EF1: Dva cyklisté Lenka jede rychlostí v1 = 10 m/s, Petr rychlostí v2 = 12 m/s, tedy v2 > v1, délka uzavřené trasy L = 1200 m. Když vyrazí cyklisté opačnými směry, potom pro čas setkání t platí v1 · t + v2 · t = L, pokud jedou stejným směrem v2 · t – v1 · t = L. a) Při jízdě opačným směrem se poprvé setkají v čase L/(v2 + v1) = 1200/(12 + 10) s = 54,5 s,
při jízdě stejným směrem v čase L/(v2 – v1) = 1200/(12 – 10) s = 600 s = 10 min. b) Pro druhé setkání je na pravé straně rovnic 2L, pro další 3L, pro n-té nL. Doby pro setkání
jsou dvakrát, třikrát, n-krát delší. c) Pohyby obou cyklistů zaznamenáme do grafu s(t); mějme na paměti, že poté, co daný
cyklista dospěje do cíle, tj. na konec jednoho kola, je současně na začátku dalšího kola. To se projeví tak, že v daném okamžiku je cyklista na obou místech – na konci i na začátku,
Jízda opačným směrem
Jízda stejným směrem EF2: Rychlík vyjíždí Maximální rychlost vlaku v = 72 km/h = 20 m/s. Úlohu budeme řešit postupně. a) Načrtneme graf v(t), kde je znázorněn úsek zrychlování rychlíku, rovnoměrný pohyb,
zpomalování a zastavení vlaku, doba stání před semaforem, znovu rozjíždění a rovnoměrný pohyb včetně průjezdu následující stanicí. b) Doby pohybu v jednotlivých úsecích: t1 = 60 s, t2 = (1200 + 400)/20 s = 80 s, t3 =90 s,
t4 = 150 s (vlak stojí před semaforem), t5 = 60 s, t6 = 2000/20 s = 100 s, celkem t = t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 = 540 s. c) Úseky jízdy: s1 = v · t1/2 = 20 · 60/2 = 600 m, s2 = (1200 + 400) m = 1600 m,
s3 = v · t3/2 = 20 · 90/2 = 900 m, s4 = 0 m, s5 = v · t5/2 = 20 · 60/2 = s1 = 600 m, s6 = 2000 m, celkem 5700 m. d) Přesnější graf pohybu.
EF3: Na trase Berlín – Vídeň a zpět a) Jízdní trasy se poněkud liší podle toho, kudy se pohybují zejména ve Vídni. b) K výpočtu průměrných rychlostí (včetně čekání ve stanicích) nutno znát vždy celkovou dráhu a celkovou dobu jízdy – viz tabulka. c) Znázorníme v grafickém záznamu s(t) – viz obrázek.
d) Je vhodné se seznámit s uvedenou webovskou stránkou a využívat ji v praktickém životě.
Vlak
Berlín – Praha a zpět
Praha – Vídeň a zpět
Berlín – Vídeň a zpět
EN477
s = 397 km
s = (804 – 397) km
s = 804 km
Metropol
t = (24 + 0,45 – 19,42) h s = 407 km
t = (24 + 6,13 – 19,42) h
t = 5,03 h
t = (6,13 – 0,62) h
t = 10,71 h
v = 78,9 km/h
t = 5,51 h
v = 75,0 km/h
v = 73,9 km/h EC173
s = (740 – 343) km
s = (1160 – 740) km
s = (1160 – 343) km
Vindobona
s = 397 km
s = 420 km
s = 817 km
t = (13,45 – 8,60) h
t = (18,38 – 13,65) h
t = (18,38 – 8,60) h
t = 4,85 h
t = 4,73 h
t = 9,78 h
v = 81,9 km/h
v = 88,8 km/h
v = 83,5 km/h
EC177
s = (403 – 6) km
s = (801 – 403) km
s = (801 – 6) km
Johannes
s = 397 km
s = 398 km
s = 795 km
Brahms
t = (17,45 – 12,60) h
t = (22,07 – 17,65) h
t = (22,07 – 12,60) h
t = 4,85 h
t = 4,42 h
t = 9,47 h
v = 81,9 km/h
v = 90,0 km/h
v = 83,9 km/h
D406
s = (815 – 418) km
s = (418 – 11) km
s = (815 – 11) km
Chopin
s = 397 km
s = 407 km
s = 804 km
t = (8,90 – 3,55) h
t = (24 + 3,37 – 22,38) h t = (24 + 8,90 – 22,38) h
t = 5,35 h
t = 4,99 h
t = 10,62 h
v = 74,2 km/h
v = 81,56 km/h
v = 75,7 km/h
s = (795 – 398) km
s = 398 km
s = 795 km
Carl Maria von s = 397 km
t = (10,35 – 5,83) h
t = (15,33 – 5,83) h
Weber
t = (15,33 – 10,52) h
t = 4,52 h
t = 9,50 h
t = 4,81 h
v = 88,1 km/h
v = 83,7 km/h
EC378
v = 82,5 km/h EC172
s = (1169 – 772) km
s = (772 – 352) km
s = (1169 – 352) km
Vindobona
s = 397 km
s = 420 km
s = 817 km
t = (19,33 – 14,52) h
t = (14,35 – 9,53) h
t = (19,33 – 9,53) h
t = 4,81 h
t = 4,82 h
t = 9,80 h
v = 82,5 km/h
v = 87,1 km/h
v = 83,4 km/h
EF4: Cyklista jede z kopce (1) Jde o dvě na sebe navazující úlohy 4 a 5; v prvním případě neuvažujeme odporovou sílu, s níž působí na cyklistu vzduch, ve druhém případě ji nemůžeme zanedbat. První řešení (úloha 4) dospívá k nereálným výsledkům, druhá (úloha 5) odpovídá více skutečnosti. a) Obrázek je jednoduchý a vede ke znázornění sil, působících na cyklistu při jízdě. b) Síla, působící na cyklistu, je rovna F = m · g · p = (75 · 10 · 0,12) N = 90 N. c) Změna polohové energie ΔEp = m · g · h. d) Změnou polohové energie se zvětší energie pohybová. Ze zákona zachování energie
pro rychlost cyklisty platí v 2 g h 2 g p l Poté, co cyklista urazí vzdálenost l = 500 m, dosáhne okamžité rychlosti 34,6 m/s = 125 km/h, poté, co urazí 800 m, dosáhne rychlostí 44 m/s = 158 km/h; obě rychlosti jsou nepravděpodobné. EF5: Cyklista jede z kopce (2) Výsledná síla, která působí na cyklistu, je rovna F = m · g · p – k · v2, tedy její velikost závisí na okamžité rychlosti cyklisty. V krajním případě může tato síla dosáhnout nulové hodnoty, takže se dále pohybuje rovnoměrným pohybem. a) Pro okamžitou rychlost 5 m/s vychází výsledná síla F = (75 · 10 · 0,12 – 0,30 · 52) N =
= 82,5 N.
b) Pro okamžitou rychlost 15 m/s vychází výsledná síla F = (75 · 10 · 0,12 – 0,30 · 152) N =
= 22,5 N. c) Mezní rychlost, při které se výsledná síla rovná nule F = 0, tj. m · g · p = k · v2, je
17,3 m/s= = 62,4 km/h. d) Pro jízdu po rovině s okamžitým výkonem P při okamžité rychlosti značené v platí
P = F · v = k v2 · v = k · v3, odkud hodnota mezní rychlosti je 17,1 m/s = 61,6 km/h. EF6: Spotřeba benzínu Vyjdeme ze vztahu pro odporovou sílu F = k · v2. a) Mezní hodnoty odporové síly při rychlostech 15 m/s až 40 m/s: 124 N, 880 N, sestrojíme
graf F(v). b) Práce, potřebná k překonání odporové síly na dráze s = 100 km = 100000 m je W = F · s =
= k · v2 · s. Objem spotřebovaného benzínu o výhřevnosti H = 32 MJ/l při účinnosti spalování η = 0,2 pak vychází V
W 0,55 100000 v 2 0,00859v 2 nH 0,2 32000000
Spotřeba benzínu při daných rychlostech je 5,37 litru, 9,53 litru a 13,75 litru na trase 100 km. c) Po zlepšení technických parametrů vozidla se spotřeba sníží na 3,9 litru, popř. 6,9 litru či 10,0 litru na trase 100 km.
EF7: Atmosféra se ohřívá Nejprve provedeme odhad hmotnosti atmosféry. a) Pro poloměr Země RZ = 6 378 000 m vychází povrch kulové plochy S = 4π RZ2 ≈
≈ 5,1 · 1014 m2. Atmosférický tlak asi 100 kPa je způsoben gravitačními účinky Země na vzdušný obal; potom m = p · S / g = 5,1 · 1018 kg, což odpovídá údajům z tabulek. b) Teplo potřebné pro ohřátí atmosféry o 1 °C je rovno Q1 = m · c · Δt = (5,1·1018·1000· 1) J
= = 5,1·1021 J, o 2 °C činí Q2 = 10,2·1021 J. c) Sluneční záření při úplném pohlcení má na hranici atmosféry výkon 1370 W/m2. Uvažme
plochu disku o poloměru rovném poloměru Země, potom celkový výkon dopadajícího záření na plochu S2 = π · RZ2 = 1,28 · 1014 m2 je P = 1,75 · 1017 W. Kdyby bylo možno využít celého tepla k ohřátí zemské atmosféry, potom by to trvalo dobu Q1/P = 30000 s, tj. asi 8,3 h. Zahřívání atmosféry však není tak jednoduché, ohřívá se vždy jen na přivrácené části, část záření dopadne až na povrch Země aj. V celkové dlouhodobé bilanci se udržuje střední hodnota teploty přibližně stálá. Teplo způsobené pohlcením slunečního záření je zdrojem pro mnoho jevů, které probíhají na povrchu Země. EF8: Ledová kra a) Objem ledu je V = 6,5 ha · 30 cm = 65000 m 2 · 0,3 m = 1,95 · 104 m3, hmotnost ledu
m = (910 · 1,95 · 104) kg = 17,75 · 106 kg = 17 750 tun. b) Na roztátí ledu je třeba teplo Q = (17,75 · 106 · 330000) J = 5,86 · 1012 J, ovšem v případě,
že teplota tajícího ledu bude 0 °C. Jinak je třeba přidat teplo k ohřátí ledu na teplotu tání. c) K roztátí by bylo třeba asi Q/(4200 · 70) ≈ 20 · 106 kg teplé vody o teplotě 70 °C,
tj. 20 000 m3. To by představovalo zvýšení hladiny vody v rybníce asi o 32 cm za předpokladu, že se nezvětší rozlitím vody jeho plocha. EF9: Pohyb těles kolem Země a) Kruhová dráha Měsíce má velikost s1 = 2π · R1 = 2 · 3,14 · 384400 km = 2,42 · 106 km,
oběžná doba T1 = 27,32 dne = 2,26·106 s. Oběžná rychlost Měsíce na trajektorii kolem Země má střední hodnotu v1 = s1/T1 = 1,023 km/s; protože je však trajektorie eliptická, mění se mezi hodnotami 1,082 km/s v perigeu a 0,968 km/s v apogeu. b) Analogicky s2 = 2π · R2 = 2 · 3,14 · 42164 km = 2,65 · 105 km, T2 = 23 h 56 min 04 s =
= 86164 s. Stacionární družice Země dosahuje rychlosti v1 = s2/T2 = 3,067 km/s, umisťuje
se nad rovníkem ve výšce (42164 – 6378) km = 35 786 km nad povrchem Země. c) Určíme poměr r3/T2 pro pohyb Měsíce 1,0194·1013 v jednotkách SI, pro pohyb družice
stacionární 1,0097·1013, což je vzhledem k přesnosti údajů prakticky stejné. EF10: Práce s fotomapou Dané místo se nalézá na Václavském náměstí v Praze, v blízkosti sochy sv. Václava na koni. a)
Poledníky mají délku asi 20 012 km, na 1° připadá 111,2 km, na 1´připadá asi 1853 m, na 1“ asi 30,9 m, na 0,01“ asi 0,31 m, tj. 1 foot.
b,c) Vypočteme rozdíl zeměpisných šířek a s využitím faktu, na 1° připadá 111,2 km, určíme hledanou vzdálenost. Tu ověříme funkcí „měření“. Měření na 50°04,8´, tj. 50,08° je délka rovnoběžky 25 687 km, na 1°připadá 71,35 km, pak na 1´ asi 1190 m, na 1“ asi 19,8 m. d)
Všechny poledníky mají tvar elipsy s delší poloosou rovnou rovníkovému poloměru a kratší poloosou rovnou polárnímu poloměru, což je pro všechny poledníky stejné. Rovnoběžky vzniknou jako řez Zemí rovinami rovnoběžnými s rovinou rovníku, a proto mají od rovníku k pólu zmenšující se poloměry.
EF11: Kolumbova první výprava Příslušná místa najdeme v atlase nebo na GoogleEarth3D, kde použijeme funkci měření. Dobu plavby určíme z údajů, předpokládáme, že lodě se nikde nadlouho nezastavovaly (v opačném případě vyjde rychlost větší). a) Z přístavu Palos na Kanárské ostrovy je to asi 1370 km, z Kanárských ostrovů
na Bahamské souostroví asi 5730 km, celkem lodě ujely 7100 km (což činí jen 3834 námořních mil, neboť 1 nmi = 1,852 km) za 69 dní, ujely tedy průměrně denně přes 100 km. b) Cesta trvala 28 dní v srpnu, 30 dni v září a 11 dní v říjnu, tj. celkem 69 dní, ujely tedy denně 55,6 námořních mil. c) Průměrná rychlost plujících lodí byla 2,32 uzlů, tj. 4,3 km/h. Rychlost závisela na rychlosti mořského proudění, na rychlosti a směru větru, neboť šlo o plachetnice. EF12: Výzkum pohybu kuličky po nakloněné rovině Sestavíme si experimentální soupravu podle návodu nebo soupravu podobnou, která nám
umožní změřit dráhu kuličky při pohybu po nakloněné rovině a příslušnou dobu pohybu.
FO52EF13: Automobil a životní prostředí a) Podle zadaných údajů je spotřeba 900 – 1980 l za jeden rok. b) Podle zadaných údajů se roční emise pohybují v rozmezí 2,6 – 3,68 tun. c) Odpovídající práce při účinnosti 0,22 bude W = (900 – 1980) · 32 · 106 · 0,22 J =
= 6,4 – 14,0 GJ. d) Protože platí W = F·s, pro střední hodnotu tahové síly máme F = W/s = 320 – 700 N
e) Člověk produkuje za rok 3720 kg oxidu uhličitého. FO52EF14: Průřez měděného drátu Smotek měděného drátu o délce 350 m má odpor 20 Ω, který jsme zjistili měřením ohmmetrem. Víme, že měděný drát o délce 1 m a průřezu 1 mm2 má odpor R1 = 0,017 Ω. Odpor drátu je přímo úměrný délce drátu a nepřímo jeho průřezu. a) Pokud by měl drát průřez 1 mm2, byl by při délce 350 m jeho odpor 350 · 0,017 Ω =
= 5,95 Ω. Protože je jeho odpor větší, musí mít menší průřez v poměru 5,95/20 ≈ 0,3 mm2. Ze vztahu pro obsah kruhu S = π · d2/4 zjistíme odpovídající poloměr d ≈ 0,6 mm. b) Objem drátu V = S · l = 0,3 · 10-6 m2 · 350 m ≈ 1 · 10-4 m3. Pomocí hustoty pak dopočteme
hledanou hmotnost m = V · ρ = S · l · ρ = 0,935 kg. c) Pro odpor drátu o průřezu S a délce l platí R = R1 · l/S, kde R1 = 0,017 Ω je odpor drátu
o délce 1 m a průřezu 1 mm2; pro hmotnost podle předchozí části m = S · l · ρ. Vyloučení průřezu S z obou vztahů vychází l
mR R1
FO52EF15: Experimentální výzkum natékání a vytékání kapaliny z nádoby Práci provedeme nejlépe v koupelně nebo na zahradě či na balkóně, přesně podle návodu. Zvolte vhodnou plastovou lahev. Navrhněte si soupravu, údaje zapisujte do vhodné tabulky.
