Digitális jelfeldolgozás

Digitális jelfeldolgozás Mintavételezés és jel-rekonstrukció

Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék [email protected]

2010. szeptember 8.

Bevezetés

Áttekintés

1

Bevezetés

2

Analóg jelek

3

Mintavételezés

4

Szinuszos jelek mintavételezése

5

Különböző DSP frekvenciaegységek

6

DSP rendszerek alapvető komponensei

Magyar A. (Pannon Egyetem)

DSP

2011 szeptember

2 / 22

Bevezetés

Bevezetés

Analóg jelek digitális feldolgozásának lépései A/D konverzió: digitalizálás és kvantálás digitális jelek feldolgozása D/A konverzió: a digitális jel visszatranszformálása analóg jelé

Magyar A. (Pannon Egyetem)

DSP

2011 szeptember

3 / 22

Analóg jelek

Áttekintés

1

Bevezetés

2

Analóg jelek

3

Mintavételezés

4

Szinuszos jelek mintavételezése

5

Különböző DSP frekvenciaegységek

6

DSP rendszerek alapvető komponensei

Magyar A. (Pannon Egyetem)

DSP

2011 szeptember

4 / 22

Analóg jelek

Analóg jelek Időtartomány

Frekvenciatartomány

Jelek: x(t) időfüggvények

X (Ω)

Inverz-Fourier transztformált Z ∞ dΩ x(t) = X (Ω)e jΩt 2π −∞

Fourier transzformált Z ∞ X (Ω) = x(t)e −jΩt dt −∞

Laplace transzformált (s = jω) Z

∞

X (s) =

x(t)e −st dt

−∞

x(t) = e −α1 t e jΩ1 t u(t) s1 = −α1 + jΩ1 X (s) =

1 s − s1

Magyar A. (Pannon Egyetem)

DSP

2011 szeptember

5 / 22

Analóg jelek

Lineáris renszerek Lineáris időinvariáns (LTI, Linear, Time-Invariant) rendszerek h(t) impulzusválasz-függvényének (súlyfüggvényének) ismeretében x(t)-re adott válasz időtartományban konvolúció Z ∞ y (t) = h(t − t 0 )x(t 0 )dt = h(t) ∗ x(t) −∞

frekvenciatartományban szorzat Y (Ω) = H(Ω) · X (Ω) H(Ω): frekvenciaválasz függvény Z H(Ω) =

∞

h(t)e −jΩt dt

−∞

Magyar A. (Pannon Egyetem)

DSP

2011 szeptember

6 / 22

Analóg jelek

Lineáris renszerek LTI rendszer állandósult állapotbeli válasza szinuszos bemenetre

Frekvenciafüggő erősítés (és fázistolás) x(t) = e jΩt

⇒

y (t) = H(Ω)e jΩt = |H(Ω)|e j(Ω+arg (H(Ω)))t

Szuperpozíció tétele: x(t) = A1 e jΩ1 t +A2 e jΩ2 t

Magyar A. (Pannon Egyetem)

⇒

y (t) = A1 H(Ω1 )e jΩ1 t +A2 H(Ω2 )e jΩ2 t

DSP

2011 szeptember

7 / 22

Mintavételezés

Mintavételezés

T másodpercenként periodikusan megmérjük a jel értékét → az időhalmazt diszkretizáljuk t = nT ,

n = 0, 1, 2, . . .

Kérdések Milyen hatással van a mintavételezés a jel spektrumára? Hogy válasszuk meg T -t? Magyar A. (Pannon Egyetem)

DSP

2011 szeptember

8 / 22

Mintavételezés

Mintavételezés Az eredeti jel teljes spektruma periodikusan ismétlődve megjelenik a mintavételezett jelben, az ismétlődés frekvenciája a mintavételi frekvencia: 1 fs = T

Csak a mintavételezett jel spektrumának ismeretében nem határozható meg az eredeti jel spektruma (alias). Mintavételi idő: elég kicsi ne túl kicsi Magyar A. (Pannon Egyetem)

DSP

2011 szeptember

9 / 22

Mintavételezés

Mintavételezési tétel

Mintavételezési tétel Tétel (Shannon) Legyen x(t) sávhatárolt jel. Az x(t) jel egyértelműen előállítható az x(nT ) mintáiból, ha az fs mintavételi frekvencia legalább kétszerese a jel maximális frekvenciájának (fmax ), azaz 1 fs ≥ 2fmax vagy T ≤ . 2fmax

Megengedhető legkisebb mintavételi frekvencia (Nyquist ráta): fs = 2fmax Nyquist frekvencia: f2sh i Nyquist intervallum: − f2s , f2s Magyar A. (Pannon Egyetem)

DSP

2011 szeptember

10 / 22

Mintavételezés

Mintavételezési tétel

Mintavételezési tétel

fmax és fs értéke alkalmazásfüggő alkalmazás geofizikai biomedikai mechanikai beszéd audio video

Magyar A. (Pannon Egyetem)

fmax 500 Hz 1kHz 2kHz 4kHz 20kHz 4Mhz

DSP

fs 1kHz 2kHz 4kHz 8kHz 40 kHz 8MHz

2011 szeptember

11 / 22

Mintavételezés

Antialias előszűrők

Antialias előszűrők A gyakorlatban előforduló jelek nem sávhatároltak Mintavételezés előtt analóg aluláteresztő szűrés (antialias előszűrés) Vágási frekvencia (fmax ) legfeljebb a Nyquist frekvencia lehet fmax ≤

Magyar A. (Pannon Egyetem)

DSP

fs 2

2011 szeptember

12 / 22

Mintavételezés

Hardver korlátok

Antialias előszűrők Mi történik, ha nem a Shannon tételnek megfelelően mintavételezünk?

Shannon tétel alsó korlátot ad fs -re Az alkalmazott hardver felső korlátot szab fs -nek Minta feldolgozási ideje: Tproc Korlát: T ≥ Tproc , azaz fs ≤ fproc (fproc = 1/Tproc )

(Összegezve) 2fmax ≤ fs ≤ fproc Magyar A. (Pannon Egyetem)

DSP

2011 szeptember

13 / 22

Szinuszos jelek mintavételezése

Áttekintés 1

Bevezetés

2

Analóg jelek

3

Mintavételezés

4

Szinuszos jelek mintavételezése Analóg rekonstrukció és alias Forgómozgás

5

Különböző DSP frekvenciaegységek

6

DSP rendszerek alapvető komponensei

Magyar A. (Pannon Egyetem)

DSP

2011 szeptember

14 / 22

Szinuszos jelek mintavételezése

Szinuszos jelek mintavételezése x(t) = cos(2πft)

Ciklusonkénti mintavételek legkisebb elfogadható száma 2   fs minta fs minta/s minta ≥2 ⇒ fs ≥ 2f = = f ciklus f ciklus/s ciklus Tetszőleges általános x(t) jel felírható szinuszos jelek lineáris kombinációjaként (inverz Fourier transzformáció) x(t) = A1 cos(2πf1 t) + A2 cos(2πf2 t) + · · · + Amax cos(2πfmax t) ⇓ 2f1 ≤ 2f2 ≤ · · · ≤ 2fmax ≤ fs Magyar A. (Pannon Egyetem)

DSP

2011 szeptember

15 / 22

Szinuszos jelek mintavételezése

Analóg rekonstrukció és alias

Analóg rekonstrukció és alias Alias hatása a rekonstruált jelre Komplex exponenciálisok x(t) = e jΩt = e 2πjft Mintavételezés (t = nT ): x(nT ) = e jΩnT = e 2πjfTn Komplex exponenciálisok családja (m = 0, ±1, ±2, . . . ) xm (t) = e 2πj(f +mfs )t ,

ill. xm (t) = e 2πj(f +mfs )Tn

xm (nT ) = e 2πj(f +mfs )Tn = e 2πjfTn e 2πjmfs Tn = e 2πjfTn = x(nT ) Tehát az f , f ± fs , f ± 2fs , . . . , f ± mfs frekvenciák ekvivalensek

Magyar A. (Pannon Egyetem)

DSP

2011 szeptember

16 / 22

Szinuszos jelek mintavételezése

Analóg rekonstrukció és alias

Analóg rekonstrukció és alias Egy ideális analóg helyreállító a [−fs /2, fs /2] Nyquist intervallumbeli spektrumot állítja helyre (aluláteresztő szűrő) A helyreállított jel xa (t) = e 2πjfa t ,

Magyar A. (Pannon Egyetem)

ahol fa = f

DSP

mod (fs )

2011 szeptember

17 / 22

Szinuszos jelek mintavételezése

Forgómozgás

Forgómozgás e 2πjft komplex exponenciális leírása forgómozgásként forgómozgás frekvenciája f fordulat/s (Ω = 2πf radián/s) villogás frekvenciája fs villanás/s két villanás közti szögelfordulás ω ω = ΩT = 2πfT =

2πf fs

digitális frekvencia [radián/minta]

Digitális frekvencia x(nT ) = e 2πjfTn = e jωn Nyquist frekvencia f = fs /2 ⇒ ω = π Nyquist intervallum [−π, π] Alias frekvencia ωa = ω mod (2π)

Magyar A. (Pannon Egyetem)

DSP

2011 szeptember

18 / 22

Különböző DSP frekvenciaegységek

Áttekintés

1

Bevezetés

2

Analóg jelek

3

Mintavételezés

4

Szinuszos jelek mintavételezése

5

Különböző DSP frekvenciaegységek

6

DSP rendszerek alapvető komponensei

Magyar A. (Pannon Egyetem)

DSP

2011 szeptember

19 / 22

Különböző DSP frekvenciaegységek

Különböző DSP frekvencia egységek

Ugyanannak a mintavételezett komplex exponenciálisnak a különböző formái f e 2πjfTn = e 2πj fs n = e jΩTn = e jωn

Magyar A. (Pannon Egyetem)

DSP

2011 szeptember

20 / 22

DSP rendszerek alapvető komponensei

Áttekintés

1

Bevezetés

2

Analóg jelek

3

Mintavételezés

4

Szinuszos jelek mintavételezése

5

Különböző DSP frekvenciaegységek

6

DSP rendszerek alapvető komponensei

Magyar A. (Pannon Egyetem)

DSP

2011 szeptember

21 / 22

DSP rendszerek alapvető komponensei

DSP rendszerek alapvető komponensei 1 2 3 4 5

Analóg antialias (aluláteresztő) előszűrő A/D konverter (mintavevő és kvantáló) Digitális jelfeldolgozó processzor D/A konverter (nulladrendű tartó) Analóg utószűrő

Ya (f ) = HPOST (f )HDAC (f )HDSP (f ) T1 (HPRE (f )Xa (f ) + másolatok) = HDSP (f )Xa (f ) Magyar A. (Pannon Egyetem)

DSP

2011 szeptember

22 / 22