Lajk´o K´aroly
Differenci´ alegyenletek
´ k¨ mobiDIAK onyvt´ ar
Lajk´o K´aroly ´ DIFFERENCIALEGYENLETEK
´ k¨ mobiDIAK onyvt´ ar ˝ SOROZATSZERKESZTO Fazekas Istv´an
Lajk´o K´aroly
Differenci´ alegyenletek egyetemi jegyzet, harmadik kiad´as
´ k¨ mobiDIAK onyvt´ ar Debreceni Egyetem Informatikai Int´ezet
c Lajk´o K´aroly, 2004 Copyright ´ k¨ c elektronikus k¨ozl´es mobiDIAK Copyright onyvt´ar, 2004 ´ k¨ mobiDIAK onyvt´ ar Debreceni Egyetem Informatikai Int´ezet 4010 Debrecen, Pf. 12 http://mobidiak.inf.unideb.hu
A m˝ u egy´eni tanulm´anyoz´as c´elj´ara szabadon let¨ olthet˝ o. Minden egy´eb felhaszn´al´ as csak a szerz˝ o el˝ozetes ´ır´ asbeli enged´ely´evel t¨ ort´enhet. ´ ¨onszervez˝o mobil port´ A m˝ u A mobiDIAK al (IKTA, OMFB-00373/2003) ´es a GNU Iter´ ator, a leg´ ujabb gener´aci´ os port´ al szoftver (ITEM, 50/2003) projektek keret´eben k´esz¨ ult.
Tartalomjegyz´ ek I.
Differenci´ alegyenlet, Cauchy-feladat fogalma 9 1. Bevezet˝o feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2. Differenci´ alegyenlet fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3. Kezdeti ´ert´ek probl´ema vagy Cauchy-feladat . . . . . . . . . 12
II. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Elemi u ´ ton megoldhat´ o differenci´ alegyenlet-t´ıpusok Szepar´ abilis differenci´ alegyenletek . . . . . . . . . . . . . . V´ altoz´ oban homog´en differenci´alegyenletek . . . . . . . . . ax+by+c ′ Az y = f αx+βy+γ differenci´alegyenlet . . . . . . . . . . Els˝orend˝ u line´aris differenci´ alegyenletek . . . . . . . . . . . Egzakt differenci´ alegyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . Integr´al´ o szorz´ o keres´ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Bernoulli- ´es Ricatti-egyenlet . . . . . . . . . . . . . . .
III. Egzisztencia-t´ etelek Cauchy-feladatokra 1. Seg´edeszk¨oz¨ok a funkcion´alanal´ızisb˝ ol . . . . ´ -re . . 2. Egzisztencia ´es uniciti´ as t´etel DER-KEP ´ ) megoldhat´ 3. (L-DER-KEP os´ aga . . . . . . . . . ´ ) megoldhat´ 4. (n-KEP os´ aga . . . . . . . . . . . ´ -re . . . . . . . . . 5. Egzisztenciat´etel DER-KEP
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . . . .
15 15 17 17 18 22 25 26
. . . . .
29 29 31 35 36 38
IV. Magasabbrend˝ u line´ aris differenci´ alegyenletek 1. Az n-edrend˝ u line´aris homog´en differenci´alegyenletek ´altal´ anos elm´elete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Konstansegy¨ utthat´ os line´aris homog´en differenci´alegyenletek 3. n-edrend˝ u line´aris inhomog´en differenci´alegyenletek . . . . . 4. Line´aris differenci´ alegyenlet-rendszerek . . . . . . . . . . . . 5. Konstansegy¨ utthat´ os line´aris differenci´alegyenletek megold´asa Laplace-transzform´aci´ oval . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
V.
61 61 62 65
Peremfeladatok, stabilit´ as 1. A peremfeladat fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Sturm-Liouville rendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Parci´ alis differenci´ alegyenletek peremfelt´etelekkel . . . . . . 7
39 46 48 51 58
4. Stabilit´ as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 VI. Vari´ aci´ osz´ am´ıt´ as 1. Alapfogalmak, alapfeladatok . . . . . . 2. Seg´edt´etelek . . . . . . . . . . . . . . . 3. Funkcion´alok vari´aci´ oi . . . . . . . . . . 4. Az Euler-Lagrange differenci´alegyenlet 5. Az 1. alapfeladat megold´asa . . . . . . Feladatsor
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
75 75 78 79 80 83 86
8
´ legyenlet, I. Differencia Cauchy-feladat fogalma 1. Bevezet˝ o feladatok a) Legyen adott az egyenesen mozg´o pont v sebess´egf¨ uggv´enye, mely folytonos. A t0 id˝opillanatban tart´ozkodjon a pont az S0 helyen. Hat´ arozzuk meg a pont S u ´ tf¨ uggv´eny´et! Megold´ as: A sebess´eg defin´ıci´oj´ ab´ol k¨ovetkezik az (1.1)
S ′ (t) = v(t)
(t ∈ R)
egyenlet, ahol S az ismeretlen, v az ismert f¨ uggv´eny. Az egyenletben S ′ szerepel (ez neh´ezs´eget jelent), de (1.1) azt mutatja, hogy S primit´ıv f¨ uggv´enye v-nek (ez viszont j´o), ´ıgy
(∗)
S(t) =
Zt
v(τ )dτ + C
t0
teljes¨ ul. Ugyanakkor a feladat szerint S(t0 ) = S0 is teljes¨ ul, ´ıgy a probl´ema az (1.2)
S ′ (t) = v(t)
(t ∈ R),
S(t0 ) = S0
alakban fogalmazhat´ o meg, azaz (1.1)-et az S(t0 ) = S0 felt´etel mellett kell megoldani, ami (∗) miatt adja, hogy C = S0 , ´ıgy az S(t) = S0 +
Zt
v(τ )dτ
t0
(t ∈ R)
szerint adott a feladat megold´asa. b) Mennyi ideig emelkedik egy v0 = 100 legesen felfel´e l˝ott rak´eta? 9
m
/sec kezd˝osebess´eggel f¨ ugg˝o-
Megold´ as: Fizik´ ab´ol ismeretes, hogy a rak´eta v sebess´egf¨ uggv´enye ´es deriv´altja kiel´eg´ıti a v ′ (t) = −g − k v 2 (t)
(1.3)
egyenletet. Ennek a megold´as´at kell keresni a v(0) = 100 felt´etel mellett ´es meg kell hat´arozni azt a T id˝opillanatot, amikor v(T ) = 0. A feladat teh´at (1.4)
v ′ (t) = −g − k v 2 (t),
v(0) = 100,
v(T ) = 0
megold´asa. L´ athat´o, hogy most a keresett v f¨ uggv´eny ´es a v ′ deriv´ altf¨ uggv´enye is szerepel. A megold´as most nem nagyon l´atszik”. ” Az (1.1) ´es (1.3), illetve (1.2) ´es (1.4) ´altal´ anos´ıt´ asa elvezet a differenci´ alegyenlet, illetve Cauchy-feladat fogalm´ahoz.
2. Differenci´ alegyenlet fogalma Jel¨olj¨ on y a tov´abbiakban egy keresett f¨ uggv´enyt, y(x) ennek a helyettes´ıt´esi ´ert´ek´et x-ben. Legyen f : D ⊂ R2 → R adott, ekkor a (2.1) y ′ = f (x, y) illetve y ′ (x) = f (x, y(x))
egyenlet az (1.1) ´es (1.3) egyenletek ´altal´ anos´ıt´as´anak tekinthet˝ o. (2.1)et els˝orend˝ u k¨oz¨ons´eges explicit differenci´alegyenletnek is szok´ as nevezni. ´ Altal´ anosabban: 1. defin´ıci´ o. Legyen D ⊂ Rn+1 , f : D → R folytonos f¨ uggv´eny (ahol D egy tartom´ any). Az (2.2) y (n) = f x, y, y ′ , . . . , y (n−1)
egyenletet n-edrend˝ u k¨oz¨ons´eges explicit differenci´alegyenletnek nevezz¨ uk, ennek speci´ alis esete n = 1-re a (2.1) els˝orend˝ u k¨oz¨ons´eges explicit differenci´ alegyenlet.
10
Az y : I → R (ahol I ⊂ R intervallum) f¨ uggv´eny megold´asa (2.2)-nek I-n, ha 1) y n-szer differenci´ alhat´ o, (n−1) 2) x, y(x), . . . , y (x) ∈ D,
∀ x ∈ I, 3) y (n) (x) = f x, y(x), . . . , y (n−1) (x) , ∀ x ∈ I
teljes¨ ul.
Tov´abbi ´ altal´ anos´ıt´ as: 2. defin´ıci´ o. Legyen F : D ⊂ Rn+2 → R adott folytonos f¨ uggv´eny. A (2.3) F x, y, y ′ , . . . , y (n) = 0
egyenletet k¨oz¨ons´eges n-edrend˝ u differenci´alegyenletnek nevezz¨ uk. Az y : I → R f¨ uggv´eny megold´asa a (2.3) differenci´alegyenletnek az I intervallumon, ha 1) y n-szer differenci´ alhat´ o, 2) x, y(x), . . . , y (n) (x) ∈ D, ∀ x ∈ I, 3) F x, y(x), . . . , y (n) (x) = 0 ∀ x ∈ I
teljes¨ ul.
Megjegyz´ es. Ha (2.2), illetve (2.3)-ban f , illetve F az y, y ′ , . . . , y (n−1) , illetve y, y ′ , . . . , y (n) v´altoz´ oinak line´aris f¨ uggv´enye, akkor a (2.2), illetve (2.3) differenci´ alegyenlet line´aris, egy´ebk´ent nemline´ aris. 3. defin´ıci´ o. Legyen D ⊂ Rn+1 tartom´any, f = (f1 , . . . , fn ) : D → Rn folytonos f¨ uggv´eny. A (2.4)
y ′ = (y1′ , . . . , yn′ ) = f (x, y) = f (x, y1 , . . . , yn )
egyenletrendszert, amely az (2.4′ )
yi′ = fi (x, y1 , . . . , yn )
(i = 1, . . . , n)
alakba is ´ırhat´ o, els˝orend˝ u k¨oz¨ons´eges (n ismeretlen f¨ uggv´enyt tartalmaz´o) explicit differenci´ alegyenlet-rendszernek nevezz¨ uk. 11
Az y = (y1 , . . . , yn ) : I → Rn f¨ uggv´eny (f¨ uggv´enyrendszer) a (2.4) (illetve (2.4′ )) differenci´ alegyenlet-rendszer megold´asa I-n, ha 1) y (illetve az yi -k) differenci´alhat´o(k), 2) x, y(x) = x, y1 (x), . . . , yn (x) ∈ D ∀ x ∈ I,
3) y ′ (x) = f (x, y(x)) (illetve i = 1, . . . , n) ∀ x ∈ I
yi′ (x) = fi x, y1 (x), . . . , yn (x)
teljes¨ ul.
3. Kezdeti ´ ert´ ek probl´ ema vagy Cauchy-feladat 1. defin´ıci´ o. Legyen D ⊂ Rn+1 tartom´any, f : D → R folytonos f¨ uggv´eny, (x0 , y01 , . . . , y0n ) ∈ D r¨ogz´ıtett. A (3.1) y (n) = f (x, y, y ′ , . . . , y (n−1) ), y (i) (x0 ) = y0i+1 (i = 0, . . . , n − 1) probl´em´ at egy n-edrend˝ u explicit k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenletre vonatkoz´o kezdeti ´ert´ek probl´em´ anak vagy Cauchy-feladatnak nevezz¨ uk (ez n = 1-re y ′ = f (x, y), y(x0 ) = y0 alak´ u). Az y (i) (x0 ) = y0i+1 (i = 0, . . . , n − 1) kik¨ ot´eseket kezdeti felt´eteleknek nevezz¨ uk. ´ )-nek, ha Az y : I → R f¨ uggv´eny megold´asa (3.1) (n-KEP 1) y n-szer differenci´alhat´o, 2) x, y(x), . . . , y (n−1) (x) ∈ D
∀ x ∈ I, 3) y (n) (x) = f x, y(x), . . . , y (n−1) (x) ∀ x ∈ I, 4) y (i) (x0 ) = y0i+1
(i = 0, . . . , n − 1)
teljes¨ ul. Megjegyz´ es. Hasonl´o a helyzet a nem explicit esetben is, F : D ⊂ Rn+2 → R f¨ uggv´ennyel. 12
2. defin´ıci´ o. Legyen D ⊂ Rn+1 tartom´any, f = (f1 , . . . , fn ) : D → Rn folytonos f¨ uggv´eny, (x0 , y0 ) = (x0 , y01 , . . . , y0n ) ∈ D adott pont. A y ′ = f (x, y),
(3.2)
y(x0 ) = y0
(y = (y1 , . . . , yn ))
probl´em´ at egy differenci´ alegyenlet-rendszerre vonatkoz´o kezdeti ´ert´ek probl´em´ anak vagy Cauchy-feladatnak nevezz¨ uk. ´ )Az y = (y1 , . . . , yn ) : I → Rn f¨ uggv´eny megold´asa a (3.2) (DER-KEP nek, ha 1) y differenci´ alhat´ o, 2) x, y(x) = x, y1 (x), . . . , yn (x) ∈ D 3) y ′ (x) = f x, y(x) ∀ x ∈ I,
∀ x ∈ I,
4) y(x0 ) = y0
teljes¨ ul. T´ etel (´ atviteli elv). Legyen D ⊂ Rn+1 tartom´any, f : D → R folytonos f¨ uggv´eny, (x0 , y01 . . . , y0n ) = (x0 , y0 ) ∈ D r¨ogz´ıtett. ´ )Az y : I → R f¨ uggv´eny akkor ´es csak akkor megold´asa a (3.1) (n-KEP nek I-n, ha az y, y ′ , . . . , y (n−1) vektorf¨ uggv´eny (f¨ uggv´eny n-es) megold´ asa a ′ y1 = y2 .. . (∗) yi (x0 ) = y0i (i = 1, . . . , n) ′ = y y n n−1 yn′ = f (x, y1 , . . . , yn ) ´ )-nek I-n. (DER-KEP
Bizony´ıt´ as. a) Ha y : I → R megold´asa (3.1)-nek I-n, akkor az . y1 (x) = y(x),
. y2 (x) = y ′ (x),
...
. yn (x) = y (n−1) (x)
(x ∈ I) szerint defini´alt (y1 , . . . , yn ) vektorf¨ uggv´eny megold´asa (∗)nak, mert 13
y1′ (x) = y ′ (x) = y2 (x), ′ yn−1 (x)
y2′ (x) = y ′′ (x) = y3 (x), =y
(n−1)
...
(x) = yn (x),
yn′ (x) = y (n) (x) = f x, y(x), y ′ (x), . . . , y (n−1) (x) = = f (x, y1 (x), . . . , yn (x)),
(x ∈ I), illetve y (i) (x0 ) = y0i+1 (i = 0, . . . , n − 1)-b˝ol y1 (x0 ) = y01 ,
...,
yn (x0 ) = y0n ,
azaz yi (x0 ) = y0i
(i = 1, . . . , n)
ad´odik. b) Ha (y1 , . . . , yn ) megold´asa (∗)-nak I-n, akkor yi′ (x) = yi+1 (x) (i = 1, . . . , n − 1, x ∈ I), ´ıgy (n−1)
′ ′′ (x) = yn−2 (x) = · · · = y1 yn (x) = yn−1
(x),
x ∈ I,
azaz (n)
(n−1)
y1 (x) = yn′ (x) = f x, y1 (x), . . . , y1 ´es
(x) ,
x∈I
(i)
y1 (x0 ) = y0i+1
(i = 0, . . . , n − 1), . teh´ at y1 = y : I → R megold´asa (3.1)-nek I-n. ´ ) feladatok megMegjegyz´ es. Az ´atviteli elv lehet˝ov´e teszi, hogy (n-KEP ´ ) megoldhat´ oldhat´ os´ ag´at (DER-KEP os´ag´ara vezess¨ uk vissza.
14
´ ton megoldhato ´ II. Elemi u ´ legyenletdifferencia t´ıpusok 1. Szepar´ abilis differenci´ alegyenletek Defin´ıci´ o. Legyenek f : [a, b] → R, g : [c, d] → R (g 6= 0) adott folytonos f¨ uggv´enyek. Az y ′ = f (x)g(y)
(SZ)
differenci´ alegyenletet szepar´abilis (sz´etv´alaszthat´o v´altoz´ oj´ u) differenci´alegyenletnek nevezz¨ uk. T´ etel. Az y : [a, b] → [c, d] differenci´alhat´o f¨ uggv´eny akkor ´es csak akkor megold´asa (SZ)-nek, ha y Z Zx 1 dt ◦ y (x) = f (t)dt (SZMo) g(t) y0
x0
x, x0 ∈ [a, b]; y, y0 ∈ [c, d] teljes¨ ul.
Bizony´ıt´ as. f ´es 1/g folytonosak, ´ıgy az F (x)
. =
. G(y) =
Zx
x0 Zy
f (t)dt + C1 1 dt + C2 g(t)
y0
x, x0 ∈ [a, b] , y, y0 ∈ [c, d]
szerint defini´alt F : [a, b] → R, G : [c, d] → R f¨ uggv´enyekre F ′ = f, G′ = 1/g teljes¨ ul. a) Ha y teljes´ıti (SZMo)-t, akkor G y(x) = F (x) + C2 − C1 15
x ∈ [a, b] ,
ami y, F, G differenci´alhat´os´aga miatt adja, hogy G′ y(x) · y ′ (x) = F ′ (x) x ∈ [a, b] ,
azaz
y ′ (x) = f (x)g y(x)
teljes¨ ul, teh´ at y megold´asa (SZ)-nek.
x ∈ [a, b]
b) Ha y megold´asa (SZ)-nek, akkor f (x) =
y ′ (x) g y(x)
(x ∈ [a, b])
´es a helyettes´ıt´eses integr´al´as t´etele miatt b´ armely x, x0 ∈ [a, b] eset´en Zx ′ Zx Zy y (t) 1 dt = f (t)dt = dt ◦ y (x) g(t) g y(t) x0
x0
y0 =y(x0 )
k¨ovetkezik, azaz (SZMo) teljes¨ ul.
Megjegyz´ esek. 1) A t´etel szerint y(x0 ) = y0 is teljes¨ ul, ´ıgy az y ′ = f (x)g(y), y(x0 ) = y0 kezdeti ´ert´ek probl´ema megold´as´at kaptuk meg. 2) A k¨ovetkez˝o form´alis m´odszert gyakran haszn´alj´ak: Z Z dy dy = f (x)dx −→ = f (x)dx (SZ) −→ g(y) g(y)
(∗),
amit megoldva y-ra kapjuk (SZ) megold´as´at. Az (x0 , y0 ) ponton athalad´o megold´ashoz u ´ ´ gy kell megv´ alasztani az integr´aci´ os konstansokat, hogy a (∗) egyenl˝ os´eg teljes¨ ulj¨on x = x0 , y = y0 mellett. Ez teljes¨ ul, ha Zy Zx dt = f (t)dt , g(t) y0
x0
ami adja, hogy y teljes´ıti (SZMo)-t. 3) Vizsg´ alhat´ o olyan eset is, amikor valamilyen y0 ∈ [c, d]-re g(y0 ) = 0 (ekkor y(x) = y0 nyilv´an megold´as, de lehetnek m´as megold´asok is). 16
2. V´ altoz´ oban homog´ en differenci´ alegyenletek T´ etel. Legyen f : [c, d] → R adott folytonos f¨ uggv´eny, y : [a, b] → R olyan, hogy 0 ∈ / [a, b] ´es ∃ y ′ [a, b]-n ´es y(x)/x ∈ [c, d]. y akkor ´es csak akkor megold´asa [a, b]-n a y (VH) y′ = f x v´altoz´ oban homog´en differenci´ alegyenletnek, ha az . y(x) u(x) = x
u : [a, b] → R f¨ uggv´eny megold´asa [a, b]-n az u′ =
f (u) − u x
szepar´abilis differenci´ alegyenletnek. Bizony´ıt´ as. Nyilv´ anval´ o.
′
3. Az y = f
ax+by+c αx+βy+γ
differenci´ alegyenlet
– Ha c = γ = 0, akkor a c´ımben egy (VH) t´ıpus´ u egyenlet szerepel, mondjuk f : R → R t´ıpus´ u adott folytonos f¨ uggv´eny eset´en. – Ha
a α
b = aβ − bα = 0, β
a b = = λ, illetve a = λα, b = λβ, akkor a c´ımben szerepl˝ o α β egyenlet ´ atmegy az y ′ = g(αx + βy + γ) azaz ha
alakba, melyet az u(x) = αx + βy(x) + γ 17
helyettes´ıt´essel az u′ = α + βy ′ = α + βg(u) alakba ´ırhatunk, ami egy speci´ alis (SZ) egyenlet. – Ha
a b α β
akkor az
6= 0 ,
ax + by + c
=
0
αx + βy + γ
=
0
line´aris egyenletrendszernek pontosan egy ξ, η megold´asa van. Ekkor bel´ athat´o (igen egyszer˝ uen), hogy az y:H →R
(ξ ∈ / H, x ∈ H ⇒ αx + βy + γ 6= 0)
f¨ uggv´eny akkor ´es csakis akkor megold´asa H-n az ´altal´ anos differenci´alegyenletnek, ha a ψ : H ∗ → R, ψ(t) = y(t + ξ) − η H ∗ = {t | t + ξ ∈ H} f¨ uggv´eny megold´asa az
ψ ′ (x) = F
ψ(x) x
differenci´ alegyenletnek, ahol F (z) = f
a + bz α + βz
.
4. Els˝ orend˝ u line´ aris differenci´ alegyenletek A k¨ovetkez˝okben sz¨ uks´eg¨ unk lesz az al´abbi, a param´eteres integr´alok differenci´ al´ as´ ara vonatkoz´o, a kor´abbin´al r´eszben ´altal´ anosabb, de kevesebb v´altoz´ osz´ am´ u ´es egyszer˝ ubb ´ertelmez´esi tartom´any´ u f¨ uggv´enyekre teljes¨ ul˝o t´etelre. 18
Lemma. Legyenek ϕ, ψ : [a, b] → R folytonosan differenci´alhat´o f¨ uggv´enyek, hogy c ≤ ϕ(x), ψ(x) ≤ d, x ∈ [a, b] . Legyen tov´abb´a f : [a, b]×[c, d] → R folytonos ´es az els˝o v´altoz´ oja szerint folytonosan differenci´ alhat´ o f¨ uggv´eny [a, b] × [c, d]-n. Ekkor a . h(x) =
ψ(x) Z
f (x, t)dt
x ∈ [a, b]
ϕ(x)
f¨ uggv´eny differenci´ alhat´ o, ´es ∀ x ∈ [a, b] eset´en ′
h (x) =
ψ(x) Z
D1 f (x, t)dt + f (x, ψ(x))ψ ′ (x) − f (x, ϕ(x))ϕ′ (x) .
ϕ(x)
Bizony´ıt´ as. Ha
. φ(x) =
Zd
f (x, t)dt
⇒
∃ φ′ (x) =
c
Ha
F (x, y, z) =
Zz
f (x, t)dt
⇒
∃ D1 F =
y
Zd
c Zz
D1 f (x, t)dt .
D1 f ;
y
∃ D2 F = −f (x, y); ∃ D3 F = f (x, z). Mivel
h(x) = F (x, ϕ(x), ψ(x))
´es
∃ D1 F, D2 F, D3 F ;
⇒
∃ h′ (x) = D1 F + D2 F ϕ′ + D3 F ψ ′ ;
⇒
az ´ all´ıt´ as.
Defin´ıci´ o. Legyenek f, g : [a, b] → R adott folytonos f¨ uggv´enyek, y : [a, b] → R differenci´ alhat´ o ismeretlen f¨ uggv´eny. A (LIH)
y ′ = f (x)y + g(x) 19
differenci´ alegyenletet els˝orend˝ u line´aris inhomog´en, m´ıg az y ′ = f (x)y
(LH)
differenci´ alegyenletet els˝orend˝ u line´aris homog´en differenci´alegyenletnek nevezz¨ uk. T´ etel. Az y : [a, b] → R f¨ uggv´eny akkor ´es csak akkor megold´asa (LIH)nek, ha ∃ c ∈ R, hogy (LIHMo)
y(x) = cyH (x) + yP (x)
(x ∈ [a, b]),
ahol yH : [a, b] → R az (LH) differenci´alegyenlet sehol el nem t˝ un˝ o, yP : [a, b] → R pedig (LIH) egy (partikul´ aris) megold´asa. Tov´abb´a, ha x0 ∈ [a, b] r¨ogz´ıtett, akkor b´ armely x ∈ [a, b]-re ! Rx f (t)dt , (H) yH (x) = exp x0
(P)
x R Rx f (t)dt dτ = g(τ ) exp y (x) = P τ x0 ! !# " Rτ Rx Rx f (t)dt · g(τ ) exp − f (t)dt dτ . = exp x0
x0
x0
Bizony´ıt´ as. a) Legyen y megold´asa (LIH)-nek, x0 ∈ [a, b] adott, akkor y ′ (x) = f (x)y(x) + g(x) (x ∈ [a, b]), ! Rx melyet exp − f (t)dt 6= 0-val szorozva kapjuk, hogy x0
y ′ (x) exp −
Rx
x0
f (t)dt
!
− f (x)y(x) exp −
= g(x) exp − 20
Rx
x0
!
f (t)dt ,
Rx
x0
f (t)dt
!
=
amib˝ ol l´athat´o, hogy x ∈ [a, b] eset´en ! !# " Rx Rx d = g(x) exp − f (t)dt . y(x) exp − f (t)dt dx x0 x0 Ez pedig adja, hogy y(x) exp − melyet exp
Rx
Rx
f (t)dt
x0
!
Rx
=
x0
!
g(τ ) exp −
Rτ
!
f (t)dt dτ + c ,
x0
f (t)dt -vel szorozva
x0
Rx
y(x) = c exp
f (t)dt
x0
Rx
= c exp
f (t)dt
x0
!
+
!
+
Rx
g(τ ) exp
x0
x0
Rx
Rx
g(τ ) exp
x R τ
x0
f (t)dt −
Rτ
!
f (t)dt dτ =
x0
f (t)dt dτ
ad´odik, melyb˝ol (H) ´es (P) figyelembev´etel´evel j¨on (LIHMo). b) Ha y (LIHMo) alak´ u, akkor ((H)-t ´es (P)-t tekintve) ! Rx ′ f (t)dt = f (x)yH (x) , yH (x) = f (x) exp x0
azaz (H) megold´asa (LH)-nak. Ugyanakkor (P)-b˝ ol, a lemma ϕ(x) = x0 ,
ψ(x) = x,
f (x, τ ) = g(τ ) exp
x R τ
f (t)dt
speci´ alis v´alaszt´asa mellett b´ armely x, τ ∈ [a, b] eset´en x Rx R Rx ′ f (t)dt f (x)dτ + g(x) exp f (t)dt − 0 = yP (x) = g(τ ) exp τ
x0
= f (x)
"
Rx
x0
g(τ ) exp
x
x R
#
f (t)dt dτ + g(x) =
τ
= f (x)yP (x) + g(x)
21
ad´odik, azaz yP megold´asa (LIH)-nek. V´eg¨ ul pedig (LIHMo) differenci´al´as´aval b´ armely x ∈ [a, b] eset´en ′ y ′ (x) = [cyH + yP ]′ (x) = cyH (x) + yP′ (x) = = cf (x)yH (x) + f (x)yP (x) + g(x) =
= f (x)[cyH (x) + yP (x)] + g(x) = f (x)y(x) + g(x) , azaz a (LIHMo) alak´ u f¨ uggv´eny val´oban megold´asa (LIH)-nek.
5. Egzakt differenci´ alegyenletek Defin´ıci´ o. Legyen D ⊂ R2 tartom´any, P, Q : D → R adott f¨ uggv´enyek. Az P (x, y) + Q(x, y)y ′ = 0
(E)
egyenletet egzaktnak nevezz¨ uk, ha az f = (P, Q) : D → R2 f¨ uggv´enynek l´etezik primit´ıv f¨ uggv´enye, azaz l´etezik F : D → R differenci´alhat´o f¨ uggv´eny, hogy F ′ = f,
azaz D1 F = P
´es D2 F = Q
teljes¨ ul. Megjegyz´ es. (E)-t szok´ as az (E′ )
P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0
alakban is ´ırni. T´ etel. Az (E) egzakt differenci´alegyenletnek az y : I → R differenci´ alhat´ o f¨ uggv´eny (melyre (x, y(x)) ∈ D, ha x ∈ I) akkor ´es csak akkor megold´asa I-n, ha ∃ C ∈ R, hogy (EMo)
F (x, y(x)) = C
(x ∈ I),
ahol F az f = (P, Q) f¨ uggv´eny primit´ıv f¨ uggv´enye.
22
Bizony´ıt´ as. a) Legyen y (EMo) alak´ u, akkor az ¨osszetett f¨ uggv´eny differenci´al´asi szab´alya szerint D1 F (x, y(x)) + D2 F (x, y(x))y ′ (x) = 0
(x ∈ I)
k¨ovetkezik, ami D1 F = P ´es D2 F = Q-val adja, hogy y megold´asa (E)-nek. b) Ha y megold´asa (E)-nek I-n ´es (E) egzakt, akkor 0 = D1 F (x, y(x)) + D2 F (x, y(x))y ′ =
d F (x, y(x)) dx
(x ∈ I)
teljes¨ ul, ami adja (EMo)-t. Megjegyz´ esek. 1) Egy egzakt differenci´ alegyenlet megold´as´ahoz elegend˝o az F primit´ıv f¨ ugv´eny meghat´aroz´asa. 2) Ha f = (P, Q) : D → R2 olyan, hogy D csillagszer˝ u tartom´any, f folytonosan differenci´ alhat´ o (azaz P ´es Q is), tov´abb´a D2 P = D1 Q D-n, akkor l´etezik f = (P, Q)-nak primit´ıv f¨ uggv´enye. Ha (x0 , y0 ) egy csillagk¨ oz´eppont ´es g : [a, b] → D olyan szakaszonk´ent sima g¨ orbe, mely az (x0 , y0 )-t (x, y)-nal k¨oti ¨ossze, akkor ez a primit´ıv f¨ uggv´eny az (x,y) Z Z f F (x, y) = f = g
(x0 ,y0 )
integr´alf¨ uggv´eny (l´ asd Anal´ızis III., III.4.2. t´etel). . 3) A 2) megjegyz´es felt´etelein t´ ul teljes¨ ulj¨on, hogy g(t) = (x(t), y(t)) folytonosan differenci´ alhat´ o (g(a) = (x0 , y0 ), g(b) = (x, y)), akkor a g¨ orbementi integr´al kisz´ am´ıt´as´ara vonatkoz´o ismert t´etel (l´asd p´eld´ aul Anal´ızis II.) alapj´ an, ha ∃ g −1 , u ´ gy F (x, y) =
g−1 Z(x,y)
P (x(t), y(t))x′ (t)dt +
a
g−1 Z(x,y)
Q(x(t), y(t))y ′ (t)dt .
a
23
4) Ha D t´eglalap vagy k¨orlap, akkor b´ armely r¨ogz´ıtett (x0 , y0 )-b´ ol b´ armely (x, y) ∈ D el´erhet˝o a tengelyekkel p´ arhuzamos szakaszokb´ol all´o t¨ ´ or¨ ottvonal ment´en, p´eld´ aul:
(x, y)
(x0 , y0 )
(x, y)
(x0 , y0 )
D
D
A folytonos vonalra: g(t) = g 1 (t) ∪ g 2 (t) = (x1 (t), y 1 (t)) ∪ (x2 (t), y 2 (t)) , ahol (
x1 (t) = t y 1 (t) = y0
t ∈ [x0 , x],
(
x2 (t) = x y 2 (t) = t
t ∈ [y0 , y],
´ıgy Zx
F (x, y) =
P (t, y0 )dt +
Zy
Q(x, t)dt
y0
x0
A szaggatott vonalra (hasonl´oan): F (x, y) =
Zx
P (t, y)dt +
Zy
Q(x0 , t)dt
y0
x0
5) F (x, y) ut´obbi k´et alakj´ aban szok´ as az els˝o integr´alban t → x, a m´asodikban t → y haszn´alata is, ekkor F (x, y) =
Zx
P (x, y0 )dx +
Zy
y0
x0
24
Q(x, y)dy ,
illetve F (x, y) =
Zx
P (x, y)dx +
Zy
Q(x0 , y)dy .
y0
x0
6) Az (E) egzakt egyenlet (x0 , y0 )-on ´athalad´o megold´as´at C = 0 mellett kapjuk. 7) Az y ′ = f (x)g(y) (g 6= 0) szepar´abilis egyenlet egzakt differenci´alegyenlet.
6. Integr´ al´ o szorz´ o keres´ ese Defin´ıci´ o. Ha y teljes´ıti (E)-t ´es ∃ µ : D → R (µ 6= 0) f¨ uggv´eny, hogy a (µP, µQ) f¨ uggv´enynek l´etezik primit´ıv f¨ uggv´enye, azaz a (∗)
µ(x, y)P (x, y)dx + µ(x, y)Q(x, y)dy = 0
differenci´ alegyenlet egzakt, akkor µ-t az (E) egyenlet integr´al´o szorz´ oj´ anak (Euler-multiplik´ ator´anak) nevezz¨ uk. Megjegyz´ esek. 1) Ha l´etezik integr´al´ o szorz´ o, u ´ gy ((E) ´es (∗) ekvivalenci´aja miatt) (E) megold´asa visszavezethet˝o a (∗) egzakt differenci´alegyenlet megold´ as´ ara. 2) Integr´al´ o szorz´ ot az al´ abbi m´odon kereshet¨ unk: D2 µP = D1 µQ
⇔
Qµx − P µy = (Py − Qx )µ ,
melyb˝ol ha µ = µ(ω(x, y)) (pl. ω(x, y) = x vagy y vagy x + y . . . ) Q illetve
dµ dµ ωx − P ωy = (Py − Qx )µ , dω dω µ′ (ω) Py − Qx = µ(ω) Qωx − P ωy 25
k¨ovetkezik, ami adja, hogy µ(ω) = exp ha
Py −Qx Qωx −P ωy
Z
Py − Qx (ω)dω , Qωx − P ωy
az ω f¨ uggv´enye.
7. A Bernoulli- ´ es Ricatti-egyenlet 1. t´ etel. Legyenek f, g : [a, b] → R adott f¨ uggv´enyek, α ∈ R\{0}, α 6= 1. Az y : [a, b] → R (y > 0) differenci´alhat´o f¨ uggv´eny akkor ´es csak akkor megold´asa [a, b]-n a y ′ (x) + f (x)y(x) + g(x)y α (x) = 0
(B)
Bernoulli-f´ele differenci´alegyenletnek, ha a ψ : [a, b] → R
ψ(x) = y 1−α (x)
f¨ uggv´eny megold´asa a ψ ′ (x) + (1 − α)f (x)ψ(x) + (1 − α)g(x) = 0 line´aris differenci´ alegyenletnek [a, b]-n. Bizony´ıt´ as.
1
y(x) = [ψ(x)] 1−α ´es y ′ (x) =
miatt (B) akkor ´es csak akkor teljes¨ ul, ha
azaz
1 1 [ψ(x)] 1−α −1 · ψ ′ (x) 1−α
α 1 α 1 [ψ(x)] 1−α · ψ ′ (x) + f (x)[ψ(x)] 1−α + g(x)[ψ(x)] 1−α = 0 , 1−α
ψ ′ (x) + (1 − α)f (x)ψ(x) + (1 − α)g(x) = 0 b´ armely x ∈ [a, b] eset´en, amit bizony´ıtani kellett. 2. t´ etel. Legyenek f, g, h : [a, b] → R adottak, y, yP : [a, b] → R differenci´ alhat´ ok ´es yP egy megold´asa az (R)
y ′ (x) + f (x)y 2 (x) + g(x)y(x) + h(x) = 0 26
Ricatti-f´ele differenci´ alegyenletnek. y akkor ´es csak akkor megold´asa (R)-nek, ha a ψ : [a, b] → R,
. ψ(x) = y(x) − yP (x)
f¨ uggv´eny megold´asa a ψ ′ (x) + 2f (x) yP (x) + g(x) ψ(x) + f (x)ψ 2 (x) = 0
(B) differenci´ alegyenletnek. Bizony´ıt´ as. Egyszer˝ u.
27
28
III. Egzisztencia-t´ etelek Cauchy-feladatokra 1. Seg´ edeszk¨ oz¨ ok a funkcion´ alanal´ızisb˝ ol A line´aris t´er, norm´ alt t´er, metrikus t´er, teljes metrikus t´er fogalma m´ar ismert az Anal´ızis I-III.-b´ ol. Fontos lesz sz´ amunkra az al´ abbi k´et eredm´eny. 1. t´ etel (Banach-f´ ele fixpontt´ etel). Legyen (X, d) teljes metrikus t´er, A : X → X kontrakci´ o, azaz olyan lek´epez´es, hogy ∃ α ∈ (0, 1), hogy d(Ax, Ay) ≤ αd(x, y) (∀ x, y ∈ X)
teljes¨ ul, akkor A-nak pontosan egy fixpontja van, azaz pontosan egy x ∈ X l´etezik, hogy Ax = x. Bizony´ıt´ as. Legyen x0 ∈ X tetsz˝ oleges, hxn i pedig x1 = Ax0 ,
...,
xn = Axn−1 = An x0
szerint defini´alt sorozat X-ben. – El˝ osz¨ or megmutatjuk, hogy hxn i Cauchy-sorozat: Legyen m ≥ n, ekkor d(xn , xm ) = d(An x0 , Am x0 ) ≤ αd(An−1 x0 , Am−1 x0 ) ≤
... ≤ αn d(x0 , xm−n ) ≤ ≤ αn d(x0 , x1 ) + · · · + d(xm−n−1 , xm−n ) ≤ ≤ αn d(x0 , x1 ) 1 + α + · · · + αm−n−1 ≤ ∞ X n ≤ α d(x0 , x1 ) αn = n=0
αn = d(x0 , x1 ) , 1−α
ami αn → 0 miatt adja, hogy ∀ ε > 0 ∃ n0 (ε) ∈ N, ∀ m, n ≥ n0 (ε) ⇒ d(xn , xm ) < ε . 29
– (X, d) teljess´ege miatt hxn i konvergens, azaz ∃ x ∈ X, hogy lim xn = x. n→∞
– Megmutatjuk, hogy x fixpontja A-nak. Egy kontrakci´o nyilv´an folytonos (d(Ax, Ax0 ) ≤ αd(x, x0 ) miatt), ´ıgy Ax = A( lim xn ) = lim Axn = lim xn+1 = x , n→∞
n→∞
n→∞
teh´ at x fixpontja A-nak. – A fixpont egy´ertelm˝ uen meghat´arozott, mert ha Ax = x ´es Ay = y is teljes¨ ul, u ´ gy d(x, y) = d(Ax, Ay) ≤ αd(x, y) , ami α < 1 miatt csak u ´ gy lehets´eghes, ha d(x, y) = 0, azaz x = y. 2. t´ etel. Egy teljes metrikus t´er b´ armely z´ art altere is teljes metrikus t´er. Teljes metrikus t´erre fontos p´elda a Ck [a, b] t´er: – ennek alaphalmaza: Ck [a, b] = f : [a, b] → Rk | f folytonos ;
– Ck [a, b] line´aris t´er a f¨ uggv´enyekre ´ertelmezett ¨osszead´asra ´es skal´arral val´ o szorz´ asra n´ezve; . – Ck [a, b] norm´alt t´er az kf k0 = sup {kf (x)kRk } szerint defini´alt x∈[a,b]
norm´ aval (ami igen egyszer˝ uen bizony´ıthat´o); . – Ck [a, b] metrikus t´er a d(f, g) = kf − gk0 szerint defini´alt (a k k0 norm´ ab´ol sz´ armaztatott) metrik´aval. – Ck [a, b] ezen metrik´aval teljes metrikus t´er. Legyen hfn i (fn ∈ Ck [a, b]) Cauchy-sorozat, akkor ∀ ε > 0 ∃ n0 (ε) ∈ N, ∀ n, m ≥ n0 (ε) ⇒ kfn − fm k0 < ε, ami adja, hogy (∗)
kfn (x) − fm (x)kRk ≤ kfn − fm k0 < ε
(∀ x ∈ [a, b]),
azaz az hfn i f¨ uggv´enysorozat egyenletesen konvergens [a, b]-n (a f¨ uggv´enysorozatokra vonatkoz´o Cauchy-f´ele konvergencia krit´erium 30
miatt), teh´ at ∃ f ∈ Ck [a, b], hogy fn → f egyenletesen. Ugyanakkor (mert folytonos f¨ uggv´enyek egyenletesen konvergens sorozat´ anak hat´ arf¨ uggv´enye) az f folytonos. Ekkor (∗)-b´ ol ∀ n ≥ n0 (ε) ´es x ∈ [a, b] eset´en kfn (x) − f (x)kRk ≤ ε , illetve ebb˝ol
kfn − f k0 ≤ ε
∀n ≥ n0
k¨ovetkezik, teh´ at hfn i konverg´ al az f ∈ Ck [a, b] elemhez a Ck [a, b] metrikus t´erben, ami adja az a´ll´ıt´ast. Megjegyz´ es. Ha k = 1, u ´ gy C1 [a, b]-t egyszer˝ uen C[a, b]-vel jel¨olj¨ uk ´es az [a, b] feletti folytonos, val´ os ´ert´ek˝ u f¨ uggv´enyek ter´enek nevezz¨ uk. Defin´ıci´ o. Legyen G1 ⊂ Rm , I = [a, b], G = I × G1 , f : G → Rn . f Lipschitz-felt´etelt teljes´ıt G-n (az utols´ o m v´altoz´ oj´ aban), ha ∃ L > 0, hogy ∀ (x, y1 ), (x, y2 ) ∈ G-re kf (x, y1 ) − f (x, y2 )kRn ≤ Lky1 − y2 kRm .
2. Egzisztencia ´ es uniciti´ as t´ etel ´ -re DER-KEP ´ probl´ Igen fontos a DER-KEP ema k¨ovetkez˝o ´atfogalmaz´ asa (visszavezet´ese integr´alegyenlet-rendszerre):
Lemma. Az y : I → Rn differenci´alhat´o f¨ uggv´eny akkor, ´es csak akkor megold´asa az ´ ) (DER-KEP
y ′ = f (x, y) ,
y(x0 ) = y0
(x, y) ∈ D ⊂ Rn+1
probl´em´ anak, ha folytonos megold´asa az (IER)
y(x) = y0 +
Zx
f (t, y(t))dt
x0
integr´alegyenlet-rendszernek. (Itt f : D → Rn folytonos f¨ uggv´eny.) 31
Bizony´ıt´ as. ´ )-nek, akkor a) Ha y : I → Rn megold´asa (DER-KEP
y ′ (x) = f (x, y(x))
(x ∈ I).
f ´es y folytonoss´ aga adja, hogy f (x, y(x)) folytonos I-n, ´ıgy l´etezik az Zx f (t, y(t))dt x0
integr´al ´es y(x) = y0 +
Zx
f (t, y(t))dt
(x ∈ I),
x0
ahol y(x0 ) = y0 , azaz teljes¨ ul (IER). b) Ha y : I → Rn folytonos megold´asa (IER)-nek I-n, akkor f (x, y(x)) folytonoss´ aga miatt Zx f (t, y(t))dt x0
differenci´ alhat´o ´es deriv´altja f (x, y(x)), m´asr´eszt (IER) adja, hogy y differenci´ alhat´o ´es y ′ (x) = f (x, y(x)) (x ∈ I), tov´abb´a (IER) szerint y(x0 ) = x0 is igaz, ebb˝ol pedig k¨ovetkezik, hogy y megold´asa ´ )-nek. (DER-KEP ´ ) megoldhat´ Megjegyz´ es. A lemma miatt (DER-KEP os´aga ´es a megold´ as egy´ertelm˝ us´ege (egzisztencia ´es unicit´ as) egyet jelent (IER) megoldhat´ os´ ag´aval ´es a megold´as egy´ertelm˝ us´eg´evel.
T´ etel (Picard-Lindel¨ of egzisztencia ´ es unicit´ as t´ etel). Legyen G1 ⊂ Rm ny´ılt halmaz, I = [a, b] ⊂ R, D = I × G1 , f : D → Rn folytonos f¨ uggv´eny, hogy l´etezik L > 0, hogy kf (x, y1 ) − f (x.y2 )kRn < Lky1 − y2 kRm 32
(∀ (x, y1 ), (x, y2 ) ∈ D),
azaz Lipschitz-tulajdons´ ag´ u D-n. Legyen tov´abb´a x0 ∈ I ´es y0 ∈ G1 r¨ogz´ıtett. Akkor ∃ α > 0, hogy az y ′ = f (x, y),
´ ) (DER-KEP
y(x0 ) = y0
Cauchy-feladatnak az I1 = I ∩ [x0 − α, x0 + α] intervallumon l´etezik megold´asa ´es az egy´ertelm˝ u. Bizony´ıt´ as. A lemma szerint elegend˝o az (IER) integr´alegyenlet-rendszer folytonos megold´asainak l´etez´es´et ´es annak egy´ertelm˝ us´eg´et bizony´ıtani. a) A l´etez´es bizony´ıt´ asa: – G1 ny´ılt, ´ıgy ∃ r > 0, hogy T = {y | ky − y0 k ≤ r} ⊂ G1 , ´es ´ıgy az I × T ⊂ D teljes¨ ul ´es I × T z´ art. Ekkor f folytonoss´ aga miatt ∃ K > 0, hogy kf k < K I × T -n. n o r 1 , L+1 – Legyen α = min K , I1 = I ∩ [x0 − α, x0 + α].
– Tekints¨ uk az
X = Cn∗ = {ϕ | ϕ : I1 → T, ϕ folytonos} halmazt a d : X × X → R,
d(ϕ1 , ϕ2 ) = sup kϕ1 (x) − ϕ2 (x)k x∈I1
metrik´aval. (X, d) z´ art altere a kor´abbiakban tekintett, Cn (I1 ) teljes metrikus t´ernek, ´ıgy teljes metrikus t´er. ´ – Ertelmezz¨ uk (X, d)-n az A lek´epez´est . (Aϕ)(x) = y0 +
Zx
f (t, ϕ(t))dt
x0
(x ∈ I1 )
. szerint. A : X → X t´ıpus´ u, mert ψ = Aϕ folytonos I1 -en (az integr´alf¨ uggv´eny ismert tulajdons´ aga miatt), tov´abb´a
Rx
Rx
kψ(x) − y0 k = f (t, ϕ(t))dt ≤ f (t, ϕ(t)) dt ≤
x0
x0 ≤ Kkx − x0 k ≤ Kα ≤ r
miatt ψ(I1 ) ⊂ T is igaz, ´ıgy ψ = Aϕ ∈ X. 33
– A kontrakci´o, mert ha ϕ1 , ϕ2 ∈ X, u ´ gy
Rx
k(Aϕ1 )(x) − (Aϕ2 )(x)k = [f (t, ϕ1 (t)) − f (t, ϕ2 (t))]dt ≤
x0
≤
≤
Rx
f (t, ϕ1 (t)) − f (t, ϕ2 (t)) dt ≤
x0 Rx
x0
Ld(ϕ1 , ϕ2 )dt ≤
≤ Lkx − x0 kd(ϕ1 , ϕ2 ) ≤ L ≤ L α d(ϕ1 , ϕ2 ) ≤ d(ϕ1 , ϕ2 ) L+1 (hiszen L/(L + 1) ∈ (0, 1)).
– Az 1. t´etel (Banach-f´ele fixpontt´etel) miatt A-nak l´etezik fixpontja, azaz ∃y ∈ X folytonos f¨ uggv´eny, hogy (Ay)(x) = y(x) (∀ x ∈ I1 ), vagyis y(x) = y0 +
Zx
f (t, y(t))dt
x0
(x ∈ I1 )
´ )teljes¨ ul, teh´at l´etezik megold´asa (IER)-nek, ´es ´ıgy (DER-KEP nek I1 -en.
b) A megold´as egy´ertelm˝ us´eg´enek bizony´ıt´asa: A Banach-f´ele fixpontt´etel miatt a megold´as egy´ertem˝ u is az I1 -en differenci´ alhat´o f¨ uggv´enyek k¨or´eben I1 -en. Megjegyz´ esek. ´ ) megold´ 1) A t´etel felt´etelei mellet a (DER-KEP as´at (az A lek´epez´es fixpontj´ at) az
. y0 (x) = y0 ,
. yk (x) = y0 +
Zx
f (t, yk−1 (t))dt
x0
(k = 1, 2, . . . ; x ∈ I1 )
szerint defini´alt hyk i f¨ uggv´enysorozat hat´arf¨ uggv´enye adja. Az elj´ ar´ ast Picard-f´ele szukcessz´ıv approxim´ aci´ onak nevezz¨ uk. 34
2) n = 1 mellett az els˝orend˝ u explicit differenci´alegyenletre vonatkoz´o Cauchy-feladatra vonatkoz´o Picard-f´ele egzisztencia ´es unicit´ as t´etelt kapjuk. 3) Egy p´elda: A y ′ = xy,
´ ) (KEP
y(0) = 1
Cauchy-feladatnak megfelel˝o integr´alegyenelet: (IE)
y(x) = 1 +
Zx
ty(t)dt
0
Ekkor y0 (x) = 1,
y1 (x) = 1 +
Zx
tdt = 1 +
x2 ,... 2
0
2
yk (x) = 1 +
x 1 + 2 2!
2
x 2
2
+ ···+
1 k!
x2 2
k
,...,
´ ) megold´ ´es yk (x) → exp(x2 /2) egyenletesen, ´ıgy (KEP asa: 2 x (x ∈ R). y(x) = exp 2
´ ) megoldhat´ 3. (L-DER-KEP os´ aga Legyenek gij , ϕi : I → R (i, j = 1, . . . , n) adott folytonos f¨ uggv´enyek, akkor yi′
=
n X
gij (x)yj + ϕi (x),
yi (x0 ) = y0i
(i = 1, . . . , n)
j=1
egy line´aris differenci´ alegyenlet-rendszerre vonatkoz´o Cauchy-feladat, mely az ϕ1 y1 g = (gij )n×n ϕ = ... , y = ... , yn
ϕn
35
jel¨ ol´essel az y ′ = g(x)y + ϕ(x),
´ ) (L-DER-KEP
y(x0 ) = y0
alakba is ´ırhat´ o. Ez ekvivalens az (L-IER)
y(x) = y0 +
Zx
x0
g(t) y(t) + ϕ(t) dt
integr´alegyenlet-rendszerrel. Legyen D = I × Rn , akkor az
. f (x, y) = g(x)y + ϕ(x)
f : D ⊂ Rn+1 → Rn ,
folytonos f¨ uggv´enyre ∀ (x, y 1 ), (x, y 2 ) ∈ D eset´en
f (x, y 1 ) − f (x, y 2 ) = g(x)(y 1 − y 2 ) = v #2 u n " uX P n
t 1 2 = gij (x)(yj − yj ) ≤ nK y 1 − y 2 = L y 1 − y 2 i=1
j=1
´ ) megoldhat´ teljes¨ ul, azaz Lipschitz-tulajdons´ ag´ u, ´ıgy az (L-DER-KEP o ´es a megold´as egy´ertelm˝ u I1 ⊂ I-n.
´ ) megoldhat´ 4. (n-KEP os´ aga ´ )-re). T´ etel (egzisztencia ´ es unicit´ as t´ etel (n-KEP n Legyen G1 ⊂ R ny´ılt halmaz, I = [a, b] ⊂ R, D = I × G1 , f : D → R folytonos f¨ uggv´eny, hogy ∃ L > 0, hogy
f (x, y 1 ) − f (x, y 2 ) < L y 1 − y 2 (∀(x, y 1 ), (x, y 2 ) ∈ D),
azaz Lipschitz-tulajdons´ ag´ u D-n. Legyen tov´abb´a x0 ∈ I, y0 ∈ G1 r¨ogz´ıtett. Akkor ∃ α > 0, hogy az ´ ) (n-KEP
y (n) = f (x, y, . . . , y (n−1) ), 36
y (i) (x0 ) = y0i+1
(i = 0, . . . , n − 1) Cauchy-feladatnak az I1 = I ∩ [x0 − α, x0 + α] intervallumon l´etezik megold´asa ´es az egy´ertelm˝ u. ´ ) ekvivalens az Bizony´ıt´ as. Az ´ atviteli elv szerint (n-KEP ′ y1 = y2 .. . (△) yi (x0 ) = y0i (i = 1, . . . , n) ′ yn−1 = yn ′ yn = f (x, y1 , . . . , yn )
Cauchy-feladattal, azaz y : I1 → R akkor, ´es csak akkor megold´asa ´ )-nek, ha (y, y ′ , . . . , y (n−1) ) : I1 → Rn megold´ ´ )(n-KEP asa a (△) (DER-KEP nek, ahol f = (f1 , . . . , fn ),
fk (x, y) = yk+1 ,
(k = 1, . . . , n − 1),
fn = f.
K¨onnyen ellen˝ or´ızhet˝ o, hogy teljes¨ ulnek a Picard-Lindel¨of-t´etel felt´etelei, ´ )-nek (´ ´ )-nek) l´ ´ıgy a kapott (DER-KEP es ´ıgy (n-KEP etezik megold´asa ´es egy´ertelm˝ u. ´ megoldhat´ K¨ ovetkezm´ eny (L-n-KEP os´ aga). Legyenek a1 , . . . , an , b : I → R folytonos f¨ uggv´enyek, x0 ∈ I, y0 ∈ Rn r¨ogz´ıtett. Akkor az (n) y = a1 (x)y (n−1) + · · · + an (x)y + b(x) ´ ) (L-n-KEP y (i) (x0 ) = y0i+1 (i = 0, . . . , n)
Cauchy-feladatnak egy ´es csak egy megold´asa van I-n. ´ )-nek megfelel˝ ´ ) Bizony´ıt´ as. Most az (L-n-KEP o (DER-KEP
y ′ (x) = A(x)y(x) + B(x),
y(x0 ) = y0
alak´ u, ahol
0 0 A(x) = 0 an (x)
1 0
0 1
... ... ... ...
0 0 1 a1 (x)
´es ekkor alkalmazhat´o t´etel¨ unk. 37
0 .. B(x) = . 0 b(x)
´ -re 5. Egzisztenciat´ etel DER-KEP T´ etel (Cauchy-Peano egzisztencia t´ etel). Legyen D ⊂ Rn+1 n tartom´ any f : D → R folytonos f¨ uggv´eny, (x0 , y0 ) ∈ D. Akkor az y ′ = f (x, y),
y(x0 ) = y0
Cauchy-feladatnak l´etezik megold´asa. p (De nem felt´etlen¨ ul egy´ertelm˝ u, l´asd p´eld´ aul az y ′ = |y| differenci´alegyenletre vonatkoz´o Cauchy-feladatot.) Bizony´ıt´ as. Nem kell.
38
˝ linea ´ ris IV. Magasabbrendu ´ legyenletek differencia 1. Az n-edrend˝ u line´ aris homog´ en differenci´ alegyenletek ´ altal´ anos elm´ elete 1. defin´ıci´ o. Legyenek ai : I → R (i = 1, . . . , n) folytonos f¨ uggv´enyek. A y (n) +
(Hn D)
n X
ai (x)y (n−i) = 0
i=1
egyenletet n-edrend˝ u line´aris homog´en differenci´alegyenletnek nevezz¨ uk. Egyszer˝ u sz´ amol´ assal bizony´ıthat´ o a k¨ovetkez˝o t´etel: 1. t´ etel. Ha az y1 , . . . , yk : I → R f¨ uggv´enyek megold´asai (Hn D)-nek I-n, akkor ∀ c1 , . . . , ck ∈ R eset´en az y=
k X
ci y i
i=1
f¨ uggv´eny is megold´as I-n. 2. defin´ıci´ o (line´ aris f¨ ugg˝ os´ eg ´ es f¨ uggetlens´ eg). Az y1 , . . . , yk : I → R f¨ uggv´enyek line´arisan f¨ ugg˝oek I-n, ha l´etezik k P c1 , . . . , ck ∈ R ( c2i > 0) konstansrendszer, hogy i=1
(∗)
k X
ci yi (x) = 0
i=1
(∀x ∈ I).
y1 , . . . , yk : I → R line´arisan f¨ uggetlenek, ha (∗) csak u ´ gy teljes¨ ul, ha ci = 0 (i = 1, . . . , k). 39
3. defin´ıci´ o. Az y1 , . . . , yn : I → R n − 1-szer differenci´alhat´o f¨ uggv´enyek Wronski-determin´ ansa: y1 y2 ... yn ′ ′ ′ y2 ... yn . y1 W = W (y1 , . . . , yn ) = .. . (n−1) (n−1) (n−1) y y2 . . . yn 1
2. t´ etel (Liouville-formula). Ha az y1 , . . . , yn : I → R f¨ uggv´enyek megold´asai (Hn D)-nek I-n ´es x0 ∈ I adott, akkor x Z W (x) = W (y1 (x), . . . , yn (x)) = W (x0 ) exp − a1 (t)dt . x0
Bizony´ıt´ as. K¨ onnyen bel´athat´o, hogy ′ y1 ... yn′ ′ y1 ... yn′ ′ W (x) = .. + ···+ . (n−1) (n−1) y . . . yn 1 ... yn ... yn y1 y1 . . . . . . + + (n−1) = (n−1) y (n−2) . . . yn(n−2) y . . . y n 1 1 (n) y (n−1) . . . y (n−1) y (n) ... yn n 1 1 y1 ... yn .. . (n−2) (n−2) = = y1 ... yn n n P P (n−i) (n−i) − ai (x)yn ... − ai (x)y1 i=1 i=1 y1 ... yn . n . X . ai (x) (n−2) =− = −a1 (x)W (x) (n−2) y . . . y n 1 i=1 y (n−i) . . . y (n−i) n 1 40
(x ∈ I).
´Igy W az y ′ (x) = −a1 (x)y(x),
y(x0 ) = W (x0 )
´ ) probl´ (1-KEP ema egy´ertelm˝ uen l´etez˝o
W (x) = W (x0 ) exp −
megold´asa, ´es ezt kellett bizony´ıtani.
Zx
x0
a1 (t)dt
1. k¨ ovetkezm´ eny. (Hn D) egy y1 , . . . , yn megold´asrendszer´enek Wronski-determin´ ansa vagy ≡ 0, vagy sehol sem 0. 4. defin´ıci´ o (alaprendszer). Az y1 , . . . , yn : I → R f¨ uggv´enyek (Hn D) alaprendszer´et alkotj´ak, ha megold´asai annak ´es line´ arisan f¨ uggetlenek. 3. t´ etel. y1 , . . . , yn : I → R akkor, ´es csak akkor alaprendszere (Hn D)nek, ha ∀ yi (i = 1, . . . , n) megold´as I-n, ´es W (x) 6= 0. Bizony´ıt´ as. a) Ha W (x) 6= 0 (x ∈ I) ´es c1 , . . . , cn ∈ R olyan, hogy n X
ci yi (x) = 0
i=1
(∀x ∈ I) ,
akkor ()
n X
(j)
ci yi (x) = 0
(∀x ∈ I, j = 0, . . . , n − 1)
i=1
teljes¨ ul, ami egy line´aris egyenletrendszer c1 , . . . , cn -re, melynek determin´ ansa ´eppen W (x) 6= 0 (x ∈ I) ⇒ c1 = · · · = cn = 0 ⇒ az y1 , . . . , yn megold´asok line´arisan f¨ uggetlenek ⇒ y1 , . . . , yn alaprendszer. b) Ha y1 , . . . , yn alaprendszere (Hn D)-nek ´es l´etezne x0 ∈ I, hogy n P W (x0 ) = 0, akkor l´etezn´enek c1 , . . . , cn ∈ R ( c2i > 0) konstansok, hogy
i=1
n X
(j)
ci yi (x0 ) = 0
i=1
41
(j = 1, . . . , n − 1)
egyenletrendszer megold´asai. Legyen y (Hn D) olyan megold´asa I-n, melyre y (j) (x0 ) =
n X
(j)
ci yi (x0 ) = 0
i=1
(j = 0, . . . , n − 1).
´ )-nek csak egy megold´ Az ´ıgy kapott (n-KEP asa van. De y ≡ 0 ´es n P ci yi is megold´as, ´ıgy y= i=1
n X
ci yi (x) = 0
i=1
(∀ x ∈ I),
azaz y1 , . . . , yn -ek line´arisan f¨ ugg˝oek, ami ellentmond´as. ´Igy W (x) 6= 0 ∀ x ∈ I. 4. t´ etel (Hn D ´ altal´ anos megold´ asa). Legyen y1 , . . . , yn : I → R (Hn D) alaprendszere I-n, akkor (Hn D) ∀ y : I → R megold´asa y(x) =
n X
ci yi (x)
i=1
(x ∈ I)
alak´ u, ahol c1 , . . . , cn ∈ R konstansok. Bizony´ıt´ as. Ha y1 , . . . , yn (Hn D) alaprendszere, akkor W (x0 ) 6= 0 ∀ x0 ∈ I. Ha y : I → R egy tetsz˝ oleges megold´asa (Hn D)-nek, akkor legyen c1 , . . . , cn a (◦)
n X
(j)
ci yi (x0 ) = y (j) (x0 )
i=1
(j = 0, . . . , n − 1)
egyenletrendszer (W (x0 ) 6= 0 miatt l´etez˝o) megold´asa. Ekkor a n . X ci yi (x) (x ∈ I) ψ(x) = i=1
szerint defini´alt f¨ uggv´eny olyan megold´asa (Hn D)-nek I-n, melyre teljes¨ ulnek a ψ (j) (x0 ) = y (j) (x0 ) (j = 0, . . . , n − 1) 42
kezdeti felt´etelek (◦) miatt. ´Igy ψ ´es y ugyanazon (Hn D)-re vonatkoz´o (n-KEP ´ ) megold´ asai, ez´ert megegyeznek, azaz y(x) = ψ(x) =
n X
ci yi (x)
(x ∈ I),
i=1
amit bizony´ıtani kellett. Megjegyz´ esek.
1) Az ´ altal´ anos megold´ashoz ´ıgy el´eg az alaprendszert meghat´arozni. 2) Bel´athat´o (l´ asd K´ osa 90. oldal), hogy alaprendszer mindig l´etezik. 3) Az alaprendszer meghat´aroz´as´ara nincs ´altal´ anos m´odszer. Fontos viszont az al´ abbi, D’Alembert-t˝ ol sz´armaz´o foksz´ amcs¨ okkent˝ o elj´ar´as: 5. t´ etel. Ha ismert (Hn D) m sz´ am´ u line´arisan f¨ uggetlen y1 , . . . , ym : I → R megold´asa I-n, akkor (Hn D) megold´asainak meghat´aroz´asa viszszavezethet˝o egy (n − m)-edrend˝ u line´aris homog´en differenci´alegyenlet megold´as´ ara. Bizony´ıt´ as. – Legyenek y1 , . . . , ym (6= 0) line´arisan f¨ uggetlen megold´asai (Hn D)-nek, m´ıg y : I → R egy tetsz˝ oleges megold´as, akkor legyen ′ y . (△) u= , y1 azaz Z y(x) = y1 (x) u(x)dx . Innen ′
y =
y1′
Z
u(x)dx + y1 u ,
... ,
y
(n)
=
(n) y1
Z
u(x)dx + · · · + y1 u(n−1)
k¨ovetkezik. y, y ′ , . . . , y (n) kapott ´ert´ekeit (Hn D)-be helyettes´ıtve: #Z " n X (n−i) (n) ai (x)y1 udx + y1 u(n−1) + · · · + A(x)u = 0 y1 + i=1
43
ad´odik, melyb˝ol – felhaszn´alva, hogy y1 6= 0 megold´asa (Hn D)-nek – kapjuk, hogy u teljes´ıti a (H(n−1) D)
u(n−1) + Q1 (x)u(n−2) + · · · + Qn−1 (x)u = 0
(n−1)-edrend˝ u differenci´alegyenletet ´es viszont: ha u teljes´ıti (H(n−1) D)t, akkor a (△)-ben defini´alt y teljes´ıti (Hn D)-t. – V´ alasszuk most (△)-ben y-nak rendre az y2 , . . . , ym f¨ uggv´enyeket, akkor a ′ . yk ′ (△ ) uk = (k = 2, . . . , m) y1 f¨ uggv´enyek megold´asai (H(n−1) D)-nek, tov´ abb´a line´arisan f¨ uggetlenek, P mert ellenkez˝o esetben ∃ α2 , . . . , αm ∈ R ( α2i > 0), hogy m X
αi ui (x) = 0
i=2
(x ∈ I),
ami adja, hogy m X
αi
i=2
Z
ui + α1 = 0
(x ∈ I).
Ebb˝ol, a (△′ )-b˝ ol ad´od´o yk = y1
Z
uk (x)dx
egyenl˝ os´eg miatt m X
αi
i=2
illetve
m X
yi + α1 = 0 y1
αi yi (x) = 0
i=1
(x ∈ I),
(x ∈ I)
k¨ovetkezne, ellent´etben azzal, hogy y1 , . . . , ym line´arisan f¨ uggetlenek. 44
– ´Igy (H(n−1) D)-nek ismert m − 1 line´arisan f¨ uggetlen megold´asa, ezek u2 , . . . , um . Ebb˝ol az el˝ obbi elj´ar´assal meghat´arozhat´o (H(n−2) D) m − 2 sz´ am´ u line´arisan f¨ uggetlen megold´asa. Az elj´ar´ast folytatva egy (H(n−m) D) n − m-edrend˝ u differenci´alegyenlethez jutunk. Ha (H(n−m) D) megold´asait meghat´arozzuk, akkor azokb´ ol (H(n−m+1) D), . . . ,(H(n−1) D) ´es ´ıgy (Hn D) megold´asai is adottak lesznek (△) szerint. 2. k¨ ovetkezm´ eny. Legyen y1 : I → R (y1 6= 0) megold´asa az (H2 D)
y ′′ + a1 (x)y ′ + a2 (x)y = 0
differenci´ alegyenletnek. Az y : I → R f¨ uggv´eny akkor, ´es csak akkor megold´asa (H2 D)-nek, ha az . u=
u:I→R
y y1
′
f¨ uggv´eny megold´asa az (H1 D)
y ′ (x) u=0 u′ + a1 (x) + 2 1 y1 (x)
differenci´ alegyenletnek. ´Igy (H2 D) ´altal´ anos megold´asa Z Z y ′ (x) a1 (x) + 2 1 y = cy1 exp − dx dx = y1 (x) Z Z 1 = cy1 exp − a (x)dx dx . 1 y12 (x) Bizony´ıt´ as. Az el˝ obbi elj´ ar´ as azonnal adja (H1 D)-t, ami egy szepar´abilis differenci´ alegyenlet, az Z Z u = c exp − (a1 (x) + 2)dx dx = Z Z 1 exp − a1 (x)dx dx . = cy1 y12 (x) R megold´assal, ami y = y1 u dx szerint adja az ´all´ıt´ast. 45
2. Konstansegy¨ utthat´ os line´ aris homog´ en differenci´ alegyenletek Defin´ıci´ o. Ha (Hn D)-ben ai (x) = ai ∈ R
(x ∈ I),
akkor a kapott y (n) +
(KHn D)
n X
ai y (n−i) = 0
i=1
egyenletet n-edrend˝ u konstansegy¨ utthat´os line´aris homog´en differenci´alegyenletnek nevezz¨ uk. (KHn D) karakterisztikus polinomja: n
X . ai λn−i , P (λ) = λn +
(KP)
i=1
m´ıg karakterisztikus egyenlete: λn +
(KE)
n X
ai λn−i = 0.
i=1
T´ etel. Ha λ1 , . . . , λk ∈ R p1 , . . . , pk (∈ N)-szeres (k¨ ul¨onb¨ oz˝o) gy¨ okei (KHn D) karakterisztikus egyenlet´enek, hogy p1 + · · · + pn = n, akkor λx λ1 x p1 −1 λ1 x 1 e e , xe , . . . , x . .. (AR) λk x e , xeλk x , . . . , xpk −1 eλk x
alaprendszere (KHn D)-nek, ha λ1 , . . . , λk val´osak.
Ha p´eld´ aul λ1 = α + iβ, λ2 = α − iβ konjug´ alt komplex gy¨ okei (KE)-nek, hogy p1 = p2 = p-szeresek, akkor (AR) els˝o k´et sora helyett eαx cos βx, eαx sin βx,
xeαx cos βx, xeαx sin βx,
. . . , xp−1 eαx cos βx . . . , xp−1 eαx sin βx
szerepel. (Hasonl´ o a helyzet a tov´abbi komplex gy¨ ok¨ ok eset´en is.) 46
Bizony´ıt´ as. (Csak a val´ os esetre) a) (AR) elemei megold´asai (KHn D)-nek: – eλi x (i = 1, . . . , k) eset´en egyszer˝ u helyettes´ıt´essel gy˝ oz˝odhet¨ unk meg err˝ol. – xeλi x , . . . , xpi −1 eλi x (i = 1, . . . , k) eset´en fel kell haszn´alni azt is, hogy ha λi pi -szeres gy¨ oke (KE)-nek, akkor P (λi ) = P ′ (λi ) = · · · = P (pi −1) (λi ) = 0 teljes¨ ul. b) (AR) f¨ uggv´enyei line´arisan f¨ uggetlenek: Tegy¨ uk fel, hogy line´arisan f¨ ugg˝oek. Ekkor l´eteznek ci (
n P
i=1
c2i > 0)
konstansok, melyekkel k´epezve (AR) f¨ uggv´enyeinek line´aris kombin´ aci´ oj´ at, az azonosan 0-nak ad´odik, ami adja, hogy (1)
eλ1 x Pn1 (x) + · · · + eλm x Pnm (x) ≡ 0,
ahol m ≤ k, Pnk foksz´ ama ≤ nk ´es l´etezik Pnk , hogy abban l´etezik 0u. Szorozzuk t´ ol k¨ ul¨onb¨ oz˝o egy¨ utthat´ o. Legyen ez Pn1 = Pl l-edfok´ meg (1)-et e−λm x -szel, akkor Pl (x)e(λ1 −λm )x + · · · + Pnm−1 (x)e(λm−1 −λm )x + Pnm (x) ≡ 0 k¨ovetkezik, ahol λi −λm 6= 0 (i = 1, . . . , m−1). Az ut´obbi egyenletet nm + 1-szer differenci´ alva kapjuk, hogy Pl1 (x)e(λ1 −λm )x + · · · + Pn1m−1 (x)e(λm−1 −λm )x ≡ 0 , u, azaz xl egy¨ utthat´oja nem 0. Ebb˝ol eλm x -szel ahol Pl1 (x) is l-edfok´ val´ o szorz´ as ut´an (2)
Pl1 (x)eλ1 x + · · · + Pn1m−1 (x)eλm−1 x ≡ 0
ad´odik. Az elj´ ar´ ast m − 1-szer ism´etelve ( (2)-vel kezdve) kapjuk, hogy Plm−1 (x)eλ1 x ≡ 0 , ahol Plm−1 is l-edfok´ u, ami viszont azt jelenten´e, hogy egy l-edfok´ u polinom azonosan nulla, ami lehetetlen. ´Igy (AR) f¨ uggv´enyei line´arisan f¨ uggetlenek. 47
K¨ ovetkezm´ eny. Az (KH2 D)
y ′′ + a1 y ′ + a2 y = 0
karakterisztikus egyenlete a m´asodfok´ u (KE2 )
λ2 + a1 λ + a2 = 0
egyenlet, ´ıgy ha ennek gy¨ okei: a) λ1 , λ2 ∈ R, λ1 6= λ2 , akkor (KH2 D) ´altal´ anos megold´asa y = c1 eλ1 x + c2 eλ2 x ; b) λ1 = λ2 = λ0 ∈ R, akkor (KH2 D) ´altal´ anos megold´asa y = c1 eλ0 x + c2 x eλ0 x ; c) λ1 = α + iβ, λ2 = α − iβ (α, β ∈ R), akkor (KH2 D) ´altal´ anos megold´asa y = c1 cos βx + c2 sin βx eαx .
3. n-edrend˝ u line´ aris inhomog´ en differenci´ alegyenletek Defin´ıci´ o. Legyenek ai , b : [a, b] → R (i = 1, . . . , n) adott folytonos f¨ uggv´enyek, akkor az (IHn D)
y (n) +
n X
ai (x)y (n−i) = b(x)
i=1
differenci´ alegyenletet n-edrend˝ u line´aris inhomog´en differenci´alegyenletnek nevezz¨ uk. 1. t´ etel. Legyen yp partikul´aris megold´asa (IHn D)-nek. Az y akkor, ´es csak akkor megold´asa (IHn D)-nek, ha az yH : I → R,
yH (x) = y(x) − yp (x)
szerint defini´alt f¨ uggv´eny megold´asa az (IHn D)-b˝ ol k´epzett (Hn D)-nek. 48
Bizony´ıt´ as. a) Ha y ´es yp megold´asai (IHn D)-nek, akkor az y-ra ´es yp -re fel´ırt (IHn D)-t kivonva egym´ asb´ ol (y − yp )(n) +
n X i=1
ai (x)(y − yp )(n−i) = 0
. oban megold´asa (Hn D)-nek. ad´odik, azaz y − yp = yH val´ b) Ha yp megold´asa (IHn D)-nek ´es yH megold´asa (Hn D)-nek, akkor a k´et . egyenlet ¨ osszead´ asa adja, hogy y = yH +yp is megold´asa (IHn D)-nek. K¨ ovetkezm´ eny. Ha yp (IHn D) egy partikul´aris megold´asa, y1 , . . . , yn pedig (Hn D) alaprendszere, akkor (IHn D) ´altal´ anos megold´asa y=
n X
ci y i + y p .
i=1
Hogyan hat´ arozhat´o meg yp ? 2. t´ etel (a konstansvari´ al´ as m´ odszere (IHn D)-re). Ha y1 , . . . , yn az (IHn D)-b˝ ol k´epzett (Hn D) alaprendszere ´es a ci : I → R (i = 1, . . . , n) f¨ uggv´enyek kiel´eg´ıtik a (C)
n P
i=1
(j)
c′i (x)yi (x) = 0
(j = 0, . . . , n − 2),
n P
i=1
egyenletrendszert I-n, akkor n
(P)
yp : I → R,
. X yp (x) = ci (x)yi (x) i=1
megold´asa (IHn D)-nek. 49
(n−1)
c′i (x)yi
(x) = b(x)
Bizony´ıt´ as. (P)-b˝ ol (C) felhaszn´al´as´aval: yp′ (x) = .. . yp(n−1) (x) = yp(n) (x) =
n P
i=1
n P
i=1 n P
c′i (x)yi (x) +
(n−2)
c′i (x)yi
n P
i=1
ci (x)yi′ (x) =
(x) +
n P
i=1 n P
(n−1)
n P
i=1
(n−1)
ci (x)yi
ci (x)yi′ (x)
(x) =
i=1
(n)
ci (x)yi (x) = (x) + c′i (x)yi i=1 i=1 # " n n P P (n−j) (x) + b(x) = aj (x)yi ci (x) − =
=− =−
j=1 n P
(n−1)
ci (x)yi
(x)
j=1
i=1
n P
n P
aj (x)
n P
i=1
(n−j) (x) ci (x)yi
(n−j)
aj (x)yp
+ b(x) =
(x) + b(x) ,
j=1
azaz yp teljes´ıti (IHn D)-t, amit bizony´ıtani kellett. Megjegyz´ esek. 1) (C) c′1 , . . . , c′n -re egy inhomog´en line´aris egyenletrendszer, melynek determin´ansa a Wronszki-determin´ans, melyre W (x) 6= 0 (I-n). ´Igy l´eteznek φi (i = 1, . . . , n) f¨ uggv´enyek, hogy c′i (x) = φi (x) amib˝ ol ci (x) = adja a ci f¨ uggv´enyeket.
Z
(x ∈ I, i = 1, . . . , n),
φi (x)dx
(i = 1, . . . , n)
2) (IH2 D) eset´en (IH2 D)
y ′′ + a1 (x)y ′ + a2 (x)y = b(x),
´es ha y1 , y2 alaprendszer, akkor (C) ′ c1 (x)y1 (x) + c′2 (x)y2 (x) = 0 ′ (C ) c′1 (x)y1′ (x) + c′2 (x)y2′ (x) = b(x) 50
alak´ u. Ebb˝ol pedig 0 y2 (x) b(x) y2′ (x) b(x)y2 (x) =− ; c′1 (x) = W (y1 (x), y2 (x)) W (y1 (x), y2 (x)) c′2 (x) =
b(x)y1 (x) , W (y1 (x), y2 (x))
illetve c1 (x) =
Z
b(x)y2 (x) dx; − W (y1 (x), y2 (x))
c2 (x) =
Z
b(x)y1 (x) dx W (y1 (x), y2 (x))
k¨ovetkezik. Tov´abb´a ezen c1 ´es c2 f¨ uggv´enyekkel a partikul´aris megold´ as yp (x) = c1 (x)y1 (x) + c2 (x)y2 (x) (x ∈ I).
4. Line´ aris differenci´ alegyenlet-rendszerek 1. defin´ıci´ o. Legyenek gij , ϕi : I → R (i, j = 1, . . . , n) folytonos f¨ uggv´enyek. A (LIHDER)
yi′ +
n X
gij (x)yj = ϕi (x)
(i = 1, . . . , n),
j=1
. . . illetve az (y1 , . . . , yn )⊤ = y, (ϕ1 , . . . , ϕn )⊤ = ϕ, (gij )n×n = g jel¨ol´esekkel a (LIHDER′ )
y ′ + g(x)y = ϕ
egyenletrendszert line´aris inhomog´en differenci´alegyenlet-rendszernek, m´ıg az (LHDER)
y′ + g(x)y = 0
egyenletrendszert line´aris homog´en differenci´alegyenlet-rendszernek nevezz¨ uk. 51
Megjegyz´ esek. 1) (LIHDER), illetve (LHDER) megold´asainak meghat´aroz´asa visszavezethet˝ o az n-edrend˝ u line´aris differenci´alegyenletek elm´elet´ere. 2) Ugyanakkor ¨ on´all´o elm´elet is kidolgozhat´o, mely szoros anal´ogi´ at mutat az n-edrend˝ u line´aris differenci´alegyenletek elm´elet´evel. A k¨ovetkez˝okben kimondott t´etelek bizony´ıt´asa is hasonl´ o, term´eszetesen bizonyos m´odos´ıt´asokkal (p´eld´ aul m´as egzisztencia ´es unicit´ as t´etelt kell haszn´alni, m´odosul a Wronski-determin´ ans fogalma is). 1. t´ etel. Ha y1 , . . . , y k megold´asai (LHDER)-nek, akkor y = c1 y 1 + · · · + ck y k
(c1 , . . . , ck ∈ R)
is az. uggetlen megold´asai (LHDER)-nek, 2. t´ etel. Ha y1 , . . . , y n line´arisan f¨ akkor b´ armely y megold´asra l´etezik c1 , . . . , cn ∈ R, hogy y = c1 y 1 + · · · + cn y n . 2. defin´ıci´ o. Az (LHDER) y 1 , . . . , y n (y 1 = (y11 , . . . , yn1 )⊤ , . . . , yn = (y1n , . . . , ynn )⊤ ) line´arisan f¨ uggetlen megold´asaib´ ol k´epzett y11 . . . y1n .. ψ= . yn1
...
ynn
m´atrixot alap-, vagy megold´asm´atrixnak, m´ıg a . W = det ψ
determin´anst az y1 , . . . , y n f¨ uggv´enyek Wronski-determin´ ans´ anak nevezz¨ uk. 3. t´ etel. Ha y 1 , . . . , yn : I → Rn megold´asai (LHDER)-nek ´es x0 ∈ I r¨ogz´ıtett, akkor x Z X n gii (t)dt (x ∈ I) W (x) = W (x0 ) exp − x0 i=1
teljes¨ ul. ´Igy W (x) ≡ 0, vagy W (x) 6= 0 (x ∈ I). 52
4. t´ etel. ψ akkor, ´es csak akkor alapm´ atrixa (LHDER)-nek, ha W (x) 6= 0 (x ∈ I). Megjegyz´ es. Itt is a f˝ o feladat az alaprendszer meghat´aroz´asa, melyre a´ltal´ anos m´odszer nincs, de itt is haszn´alhat´o D’Alambert redukci´os m´odszere, melynek l´enyege: ha ismert (LHDER) egy megold´asa, akkor az egyenletrendszer eggyel kevesebb egyenletb˝ ol ´all´o differenci´alegyenletrendszerre vezethet˝o vissza. 5. t´ etel. Ha yp megold´asa (LIHDER)-nek, u ´ gy y akkor, ´es csak akkor . ol k´epzett (LHDER)megold´asa, ha y − y p = yH megold´asa a (LIHDER)-b˝ nek. Azaz (LIHDER) ´ altal´ anos megold´asa y = y H + yp alak´ u. 6. t´ etel (a konstansvari´ al´ as m´ odszere). Ha y1 , . . . , y n (LHDER) alaprendszere ´es ci : [a, b] → R (i = 1, . . . , n) olyan f¨ uggv´enyek, hogy teljes¨ ul a n X c′i y i = ϕ , i=1
azaz a ′ ′ c1 (x)y11 (x) + · · · + cn (x)y1n (x) = ϕ1 (x) .. . ′ c1 (x)yn1 (x) + · · · + c′n (x)ynn (x) = ϕn (x)
(x ∈ [a, b])
egyenletrendszer, akkor
y p (x) =
n X
ci (x)y i (x)
i=1
(x ∈ [a, b])
megold´asa (LIHDER)-nek. Megjegyz´ esek. 1) Ha (LHDER) konstansegy¨ utthat´os, azaz g = A konstans m´atrix, azaz gij (x) = aij ∈ R (i, j = 1, . . . , n), akkor az (KLHDER)
y′ + Ay = 0 53
megold´asait az y(x) = ceλx
c1 eλx = ... ,
c1 .. c=.
cn eλx
cn
alakban keress¨ uk, ahol λ ∈ R vagy C. Ekkor (KLHDER)-b˝ ol kapjuk, hogy
y′ = λceλx = −Aceλx , azaz Ac = −λc, illetve (A + λE)c = 0 egyenletrendszer teljes¨ ul. M´ ask´eppen fogalmazva y = ceλx akkor, ´es csak akkor megold´asa (KLHDER)-nek, ha (∗)
(A + λE)c = 0 ,
ahol E az egys´egm´atrix. Ez egy homog´en line´aris egyenletrendszer c-re. Line´aris algebr´ab´ol ismert, hogy (∗)-nak akkor, ´es csak akkor l´etezik nemtrivi´ alis megold´asa, ha a11 + λ a12 ... a1n a21 a22 + λ . . . a2n det(A + λE) = . =0, .. an1 an2 . . . ann + λ azaz λ megold´asa a
Pn (λ) = det(A + λE) = 0 karakterisztikus egyenletnek, ami n-edfok´ u. Ennek n (val´ os vagy komplex) megold´asa van, melyekhez meghat´arozhat´ ok a c 6= 0 vektorok (ezek csak egy multiplikat´ıv konstanst´ ol eltekintve egy´ertelm˝ uek). Ezut´ an eljuthatunk (KLHDER) alaprendszer´ehez is (ha λ1 , . . . , λn mind val´ osak, akkor egyszer˝ ubb az eset most is). 2) Oldjuk meg az al´abbi differenci´alegyenlet-rendszert: (IH)
y1′ − y1 − y2 = 0 y2′ − y1 − y2 = x
n = 2, A =
54
−1 −1
0 −1 ϕ(x) = x −1
Tekints¨ uk a homog´en ′ y1 − y1 − y2 = 0 y2′ − y1 − y2 = 0
(H)
differenci´ alegyenlet-rendszert. Ennek megold´asait az λx c e y1 (∗) y= = 1 λx y2 c2 e alakban keresve kapjuk, hogy (∗) akkor, ´es csak akkor megold´asa (H)-nak, ha (λ − 1)c1 − c2 = 0 −c1 + (λ − 1)c2 = 0 .
Ez egy line´aris homog´en egyenletrendszer c1 , c2 -re, melynek akkor, ´es csak akkor l´etezik trivi´ alist´ol k¨ ul¨onb¨ oz˝o megold´asa, ha λ − 1 −1 = (λ − 1)2 − 1 = λ2 − 2λ = 0 , −1 λ − 1 azaz, ha λ1 = 0, λ2 = 2. λ1 = 0
⇒ ⇒
λ2 = 2
⇒ ⇒
−c1 − c2 = 0 ⇔ c2 = −c1 (c1 tetsz.), c1 y11 1 . ⇒ y1 = = y1 = −1 −c1 y21
c1 − c2 = 0 ⇔ c2 = c1 , 2x c e y12 y2 = = 1 2x ⇒ c1 e y22
Az alapm´ atrix: ψ(x) = A Wronski-determin´ ans:
´Igy
1 W (x) = −1 y1 =
1 e2x −1 e2x
1 , −1
.
e2x = 2e2x 6= 0 . e2x
55
2x e y 2 = 2x e
y2 =
2x e . e2x
alaprendszere a homog´en differenci´alegyenlet-rendszernek, ami adja, hogy 2x e y1H (x) = c1 + c2 e2x 1 y H (x) = c1 ⇒ + c2 2x e y2H (x) = −c1 + c2 e2x −1 a vizsg´alt (H) konstansegy¨ utthat´os line´aris homog´en differenci´alegyenlet ´ altal´ anos megold´asa. Ekkor (a 6. t´etel miatt) 2x 1 e yp (x) = c1 (x) + c2 (x) 2x −1 e megold´asa (IH)-nak, ha (
c′1 (x) · 1 + c′2 (x) · e2x = 0
c′1 (x) · (−1) + c′2 (x) · e2x = x
teljes¨ ul, melyb˝ol 0 e2x x e2x x ′ =− ; c1 (x) = 2x 2e 2
1 0 −1 x x ′ = e−2x , c2 (x) = 2x 2e 2
illetve
x2 , c1 (x) = − Z Z 4 1 x −2x 11 x −2x e dx = − e − − e−2x = c2 (x) = 2 2 2 22 x 1 = − e−2x − e−2x . 4 8
k¨ovetkezik. ´Igy (az 5. t´etel miatt) (IH) ´altal´ anos megold´as´at az y(x) = yH (x) + y p (x) = 2x 2x e 1 1 e + c2 2x + c1 (x) + c2 (x) 2x = c1 e −1 −1 e 56
alakban kapjuk, amib˝ ol k¨ovetkezik, hogy x 1 x2 − − 4 4 8 2 x x 1 y2 (x) = −c1 + c2 e2x + − − . 4 4 8 y1 (x) = c1 + c2 e2x −
3) Az el˝ obbi p´elda differenci´ alegyenlet-rendszer´enek m´asik megold´asa: Az ′ y1 − y1 − y2 = 0 (IH) y2′ − y1 − y2 = x differenci´ alegyenlet-rendszer els˝o egyenelt´et differenci´alva (az egyenletek adj´ak, hogy y1 ´es y2 is k´etszer, s˝ot ak´ arh´ anyszor differenci´alhat´ o) y1′′ − y1′ − y2′ = 0 k¨ovetkezik, melyet ¨ osszehasonl´ıtva a differenci´alegyenlet-rendszerrel elimin´ alhat´ o y2′ ´es y2 , ´es az y1′′ − 2y1′ = x m´asodrend˝ u konstansegy¨ utthat´os line´aris inhomog´en differenci´alegyenlet ad´odik y1 -re. A homog´en egyenlet karakterisztikus egyenlete: λ2 − 2λ = 0, ami akkor, ´es csak akkor teljes¨ ul, ha λ1 = 0, λ2 = 2, amib˝ol kapjuk, hogy y1H (x) = c1 + c2 e2x
(x ∈ R).
Keress¨ uk y1p -t y1p (x) = c1 (x) + c2 (x)e2x alakban, ez megold´as, ha c′1 (x) ´es c′2 (x) teljes´ıti a c′1 (x) · 1 + c′2 (x) · e2x = 0 ′ c1 (x) · 0 + c′2 (x) · 2e2x = x 57
egyenletrendszert, amib˝ol k¨ovetkezik, hogy 0 e2x x 2e2x x x2 xe2x ′ c1 (x) = = − ⇒ c (x) = − , = − 1 2x 2e2x 2 4 1 e 2x 0 2e 1 0 0 x x x 1 ′ c2 (x) = = e−2x ⇒ c2 (x) = e−2x − e−2x . 2e2x 2 4 8
´Igy
y1 (x) = −
x2 x 1 − − + c1 + c2 e2x 4 4 8
´es y2 (x) = y1′ (x) − y1 (x) =
x2 x 1 − − − c1 + c2 e2x . 4 4 8
5. Konstansegy¨ utthat´ os line´ aris differenci´ alegyenletek megold´ asa Laplace-transzform´ aci´ oval Defin´ıci´ o. Az f : [0, ∞) → R f¨ uggv´eny Laplace-transzform´altj´ an az . . F (s) = L [f (t)] =
Z∞
e−st f (t)dt
0
(s ∈ R+ )
. szerint defini´alt F = L [f ] : R+ → R f¨ uggv´enyt ´ertj¨ uk, ha az improprius integr´al konvergens. Inverz´et (ha l´etezik) L−1 -gyel jel¨olj¨ uk. A Laplace-transzform´alt tulajdons´ agai: 1) Ha ∃ L [f (t)] ´es L [g(t)], akkor ∃ L [a f (t) + b g(t)] = = aL [f (t)] + bL [g(t)]. 2) Ha ∃ L [f (t)] = F (s), akkor ∃ L [eat f (t)] = F (s − a). 3) Ha ∃ L [f (t)] = F (s), akkor ∃ L [f (ct)] = 1c F sc . 58
4) Ha f el´eg j´ o”, akkor ” h i L f (n) (t) = sn L [f (t)] − sn−1 f (0) − sn−2 f ′ (0) − · · · − − sf (n−2) (0) − f (n−1) (0) ,
speci´ alisan: L [f ′ (t)] = sL [f (t)] − f (0). n−1 c 1 t 5) L [c] = ; L = n. s (n − 1)! s n−1 at 1 t e 1 = , L 6) L [eat ] = s−a (n − 1)! (s − a)n 7) L [sin ωt] =
ω ; s2 + ω 2
L [cos ωt] =
(a ∈ R).
s s2 + ω 2
(ω ∈ R).
8) Egy folytonos f¨ uggv´eny egy´ertelm˝ uen meghat´arozott Laplace-transzform´altja ´ altal. Alkalmaz´as (KIHn D) megold´as´ ara: K´epezz¨ uk y (n) +
(KIHn D)
n X
ai y (n−i) = b(t)
i=1
mindk´et oldal´ anak Laplace-transzform´altj´ at, akkor L 1. tulajdons´ aga miatt n i h i X h ai L y (n−i) = L [b(t)] L y (n) + i=1
illetve 4. tulajdons´ aga miatt
# " n−1 n X X n−i−1 n−1 n−i n ai s + L [y(t)] = y(0) s + ai s s + i=1
i=1
"
+ y ′ (0) sn−2 +
n−2 X i=1
#
ai sn−i−2 + · · · + y (n−1) (0) + L [b(t)]
ad´odik, melyb˝ol L [y(t)] meghat´arozhat´o. Ennek ismeret´eben pedig – a 8. tulajdons´ ag miatt – valamint az 5-7. tulajdons´ agok felhaszn´al´as´aval meghat´arozhat´o y(t) is. 59
P´ elda. Oldjuk meg a k¨ovetkez˝o (KIH3 D)-re vonatkoz´o Cauchy-feladatot: (∗)
y ′′′ − 3y ′ + 2y = 3et ,
y(0) = 0,
y ′ (0) = 0,
y ′′ (0) = 2 .
K´epezve a Laplace-transzform´altat L [y ′′′ ] − 3L [y ′ ] + 2L [y] = 3L et
ad´odik, illetve ebb˝ol (4. miatt)
s3 L [y] − s − 2 − 3sL [y] + 2L [y] =
3 s−1
k¨ovetkezik, melyb˝ol egyszer˝ u sz´amol´ assal (parci´alis t¨ ortekre bont´ assal) L [y] =
s+2+
3 s−1
(s − 1)2 (s + 2)
=−
1 1 1 2 + + + 9(s + 2) 9(s − 1) 3(s − 1)2 (s − 1)3
ad´odik. V´eg¨ ul 1 1 2 1 y(t) = − e−2t + et + tet + t2 et 9 9 3 2 adja (∗) megold´as´at (8-at is felhaszn´alva).
60
V. Peremfeladatok, ´s stabilita 1. A peremfeladat fogalma ´ Altal´ aban, ha egy y (n) = f x, y, y ′ , . . . , y (n−1)
alak´ u differenci´ alegyenletn´el azon felt´etelek, melyek eset´en a megold´as egy´ertelm˝ uen jellemezhet˝o, nem egy helyre vonatkoznak (mint a kezdeti´ert´ek-feladatn´ al), hanem azon [a, b] intervallum k´et v´egpontj´ ara, amelyen a megold´ast keress¨ uk, akkor peremfeladatr´ ol besz´el¨ unk. Az alkalmaz´asok miatt k¨ ul¨on¨osen fontos a m´asodrend˝ u line´aris differenci´alegyenletre vonatkoz´o peremfeladat defini´al´asa. Tekints¨ uk az (1)
y ′′ + a1 (x)y ′ + a0 (x)y = b(x)
(x ∈ [a, b])
differenci´ alegyenletet a k¨ovetkez˝o peremfelt´etelek valamelyik´evel: els˝orend˝ u peremfelt´etel:
y(a) = η1 , y(b) = η2 ,
m´asodrend˝ u peremfelt´etel:
y ′ (a) = η1 , y ′ (b) = η2 ,
harmadrend˝ u peremfelt´etel:
α1 y(a) + α2 y ′ (a) = η1 , β1 y(b) + β2 y ′ (b) = η2 .
Nyilv´ an az els˝o-, ´es m´asodrend˝ u peremfelt´etel speci´ alis esete a harmadrend˝ u peremfelt´etelnek, melyet Sturm-f´ele peremfelt´etelnek nevez¨ unk. Szok´as m´eg y(a) − y(b) = η1 , y ′ (a) − y ′ (b) = η2 alak´ u peremfelt´etelt is tekinteni, melyet η1 = η2 = 0 eset´en peri´odikus peremfelt´etelnek is neveznek. Sturmt´ ol sz´ armazik a k¨ovetkez˝o alak´ u peremfeladat: ′ ′ (x ∈ [a, b]), (S) p(x)y + q(x)y = b(x) (SPF)
α1 y(a) + α2 p(a)y ′ (a) = η1 β1 y(b) + β2 p(b)y ′ (b) = η2 , 61
ahol p folytonosan differenci´alhat´o, q, b folytonos f¨ uggv´enyek [a, b]-n, tov´abb´a p > 0, α21 + α22 > 0, β12 + β22 R> 0. Megjegyezz¨ uk, hogy (1) a p(x) = e a1 (x)dx szorz´ assal adja (S)-t. A p(a), p(b) szorz´ ok bevezt´es´enek a peremfelt´etelekben praktikus okai vannak. Ha b(x) ≡ 0, η1 = η2 = 0, akkor a fenti (S)+(SPF)-hez tartoz´o homog´en peremfeladatot kapjuk. Megjegyz´ es. A peremfeladat megold´as´aban alapvet˝o feladat a homog´en egyenlet alaprendszer´enek meghat´aroz´asa. Megmutathat´ o, hogy ha y1 ´es y2 a homog´en differenci´alegyenlet alaprendszere, akkor az inhomog´en peremfeladatnak akkor, ´es csak akkor l´etezik egy´ertelm˝ u megold´ asa, ha α1 y1 (a) + α2 p(a)y1′ (a) α1 y2 (a) + α2 p(a)y2′ (a) β1 y1 (b) + β2 p(b)y1′ (b) β1 y2 (b) + β2 p(b)y2′ (b) 6= 0 .
Ekkor a homog´en peremfeladatnak csak trivi´alis megold´asa van. Az ´ altal´ anos elm´eletet nem vizsg´aljuk.
2. Sturm-Liouville rendszerek A k¨ovetkez˝okben egy szabad param´etert is tartalmaz´ o peremfeladatot tekint¨ unk. Az y ′′ + a1 (x)y ′ + a2 (x) + λ y = 0 , x ∈ [a, b]
m´asodrend˝ u differenci´alegyenlet, melyben egy λ param´eter is van, a Z . . p(x) = exp a1 (t)dt , q(x) = a2 (x)p(x), s(x) = p(x) (x ∈ [a, b]) jel¨ ol´esekkel a vele ekvivalens (S-L)
p(x)y ′
′
+ [q(x) + λs(x)] y = 0 ,
x ∈ [a, b]
alakba ´ırhat´ o, melyet Sturm-Liouville egyenletnek is neveznek. Feltessz¨ uk, hogy λ ∈ R, q ´es s folytonos, p folytonosan differenci´alhat´o 62
f¨ uggv´enyek az I = [a, b] intervallumon. (S-L) regul´ aris, ha p ´es s pozit´ıvak, m´ıg ha a jobboldalon 0-t´ ol k¨ ul¨onb¨ oz˝o f¨ uggv´eny van, u ´ gy inhomog´en (S-L) egyenletr˝ol besz´el¨ unk. (S-L)-t az α1 y(a) + α2 p(a)y ′ (a) = 0 (PF) β1 y(b) + β2 p(b)y ′ (b) = 0 peremfelt´etelek mellett vizsg´aljuk, ahol α1 , α2 , β1 , β2 nem mind z´erus val´os konstansok. (S-L)-t ´es (PF)-et egy¨ utt Sturm-Liouville rendszernek nevezz¨ uk, jel¨ ol´ese: (S-L-R). Azon λ-kat, melyekre (S-L-R)-nek l´etezik 0-t´ ol k¨ ul¨onb¨ oz˝o megold´asa saj´at´ert´ekeknek, a hozz´ ajuk tartoz´o megold´asokat pedig saj´atf¨ uggv´enyeknek nevezz¨ uk. P´ elda. Tekints¨ uk az ′′ y + λy = 0 (S-L-R) y(0) = 0, y ′ (π) = 0
(0 ≤ x ≤ π)
speci´ alis Sturm-Liouville rendszert.
√ √ a) Ha λ ≤ 0, u ´ gy az alaprendszer e |λ|x , e− |λ|x , ´es ´ıgy az ´altal´ anos megold´as: √ √ y = c1 e |λ|x + c2 e− |λ|x ,
de a peremfelt´etelek miatt c1 = c2 = 0, ez´ert y ≡ 0. √ √ ab) Ha λ > 0, akkor az alaprendszer cos λx, sin λx, ´es ´ıgy az ´altal´ nos megold´as: √ √ y = A cos λx + B sin λx. A peremfelt´etelek miatt: y(0) = A cos√0 + B√ sin 0 = 0 √ ⇒ √ y ′ (π) = −A λ sin λπ + B λ cos λπ = 0 ⇒
A√ =0, √ B λ cos λπ = 0 . √ Ha B = 0 lenne, u ´ gy y = 0 ad´odna, ha B = 6 0, akkor cos λπ = 0 miatt 2 √ 2n + 1 2n + 1 π (n = 0, 1, 2 . . . ), π ⇒ λ= λπ = +nπ = 2 2 2 63
azaz az (S-L-R) saj´at´ert´ekei a λn =
(2n + 1)2 4
(n = 0, 1, 2, . . . )
val´ os sz´ amok, m´ıg a hozz´ ajuk tartoz´o saj´atf¨ uggv´enyek yn (x) = sin
2n + 1 x 2
(n = 0, 1, . . . ).
Megjegyz´ esek. 1) Ha (S-L)-ben p(a) = p(b) ´es (PF) az y(a) = y(b), y ′ (a) = y ′ (b) alakot olti, akkor peri´odikus Sturm-Liouville rendszerr˝ol besz´el¨ ¨ unk. 2) Adott saj´ at´ert´ekhez t¨ obb (line´ arisan f¨ uggetlen) saj´atf¨ uggv´eny is tartozhat. 3) Vizsg´ alhat´ o a k¨ ul¨onb¨ oz˝o saj´at´ert´ekekhez tartoz´o saj´atf¨ uggv´enyek ortogonalit´asa a p s´ ulyf¨ uggv´enyre, ami azt jelenti, hogy ha p´eld´ aul ϕj ´es ϕk k¨ ul¨onb¨ oz˝o saj´at´ert´ekekhez tartoz´o saj´atf¨ uggv´enyek, akkor Zb
ϕj (x)ϕk (x)p(x)dx = 0
a
(j 6= k).
A p´eld´ aban p = 1, [a, b] = [0, π], ´ıgy azt kell megmutatni, hogy Zπ
sin
2j + 1 2i + 1 x sin x=0 2 2
0
(i, j = 0, 1, . . . ; i 6= j).
4) Vizsg´ alhat´ o a saj´at´ert´ekek elhelyezked´ese is (pl. egy regul´ aris (S-L-R) saj´ at´ert´ekei s(x) > 0 eset´en val´osak). 5) Egy regul´ aris (S-L-R) saj´atf¨ uggv´enyei egy konstans szorz´ oig egy´ertelm˝ uen meghat´arozottak. 6) Egy regul´ aris (S-L-R) ´altal´ anos megold´asa a saj´atf¨ uggv´enyek seg´ıts´eg´evel az X ci y i y= i
f¨ uggv´enysorral ´all´ıthat´o el˝o (l´asd Fourier-sorok). 64
3. Parci´ alis differenci´ alegyenletek peremfelt´ etelekkel Legyen adott az (0, 0) ´es (l, 0) pontban r¨ogz´ıtett h´ ur, melynek x pontja a t id˝opillanatban az u(x, t) magass´ agban van. A rezg´est az 2 ∂2u 2∂ u = a ∂t2 ∂x2
(RHD)
p parci´ alis differenci´ alegyenlet ´ırja le, ahol a = F/µ (F a fesz´ıt˝oer˝ o, µ az egys´egnyi hosszra es˝ o t¨ omeg.) A r¨ogz´ıtetts´eget a (P)
u(0, t) = 0
u(l, t) = 0
peremfelt´etelek fejezik ki. A t = 0-ban a h´ ur alakj´ at egy f , sebess´eg´et egy ϕ f¨ uggv´eny ´ırja le, azaz teljes¨ ulnek a (K)
u(x, 0) = f (x),
ut (x, 0) = ϕ(x)
(x ∈ [a, b])
kezdeti felt´etelek is. Megoldand´ o teh´ at (RHD) a (P) perem-, illetve a (K) kezdeti felt´etelek mellett (ez egy hiperb´ olikus parci´ alis differenci´alegyenletre vonatkoz´o vegyes feladat). Keress¨ uk (RHD) megold´as´ at az (SZ)
u(x, t) = X(x)T (t)
(x ∈ [0, l], t ∈ R+ )
alakban. Ezt (RHD)-be helyettes´ıtve X(x)T ′′ (t) = a2 X ′′ (x)T (t) ad´odik, melyb˝ol k¨ovetkeznek a (H2 D1 ) (H2 D2 )
X ′′ (x) + λX(x) = 0 T ′′ (t) + a2 λT (t) = 0
(x ∈ [0, l]), (t ∈ R+ )
m´asodrend˝ u homog´en differenci´ alegyenletek. (P) most az X(0)T (t) = 0, X(l)T (t) = 0 alakot ¨olti, amib˝ol u(x, t) 6≡ 0 miatt kapjuk (H2 D1 )-re a (P1 )
X(0) = 0,
X(l) = 0 65
peremfelt´etelt. Az el˝ obb m´ar l´attuk, hogy (H2 D1 ) megold´asa √ √ X(x) = A cos λx + B sin λx
(x ∈ [0, l]),
amib˝ ol (P1 ) miatt j¨on, hogy csak k2 · π2 l2 mellett van megold´as ´es ez A = 0 miatt λk =
Xk (x) = Bk sin
kπ x l
(k = 1, 2, . . . ).
(H2 D2 )-re pedig, adott λk = (k 2 π 2 )/(l2 ) eset´en (azaz adott Xk -hoz) a Tk (t) = Ck cos a
kπ kπ t + Dk sin a t l l
megold´as k¨ovetkezik. ´Igy u-ra: kπ kπ kπ uk (x, t) = Ek cos a t + Fk sin a t sin x l l l ad´odik, mely teljes´ıti (RHD)-t ´es a (P) peremfelt´eteleket. Megmutathat´ o, hogy 2 Ek = l
Zl
f (x) sin
kπ x dx , l
0
2 Fk = kπa
Zl
ϕ(x) sin
kπ x dx l
0
mellett az u(x, t) =
∞ X
k=1
uk (x, t) =
∞ X k=1
kπ kπ kπ Ek cos a t + Fk sin a t sin x l l l
f¨ uggv´eny megold´asa (RHD)-nek ´es teljes´ıti a (P) perem- ´es (K) kezdeti felt´eteleket is. Ez a megold´asi m´odszer a Fourier-m´ odszer (ami felhaszn´alja a Fouriersorok elm´elet´et is). 66
4. Stabilit´ as Legyen adott az y ′ = y differenci´ alegyenlet ´es y(t) az egyenlet y(0) = η, m´ıg z(t) a z(0) = η + ε kezdeti felt´etelt kiel´eg´ıt˝o megold´asa. Ekkor Zy
1 dy = y
1 dt
⇒
y(t) = ηet
η
Zt
(t ≥ 0),
Zz
1 dy = y
Zt
1 dt
⇒
z(t) = (η + ε)et
(t ≥ 0)
0
η+ε
0
adja, hogy z(t) − y(t) = εet
(t ≥ 0).
Az adott differenci´ alegyenletn´el a v´altoz´ o kezdeti felt´etelekhez tartoz´o megold´asok k¨ ul¨onbs´ege lim et = +∞ miatt +∞-hez tart. t→∞
Ha most az y ′ = −y differenci´ alegyenletet tekintj¨ uk, u ´ gy az y(0) = η, illetve z(0) = η + ε kezdeti felt´eteleket teljes´ıt˝o y(t), illetve z(t) megold´ asok k¨ ul¨onbs´eg´ere (az el˝ obbivel azonos m´odon) kapjuk, hogy z(t) − y(t) = εe−t
(t ≥ 0),
ami adja, hogy lim (z(t) − y(t)) = 0, hiszen lim e−t = 0. t→∞
t→∞
C´ el: Megadni annak krit´erium´at, hogy egy adott differenci´alegyenlet megold´asa folytonosan f¨ ugg a kezdeti felt´etelekt˝ ol abban az ´ertelemben, hogy z(0) ´es y(0) kis elt´er´ese eset´en az |z(t) − y(t)| elt´er´es is kicsi a t ≥ 0 intervallumon. Az ilyen t´ıpus´ u probl´em´ ak a differenci´alegyenletek stabilit´aselm´elet´ehez tartoznak. 1. defin´ıci´ o (stabilit´ as, aszimptotikus stabilit´ as). Legyen f : D ⊂ Rn+1 → Rn adott f¨ uggv´eny, mely legal´ abb az Sα = (t, y) | t ≥ 0, ky − x(t)k < α
halmazon ´ertelmezett ´es folytonos, ahol x : [0, ∞) → Rn az y ′ = f (t, y) 67
differenci´ alegyenlet megold´asa a 0 ≤ t < ∞ intervallumon. Az x(t) megold´ast stabilnak nevezz¨ uk, ha ∀ ε > 0-hoz ∃ δ, melyre ky0 − x(0)k < δ eset´en az y(0) = y 0 kezdeti felt´etelt teljes´ıt˝o y megold´as minden t ≥ 0-ra ´ertelmezett ´es ky(t) − x(t)k < ε
∀ t ∈ [0, ∞)
uk, ha stateljes¨ ul. Az x(t) megold´ast aszimptotikusan stabilnak nevezz¨ bil ´es lim ky(t) − x(t)k = 0. t→∞
unk, ha nem stabil. Egy x(t) megold´ast instabilnak nevez¨ 2. defin´ıci´ o (m´ atrix polinomja). Legyen . Pn (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn
(x ∈ R)
egy val´ os polinom, B = (Bij ) egy n × n-es m´atrix, akkor Pn (B) alatt a . Pn (B) = a0 E + a1 B + · · · + an B n
m´atrixot ´ertj¨ uk ´es a B m´atrix polinomj´anak nevezz¨ uk. Ha B = At (ahol A = (aij ) n × n-es m´atrix), akkor . Pn (At) = a0 E + a1 At + · · · + an An tn
egy t-t˝ ol f¨ ugg˝ o m´atrix. Megjegyz´ es.
d Pn (At) = APn′ (At), ahol Pn′ (x) a Pn (x) deriv´altja. dt
3. defin´ıci´ o (m´ atrix hatv´ anysora). Legyen ∞
. X f (x) = ak xk
(|x| < r)
k=0
adott hatv´anysor az r konvergenciasug´arral, akkor rendelj¨ uk hozz´ a a B = (Bij ) m´atrixhoz az f (B) m´atrixot, hogy ! ∞ rP . X . k 2 (MH) f (B) = ak B kBke = |Bij | < r . i,j
k=0
68
Tekints¨ uk a Ck n × n-es m´atrixok C =
∞ P
Ck v´egtelen sor´at. Ha
k=0
Ck = (ckij ) ´es C = (cij ), u ´ gy ez az egyenl˝ os´eg a k¨ovetkez˝o n2 darab” ” ∞ P ckij v´egtelen sz´ amsor r¨ovid´ıt´ese. cij = k=0
Azt mondjuk, hogy a
∞ P
Ck m´atrix sor konvergens, illetve abszol´ ut kon-
k=0
vergens, ha az n2 darab” ” Megjegyz´ esek.
∞ P
ckij sz´amsor is ilyen tulajdons´ ag´ u.
k=0
1) kBke -t a B m´atrix euklideszi norm´aj´ anak nevezz¨ uk, melyre – a norma szok´ asos tulajdons´ again t´ ul – kABke ≤ kAke kBke , kAxke ≤ kAke kxke (x ∈ Rn ) is teljes¨ ul. 2) Az (MH) hatv´anysor abszol´ ut konvergens, ha s = kBke < r, mert akkor kB 2 ke ≤ kBk2e = s2 , . . . , kB k ke ≤ sk , . . . , ami adja az abszol´ ut konvergenci´ at a major´ ans krit´erium miatt. 3) Az
∞
X . f (At) = a0 E + a1 At + · · · = ak Ak tk k=0
t-t˝ ol f¨ ugg˝ o sor abszol´ ut konvergens, ha |t| < r/(kAke ) = t0 ´es egyenletesen konvergens a (−t0 , t0 ) b´ armely z´ art intervallum´an, azaz az n2 sz´ am´ u sz´ amsor mindegyike egyenletesen konvergens, tov´abb´a f (At) tagonk´ent differenci´ alhat´ o ´es d f (At) = Af ′ (At) . dt K¨ ovetkezm´ eny.
B2 + ... , 2! tov´abb´a (eAt )′ = AeAt ; eB+C = eB eC (ha BC = CB) (eA )−1 = e−A . Ezek seg´ıts´eg´evel egy m´asik (a kor´abbit´ol elt´er˝o) utat tal´ alhatunk a konstansegy¨ utthat´ os line´aris homog´en differenci´alegyenlet-rendszerek alaprendszer´enek ´es a konstansegy¨ utthat´os line´aris inhomog´en differenci´alegyenlet-rendszerek ´ altal´ anos megold´as´anak meghat´aroz´as´ara. eB = E + B +
69
1. t´ etel. legyen (A)n×n konstans m´atrix, akkor a y ′ = Ay
(KLHDER)
megold´asa [0, ∞)-en y(0) = E mellett y(x) = eAx .
(KLHDER-Mo) Tov´abb´a a
y ′ = Ay + ϕ ,
´ ) (KLIHDER-KEP
(y(0) = y0 )
megold´asa: ´ (KLIHDER-KEP-Mo )
y(x) = e
Ax
y0 +
Zx
eA(x−t) ϕ(t) dt .
0
Bizony´ıt´ as. a) (eAx )′ = AeAx adja az ´all´ıt´as els˝o fel´et, ´es nyilv´an y(0) = E is igaz. b) Ismeretes, hogy (l´asd konstansvari´al´as m´odszere (LIHDER)-re) ha ´ gy (LIHDER) ´altal´ anos megold´asa y 1 , . . . , yn (LHDER) alaprendszere, u y=
(∗)
n X
ci yi (x) +
i=1
n X
ci (x)y i (x) ,
i=1
ahol c′i (x) teljes´ıti a n X
yij (x)c′i (x) = ϕj (x)
(j = 1, . . . , n)
i=1
egyenletrendszert, mely az y11 . . . y1n yH = ... , yn1
...
ynn
(c′1 (x) . . . c′n (x))⊤ = c′ (x) (ϕ1 (x) . . . ϕn (x))⊤ = ϕ(x)
jel¨ ol´esek mellett az
yH (x) c′ (x) = ϕ(x) 70
−1 alakba ´ırhat´ o, ahol det yH 6= 0 (mert yH alaprendszer), ´ıgy ∃ yH ´es −1 c′ (x) = yH (x)ϕ(x) .
Ebb˝ol c(x) = c(0) +
Zx
−1 yH (t)ϕ(t) dt .
0
´Igy (∗) a c = (c1 . . . cn )
⊤
jel¨ ol´es mellett az
y(x) = yH (x)(c + c(0)) +
Zx
−1 yH (x)yH (t)ϕ(t) dt
0
alakot ¨ olti, amib˝ ol y(0) = y0 miatt y 0 = yH (0)(c + c(0)), illetve −1 c + c(0) = yH (0)y 0
k¨ovetkezik. ´Igy y(x) =
−1 yH (x)yH (0)y 0
+
Zx
−1 yH (x)yH (t)ϕ(t) dt
0
teljes¨ ul. Ebb˝ol pedig yH (x) = eAx ,
−1 yH (x) = e−Ax
felhaszn´al´ as´ aval j¨ on az ´ all´ıt´ as. 2. t´ etel. Ha az A m´atrix λi saj´ at´ert´ekei teljes´ıtik a Re λi < α egyenl˝ otlens´egeket, akkor keAt k ≤ ceαt (t ≥ 0), ahol c > 0 alkalmas konstans. 3. t´ etel. A (KLHDER)
y ′ = Ay
minden megold´asa akkor, ´es csak akkor tart 0-hoz t → ∞ eset´en, ha Re λi < 0 az A b´ armely λi saj´ at´ert´ek´ere. 71
4. t´ etel (stabilit´ asi t´ etel (KLHDER)-re). Legyenek λ1 , . . . , λp (p ≤ n) az A m´atrix saj´at´ert´ekei ´es γ = max{Re λi }. Akkor az x(t) ≡ 0 trivi´ alis megold´asa (KLHDER)-nek – γ < 0-ra aszimpt´ otikusan stabil, – γ > 0-ra instabil, – γ = 0 eset´en nem aszimpt´ otikusan stabil (de lehet stabil vagy instabil is). Gronwall-lemma. A φ : [0, a] → R f¨ uggv´eny legyen folytonos ´es teljes¨ ulj¨on, hogy φ(t) ≤ α + β
Zt
φ(τ ) dτ
0
∀ t ∈ [0, a], β > 0 .
Akkor φ(t) ≤ αeβt
(t ∈ [0, a]) .
Bizony´ıt´ as. Nem kell. uggv´eny legyen ´er5. t´ etel (´ altal´ anos stabilit´ asi t´ etel). A g(t, x) f¨ telmezett t ≥ 0, kxk ≤ α (α > 0) eset´en, folytonos ´es (∗)
lim
kxk→0
kg(t, x)k =0 kxk
egyenletesen t ≥ 0-ra ´es g(t, 0) = 0. Az A m´atrix legyen konstans ´es olyan, hogy A ∀ λi saj´at´ert´ek´ere Re λi < 0. Akkor a (∗∗)
y′ = Ay + g(t, y)
differenci´ alegyenlet x(t) ≡ 0 megold´asa aszimpt´ otikusan stabil. Bizony´ıt´ as. A felt´etelek ´es a 2. t´etel miatt l´eteznek c > 1 ´es β > 0 konstansok, hogy Re λi < −β ´es
At
e ≤ ce−βt (t ≥ 0). 72
M´ asr´eszt (∗) miatt ∃ δ, 0 < δ < α, hogy (∗∗∗)
kg(t, x)k ≤
β kxk 2c
(kxk ≤ δ, t ≥ 0).
Megmutatjuk, hogy βt δ ⇒ ky(t)k ≤ cεe− 2 . c Az 1. t´etel szerint (∗∗) megold´asa (mivel ϕ(s) = g(s, y(s))) teljes´ıti az
(⇒)
ky(0)k ≤ ε <
At
y(t) = e y(0) +
Zt
eA(t−s) g(s, y(s)) ds
0
integr´alegyenletet, ´ıgy (∗∗∗) miatt a (∗∗∗∗)
ky(t)k ≤ ky(0)kce
−βt
+
Zt
ce−β(t−s)
0
β ky(s)k ds 2c
egyenl˝ otlens´eg teljes¨ ul, ha kyk ≤ δ. Legyen y(t) olyan megold´asa (∗∗)-nak, hogy ky0 k < ε ´es legyen otlens´eg adja, hogy φ(t) = ky(t)keβt . Ekkor a (∗∗∗∗) egyenl˝ β φ(t) ≤ cε + 2
Zt
φ(s) ds
(ha kyk ≤ δ),
0
ami a Gronwall-lemma miatt adja, hogy βt
φ(t) ≤ cεe 2 , vagyis βt
ky(t)k ≤ cεe− 2 < δ .
(◦)
Ebb˝ol l´athat´o, hogy ky(t)k δ-t pozit´ıv t-re nem veszi fel ´es ´ıgy (◦) teljes¨ ul, ami adja (⇒) fenn´all´as´ at is. uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´any´anak hat´ar´aig, ´ıgy (◦) miatt az y(t) a g f¨ eg´esz 0 ≤ t < ∞ intervallumra folytathat´o. ´Igy βt 0 ≤ lim ky(t) − x(t)k = lim ky(t)k ≤ cε lim e− 2 = 0 t→∞
t→∞
adja, hogy x(t) ≡ 0 aszimpt´ otikusan stabil. 73
t→∞
74
´ cio ´ sza ´ m´ıta ´s VI. Varia 1. Alapfogalmak, alapfeladatok A vari´aci´ osz´ am´ıt´ as ´ altal´ anosabb f¨ uggv´enykapcsolatokra (funkcion´alokra) vizsg´al sz´els˝o´ert´ek-prob´em´akat. 1. defin´ıci´ o. Legyen M a val´ os f¨ uggv´enyek egy oszt´alya. Egy I : M → R f¨ uggv´enyt funkcion´alnak nevez¨ unk. Megjegyz´ esek. 1) M lehet p´eld´ aul: C 0 [a, b], az [a, b] felett ´ertelmezett folytonos f¨ uggv´enyek halmaza. C 1 [a, b], az [a, b] felett ´ertelmezett folytonosan differenci´alhat´o f¨ uggv´enyek halmaza. C 2 [a, b], az [a, b] felett ´ertelmezett k´etszer folytonosan differenci´alhat´ o f¨ uggv´enyek halmaza. 2) C 0 [a, b], C 1 [a, b], C 2 [a, b] is line´aris terek (a f¨ uggv´enyek k¨or´eben ´ertelmezett ¨ osszead´ asra ´es skal´arral val´o szorz´ asra n´ezve). M´ asr´eszt ´ertelmezhet˝ o benn¨ uk norma, illetve ebb˝ol t´ avols´ag is. P´eld´ aul C 0 [a, b]-ben az y1 , y2 : [a, b] → R f¨ uggv´enyek t´ avols´aga: . ̺0 (y1 , y2 ) = max |y1 (x) − y2 (x)| x∈[a,b]
1
szerint ´ertelmezhet˝ o. C [a, b]-ben pedig . ̺1 = max ̺0 (y1 , y2 ), ̺0 (y1′ , y2′ )
szerint is.
´ 3) Altal´ anosabban line´aris norm´ alt t´er felett ´ertelmezett f¨ uggv´enyekkel (funkcion´alokkal), illetve azokra tekintett sz´els˝o´ert´ek-probl´em´ akkal is foglalkozhatn´ ank. 2. defin´ıci´ o. Az I : M → R funkcion´alnak az y0 ∈ M f¨ uggv´enyen abszol´ ut minimuma (maximuma) van, ha ∀ y 6= y0 -ra (y ∈ M ) I(y(x)) > I(y0 (x)) I(y(x)) < I(y0 (x))
teljes¨ ul.
75
3. defin´ıci´ o. Az I : C 1 [a, b] → R funkcion´alnak az y0 ∈ C 1 [a, b] f¨ uggv´enyen relat´ıv er˝os (illetve relat´ıv gyenge) minimuma van, ha ∃ ε > 0, hogy I(y(x)) > I(y0 (x)) (x ∈ [a, b]) teljes¨ ul az y0 f¨ uggv´eny ε-sugar´ u ̺0 (illetve ̺1 ) k¨ornyezet´ebe es˝o ∀ y ∈ C 1 [a, b] (y 6= y0 ) f¨ uggv´enyre. (A maximum ugyan´ıgy ´ertelmezhet˝o.) Alapfeladatok: 1) A s´ık adott P1 (a, A), P2 (b, B) pontjait ¨osszek¨ ot˝o s´ıkg¨orb´ek k¨oz¨ ul hat´ arozzuk meg azokat, melyeket az x-tengely k¨or¨ ul megforgatva a legkisebb felsz´ın˝ u forg´ asfel¨ ulet ad´odik. Keress¨ uk a megold´ast el˝osz¨ or, amikor a g¨ orbe az (x, y(x)) y ∈ C 1 [a, b], x ∈ [a, b]
halmaz, azaz egy y ∈ C 1 [a, b] f¨ uggv´eny gr´afja, hogy (1)
y(a) = A ,
y(b) = B
is teljes¨ ul. Ismeretes, hogy az (1)-et teljes´ıt˝o y : [a, b] → R (y ∈ C 1 [a, b]) f¨ uggv´eny x-tengely k¨or¨ uli megforgat´as´aval keletkezett forg´ asfel¨ ulet felsz´ın´et az y f¨ uggv´eny´eben az
(FF)
. I(y(x)) = 2π
Zb a
p y(x) 1 + y ′2 (x) dx
szerint defini´alt I : C 1 [a, b] → R funkcion´al adja meg. Az 1. alapfeladat teh´at: Az (FF) szerint defini´alt funkcion´al minimum´ at ad´o, (1)-et is teljes´ıt˝o y ∈ C 1 [a, b] f¨ uggv´enyek meghat´aroz´asa. Az 1. alapfeladat ´altal´ anos´ıt´asa, amikor egy
(2)
. I(y(x)) =
Zb
F (x, y(x), y ′ (x)) dx
a
76
szerint ´ertelmezett I : C 1 [a, b] → R funkcion´al minimum´at ad´o, (1)-et is teljes´ıt˝ o, y ∈ C 1 [a, b] f¨ uggv´enyt keres¨ unk, ahol az alapf¨ uggv´enynek is nevezett F f¨ uggv´eny el´eg j´o f¨ uggv´eny. Ez az ´ altal´ anos s´ıkbeli nemparam´eteres probl´ema. Kereshetj¨ uk a minim´ alis forg´ asfel¨ uletet ad´o g¨ orb´eket az ´altal´ anosabb, g(t) = (x(t), y(t))
t ∈ [α, β]
alakban is, ahol g ∈ C 1 [α, β] ´es (3)
x(α) = 0,
x(β) = b,
y(α) = A,
y(β) = B
is teljes¨ ul. Ekkor (ahogy ez szint´en ismeretes) az (4)
I(x(t), y(t)) = 2π
Zβ α
p y(t) x′2 (t) + y ′2 (t) dt
szerint defini´alt funkcion´al minimum´at ad´o g f¨ uggv´enyeket kell meghat´ arozni, ez a 2. alapfeladat. Ennek ´altal´ anos´ıt´asa, ha egy (5)
. I(x(t), y(t)) =
Zβ
F (x(t), y(t), x′ (t), y ′ (t)) dt
α
szerint defini´alt funkcion´al minimum´at szolg´ altat´ o, (3)-at is teljes´ıt˝o g f¨ uggv´enyeket kell meghat´arozni, adott F el´eg j´o alapf¨ uggv´eny eset´en. Ez egy s´ıkbeli param´eteres probl´ema. 2) Vizsg´ alhat´ ok az u ´ gynevezett t´erbeli (param´eteres, vagy nemparam´eteres) probl´em´ ak is. Ilyenkor p´eld´ aul (nemparam´eteres esetben) egy . I(y(x)) = I(y1 (x), . . . , yn (x)) = . =
Zb
F (x, y1 (x), . . . , yn (x), y1′ (x), . . . , yn′ (x)) dx
a
77
szerint ´ertelmezett funkcion´al sz´els˝o´ert´ek´et (mondjuk minimum´at) ad´o f¨ uggv´enyeket keress¨ uk (y : [a, b] → Rn t´ıpus´ u ´es y ∈ C 1 [a, b], illetve y(a) = A, y(b) = B). 3) Vizsg´ alhat´ ok felt´eteles sz´els˝o´ert´ek-probl´em´ ak is funkcion´alokra. P´eld´ aul az u ´ gynevezett Lagrange-feladat: hat´arozzuk meg egy fel¨ ulet k´et adott pontj´ at ¨osszek¨ ot˝o g¨ orb´ek k¨oz¨ ul a minim´alis ´ıvhossz´ us´ag´ uakat.
2. Seg´ edt´ etelek 1. lemma (param´ eteres integr´ al differenci´ alhat´ os´ aga). Legyen F : [a, b] × [c, d] → R folytonos ´es m´asodik v´altoz´ oj´ aban folytonosan parci´ alisan differenci´alhat´o f¨ uggv´eny. Akkor a . φ(x2 ) =
Zb
F (τ, x2 ) dτ ,
x2 ∈ [c, d]
a
szerint ´ertelmezett φ : [c, d] → R f¨ uggv´eny (F param´eteres integr´alja) differenci´ alhat´ o ´es ′
φ (x2 ) =
Zb
Fx2 (τ, x2 ) dτ
a
x2 ∈ [c, d].
Bizony´ıt´ as. L´ asd Anal´ızis II., I/7 fejezet t´etele n = 1 mellett (f (x, t) → F (τ, x2 ) ´ at´ır´ assal). 2. lemma (Lagrange). Ha az m : [a, b] → R olyan folytonos f¨ uggv´eny, hogy b´ armely h : [a, b] → R, h ∈ C 2 [a, b] ´es h(a) = h(b) = 0-t teljes´ıt˝o f¨ uggv´enyre Za m(x) h(x) dx = 0 , b
akkor m(x) ≡ 0 [a, b]-n. Bizony´ıt´ as. L´ asd K´osa: Differenci´ alegyenletek (jegyzet), 133. oldal. 78
3. Funkcion´ alok vari´ aci´ oi Ismeretesek a k¨ovetkez˝ok: Az f : D ⊂ Rn → R f¨ uggv´eny x0 ∈ D-beli e ⊂ Rn ir´ anymenti deriv´altja f (x0 + t e) − f (x0 ) . De f (x0 ) = lim t→0 t (ha a hat´ ar´ert´ek l´etezik). Tov´abb´a, ha ∃ f ′ (x0 ), akkor . – d f (x, x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 ) az f els˝o differenci´alja; – ∀ e-re ∃ De f (x0 ) = f ′ (x0 ) · e. Mivel x0 bels˝o pontja a D (ny´ılt) halmaznak, ´ıgy ∃ δ > 0, hogy a . ϕ(t) = f (x0 + t(x − x0 )),
|t| < δ
szerint defini´alhat´ o a ϕ : K(0, δ) → R val´os f¨ uggv´eny, melyre az el˝obbiek szerint f (x0 + t(x − x0 )) − f (x0 ) ϕ(t) − ϕ(0) = lim = t→0 t t = D(x−x0 ) f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 ) = d f (x, x0 )
ϕ′ (0) = lim
t→0
teljes¨ ul, ha ∃ f ′ (x0 ), azaz f els˝o differenci´alja ϕ′ (0). A lok´alis sz´els˝o´ert´ek l´etez´es´enek sz¨ uks´eges felt´etele ´es az el˝obbiek adj´ak, hogy ha f -nek lok´alis sz´els˝o´ert´eke van x0 -ban ´es ∃f ′ (x0 ), akkor ϕ′ (0) = 0. Ha ∃ f ′′ , akkor ∃ ϕ′′ (0) = d2 f (x, x0 ), azaz f m´asodik differenci´alja ´eppen ϕ′′ . Miut´ an pedig egy f t¨ obbv´altoz´ os f¨ uggv´eny lok´alis sz´els˝o´ert´ekeinek meghat´aroz´as´ aban az els˝o- ´es m´asodik differenci´alnak (azaz ϕ′ (0) ´es ϕ′′ (0)-nak) van alapvet˝o szerepe, ´ıgy term´eszetes, hogy funkcion´alokra is bevezess¨ uk ezen fogalmak anal´ogi´ ait, az els˝o ´es m´asodik vari´aci´ ot. Defin´ıci´ o. Legyen F k´etszer folytonosan differenci´alhat´o a D ⊂ [a, b] × R2 ny´ılt halmazon, I pedig (∗)
. I(y(x)) =
Zb
F (x, y(x), y ′ (x))dx
a
79
(y ∈ C 1 [a, b], y(a) = A, y(b) = B) szerint ´ertelmezett funkcion´al C 1 [a, b]-n. Legyen tov´abb´a η ∈ C 2 [a, b], hogy η(a) = η(b) = 0, m´ıg δ > 0 olyan, hogy ha adott y ∈ C 1 [a, b]-re (x, y(x), y ′ (x)) ∈ D, akkor |t| < δ eset´en az y˜(x) = y(x) + tη(x) szerint defini´alt y˜ f¨ uggv´enyre (x, y˜(x), y˜′ (x)) ∈ D (´es y˜(a) = A, y˜(b) = B) teljes¨ ul. Ekkor a (◦)
. . ϕ(t) = I(y(x) + tη(x)) =
Zb
F (x, y(x) + tη(x), y ′ (x) + tη ′ (x))dx
a
(|t| < δ) szerint ´ertelmezett (k´etszer differenci´alhat´o) ϕ f¨ uggv´enyre l´etez˝o ϕ′ (0) ´es ϕ′′ (0) ´ert´ekeket a (∗) szerint ´ertelmezett I funkcion´al els˝o, illetve m´asodik vari´aci´ oj´ anak nevezz¨ uk ´es rendre δI, illetve δ 2 I-vel jel¨olj¨ uk. T´ etel. Ha a defin´ıci´o felt´etelei mellett I az y f¨ uggv´enyen lok´alis sz´els˝o´ert´eket vesz fel, akkor δI = 0. (A lok´alis minmum sz¨ uks´eges felt´etele miatt.) Bizony´ıt´ as. Ha a (∗) szerint ´ertelmezett I funkcion´alnak y-ban lok´alis minimuma van, akkor ∃ r > 0, hogy I(y) ≤ I(ψ)
∀ ψ ∈ C 1 [a, b], ψ(a) = A, ψ(b) = B
eset´en, melyre ̺1 (y, ψ) < r. Mivel ̺1 (y, y + tη) = |t| sup
|η(x)|, |η ′ (x)| ,
x∈[a,b]
´ıgy ∃ r0 > 0, hogy ̺1 (y, y + tη) < r, ha |t| < r0 , azaz I(y) ≤ I(y + tη), ha |t| < r0 , ami ϕ 0-beli defin´ıci´oja miatt adja, hogy ϕ(0) < ϕ(t) ∀ |t| < r0 , azaz ϕ-nek 0-ban lok´alis sz´els˝o´ert´eke van. M´ asr´eszt ∃ ϕ′ (0) (az 1. lemma . ′ miatt), ´ıgy δI = ϕ (0) = 0, amit bizony´ıtani kellett.
4. Az Euler-Lagrange differenci´ alegyenlet T´ etel (a lok´ alis sz´ els˝ o´ ert´ ek egy sz¨ uks´ eges felt´ etele). Legyen F : D ⊂ [a, b] × R2 → R k´etszer folytonosan differenci´alhat´o 80
f¨ uggv´eny, I (∗) szerint ´ertelmezett funkcion´al C 1 [a, b]-n. Ha I-nek yban (y ∈ C 1 [a, b], y(a) = A, y(b) = B) lok´alis extr´emuma van, akkor y-ra [a, b]-n teljes¨ ul az d Fy x, y(x), y ′ (x) − Fy′ (x, y(x), y ′ (x)) = 0 dx
(E-L)
Euler-Lagrange differenci´ alegyenlet.
Bizony´ıt´ as. Az adott felt´etelek mellett, a ϕ defin´ıci´oja miatt ∃ ϕ′ (0), melyet az 1. lemma ´es a l´ancszab´aly miatt ′
ϕ (0) =
Zb a
Fy (x, y(x), y ′ (x))η(x) + Fy′ (x, y(x), y ′ (x))η ′ (x) dx
szerint kapunk. Ugyanakkor a parci´ alis integr´al´ as t´etele szerint Zb a
b Fy′ (x, y(x), y ′ (x))η ′ (x)dx = Fy′ (x, y(x), y ′ (x))η(x) a − −
Zb
η(x)
a
=−
Zb a
d Fy′ (x, y(x), y ′ (x)) dx = dx
η(x)
d Fy′ (x, y(x), y ′ (x)) dx. dx
Ezt ϕ′ (0) el˝ obbi alakj´ aba helyettes´ıtve: Zb n o d ′ Fy (x, y(x), y ′ (x)) − ϕ (0) = Fy (x, y(x), y ′ (x)) η(x) dx dx ′
a
ad´odik. Az el˝ oz˝o t´etel miatt ϕ′ (0) = 0 ´es akkor a Lagrange lemma adja a t´etel ´ all´ıt´ as´ at.
81
Megjegyz´ esek. 1) Ha a t´etel felt´etelei mellett F -re m´eg az is teljes¨ ul, hogy Fy′ y′ (x, y(x), y ′ (x)) 6= 0
∀ x ∈ [a, b],
akkor ∃ y ′′ ´es folytonos. 2) Ha pedig y ∈ C 2 [a, b] is teljes¨ ul, akkor (E-L)-ben elv´egezve a differenci´ al´ ast Fy − Fy′ x + Fy′ y y ′ + Fy′ y′ y ′′ = 0 , illetve ´ atrendez´essel (E-L′ )
y ′′ Fy′ y′ + y ′ Fy′ y + Fy′ x − Fy = 0
ad´odik. 3) Speci´ alis t´ıpus´ u alapf¨ uggv´enyek: – Ha F nem f¨ ugg x-t˝ol ´es Fy′ y′ 6= 0, u ´ gy ha y megold´asa (E-L)-nek, akkor ∃ c ∈ R, hogy F − y ′ Fy′ = c.
(1)
Bizony´ıt´ as. (E-L′ ) ebben az esetben az y ′′ Fy′ y′ + y ′ Fy′ y − Fy = 0
(E-L′′ ) alakot ¨ olti. M´ asr´eszt
d F − y ′ Fy′ = Fy y ′ + Fy′ y ′ + Fy′ y ′′ − dx − y ′′ Fy′ − y ′ Fy′ y y ′ − y ′ Fy′ y′ y ′′ = = y ′ Fy − y ′ Fy′ y − y ′′ Fy′ y′ = 0 ,
ami adja az ´ all´ıt´ast.
– Ha F nem f¨ ugg y-t´ol, u ´ gy y akkor ´es csak akkor megold´asa (E-L)nek, ha ∃ c ∈ R, hogy (2)
Fy′ (x, y ′ (x)) = c 82
(x ∈ [a, b]).
Bizony´ıt´ as. Ekkor (E-L) adja, hogy d Fy′ (x, y ′ (x)) = 0, dx ami viszont akkor, ´es csak akkor teljes¨ ul, ha (2) fenn´all. – Ha F nem f¨ ugg y ′ -t˝ ol, u ´ gy y akkor, ´es csak akkor megold´asa (E-L)nek, ha (3)
Fy (x, y(x)) = 0
(x ∈ [a, b])
teljes¨ ul. Bizony´ıt´ as. Ekkor (E-L) a (3) egyenlettel ekvivalens.
5. Az 1. alapfeladat megold´ asa Az . I(y(x)) = 2π
Zb a
p y(x) 1 + y ′2 (x)dx,
y(a) = A,
y ∈ C 2 [a, b],
y(b) = B
funkcion´al minimum´ at ad´o f¨ uggv´eny meghat´aroz´asa volt a feladat. ´Igy p (x ∈ [a, b]) F (y(x), y ′ (x)) = y(x) 1 + y ′2 (x)
miatt F nem f¨ ugg x-t˝ ol, teh´ at az el˝oz˝o paragrafus els˝o eset´evel van dolgunk. Ez´ert, ha I az y f¨ uggv´enyen minimumot vesz fel, akkor F − y ′ Fy′ = y
p y′ y 1 + y ′2 − y ′ y p = p =c ′2 1+y 1 + y ′2
azaz az (E-L) differenci´ alegyenlet speci´ alis alakja most p (FF-D) y − c 1 + y ′2 = 0.
Ez egy implicit differenci´ alegyenlet.
83
→
p 1 + y ′2 > 0, ´ıgy (FF-D)-nek nincs olyan integr´alg¨ orb´eje, mely az y ≥ 0 f´els´ıkb´ol ´atmenne az y < 0 f´els´ıkba, vagy ford´ıtva, ´ıgy c-t v´alaszthatjuk nemnegat´ıvnak. Ha c > 0 eset´en y megold´as, akkor −y is kiel´eg´ıti (FF-D)-t, ha c helyett −c-t ´ırunk.
→ y = c (≥ 0) megold´asa (FF-D)-nek, de nem teljes´ıti (E-L)-t, mert Fy −
p d y y′ d p = 1 − 0 6= 0. Fy′ = 1 + y ′2 − dx dx 1 + y ′2
→ Nyilv´ an c > 0 kell, hogy legyen, hiszen egy´ebke´ent y = 0 lenne a megold´as, ami az el˝obbiek miatt nem teljes´ıti (E-L)-t. → Ha y olyan megold´as, mely semmilyen szakaszon sem ´alland´ o, akkor y ′ legfeljebb egy pontban t˝ unhet el, mert ha ∃ a < b, hogy y ′ (a) = y ′ (b) = 0 ´es y ′ (x) 6= 0, x ∈ (a, b) , akkor (FF-D) miatt y(a) = y(b) = c, ami adn´a – a Rolle-t´etel miatt – hogy ∃ x ∈ (a, b), y ′ (x) = 0, ami ellentmond´ as. → Legyen most y az (FF-D) olyan megold´asa, amelyre y ′ (x) 6= 0 (x ∈ Dy ). Akkor (FF-D)-b˝ ol nyilv´an y(x) > c (x ∈ Dy ) k¨ovetkezik, hiszen p 1 + y ′2 > √ 1. Az y(x) − c 1 + z 2 = 0 egyenletnek ∀ x ∈ Dy -ra a s s 2 2 y(x) y(x) z1 (x) = − 1, z2 (x) = − −1 c c szerint ´ertelmezett f¨ uggv´enyek a megold´asai, melyek folytonosan differenci´alhat´ ok Dy -on. Mivel z1 (x) > 0, z2 (x) < 0 (x ∈ Dy ), ´ıgy az egyenletnek nincs m´as folytonos megold´asa. Ugyanakkor kiel´eg´ıti az y ′ folytonos f¨ uggv´eny is, ´ıgy y ′ (x) = z1 (x) vagy y ′ (x) = z2 (x). Teh´at y kiel´eg´ıti az r r y 2 y 2 ′ ′ y = −1 y =− −1 c c (y > 0, c > 0) differenci´alegyenletek valamelyik´et.
84
→ Ezek ´ altal´ anos megold´asa y = c ch
x−β , c
x ∈ (β, ∞),
illetve
x−β , x ∈ (−∞, β), c ´es ezek kiel´eg´ıtik (FF-D)-t is, s˝ot az x = β helyen is. y = c ch
Ha teh´ at l´etezik megold´asa a feladatnak, az csak az x−β . y(x, c, β) = c ch , c
(x ∈ R, c ∈ R\{0}, β ∈ R)
szerint meghat´arozott, u ´ gynevezett l´ancg¨ orbe lehet.
85
Feladatsor 1) Adjuk meg az al´abbi g¨ orbeseregek differenci´alegyenlet´et: y = ecx ;
y = (x − c)3 ;
y = cx3 ;
y = sin(x + c) .
2) Oldjuk meg az al´abbi szepar´abilis differenci´alegyeneleteket, illetve a r´ajuk vonatkoz´o kezdeti´ert´ek probl´em´ akat: y ′ = e2x − x
(x + 1)y ′ = −xy p xyy ′ = y 2 + 1 y ′ − xy 2 = 2xy
y ′ = y cos x
y ′ = 2x ,
y(1) = 4
(x2 − 1)y ′ + 2xy 2 = 0 , y(0) = 1 p y ′ = 3 3 y 2 , y(1) = 0 1 xy ′ + y = y 2 , y(1) = 2 y ′ = (1 + y 2 ) ln x , y(1) = 0
3) Oldjuk meg a k¨ovetkez˝o line´aris differenci´alegyenleteket: xy ′ − 2y = 2x4 1 y ′ + y tg x = sin x x2 y ′ + xy + 1 = 0
(2x + 1)y ′ = 4x + 2y x(y ′ − y) = ex y ′ = 2x(x2 + y)
xy ′ + (x + 1)y = 3x2 e−x
xy ′ + 2y = sin(x)
4) Oldjuk meg a k¨ovetkez˝o egzakt differenci´alegyenleteket: (2x + 3x2 y)dx + (x3 − 3y 2 )dy = 0 (2x + y)dx + (x − 2y)dy = 0 x 1 − y′ = 0 y y2 x−y 2x + y′ = 0 3 (x + y) (x + y)3 2xydx + (x2 − y 2 )dy = 0
e−y dx − (2y + xe−y )dy = 0 y dx + (y 3 + ln x)dy = 0 x 86
5) A kor´ abbiakra visszavezet´essel oldjuk meg az al´abbi differenci´alegyenleteket: (x + 2y)dx − xdy = 0 (x − y) + (x + y)y ′ = 0
y 2 − 2xy + x2 y ′ = 0 2x3 y ′ = y(2x2 − y 2 )
y 2 + x2 y ′ = xyy ′ y
xy ′ = y − xe x y x
xy ′ − y = x tg p xy ′ = x2 − y 2 + y
2x + y + 1 + (4x + 2y − 3)y ′ = 0 x − y − 1 + (y − x + 2)y ′ = 0 2x − 4y + 6 + (x + y − 3)y ′ = 0 (x + 4y)y ′ = 2x + 3y − 5 2 y+2 ′ y =2 x+y−1 (x2 + y 2 + x)dx + ydy = 0 (x2 + y 2 + y)dx − xdy = 0
xy 2 (xy ′ + y) = 1
y 2 dx − (xy + x3 )dy = 0 1 1 y− dx + dy = 0 x y
xydx = (y 3 + x2 y + x2 )dy (2x2 y 2 + y)dx − (x3 y − x)dy = 0
87
6) Egzisztencia ´es unicit´ as t´etelek Cauchy-feladatokra a) Bizony´ıtsa be, hogy egy teljes metrikus t´er b´ armely z´ art altere is teljes metrikus t´er. b) Legyen I = [a, b] ⊂ R, T ⊂ Rn t´egla, f : [a, b] × T → R (f = f1 , . . . , fn ) olyan f¨ uggv´eny, hogy ∀ Dj fi l´etezik ´es korl´atos [a, b] × T -n. Bizony´ıtsa be, hogy f Lipschitz felt´etelt teljes´ıt [a, b] × T -n az utols´ o n v´altoz´ oj´ aban.
c) Bizony´ıtsuk be, hogy a Picard-Lindel¨of t´etel bizony´ıt´as´aban szerepl˝ o (X, d) = (Cn∗ , d) z´ art altere a Cn (I1 ) teljes metrikus t´ernek.
d) Hat´ arozza meg az al´abbi Cauchy-feladatok megold´as´at a Picard-f´ele szukcessz´ıv approxim´ aci´ oval: y ′ = xy ,
y(0) = 1 ;
y ′ = x2 − y ,
y(0) = 1 .
e) A Picard-f´ele m´odszerrel adjunk k¨ozel´ıt˝o megold´asokat az al´abbi Cauchy-feladatokra. Becs¨ ulj¨ uk meg, milyen intervallumon biztos´ıtott a megold´as l´etez´ese (a k¨ozel´ıt´es konvergenci´aja). y′ = x − y2 , ′
2
2
y = y − 3x − 1 , ′
y
y =y+e ,
y(0) = 0
(y0 , y1 , y2 , y3 megh.);
y(0) = 1
(y0 , y1 , y2 megh.);
y(0) = 1
(y0 , y1 , y2 , megh.).
(Az els˝o feladatn´al becs¨ ulj¨ uk meg az y3 k¨ozel´ıt´es pontoss´ag´at is az x = 0, 5 ´es az x = 1 ´ert´ekekn´el.) ´ ) megoldhat´ f) Bizony´ıtsa be, hogy az (n-KEP os´ag´anak vizsg´ala´ ) probl´ t´ aban szerepl˝ o speci´ alis (DER-KEP em´ an´al teljes¨ ulnek a Picard-Lindel¨of t´etel felt´etelei. p g) Vizsg´ alja az y ′ = |y| differenci´alegyenletre vonatkoz´o valamilyen Cauchy-feladat megoldhat´os´ag´at ´es a megold´as egy´ertelm˝ us´eg´et.
88
7) Az al´ abbi feladatokban vizsg´alja meg, hogy a megadott f¨ uggv´enyek line´arisan f¨ uggetlenek-e: a) f1 (x) = x + 2 , b) f1 (x) = sin(x) , c) f1 (x) = 1 , x
d) f1 (x) = e , e) f1 (x) = x ,
f2 (x) = x − 2 f2 (x) = cos(x)
(x ∈ R); (x ∈ R);
f3 (x) = x2
f2 (x) = x , 2x
f2 (x) = e , f2 (x) = ex ,
3x
f3 (x) = e f3 (x) = xex
(x ∈ R);
(x ∈ R); (x ∈ R).
8) Hat´ arozza meg az al´ abbi differenci´alegyenletek ´altal´ anos megold´as´at: a) (2x + 1)y ′′ + 4xy ′ − 4y = 0 , b) c) d)
ha
y1 (x) = x ismert;
2
y ′′ − 2(1 + tg(x))y = 0 , ha y1 (x) = tg(x) ismert; y ′′ − y ′ tg(x) + 2y = 0 , ha y1 (x) = sin(x) ismert;
xy ′′′ − y ′′ − xy ′ + y = 0 ,
ha y1 (x) = x , y2 (x) = ex
ismert.
9) Adja meg az al´ abbi differenci´ alegyenletek ´altal´ anos megold´as´at: a) x(x − 1)y ′′ − xy ′ + y = 0 ; b) xy ′′ + 2y ′ − xy = 0 ;
c) (3x3 + x)y ′′ + 2y ′ − 6xy = 0 .
10) Oldja meg az al´ abbi differenci´alegyenleteket: y ′′ + y ′ − 2y = 0 ; y ′′ − 4y ′ + 5y = 0 ; y ′′′ − 8y = 0 ;
y ′′ − 2y ′ + y = 0 ;
y ′′ + 4y ′ + 3y = 0 ; y ′′ + 2y ′ + 10y = 0 ; y (4) − y = 0 ;
y (5) − 6y (4) + 9y (3) = 0 ;
y (4) + 2y ′′ + y = 0 ;
y (4) − 5y ′′ + 4y = 0 ;
y ′′ − 2y ′ = 0 ; y ′′ + 4y = 0 ;
y (6) + 64y = 0 ;
4y ′′ + 4y ′ + y = 0 ; y (5) − 10y (3) + 9y ′ = 0 ;
y ′′′ − 3y ′′ + 3y ′ − y = 0 ; y ′′′ − 3y ′ + 2y = 0 .
89
11) Oldja meg az al´abbi differenci´alegyenleteket: y ′′ − 2y ′ − 3y = e4x ;
y ′′ + y = 4xex ;
y ′′ − y = 2ex − x2 ;
y ′′ + y ′ − 2y = 3xex ;
y ′′ − 3y ′ + 2y = sin(x) ;
y ′′ − 5y ′ + 4y = 4x2 e2x ;
y ′′ − 3y ′ + 2y = cos(x) ; y ′′ + y = x sin(x) ;
y ′′ − 4y ′ + 8y = e2x + sin(2x) ; y ′′′ + y ′ = sin(x) + x cos(x) ; ex y ′′ − 2y ′ + y = ; x
y ′′ + 4y ′ + 3y = ch(x) ; y ′′ + y =
1 ; sin(x)
y ′′ + 4y = 2 tg(x) ;
(3x3 + x)y ′′ + 2y ′ − 6xy = 4 − 12x2 . 12) Hat´ arozza meg az al´abbi Cauchy-feladatok megold´as´ at: a) b) c) d) e)
y ′′′ − y ′ = 0 , ′′
y ′ (0) = −1 ,
y(0) = 3 ,
′
y ′′ (0) = 1 ;
′
y − 2y + y = 0 , y(2) = 1 , y (2) = −2 ; ′′ x y + y = 4e , y(0) = 4 , y ′ (0) = −3 ; y ′′ − 2y ′ = 2ex , y ′′ + y = 2x − π ,
y ′ (1) = 0 ; y(π) = 0 .
y(1) = −1 , y(0) = 0 ,
13) Oldja meg az al´abbi differenci´alegyenlet-rendszereket: ( ( y1′ − y1 + y2 = 0 y1′ + y1 − 8y2 = 0 a) b) y2′ + 4y1 − y2 = 0 , y2′ − y1 − y2 = 0 , ′ y 1 − y 1 + y 2 − y 3 = 0 ′ c) y2 − y1 − y2 + y3 = 0 ′ y3 − 2y1 + y2 = 0 ,
d)
(
y1′ − y2 = ex y2′ − y1 = x2 .
14) Feladatok a stabilit´ashoz.
a) Vizsg´ aljuk meg, hogy az y ′ (t) = t − y(t) 90
(t ≥ 0)
differenci´ alegyenlet x(0) = 1 felt´etelt kiel´eg´ıt˝o x : [0, ∞) → R megold´asa stabil-e, illetve aszimptotikusan stabil-e. b) Vizsg´ aljuk meg az (
y1′ = 4y2 y2′ = −y1
differenci´ alegyenlet-rendszer azon x1 (t) x(t) = x2 (t) megold´as´ anak stabilit´as´ at, melyre x1 (0) 0 x(0) = = . x2 (0) 0 c) Vizsg´ aljuk meg az (
y1′ = −y1 + y2 + 2y1 y2 y2′ = 2y1 − 3y2 + 5y14 + y23
differenci´ alegyenlet-rendszerre, hogy az y1 (t) 0 = y(t) = y2 (t) 0 (´ ugynevezett nullmegold´ as) stabil-e. d) Vizsg´ aljuk meg az (
y1′ = −y1 + y2 − t2 y2′ = 3y1 − y2 − t
differenci´ alegyenlet-rendszer azon x1 (t) x(t) = x2 (t) megold´as´ anak stabilit´as´ at, melyre x1 (0) 0 = . x(0) = x2 (0) 0 91
