tematika szigorlat, analízis tételek Műszaki informatika szak, esti tagozat 1. Komplex számok Algebrai alak, trigonometrikus alak, exponenciális alak. Műveletek, áttérés az egyes alakok között. 2. Sorozatok Sorozat definíciója, monotonitás, korlátosság. A sorozatok konvergenciája, a konvergencia és korlátosság kapcsolata. A végtelen határérték definíciója. Nevezetes sorozatok konvergenciája. 3. Függvények 1. A függvény definíciója, értelmezési tartomány, értékkészlet. Injektív, szürjektív, bijektív függvények. Zérushely, monotonitás, szélsőérték, alak, korlátosság, periodicitás, paritás értelmezése. Inverzfüggvény, létezésének feltételei, meghatározási módja. 4. Függvények 2. Elemi függvények ábrázolása és jellemzése. Függvény határértéke és folytonossága. Elemi függvényvizsgálat. 5. Differenciálszémítás 1. A differencia- és differenciálhányados definíciója, geometriai jelentése. Differenciálási szabályok. Elemi függvények differenciálhányadosai. A differenciál fogalma. 6. Differenciálszámítás 2. A differenciálszámítás alkalmazásai. Érintő egyenlete. Középértéktételek. L’Hospital szabály. Monotonitás, szélsőérték, alak, inflexió. Teljes függvényvizsgálat. 7. Integrálszámítás 1. Primitív függvény. Integrálási szabályok. Elemi függvények primitív függvények. Integrálási módszerek: f (ax + b), f ' ( x) f α ( x ), f ' ( x) , f ' ( x) g [ f ( x)] integrálása, parciális integrálás, résztörtekre bontás, f ( x) helyettesítéses integrál. 8. Integrálszámítás 2. Határozott integrál. Téglányközelítés, Newton-Leibniz szabály. Alkalmazások: terület-, térfogat-, ívhossz számítás. Improprius integrál. 9. Differenciálegyenletek 1. A differenciálegyenletek definíciója, kategorizálás. Szétválasztható változójú differenciálegyenletek. Elsőrendű, lineáris, homogén differenciálegyenletek. 10. Differenciálegyenletek 2. Elsőrendű, lineáris, inhomogén differenciálegyenletek. Állandó variálás módszere, próbafüggvény módszer. Másodrendű, lineáris, állandó együtthatós, homogén és inhomogén differenciálegyenletek. 11. Differenciálegyenletek 3. A Laplace-transzformáció definíciója, tulajdonságai. Elemi függvények Laplace-transzformáltja. Differenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval. 12. Sorok 1. Végtelen numerikus sorok. A konvergencia szükséges és elégséges feltételei. Nevezetes numerikus sorok. 13. Sorok 2. Függvénysorok. Hatványsorok, konvergencia tartomány, konvergencia sugár.Taylor-sor. Taylor-sor maradéktagjának felső becslése. 14. Sorok 3.. Fourier-sor. Taylor-sor, Fourier-sor konvergenciája. 15.Kétváltozós függvények 1. Értelmezési tartomány. Az első- és másodrendű parciális derivált. Gradiens. Teljes differenciál. Érintősík egyenlete, hibaszámítás. 16. Kétváltozós függvények 2. Integrálszámítás téglalap- és normáltartományon. Geometriai jelentés, terület- és térfogatszámítás.
1
1. Komplex számok Algebrai alak, trigonometrikus alak, exponenciális alak. Műveletek, áttérés az egyes alakok között. Algebrai alak Az a + bi alakú számokat, ahol a és b valós számok, i pedig olyan szám, amelyre i2 = -1 (ún. képzetes egység), komplex számoknak nevezzük. A komplex számokat általában z-vel jelöljük (z = a + bi). Az x2 - 4x + 13 = 0 egyenlet diszkriminánsa: 16 - 52 = -36 negatív. Helyettesítsük be a 2 + 3i számot ahol i2 = -1. 4 + 12i + 9i2 - 8 - 12i + 13 = 4 - 9 - 8 + 13 = 0. Ha számfogalmunkat kibővítjük ilyen alakú számokkal, akkor a másodfokú egyenletnek mindig van megoldása. Műveletek zl + z2 = (a1 + b1i) + (a2 + b2i) =(a1 + a2) + (b1+ b2)i Két komplex szám egyenlő, azaz z1 = z2, ha a1 = a2 és b1 = b2. Összeadás: tagonként összeadjuk a valós és a képzetes tagokat. zl + z2 = (a1 + b1i) + (a2 + b2i)=(a1 + a2) + (b1+ b2)i Pl.: zl = 3 - 2i, z2 = 4 + 3i, zl + z2 = 7 + i Kivonás: mindenben megegyezik az összeadással, csak a műveleti jel „+” helyett „-”. zl - z2 = (a1 + b1i) - (a2 + b2i) = (a1 - a2) + (b1 - b2)i Pl.: zl = 5 + 2i, z2 =1 + 3i, zl - z2 = 4 - i. Szorzás: a tagokat formálisan összeszorozzuk (i2 = -1). zl*z2 = (a1 + b1i)(a2 + b2i) =(a1a2 - b1b2) + (a1b2 + b1a2)i Pl.: zl = 2 + 3i, z2 = 4 + 5i, zl*z2 = (2 • 4 - 3 • 5) + (2 • 5 + 3 • 4)i = -7 + 22i. z1*z2 = (8 + 12i + 10i - 15) = 8 -15 + 22i = -7 + 22i Osztás: a törtet bővítjük a nevező konjugáltjával, így a nevezőben mindig valós számot kapunk. z1 a1 + b1i a1a2 + b1b2 b1a2 − a1b2 = = + 2 i z 2 a2 + b2 i a22 + b22 a2 + b22 Tulajdonságai Kommutativitás: z1 + z 2 = z2 + z1 , z1 z2 = z 2 z1 Asszociativitás: z1 + ( z 2 + z3 ) = ( z1 + z2 ) + z3 Disztributivitás: z1 ( z 2 + z3 ) = z1 z 2 + z1 z3 A hatványozás: zn=z*z..z. Értelmezhető a törtkitevős hatvány, azaz m z n is komplex szám. Konjugált: a z = a + bi komplex szám konjugáltján az a - bi komplex számot értjük, és ezt z -vel (ill. a + bi -vel) jelöljük. 2
Láttuk, hogy 2 + 3i kielégíti másodfokú egyenletünket.d < 0 esetén a gyököt úgy kapjuk meg, hogy a másodfokú egyenlet “megoldó képletében” a “gyökös részt” d = d (−1) = d i alakban írjuk fel (feltételezzük.hogy d < 0). Az i képzetes egység az x2 + 1 = 0 másodfokú egyenletnek a gyöke. Megjegyzés. 1. Minden n-edfokú an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 = 0 (*) egyenletnek pontosan n számú gyöke van. (Az algebra alaptétele.) 2. A komplex gyökök párban fordulnak elő. 3. A (*) megoldására nem tudunk képletet adni. 4. A komplex számok a jelenségek leírásában nagyon fontosak. Abszolút érték: a z = a + bi komplex szám abszolút értékén a a 2 + b2 valós számot értjük, és ezt | z |-vel, ill | a + bi |-vel jelöljük. Ez a szám a komplex szám nagysága, hossza. z1 z n Megjegyzés: 1. z 1 z 2 = z 1 z 2 2. 1 = (| z 2 |≠ 0) 3. z n = z ; zl= z2 esetén is lehetséges, z2 z2 hogy |zl|=|z2|. Az azonos, r nagyságú komplex számok egy r sugarú körön helyezkednek el. A komplex szám geometriai ábrázolása Az a + bi komplex szám valós és képzetes része egy (a, b) pontot jelöl ki a koordinátarendszerben. A pontok halmaza a komplex számsík, az x valós tengely, y képzetes tengely.
Az x tengelyt éppen ezért valós tengelynek, az y tengelyt képzetes tengelynek nevezzük. Az (a,b) pont a síkon egy helyvektort jelent. Ennek az r hossza (az (a,b) pontnak az origótól mért távolsága) r = a 2 + b 2 , azaz r = | z |. A komplex számot ábrázoló vektornak az x tengellyel bezárt ϕ szögét a tg ϕ = b / a egyenlőségből kapjuk meg, azaz ϕ = arctg(b / a). Trigonometrikus alak 3
z = a + bi = r(cos ϕ + isin ϕ), ahol r = | z |, ϕ = arctg(b / a). (a = r*cos ϕ, b = r*sin ϕ) Műveletek z1 = r1(cos ϕ1 + isin ϕ1) és z2 = r2(cos ϕ2 + isin ϕ2) Összeadás, kivonás: nincs értelmezve. Szorzás: z1* z2 = r1* r2(cos (ϕ1 + ϕ2) + isin (ϕ1 + ϕ2)) z r Osztás: 1 = 1 (cos(φ1 − ϕ 2 ) + i sin (φ1 − ϕ 2 )) z2 r2 Hatványozás: zn = rn(cos nϕ + i sin nϕ) Pl.: z = 5(cos π /3 + i sin π /3), z4 = 54(cos 4 π /3 + i sin 4 π /3).
ϕ + 2πk ϕ + 2πk ⎞ ⎛ z = n r ⎜ cos + i sin ⎟, ahol k = 0,1,2,..., n − 1 n n ⎝ ⎠ Egy komplex számnak n db n-dik gyöke van. Gyökvonás:
n
Exponenciális alak z = a + bi = reϕi, ahol r = | z | és ϕ = arctg(b / a).
42 + 42 = 32 = 4 2 tg ϕ = -4/4 = -1, ϕ = - π/4 (arctg(-1) = -π /4). 4 - 4i exponenciális alakja: 4 2e − iπ / 4 . Pl.: Irjuk fel a 4 - 4i komplex számot exponenciális alakban! Megoldás:
Műveletek z1 = r1e iϕ1 és z 2 = r2 e iϕ 2 Összeadás, kivonás: nincs értelmezve. Szorzás: z1 * z 2 = r1 * r2 * e i (ϕ1 +ϕ 2 ) Pl.: z1 = 2e iπ / 4 ; z 2 = 3e − iπ / 3 . z1 z 2 = 6e i (π / 4−π / 3) = 6e − iπ /12 . o o o z r z Osztás: 1 = 1 * e i (ϕ1 −ϕ 2 ) Pl.: z1 = 6e i 85 ; z 2 = 2ei 25 . 1 = 3e i 60 = 3e iπ / 3 . z 2 r2 z2 Hatványozás: z n = r n e inϕ Pl.: z = 2e iπ / 5 ; i
z 5 = 25 e i 5π / 5 = 32e iπ .
ϕ + 2 kπ
Gyökvonás: z = r * e n , ahol k = 0,1,2,..., n − 1 Összefüggés a trigonometrikus és az exponenciális alak között: reϕi = r(cos ϕ + i sin ϕ) n
n
4
2. Sorozatok Sorozat definíciója, monotonitás, korlátosság. A sorozatok konvergenciája, a konvergencia és korlátosság kapcsolata. A végtelen határérték definíciója. Nevezetes sorozatok konvergenciája. A számsorozat fogalma Sorozaton olyan függvényt értünk, melynek értelmezési tartománya a természetes számok halmaza (vagy annak részhalmaza). Számsorozatnak az olyan sorozatokat nevezzük, melyeknek függvényértékei valós számok. Az a(n) függvényértéket an-nel jelöljük és n-edik (általános) tagnak nevezzük. Az a(n) értékkészlete tehát (a1 , a2 , a3 , ..., an, ...). (a1, a2, ..., an ...) helyett gyakran a1,a2,...,an,...-t írunk. Jelölések még: (an), an, an = a(n). Egy sorozat általános tagját an-ként adjuk meg, és megadjuk azt a függvényt, mely a sorozat elemeit előállítja. Mivel a sorozat értelmezési tartománya diszkrét számokat tartalmaz, ezért a sorozat is diszkrét pontok halmazaként ábrázolható. Korlátosság Korlátosnak nevezzük a sorozatot, ha alulról és felülről egyaránt korlátos. Műveletek: a) c(an) = (can) b) (an) + (bn) = (an + bn) c) (an) (bn) = (anbn) ( a n ) ⎛ an ⎞ = ⎜ ⎟ feltéve, hogy bn nem 0. d) (bn ) ⎜⎝ bn ⎟⎠ Megjegyzés. (an) - (bn) = (an) + (-1)(bn) = (an - bn). Sorozat határértéke Egy valós számsorozat határértéke az A valós szám, ha A bármely környezetén kívül a sorozatnak legfeljebb véges sok eleme van. Ezzel ekvivalens: az (an) határértéke A , ha bármely ε > 0-hoz létezik olyan n0∈ N szám, hogy |an - A| < ε , ha n > n0 azaz A - ε < an < A + ε , ha n > n0. (n0 küszöbszám, hibakorlát). Azt mondjuk, hogy az (an) sorozat konvergál vagy tart az A-hoz és az an→ A , lim an = A, lim an = A szimbólumok valamelyikével jelöljük. n→∞
Ha van véges határérték, akkor konvergens sorozatról beszélünk, ha nincs, akkor divergens a sorozat. 5
A definícióból következik, hogy minden sorozatnak legfeljebb egy határértéke lehet. Az is könnyen belátható, hogy minden konvergens sorozat korlátos. Torlódási pont DEFINÍCIÓ. Az A számot a sorozat torlódási pontjának nevezzük, ha A bármely környezetében a sorozat végtelen sok eleme helyezkedik el. TÉTEL. Bármely sorozatnak legfeljebb egy határértéke lehet. Megjegyzés. Ha a sorozat elemeinek halmaza korlátos, akkor a sorozat korlátos. Ilyenkor van: sup{an|n ∈ N} , ill. inf{an|n ∈ N}. A sorozat torlódási pontjának nevezzük azt a B számot, melynek tetszőlegesen szűk környezetében a sorozat végtelenül sok eleme helyezkedik el. Végtelen sorozat esetén ez nem feltétlenül jelenti azt, hogy az említett tartományon kívül csak véges számú elem található, ugyanis vannak olyan sorozatok, melyeknek több torlódási pontjuk van. Kimondható, hogy a konvergens sorozatoknak csak egy torlódási pontjuk lehet, és az a határértékkel azonos. Végtelenhez tartó sorozatok A végtelen mint határérték Az (an) határértéke plusz végtelen, ha bármely k ∈ R+ számhoz létezik olyan n0 ∈ N+ küszöbszám, hogy n > n0 esetén an > k . Tágabb értelemben konvergens. Jelölés : an → ∞ ; (an → ∞) vagy lim an = -∞ (lim an = - ∞) Vannak olyan számsorozatok, amelyeknél an → ∞, ha n → ∞ Ezeket a sorozatokat végtelenbe tartó (divergens) sorozatoknak nevezzük. Végtelenhez tartó sorozatok esetén kimondható, hogy tetszőleges k számhoz mindig létezik olyan n0 küszöbszám, amelynél an > k, ha n > n0. Végtelenhez tartó sorozat esetén azt mondjuk, hogy a sorozat tágabb értelemben konvergens. Műveletek konvergens sorozatokkal Konvergens sorozatok alapműveletei TÉTEL. Legyen an korl. bn→0. Akkor an bn→0. TÉTEL. Ha lim an = A lim bn = B, akkor lim (an + bn) = A + B; lim (an - bn) = A - B; lim (anbn) = AB; ⎛a ⎞ A lim⎜⎜ n ⎟⎟ = ; ( B ≠ 0) ⎝ bn ⎠ B Következmények 1) lim (c) = c. 6
2) Ha lim an = A, akkor ank = Ak . 1 lim 1 1 3) lim = = ; ( A ≠ 0) an lim an A 4) lim c an = c lim an Részsorozat konvergenciája Ha (an) véges vagy végtelen sok tagját elhagyjuk, akkor a maradék részsorozat. Állítás: konvergens sorozat bármely részsorozata is konvergens és azonos a határértékük. Ha valamely sorozat konvergens és határértéke = A, akkor bármely részsorozata is konvergens, és határértéke szintén = A. Rendőrelv Ha lim an = lim bn = A és valamely n1-től kezdve igaz, hogy an ≤ cn ≤ bn, akkor cn is konvergens, és lim cn = A. Konvergens sorozat gyöke Minden nemnegatív sorozatra igaz, hogy lim k a n = k A, ha lim a n = A . Polinomtörtek a p n p + a p −1n p −1 + ... + a0 a p = , ha p = q. lim bq n q + bq −1n q −1 + ... + b0 bq Ha a számlálóban a legmagasabb hatvány alacsonyabb, mint a nevezőben, akkor a határérték 0. Ha p>q, akkor a sorozat nem konvergens. Sorozat monotonitása DEFINÍCIÓ. Az (an) számsorozat növekedő (szigorúan növ.), ha an < an + 1, nem csökkenő (tágabb értelemben növ.), ha an ≤ an +1 , csökkenő (szigorúan csökk.), ha an > an + 1, nem növekedő (tágabb értelemben csökk.), ha an ≥ an +1 , fennáll minden n ∈ N − re. TÉTEL. 1.) Ha (an) szigorúan monoton növekedő, és a) ha (an) korlátos, akkor (an) konvergens és határértéke a felső határa, azaz lim(an)= sup {an|n∈ N}. b) ha nem korlátos, akkor lim(an)= ∞. 2.) Ha (an) szigorúan monoton csökkenő, és a) korlátos, akkor lim(an)= inf {an|n∈N} b) ha nem korlátos, akkor lim(an) = -∞. 7
Háromféle lehetőség van a monotonitás vizsgálatára: 1. Behelyettesítve n-t illetve (n+1)-t közvetlenül igazoljuk az egyenlőtlenséget. 2. Azt vizsgáljuk, hogy az (n+1)-dik tagból az n-dik tagot kivonva mindig pozitív (negatív) számot kapunk-e. 3. Az n-dik és az (n+1)-dik tag hányadosát vizsgáljuk, hogy minden n értékre nagyobb-e (kisebb-e) 1-nél. Valamely monoton sorozat vagy korlátos, vagy (+/-) végtelenhez konvergál. Nevezetes sorozatok határértéke lim qn →∞ →1 →0 → divergens, nincs határértéke. n n ⎛ 1⎞ ⎛ k⎞ Az e szám eredete (kb 2,72): lim⎜1 + ⎟ = e; általános alakban : lim⎜1 + ⎟ = e k . ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ n-dik gyök határértéke Minden pozitív a számra igaz: lim n a = 1 . a>0 lim n n = 1. Bernoulli egyenlőtlenség: a fentiek igazolására az (1 + k)n ≥ (1 + n*k) egyenlőtlenség használható fel, amely tetszőleges n-re és k-ra igaz. q>1 q=1 |q|<1 q ≤ -1
3. Függvények 1. A függvény definíciója, értelmezési tartomány, értékkészlet. Injektív, szürjektív, bijektív függvények. Zérushely, monotonitás, szélsőérték, alak, korlátosság, periodicitás, paritás értelmezése. Inverzfüggvény, létezésének feltételei, meghatározási módja. A függvény (vagy más néven parciális leképezés) a matematika egy olyan absztrakt fogalma, mely a geometriai leképezések, elemi algebrai műveletek, folytonosan változó mennyiségek és hasonló, bemeneti értékekből egyetlen kimeneti értéket produkáló fogalmak általános leírására szolgál. Egy f függvény értékek egy H halmazának – melyet az f értelmezési tartományának nevezünk – minden egyes x eleméhez egyetlen y kimeneti értéket rendel. Hagyományosan ezt így jelölik: 8
y = f(x), ahol f: xÆy, ahol
vagy
A függvény fogalmához szorosan hozzátartozik az az elv, hogy két függvényt akkor tekintünk egyenlőknek, ha értelmezési tartományuk ugyanaz és a közös értelmezési tartomány minden egyes x eleméhez a két függvény ugyanazt az értéket rendeli. Szabatos matematikai fogalmazásban, függvényen általában úgynevezett jobbról egyértelmű hozzárendelést értünk. A függvény fogalma tehát a reláció (más néven: hozzárendelés) fogalmának olyan speciális esete; melyben bármely adott dologhoz legfeljebb egy dolgot rendelünk hozzá. Ha ezen felül megköveteljük azt is, hogy a függvény minden ilyen dologhoz legalább egy dolgot hozzárendeljen, azaz ha a reláció bármely adott dologhoz pontosan egy dolgot rendel hozzá, akkor függvény helyett totális függvényről (illetve parciális leképezés helyett relációról beszélünk. Legyen X és Y tetszőleges nem üres halmazok. Ha az X halmaz minden eleméhez az Y halmaz egy és csak egy elemét rendeljük (egyértelmű hozzárendelés), akkor az X halmazon egy függvényt definiálunk. Értelmezési tartomány: a kiindulási halmaz (X halmaz) jele: Df Értékkészlet: az Y halmaz azon elemeinek halmaza, melyeket hozzárendeltünk X valamely eleméhez. Jele: Rf Injektív, szürjektív, bijektív függvények Injekciónak, injektív leképezésnek, egy-egyértelmű leképezésnek, vagy kölcsönösen egyértelmű leképezésnek nevezzük azokat a függvényeket, melyek az értelmezési tartomány különböző elemeihez az értékkészlet különböző elemeit rendelik. (Nem tévesztendő össze a kölcsönösen egyértelmű megfeleltetéssel, mely a bijektív függvény.) A ráképezésnek vagy szürjekciónak, illetve szürjektív leképezésnek vagy szürjektív függvénynek nevezzük azokat a leképezéseket, illetve függvényeket, amelyeknél a leképezés [függvény] értékkészlete megegyezik a leképezés [függvény] érkezési halmazával, azaz egy f: elemnek létezik AÆB leképezés [függvény] pontosan akkor ráképezés, ha minden őse a f leképezés [függvény] mellett. Zérushely Egy f függvény zérushelye az értelmezési tartomány olyan x értéke, melyre (f(x) =0). A függvény grafikonjának a zérushelyen közös pontja van az x tengellyel. Monotonitás 9
Az f∈R→R függvényt az X⊂ Df halmazon monoton növekvőnek nevezzük, ha bármely x1, x2∈X, x1< x2 esetén f(x1) ≤f(x2) is teljesül. Az f∈R→R függvényt az X⊂ Df halmazon monoton csökkenőnek nevezzük, ha bármely x1, x2∈X, x1< x2 esetén f(x1)≥ (x2) is teljesül. Szigorúan monoton függvény esetén az egyenlőség nem megengedett. Konstans függvény esetén dönthetünk, hogy a függvényünk monoton növekvő vagy csökkenő (NEM szigorúan). Lokális- és az abszolút szélső értékhely Legyen f tetszőleges függvény, és H része f értelmezési tartományának. Azt mondjuk, hogy a∈H az f-nek H ra nézve (szigorú) abszolút maximumhelye (minimumhelye), ha minden x∈H (x≠a) esetén f(x)
f(a)). Ha az egyenlőséget megengedjük, akkor tágabb értelemben vett abszolút maximumhelyről (minimumhelyről) beszélünk. A maximumhely és minimumhely közös neve szélsőértékhely. Ha mást nem mondunk, H alatt az értelmezési tartományt értjük. Az a∈ Df az f függvénynek lokális maximumhelye (minimumhelye), ha a-nak van olyan K környezete, hogy f-nek az a a K∩ Df halmazra nézve abszolút maximumhelye (minimumhelye). Függvények alakja A függvények alakja lehet egyenes, amikor a függvény felírható ax+b formában. Ezt jobban nem magyarázzuk. Pl. f(x)=2x+1
A hiperbola azon pontok halmaza, melyeknek két rögzített ponttól (fókusz- vagy gyújtópontoktól) való távolságának különbsége állandó. (A bal oldali képen látható.) Pl. f(x)=lnx A parabola azon pontok mértani helye a síkban, melyek egyenlő távolságra vannak egy adott ponttól (fókuszpont, vagy gyújtópont) és egy ezen a ponton át nem haladó adott egyenestől (direktrix, vezéregyenes). (A jobb oldali képen látható.) Pl. f(x)=x2 10
Korlátosság - Az f∈R→R függvényt alulról korlátosnak nevezzük, ha van olyan k∈R, hogy bármely x∈Df esetén k≤f(x). - Az f∈R→R függvényt felülről korlátosnak nevezzük, ha van olyan k∈R, hogy bármely x∈Df esetén f(x)≤k. Ha az f függvény alulról és felülről is korlátos, akkor korlátosnak nevezzük. Periodicitás Az y = f(x) függvény periodikus, ha létezik egy olyan a>0 szám, hogy bármely x értékre és bármely egész k számra igaz, hogy f(x) = f(x+k*a). Vagyis a függvényből kiemelhető olyan függvényérték, amely a szakaszonként ismétlődik. Az a szakaszt a függvény periódusának nevezzük. Pl. sin (x), cos (x), tg (x), ctg (x) Paritás Az f∈R→R függvényt páros függvénynek nevezzük, ha minden x∈Df esetén -x∈Df és f(-x) =f(x) is teljesül. Az f∈R→R függvényt páratlan függvénynek nevezzük, ha minden x∈Df esetén -x∈ Df és f(-x) = -f(x) is teljesül. Az összetett illetve inverz függvény Az f és g függvény összetételén azt a fog szimbólummal jelölt függvényt értjük, amelynek értelmezési tartománya D g minden olyan x pontja, ahol g(x) ∈ Df és fog(x)=f(g(x)). Az f a külső és g a belső függvény. Az inverz függvény (vagy másnéven inverz leképezés) alatt olyan függvényt (illetve leképezést) értünk, amelyhez létezik egy f: XÆY függvény úgy, hogy az f-1 inverz függvény egy y-hoz azt az egyetlen x-et rendeli, melyhez f az y-t rendelte, tehát f-1: YÆX, melyre: f(x) = y. Függvény inverze csak kölcsönösen egyértelmű hozzárendelések esetén lehetséges, azaz olyan függvények esetén, amelyek különböző x-ekhez különböző y-okat rendelnek, máskülönben nem teljesülne a fenti egyértelműségi kitétel. Hasonlóképpen leképezés inverze csak kölcsönösen egyértelmű ráképezések esetén lehetséges, azaz olyan leképezések esetén, amelyek különböző xekhez különböző y-okat rendelnek és minden amelyeknél minden y elemhez létezik x úgy, hogy f(x) = y. Az inverz meghatározási módja: Legegyszerűbben úgy lehet, ha megvizsgáljuk a függvényünk értelmezési tartományát. Ahol nincs értelmezve ott az inverz sem lesz, hiszen az inverz 11
függvényünk értelmezési tartománya az eredeti függvényünk értékkészlete. Miután ezt megtettük az eredeti függvényünkben x helyére y-t helyettesítünk, majd kifejezzük y-t.
4. Függvények 2. Elemi függvények ábrázolása és jellemzése. Függvény határértéke és folytonossága. Elemi függvényvizsgálat. Ábrázolja és jellemezze a pozitív valós számok halmazán értelmezett x → ax függvényt (a > 0, illetve 0 < a < 1)! Az x→ ax függvény jellemzése: (a > 0, illetve 0 < a < 1 esetén) Értelmezési tartomány: Értékkészlet:C:\Users\Hkoko\Deskto p\matekszigor\tetelsor\fuggveny_et_ ek.html Zérushelye: Szélsőértéke: Menete: Korlátos: Páros vagy páratlan: Periodikus: Folytonos: Inverz függvénye:
x∈R y = ax ∈ R + Nincs Nincs a > 1 esetén monoton nő; 0 < a < 1 esetén monoton csökken. Nem (Alulról igen) Egyik sem Nem Igen A logaritmus függvény
Ha a>0 (pl. 2):
Ha a<0 (pl. -2):
12
Ábrázolja és jellemezze a logaritmus függvényt! Az x→ logax függvény jellemzése: (a > 1, illetve 0 < a < 1 esetén) x ∈ R+ y = logax ∈R x=1 Nincs a > 1 esetén monoton nő; 0 < a < 1 esetén monoton csökken Nem Egyik sem Nem Igen Az exponenciális függvény
Értelmezési tartománya: Értékkészlete: Zérus helye: Szélsőértéke: Menete: Korlátos: Páros vagy páratlan: Periódikus: Folytonos: Inverze: Ha a>1 (pl. 2):
Ha 0
Ábrázolja és jellemezze a sinus és cosinus függvényeket! Az x → cosx függvény jellemzése: Értelmezési tartománya: Érték készlete: Zérushelye: Szélsőértéke:
x∈R y = cosx ∈ R|y ∈ [-1;1] x = π / 2 + kπ ; k ∈ Z Maximum: y = 1; x = 0 + k2 π ; k ∈Z 13
Menete: Korlátos: Páros vagy páratlan: Periódikus: Folytonos: Inverze
Minimum: y = -1; x = π + k2π ; k ∈Z Monoton nő, ha π + k2 π ≤ x ≤ 2 π + k2 π ; k ∈Z Monoton csökken, ha 0 + k2 π ≤ x ≤ π + k2 π ; k ∈Z Igen. -1 ≤ cosx ≤ +1 Páros, cos(-x) = cos(x) Igen. A periódus hossza: p = 2 π Igen Nincs
Az x→ sin(x) függvény jellemzése: Értelmezési tartomány: Érték készlet: Zérushelye: Szélsőértéke: Menete: Korlátos: Páros vagy páratlan: Periódikus: Folytonos: Inverz függvénye:
x∈R y = sin(x)∈ R|y∈ [-1;1] x = 0 + kπ ; k∈Z Maximum: y = 1; x = π / 2 + k2π ; k∈Z Minimum: y = -1; x= 3π / 2 + k2π ; k∈Z Monoton nő, ha -π / 2 + k2π≤x ≤π / 2 + k2 π ; k∈Z Monoton csökken, ha π / 2 + k2 π≤ x ≤3π / 2 + k2 π; k ∈Z Igen. -1≤ sin(x)≤ + 1 Páratlan, sin(-x) = -sin(x) Igen. A periódus hossza: p = 2 π Igen Nincs
14
A határérték vizsgálata folyamán azt vizsgáljuk, hogyan viselkedik a függvény az értelmezési tartomány egy bizonyos pontján, illetve akkor, ha a független változó a végtelenhez tart. Válasszuk az x értéket a-hoz tetszőleges közel az f(x) értelmezési tartományban. Vizsgáljuk meg, hogy hogyan viselkedik az f(x) függvény ezen x értékekre. Előfordulhat, hogy az ilyen x-ekre (amelyek tehát az a helyhez tetszőlegesen közel lettek választva) az f(x) értékek egy jól meghatározott A szám közelébe esnek. Ilyenkor azt mondjuk, hogy az f(x) függvénynek az a helyen létezik határértéke és az A-val egyenlő. Határérték a végesben Heine-féle definíció Akkor mondjuk, hogy f(x) függvénynek a helyen A határértéke, ha: 1. az f(x) függvény a bármilyen környezetében értelmezett, de nem szükséges, hogy a függvény a-ban is értelmezett legyen; 2. a-hoz tartó bármely xn konvergens sorozat esetén a függvényértékek A-hoz konvergálnak. Cauchy-féle definíció Akkor mondjuk, hogy f(x) függvénynek a helyen A határértéke, ha bármely pozitív ε-hoz megadható olyan pozitív δ szám, amelynél ha x benne van a-nak δ sugarú környezetében (de azzal nem egyenlő), akkor: 1. f(x) értelmezve van x helyen; 2. f(x) benne van A szám ε sugarú környezetében. Egyoldali határérték Akkor mondjuk, hogy f(x) függvénynek a helyen A bal oldali határértéke, ha: 1. f(x) értelmezve van a bal oldali környezetében (B környezet); 15
2. bármely B-beli, a-hoz konvergáló sorozat esetén a függvényérték A-hoz konvergál. A jobb oldali határérték hasonlóképpen definiálható. Amennyiben a bal és a jobb oldali határértékek egy adott pontban léteznek és egyenlőek, akkor a függvénynek az adott ponton van határértéke, és az egyenlő a közös bal és jobb oldali határértékekkel. Ha a bal és jobb oldali határértékek nem egyeznek meg, akkor a függvénynek az adott ponton nincs határértéke. Ilyen pl. az Y = SGN(x) függvény is. Határérték a végtelenben
Ha [k, ∞) intervallumban értelmezett f(x) függvény értéke bármely, k-ból ∞-hez tartó xn sorozat esetén konvergál A-hoz, akkor a függvény végtelenben vett határértéke A. Vagyis nagyon nagy x értékekre az f(x) függvényértékek egy jól meghatározott A számérték közelébe kerülnek. Ez az értelmezés mind pozitív, mind negatív végtelen határértékre igaz.
Műveletek határértékekkel Ha f(x) és g(x) függvényeknek az a pontban létezik határértéke, akkor ezen lima (f(x)-g(x)) = lima f(x) - lima g(x) függvények összegének, különbségének, szorzatának és hányadosának is létezik határértéke, az alábbiak szerint: lima (f(x)+g(x)) = lima f(x) + lima g(x) lima (f(x)*g(x)) = lima f(x) * lima g(x) lima (f(x) / g(x)) = lima f(x) / lima g(x) Hányadosok esetén van két megszorítás: 1. lima g(x) <> 0 illetve g(x) <> 0; 2. ha a hányados "0 / 0" vagy "∞ / ∞" típusú határértéket adna, akkor a törtet addig kell rendezni, míg véges értéket nem kapunk. Függvények folytonossága Valamely f függvény a pontban akkor folytonos, ha: 1. értelmezve van a pontban, 2. létezik véges határértéke a pontban, 3. a pontban vett határértéke megegyezik az a-beli függvényértékkel. 16
Nyilvánvalóan nem sok értelme van a folytonosság végtelenben való vizsgálatának. Ha f függvény a pontban folytonos, akkor azt mondjuk, hogy a pont az f függvény folytonossági helye. Ha f függvény folytonos a pont valamely környezetében, de magában a-ban nem, akkor a pont a függvény szakadási helye. (pl: Signum v. SinX/X
Fontosabb függvénytípusok Racionális egész függvények Polinomfüggvények. Ha nem tartalmaznak n-nél nagyobb kitevőt, akkor n-edfokú polinomfüggvényeknek nevezzük őket. Az értelmezési tartomány minden pontján folytonosak. Racionális törtfüggvények: két polinomfüggvény hányadosa. Irracionális függvények: olyan függvények, melyekben a gyökvonás művelete is szerepel. Inverz függvények: f függvény inverze az a f-1 függvény, melynél f-1(f(x)) = x Egy függvény akkor és csak akkor invertálható egy adott tartományban, ha abban a tartományban szigorúan monoton. Ekkor inverze is szigorúan monoton, és monotonitásának iránya megegyezik az eredeti függvénnyel. Grafikusan az invertálást úgy végezhetjük el, hogy az eredeti függvényt tükrözzük az y = x egyenesre (derékszögű koordinátarendszerben).
Elemi függvényvizsgálat pontjai 17
Függvényvizsgálat Az elemi függvények tulajdonságait felhasználva elemi úton vizsgálhatók azok a függvények, amelyek valamely alapfüggvény transzformációjaként előállíthatók. Például: páros*páros fv=páros fv. páratlan*páratlan fv=páros fv. A tulajdonságok nagyrészét említettem az előző tételben, arra nem térnék vissza. Differenciálszámítás segítségével vizsgálható függvénytulajdonságok: Monotonitás Ha az f(x) függvény (a; b) intervallumon differenciálható, és ezen az intervallumon a deriváltfüggvénye pozitív (negatív), akkor (a; b)-n f(x) szigorúan monoton növekvő (csökkenő). Konvexség, konkávság Ha az f(x) függvény (a; b) intervallumon kétszer differenciálható, és f(x) második deriváltfüggvénye ezen az intervallumon pozitív (negatív), akkor a f(x) (a; b)-n konvex (konkáv). Szélsőérték Ha az f(x) függvény (a; b) intervallumon differenciálható, és az intervallum egy x0 pontjában szélsőértéke van, akkor igaz, hogy (Ez a feltétel, szükséges, de nem elégséges.) Ha az f(x) függvény (a; b) intervallumon differenciálható és az intervallum egy x0 pontjában 0 a deriváltja, és ebben a pontban a derivált előjelet vált, akkor x0 pontban a függvénynek helyi szélsőértéke van. Tétel: f(x)=xn ( n pozitív természetes szám) függvény minden valós x helyen deriválható, és A bizonyítást teljes indukcióval végezzük: • n=1 esetén igaz az állítás: x'=1 • Tegyük fel, hogy n-re igaz az állítás, és mutassuk meg, hogy n+1-re is igaz. Az indukciós feltétel: Mivel xn+1=x ·xn, használhatjuk a szorzat deriválására vonatkozó szabályt: 18
n-ről n+1-re bizonyítottuk a formula helyességét, tehát minden pozitív természetes kitevőre is igaz.
5. Differenciálszámítás 1. A differencia- és differenciálhányados definíciója, geometriai jelentése. Differenciálási szabályok. Elemi függvények differenciálhányadosai. A differenciál fogalma.
A differenciahányados a függvénygörbe egy szelőjének meredekségét adja meg.
Ha a differenciahányadosnak az a helyen létezik véges határértéke, akkor ezt a határértéket nevezzük az f függvény a helyhez tartozó differenciálhányadosának. A differenciálhányados a görbe érintőjének meredekségét adja. Differencia: Az f(x)-f(a) különbséget hívjuk differenciának. Differenciál: Egy függvény végtelen kicsiny megváltozása, miközben a független változót végtelen kis mennyiséggel megváltoztatjuk. A független változó differenciáljának az x – a különbséget nevezik.
19
Ha egy függvény értelmezési tartomány valamely részhalmazának minden pontjában differenciálható, akkor azt mondjuk, hogy a függvény differenciálható ezen a halmazon, és az intervallum pontjaihoz rendelt differenciálhányadosokat az f függvény differenciálhányados függvényének, röviden deriváltjának nevezzük. Függvénygörbe adott pontjának érintője egyenletének meghatározása: P ( x0; y0 ) y – y0 = m ( x - x0 ) y = x2 – 4 , P ( 2; 0 ) me = f’(2) f’(x) = 2x az egyenlet : y – 0 = 4 ( x – 2 ) vagyis y = 4x – 8
m=4
Differenciálási szabályok, elemi függvények deriváltjai
3) Deriválási szabályok
20
A differenciálhányados definíciója alapján adjuk meg a következő függvények deriváltját: a) f: R Æ R
g(x) =
f(x) = c
f ( x ) − f ( x0 ) c−c = =0→0 x − x0 x − x0
A g(x) függvény tart a 0-hoz Æ a konstansfüggvény deriváltja, f '(x) = 0. b) f: R Æ R
g(x) =
f(x) = x
f ( x ) − f ( x0 ) x − x0 = = 1→ 1 x − x0 x − x0
A g(x) függvény tart az 1-hez Æ a függvény deriváltja, f '(x) = 1.
c) f: R Æ R
g(x) =
f(x) = x2
f ( x ) − f ( x0 ) x 2 − ( x0 ) 2 ( x − x0 ) ⋅ ( x + x0 ) = ( x + x0 ) = = x − x0 x − x0 x − x0
Tudjuk, hogy x Æ x0, így x + x0 Æ 2 x0 A g(x) függvény tart 2 x0-hoz Æ f '(x0) = 2 x0; f '(x) = 2 x. d) f: R Æ R
ezt lejjebb igazoljuk (4. oldal)
f(x) = |x|
Ha x0 > 0: f ( x ) − f ( x0 ) x − x0 x − x0 g(x) = =1 = = x − x0 x − x0 x − x0 Ha x0 < 0
g(x) =
|x – x0| < x − x0 x − (− x 0 ) − x − (− x 0 ) − (x − x 0 ) f ( x ) − f ( x0 ) = −1 = = = = x − x0 x − x0 x − x0 x − x0 x − x0
x0 2
Az x0 = 0 helyen a g differenciahányados-függvénynek nincs határértéke (mivel a jobb- és baloldali derivált 1 és –1, nem egyenlőek), így ott a függvény nem is deriválható.
21
Szorzat deriváltja:
3.1) Összeg, szorzat és hányados deriváltja Az f1(x) és f2(x) x0-ban differenciálható függvények. Adjuk meg az f = f1 + f2 függvény x0-beli deriváltját!
g(x) =
f ( x ) − f ( x 0 ) [ f 1 ( x ) + f 2 ( x )] − [ f 1 ( x 0 ) + f 2 ( x 0 )] f 1 ( x ) − f 1 ( x 0 ) + f 2 ( x ) − f 2 ( x 0 ) = = = x − x0 x − x0 x − x0
f 1( x ) − f 1( x 0 ) f 2 ( x ) − f 2 ( x0 ) + → f 1' ( x 0 ) + f 2 ' ( x 0 ) x − x0 x − x0
=
Különbség deriváltja: f = f1 – f2
g(x) =
f 1 ( x ) − f 1 ( x 0 ) − [ f 2 ( x ) − f 2 ( x 0 )] → f 1' ( x0 ) − f 2 ' ( x0 ) x − x0
Adjuk meg az f = f1 · f2 függvény x0-beli deriváltját!
g(x) =
f ( x ) − f ( x0 ) f ( x ) ⋅ f 2 ( x ) − f 1( x 0 ) ⋅ f 2 ( x 0 ) = 1 = x − x0 x − x0 =
=
=0
f 1( x ) ⋅ f 2 ( x ) − f 1 ( x 0 ) ⋅ f 2 ( x ) + f 1( x 0 ) ⋅ f 2 ( x ) − f 1( x 0 ) ⋅ f 2 ( x 0 ) = x − x0
f 2 ( x ) ⋅ [ f 1( x ) − f 1( x 0 )] + f 1( x 0 ) ⋅ [ f 2 ( x ) − f 2 ( x0 )] f ( x ) − f 1( x 0 ) f ( x ) − f 2 ( x0 ) = f2( x) ⋅ 1 + f 1( x 0 ) ⋅ 2 → x − x0 x − x0 x − x0
→ f 2 ( x ) ⋅ f1' ( x0 ) + f1( x0 ) ⋅ f 2' ( x0 )
Sejtés: (xn)' = n · xn-1
Teljes indukciós bizonyítás:
n = 1-re igaz: (x)' = 1 feltételezzük, hogy n = k-ra igaz: (xk)' = k · xk-1 és megvizsgáljuk, hogy n = k + 1-re igaz-e:
(xk+1)' = (xk · x)' = (xk)' · x + xk · (x)' = k · xk-1 · x + xk · (x)' = k · xk + xk = (k + 1) · xk 3 Szorzás konstanssal: f = c · f1
f' = c' · f1 + f1' · c = f1' · c Adjuk meg az f =
f1 függvény x0-beli deriváltját (a szorzat deriváltjának felhasználásával)! f2
22
′ ′ ′ ⎛ f1 ⎞ ⎛ ⎛ 1 ⎞ f' f ⋅f ' f ' ⋅ f − f1 ⋅ f 2' 1 ⎞ 1 ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ f 1 ⋅ ⎟⎟ = f 1' ⋅ + f 1 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = 1 − 1 22 = 1 2 f2 ⎠ f2 f2 ( f2 ) ( f 2 )2 ⎝ f2 ⎠ ⎝ ⎝ f2 ⎠
4) Szinusz- és koszinuszfüggvény Írjuk fel az f(x) = sin x függvény x0-hoz tartozó különbségihányados-függvényét!
g(x) =
f ( x) − f ( x 0 ) sin x − sin x 0 = = x − x0 x − x0
Mivel x Æ x0
2 ⋅ cos
x + x0 x − x0 x − x0 sin ⋅ sin 2 2 = 2 ⋅ cos⎛⎜ x + x 0 ⎜ 2 x − x0 x − x0 ⎝ 2
x – x0 Æ 0
1-hez (biz.: utolsó o.)
(sin x)' = cos x
⎞ ⎟⎟ ⎠
(ld. fgvtábla)
cos x0-hoz
cos x0-hoz,
mivel x Æ x0
Írjuk fel az f(x) = cos x függvény x0-hoz tartozó különbségihányados-függvényét!
g(x) =
f ( x) − f ( x 0 ) cos x − cos x 0 = = x − x0 x − x0
− 2 ⋅ sin
x + x0 x − x0 x − x0 ⎛ ⋅ sin ⎜ sin 2 2 = −⎜ 2 ⎜ x − x0 x − x0 ⎜ 2 ⎝
(cos x)' = – sin x
⎞ ⎟ ⎟ ⋅ sin ⎛⎜ x + x 0 ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎟ ⎠
⎞ ⎟⎟ → ⎠
– sin x0
1-hez (biz.: utolsó o.)
5) Összetett függvény deriváltja f(x) = sin 2x Ez a függvény leírható két, egymásba ágyazott függvényként: f1(x) = 2x f(x) = sin(f1(x)) A függvény deriváltja: f ' = [ f ( f 1 ( x ))]' = f ' ( f 1 ( x )) ⋅ f 1' ( x ) = (sin 2x)' ⋅ (2x)' = 2 ⋅ cos2x (ezt az összefüggést nem bizonyítjuk).
6) Exponenciális függvény deriváltja 23
⎛
1⎞ n⎠
n
Az an = ⎜1 + ⎟ sorozat monoton növekvő és korlátos, vagyis konvergens is, határértéke ⎝
e ≈ 2,718 , ami a természetes logaritmus alapja. (biz.: utolsó oldal)
lim
1 en
n →∞
−1 =1 1 n
(biz.: utolsó oldal)
Írjuk fel az f(x) = ex függvény x0-hoz tartozó különbségihányados-függvényét!
(
)
f ( x ) − f ( x 0 ) e x − e x0 e x0 e x − x0 − 1 e x − x0 − 1 = = = e x0 ⋅ → e x0 x − x0 x − x0 x − x0 x − x0
g(x) = (ex)' = ex
pl. (2x)' = (ex⋅ln2)' = ex⋅ln2 ⋅ ln 2
(mivel összetett függvényként deriváljuk)
7) Logaritmus deriváltja Írjuk fel az f(x) = ln x függvény x0-hoz tartozó különbségihányados-függvényét!
g(x) =
f ( x ) − f ( x 0 ) ln x − ln x 0 = = x − x0 x − x0
(ln x)' =
1 x '
1 1 1 1 1 → ln x = = = ln x ln x − ln x0 0 x − x0 x 1 e − e ln x0 e e − 0 e ln x0 ln x − ln x 0 ln x − ln x 0 ln x − ln x 0
(
'
1 1 1 ⎞' ⎛ ln x ⎞ ' ⎛ 1 (lg x)' = ⎜ ⋅ ln x ⎟ = ⋅ = ⎟ =⎜ ln 10 x x ⋅ ln 10 ⎝ ln 10 ⎠ ⎝ ln 10 ⎠
(mivel 1 / ln 10 konstans)
24
)
Hányados deriváltja:
′ ⎛ f1 ⎞ f1 '⋅f 2 − f1 ⋅ f 2 ' ⎜⎜ ⎟⎟ = (f 2 ) 2 ⎝ f2 ⎠
25
