Determination of Resonance Parameters from Experimental Data

Silesian University in Opava Faculty of Philosophy and Science

Abstract of Doctoral Thesis

Determination of Resonance Parameters from Experimental Data Branch: Theoretical Physics and Astrophysics Supervisor: Prof. Ing. Peter Lichard, DrSc.

Martin Voj´ık Opava 2010

Slezská Univerzita v Opavˇe Filozoficko–pˇr´ırodovˇedecká fakulta

Autorefer´ at doktorsk´ e dizertaˇ cn´ı pr´ ace

Urˇ cov´ an´ı parametr˚ u rezonanc´ı z experiment´ aln´ıch dat Obor: Teoretická fyzika a astrofyzika ˇ Skolitel: Prof. Ing. Peter Lichard, DrSc.

Martin Voj´ık Opava 2010

ˇ Skolic´ ı pracoviˇstˇe:

´ Ustav fyziky (Department of Physics) Filozoficko–pˇr´ırodovˇedecká fakulta (Faculty of Philosophy and Science) Slezská univerzita v Opavˇe (Silesian University in Opava) Bezruˇcovo nám. 13 746 01 Opava ˇ a republika (Czech Republic) Cesk´

Doktorand:

Mgr. Martin Voj´ık ´ Ustav fyziky FPF SU

ˇ Skolitel:

Prof. Ing. Peter Lichard, DrSc. ´ Ustav fyziky FPF SU

Oponenti:

RNDr. Stanislav Dubniˇcka, DrSc. Fyzikálny ´ ustav Slovenská akadémia vied D´ ubravská cesta 9 845 11 Bratislava Slovenská republika

Doc. RNDr. Rupert Leitner, DrSc. ´ Ustav ˇcásticové a jaderné fyziky MFF UK Univerzita Karlova V Holeˇsoviˇckách 2 180 00 Praha 8 ˇ a republika Cesk´

Pˇredseda oborové rady:

Prof. RNDr. Zdenˇek Stuchl´ık, CSc. ´ Ustav fyziky FPF SU

ˇ e republiky Tato práce byla podpoˇrena Ministerstvem ˇskolstv´ı, ml´ adeˇze a tˇelovýchovy Cesk´ smlouvami MSM6840770029, MSM4781305903 a LC07050. ´ Obhajoba se kon´ a dne 19. srpna 2010 v seminárn´ı m´ıstnosti Ustavu fyziky (ˇc´ıslo dveˇr´ı 316, 2. patro), budova FPF SU, Bezruˇcovo nám. 13, Opava. ´ S dizertac´ı je moˇzné se sezn´ amit na sekretariátu Ustavu fyziky (ˇc´ıslo dveˇr´ı 320, 2. patro), budova FPF SU, Bezruˇcovo n´ am. 13, Opava. Dizertaci a tento autoreferát lze z´ıskat v elektronické formˇe na http://www.physics.cz. Autorefer´ at byl rozesl´ an dne ....................

Abstrakt In order to reveal possible mass shifts of the vector mesons in a dense strongly interacting medium presumably created in high energy heavy ion collisions it is necessary to know their free masses reliably. The ρ(770) mass quoted in the last two editions of the Review of Particle Physics is significantly larger than the values quoted in previous editions. The new value is mostly influenced by the results of recent experiments CMD-2 and SND at the VEPP-2M e+ e− collider at Novosibirsk. We show that the values of the mass and width of the ρ(770) meson measured in the e+ e− → π + π − annihilation depend crucially on the parametrization used for the pion form factor. We propose a parametrization of the ρ(770) contribution to the pion form factor based on the running mass calculated from a single-subtracted dispersion relation and compare it with the parametrization based on the formula of Gounaris and Sakurai used recently by the CMD-2 collaboration. We show that our parametrization gives equally good or better fits when applied to the data of the CMD-2, SND, and KLOE collaborations, but yields much smaller values of the ρ(770) mass, consistent with the photoproduction and hadronic reactions results. Our fit to the KLOE data becomes exceptionally excellent (confidence level of 99.88%) if an energy shift of about 2 MeV in the ρ-ω region is allowed. We show that the a1 ρπ Lagrangian is a decisive element for obtaining a good phenomenological description of the three-pion decays of the τ lepton. We choose it in a two-component form with a flexible mixing parameter sin ϑ. In addition to the dominant a1 → πρ intermediate states, the a1 → πσ ones are included. When fitting the three-pion mass spectra, three data sets are explored: (1) ALEPH 2005 π − π + π − data, (2) ALEPH 2005 π − π 0 π 0 data, and (3) previous two sets combined and supplemented with the ARGUS 1993, OPAL 1997, and CLEO 2000 data. The corresponding confidence levels are (1) 28.3%, (2) 100%, and (3) 7.7%. After the inclusion of the a1 (1640) resonance, the agreement of the model with data greatly improves and the confidence level reaches 100% for each of the three data sets. From the fit to all five experiments [data set (3)], the following parameters of the a1 (1260) are obtained: ma1 = (1233 ± 18) MeV, Γa1 = (431 ± 20) MeV. The optimal value of the Lagrangian mixing parameter sin ϑ = 0.459 ± 0.004 agrees with the value obtained recently from the e+ e− annihilation into four pions.

5

Obsah ´ 1 Uvod

7

2 Parametrizace pˇ r´ıspˇ evku ρ(770) k pionov´ emu form-faktoru 2.1 Gounaris-Sakurai parametrizace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Running mass parametrizace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Dalˇs´ı pˇr´ıspˇevky k pionovému form-faktoru . . . . . . . . . . . . .

10 10 11 11

3 Experimenty pro fitov´ an´ı pionov´ eho 3.1 Experiment CMD–2 . . . . . . . . 3.2 Experiment SND . . . . . . . . . . 3.3 Experiment KLOE . . . . . . . . .

13 13 14 16

form-faktoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Model tˇ r´ıpionov´ eho rozpadu τ − leptonu

20

5 Interakˇ cn´ı lagrangi´ an a1 ρπ

23

6 Experimenty pro fitov´ an´ı rozpadu τ → 3πντ 6.1 Experiment ARGUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Experiment OPAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Experiment CLEO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Experiment ALEPH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Fitován´ı experiment˚ u ARGUS, OPAL, CLEO, ALEPH

24 24 24 24 25 25

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

7 Z´ avˇ er

30

Literatura

32

8 Publikace a prezentace na konferenc´ıch 8.1 Publikace v recenzovaných ˇcasopisech . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Prezentace na konferenc´ıch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Plakáty na konferenc´ıch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35 35 35 35

9 Prohl´ aˇ sen´ı autora

36

6

Kapitola 1 ´ Uvod V prvn´ı ˇcásti se budeme vˇenovat vektorovému mezonu ρ(770), jenˇz hraje významnou u ´ lohu v mnoha procesech jak v ˇcásticové, tak v jaderné fyzice. Moˇzná modifikace jeho hmotnosti a ˇs´ıˇrky v silnˇe interaguj´ıc´ıch systémech, vzniklých pˇri sráˇzkách tˇeˇzkých iont˚ u, je hojnˇe diskutována v mnoha ˇclánc´ıch [1–11]. Pro kvantitativn´ı studium tohoto efektu, je zapotˇreb´ı m´ıt v prvé ˇradˇe správnou informaci o ,,vakuových” parametrech této rezonance. Jak je z tabulky 1.1 patrné, zat´ımco hmotnost rezonance ρ(770) z˚ ustává aˇz do roku 2002 kompatibiln´ı v mez´ıch experimentáln´ıch chyb, v roce 2004 pozoruPDG

mρ

Γρ

(MeV)

(MeV)

1992 [12] 768.1 ± 0.5 151.5 ± 1.2

1994 [13] 769.9 ± 0.8 151.2 ± 1.2

1996 [14] 768.5 ± 0.6 150.7 ± 1.2

1998 [15] 770.0 ± 0.8 150.7 ± 1.1

2000 [16] 769.3 ± 0.8 150.2 ± 0.8

2002 [17] 771.1 ± 0.9 149.2 ± 0.7

2004 [18] 775.8 ± 0.5 150.3 ± 1.6

2006 [19] 775.5 ± 0.4 149.4 ± 1.0

Tabulka 1.1: Hmotnost a ˇs´ıˇrka ρ(770) podle PDG. jeme velký nár˚ ust. V tabulce 1.2 je naopak shrnuto, jaká je udávaná hmotnost ρ0 mezonu pocházej´ıc´ı z r˚ uzných proces˚ u. Podle této tabulky je hmotnost ρ0 mˇeˇrená + − v procesech anihilace e e signifikantnˇe vˇetˇs´ı neˇz hmotnost, jenˇz dostáváme z hadronových reakc´ı nebo fotoprodukce. Tyto diskrepance mezi výsledky mˇeˇren´ı 7

mρ0

mρ±

(MeV)

(MeV)

e+ e− → π + π − , π + π − π 0

775.5 ± 0.4 775.4 ± 0.4a

Hadronové reakce

769.0 ± 0.9

Fotoprodukce a

768.5 ± 1.1

/

766.5 ± 1.1

Zahrnuje také rozpady τ leptonu.

Tabulka 1.2: Hmotnost ρ(770) mˇeˇrená v r˚ uzných procesech (vybráno a pr˚ umˇerováno z PDG 2006 [19]).

e+ e− anihilace a hadronových reakc´ı ˇci fotoprodukce, jsou velmi problematické a v tuto chv´ıli nemáme ˇzádnou jednotnou teoretickou pˇredpovˇed’ ˇci objasnˇen´ı tohoto fenoménu. V odborné literatuˇre m˚ uˇzeme naj´ıt mnoho ˇclánk˚ u, které se zabývaj´ı urˇcen´ım parametr˚ u rezonance ρ(770) z experimentáln´ıch dat pionového form-faktoru [20– 30]. Jejich výsledky hmotnosti jsou niˇzˇs´ı, v nˇekterých pˇr´ıpadech podstatnˇe, neˇz souˇcasné hodnoty hmotnosti ρ mezonu udávaných PDG (Particle Data Group). C´ılem této ˇcásti práce je ukázat, ˇze nejistota spojená s volbou parametrizace form-faktoru indukuje mnohem vˇetˇs´ı chyby v urˇcen´ı parametr˚ u ρ mezonu, neˇz statistické a systematické chyby dat, jenˇz udávaj´ı jednotlivé experimentáln´ı skupiny. Druhá ˇcást této práce se vˇenuje modelován´ı rozpadu leptonu τ − na tˇri piony a tauonové neutrino. Tato druhá ˇcást je u ´ zce propojena s prvn´ı ˇcást´ı práce pˇres pouˇzit´ı running mass parametrizace v propagátorech ρ(770) mezonu, vystupuj´ıc´ıch v pˇr´ısluˇsných Feynmanových diagramech. Axial-vektor isovektorová rezonance a1 (1260) byla studována v minulosti mnohými experimentáln´ımi a teoretickými skupinami, jenˇz se systematicky zabývaly urˇcen´ım základn´ıch parametr˚ u této rezonance. Mezi tyto základn´ı parametry patˇr´ı nomináln´ı hmotnost ma1 a ˇs´ıˇrka Γa1 , které i pˇres veˇskeré u ´ sil´ı nejsou dodnes spolehlivˇe urˇceny. Jak m˚ uˇzeme z tabulky 1.3 vyˇc´ıst, v pr˚ ubˇehu let se udávaná hmotnost a1 mezonu pˇr´ıliˇs nemˇen´ı, na rozd´ıl od ˇs´ıˇrky, která je stále uvádˇena ve velkém rozsahu. Rezonance a1 (1260) hraje významnou u ´ lohu v ˇradˇe proces˚ u, a to jak v procesech vysokoenergetických, tak v n´ızkoenergetických. Parametry této rezonance byly vyˇsetˇrovány v r˚ uzných procesech, avˇsak výsledky jsou ˇcasto nekonzistentn´ı. Situace kolem tˇeˇzˇs´ıch mezon˚ u s kvantovými ˇc´ısly J P C = 1++ je rovnˇeˇz nejasná. Prvn´ı náznaky rezonance s hmotnost´ı 1.65 GeV a ˇs´ıˇrkou 0.4 GeV se objevuje v literatuˇre [46] jiˇz roku 1978. Tato rezonance byla oznaˇcena jako a′1 ≡ a1 (1640) s nomináln´ı hmotnost´ı (1647 ± 22) MeV a ˇs´ıˇrkou (254 ± 27) MeV, nyn´ı udávaj´ıc´ı 8

PDG 1980 [34] 1982 [35] 1986 [36] 1988 [37] 1990 [38] 1992 [12] 1994 [13] 1998 [15] 2000 [16] 2008 [39]

ma1

Γa1

(MeV)

(MeV)

1100 − 1300

≈ 300

1275 ± 30

1275 ± 28

315 ± 45

316 ± 45

1260 ± 30

a1 → ρπ dominant dominant dominant

300 − 600 dominant

1260 ± 30


1260 ± 30

≈ 400

1230 ± 40

1230 ± 40

dominant

≈ 400

dominant

250 − 600

seen


1230 ± 40

1230 ± 40

250 − 600

seen

Tabulka 1.3: Pˇrehled hmotnost´ı a ˇs´ıˇrek rezonance a1 (1260) v pr˚ ubˇehu let 1980-2008 podle Particle Data Group.

PDG 2008 [39]. Nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ım ˇclánkem, kromˇe vlastn´ıho propagátoru a1 mezonu, v rozpadu τ leptonu na tˇri piony a neutrino, je bezpochyby interakˇcn´ı vrchol a1 ρπ. Nalezen´ı korektn´ıho a1 ρπ lagrangiánu, který bude uspokojivˇe popisovat tˇr´ıpionovou produkci v rozpadu τ leptonu, má pˇr´ımý vliv i na jiné ˇcásti subnukleárn´ı ˇci jaderné fyziky. Napˇr´ıklad, rezonance a1 a jej´ı silná vazba na ρπ systém hraje d˚ uleˇzitou u ´ lohu pˇri výpoˇctech výtˇeˇzk˚ u dilepton˚ u a foton˚ u z hadronového ,,fireballu”, pˇreváˇznˇe vznikaj´ıc´ıho v relativistických sráˇzkách tˇeˇzkých iont˚ u. Hlavn´ım c´ılem této ˇcásti práce je fenomenologicky popsat interakci a1 ρπ a tento popis aplikovat na rozpady tau lepton˚ u. Námi vytvoˇrený model pouˇzijeme na fitován´ı nˇekolika experiment˚ u r˚ uzných experimentáln´ıch skupin zabývaj´ıc´ıch se rozpady τ leptonu. Námi uvaˇzované experimenty pro fitován´ı budou dvoj´ıho druhu. Jednak to budou data rozpadu τ − → π − π + π − ντ a jednak data rozpadu τ − → π − π 0 π 0 ντ . Fitován´ım dat experiment˚ u nˇekolika r˚ uzných experimentáln´ıch skupin (popˇr´ıpadˇe fitem nˇekolika experiment˚ u simultánnˇe) a dvou nestejn´ ych reakc´ı bychom mˇeli doc´ılit vyˇsˇs´ı spolehlivosti výbˇeru správného lagrangiánu interakce a1 ρπ a parametr˚ u v nˇem vystupuj´ıc´ıch.

9

Kapitola 2 Parametrizace pˇ r´ıspˇ evku ρ(770) k pionov´ emu form-faktoru Pˇr´ıspˇevek rezonance ρ0 k elektromagnetickému pionovému form-faktoru Fπ (s) budeme psát v následuj´ıc´ı formˇe Mρ2 (0) , Fρ (s) = 2 Mρ (s) − s − ımρ Γρ (s)

(2.0.1)

kde Mρ2 (s) oznaˇcujeme reálnou funkci, která splˇ nuje obecné poˇzadavky Mρ2 (m2ρ ) = m2ρ

(2.0.2)

a dMρ2 (s) = 0, ds s=m2ρ

(2.0.3)

kde mρ je nomináln´ı hmotnost ρ0 mezonu a reálná funkce √ Γρ (s) oznaˇcuje energe0 ticky závislou celkovou ˇs´ıˇrku ρ mezonu s hmotnostn´ı s.

2.1

Gounaris-Sakurai parametrizace

Model Gounaris a Sakurai [51] uvaˇzuje n´ızkoenergetickou parametrizaci fázového posunu v P11 vlnˇe ππ elastického rozptylu. Jejich parametrizace form-faktoru vzhledem k rovnici (2.0.1) vypadá následovnˇe. Energeticky závislá ˇs´ıˇrka, pouˇzitá v GS parametrizaci nabývá tvaru mρ Γρ (s) = Γρ √ s

s − 4m2π m2ρ − 4m2π 10

3/2

,

(2.1.4)

kde Γρ = Γρ (m2ρ ) je nomináln´ı ˇs´ıˇrka mezonu ρ(770). Funkce Mρ2 (s) je potom definovaná následovnˇe Mρ2 (s) = m2ρ + f (s),

(2.1.5)

kde funkce f (s) je ve tvaru 2 Γρm2ρ 2 2 (s − 4m ) h(s) − h(m ) π ρ (m2ρ − 4m2π )3/2 + (m2ρ − 4m2π )h′ (m2ρ ) m2ρ − s .

f (s) =

2.2

(2.1.6)

Running mass parametrizace

Naˇse alternativn´ı parametrizace Fρ (s) je vystavˇena na tzv. running mass modelu [33]. Náˇs model se liˇs´ı od GS parametrizace pˇr´ıspˇevku form-faktoru mezonu ρ(770) celkem ve ˇctyˇrech bodech: (i) Pro výpoˇcet celkové ˇs´ıˇrky Γρ (s) uvaˇzujeme nˇekolik moˇzných rozpadových kanál˚ u ρ mezonu. √ Jednotlivé kanály se postupnˇe otev´ıraj´ı se zvyˇsuj´ıc´ı se dostupnou hmotnost´ı s ρ mezonu. (ii) Parciáln´ı rozpadová ˇs´ıˇrka dvoupionového rozpadu, která tvoˇr´ı základn´ı pˇr´ıspˇevek k celkové ˇs´ıˇrce je spoˇc´ıtána ze standardn´ıho lagrangiánu obsahuj´ıc´ıho prvn´ı derivace pionových pol´ı (vztah (2.2.9)). (iii) Do vˇsech hadronových vrchol˚ u jsme zahrnuli silné form-faktory. (iv) Jelikoˇz celková energetická ˇs´ıˇrka Γρ (s) neroste pˇr´ıliˇs rychle, jako v pˇr´ıpadˇe GS parametrizace, m˚ uˇzeme pouˇz´ıt disperzn´ı relaci s jedn´ım subtrakˇcn´ım bodem Mρ2 (s)

Z∞ mρ Γρ (s′ ) ′ s ds . = B0 − P π s′ (s′ − s)

(2.2.7)

4m2π

Subtrakˇcn´ı konstanta B0 je potom zvolena tak, aby byla splnˇena podm´ınka (2.0.2). Celková ˇs´ıˇrka rezonance ρ(770) je potom sloˇzena z parciáln´ıch ˇs´ıˇrek Γρ (s) = Γρ→ππ (s) + Γρ→ππη (s) + Γρ→ωπ (s) + Γρ→(KK+K K) ¯ (s),

(2.2.8)

kde dominantn´ı pˇr´ıspˇevek Γρ→ππ (s) k celkové ˇs´ıˇrce je dán vztahem m2ρ Γρ→ππ (s) = Γρ s

2.3

s − 4m2π m2ρ − 4m2π

3/2

.

(2.2.9)

Dalˇs´ı pˇ r´ıspˇ evky k pionov´ emu form-faktoru

Pionový elektromagnetický form-faktor by mˇel obsahovat, mimo dominantn´ıho pˇr´ıspˇevku od mezonu ρ(770), také pˇr´ıspˇevky od dalˇs´ıch rezonanc´ı. V energetickém rozsahu, v nˇemˇz se námi uvaˇzované experimenty e+ e− → π + π − pohybuj´ı, 11

budeme uvaˇzovat tyto pˇr´ıspˇevky mezonových rezonanc´ı ρ′ ≡ ρ(1450), ω(782) a také φ(1020). Pionový elektromagnetický form-faktor potom p´ıˇseme ve tvaru o n s Fπ (s) = Fρ (s)[1 + δ 2 Fω (s)] + βFρ′ (s) + γFφ (s) mω −1 × (1 + β + γ) , (2.3.10) kde nejen samotné Fπ (s), ale i ostatn´ı individuáln´ı pˇr´ıspˇevky k form-faktoru jsou normalizovány k jedniˇcce v s = 0. Parametry β, γ a δ pˇredstavuj´ı obecnˇe komplexn´ı ˇc´ısla, která by mˇela být urˇcena spolu s parametry mρ a Γρ minimalizac´ı funkce χ2 sestavené standardn´ım zp˚ usobem z modelu a experimentáln´ıch dat. V naˇsi parametrizaci budeme pouˇz´ıvat form-faktor ρ′ s konstantn´ı hmotnost´ı Fρ′ (s) =

m2ρ′ m2ρ′ − s − imρ′ Γρ′ (s)

(2.3.11)

s nˇekolika moˇznostmi modelován´ı celkové ˇs´ıˇrky ρ′ : (1) Γρ′ (s) ≡ Γρ(1450) ; (2) Rovnice (2.1.4) pˇrizp˚ usobena pro ρ(1450); (3) Γρ′ (s) ≡ 0; (4) Γρ′ (s) : stejná formule jako (2.2.9) prizp˚ usobená pro ρ(1450). Jako dalˇs´ı máme pˇr´ıspˇevek rezonance ω(782) k elektromagnetickému formfaktoru. Ten budeme opˇet psát ve tvaru s konstantn´ı hmotnost´ı mω m2ω Fω (s) = 2 . mω − s − imω Γω (s)

(2.3.12)

Pro ˇs´ıˇrku Γω (s) budeme uvaˇzovat následuj´ıc´ı moˇznosti: (1) Γω (s) ≡ Γω(782) nad prahem s = 9m2π ; (2) Γω (s) = Γω→3π (s); (3) Stejnˇe jako v pˇr´ıpadˇe 2, ale se zahrnut´ım silného form-faktoru; (4) Γω (s) = Γω→3π (s) + Γω→πγ (s) + Γω→π+ π− (s); (5) Stejnˇe jako v pˇr´ıpadˇe 4, ale se zahrnut´ım silného form-faktoru. V pˇr´ıpadˇe experimentu SND se ukázal pˇr´ıspˇevek interference ρ − φ statisticky významný, soudˇe podle poklesu χ2 pro GS i naˇsi parametrizaci. Naˇse parametrizace pˇr´ıspˇevku φ(1020) k pionovému form-faktoru bereme v následuj´ıc´ım tvaru Fφ (s) =

m2φ . m2φ − s − imφ Γφ (s)

(2.3.13)

Nyn´ı uvaˇzujme tyto moˇznosti výbˇeru ˇs´ıˇrky Γφ (s): (1) Γφ (s) ≡ Γφ(1020) nad prahem s = 4m2K ; (2) Γφ (s) = Γφ→KK (s); (3) Stejnˇe jako v pˇr´ıpadˇe 2, ale se zahrnut´ım silného form-faktoru; (4) Γφ (s) = Γφ→KK (s) + Γφ→3π (s) + Γφ→ηγ (s); (5) Stejnˇe jako v pˇr´ıpadˇe 4, ale se zahrnut´ım silného form-faktoru.

12

Kapitola 3 Experimenty pro fitov´ an´ı pionov´ eho form-faktoru 3.1

Experiment CMD–2

V roce 2002 experimentáln´ı skupina CMD–2 [31] publikovala výsledky svých mˇeˇren´ı u ´ˇcinných pr˚ uˇrez˚ u reakce e+ e− → π + π − pro 43 energi´ı v rozsahu od 610.50 do 961.52 MeV a souˇcasnˇe publikovala extrahované hodnoty pionového elektromagnetického form-faktoru. Po nalezen´ı chyby v programu, publikovala skupina CMD–2 [32] opravené hodnoty pionového form-faktoru, kterými se zde budeme zabývat. Nejprve jsme otestovali správnost poˇc´ıtaˇcového programu na nekorigo-

χ2 /NDF 2

mρ (MeV/c ) Γρ (MeV) < rπ2 > (fm2 )

GS

náˇs model

35.16/37

32.18/37

775.3 ± 1.1

767.08 ± 0.83

143.2 ± 2.5

136.1 ± 2.2

0.416 ± 0.013 0.434 ± 0.012

Tabulka 3.1: Hmotnost, ˇs´ıˇrka ρ(770) a stˇredn´ı polomˇer pionu z procesu fitován´ı CMD–2 dat. Udávaná experimentáln´ı hodnota stˇredn´ıho kvadrátu polomˇeru pionu je (0.439 ± 0.008) fm2 [53]. vaných datech CMD–2 [31], protoˇze ty obsahuj´ı v´ıce informac´ı o GS parametrizaci, neˇz ˇclánek [32] s daty korigovanými. Následnˇe jsme pouˇzili korigovaná data pionového form-faktoru [32] a dostali jsme hodnoty parametr˚ u uvedené v druhém sloupci tabulky 3.1. Jak je z tabulky 3.1 vidˇet, naˇse running mass parametrizace dává ponˇekud lepˇs´ı fit CMD–2 dat, neˇz je tomu v pˇr´ıpadˇe GS modelu. Pˇresto, ˇze χ2 je v obou pˇr´ıpadech podobné, hodnoty hmotnost´ı a ˇs´ıˇrky ρ(770) se pod13

statnˇe liˇs´ı. Z tabulky je zˇrejmé, ˇze pˇri pouˇzit´ı GS a RM parametrizace dostáváme vzájemnˇe nekompatibiln´ı výsledky. 50

40

30

20

10

0 600

700

800

900

1000

Obrázek 3.1: Porovnán´ı naˇs´ı parametrizace pionového form-faktoru s CMD–2 daty. Grafické porovnán´ı naˇs´ı RM parametrizace s CMD–2 daty je zobrazeno na obrázku 3.1. Porovnávali jsme taktéˇz komplexn´ı fázi δ11 danou GS a running mass parametrizac´ı pˇr´ıspˇevku ρ mezonu k pionovému form-faktoru s fázovým posunem parciáln´ı vlny L = 1, I = 1 v ππ rozptylu. Tato závislost je zobrazena na obrázku 3.2. Jak je z tohoto obrázku vidˇet, kˇrivka odpov´ıdaj´ıc´ı GS parametrizaci leˇz´ı systematicky n´ıˇze, neˇz pˇr´ısluˇsná namˇeˇrená data, nav´ıc mimo oblast chyb udávaných experimentátory. Naproti tomu RM parametrizace dává pomˇernˇe dobrou shodu námi vypoˇcteného fázového posunu s experimentáln´ımi daty i pˇresto, ˇze udávaná chyba dat je velmi malá.

3.2

Experiment SND

V roce 2005 byly publikovány výsledky u ´ˇcinných pr˚ uˇrez˚ u e+ e− → π + π − z´ıskaných na detektoru SND (sférický neutráln´ı detektor) na urychlovaˇci VEPP–2M v Novosibirsku [54]. Jejich namˇeˇrené pionové form-faktory se sestávaj´ı z 45 experimentáln´ıch bod˚ u v energetickém rozsahu od 0.39 do 0.97 GeV. Pozdˇeji tatáˇz experimentáln´ı skupina vydala opravenou verzi namˇeˇrených dat [48]. Porovnán´ı GS a naˇs´ı parametrizace (obˇe zahrnuj´ıc´ı pˇr´ıspˇevek φ(1020) rezonance) je v tabulce 3.2. 14

Obrázek 3.2: Porovnán´ı komplexn´ı fáze running mass a Gounaris-Sakurai parametrizace s daty fázového posunu v P vlnˇe v ππ rozptylu. [a] P. Estabrooks, A. D. Martin, Nucl. Phys. B 79, 301 (1974); [b] S. D. Protopopescu et al., Phys. Rev. D 7, 1279 (1973).

V posledn´ım sloupci tabulky 3.2 jsou výsledky fitován´ı experimentáln´ı skupiny SND. Formule pro fitován´ı dat skupiny SND jsou popsány v ˇclánku [54]. Bohuˇzel tento ˇclánek s opravenými daty nen´ı pˇr´ıliˇs konkrétn´ı, co se týˇce pouˇzité parametrizace pro fitován´ı, ani neposkytuje informace o veliˇcinˇe χ2 jejich fitu.

χ2 /NDF 2

mρ (MeV/c ) Γρ (MeV)

GS

náˇs model

SND fit

39.94/38

39.80/38

nepublikováno

774.60 ± 0.52 764.23 ± 0.43 774.6 ± 0.4 ± 0.5

147.3 ± 1.0 140.29 ± 0.85 146.1 ± 0.8 ± 1.5

Tabulka 3.2: Hmotnost a ˇs´ıˇrka ρ(770) z´ıskaná fitován´ım dat SND.

Nicménˇe z tabulky 3.2 je vidˇet kompatibilita obou parametr˚ u mρ a Γρ mezi GS parametrizac´ı a modelem pouˇzitým skupinou SND. V tomto pˇr´ıpadˇe GS i naˇse parametrizace poskytuje stejnˇe dobrý fit na základˇe bl´ızké podobnosti χ2 obou model˚ u, ale hodnoty hmotnosti a ˇs´ıˇrky jsou opˇet systematicky niˇzˇs´ı a tedy nekompatibiln´ı, stejnˇe jako tomu bylo v pˇr´ıpadˇe fitován´ı CMD–2 dat. 15

50

40

30

20

10

0 600

700

800

900

1000

Obrázek 3.3: Porovnán´ı naˇs´ı parametrizace pionového form-faktoru s SND daty.

3.3

Experiment KLOE

Data u ´ˇcinných pr˚ uˇrez˚ u e+ e− → π + π − γ pˇri kolizn´ı energii W = 1.02 GeV byly mˇeˇreny detektorem KLOE na urychlovaˇci DAΦNE ve Frascati [49]. Pro extrakci kvadrátu pionového form-faktoru |Fπ (s)|2 bylo vyuˇzito tzv. ,,radiative return” metody [55]. Parametr s < W 2 nyn´ı oznaˇcuje kvadrát invariantn´ı hmotnosti π + π − systému. Výsledky tˇechto fit˚ u se nacházej´ı v tabulce 3.3. Jak vidno, oba

χ2 /NDF mρ (MeV/c2 ) Γρ (MeV)

GS

náˇs model

367.8/54

192.6/54

769.22 ± 0.32 761.39 ± 0.25

144.71 ± 0.56 140.07 ± 0.66

Tabulka 3.3: Hmotnost a ˇs´ıˇrka ρ(770) mezonu z´ıskána fitován´ım dat KLOE. fity vykazuj´ı vysoké χ2 . Zaj´ımavý je fakt, ˇze nejen náˇs model, ale i GS model dává hmotnost ρ(770) mezonu podstatnˇe niˇzˇs´ı neˇz oba Novosibirské experimenty CMD–2 a SND. Ve snaze vylepˇsit tuto tristn´ı situaci jsme se pokusili zahrnout interferenci mezi ρ a φ do pionového form-faktoru, avˇsak kvalitu fitu to významnˇe neovlivnilo. Pˇri pohledu na obrázek 3.4 vid´ıme, ˇze nejhorˇs´ı diskrepance naˇs´ı parametrizace s daty se objevuje v ρ–ω regionu, jinými slovy v intervalu mezi 16

50

40

30

20

10

0 500

600

700

800

900

1000

Obrázek 3.4: Porovnán´ı naˇs´ı parametrizace pionového form-faktoru s KLOE experimentem.

polohou rezonanˇcn´ıch p´ık˚ u ρ a ω mezon˚ u. Rovnˇeˇz je na prvn´ı pohled patrné, ˇze chyb´ı náhlý pokles na vrcholu kˇrivky, jak je tomu na obrázc´ıch 3.1 a 3.3. Detailn´ı analýza tohoto problému ukázala, ˇze náhlý pokles na vrcholu kˇrivky je zapˇr´ıˇcinˇen ρ–ω interferenˇcn´ım ˇclenem, který je velmi citlivý na pˇresnou polohu velmi u ´ zké rezonance ω. Absence interferenˇcn´ıho ˇclenu v obrázku 3.4 naznaˇcuje, ˇze pozice ω rezonance je odliˇsná od pozice, jenˇz jsme uvaˇzovali my pˇri fitován´ı tˇechto dat GS a RM parametrizac´ı. To by mohlo znamenat, ˇze v datech KLOE existuje systematický posun v mˇeˇren´ı energie alespoˇ n v ρ–ω oblasti. Pro bliˇzˇs´ı prozkoumán´ı moˇznosti, ˇze v datech KLOE je skuteˇcnˇe pˇr´ıtomen nˇejaký posun, jsme zahrnuli hmotnost ω mezonu mezi volné parametry GS i naˇseho modelu a znovu jsme fitovali data skupiny KLOE. Obˇe parametrizace ukazuj´ı, ˇze nejlepˇs´ı fit je moˇzno z´ıskat, kdyˇz nomináln´ı hmotnost ω mezonu sn´ıˇz´ıme zhruba o 2 MeV. Výsledky fitován´ı jsou obsaˇzeny v tabulce 3.4. Zat´ımco hodnota χ2 = 202.6 pro GS parametrizaci je stále vysoká (skoro ˇctyˇrikrát vyˇsˇs´ı neˇz poˇcet stupˇ n˚ u volnosti), naˇse parametrizace dává χ2 = 29.6, coˇz pˇri poˇctu stupˇ n˚ u volnosti NDF = 53 znamená, ˇze u ´ roveˇ n spolehlivosti teorie (confidence level) je CL = 0.9962. Zlepˇsen´ı fitu je vidˇet na prvn´ı pohled pˇri porovnáván´ı pr˚ ubˇeh˚ u na obrázc´ıch 3.4 a 3.5. Na obrázku 3.5 opˇet vid´ıme ,,obnoven´ı” interference mezi ρ a ω rezonancemi a stejnˇe jako u pˇredchoz´ıch fitovaných experiment˚ u je pˇr´ıtomen náhlý pokles kvadrátu absolutn´ı hodnoty pionového form-faktoru v ρ–ω oblasti.

17

χ2 /NDF mω (MeV/c2 ) 2 a

∆mω (MeV/c ) mρ (MeV/c2 ) mρ (MeV/c2 )b Γρ (MeV)

GS

náˇs model

202.6/53

29.58/53

780.52 ± 0.33

780.72 ± 0.15

769.45 ± 0.25

761.51 ± 0.14

2.13 ± 0.35

771.58 ± 0.60 146.39 ± 0.51

1.93 ± 0.19

763.44 ± 0.33

142.56 ± 0.41

a

Rozd´ıl oproti mω = (782.65 ± 0.12) MeV [19].

b

Hodnota z´ıskaná z fitu po zv´ yˇsen´ı nomin´ aln´ı hmotnosti mω o ∆mω .

Tabulka 3.4: Fitován´ı dat KLOE, kde hmotnost ω(782) mezonu je mezi volnými parametry.

Za pˇredpokladu, ˇze v KLOE datech je pˇr´ıtomen systematický posun, jsme provedli fit dat s posunem ∆mω vzhledem k nomináln´ı hmotnosti ω(782) a dostali jsme ,,opravenou” hmotnost ρ mezonu (tabulka 3.4). Bohuˇzel naˇse interpretace posunu energi´ı v oblasti ρ–ω, jako experimentáln´ı efekt chybné kalibrace detektoru KLOE, se jev´ı jako problematická a u ´ˇcastn´ıci projektu tuto eventualitu v emailové korespondenci vylouˇcili. Ve snaze odhalit p˚ uvod tohoto záhadného posunu energie v regionu ρ–ω, jsme uvaˇzovali moˇznost, ˇze tento efekt je pouze artefakt ˇspatné parametrizace. Vzali jsme tedy naˇsi parametrizaci ρ0 mezonu (2.0.1) spolu s formul´ı (2.2.7) a zkouˇseli jsme r˚ uzné parametrizace ostatn´ıch pˇr´ıspˇevk˚ u form-faktoru (2.3.10), jak je popsáno v kapitole 2.3. Efekt posunu hmotnosti ω mezonu pˇri ˇzádné z parametrizac´ı nevymizel a choval se velmi stabilnˇe, nezávisle na konkrétn´ı pouˇzité parametrizaci. Dalˇs´ı vylepˇsen´ı obou fit˚ u nastává pˇri zahrnut´ı pˇr´ıspˇevku mezonu φ(1020). Kvalita fitu se nezvýˇsila pouze u naˇseho modelu, ale pˇredevˇs´ım u GS parametrizace. Výsledky tˇechto fitován´ı jsou uvedeny v tabulce 3.5. I po tomto vylepˇsen´ı je námi dosaˇzená hodnota mρ a Γρ stále menˇs´ı, neˇz v pˇr´ıpadˇe GS modelu.

18

50

40

30

20

10

0 500

600

700

800

900

1000

Obrázek 3.5: Porovnán´ı naˇs´ı parametrizace pionového form-faktoru s KLOE daty po sn´ıˇzen´ı rezonanˇcn´ı hmotnosti ω(782) o 1.93MeV.

2

χ /NDF mω (MeV/c2 ) ∆mω (MeV/c2 )a 2

mρ (MeV/c ) mρ (MeV/c2 )b Γρ (MeV)

GS

náˇs model

58.35/51

25.67/51

780.15 ± 0.17

780.71 ± 0.15

770.29 ± 0.16

761.54 ± 0.16

2.50 ± 0.21

772.79 ± 0.35 151.53 ± 0.55

1.94 ± 0.19

763.48 ± 0.33

142.78 ± 0.46

a

Rozd´ıl oproti mω = (782.65 ± 0.12) MeV [19].

b

Hodnota z´ıskaná z fitu po zv´ yˇsen´ı nomin´ aln´ı hmotnosti mω o ∆mω .

Tabulka 3.5: Fitován´ı dat KLOE, kde hmotnost ω(782) mezonu je mezi volnými parametry, kde uvaˇzujeme ρ–φ interferenci.

19

Kapitola 4 Model tˇ r´ıpionov´ eho rozpadu τ − leptonu V naˇsem modelu nepoˇc´ıtáme standardnˇe jen s dominantn´ım rozpadem rezonance a1 (1260) v intermediáln´ım stavu na systém ρπ, ale zahrnujeme také moˇzný rozpad této rezonance na systém σπ, jak je vidˇet z obrázk˚ u 4.2 a 4.4. π ντ

π ντ

ρ π

τ

ρ π

τ

π

π

Obrázek 4.1: Feynmanovy diagramy rozpadu τ − → π − π + π − ντ prob´ıhaj´ıc´ı pˇres 0 rezonance a− 1 (1260) a ρ (770).

π

π

ντ

τ

ντ

π

τ

π

π

π

Obrázek 4.2: Feynmanovy diagramy rozpadu τ − → π − π + π − ντ prob´ıhaj´ıc´ı pˇres rezonance a− 1 (1260) a σ.

20

π ντ

π ντ

ρ π

τ

ρ π

τ

π

π

Obrázek 4.3: Feynmanovy diagramy rozpadu τ − → π 0 π 0 π − ντ prob´ıhaj´ıc´ı pˇres − rezonance a− 1 (1260) a ρ (770). π ντ

π

τ

π

Obrázek 4.4: Feynman˚ uv diagram rozpadu τ − → π 0 π 0 π − ντ prob´ıhaj´ıc´ı pˇres rezonance a− 1 (1260) a σ.

Náˇs model se liˇs´ı od ostatn´ıch model˚ u pˇredevˇs´ım v pouˇzitých interakˇcn´ıch lagrangiánech a v pouˇzit´ı running mass propagátor˚ u pro rezonance a1 (1260) a ρ(770). Propagátor rezonance a1 ve vˇsech uvaˇzovaných diagramech rozpadu τ − leptonu vyjádˇr´ıme ve tvaru −ıGµν a1 (q) =

−g µν + q µ q ν /m2a1 , t − Ma21 (t) + ıma1 Γa1 (t)

(4.0.1)

kde invariant t je definován t = q 2 = (pτ − pντ )2 . V propagátoru rezonance a1 budeme uvaˇzovat pouˇzit´ı running mass disperzn´ı formule pro funkci Ma1 (t). Interakci a1 σπ popisujeme interakˇcn´ım lagrangiánem ve tvaru − − La1 σπ = a−µ 1 (ga σ∂µ π + gb π ∂µ σ) + H.c.,

(4.0.2)

pˇriˇcemˇz ga a gb pˇredstavuj´ı vazbové konstanty. Propagátor rezonance ρ bereme v tomto tvaru (running mass) −ıGµν ρ (k)

−g µν + k µ k ν /m2ρ , = s − Mρ2 (s) + ımρ Γρ (s)

(4.0.3)

kde invariant s = k 2 . Jedná se o shodný výpoˇcet running mass, jenˇz byl pouˇzit v práci [33]. 21

Propagátor skalárn´ı rezonance σ bereme ve standardn´ım tvaru −ıGσ (k) =

s−

m2σ

1 , + ımσ Γσ (s)

(4.0.4)

kde mσ je nomináln´ı hmotnost rezonance σ a Γσ (s) je jej´ı pˇr´ısluˇsná energeticky závislá ˇs´ıˇrka. Dalˇs´ımi ˇcástmi naˇseho modelu jsou vrcholy popisuj´ıc´ı ρππ a σππ interakci. Pro interakˇcn´ı vrchol ρππ p´ıˇseme Lρππ = gρππ ρµ · (φ × ∂µ φ),

(4.0.5)

kde φ je poln´ım operátorem pionu a ρ poln´ım operátorem ρ mezonu. Interakci mezi skalárn´ım polem σ a pseudoskalárn´ımi poli π budeme popisovat interakˇcn´ım lagrangiánem ve tvaru Lσππ = gσππ σφ† φ,

(4.0.6)

kde vektor φ je definován stejnˇe jako v rovnici (4.0.5) a σ pˇredstavuje operátor pole skalárn´ı rezonance f0 (600). V pˇredstavených efektivn´ıch lagrangiánech popisuj´ıc´ıch interakci hadron˚ u, vystupuj´ı hadrony jako elementárn´ı kvanta koresponduj´ıc´ıch pol´ı. Pro realistiˇctˇejˇs´ı popis interakce hadron˚ u byly zavedeny tzv. silné form-faktory, které modifikuj´ı pˇr´ısluˇsné vazbové konstanty faktorem p∗2 exp − , (4.0.7) 12β 2 kde p∗ je hybnost produktu rozpadu v klidové soustavˇe rozpadaj´ıc´ı se ˇcástice. Parametr β vystupuj´ıc´ı v (4.0.7) byl stanoven v práci [47] na β = 0.4 GeV. Pˇri vyˇsetˇrován´ı moˇzné pˇr´ıtomnosti radiáln´ı rekurence rezonance a1 (1260), oznaˇcované jako a′1 , jsme do propagátoru a1 (1260) mezonu zahrnuli propagátor a′1 ve tvaru −ıGµν a′1 (q)

=α

µ ν −g µν + m−2 a′ q q 1

t − m2a′ + ıma′1 Γa′1 (t)

,

(4.0.8)

1

kde α je komplexn´ı parametr. Komplexn´ı parametr vystupuje v naˇsem modelu jako dalˇs´ı z volných parametr˚ u a jeho urˇcen´ı vyplyne pˇri vlastn´ım fitován´ı experimentáln´ıch dat. Pro energeticky závislou ˇs´ıˇrku Γa′1 (t) budeme pˇredpokládat stejné chován´ı jako v pˇr´ıpadˇe rezonance a1 (1260).

22

Kapitola 5 Interakˇ cn´ı lagrangi´ an a1ρπ Interakˇcn´ı lagrangián jsme zvolili ve tvaru lineárn´ı kombinace dvou lagrangián˚ u L1 a L2 s mixovac´ım parametrem ϑ ga ρπ La1 ρπ = √1 (cos ϑL1 + sin ϑL2 ) . 2

(5.0.1)

Konstanta ga1 ρπ je potom spoleˇcná pro oba dva lagrangiány. L1 a L2 jsou potom dány vztahy L1 = Aµ · (Vµν × ∂ ν φ),

L2 = Vµν · (∂ µ Aν × φ),

(5.0.2)

kde jsme zavedli oznaˇcen´ı Vµν ≡ ∂µ Vν − ∂ν Vµ .

(5.0.3)

Výrazy Aµ , Vµ a φ pˇredstavuj´ı vektory v izospinovém prostoru a jsou v naˇsem pˇr´ıpadˇe definovány jako     +µ −µ √1 (a √1 (ρ+µ + ρ−µ ) + a ) 1 1  2 +µ  2   −µ  µ  √ı (ρ+µ − ρ−µ )  , √ı (a Aµ =  , V = − a ) 1 1  2  2   0µ a0µ ρ 1   √1 (π + + π − )  2  √ı (π + − π − )  . φ= (5.0.4)  2  π0 Námi pouˇzitý lagrangián (5.0.4) je v podstatˇe stejný, jenˇz odvodili Wess a Zumino v ˇclánku [56], a liˇs´ı se pouze pouˇzitou notac´ı.

23

Kapitola 6 Experimenty pro fitov´ an´ı rozpadu τ → 3πντ 6.1

Experiment ARGUS

Experimentáln´ı skupina [40] studovala rozpady τ − → π − π + π − ντ v detektoru ARGUS na urychlovaˇci DORIS II (e+ e− ) v DESY. Jejich korigovaná data (korekci na pozad´ı a akceptanci detektoru) poskytuj´ı 28 bin˚ u v energetickém rozsahu 0.425–1.775 GeV.

6.2

Experiment OPAL

Skupina OPAL publikovala své výsledky ve formˇe distribuce kvadrátu tˇr´ıpionové hmotnosti celkem ve dvou ˇclánc´ıch. Oba ˇclánky publikovala s daty rozpadu τ − → π − π + π − ντ . V této práci se budeme zabývat aktualizovanými daty z ˇclánku [42], kde jsou zahrnuty výsledky mˇeˇren´ı z let 1992–1994. Namˇeˇrená data se sestávaj´ı z 23 bin˚ u v energetickém rozsahu 0.65–2.75 GeV2 .

6.3

Experiment CLEO

Rozpadem τ leptonu na tˇri piony a neutrino se také zabývala skupina CLEO v CESRu (Cornell Electron Storage Ring). Ta poskytuje jak data rozpadu τ − → π − π + π − ντ , tak rozpadu τ − → π − π 0 π 0 ντ . Jejich namˇeˇrená data rozpadu tau leptonu na tˇri nabité piony a neutrino jsou bohuˇzel stále pˇredbˇeˇzná [44], a tak je nebudeme pro náˇs u ´ˇcel fitován´ı v˚ ubec uvaˇzovat. Naopak budeme vyuˇz´ıvat jejich namˇeˇrené hmotnostn´ı distribuce tˇr´ıpionového systému π − π 0 π 0 uvedené v ˇclánku [43]. Tˇr´ıpionové hmotnostn´ı spektrum korigované na pozad´ı a akceptanci detektoru obsahuje celkem 47 bin˚ u v energetickém rozsahu 0.5625–1.2375 GeV.

24

6.4

Experiment ALEPH

Skupina ALEPH v CERNu na urychlovaˇci LEP publikovala ˇclánek sumarizuj´ıc´ı jeho výsledky týkaj´ıc´ı se vˇetv´ıc´ıho pomˇeru a spektráln´ıch funkc´ıch rozpadu τ leptonu [50]. Tato data byla namˇeˇrena na detektoru ALEPH v letech 1991–1995, ale v roce 2005 byla znovu vyhodnocena vylepˇsenou metodou. Pro fitován´ı budeme opˇet pouˇz´ıvat korigovaná data kvadrátu tˇr´ıpionového hmotnostn´ıho spektra τ − → π − π + π − ντ a τ − → π − π 0 π 0 ντ rozpadu, které jsou rovnˇeˇz pˇr´ıstupné na internetových stránkách [60]. Hmotnostn´ı distribuce systému π − π + π − obsahuje 116 bin˚ u ˇsirokých 0.025 GeV2 s poˇcátkem v 0.225 GeV2 .

6.5

Fitov´ an´ı experiment˚ u ARGUS, OPAL, CLEO, ALEPH

Pro vyˇsetˇren´ı závislosti mixovac´ıho parametru sin θ v lagrangiánu a1 ρπ vrcholu, jsme nejprve zafixovali ostatn´ı parametry standardn´ımi hodnotami pouˇz´ıvanými PDG (ma1 = 1.23 GeV, Γa1 = 0.4 GeV). Následnˇe jsme vypoˇc´ıtali pomˇer χ2 k poˇctu experimentáln´ıch bod˚ u N pro kaˇzdý experiment zvláˇst’. Výsledky tˇechto

Obrázek 6.1: Závislost χ2 dˇeleného poˇctem experimentáln´ıch bod˚ u na mixovac´ım parametru sin ϑ. Interval parametru sin ϑ, jenˇz byl z´ıskán z elektron–pozitronové anihilace na ˇctyˇri piony [57, 58], je zobrazen jako u ´ seˇcka v pravém doln´ım rohu.

25

Data

ALEPH [45]

ALEPH [45]

Vˇsechny

π−π+π−

π−π0π0

exp.

χ2 /NDF

119.1/111

51.5/111

357.7/321

C.L. (%)

28.25

100.00

7.74

1220 ± 20

1256 ± 10

1232 ± 25

0.460 ± 0.004 0.466 ± 0.004

0.463 ± 0.005

ma1 (MeV) Γa1 (MeV) sin θ y (GeV2 ) z

418 ± 40

443 ± 15

0.094 ± 0.010 0.111 ± 0.022 0.31 ± 0.03

e+ e− → π + π − π + π −

0.12 ± 0.16

e+ e− → π + π − π + π − & e+ e− → π + π − π 0 π 0

431 ± 25

0.099 ± 0.009 0.30 ± 0.05

sin ϑ = 0.460 ± 0.003 [57]

sin ϑ = 0.466 ± 0.005 [58]

Tabulka 6.1: Výsledky fitován´ı experimentáln´ıch dat, ve kterých jsme neuvaˇzovali pˇr´ıspˇevek a1 (1640) v intermediáln´ım stavu. Vˇsechny exp. ≡ ARGUS [40] + OPAL [42] + CLEO [43] + ALEPH [45]. Pro porovnán´ı uvád´ıme hodnotu mixovac´ıho parametru z výsledk˚ u fitován´ı anihilace e+ e− vedouc´ı na ˇctyˇri piony.

výpoˇct˚ u jsou na obrázku 6.1. Na stejném obrázku jasnˇe pozorujeme, ˇze pro vˇsechny námi uvaˇzované experimenty se minimum χ2 /N soustˇred’uje do relativnˇe u ´ zkého intervalu mixovac´ıho parametru sin ϑ. Tento interval leˇz´ı v regionu mixovac´ıho u ´ hlu, jenˇz byl nedávno spoˇc´ıtán v ˇclánku [57]. Výsledky plynouc´ı z naˇseho modelu rozpadu τ − leptonu jsou tedy podporovány výsledky anihilaˇcn´ıho modelu e+ e− → 4π. Jako dalˇs´ı krok jsme optimalizovali parametry ma1 , Γa1 , sin ϑ a z s vyuˇzit´ım optimalizaˇcn´ıho programu MINUIT Jamese a Roose [52]. Výsledky této minimalizace jsou uvedeny v tabulce 6.1. Jak vid´ıme v tabulce 6.1, souhlas naˇseho modelu s daty ALEPH π − π 0 π 0 je perfektn´ı (CL=100%). Hodnoty hmotnosti rezonance a1 ze vˇsech tˇrech fitovaných skupin jsou navzájem kompatibiln´ı, stejnˇe jako nomináln´ı ˇs´ıˇrka rezonance a1 . V dalˇs´ım kroku jsme pˇridali do propagátoru rezonance a1 (4.0.1) pˇr´ıspˇevek od rezonance a′1 (4.0.8). Tato procedura pˇr´ıliˇs nezvˇetˇsila poˇcet volných parametr˚ u, nebot’ jsme fixovali nomináln´ı hmotnost a ˇs´ıˇrku a′1 z dat poskytuj´ıc´ı PDG 2008 (ma′1 = 1647 MeV, Γa′1 = 254 MeV). Výsledek minimalizaˇcn´ı procedury je potom uveden v tabulce 6.2. Pˇri porovnán´ı tabulek 6.1 a 6.2 ihned vid´ıme, ˇze doˇslo ve vˇsech pˇr´ıpadech k pozvednut´ı kvality fitu. Pro ALEPH [45] π − π + π − data doˇslo k poklesu χ2 z 119.1 na 30.7 a koresponduj´ıc´ı u ´ roveˇ n spolehlivosti (CL) vystoupila na 100% z p˚ uvodn´ıch 28.25%. Vylepˇsen´ı kvality fitu je ovˇsem nejlépe vidˇet v pˇr´ıpadˇe simultánn´ıho fitu vˇsech experiment˚ u (posledn´ı sloupec tabulky 6.2). 26

Data

ALEPH [45]

ALEPH [45]

Vˇsechny

π−π+π−

π−π0π0

exp.

χ2 /NDF

30.7/109

12.3/109

219.5/318

C.L. (%)

100

100

100

1218 ± 19

1255 ± 18

1233 ± 18

0.457(4)

0.457(6)

0.459(4)

ma1 (MeV) Γa1 (MeV) sin θ y (GeV2 ) z Re[α] Im[α]

418 ± 30

455 ± 15

431 ± 20

0.106 ± 0.019 0.148 ± 0.025 0.114 ± 0.014 0.34 ± 0.03

−0.30 ± 0.10

0.31 ± 0.06

0.36 ± 0.14

−0.34 ± 0.13

0.29 ± 0.10

0.34 ± 0.05

−0.31 ± 0.10

0.32 ± 0.09

Tabulka 6.2: Výsledky fitován´ı experimentáln´ıch dat. Ve výsledc´ıch jsou zahrnuty pˇr´ıspˇevky rezonanc´ı a1 (1260) a a1 (1640).

V tomto pˇr´ıpadˇe doˇslo k nár˚ ustu u ´ rovnˇe spolehlivosti modelu z 7.7% na 100%. Jak m˚ uˇzeme vidˇet, hmotnost i ˇs´ıˇrka, stejnˇe jako ostatn´ı parametry naˇseho modelu, z˚ ustávaj´ı velmi stabiln´ı i po pˇridán´ı pˇr´ıspˇevku od rezonance a′1 . Porovnán´ı dat π − π + π − ALEPH [45] s vypoˇctenou hmotnostn´ı distribuc´ı naˇseho modelu je na obrázku 6.2. Jak jsme v pˇredchoz´ım vidˇeli, zahrnut´ı pˇr´ıspˇevku rezonance a′1 významnˇe zlepˇs´ı souhlas naˇseho modelu s daty. Proto je trochu pˇrekvapivé, ˇze na obrázku 6.2 nenacház´ıme ˇzádnou viditelnou stopu po této rezonanci. Abychom tento efekt prozkoumali bl´ıˇze, vypoˇcetli jsme hmotnostn´ı distribuci pro tyto tˇri pˇr´ıpady: (1) v propagátoru a1 uvaˇzujeme pˇr´ıspˇevek rezonance a′1 (tato kˇrivka je na obrázku 6.2); (2) uvaˇzujeme pouze propagátor a1 ; (3) uvaˇzujeme pouze propagátor a′1 . Pro vˇsechny tˇri výpoˇcty budeme uvaˇzovat stejné hodnoty parametr˚ u z prvn´ıho sloupce tabulky 6.2. Výsledné funkˇcn´ı závislosti m˚ uˇzeme potom vidˇet na obrázku 6.3. Jak z tohoto obrázku vid´ıme, fináln´ı hmotnostn´ı distribuce tˇr´ıpionového systému je výsledkem destruktivn´ı interference mezi dominantn´ı amplitudou obsahuj´ıc´ı a1 propagátor a amplitudou obsahuj´ıc´ı propagátor a′1 . Stejný postup m˚ uˇzeme uplatnit i na rozpad τ − → π − π 0 π 0 ντ , jehoˇz hmotnostn´ı distribuce je na obrázku 6.4. I na tomto obrázku je patrná destruktivn´ı interference mezi obˇema propagátory.

27

Obrázek 6.2: Porovnán´ı tˇr´ıpionové hmotnostn´ı distribuce, ve které jsou zahrnuty pˇr´ıspˇevky od rezonanc´ı a1 (1260) a a1 (1640), s ALEPH [45] daty rozpadu τ − → π − π + π − ντ . Parametry modelu jsou brány z tabulky 6.2.

Obrázek 6.3: Studium vlivu rezonance a1 (1640) ve fitován´ı dat ALEPH rozpadu τ − → π − π + π − ντ . Plná kˇrivka oznaˇcuje výsledný fit (z obrázku 6.2), teˇckovaná kˇrivka oznaˇcuje pˇr´ıspˇevek od rezonance a1 (1260) a ˇcárkovaná kˇrivka oznaˇcuje pˇr´ıspˇevek od rezonance a1 (1640) v intermediáln´ım stavu s fixn´ımi parametry modelu.

28

Obrázek 6.4: Studium vlivu rezonance a1 (1640) pˇri fitován´ı dat ALEPH [45] rozpadu τ − → π − π 0 π 0 ντ . Plná kˇrivka oznaˇcuje výsledný fit, teˇckovaná kˇrivka oznaˇcuje pˇr´ıspˇevek od rezonance a1 (1260) a ˇcárkovaná kˇrivka oznaˇcuje pˇr´ıspˇevek od rezonance a1 (1640) v intermediáln´ım stavu s fixn´ımi parametry modelu.

29

Kapitola 7 Z´ avˇ er V prvn´ı ˇcásti jsme se vˇenovali modelován´ı pionového form-faktoru a jeho fitován´ı na data celkem tˇr´ı experiment˚ u. Aplikován´ım naˇseho modelu na experimentáln´ı data CMD–2 [32] a SND [48] jsme dostali podobný pomˇer χ2 /NDF jako v pˇr´ıpadˇe Gounaris–Sakurai (GS) parametrizace, avˇsak tento pomˇer byl vˇzdy pro náˇs model o nˇeco niˇzˇs´ı. Na základˇe χ2 /NDF kritéria by mˇely být oba modely stejnˇe spolehlivé pˇri fitován´ı elektromagnetického form–faktoru. V tabulkách 3.1 a 3.2 m˚ uˇzeme vidˇet, ˇze hodnoty nomináln´ı hmotnosti a ˇs´ıˇrky mezonu ρ(770) se v nˇekterých pˇr´ıpadech podstatnˇe liˇs´ı. Oprávnˇenost pouˇzit´ı naˇseho modelu demonstruje také obrázek 3.2, na kterém porovnáváme naˇsi a GS parametrizaci s daty fázového posunu v P vlnˇe v ππ rozptylu. Jak je z obrázku patrné, náˇs running mass model fituje experimentáln´ı data fázového posunu lépe, neˇz-li GS parametrizace, i pˇres malou chybu udávanou experimentátory. Jak jsme vidˇeli, fitován´ı dat skupiny KLOE [49] je problematické, nebot’ dává témˇeˇr nulové hodnoty u ´ rovnˇe spolehlivosti modelu pro GS i naˇsi parametrizaci. Situace se ale dramaticky zmˇen´ı, pokud pˇripust´ıme, ˇze v datech skupiny KLOE existuje systematický energetický posun, minimálnˇe v ρ–ω oblasti. V pˇr´ıpadˇe, ˇze nomináln´ı hmotnost rezonance ω(782) sn´ıˇz´ıme v˚ uˇci nomináln´ı hmotnosti udávané PDG [19] o ≈ 2 MeV, dojde k dramatickému poklesu χ2 /NDF pro obˇe uvaˇzované parametrizace. Zat´ımco pro GS model stále dostáváme n´ızkou hladinu spolehlivosti modelu (CL = 2 × 10−17 %), kvalita naˇseho fitu vzroste na 99.62%. Bohuˇzel tento hmotnostn´ı posun v datech vylouˇcila skupina KLOE v naˇs´ı vzájemné korespondenci. Kvality obou fit˚ u se dále zlepˇs´ı, zahrneme-li do obou model˚ u pˇr´ıspˇevek od rezonance φ(1020), zejména pro GS parametrizaci (CL = 22.34%). V souˇcasnosti vˇsak nejsme schopni jednoznaˇcnˇe odpovˇedˇet na otázku základn´ıch parametr˚ u ρ rezonance nebo korektn´ı parametrizace elektromagnetického pionového form–faktoru. Pˇrirozenˇe by základn´ımi parametry mˇely být ty, jenˇz vyplývaj´ı z nejlepˇs´ıho fitu, kterým je v naˇsem pˇr´ıpadˇe fit KLOE. Tento fit je ovˇsem zahalen nejasnostmi okolo energetického posunu v ρ–ω oblasti. Hlavn´ım u ´ˇcelem této ˇcásti práce je varovat pˇred slepým pouˇzit´ım parametrizace, která si zasluhuje v´ıce pozornosti. 30

Hodnoty parametr˚ u mezonu ρ(770), jenˇz jsme dostali fitován´ım pionového form–faktoru dat KLOE s u ´ rovn´ı spolehlivosti CL = 99.88%, jsou následuj´ıc´ı: mρ = (761.51 ± 0.14) MeV a Γρ = (142.56 ± 0.41) MeV. Jak vid´ıme, námi z´ıskané hodnoty nomináln´ı hmotnosti a ˇs´ıˇrky ρ mezonu jsou niˇzˇs´ı, neˇz hodnoty v souˇcasnosti udávané tabulkami PDG [39]. V druhé ˇcásti této práce jsme ukázali, jak je d˚ uleˇzité zvolit správný tvar a1 ρπ lagrangiánu a parametry v nˇem vystupuj´ıc´ı pro z´ıskán´ı dobrého fitu tˇr´ıpionové distribuce rozpadu τ leptonu. Jako inovaˇcn´ı pˇr´ıstup m˚ uˇzeme oznaˇcit proces fitován´ı experiment˚ u, kde jako vstupn´ı data bereme pro optimalizaˇcn´ı program hned nˇekolik sad namˇeˇrených dat, m´ısto jednoho experimentu. Tento postup bychom chtˇeli aplikovat i na jiné procesy, neˇz je tˇr´ıpionový rozpad τ leptonu. Pˇrirozeným kandidátem pro zahrnut´ı do simultánn´ıho fitován´ı je model anihilace e+ e− vedouc´ı na ˇctyˇri piony [57, 58], který je zaloˇzen na stejném a1 ρπ lagrangiánu. Dalˇs´ımi potenciáln´ımi kandidáty mohou být, mimo slabých a elektromagnetických reakc´ı, také rozpady ˇci reakce hadronové napˇr. ρ(1700) → a1 π, π − p → π − π + π − p. Od tohoto postupu si slibujeme zejména dalˇs´ı moˇzné zpˇresnˇen´ı nomináln´ı hmotnosti a ˇs´ıˇrky rezonance a1 (1260). Zároveˇ n se fitován´ım r˚ uzných druh˚ u reakc´ı celkovˇe zvyˇsuje d˚ uvˇera v takovýto a1 ρπ lagrangián. Jak jsme uvedli v kapitole 6, dostali jsme pro náˇs model hodnotu spolehlivosti modelu CL = 100% pro kaˇzdou ze tˇr´ı sad fitovaných dat. Námi z´ıskaná optimáln´ı hodnota mixovac´ıho parametru sin ϑ v a1 ρπ lagrangiánu je kompatibiln´ı s hodnotou z´ıskanou fitován´ım procesu anihilace elektronu a pozitronu na ˇctyˇri piony. Spoleˇcný fit vˇsech pˇeti experiment˚ u potom dává následuj´ıc´ı parametry: ma1 = (1233 ± 18) MeV, Γa1 = (431 ± 20) MeV a sin ϑ = (0.459 ± 0.004). Naˇse teoretické potvrzen´ı existence rezonance a1 (1640) s nomináln´ı hmotnost´ı a ˇs´ıˇrkou, udávanou v PDG 2008 [39], je zaloˇzeno na významném zvˇetˇsen´ı u ´ rovnˇe spolehlivosti modelu z 7.7% na 100% po pˇridán´ı pˇr´ıspˇevku od této rezonance. Rovnˇeˇz jsme v textu podali vysvˇetlen´ı, proˇc nen´ı rezonance a′1 viditelná v tˇr´ıpionovém spektru.

31

Literatura [1] H. W. Barz, G. Bertsch, B. L. Frieman, H. Schulz, S. Boggs, Phys. Lett. B 265, 219 (1991) [2] V. L. Eletzky, B. L. Ioffe, J. I. Kapusta, Eur. Phys. J. A 3, 381 (1998) [3] R. Rapp, J. Wambach, Adv. Nucl. Phys. 25, 1 (2000) [4] G. E. Brown, M. Rho, Phys. Rep. 363, 85 (2002) [5] O. Teodorescu, A. K Dutt-Mazumder, C. Gale, Phys. Rev. C 66, 015209 (2002) [6] P. F. Kolb, M. Prakash, Phys. Rev. C 67, 044902 (2003) [7] S. Pratt, W. Bauer, Phys. Rev. C 68, 064905 (2003) [8] E. V. Shuryak and G. E. Brown, Nucl. Phys. A717, 322 (2003) [9] R. Rapp, Nucl. Phys. A725, 254 (2003) [10] G. E. Brown, M. Rho, Phys. Rept. 396, 1 (2004) [11] J. Ruppert, T. Renk, B. M¨ uller, Phys. Rev. C 73, 034907 (2006) [12] K. Hikasa et al. (Particle Data Group), Phys. Rev. D 45, S1-S574 (1992) [13] L. Montanet et al. (Particle Data Group), Phys. Rev. D 50, 1173-1826 (1994) [14] R. M. Barnett et al. (Particle Data Group), Phys. Rev. D 54, 1 (1996) [15] C. Caso et al. (Particle Data Group), The European Physical Journal C 3, 1 (1998) [16] D.E. Groom et al. (Particle Data Group), The European Physical Journal C 15, 1 (2000) [17] K. Hagiwara et al. (Particle Data Group), Phys. Rev. D 66, 010001 (2002) [18] S. Eidelman et al. (Particle Data Group), Phys. Lett. B 592, 1 (2004) 32

[19] W. M. Yao et al. (Particle Data Group), J. Phys. G 33, 1 (2006) [20] M. F. Heyn, C. B. Lang, Z. Phys. C 7, 169 (1981) [21] B. V. Geshkenbein, M. V. Terentev, Yad. Fiz. 40, 758 (1984) [Sov. J. Nucl. Phys. 40, 487 (1984)] [22] B. V. Geshkenbein, Z. Phys. C 45, 351 (1989) [23] S. Dubniˇcka, L. Martinoviˇc, J. Phys. G 15, 1349 (1989) [24] A. Bernicha, G. López Castro, J. Pestieau, Phys. Rev. D 50, 4454 (1994) [25] H. B. O’Connell, A. W. Thomas, A. G. Williams, Nucl. Phys. A623, 559 (1997) [26] S. Gardner, H. B. O’Connell, Phys. Rev. D 57, 2716 (1998); Erratum ibid. 62, 019903 (2000) [27] M. Benayoun, S. Eidelman, K. Maltman, H. B. O’Connell, B. Shwartz, A. G. Williams, Eur. Phys. J. C 2, 269 (1998) [28] M. Benayoun, H. B. O’Connell, A. G. Williams, Phys. Rev. D 59, 074020 (1999) [29] S. Dubniˇcka, A. Z. Dubniˇcková, A. Antuˇsek, Acta Phys. Slovaca 49, 165 (1999) [30] D. Melikhov, O. Nachtmann, V. Nikonov, T. Paulus, Eur. Phys. J. C 34, 345 (2004) [31] R. R. Akhmetshin et al., Phys. Lett. B 527, 161 (2002) [32] R. R. Akhmetshin et al., Phys. Lett. B 578, 285 (2004) [33] P. Lichard, Phys. Rev. D 60, 053007 (1999) [34] C. Bricman et al. (Particle Data Group), Rev. Mod. Phys. 52, S1-S286 (1980) [35] M. Roos et al. (Particle Data Group), Phys. Lett. B 111, 1-294 (1982) [36] M. Aguilar-Ben´ıtez et al. (Particle Data Group), Phys. Lett. B 170, 1-350 (1986) [37] G. P. Yost et al. (Particle Data Group), Phys. Lett. B 204, 1-486 (1988) [38] J. J. Hernández et al. (Particle Data Group), Phys. Lett. B 239, 1-516 (1990) [39] C. Amsler et al. (Particle Data Group), Phys. Lett. B 667, 1 (2008) 33

[40] H. Albrecht et al. (ARGUS Collaboration), Z. Phys. C - Particles and Fields 58, 61 (1993) [41] R. Akers et al., Z. Phys. C - Particles and Fields 67,45 (1995) [42] K. Ackerstaff et al. (OPAL Collaboration), Z. Phys. C - Particles and Fields 75, 593 (1997) [43] D. M. Asner et al. (CLEO Collaboration), Phys. Rev. D 61, 012002 (1999) [44] E. I. Shibata (representing the CLEO Collaboration), Nucl. Phys. B (Proc. Suppl.) 123, 40 (2003); J. E. Duboscq (for the CLEO Collaboration), Nucl. Phys. B 144, 40 (2005) [45] S. Schael et al. (ALEPH Collaboration), Physics Reports 421, 191 (2005) [46] J. Pernegr et al., Nucl. Phys. B 134, 436 (1978) [47] R. Kokoski, N. Isgur, Phys. Rev. D 35, 907 (1987) [48] M. N. Achasov et al., Zh. Eksp. Teor. Fiz. 130, 437 (2006) [J. Exp. Theor. Phys. 103, 380 (2006)] [49] A. Aloisio et al., Phys. Lett. B 606, 12 (2005) [50] S. Schael et al. (ALEPH Collaboration), Physics Report 421, 191 (2005) [51] G. J. Gounaris, J. J. Sakurai, Phys. Rev. Lett. 21, 244 (1968) [52] F. James, M. Roos, Comput. Phys. Commun. 10, 343 (1975) [53] S. R. Amendolia et al., Nucl. Phys. B277, 168 (1986) [54] M. N. Achasov et al., Zh. Eksp. Teor. Fiz. 128, 1201 (2005) [J. Exp. Theor. Phys. 101, 1053 (2005)] [55] Min-Shih Chen, P. M. Zerwas, Phys. Rev. D 11, 58 (1975); H. Czy˙z, hepph/0606227. [56] J. Wess, B. Zumino, Phys. Rev. 163, 1727 (1967) [57] P. Lichard, J. Jurán ˇ , Phys. Rev. D 76, 094030 (2007) [58] J. Jurán ˇ , P. Lichard, Phys. Rev. D 78, 017501 (2008) [59] P. Lichard, M. Voj´ık, Nucl. Phys. B (Proc. Suppl.) 198, 212 (2010) [60] http://aleph.web.lal.in2p3.fr/tau/specfun.html

34

Kapitola 8 Publikace a prezentace na konferenc´ıch 8.1

Publikace v recenzovan´ ych ˇ casopisech

1. P. Lichard, M. Voj´ık; Structure of the a1 ρπ vertex, Nuclear Physics B (Proc. Suppl.) 198, 212–215 (2010) 2. M. Voj´ık, P. Lichard; Three-pion decays of the tau lepton, the a1 (1260) properties, and the a1 ρπ Lagrangian; Zasláno do ˇcasopisu Physical Review D

8.2

Prezentace na konferenc´ıch

1. M. Voj´ık, P. Lichard; The τ − → π − π + π − ντ decay and the a1 ρπ–Lagrangian; 16–th Conference of Czech and Slovak Physicists, Hradec Králové, Czech Republic (2008) 2. M. Voj´ık, P. Lichard; An analysis of some parameters of ρ(770) resonance from e+ e− → π + π − data; 19–th National Nuclear Physics Summer School; Tallahassee, Florida, USA (2007)

8.3

Plak´ aty na konferenc´ıch

1. P. Lichard, M. Voj´ık; An alternative Parametrization of the pion form factor and the mass and width of ρ(770); Hard Probes 2006; Asilomar, California, USA (2006)

35

Kapitola 9 Prohl´ aˇ sen´ı autora T´ımto prohlaˇsuji, ˇze m˚ uj osobn´ı pˇr´ınos ke spoleˇcn´ ym prac´ım uvedených v pˇr´ıloze 8, spoˇc´ıvá pˇredevˇs´ım v nezávislém zhotoven´ı numerických procedur a samostatném proveden´ı výpoˇct˚ u.

V Opavˇe 12. ˇcervence 2010. ..................................... Mgr. Martin Voj´ık

36

Determination of Resonance Parameters from Experimental Data

Recommend Documents