´ ´ FYZIKALN I PRAKTIKUM I ˇ FJFI CVUT v Praze ´ Uloha #1 Cavendish˚ uv experiment
Datum mˇeˇren´ı: Jm´eno: Spolupracovala:
1
15.11.2013 David Roesel Tereza Sch¨ onfeldov´ a
Skupina: 7 Krouˇzek: ZS 5 Klasifikace:
Pracovn´ı u ´ koly 1. V pˇr´ıpravˇe odvod’te vztah pro maxim´ aln´ı odhad relativn´ı chyby mˇeˇren´ı G. Potˇrebn´e informace najdete na http://praktikum.fjfi.cvut.cz/documents/chybynav/chyby-o.pdf na stranˇe 1 aˇz 4. 2. Ve spolupr´ aci s asistentem zkontrolujte, zda je torzn´ı kyvadlo horizont´alnˇe vyrovnan´e. 3. Dynamickou metodou zmˇeˇrte ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh torzn´ıch kmit˚ u v jedn´e poloze, potom um´ıstˇete velk´e koule m1 do polohy II a zmˇeˇrte ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh v t´eto druh´e poloze. U kaˇzd´eho mˇeˇren´ı si poznamenejte i chybu tohoto mˇeˇren´ı, kterou odhadnete (ˇc´ım rychleji se svˇeteln´a znaˇcka pohybuje, t´ım vˇetˇs´ı bude chyba urˇcen´ı jej´ı polohy). 4. Namˇeˇrenou z´ avislost nafitujte funkc´ı (8) ve vhodn´em programu (kupˇr´ıkladu Gnuplot) a vykreslete graf namˇeˇren´ ych dat vˇcetnˇe odchylek a nafitovan´e funkce. 5. Z v´ ysledku fitu a namˇeˇren´ ych hodnot spoˇctˇete gravitaˇcn´ı konstantu G i s v´ yslednou chybou mˇeˇren´ı, kterou spoˇctˇete z V´ ami odvozen´eho vztahu z pˇr´ıpravy (´ ukol 1). Vˇetˇsina fitovac´ıch program˚ u uv´ad´ı parametry funkce i s jejich chybou - tuto chybu potom povaˇzujte za chybu mˇeˇren´ı a dosazujte ji do odvozen´eho vztahu. 6. V´ ysledek mˇeˇren´ı gravitaˇcn´ı konstanty G srovnejte s tabulkovou hodnotou Gt a ovˇeˇrte, jestli se tabulkov´ a hodnota vejde do intervalu namˇeˇren´ a hodnota ± chyba mˇeˇren´ı.
2 2.1
Vypracov´ an´ı Pouˇ zit´ e pˇ r´ıstroje
Torzn´ı kyvadlo, zemn´ıc´ı kabel, He-Ne laser, ochrann´e br´ yle (modr´e), podstavec pod laser, stopky, mobiln´ı telefon, svinovac´ı metr.
2.2 2.2.1
Teoretick´ yu ´ vod Gravitaˇ cn´ı konstanta
S gravitaˇcn´ı silou se setk´ av´ ame neust´ ale. Gravitaˇcn´ı s´ıly maj´ı pˇritaˇzliv´ y charakter, p˚ usob´ı na vˇsechny hmotn´e ˇc´ astice a Isaac Newton pro nˇe formuloval z´ akon
m m F = G 12 2 , r
(1)
kde F je velikost gravitaˇcn´ı s´ıly a m1 , m2 hmotnosti tˇeles, mezi kter´ ymi tato s´ıla p˚ usob´ı. Pomoc´ı torzn´ıho kyvadla nalezl metodu vyˇc´ıslen´ı gravitaˇcn´ı konstanty G v roce 1798 Henry Cavendish.
1
2.2.2
Torzn´ı kyvadlo
Bˇehem torze doch´ az´ı k rotaˇcn´ımu pohybu jednotliv´ ych ˇc´ast´ı lanka a k vyj´adˇren´ı m´ıry zkroucen´ı lanka staˇc´ı zmˇeˇrit u ´hel, o kter´ y se otoˇc´ı jeden konec lanka v porovn´an´ı s druh´ ym. K lanku je pˇripevnˇena ˇcinka (jak je zn´azornˇeno na Obr. 1) sest´ avaj´ıc´ı ze dvou menˇs´ıch koul´ı (o hmotnostech m1 ) a zrc´atka, od kter´eho se odr´aˇz´ı laserov´ y paprsek. Pokud se k mal´ ym koul´ım pˇriloˇz´ı koule vˇetˇs´ı (o hmotnostech m2 ), vznikne v ˇcince moment sil
τf = 2d(F1 − F2 ).
(2)
Tento moment zp˚ usob´ı zkroucen´ı lanka a pootoˇcen´ı ˇcinky a zrc´atka o u ´hel θ . To vyvol´a torzn´ı moment τt = −kθ , kde k je konstanta zahrnuj´ıc´ı ve sv´e hodnotˇe mechanick´e vlastnosti lanka. Pokud je syst´em v rovnov´aze, plat´ı
τf = −τt
(3)
2d(F1 − F2 ) = kθ, odkud se u ´pravami m˚ uˇzeme dostat ke tvaru
2dGm1 m2 (1 − β) = kθ, b2
b3
β= (b2
3 + 4d2 ) 2
,
(4)
pˇriˇcemˇz β se naz´ yv´ a geometrick´ y faktor, G je gravitaˇcn´ı konstanta a b, d jsou vzd´alenosti vyznaˇcen´e na Obr. 1. Z Obr. 2a m˚ uˇzeme potom vykoukat dalˇs´ı vztahy, kter´e pro syst´em plat´ı, jako napˇr´ıklad ten pro v´ ypoˇcet u ´hlu θ
tan(2θ) ' 2θ =
|S 2 − S 1 | S = . 2L 2L
(5)
Torzn´ı konstantu k urˇc´ıme z doby kyvu T a ze znalosti momentu setrvaˇcnosti ˇcinky
T2 =
4π 2 I , k
(6)
kde I je moment setrvaˇcnosti ˇcinky. Za pouˇzit´ı Steinerovy vˇety a nakombinov´an´ım vˇsech pˇredchoz´ıch vzorc˚ u podle [1] dost´ av´ ame pro v´ ypoˇcet gravitaˇcn´ı konstanty
G=
2.2.3
π 2 b2 S d2 + 25 r2 , T 2 m2 L d(1 − β)
b3
β=
3
.
(7)
(b2 + 4d2 ) 2
Tlumen´ e kmity
V r´ amci anal´ yzy dat zjiˇst’ujeme parametry T a S proloˇzen´ım namˇeˇren´ ych hodnot funkc´ı pro tlumen´e harmonick´e kmity, kter´ a m´ a tvar
f (t) = Ae−δt sin
2.2.4
2π
T (1,2)
t + ϕ + S (1,2) .
(8)
Dom´ ac´ı u ´ kol
Maxim´ aln´ı odhad chyby m˚ uˇzeme podle [2] spoˇc´ıtat pomoc´ı vzorce
∂ω ∂ω ∆ω = ∆x + ∆y + . . . ∂x ∂y
(9)
Pro n´ aˇs v´ ypoˇcet gravitaˇcn´ı konstanty G potom pomoc´ı
∂G ∂G ∂G ∆S + ∆G = ∂T ∆T + ∂L ∆L, ∂S
(10)
kde ∆S je souˇcet chyb σS a σS , ∆T chyba spoˇc´ıtan´a podle (15) z hodnot T1 , T2 a jejich chyb a ∆L chyba σL . 1 2 2
2.3
Postup mˇ eˇ ren´ı
Torzn´ı kyvadlo jsme nevyrovn´ avali, jelikoˇz n´am bylo ˇreˇceno, ˇze je vyrovnan´e dobˇre. V pˇr´ıpadˇe, ˇze by nebylo, bychom to poznali na kˇrivosti pohybu laseru po stˇenˇe a vzhledem k tomu, ˇze se odraz laseru pohyboval pouze po mˇeˇr´ıtku, m˚ uˇzeme ˇr´ıct, ˇze bylo vyrovnan´e dostateˇcnˇe. Vyrovn´an´ı prov´ad´ıme proto, aby na n´ami mˇeˇren´e hodnoty nemˇelo vliv gravitaˇcn´ı pole Zemˇe. Dalˇs´ım z extern´ıch vliv˚ u, kter´ y jsme museli pˇred zaˇc´atkem mˇeˇren´ı eliminovat, byla moˇznost p˚ usoben´ı elektrostatick´e s´ıly. Toho jsme dos´ahli uzemnˇen´ım aparatury k tomu urˇcen´ ym vodiˇcem. Bˇehem mˇeˇren´ı zaznamen´ av´ ame v´ ychylku ˇcinky v ˇcase a proloˇzen´ım funkc´ı pro tlumen´e harmonick´e kmity (8) urˇc´ıme parametry S1 , S2 , T1 a T2 , tedy hodnoty rovnov´aˇzn´ ych poloh a period pˇri obou dvou poloh´ach velk´ ych koul´ı. Pˇred mˇeˇren´ım bylo potˇreba zmˇeˇrit vzd´alenost zrc´atka od stˇeny s mˇeˇr´ıtkem. Vlastn´ı mˇeˇren´ı jsme prov´ adˇeli podle n´ asleduj´ıc´ıho postupu: 1. Odaretujeme kyvadlo, zapneme laser a nasmˇerujeme ho na zrc´atko tak, aby jeho odraz kmital pˇribliˇznˇe kolem stˇredu stupnice na protˇejˇs´ı stˇenˇe. 2. Kyvadlo nech´ ame ust´ alit (ˇr´ adovˇe des´ıtky minut) a ujist´ıme se, ˇze v krajn´ıch poloh´ach nedoch´az´ı k odrazu ˇcinky od stˇen. 3. Na k tomu urˇcen´e n´ astavce opatrnˇe um´ıst´ıme vˇetˇs´ı koule a jemnˇe je posuneme tak, aby se dot´ ykaly stˇen. 4. Opˇet se ujist´ıme, ˇze jsme nijak nenaruˇsili pohyb soustavy a nech´ame kmity jeˇstˇe chv´ıli ust´alit. 5. N´ aslednˇe zaznamen´ av´ ame kaˇzd´ ych 20 sekund polohu odrazu laseru na mˇeˇr´ıtku po dobu zhruba 25 minut. 6. Po namˇeˇren´ı hodnot pˇresuneme tˇeˇzˇs´ı koule do druh´e polohy a opakujeme pˇredchoz´ı dva body. Chybu kaˇzd´e namˇeˇren´e hodnoty urˇc´ıme z okamˇzit´e rychlosti teˇcky laseru jako dr´ahu, kterou pˇri n´ı mohl urazit, za ˇcas, jak´ y trv´ a hodnotu odeˇc´ıst a kter´ y jsme urˇcili pˇribliˇznˇe na tod = 1 s.
2.4
Namˇ eˇ ren´ e hodnoty
Namˇeˇren´e hodnoty jsou uvedeny v Tab. 1 a vyneseny do graf˚ u na Obr. 3 a 4. V tabulce kromˇe namˇeˇren´ ych hodnot uv´ ad´ıme hodnoty ze zad´ an´ı [1], kter´e bereme jako absolutnˇe pˇresn´e konstanty. Z tˇechto zadan´ ych a namˇeˇren´ ych hodnot jsme pak podle (7) urˇcili gravitaˇcn´ı konstantu s horn´ım odhadem chyby (10) jako
G = (6,4 ± 0,6) ·10−11 N · m2 · kg−2 .
(11)
r [mm]
d [mm]
b [mm]
m2 [kg]
β [-]
L ± σL [m]
9,55
50,7
45
1,24
0,066744
6,00 ± 0,05
S1 ± σS1 [cm]
S2 ± σS2 [cm]
S ± ∆S [cm]
T1 ± σT1 [s]
T2 ± σS2 [s]
T ± ∆T [s]
104,2 ± 0,8
114,9 ± 0,2
10,7 ± 0,8
498,4 ± 0,4
499 ± 3
499 ± 2
Tab. 1: Tabulka zadan´ ych a namˇeˇren´ ych hodnot; r , d, b a m2 jsou zadan´e hodnoty [1], β je z nich vypoˇc´ıtan´ a konstanta, L ± σL je vzd´ alenost zrc´ atka od mˇeˇr´ıtka na stˇenˇe, S , ∆S rozd´ıl rovnov´aˇzn´ ych poloh S1 a S2 se svou chybou a T , ∆T perioda kmit˚ u se svou chybou spoˇc´ıtan´a jako pr˚ umˇer T1 a T2 .
3
2.5
Diskuse
Nejm´enˇe pˇresn´ ym ˇcl´ ankem cel´eho mˇeˇren´ı bylo asi urˇcov´an´ı vzd´alenosti zrc´atka od mˇeˇr´ıtka na stˇenˇe. Vzhledem k tomu, ˇze byl svinovac´ı metr dlouh´ y pouze pˇet metr˚ u a vzd´alenost ke stˇenˇe se pohybovala kolem ˇsesti, bylo nutn´e pouˇz´ıt pˇripraven´ y prov´ azek. Mˇeˇren´ı jsme prov´ adˇeli pod´el stˇeny, ale prov´azek nebyl pravdˇepodobnˇe dokonale napnut, nekonˇcil pˇresnˇe na u ´rovni zrc´ atka a jeho pˇrekl´ ad´an´ım mohlo doj´ıt k dalˇs´ım chyb´am. Stˇena, pod´el kter´e jsme mˇeˇrili, nav´ıc tak´e nemusela b´ yt kolm´ a na tu s mˇeˇr´ıtkem. Gravitaˇcn´ı konstanta m´ a podle tabulek [4] vych´azet jako Gt = (6,6738±0,0008)·10−11 N · m2 · kg−2 . N´ am se ji podaˇrilo urˇcit na G = (6,4 ± 0,6) ·10−11 N · m2 · kg−2 , coˇz tabulkov´e hodnotˇe odpov´ıd´a. V pˇr´ıpadˇe, ˇze bychom m´ısto horn´ıho odhadu chyby (10) pouˇzili standardn´ı chybu nepˇr´ım´eho mˇeˇren´ı (15), tabulkov´a hodnota by uˇz neleˇzela v chybov´em intervalu naˇseho v´ ysledku. D´ a se tedy pˇredpokl´adat, ˇze doch´azelo k systematick´ ym chyb´am. Nepˇresnost v´ ysledku mohla b´ yt zp˚ usobena nevyv´ aˇzenou p˚ uvodn´ı pozic´ı aparatury, kterou jsme nekontrolovali, jiˇz zm´ınˇen´ ym nepˇresn´ ym zmˇeˇren´ım vzd´ alenosti zrc´ atka od mˇeˇr´ıtka nebo systematicky chybn´ ym odeˇc´ıt´an´ım jedn´e sady mˇeˇren´ı ze stupnice na stˇenˇe. V´ ysledek by se dal d´ ale lehce ovlivnit vybr´an´ım jin´e podmnoˇziny v´ ysledk˚ u z namˇeˇren´ ych dat.
3
Z´ avˇ er
V pˇr´ıpravˇe jsme odvodili vztah pro maxim´ aln´ı odhad relativn´ı chyby mˇeˇren´ı G. Asistent n´am zaruˇcil, ˇze je torzn´ı kyvadlo horizont´ alnˇe vyrovnan´e a pak jsme dynamickou metodou zmˇeˇrili ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh torzn´ıch kmit˚ u ve dvou r˚ uzn´ ych poloh´ ach. Namˇeˇrenou z´ avislost jsme nafitovali patˇriˇcnou funkc´ı (8) a vykreslili jsme graf vˇcetnˇe odchylek (Obr. 3, 4). Z v´ ysledk˚ u fit˚ u a namˇeˇren´ ych hodnot jsme urˇcili gravitaˇcn´ı konstantu i s v´ yslednou chybou mˇeˇren´ı na −11 2 −2 G = (6,4 ± 0,6) ·10 N · m · kg . N´ami zmˇeˇrenou hodnotu jsme pak porovnali s tabulkovou a diskutovali jej´ı spr´ avnost.
4
Pouˇ zit´ a literatura
[1] Kolektiv KF, N´ avod k u ´loze: Cavendish˚ uv experiment [Online], [cit. 18. prosince 2013] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/80/mod resource/content/7/Cavendish v1.pdf [2] Petr Chaloupka, Jak zpracov´ avat data [Online], [cit. 18. prosince 2013] https://dl.dropboxusercontent.com/u/11296940/zfm/h3.pdf [3] Kolektiv KF, Chyby mˇeˇren´ı [Online], [cit. 18. prosince 2013] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/documents/chybynav/chyby-o.pdf [4] J. Mikulˇc´ ak a kol., Matematick´e, fyzik´ aln´ı a chemick´e tabulky & vzorce. Prometheus, Praha 2009. ISBN 978-80-7196-264-9
4
ˇ ast I C´
Pˇ r´ılohy 4.1
Dom´ ac´ı pˇ r´ıprava
Dom´ ac´ı pˇr´ıprava je pˇriloˇzena k protokolu.
4.2
Statistick´ e zpracov´ an´ı dat
Pro statistick´e zpracov´ an´ı vyuˇz´ıv´ ame aritmetick´eho pr˚ umˇeru: n
x=
1X xi , n
(12)
i=1
jehoˇz chybu spoˇc´ıt´ ame jako
v u u σ0 = t
n
X 1 (xi − x)2 , n(n − 1)
(13)
i=1
y pr˚ umˇer a σ0 jeho chyba [3]. kde xi jsou jednotliv´e namˇeˇren´e hodnoty, n je poˇcet mˇeˇren´ı, x aritmetick´ Pˇri nepˇr´ım´em mˇeˇren´ı poˇc´ıt´ ame hodnotu s chybou dle n´asleduj´ıc´ıch vztah˚ u:
u = f (x, y, z, . . .), x = (x ± σx ),
y = (y ± σy ),
z = (z ± σz ),
(14)
...,
kde u je veliˇcina, kterou urˇcujeme nepˇr´ımo z mˇeˇren´ ych veliˇcin x, y, z, . . . Pak
u = f (x, y, z, . . .),
σu =
s
2 2 ∂f ∂f ∂f 2 2 σx + σy2 + σz2 + . . ., ∂x ∂y ∂z
(15)
u = (u ± σu ). V pˇr´ıpadˇe, ˇze m´ ame nˇekolik r˚ uznˇe pˇresn´ ych mˇeˇren´ı stejn´e veliˇciny, pouˇz´ıv´ame vztah pro v´aˇzen´ y pr˚ umˇer:
x ¯=
n P
p i xi
i=1 n P
,
(16)
pi
i=1
kde x ¯ je v´aˇzen´y pr˚ umˇer, xi jsou jednotliv´ a mˇeˇren´ı a pro pi plat´ı
1 pi = 2 , σi
(17)
kde σi jsou jednotliv´e chyby dan´ ych mˇeˇren´ı. Celkovou chybu tedy vypoˇc´ıt´ ame ze vztahu
v u 1 σ0 = u uP t n i=1
5
. pi
(18)
4.3
5 5.1
Sch´ emata
Proveden´ı Dynamick´ a metoda
Cel´e mˇeˇren´ı v podstatˇe spoˇc´ıv´a v zaznamen´av´an´ı v´ ychylky ”ˇcinky”v ˇcase a anal´ yze tohoto ˇcasov´eho v´ yvoje k urˇcen´ı hodnot θ a k. Silov´ y impuls kyvadlu d´ame tak, ˇze k mal´ ym koul´ım m1 pˇribl´ıˇz´ıme (viz obr. 4a - ˇcern´a ˇc´ast) na otoˇcn´em drˇz´aku velk´e koule m2 , ˇc´ımˇz maximalizujeme s´ılu (viz obr´azek 1) F1 a minimalizujeme s´ılu F2 - silov´ y impuls je roven pr´avˇe rozd´ılu tˇechto sil. Jakmile se kyvadlo rozkmit´a, my zaˇcneme zaznamen´avat se stopkami v ruce polohu svˇeteln´e znaˇcky (odraz laserov´eho paprsku od zrc´ atka spojen´eho s ”ˇcinkou”) na vodorovn´em mˇeˇr´ıtku v ˇcase. Torzn´ı kyvadlo bude kmitat kolem rovnov´aˇzn´e polohy (bod S 1 na obr´azku 4a), takˇze nemus´ıme ˇcekat, aˇz se po rozkmit´an´ı ”ˇcinka”ust´al´ı v nov´e rovnov´aˇzn´e poloze, ale staˇc´ı nechat kyvadlo nˇekolikr´at prokmitnout a z namˇeˇren´eho pr˚ ubˇehu kmitav´eho pohybu (z´avislost amplitudy na ˇcase) stanovit rovnov´ aˇznou polohu S 1 - jak je naznaˇceno na obr´azku 4a. Abychom mohli urˇcit u ´hel zkroucen´ı torzn´ıho lanka θ, tak potˇrebujeme zmˇeˇrit alespoˇ n dvˇe rovnov´aˇzn´e polohy. Na obr´azku (4a) je naznaˇcen postup mˇeˇren´ı: Opatrnˇe oddaretujeme kyvadlo a pˇribl´ıˇz´ıme velk´e koule k mal´ ym koul´ım (ˇcince). Torzn´ı kyvadlo se vlivem gravitaˇcn´ı interakce mezi velk´ ymi a mal´ ymi koulemi rozkmit´ a a my zaˇcneme zaznamen´avat se stopkami v ruce polohy svˇeteln´e znaˇcky v ekvidistantn´ıch ˇcasov´ ych intervalech (staˇc´ı kaˇzd´ ych 20 vteˇrin, nebot’ doba kyvu je nˇekolik minut). Jak je zn´azornˇeno na Obr. 1: Sch´ ma zapojen´ [1]. ame ho zakmitat nˇekolik kyv˚ obr´ azku (4a), torzn´ı kyvadlo zaˇcne kmitat kolem rovnov´ aˇzen´ e polohy Sı1z. Nech´ u a potom velk´e koule pˇrem´ıst´ıme do druh´e polohy, kter´a je na obr´ azku (4a) zn´azornˇena ˇsedou barvou. V t´eto druh´e poloze zaˇcne kyvadlo kmitat kolem rovnov´aˇzn´e polohy S 2 . S 2
S2
0
m2
0
Time [min]
60
(b) Pr˚ ubˇ eh mˇ eˇren´ı v ˇ case
m2
m2
m1 m1 m 1
m1
m1 m 1
L
m2
S1
2θ
S1
s2
[cm]
(a) Rozloˇ zen´ı koul´ı
ˇ Obr´ azek 4: Dynamick´a metoda mˇeˇren´ı rovnov´aˇzn´ ych poloh : Cern´ a barva odpov´ıd´a poloze 1 a ˇsed´a poloze 2 Obr. 2: Sch´ema zapojen´ı z [1].
5.2
Anal´ yza namˇ eˇ ren´ ych dat
6 c´ıtat gravitaˇcn´ı konstantu G. Ve vztahu (2) vystupuj´ı dvˇe Na konci odstavce 2.1 byl odvozen vztah (2), ze kter´eho lze vypoˇ nezn´ am´e veliˇciny (θ i k), kter´e lze urˇcit z dynamick´ ych mˇeˇren´ı torzn´ıch kmit˚ u kyvadla. V grafu na obr´azku (4a) vid´ıme
4.4
Grafy 130 Naměřené hodnoty f(t) = (23,6±0,2) e-(0,00047±0,00001)t cos( (0,01261±0,00001)t + (10,344±0,007) ) + (104,22±0,06)
125 120 115 x [cm]
110 105 100 95 90 85 80 0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
t [s] Obr. 3: Graf z´ avislosti pozice x na ˇcase t pˇri mˇeˇren´ı v prvn´ı poloze. Proloˇzen´ım funkc´ı pro tlumen´e harmonick´e kmity (8) jsme urˇcili periodu a rovnov´ aˇznou polohu.
126 Naměřené hodnoty f(t) = (10,10±0,07) e-(0,00057±0,00001)t cos( (0,01258±0,00001)t + (11,087±0,006) ) + (114,89±0,02)
124 122 120 x [cm]
118 116 114 112 110 108 106 0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
t [s] Obr. 4: Graf z´ avislosti pozice x na ˇcase t pˇri mˇeˇren´ı v druh´e poloze. Proloˇzen´ım funkc´ı pro tlumen´e harmonick´e kmity (8) jsme urˇcili periodu a rovnov´ aˇznou polohu.
7
