6 Mezní stavy únosnosti

Mezní stavy únosnosti

6 Mezní stavy únosnosti 6.1 Nosníky 6.1.1 Nosníky pozemních staveb Typické průřezy spřažených nosníků jsou na obr. 4. Betonová deska může být kompaktní nebo žebrová, případně může mít náběhy. Ocelový nosník lze (je to vhodné zejména při požárním návrhu) obetonovat. Nosník se pak nazývá „částečně obetonovaný“. Deska je s nosníkem spojena smykovým spojením. U prostých nosníků je deska vždy na tlačené straně, u spojitých nosníků může být u vnitřních podpor i tažena: beton potom nepůsobí a jeho úlohu musí převzít tažená podélná výztuž. Spřažené nosníky se musí v rozhodujících průřezech zkontrolovat na únosnost a, je-li nutné, také na únosnost při ztrátě stability. Mají-li nosníky štíhlé stěny, je potřeba prověřit únosnost při boulení ve smyku či při působení soustředěně působících příčných sil. Vždy je nutné prověřit i únosnost v podélném smyku, tzn. návrh smykového spojení.

Obr. 4 Typické průřezy spřažených nosníků

[obr. 6.1]

Nosníky navržené podle teorie plasticity lze navrhnout s tzv. „úplným smykovým spojením“, kdy spojení není slabým místem nosníku, anebo s tzv. „částečným smykovým spojením“, kdy o únosnosti nosníku rozhoduje právě smykové spojení. Důvody pro použití částečného smykového spojení mohou být ekonomické, kdy je konstrukce s úplným spojením 25

Mezní stavy únosnosti zbytečně únosná, nebo praktické, kdy např. při použití žebrové desky je počet spřahovacích prvků na nosníku omezen. U nás ale je dosud obvyklé používat pouze „úplné spojení“. U nosníků navržených podle teorie pružnosti je přípustné pouze „úplné smykové spojení“.

6.1.2 Účinná šířka pro ověření průřezu Zjednodušeně lze u pozemních staveb předpokládat, na rozdíl od složitějšího průběhu podle obr. 2, konstantní účinnou šířku betonové pásnice v celé oblasti kladných momentů v každém poli nosníku. Pro výpočet lze uvažovat hodnotu beff,1 uprostřed pole a hodnotu beff,2 na obou stranách od vnitřní podpory.

6.2 Únosnosti průřezů nosníků 6.2.1 Únosnost v ohybu Jsou-li na nosníku pouze průřezy třídy 1 a 2 (a deska se nepředepíná), lze návrhovou únosnost určit plastickým výpočtem podle obr. 5. Již bylo řečeno, že tento výpočet pokrývá většinu praktických případů. Jinak se použije pružný výpočet nebo nelineární výpočet, jak budou popsány dále.

Obr. 5 Příklady plastického rozdělení napětí pro spřažený nosník s plnou deskou a plným smykovým spojením pro kladný a záporný moment [obr. 6.2] 26

Mezní stavy únosnosti Při úplném smykovém spojení ocelové a betonové části spřaženého nosníku se při výpočtu Mpl,Rd předpokládá, že nastává plná interakce mezi ocelovým profilem, výztuží a betonem, přičemž v oceli je napětí rovné návrhové pevnosti fyd, ve výztuži fsd (často lze ale tlačenou výztuž úplně zanedbat) a v tlačeném betonu 0,85fcd, kde fcd je návrhová válcová pevnost betonu v tlaku. S taženým betonem se nepočítá. U spřažených průřezů s ocelovými prvky pevnostní třídy S420 nebo S460 není dosud plně prověřena schopnost plastifikace těchto ocelí, a proto se v případech, kdy je vzdálenost xpl mezi plastickou neutrální osou a nejvíce tlačenými vlákny betonu větší než 15 % celkové výšky prvku h, bere návrhový moment únosnosti MRd jako β Mpl,Rd, kde β je redukční součinitel uvedený na obr. 6.

Obr. 6 Redukční součinitel β pro Mpl,Rd

[obr. 6.3]

U pozemních staveb se profilovaný plech v tlačené oblasti zanedbá a v tažené oblasti se započítá s návrhovou pevností fyp,d. V oblastech kladných momentů se u spřažených nosníků pozemních staveb navržených podle teorie plasticity může použít již zmíněné částečné smykové spojení. Vyžaduje to použít dostatečně tažné (duktilní) spřahovací prvky (budou definovány dále, obvyklé trny k nim patří). Výpočet momentu únosnosti je stejný jako při úplném spojení, použije se ale redukovaná tlaková síla v betonové pásnici (Nc místo síly Ncf). Poměr η = Nc/Ncf potom udává stupeň smykového spojení. Poloha plastické neutrální osy v desce odpovídá nové síle Nc, viz obr. 7. Ocelovým průřezem prochází druhá neutrální osa, která se má použít při klasifikování stojiny.

Obr. 7 Plastické rozdělení napětí pro kladný moment a částečné smykové spojení [obr. 6.4] 27


1 Plastická teorie 2 Zjednodušená metoda

Obr. 8 Vztah mezi MRd a Nc (pro tažné spřahovací prvky)

[obr. 6.5]

Vztah mezi MRd a Nc je podle výzkumu dán křivkou ABC na obr. 8, kde Mpl,a,Rd a Mpl,Rd jsou návrhové plastické únosnosti při působení kladného momentu na samotný ocelový prvek a na spřažený průřez při úplném smykovém spojení. Popsaný postup nalezení únosnosti odpovídá hodnotě MRd určené (bezpečně) z přímé spojnice AC na obr. 8, takže platí: 28

Mezní stavy únosnosti M Rd = M pl,a,Rd + ( M pl,Rd − M pl,a,Rd )

Nc N cf

(6.1)

Pro spřažené průřezy třídy 1 a 2 s tlačenou betonovou pásnicí se nelineární únosnost v ohybu MRd může určit jako funkce tlakové síly v betonu Nc podle zjednodušených vzorců (6.2) a (6.3), jak ukazuje obr. 8:

M Rd = M a,Ed + ( M el,Rd − M a,Ed )

Nc N c,el

M Rd = M el,Rd + ( M pl,Rd − M el,Rd )

kde a kde

Mel,Rd = Ma,Ed + kMc,ed

N c − N c,el N c,f − N c,el

pro Nc ≤ Nc,el

(6.2)

pro Nc,el ≤ Nc ≤ Nc,f

(6.3) (6.4)

Ma,Ed je

návrhový ohybový moment, působící na ocelový průřez před účinností spřažení;

Mc,Ed k

část návrhového ohybového momentu, působící na spřažený průřez; nejmenší součinitel určený tak, že je dosaženo návrhové pevnosti oceli, betonu nebo výztuže (nejmenší hodnota k rozhoduje); pokud se použije nepodepíraná konstrukce, musí se vzít v úvahu i postup montáže;

Nc,el

tlaková síla v betonové pásnici odpovídající momentu Mel,Rd (moment, při kterém je dosaženo návrhové pevnosti oceli nebo betonu, rozhoduje co nastane dřív).

Pro průřezy s ocelovými prvky pevnostní třídy S420 nebo S460, u nichž vzdálenost xpl mezi plastickou neutrální osou a nejvíce tlačenými vlákny betonu převyšuje 15 % celkové výšky prvku h, se ve výrazu (6.3) a na obr. 9 nahradí Mpl,Rd redukovanou hodnotou βMpl,Rd. Obsahuje-li spřažený nosník štíhlé průřezy třídy 3, vypočítá se napětí při ohybu pružnou teorií. Jsou-li v nosníku i průřezy třídy 4, uplatní se ještě ČSN EN 1993-1-5, protože se velmi štíhlé ocelové části nemohou započítat plnou hodnotou.

29


1 Podepíraná konstrukce 2 Nepodepíraná konstrukce

Obr. 9 Zjednodušený vztah mezi MRd a Nc pro průřezy s betonovou deskou v tlaku [obr. 6.6] Největší napětí v průřezu jsou při pružném výpočtu omezena hodnotami fcd u betonu v tlaku, fyd u konstrukční oceli v tahu i tlaku a fsd ve výztuži v tahu i tlaku. Alternativně se může tlačená výztuž v betonové desce zanedbat, viz obr. 10. Jak už bylo několikrát upozorněno, napětí vzniklá v důsledku zatížení samotné ocelové konstrukce se při montáži bez podepírání (montáž bez lešení) musí přičíst k napětím od zatížení působícího na spřaženou konstrukci. Účinek dotvarování betonu lze při dlouhodobém zatížení zahrnout zavedením modifikovaného poměru modulů n.

Obr. 10 Průběh poměrného protažení

30

ε

a normálového napětí δ při pružném působení


6.2.2 Únosnost ve vertikálním smyku Na únosnosti spřaženého průřezu ve vertikálním smyku se podílí ocel i beton, účinek betonu je ale malý, a proto se zpravidla zanedbá. Únosnost Vpl,Rd se proto určí jen jako únosnost ocelového profilu Vpl,a,Rd podle ČSN EN 1993-1-1. Štíhlosti stojin spřažených nosníků není vhodné volit příliš velké. Pokud se velmi štíhlá stojina vyskytne, postupuje se při stanovení únosnosti s vlivem boulení ve smyku Vb,Rd podle ČSN EN 1993-1-5. Vertikální smyk má vliv na únosnost průřezu v ohybu. Stejně jako u ocelových nosníků se tento vliv vyčísluje jen je-li vertikální smyková síla VEd větší než polovina smykové únosnosti VRd. Pokud tento případ nastane, lze pro průřezy třídy 1 a 2 vliv smyku na únosnost v ohybu započítat redukcí návrhové pevnosti oceli ve stojině na hodnotu (1 – ρ)fyd. Smyková plocha je vyznačená na obr. 11, kde:

ρ = ( 2VEd VRd − 1) kde VRd je

2

(6.5)

příslušná únosnost ve vertikálním smyku.

Pro průřezy třídy 3 a 4 je nutné použít ČSN EN 1993-1-5.

Obr. 11 Plastické rozdělení napětí modifikované vlivem vertikálního smyku

[obr. 6.7]

6.3 Únosnost průřezů nosníků pozemních staveb s částečným obetonováním 6.3.1 Rozsah Typické průřezy částečně obetonovaných nosníků jsou na obr. 12. Dále uvedené výpočetní postupy lze použít na částečně obetonované průřezy třídy 1 a 2, je-li současně d / tw menší než 124ε.

31


Obr. 12 Typické průřezy částečně obetonovaných nosníků

[obr. 6.8]

Obr. 13 Příklady plastického rozdělení napětí pro účinné průřezy (nahoře a uprostřed působí kladný moment, dole působí zápozný moment) [obr. 6.9]

32


6.3.2 Únosnost v ohybu U průřezu s obetonovanou stojinou se předpokládá úplné smykové spojení mezi ocelovým profilem a obetonováním a počítá se plasticky podle obr. 13. Postupuje se tak, že se z rovnováhy sil nalezne poloha neutrální osy a potom se vyčíslí moment únosnosti. Vše je zřejmé z obrázku.

6.3.3 Únosnost při vertikálním smyku Obetonování poměrně značně zvyšuje únosnost ocelové stojiny ve smyku. Jsou-li třmínky u nosníku upraveny podle obr. 14, lze k únosnosti ocelové stojiny připočítat ještě plný příspěvek obetonování stojiny. Postupuje se tak, že se celkový vertikální smyk VEd rozdělí do částí Va,Ed a Vc,Ed, působících na ocelový profil a obetonování. Rozdělení se provede ve stejném poměru v jakém přispívají ocel a obetonování do únosnosti v ohybu Mpl,Rd. Vliv síly Va,Ed na ocelový profil se posoudí podle ČSN EN 1993-1-5, vliv síly Vc,Ed na obetonování se posoudí podle ČSN EN 1992-1-1.

1 Uzavřené třmínky 2 Otevřené třmínky přivařené ke stojině 3 Třmínky procházejí stojinou

Obr. 14 Uspořádání třmínků

[obr. 6.10]

6.3.4 Ohyb a vertikální smyk Vliv smyku na únosnost v ohybu je (stejně jako u neobetonovaných stojin) nezanedbatelný jen, je-li návrhová vertikální smyková síla Va,Ed větší než polovina návrhové smykové únosnosti Vpl,a,Rd ocelového průřezu. Pokud tento případ nastane, nahradí se ve výrazu (6.5) poměr VEd / Vpl,Rd poměrem Va,Ed / Vpl,a,Rd. Dále se postupuje stejně jako u neobetonovaného průřezu.

33


6.4 Ztráta stability spřažených nosníků při ohybu 6.4.1 Všeobecně Spřažené nosníky o jednom poli jsou zpravidla dobře zajištěny proti ztrátě stability při ohybu samotnou betonovou deskou, se kterou je ocelová tlačená pásnice prostého nosníku spojena. Jiná situace nastane u spojitého nosníku, kde tlačená pásnice ocelového profilu u vnitřních podpor s deskou spojena není. Ocelový nosník také může ztratit stabilitu v průběhu betonování, nebrání-li pohybu do stran dostatečně tuhé bednění. K posouzení stability samotného ocelového nosníku se použije ČSN EN 1993-1-1, pro spojitý nosník lze použít následující postup.

6.4.2 Ověření stability spojitých spřažených nosníků pozemních staveb s průřezy třídy 1, 2 a 3 Postupuje se obdobně jako u ocelových nosníků, tzn. že se najde kritický moment ideálního nosníku, který poslouží k určení součinitele klopení χLT. Návrhový moment únosnosti se u příčně nezajištěného spojitého spřaženého nosníku s průřezem třídy 1, 2 nebo 3 a s prizmatickým ocelovým průřezem stanoví podle vztahu: Mb,Rd = χLT MRd kde χLT

je

MRd

(6.6)

součinitel vzpěrnosti pro ztrátu stability při ohybu (klopení), závisející na poměrné štíhlosti λLT ; návrhový moment únosnosti při působení záporného momentu v příslušné vnitřní podpoře.

Hodnoty součinitele vzpěrnosti χLT se určí podle ČSN EN 1993-1-1. Moment únosnosti MRd se pro průřezy třídy 1 nebo 2 určí plastickou teorií. Pro průřezy třídy 3 se určí podle (6.4) jako návrhový záporný moment, který vyvolá buď napětí fsd v tažené výztuži, nebo tlakové napětí fyd ve spodním vláknu ocelového profilu (menší hodnota rozhoduje). Poměrnou štíhlost

λLT = kde MRk je Mcr

34

λLT lze určit ze vztahu:

M Rk M cr

(6.7)

moment únosnosti spřaženého průřezu stanovený s použitím charakteristických vlastností materiálu; již zmíněný kritický pružný ohybový moment odpovídající ztrátě stability nosníku při ohybu, určený ve vnitřní podpoře příslušného pole, kde je záporný moment největší.

Mezní stavy únosnosti Stanovení Mcr je teoreticky náročnou úlohou a norma neposkytuje podklady pro výpočet tohoto kritického momentu. Uvádí se pouze obecně, že je-li deska spřaženého průřezu spojena s jedním nebo více podpůrnými ocelovými prvky přibližně rovnoběžnými s uvažovaným spřaženým nosníkem, lze pružný kritický moment určit na modelu „spojitého otočeného Urámu“. Obr. 15 naznačuje, jak tento model uvažuje příčné vychýlení dolní pásnice způsobující ohyb stojiny a natočení horní pásnice, kterému brání tuhost desky. Jedná se o výpočet kritického momentu nosníku spojitě rotačně poddajně podepřeného. V normě je dále uvedeno, jak lze tuhost tohoto rotačního podepření stanovit. Další postup je nutné vyčíst z odborné literatury (např.[7]). Tyto přesné výpočty se ovšem u pozemních konstrukcí často nahrazují přibližným postupem uvedeným dále.

1 trhliny

Obr. 15 Otočený U-rám ABCD odolávající ztrátě stability při ohybu

[obr. 6.11]

6.4.3 Zjednodušené ověření pro pozemní stavby bez přímého výpočtu Spojitý nosník s průřezy třídy 1, 2 nebo 3 lze pokládat za vyhovující, jsou-li splněny následující podmínky: a) Sousední pole se neliší v délce o více než 20 % délky kratšího pole. Délka konzoly nepřevyšuje o více než 15 % délku přilehlého pole. b) Zatížení je v každém poli rovnoměrné, návrhová hodnota stálého zatížení je větší než 40 % celkového návrhového zatížení. c) Horní pásnice ocelového prvku je připojena k železobetonové nebo spřažené desce spřahovacími prvky. d) Deska je současně připojena k dalšímu podpůrnému prvku přibližně rovnoběžnému s uvažovaným spřaženým nosníkem tak, že tvoří otočený U-rám podle obr. 15. e) Je-li deska spřažená, je pnuta mezi dva rovnoběžné podpůrné prvky uvažovaného otočeného U-rámu. f) V každé podpoře ocelového prvku je dolní pásnice příčně podepřena a jeho stojina je vyztužena. Jinde může být stojina nevyztužena.

35

Mezní stavy únosnosti g) Má-li ocelový profil tvar IPE, HE nebo I a nosníky nejsou obetonovány, jejich výška h není větší než limitní výška z tab. 7. h) Je-li ocelový prvek částečně obetonovaný, jeho výška nepřesáhne hodnoty z tab. 7 o více než 200 mm u ocelí pevnostní třídy do S355 a 150 mm u ocelí tříd S420 a S460. Tab. 7 Největší výška (mm) neobetonovaných ocelových nosníků, na něž lze použít kap. 6.4.3 [tab. 6.1] Ocelový nosník

Pevnostní třída oceli S235

S275

S355

S420 a S460

IPE

600

550

400

270

HE

800

700

650

500

I

500

450

360

200

6.5 Příčné síly na stojiny 6.5.1 Všeobecně Pro nespřažené pásnice spřažených nosníků a pro přilehlou část stojiny lze k určení návrhové únosnosti nevyztužených nebo vyztužených stojin při působení příčných sil v pásnicích použít pravidla uvedená v ČSN EN 1993-1-5. Stejně tak se postupuje, působí-li příčné síly v kombinaci s ohybem a osovou silou. Ve vnitřních podporách nosníků pozemních staveb navržených s použitím účinné stojiny třídy 2 má být navrženo příčné vyztužení, pokud se neprokáže, že nevyztužená stojina má dostačující únosnost při boulení a borcení.

6.5.2 Boulení stojiny vyvolané pásnicemi Jde o jev známý z ocelových konstrukcí, kdy je stojina deformací pásnice nucena k vyboulení. U spřažených konstrukcí lze tento jev posuzovat stejně jako u ocelových konstrukcí, tzn. využije se ČSN EN 1993-1-5 s tou změnou, že se jako plocha Afc uvažuje transformovaná plocha spřažené ocelové pásnice (ocelová pásnice plus betonová deska, která se převede na ocel pomocí poměru modulů pro krátkodobé zatížení).

6.6 Smykové spojení 6.6.1 Všeobecně Smykové spojení musí přenést podélnou smykovou sílu mezi betonovou a ocelovou částí, přičemž se nepočítá se soudržností oceli a betonu. Aby se mohl použít již vysvětlený plastický návrh nosníku, musí mít spřahovací prvky dostačující deformační schopnost, umožňující redistribuci smyku mezi jednotlivé spřahovací prvky. V Příloze B se ukáže, že spřahovací prvek lze považovat za tažný v případě, že jeho charakteristická kapacita prokluzu δuk je nejméně 6 mm. Přivařované trny s hlavou a nastřelované zarážky Hilti tuto podmínku 36

Mezní stavy únosnosti splňují, perforovaná lišta jen za určitých okolností. Zejména při plastickém návrhu se na jednom nosníku nemají používat spřahovací prvky s rozdílnou deformační charakteristikou, neboť to vede k přemáhání tužších prvků. Nedoporučuje se to ale ani pro pružný návrh. Spřahovací prvky mají také být schopny zabránit oddělení betonové části od oceli, což se prokazuje tak, že mají odolat tahové síle kolmé k rovině ocelové pásnice, která je rovna nejméně 0,1násobku návrhové smykové únosnosti spřahovacího prvku. Trny, zarážky Hilti i perforovaná lišta i tuto podmínku splňují. Při návrhu smykového spojení je také nutné sledovat přenos síly ze spřahovacích prvků do betonové desky, viz kap. 6.6.6. U nosníků pozemních staveb navržených plasticky má pro „úplné spojení“ být počet spřahovacích prvků roven nejméně celkové návrhové smykové síle Ncf působící v mezním stavu únosnosti mezi kritickými průřezy nosníku (to jsou místa největších momentů a místa podpor), dělené návrhovou únosností jednoho prvku PRd. Síla Ncf je dána menší hodnotou z: Ncf = Aa fyd

(6.15)

nebo Ncf = Ac 0,85fcd + As fsd

(6.16)

U spojitého nosníku je třeba u vnitřní podpory přidat ještě sílu v tažené výztuži, jak ukazuje obr. 16.

Obr. 16 Kritické průřezy a definice smykové síly při plastickém výpočtu Již bylo zmíněno, že u nosníků pozemních staveb se může také použít u nás dosud málo obvyklé „částečné smykové spojení“. Zjednodušeně lze říci, že ho lze u nosníků s rozpětím do 25 m a souměrným ocelovým průřezem použít vždy, použije-li se plastický výpočet a alespoň 40 % obvyklých trnů, které by byly potřeba pro úplné spojení. Podrobněji jsou podmínky specifikované v čl. 6.6.2.1 normy. Poměr počtu spřahovacích prvků (n) pro částečné spojení ku počtu pro úplné spojení (nf) se označuje η a má stejný význam jako η na obr. 7 a 8. Již bylo řečeno, že smykové spřahovací prvky se po délce nosníku musí rozmístit tak, aby přenesly podélný smyk mezi ocelí a betonem a tím zabránily oddělení betonu od ocelového nosníku. Uvažuje se přitom odpovídající rozdělení návrhové smykové síly. Tažné spřahovací prvky lze (podle obr. 16) rozmístit mezi kritickými průřezy (podpory a místa největších momentů) pravidelně, pokud: • všechny kritické průřezy v uvažovaném poli jsou třídy 1 nebo 2;

37

Mezní stavy únosnosti • plastický moment únosnosti spřaženého průřezu není větší než 2,5násobek plastického momentu únosnosti samotného ocelového průřezu.

Při návrhu provedeném podle teorie pružnosti se spřahovací prvky naopak rozmístí v souladu s podélným smykem, vypočítaným mezi betonovou deskou a ocelovou pásnicí obvyklým vzorcem: Vℓ = VEdSc /I1 kde VEd Sc

je

I1

(6.17)

návrhová hodnota posouvající síly, statický moment plochy tlačené části betonové desky k neutrální ose ideálního ocelobetonového průřezu redukovaný součinitelem n, moment setrvačnosti ideálního průřezu „bez trhlin“.

Podélná posouvající síla Vℓ je podle tohoto vzorce přímo úměrná vertikální posouvající síle. V místech velkých posouvajících sil jsou proto prvky umístěny hustěji než v místech s malými posouvajícími silami. Na první pohled se tak před zabetonováním desky pozná, jakou metodou byl spřažený nosník navržen.

6.6.2 Podélná smyková síla nosníků pozemních staveb V tomto článku se rekapituluje vše, co bylo řečeno výše: pokud se pro posouzení průřezu použije teorie pružnosti, určí se podélný smyk stejnou teorií, zatímco při návrhu podle teorie plasticity se uváží rozdíl normálové síly v betonu (nebo v konstrukční oceli) na délce mezi kritickými průřezy. Vše bude ještě objasněno v číselných příkladech k tomuto tématu.

6.6.3 Trny s hlavou v plné desce a v obetonování Trny jsou jediným spřahovacím prostředkem, jehož únosnost je pro průměry mezi 16 a 25 mm stanovena touto normou. Pro všechny ostatní spřahovací prostředky, případně i pro trny s menším nebo naopak větším průměrem, je nutné únosnost určit zkouškami podle Přílohy B této normy. Známí výrobci spřahovacích prvků (např. Hilti) udávají právě výsledky únosnosti ověřené zkouškami. Také pro perforovanou lištu výšky 50 a 100 mm jsou k dispozici únosnosti ověřené zkouškami. V současnosti se na ČVUT zkoušejí i trny menších průměrů než 16 mm; výsledky budou publikovány v odborné literatuře. Návrhová únosnost trnu s hlavou ve smyku, přivařeného automatem, se určí ze vztahů (první vzorec odpovídá porušení trnu, druhý porušení okolního betonu): PRd =

nebo PRd =

38

0,8 fu π d 2 /4

γV 0, 29 α d 2 f ck Ecm

γV

(6.18)

(6.19)

Mezní stavy únosnosti kde je únosnost dána menší hodnotou. Ve vzorcích značí: ⎛h

⎞

α = 0, 2 ⎜ sc + 1⎟ ⎝ d ⎠

pro 3 ≤ hsc / d ≤ 4

(6.20)

α =1

pro hsc / d > 4

(6.21)

γV

a kde

je

dílčí součinitel (v ČR = 1,25); průměr dříku trnu, 16 mm ≤ d ≤ 25 mm; mez pevnosti v tahu materiálu trnu, ne větší než 500 N/mm2; charakteristická válcová pevnost betonu příslušného stáří v tlaku a objemové hmotnosti ne menší než 1750 kg/m3; celková jmenovitá výška trnu.

d fu fck hsc

Je-li trn v nějakém konstrukčním prvku současně se smykem namáhán též tahovou silou, určí se návrhová tahová síla na jeden trn Ften; je-li Ften ≤ 0,1PRd, kde PRd je návrhová únosnost trnu ve smyku, lze tahovou sílu zanedbat. Je-li Ften > 0,1PRd, není tento případ pokryt touto normou a je nutné získat výsledky zkouškami.

6.6.4 Návrhová únosnost trnů s hlavou použitých v pozemních stavbách spolu s profilovanými plechy Jedná se o častou kombinaci používanou u stropních konstrukcí, kde se jako bednění desky použijí trapézové (profilované) plechy. Při výpočtu únosnosti trnu je nutné rozlišit, zda žebra desky jdou rovnoběžně s nosníkem, nebo jsou umístěna kolmo k ose nosníku. V prvním případě jsou trny umístěny v betonu podle obr. 17. Únosnost trnu se oproti únosnosti v plné desce zmenšuje redukčním součinitelem kA, který je dán vztahem: kA = 0, 6

kde hsc

b0 hp

⎛ hsc ⎞ − 1⎟ ≤ 1, 0 ⎜⎜ ⎟ ⎝ hp ⎠

(6.22)

je celková výška trnu, ne větší než h p + 75 mm.

Obr. 17 Nosník s profilovaným plechem rovnoběžným s nosníkem

[obr. 6.12]

Jsou-li žebra desky kolmá k ose nosníku podle obr. 18, redukuje se únosnost součinitelem k t určeným ze vztahu: 39


kt =

0, 7 b0 nr hp

je

kde n r

⎛ hsc ⎞ − 1⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝ hp ⎠

(6.23)

počet trnů v jednom žebru v příčném řezu nosníkem, přičemž se do výpočtů uvažují nejvýše dvě řady.

Obr. 18 Nosník s profilovaným plechem kolmo k nosníku

[obr. 6.13]

Součinitel kt nemá být větší než je hodnota kt,max v tab. 8. Součinitel lze uplatnit, pokud platí: • trny jsou v žebrech výšky hp, ne větší než 85 mm a šířky b0, ne menší než hp a • při provaření trnů skrz plech není průměr trnu větší než 20 mm nebo • prochází-li trny otvory v plechu, není průměr trnů větší než 22 mm.

[ tab. 6.2]

Tab. 8 Horní limitní hodnoty kt,max redukčního součinitele kt Počet

Tloušťka t

trnů v

plechu

žebru

(mm)

nr= 1 nr= 2

Trny s průměrem ne větším než

Profilovaný plech s otvory a trny

20 mm a přivařené skrz plech

průměru 19 mm nebo 22 mm

≤ 1,0

0,85

0,75

> 1,0

1,00

0,75

≤ 1,0

0,70

0,60

> 1,0

0,80

0,60

Mají-li spřahovací prvky současně zajistit spřaženou funkci nosníku i spřažené desky, jsou trny nad nosníkem namáhány ve dvou směrech a musí splnit následující podmínku: Ft 2 FA 2 + ≤ 1 PA ,Rd 2 Pt,Rd 2

kde FA Ft

je

návrhová podélná smyková síla způsobená spřaženým chováním nosníku; návrhová příčná síla způsobená spřaženým chováním desky;

PA,Rd a Pt,Rd jsou odpovídající návrhové smykové únosnosti trnu. 40

(6.24)

Mezní stavy únosnosti Jiné spřahovací prvky

Již bylo řečeno, že norma obsahuje návod pro výpočet únosnosti pouze pro přivařované trny s průměrem 16 až 25 mm. Pro všechny ostatní používané prvky se musí jejich únosnost ověřit individuálně. Uvedeme zde proto ještě dva často používané spřahovací prvky: přistřelované zarážky Hilti a přivařovanou perforovanou lištu. Výhodou zarážek Hilti je, že pro jejich instalaci není potřeba elektrický proud, jsou proto vhodné např. pro menší rekonstrukce stropů. Perforovanou lištu lze snadno vyrobit a přivařit ve výrobě, nevýhodou ale je, že její použití vylučuje současné použití spojitých profilovaných plechů. Přistřelované zarážky

Návrhovou únosnost přistřelovaných kotev HVB (výrobce Hilti) umístěných v plné betonové desce lze uvažovat podle tab. 9. Tab. 9 Návrhová únosnost kotev HVB

Kotva

HVB 80

Návrhová

Maximální výška plechu

Minimální výška

únosnost

[mm]

betonové desky hc

PRd [kN]

b0 hap ≥ 1,8

b0 hap < 1,8

[mm]

23

45

45

90

60

57

95

75

66

110

80

75

125

80

80

140

HVB 95 HVB 110 HVB 125

28

HVB 140

Pro kotvy v žebrové desce je nutné dodržet omezení z tabulky a pro únosnost použít redukční součinitele podle těchto vzorců: • žebra kolmo k ose nosníku:

α =

0,85 b0 hc − hap hap n hap

ale vždy 0,5 ≤ α ≤ 1,0 n je počet kotev v žebru.

41

Mezní stavy únosnosti • žebra ve směru osy nosníku:

α = 1, 0 α = 0, 6

pro

b0 hsc − hap hap hap

b0 > 1,8 hap pro

b0 ≤ 1,8 hap

ale vždy 0,5 ≤ α ≤ 1,0

Redukce platí pro kotvu jakkoli vzhledem k ose nosníku natočenou. U zarážek HVB lze počítat s dostačující tažností, spřažení provedené tímto způsobem je duktilní (tažné). Perforovaná lišta

Na ČVUT se posledních deseti letech experimentuje s perforovanými lištami, vyobrazenými na následujícím obrázku. Zatím jsou prověřeny únosnosti dvou typů lišty: nízká (výška 50 mm) a vysoká (výška 100 mm).

Charakteristická únosnost lišty 50 mm vysoké s otvory 30 mm je PRk = − 68 + 12, 4 f ck + 797 Ast

Charakteristická únosnost u lišty 100 mm vysoké s otvory 60 mm je PRk = 273 + 14,1 f ck + 313 Ast

Ve vzorcích značí: fck Ast

42

pevnost betonu měřená na válcích [MPa], plocha výztuže provlečené otvory lišty [v mm2/mm]. Uvažuje se výztuž s mezí kluzu fsk = 490 MPa

Mezní stavy únosnosti Po dosazení příslušných hodnot vychází únosnost v N/mm délky lišty. Statistickým rozborem byl pro nízkou lištu zjištěn součinitel γ v = 1, 4 , pro vysokou lištu γ v = 1, 25 . Přitom platí obvyklý vztah pro návrhovou únosnost PRd = PRk γ v

Lištu obecně nelze považovat za dostatečně tažný prvek spřažení ve smyslu ČSN EN 1994-1-1, protože při zkouškách na vzorcích podle Přílohy B se tažnost (prokluz δ při dosažení PRk) pohybuje mezi 2 až 7 mm, přičemž s větším množstvím výztuže procházející otvory (Ast) tažnost vzrůstá. Protože hraniční hodnotou je prokluz 6 mm, je vhodné bezpečně navrhovat nosníky s lištou podle teorie pružnosti. Více informací o liště je v [14], [15], [16], [17].

6.6.5 Detaily smykového spojení a vliv montáže Pro trny platí řada podmínek, jejichž splnění zajišťuje správnou funkci trnů. Tak např. vzdálenost povrchu spřahovacího prvku, který brání nadzvednutí desky (např. spodní strana hlavy spřahovacího trnu), od dolní výztuže nemá být menší než 30 mm, viz obr. 19. Povrch hlavy trnů může být zalícován s povrchem desky, častěji se ale požaduje krytí hlavy betonem, které má být alespoň 20 mm. Při rozmísťování trnů je také vždy nutné dbát na to, aby se beton dal dobře zhutnit; zejména se jedná o oblast u paty trnů, kde je namáhání betonu největší. Při betonování je nutné vyhnout se situaci, kdy by částečně zatvrdlý beton (s pevností pod 20 MPa) byl zatěžován nebo vystaven deformacím. Je-li řada trnů provedena podél okraje betonové desky, má se příčná výztuž zakotvit v betonu mezi okrajem desky a přilehlou řadou spřahovacích prvků. Je-li vzdálenost mezi okrajem desky a osou nejbližší řady spřahovacích prvků menší než 300 mm, mají se dodržet doporučení specifikovaná v normě, aby se zabránilo podélnému rozštěpení betonové pásnice, způsobenému spřahovacími prvky: Je-li použita deska s náběhy, má okraj náběhu ležet mimo linie vynesené pod úhlem 45 stupňů od vnějšího okraje spřahovacího prvku (viz obr. 19), vzdálenost okraje náběhu od spřahovacího prvku (krytí) nemá být menší než 50 mm a pruty příčné výztuže se umístí v náběhu ve vzdálenosti alespoň 40 mm pod povrchem spřahovacího prvku, který odolává nadzvednutí.

43


Obr. 19 Detaily

[obr. 6.14]

Protože spojení betonové desky s nosníkem často zajišťuje stabilitu nosníku nebo jeho částí, musí rozteče trnů splňovat určité podmínky. Tak u tlačené pásnice nemá být rozteč (osová vzdálenost) ve směru působícího tlaku větší než: • pro plnou desku: 22tf 235 f y ; • pro žebrovou desku s žebry napříč nosníku: 15tf 235 f y ;

kde tf fy

je

tloušťka pásnice; jmenovitá mez kluzu pásnice v MPa.

U pozemních staveb nemá být podélná rozteč trnů větší než šestinásobek celkové tloušťky desky a zároveň ne větší než 800 mm. Čistá (nikoli osová) vzdálenost od okraje tlačené pásnice ke krajní řadě spřahovacích prvků nemá být větší než 9tf 235 f y . Trny ale nemají být rozmístěny ani příliš hustě, aby se při přenášení sil nebo případném porušení navzájem neovlivňovaly: rozteč ve směru smykové síly nemá být menší než 5d; rozteč ve směru napříč ke smykové síle nemá být menší než 2,5d v plné desce a 4d v ostatních případech. Existují určité technologické požadavky pro přivařování trnů. Kromě zajištění dostatečného příkonu elektrického proudu (zdroj musí být dostatečně „tvrdý“) je také nutno dbát na to, aby nedošlo k nadměrné deformaci pásnice na kterou se trny přivařují. Proto se nemá používat příliš tenká pásnice, její tloušťka musí odpovídat průměru přivařovaného trnu. Lze to definovat tak, že kromě případů kdy jsou trny umístěny přímo nad stojinou, nemá být průměr přivařeného trnu větší než 2,5násobek tloušťky pásnice. Nelze-li uvedené požadavky dodržet, je vhodné přesvědčit se zkouškami, jak bude přivařování probíhat. Trn také nemá být příliš blízko okraje pásnice, za krajní hodnotu se považuje 20 mm. Pro volbu samotného trnu platí rovněž určitá omezení. Tak např. celková výška trnu nemá být po přivaření menší než 3d, kde d je průměr dříku trnu, hlava trnu nemá mít průměr menší než 1,5d a výšku menší než 0,4d. U tažených prvků namáhaných na únavu nemá být průměr přivařeného trnu větší než 1,5násobek tloušťky pásnice, ke které se přivařuje, pokud zkoušky nepotvrdí dostatečnou únavovou únosnost trnu ve smyku. Toto pravidlo se uplatní i u trnů přivařených přímo nad stojinou. U žebrových desek vybetonovaných do profilovaného plechu má trn přesahovat nad horní hranu plechu alespoň 2d, a nejmenší šířka žeber vyplněných betonem má být alespoň 44

Mezní stavy únosnosti 50 mm, měřeno uprostřed výšky žebra. Mají-li profilované plechy v dolní pásnici střední žebírko, umísťují se trny střídavě vlevo a vpravo od tohoto žebírka.

6.6.6 Podélný smyk v betonových deskách Je zřejmé, že sílu z trnů nebo jiných spřahovacích prvků je nutné dále roznést do betonové desky, čemuž kromě tloušťky desky musí odpovídat také příčná výztuž v desce. Plochy možného smykového porušení desky jsou naznačeny na obr. 20. Návrhové podélné smykové napětí pro kteroukoli možnou plochu smykového porušení desky ν E d nesmí překročit návrhovou podélnou smykovou pevnost, která se určí podle ČSN EN 1992-1-1. Prochází-li smyková plocha kolem trnů (např.smyková plocha b-b na obr. 20), má se jako délka smykové plochy uvažovat rozměr h f , za který se považuje (2hsc + průměr hlavy trnu) pro trny v jedné řadě nebo trny vystřídané a (2hsc + st + průměr hlavy trnu) pro trny umístěné v párech. Účinná příčná výztuž na jednotku délky nosníku A s f / s f se uváží podle obr. 20, kde A b , A t a A b h jsou plochy výztuže na jednotku délky nosníku a sf vzdálenost trnů v podélném směru.

Obr. 20 Typické plochy možného smykového porušení

typ

Asf/sf

a-a

Ab+At

b-b

2Ab

c-c

2Ab

d-d

2Abh

[obr. 6.15]

Pokud se použijí profilované plechy a smyková plocha prochází tloušťkou desky (např. smyková plocha a-a na obr. 21), má se rozměr h f uvažovat jako tloušťka betonu nad plechem. Použijí-li se plechy položené napříč k nosníkům a návrhová únosnost trnů se určí s použitím redukčního součinitele k t podle 6.6.4, nemusí se uvažovat smyková plocha b-b na obr. 21. Použijí-li se plechy s mechanickým nebo třecím spojením položené napříč k nosníkům spojitě přes horní pásnici nosníku, může se jejich příspěvek k příčnému vyztužení pro smykovou plochu typu a-a započítat způsobem popsaným v normě.

45


typ

Asf/sf

a-a

At

b-b

2Ab

c-c

2Ab

d-d

At+Ab

Obr. 21 Typické plochy možného smykového porušení při použití profilovaného plechu [obr. 6.16] Příklad 6.1

Navrhněte stropní nosníky na rozpětí 7,5 m, vzájemná vzdálenost nosníků je 2,0 m. Zatížení stálé představuje pouze vlastní tíha konstrukce, proměnné užitné qk = 4,0 kN/m2. Nosník je z oceli s mezí kluzu fy = 275 MPa, beton má válcovou pevnost v tlaku fck = 20 MPa. Železobetonová deska má konstantní tloušťku 70 mm. Nosník není při stavbě podpírán. Jako spřahovací prvky se použijí trny a alternativně perforovaná lišta. Použije se ocel S275 a beton C20/25. Mezní stav únosnosti

Stálé zatížení:

gk = 23 · 2 · 0,07 + 0,22 = 3,44 kN/m gd = 1,35 · 3,44 = 4,64 kN/m

Proměnné zatížení:

qk = 2 · 4 = 8 kN/m qd = 1,5 · 8 = 12 kN/m

Moment uprostřed:

MEd = 0,125 · 16,64 · 7,52 = 117 kNm

Zvolíme ocelový profil IPE 200. Ocel je u prostého nosníku namáhána tahem, jedná se tedy automaticky o průřez třídy 1, tudíž se provede plastický výpočet. Návrhové pevnosti

ocel

fyd = 275/1,0 = 275 MPa

beton

fcd = 20/1,5 = 13,3 MPa

Napětí při dosažení plastické únosnosti v ohybu je na obrázku. 46

Mezní stavy únosnosti Účinná šířka desky:

beff = 7500/4 = 1875 mm

Poloha neutrální osy (z rovnováhy sil): x =

2848 ⋅ 275 = 37 mm 1875 ⋅ 0,85 ⋅ 13,3

Moment únosnosti: Mpl,Rd = 2848 · 275 · (170 – 37/2) = 118,6 · 106 Nmm = 118,6 kNm > MEd = 117 kNm Spřažení

Použijí se trny průměru 16 mm z oceli s mezí pevnosti fu=370 MPa. Trny budou po přivaření 50 mm vysoké (krytí betonem 20 mm). Únosnost trnu v plné desce: PRk = 0,8 ⋅ 370 ⋅

π ⋅162 = 59514 N 4

PRk = 0, 29 ⋅ 0,825 ⋅162 20 ⋅ 29000 = 46645 N

α = 0,2(h/d + 1) = 0,2(50/16 + 1) = 0,825 PRk = 46, 6 kN PRd =

46, 6 = 37,3 kN 1, 25

Na polovině rozpětí je potřeba přenést sílu: Ncf = 2848 · 275 = 783,2 ·103 N = 783,2 kN Potřebný počet trnů: nf =

783, 2 = 21 37,3

Trny budou v jedné řadě, jejich vzdálenost v podélném směru tudíž bude 3750/21 = 180 mm. Mezní stav použitelnosti

Průhyb při betonování desky: δ = 5 · 3,44 · 75004/384 · 210000 · 19,43 · 106 = 35 mm (předpokládá se, že se tento průhyb vyrovná nadvýšením ocelového nosníku)

47

Mezní stavy únosnosti Průhyb spřaženého nosníku (pružný výpočet): n = Ea/Ec = 210000/(29000/2) = 14,5 beff/n = 1875/14,5 = 129 mm x = (2848 · 170 + 129 · 70 · 35)/(2848 + 129 · 70) = 67 mm I1 = 19,43 · 106 + 2848 · 1032 + (129 · 673/12) + 129 · 67 · 332 = 62,2 · 106 mm4 Napětí v mezním stavu použitelnosti v dolních vláknech oceli:

Účinek čerstvého betonu: MEd = 0,125 · 3,44 · 7,52 = 24,2 kNm σa = 24,2 · 106/194 · 103 = 124,7 MPa Účinek proměnného zatížení: MEd = 0,125 · 8 · 7,52 = 56,25 kNm σa = 56,25 · 106 · 203/62,2 · 106 = 183,6 MPa Napětí v dolní pásnici celkem: σa = 124,7 + 183,6 = 308,3 MPa > 275 MPa Ukazuje se, že v mezním stavu použitelnosti dochází k plastifikaci nosníku, což není přípustné, a navržený profil IPE 200 tedy nelze využít. Pro profil IPE 220 bude:

48

Mezní stavy únosnosti x = (3337 · 180 + 129 · 70 · 35)/(3337 + 129 · 70) = 74 mm I1 = 27,72 · 106 + 3337 · 1062 + (129 · 703/12) + 129 · 70 · 392 = 82,6 · 106 mm4 σa = 24,2 · 106/252 · 103 + 56,25·106 · 216/82,6 · 106 = 96,0 + 147,1 = 243,1 MPa < 275 MPa σc = 56,25 · 106 · 74/82,6 · 106 · 14,5 = 3,4 MPa < 0,85 · 13,3 = 11,4 MPa Nosník s tímto ocelovým průřezem je v mezním stavu únosnosti pružný a pro výpočet průhybu lze použít standardní výpočet. Průhyb při betonování

δ = 5 · 3,44 · 75004/384 · 210000 · 27,72 · 106 = 24 mm (lze vyrovnat nadvýšením) průhyb od proměnného zatížení

δ = 5 · 8 · 75004/384 · 210000 · 82,6 · 106 = 19 mm < L/250 návrh vyhovuje. Alternativně se nabízí použít spřažení perforovanou lištou výšky 50 mm. Při spřažení lištou ale nelze použít plastický výpočet. Zjevně proto bude nutné ještě zvětšit ocelový průřez, vyzkoušíme IPE 240. Při pružném výpočtu bude v mezním stavu únosnosti: napětí v ocelovém nosníku při působení stálého zatížení Mg,Ed = 0,125 · 4,64 · 75002 = 32,6 kNm σa= 32,6 · 106/324 · 103 = 100,6 MPa napětí ve spřaženém nosníku při působení proměnného zatížení Mq,Ed = 0,125 · 12 · 75002 = 84,37 kNm

x = (3912 · 190 + 129 · 70 · 35)/(3912 + 129 · 70) = 82 mm I1 = 38,92 · 106 + 3912 · 1082 + (129 · 703/12) + 129 · 70 · 472 = 108,2 · 106 mm4 σa = 84,37 · 106 · 228/108,2 · 106 = 177,8 MPa σc = 84,37 · 106 · 82/14,5 · 108,2 · 106 = 4,4 MPa

49

Mezní stavy únosnosti Napětí v dolním vláknu ocelového průřezu celkem: σa = 100,6 + 177,8 = 278,4 MPa se přibližně rovná návrhové pevnosti oceli (275 MPa), a lze proto návrh považovat za vyhovující. Průběh napětí je vynesen na obrázku na předchozí stránce. Průhyb již nekontrolujeme, protože zjevně vyhoví. Únosnost spřahovací lišty bez výztuže protažené otvory (Ast = 0) je PRk = -68 + 12,4fck + 797Ast = -68 + 12,4 · 20 = 180 N/mm PRd = 180/1,4 = 128 N/mm Posouvající síla u podpory je u spřaženého nosníku: V = 0,5 · 12 · 7,5 = 45 kN Statický moment betonové pásnice k neutrální ose: Sc = 129 · 70 · 47 = 424,4 · 103 mm3 Podélná posouvající síla mezi betonovou deskou a ocelovou pásnicí u podpory je Vℓ = V · Sc/I1 = 45000 · 424,4 · 103/108,2 · 106 = 176 N/mm < 180 N/mm Spřažení tudíž pevnostně vyhovuje. Rekapitulace

Vyhovuje IPE 220 + 42 trnů, nebo IPE 240 + spřahovací lišta 50 mm vysoká. Příklad 6.2

Navrhněte stropní nosníky na rozpětí 6 m, vzájemná vzdálenost nosníků je 2,5 m. Zatížení stálé gk = 2,85 kN/m2 (z toho samotná betonová deska 1,55 kN/m2), proměnné užitné qk = 3,0 kN/m2. Nosník je z oceli s mezí kluzu fy = 235 MPa, beton má válcovou pevnost v tlaku fck = 25 MPa. Žebrová deska je vybetonována do plechů VSŽ 12 003 vysokých 50 mm, tloušťka desky nad povrchem plechů je také 50 mm. Nosník není při stavbě podpírán. Mezní stav únosnosti

Zatížení:

qd = 1,35 ⋅ 2,5 ⋅ 2,85 +1,5 ⋅ 2,5 ⋅ 3 = 20,87 kN/m

Moment uprostřed:

1 M Ed = ⋅ 20,87 ⋅ 62 = 93,9 kN/m 8

Účinná šířka desky:

beff = 2 ⋅ be = 2 ⋅

L 6000 = 2⋅ = 1500 mm 8 8

Zvolíme IPE 180. Ocel je v tahu, jedná se automaticky o průřez třídy 1, a tudíž se bude jednat o plastický návrh. Napětí při dosažení plastické únosnosti je na obrázku na další stránce.

50


Poloha neutrální osy (z rovnováhy sil): x =

2390 ⋅ 235 = 26 mm 1500 ⋅14, 2

Moment únosnosti: Mpl,Rd = 2390 · 235 · (190 – 26/2) = 99,4 · 106 Nmm = 99,4 kNm > MEd = 93,9 kNm Spřažení

Použijí se trny průměru 18 mm z oceli s mezí pevnosti fu = 340 MPa. Trny jsou rozmístěny podle obrázku, tj. 2 ks na 600 mm délky nosníku. Únosnost trnu v plné desce: PRk = 0,8 ⋅ 340 ⋅

π ⋅182 = 69216 N (rozhoduje) 4

PRk = 0, 29 ⋅1 ⋅182 25 ⋅ 30500 = 82047 N

PRk = 69, 2 kN

PRd =

69, 2 = 55, 4 kN 1, 25

Redukovaná únosnost trnu v žebrové desce, žebra kolmo k ose nosníku: kt =

0, 7 68,8 ⎛ 80 ⎞ ⋅ ⋅ ⎜ − 1⎟ = 0,578 1 50 ⎝ 50 ⎠

PRd = 0,578 ⋅ 55, 4 = 32, 0 kN

Na polovině rozpětí je potřeba přenést sílu: N cf = 2390 ⋅ 235 = 561, 6 ⋅103 N = 561, 6 kN

51


Potřebný počet trnů: nf =

561, 6 = 18 32, 0

Z obrázku na předchozí stránce je vidět, že na délce 600 mm lze (při jedné řadě trnů) na nosník umístit nejvýše dva trny, tudíž na polovině rozpětí (3000 mm) může být nejvýše 10 trnů, což je méně než požadovaných 18. Při tomto počtu trnů tedy půjde o částečné smykové spojení. Podmínka pro využití částečného spojení (čl.6.6.1.2 normy) je splněna, neboť: η=

n 10 = = 0,55 > 0, 4 nf 18

Le = 25 m > 6 m

Moment únosnosti pro IPE 180: Wpl = 166 · 103 mm3 Mpl,a,Rd = 166 · 103 · 235 = 39,0 · 10 6 Nmm = 39,0 kNm Moment únosnosti spřaženého nosníku při použití deseti trnů na polovině rozpětí bude: MRd = Mpl,a,Rd + (Mpl,Rd – Mpl,a,Rd) · η= 39,0 + (99,4 – 39,0) · 0,55 = 72,2 kNm < 93,9 kNm Nosník tudíž nevyhovuje a návrh je nutné změnit. Použijeme větší ocelový profil IPE 220: Nová poloha neutrální osy: x=

3340 ⋅ 235 1500 ⋅14, 2

= 37 mm

a momenty únosnosti: Mpl,Rd = 3340 · 235 · (210 – 37/2) = 150,3 · 106 Nmm = 150,3 kNm < 2,5·Mpl,a,Rd = = 2,5 · 67,2 = 168 kNm Mpl,a,Rd = 286·103 · 235 = 67,2 · 106 Nmm = 67,2 kNm MRd = 67,2 + (150,3 – 67,2) · 0,55 = 112,9 kNm > MEd = 93,9 kNm nosník vyhovuje Mezní stav použitelnosti

a) Průhyb při betonování desky: zatížení (γf = 1, 0) : vlastní tíha beton desky celkem

52

0,26 kN/m 2,5 · 1,55 = 3,88 kN/m 4,13 kN/m

Mezní stavy únosnosti Průhyb δ = 5gL4/384EIa = 5 · 4,13 · 60004/384 · 210000 · 27,7 · 106 = 12,0 mm Napětí σa = 4,13 · 60002/8 · 252 · 103 = 73,7 MPa b) Průhyb spřaženého nosníku (pružný výpočet):

n = Ea/Ec = 210000/(30500/2) = 13,8 e = (3340 · 110 + (50 · 1500 · 295/13,8))/(3340 + (50 · 1500/13,8)) = 225 mm I1 = 27,7 · 106 + 3 340 · 1152 + ((1500/12) · 503 + 50 · 1500 · 702) = 99,6·106 mm4 zatížení:

σa =

zbytek stálého

2,5 · (2,85 – 1,55) = 3,25 kN/m

proměnné zatížení

2,5 · 3 = 7,50 kN/m

celkem

10,75 kN/m

10, 75 ⋅ 60004 ⋅ 225 = 109,3 MPa 8 ⋅ 99, 6 ⋅106

Σσ a = 73, 7 +109,3 = 183, 0 MPa < 235 MPa

nosník je v mezním stavu použitelnosti pružný δc =

5 10, 75 ⋅ 60004 ⋅ = 8, 7 mm 384 210000 ⋅ 99, 6 ⋅106

Průhyb celkem:

δ = 12, 0 + 8, 7 = 20, 7 mm

Vliv částečného spojení na zvětšení průhybu lze v tomto případě zanedbat, neboť η = 0,55 > 0,5. Rekapitulace

Nosník IPE 220, žebrová deska 50 + 50 mm, 20 trnů celkem, průhyb 20,7 mm (lze případně zmenšit nadvýšením)

53

Mezní stavy únosnosti Příklad 6.3

Navrhněte průvlak nesoucí dva stropní nosníky z předchozího příkladu. Zatížení i materiály zůstávají stejné jako u příkladu 6.2. Žebra desky jsou rovnoběžná s osou nosníku. Průvlak nebude během montáže podepřen. Mezní stav únosnosti

Zatížení:

Fd = 20,87 ⋅ 6 = 125, 2 kN gd = 0, 4 kN / m

Moment uprostřed

1 M Ed = 125, 2 ⋅ 2,5 + ⋅ 0, 4 ⋅ 7,52 = 315,8 kNm 8

Účinná šířka betonové desky:

beff = 7500/4 = 1875 mm

Zvolíme IPE 330: Spřažený nosník v řezu je na obrázku. Vzdálenost neutrální osy od povrchu desky se určí z rovnováhy sil. Ve výpočtu neuvažujeme beton v žebrech.

Poloha neutrální osy x=

6260 ⋅ 235 = 55 mm 1 875 ⋅14, 2

Moment únosnosti pro úplné spojení: Mpl,Rd = 6260 · 235 · (265 – 50/2) = 353,0 · 106 Nmm = 353,0 kNm > 315,8 kNm Spřažení

Trny průměru 18 mm v žebrech desky podle obrázku Redukce únosnosti pro trn v podélném žebru: kt = 0, 6 ⋅

68,8 ⎛ 80 ⎞ ⋅ ⎜ − 1⎟ = 0, 495 50 ⎝ 50 ⎠

Únosnost trnu: PRd = 0, 495 ⋅ 55, 4 = 27, 4 kN

54

Mezní stavy únosnosti Síla k přenesení na kritické délce rovné polovině rozpětí: N cf = 6260 ⋅ 235 = 1471,1 ⋅103 N = 1471,1 kN

To odpovídá

nf =

1471,1 = 54 trnům na polovině rozpětí 27, 4

Budou-li trny v nejhustší možné rozteči 5d = 5 ⋅18 = 90 mm , umístí se jich na průvlak (na polovinu rozpětí) celkem n = η=

3750 = 41 a půjde tedy opět o částečné smykové spojení, neboť 90

n 41 = = 0, 76 nf 54

Pro IPE 330:

Wpl = 804 ⋅103 mm3

Mpl,a,Rd = 804 · 103 · 235 = 188,9 kNm Moment únosnosti zpraženého průřezu snížený v důsledku částečného spojení: M Rd = M pl,a,Rd + ( M pl,Rd − M pl,a,Rd ) ⋅ η = 188,9 + ( 353, 0 − 188,9 ) ⋅ 0, 76 = 313, 6 kNm ≅ 315,8 kNm

lze považovat za vyhovující. Mezní stav použitelnosti

Zatížení čerstvým betonem a vlastní tíhou nosníku (γf = 1,0) : nese IPE 330 F = 1,55 · 2,5 · 6 = 23,25 kN g = 0, 4 kN / m δa =

1 ⎡ 0,355 ⋅ F ⋅ L3 + 0, 013 ⋅ g ⋅ L4 ⎤ ⎦ E ⋅ Ia ⎣

δa =

⎡ 0, 0355 ⋅ 23250 ⋅ 75003 + 0, 013 ⋅ 0, 4 ⋅ 75004 ⎤ = 14, 7 mm ⎦ 210 ⋅10 ⋅118 ⋅106 ⎣

1

3

Zatížení spřaženého nosníku: F = ⎣⎡( 2,85 − 1,55 ) ⋅ 2,5 + 3 ⋅ 2,5⎦⎤ ⋅ 6 = 64,5 kN Průřez pro pružný výpočet (započítáme jedno žebro desky) je na obrázku. n =13,8

1 ⋅ ( 50 ⋅1875 ⋅ 405 + 50 ⋅ 68,8 ⋅ 355 ) 13,8 = e= 1 6260 + ⋅ ( 50 ⋅1875 + 50 ⋅ 68,8 ) 13,8 = 291 mm 6260 ⋅165 +

55

Mezní stavy únosnosti I1 = 118 ⋅106 + 6260 ⋅1262 +

1 ⎛ 1 875 3 68,8 3 ⎞ ⋅ 50 +1 875 ⋅ 50 ⋅1142 + ⋅ 50 + 68,8 ⋅ 50 ⋅ 642 ⎟ ⎜ 13,8 ⎝ 12 12 ⎠

I1 = 308,1⋅106 mm4 Prověříme napjatost v provozním stavu: • montážní stav:

1 M Ed = 2,5 ⋅13, 25 + ⋅ 0, 4 ⋅ 7,52 = 35, 6 kNm 8

• spřažený nosník:

M Ed = 2,5 ⋅ 64,5 = 161, 2 kNm

Napětí: • dolní vlákna ocelového nosníku: 35, 6 ⋅106

σ=

713 ⋅103

+

161, 2 ⋅106 ⋅ 291 308,1 ⋅106

= 202, 2 MPa < f y = 235 MPa

• horní vlákna betonové desky: σ=

161, 2 ⋅106 ⋅139 = 5,3 MPa < 0,85 ⋅ f ck = 0,85 ⋅ 25 = 21, 25 MPa 13,8 ⋅ 308,1 ⋅106

Nosník působí v provozním stavu pružně. Průhyb δc =

0, 0355 ⋅ 64,5 ⋅103 ⋅ 75003 = 14,9 mm 210 ⋅103 ⋅ 308,1 ⋅106

Podélná posouvající síla v krajní třetině nosníku: V ⋅S Vl = = Il

64500 ⋅

1 (1 875 ⋅ 50 ⋅114 + 68,8 ⋅ 50 ⋅ 64 ) 13,8 = 165 N / mm 308,1 ⋅106

Síla na jeden trn (rozteče 90 mm): P = 90 ⋅165 = 14850 N < PRd = 27400 N Protože současně η = 0, 76 > 0, 5 , lze vliv prokluzu ve spřažení na průhyb zanedbat. Průhyb celkem δ = δa + δc = 14, 7 +14,9 = 29, 6 mm <

56

l 7500 = = 30, 0 mm 250 250

Mezní stavy únosnosti Příklad 6.4

Nosníky z příkladu 6.2 navrhněte jako spojité 5 x 6 m. Zatížení i materiály jsou stejné jako v příkladu 6.2. Nosníky nebudou při betonování podepřeny. Mezní stav únosnosti

Uvážíme dva zatěžovací stavy:

stálé

g d = 1,35 ⋅ 2,5 ⋅ 2,85 = 9, 62 kN / m

nahodilé

qd = 1,5 ⋅ 2,5 ⋅ 3, 0 = 11, 25 kN / m

Zřejmě bude vyhovovat válcovaný nosník (pravděpodobně menší než IPE 220, potřebné pro prosté pole), který bude i u vnitřních podpor možno zařadit do třídy 1. Ohybové momenty pro nosník konstantního průřezu redistribuujeme podle tab. 5.1 normy. Výsledky jsou na obrázcích: Rozhodující momenty pro dimenzování: v poli:

M Ed = 60, 4 kNm

v podpoře:

M Ed = 51, 0 kNm

Účinná šířka desky:

• krajní pole:

beff =

• vnitřní podpora:

beff =

0,8 ⋅ 6000 4

= 1200 mm

0, 25 ⋅ 2 ⋅ 6000 4

= 750 mm

Ohybové momenty:

57

Mezní stavy únosnosti Vyzkoušíme průřez IPE 200: Průřez v poli:

x=

2850 ⋅ 235 1200 ⋅14, 2

= 39 mm

M pl,Rd = 2850 ⋅ 235 ⋅ ( 200 – 39/2 ) = 120,9 ⋅106 Nmm = 106,5 kNm > M Ed = 60, 4 kNm Průřez v podpoře: výztuž ∅ 10 mm á 200 mm; fsk = 500 MPa

Poloha neutrální osy (viz obrázek) nalezena zkusmo. Kontrola:

N a1 = N a2 + Ns N a1 = 235 ⋅ ⎡⎣850 + 62,5 + (145 – 8,5 ) ⋅ 5, 6 ⎤⎦ = 394 ⋅103 N N a2 = 235 ⋅ 2 850 – N a1 = 276 ⋅103 N Ns = 3 ⋅

π ⋅10

2

⋅ 434,8 = 102 ⋅103 N

4

394 ≅ 276 +102 poloha správná

{

}

M pl,Rd = 235 ⋅ 2 850 ⋅170 − 2 ⋅ ⎡⎣( 850 + 62,5) ⋅ 75 + 46,5 ⋅ 5, 6 ⋅102⎤⎦ = 69, 2 ⋅106 Nmm =

= 69,2 kNm ≥ 51,0 kNm

58

Mezní stavy únosnosti Kontrola zatřídění průřezu: pásnice:

c t

=

50

≤ 10 splněno

8,5

d = 159 mm

stojina:

αd = 125 mm →α= d t

=

125 159

159 5, 6

= 0,8

= 28 ≤

36 α

=

36 0,8

= 45 splněno

Průřez skutečně patří do třídy 1. Kontrola stability (klopení). Musí být dodrženy podmínky:

• stejně dlouhá pole: splněno • rovnoměrné zatížení; stálé alespoň 40 % celkového: zde 8,55/19,05 = 0,44; splněno • horní pásnice spojena s betonovou deskou: splněno • nosník IPE 200 vyhovuje tabulce z normy: splněno Všechny podmínky jsou splněny, a nosník proto není nutno kontrolovat na klopení. Spřažení

Nosník se rozdělí na úseky podle obrázku. Síly při plném smykovém spojení: úsek 1:

N cf = 2850 ⋅ 235 = 670 ⋅103 N

úsek 2:

N cf = 670 ⋅103 +102 ⋅103 = 772 ⋅103 N

atd. Potřebné počty trnů (únosnost trnu v žebru podle příkladu 6.2): úsek 1:

nf =

úsek 2:

nf =

670 32 772 32

= 21 ks = 24 ks

Použije se následující počet spřahovacích trnů (v každém žebru dvojice):

⎛ 2700 ⎞ Pro úsek 1: n = ⎜ ⎟ ⋅ 2 = 9 jde tedy opět o částečné smykové spojení, neboť ⎝ 600 ⎠ 59


η=

9 21

= 0, 43 > 0,4

Únosnost pro částečné spřažení:

Mpl,a,Rd = 220 · 235 = 51,7 kNm

IPE 200:

MRd = 51,7 + (120,9 – 51,7) · 0,43 = 81,5 kNm > 60,4 kNm Obdobně pro úsek 2: n=

3300 600

⋅ 2 = 11

η = 11 / 24 = 0, 46

MRd = 51,7 + (69,2 – 51,7) · 0,46 = 59,8 kNm > 51,0 kNm

nosník vyhovuje

Mezní stav použitelnosti

a) Průhyb při betonování Průhyb v krajním poli:

⎛ 5 ⎞ ⋅⎜ ⋅ q ⋅ L4 − 0,0625 ⋅ M ⋅ L2 ⎟ 384 ⎝ ⎠

δa =

1 E ⋅ Ia

δa =

⎛ 5 ⎞ ⋅⎜ ⋅ 4,3 ⋅ 60004 − 0,0625 ⋅16,3 ⋅106 ⋅ 60002 ⎟ = 8,8 mm 210 ⋅10 ⋅19, 4 ⋅10 ⎝ 384 ⎠ 1

3

6

b) Průhyb spřaženého nosníku

průřez v poli: 1 ⋅1200 ⋅ 50 ⋅ 275 13,8 = 206 mm 1 ⋅ (1200 ⋅ 50 ) 2850 + 13,8

2850 ⋅100 + e=

60

Mezní stavy únosnosti I1 = 19, 4 ⋅106 + 2850 ⋅1062 +

1 ⎛ 1200 3 ⎞ ⋅⎜ ⋅ 50 +1200 ⋅ 50 ⋅ 692 ⎟ = 73, 0 ⋅106 mm4 13,8 ⎝ 12 ⎠

průřez v podpoře: e=

2850 ⋅100 + 236 ⋅ 270 = 113 mm 2850 + 236

I 2 = 19, 4 ⋅106 + 2850 ⋅132 + 236 ⋅157 2 = 25, 7 ⋅106 mm 4

Součinitel z obr. 27: ⎛ Ea I1 ⎞ f1 = ⎜ ⎜ E I ⎟⎟ ⎝ a 2⎠

-0,35

⎛ 73, 0 ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 25, 7 ⎠

-0,35 = 0, 69

Největší napětí v ocelovém nosníku v provozním stavu: σa =

16,3 ⋅106 194 ⋅103

+

40, 7 ⋅106 25, 7 ⋅106

⋅13 = 263, 0 MPa > f y = 235 MPa

U vnitřní podpory dochází i v provozním stavu k plastifikaci průřezu. Protože k plastifikaci dochází až po zatvrdnutí betonu, je f 2 = 0, 7 . Redistribuce momentů:

Průhyb: δ=

⎛ 5 ⎞ ⋅⎜ ⋅10, 75 ⋅ 60004 − 0, 0625 ⋅19, 7 ⋅106 ⋅ 60002 ⎟ = 8,9 mm 384 210 ⋅10 ⋅ 73 ⋅10 ⎝ ⎠ 1

3

6

Vliv prokluzu ve spřažení není potřeba uvažovat, neboť: η > 0,5 Průhyb celkem: δ = 8,8 + 8,9 = 17, 7 mm ≤

L 6000 = = 24, 0 mm 250 250

Rekapitulace

IPE 200; žebrová deska 50+50 mm, výztuž u podpor ∅ 10 mm, průhyb 17,7 mm, 20 trnů v jednom poli spojitého nosníku. 61


6.7 Spřažené sloupy a spřažené tlačené prvky 6.7.1 Všeobecně Tvary vhodné pro spřažené ocelobetonové sloupy jsou na obr. 22. Poznamenává se, že dále uváděná ustanovení normy se dají použít jen pro sloupy z oceli tříd S235 až S460 a běžného betonu pevnostních tříd C20/25 až C50/60, u nichž je poměr δ vyjadřující příspěvek oceli, viz dále vzorec (6.38), v rozmezí: 0,2 ≤ δ ≤ 0,9

(6.27)

Únosnost spřaženého sloupu lze stanovit obecnou metodou, která se hodí pro sloupy s nesouměrným průřezem, nebo je k dispozici zjednodušená metoda, použitelná pro v praxi nejčastěji se vyskytující sloupy s dvojose souměrným průřezem. Zde se budeme zabývat pouze touto zjednodušenou metodou. Účinky lokálního vyboulení ocelové části sloupu na jeho únosnost se obecně musí vzít v úvahu, dodrží-li se ale rozměry podle tab. 10, k vyboulení nedojde.

(a)

(b)

(d)

(e)

Obr. 22 Typické průřezy spřažených sloupů a značení

62

(c)

(f) [obr. 6.17]

Mezní stavy únosnosti Tab. 10 Největší hodnoty poměrů (d / t ), (h / t ) a (b / t f ), kde f y je v N/mm2 Průřez

[tab. 6.3]

max (d / t ), max (h / t ) a max (b / t )

Duté kruhové ocelové průřezy max (d / t ) = 90

235 fy

Duté pravoúhlé ocelové průřezy max (h / t ) = 52 235 fy

Částečně obetonované průřezy max (b / t f ) = 44 235 fy

6.7.2 Obecná metoda navrhování Obecná metoda je popsána v normě, ale v praxi se obvykle vystačí se zjednodušeným postupem.

6.7.3 Zjednodušená metoda návrhu Použití této metody je omezeno na prvky s dvojose souměrným a prizmatickým průřezem a pro sloupy, jejichž poměrná štíhlost splňuje podmínku:

λ ≤ 2,0

(6.28)

a poměr výšky h c ku šířce b c průřezu je v rozmezí 0,2 ≤ hc / bc ≤ 5,0.

63

Mezní stavy únosnosti U plně obetonovaných ocelových průřezů podle obr. 22 a má tloušťka krytí betonem splnit následující omezení: max cz = 0,3 h

max cy = 0,4 b

(6.29)

Podélná betonářská výztuž, kterou lze ve zjednodušené metodě stanovení únosnosti započítat, nemá být větší než 6 % plochy betonu. Je-li větší, započítá se bezpečně jen 6 %. Únosnost spřaženého průřezu v tlaku se určí plastickým výpočtem jako součet únosností jeho částí: Npl,Rd = Aafyd + 0,85Acfcd + Asfsd

(6.30)

Výraz (6.30) se použije u obetonovaných a částečně obetonovaných ocelových profilů. Pro duté průřezy vybetonované uvnitř se součinitel 0,85 nahradí 1,0. Únosnost spřaženého průřezu při současném působení tlaku a ohybu lze vypočítat za předpokladu obdélníkových průběhů napětí podle obr. 23 (všechna vlákna oceli dosahují fyd, resp. fsd u výztuže, u tlačeného betonu je dosažena hodnota 0,85fcd). Pro měnící se poměr síly a momentu lze určit interakční závislost. Za povšimnutí stojí, že největší únosnost v ohybu je spojena s určitým předpětím normálovou silou, viz bod D na obr. 24. To způsobuje beton ve spřaženém průřezu. Na obr. 23 je ještě vyznačen stav, kdy je stojina ocelového průřezu částečně vytížena smykem, jak se probíralo u nosníků. Ve skutečnosti ale je u sloupů smyk zpravidla zanedbatelný.

Obr. 23 Interakční závislost při působení tlaku a ohybu v jedné rovině

[obr. 6.18]

Interakční křivku lze pro obvyklé průřezy najít v odborné literatuře (u nás např. [7]), případně ji lze nahradit polygonem z obr. 24, kde se vpravo ukazují příklady rozdělení napětí pro plně obetonovaný ocelový průřez a typické body A až D. Polygon lze získat výpočtem „v ruce“, zatímco určit plynulou křivku je pracnější, dostane se postupným posouváním polohy neutrální osy v průřezu. Závislost lze ale jednoduše zprogramovat. Již bylo zmíněno, že síla v tlačeném betonu Npm,Rd uvedená na obr. 24 se stanoví jako 0,85fcdAc pro plně obetonované i pro částečně obetonované průřezy a jako fcdAc pro betonem vyplněné duté průřezy. Pro betonem vyplněné kruhové ocelové trubky lze navíc 64

Mezní stavy únosnosti do výpočtu zahrnout ještě známé zvětšení pevnosti betonu v důsledku ovinutí. Vliv ovinutí lze ale využít jen u málo štíhlých sloupů ( λ ≤ 0,5) centricky tlačených nebo tlačených s velmi malou excentricitou působící síly (e/d ≤ 0,1), kde d je vnější průměr sloupu. Plastická únosnost spřaženého průřezu potom může být vypočítána ze vztahu: ⎛ t fy ⎞ N pl,Rd = ηa Aa f yd + Ac fcd ⎜1 + ηc ⎟ + As f sd d f ck ⎠ ⎝

(6.33)

kde t je tloušťka stěny ocelové trubky.

Obr. 24 Zjednodušená interakční křivka a odpovídající rozdělení napětí v průřezu [obr. 6.19] Pro prvky namáhané centrickým tlakem (e = 0) jsou hodnoty ηa = ηao a ηc = ηco dány následujícími výrazy:

ηao = 0,25 (3 + 2 λ ) ηco = 4,9 – 18,5 λ + 17 λ

(ale ≤ 1,0)

(6.34)

(ale ≥ 0)

(6.35)

2

Pro prvky namáhané tlakem a ohybem (0 ≤ e / d ≤ 0,1) se hodnoty ηa a ηc vypočítají ze vztahů:

ηa = ηao + (1 – ηao) (10 e/d)

(6.36)

ηc = ηco (1 – 10 e/d)

(6.37)

Pro e / d > 0,1 platí ηa = 1,0 a ηc = 0. Vliv příčných smykových sil na únosnost sloupu v tlaku se dá zpravidla vždy zanedbat. Pokud ne, postupuje se stejně jako u nosníků.

65

Mezní stavy únosnosti Již dříve zmíněný poměr δ vyjadřující příspěvek oceli na celkové únosnosti spřaženého průřezu je definován vztahem:

δ =

Aa f yd

(6.38)

N pl,Rd

kde Npl,Rd je

plastická únosnost v tlaku.

Při stanovení únosnosti štíhlého sloupu je vždy nutné uvážit možnost vybočení. Postupuje se stejně jako u ocelových sloupů, tzn. že se poměrná štíhlost λ v rovině vybočení určí vztahem

λ =

N pl,Rk

(6.39)

N cr

kde Npl,Rk je Ncr

charakteristická hodnota plastické únosnosti v tlaku podle (6.30), kde se místo návrhových hodnot pevností použijí hodnoty charakteristické (neboli všechny součinitele γ se položí rovny 1,0); pružná kritická síla pro odpovídající tvar vybočení, vypočítaná s použitím účinné ohybové štíhlosti (E I )eff , určené podle (6.40).

Charakteristická hodnota účinné ohybové tuhosti (E I )eff průřezu spřaženého sloupu se vypočítá ze vztahu: ( E I )eff = Ea I a + Es I s + K e Ecm I c

kde Ke je Ia, Ic a Is

(6.40)

opravný součinitel, který má hodnotu 0,6. jsou momenty setrvačnosti plochy oceli, betonu bez trhlin a výztuže pro uvažovanou rovinu ohybu.

Pokud je potřeba rozlišit vliv dlouhodobých účinků na účinnou pružnou ohybovou tuhost, zredukuje se modul pružnosti betonu Ecm na hodnotu Ec,eff podle vztahu: Ec,eff = Ecm

kde ϕ t je NEd NG,Ed

1 1 + ( N G,Ed N Ed ) ϕ t

(6.41)

součinitel dotvarování podle kap. 5.4.2.; celková návrhová normálová síla; stálá složka této normálové síly.

Pro ověření únosnosti sloupu se obecně má použít pružná analýza druhého řádu. Zjednodušeně to lze obejít tím, že se pružná kritická síla vypočítá z ohybové tuhostí (E I )eff,II podle vztahu:

(

( E I )eff,II = K o Ea I a + Es I s + K e,II Ecm I c

kde Ke,II je Ko 66

)

opravný součinitel, který má hodnotu 0,5; kalibrační součinitel, který má hodnotu 0,9.

(6.42)

Mezní stavy únosnosti Účinky druhého řádu se vyjádří vynásobením největšího návrhového ohybového momentu M E d (určeného podle teorie prvního řádu) součinitelem k, vypočítaným ze vztahu: k =

β 1 − N Ed N cr,eff

kde Ncr,eff

β

≥ 1, 0

(6.43)

je kritická normálová síla pro příslušnou osu a účinnou ohybovou tuhost, kdy se za vzpěrnou délku považuje délka sloupu; součinitel ekvivalentního momentu podle tab. 11.

Tab. 11 Součinitele β pro určení momentů při teorii druhého řádu

[tab. 6.4]

Součinitel β

Poznámka

Ohybový moment prvního řádu plynoucí z imperfekce prutu nebo příčného zatížení:

MEd je největší ohybový moment na délce sloupu, při zanedbání vlivů druhého řádu

Průběh momentu

β = 1,0

Koncové momenty:

β = 0,66 + 0 ,44 r ale

MEd a r MEd jsou koncové momenty z globální analýzy prvního nebo druhého řádu

β ≥ 0 ,44

Posouzení tlačeného sloupu namáhaného silou NEd se provede tak, že se prověří podmínka: N Ed

χ N pl,Rd kde Npl,Rd je

χ

≤ 1, 0

(6.44)

plastická únosnost spřaženého průřezu; součinitel vzpěrnosti pro odpovídající tvar vybočení podle ČSN EN 19931-1, určený v závislosti na poměrné štíhlosti λ .

67

Mezní stavy únosnosti Odpovídající křivky vzpěrné pevnosti jsou pro průřezy ocelobetonových sloupů uvedeny v tab. 12, kde ρs značí poměr As/Ac. Působí-li současně s tlakovou silou i moment M Ed, musí platit: M Ed M Ed = ≤ αM µd M pl,Rd M pl,N,Rd

(6.45)

kde M Ed je větší z koncových ohybových momentů a největšího momentu na sloupu; M pl,N,Rd plastická únosnost v ohybu, stanovená s vlivem síly N Ed, tzn. že se rovná µ d M pl,Rd, viz obr. 23; M pl,Rd plastická únosnost v ohybu odpovídající bodu B na obr. 24. Pro oceli pevnostních tříd S235 a S355 se součinitel α M uvažuje hodnotou 0,9, pro oceli S420 a S460 má hodnotu 0,8. Hodnota µ d = µ dy nebo µ dz se podle obr. 25 vztahuje k návrhovému plastickému momentu únosnosti pro rovinu uvažovaného ohybu. Hodnoty µ d větší než 1,0 lze použít jen v tom případě, že ohybový moment přímo závisí na působení normálové síly N Ed, například když moment MEd plyne z excentricity síly NEd.

Obr. 25 Návrh na tlak a ohyb ve dvou rovinách

68

[obr. 6.20]

Mezní stavy únosnosti Tab. 12 Křivky vzpěrnosti a prutové imperfekce pro spřažené sloupy Průřez

Omezení

[tab. 6.5]

Osa vybočení

Křivka vzpěrnosti

Imperfekce prvku

y–y

b

L / 200

z–z

c

L / 150

y–y

b

L / 200

z–z

c

L / 150

libovolná

a

L / 300

libovolná

b

L / 200

y–y

b

L / 200

z–z

b

L / 200

libovolná

b

L / 200

Obetonovaný průřez

Částečně obetonovaný průřez

Kruhový nebo pravoúhlý dutý ocelový průřez

ρs ≤ 3 %

3 % < ρs ≤ 6 % Kruhový dutý ocelový průřez s přidaným I profilem

Částečně obetonovaný křížový průřez z I průřezů

69

Mezní stavy únosnosti Působí-li kromě síly i momenty v obou hlavních rovinách, postupuje se následovně (viz obr. 25): M y,Ed µdy M pl,y,Rd M y,Ed µdy M pl,y,Rd

≤ αM,y

+

M z,Ed µdz M pl,z,Rd

kde M pl,y,Rd a M pl,z,Rd M y,Ed a M z,Ed µ dy a µ dz α Mz a α My

jsou

M z,Ed µdz M pl,z,Rd

≤ αM,z

(6.46)

≤ 1, 0

(6.47)

plastické únosnosti v ohybu pro příslušné roviny; návrhové ohybové momenty; podle obr. 25; podle obr. 25.

6.7.4 Smykové spojení a vnášení zatížení Pro osově zatížené sloupy zpravidla není potřeba zabývat se přenosem podélného smyku mezi ocelovou a betonovou částí sloupu. Ožehavá je pouze oblast vnášení zatížení, kde se musí dbát na správný a plynulý roznos sil. Norma poskytuje dostatečné podklady pro posouzení této oblasti.

6.7.5 Konstrukční ustanovení Pro plně obetonované ocelové průřezy se musí provést alespoň minimální krytí betonem. U pásnice plně obetonovaného ocelového průřezu to má být aspoň 40 mm, nebo jedna šestina šířky pásnice b . Krytí výztuže má odpovídat ČSN EN 1992-1-1. Podélná výztuž obetonovaných sloupů, která se započítává při stanovení únosnosti průřezu, má mít plochu rovnou nejméně 0,3 % plochy betonu. U trubek vyplněných betonem není podélná výztuž potřeba; používá se ale u sloupů, u nichž se požaduje výrazně dlouhá doba požární odolnosti. Příklad 6.5

Posuďte oboustranně kloubově uložený sloup délky L = 5 m, centricky zatížený silou NEd = 1600 kN. Sloup tvoří trubka ∅ 245×7 z oceli S235, vyplněná betonem C25/30. Průřezové hodnoty:

Aa = 5230 mm2

Ia = 37,1·106 mm4

Ac = 41910 mm2

Ic = 139,8·106 mm4

Poměr d/t = 35 ≤ 90 vyhovuje z hlediska lokálního boulení pláště před vybetonováním (tab. 10). Návrhové pevnosti (bez vlivu ovinutí betonu, protože zjevně jde o štíhlý sloup s λ ≥ 0,5 ): fyd = fy/γa = 235/1,0 = 235 MPa fcd = fck/γc = 25/1,5 = 16,7 MPa 70

Mezní stavy únosnosti Návrhová únosnost spřaženého průřezu: Npl,Rd = Aafyd + Acfcd = 5230 · 235 + 41910 · 16,7 = 1929 kN Charakteristická únosnost (dtto jako návrhová, pouze se součiniteli γ = 1,0): Npl,Rk = Aafy + Acfck = 5230 · 235 + 41910 · 25 = 2277 kN Ohybová tuhost: (EI)eff = EaIa + Ke EcmIc = 210000 · 37,1 · 106 + 0,6 · 30500 · 139,8 · 106 = = 10,349 · 1012 Nmm2 Kritická síla: Ncr = π2· (EI)eff /L2 = π2 · 10,349 · 1012/50002 = 4140 kN Štíhlost: λ=

2276 ⋅103 4140 ⋅103

= 0, 74

Součinitel vzpěrnosti (křivka a) χ = 0,83 Únosnost sloupu:

χNpl,Rd = 0,83 · 1929 = 1601 kN > 1600 kN Sloup vyhovuje. Příklad 6.6

Sloup z předchozího příkladu je zatížen silou NEd = 1200 kN a momentem (vypočítaným teorií prvního řádu) MEd podle obrázku. Posuďte, jestli sloup pro tuto kombinaci zatížení tlakem a ohybem vyhoví. Poměr momentů r = 20/50 = 0,4 Součinitel ekvivalentního momentu pro výpočet momentů s vlivem druhého řádu β = 0,66 + 0,44r = 0,66 + 0,44 · 0,4 = 0,836 k = β/(1 – (NEd/Ncr,eff )) = 0,836/(1 – (1200/3526)) = 1,267

(

)

( E I )eff,II = K o Ea I a + Es I s + K e,II Ecm I c = 0,9 (210000 · 37,1 · 106 + 0,5 · 30500 · 139,8 · 106) = 8,931 · 1012 Nmm2

Ncr,eff = π2· (EI)eff,II /L2 = π2 · 8,931 · 1012/50002 = 3526 kN MEd,II = k MEd = 1,267 · 50 = 63,35 kNm Nyní stanovíme únosnost dutého ocelového průřezu vyplněného betonem v ohybu. Nejprve určíme průřezový modul samotného ocelového průřezu 71

Mezní stavy únosnosti Wpl,a = t3(d/t – 1)2 = 73 (245/7 – 1)2 = 396 · 103 mm3 Moment únosnosti Mpl,Rd = Wpl,a fyd (1 + 0,01ψ) = 396 · 103 · 235 (1 + 0,01 · 12,17) = 104,4 kNm kde ψ je součinitel z publikace [3], převzatý je také v [7] v podobě tabulky nebo grafu Pro fcd/fyd = 16,7/235 = 0,07

a d/t = 245/7 = 35 součinitel vychází ψ = 12,17

72

Mezní stavy únosnosti Interakce tlaku a ohybu se posoudí podle vztahu MEd /µd · Mpl,Rd ≤ αM

Součinitel µd lze odečíst z grafu převzatého z [7] pro pomocnou hodnotu

δ = Aa fyd/Npl,Rd = 5230 · 235/1929 · 103 = 0,637 a poměr NEd/Npl,Rd = 1200/1929 = 0,62 Pro tento případ bude µd = 0,71 Sloup vyhovuje, neboť současně platí: NEd = 1200 kN ≤ 1601 kN MEd/µd · Mpl,Rd ≤ αM Po dosazení 63,35/0,71 · 104,4 = 0,85 ≤ αM = 0,9 Příklad 6.7

Sloup tvořený obetonovaným svařovaným I profilem je dlouhý 5 m a na obou koncích je kloubově podepřen. Je zatížen silou NEd = 3850 kN, působící s excentricitou ey = ez = 100 mm. Sloup je z oceli s mezí kluzu fy = 335 MPa a betonu s fck = 30 MPa, Ecm = 32000 MPa. Výztuž 4∅25 má mez kluzu fsk = 450 MPa. Posuďte, zda sloup pro dané zatížení vyhovuje.

73

Mezní stavy únosnosti Průřezové veličiny: Aa = 17500 mm2

Plochy:

Ac = 18500 mm2 As = 1963 mm2 Momenty setrvačnosti: k ose y:

k ose z: 6

Návrhové pevnosti:

f yd = f sd =

fy γa

=

4

Ia = 297 · 10 mm

Ia = 112,5 · 106 mm4

Is = 67 · 106 mm4

Is = 67 · 106 mm4

Ic = 3 120 · 106 mm4

Ic = 3305 · 106 mm4

355 = 355 MPa 1, 0

f sk 450 = = 391, 0 MPa γs 1,15

0,85 f cd =

0,85 ⋅ f ck 0,85 ⋅ 30 = = 17, 0 MPa γc 1,5

Únosnost průřezu při centrickém tlaku: N pl.Rd = 17500 ⋅ 355 +185000 ⋅17 +1963 ⋅ 391 = 10125 ⋅103 N = 10125 kN N pl.R = 17500 ⋅ 355 +185000 ⋅ 0,85 ⋅ 30 +1963 ⋅ 450 = 11813 ⋅103 N = 11813 kN

Ohybová tuhost: • kolmo k ose y: ( EI )e = 210000 ⋅ (297 + 67) ⋅106 + 0, 6 ⋅ 32000 ⋅ 3120 ⋅106 = 139 ⋅1012 Nmm 2

• kolmo k ose z: ( EI )e = 210000 ⋅ (112,5 + 67) ⋅106 + 0, 6 ⋅ 32000 ⋅ 3305 ⋅106 = 104 ⋅1012 Nmm 2

Kritická síla: • vybočení kolmo k ose y: N cr =

74

π 2 ⋅139 ⋅1012 5000

2

= 54875 ⋅103 N

kolmo k ose z: N cr =

π 2 ⋅104 ⋅1012 5000

2

= 41057 ⋅103

N

Mezní stavy únosnosti Štíhlost (rozhoduje vybočení kolmo k ose z): λ=

11813 = 0,54 41057

Únosnost v centrickém tlaku:

χ = 0,820

(z křivky c)

0,820 ⋅10125 = 8302 kN > 3850 kN

Únosnost průřezu v ohybu: a) ohyb ve směru stojiny ocelového průřezu (průběh napětí na obrázku) podmínka pro neutrální osu: N c + N a1 + N s = N a2 + N s hledáme x za předpokladu, že osa prochází stojinou

(300 ⋅ 25 +10 ⋅ x) ⋅ 355 + (450 ⋅ 75 +150 ⋅ 25 + 440 ⋅ x) ⋅17 = ⎡⎣300 ⋅ 25 + ( 250 – x ) ⋅10 ⎤⎦ ⋅ 355 x = 17 mm M pl.Rd = 355 ⋅ (300 ⋅ 25 ⋅ 245,5 + 233 ⋅10 ⋅116,5 +17 ⋅10 ⋅ 8,5 + 300 ⋅ 25 ⋅ 29,5) + +17 ⋅ (450 ⋅ 75 ⋅ 79,5 +150 ⋅ 25 ⋅ 29,5 + 440 ⋅17 ⋅ 8,5) + 391 ⋅1963 ⋅ 0,5 ⋅ (300 + 70) = = 1019 ⋅106 Nmm = 1019 kNm

b) ohyb ve směru pásnic poloha neutrální osy (předpoklad, že osa prochází pásnicemi podle obrázku) N c + N a1 = N a2 450 ⋅ x ⋅17 + 2 ⋅ 25 ⋅ (x − 75) ⋅ 355 = [17 500 − 2 ⋅ 25 ⋅ (x − 75) ] ⋅ 355 x = 206 mm M pl.Rd = 355 ⋅ (2 ⋅169 ⋅ 25 ⋅ 84,5 + 250 ⋅10 ⋅19 + 2 ⋅131 ⋅ 25 ⋅ 65,5) + + 17 ⋅ 450 ⋅ 206 ⋅103 + 391 ⋅ 0,5 ⋅1963 ⋅ (210 + 160) = = 727 ⋅106 Nmm = 727 kNm

Působí momenty prvního řádu: M y,Ed = M z,Ed = N Ed ⋅ e = 3850 ⋅ 0,1 = 385 kNm 75

Mezní stavy únosnosti Zvětšení momentu při vybočení kolmo k ose z: Mz,Ed,II = k · Mz,Ed (rozhoduje) součinitel k =

1 1 = = 1,14 N Ed 3850 1− 1− 31300 N cr

( E I )eff,II = K o ( Ea I a + Es I s + K e,II Ecm I c ) = = 0,9 (210000 · (112,5 + 67) · 106 + 0,5 · 30500 · 3305 · 106) = 79,286 · 1012 Nmm2 Ncr,eff = π2 · (EI)eff,II /L2 = π2 · 79,286 · 1012/50002 = 31300 kN Mz,Ed,II = 1,14 · 385 = 439 kNm Poměr δ =

Aa ⋅ f yd N pl.Rd

N Ed N pl.Rd

=

=

3850 10125

17500 ⋅ 355 10125 ⋅103

= 0, 61

= 0, 38

Hodnoty µ z interakčních čar (schematicky, číselně odečteno z grafů publikace [7]):

vybočení kolmo k ose y

vybočení kolmo k ose z

Posouzení sloupu na účinky momentů: My , Ed

µ y ⋅ M pl,Rd

+

M z,Ed

µz ⋅ M pl,Rd

≤ 1, 0

385 439 + ≤ 1, 0 1, 03 ⋅1019 1, 0 ⋅ 727

0,37 + 0,60 = 0,97 < 1,0

76

vyhovuje


6.8 Únava 6.8.1 Všeobecně U konstrukcí namáhaných opakovaně se měnícím napětím se musí prověřit únosnost spřažené konstrukce na únavu. Prakticky se nejčastěji jedná o prověření spřahovacích trnů, kde největší smyková síla na jeden trn způsobená charakteristickým zatížením nemá být větší než 0,75PRd. Ostatní části pozemní spřažené konstrukce zpravidla na únavu vyhovují. Jiná situace je u ocelobetonových mostů, kde je posouzení na únavu nezbytné i u konstrukční oceli, případně i u výztuže.

6.8.2 Dílčí součinitele pro únavové posouzení pozemních staveb Dílčí součinitel γ Mf pro návrhovou únavovou pevnost je pro spřahovací trny s hlavou namáhané smykem roven 1,0. Stejně tak dílčí součinitel γ Ff pro únavové zatížení je roven 1,0.

6.8.3 Únavová pevnost Únavová pevnost trnů s hlavou ∆ τ R je vynesena na obr. 26. V závislosti na počtu cyklů zatížení N a pro běžný beton je dána rovnicí: (∆τR)m NR = (∆τc)m Nc

Obr. 26 Křivka únavové pevnosti pro trny s hlavou v plných deskách kde ∆ τ R je

∆τc m NR

(6.50)

[obr. 6.25]

únavová pevnost ve smyku vztažená k ploše průřezu dříku trnu vypočítané ze jmenovitého průměru d; referenční hodnota pro Nc = 2 miliony cyklů; ∆ τ c = 90 N/mm2; sklon křivky únavové pevnosti s hodnotou m = 8; skutečný počet cyklů rozkmitu napětí.

6.8.4 Vnitřní síly a únavové zatížení Vnitřní síly a momenty se při posuzování únavy určí pružnou analýzou konstrukce. Největší a nejmenší ohybové momenty získané pružným výpočtem se označí jako MEd,max,f a MEd,min,f. 77


6.8.5 Napětí Vypočítá se rozkmit napětí v trnech. Je-li potřeba vypočítat i rozkmity napětí v betonu, výztuži a konstrukční oceli, je při výpočtu napětí v oceli možno zanedbat vliv tahového zpevnění betonu. Pro určení napětí v betonu či výztuži norma upřesňuje, jak lze toto zpevnění do výpočtu zahrnout.

6.8.6 Rozkmity napětí Jsou-li známa největší a nejmenší napětí v konstrukčním prvku, lze rozkmit napětí ∆ σ E určit ze vztahu:

∆σ E = λ φ σ max,f − σ min,f

(6.52)

kde σ max,f a σ min,f jsou maximální a minimální napětí; λ je součinitel ekvivalentního poškození; φ dynamický součinitel ekvivalentního poškození. Pro pozemní stavby se může pro konstrukční ocel tento rozkmit ∆ σ E uvažovat jako rozkmit ∆ σ E,2 ve smyslu ČSN EN 1993-1-9 a pro výztuž jako rozkmit ∆ σ s,equ ve smyslu ČSN EN 1992-1-1. Součinitel ekvivalentního poškození λ je pro pozemní stavby obecně definován v ČSN EN 1993-1-9 a v dalších příslušných částech ČSN EN 1993 pro ocelové prvky a v ČSN EN 1992 pro výztuž. U spřahovacích trnů je ekvivalentní konstantní rozkmit smykového napětí ∆ τ E,2, odpovídající 2 milionům cyklů, dán vztahem:

∆τE,2 kde λ v

∆τ

je

=

λv∆τ

(6.54)

součinitel ekvivalentního poškození závisející na spektru a sklonu m křivky únavové pevnosti; rozkmit smykového napětí způsobený únavovým zatížením vztažený k ploše průřezu dříku trnu vypočítané ze jmenovitého průměru d.

Součinitel ekvivalentního poškození λv je zatím určen jen pro ocelobetonové mosty. Pro pozemní konstrukce namáhané opakovaně je proto nutné použít Přílohu A ČSN EN 1993-1-9. Předpokladem pro únavové posouzení je, že je známa historie napětí v trnu, tzn. že je znám rozkmit napětí v patě trnu. Tento rozkmit je při působení harmonického zatížení (např. působení nevyváženého točivého stroje) také harmonický a lze s ním přímo podle přílohy pracovat. Není-li historie harmonická, je nutné ji některou z třídicích metod (nejčastěji rain flow) na harmonickou převést. Působí-li na trn více rozkmitů rozdílné velkosti, použije se známá kumulativní teorie Palmgrena – Minera. Používá se přitom únavová křivka z obr. 26.

6.8.7 Únavové posouzení založené na rozkmitu jmenovitých napětí Únavové posouzení výztuže, betonu a konstrukční oceli se provede podle příslušných norem, v praxi ale toto posouzení zpravidla není rozhodující pro dimenze konstrukce. 78

Mezní stavy únosnosti Pro spřahovací trny přivařené k ocelové pásnici, která je při působení příslušného zatížení stále tlačena, musí platit:

γ Ff ∆τ E,2 ≤ ∆τ c / γ Mf,s kde ∆ τ E,2

∆τc

(6.55)

je definován v kap. 6.8.6; referenční hodnota únavové pevnosti pro 2 miliony cyklů určená podle kap. 6.8.3.

Je-li největší napětí v pásnici, k níž je přivařen spřahovací trn, při příslušném zatížení tahové, má se ještě navíc ověřit interakce rozkmitu smykového napětí ∆ τ E ve svaru trnu a rozkmitu normálového napětí v pásnici ∆ σ E podle následujících vztahů:

γ Ff ∆σ E,2 γ ∆τ + Ff E,2 ≤ 1,3 ∆σ c / γ Mf ∆τ c / γ Mf,s

(6.56)

γ Ff ∆σ E,2 ≤ 1, 0 ∆σ c / γ Mf

(6.57)

kde ∆ σ E,2

∆σc

γ Ff ∆τ E,2 ≤ 1, 0 ∆τ c / γ Mf,s

je rozkmit napětí v pásnici podle kap.6.8.6; referenční hodnota únavové pevnosti daná v ČSN EN 1993-1-9 pro kategorii 80.

79

6 Mezní stavy únosnosti

Recommend Documents