Dinamikus Indexek. Kondor Gábor. Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Témavezet k: Márkus Balázs. Böde Csaba

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar MSc Szakdolgozat

Dinamikus Indexek Kondor Gábor Biztosítási és Pénzügyi Matematika Szak Kvantitatív Pénzügyek Szakirány

Témavezet®k:

Böde Csaba

Márkus Balázs

Vice President Morgan Stanley

Egyetemi Tanársegéd Befektetések és Vállalati Pénzügy Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar

Budapesti Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar

Budapest, 2015

Köszönetnyilvánítás Szeretném megköszönni Böde Csabának a téma ajánlását, emellett mind neki, mind Márkus Balázsnak a számos épít® jelleg¶ észrevételt és szakért®i tanácsot, amit a dolgozat írása közben kaptam. Emellett szeretnék köszönetet mondani Michaletzky György tanár úrnak, aki készséggel segített a matematikai jelleg¶ kérdéseim megválaszolásában. Köszönettel tartozom családomnak és Szabó Edit Boglárkának is, akik odaadó támogatása nélkül ez a dolgozat nem jöhetett volna létre.

Budapest, 2015. május 12.

Kondor Gábor

2

Tartalomjegyzék Bevezetés

4

1. Dow Jones-tól a Target Volatility Indexekig

5

2. Target Volatility Fund-ok (TVF)

8

2.1. A Target Volatility Fund dinamikája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2. A modellválasztás hatásai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3. Az újrasúlyozás gyakoriságának hatásai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3. Target Volatility Opciók (TVO)

16

3.1. TVO árazási formulák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3.1.1. Taylor-sorfejtéssel, t = 0 id®pontban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3.1.2. Taylor-sorfejtéssel, t > 0 esetén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.1.3. Laplace-transzformált segítségével . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.2. Robusztus árazás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.2.1.

Taylor-sorfejtéssel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.2.2.

Laplace-transzformált segítségével . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.3. Árazás r > 0 kamatláb esetén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

4. Kalibrálás

37

5. Összefoglalás

42

Függelék

43

1.

Modellek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.

Ábrák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.

Implementálás MATLAB-ban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

3

Bevezetés Az indexek tagadhatatlanul valamennyi piaci szerepl® számára fontosak, segítségükkel könnyen és gyorsan tájékozódhatunk a piacok állapotáról. Közöttük vannak olyanok, amelyek szinte csupán egy számtani átlagként számítódnak, ugyanakkor vannak olyanok is, amelyek csak dinamikusan létrehozhatóak. A részvényidexek segítségével nyomon követhetjük egy-egy szektor illetve a piac növekedését vagy éppen hanyatlását, valamint támpontot adhatnak saját befektetéseink értékeléséhez. A dinamikus indexek révén pedig például átfogó képet kaphatunk a piaci várakozásokról vagy bizonyos stratégiák értékér®l. Ezen szakdolgozat témája a dinamikus indexeken belül a Target Volatility Index vizsgálata a Target Volatility Fund-ok elemzése révén, valamint az ehhez, mint a volatilitásra nagyban épül® eszközhöz szorosan kapcsolódó Target Volatility Opciók árazási problémájának tárgyalása. Az 1. fejezetben a BÉT Részvényindexek [16] cím¶ elemzésének, valamint a VIX index [6, 5] és az S&P 500 index [12, 11] leírásainak segítségével el®ször általánosan beszélek az indexekr®l, majd kitérek a volatilitás szempontjából is fontos VIX indexre, végül pedig leírom a Target Volatility Indexek létrejöttének okát és mibenlétét. Ezután a 2. fejezetben a Moody's Analytics munkatársainak cikke [14] alapján szimulációk segítségével részletesen megvizsgálom a Target Volatility Fund-okat mind a modellválasztás, mind az újrasúlyozási gyakoriság hatásának szempontjából, amelyhez az S&P 500 indexet, mint kockázatos eszközt felhasználó Target Volatility Fund-ot veszem alapul. A Target Volatility Opciók árazásának problémáját a kell® matematikai alapok leírásával a 3. fejezetben járom körül els®sorban Graziano és Torricelli [9] eredményeinek bemutatásával, ugyanakkor sokat merítek Estrella [7] cikkéb®l is. Ennek során kitérek az árazás lehet®ségére a Taylor-sorfejtés és a Laplace-transzformáció felhasználásával zero kamatláb esetén, valamint megvizsgálom a modellfüggetlen árazás lehet®ségét is. Végül a fejezet végén saját eredményként megkísérlem árazási formulák levezetését pozitív konstans kamatláb esetén. A dolgozat során felhasznált Heston- és Bates-modelleket a Kilin [13] cikkében leírt Direkt integrálás módszerrel hajtottam végre, amelynek lényegét, valamint a kalibrálás során kapott eredményeket és azok illeszkedésének vizsgálatát a 4 fejezetben írom le. A 5. fejezetben az összefoglalás során összegzem az eredményeket és megfogalmazok néhány kérdést az esetleges további vizsgálatok tárgyaként. A Heston- és Bates modellek leírása, az elemzésekhez kapcsolódó további ábrák, valamint az alkalmazott MATLAB algoritmusok részletezése a Függelékben olvashatóak. 4

1. fejezet Dow Jones-tól a Target Volatility Indexekig A következ®ekben a BÉT Részvényindexek [16] cím¶ elemzésének és az S&P 500 Index Módszertanainak (Index Methodology) [12, 11] segítségével általánosan írok az indexekr®l, miközben az egyszer¶bbek fel®l indulva, majd a VIX indexet [6, 5] külön megemlítve végül elérek a dolgozat f® témájáig, a Target Volatility Indexekig és ezekhez kapcsolódóan a Target Volatility Fund-okig, valamint a Target Volatility Opciókig. A Dow Jones Industrial Average, vagy röviden Dow Jones az egyik legrégebb óta létez®, egyszer¶, árfolyam alapú súlyozású index, melynek célja, hogy tisztán és egyértelm¶en tükrözze a piacot. Ugyanakkor, mivel a Dow Jones csupán 30 amerikai nagyvállalatot ölel fel, sokan úgy gondolják, hogy az S&P 500 index, amelynek 500 indextagja van és a legnagyobb piaci kapitalizációjú szektorra fókuszál, sokkal jobban reprezentálja a piacot, s®t, sokan ezzel azonosítják azt. Azonban utóbbi is csupán egy nagyobb, az S&P Dow Jones indexcsalád része, amely ezen kívül még számos indexet tartalmaz. Annak bemutatására, hogy mennyire széles és sokrét¶ az indexek világa, felhasználom a BÉT Részvényindexek [16] elemzését. A részvényindexek alapvet®en kétféle, értékmér® és kereskedettség funkciót töltenek be. Ugyanis egyrészt a kialakított index kosara megfeleltethet® az adott kosárban szerepl® részvényekb®l álló portfoliónak, ez a mintaportfolió pedig lehet®séget nyújt arra, hogy a reprezentálni kívánt piac adott id®szaki teljesítményét mérve referenciaként szolgáljon az adott piacon befektet®k számára a saját befektetéseiken elért hozamuk megítéléséhez. Másrészt, az indexek által képviselt portfolió sok passzív befektet® számára szolgál iránymutatóként a befektetésre kerül® pénz allokációjához. Az indexek sokszín¶ségét mutatja, hogy számos módon lehet ®ket csoportosítani. Típusuk szerint lehetnek tág kör¶ek (broad), vagy csak vezet® részvényeket tartalmazóak (blue-chip). A két alaptípus mellett pedig el®fordulnak még egyéb típusok is, mint például a kifejezetten közepes kapitalizációval rendelkez® cégeket magukba foglaló indexek (midcap index). 5

Az indexkosárban szerepl® részvények száma alapján lehetnek változó vagy állandó számú részvényb®l felépül® indexek. A bennük szerepl® részvények egymáshoz viszonyított súlya, illetve annak meghatározási módja szerint megkülönböztetünk többek között azonos-, piaci kapitalizáció alapú- és közkézhányad kapitalizáció alapú súlyozású indexeket. Utóbbi esetén a t®zsdére bevezetett részvénymennyiségnek csupán azt a részét veszik gyelembe, amely ténylegesen foroghat (oat-adjusted). Ugyanakkor fontos, hogy valamennyi súlyozás esetén szükség van az index-osztó (Index Divisor) használatára, amely segítségével az index szintje több milliárd dollár helyett csupán pár ezres nagyságrendet ér el. Így például az S&P 500 esetén, amely közkézhányad kapitalizáció alapú súlyozású, az index szintje az P P ∗Q Index szintje = i i i

Osztó

képlet alapján számítódik, ahol a jobb oldalon a számláló az egyes részvények árfolyamának és a számításhoz felhasznált részvények számának szorzata. Persze így bizonyos esetekben meg kell változtatni az index osztóját, hogy például bizonyos vállalati események vagy az index valamely tagjának cseréje esetén az index szintje ne változzon. Ennek részletes leírása az S&P Dow Jones indexek esetén az Index Mathematics Methodology-ban [11] olvasható. Aszerint, hogy a részvények által biztosított "hozamokat" hogyan veszik gyelembe, két csoportot különböztetünk meg. Az árindexek csak a részvények árfolyam-ingadozásait veszik gyelembe és az abból származó hozamokat mutatják.

Árfolyamt Árfolyamváltozásból adódó hozam = −1 Árfolyamt−1 



Ezzel szemben a teljesítményindexeknél osztalékzetés illetve részvényesek számára biztosított jegyzési jog (right issue) esetén sor kerül az index megfelel® korrekciójára, így biztosítva, hogy az index a portfolió tartásából szármzó valamennyi hozamot tükrözze.   Árfolyamt + Osztalékt Teljes hozam = −1

Árfolyamt−1

A leghíresebb ilyen a 30 legnagyobb kapitalizációjú német vállalatot magába tömörít® DAX index. A számítás gyakorisága alapján tekinthetünk naponta egyszer számolt és folyamatosan (realtime) számított indexeket. Továbbá a reprezentálni kívánt piac alapján lehetnek országindexek, amelyek a nemzeti t®zsdék indexei, vagy globális indexek is, amelyek egy régió, egy egész kontinens vagy akár még tágabb kör részvényeit szerepeltetik. Fontos ugyanakkor, hogy az indexek alapját nem csak részvények képezhetik. Léteznek kötvényindexek, mint például a MAX index, amelyet az ÁKK számít, és bizonyos x kamatlábú kötvények teljesítményét tükrözi. Vannak deviza alapú indexek, amelyre példa a dollár index is, amely az USD értékét méri a devizák egy kosarához képest. Továbbá el®fordulnak volatilitás 6

alapú indexek is, amelyek például a realizált volatilitás, és így a múltbeli adatok alapján, vagy akár az implicit volatilitások alapján számítódnak. Utóbbira példa a VIX index [6, 5] is, amely önmagában is említést érdemel. Ez a volatilitás index az S&P 500 indexre szóló call és put opciók áraiból számítódik, és így a piaci várakozásnak megfelel® jöv®beli volatilitást tükrözi. Nagyon népszer¶ az elemz®k körében, és bár kissé félrevezet®, gyakran nevezik a befektet®k félelem-mér®jének ("fear gauge") is, ugyanis, ha aggódnak a piacon az esések miatt, akkor az opciók ára nagyon hamar elkezd emelkedni és egyúttal az implicit volatilitásuk növekedni, aminek következtében a VIX index szintje akár 5-10 %-ot is ugorhat, például 13 %-ról 20 % fölé. Számos likvid derivatívája van (futures-ök és opciók), amelyb®l szintén kit¶nik, hogy mennyire is fontos a volatilitás, ami a piaci kockázat alapvet® mér®száma is, és így egyúttal különösen nagy szerepet játszik az egyes eszközök piaci árában is. Ez motiválta els®sorban olyan termékek létrejöttét, amelyek a volatilitást és az árat valamilyen szinten kontrollálni tudják. Ilyenek egyrészt a Target Volatilty Fund-ok (TVF), melyek kockázatos és kockázatmentes eszkör közötti dinamikus újrasúlyozása a következ® id®szak piac által elvárt vagy becsült volatilitása alapján történik. Továbbá erre példa még a Target Volatility Opciók (TVO) létrejötte, amelyek kizetése az alaptermék lejáratkori árfolyamán túl a realizált volatilitástól is függ. Ez az igény hívta életre a Target Volatility Indexeket is, amelyek tulajdonképpen a Target Volatility Fund-ok értékkövetéseként szolgálnak. Ilyen az S&P Dow Jones Risk Control Indexe [11] is, amely a becsült volatilitás alapján súlyozza újra a kockázatos és a kockázatmentes eszköz arányát. A következ®ekben szimulációk segítségével közelebbr®l is szemügyre veszem a Target Volatility Fund-okat a becsült volatilitás alapján történ® újrasúlyozás esetén. Emellett részletesen vizsgálom a Target Volatility Opciók árazásának problémakörét is a kell® matematikai háttér leírása mellett árazási formulák segítségével.

7

2. fejezet Target Volatility Fund-ok (TVF) Ebben a fejezetben a Moody's Analytics munkatársainak cikke [14] alapján közelebbr®l is megvizsgálom a Target Volatility Fund-okat (TVF), amelyek olyan kockázatos és kockázatmentes részekb®l álló eszközök, melyek célja dinamikus újrasúlyozás révén a portlió stabil volatilitás-szintjének elérése. A gazdasági világválság során tapasztalt magas implicit volatilitások és a kockázatmentes kamatlábak relatíve alacsony szintje jelent®sen megnövelte a Variable Annuity (VA) termékekbe ágyazott garanciák piaci árait. Ezek olyan konstrukciók, amelyek valamilyen garantált minimum rész fölötti kizetése a kezelt portfolió teljesítményét®l függ. Az említett piaci környezet hatására a VA termékek kiírói olyan módszereket kerestek, amelyek meg®rzik a befektet®k által kedvelt garanciákat azok költéségének csökkentése mellett. Egy ilyen megoldás a TVF-ek alkalmazása, amelyek konstrukciójukból adódóan megfelelnek ennek a kritériumnak, és emellett maximális kitettséget is biztosítanak a kockázatos eszköz felé. Ugyanakkor a garanciák költségeinek meghatározása nem egyértelm¶, nagyban függ a modellezés feltételezéseit®l. Az alábbiakban azt vizsgálom, hogy mik a hatásai egyrészt annak, ha az alaptermék dinamikájának leírására más-más modelleket alkalmazunk, másrészt pedig annak, hogy ha különböz® újrasúlyozási gyakoriságokat tekintünk. Ehhez el®ször nézzük az elemzésekhez felhasznált dinamikus újrasúlyozás szabályainak leírását.

2.1.

A Target Volatility Fund dinamikája

A TVF egy kockázatos (általában részvény vagy részvényindex) és egy kockázatmentes eszköz portfoliója olyan arányban dinamikusan újrasúlyozva, hogy a TVF volatilitása a lehet® legközelebb legyen az el®re adott cél-volatilitáshoz (target volatility). Ehhez egy tipikus dinamikus újrasúlyozási stratégiát alkalmazunk, ahol a t újrasúlyozási id®pillanatban a kockázatos eszköz súlya 8

wtequity

 = min

 σtarget , 100% , σ btequity

(2.1)

ahol σtarget a cél-volatilitás, σ btequity pedig a t és t + ∆t közötti hozam volatilitásának becslése. A kockázatos eszközbe fektethet® maximális súlyt 100%-ra állítjuk, vagyis ha a becsült volatilitás túl kicsi, nem alkalmazunk t®keáttételt a kívánt volatilitás elérése érdekében. Ezzel a stratégiával, ha tökéletesen meg tudjuk becsülni a következ® újrasúlyozási id®szakban adódó volatilitást, és persze, hogyha ez mindig nagyobb, mint a cél-volatilitás, akkor a TVF volatilitása pontosan a cél-volatilitás lesz. A gyakorlatban természetesen nem tudjuk pontosan megadni a jöv®beli volatilitást, csupán becsülhetjük. Erre a célre az Exponenciális Súlyozású Mozgó Átlagot (EWMA) alkalmazzuk, amellyel a kockázatos eszköz t és t + ∆t közötti loghozamának becsült volatilitását a  

St 1 equity 2 equity 2 2 σ bt log =λ σ bt−∆t + (1 − λ) ∆t St−∆t

(2.2)

képlet alapján kapjuk meg, ahol St az index értéke a t id®pontban. Az elemzéseink során ∆t = 1, vagyis egy üzleti nap választással élünk, és egy éven belül 252 üzleti napot tekintünk. A (2.2) formulában a λ paraméter szabályozza az exponenciális lecsengés gyorsaságát, nagyobb érték esetén lassabb a lecsengés. Az adatokat átlagosan

∆t 1−λ

napra visszamen®en vesszük gyelembe,

így esetünkben, λ = 0,99 választással ez az id®szak 100 nap, vagyis nagyjából 0,4 év. A TVF volatilitása annak megfelel®en közelíti jól a cél-volatilitást, hogy mennyire becsüljük meg jól a következ® id®szakban adódó volatilitást. Ha túlbecsüljük a következ® id®szaki volatilitást, akkor túl keveset allokálunk a kockázatos eszközbe így a cél-volatilitásnál kisebb értéket érünk el, ha pedig alulbecsüljük, akkor túl nagy lesz a kockázatos eszköz súlya, aminek eredményeképpen a TVF volatilitása meghaladja a cél-volatilitást. A következ®ekben láthatjuk, hogy az alaptermék dinamikájának választásától függ®en a becslési hibának jelent®s hatása lehet a garantált rész költségére.

2.2.

A modellválasztás hatásai

Az alábbiakban az opcióárak érzékenységét vizsgálom különböz® modellválasztások esetén. A felhasznált modellek, amelyeket a 4. fejezetben leírtak szerint az S&P 500 indexhez kalibráltam, a következ®ek: 1, Black-Scholes modell (konstans volatilitás), 2, Heston-modell, 3, Bates-modell. 9

Az el®zetes futtatások során azt tapasztaltam, hogy ha túl alacsonynak választjuk a célvolatilitást, akkor a szimulált TVF árából az esetek nagy részében nem tudtam implicit volatilitást számolni. Így gyelembe véve, hogy a kalibrációk során a σ értékek 10 % körül adódtak, a cél-volatilitást az elemzéseim során 6 %-nak választottam. Az alfejezet során pedig végig napi újrasúlyozást tekintettem. Nézzük el®ször a Black-Scholes modell esetén kapott eredményeket. A 2.1-es ábrán láthatóak a szimulációk során kapott index- és TVF opciókból visszaszámított implicit volatilitások, melyekhez 5000 szcenáriót generáltam. A TVF opciókból számított implicit volatilitások az esetek nagy részében közelít®leg megegyeznek a cél-volatilitással, habár az alacsony kötési árfolyamok esetén kaptam pár ett®l kissé eltér® eredményt is, s®t olyat is ahol nem tudtam implicit volatilitást számítani (2.2-es és Függelék, 1-es ábra).

2.1. ábra. Implicit volatilitások a Black-Scholes modellben különböz® lejáratok esetén

2.2. ábra. Implicit volatilitások a Black-Scholes modellben különböz® lejáratok esetén

A 2.3-as ábrán egy generált eset látható, melyen egyszerre szerepel a modell segítségével generált index folyamata és az index EWMA becsléssel számított volatilitása, valamint a TVF alakulása és annak 20 üzleti nap alajpán kapott volatilitás folyamata. Meggyelhetjük, hogy a becsült (EWMA) volatilitás végig stabil és közel van az elméleti, konstans Black-Scholes volatilitáshoz. Hasonlót mondhatunk a TVF volatilitásáról is, amely mindvégig a cél-volatilitás (Target Vol) körül uktuál. Mivel a TVF-et gyakran újrasúlyozzuk és a volatilitása közelít®leg megegyezik a cél-volatilitással, a TVF dinamikáját jól leírja a Black-Scholes modell, és így 10

a TVF opcióból visszaszámolt implicit volatilitás nagyjából megegyezik a cél-volatilitással a különböz® lejáratokra.

2.3. ábra. Egy generált szcenárió a Black-Scholes modell esetén

A Heston-modell esetén a 2.4-es ábra mutatja az implicit volatilitások alakulását. Habár itt is voltak olyan esetek (Függelék, 2-es ábra), amikor eltér® eredményt kaptam, általánosságban elmondható, hogy egy kisebb ferdeség tapasztalható az implicit volatilitások alakulásában, amely els®sorban a rövid lejáratoknál jelenik meg, és a hosszabb lejáratok esetén kevésbé érzékelhet®.

2.4. ábra. Implicit volatilitások a Heston-modellben különböz® lejáratok esetén

11

Egy Heston-modell alkalmazásával generált szcenáriót mutat be a 2.5-ös ábra. Mivel az EWMA is az utolsó 100 nap alapján számítja a becsült volatilitást (λ = 0,99 érték mellett), ezért az index modellb®l számított volatilitását is az utolsó 100 nap felhasználásával tekintettem. Ezek összehasonlítása látható a jobb fels® sarokban, amely alapján látszik, hogy habár a modell volatilitása jelen esetben már sztochasztikus folyamat, az EWMA becsl® különösen jól együtt mozog vele. Ennek következtében a TVF volatilitása a cél-volatilitás (Target Vol) körül mozog, és így az implicit volatilitás is nagyjából megegyezik a cél-volatilitással. Ugyanakkor ez az egyezés sokkal kevésbé stabil, ami valószín¶leg annak tudható be, hogy csupán a realizált adatokat használjuk fel, és így egy késleltetés jelenik meg az EWMA becslés során, aminek következtében néhol alul, néhol pedig felülsúlyozzuk a kockázatos eszközt. Mindemellett a TVF volatilitása sokkal kisebb, mint az indexé, és ennek köszönhet®, hogy el®bbi implicit volatilitása valamivel laposabb görbét ad, mint az utóbbié.

2.5. ábra. Egy generált szcenárió a Heston-modell esetén

A kalibrációk során (4. fejezet) azt tapasztaltam, hogy az S&P 500 indexhez kalibrált Batesmodellben nem volt jelent®s szerepe az ugrásoknak, így nem meglep®, hogy a Heston-modellhez hasonló eredményeket kapunk. Ugyanúgy voltak eltér® esetek (Függelék, 3-as ábra) és a 2.6-os ábrán hasonló ferdeség gyelhet® meg, mint az el®z® esetnél, emellett a 2.7-es ábra alapján 12

látható, hogy a modellezett index volatilitása és az EWMA becsl® szintén nagyjából együtt mozog és így az implicit volatilitások is nagyjából a cél-volatilitás szintjén vannak.

2.6. ábra. Implicit volatilitások a Bates-modellben különböz® lejáratok esetén

2.7. ábra. Egy generált szcenárió a Bates-modell esetén

A 2.1-es táblázatban az ATM TVF opcióárak szerepelnek, amelyeket 5000 generált szcenárió felhasználásával számítottam. A 2.2-es táblázatban pedig az egyes modellek közötti százalékos eltéréseket vehetjük szemügyre. Ezek alapján els®sorban a hosszabb lejáratok esetén a %-os növekedés nem túl nagy, s®t a Heston-modellr®l a Bates-modellre való áttérés esetén van, ahol az utóbbival kapott ár a kisebb. Azt is meggyelhetjük, hogy a Heston- és a Bates-modell ered13

ményei kevésbé térnek el egymástól, mint a Black-Scholes modellét®l. Ugyanakkor nem szabad megfeledkeznünk arról, hogy az ugrások jelen esetben nem számottev®ek sem gyakoriságban sem nagyságban, így érdemes megvizsgálni olyan esetet is, ahol az ugrások jelent®sebb szerepet játszanak az alaptermék folyamatában. Ilyet tekintettek például a Moody's Analytics munkatársai is [14], akik azt kapták eredményül, hogy a Bates-modellel jelent®sen megn®tt a TVF-re kiírt ATM call ára. Ezek alapján azt mondhatjuk, hogy az ilyen termékek szempontjából kiemelten fontos, hogy milyen kockázatos eszközr®l van szó. Modell

2 Év

5 Év

10 Év

BS

84,6843

148,4115

226,0350

Heston

90,4367

152,6638

234,5464

Bates

91,7834

157,3820

230,6304

2.1. táblázat. ATM call TVF opciók árai szimulációval a különböz® modellek esetén, 5000 szcenárió felhasználásával.

Modellek

2 Év

5 Év

10 Év

Heston / BS

6,7982 %

2,8652 %

3,7655 %

Bates / BS

8,3830 %

6,0443 %

2,0330 %

Bates/Heston

1,4891 %

3,0906 %

-1,6696 %

2.2. táblázat. ATM call TVF opciók árainak százalékos eltérései szimulációval kapott árak esetén, 5000 szcenárió felhasználásával.

2.3.

Az újrasúlyozás gyakoriságának hatásai

Az eddigiekben azt feltételeztem, hogy a TVF-et minden üzleti napon újrasúlyozzák, amely sok alap bevett gyakorlata. A következ®ekben azt vizsgálom, hogy milyen hatásai vannak az újrasúlyozási gyakoriságnak. Ehhez a Bates-modell keretein belül tekintjük a napi, heti, havi és negyedévenkénti újrasúlyozás hatásait. Az implicit volatilitások ekkor a 2.8-as ábrának megfelel®en alakulnak (hasonló ábrák találhatóak a Black-Scholes és Heston-modellek esetére a Függelékben - 4. ábra, 5. ábra ). Látható, hogy az egyes implicit volatilitás görbék teljesen fedik egymást valamennyi lejáratra és kötési árfolyamra. 14

2.8. ábra. Implicit volatilitások a Bates-modellben különböz® lejáratok és újrasúlyozási gyakoriságok esetén

Ennek a jelenségnek a megértéséhez tekintsük maguknak a súlyoknak és az ezeknek megfelel® TVF árfolyamatoknak az alakulását a 2.9-es ábrán (hasonlóak szerepelnek a Függelékben a Black-Scholes és Heston-modell esetére - 6. ábra, 7. ábra). Konstrukciójukból adódóan a súlyok minden közös újrasúlyozási id®pontban megegyeznek. Ugyanakkor az újrasúlyozási id®pontok között a kockázatos eszköz súlya a realizált hozamaitól függ®en mozog. Az, hogy az újrasúlyozott súlyok és a 'mozgó' súlyok mennyire térnek el egymástól, a kockázatos eszköz volatilitásától és a hozamoktól függ. Azonban ezek az eltérések a generált esetek alapján általában elég kicsik, és ennek eredményeképpen a TVF ára relatíve érzéketlen az újrasúlyozási gyakoriságra. Ennek tükrében néhány alap azt a módszert alkalmazza, hogy csak akkor súlyozza újra a TVF-et, ha a kockázatos eszköz súlya lényegesen messze került a megfelel® súlytól.

2.9. ábra. A kockázatos eszköz súlyainak és az azoknak megfelel® TVF árfolyamatoknak az alakulása különböz® újrasúlyozási gyakoriságok esetén a Bates-modellben

15

3. fejezet Target Volatility Opciók (TVO) Ezen fejezetben áttekintem, hogy milyen lehet®ségeink vannak a Target Volatility Opciók (TVO) valamilyen formula alapján történ® árazására. Ehhez els®sorban Graziano és Torricelli [9] munkásságát veszem alapul, ugyanakkor egyes részeknél felhasználok egyéb kapcsolódó forrásokat is, melyet mindig jelölök az adott helyen. A TVO egy viszonylag új típusú volatilitás-derivatíva, amely 2008 körül jelent meg, és amelynek például call esetén a kizetésfüggvénye

σ ¯ (ST − K)+ , RVT

φ(ST , RVT ) =

(3.1)

ahol a σ ¯ a cél-volatilitás, amely egy tetsz®leges konstans, az RVT az opció id®tartama alatt realizált volatilitás, az ST és a K pedig az opcióknál már megszokott módon az alaptermék lejáratkori árfolyama és a kötési árfolyam. Itt a

σ ¯ RVT

hányados tulajdonképpen átskálázza az

opció kizetését, minél kisebb a realizált volatilitás értéke, annál nagyobb lesz a hányados és így a kizetés. Ezt mutatja be szemléletesen a 3.1-es táblázat.

RVT \¯ σ

5%

10 %

20 %

20 %

0,25

0,5

1

10 %

0,5

1

2

5%

1

2

4

3.1. táblázat. A

σ ¯ /RVT

hányados értékeinek táblázata.

Ezen derivatívák segítségével a befektet®k egyszerre tudják megtenni tétjeiket mind az alaptermék realizált volatilitására, mind annak árára. Mivel olcsóbbak, mint a vanilla opciók, népszer¶ek mind a befektet®k, mind a hedger-ek körében. Amennyiben a realizált volatilitás a cél-volatilitás alatt van, kizetésük nagyobb, mint a megfelel® vanilla opcióké. Ellenkez® esetben pedig a TVO alacsonyabb áron biztosít kitettséget az alaptermékre. A következ®ekben el®ször felírom a fejezetre vonatkozó feltételezéseinket, majd megnézem, hogy milyen árazási formulákat kapunk az egyszer¶bb esetekben, amikor a kamatláb nulla. 16

Ezután a robusztus árazás lehet®ségeit vizsgálom abban az értelemben, hogy meg tudunk-e határozni modell-független árazási képleteket. Végül pedig azzal az esettel foglalkozok, amikor a kockázatmentes kamatláb konstans és pozitív.

3.1.

TVO árazási formulák

A fejezet során a következ® feltételezésekkel élünk. A piacot egy (Ω, F, {Ft }, P) ltrált valószín¶ségi mez® reprezentálja. Emellett feltesszük, hogy van egy kockázatmentes Bt eszköz, amely zero kamatot zet, továbbá azt, hogy létezik egy Q valószín¶ségi mérték, amely alatt bármely osztalékot nem zet® St kockázatos eszköz kielégíti a

dSt = σt St dWt sztochasztikus egyenletet, ahol Wt egy Q-Wiener folyamat, valamint σt egy sztochasztikus volatilitás folyamat. Minden várható értéket a Q mérték mellett tekintünk. A σt folyamatok esetében azokra szorítkozunk, amelyek kielégítik a

dσt = µ(σt , t) dt + ν(σt , t) dZt ,

σ0 > 0

alakú diúziós egyenletet, ahol a Zt a Wt -t®l független Q-Wiener folyamat. Legyen Xt = log(St /S0 ) a logkamatláb. Ekkor az Xt folyamat dinamikája

dXt = − a

σt2 dt + σt dWt , 2

kvadratikus variáció ja vagy másképpen a realizált varianciája pedig Z

t

σu2 du.

hXit = 0

A Fubini-tétel alkalmazhatóságához megköveteljük, hogy St olyan folyamat, amelynek hXit kvadratikus variációja alulról korlátos minden t > 0 esetén.

Target Volatility -ként hivatkozunk. Így egy

Továbbá legyen tetsz®leges σ ¯ > 0, amelyre K kötési árfolyamú

target volatility call opció egy St -re és hXit -re vonatkozó származtatott

követelés, melynek t-beli értékét a

" C¯tT V (St , K, hXit )

= Et

# √ σ ¯ T + p (ST − K) hXiT

(3.2)

képlet adja. Hasonlóan a put TVO t id®pontbeli értéke

" P¯tT V (St , K, hXit ) = Et

# √ σ ¯ T p (K − ST )+ . hXiT

A továbbiakban tehát az a célunk, hogy a (3.2)-es egyenlet jobb oldalát és egyúttal a call TVO árát valamilyen könnyen kezelhet®, zárt alakban megadjuk. 17

3.1.1.

Taylor-sorfejtéssel,

t=0

id®pontban

El®ször tekintsük azt az egyszer¶bb esetet, amikor K = S0 , tehát egy ATM call TVO áráról szeretnénk valamit mondani. Ekkor tulajdonképpen a # " √ T σ ¯ + T V (ST − K) = C¯0 (S0 , S0 , 0) = E0 p hXiT " " √ ## σ ¯ T + σ = E0 E p (ST − K) FT = hXiT " √ #   σ ¯ T + σ = E0 p E (ST − S0 ) |FT = hXiT # " √ σ ¯ T C BS (S0 , S0 , hXiT ) = E0 p hXiT kifejezést szeretnénk valahogyan közelíteni, ahol (F σ )t≥0 a volatilitás folyamat által generált √ ltráció, így √σ¯ T mérhet® az FTσ σ -algebrára nézve, ennek következtében pedig kiemelhet® a hXiT

bels® feltételes várható értéken kívülre. Továbbá C BS (S0 , K, x) természetesen egy európai call opció Black-Scholes árát jelöli S0 spot árfolyam, K kötési árfolyam és x kumulált szórásnégyzet mellett, vagyis

C BS (S0 , K, x) ≡ S0 N (d1 (x)) − KN (d2 (x)) és

log(S0 /K) ± x/2 √ , x ahol N (·) a standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye. Ekkor Bachelier approximációs formud1,2 (x) =

lájához hasonlóan [17] itt is becsülhetjük a call árát. Ugyanis a Q mérték alatt log ST normális eloszlású log S0 −

hXiT 2

várható értékkel és hXiT szórásnégyzettel. Ekkor, ha T kicsi, akkor P∞ n+1 xn (−1) hXiT ≈ 0 valamint ST ≈ S0 . Ha még a log(1 + x) = Taylor-sorfejtést is feln=1 n  0 0 használjuk, akkor a log SST0 = log 1 + STS−S ≈ STS−S közelítést kapjuk, amellyel az ST lognor0 0 mális valószín¶ségi változó s¶r¶ségfüggvényében az exponenciális kitev®jében lév® kifejezésre a következ® becslést adhatjuk:   log ST − log S0 −

hXiT 2

2hXiT

2 ≈

(ST − S0 )2 . 2hXiT S02

Az el®z®eket felhasználva és az ST s¶r¶ségfüggvényét f (ST )-vel jelölve a Z ∞ BS C (S0 , K, hXiT ) = (ST − K)+ f (ST ) dST ≈   Z0 ∞ 1 (ST − S0 )2 + ≈ (ST − K) p exp − dST = 2hXiT S02 2πhXiT S0 0   Z ∞ 1 (ST − S0 )2 = (ST − K) p exp − dST 2hXiT S02 2πhXiT S0 K 18

kifejezést kapjuk, amelyet ST −K = (ST −S0 )−(K −S0 )-nak megfelel®en két részre bonthatunk, és külön-külön alakíthatunk.   Z ∞ 1 (ST − S0 )2 (ST − S0 ) p 1) = dST = exp − 2hXiT S02 2πhXiT S0 K p   Z hXiT S0 ∞ (ST − S0 )2 ST − S0 dST = =− √ exp − (−1) hXiT S02 2hXiT S02 2π K r ∞   hXiT S02 (ST − S0 )2 =− exp − = 2π 2hXiT S02 K r   hXiT S02 (K − S0 )2 exp − = 2π 2hXiT S02

Z

∞

2) = (−1) K

amely esetén az

(ST −S0 )2 2hXiT S02

=

t2 2

  (ST − S0 )2 (K − S0 ) p dST , exp − 2hXiT S02 2πhXiT S0 1

helyettesítést használva

ST − S0 t= p hXiT S02 " " K − S0 t∈ p ,∞ hXiT S02 1 p dST = dt. hXiT S02 Bevezetve az u = √K−S0

hXiT S02

Z (S0 − K) u

∞

változót és ezzel a következ® sort átláthatóbbá téve 2) tovább írható



2

t 1 √ exp − 2 2π

 dt = (S0 − K)N (−u) = (S0 − K)N

S −K p0 hXiT S02

!

alakra. Így azt kaptuk, hogy

r C

BS

(S0 , K, hXiT ) ≈ 1) + 2) =

  (K − S0 )2 hXiT S02 + (S0 − K)N exp − 2π 2hXiT S02

amelyb®l pedig K = S0 esetén

r C BS (S0 , S0 , hXiT ) ≈ S0

hXiT 2π

következik. Végül ezt felhaszálva az ATM call TVO árához " √ # r σ ¯ T hXiT C¯0T V (S0 , S0 , 0) ≈ E0 p S0 = 2π hXiT r T = S0 σ ¯ ≈ 2π

≈ C BS (S0 , S0 , σ ¯ 2 T ). 19

S −K p0 hXiT S02

! ,

A fenti probléma általánosabb verziója az, ha tetsz®leges K kötési árfolyam mellett szeretnénk meghatározni a TVO kezdeti árát.

# √ σ ¯ T C¯0T V (S0 , K, 0) = E p C BS (S0 , K, hXiT ) hXiT "

(3.3)

Ezt megtehetjük úgy, hogy a jobb oldalon megjelen® Black-Scholes formulát közelítjük az ATMszint, vagyis az S0 körüli Taylor-sorfejtésével. Megmutatjuk, hogy ekkor a sorfejtés minden tagja felírható az hXiT kvadratikus variáció valamilyen exponenciális függvényének integráljaként. Ehhez tekintsük el®ször a következ® lemmát, mely segítségével megadhatjuk a Black-Scholes árat a kumulált szórásnégyzet valamely függvényeinek súlyozott összegeként.

3.2. Lemma. A call opció Black-Scholes egyenlete, mint a K kötési árfolyam függvénye a következ® S , mint ATM pont körüli Taylor-sorfejtést vonja maga után. C

BS

 √  f (n) X x −x/8 (S, K, x) = S − (S + K)N − +e x−(1/2+j) W n,j (K) + h(n + 3), 2 j=0

ahol W

n,j

n (K − S)k+2 1 X (−1)k cf (k)−j,k k+1 (K) = √ S (k + 2)! 2π k=2j

és f (k) =

 k

, ha k páros,

 k−1

, ha k páratlan.

2 2

3.3. Megjegyzés.

(3.4)

(3.5)

(3.6)

A cj,n együtthatók egy egyszer¶ rekurzív egyenlet megoldásaként explicit

módon meghatározhatóak.

Bizonyítás.

[3.2 Lemma]

A bizonyítás f®ként Estrella [7] cikkére épül, aki a Black-Scholes árazási formulának, mint

S függvényének a Taylor-sorfejtését vizsgálta. Tekintsük el®ször a C BS (S, K, x) ≡ C(K) Black-Scholes képletnek, mint a K kötési árfolyam függvényének S körüli Taylor-sorát.

C(K) = C(S) + C

(1)

(S)(K − S) +

∞ X k=0

C (k+2) (S)

(K − S)k+2 , (k + 2)!

(3.7)

ahol C (i) (S) jelöli a K szerinti i-edik deriváltat, kiértékelve az S ATM pont körül. Estrella [7] nyomán a Taylor-sorfejtés ott konvergens, ahol a log K függvény S körüli sorfejtése is az. Utóbbi konvergenciasugara pedig r = S , így a (3.7)-es sorfejtés minden 0 < K < 2S esetén konvergens. Emellett igaz a következ® állítás. 20

3.4. Állítás. A C (k+2) (S) kifejezés minden k ≥ 0 esetén létezik: C √

(k+2)

 2 1 Pk (d1 (S)) σ ˆ (S) = √ exp − (−1)k , k+1 σ k+1 8 S ˆ 2π

(3.8)

√

ahol σˆ ≡ σ t = x az id®-skálázott volatilitás, továbbá Pk (d1 ) a d1 polinomja és kielégíti a következ® rekurzív egyenletet: P0 (d1 ) = 1, ha k = 0 valamint 0 Pk (d1 ) = (d1 + kˆ σ )Pk−1 (d1 ) − Pk−1 (d1 ), ha k ≥ 1.

(3.9)

Bizonyítás. A bizonyítást két lépésben végezzük. Els® lépésként belátjuk, hogy

C (k+2) (K) =

N 0 (d2 (K))Qk (d2 (K)) , (ˆ σ K)k+1

(3.10)

ahol C (i) (K) jelöli a C(K) függvény K szerinti i-edik deriváltját, továbbá Qk (d2 ) a d2 polinomja és tagjait rekurzív módon határozhatjuk meg: Q0 (d2 ) = 1, ha k = 0 valamint

Qk (d2 ) = (d2 − kˆ σ )Qk−1 (d2 ) − Q0k−1 (d2 ), ha k ≥ 1.

(3.11)

Második lépésként ezután belátjuk, hogy a (3.10)-es kifejezés az S helyen pont a (3.8) (−1)k -szorosával egyezik meg.

1. lépés) A Black-Scholes formula alapján, σ ˆ=

√

x id®-skálázott volatilitást használva tudjuk, hogy

C (0) (K) = C(K) = SN (d1 (K)) − KN (d2 (K)), d1,2 (K) =

log (S/K) ± σ ˆ 2 /2 , σ ˆ

amelyb®l egyszer¶ deriválás útján következik, hogy

 2   2  ∂C(K) 1 d2 (K) S d1 (K) = (−1)N (d2 (K)) + √ exp − −√ exp − . ∂K 2 2 2πˆ σ 2πˆ σK Felhasználva, hogy d22 (K) = d21 (K) − 2 log(S/K), az el®z® összeg utolsó két tagja kiesik, így

C (1) (K) =

∂C(K) = (−1)N (d2 (K)) ∂K

adódik. Ezt tovább deriválva K szerint azt kapjuk, hogy

C (2) (K) =

C (1) (K) ∂d2 (K) N 0 (d2 (K)) = (−1)N 0 (d2 (K)) = , ∂K ∂K σ ˆK 21

tehát a (3.10)-es egyenl®ség k = 0-ra teljesül. Most tegyük fel, hogy k -ra igaz, és lássuk be

k + 1-re. C (k+3) (K) = =

=

=

∂ C (k+2) (K) =  ∂K



N 0 (d2 (K)Qk (d2 (K)) (ˆ σ K)k+1



= ∂K  N 0 (d2 (K))Q0k (d2 (K)) N 0 (d2 (K))d2 (K)Qk (d2 (K)) − (ˆ σ K)k+1 σ ˆK σ ˆK

+ (ˆ σ K)2k+2 N 0 (d2 (K))Qk (d2 (K))ˆ σ k+1 (k + 1)K k − = (ˆ σ K)2k+2 i h 0 0 σ (k + 1) N (d2 (K)) d2 (K)Qk (d2 (K)) − Qk (d2 (K)) − Qk (d2 (K))ˆ (ˆ σ K)k+2 h i
N 0 (d2 (K)) d2 (K) − σ ˆ (k + 1) Qk (d2 (K)) − Q0k (d2 (K))

=

(ˆ σ K)k+2

Ez pedig pont a (3.10)-es képlet k + 1-re, így készen vagyunk az indukcióval és egyúttal az 1. lépéssel is.

2. lépés) Itt felhasználjuk azt az Estrella [7] cikkben bizonyított egyenl®séget, miszerint a Pk (d1 ) polinom megadható a következ®képpen is.

Pk (d1 ) = (d1 + kˆ σ )Pk−1 (d1 ) −

k−1 l−1 X σ ˆ (k − 1) . . . (k − l)

l

l=1

Pk−1−l (d1 )

(3.12)

Tekintsük a Qk (d2 ) polinomok

G(d2 , t) =

∞ X Qk (d2 ) k=0

k!

(3.13)

tk

exponenciális generátorfüggvényét. Ekkor

d2 =

log(S/x0 ) − σ ˆ 2 /2 σ ˆ

és

t=

x − x0 σ ˆ x0

helyettesítés mellett

G(d2 , t) =

 k ∞ X Qk (d2 (x0 )) x − x0 k=0

k!

σ ˆ x0

=

 k ∞ X C (k+2) (x0 ) (ˆ σ x0 )k+1 x − x0 = = 0 (d (x )) k! N σ ˆ x 2 0 0 k=0 = =

∞ X k=0 ∞ X k=0

C (k+2) (x0 )/k! (x − x0 )k = 0 N (d2 (x0 ))/(ˆ σ x0 ) C (k+2) (x0 )/k! (x − x0 )k , C (2) (x0 ) 22

C (2) (x) Taylor-sora az x0 körül. Felhasználva, hogy C (2) (x0 )

ami pedig pont a

x x − x0 =1+σ ˆ =1+σ ˆ t, x0 σ ˆ x0 továbbá azt, hogy

S S S S S + 2 log2 +σ ˆ log − σ ˆ log = I, := −2 log log x x0 x0 x x0    σ ˆ S S S − log − log = = 2 log x0 2 x0 x = 2ˆ σ d2 log(1 + σ ˆ t) és

II, := log2

S S x S S − 2 log log + log2 = log2 = x x x0 x0 x0

= log2 (1 + σ ˆ t), azt kapjuk, hogy

−

d22 (x) 2

+

d22 (x0 ) 2

=− =

log Sx −

− log2

S x


σ ˆ 2 2

 2 − log xS0 − σ2ˆ

2ˆ σ2 +σ ˆ log Sx + log2

S x0

=

−σ ˆ log xS0

2ˆ σ2

=

I, −II, = 2ˆ σ2 d2 log(1 + σ ˆ t) log2 (1 + σ ˆ t) = − , 2 σ ˆ 2ˆ σ ami csak az eredeti d2 és t változók függvénye. Így, ha a fenti Taylor-sor konvergens, akkor  2  x0 d2 (x) d22 (x0 ) C (2) (x) = exp − + C (2) (x0 ) x 2 2 =

következtében

  1 d2 log(1 + σ ˆ t) log2 (1 + σ ˆ t) G(d2 , t) = exp − 1+σ ˆt σ ˆ 2ˆ σ2 adódik. Ezt deriválva t szerint, majd átrendezve, az

(3.14)

∂G log(1 + σ ˆ t) = (d2 − σ ˆ )G − G (3.15) ∂t σ ˆ egyenl®séghez jutunk, melybe a logaritmus függvény helyébe a megfelel® Taylor-sorfejtést írva, (1 + σ ˆ t)

valamint G-t és

∂G -t ∂t

a (3.13)-as egyenletb®l adódó hatványsorral helyettesítve a következ®t

kapjuk. ∞ X Qk+1 (d2 ) k=0

k!

tk = ∞ X

d2 − (k + 2)ˆ σ = (d2 − σ ˆ )Q0 (d2 ) + Qk+1 (d2 ) + (k + 1)! k=0 23

∞ X (−1)l σ ˆ l−1 l=1

l

! tl

∞ X Gk (d2 ) k=0

k!

! tk

Ekkor a tk−1 együtthatóira koncentrálva megkapjuk a Qk (d2 ) polinom általános alakját.

Qk (d2 ) = (d2 − kˆ σ )Qk−1 (d2 ) −

k−1 X (−1)l σ ˆ l−1 (k − 1) . . . (k − l)

l

l=1

Qk−1−l (d2 )

(3.16)

Ezután, felhasználva, hogy d1 (S) = −d2 (S) = σ ˆ /2, már könnyedén látható, hogy teljesül a

Qk (d2 (S)) = (−1)k Pk (d1 (S)) egyenl®ség, amelyb®l (3.8) is rögtön következik.

x

Most térjünk vissza a (3.2) Lemma bizonyításához. A (3.12) felírás alapján észrevehetjük, hogy páros (páratlan) k -ra Pk (d1 (S)) a σ ˆ k -nál kisebb egyenl® páros (páratlan) kitev®j¶ hatványaiból álló, σ ˆ -ban k -adfokú polinom. Így Pk ≡ Pk (d1 (S)) felírható a volatilitás hatványainak összegeként:

Pk =

f (k) X

(3.17)

cj,k σ ˆ γ(j,k) ,

j=0

ahol γ(j, k) a Pk polinom j -edik együtthatója, f (k) pedig a (3.6)-ban deniált függvény:  k , ha k páros, f (k) = 2  k−1 , ha k páratlan. 2 Ekkor, ha a

Pk P¯k ≡ k+1 σ ˆ skálázott polinomot tekintjük, az már a σ ˆ -nak csak páratlan kitev®j¶ hatványaiból fog állni, és felírható

f (k) X

P¯k =

cf (k)−j,k σ ˆ −(1+2j)

(3.18)

j=0

alakban. Az így kapott (3.18)-as kifejezést behelyettesítve (3.8)-ba, és az így kapott formulát a Black-Scholes képlet Taylor-sorfejtésénél alkalmazva a következ®t kapjuk:

C(K) = C(S) + C

(1)

−ˆ σ 2 /8

(S)(K − S) + e

f (k) n k+2 X X k (K − S) (−1) k+1 cf (k)−j,n σ ˆ −(1+2j) + h(n + 3), S (k + 2)! j=0 k=0

ahol h(n + 3) jelöli a Taylor-sor n + 2-edik utáni tagjainak összegét, amely, ha a Taylor-sor konvergens, tart a 0-hoz, amint n → ∞. Felcserélve a szummák sorrendjét, σ ˆ -ot közös faktornak vélasztva, valamint felhasználva a
(1) C(S) = S N (d1 (S)) − N (d2 (S) és C (S) = −N (d2 (S)) formulákat        σ ˆ σ ˆ σ ˆ −N −N (K − S)+ C(K) = S N 2 2 2 −ˆ σ 2 /8

+e

f (n) X j=0

σ ˆ

−(1+2j)

n X

(−1)k cf (k)−j,n

k=2j

24

(K − S)k+2 + h(n + 3), S k+1 (k + 2)!

amelyb®l (3.5) már egyszer¶en következik.



Ahhoz, hogy meg tudjuk határozni a TVO árát vissza kell helyettesítenünk (3.5)-öt (3.3)ba. Ahhoz, hogy egyszer¶bben felírhassuk az így kapott kvadratikus variáció függvényeit, és egyúttal könnyebben kezelhet® formulát tudjunk megadni, a segítségünkre lesz a következ® lemma.

3.5. Lemma. Minden x, r > 0 esetén fennáll a következ® két egyenl®ség: 1 √ N x

 √  Z ∞ −(z+1/8)x x 1 e p − = √ dz, 2 2 π 0 z + 1/8

valamint x

−r

1 = rΓ(r)

∞

Z

e−z

1/r x

dz.

(3.19)

(3.20)

0

Bizonyítás. (3.19) Általánosan bizonyítunk, 1/8 helyett a > 0-ra. Így a következ® átalakítások révén bizonyítjuk az egyenl®séget.

1 √ 2 π

Z

∞

0

(∗) Z ∞ −tx 1 e−(z+a)x e √ √ dt = dz = √ 2 π a z+a t (∗∗) =

1 √ 2 π

1 =√ x

Z

√

∞

√

2ax

√

∞

Z

2

e

− v2

2ax

2x v dv = v x

 √  v2 1 1 √ e− 2 dv = √ N − 2ax , x 2π

ahol (∗)-nál a z = t − a helyettesítést használtuk, melynek következtében

t = z + a, t ∈ [a, ∞[ , dz = dt, míg (∗∗) esetén a t =

v2 2x

helyettesítéssel éltünk, mely eredményeként

√ v = 2tx, √  v∈ 2ax, ∞ , dt = xv dv. A kapott kifejezés a = 1/8 esetén pedig pont a fenti els® egyenl®ség bal oldalával egyezik meg, tehát ezzel a résszel készen vagyunk.

x

25

(3.20) A második egyenlet bizonyításához felhasználjuk a gamma függvény deníció szerinti felírását. ∞

Z

tr−1 e−t dt =

Γ(r) = Z0 ∞

z 1/r x

= 0

=x

r1

r

Z


r−1

∞

e−z

1/r x

· e−z

1/r x

·x·

1 1/r−1 ·z dz = r

dz,

0

ahol az els® sorból a másodikat a t = z 1/r x helyettesítés révén kaptuk, mely következtében

z=


t r x

,

z ∈ [0, ∞[ , dt = x · 1r · z 1/r−1 dz. A Γ(r)-re felírt egyenletet átrendezve a fenti második egyenl®ség adódik, így teljes a lemma bizonyítása.



A (3.5) formulát a (3.3)-ba helyettesítve, valamint felhasználva a (3.19) és (3.20) egyel®ségeket, könnyedén adódik az alábbi következmény.

3.6. Következmény.

Egy call TVO ára a következ®képpen becsülhet® a kvadratikus variáció

valamely exponenciális függvényeinek integráljainak lineáris kombinációjaként.   f (n) X √ 2S0 1/2,0 S0 + K 1,1/8 f n,j (K)I0j+1,1/8  , C0T V (K) ≈ σ ¯ T  √ I0 − √ Φ0 + W π 2 π j=0

(3.21)

ahol

I0r,a Φr,a 0

Z

∞

 r,a  E0 eλ (z)hXiT dz, 0  r,a  Z ∞ E0 eλ (z)hXiT √ ≡ dz, z+a 0 ≡

λr,a (z) ≡ −(z 1/r + a), és

W n,j (K) n,j f W (K) ≡ . (j + 1)!

(3.22) (3.23) (3.24)

(3.25)

Az integrált és a várható értéket a Fubini-tétel miatt cserélhetjük fel, melyet azért alkalmazhatunk, mert a (hXi)t>0 folyamat alulról korlátos. Az I0r,a és Φr,a 0 integrálok pedig expliciten is számolhatóak számos parametrikus modell esetén, ahol zárt alakban ismert a kvadratikus variáció Laplace-transzformáltja. Ilyen például, ha a pillanatnyi szórásnégyzet σt2 folyamatát CIR modell segítségével írjuk le. 26

3.1.2.

Taylor-sorfejtéssel,

t>0

esetén

Az el®z® alfejezetben megtárgyaltuk a 0 id®pontbeli árazási problémát. Ahogy a variancia kumulálódik az opció futamideje alatt, az árazási feladat némileg nehezebbé, az approximációs képlet pedig összetettebbé válik. Tekintsük a call TVO árát egy t > 0 id®pontban.

# √ σ ¯ T + (St , K, hXit ) = Et p (ST − K) = hXiT " # √ σ ¯ T BS = Et p C (St , K, hXiT − hXit ) , t + hXiT − hXit "

¯T V

C

(3.26)

ahol t ≡ hXit jelöli a t id®pillanatig realizált kumulált varianciát. A részvényárfolyam és a volatilitás Markov-folyamat jellegének köszönhet®en az árazási probléma t > 0 esetén nagyon hasonló az el®z® alfejezetben vizsgált feladathoz, habár itt az t kifejezés megjelenése a nevez®ben komplikáltabbá teszi az általános képlet meghatározását. Ugyanis akkor, amikor a számlálóban a Black-Scholes formulát a K körüli Taylor-sorfejtésével helyettesítjük, a következ® alakú kifejezéseket kapjuk eredményül:

√ N (− x/2) q1 (x) ≡ √ , +x x−(j+1/2) q2 (x) ≡ √ . +x

(3.27) (3.28)

Elviekben a számlálókat és a nevez®ket külön tekintve átírhatnánk a q1 (x) és q2 (x) kifejezéseket az x valamely exponenciális függvényeinek dupla integráljaira, azonban az integrálok némelyikében megjelen® szingularitások miatt nem tudnánk a kés®bbiek során modell-független árakat meghatározni. Így azt az alternatív megközelítést választjuk, mely során Taylor-sorba fejtjük az √ N (− x/2) és x−(j+1/2) kifejezéseket az x +  pont körül. Ekkor az alábbi sorfejtéseket kapjuk.



√

+x 2

N − q1 (x) = √ +x



m e−(+x)/8 X i,m + √ ω ()( + x)−(i+1) + h(m + 2), 2π i=0

(3.29)

m X k+1 () ≡ (−1)k+1 γ i,k , (k + 1)! k=i

(3.30)

ahol

ω

i,m

és γ i,k -t a következ® rekurzió segítségével kaphatjuk meg:

γ 0,0 = −1/4
γ 0,k = − 81 γ 0,k−1 ,

k = 1, . . . , m

γ k,k = (1/2 − k) γ k−1,k−1 , k = 1, . . . , m
γ i,k = − 81 γ i,k−1 + (1/2 − i) γ i−1,k−1 , i = 1, . . . , m, k = i + 1, . . . , m, 27

(3.31)

ami i ≥ 1 és k ≥ i esetén a következ® módon írható zárt alakban:    k−i   Y i 1 1 k 1 − 2j i,k γ = − − . 4 8 i j=1 2

(3.32)

Hasonlóan m X

q2 (x) =

(3.33)

ζ k,j ()( + x)−(j+k+1) + h(m + 1),

k=0

ahol

ζ 0,j () = 1 és (3.34)

k−1

ζ

k,j

 Y () = (j + i + 1/2), ha k ≥ 1. k! i=0

Ezeket a közelítéseket behelyettesíthetjük a t id®pontbeli Black-Scholes ár Taylor-sorfejtésébe, mely esetén hXiT − hXit -t közös faktornak választva, némi átrendezés után a TVO t-beli árára a következ® approximációt kapjuk.

3.2. Következmény. 



m+f (n)

X √ 2St 1/2,0,0 St + K 1,1/8 ctn,m,j (K, hXit )Itj+1,1/8,0  , CtT V (K) ≈ σ ¯ T  √ It − √ Φt + W π 2 π j=0

(3.35)

ahol

Itr,a

∞

Z

e−z

=

1/r hXi t

 r,a  Et eλ (hXiT −hXit ) dz,

(3.36)

0

Φ1,a t

Z

∞

= 0

h 1,a i e−(z+a)hXit √ Et eλ (hXiT −hXit ) dz, z+a

(3.37) (3.38)

λr,a (z) ≡ −(z 1/r + a) és a lineáris kombinációban szerepl® súlyok a következ® képlet által adódnak: ( 1 St + K −/8 j,m ctn,m,j (K, ) ≡ W − √ e ω () + (j + 1)! 2π min(j,f (n))

+

X

W n,k (K)ζ j−k,k ()1{j≤m} +

k=0 min(m,f (n)−j+m)

+

X

)

W n,j−m+k (K)ζ m−k,j−m+k ()1{j>m} .

(3.39)

k=0

3.1.3.

Laplace-transzformált segítségével

A következ®ekben a TVO árazás egy alternatív megközelítését mutatom be, melynek a Laplace-transzformáció szolgál alapjául. Ehhez a módszerhez a kizetéseket a kötési árfolyam logaritmusaként vesszük. Tekintsük most a put TVO árát k = log K helyettesítéssel. 28

" P¯t (St , ek , hXit ) = Et

# √ σ ¯ T p (ek − ST )+ ≡ Pt (k) hXiT

(3.40)

Ezt k szerint Laplace-transzformálva megszabadulhatunk a TVO kizetésében jelenlév® maximum függvényt®l. Ennek segítségével az együttesen a lejáratkori árfolyam és a kvadratikus variáció függvényére szóló követelés árazását redukálhatjuk a kvadratikus variáció valamely függvényére vonatkozó követelés beárazására. Bármely komplex α-ra, melyre Re(α) > 1, Pt (k) Laplace-transzformáltja ∞

Z

e−αk Pt (k) dk = 0 # " √ Z ∞ T σ ¯ (ek − ST )+ dk = e−αk Et p hXi 0 T # " Z ∞ √ 1 =σ ¯ T Et p e−αk (ek − ST )+ dk . t + hXiT − hXit 0

Pbt (α) ≡

(3.41)

Itt azért van szükség az Re(α) > 1 kikötésre, mert az integrandusban a Pt (k) kifejezés ek sebességgel tart a +∞-hez, így ahhoz, hogy az integrál konvergens legyen, az α valós részének legalább 1-nek kell lennie. Felhasználva, hogy Xt = log(St /S0 ), amelyb®l következik, hogy ST = St eXT −Xt , a feltételes várható értéken belüli integrált a következ®képpen alakíthatjuk át. Z ∞ e−αk (ek − ST )+ dk = 0 Z ∞ = e−αk (ek − St eXT −Xt ) dk =



log St +(XT −Xt )  k(1−α) ∞

e = (1 − α) 0−e

(1 − α)



− St e

log St +(XT −Xt ) (1−α)(log St +(XT −Xt ))

=

(XT −Xt )

− St e(XT −Xt )

e−αk −α

0−e

∞ = log St +(XT −Xt ) −α(log St +(XT −Xt ))

−α

=

St e(XT −Xt ) −α −α(XT −Xt ) 1 St1−α e(1−α)(XT −Xt ) − St e = α−1 α   (1−α) (1−α)(XT −Xt ) 1 1 S e (1−α) (1−α)(XT −Xt ) = St e − = t . α−1 α α(α − 1)

=

Ezt visszahelyettesítve a feltételes várható értéken belülre, majd átrendezve, a " # √ 1−α 1 e(1−α)(XT −Xt ) σ ¯ T St Et p t + hXiT − hXit α(α − 1)

(3.42)

(3.43)

formulához jutunk. A (3.20) egyenl®ség felhasználásával a nevez®t integrál alakra hozhatjuk: Z ∞ 1 2 2 √ =√ e−z (+x) dz. (3.44) π 0 +x 29

Ekkor a σt és a Wt függetlenségének feltételezése mellett, a Fubini-tételt alkalmazva a következ®képpen írhatjuk fel Pbt (α)-t az St és a kvadratikus variáció segítségével. " 2 # r Z ∞ −z (hXiT −hXit )+(1−α)(XT −Xt ) e T 2 e−z hXit Et S 1−α dz = Pbt (α) = 2¯ σ π t α(α − 1) 0 r   Z 2 T 1−α ∞ e−z hXit Et eλz,α (hXiT −hXit ) = 2¯ σ S dz, (3.45) π t α(α − 1) 0 ahol

α λz,α = −z 2 + (α − 1) , 2

(3.46)

melyhez felhasználtuk Carr és Lee [4] eredményét, amely szerint bármely komplex λ számra

Et ep(XT −Xt ) = Et eλ(hXiT −hXit ) , λ=

(3.47)

p2 p − . 2 2

Utóbbi lépésre azért van szükség, mert szemben a (3.47) egyenl®ség bal oldalával, a jobb oldalon szerepl® feltételes várható érték expliciten is megadható számos sztochasztikus volatilitás modellre, mint pl. az an modelleknél, így ezek esetén a (3.45) Laplace-transzformáltat is ki lehet számítani expliciten. A call TVO árát pedig úgy határozhatjuk meg, hogy numerikusan invertáljuk (3.45)-öt, amely az Abate és Whitt [1] cikkében is leírtak következtében tulajdonképpen az alábbi integrál kiszámításával egyezik meg.  ! √ Z Z St1−a−iu Et eλz,a+iu (hXiT −hXit ) 4eak σ ¯ T ∞ ∞ −z2 hXit Pt (k) = e Re cos(uk) dz du, (3.48) π 3/2 (a + iu)(a + iu − 1) 0 0 ugyanis, ha fˆ(s) az f (t) függvény Laplace-traszformáltja, akkor utóbbit felírhatjuk, mint Z   2eat ∞ f (t) = Re fˆ(a + iu) cos(ut) du. π 0 A numerikus integrálást végrehajthatjuk például az Abate-Whitt módszerrel [1] is, amely a Bromwich integrál, a Poisson összegzési formula és az Euler összegzés eredményeképpen egyszer¶ módszert biztosít az integrál numerikus közelítésére. Az így kapott Laplace módszer gyors, könny¶ implementálni, valamint pontos és stabil eredményt ad. A hátránya viszont, hogy nem tudunk modell-független megközelítést alkalmazni, és

r > 0 konstans kamatlábra csak a Black-Scholes modell esetén tudunk explicit árazási formulát meghatározni.

3.2.

Robusztus árazás

Az egzotikus opciók árazásának és fedezésének témakörében ismeretes a modellfügg®ség problémája. Például a lokális volatilitás modellek a sztochasztikus volatilitás modellekhez ké30

pest szignikánsan eltér® eredményeket adhatnak az egyes opciók árazása esetén. Még a sztochasztikus volatilitás osztályon belül is, az útvonalfügg® opciók esetén az ugyanahhoz a volatilitásfelülethez kalibrált különböz® modellek eltér® eredményekhez vezetnek. Úttör® munkájukban Breeden és Litzenberger [3] megmutatta, hogy elegend®en sima második deriváltakkal hogyan kaphatunk modell-független árakat az európai opciókhoz a kereskedett call és put opciók egy portfóliójának kialakításával. Ugyanakkor a volatilitásra szóló derivatívák általában útvonalfügg®ek, így ezen eredmények nem alkalmazhatóak közvetlenül. Azonban Carr és Lee [4] bebizonyította, hogy a függetlenség feltételezése mellett a kvadratikus variáció exponenciális függvényeinek feltételes várható értéke megegyezik az alaptermék lejárati értékének valamely függvényének feltételes várható értékével. Eredményük, amelyet részben már említettünk, megadja azt az eszközt számunkra, amellyel er®sen útvonalfügg® követelések egy speciális osztályának árát az európai opciókéhoz hasonlóan tudjuk számítani. Bármely komplex λ számra



λ(hXiT −hXit )

Et e



  = Et ep(XT −Xt ) = Et



ST St

p ,

p2 p − , 2 2 r 1 1 vagy ekvivalensen p = ± + 2λ. 2 4

(3.49) (3.50)

ahol λ =

(3.51)

Az el®z® alfejezetben megmutattam, hogy hogyan közelíthetjük a TVO-k árait (3.49) alakú kifejezéseket tartalmazó integrálok lineáris kombinációjaként. A következ®ekben azt írom le, hogy hogyan alkalmazzuk a Breeden-Litzenberger formulát (3.52) a TVO-k árainak kereskedett opciókkal történ® felírásához. Ha f (S) egy kétszer dierenciálható kizetésfüggvény, akkor bármely tetsz®leges η esetén 0

Z

∞ 00

+

Z

η

f 00 (x)(x − S)+ dx.

f (x)(S − x) dx +

f (S) = f (η) + f (η)[S − η] +

(3.52)

0

η

Ennek mindkét oldalán feltételes várható értéket véve az f (S) követelés árának egy call és put árakkal felírt reprezentációját kapjuk. Z ∞ Z 0 00 M Et [f (S)] = f (η) + f (η)[S − η] + f (x)Ct (St , x) dx + η

η

f 00 (x)PtM (St , x) dx,

(3.53)

0

ahol CtM (St , x) és PtM (St , x) az x kötési árfolyamú call és put opciók árai. 3.2.1.

Taylor-sorfejtéssel

Ahhoz, hogy alkalmazhassuk a (3.53)-as formulát, szükségünk van egy olyan f (ST ) függvényre, amelyre Et [f (ST )] pont a TVO árával egyezik meg. Ahogyan azt a (3.35)-ös képlettel megmutattuk, egy call TVO árát közelíthetjük Itr,a,b és Φ1,a alakú kifejezések lineáris kombit nációjaként, ahol az r egészérték¶, az a és a b pedig valós konstansok. Így modell-független 31

TVO árak meghatározásához elegend® a Breeden-Litzenberger formulát csupán az Itr,a,b -re és a

Φ1,a t -re alkalmazni. A Carr-Lee (3.49) formula segítségével átírhatjuk az Itr,a,b és Φ1,a t kifejezéseket az alaptermék lejárati értékének valamely integráljának várható értékére. Megmutatható, hogy Z ∞   r,a 1/r r,a,b e−(z +b)hXit Et eλ (hXiT −hXit ) dz = It = 0

Z

∞

= Et

e

−(z 1/r +b)hXit

 Re

0

ST St

pr,a (z) dz,

ahol a Fubini-tételt alkalmaztuk az integrálok felcseréléséhez, továbbá bevezettük a r 1 1 pr,a (z) ≡ ± − 2z 1/r − 2a. 2 4

(3.54)

(3.55)

jelölést. Hasonlóan,

Φ1,a t

∞

e−(z+a)hXit h λ1,a (hXiT −hXit ) i √ dz = Et e z+a 0  p1,a (z) Z ∞ −(z+a)hXit e ST √ = Et Re dz. St z+a 0 Z

=

(3.56)

Az utolsó lépés, hogy bevezetjük az S alaptermék lejárati értékének alábbi függvényeit.

I˜tr,a,b (S) ≡

∞

Z

−(z 1/r +b)hXit



e

Re

∞

e−(z+a)hXit √ Re z+a

0

˜ 1,a Φ t (S) ≡

Z 0



S St

pr,a (z)

S St

p1,a (z)

dz,

(3.57)

dz.

(3.58)

˜ 1,a Ekkor t > 0 esetén az I˜tr,a,b (S) és Φ t (S) függvények S szerinti második deriváltja jól deniált, mivel az hXit szigorúan pozitív. Továbbá ezek feltételes várható értéke pont az Itr,a,b és a Φ1,a formulákkal egyezik meg. Így alkalmazhatjuk a (3.53) formulát η = St választással t r,a,b ˜ 1,a az I˜t (S) és Φ t (S) függvényekre, majd az eredményt visszahelyettesítve a (3.35) képletbe megkaphatjuk a kereskedett call és put opciók segítségével felírt TVO árat. Ugyanakkor t = 0-ra a (3.57)-ben és a (3.58)-ban szerepl® integrálok nem konvergálnak, és nem alkalmazhatjuk a Fubini-tételt az integrálok felcserélésére a (3.54) és (3.56) egyenl®ségeknél. Így sajnos nem mindig lehetséges a TVO árának eképpen történ® meghatározása. Habár, ha a call TVO kizetést újradeniáljuk, mint

"

√

σ ¯ T C¯0T V (S0 , K, 0) = E0 p c + hXiT

# (3.59)

valamilyen tetsz®legesen kicsi c konstansra, akkor a "robusztus ár" a leírtaknak megfelel® módon már létezik. 32

3.2.2.

Laplace-transzformált segítségével

Felmerül a kérdés, hogy vajon alkalmazhatjuk-e a robusztus árazási megközelítést a 3.1.3 alfejezetben bemutatott Laplace-transzformált módszer esetén. A (3.49)-es Carr-Lee formula felhasználásával kifejezhetjük a put TVO árát az ST lejárati érték egy függvényének feltételes várható értékeként. "Z √ Z ∞ ∞ 4eak σ ¯ T −z 2 hXit Re Pt (k) = Et e π 3/2 0 0

±

St1−a−iu (ST /St )pz,α (a + iu)(a + iu − 1)

!

# cos(uk) du dz ,

(3.60)

ahol α = a + iu valamint

p± z,α

1 ≡ ± 2

r

1 − 2z 2 − α(1 − α). 4

Elviekben az f (S) függvényt megadhatnánk a következ®képpen: ! √ Z Z ± 4eak σ ¯ T ∞ −z2 hXit ∞ St1−a−iu (ST /St )pz,α f (S) = e Re cos(uk) du dz. π 3/2 (a + iu)(a + iu + 1) 0 0

(3.61)

(3.62)

Ugyanakkor az f (S) második deriváltja nem létezik, mivel az integrál, amelyet a (3.62)-es kifejezés kétszeres deriválása révén kapunk, nem konvergál. Így a Laplace-transzformált módszer esetén nem tudjuk alkalmazni a Breeden-Litzenberger dekompozíciót a modell-független TVO ár meghatározásához.

3.3.

Árazás

r>0

kamatláb esetén

A következ®ekben azt vizsgálom, hogy hogyan változnak a korábban levezetett képleteink, hogyha az eddigi feltételezésünkkel ellentétben most a kockázatmentes Bt eszköz r > 0 konstans kamatot zet, továbbá a Q kockázatsemleges mérték szerint az St /Bt folyamat martingál, vagyis

d

St St = σt dWt . Bt Bt

Ekkor az Xt = log(St /S0 ) dinamikájában a drift tagban megjelenik az r kamatláb   σt2 dXt = r − dt + σt dWt , 2 a kvadratikus variációja viszont ugyanaz marad Z t hXit = σu2 du. 0

A kockázatsemleges mérték alatt bármely Vt folyamat t id®pontbeli értékét a következ®képpen számítjuk:

 Vt = Bt Et 33

 VT . BT

Nézzük, hogy ezeknek megfelel®en hogyan változik a call TVO árazási formulája a Taylorsorfejtéssel kapott esetben.

# √ ¯ T 1 σ p = Bt Et (ST − K)+ = BT hXit " √ #  (ST − K)+ σ σ ¯ T Bt E = Et p = F T BT hXit # " √
σ ¯ T BS,r>0 Ct St , K, hXiT − hXit = Et p hXit "

CtT V,r>0 (St , K, hXit )

Ugyanakkor tudjuk [10], hogy ha a Black-Scholes árazási formulánál az St árak helyett az

Ft = St e(T −t) forward árakra koncentrálunk, akkor a Black-Scholes képletet a következ®képpen írhatjuk fel.

CFBS (Ft , K, σ) = Ft N (d1 ) − KN (d2 ), ahol

d1,2

log FKt ± 21 σ 2 (T − t) √ , = σ T −t

melyb®l a t id®pontbeli call ár egy egyszer¶ diszkontálás után adódik:

C BS,r>0 (St , K, σ) = e−r(T −t) CFBS (Ft , K, σ). Ebb®l következik, hogy a call TVO ára r > 0 kamatláb esetén " √ # σ ¯ T CtT V,r>0 (St , K, hXit ) = e−r(T −t) Et p CFBS (Ft , K, hXiT − hXit ) . hXit

(3.63)

Vegyük észre, hogy a forward Black-Scholes képletben nem szerepel az r kamatláb, így tulajdonképpen a 3.1.2 alfejezetben pont ennek a függvénynek írtuk fel a Taylor-sorfejtését. Továbbá gyeljük meg, hogy a forward Black-Scholes képlet Taylor-sorfejtését visszahelyettesítve a (3.63)-as formulába és azokat a lépéseket végrehajtva, amelyek során a (3.35)-ös approximációt is megkaptuk, a kvadratikus variációnak ugyanazok a függvényei jelennek meg. Mivel azonban a kvadratikus variáció nem változott, a Taylor-sorral kapott árazási formulánk lényegében ugyanaz marad, csupán annyi módosul, hogy a (3.35)-ös képletet St helyett Ft -vel kell kiszámítanunk, majd a kapott eredményt diszkontálnunk kell. Most tekintsük a Laplace-transzformálttal történ® árazást. Írjuk fel a put TVO árát ugyancsak k = log K helyettesítéssel.

# √ 1 σ ¯ T p P¯t r>0 (St , ek , hXit ) = Bt Et (ek − ST )+ = BT hXit # " √ σ ¯ T (ek − ST )+ = = e−r(T −t) Et p hXit "

= e−r(T −t) Pt (k), 34

ahol felhasználtuk, hogy a kamatláb konstans. Ezt a korábbiaknak megfelel®en, Re(α) > 1 esetén Laplace-transzformálva a

r Pbt r>0 (α) = e−r(T −t) 2¯ σ

T 1−α S π t

Z

∞

" −z 2 hXi

e

t

e−z

Et

2 (hXi −hXi )+(1−α)(X −X ) t t T T

# dz

α(α − 1)

0

(3.64)

kifejezéshez jutunk. Ahhoz, hogy itt tovább tudjunk lépni, szükségünk van egy, a (3.47)-es képlethez hasonló formulára. Ekkor tulajdonképpen olyan λ-t kell keresnünk, amelyre teljesül az alábbi összefüggés:

  E epXT −λhXiT Ft = epXt −λhXit . Ez persze azt jelenti, hogy az epXt −λhXit folyamat martingál, így ha felírjuk a dinamikáját, abban a drift együtthatójának nullának kell lennie. Legyen tehát Yt a pXt − λhXit kifejezés exponenciális függvénye és írjuk fel a fejl®dését az Itô-formula segítségével.

1 dYt = Yt d(pXt − λhXit ) + Yt p2 dhXit = 2  
1 2 2 p − λ Yt σt2 dt = = pYt σt dWt + p r − σt /2 Yt dt + 2    1 2 1 2 = pσt Yt dWt + pr + σt p − p−λ Yt dt 2 2 Tehát azt kaptuk, hogy a következ®nek kell teljesülnie:   1 2 1 2 pr + σt p − p − λ = 0. 2 2

(3.65)

Ebb®l látható, hogy az, ami az r = 0 feltétel mellett m¶ködött, most nem megvalósítható, ugyanis jelen esetben a σt2 -tel nem lehet egyszerüsíteni, így ha a σt folyamat sztochasztikus, a

λ-t nem tudjuk megfelel®en megválasztani. Ugyanakkor a Black-Scholes modell esetén a szórás végig konstans, így ezen modell keretein belül lehet®ségünk nyílik a megoldásra. Nézzük meg tehát, hogy mit kapunk eredményül, hogyha

σt ≡ σ0 , t > 0. Ekkor a (3.65) egyenl®séget λ-ra rendezve a következ® adódik:   1 2 r 1 p + − p = λ. 2 σ02 2 Ezt felhasználva a Black-Scholes modellre tovább alakíthatjuk a (3.64)-es képletet:

r Pbt BS,r>0 (α) = e−r(T −t) 2¯ σ

T 1−α S π t

ahol λBS,r>0 z,α

Z

∞

e−z

2 hXi t

h BS,r>0 i Et eλz,α (hXiT −hXit )

α(α − 1)   α r 2 = −z + (α − 1) − . 2 σ02

dz,

(3.66)

0

35

(3.67)

Meggyelhetjük, hogy (3.67) r = 0 esetben pont (3.46)-tal egyezik meg. Persze ekkor, mivel a Black-Scholes modellben a kvadratikus variáció folyamata Z t Z t 2 σ02 du = tσ02 , σu du = hXit = 0

0

ami determinisztikus, nincs szükségünk a várható értékre, és így tovább egyszerüsíthetjük a (3.66)-os képletet:

Pbt

BS,r>0

  2   σ ¯ St1−α ασ0 (α) = exp (α − 1) − r (T − t) − rT , σ0 α(α − 1) 2

amelyet inverz Laplace-transzformálva megkaphatjuk a put TVO árát a Black-Scholes modellben r > 0 esetén. Ugyanakkor Black-Scholes modellr®l lévén szó, ez a képlet nem más, mint a put opció t id®pontbeli árának Laplace-transzformáltja megszorozva a σ ¯ /σ0 hányadossal. Erre az eredményre viszont számíthattunk is, mivel a Black-Scholes modellben a put TVO ára megegyezik az egyszer¶ put opció árának és a σ ¯ /σ0 hányadosnak a szorzatával. Összehasonlításképpen a 3.2. és 3.3. táblázatok tartalmazzák a put TVO-k árait BlackScholes képlet segítségével számított és σ ¯ /σ0 -val átskálázott (BS oszlop), 10000 szimuláció segítségével nyert (Szimuláció oszop) és a Laplace-transzformáció révén kapott (Laplace oszlop) esetekben, különböz® kötési árfolyamok esetén. Ezek alapján ebben az egyszer¶ esetben a Laplace-transzformálttal kapott ár legalább olyan pontosnak t¶nik, mint a szimulációkkal kapott.

3.2. táblázat.

K

BS

Szimuláció

Laplace

2000

24,0168

23,7391

24,1666

2100

45.2026

45.5273

45.4294

2200

74.8622

74.9337

74.9844

2300

112.0806

111.2331

112.0139

A put TVO-k árai az egyes kötési árfolyamokra különböz® számítási mód-

szerekkel Black-Scholes modell és

r >0

kamatláb esetén. A lejáratig hátralév® id®

T =1

év.

3.3. táblázat.

K

BS

Szimuláció

Laplace

2000

68.4519

68.7558

68.4935

2100

91.4976

91.2381

91.5457

2200

118.2725

120.0337

118.3278

2300

148.5614

152.6876

148.6246

A put TVO-k árai az egyes kötési árfolyamokra különböz® számítási mód-

szerekkel Black-Scholes modell és

r >0

kamatláb esetén. A lejáratig hátralév® id®

év.

36

T =5

4. fejezet Kalibrálás A következ®ekben az egyes modellek kalibrálásait vesszük sorra. Valamennyi modellt az S&P 500 indexhez kalibráltam, melyhez az index 2 éves historikus adatsorát és az indexre kiírt különböz® kötési árfolyamú és lejáratú call opciókat (összesen 110-et) vettem gyelembe. Azok a paraméterek, amelyek minden modell esetén ugyanazok voltak, a kamatláb r = 0,6914 % (1Y USD LIBOR) és a spot árfolyam S0 = 2106,44. A legegyszer¶bb a Black-Scholes modell kalibrálása volt, mely esetén csupán a konstans σ értékét kellett meghatároznom. Ehhez az S&P 500 index 2 éves historikus záróáraiból számoltam napi volatilitást, amelyet ezután évesítettem. A többi modell kalibrálásához a Kilin [13] cikkében leírt

Direkt integrálás (Direct integra-

tion) módszert alkalmaztam, amely vanilla call opciók árának numerikus kvadratúrával történ® kiszámításán alapszik. Ehhez Attari [2] formulája biztosít hatékony eszközt, mely szerint a call opció ára

 − e−rT K 

1 π

Z

∞

1 C(S0 , T, K) = S0 − e−rT K 2   Im(φ(ω)) Re(φ(ω)) + cos(ωl(K)) + Im(φ(ω)) − ω 1 + ω2

0

Re(φ(ω)) ω



sin(ωl(K))

 dω  , (4.1)

amely esetén S0 a spot árfolyam, K a kötési árfolyam, T a lejárati id®, r a kockázatmentes kamatláb, az osztalékzetési ráta 0, továbbá

 l(K) = log

Ke−rT S0

 ,

(4.2)

valamint a Q kockázatsemleges mérték mellett

φ(ω) = EQ (eiωx )

(4.3)

az x karakterisztikus függvénye, ahol

 x = log

ST S0

37

 − rT.

(4.4)

Minden egyes kalibrációnal 5-ször alkalmaztam a Dierenciál Evolúció (Dierential Evolution) algoritmust [15], és az így kapott eredményeket kezd®értékként felhasználva 5-ször futtattam a Levenberg-Marquardt módszert [8]. A Dierenciál Evolúció módszernél a Hestonmodell esetén az η ∈ [0,01; 1,0], κ ∈ [1,0; 4,0], θ ∈ [0,01; 10,0], ρ ∈ [−1,0; 1,0], σ0 ∈ [0,05; 1,0] paraméter-intervallumokat alkalmaztam, a Bates-modell esetén pedig az el®z®ek mellett a λ ∈

[0,1; 5,0], µJ ∈ [0,01; 0,5], σJ ∈ [0,01; 1,0] korlátokat tekintettem. A kalibráció eredményeképpen kapott paramétereket a 4.1. táblázat foglalja össze. A paraméterek pontos szerepe és a kalibrációhoz használt karakterisztikus függvények megtalálhatóak az 1. Függelékben. BS

σ = 0,1148 Heston

σ0 = 0,0972 η = 0,0210

κ = 3,9983

θ = 0,0975 ρ = −0,9999

κ = 3,9998

θ = 0,0960 ρ = −0,9997

Bates

σ0 = 0,0971 η = 0,0210 λ = 0,0606

µJ = 0,0100 σJ = 0,0108

4.1. táblázat. A kalibrálás során kapott paraméterek az egyes modellek esetén.

Ezek alapján a Bates-modellben csak ritkán vannak ugrások, és azok mértéke is csekély. Mivel a többi paraméter közel megegyezik a Heston-modellnél kapottakkal, a két modell esetén nem tapasztalunk nagy különbségeket a 2. fejezetben látható eredményeknél. Emellett a Bates-modell nem is közelíti jelent®sen jobban a piaci árakat, s®t a szimulációk során gyakran láttam olyan eseteket is, ahol az alkalmazott illeszkedési mutatók alapján kifejezetten rosszabbul teljesített. Egy-egy szimuláció eredményeit hasonlítja össze a 4.2. táblázat, amelyben az alkalmazott, Schoutens és szerz®társai [18] cikkében is szerepl®, az illeszkedés jóságát mér® mutatókat foglaltuk össze. Ezek tükrében azt mondhatjuk, hogy az S&P 500 index dinamikájának leírására a modellbe az ugrásokat is belevéve nem kapunk szignikánsan jobb eredményt. Modell

rmse

ape

aae

arpe

BS

23,7179

0,0310

16,7089

0,0950

Heston

22,9706

0,0265

14,3059

0,0659

Bates

22,4172

0,0268

14,4592

0,0685

4.2. táblázat. Az illeszkedés jóságát mér® mutatók az egyes modellek esetén, 10000 szcenárió generálásával.

Az alkalmazott mutatók részletes leírása az alábbi. A modell ár a szimulációk segítségével kapott árat jelöli. 38

Átlagos négyzetes hiba gyöke (root mean square error) v uX u (Piaci ár − Modell ár)2 rmse = t opciók száma

(4.5)

opciók

Átlagos abszolut hiba az átlagos piaci ár százalékában (average absolute error as a percentage of the mean price)

ape =

X |Piaci ár − Modell ár| 1 átlagos piaci ár opciók száma opciók

(4.6)

Átlagos abszolut hiba (average absolute error)

aae =

X |Piaci ár − Modell ár| opciók száma opciók

(4.7)

Átlagos relatív százalékos hiba (average relative percentage error)

arpe =

X |Piaci ár − Modell ár| 1 opciók száma Piaci ár opciók

(4.8)

A modellek illeszkedése közül a Bates-modellét részletezem a következ®ekben. Ehhez (és a másik két modell illeszkedésének vizsgálatához is) 10000 szcenárió alapján kapott ábrákat használok fel. A 4.1-es ábra azt mutatja meg, hogy azoknál a piaci call áraknál, ahol a szimulált ár és a piaci ár eltérése a piaci ár százalékában kritikusan nagy, a piaci ár tulajdonképpen kicsi, így valójában ezeken a helyeken csak kis eltérésekr®l van szó (hasonló ábrák találhatóak a Black-Scholes és a Heston-modell esetére a Függelékben - 8. ábra, 9. ábra ).

4.1. ábra. A piaci call árak a kötési árfolyamok és a lejáratok függvényében, a jobb oldali skálának megfelel®en színkódokkal jelölve a szimulált és a piaci ár százalékos eltérését a Bates-modell esetén.

Ehhez kapcsolódik a 4.2-es ábra, amelyen annak a 3 dimenziós felületnek a lejárati id® szerinti metszetei vannak, ahol a kötési árak és a lejáratig hátralév® id®k függvényében szerepelnek a piaci, a karakterisztikus függvény segítségével számított és a szimulációval kapott árak. 39

A 10 lejárati id® közül négyre az alábbi ábrákat kaptuk eredményül (hasonlóak találhatóak a Black-Scholes és a Heston-modell esetére a Függelékben - 10. ábra, 11. ábra).

4.2. ábra. A piaci, a karakterisztikus függvény segítségével számított és a szimulációval kapott árak a Bates-modell esetén.

Látható, hogy a szimulált és a karakterisztikus függvénnyel kapott árak olyannyira egybeesnek, hogy az utóbbi görbéje szinte nem is látható. Ez azért is fontos meggyelés, mert ebb®l is látszik, hogy a karakterisztikus függvény mennyire pontosan visszaadja a lehetséges értékeket. Emellett meggyelhetjük, hogy a modell a rövid lejáratra a legpontosabb, majd a lejáratig hátralév® id® növekedésével egyre nagyobb a szimulált és a piaci árak közötti különbség. Végül vegyük szemügyre a 4.3-as ábrát, amelyen a piaci, valamint a karakterisztikus függvénnyel kapott és a szimulált árak különbségeinek, illetve százalékos eltéréseinek felületei láthatóak. Ezek is alátámasztják az el®z®eket, vagyis a karakterisztikus függvénnyel és a szimulációval kapott árak eltérése kicsi, ugyanakkor a piaci és a szimulált árak a rövid lejáratra nagyjából egybeesnek, míg a lejáratig hátralév® id® növekedésével egyre nagyobb lesz az eltérés, f®ként az alacsony kötési árfolyamokra, amelyek call opciókról lévén szó, deep in-the-money pozíciók. Emmellett azt gyelhetjük meg, hogy a rövidebb lejáratokra és magas kötési árfolyamokra nagy a százalékos eltérés, ami egyrészt a nagyon kicsi opcióáraknak lehet köszönhet®, másrészt viszont 40

az adatok torzítottsága vagy valamilyen konvergencia-beli hiba is szerepet játszhat.

4.3. ábra. A piaci (M), valamint a karakterisztikus függvénnyel kapott (C1) és a szimulált (C2) árak különbségeinek felületei a Bates-modell esetén.

Ezzel végére értem a kalibrációk kimerít® leírásának valamennyi eredmény bemutatásával. Habár 3 modellt is illesztettem, érdemes lehet továbbiakatat is kipróbálni, és megnézni, hogy azok segítségével milyen eredmények adódnak.

41

5. fejezet Összefoglalás A dolgozatban szerepl® modelleket sikeresen kalibráltam a piaci árakhoz, és a számos szimuláció segítségével széles kör¶ elemzést tudtam végrehajtani. Megvizsgáltam az S&P 500 indexet, mint kockázatos eszközt felhasználó Target Volatility Fund-ot. Ezek alapján, a forrásként használt cikk [9] eredményét®l eltér®en azt kaptam, hogy a TVF-re kiírt opciók árában a különböz® modellek esetén nincs drasztikus változás. Ugyanakkor én is arra jutottam, hogy a TVF relatíve érzéketlen a tekintett újrasúlyozási gyakoriságokra. Emellett a levezetések jelent®s hányadát is leírva részletesen bemutattam a Target Volatility Opciók árazási lehet®ségeit Taylor-sorfejtés és Laplace-transzformáció segítségével mind modellfügg®, mind modell-független esetekben. Ezután ezeket az eredményeket felhasználva pozitív konstans kamatlábat feltételezve meghatároztam a Taylor-sorfejtés esetére egy általános árazási formulát, valamint a Laplace-transzformált módszerével egy alternatív, explicit formulát a put TVO-k árazására a Black-Scholes modell keretein belül. További vizsgálatok tárgyát képezheti, hogy milyen változásokkal jár, hogyha a TVF-eknél a kockázatos eszköz dinamikáját más modellel írjuk le. Érdemes lehet megvizsgálni a BarndorNielsen Shephard modellt valamint a sztochasztikus idej¶ Lévy-folyamatokat. Ugyanakkor az is érdekes kérdés, hogy maguk a TVF-ek alkalmasak lehetnek-e hosszútávú befektetés céljára, mint például egy magánynugdíjpénztár számára. A TVO-k árazásánál érdemes lehet egy széles kör¶ elemzés keretein belül az árazási formulák eredményeit további modellekre is összehasonlítani, ugyanakkor egy sokkal nehezebb, de szintén érdekes feladat valamilyen árazási formula meghatározása, hogyha az alaptermék és a volatilitás folyamatát korreláltnak feltételezzük. A szakdolgozat megírása közben számos kihívással kerültem szembe. Izgalmas feladat volt mind az elméleti háttérben való elmélyedés, mind a kalibrációk és szimulációk MATLAB-ban történ® megvalósítása. Úgy érzem, hogy minden akadályt sikerrel vettem, és munkám méltón képezheti alapját további vizsgálatoknak.

42

Függelék 1.

Modellek Az alábbiakban szerepel Kilin [13] cikke alapján a Heston- és Bates-modellek leírása és

karakterisztikus függvényeik.

Heston-modell. A kockázatsemleges dinamika a Heston-modellben dSt = r dt + σt dWt , S0 ≥ 0, St

(1)

ft , σ0 ≥ 0, dσt2 = κ(η − σt2 ) dt + θσt dW

(2)

ft ] = ρ dt, Cov[dWt , dW

(3)

ahol

mely esetén κ az átlaghoz való visszatérés sebessége, η a hosszútávú variancia, θ a variancia volatilitása, ρ az alaptermék és a volatilitás közötti korreláció és σq a volatilitás kezdeti értéke. A Heston-modell karakterisztikus függvénye     1 − ge−dT −2 φ(ω) = exp ηκθ (κ − ρθωi − d)T − 2 log 1−g  −dT 1−e + σ02 θ−2 (κ − ρθωi − d)) , 1 − ge−dT
1/2 d = (ρθωi − κ)2 − θ2 (−iω − ω 2 ) ,

g=

κ − ρθωi − d . κ − ρθωi + d

(4) (5) (6) (7)

Bates-modell. Ez a Heston-modell egy olyan kiterjesztése, ahol az alaptermék folyamatában ugrások is el®fordulhatnak.

dSt = (r − λµJ ) dt + σt dWt + Jt dNt , S0 ≥ 0, St

(8)

ft -t®l független Poisson-folyamat λ > 0 intenzitással. Jt jelöli a százalékos ahol Nt egy Wt -t®l és W ugrásnagyságot, amely id®ben lognormális, független és azonos eloszlású

log(1 + Jt ) ∼ N (log(1 + µJ ) − 43

σJ2 2 , σ ). 2 J

(9)

A σt volatilitás folyamat a (2) SDE-et követi. Teljesül a (3) feltétel. A Bates-modell karakterisztikus függvénye

   1 − ge−dT (κ − ρθωi − d)T − 2 log φ(ω) = exp ηκθ 1−g −dT 1−e + σ02 θ−2 (κ − ρθωi − d)) 1 − ge−dT 

iω 2 − λµJ iωT + λT (1 + µJ ) exp σJ (iω/2)(iω − 1) − 1 , 

−2

ahol d és g a (6) és (7) által adottak.

2.

Ábrák

A TVF-ek implicit volatilitásainak ábrái.

1. ábra. Implicit volatilitások a Black-Scholes modellben különböz® lejáratok esetén, 5000 szcenárió felhasználásával

44

(10) (11) (12)

2. ábra. Implicit volatilitások a Heston-modellben különböz® lejáratok esetén, 5000 szcenárió felhasználásával

3. ábra. Implicit volatilitások a Bates-modellben különböz® lejáratok esetén, 5000 szcenárió felhasználásával

45

A TVF újrasúlyozási gyakoriságához kapcsolódó ábrák.

4. ábra. Implicit volatilitások a Black-Scholes modellben különböz® lejáratok és újrasúlyozási gyakoriságok esetén

5. ábra. Implicit volatilitások a Heston-modellben különböz® lejáratok és újrasúlyozási gyakoriságok esetén

6. ábra. A kockázatos eszköz súlyainak és az azoknak megfelel® TVF árfolyamatoknak az alakulása különböz® újrasúlyozási gyakoriságok esetén a Black-Scholes modellben

46

7. ábra. A kockázatos eszköz súlyainak és az azoknak megfelel® TVF árfolyamatoknak az alakulása különböz® újrasúlyozási gyakoriságok esetén a Heston-modellben

A kalibrációval kapott modellek illeszkedéseihez kapcsolódó ábrák.

8. ábra. A piaci call árak a kötési árfolyamok és a lejáratok függvényében, a jobb oldali skálának megfelel®en színkódokkal jelölve a szimulált és a piaci ár százalékos eltérését a Black-Scholes modell esetén.

9. ábra. A piaci call árak a kötési árfolyamok és a lejáratok függvényében, a jobb oldali skálának megfelel®en színkódokkal jelölve a szimulált és a piaci ár százalékos eltérését a Heston-modell esetén.

47

10. ábra. A piaci, a karakterisztikus függvény segítségével számított és a szimulációval kapott árak a Black-Scholes modell esetén.

48

11. ábra. A piaci, a karakterisztikus függvény segítségével számított és a szimulációval kapott árak a Bates-modell esetén.

49

12. ábra. A piaci (M), valamint a karakterisztikus függvénnyel kapott (C1) és a szimulált (C2) árak különbségeinek felületei a Black-Scholes modell esetén.

50

13. ábra. A piaci (M), valamint a karakterisztikus függvénnyel kapott (C1) és a szimulált (C2) árak különbségeinek felületei a Heston-modell esetén.

3.

Implementálás MATLAB-ban A következ®ekben azoknak az algoritmusoknak a leírása olvasható, amelyeket felhasználtam

a szakdolgozatomhoz. Azokat a MATLAB-programokat, amelyeket én írtam vagy módosítva felhasználtam, CD-n mellékeltem. A leírás során abban a sorrendben haladunk, ahogyan az egyes problémák felmerültek a dolgozat írása alatt. A TVF-ek vizsgálata során az els® lépés a Heston- és a Bates-modell piachoz történ® kalibrálása volt. Az ehhez kapcsolódó programok az

1, kalibrálás mappán belül a modell nevének

megfelel® alkönyvtárban találhatóak. A kalibrálás els® fázisát a Dierenciál Evolúció (Dierential Evolution) [15] módszerrel hajtottam végre, amelynek egy nyílt forráskódú verziója megtalálható a http://www.icsi.berkeley.edu/~storn/code.html oldalon. Ezt úgy módosítottam, hogy alkalmas legyen a kalibrálás végrehajtására, melyhez a X sX
2 Ct,k (P ) − Mt,k t∈T

k∈K

51

célfüggvény minimalizálását választottam, ahol T a lehetséges lejáratok, K pedig a különböz® kötési árfolyamok halmaza, valamint Ct,k (P ) jelöli a paraméterek P vektorának megfelel®, karakterisztikus függvénnyel számított call opció árát, míg Mt,k a call opciók piaci ára. A Dierenciál Evolúció módszert a Rundeopt paranccsal tudjuk elindítani, melynek eredményeképpen megkapjuk a becsült paramétereket és a célfüggvény értékét is. A második fázisban a Dierenciál Evolúció módszerrel kapott paramétereket kezd®értékként használva futtattam a Levenberg-Marquardt [8] algoritmust, amelyhez a MATLAB saját

lsqnonlin függvényét alkal-

maztam. A második lépés a modellek szimulálása volt, amelyet a

simBlackScholes, simHeston

és

simBates

2, szimulációk könyvtárban lév®

algoritmusokkal valósítottam meg. Ezek input

paraméterei:

n - hány üzleti napot szimuláljunk (1 év 252 üzleti napnak felel meg), m - hány realizációt generáljunk. A programok ki is rajzolják a kapott eredményeket, emellett a Bates-modell szimulációja az ugrásokat is megjeleníti egy külön ábrán. A következ® lépés a szimulációval számított opcióárak illeszkedésének vizsgálata volt a kalibrációk során kapott paraméterek esetén. Ezt a 3,

illeszkedés mappában szerepl® algoritmusok-

kal a karakterisztikus függvénnyel kapott és a piacon lév® opcióárakhoz képest is tekintettem. A

tBlackScholes, tHeston és tBates programok input paraméterei: m - a generált realizációk száma, graph - a program mentse-e le a kirajzolt ábrákat: 1 - igen, 0 - nem,

output paraméterei pedig:

rmse - az illeszkedés jóságát mér® rmse mutató (4.5), ape - az illeszkedés jóságát mér® ape mutató (4.6), aae - az illeszkedés jóságát mér® aae mutató (4.7), arpe - az illeszkedés jóságát mér® arpe mutató (4.8), C1 - a karakterisztikus függvénnyel kapott opcióárak mátrixa, C2 - a szimulációval kapott opcióárak mátrixa, D1 - a szimulált és a karakterisztikus függvénnyel kapott opcióár százalékos eltérésének mátrixa: D1= (C2-C1)/C1,

D2 - a szimulált és a piaci opcióár százalékos eltérésének mátrixa: D2=(C2-M)/M, 52

D3

- a szimulációval és a karakterisztikus függvénnyel kapott opcióárak különbségének

mátrixa: D3=C2-C1,

D4 - a szimulációval kapott és a piacon lév® opcióárak különbségének mátrixa: D4=C2-M, ahol M jelöli a piacion lév® opcióárak mátrixát. Ezen kívül a program ki is rajzolja egyrészt az egyes lejárati id®kre a piaci, a karakterisztikus függvénnyel kapott és a szimulált opcióárak görbéit a kötési árfolyamok függvényében, másrészt pedig a D1, a D2, a D3 és a D4 felületeket a kötési árfolyam és a lejáratig hátralév® id® függvényében. A negyedikként felmerül® feladat a Target Volatility Fund-ok szimulációja és az ezekre, valamint a kockázatos eszközként szolgáló indexre kiírt call opciók implicit volatilitásainak

4, implicit volatilitás könyvtárban lév® TVFimpvolBS, TVFimpvolHeston és TVFimpvolBates programok, melyek input parakiszámítása és kirajzolása volt. Erre szolgálnak a

méterei a következ®ek:

target - a cél-volatilitás értéke, m - hány szcenáriót generáljunk. Az ötödik lépés olyan eljárások megírása volt, amelyek amellet, hogy adott újrasúlyozási gyakoriság esetén kirajzolják a szimulált részvényindex és TVF, valamint a hozzájuk tartozó volatilitások és a kockázatos eszköz súlyának folyamatát, még a TVF-re kiírt call opció árát is kiszámítják. Erre szolgálnak az 5, TVFprice mappán belüli TVFpriceBS, TVFpriceHeston és

TVFpriceBates algoritmusok. Ezek input paraméterei: target - a cél-volatilitás értéke, K - a kötési árfolyam, T - a lejáratig hátralév® id®, freq

- az újrasúlyozási gyakoriság: 'D' - naponta, 'W' - hetente, 'M' - havonta, 'Q' -

negyedévente,

m - a realizációk száma graph - rajzoljon-e ábrákat: 'true', 'T' vagy 1, ha igen, output paraméterei pedig:

C1 - a TVF-re kiírt call opció ára a szimuláció alapján, C2 - az indexre kiírt call opció ár a szimuláció alapján. 53

A TVF-ekkel kapcsolatban az utolsó feladat a különböz® újrasúlyozási gyakoriságok hatá-

6, TVFfreq könyvtárban található programokkal valósítottam meg. Ezek közül a TVFfreqimpvolBS, a TVFfreqimpvolHeston és a TVFfreqimpvolBates algoritmusok a TVF-re kiírt call opciók implicit volatilisainak egyazon ábrán történ® szemléltetése volt, melyeket a

tásait ábrázolják adott lejáratokra és kötési árfolyamokra a különböz® újrasúlyozási gyakoriságokkal a következ® input paraméterek szerint:

target - a cél-volatilitás értéke, m - a generált realizációk száma. Emellett a

TVFfreqBS,

a

TVFfreqHeston

és a

TVFfreqBates

programok a kockázatos

eszköz súlyának folyamatát és az ehhez kapcsolódó TVF alakulását ábrázolják a különböz® újrasúlyozási gyakoriságok esetén az alábbi input paramétereknek megfelel®en:

target - a cél-volatilitás értéke, T - milyen hosszú id®távot szimuláljon a program. Végül a dolgozat során az utolsó lépés a put Target Volatility Opciók árazásának megvalósítása volt szimulációk és Laplace-transzformált segítségével a Black-Scholes modell esetén, melyet a

7, TVOprice mappában szerepl® programokkal hajtottam végre. A TVOpriceBSsim

algoritmus szimulációk felhasználásával számítja ki a put TVO árát az alábbi input paraméterek mellett:

target - a cél-volatilitás értéke, T - a lejáratig hátralév® id®, K - a kötési árfolyam, m - a generált szcenáriók száma. Továbbá a TVOpriceBSlapl program Laplace-transzformált segítségével adja meg a put TVO árát a következ® input paraméterek esetén:

target - a cél-volatilitás értéke, T - a lejáratig hátralév® id®, K - a kötési árfolyam. Utóbbihoz felhanáltam azt a Medvegyev Péter Tanár Úr oldalán lév® LaplaceInv programot (http://medvegyev.uni-corvinus.hu/matlab/LaplaceInv.m), amely kiszámítja egy függvény Laplace-transzformáltját a megadott helyen.

54

Irodalomjegyzék [1] Joseph Abate and Ward Whitt. Numerical inversion of laplace transforms of probability distributions.

ORSA Journal on Computing, 7:3643, 1995. http://dx.doi.org/10.

1287/ijoc.7.1.36. [2] Mukarram Attari. Option Pricing Using Fourier Transforms: A Numerically Ecient Simplication.

SSRN Electronic Journal, 2004. DOI: 10.2139/ssrn.520042.

[3] Douglas T. Breeden and Robert H. Litzenberger. Prices of State-contingent Claims Implicit in Option Prices.

The Journal of Business, 51(4):62151, 1978. DOI: 10.1086/296025.

[4] Peter Carr and Roger Lee. Robust replication of volatility derivatives. Mathematics in nance working papers, New York University, Courant Institute of Mathematics Sciences, 3 2008. [5] CBOE. VIX - Fact & Fiction. CBOE Research Notes, 2009. http://www.cboe.com/

publish/researchnotes/research_notes_5-1-09_issue_2.pdf. [6] CBOE. The CBOE Volatility Index - VIX. CBOE White Paper, 2015. https://www.

cboe.com/micro/vix/vixwhite.pdf. [7] Arturo Estrella. Taylor, Black and Scholes: series approximations and risk management pitfalls. Research Paper 9501, Federal Reserve Bank of New York, 1995. http://www.

newyorkfed.org/research/staff_reports/research_papers/9501.html. [8] Philip E. Gill and Walter Murray. Algorithms for the Solution of the Nonlinear LeastSquares Problem.

SIAM Journal on Numerical Analysis, 15(5):pp. 977992, 1978.

[9] Giuseppe Di Graziano and Lorenzo Torricelli. Target Volatility Option Pricing.

Inter-

national Journal of Theoretical and Applied Finance, 15(1):12500051125000517, 2012. DOI: 10.1142/S0219024911006474. [10] John C. Hull.

Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition. Prentice Hall, 2012.

ISBN: 0-13-216494-9. [11] S&P Dow Jones Indices. Index Mathematics Methodology. Index Methodology, 2015.

http://www.spindices.com/documents/index-policies/methodology-index-math. pdf. 55

[12] S&P Dow Jones Indices. S&P U.S. Indices Methodology. Index Methodology, 2015. https:

//us.spindices.com/documents/methodologies/methodology-sp-us-indices.pdf. [13] Fiodar Kilin. Accelerating the Calibration of Stochastic Volatility Models.

The Journal

of Derivatives, 18(3):716, 2011. DOI: 10.3905/jod.2011.18.3.007. [14] Steven Morrison and Laura Tadrowski. Guarantees and Target Volatility Funds. B & H Research, Moody's Analytics, 2013. http://www.barrhibb.com/documents/downloads/

Guarantees_and_target_volatility_funds.pdf.

Dierential Evolution: A Practical Approach to Global Optimization (Natural Computing Series). Springer-Verlag New

[15] Kenneth Price, Rainer M. Storn, and Jouni A. Lampinen. York, Inc., 2005. ISBN: 3540209506.

[16] Budapesti Értékt®zsde. Részvényindexek. BÉT Elemzések, 7 2003. http://bet.hu/data/

cms76968/Reszvenyindexek.pdf. [17] Walter Schachermayer and Josef Teichmann. How close are the Option Pricing Formulas of Bachelier and Black-Merton-Scholes?

Mathematical Finance, pages 5576, 2005.

[18] Wim Schoutens, Erwin Simons, and Jurgen Tistaert. A Perfect Calibration! Now What?

Wilmott Magazine, pages 6678, March 2004.

56