Számrendszerek: 10-es számrendszer, 2-es számrendszer, 8-as számrendszer, 16-os számr. Számjegyek, alapműveletek.
Aritmetikai műveletek egész számokkal 1. Összeadás, kivonás (egész számokkal) 2. Negatív számok ábrázolása 1. Előjelbites ábrázolása 2. kettes komplemens ábrázolás 3. Átváltás a számrendszerek között (10 <-> többi; 2 <-> 8; 2<->16)
Logikai műveletek 1. ÉS (AND): Adott két (vagy több) állítás: A és B. Az eredmény akkor és csak akkor igaz, ha A igaz és B is igaz. Példa: akkor veszek fagyit, ha kapható fagylalt és van rá pénzem. A állítás: „kapható fagylalt”, B állítás: „van fagylaltra pénzem”.
2. VAGY (OR): Adott két (vagy több) állítás: A és B. Az eredmény akkor igaz, ha legalábbaz A igaz vagy legalább a B igaz. Példa: akkor veszek fagyit, ha van rá pénzem, vagy a barátomnak van rá pénze. A állítás: „van fagylaltra pénzem”, B állítás: „a barátomnak van a fagylalomra pénze”.
3. NEM (NOT): Adott egy A állítás. Ha A igaz, akkor a „NEM A” hamis. Ha A hamis, akkor a „NEM A” igaz. Példa: akkor veszek fagyit, ha nem felejtettem otthon a pénztárcámat. A állítás: „otthon felejtettem a pénztárcát”.
4. Kizáró VAGY (Exclusive OR) rövidítve: XOR (vagy EOR): Adott két állítás: A és B. Az eredmény igaz, ha A és B közül pontosan az egyik, és csak az egyik igaz. Példa: Vagy süteményt, vagy fagylaltot veszek. A állítás: „süteményt veszek”, B állítás: „fagylaltot veszek”. Az állítás akkor igaz, ha az egyiket veszem meg. Ha egyiket sem vagy mindkettőt, akkor az A XOR B állítás hamis.
Feladattípusok Átváltás: 10
2
8
16
11 177 0011 1001 1001 0101 632 541 - 25 912
7B A3
-
1101 0100 1101 0111
-
777 275
-
FF 3E
Alapműveletek: Művelet Összeadás
10 009 172 387 + 193 463 466
2 0001 1111 0101 0101 + 0010 0101 1001 1001
8 007 172 357 + 123 463 466
16 0F9 A72 3C7 + 1D3 4E3 466
Művelet Összeadás (2es komplemens)
10 999 172 387 + 193 463 466
2 1111 1111 0101 0101 0101 1001 1001
+
8 777 172 357 463 466
+
16 FFF A72 3C7 4E3 466
+
Kivonás
709 172 387 0101 1011 0111 0101 - 093 463 456 - 0010 0101 1101 1011
307 172 357 - 023 463 456
1F9 A72 3C7 - 0D3 4E3 436
Kivonás 2-es komplemens
709 127 387 0101 1011 0111 0101 - 093 463 466 - 0010 0101 1101 1011
307 172 357 - 023 463 466
1F9 A72 3C7 - 0D3 4E3 466
Logikai ÉS
AND
307 172 357 023 463 466
AND
1F9 A72 3C7 0D3 4E3 466
0101 1011 0111 0101 0010 0101 1101 1011
OR
307 172 357 023 463 466
OR
1F9 A72 3C7 0D3 4E3 466
XOR
100 121 102 0101 1111 0111 0101 010 631 001 XOR 0010 0101 1001 1011
XOR
307 172 357 023 463 466
XOR
1F9 A72 3C7 0D3 4E3 466
NOT
010 601 001 NOT 0110 0111 1101 1011
NOT
023 463 466
NOT
0D3 4E3 466
AND
Logikai VAGY OR
Kizáró VAGY
Logikai NEM
100 111 102 0101 1011 0111 0101 010 601 001 AND 0010 0101 1101 1011 100 111 102 010 261 001
OR
Hiányzó számjegy kitalálás: (A végeredmény még nem jó, csak a feladat-stílust mutatja) Művelet
10
2
Összeadás
009 17? 387 + ?93 4?3 4?6 19? 463 466
0001 1?11 010? 0101 + 0010 0101 ?001 1??1 ??01 11?1 0101 010?
Összeadás (2es komplemens)
9?9 172 387 + 193 4?3 4?6 9?9 172 ?87
+
1?1? 1111 01?1 0101 010? 100? 1?01 111? 1?11 0?01 0?01
8 0?7 1?2 357 + 12? 463 ?66 0?7 172 3?7 777 172 ??7 4?3 466 7?7 17? 357
+
16 0F9 A72 3?7 + 1D3 4E? 466 0?9 A?2 3C? FFF A72 3?? 4?3 466 F?F A?2 ?C7
+
Kivonás
709 ?72 387 010? 1011 011? 0?01 - 093 4?3 456 - 0?10 0??1 11?1 10?1 709 172 ?87 0101 1011 ??11 0101
3?7 17? 3?7 - 023 4?3 45? 307 ??2 357
1F9 A?2 3C7 - 0?3 4E? 4?? 1F9 ?72 3C7
Kivonás 2-es komplemens
709 1?7 387 0??1 1011 01?? 0101 - 093 463 4?6 - 0010 0??1 1101 10?1 010? 1011 011? 0?01
307 172 357 - 023 463 466 307 172 357
1F9 A72 3C7 - 0D3 4E3 466 1F9 A72 3C7
Logikai ÉS AND
0101 1011 0111 0?01 0010 0?01 1101 1011 0101 1011 0??1 0101
AND
307 1?2 357 023 463 4?6 307 172 357
AND
1F9 A7? 3C7 0D3 4E3 466 1?9 A72 3?7
OR
0101 1011 0111 0?01 0010 01?1 1101 1011 0101 1?11 01?1 010?
OR
307 1?2 357 023 463 466 3?7 172 3?7
OR
1F9 A72 3?7 0D3 4E? 466 1F9 A?2 3C7
XOR
0?01 1111 011? ?1?? 001? 0?0? 1?01 1011 0101 1011 0111 0101
XOR
??7 1?? 357 023 463 ??6 307 ??2 357
XOR
1?9 A72 ?C7 0D? 4?3 4?? 1F9 ?72 3C7
Logikai VAGY
Kizáró VAGY
Logikai NEM
NOT
0110 0??1 1??1 1011 01?? 1011 011? 0??1
NOT
023 4?? 466 307 172 3?7
NOT
0D3 4?3 466 1F9 A72 3C7
FIGYELEM! A logikai műveleteket mindig bitenként végezzük, tehát csak kettes számrendszerben. Az csak beugratás, hogy más számrendszerben van megadva a szám! (Ez így valójában 3 feladat: A számok átváltása 2-es számrendszerbe, az eredeti feladat megoldása, az eredmény visszaváltása.) Szöveges feladatok: Tetszőleges X számon milyen műveleteket kell elvégezni, hogy a 11. és 6. bit 0 legyen, a 10.-8. bitek 1-ek legyenek, a 3. bit pedig az ellenkezője. (A bitek számozása jobbról balra történik, a jobb szélső bit a 0. sorszámú.) Megoldás: X AND (1111 0111 1011 1111) OR (0000 0111 0000 0000) XOR (0000 0000 0000 1000)
Az X-et ÉS-eljük egy olyan számmal, ahol csak a 11. és 6. bit 0, majd VAGY-oljuk egy olyan számmal, ahol csak a 10.-8. bit 1 értékű, majd XOR-oljuk egy olyan számmal, amelyben csak a 3. bit 1 értékű. (Ki lehet próbálni tetszőleges X bináris szám behelyettesítésével, a műveletek elvégzése után az eredmény a feladatban megadott szabály szerinti lesz.) Van két olyan művelet, amellyel egy tetszőleges 16 bites szám összes bitjét az ellenkezőjére válthatjuk. Melyik ez a két művelet?
Logikai műveletek elektronikai/elektromechanikai megvalósítása Relé: Elektromosan irányított mechanikus kapcsoló. Működése: egy kapcsoló, amit nem egy ember, hanem egy elektromágnes kapcsol ki vagy be, aszerint, hogy adunk-e áramot az elektromágnesre vagy nem. Két fajtája van: •
zárórelé: ha az elektromágnes működik, akkor zárja a kapcsolót (különben a kapcsoló nyitva van);
•
nyitó relé: ha az elektromágnes működik, akkor kinyitja a kapcsolót (különben a kapcsoló zárva van);
Záró relé
Nyitó relé
Tranzisztor: félvezetőből1 készülő elektronikai eszköz. A lényege, hogy elektromos úton szabályozható2, hogy mennyi áramot engedjen keresztül magán. Egy reléhez hasonlóan kapcsolóként is működtethető: vezérelhetjük, hogy átengedi az áramot, vagy nem. Előnye, hogy sokkal kisebb, gyorsabb, kevesebbet fogyaszt, és sokkal ritkábban hibásodik meg mint egy relé. A könnyebb érthetőség kedvéért a következő fejezetekben a relét fogjuk felhozni példának, de a valóságban már szinte mindent tranzisztorokkal építenek meg. 1 Többnyire szilíciumból, néha germániumból 2 a középső lábára kapcsolt megfelelő áramerősséggel
A logikai műveletek megvalósítása relével „ÉS” művelet: két darab sorba kötött vezérelhető kapcsoló (relé). „VAGY” művelet: két darab párhuzamosan bekötött vezérelhető kapcsoló (relé). „NEM” művelet: Egy darab nyitó relé. „Kizáró-VAGY” művelet: Egy VAGY, két ÉS és egy NEM művelet megfelelő összekapcsolásával kialakítható. „Implikáció” művelet (jele „-->”): Ez a „Ha A igaz, akkor B” állítás eldöntésének műveletét jelenti. Például vegyük a következő állítást: „Ha holnap Sárváron leszek, akkor bemegyek a sárvári gyógyfürdőbe.” Itt az A állítás: „Holnap Sárváron leszek”, a B állítás: „bemegyek a sárvári gyógyfürdőbe”. Az állításom csak akkor hamis, ha Sárváron leszek, de nem megyek be a gyógyfürdőbe. (Ha honap nem leszek Sárváron, akkor az állítás igaz, hiszen azt mondtam, hogy Ha Sárváron leszek.)
Igazságtábla Egy olyan táblázat, ami felsorolásszerűen leírja, hogy a különböző bemeneti adatok esetén mi lesz a művelet eredménye. Például: NOT A
A OR B
A XOR B
A AND B
A|x 0|1 1|0
AB|x 00|0 01|1 10|1 11|1
AB|x 00|0 01|1 10|1 11|0
AB|x 00|0 01|0 10|0 11|1
A 16 darab bináris két változós függvény lehetséges: „Hamis” AB|x 00|0 01|0 10|0 11|0
„A ÉS B” „NEM A->B” AB|x 00|0 01|0 10|0 11|1
„NEM-VAGY” „NEM-XOR” AB|x 00|1 01|0 10|0 11|0
AB|x 00|1 01|0 10|0 11|1
„A”
„NEM B->A”
„B”
„A XOR B”
„VAGY”
AB|x 00|0 01|0 10|1 11|0
AB|x 00|0 01|0 10|1 11|1
AB|x 00|0 01|1 10|0 11|0
AB|x 00|0 01|1 10|0 11|1
AB|x 00|0 01|1 10|1 11|0
AB|x 00|0 01|1 10|1 11|1
„NEM-B”
„B->A”
„NEM-A”
„A -> B”
„NEM-ÉS”
„Igaz”
AB|x 00|1 01|0 10|1 11|0
AB|x 00|1 01|0 10|1 11|1
AB|x 00|1 01|1 10|0 11|0
AB|x 00|1 01|1 10|0 11|1
AB|x 00|1 01|1 10|1 11|0
AB|x 00|1 01|1 10|1 11|1
Egybites félösszeadó Két bit összeadásának lehetséges variációi:
A: B: Eredmény:
0 + 0 0, átvitel=0
0 + 1 1, átvitel=0
1 + 0 1, átvitel=0
1 + 1 0, átvitel=1
Az erdmény és az átvitel kiszámításának igazságtáblája: Két bit összeadásának eredménye (1 bit)
Két bit összeadásakor keletkező átvitel kiszámítása:
AB|x 00|0 01|1 10|1 11|0
AB|x 00|0 01|0 10|0 11|1
Mint láthatjuk, ez nem más, mint egy Kizáró-VAGY művelet és egy ÉS művelet. Egybites „összeadógép” készítése: A
B
A
B
& A AND B
Átvitel
Egybites teljes összeadó
Zsilipkapu vezérlés
A
B
=1 A XOR B
Eredmény
