6 Mezní stavy použitelnosti

Mezní stavy použitelnosti

6 Mezní stavy použitelnosti 6.1 Použitelnost a trvanlivost Konstrukce musí být únosná a použitelná po dobu své provozní životnosti, a to bez významné ztráty funkčnosti nebo nadměrné, popř. nepředpokládané údržby. Mezní stavy použitelnosti se týkají: funkce konstrukce nebo jejích nosných prvků za běžného užívání, pohody osob, vzhledu stavby. V mezních stavech použitelnosti se tedy prokazují vlastnosti konstrukce s přihlédnutím k provozu a požadované trvanlivosti (životnosti) konstrukce. Posuzování mezních stavů je důležité zvláště v poslední době, kdy se používají kvalitní materiály (beton i ocel s vysokými pevnostmi), které umožňují navrhovat subtilní konstrukce (v mezních stavech únosnosti). Při ověřování mezních stavů použitelnosti se má vycházet z kritérií, týkajících se následujících hledisek:  poškození, která mohou nepříznivě ovlivnit vzhled, trvanlivost, provozuschopnost konstrukce;  vzniku nebo rozevření trhlin, které vedou ke snížení užitných vlastností konstrukce, jako je např. nepropustnost, nebo ke snížení životnosti konstrukce z důvodu oslabení výztuže korozí;  deformací konstrukce, které ovlivňují vzhled konstrukce, pohodu uživatelů nebo provozuschopnost konstrukce, nebo které způsobují poškození povrchových úprav nebo nenosných prvků;  kmitání (vibrace), která způsobují nepohodu osob nebo ohrožují jejich zdraví, nebo která omezují funkční způsobilost konstrukce. Pro zajištění trvanlivosti konstrukce je nutné dodržet i celou řadu dalších požadavků, týkajících se např. kvality, hutnosti a tloušťky krycí vrstvy betonu, konstrukčních úprav atd., protože zatím se tyto věci neověřují výpočtem, ale jsou předepsány v normách ve formě požadavků. Mezi obvyklé mezní stavy použitelnosti se řadí:    

mezní stav omezení napětí; mezní stav vzniku trhlin, mezní stav šířky trhlin; mezní stav přetvoření; mezní stav kmitání (v ČSN EN 1992-1-1 [11] není uvažován).

Navrhování podle mezních stavů použitelnosti musí vycházet z odpovídajících modelů konstrukce a zatížení. Při výpočtu se uplatňují následující kombinace zatížení:  charakteristická, která se používá obvykle pro nevratné mezní stavy použitelnosti (mezní stavy, které zůstanou překročeny, i když je odstraněno zatížení, které bylo příčinou tohoto překročení);  častá, která se používá obvykle pro vratné mezní stavy použitelnosti (mezní stavy, které nezůstanou překročeny, jestliže se odstraní zatížení, které jejich překročení vyvolalo);  kvazistálá, která se používá většinou pro kontrolu mezních stavů použitelnosti týkajících se důsledků dlouhodobých účinků a vzhledu konstrukce. 156

Mezní stavy použitelnosti

6.2 Omezení napětí v betonu a ve výztuži 6.2.1 Vznik trhlin Při výpočtu napětí je rozhodující, zda se při působení charakteristických zatížení očekává nebo neočekává vznik trhlin. Oslabení trhlinami je třeba uvažovat, největší tahové napětí betonu v průřezu bez trhliny překročí efektivní hodnotu pevnosti betonu v tahu, tzn. v případě, kdy

 c > fct,eff

(6.1)

Hodnota fct,eff se obvykle uvažuje hodnou fctm, což je střední hodnota pevnosti betonu v tahu (viz kap. 2), popř. fctm,fl, což je střední hodnota pevnosti betonu v tahu za ohybu (viz kap. 2), za předpokladu, že při výpočtu minimální plochy výztuže byla použita stejná hodnota.

6.2.2 Výpočet napjatosti V průřezu bez trhliny se předpokládá plné působení betonového průřezu a pružné chování betonu i výztuže v tahu i v tlaku. Při výpočtu veličin ideálního průřezu se uvažuje poměr

e 

Es Ecm

(6.2)

kde Es je modul pružnosti betonářské výztuže (Es = 200 000 MPa); Ecm střední hodnota sečnového modulu pružnosti betonu (viz kap. 2). Při výpočtu veličin ideálního průřezu bez trhliny máme plochu výztuže As správně uvažovat jako přidanou plochu betonového průřezu (e – 1) As v úrovni těžiště výztuže, neboť plocha výztuže je již jednou zahrnuta v ploše průřezu; v praxi se však často uvažuje přidaná plocha betonového průřezu přibližně e As.

Obr. 6.1 Veličiny průřezu bez trhliny

157

Mezní stavy použitelnosti Veličiny ideálního obdélníkového průřezu (obr. 6.1) jsou:  plocha ideálního průřezu Ai  Ac   e  1 As1  As2 

(6.3a)

 vzdálenost těžiště ideálního průřezu od horního okraje agi   Ac ac   e  1 As1 d  As2 d 2   / Ai

(6.3b)

 moment setrvačnosti ideálního průřezu k jeho těžišti 2 2 2 I i  I c  Ac  agi  ac    e  1  As1  d  agi   As2  agi  d 2    

kde Ac je As1 As2 ac Ic

(6.3c)

plocha betonové části průřezu; průřezová plocha tažené nebo méně tlačené (dolní) betonářské výztuže; průřezová plocha tlačené nebo méně tažené (horní) betonářské výztuže; vzdálenost těžiště betonového průřezu od tlačeného nebo méně taženého okraje průřezu; moment setrvačnosti betonové části průřezu k jeho těžišťové ose.

Při výpočtu napětí se má kromě účinků vnějšího zatížení přihlížet i k účinkům dotvarování a smršťování betonu, podle povahy případu i k jiným nepřímým zatížením, jako je například účinek teploty, která mohou výsledná napětí významně ovlivnit. Napětí betonu v krajních vláknech průřezu namáhaného normálovou silou Nk (tlak se záporným znaménkem) a ohybovým momentem Mk vztaženým k těžišti ideálního průřezu (kladný moment vyvozuje tah ve spodních vláknech) určíme (viz obr. 6.1) podle vztahů  c2 

 c1 

Nk Ai Nk Ai





M k agi Ii



M k h  agi



Ii

v horních vláknech

(6.4a)

v dolních vláknech

(6.4b)

Trhliny nevzniknou, pokud platí

 c1  f ct,eff a  c2  f ct,eff

(6.5)

Je-li na obou okrajích taženého průřezu splněna podmínka  c1  f ct,eff a  c2  f ct,eff , jde o mimostředný tah s malou výstředností a ideální průřez pro výpočet napětí s1 a s2 je tvořen pouze výztuží. Průřez s trhlinou se uvažuje, pokud pro napětí v krajních betonových vláknech vypočtená na plně působícím průřezu podle vztahů (6.4) platí

 c1  f ct,eff a  c2  0 resp. 158

(6.6a)

Mezní stavy použitelnosti  c2  f ct,eff a  c1  0

(6.6b)

V tažené oblasti průřezu beton nepůsobí, napětí v tlačené části průřezu a ve výztuži je úměrné rovinnému přetvoření průřezu (obr. 6.2).

Obr. 6.2 Veličiny průřezu s trhlinou za ohybu nebo tahu a tlaku s velkou výstředností Lze napsat podmínku přetvoření

 s1 d  x  x c

popř.

 s2 x  d 2  x c

(6.7a)

 podmínku rovnováhy osových sil N k  Fs1  Fs2  Fcc

(6.7b)

 a momentovou podmínku k hornímu okraji průřezu N k e  Fs1 d  Fs2 d 2  Fcc

x 3

(6.7c)

kde e je vzdálenost výslednice síly Nk od horního okraje průřezu. Pro obdélníkový průřez platí Fcc  0,5 b x  c Ecm Fs1  As1  s1 Es Fs2  As2  s2 Es

Po dosazení do vztahů (6.7) obdržíme po úpravě kubickou rovnici pro výpočet výšky x tlačené části průřezu

159

Mezní stavy použitelnosti 3

2

x  3e x 

6 e b

 As1  e  d   As2  e  d 2  x 

6 e b

 As1 d  d  e   As2 d2  d2  e   0

(6.8)

Po vyřešení velikosti tlačené části průřezu x ze vztahu (6.8) je možno určit charakteristiky ideálního průřezu s trhlinou (Air; Iir). Pro výpočet charakteristik ideálního průřezu je možno použít vztahy analogické výrazům (6.3), do kterých za plochu betonové části průřezu Ac dosadíme plochu tlačené části betonového průřezu Acc = bx. Napětí v krajních tlačených vláknech betonu určíme ze vztahu agi  Nk  1  Air agi  e  Air  I ir 



c 



(6.9a)

Napětí ve výztuži vypočteme ze vztahů

 s1 

Nk Air

agi  d   1  Air  agi  e   e I ir  

(6.9b)

 s2 

agi  d 2  Nk  1  Air agi  e  e Ari  I ir 

(6.9c)





Pro obdélníkový železobetonový průřez namáhaný pouze ohybovým momentem Mk obdržíme pro výpočet výšky x tlačené části průřezu kvadratickou rovnici x2 

2 e 2  As1  As2  x  e  As1 d  As2 d 2   0 b b

(6.10)

jejímž řešením lze získat velikost (výšku) tlačené oblasti betonu

x

 e 2 b As1 d  As2 d 2  As1  As2   1  1   e  As1  As2 2 b  

   

(6.11)

Moment setrvačnosti trhlinou oslabeného průřezu určíme z podmínky, že těžištní osa trhlinou oslabeného ideálního průřezu při namáhání ohybovým momentem leží ve vzdálenosti x od horního okraje průřezu, ve tvaru 1 2 2 I ir  b x3   e  As1  d  x   As2  x  d 2     3

(6.12)

Napětí extrémně namáhaných vláken tlačeného betonu (výztuže) je

c  

160

Mk x I ir

(6.12a)

Mezní stavy použitelnosti  s  e

Mk (d  x) I ir

(6.12b)

6.2.3 Omezení napětí Omezení napětí z hlediska podmínek použitelnosti se předepisuje pro:

 tlaková napětí v betonu, kde nadměrné hodnoty tlakových napětí v betonu mohou v provozním stavu na konstrukci vyvolat  vznik podélných trhlin;  rozvoj mikrotrhlin v betonu;  vyšší hodnoty dotvarování. Tyto jevy mohou vést ke vzniku takových stavů, které znemožní používání konstrukce.

 tahová napětí ve výztuži, kde nadměrná napětí mohou vést ke vzniku nadměrného nepružného přetvoření výztuže (a tím i celého prvku) a ke vzniku širokých, trvale otevřených trhlin v betonu. Omezení napětí mohou vycházet i z jiných požadavků na funkci a trvanlivost konstrukce. Např. zvýšené nároky na trvanlivost (případně i vodonepropustnost) konstrukce lze vyjádřit požadavkem, aby pro některou kombinaci zatížení byl průřez namáhán požadovaným způsobem (např. celý tlačen, resp. průřez s omezenou hodnotou maximálního tahového napětí). Tyto požadavky jsou kladeny na konstrukce v některých prostředích, respektive speciální požadavky může vznést investor. Omezení tlakových napětí v betonu

Pokud se neučiní jiná opatření (např. zvětšení krycí vrstvy podélné tlačené výztuže nebo omezení přetvoření betonu příčnou výztuží), je vhodné u konstrukcí nacházejících se v třídách prostředí XD, XF a XS (viz kap. 2) splnit podmínku

 c  0, 6 f ck

(6.13)

kde f ck je charakteristická hodnota pevnosti betonu v tlaku; napětí betonu v tlaku při charakteristické kombinaci zatížení. c Lineární dotvarování betonu lze uvažovat, pokud napětí betonu v tlaku splňuje podmínku

 c  0, 45 f ck

(6.14)

kde  c je napětí stanovené pro kvazistálou kombinaci zatížení. Omezení tahových napětí ve výztuži

Tahové napětí v betonářské výztuži je třeba omezit na hodnotu  s  0,8 f yk ;

(6.15) 161

Mezní stavy použitelnosti je-li napětí ve výztuži vyvozeno vnesenými přetvořeními, je možno použít podmínku  s  1, 0 f yk

(6.15a)

kde  s je napětí stanovené pro charakteristickou kombinaci zatížení. Střední hodnota napětí v předpínací výztuži nemá překročit hodnotu 0,75 fpk.

6.3 Mezní stav trhlin 6.3.1 Omezení trhlin bez přímého výpočtu šířky trhlin Omezení šířky trhlin na přijatelnou míru lze dosáhnout dodržením minimálního množství výztuže vykazující soudržnost s betonem, ve všech průřezech namáhaných tahem.

As,min s = kc k fct,eff Act – 1 Ap‘  p

(6.16)

kde As,min je minimální průřezová plocha betonářské výztuže v tažené oblasti průřezu; Act plocha betonu v tažené oblasti průřezu. Tažená oblast je ta část plochy průřezu, která je podle výpočtu těsně před vznikem první trhliny namáhána tahem; s absolutní hodnota největšího napětí, které se připouští ve výztuži bezprostředně po vzniku trhliny. Hodnotu napětí lze uvažovat rovnou mezi kluzu ve výztuži fyk. Avšak pro omezení šířky trhliny může být nutná hodnota napětí menší, lze ji stanovit podle průměru výztuže nebo podle vzdálenosti prutů (viz tab. 6.2a, b); fct,eff průměrná hodnota pevnosti betonu v tahu v okamžiku prvního očekávaného vzniku trhlin; fct,eff = fctm nebo nižší, (fctm(t), jestliže vznik trhlin je předpokládán dříve než za 28 dní); k součinitel vyjadřující účinek nerovnoměrného rozdělení vnitřních rovnovážných napětí, vedoucích ke zmenšení sil vyplývajících z omezení přetvoření: k = 1,0 pro stěny komorových průřezů a T průřezů s h  300 mm nebo přilehlé desky komorových průřezů a T průřezů šířky menší než 300 mm, k = 0,65 pro stěny komorových průřezů a T průřezů s h  800 mm nebo přilehlé desky komorových průřezů a T průřezů šířky větší než 800 mm, mezilehlé hodnoty lze interpolovat; kc součinitel, kterým se zohledňuje rozdělení napětí v průřezu bezprostředně před vznikem trhlin a změnu ramene vnitřních sil: pro prostý tah kc = 1,0; pro ohyb nebo kombinaci ohybu s normálovými silami:

 pro obdélníkové průřezy, stěny komorových průřezů a T průřezů

  c kc  0, 4  1   1   k1 (h / h ) f ct,eff 

162

(6.17)

Mezní stavy použitelnosti  pro přilehlé desky komorových průřezů nebo T průřezů kc  0,9

Fcr  0,5 Act f ct,eff

(6.18)

kde c je průměrná hodnota napětí v betonu působící na uvažovanou část průřezu: c 

N kd bh

Nk

osová síla v mezním stavu použitelnosti působící na uvažovanou část průřezu (tlaková síla kladná). Nk má být stanovena při uvažování charakteristických hodnot normálových sil při uvažované kombinaci zatížení; h* h* = h pro h < 1,0 m, h* = 1,0 m pro h  1,0 m; k1 součinitel, kterým se zohledňují účinky normálových sil na rozdělení napětí: k1 = 1,5 pokud NEd je tlaková síla, 2 h k1  pokud NEd je tahová síla; 3h Fcr absolutní hodnota tahové síly v přilehlé desce bezprostředně před vznikem trhlin vyvozených momentem na mezi vzniku trhlin, vypočteným s použitím hodnoty fct,eff. U předpjatých konstrukcí se soudržnou předpínací výztuží v tažené oblasti lze předpokládat, že tato výztuž se podílí na omezení trhlin, pokud leží ve vzdálenosti  150 mm od těžiště předpínací výztuže. Toto může být zohledněno zmenšením plochy betonářské výztuže jak je uvedeno ve vztahu (6.16) hodnotou

1 Ap´  p kde Ap´ je Ac,eff

1

(6.19)

plocha předem nebo dodatečně napínané výztuže ležící v ploše Ac,eff; účinná plocha taženého betonu obklopující betonářskou nebo předpínací výztuž o výšce hc,ef , kde hc,ef je menší z hodnot 2,5 (h – d), popř. (h – x)/3 nebo h/2 (viz obr. 6.5); upravený poměr pevnosti v soudržnosti, kterým se zohledňují rozdílné průměry betonářské a předpínací výztuže

1  

 s p

s p

poměr pevnosti v soudržnosti předpínací a betonářské výztuže podle tab. 6.1; největší průměr prutu betonářské výztuže; ekvivalentní průměr předpínací výztuže; p = 1,6 Ap pro svazek drátů (kabel); p = 1,75 wire pro jednotlivá 7drátová lana, kde wire je průměr drátu; p = 1,20 wire pro jednotlivá 3drátová lana, kde wire je průměr drátu; 163

Mezní stavy použitelnosti pokud pro omezení trhlin je použita pouze předpínací výztuž, pak  1   ;

p

změna napětí v předpínací výztuži ze stavu nulového poměrného přetvoření betonu ve stejné úrovni.

V předpjatých prvcích se nepožaduje minimální výztuž v průřezech, pokud je při charakteristické kombinaci zatížení a charakteristické hodnotě předpětí beton tlačen, nebo je absolutní hodnota tahového napětí v betonu menší než  ct,p = fct,eff.

Tab. 6.1 Poměr pevnosti v soudržnosti  mezi předpínací a betonářskou ocelí Předpínací ocel hladké tyče a dráty lana dráty s vtisky žebírkové tyče



předem napjatá nepoužívá se 0,6 0,7 0,8

soudržná, dodatečně napjatá  C50/60  C70/85 0,3 0,15 0,5 0,25 0,6 0,30 0,7 0,35

Poznámka: Pro mezilehlé hodnoty C50/60 a C70/85 lze použít interpolaci.

U železobetonových desek pozemních staveb, namáhaných ohybem bez významného osového tahu, nejsou zapotřebí žádná zvláštní opatření pro omezení šířky trhlin, pokud celková tloušťka nepřekročí 200 mm a jsou dodrženy konstrukční zásady. Pokud je provedena minimální betonářská výztuž podle vztahu (9.16), šířka trhlin pravděpodobně nebude nadměrná, pokud:

 pro trhliny vyvozené převážně omezením vynucených přetvoření nejsou průměry prutů uvedené v tab. 6.2a překročeny a kde napětí v oceli je hodnota stanovená bezprostředně po vzniku trhlin (tzn. s ve vztahu (6.16));  pro trhliny vyvozené převážně přímým zatížením jsou splněna buď ustanovení tab. 6.2a, nebo ustanovení tab. 6.2b. Napětí v oceli se má stanovit v průřezech porušených trhlinami při příslušné kombinaci zatížení. Tab. 6.2a Maximální průměry prutů *s pro omezení šířky trhlin1) Maximální průměr prutu [mm] Napětí ve výztuži2) [MPa] wk = 0,4 mm wk = 0,3 mm wk = 0,2 mm 160 40 32 25 200 32 25 16 240 20 16 12 280 16 12 8 320 12 10 6 360 10 8 5 400 8 6 4 450 6 5 –

164

Mezní stavy použitelnosti Poznámka: 1) Hodnoty v tabulce vycházejí z následujících předpokladů: c = 25 mm; fct,eff = 2,9 MPa; hcr = 0,5; (h – d) = 0,1h; k1 = 0,8; k2 = 0,5; kc = 0,4; k = 1,0; kt = 0,4 a k’ = 1,0. 2) Při odpovídající kombinaci účinků zatížení.

Tab. 6.2b Maximální vzdálenost prutů pro omezení šířky trhliny1) Napětí ve výztuži2) [MPa] 160 200 240 280 320 360

wk = 0,4 mm 300 300 250 200 150 100

Maximální vzdálenost prutů [mm] wk = 0,3 mm wk = 0,2 mm 300 200 250 150 200 100 150 50 100 50

Poznámka: Vysvětlení v tab. 6.2a

Maximální průměr prutu se má upravit následovně: Ohyb (alespoň část průřezu je tlačena)

s = s (fct,eff / 2,9)

kc hcr 2(hd )

(6.20)

Tah (rovnoměrný prostý tah)

s = s (fct,eff / 2,9) hcr / (8 (h – d))

(6.21)

kde s je maximální upravený průměr prutu; s maximální průměr prutu uvedený v tab. 6.2a; h celková výška průřezu; hcr výška tlačené oblasti bezprostředně před vznikem trhliny při uvažování charakteristických hodnot předpětí a osových sil při kvazi stálé kombinaci zatížení; d účinná výška průřezu vztažená k těžišti krajní vrstvy výztuže. Pokud je celý průřez namáhán tahem, pak h – d je minimální vzdálenost od těžiště vrstvy výztuže k povrchu betonu (při nesymetrické výztuži se uvažují vzdálenosti ke každému povrchu betonu). Nosníky o výšce 1 000 mm a vyšší, u nichž je hlavní výztuž soustředěna pouze na malé části výšky, mají být opatřeny u bočních stran přídavnou povrchovou výztuží, aby se omezily trhliny na bočních površích nosníku. Tato výztuž má být rovnoměrně rozdělena mezi úrovní tahové výztuže a neutrální osou a má být umístěna uvnitř třmínků. Průřezová plocha povrchové výztuže nemá být menší než je množství stanovené ze vztahu (6.16), přičemž k = 0,5 a s = fyk. Vzdálenosti a průměr vhodných prutů lze určit při vhodném zjednodušení z tab. 6.2a a 6.2b 165

Mezní stavy použitelnosti předpokládáním dostředného tahu a napětí ve výztuži, rovnajícího se polovině napětí stanoveného pro hlavní tahovou výztuž. Nebezpečí vzniku širokých trhlin je zvláště v průřezech s náhlými změnami napětí, např.:

   

při změnách rozměrů a tvaru průřezu; blízko soustředěných zatížení; v místech, ve kterých se ukončují pruty výztuže; v oblastech s velkým napětím v soudržnosti, zejména na koncích styků s přesahem.

V těchto oblastech má být věnována pozornost minimalizaci změn napětí. Uvedená pravidla pro omezení šířky trhlin obvykle zajišťují odpovídající omezení i v těchto případech, pokud jsou dodrženy konstrukční zásady. Šířky trhlin vyvozené účinky smykového zatížení lze předpokládat za přiměřeně omezené, pokud jsou dodrženy konstrukční zásady.

6.3.2 Výpočet šířky trhlin Trhliny v betonových konstrukcích mohou mít (zejména v případech trhlin širokých a dlouhodobě rozevřených), limitující vliv na trvanlivost a životnost konstrukce. Trhliny vznikají buď působením přímého zatížení, nebo vynuceným přetvořením, resp. kombinací obou způsobů. Trhliny v železobetonových konstrukcích namáhaných ohybem, smykem, kroucením nebo tahem jsou většinou nevyhnutelné (tedy jsou v betonových konstrukcích vesměs obvyklé). Přitom šířka trhlin závisí na vyztužení (tj. na množství výztuže, velikosti a vzdálenosti profilů výztužných prutů, na druhu výztuže), na pevnosti betonu v tahu, na soudržnosti výztuže a betonu, na krytí (tj. na tloušťce krycí vrstvy) a uspořádání výztuže na rozměrech prvku a na jeho namáhání. Šířka trhliny w na povrchu betonu se mění v závislosti na vzdálenosti místa s trhlinou od výztužných prutů. Výpočet šířky trhliny podle ČSN EN 1992-1-1 [11] vychází z předpokladu, že není možné přesně stanovit šířku trhliny (zejména s ohledem na rozptyl tahové pevnosti betonu a soudržnost výztuže s betonem) pomocí jednoduchých vztahů, znalost přesné šířky trhliny není pro trvanlivost betonové konstrukce významná; proto norma považuje za účelnější stanovit zásady uspořádání výztuže pro zamezení vzniku širokých trhlin, než komplikovaně a nespolehlivě stanovovat šířku trhliny výpočtem. Cílem návrhu konstrukce z hlediska mezního stavu šířky trhlin je zajistit, že trhliny nezhorší použitelnost a trvanlivost konstrukce. Posouzení lze provést dvěma způsoby:

 přímým výpočtem šířky trhlin a kontrolou podmínky spolehlivosti, která vyjadřuje, že šířka trhliny nepřestoupí předepsanou, resp. dohodnutou hodnotu,  dodržením jistých doporučení (viz kap. 6.3.1), která zajišťují dostatečné vyztužení průřezu, velikost profilů a vzdálenost vložek; v tomto případě se šířka trhlin nepočítá. ČSN EN 1992-1-1 [11] se nezabývá trhlinami, které mohou vzniknout od jiných jevů, než je přímé zatížení a vynucená přetvoření, tj. např. trhlinami vyvolanými plastickým smršťováním, resp. chemickými reakcemi v tvrdnoucím betonu. Závislost mezi působícím zatížením a poměrným přetvořením výztuže obdélníkového železobetonového symetricky vyztuženého centricky taženého prutu je zakreslena na obr. 6.3. 166

Mezní stavy použitelnosti V prvku nevzniknou trhliny až do dosažení pevnosti betonu v tahu; působící zatížení má velikost NI a odpovídá mu přetvoření výztuže I. Do tohoto okamžiku se prvek nachází ve stavu I, působí plný ideální průřez tvořený taženým betonem a výztuží s plochou Ai. Po dosažení tahové síly NI = Ai fctm vzniknou primární trhliny. V místě trhliny již neplatí rovnost mezi poměrným přetvořením výztuže a betonu; mimo trhlinu, kde je zachována soudržnost mezi betonem a výztuží, je rovnost poměrných přetvoření betonu a výztuže zachována. Vzdálenost mezi primárními trhlinami je velká (obr. 6.4a); mezi trhlinami spolupůsobí na přenášení zatížení tažený beton i výztuž; v místě trhliny je napětí v betonu rovno nule a veškeré tahové síly přenáší pouze výztuž. Po vzniku primárních trhlin dochází ke snížení tuhosti taženého prvku. Při zachování zhruba stejné hodnoty zatížení se začínají rozvíjet sekundární trhliny (obr. 6.3 a obr. 6.4b). Fáze rozvoje trhlin je ukončena v bodě  N I,II ;  I,II  podle

obr. 6.3.

Obr. 6.3 Poměrné přetvoření výztuže u centricky taženého prutu Při dalším zvyšování zatížení již dochází ke zvyšování napjatosti ve výztuži, spolupůsobení betonu s výztuží mezi trhlinami se při rostoucím zatížení zmenšuje. Napjatost a přetvoření výztuže narůstá až dosažení meze skluzu výztuže (bod (Ny, y) na obr. 6.3. Vzhledem k rostoucímu zatížení klesá podíl části zatížení přeneseného mezi trhlinami taženými betonem; závislost mezi zatížením a přetvořením se přibližuje teoretickému stavu působení prvku II, ve kterém se již spolupůsobení taženého betonu mezi trhlinami neuvažuje. Podobným způsobem by bylo možno popsat chování železobetonového ohýbaného prvku u taženého okraje; jednotlivá stadia působení prvku z hlediska vzniku a rozvoje trhlin by byla obdobná.

167

Mezní stavy použitelnosti

Obr. 6.4 Centricky tažený symetrický železobetonový prvek a) stav po vzniku primárních trhlin, b) stadium ukončeného rozvoje trhlin Charakteristickou šířku trhliny wk lze stanovit ze vztahu

wk = sr,max (sm – cm)

(6.22)

kde sr,max je maximální vzdálenost trhlin; sm průměrná hodnota poměrného přetvoření výztuže při příslušné kombinaci zatížení, zahrnující účinek vnesených deformací a přihlížející k účinkům tahového ztužení. Uvažuje se pouze přídavné tahové poměrné přetvoření od stavu nulového poměrného přetvoření betonu ve stejné úrovni; cm průměrná hodnota poměrného přetvoření betonu mezi trhlinami; sm – cm lze vypočítat ze vztahu: σ s  kt ε sm  εcm =

kde s

e p,eff Ac,eff

hc,eff

168

je

f ct,eff ρp,eff

1  αe ρp,eff 

Es

 0, 6

σs Es

(6.23)

napětí v tahové výztuži stanovené v průřezu porušeném trhlinou; poměr Es/Ecm; (As + 12 Ap´) /Ac,eff; (6.24) plocha betonu obklopujícího taženou výztuž o výšce hc,eff, kde hc,eff je menší z hodnot 2,5(h – d), popř. (h – x)/3 nebo h/2 (viz obr. 6.5), tedy

 2,5  h  d    min   h  x  / 3  h/2 

(6.25)

Mezní stavy použitelnosti kt

součinitel závisející na době trvání zatížení: kt = 0,6 pro krátkodobé zatížení; kt = 0,4 pro dlouhodobé zatížení.

Obr. 6.5 Efektivní tažená plocha betonu Ac,eff , typické příklady a) nosník (nosníková deska, deska), b) tažený prvek Maximální vzdálenost trhlin, pokud vzdálenost soudržné výztuže nepřekročí hodnotu 5(c +  / 2), se určí ze vztahu

sr,max = k3c + k1 k2 k4  /p,eff

(6.26)

kde  je průměr prutu. Pokud jsou v průřezu použity pruty různých průměrů, má se použít ekvivalentní průměr eq. V průřezu, kde je n1 prutů o průměru 1 a n2 prutů o průměru 2, se použije následující vztah n1 1  n2 2 2

eq  c k1 k2

n1 1  n2 2

(6.27)

krycí vrstva podélné výztuže; součinitel, kterým se zohledňují vlastnosti soudržné výztuže; k1 = 0,8 pro pruty s velkou soudržností; k1 = 1,6 pro pruty s hladkým povrchem (např. předpínací vložky); součinitel, kterým se zohledňuje rozdělení poměrného přetvoření; k2 = 0,5 pro ohyb; k2 = 1,0 pro prostý tah. Pro případy mimostředného tahu nebo pro místní oblasti se mají použít mezilehlé hodnoty k2, které se vypočítají podle následujícího vztahu

k2 = (1 + 2)/21

k3 k4

2

(6.28)

kde 1 je větší a 2 menší tahové poměrné přetvoření na okrajích vyšetřovaného průřezu, stanovené v průřezu, který je celý oslaben trhlinou; součinitel, jehož hodnota se uvažuje k3 = 3,4; součinitel, jehož hodnota se uvažuje k4 = 0,425.

Pokud vzdálenost soudržné výztuže překročí 5 (c +  / 2) (viz obr. 6.6), nebo pokud soudržná výztuž není v tažené oblasti, lze horní mez šířky trhlin stanovit za předpokladu maximální vzdálenosti trhlin 169

Mezní stavy použitelnosti sr,max = 1,3 (h – x)

(6.29)

Obr. 6.6 Šířka trhliny w na povrchu betonu v závislosti na vzdálenosti od prutu Po dosazení (6.23) a (6.26) do vztahu (6.22) obdržíme   wk   k3 c  k1 k2 k4   p,eff 

 1  f   k ct,eff 1   E  p,eff   Es  s t  p,eff  









(6.30)

kde hodnoty jednotlivých veličin jsou uvedeny výše. Vypočtená šířka trhlin wk se má porovnat s hodnotou wmax, která se stanoví s ohledem na předpokládanou funkci a charakter konstrukce, jakož i náklady spojené s omezováním šířky trhlin. Podmínka spolehlivosti

wk ≤ wmax

(6.31)

Pokud nejsou kladeny na konstrukci speciální požadavky z hlediska omezení jejich trhlin (např. vodotěsnost), lze předpokládat, že limitní šířky trhlin uvedené pro kvazistálou kombinaci zatížení budou zajišťovat pro železobetonové prvky dostatečnou spolehlivost se zřetelem na jejich vzhled a trvanlivost. Doporučené šířky trhlin jsou uvedeny v tab. 6.3.

Tab. 6.3 Doporučená šířka trhliny wmax mm Prvky železobetonové, předpjaté Prvky předpjaté soudržnou nesoudržnou výztuží výztuží Kvazistálá kombinace zatížení Častá kombinace zatížení XO, XC1 0,4*) 0,2 XC2, XC3, XC4 0,3 0,2**) dekomprese XD1, XD2, XS1 až XS3 0,3 *) V prostředí XO a XC1 nemá šířka trhlin vliv na trvanlivost konstrukce; tato limitní hodnota má vést k obecně přijatelnému vzhledu. Pokud nejsou kladeny požadavky na vzhled, není nutno šířku kontrolovat. **) Pro tyto stupně vlivu prostředí má být též posouzena dekomprese při kvazistálé kombinaci zatížení. Třída prostředí

170

Mezní stavy použitelnosti Návrh výztuže As při dané síle ve výztuži Fs pro požadovanou šířku trhliny wk

Vyjdeme-li ze vztahu (6.22), (6.23) a (6.26), můžeme stanovit plochu výztuže As železobetonové konstrukce při známé síle ve výztuži Fs (stanovené např. od účinku působícího zatížení v uvažované kombinaci zatížení v mezních stavech použitelnosti) při požadované šířce trhliny wk, pokud známe (nebo zvolíme)  výztuže, ze vztahu

As =

 K b + K b2  4 K a K c 2Ka

(6.32)

kde a)

Ka = Es wk + k3 ckt f ct,eff ae

(6.32a)

K b   k3 c  Fs  k t Fcr   k1 k 2 k 4 k t  Fcr  e

(6.32b)

Kc   k1 k2 k4  Ac,eff  Fs  kt Fcr 

(6.32c)

b)

Ka  Es wk

(6.32d)

Kb  k3 c 0,6 Fs

(6.32e)

Kc  k1 k2 k4  Ac,eff 0,6 Fs

(6.32f)

kde Fcr = Ac,eff·fct,eff Fs je fct,eff Ac,eff = b hc,eff Es kt, e k1, k2, k3, k4

síla v trhlině působící na účinné ploše betonu obklopujícího tahovou výztuž; tahová síla přenášená výztuží; efektivní pevnost betonu v tahu v uvažovaném časovém okamžiku; kde hc,eff viz vztah (6.25); modul pružnosti oceli; viz vztah (6.23); viz vztah (6.26).

Hodnotu As stanovíme ze vztahu (6.32) 2x; jednak při uvažování konstant podle a), jednak při uvažování konstant podle b); rozhoduje větší z hodnot As takto stanových. Vzdálenost nevržené soudržné výztuže nesmí překročit hodnotu 5 (c + /2), vzhledem k tomu, že jsme pro vzdálenost trhlin uvažovali vztah (6.26). Plochu výztuže při vzniku raných trhlin (při omezeném přetvoření) lze stanovit při uvažování tahové síly ve výztuži při vzniku první trhliny podle vztahu (6.16)

Fs = Fct,eff = kc k fct,eff Act Při vzniku raných trhlin lze uvažovat (1 + c p,eff) = 1 a pak ve vztazích (6.32a), (6.32b), (6.32d) a (6.32e) nemusíme uvažovat druhé členy a efektivní pevnost betonu v tahu v uvažovaném časovém okamžiku lze při úniku hydratačního tepla např. uvažovat fct,eff = 0,5 fctm. 171

Mezní stavy použitelnosti

6.4 Mezní stav přetvoření 6.4.1 Mezní přetvoření Nadměrné deformace jako je průhyb, pootočení, posun atd., nepříznivě ovlivňují použitelnost konstrukce. Velké deformace mohou v budovách ovlivňovat pohodlí lidí, dokonce vyvolávat pocit ohrožení. V provozních objektech často bývá omezena deformace konstrukce, aby byl zajištěn správný chod strojů (rovinnost podlah, deformace jeřábové dráhy apod.). Nenosné konstrukce (nesené příčky, opláštění, obklady, omítky apod.) jsou schopny přenášet deformace jen do určitého rozsahu, při větších deformacích dochází k jejich poškození. S používáním kvalitnějších materiálů (ocelí s vyššími mezemi průtažnosti, vyšší třídy betonu) vzrůstá význam kontroly přetvoření konstrukce. Je nutné si uvědomit, že za současného stavu může být přetvoření konstrukce limitujícím činitelem při jejím návrhu. Proto je nutné u každé konstrukce (alespoň přibližně, např. pomocí vymezujících ohybových štíhlostí) se přesvědčit o přetvoření konstrukce. Pro stanovení mezních hodnot přetvoření lze použít doporučených hodnot uvedených v normách, nicméně vzhledem k tomu, že zajištění tuhosti bývá někdy nákladné, může hodnoty mezních přetvoření stanovit investor (nebo objednavatel) ve smlouvě. Další omezení by měla vyplynout z požadavků investora; mohou záviset na použité technologii instalované v objektu apod. Dále uvedené orientační hodnoty mezních průhybů mají zajistit vyhovující funkčnost staveb, a to např. obytných, administrativních a veřejných budov nebo továren, pokud na ně nejsou kladeny zvláštní požadavky. a)

Při požadavcích na vzhled a obecnou použitelnost: Průhyb vypočtený při kvazi stálém zatížení nemá překročit hodnotu 1/250 rozpětí. Průhyb se stanoví ve vztahu k podporám. Pro kompenzaci celého průhybu nebo jeho části lze použít nadvýšení, které nemá překročit hodnotu 1/250 rozpětí.

b)

Při požadavcích na průhyby po zabudování prvku: Průhyb od zatížení po zabudování prvku vypočtený při kvazistálém zatížení nemá překročit hodnotu 1/500 rozpětí. Toto kriterium je třeba kontrolovat, pokud nadměrné průhyby mohou poškodit připojené prvky (např. příčky, zasklení, obklady, technická zařízení budov apod.).

6.4.2 Vymezující ohybové štíhlosti Pokud jsou železobetonové nosníky nebo desky v pozemních stavbách navrženy tak, že splňují podmínku ohybové štíhlosti (poměr rozpětí l k účinné výšce d nepřekročí hodnotu d), tedy pokud platí l  d d

lze předpokládat, že průhyby nepřekročí hodnoty uvedené výše v odstavcích a) a b).

172

(6.33)

Mezní stavy použitelnosti Mezní poměr rozpětí k účinné výšce, tzv. vymezující ohybová štíhlost, se stanoví ze vztahu

d   c1  c2  c3 



kde c1 je

c2 c3

As,prov As,req K

0  ´

3/2      K 11  1,5 f ck o  3, 2 f ck  o  1  pro   o        o 1   K 11  1,5 f ck f ck  pro   o      12 o  

(6.34)

(6.35)

součinitel závislý na tvaru průřezu c1 = 0,8 pro T průřezy s poměrem šířky příruby k šířce žebra větší než 3, c1 = 1,0 v ostatních případech; součinitel závislý na rozpětí, nosníky a nosníkové desky c2 = 7/l pro l  7,0 m, c2 = 1,0 pro l  7,0 m; součinitel napětí tahové výztuže s v extrémně namáhaném průřezu při časté kombinaci provozního zatížení  c3  310  500 As,prov s f yk As,req

plocha výztuže v extrémně namáhaném průřezu o rozměrech b a h; průřezová plocha výztuže v průřezu, potřebná k přenesení extrémního momentu v mezním stavu únosnosti; součinitel, kterým se zohledňují různé nosné systémy viz tab. 5.4; referenční stupeň vyztužení 0 = 10-3fck, kde fck je v Mpa; požadovaný stupeň vyztužení tahovou výztuží ve středu rozpětí (u konzoly ve vetknutí) na ohybový moment vyvozený návrhovým zatížením; požadovaný stupeň vyztužení tlakovou výztuží ve středu rozpětí (u konzoly ve vetknutí) na ohybový moment vyvozený návrhovým zatížením.

V tab. 6.4 jsou hodnoty tab stanovené ze vztahu (6.35) pro běžné případy (beton třídy C30/37, s = 300 MPa), různé nosné soustavy a stupně vyztužení  = 0,5 % a  = 1,5 %. Pro mezilehlé hodnoty  lze v tabulce interpolovat. Pro jiné třídy betonu jsou obdobné tabulky uvedeny v Příloze 6.

6.4.3 Výpočet přetvoření Při výpočtu přetvoření betonových konstrukcí je třeba si uvědomit, že po vzniku trhlin poklesá ohybová, popř. osová tuhost. Dále je třeba při výpočtu počítat s dotvarováním a se smršťováním betonu, deformace od těchto jevů zvyšují deformace stanovené při okamžitém přetvoření. Přírůstek deformace od dotvarování a smršťování betonu může dosáhnout až dvojnásobku deformace okamžité.

173

Mezní stavy použitelnosti Tab. 6.4 Hodnoty tab pro běžné železobetonové prvky (C30/37, s = 300 MPa) Nosná soustava

K

prostě podepřený nosník, prostě podepřená deska nosná v jednom nebo ve dvou směrech krajní pole spojitého nosníku nebo spojité desky nosné v jednom směru nebo desky nosné ve dvou směrech spojité v delší straně vnitřní pole nosníku nebo desky nosné v jednom směru nebo desky nosné ve dvou směrech deska lokálně podepřená (rozhoduje delší rozpětí) konzola

Silně namáhaný beton  = 1,5 %

Slabě namáhaný beton  = 0,5 %

1,0

14

20

1,3

18

26

1,5

20

30

1,2

17

24

0,4

6

8

Poznámka: U desek nosných ve dvou směrech se má posouzení provést pro kratší rozpětí. U desek lokálně podepřených se při posouzení má uvažovat delší rozpětí.

Proto je třeba nejprve rozhodnout, zda v prvku vznikají trhliny (obr. 6.7). Vznik trhlin se předpokládá, pokud platí  c > fct,eff, popř. u ohýbaných prvků, pokud M k  M cr  f ct,eff

Ii h  agi

(6.36)

kde Mcr je moment na mezi vzniku trhlin

. Obr. 6.7 Kritická oblast ve které vznikají trhliny a)

Pokud trhliny nevznikají (Mk ≤ Mcr ), uvažujeme průřezy bez trhlin a dále postupujeme s využitím vztahů odvozených za předpokladu pružného působení materiálu; při výpočtu uvažujeme e = Es / Ec,eff.

b)

Pokud trhliny vznikají (Mk  Mcr ), musíme stanovit CI 

174

1 Ec,eff I i

ohybovou poddajnost průřezu bez trhliny a

(6.37)

Mezní stavy použitelnosti CII 

1 Ec,eff I ir

ohybovou poddajnost průřezu s trhlinou,

(6.38)

kde Ec,eff je efektivní modul pružnosti betonu, který uvažujeme hodnotou (9.41a), Ii moment setrvačnosti průřezu bez trhliny, při e = Es / Ec,eff; Iir moment setrvačnosti průřezu s trhlinou pří e = Es / Ec,eff. Hodnotu Ec,eff uvažujeme o při výpočtu přetvoření od krátkodobě působícího zatížení

Ec,eff = Ecm při výpočtu přetvoření od dlouhodobě působícího zatížení (9.41b) Ecm Ec,eff  1 (, t0 ) kde Ecm je modul pružnosti betonu (viz tab. 2.1)  (, t0) součinitel dotvarování (viz kap. 2);

o

Dále stanovíme hodnotu  udávající míru spolupůsobení betonu mezi trhlinami (tahové zpevnění průřezu) ze vztahu

  sr    s 

2

  1   kde  je

s sr

(6.40)

součinitel, kterým se zohledňuje vliv doby trvání nebo opakování zatížení na průměrnou hodnotu poměrného přetvoření:  = 1,0 při jednorázovém krátkodobě působícím zatížení;  = 0,5 při dlouhodobě působícím nebo mnohonásobně opakovaném zatížení; napětí v tahové výztuži, vypočtené pro průřez s trhlinami; napětí v tahové výztuži, vypočtené pro průřez s trhlinami při zatížení způsobujícím vznik prvních trhlin.

Poměr sr/s lze při prostém ohybu nahradit poměrem Mcr/Mk. Křivost od přímého zatížení vyvozujícího ohybový moment Mk je dána vztahem 1  M k 1    CI   CII  rm

(6.41)

Při stanovení přetvoření je třeba respektovat i přetvoření od smršťování. Křivost od smršťování 1/rcs lze stanovit ze vztahu  1   rcs

 S    cs  e I 

(6.42)

kde cs je poměrné přetvoření od celkového smršťování (viz kap. 2); S statický moment průřezové plochy výztuže k těžišti průřezu;  moment setrvačnosti průřezu; e účinný poměr modulů pružnosti: e = Es / Ec,eff 175

Mezní stavy použitelnosti S a  se mají vypočítat pro průřez bez trhliny (Si, Ii) a s trhlinou (Sir, Iir), výsledná křivost se vypočítá ze vztahu  S S  1   cs e 1    i   ir  rcs Ii Iir  

(6.43)

Průhyb nosníku f lze přibližně stanovit za předpokladu, že poddajnost nosníku stanovíme v průřezu s maximálním ohybovým momentem a považujeme ji konstantní po celé délce prvku. Pak lze průhyb nosníku stanovit ze vztahu f  1    f I   f II

(6.44)

kde f I je průhyb nosníku při uvažování plného působení betonu v tahu (průřezy bez trhlin); f II průhyb nosníku, u kterého beton v tahu nepůsobí (průřezy s trhlinami). Přesnější metoda stanovení průhybu by spočívala ve výpočtu křivosti podél prvku a v určení průhybu např. numerickou integrací. Úsilí vynaložené na tento ruční výpočet není však v běžných případech odůvodněné. V běžných případech lze určit přibližnou hodnotu průhybu ve středu rozpětí ze vztahu fs  kl 2

1 rms

(6.45)

kde k je součinitel podle tab. 6.5; l rozpětí nosníku; 1 rms

křivost ve středu nosníku (ve vetknutí konzoly) od zatížení, popř. smršťování, viz vztahy (6.41), popř. (6.43).

Ve vztahu (6.45) se předpokládá, že mezi křivostí 1/r a ohybovým momentem je proporcionální vztah, a že průběhy křivostí a momentů podél nosníku jsou přibližně afinní. Vývojový diagram pro výpočet přetvoření je znázorněn na obr. 6.8. Pokud je třeba stanovit přetvoření např. po zatížení příčkami s případným dlouhodobě působícím zatížením, lze použít vývojového diagramu znázorněného na obr. 6.9. Poznámka: Pokud je konstrukce zatěžována postupně (vlastní tíha, podlahy atd.) můžeme stanovit dlouhodobou hodnotu modulu Elt ze vztahu n

Elt   Wi /  Wi / Eeff,i 

(6.46)

1

kde Eeff,i = Ecm/(1 + i) Wi je hodnota charakteristického zatížení ve stadiu zatížení i (vlastní tíha, podlahy, příčky),

i

176

součinitel dotvarování stanovený pro stáří betonu v době zatížení a ve vyšetřovaném okamžiku.

Mezní stavy použitelnosti Tab. 6.5 Hodnoty k pro přibližný výpočet průhybu

177

Mezní stavy použitelnosti Start Stanovíme Mqp vyvozený kvazistálým zatížením v kritickém průřezu Určíme charakteristiky betonu fctm , Ecm (Ec,28 ) – kap. 2 Vypočteme součinitel dotvarování , t0 ) – kap. 2 1) Vypočteme účinný modul E c, eff  2) Stanovíme

e 

Es E c,eff

E

s

E cm

1   , t 0 

– kap. 2

 200 GPa 

3) Vypočteme polohu neutrální osy agi a Ii pro ideální průřez bez trhlin – kap. 6 9.2.2 4) Vypočteme moment při vzniku trhliny

ano

M cr  M qp

Průřez trhlin

M cr 

I i f ctm h  a gi

ne Průřez s trhlinou

 M cr    M qp   

 0

2

  1  0,5 

Stanovíme x a Iir pro ideální průřez s trhlinou - kap. 69.2.2

Stanovíme ohybovou křivost

M qp M qp 1  1     rm E c,eff I i E c, eff I ir

Vypočteme poměrné přetvoření od smršťování – kap. 2

 cs   cd   ca Stanovíme křivost od smršťování - kap. 9.4.3

Celková křivost

S S 1  1    cs e i   cs e ir rcs Ii I ir 1 1 1   rtqp rm rcs

Výpočet průhybu od kvazipernamentního zatížení κ -Tab. 9.5

Je třeba stanovit průběh vyvozený příčkami

f qp   l 2

ne

1 rtqp

Konec

ano Výpočet průhybu vyvozeného příčkami, apod.

Obr. 6.8 Vývojový diagram pro výpočet přetvoření od dlouhodobě působícího zatížení 178

Mezní stavy použitelnosti Výpočet průhybu vyvozeného příčkami, apod. Stanovte součinitel dotvarování (t,t0), kde t je stáří betonu v době zatížení příčkami, t 0 je stáří betonu v době odbednění

 t , t 0    , t 0  c t , t 0 

součinitel  c(t,t0) viz. příloha B normy ČSN 1992-1-1 Vypočteme moment od zatížení vlastní tíhou příček M pr a použijeme ho místo Mqp Připočteme průřezové charakteristiky a vypočteme průhyb fpr při použití (t,t0) místo (,t0) Přibližnou hodnotu průhybu od zatížení příčkami

f  f qp  f pr

Obr. 6.9 Vývojový diagram pro výpočet přetvoření po zatížení příčkami s případným jiným dlouhodobě působícím zatížením Při výpočtu přetvoření desek nosných v jednom směru a nosníků, při současném působení dlouhodobého (flt) a krátkodobého zatížení (fst) se dovoluje stanovit výslednou křivost následovně (viz obr. 6.10): 1  vypočte se křivost   od dlouhodobě působícího momentu Mlt;  rlt  1  vypočte se křivost   , a to jako rozdíl křivosti stanovené pro součet momentů  rst  (Mlt + Mst) za předpokladu jejich krátkodobého působení a křivosti od dlouhodobě působícího momentu Mlt; 1 1  výsledná křivost při působení momentů (Mst + Mlt) je dána součtem křivostí   +   .  rlt   rst 

179

Mezní stavy použitelnosti

Obr. 6.10 Křivost při kombinaci dlouhodobě a krátkodobě působícího zatížení

6.5 Příklady 6.5.1 Spojitá deska o 3 polích Zkontrolujte MSP při uvažování zadání uvedeném v příkladu v kap. 4.5.2. Kontrola mezních stavů použitelnosti

Stálé zatížení

gk = 6,00 kN/m2

Užitné zatížení

qk = 5,00 kN/m2

Celkové zatížení

gk + qk = 11,00 kN/m2

Ověření MSP provedeme pro vázanou výztuž (nejpříznivější případ), která při dimenzováni v MSÚ vychází následovně:

180

Oblast

Navržená výztuž

pod. B pole 1 pole 2 pole 2’

 10á170  10á170  10á250  10á250

as [mm2/m] 462 462 314 314

x m 0,019 0,019 0,013 0,013

  0,617 0,108 0,108 0,073 0,073

mRd mEd [kNm/m] [kNm/m] 33,65 -29,36 33,65 33,04 23,20 2,27 23,20 -16,41

OK OK OK OK

Mezní stavy použitelnosti Pro spojitý nosník o třech polích (viz obr. 4.25) obdržíme silové účinky zatížení pro: a) charakteristickou kombinaci zatížení (ohybové momenty v kNm/m, smykové síly v kN/m) Č. 1 2 3

Zatěžovací stav gk +qk v polích 1 + 2 gk +qk v polích 1 + 3 gk +qk v polích 2

mEd,B -24,16 -19,98 -14,43

mEd,1 23,34 25,11 12,25

mEd,2 -2,93 -11,88 0,59

vEd,A 22,66 23,50 12,12

vEd,Ble -32,34 -31,50 17,88

vEd,Bri 21,71 9,90 18,15

mEd,2 -3,78 -6,39 -2,68

vEd,A 15,60 15,85 12,44

vEd,Ble -21,90 -21,65 -17,56

vEd,Bri 13,44 9,90 12,38

b) pro kvazistálou kombinaci zatížení – 2 = 0,3 (ohybové momenty v kNm/m, smykové síly v kN/m) Č. 1 2 3

Zatěžovací stav gk +qk v polích 1 + 2 gk +qk v polích 1 + 3 gk +qk v polích 2

mEd,B -15,75 -14,49 -12,81

mEd,1 16,22 16,75 12,89

 Omezení napětí o Tahové napětí ve výztuži při charakteristickém zatížení nesmí překročit 0,8 fyk – pro charakteristickou kombinaci zatížení bude rozhodující ohybový moment v prvním poli mEd,1 = 25,11 kNm/m o Při uvažování lineárního dotvarováni nemá být napětí v betonu při kvazistálé kombinaci zatížení menší než 0,45 fck – pro kvazistálou kombinaci zatížení bude rozhodující též ohybový moment v prvním poli mEd,1 = 16,75 kNm/m

Charakteristiky posuzovaného průřezu beton C20/25

fctm = 2,2 MPa

Ecm =29 GPa

ocel 10505

Es = 200 GPa

 10 á 170 mm

as = 462 mm2

e = Es / Ecm = 200 / 29 = 6,9

Obr. 6.11 Průřez v 1. poli – bez trhlin Průřez bez trhlin Ai  b  h   e  1 as  1, 00  0, 2   6,9  1  462 106  0, 202726 m 2

181

Mezní stavy použitelnosti 0,5 b  h 2   e  1 as d

agi  Ii  

Ai



0,5 1, 00  0, 202   6,9  1 462 106  0,175 0, 202726

 0,101 m

2 2 b  h3  b  h  agi  0,5 h    e  1 as  d  agi   12

1, 00  0, 203 2 2  1, 00  0, 20  0,101  0,5  0, 20    6,9  1 462 106  0,175  0,101  12

 0, 000682 m 4 mcr 

I i  f ctm

h  a  gi



0, 000682  2, 2 103  15,15 kNm /m  0, 2  0,101

mcr  15,15 kNm / m  mEd,Bred  15,34 kNm/m  trhliny vzniknou Poznámka: Pro betonový průřez bez výztuže platí: mcr 

b  h 2  f ctm 1,00  0, 22  2, 2  103   14,67 kNm /m 6 6

25 d = 175

h = 200 mm

c

Acc Ø10

x

á 170 mm

s e

b = 1,0 m

Obr. 6.12 Průřez v poli – s trhlinou Průřez s trhlinou xr 

Ir 

 e as 

2b  d  1  1  b   e as

 2 1, 00  0,175   1  1    0, 0304 m 6,9  462 106  

b  xr3 1, 00  0, 03043 2 2   e as  d  xr    6,9  462 106  0,175  0, 0304   3 3

 0, 000076 m 4

182

 6,9  462 10 6   1, 00 

Mezní stavy použitelnosti Kontrola napětí v betonu

c 

mEd  xr 16,75 103  0,0304   6,70 MPa  0, 45 fck  0, 45  20  9,00 MPa  OK Ir 0,000076

Kontrola napětí ve výztuži

 s  e

mEd   d  xr  Ir

 6 ,9

25, 44 103  0,175  0 , 0304  0 , 000076

 333,98 MPa  0 ,8 f yk 

 0 ,8  500  400 MPa  OK

 Kontrola trhlin U vyztužených desek namáhaných ohybem bez normálové síly není třeba provádět speciální opatření pro kontrolu trhlin, pokud je celková tloušťka desky nepřekročí 200 mm a budou splněna všechna pravidla pro vyztužení. V našem případě h = 200 mm, pravidla pro vyztužení budou splněna  není třeba speciálních opatření pro kontrolu trhlin.  Kontrola průhybu Kontrola s využitím mezního poměru rozpětí a účinné výšky – vztahy (6.35) 3   0  0 2     K 11  1,5 f ck  3, 2 f ck   1        



  K 11  1,5 f ck 

l d K

kde

f ck

   0 

  0

pokud

  0

je mezní poměr rozpětí/účinná výška koeficient zohledňující rozdílné konstrukční systémy referenční stupeň vyztužení  f ck 103

0 ρ 

0 1      12

pokud

geometrický stupeň vyztužení tahovou výztuží extrémně namáhaném průřezu konstrukce As,prov bd

odtud



462 106  0, 0026 1, 0  0,175

0  20 103  0, 0045    0, 0026 183

Mezní stavy použitelnosti hodnota K z tab. 6.4 pro krajní pole spojité jednosměrně pnuté desky je K = 1,3 podle rovnice pro   0 3   0, 0045  0, 0045  2     1,3 11  1,5 20  3, 2 20   1  41, 0  0, 0026  0, 0026    

Podle vztahu (6.34)

d   c1  c2  c3  bude c1 = 1,0, c2 = 1,0,

a obdržíme

 c3 

310

s



500 500 462   1,15 As,req 500 401 f yk As,prov

d   c1  c2  c3 tab  1, 0 1, 0 1,15  41, 0  47,15

v našem případě podle vztahu (6.33) je l 5, 0   28,57  d  47 ,15  OK d 0,175

 není nutné počítat průhyb

6.5.2 Trám prostě uložený Zkontrolujte MSP při uvažování zadání uvedeném v příkladu v kap. 4.5.4. Kombinace zatížení

Kvazistálá kombinace zatížení  g k, j   2 qk  11,81  0, 6 11, 25  18,56 kNm

Ohybový moment uprostřed rozpětí při kvazistálé kombinaci zatížení

M kqp 

1 1  g k, j   2 qk  l 2  18,56  6, 02  83,5 kNm  0, 0835 MNm  8 8

Charakteristická kombinace zatížení – pouze jedno proměnné zatížení qk,1 = 11,25 kNm2

 gk, j  qk,1  0 qk,2  11,81  11, 25  23, 06 kNm Ohybový moment uprostřed rozpětí při charakteristické kombinaci zatížení Mk 

1 1  g k, j  qk,1   2 qk  l 2  23, 06  6, 02  103,8 kNm  0,1038 MNm  8 8

Beton C20/25 fctm = 2,2 MPa; Ecm = 30 GPa Ocel B500B Es = 200 GPa; e = Es / Ecm = 200/30 = 6,67

184

Mezní stavy použitelnosti Posouzení přetvoření – kontrola ohybové štíhlosti l  d d

d = h – c – 0,5  = 0,45 – 0,03 – 0,5·16 = 0,412 m

d   c1  c2  c3  hodnotu  stanovíme s použitím vztahu (6.35) nebo přibližně z tab. 6.4 jako  = tab; při použití tabulky stanovíme



As,prov bd



1005 106  0, 0097 0, 25  0, 412

a interpolací v tabulce – nosník prostě podepřený a  = 0,97 % stanovíme tab  14, 9

 c1  1 obdélníkový průřez;  c2  1, 0 rozpětí je menší než 7 m;

 c3 

310

s



500 As,prov 500 1005 106   1,13 f yk As,req 500  892 106

d   c1  c2  c3 tab  1, 0  1, 0  1,13  14, 9  16, 8 l 6, 0   14, 60  d  16,8 1 průhyb vyhoví d 0, 411 Posouzení šířky trhlin

Ideální průřez plně působící podle obr. 6.13

Obr. 6.13 Ideální průřez plně působící

185

Mezní stavy použitelnosti  Plocha ideálního průřezu Ai  Ac   e  1 As1  As2   0, 25  0, 45  5, 67 1005 106  0,118198 m2

 Vzdálenost těžiště ideálního průřezu od horního okraje agi   Ac ac   e  1 As1 d  As2 d 2   / Ai   (0, 25  0, 45  0, 225  5, 67 1005 106  0, 412) / 0,118198  0, 234 m  Moment setrvačnosti ideálního průřezu k jeho těžišti 2 2 2 I i  I c  Ac  agi  ac    e  1  As1  d  agi   As2  agi  d 2      3 2  0, 25  0, 45 / 12  0, 25  0, 45(0, 234  0, 225)  5, 67 1005 106 (0, 412  0, 234) 2 

 0, 002088 m 4 Ohybový moment při vzniku trhlin M cr,lt  f ctm

Ii 0, 002088  2, 2  0, 0213 MNm Mkqp = 0,0835 MNm h  agi 0, 45  0, 234

 trhliny se očekávají Průřez s trhlinami (vyloučený tah v betonu) podle obr. 6.14

Obr. 6.14 Průřez s trhlinami – beton v tahu nepůsobí  Vzdálenost neutrální osy od tlačeného okraje x



186

e b



 As1  As2   1   

1

2 b As1 d  As2 d 2    e  As1  As2 2  

 6, 67 2  0, 25  0, 412 10056  1  1   0, 25 6, 67 1005 106 

   0,124 m 

Mezní stavy použitelnosti 1 1 2 2 Iir  b x3   e  As1  d  x   As2  x  d 2    0, 25  0,1243    3 3  6, 67 1005 106  0, 412  0,124   0, 000715 m4 2

Šířka trhliny

Šířku trhliny posuzujeme při kvazistálé kombinaci zatížení, napětí ve výztuži tedy bude

 s  e

M kqp I ir

(d  x)  6, 67

0, 0835 (0, 412  0,124)  207, 0 MPa 0, 000715

Při určeném napětí  s  207, 0 MPa je: wk  sr, max   sm   cm  Po dosazení obdržíme   wk   k3 c  k1 k 2 k4   p,eff 

 1   f ct,eff 1   E  p,eff     s  k t   p,eff   Es 

c  0, 03 m

 p,eff 

As 1005 106   0, 0423 b hc,eff 0, 25  0, 095

hc,eff

2,5  h  d   2,5  (0, 45  0, 412)  0, 095   min   h  x  / 3   0, 45  0,124  / 3  0,109  h / 2  0, 45 / 2  0, 225 

e 

Es 200   6, 67 Ecm 30

k1  0,8; k2  0,5; k3  3, 4; k4  0, 425 ; kt = 0,4 (dlouhodobé zatížení)

0, 016  1  wk   3, 4  0, 03  0,8  0,5  0, 425   0, 0423  200 103  2, 2     207, 0  0, 4 1  6, 67  0, 0423  0, 00015 m 0, 0423   0, 016 1 )  0, 6  207, 0  0, 00010 m 0, 0423 200 103 wk  0, 00015 m  0,15 mm  wlim  0, 4 mm wk  (3, 4  0, 03  0,8  0,5  0, 425 

 šířka trhliny vyhovuje

187

Mezní stavy použitelnosti Posouzení napětí

Napětí ve výztuži pro charakteristickou kombinaci zatížení

 s  e

MK 0,1038 ( d  x )  6, 67 (0, 412  0,124)  278,9 MPa 0, 000715 I ir

s = 278,9 MPa  0,8 fyk = 0,8 · 500 = 400 MPa  napětí splňuje omezující podmínku

6.5.3 Trám prostě uložený Pro monolitický trám průřezu obdélníkového průřezu (obr. 6.15) proveďte posouzení přetvoření podle kritéria obecné použitelnosti, je-li dáno:  trám působí jako prostě podepřený nosník o rozpětí l = 6,0 m;  podélná výztuž na ohyb 5  16 (As,prov = 1005·10-6 m2);  průřezová plocha podélné tahové výztuže potřebná k přenesení ohybového momentu As,req  995 106 m2 ;

 charakteristická hodnota stálého zatížení

 g k, j  7, 0 kNm;

 charakteristická hodnota proměnného zatížení qk,lt  5, 0 kNm (2 = 0,8).

Obr. 6.15 Geometrie konstrukce h = 0,45 m; b = 0,25 m; d1 = c + 0,5 = 30 + 0,5 · 16 = 38 mm; d = h – d1 = 0,450 – 0,038 = 0,412 m Kritérium obecné použitelnosti

Požaduje se, aby průhyb při kvazistálé kombinaci zatížení nepřekročil hodnotu 1/250 vzdálenosti podpor, tj. f lim,lt 

188

6000  24 mm  0, 024 m 250

Mezní stavy použitelnosti Kvazistálá kombinace zatížení  g k,j   2 qk  7, 0  0, 8  5, 0  11, 0 kNm

Ohybový moment uprostřed rozpětí při kvazistálé kombinaci zatížení 1

M kqp 

8

   g k, j   2  qk  l 2 

1 8

 11, 0  6, 02  49, 5 kNm  0, 0495 MNm

Ohybový moment uprostřed rozpětí při charakteristické kombinaci zatížení Mk 

1 8



g

k, j

 qk  l 2 

1 8

(7, 0  5, 0)  6, 0 2  54 kNm  0, 054 MNm

Předpokládáme, že: a)

kvazistálá kombinace zatížení bude působit v časovém intervalu to  28 dní,   náhradní rozměr průřezu ho ho 

2 Ac 2  0, 45  0, 25   0,161 m 2  0, 45  0, 25  u

beton třídy C20/25 cement třídy N – součinitel dotvarování c  , t0  28   2, 5 , b)

smršťování proběhne v intervalu to  7 dní ,   součinitel dotvarování cs  , to  7   3, 2 C20/25, relativní vlhkost 40 %   cd,0  0,00058 konečná hodnota poměrného smršťování vysycháním v to  7 dní ,   je cd,0 = 0,00058 autogenní smršťování  ca     2,5  fck  10  106  2,5  20  10  106  0,000025 celkové poměrné smršťování v to  7 dní,   je přibližně

 cs   cd   ca  0, 00058  0, 000025  0, 0006 Materiály

Beton C20/25: fck = 20 MPa; fctm = 2,2 MPa; Ecm = 30 GPa Výztuž B500B: fyk = 500 MPa; Es = 200 GPa Pro dlouhodobě působící zatížení Ec,eff  e 

Ecm 30   8,57 GPa 1  c  1  2,5

Es 200   23,3 Ec,eff 8,57

189

Mezní stavy použitelnosti Průhyb od kvazistálého zatížení

a)

Ideální průřez plně působící  Plocha ideálního průřezu Ai  Ac   e  As1  As2   0, 25  0, 45  23,3 1005 106  0,135917 m2

 Vzdálenost těžiště ideálního průřezu od horního okraje agi   Ac ac   e  As1 d  As2 d 2   / Ai   (0, 25  0, 45  0, 225  23,3 1005 106  0, 412) / 0,135917  0, 257 m  Moment setrvačnosti ideálního průřezu k jeho těžišti 2 2 2 I i  I c  Ac  agi  ac    e  As1  d  agi   As2  agi  d 2    0, 25  0, 453 / 12  0, 25  0, 45    6 2 2  (0, 257  0, 225)  23, 3 1005 10 (0, 412  0, 257)  0, 002576 m 4

Ohybová tuhost Ec,eff I i  8570  0, 002576  22, 08 MNm 2

Ohybová poddajnost CI,lt 

1 1   0, 04529 (MN) 1 m 2 Ec,eff I i 22, 08

Ohybový moment při vzniku trhlin M cr,lt  f ctm

Ii 0, 002576  2, 2  0, 0294 MNm  Mkqp = 0,0495 MNm 0, 45  0, 257 h  agi

 trhliny se očekávají b) Ideální průřez s trhlinou  Vzdálenost neutrální osy od tlačeného okraje

2 b As1 d  As2 d 2   b  e  As1  As2 2      23,3 2  0, 25  0, 412   10056  1  1    0, 200 m 0, 25 23,3 1005 106  

x

e



 As1  As2   1 

1

 Moment setrvačnosti ideálního průřezu s trhlinou 1 1 2 2 Iir  b x3   e  As1  d  x   As2  x  d2    0, 25  0, 2003    3 3  23,3 1005 106  0, 412  0, 200   0,001719 m4 2

Ohybová tuhost Ec,eff I ir  8570  0,001719  14,73 MNm2

190

Mezní stavy použitelnosti Ohybová poddajnost 1

CII,lt 

Ec,eff Ii



1  0, 06789 (MN)1 m2 14, 73

c) Křivost od zatížení (kvazistálá kombinace) M kqp  49,5 kNm  0,0495 MNm

 g,lt

 M cr,lt  1    M kqp 

2

2   0, 0294    1  0,5     0,824   0, 0495  

Křivost 1    M kqp  1  g,lt CI,lt  g,lt CII,lt    r g,lt





 0, 0495  1  0,824   0, 0453  0,824  0, 0679   0, 0032 m 1

d) Průhyb od kvazistálého zatížení

f g ,lt 

5 1 5     l2   0 , 0032  6 , 02  0 , 0118 m 48  r g ,lt 48

Průhyb od smršťování

Ec,eff 

e 

Ecm 30   7,14 GPa 1 1     cs   3, 2 

Es 200   28, 0 Ec,eff 7,14

a) Geometrické charakteristiky průřezu bez trhliny  Plocha průřezu Ai  Ac   e  As1  As2   0, 25  0, 45  28, 0 1005 106  0,14064 m2

 Vzdálenost těžiště ideálního průřezu od horního okraje

agi   Ac ac   e  As1 d  As2 d 2   / Ai   (0, 25  0, 45  0, 225  28, 0 1005 106  0, 412) / 0,14064  0, 262 m  Moment setrvačnosti ideálního průřezu k jeho těžišti



I i  I c  Ac agi  ac



2



  e  As1 d  agi 



2



 As2 agi  d 2



2





 0, 25  0, 453 / 12  0, 25  0, 45(0, 262  0, 225) 2   28, 0 1005 106 (0, 412  0, 262) 2  0, 002686 m 4

191

Mezní stavy použitelnosti  Statický moment průřezové plochy výztuže k těžišti ideálního průřezu





Si  As d  agi  1005 106   0, 412  0, 262   0, 00015 m3

b) Geometrické charakteristiky průřezu s trhlinou   2 b As1 d  As2 d 2   x  e  As1  As2   1  1  b  e  As1  As2 2      28, 0 2  0, 25  0, 412   1005 106  1  1    0, 212 m 0, 25 28, 0 1005 106   1 1 2 2 I ir  b x3   e  As1  d  x   As2  x  d 2    0, 25  0, 2123    3 3  28, 0 1005 106  0, 412  0, 212   0, 001920 m 4 2

Sir  As  d  x   1005 106   0, 412  0, 212   0, 00020 m3

c) Výsledná křivost od smršťování

g,lt

 M cr,lt  1    M qp 

2

2   0, 0294    1  0,5     0,824   0, 0495  

 1     cs  e  1  g,lt  r cs 

Si S   g,lt ir   Ii I ir  0, 00015 0, 00020    0, 0006  28, 0  1  0,824   0,824   0, 002686 0, 001920  





 0, 001627 m 1

d) Průhyb od smršťování 1 1 1 f cs     l 2   0, 001627  6, 02  0, 0073 m 8  r cs 8

Posouzení průhybu

Dlouhodobý průhyb od kvazistálé kombinace zatížení (včetně smršťování) f lt  f g,lt  f cs  0, 0118  0, 0073  0, 0192 m  f lim,lt 

192

6  0, 024 m  vyhovuje 250