ANALISIS HUBUNGAN CUACA DAN JUMLAH PENDERITA DEMAM BERDARAH DENGUE (DBD) DENGAN FUNGSI TRANSFER Studi Kasus Kota Surabaya
USWATUN HASANAH
DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2007
ABSTRAK USWATUN HASANAH. Analisis Hubungan Cuaca dan Jumlah Penderita Demam Berdarah Dengue (DBD) dengan Fungsi Transfer. Studi Kasus Kota Surabaya. Dibimbing oleh AJI HAMIM WIGENA dan KUSMAN SADIK. Penyakit Demam Berdarah Dengue (DBD) merupakan penyakit yang disebabkan oleh nyamuk Aedes Aegypti. Peningkatan penyebaran penyakit akibat gigitan nyamuk ini harus segera diwaspadai. Banyak faktor yang mempengaruhi peningkatan tersebut. Salah satunya adalah akibat pengaruh cuaca, seperti curah hujan dan suhu udara. Model fungsi transfer merupakan suatu model peramalan deret waktu berganda yang dapat digunakan untuk menjelaskan pengaruh curah hujan dan suhu udara terhadap jumlah penderita DBD. Model fungsi transfer yang dihasilkan menjelaskan bahwa jumlah penderita DBD dipengaruhi oleh curah hujan dua bulan sebelumnya dan suhu udara tiga bulan sebelumnya. Proses peramalan 1 tahun ke depan menghasilkan nilai MAPE sebesar 87.85. Untuk 7 bulan pertama hasil peramalan dengan model fungsi transfer lebih mendekati data aktual dibandingkan dengan model ARIMA. Tetapi, untuk 5 bulan berikutnya hasil peramalan dengan menggunakan ARIMA lebih sesuai. Proses peramalan secara bertahap menghasilkan ramalan yang lebih mendekati data aktual. Tahapan ini terdiri dari pengurangan jumlah periode peramalan menjadi 2 bulan yang diikuti dengan proses pembaharuan data yaitu dengan menginput data aktual terbaru (updating).
ANALISIS HUBUNGAN CUACA DAN JUMLAH PENDERITA DEMAM BERDARAH DENGUE (DBD) DENGAN FUNGSI TRANSFER Studi Kasus Kota Surabaya
USWATUN HASANAH
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Statistika
DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2007
Judul Skripsi Nama Mahasiswa NIM
: Analisis Hubungan Cuaca dan Jumlah Penderita Demam Berdarah Dengue (DBD) dengan Fungsi Transfer. Studi Kasus Kota Surabaya : Uswatun Hasanah : G14103013
Menyetujui :
Pembimbing I ,
Pembimbing II ,
Dr. Ir. Aji Hamim Wigena, M.Sc. NIP 130605236
Kusman Sadik, S.Si, M.Si. NIP 132158751
Mengetahui : Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Dr. Drh. Hasim, DEA NIP 131578806
Tanggal Lulus :
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala limpahan rahmat, nikmat dan kasih sayang-Nya sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Salawat serta salam senantiasa dilimpahkan kepada tauladan umat Rasulullah Muhammad SAW, kepada keluarganya, sahabatnya serta pengikutnya yang senantiasa istiqomah mengemban Islam. Banyak ilmu dan pelajaran yang sangat dirasakan oleh penulis dalam proses pembuatan karya ilmiah ini, sehingga pada kesempatan kali ini penulis ingin mengucapkan banyak terima kasih, diantaranya kepada : 1. Bapak Aji Hamim Wigena dan Bapak Kusman Sadik sebagai pembimbing I dan pembimbing II yang telah memberikan waktu dan sarannya kepada penulis. 2. Seluruh dosen Departemen Statistika IPB atas ilmu yang bermanfaat. 3. Bapak Achmad Sasmito beserta Staf Bidang Analisis Data Meteorologi BMG Jakarta. 4. Teristimewa kupersembahkan karya kecil ini untuk Papa dan Mama yang selalu memberi motivasi serta doa tiada putus. 5. Kak Heri, Unin Yanti, Bang Ruslan, Unin Ina, Bang Iwan, Bang Wiwin, Mbak Endang, Bang Ari dan Kak Adek.. Thanks God, Engkau berikan aku keluarga yang begitu indah.. 6. Malaikat-malaikat kecilku..Icha, Haekal, Sutan, Ami dan Adri..Celoteh kalian adalah semangat buat mami, makasih sayang ya.. 7. Ntang, Me2i, Muti, Suci, Ndri dan Essi.. Terima kasih atas sentuhan warna indah yang kalian berikan dalam hidup ash.. 8. Rosit (terimakasih telah membuat SAS itu jauh lebih mudah), Riko (meskipun kerjaan ash gak terselamatkan, tapi..bantuan lo berarti banget, makasi ya..) 9. Shinta, Rini, Oci, K’Rio..Terima kasih telah menemani di hari-hari sulit ash..Motivasi dan semangat yang kalian berikan sangat berarti..Maaf ya kalo ash sering ngeluh.. 10. Teman-teman di STK 40. Terima kasih atas kebersamaannya selama 4 tahun ini. Semoga kita bisa bertemu kembali dalam kesuksesan. Amien. 11. Adik kelasku STK 41 dan STK 42.. 12. Bu Dedeh, Bu Sulis, Bu Markonah, Pak Iyan, Mang Sudin, Mang Herman, Bang Dur, Bu Aat..Terima kasih atas segala bantuannya.
Bogor, Desember 2007
Uswatun Hasanah
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Padangsidimpuan pada tanggal 9 Mei 1985 sebagai anak keenam dari enam bersaudara, anak dari pasangan Ismetsyah Nasution dan Rohani Lubis. Setelah menyelesaikan pendidikan dasar di SDN 12 Padangsidimpuan pada tahun 1997, studi penulis dilanjutkan di SMPN 1 Padangsidimpuan dan lulus pada tahun 2000. Tahun 2003 penulis lulus dari SMUN 3 Plus YPMhb Sipirok, dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis diterima di Departemen Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Pada bulan Februari – April 2007 penulis melaksanakan Praktik Lapang di Badan Meteorologi dan Geofisika (BMG) Jakarta. Selama menjadi mahasiswa, penulis aktif di beberapa organisasi yang ada di IPB, diantaranya adalah sebagai Staf Departemen Minat dan Bakat Badan Eksekutif Mahasiswa Tingkat Persiapan Bersama (BEM-TPB), Staf Departemen Kajian Strategis Himpunan Profesi Gamma Sigma Beta, Staf Departemen Kewirausahaan Himpunan Profesi Gamma Sigma Beta dan Bendahara Umum Himpunan Profesi Gamma Sigma Beta. Selain itu, penulis juga aktif di Ikatan Mahasiswa Tapanuli Selatan (IMATAPSEL) Bogor.
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL ........................................................................................................................... vi DAFTAR GAMBAR .......................................................................................................................
vi
DAFTAR LAMPIRAN ....................................................................................................................
vi
PENDAHULUAN ........................................................................................................................... Latar Belakang ........................................................................................................................ Tujuan .....................................................................................................................................
1 1 1
TINJAUAN PUSTAKA .................................................................................................................. Cuaca dan DBD ....................................................................................................................... Model Deret Waktu ARIMA ................................................................................................... Kriteria Pemilihan Model ........................................................................................................ Model Fungsi Transfer ............................................................................................................
1 1 1 4 4
BAHAN DAN METODE ................................................................................................................ Bahan Penelitian ...................................................................................................................... Metode Penelitian ....................................................................................................................
6 6 6
HASIL DAN PEMBAHASAN ........................................................................................................ Eksplorasi Data ....................................................................................................................... Mempersiapkan Deret Output dan Deret Input (Penstasioneran Data) ................................... Identifikasi Model ARIMA ..................................................................................................... Prewhitening Deret Input Curah Hujan ................................................................................... Prewhitening Deret Input Suhu Udara .................................................................................... Menghitung Korelasi Silang .................................................................................................... Identifikasi Model Awal .......................................................................................................... Identifikasi Model Sisaan ........................................................................................................ Pendugaan Akhir Parameter Model Fungsi Transfer .............................................................. Peramalan ................................................................................................................................
6 6 7 7 9 9 9 9 10 10 11
KESIMPULAN DAN SARAN ........................................................................................................ Kesimpulan ............................................................................................................................. Saran ........................................................................................................................................
12 12 12
DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................................................
13
LAMPIRAN ....................................................................................................................................
14
DAFTAR TABEL 1.
Halaman Nilai Lambda dan Transformasinya ......................................................................................... 2
2.
Nilai SBC dan AIC Kandidat Model ARIMA x1t ....................................................................
8
3.
Nilai SBC dan AIC Kandidat Model ARIMA x2t ....................................................................
8
4.
Model Fungsi Transfer x1t ........................................................................................................
10
5.
Model Fungsi Transfer x2t ........................................................................................................
10
6.
Evaluasi Peramalan Model Fungsi Transfer dan Model ARIMA ............................................
11
7.
Hasil Peramalan Model Fungsi Transfer Secara Bertahap .......................................................
12
DAFTAR GAMBAR 1.
Halaman Grafik Kasus DBD Rata-rata Bulanan ..................................................................................... 6
2.
Plot yt Stasioner .......................................................................................................................
7
3.
Plot x1t Stasioner ......................................................................................................................
7
4.
Plot x2t Stasioner ......................................................................................................................
7
5.
Plot ACF Deret Input x1t ..........................................................................................................
7
6.
Plot PACF Deret Input x1t ........................................................................................................
7
7.
Plot ACF Deret Input x2t ..........................................................................................................
8
8.
Plot PACF Deret Input x2t ........................................................................................................
8
9.
Plot ACF Deret Output yt ........................................................................................................
9
10. Plot PACF Deret Output yt ......................................................................................................
9
11. Plot Data Aktual dan Data Prediksi .........................................................................................
11
12. Plot Hasil Ramalan (Transfer dan ARIMA) dan Aktual ..........................................................
12
DAFTAR LAMPIRAN 1.
Halaman Petunjuk Penentuan Nilai Ordo Pada Proses ARIMA Berdasarkan Plot ACF dan PACF ....... 15
2.
Plot Data Asli Demam Berdarah Dengue, Curah Hujan dan Suhu Udara ...............................
15
3.
Plot ACF dan PACF Data Asli DBD, Curah Hujan dan Suhu Udara ......................................
16
4.
Hasil Uji Augmented Dicky-Fuller Data Asli ..........................................................................
17
5.
Hasil Uji Augmented Dicky-Fuller Setelah Pembedaan Satu Kali ..........................................
18
6.
Pendugaan Parameter ARIMA (0,1,0)(1,0,0)12 Deret Input Curah Hujan ..............................
19
7.
Pendugaan Parameter ARIMA (0,1,0)(1,0,1)3 Deret Input Suhu Udara .................................
19
8.
Pendugaan Parameter ARIMA (0,1,0)(0,0,1)12 Deret Output DBD .......................................
20
9.
Hasil Korelasi Silang antara x1t dengan yt dan antara x2t dan yt ...............................................
21
10. Pendugaan Awal Model Fungsi Transfer .................................................................................
22
11. Plot ACF dan PACF Deret Sisaan ...........................................................................................
22
12. Hasil Pendugaan Akhir Model Fungsi Transfer .......................................................................
23
13. Plot ACF dan PACF Sisaan Model Fungsi Transfer ...............................................................
23
14. Statistik χ 2 Box-Pierce Untuk Menguji Kebebasan Sisaan Model Fungsi Transfer ..............
24
15. Statistik χ 2 Box-Pierce Untuk Menguji Kebebasan Antara Input dan Sisaan ........................
24
16. Hasil Peramalan .......................................................................................................................
25
17. Program SAS Model Fungsi Transfer ......................................................................................
25
PENDAHULUAN Latar Belakang Semua makhluk hidup di permukaan bumi sangat dipengaruhi oleh keadaan cuaca/iklim. Demikian halnya dengan nyamuk Aedes aegypti sebagai penyebab penyebaran penyakit Demam Berdarah Dengue (DBD). Peningkatan penyebaran penyakit akibat gigitan nyamuk Aedes aegypti ini disebabkan pengaruh cuaca seperti curah hujan dan suhu udara. Tingginya curah hujan membuat sejumlah daerah rawan terjadi genangan air. Sedangkan genangan air ini merupakan tempat yang sangat disukai bagi berkembangnya jentik nyamuk penyebab demam berdarah (Imron 2007). Jumlah penderita DBD yang semakin meningkat tajam harus segera diwaspadai. Sebuah model analisis penyakit menular menunjukkan bahwa kasus DBD di Indonesia akan meningkat lebih dari 4 kali, yaitu dari 6 kasus di tahun 1989 menjadi 26 kasus per 10.000 orang di tahun 2070 (Agus 2007). Peningkatan jumlah penderita DBD dapat dimodelkan dengan menggunakan metode ARIMA. Begitu juga dengan peningkatan curah hujan dan suhu udara. Akan tetapi hubungan antara curah hujan dan suhu udara dengan peningkatan jumlah penderita DBD tidak dapat dimodelkan dengan metode ARIMA, karena metode ini hanya untuk satu peubah. Untuk mengatasi hal tersebut, digunakan model fungsi transfer. Model fungsi transfer adalah suatu model peramalan deret waktu berganda yang menggabungkan beberapa karakteristik model-model ARIMA satu peubah dengan beberapa karakteristik analisis regresi (Makridakis et al. 1983). Model fungsi transfer diharapkan dapat menjelaskan pengaruh curah hujan dan suhu udara terhadap jumlah penderita DBD, sehingga dapat dipertimbangkan dalam perencanaan atau kebijakan strategis terhadap dampak perubahan cuaca. Tujuan 1.
2.
Tujuan dari penelitian ini adalah : Membuat model fungsi transfer yang menjelaskan hubungan antara curah hujan dan suhu udara dengan jumlah penderita DBD. Melakukan peramalan jumlah penderita DBD.
3.
Membandingkan hasil peramalan model fungsi transfer dengan model ARIMA.
TINJAUAN PUSTAKA Cuaca dan DBD Cuaca merupakan keadaan udara di suatu tempat. Unsur-unsur cuaca terdiri dari curah hujan, suhu udara, kelembapan udara, tekanan atmosfer dan angin. Sedangkan penyakit Demam Berdarah Dengue (DBD) merupakan penyakit yang disebabkan oleh nyamuk Aedes aegypti. WHO menyatakan bahwa daerah tropis merupakan daerah hiperendemik DBD dan berdasarkan tinjauan meteorologi daerah tropis merupakan daerah yang kaya hujan sepanjang tahun sehingga perkembangbiakan nyamuk sangat erat kaitannya dengan masalah cuaca/iklim di suatu wilayah (BMG 2006). Perubahan iklim/cuaca seperti perubahan suhu dan perubahan curah hujan dapat mempengaruhi organisme vektor DBD yaitu terjadi perubahan dalam pergerakan, perkembangbiakan dan tingkah laku, serta mempengaruhi kecepatan kematangan dan lamanya hidup vektor penginfeksi (LIPI 2006). Curah hujan merupakan bentuk air cair yang jatuh ke permukaan bumi. Banyaknya curah hujan yang mencapai tanah atau permukaan bumi selama selang waktu tertentu dinyatakan dengan ketebalan atau ketinggian air hujan seandainya menutupi proyeksi horizontal permukaan bumi dan tidak ada yang hilang karena penguapan, limpasan, dan infiltrasi atau peresapan. Suhu didefinisikan sebagai tingkat atau derajat kepanasan suatu benda yang secara mikroskopik berkaitan dengan gerakan molekul, semakin besar kecepatan molekul maka suhu akan semakin tinggi (BMG 2006). Sebuah penelitian yang dilakukan oleh BMG pada tahun 2006 menyimpulkan bahwa jumlah penderita DBD berkaitan erat dengan intensitas dan jumlah hari hujan. Hujan yang terjadi saat ini tidak secara langsung berpengaruh terhadap peningkatan jumlah penderita DBD, tetapi terdapat selang waktu (time lag) beberapa bulan kemudian (BMG 2006). Model Deret Waktu ARIMA Metode ARIMA pertama kali diperkenalkan oleh Box dan Jenkins. Pada model ini terjadi proses Autoregressive (AR) berordo-p atau proses Moving Average (MA)
berordo-q atau merupakan kombinasi keduanya. Pembeda berordo-d dilakukan jika data deret waktu tidak stasioner. Kebanyakan data deret waktu bersifat non stasioner, padahal aspek-aspek AR dan MA dari model ARIMA menghendaki data yang stasioner. Kestasioneran Data Deret Waktu Syarat utama dalam membuat model ARIMA adalah data bersifat stasioner, baik dalam rataan maupun ragam. Data dikatakan stasioner jika fluktuasi data berada di sekitar nilai yang konstan (stasioner dalam rataan) dan ragam dari fluktuasi tersebut tetap konstan dari waktu ke waktu (stasioner dalam ragam). Pemeriksaan kestasioneran data dapat dilihat dari plot data terhadap waktu dan plot korelasi dirinya (ACF). Deret waktu yang stasioner memiliki pola plot ACF yang menunjukkan penurunan nilai-nilai korelasi diri dengan cepat mendekati nol. Sebaliknya deret waktu yang tidak stasioner memiliki pola plot ACF yang menunjukkan penurunan nilai-nilai korelasi diri secara lambat. Fungsi korelasi diri dinotasikan sebagai berikut : N −k
rk =
∑ (X t − X )(X t + k − X ) t =1
∑ (X t − X ) N
2
t =1
dengan : Xt = nilai pengamatan pada waktu ke-t rk = nilai korelasi diri pada lag ke-k N = banyaknya pengamatan deret waktu k = lag yang diamati t = 1,2,3,…,N Ketidakstasioneran data deret waktu terbagi dua, yaitu tidak stasioner dalam rataan dan tidak stasioner dalam ragam. Data deret waktu yang tidak stasioner dalam rataan dapat distasionerkan dengan cara pembedaan dengan derajat d. Secara umum, pembedaan dengan derajat d bisa dirumuskan sebagai berikut : Δd X t = (1 − B )d X t
Biasanya pembedaan dilakukan hanya sampai dua kali, karena data aktual umumnya tidak stasioner hanya pada satu atau dua tahap (Cryer 1986). Data deret waktu yang tidak stasioner dalam ragam bisa distasionerkan dengan transformasi Box Cox. Dalam transformasi Box Cox akan dihasilkan nilai λ yang akan menentukan jenis transformasi yang akan dilakukan. Nilai lambda beserta aturan transformasi yang dilakukan dapat dilihat pada Tabel 1 (Wei 1990).
Tabel 1 Nilai λ dan Transformasinya Nilai λ -1.0 -0.5
Transformasinya 1/Xt
0.0 0.5
Ln Xt
1.0
Xt (tanpa transformasi)
1/ X t Xt
Untuk menguji apakah data yang digunakan stasioner, dapat digunakan Uji Augmented Dicky-Fuller. Hipotesis yang digunakan yaitu H0 : data tidak stasioner dan H1 : data stasioner. Jika nilai-p lebih besar dari nilai α maka terima H0 atau dengan kata lain data tidak stasioner dan sebaliknya. Model Regresi Diri (Autoregressive) Model regresi diri berordo p, yang disingkat AR (p) menyatakan bahwa nilai pengamatan pada periode ke-t dipengaruhi oleh nilai-nilai pengamatan sebelumnya selama p periode (Makridakis et al. 1983). Dengan kata lain nilai pengamatan Xt dipengaruhi nilai pengamatan Xt-1, Xt-2, …, Xt-p. Secara umum, model AR(p) diformulasikan sebagai berikut (Montgomery et al. 1990) : X t = μ + φ1 X t −1 + φ2 X t − 2 + ... + φ p X t − p + et
φ p (B )X t = μ + et
dengan : Xt = nilai pengamatan pada waktu ke-t μ = konstanta φ = parameter model AR et
= sisaan pada waktu ke-t
φ p (B ) = 1 − φ1B − φ2 B 2 − ... − φ p B p
merupakan
polinomial karakteristik AR Model Rataan Bergerak (Moving Average) Perbedaan antara model MA dan model AR terletak pada peubah bebasnya. Pada model AR peubah bebasnya adalah nilai sebelumnya dari peubah tak bebas itu sendiri (Xt), sedangkan pada model MA, peubah bebasnya adalah nilai sisaan pada periode sebelumnya. Rumus umum proses MA (q) adalah sebagai berikut (Montgomery et al. 1990) : X t = μ − θ1et −1 − θ 2 et − 2 − ... − θ q et − q + et
X t = μ + θ q (B )et
dengan : Xt = nilai pengamatan pada waktu ke-t
μ θ
= konstanta = parameter model MA = sisaan pada waktu ke-t
et
θ (B ) = 1 − θ1 B − θ 2 B 2 − ... − θ q B q merupakan q
polinomial karakteristik MA Model Regresi Diri-Rataan Bergerak (p,d,q) Autoregressive Integreted Moving Average (ARIMA) adalah gabungan dari model regresi diri ordo p dan rataan bergerak ordo q terhadap data yang telah mengalami pembedaan sebanyak d kali. Bentuk umum model ARIMA (p,d,q) adalah sebagai berikut : φ p (B )∇ d X t = μ +θ q (B )e t Memasukkan faktor musiman (S) ke dalam model akan dapat mereduksi besarnya sisaan yang disebabkan oleh fakor musiman. Bentuk umum dari model campuran dengan faktor musiman adalah ARIMA (p,d,q)(P,D,Q)s : φ p (B )Φ Ps (B )∇ d ∇ sD X t = μ + θ q (B )Θ Qs (B )et
dengan :
μ φ θ
= konstanta = parameter model AR = parameter model MA et = sisaan pada waktu ke-t s = banyaknya pengamatan deret waktu dalam satu musim ∇d = operator pembedaan dengan derajat pembeda d merupakan φ p (B ) = 1 − φ1 B − φ 2 B 2 − ... − φ p B p polinomial karakteristik AR θ q (B ) = 1 − θ1 B − θ 2 B 2 − ... − θ q B q
merupakan
polinomial karakteristik MA Φ Ps (B ) merupakan polinomial karakteristik AR musiman Θ Qs (B ) merupakan polinomial karakteristik MA musiman ∇ sD
(
)
s D
= 1− B merupakan operator pembedaan musiman dengan pembedaan derajat D Metode yang biasa digunakan dalam pembuatan model ARIMA adalah metode BoxJenkins (Makridakis et al. 1983) dengan prosedur sebagai berikut :
1.
Identifikasi Model Identifikasi model beranjak dari struktur data yang bersifat stasioner. Dari data yang telah stasioner dapat diperoleh model sementara dengan mengamati fungsi korelasi
diri (ACF) dan fungsi korelasi diri parsialnya (PACF). Ordo proses AR dapat ditentukan dengan melihat berapa banyak koefisien korelasi diri parsial (PACF) pertama yang berbeda nyata dengan nol. Sedangkan ordo proses MA ditentukan dengan melihat berapa banyak koefisien korelasi diri (ACF) pertama yang berbeda nyata dengan nol (Bowerman & O’Connel, 1987). Untuk lebih jelasnya, dalam mengidentifikasi proses ARIMA dari plot korelasi diri dan plot korelasi diri parsialnya dapat dilihat pada Lampiran 1. 2.
Pendugaan Parameter Banyaknya parameter yang akan diduga bergantung pada banyaknya koefisien model awal. Penduga parameter dikatakan nyata jika nilai-t absolut yang berpadanan dengan parameter tersebut lebih besar daripada nilai-t table pada taraf nyata α/2 dengan derajat bebas N dikurangi dengan banyaknya parameter model (Bowerman & O’Connel, 1987). 3.
Diagnostik Model Uji Portmanteau atau Box-Pierce dapat digunakan untuk menguji apakah model yang dimiliki sudah layak atau belum, yaitu dengan melihat apakah sekelompok korelasi diri sisaan secara nyata berbeda dengan nol. Statistik uji Q Box-Pierce menyebar mengikuti sebaran χ 2 dengan derajat bebas kn, dimana k adalah lag tertinggi yang diamati dan n adalah jumlah ordo AR dan MA baik regular maupun musiman. Jika nilai Q lebih besar dari nilai χ 2 (n− k ) untuk tingkat kepercayaan tertentu atau nilai peluang statistik Q lebih kecil dari taraf nyata α, maka dapat disimpulkan bahwa model tidak layak. Persamaan statistik uji Q Box-Pierce menurut Montgomery et al.(1990) adalah : Q = (N − d )
K
∑ rk 2 k =1
dengan : rk2 = nilai korelasi diri pada lag ke-k N = banyaknya amatan pada data awal d = ordo pembedaan K = lag tertinggi Pemeriksaan kelayakan model juga dapat dilakukan dengan memeriksa plot korelasi diri sisaan (RACF) dan plot korelasi diri parsial sisaan (RPACF). Model yang sesuai ditunjukkan dengan tidak adanya nilai korelasi diri sisaan dan nilai korelasi diri parsial sisaan yang berbeda nyata dengan nol (Bowerman & O’Connel, 1987).
4.
Peramalan Peramalan merupakan suatu proses untuk memperoleh data beberapa periode waktu ke depan. Untuk memperoleh sejauh a periode ke depan dari titik waktu ke t, maka dipilih satu model yang memiliki nilai KTG minimum. Perhitungan dilakukan secara rekursif, yaitu menghitung peramalan satu periode kemudian dua periode, dan seterusnya sampai a periode ke depan. Kriteria Pemilihan Model Schwarz’s Bayesian Criterion (SBC) atau disebut juga Bayesian Information Criterion (BIC) adalah kriteria untuk memilih model. SBC merupakan kriteria pemilihan model berdasarkan fungsi kemungkinan maksimum. SBC didefinisikan sebagai : n ln (σˆ a2 ) + M ln n, dimana σˆ a2 adalah penduga dari σ a2 , M banyaknya parameter dalam model, dan n banyaknya sisaan yang dapat dihitung dari suatu deret. Model terbaik adalah model dengan nilai SBC minimum (SAS/ETS User’s Guide, 1988). SBC dibentuk untuk menyeleksi model dan memilih nilai parameter yang sebenarnya setepat mungkin. Sementara Akaike Information Criterion (AIC) cenderung dari SBC, dimana AIC dapat didefinisikan sebagai : n ln σˆ a2 + 2M. Untuk data yang besar SBC lebih baik serta lebih konsisten. Setelah melakukan peramalan, ketepatan peramalan dapat dicari dengan menghitung MAPE (Mean Absolute Percentage Error), dengan rumus sebagai berikut : n x −f ∑ t xt t × 100 MAPE = t =1 n dengan xt adalah pengamatan pada waktu ke-t dan ft adalah ramalan pada waktu ke-t. Semakin kecil nilai MAPE menunjukkan data hasil peramalan semakin mendekati nilai aktual. Model Fungsi Transfer Jika deret waktu yt berhubungan dengan satu atau lebih deret waktu lain (xt), maka dapat dibuat sebuah model deret waktu untuk menduga nilai yt berdasarkan informasi xt. Model yang dihasilkan disebut model fungsi transfer. Deret waktu yt dinamakan deret output dan deret waktu xt sebagai deret input (Makridakis et al. 1983).
Perbedaan dengan regresi linier terdapat pada jenis data yang digunakan. Fungsi transfer menggunakan data deret waktu yang tidak saling bebas antar periodenya. Hal ini disebabkan karena data deret waktu mengandung unsur seasonality, trend, dan cycle. Sehingga perhitungan korelasi (kedekatan antara X dan Y) fungsi transfer dan regresi linier berbeda. Korelasi antara X dan Y (Regresi Linier) : Cov xy rxy = Cov xx Cov yy Cov xy =
1 n
∑ (X t − X )(Yt − Y ) n
t =1
Korelasi antara X dan Y (Fungsi Transfer) disebut juga dengan Korelasi Silang (Crosscorrelation) : Cov xy (k ) rxy (k ) = Cov xx Cov yy Cov xy (k ) =
1 n−k X t − X Yt + k − Y n t =1
∑(
)(
)
Model fungsi transfer memiliki bentuk umum sebagai berikut : yt = δ r−1 (B )ωs (B )xt −b + nt dengan : 1. yt dan xt merupakan deret yang stasioner. 2. b adalah angka yang melambangkan periode sebelum deret input (xt) memulai untuk mempengaruhi deret output (yt). 3. ω s (B ) = ω0 − ω1B − ω 2 B 2 − ... − ω s B s Nilai s mengindikasikan berapa lama deret output (yt) mulai dipengaruhi oleh nilai yang baru dari deret input (xt). 4. δ r (B ) = 1 − δ 1 B − δ 2 B 2 − ... − δ r B r Nilai r mengindikasikan berapa lama deret output (yt) berhubungan dengan nilai yang terdahulu dari deret output itu sendiri. 5. nt merupakan komponen galat pada waktu ke-t. Komponen galat ( nt ) diasumsikan dapat dimodelkan dengan proses ARIMA (p,d,q), sehingga model kombinasi fungsi transfer galat : yt = δ r−1 (B )ωs (B )xt −b + Φ −p1 (B )θ q (B )at φ p (B ) = 1 − φ1B − φ2 B 2 − ... − φ p B p θ q (B ) = 1 − θ1B − θ 2 B 2 − ... − θ q B q
b, r, s, p, q adalah konstanta at merupakan sisaan pada waktu ke-t
Φ p (B ) = φ p (B )∇ d merupakan operator regresi diri umum Model persamaan fungsi transfer untuk kasus dua input atau lebih, yaitu : −1(B )ω (B )x yt = δ r−11(B )ω s1(B )x(t − b )1 + ... + δ rj (t − b) j + nt sj Berdasarkan persamaan di atas dapat dilihat bahwa konstanta (r,s,b) dan (p,q) merupakan faktor penentu dalam membangun model fungsi transfer. Prosedur pembentukan model fungsi transfer meliputi tahapan-tahapan berikut : 1. Identifikasi Transfer 1.1.
Bentuk
Model
1.4. Perhitungan korelasi silang antara deret input dan deret output yang telah di prewhitening Fungsi korelasi silang antara αt dan βt pada lag ke-k adalah : cαβ (k ) rαβ (k ) = , k=0, ±1, ±2, … sα sβ dimana : rαβ (k ) = korelasi silang antara αt dan βt
lag ke-k cαβ (k ) = kovarian antara αt dan βt
Fungsi
Mempersiapkan deret input dan output
sα sβ
pada
pada lag
ke-k = simpangan baku deret αt = simpangan baku deret βt
1.5. Menentukan nilai b,r,s Tahap ini mengidentifikasi apakah deret input dan deret output sudah stasioner baik dalam rataan maupun dalam ragam. Jika data tidak stasioner maka dilakukan pembedaan dan transformasi untuk menghilangkan ketidakstasioneran. 1.2. Prewhitening deret input
prewhitening deret input Tahap merupakan proses transformasi deret yang berkorelasi menuju perilaku white noise yang tidak berkorelasi. Proses prewhitening ini menggunakan model ARIMA untuk deret input. Oleh karena itu, sebelum proses prewhitening, dibangun terlebih dahulu model ARIMA bagi xt. Misalkan jika deret input xt dimodelkan sebagai proses ARIMA (p,0,q), maka deret ini memiliki model : φ p (B )xt = θ q (B )α t dengan αt merupakan sisaan acak. Dengan demikian deret input yang telah mengalami prewhitening (αt) adalah : α t = φ p (B )θ q−1 (B )xt 1.3. Prewhitening deret output Fungsi transfer merupakan proses pemetaan xt tehadap yt. Sehingga apabila diterapkan suatu proses prewhitening terhadap xt, maka transformasi yang sama juga harus agar dapat diterapkan terhadap yt mempertahankan integritas hubungan fungsional. Sehingga deret output yang telah ditransformasi (βt) adalah : βt = φ p (B )θ q−1 (B ) yt
Konstanta b, r, dan s ditentukan berdasarkan pola fungsi korelasi silang antara αt dan βt. Cara menentukan nilai b, r dan s adalah : a. Korelasi silang berbeda nyata dengan nol untuk pertama kalinya pada lag ke-b b. Untuk s dilihat dari lag berikutnya yang mempunyai pola yang jelas atau lama x mempengaruhi y setelah nyata yang pertama c. Nilai r mengindikasikan berapa lama deret output (yt) berhubungan dengan nilai yang terdahulu dari deret output itu sendiri. Nilai r dilihat dari plot korelasi diri yt. 1.6. Pendugaan awal parameter δ dan ω Penduga awal parameter fungsi transfer δˆ = (δ 1 , δ 2 ,..., δ r ) dan yaitu ) ω = (ω0 , ω1,..., ωs ) dicari dengan memanfaatkan persamaan berikut ini: Vj = 0, j < b Vj = δ1Vj −1 +δ2Vj −2 +...+δrVj −r +ω0, j = b Vj = δ1Vj −1 +δ2Vj −2 +...+δrVj −r −ωj −b , j = b +1,...,b + s Vj = δ1Vj −1 +δ2Vj −2 +...+δrVj −r , j > b + s
dengan rαβ (k )sβ vˆk = sα Penduga awal ini digunakan sebagai nilai awal pada algoritma pendugaan akhir nonlinier dan untuk menduga deret sisaan.
Pendugaan Akhir Parameter Model Fungsi Transfer
Pendugaan awal parameter merupakan nilai awal pada logaritma pendugaan kuadrat terkecil nonlinier untuk membentuk penduga akhir parameter model yang dilakukan secara iteratif. Proses diulang sampai kekonvergenan dicapai. Iterasi akan berhenti jika jumlah kuadrat galatnya mencapai nilai minimum (Box & Jenkins, 1979). Pada prosedur SAS, pendugaan akhir parameter ini menggunakan Metode Kuadrat Terkecil (Least Squares Methods) 3.
Diagnostik Model Fungsi Transfer
Pemeriksaan kesesuian model dilakukan dengan melihat perilaku sisaan ( at ) dan korelasi silang contoh (SCC) antara at dan α t (sisaan dan input). Keacakan sisaan serta tidak adanya nilai SCC yang berbeda nyata dengan nol menunjukkan model sudah sesuai. Uji Q Box-Pierce dapat diaplikasikan untuk menguji kebebasan sisaan dan tidak adanya korelasi antara input dan sisaan. 4.
Metode Penelitian
Tahap-tahap yang dilakukan dalam penelitian ini adalah : 1. Eksplorasi data curah hujan, suhu dan data jumlah penderita DBD untuk melihat pola setiap peubah. 2. Mempersiapkan deret output dan deret input (penstasioneran data). 3. Identifikasi model ARIMA untuk seluruh peubah. 4. Prewhitening deret input curah hujan dan suhu udara. 5. Menghitung korelasi silang masing-masing deret input dengan deret output. 6. Identifikasi awal model fungsi transfer. 7. Identifikasi model sisaan. 8. Menentukan model kombinasi fungsi transfer. 9. Meramalkan jumlah penderita DBD dengan menggunakan model terbaik. 10. Membandingkan hasil peramalan model fungsi transfer dengan model ARIMA. 11. Melakukan peramalan model fungsi transfer secara bertahap. Pengolahan dengan menggunakan software Minitab 14 dan SAS 9.1.
Peramalan
Peramalan dihitung dengan menggunakan persamaan : δ r (B )φ p (B ) yt = φ p (B )ω s (B )X t − b + δ r (B )θ q (B )at dengan memasukkan nilai-nilai parameter fungsi transfer dan nilai deret input dan output yang didapat dari langkah-langkah sebelumnya.
BAHAN DAN METODE Bahan Penelitian
Data yang digunakan dalam analisis ini adalah data harian yang dikumpulkan oleh Badan Meteorologi dan Geofisika Jakarta. Data yang digunakan merupakan data bulanan sejak Januari 2001 hingga Desember 2006, terdiri dari peubah curah hujan dan suhu udara yang merupakan rata-rata dari 10 stasiun pengamatan di Surabaya serta data jumlah penderita DBD yang merupakan total dari seluruh kecamatan di Surabaya. Data bulan Januari 2001 – Desember 2005 digunakan dalam pembuatan model sedangkan data bulan Januari 2006 – Desember 2006 digunakan sebagai data evaluasi.
HASIL DAN PEMBAHASAN Eksplorasi Data
Pada Lampiran 2 dapat dilihat adanya hubungan positif antara jumlah penderita DBD pada bulan ke-t dengan curah hujan pada bulan ke t-2, sedangkan dengan suhu memiliki hubungan negatif. Curah hujan tertinggi terdapat pada bulan Januari 2002 mencapai 600.09 mm sedangkan suhu udara rata-rata berkisar antara 260-290C. Dengan menggunakan nilai rata-rata bulanan (Gambar 1), diketahui bahwa pada bulan Januari hingga Juni kasus DBD cukup besar, dengan kasus tertinggi terjadi pada bulan Maret. Sedangkan pada bulan Juli hingga Desember terjadi penurunan jumlah kasus DBD. Grafik Kasus DBD Rata2 Bulanan (2001-2005) 400 372.6
350 300
251.2
250
254.2
DBD
2.
200
188.6
150
151.8
132.6
94.2
100
61.8
50
68.6
43.0 53.2
44.2
0 1
2
3
4
5
6 7 Bulan
8
9
10
11
12
Gambar 1 Grafik Kasus DBD Rata-rata Bulanan.
Mempersiapkan Deret Output dan Deret Input (Penstasioneran Data)
Data deret waktu memerlukan transformasi dan pembedaan untuk mencapai kestasioneran data. Transformasi diperlukan agar stasioner dalam ragam, sedangkan pembedaan agar deret stasioner dalam rataan. Plot data asli pada Lampiran 2 dan plot ACF serta PACF pada Lampiran 3 menunjukkan bahwa data tidak stasioner. Pembedaan satu kali telah dapat menghasilkan deret output yt maupun deret input curah hujan (x1t) dan suhu udara (x2t) yang stasioner (Gambar 2, 3 dan 4).
Kestasioneran juga dapat diuji dengan menggunakan uji Augmented Dicky-Fuller. Hasil uji yang diperoleh dapat dilihat pada Lampiran 4 dan 5. Pada Lampiran 4, pengujian untuk data asli memperlihatkan bahwa untuk peubah x1t dan x2t masih mengandung nilai-p yang lebih besar dari 0.05 yang menunjukkan terima H0 atau data tidak stasioner. Setelah dilakukan pembedaan satu kali (Lampiran 5), hasilnya menunjukkan kestasioneran untuk semua peubah, baik x1t, x2t maupun yt. Hal ini dilihat dari nilai-p yang lebih kecil dari 0.05 atau tolak H0. Identifikasi Model ARIMA
Time Series Plot of DBD ( Yt )
Identifikasi model ARIMA dilakukan dengan memperhatikan beberapa nilai awal dari korelasi diri dan korelasi diri parsialnya yang berbeda nyata dengan nol, serta pola dari plot ACF dan plot PACFnya.
500
DBD ( jiwa )
250
0
-250
Curah Hujan -500 1
6
12
18
24
30 bulan
36
42
48
54
60
Gambar 2 Plot yt Stasioner.
Plot ACF dan PACF dari deret input x1t yang telah stasioner, masing-masing nyata pada lag 12 (Gambar 5 dan 6). Autocorrelation Function for X1t (with 5% significance limits for the autocorrelations)
Time Series Plot of Curah Hujan ( X1t ) 300
1.0 0.8 0.6
100
Autocorrelation
Curah Hujan (mm)
200
0 -100 -200
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6
-300
-0.8 -1.0
-400 1
6
12
18
24
30 bulan
36
42
48
54
1
60
2
3
4
5
6
7
8 Lag
9
10
11
12
13
14
15
Gambar 5 Plot ACF Deret Input x1t.
Gambar 3 Plot x1t Stasioner.
Partial Autocorrelation Function for X1t
Time Series Plot of Suhu Udara ( X2t )
(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
1.0
1.0 0.8 Partial Autocorrelation
Suhu Udara ( C )
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0
-1.5 1
6
12
18
24
30 bulan
36
42
48
Gambar 4 Plot x2t Stasioner.
54
60
1
2
3
4
5
6
7
8 Lag
9
10
11
12
13
14
Gambar 6 Plot PACF Deret Input x1t.
15
Pengecekan dengan beberapa nilai α menghasilkan kandidat model (Tabel 2).
Partial Autocorrelation Function for X2t (with 5% significance limits for the partial autocorrelations) 1.0
Model
SBC
AIC
ARIMA(0,1,0)(0,0,1)12 ARIMA(0,1,0)(1,0,0)12 ARIMA(0,1,0)(1,0,0)8 ARIMA(0,1,0)(1,0,0)5 ARIMA(0,1,0)(1,0,0)9 ARIMA(0,1,0)(1,0,0)7 ARIMA(0,1,0)(0,0,1)5 ARIMA(0,1,0)(0,0,0)8 ARIMA(0,1,0)(1,0,1)5 ARIMA(0,1,0)(1,0,1)8 ARIMA(0,1,0)(1,0,0)10 ARIMA(0,1,0)(0,0,1)11 ARIMA(0,1,0)(0,0,0)14 ARIMA(0,1,0)(0,0,2)5
747.9865 741.0306 753.7968 753.7507 756.1677 754.6888 754.4458 753.5747 752.6967 757.5800 753.9027 756.4142 752.2955 756.142
745.9090 738.9531 751.7193 751.6732 754.0902 752.6113 752.3683 751.4972 756.8518 753.4249 751.8251 754.3366 750.2180 751.9869
Tabel 2 menunjukkan bahwa model ARIMA(0,1,0)(1,0,0)12 merupakan model terbaik karena memiliki nilai SBC terkecil dan seluruh koefisien pendugaannya nyata (Lampiran 6). Selain itu, pengujian Box-Pierce menunjukkan bahwa nilai korelasi diri sisaan tidak berbeda nyata dengan nol untuk semua lagnya. Sehingga model ARIMA yang diperoleh adalah : (1-0.52067 B12) (1-B) x1t = α t Suhu Udara
Berikut merupakan plot ACF dan PACF deret input x2t yang telah stasioner. Autocorrelation Function for X2t (with 5% significance limits for the autocorrelations) 1.0 0.8
Autocorrelation
0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 1
2
3
4
5
6
7
8 Lag
9
10
11
12
13
14
Gambar 7 Plot ACF Deret Input x2t.
Partial Autocorrelation
0.8
Tabel 2 Nilai SBC dan AIC Kandidat Model ARIMA x1t
0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 1
2
3
4
5
6
7
8 Lag
9
10
11
12
13
14
15
Gambar 8 Plot PACF Deret Input x2t. Pengecekan dengan beberapa nilai α menghasilkan kandidat model pada Tabel 3. Tabel 3 Nilai SBC dan AIC Kandidat Model ARIMA x2t Model
SBC
ARIMA(0,1,0)(1,0,0)3 ARIMA(0,1,0)(1,0,0)11 ARIMA(0,1,0)(0,0,1)3 ARIMA(0,1,0)(1,0,1)3 ARIMA(0,1,0)(1,0,0)2 ARIMA(0,1,0)(0,0,1)2 ARIMA(0,1,0)(1,0,1)2 ARIMA(0,1,0)(1,0,0)8 ARIMA(0,1,0)(1,0,0)9 ARIMA(0,1,0)(0,0,1)6 ARIMA(0,1,0)(0,0,1)8 ARIMA(0,1,0)(0,0,2)3 ARIMA(0,1,0)(1,0,1)8 ARIMA(0,1,0)(1,0,2)3
104.9841 109.0536 105.7303 104.6697 105.5381 105.3617 109.3768 104.538 106.3739 106.4014 104.2007 107.7091 108.267 111.7826
AIC 102.4066 106.9761 103.6527 100.5147 103.4605 103.2841 105.2217 102.4604 104.2964 104.3239 102.1232 103.554 104.112 105.55
Tabel 3 menunjukkan bahwa model ARIMA(0,1,0)(1,0,1)3 merupakan model terbaik karena memiliki nilai SBC dan AIC terkecil dan seluruh koefisien pendugaannya nyata (Lampiran 7). Selain itu, pengujian BoxPierce menunjukkan bahwa nilai korelasi diri sisaan tidak berbeda nyata dengan nol untuk semua lagnya. Sehingga model ARIMA yang diperoleh adalah : (1+0.95752 B3) (1-B)x2t = (1+79673 B3) α t Penderita DBD
15
Plot ACF dan PACF dari deret output yt yang telah stasioner dapat dilihat pada Gambar 9 dan 10.
Prewhitening Deret Input Suhu Udara
Autocorrelation Function for Yt (with 5% significance limits for the autocorrelations) 1.0
Serupa dengan deret input x1t, maka model prewhitening untuk deret input x2t adalah : 1 + 0.95752 B3 (1 − B )x2t α 2t = 1 + 79673B 3
0.8
Autocorrelation
0.6 0.4
(
0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6
(
)
)
-0.8 -1.0 1
2
3
4
5
6
7
8 Lag
9
10
11
12
13
14
15
Gambar 9 Plot ACF Deret Output yt.
Prewhitening deret output yt diperoleh dengan cara melakukan transformasi yang sama dengan deret input x2t, sehingga model prewhitening untuk deret output yt adalah : 1 + 0.95752 B 3 (1 − B ) y 2t β 2t = 1 + 79673B 3
(
Partial Autocorrelation Function for Yt (with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
(
)
)
1.0
Partial Autocorrelation
0.8
Menghitung Korelasi Silang
0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 1
2
3
4
5
6
7
8 Lag
9
10
11
12
13
14
15
Gambar 10 Plot PACF Deret Output yt. Proses identifikasi model menunjukkan bahwa model ARIMA(0,1,0)(0,0,1)12 merupakan model terbaik karena memiliki nilai SBC terkecil dan seluruh koefisien pendugaannya nyata (Lampiran 8). Selain itu, pengujian Box-Pierce menunjukkan bahwa nilai korelasi diri sisaan tidak berbeda nyata dengan nol untuk semua lag nya. Sehingga model ARIMA yang diperoleh adalah : (1-B) yt = (1+0.36332 B12) α t Prewhitening Deret Input Curah Hujan
Tahap prewhitening dilakukan berdasarkan identifikasi model ARIMA untuk data curah hujan (deret input). Dalam tahap ini digunakan unsur white noise model tersebut. Dengan demikian model prewhitening untuk deret input x1t adalah : α1t = 1 − 0.520672 B12 (1 − B )x1t
(
)
Prewhitening deret output yt diperoleh dengan cara melakukan transformasi yang sama dengan deret input x1t, sehingga model prewhitening untuk deret output yt adalah : β1t = 1 − 0.520672 B12 (1 − B ) y1t
(
)
Peubah output dan peubah input yang telah melalui proses prewhitening dihitung korelasi silangnya. Korelasi silang menunjukkan hubungan antara curah hujan dan suhu udara dengan jumlah penderita DBD, yang nilainya akan digunakan untuk mengidentifikasi model fungsi transfer (b,r,s). Hasil korelasi silang antara α 1t dengan β 1t dan α 2 t dengan β 2t dapat dilihat pada Lampiran 9. Identifikasi Model Awal
Identifikasi model fungsi transfer dilakukan dengan melihat plot korelasi silang antara peubah input dengan peubah output. Untuk deret input x1t, nilai b ditentukan berdasarkan lag yang nyata pertama kali pada plot korelasi silangnya, sehingga nilai b=2. Selanjutnya untuk mendapatkan nilai s dilihat berapa lama nilai x1t mempengaruhi yt setelah nyata yang pertama. Sedangkan untuk nilai r dapat dilihat berdasarkan plot korelasi diri yt stasioner yang menunjukkan lag yang nyata setelah nyata yang pertama. Berdasarkan keterangan di atas, dapat disimpulkan bahwa nilai b=2, s=0 dan r=0. Untuk mendapatkan hasil yang maksimal, dilakukan overfitting model. Berdasarkan Tabel 4, dapat dilihat bahwa hanya model nomor 1 dan 5 yang seluruh koefisiennya nyata. Sehingga untuk penentuan model yang digunakan dapat dilihat dari nilai SBC dan AIC. Nilai SBC dan AIC terkecil terdapat pada model dengan b=2, s=0 dan r=0, dan diperoleh koefisien parameter model ω0 = 0.52888 dengan standar error sebesar 0.09824.
Tabel 4 Model Fungsi Transfer x1t No 1
Nilai b, s dan r (2,0,0)
2
(2,1,1)
3
(1,1,1)
4
(0,1,1)
5
(0,0,1)
Para meter
Nilai t
SBC
AIC
ω0 ω0 ω1 δ1 ω0 ω1 δ1 ω0 ω1 δ1 ω0 δ1
5.38
647
645
5.35
641
636
677
671
-0.15 0.40 0.81 -1.08 -1.23 1.16
685
679
677
681
0.42 -3.50 1.89
Model umum untuk pendugaan parameter awal dari model fungsi transfer adalah : r
1
r
t
0
)
− ω1 B − ... − ω s B s xt − b
Sehingga model untuk pendugaan parameter awal dari model fungsi transfer x1t adalah : y t = 0.52888 x1,t − 2 Identifikasi model awal untuk deret input x2t diperoleh dengan cara yang sama dengan deret input x1t. Dari plot korelasi silang antara yt dengan x2t diperoleh nilai b=3, s=0 dan r=0. Untuk mendapatkan hasil yang maksimal, dilakukan overfitting model. Hasilnya tercantum pada Tabel 5. Tabel 5 Model Fungsi Transfer x2t No 1
Nilai b, s dan r (1,0,0)
2
(2,1,1)
3
4
5
(1,1,1)
(0,1,1)
(3,0,0)
Para meter
Nilai t
SBC
AIC
ω0 ω0 ω1 δ1 ω0 ω1 δ1 ω0 ω1 δ1 ω0
-2.06
682
680
-0.46
658
652
-0.48 672
666
687
681
651
649
-0.54 1.35 -0.07 -0.07 1.48 -2.82
Sehingga model untuk pendugaan parameter awal dari model fungsi transfer adalah : yt = 0.47696 x1,t − 2 − 46.54567 x2,t −3 + nt Identifikasi Model Sisaan
Model yang didapatkan dari identifikasi pertama yaitu : yt = 0.47696 x1,t − 2 − 46.54567 x2,t −3 + nt Sehingga nilai nt adalah : nt = yt − 0.47696 x1,t − 2 − 46.54567 x2,t −3 Pendugaan awal parameter menghasilkan plot ACF dan PACF sisaan (Lampiran 11). Dari plot tersebut, dapat dilihat bahwa plot ACF dan PACF sisaan masing-masing nyata pada lag kedua. Akan tetapi setelah dilakukan proses pencocokan model, diperoleh bahwa model ARIMA (1,0,0)(0,0,1)2 merupakan model terbaik untuk deret sisaan. (1 − φ1B )nt = 1 − θ 2 B 2 at
(
nt =
-0.82 -2.17
Setelah diperoleh model awal fungsi transfer untuk masing-masing peubah, dilakukan pendugaan model awal fungsi transfer bersama antara x1t, x2t dan yt. Hasil pemodelan tersebut dapat dilihat pada Lampiran 10. Model persamaan fungsi transfer untuk kasus dua input atau lebih, yaitu : yt = δ r−11 (B )ω s1 (B )x(t −b )1 + ... + δ rj−1 (B )ω sj (B )x(t −b ) j + nt
-5.39
(1 − δ B − ... − δ B )y = (ω
nyata dan memiliki nilai SBC dan AIC terkecil, sehingga diperoleh koefisien parameter model ω0 = -70.5246 dengan standar error sebesar 24.987. Model umum untuk pendugaan parameter awal dari model fungsi transfer adalah : (1 − δ 1 B − ... − δ r B r )y t = (ω 0 − ω1 B − ... − ω s B s )xt −b Sehingga model untuk pendugaan parameter awal dari model fungsi transfer x2t adalah : yt = −70.5246 x2,t −3
Model dengan nilai b=3, s=0 dan r=0 merupakan model terbaik, karena koefisiennya
(1 − θ B )a 2
)
2
(1 − φ1B )
t
Pendugaan Akhir Parameter Model Fungsi Transfer
Identifikasi akhir model fungsi transfer dilakukan dengan mengkombinasikan model awal dengan sisaannya. Kombinasi model awal dengan sisaannya, yaitu : 1 − θ 2 B 2 at y t = ω 0(1) x + ω 0 (2 ) x + (1 − φ1 B ) Model tersebut digunakan untuk pendugaan parameter model fungsi transfer.
(
1, t − 2
2,t −3
)
Hasil pendugaan akhir model fungsi transfer dapat dilihat pada Lampiran 12. Nilai t-hitung masing-masing dugaan parameter nyata pada taraf α<0.05. Plot ACF sisaan dan PACF sisaan (Lampiran 13) yang tidak berbeda nyata dengan nol mengindikasikan bahwa sisaan model ini saling bebas. Berdasarkan nilai korelasi diri sisaan (Lampiran 14), nilai sisaan dari model fungsi transfer saling bebas karena nilai korelasi diri sisaan tidak berbeda nyata dengan nol pada taraf nyata 5%. Nilai korelasi silang antara input dengan sisaan juga tidak berbeda nyata dengan nol pada taraf nyata 5% (Lampiran 15) sehingga asumsi kebebasan antara input dan sisaan terpenuhi. Dengan pertimbangan penduga parameter yang nyata, korelasi diri sisaan tidak berbeda nyata dengan nol, dan korelasi antara deret input dan sisaan tidak nyata, maka ditetapkan bahwa model akhir fungsi transfer yang diidentifikasi adalah : yt = 0.59 x 1, t − 2 − 41.16 x 2 , t − 3 +
(1 − 0.74 B )a 2
(1 + 0.44 B )
t
yt = −0.44 yt −1 + 0.59 x1,t − 2 + 0.26 x1,t −3 − 41.16 x2,t −3 − 18.11x2,t − 4 + at − 0.74at − 2
Untuk mengetahui keakuratan prakiraan jumlah penderita DBD berdasarkan model yang telah diperoleh, dilakukan validasi model. Inti dari validasi model adalah membandingkan antara data aktual dengan data prediksi yang diperoleh dari model yang dihasilkan. Keakuratan model dapat dilihat dari nilai MAPE yang dihasilkan, semakin kecil nilai MAPE nya, maka data prediksi semakin mendekati data aktual sehingga model yang dihasilkan semakin baik. Plot bersama antara data aktual dengan data prediksi model tercantum pada Gambar 11. Plot Data Aktual dan Data Prediksi Model
Peramalan
Pada bahasan sebelumnya diketahui bahwa deret yt merupakan hasil pembedaan (differencing) pertama dari deret output penderita DBD. Sehingga, jika dilakukan peramalan terhadap jumlah penderita DBD, maka terlebih dahulu harus dilakukan pengkonversian terhadap yˆ t . Sebagai contoh : Jumlah Penderita DBD(t=61)=jumlah penderita DBD (t=60) + yˆ 61 Hasil peramalan untuk model akhir fungsi transfer dapat dilihat pada Tabel 6. Hasil selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 16. Selain itu, Tabel 6 memperlihatkan perbandingan hasil peramalan antara model fungsi transfer dengan model ARIMA untuk 1 tahun ke depan. Nilai MAPE hasil peramalan dengan fungsi transfer adalah 87.85 sedangkan pada model ARIMA sebesar 58.88. Tabel 6 Evaluasi Peramalan Model Fungsi Transfer dan Model ARIMA Bulan Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember MAPE
Ramalan Transfer ARIMA 133 76 349 101 372 161 326 190 329 184 270 121 244 103 182 97 176 90 143 86 125 88 137 81 87.85 58.88
Aktual 557 790 841 672 513 320 160 99 72 41 56 65
700
Jumlah Penderita DBD
600 500 400 aktual
300
prediksi
200 100 0 -100
1
6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 Bulan
Gambar 11 Plot Data Aktual dan Data Prediksi. Nilai MAPE sebesar 2.58 menunjukkan bahwa model ini akurat.
Pada tahun 2006 terjadi lonjakan jumlah penderita DBD, hal ini dilihat dari data aktual yang jauh berbeda dari rata-rata bulanan. Sehingga menyebabkan hasil peramalan baik dengan menggunakan fungsi transfer maupun metode ARIMA mengalami penyimpangan yang cukup besar. Pada Gambar 12 tercantum plot bersama hasil peramalan baik dengan menggunakan fungsi transfer maupun ARIMA dengan data aktual.
iklim/cuaca dengan periode sebesar 10 - 30 tahun (BMG 2006). 900 800 700 d b 600 d 500 400 300 200 100 0
KESIMPULAN DAN SARAN transfer arima aktual
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
bulan
Gambar 12 Plot Hasil Ramalan (Transfer dan ARIMA) dan Aktual. Gambar 12 memperlihatkan bahwa, dengan model fungsi transfer untuk 7 bulan pertama hasil peramalannya lebih mendekati data aktual dibandingkan dengan model ARIMA dan juga memiliki pola yang lebih mirip. Tetapi, untuk 5 bulan berikutnya hasil peramalan dengan ARIMA lebih sesuai dibandingkan dengan fungsi transfer. Untuk memperoleh hasil ramalan model fungsi transfer yang lebih mendekati data aktual, maka peramalan 12 bulan ke depan dilakukan secara bertahap. Tahapan ini terdiri dari pengurangan jumlah periode peramalan menjadi 2 bulan yang diikuti dengan proses pembaharuan data yaitu dengan menginput data aktual terbaru (updating). Hasilnya tercantum pada Tabel 7. Tabel 7
Hasil Peramalan Model Fungsi Transfer Secara Bertahap
Bulan Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember MAPE
Ramalan 133 349 410 415 573 578 309 348 95 88 50 55 69.25
Aktual 557 790 841 672 513 320 160 99 72 41 56 65
Proses peramalan secara bertahap menghasilkan ramalan yang lebih mendekati data aktual. Jumlah data yang digunakan juga sangat mempengaruhi peramalan yang dihasilkan, terutama dalam bidang klimatologi. Suatu peramalan akurat jika menggunakan data
Kesimpulan
Hasil pendugaan menunjukkan bahwa model fungsi transfer yt = -0.44yt-1 + 0.59x1,t2 + 0.26x1,t-3 - 41.16x2,t-3 -18.11x2,t-4 + a t 0.74 a t − 2 dapat menjelaskan hubungan jumlah penderita Demam Berdarah Dengue (DBD) dengan curah hujan dua bulan sebelumnya dan suhu udara tiga bulan sebelumnya. Untuk 7 bulan pertama hasil peramalan dengan model fungsi transfer lebih mendekati data aktual dibandingkan dengan model ARIMA. Tetapi, untuk 5 bulan berikutnya hasil peramalan dengan menggunakan ARIMA lebih sesuai. Pengurangan jumlah periode peramalan menjadi 2 bulan yang diikuti dengan proses pembaharuan data yaitu dengan menginput data aktual terbaru (updating) menghasilkan ramalan yang lebih akurat. Saran
Penulis menyarankan untuk mengkaji kembali hubungan antara curah hujan dan suhu udara dengan jumlah penderita DBD dengan menggunakan metode deret waktu lainnya seperti metode VAR dan State Space. Tidak terlepas kemungkinan diperoleh model baru yang lebih mampu menjelaskan hubungan ketiganya. Dalam analisis deret waktu terutama dalam bidang klimatologi sebaiknya menggunakan data dengan periode 10-30 tahun dan melakukan simulasi untuk mengetahui n periode yang menghasilkan ramalan yang paling tepat. Perlu dibuat suatu software yang mampu melakukan proses otomatisasi terutama dalam proses peramalan secara bertahap, sehingga pekerjaan yang dilakukan lebih efektif dan efisien.
DAFTAR PUSTAKA Agus. 2007. Indonesia Harus Waspada, Perubahan Dampak Iklim Sudah di Depan Mata. http://www.pelangi.or.id/ press.php. [21 Agustus 2007]. [BMG] Badan Meteorologi dan Geofisika. 2006. Laporan Proyek Pengembangan Meteorologi dan Geofisika Tahun 2006. Jakarta : BMG. Bowerman B, Richard O’Connel. 1987. Time Series Forecasting, Unified Concepts and Computer Implementation. 2nd edition. Boston : Duxbury Press. Box, GEP & GM Jenkins. 1979. Time Series Analysis, Forecasting and Control. San Fransisco : Holden-Day. Cryer, JD. 1986. Time Series Analysis. Boston : Duxbury Press. Imron. 2007. Penderita Demam Berdarah Meningkat. http://www.tempointeraktif. com/hg/nusa/jawamadura. [21 Agustus 2007]. [LIPI] Lembaga Ilmu Pengetahuan Indonesia. 2006. Sejarah Demam Berdarah, Ledakan Kasus DBD di Negara-Negara Asia. http://www.pdii.lipi.go.id. [21 Agustus 2007] Makridakis S, SC Wheelwright, VE Megee. 1983. Forecasting : Methoads and Applications. 2nd edition. New York : John Wilcy and Sons. Montgomery DC, LA Johnson, JS Gardiner. 1990. Forecasting and Time Series Analysis. 2nd edition. Singapore : Mc Graw Hill. SAS Institute Inc. 1988. SAS/ETS User’s Guide, Version 6, First Edition. Cary, NC : SAS Institute Inc. Wei, WWS. 1990. Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods. Canada : Addison-Wesley.
Lampiran
No. 1.
1.
Petunjuk Penentuan Plot ACF dan PACF
Nilai
Ordo
Pada
Proses
Kemungkinan Plot ACF dan PACF ACF nyata pada lag ke -1,2,…,q dan terpotong setelah lag q (cuts off), PACF menurun cepat membentuk pola eksponensial atau sinus (tails off). ACF tails off, PACF nyata pada lag ke-1,2,…,p dan cuts off setelah lag ke-p ACF nyata pada lag ke-1,2,…,q lalu cuts off, PACF nyata pada lag ke-1,2,…,p lalu cuts off
2. 3. 4.
7. 8. 9.
AR (p) MA (q) jika ACF cuts off lebih tajam, AR (p) jika PACF cuts off lebih tajam ARMA (0,0) ARMA (p,q) MA (Q) AR (P) MA (Q) jika ACF cuts off lebih tajam, AR (P) jika PACF cuts off lebih tajam ARMA(0,0)
Tidak ada autokorelasi yang nyata pada level musiman dalam plot ACF dan PACF ACF tails off pada level musiman, PACF tails off pada level musiman
10.
Berdasarkan
Model ARMA MA (q)
Tidak ada autokorelasi yang nyata pada plot ACF dan PACF ACF tails off, PACF tails off ACF nyata pada lag ke-S,2S,…,QS dan cuts off setelah lag QS, PACF tails off PACF nyata pada lag ke-S,2S,…,PS dan cuts off setelah lag PS, ACF tails off ACF nyata pada lag ke-S,2S,…,QS lalu cuts off, PACF nyata pada lag ke-S,2S,…,PS lalu cuts off
5. 6.
ARIMA
ARMA (P,Q)
Lampiran 2. Plot Data Asli Demam Berdarah Dengue, Curah Hujan dan Suhu Udara Time Series Plot of Jumlah Penderita DBD 2001-2005
Time Series Plot of Curah Hujan 2001-2005
700
600
600
500 Curah Hujan (mm)
DBD (jiwa)
500 400 300 200
400 300 200 100
100
0
0 1
6
12
18
24
30 bulan
36
42
48
54
60
54
60
1
6
12
18
24
30 bulan
36
42
48
54
60
Time Series Plot of Suhu Udara 2001-2005 29.0
Suhu Udara (C)
28.5 28.0 27.5 27.0 26.5 26.0 1
6
12
18
24
30 bulan
36
42
48
15
Autocorrelation Function for DBD
Partial Autocorrelation Function for DBD
(with 5% significance limits for the autocorrelations)
(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
Partial Autocorrelation
Autocorrelation
Lampiran 3. Plot ACF dan PACF Data Asli DBD, Curah Hujan dan Suhu Udara
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
-1.0
-1.0 1
2
3
4
5
6
7
8 Lag
9
10
11
12
13
14
15
1
Autocorrelation Function for Curah Hujan
2
5
6
7
8 Lag
9
10
11
12
13
14
15
13
14
15
13
14
15
(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
Partial Autocorrelation
Autocorrelation
4
Partial Autocorrelation Function for Curah Hujan
(with 5% significance limits for the autocorrelations)
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
-1.0
-1.0 1
2
3
4
5
6
7
8 Lag
9
10
11
12
13
14
15
1
Autocorrelation Function for Suhu Udara
2
3
4
5
6
7
8 Lag
9
10
11
12
Partial Autocorrelation Function for Suhu Udara
(with 5% significance limits for the autocorrelations)
(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
Partial Autocorrelation
Autocorrelation
3
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
-1.0
-1.0 1
2
3
4
5
6
7
8 Lag
9
10
11
12
13
14
15
1
2
3
4
5
6
7
8 Lag
9
10
11
12
16
Lampiran 4. Hasil Uji Augmented Dicky-Fuller Data Asli Augmented Dickey-Fuller Unit Root Tests For Curah Hujan Type
Lags
Rho
Zero Mean
1
Single Mean
Trend
Pr < Rho
Tau
Pr < Tau
F
Pr > F
-10.2018
0.0231
-2.11
0.0348
12
-0.4606
0.5745
-0.87
0.3352
1
-27.7450
0.0006
-3.51
0.0108
6.18
0.0120
12
38.5782
0.9999
-3.07
0.0359
4.86
0.0500
1
-27.3175
0.0065
-3.40
0.0607
6.10
0.0691
12
-156.217
0.0001
-2.64
0.2646
7.81
0.0250
Augmented Dickey-Fuller Unit Root Tests For Suhu Udara Type
Lags
Zero Mean
1
Single Mean
Trend
Rho
Pr < Rho
Tau
Pr < Tau
F
Pr > F
0.0141
0.6824
0.09
0.7094
12
0.0104
0.6806
0.35
0.7815
1
-45.1153
0.0005
-4.95
0.0002
12.25
0.0010
12
-38.1077
0.0004
-1.92
0.3222
1.91
0.5956
1
-47.4752
0.0001
-4.91
0.0010
12.36
0.0010
12
-23.6111
0.0151
-1.27
0.8828
1.80
0.8198
Augmented Dickey-Fuller Unit Root Tests For DBD Type
Lags
Rho
Pr < Rho
Tau
Pr < Tau
Zero Mean
1
Single Mean Trend
F
Pr > F
-11.1292
0.0173
-2.35
0.0191
1
-29.6048
0.0005
-3.72
0.0060
6.94
0.0010
1
-30.9724
0.0022
-3.80
0.0237
7.22
0.0308
17
Lampiran 5. Hasil Uji Augmented Dicky-Fuller Setelah Pembedaan Satu Kali Augmented Dickey-Fuller Unit Root Tests For Curah Hujan Type
Lags
Rho
Zero Mean
1
Single Mean
Trend
Pr < Rho
Tau
Pr < Tau
F
Pr > F
-48.4875
<.0001
-4.74
<.0001
12
11.7369
0.9999
-3.32
0.0014
1
-48.5341
0.0005
-4.70
0.0003
11.03
0.0010
12
11.7343
0.9999
-3.23
0.0243
5.34
0.0373
1
-49.3034
0.0001
-4.76
0.0016
11.77
0.0010
12
10.6016
0.9999
-3.85
0.0227
7.41
0.0342
Augmented Dickey-Fuller Unit Root Tests For Suhu Udara Type
Lags
Rho
Zero Mean
1
Single Mean
Trend
Pr < Rho
Tau
Pr < Tau
F
Pr > F
-92.2374
<.0001
-7.23
<.0001
12
12.9853
0.9999
-3.17
0.0022
1
-92.2314
0.0005
-7.16
0.0001
25.65
0.0010
12
12.8531
0.9999
-3.17
0.0278
5.07
0.0443
1
-91.9328
0.0001
-7.11
<.0001
25.29
0.0010
12
11.5362
0.9999
-3.84
0.0232
7.58
0.0304
F
Pr > F
Augmented Dickey-Fuller Unit Root Tests Type
Lags
Rho
Pr < Rho
Tau
Pr < Tau
Zero Mean
1
-69.9998
<.0001
-5.83
<.0001
Single Mean
1
-70.0465
0.0005
-5.78
0.0001
16.72
0.0010
Trend
1
-70.0637
0.0001
-5.73
0.0001
16.41
0.0010
18
Lampiran 6. Pendugaan Parameter ARIMA (0,1,0)(1,0,0)12 Deret Input Curah Hujan Conditional Least Squares Estimation Parameter
Estimate
Standard Error
t Value
Approx Pr > |t|
Lag
AR1,1
0.52067
0.12507
4.16
0.0001
12
Variance Estimate
15834.51
Std Error Estimate
125.8353
AIC
738.9531
SBC
741.0306
Number of Residuals
59
Autocorrelation Check of Residuals To Lag
ChiSquare
DF
Pr > ChiSq
Autocorrelations
6
4.94
5
0.4235
-0.181
-0.100
-0.033
-0.006
-0.181
-0.015
12
11.06
11
0.4385
-0.023
-0.128
0.025
0.174
0.060
-0.176
18
17.02
17
0.4529
0.145
0.191
-0.087
-0.082
0.034
-0.034
24
26.92
23
0.2595
-0.067
-0.097
-0.086
0.007
0.053
0.27
Lampiran 7. Pendugaan Parameter ARIMA (0,1,0)(1,0,1)3 Deret Input Suhu Udara Conditional Least Squares Estimation Parameter
Estimate
Standard Error
t Value
Approx Pr > |t|
Lag
MA1,1
-0.79673
0.19552
-4.07
0.0001
3
AR1,1
-0.95752
0.12595
-7.60
<.0001
3
Variance Estimate
0.311129
Std Error Estimate
0.557789
AIC
100.5147
SBC
104.6697
19
Number of Residuals
59
Autocorrelation Check of Residuals To Lag
ChiSquare
DF
Pr > ChiSq
Autocorrelations
6
4.91
4
0.2963
-0.147
-0.236
-0.017
-0.017
-0.017
0.003
12
14.36
10
0.1572
0.015
-0.255
0.000
0.241
-0.086
0.025
18
17.65
16
0.3447
0.107
-0.052
0.121
-0.054
-0.092
0.016
24
21.19
22
0.5087
-0.008
-0.063
-0.090
0.121
0.095
-0.031
Lampiran 8. Pendugaan Parameter ARIMA (0,1,0)(0,0,1)12 Deret Output DBD Conditional Least Squares Estimation Parameter
Estimate
Standard Error
t Value
Approx Pr > |t|
Lag
MA1,1
-0.36332
0.13291
-2.73
0.0083
12
Variance Estimate
12256.63
Std Error Estimate
110.7097
AIC
723.8417
SBC
725.9192
Number of Residuals
59
Autocorrelation Check of Residuals To Lag
ChiSquare
DF
Pr > ChiSq
Autocorrelations
6
3.14
5
0.6785
-0.073
-0.119
-0.110
-0.097
-0.066
-0.058
12
4.92
11
0.9350
-0.084
0.035
-0.006
0.057
-0.096
0.060
18
7.75
17
0.9716
0.111
0.116
-0.087
-0.039
0.006
-0.023
24
10.18
23
0.9901
-0.051
-0.023
0.004
-0.039
0.010
0.139
20
Lampiran 9. Hasil Korelasi Silang antara x1t dengan yt dan antara x2t dan yt Korelasi Silang antara x1t dengan yt Lag
Covariance
Correlation
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-582.388 1482.117 711.741 495.962 65.094984 -1190.034 -1382.741 -1011.990 844.264 -2692.639 -554.564 -466.925 6805.390 -816.607 2130.112 -1979.248 -1526.828 -319.017 -1248.815 -597.066 446.045
-.04342 0.11050 0.05307 0.03698 0.00485 -.08873 -.10309 -.07545 0.06295 -.20076 -.04135 -.03481 0.50739 -.06088 0.15882 -.14757 -.11384 -.02379 -.09311 -.04452 0.03326
-1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
. *| . . |** . . |* . . |* . . | . . **| . . **| . . **| . . |* . .****| . . *| . . *| . . |********** . *| . . |*** . . ***| . . **| . . | . . **| . . *| . . |* .
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
Korelasi Silang antara x2t dengan yt Lag
Covariance
Correlation
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-3.852442 -3.914107 -1.087648 -1.572952 7.771059 9.093441 2.088674 0.322323 1.486310 5.625479 -0.548127 -10.836789 0.691948 -23.235342 3.652033 3.737045 0.843971 12.106950 2.697065 8.642759 -6.782041
-.06018 -.06114 -.01699 -.02457 0.12138 0.14204 0.03263 0.00503 0.02322 0.08787 -.00856 -.16927 0.01081 -.36294 0.05705 0.05837 0.01318 0.18911 0.04213 0.13500 -.10594
-1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
. *| . . *| . . | . . | . . |** . . |*** . . |* . . | . . | . . |** . . | . . ***| . . | . *******| . . |* . . |* . . | . . |****. . |* . . |*** . . **| .
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
21
Lampiran 10. Pendugaan Awal Model Fungsi Transfer Conditional Least Squares Estimation Parameter
Estimate
Standard Error
t Value
Approx Pr > |t|
Lag
Variable
Shift
SCALE1
0.47696
0.10050
4.75
<.0001
0
x1
2
SCALE2
-46.54567
21.61282
-2.15
0.0360
0
x2
3
Variance Estimate
8584.41
Std Error Estimate
92.65209
AIC
632.427
SBC
636.3676
Number of Residuals
53
Lampiran 11. Plot ACF dan PACF Deret Sisaan Autocorrelation Plot of Residuals Lag 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Covariance Correlation 8584.410 -1929.713 -3141.030 1596.840 -297.559 -43.057343 90.123289 -967.059 270.279 1799.770 -1935.902
1.00000 -.22479 -.36590 0.18602 -.03466 -.00502 0.01050 -.11265 0.03148 0.20966 -.22551
-1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Std Error | | | | | | | | | | |
|********************| .****| . | *******| . | . |**** . | . *| . | . | . | . | . | . **| . | . |* . | . |**** . | . *****| . |
0 0.137361 0.144135 0.160708 0.164720 0.164858 0.164860 0.164873 0.166319 0.166431 0.171342
Partial Autocorrelations Lag
Correlation
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-0.22479 -0.43859 -0.04030 -0.19009 0.00227 -0.08035 -0.13625 -0.09872 0.14393 -0.16960
-1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 | | | | | | | | | |
.****| *********| . *| .****| . | . **| . ***| . **| . |*** . ***|
. . . . . . . . . .
| | | | | | | | | |
22
Lampiran 12. Hasil Pendugaan Akhir Model Fungsi Transfer Conditional Least Squares Estimation Parameter
Estimate
Standard Error
t Value
Approx Pr > |t|
Lag
Variable
Shift
MA1,1
0.73935
0.10855
6.81
<.0001
2
y
0
AR1,1
-0.43502
0.13908
-3.13
0.0030
1
y
0
SCALE1
0.58677
0.07224
8.12
<.0001
0
x1
2
SCALE2
-41.16304
19.92258
-2.07
0.0441
0
x2
3
Variance Estimate
6050.601
Std Error Estimate
77.78561
AIC
615.7679
SBC
623.649
Number of Residuals
53
Lampiran 13. Plot ACF dan PACF Sisaan Model Fungsi Transfer Lag
Covariance
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6050.601 76.362704 282.003 424.863 223.783 -439.655 -253.289 -844.889 -433.427 89.064634 -1345.184
Autocorrelation Plot of Residuals Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Std Error 1.00000 0.01262 0.04661 0.07022 0.03699 -.07266 -.04186 -.13964 -.07163 0.01472 -.22232
Lag
Correlation
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.01262 0.04646 0.06923 0.03360 -0.08030 -0.04942 -0.13909 -0.05903 0.04067 -0.20551
| | | | | | | | | | |
|********************| . | . | . |* . | . |* . | . |* . | . *| . | . *| . | . ***| . | . *| . | . | . | . ****| . |
0 0.137361 0.137382 0.137680 0.138354 0.138541 0.139258 0.139495 0.142108 0.142788 0.142817
Partial Autocorrelations -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 | | | | | | | | | |
. | . |* . |* . |* . **| . *| . ***| . *| . |* .****|
. . . . . . . . . .
| | | | | | | | | |
23
Lampiran 14. Statistik χ 2 Box-Pierce Untuk Menguji Kebebasan Sisaan Model Fungsi Transfer Autocorrelation Check of Residuals To Lag
ChiSquare
DF
Pr > ChiSq
Autocorrelations
6
0.93
4
0.9200
0.013
0.047
0.070
0.037
-0.073
-0.042
12
9.03
10
0.5292
-0.140
-0.072
0.015
-0.222
-0.196
0.084
18
16.03
16
0.4509
0.054
0.202
0.041
0.020
0.203
0.057
24
26.05
22
0.2494
0.049
0.034
0.020
-0.120
-0.023
-0.287
Lampiran 15. Statistik χ 2 Box-Pierce Untuk Menguji Kebebasan Antara Input dan Sisaan Crosscorrelation Check of Residuals with Input x1 To Lag
ChiSquare
DF
Pr > ChiSq
Crosscorrelations
5
2.32
5
0.8033
-0.162
0.050
0.084
0.052
-0.083
-0.001
11
6.47
11
0.8402
-0.115
0.111
-0.058
-0.146
0.172
-0.044
17
10.24
17
0.8933
0.120
-0.018
-0.062
-0.205
0.105
-0.047
23
14.75
23
0.9034
0.040
-0.116
0.175
0.015
-0.147
-0.145
Crosscorrelation Check of Residuals with Input x2 To Lag
ChiSquare
DF
Pr > ChiSq
Crosscorrelations
5
1.30
5
0.9352
-0.032
-0.071
0.012
-0.016
0.138
0.020
11
6.62
11
0.8290
0.040
-0.251
0.124
0.033
-0.096
0.128
17
13.48
17
0.7034
-0.087
0.043
0.161
-0.144
-0.250
0.137
23
19.24
23
0.6875
0.207
-0.218
-0.020
0.137
-0.065
-0.037
24
Lampiran 16. Hasil Peramalan Forecasts for variable y Obs
Forecast
Std Error
95% Confidence Limits
61
132.9024
77.7856
-19.5546
285.3594
62
348.9478
89.3417
173.8413
524.0543
63
371.3366
115.9096
144.1579
598.5153
64
325.3925
140.7299
49.5670
601.2181
65
328.2535
160.9973
12.7046
643.8024
66
269.5046
179.2484
-81.8158
620.8251
67
243.7897
195.2940
-138.9795
626.5590
68
181.4326
210.1622
-143.4778
680.3430
69
175.5057
224.0276
-163.5802
714.5917
70
142.4369
237.4043
-214.8670
715.7409
71
124.6880
250.0634
-249.4273
730.8034
72
136.6803
262.1132
-262.0521
765.4127
Lampiran 17. Program SAS Model Fungsi Transfer data transfer; input x1 x2 y; cards; 341.20 26.6 309.70 26.3 577.70 27.0 249.60 27.4 63.10 28.1 ... ;
132 152 218 334 478
proc arima data=transfer; identify var=x1(1) ; estimate p=(12)q=(0)noconstant; identify var=x2(1); estimate p=(3) q=(3) noconstant; identify estimate altparm forecast
var=y(1) crosscor=(x1(1)x2(1))nlag=10 ; p=1 q=(2)input=(2$(0)/(0)x1)input=(3$(0)/(0)x2)noconstant maxit=30 backlim=-3 plot; lead=12;
run;
25
Keterangan : data transfer; input x1 x2 y; cards; 341.20 309.70 577.70 249.60 63.10 ... ;
26.6 26.3 27.0 27.4 28.1
} memberikan nama transfer ke dalam file data } pendefinisian nama peubah. x1=curah hujan, x2=suhu, y=jumlah penderita DBD 132 152 218 334 478
data yang digunakan
proc arima data=transfer;
} menerapkan prosedur arima dan file data identify var=x1(1) ; } Zt(x) = xt – xt-1 estimate p=(12)q=(0)noconstant; } menetapkan model untuk x1
(1 − φ ( ) B )z ( ) = α x
1
12
x
t
t
identify var=x2(1); estimate p=(3) q=(3) noconstant; identify var=y(1) crosscor=(x1(1)x2(1))nlag=10 ;
zt = yt – yt-1
mengitung nilai korelasi silang untuk lag k=-10,...,-1,0,1,...,10
melakukan proses prewhitening data dan menghitung nilai korelasi silang estimate p=1 q=(2)input=(2$(0)/(0)x1)input=(3$(0)/(0)x2)noconstant
(1 − θ
2B
2
)
(1 − φ1 B ) altparm maxit=30 backlim=-3 plot; menghitung kembali ramalan untuk memperbaiki pendugaan melakukan iterasi untuk meyakinkan bahwa prosedur pendugaan yang digunakan menghasilkan nilai KTG terkecil. “Alternative Parameterization” digunakan untuk menginterpretasikan bentuk dari model yang dihasilkan forecast lead=12; melakukan peramalan untuk 12 periode waktu yang akan datang run;
26
