dua yaitu amal perbuatan baik

42 dan amal perbuatan yang buruk. Pada al-Quran dijelaskan pada surat Fussilat/41:46, yaitu:               “Barangsiapa yang mengerjakan amal shaleh maka (pahalanya) untuk dirinya sendiri dan barang siapa mengerjakan perbuatan jahat, maka (dosanya) untuk dirinya sendiri; dan sekali-kali tidaklah Rabb-mu menganiaya hamba-hambaNya. (QS. Fussilat/41:46). Dijelaskan dalam al-Quran surat Fussilat ayat ke-46 ini barang siapa mengerjakan amal saleh yaitu amal yang diperintahkan Allah dan Rasul-Nya maka pahala (manfaatnya) untuk dirinya sendiri dan barang siapa berbuat jahat maka (dosa dan hukumannya) menjadi tanggungan dirinya sendiri dalam ayat ini terdapat dorongan untuk mengerjakan kebaikan dan meninggalkan keburukan, adanya akibat dari amal yang dilakukan, bahwa seseorang tidak dapat memikul dosa orang lain, dan tuhanmu sama sekali tidak menzalimi hamba-hamba-Nya seperti memikul kepada hamba dosa-dosa diluar dosa mereka (Marwan bin Musa, Tafsir Hidayatul Insan). Outlier merupakan salah satu faktor yang dapat mempengaruhi pendugaan parameter. Yang dapat mengakibatkan data tidak konsisten. Ada sebab, maka ada akibat. Seperti halnya perbuatan manusia, semua amalan baik dan buruk akan mendapatkan balasannya. Hal ini di bahas dalam surat al-Mukmin/40:40, yaitu:                          “Barangsiapa mengerjakan perbuatan jahat, maka dia tidak akan dibalasi melainkan sebanding dengan kejahatan itu. Dan barangsiapa mengerjakan amal shaleh baik laki-laki maupun perempuan sedang ia dalam keadaan beriman. Maka mereka akan masuk surga, mereka diberi rezki di dalamnya tanpa hisab.” (QS. al-Mukmin/40:40).

43 Dari

surat

al-Mukmin/40:40

ini

dijelaskan

bahwa

barangsiapa

mengerjakan perbuatan jahat, maka dia akan dibalas sebanding dengan kejahatan itu. Dan barangsiapa mengerjakan amal shaleh baik yang berkaitan dengan hati, lisan maupun anggota badan, baik laki-laki maupun perempuan sedangkan dia dalam keadaan beriman, maka mereka akan masuk surga, mereka diberi rezeki dalamnya tak terhingga, Allah akan memberikan rezeki kepada mereka yang tidak dicapai oleh amal mereka (Marwan bin Musa, Tafsir Hidayatul Insan.

BAB V PENUTUP

5.1 Kesimpulan Metode pendeteksian outlier yang dibahas adalah metode leverage, discrepancy, influence. Sedangkan metode robust yang dipakai dalam penelitian ini adalah metode MM-Estimasi yang mana metode tersebut menggabungkan antara high breakdown dan efficiency yang tinggi pula. Untuk leverage pendeteksian outlier pada arah x, nilai cutoff yang telah ditentukan adalah

untuk data yang banyak

. Nilai discrepancy

pendeteksian outlier pada arah y yang penghitungannya dapat dilakukan dengan dua metode yaitu internally studentized residuals dan externally studentized residuals. Nilai influence merupakan kombinasi dari nilai leverage dan nilai discrepancy. Metode influence tersebut mendeteksi outlier dengan cara melihat nilai dari Cook’s dan DFFITS. Metode MM-Estimasi menggabungkan antara high breakdown dan efficiency yang tinggi, untuk high breakdownnya mencapai 50% dan sifat keefficiencynya mencapai 95%. Dari hasil output data Table (4.1) didapatkan bahwa persamaan metode MM-Estimasi adalah:

Dengan metode MM-Estimasi, R-square yang dihasilkan adalah 94,1% dan menghasilkan estimasi residual sebesar 20,96. Hal tersebut menyatakan bahwa keakuratan metode MM-Estimasi tidak terpengaruh dengan adanya outlier,

41

42

sehingga dapat diputuskan metode MM-Estimasi sangat cocok digunakan apabila dalam suatu data penelitian terdapat outlier.

5.2 Saran Pada tugas akhir ini hanya digunak metode MM-Estimasi untuk mengatasi pengaruh outlier. Oleh karena itu, untuk penelitian yang lain supaya digunakan metode yang lebih banyak seperti halnya Least Trimmed Squarse (LTS) Estimate, M Estimate, S Estimate, dll.

DAFTAR PUSTAKA

Abdussakir. 2007. Ketika Kyai Mengajar Matematika. Malang: UIN Press. Algifari, 1997. Analisis Regresi Teori Kasus dan Solusi. Yogyakarta: BPFE. Cohen, J.. 2003. Applied Multiple Regression/Correlation Analysis For The Behavioral Sciences. New Jercey: Lawrence Erlbaum Associate. Draper, N., dan Smith, H.. 1998. Analisis Regresi Terapan. Jakarta: PT. Gramedia Pustaka Utama. Sembiring, R.K.. 1995. Analisis Regresi. Bandung: ITB. Soemarti. 2007. Pencilan (Outlier). Makalah Statitika FMIPA Universitas Padjadjaran. Bandung. Tersedia: http:///resources.unpad.ac.id/unpadcontent/aplouds/publikasi_dosen/Outlier(Pencilan).pdf. Hasan, I.. 2002. Pokok-pokok Materi Metodologi Penelitian dan Aplikasinya. Jakarta: Ghalia Indonesia. Hasan, I.. 2002. Pokok-pokok Materi Statistik 1 (Statistik Deskriptif). Jakarta: Bumi Askara. Quth, S.. 2008. Tafsir Fidzitalil Qur’an. Jakarta: Gema Press. Seber, G.. 2007. Linier Regression Analiysis. New Zewland: Intersince. Wibisono, Y.. 2005. Metode Statistik. Yogyakarta: Gajah Mada University Press. Yitnosumarto, S.. 1990. Dasar-dasar Statistik. Jakarta: CV. Rajawali.

42

Lampiran I Tabel 4.1 Survival Time

No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

x1 7.8 5.8 5.1 6.5 7.4 6.7 5.7 3.7 6 3.7 6.3 6.7 7.4 7.7 5.8 7.3 5.6 6 3.7 5.2 6.7 3.4 5.8 5.8 6.3 5.8 5.2 5.8 5.2 11.2 3.2 5.4 5.8 5 8.7 5.3 2.6

x2 65 38 59 73 57 62 46 68 67 76 84 51 74 62 83 68 57 85 51 52 26 83 96 67 59 61 52 76 54 76 64 58 72 59 45 57 74

x3 115 72 66 41 83 81 63 81 92 94 83 43 68 67 88 74 87 28 41 76 68 53 114 86 100 73 86 59 56 90 65 70 93 73 23 99 86

43

x4 4.3 1.42 1.7 2.01 2.16 2.59 1.91 2.57 2.5 2.4 4.13 1.86 2.4 3.4 3.95 3.56 3.02 2.98 1.55 2.85 2.1 1.12 3.95 3.4 2.95 3.5 2.56 2.58 2.71 5.59 0.74 2.64 3.3 3.5 2.52 2.6 2.05

y 509 80 101 101 204 200 80 127 202 203 329 65 217 168 330 215 172 87 34 109 70 136 830 220 276 144 181 178 72 574 71 115 295 116 58 184 118

45 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54

5.4 4.8 4.3 5.2 3.4 6.5 4.5 3.6 8.8 6.7 5.1 8.8 4.8 6.4 6.6 6.4 3.8

52 61 8 49 77 40 73 28 90 56 67 78 86 85 77 59 82

88 76 120 72 93 84 106 99 88 77 77 72 101 40 46 85 108

1.18 2.45 2.85 1.84 1.48 3 3.05 1.3 6.4 2.85 2.86 3.2 4.1 1.21 1.95 2.33 4.55

148 151 120 95 191 123 311 75 483 153 158 313 398 128 124 198 310

46

Lampiran II Table 4.2 deteksi leverage pada data survival time

No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41

x1 7.8 5.8 5.1 6.5 7.4 6.7 5.7 3.7 6 3.7 6.3 6.7 7.4 7.7 5.8 7.3 5.6 6 3.7 5.2 6.7 3.4 5.8 5.8 6.3 5.8 5.2 5.8 5.2 11.2 3.2 5.4 5.8 5 8.7 5.3 2.6 5.4 4.8 4.3 5.2

x2 65 38 59 73 57 62 46 68 67 76 84 51 74 62 83 68 57 85 51 52 26 83 96 67 59 61 52 76 54 76 64 58 72 59 45 57 74 52 61 8 49

x3 115 72 66 41 83 81 63 81 92 94 83 43 68 67 88 74 87 28 41 76 68 53 114 86 100 73 86 59 56 90 65 70 93 73 23 99 86 88 76 120 72

x4 4.3 1.42 1.7 2.01 2.16 2.59 1.91 2.57 2.5 2.4 4.13 1.86 2.4 3.4 3.95 3.56 3.02 2.98 1.55 2.85 2.1 1.12 3.95 3.4 2.95 3.5 2.56 2.58 2.71 5.59 0.74 2.64 3.3 3.5 2.52 2.6 2.05 1.18 2.45 2.85 1.84

y 509 80 101 101 204 200 80 127 202 203 329 65 217 168 330 215 172 87 34 109 70 136 830 220 276 144 181 178 72 574 71 115 295 116 58 184 118 148 151 120 95

cutoff 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852

hii 0.124131 0.08127 0.036983 0.081727 0.106676 0.039845 0.047382 0.060138 0.055526 0.07453 0.065277 0.080764 0.08157 0.050458 0.059973 0.038603 0.027375 0.189087 0.151355 0.027375 0.124505 0.141251 0.153731 0.02792 0.055787 0.055338 0.031417 0.042994 0.083994 0.264561 0.106039 0.028826 0.033969 0.92267 0.219006 0.047335 0.105797 0.061503 0.027146 0.31775 0.038149

Jenis data bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan outlier bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan outlier bukan bukan bukan bukan outlier bukan bukan bukan bukan outlier bukan

47 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54

3.4 6.5 4.5 3.6 8.8 6.7 5.1 8.8 4.8 6.4 6.6 6.4 3.8

77 40 73 28 90 56 67 78 86 85 77 59 82

93 84 106 99 88 77 77 72 101 40 46 85 108

1.48 3 3.05 1.3 6.4 2.85 2.86 3.2 4.1 1.21 1.95 2.33 4.55

191 123 311 75 483 153 158 313 398 128 124 198 310

0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852 0.1852

0.132737 0.068236 0.068236 0.148072 0.260665 0.026771 0.027048 0.123695 0.09949 0.174638 0.085847 0.050524 0.177734

bukan bukan bukan bukan outlier bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan

48 Lampiran III Table 4.3 deteksi discrepancy pada data survival time

No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

TRES1 1.0872 0.4743 0.0746 -0.06 -0.6346 -0.5893 0.4706 -0.5425 -1.2699 -0.708 -0.2344 0.6928 -0.6398 -0.896 -0.1704 -0.8199 -0.5737 -0.1818 2.2679 -0.2622 0.8161 0.9634 10.0852 -0.6061 -0.2639 -0.5839 0.3227

ttabel 2.01 2.01 2.01 2.01 2.01 2.01 2.01 2.01 2.01 2.01 2.01 2.01 2.01 2.01 2.01 2.01 2.01 2.01 2.01 2.01 2.01 2.01 2.01 2.01 2.01 2.01 2.01

Jenis data Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan Outlier Bukan Bukan Bukan Outlier Bukan Bukan Bukan Bukan

49 Lampiran IV Table 4.4 deteksi nilai influence pada data survival time

No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

COOK1 0.03338 0.00404 0.00004 0.00007 0.00974 0.00292 0.00224 0.00382 0.01873 0.00816 0.00078 0.00852 0.00736 0.00857 0.00038 0.00543 0.00188 0.00157 0.16915 0.00065 0.01907 0.03058 1.20946 0.00214 0.00084 0.00405 0.00069 0.00003 0.00265 0.07152 0.00772 0.00037 0.00023 0.00449 0.08309 0.00898 0.01367 0.00154 0.00005 0.03792 0.00029 0.01016 0.00358 0.00013

cutoff 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31

DFIT1 0.4093 0.14107 0.01462 -0.01791 -0.21928 -0.12005 0.10496 -0.13724 -0.30792 -0.30792 -0.20093 -0.06194 -0.19068 -0.20654 -0.04304 -0.1643 -0.09625 -0.08777 0.95775 -0.05641 0.30775 0.39071 4.29843 -0.10272 -0.06415 -0.14133 0.05813 0.01183 0.114 0.59798 0.1951 -0.04252 -0.03372 -0.14865 0.6478 -0.21172 -0.26027 -0.08696 0.01628 0.43278 0.03755 -0.22386 -0.13276 -0.02564

cutoff 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61

Jenis data bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan bukan Outlier Bukan Bukan Bukan Outlier Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan Outlier Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan

50 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54

0.01024 0.00848 0.00205 0.00153 0.00903 0.00356 0.00251 0.00236 0.00234 0.03622

2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31 2.31

0.22459 -0.20406 -0.10065 -0.08668 -0.21096 0.13228 -0.11097 -0.10755 -0.10732 -0.42486

0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61

Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan Bukan

RIWAYAT HIDUP Lukmanul Hakim dilahirkan di Gresik pada tangal 30 April 1991, anak pertama dari pasangan bapak Moh. Sholeh dan ibu Munawaroh. Pendidikan dasar ditempuh di kampung halamannya di Madrasah Ibtida’iyah Mojopetung Dukun Grasik yang ditamatkan pada tahun 2003. Pada tahun yang sama melanjutkan pendidikan menengah pertama di Madrasah Tsanawiyah Al-Falahiyah Mojopetung Dukun Gresik sampai pada tahun 2006. Kemudian melanjutkan pendidikan menengah atas di Madrasah Aliyah 07 Sunan Drajat Lamongan. dan menamatkan pendidikan tersebut pada tahun 2009. Pendidikan berikutnya ditempuh di Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang dengan mengambil Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi.