DGLVODY.DYDQ

0HWRG\VNHOHWiOQtDQLPDFH

/DGLVODY.DYDQ

0RGHOKXPDQRLGD ‡ Vt"WURM~KHOQtN$WH[WXUD ‡ NRVWUDVWURPKUDQ\RGSRYtGDMtNRVWHPYUFKRO\ NORXE$P ‡ YD]EDYUFKRO$WURM~KHOQtN$QDNRVWLNDåGêYUFKRO VYi]iQVSUiY MHGQRXNRVWt ‡ YNDåGpPNORXEXWUDQVIRUPDþQtPDWLFHW\SLFN\ MHQRWRþHQtDSRVXQXWt 9\NUHVORYiQt=HW ]tPWUDQVIRUPDFHYHYãHFKNORXEHFKQD FHVW DYêVOHGHNDSOLNXMLQDGDQêYUFKRO

3RþHWVWXS$ YROQRVWL'2) MH GLPHQ]HVWDYRYpKR YHNWRUXNRVWU\ .ORXEMHW\SLFN\ URWDþQtV'2)

$QLPDFHSRK\EXNOtþRYiQt .OtþRYpVQtPN\XGiYDMtORNiOQtWUDQVIRUPDFHNORXE$  SHQHVXNORXENRVW]Q MY\FKi]HMtFtDQDYi]DQp YUFKRO\ GRSRþiWNX  DSOLNXMLWUDQVIRUPDFL]tVNDQRXLQWHUSRODFtPH]L NOtþRYêPLVQtPN\  SLGiPWUDQVIRUPDFLURGLþRYVNRXNRVWt  YêVOHGHNWUDQVIRUPXMLPDWLFtRWFHVSRþtWDQRXVWHMQêP SRVWXSHP .URNO]HSHGSRþtWDW]iOHåtMHQQDPRGHOX DSURYiGtPSL Y\NUHVORYiQt .GHY]tWNOtþRYpVQtPN\"

9êSRþHWNOtþRYêFKVQtPN$ ‡ UXþQtODG QtSRPRFt GRSHGQpNLQHPDWLN\ ‡ KHUHFNêYêNRQ0RWLRQ &DSWXUH ‡ LQYHU]QtNLQHPDWLND YêSRþHWRWRþHQtDSRVXQXWt NORXE$]H]DGDQpKRFtOH ‡ G\QDPLND

ÒORKDGRSHGQpNLQHPDWLN\ %Ò12P$åHPHSHGSRNOiGDWåHNDåGêNORXEURWXMHNROHP MHGQpRV\StSDGQ SRVXQXWt   R (Θ i ) Pi   , M i je matice transform ace v i - tém kloubu, tj. M i =  1  0 kde R (Θ i ) je rotace kolem osy u i o úhel Θ i a Pi je vektor posunutí. Je - li i - tý kloub pevn zakotvený a j - tým se pohybuje (koncový efektor), pak výsledná transformace M i j = M j Λ M i (dále jen f ). Úloha FK : x = f ( q ), kde x je pozice koncového efektoru a q je stav kostry.

=S WQiNLQHPDWLND Úloha IK : q = f

−1

( x). Typy koncového efektoru x :

‡SRX]HSR]LFH'2)

‡SRX]HRULHQWDFHMHGQRWNRYpNROPpYHNWRU\ ‡SR]LFHDMHGQRWNRYêYHNWRURULHQWDFH ‡SR]LFHDRULHQWDFH'2)

3UREOpP\ ‡ IQHOLQHiUQtVLQDFRV]URWDFt ‡ QHPXVtH[LVWRYDWåiGQpHãHQt ‡ P$åHH[LVWRYDWQHNRQHþQ PQRKRHãHQt

$QDO\WLFNpHãHQt,. ‡ ]QiPRMHQSURNRVWU\VPDOêPSRþWHPVWXS$ YROQRVWL ‡ YêKRGDMHGLQiPHWRGDFRGiYiYãHFKQDHãHQt SURURWDþQtFK'2)H[LVWXMHQHMYêãHHãHQt ‡ O]HSRXåtWYHVSHFLiOQtFKStSDGHFK+$/ HW ]FHURERWLND

3HYRG,.QDQHOLQHiUQtSURJUDPRYiQt 3UREOpP,.O]HHNYLYDOHQWQ IRUPXORYDWWDNWR minimalizovat E (q ) = ( x − f (q )) 2 za podmínek l i ≤ qi ≤ u i

‡YêKRG\VQDGQp]DEXGRYiQtUR]VDKXNORXE$DGDOãtFK SRGPtQHN REHFQ MãtFtOHURYLQDSRORSURVWRU NRPELQDFH ‡QHYêKRG\P$åHPHVNRQþLWYORNiOQtPPLQLPX SRPDOpSURUHDOWLPHDSOLNDFL

1XPHULFNiHãHQt,. ∂f Idea : f lokáln aproximujeme lineární funkcí - Jakobián J = ∂q (matice typu MxN ). Lokáln pak platí : ∆x = J (q)∆q.  ∂Px ∂Py ∂Pz ∂O x ∂O y ∂O z  J = [J 1 , Λ , J n ], J i =  , , , , ,  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ q q q q q q i i i i i   i

[

Pro posunutí : J i = ω i ,0,0,0

]

T

Pro rotaci : J i = [(ω i × ri ), (ω i × v)] , kde T

ω i je osa rotace (posunu) i - tého kloubu ri je vektor od kloubu ke koncovému efektoru v je vektor orientace koncového efektoru

T

1XPHULFNiHãHQt,.SRNUDþRYiQt Iteruj : 1) z cílové a aktuální polohy koncového efektoru zjisti ∆x 2) ∆q = J −1 (q)∆x 3) uprav stav kostry o ∆q tf

Vlastn jde o HãHQt q(t f ) = q0 + ∫ ∆q(t )dt. 0

3UR'2)NRVWUXPiPHþWYHUFRYRXPDWLFL- $OHFRNG\åPiNRVWUDYtFH'2)"

0RRUH3HQURVHRYDSVHXGRLQYHU]H Tvrzení 1 : Pro ka•doumatici A typu MxN existuje práv jedna matice A + typu NxM , • e platí : AA + A = A, A + AA + = A + , ( AA + ) T = AA + , ( A + A) T = A + A. Tvrzení 2 : Má - li soustava Ax = b více HãHQt pak x + = A + b je HãHQt s nejmenší Euklidovskou normou. Tvrzení 3 : Nemá - li soustava Ax = b •ádnéHãHQt pak x + = A + b je HãHQt ve smyslu nejmenších þWYHUF$

‡YSUD[LWR]QDPHQiPLQLPiOQt]P Q\QDWRþHQtNORXE$ ‡SUREOpP\VHVLQJXOiUQtPDWLFt

9\XåLWtNLQHPDWLFNpUHGXQGDQFH .RVWUDPiW\SLFN\PQRKRVWXS$YROQRVWLSLGiPH GDOãtNULWpULXP +

+

∆q = J ∆x + ( I − J J ) ∆z , kde J + je pseudoinve rze Jakobiánu ( I − J + J ) je projekce na Ker ( J ) - nepohne s konc. efektorem ∆z popisuje druhotné kriterium : ‡SLUR]HQpSRKRGOQp QDWRþHQtNORXE$ ‡Y\KêEiQtVHSHNiåNiP

0HWRGDWUDQVSR]LFH-DNRELiQX ,GHDQDNRQFRYêHIHNWRUS$VREtVtOD)YHVP UXSRK\EX 3ULQFLSYLUWXiOQtSUiFH práce = síla ⋅ vzdálenost, ale taky práce = moment ⋅ úhel F T ∆x = τ T ∆q ∆x = J∆q ... aproximace Jakobiánem F T J∆q = τ T ∆q ...dosazení FT J =τ T

τ = J T F ... transponování

0HWRGDWUDQVSR]LFH-DNRELiQXSRNUDþ 7RþLYpPRPHQW\YNORXEHFKY\SRþWHPHWDNWR

τ =J F T

Iteruj : 1) z cílové a aktuální polohy koncového efektoru zjisti F 2) ∆q = J T F (zjednodušení dynamiky na F = mv) 3) uprav stav kostry o ∆q ‡QHSHVQpDOHU\FKOpDLQWXLWLYQt ‡SRNXG)OHåtYQHGRMGHNSRK\EX Ker( J T )

0HWRGD&&'F\FOLFFRRUGLQDWHGHVFHQW ,GHD3URFKi]HWNORXE\YPDQLSXOiWRUXDNDåGêQDWRþLW WDNDE\VHPLQLPDOL]RYDODFK\EDNRQFRYpKRHIHNWRUX E ( q ) = Pd − Pc

2

3

+ ∑ ((u jd ⋅ u jc ) − 1) 2 , kde j =1

Pd je cílová poloha koncového efektoru, Pc je aktuální poloha koncového efektoru (EE),

(u1d , u 2 d , u 3d ) je ortonormální matice cílové orientace EE, (u1c , u 2c , u 3c ) je ortonormální matice aktuální orientace EE. 3RþtWiPHYåG\MHQMHGQXVORåNXYHNWRUXTO]HDQDO\WLFN\

0HWRGD&&'SRNUDþRYiQt Chceme najít úhel rotace q i pro i - tý kloub, který rotuje kolem osy u i . Pic′ (Θ) je vektor Pic rotovaný kolem u i o úhel Θ. Optimalizace pozice : maximalizace funkce g1 (Θ) = Pid ⋅ Pic′ (Θ). 3

Optimalizace orientace : maximalizace fce g 2 (Θ) = ∑ u jd ⋅ u ′jc (Θ). j =1

Kombinace obou : g (Θ) = w1 g1 (Θ) + w2 g 2 (Θ), to lze upravit na g (Θ) = k1 (1 − cos(Θ)) + k 2 cos(Θ) + k 3 sin(Θ), kde k i jsou konstanty.

HãHQt

Θ = arctan(

k3 ) k 2 − k1

6URYQiQtQXPHULFNêFKPHWRG ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

&&'L-7MVRXKHXULVWLFNpDHIHNWLYQt &&'YSUD[LNRQYHUJXMHU\FKOHMLQHå-7 -7UR]SURVWtUiSRK\EURYQRP UQ GRYãHFKNORXE$ &&'QHPiSUREOpP\VHVLQJXODULWDPL YKRGQ VHGRSOXMtNRPELQDFH&&'V-7 NURNSVHXGRLQYHU]HQiURþQêDOHNRQYHUJXMH U\FKOHMLQHå&&' ‡ SVHXGRLQYHU]HQHMOpSHWHRUHWLFN\SRGORåHQi

/LWHUDWXUD ‡ ‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡

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