ÍYM E K Özle
m
ényei, Miskolc, III. Sorozat,
Gépészet, 30. ( 1 985) kötet,
71 -83.
NÉHÁNY MEGJEGYZÉS A HŐÁTBOCSATÁSI TÉNYEZŐVEL KAPCSOLATBAN ECSEDI
ISTVÁN
Összefoglalás E
dolgozat elsődleges célja, hogy néhány megjegyzéssel kiegészítse tényezővel kapcsolatos legfontosabb tudnivalókat.
a
(2.1) formula
által definiált
hőátbocsátási
tanulmány több formulát ismertet a mértani hőátbocsátási tényező számítására, s megadja a a nem-lineáris hővezetés azon esetére, amikor is a beltényező fogalmának általánosítását együttható a hőmérséklet függvénye.
A
hőátbocsátási ső hővezetési
jelölések
l. Fontosabb
derékszögű koordináták,
z
x, y,
ex,
ey, e,
r
xe,
=
A
1,
egységvektorok,
+
yey
+ ze,
helyvektor, különálló
A,
V,
az
A
V,
az
A;
zárt
,
felület
közös
pont nélküli
zárt
felületek,
"belseje"
által
meghatározott térbeli
"külseje"
által
meghatározott
tartomány, zárt
felület
tartomány,
Dr. ECSEDI ISTVÁN egyetemi docens a műszaki tudományok
kandidátusa
Nehézipari Műszaki-Egyetem Mechanika
Tanszék
3515 Miskolc-Egyetemváros A kézirat
beérkezett:
1 982.
VI. 15.
térbeli
V
és
A,
az
által
felületek
zárt
A,
t
hőmérséklet,
x
belső hővezetési
g
hőmennyiség (hőáram)
k
hőátbocsátási
r
hővezetési
V
3x
gy
ex +
=
ey
+
skaláris
-
n
,,
A
n
La
V- v:
=
A
az
A
=
+
8x? 1
+
együttható ellenállás,
differenciáloperátor,
szorzás
jele,
-a-2 + vői Laplace-fele öyz
differenciáloperátor,
822
felület
határoló
A,
tartományból
V
tartomány.
együttható,
Hamílton-féle
a-Ze,
térbeli
határolt
kifelé
irányított normális
egységvek-
tora,
so=w(r).
derivált
irányban számolt
n
ajan
jele,
h=h(r)
f=f(r).
segédfüggvények, ro
mértani
hőátbocsátási
ko
mértani
hővezetési
d
d
=
három
(r)
ellenállás, vektor
mező,
hőmérséklet
T A u
dimenziós
tényező,
A
=
u
=
belső hővezetési
(T) (r)
együttható,
segéd függvény, változókat
Egyéb mennyiségeket,
a
szöveg értelmezi.
2. Bevezetés
Az 1. ábra
Az szemléltet. egy üreges testet zárt felületek által van határolva.
üreges test a különálló, közös pont nélAz A, zárt felület belseje a V, korláA] A, tos térbeli tartomány, az A, zárt felület külseje pedig a nem korlátos V, térbeli tartoV térfogatú szilárd anyagú test "belső" mány. Az A 1 és A, zárt felületek által határolt hővezetési tényezője K. A V térfogatú test hővezetés szempontjából homogén és izotróp
küli
és
anyagú,
s a
Az A tén állandó.
72
1
felület
paraméter
hőmérséklete t, )
A
értéke állandó
nem
függ a
t, értékű,
hőmérséklettől. az
hőmérsékletű
A,
felület
.
hőmérséklete
t:
felületen
A, t, Legyen ,,magasabb" anyagból 9 nagyságú hőmennyiség lép be időegység alatt abban belső hővezetéssel terjed az "alacsonyabb" t, hőmérsékletű
ban lévő és
7x termikus
a
a
szin-
V, tartomány-
térfogatú testbe A, felületig, majd
V
VI ez
Z
A!
V
n
y
e?
x
eX
V=íex+ay
r=xex+yey+zez
ey+íez
1. ábra
Al különálló határolt
és
zárt
A, felületekkel
szilárd
test.
73
V, térbe.
folyamatot a V térfogatú test tényezője jellemzi, melynek definíciója az alábbi egyenletből olvasható
külső
onnan
hővezetéssel
hőátbocsátási
távozik
a
A fenti
k ki
([3]. [4], [5Dí C=k(Í1-Íz)A hőátbocsátással ke
szembeni
(2-1) ellenállást
úgynevezett
az
r
ellenállás
hővezetési
méri,
r
érté-
az
r
(2.2)
l/k
=
meg. alapján határozható ellenE dolgozat elsődleges célja, hogy néhány megjegyzéssel kiegészítse a hővezetési állással és a hőátbocsátási tényezővel kapcsolatos legfontosabb tudnivalókat. le. A vezetünk tényező számítására szolgáló formulákat Elöljáróban a hőátbocsátási és t előírások által t rE rE V térfogatú szilárd anyagú test t, A, t, Az meghatározott, állandósult mezeje a következő peremérték feladatállapothoz tartozó hőmérséklet tal hozható kapcsolatba ([1], [2], [3]):
formula
=
=
At=0
rE
(2.3)
V,
Í=Í1
TEA],
z=r,
reA,
'
AFowier-féle
elmélet
hővezetési
(2.5) alaptörvényéből következik,
hogy
öt
g=xf57 dA. Tekintsük
alábbi
az
előírások
(2.6) által
egyértelműen meghatározott
xp
=
go (r) háromváltozós
függvényt: Agp=0
rG
A fenti
szilárd
0
reAz.
74
(2.6)
(2.9)
a V térfogatú peremérték feladat cp w (r) megoldás függvényének ismeretében t (r) hőmérséklet a következő módon számítható: anyagú test t mezője =
=
t(r)=(t,-t1).p(,)+t,, A
(2_7)
reAls
(p: ep=
V,
formula
és
a
(2.10) egyenlet
(reA,+A,+V). kombinálásával
nyerjük
(2.10) a
(2.l l) formulát:
a
o=[x f 5%dA)(n
Í2)-
-
(2.11)
A!
A
(2. 1 l)
formulából
kiolvasható, a
dA. f 553
x
k=
hogy
(2.12)
(2.7), (2.8), (2.9) egyenletek és a Gauss-féle integrál átalakítási levezethető zatfüggvény deríválási szabályának alkalmazásával
tétel, valamint
A
fwtpP dV-
_
V
egyenlet
és
a"
dA-
f
_
A
(2. 12)
a
Az
fa
formula
Asa a"
dA
(2.13)
A,
kombinálásával
kapjuk
a
(2.14)
formulát:
fnwvdv.
k=x
a szor-
(2.14)
V
Könnyen ellenőrizhető,
A?
f
hogy
dA+
a"
f
319 a"
dA
=
o.
(2.1s)
A! Ez utóbbi
eredmény felhasználásával
f
=-x
A! A
(2.14)
formula
ko
=
nyeljük
a
(2.12)
formulából
a
(2.l0)
formulát:
3-3"? dA.
alapján belátható, hogy
(2.l6)
k
és
r
minden
pozitív.
esetben
A
k/Á
(2.l7)
előírással definiált mennyiséget mértani hőátbocsátási tényezőnek nevezzük. A mértani hőátbocsátási tényező reciprokát pedig a mértani hővezetési ellenállásnak nevezzük: ro
=
(2.l8)
l/ko.
eddigiek alapján nyilvánvaló, Auz
függ, másszóval
ro
és
hogy ko és ro értéke csak ko úgynevezett tartományi funkciónál.
a
V Az
tartomány alakjától ro
mértani
hőátbo-
75
csátási
tényező
számítása
a
függvény ismeretében
cp (r)
=
(p
alábbi
az
formulák
bármelyiké-
ből történhet: a
a
fád/a, A.
k.,=
ko=-fa-f, A.
(2.19) (2.2o)
dV. flVcplz
ko=
(2.21)
V
ko számára
3. Korlátok
3.1. Felső
korlát.
+
A,
differenciálható
mányban folytonosan get
V +
A
A, zárt tartományban folytonos, a V nyílt tartof f (x, y, z) háromváltozós függvény tegyen ele=
az
z) =f,
f(x,
z) =f2
y,
peremfeltételeknek, f: *f2 Fennáll
=á1landó
f(x,y,
(x,y,z)EA1
állandó
=
(x, y, z) GA;
,
(3.1) (3.2)
ahol
(3-3)
-
a
f!vfP
d V
I
ko í k!
=
ím
If
1
"f
2
egyenlőtlenségi reláció. Bizonyítás: A bizonyítás alapja
12
(3.4)
a
[Jvf-vpdVfst/jlvflzcíw)[JIvspPdV (3.5)
Schwarz-féle féle
integrálátalalcítási tétel
mazásával
76
egyenlőtlenség.
átalakítjuk:
és
A a
(3.5) egyenlőtlenség bal oldalán szereplő kifejezést szorzatfüggvény deriválási szabályának az együttes
a
Gauss-
alkal-
[JVfVnpdVy=[JV'UV4P)CÍV-JÍA dAy. dA]*=(f,-f,)=39% =[líff%
(3.6)
felhasználtuk a (2.7), (2.8), (2.9), (2. 15) egyenleteket és az (3.6) formula levezetésénél f= f (r) függvénnyel kapcsolatos (3. l), (3.2) peremfeltételeket is. A (2.19), (2.2l) formuközvetlenül a bizonyítanlák, a (3.6) összefüggés és a (3.S) egyenlőtlenség kombinálásával dó (3.4) egyenlőtlenségi relációt nyerjük. A
í 2 Alsó A =
d(r)
V +
korlát +
A,
vektormező
A, zárt tartományban tegyen eleget a
folytonos
nem
zérussal
azonosan
rEV
V'd=0
parciális differenciálegyenletnek.
ko 2 k,
=
egyenlő
d
=
(3.7)
Fennáll
a
láfd-ndAy
(3.8)
füdV V
egyenlőtlenségi Bizonyítás
reláció. a
Bizonyítás alapján
a
[fd-vwdv)'s(fePdr/Mfnvapnzav) V
Schwarz-féle
átalakításával
V
(3.9)
V
egyenlőtlenségi reláció. A (3.9) egyenlőtlenség nyerjük a (3.l0) egyenletet:
bal oldalán
szereplő kifejezés
(fd-wdvy =( fv-(dmdv- spV'ddV)2 =
V
V
=[jbd-nmq*=(j'wndAP.
onm
77
szorzatfüggvény deriválási szabályát, a Gauss-félé inA (2.21) formu(2.8), (2.9) és a (3.7) egyenleteket alkalmaztuk. tegrálátalalcítási tételt a bizonyítanközvetlenül la, a (3.9) egyenlőtlenség és a (3,10) összefüggés kombinálásával dó (3.8) egyenlőtlenségi relációt nyerjük. 3.3 A (3.8) egyenlőtlenségi reláció egy következménye. A V + A 1 + A; zárt tartozérussal egyenlő h h (r) hárommányban folytonos a V tartományban nem azonosan változós függvény tegyen eleget a A (3.lO) összefüggés levezetésénél
a
a
=
A h
=
0
V
E
r
(3.11)
Fennáll
parciális differenciálegyenletnek.
a
(le-r fIvhPdV egyenlőtlenségi len
reláció.
Bizonyítás A (3.12) egyenlőtlenség reláció következménye, s abból a
a
(3.8) egyenlőtlenségi
közvet-
reláció
(3.l3)
d=Vh
d (r) vektor harmónikus helyettesítéssel nyerhető. Evidens, hogy a fenti alakú d a h (r) függvény esetén identikusan kielégíti (3.7) parciális differenciálegyenletet. =
h
=
=
4. A hővezetési
séklet a
Az 1. ábrán
vázolt
függvénye
A
T változó
hető
monoton
T-re. A
=
A A V
=
A
térfogatú
A
szilárd
=
78
esetére.
"belső" hővezetési
A,
+
A
test
A
=
test
)
A, ésAg felületeinek T;
hőmérséklete
és
T,
T,
a
fenti
határolt
esetben
szilárd alábbi
az
anyagú
test
nem-lineáris
T
=
T
(r)
kerületérték
kapcsolatba:
A, felületszakaszán
.
.
A, felülettel
mezeje =0
reV,
T
=T1
ÍEAI
T
=T,
reAz.
V'(A(T)VT)
A test
A
anyagú legyen T,
Ismeretes, hogy azA rE V, + V, + A; hőmérséklet hozható
hővezetés
együtthatója a T hőmér(T). (T) függvénnyel kapcsolatban feltételezzük, hogy növekvő differenciálható függvénye és A (T) ) 0 minden szóbajöa 2. ábra szemlélteti. (T) függvény görbéjét anyagú
szilárd
A
T 1 és T, állandó, továbbá
feladattal
mén-lineáris
általánosítása
fogalmának
ellenállás
(4.1) ,
(4.3)
-
A=A(T)
2. ábra A
f
c:
A
=
A
(T) függvény görbéje.
g-ídA
A(T)
AI
nagyságú hőmennyiség lep a V, térfogatú térbe
be
vozik
az
ferenciálegyenletbőlkövetkező
a
(4.4)
táV, tartományból. E hőmennyiség külső hővezetéssel zárt felületen. állítás Ez utóbbi a difA, (4.l) parciális
dA+ o=fv-(AmvT)dV= fAm 33-: A, V
+
f
A(T)
Az
összefüggés alapján A
látható
aa-"T dA
(4.5)
be.
Kírchhoff-féle
79
b
[TAcadz
u=
(4.6)
0
transzformáció
alkalmazásával
remértékfeladatot A
A fenti
(4.1), (4.2), (4.3) egyenletek által kijelölt nem-lineáris pe([1], [2]): peremérték feladatra tudjuk átalakítani
lineáris
0
=
u
a
következő
a
r
e
(4.7)
V,
u=u1
reAl,
(4.8)
U=Ug
reAz.
(4.9)
egyenletekben T!
=f
u,
A(§)dE,
(4.1o)
A(§)d§.
(4.11)
o
T!
u,=j
o
A A
A
=
(T) függvény )
u 1
monotonitásából
kifolyólag
fennáll
az
1
U 2
egyenlőtlenség. Könnyen belátható, hogy számítása
az
u
=
a (4.4) formulából a (r) függvény ismeretében
u
g hőmennyiség (hőáram)
%dA
g=f Al
összefüggés alapján
kiszámítható
(4.l3)
A (4.l3) végezhető.
felírásánál
formula
felhasználtuk
a
Vu=A(T)VT formulát, amely
a
(4.l4)
(4.6) egyenletből
következik.
Könnyen verifrkálható, ték feladat
u
=
u
hogy a (4.7), (4.8), (4.9) egyenletek által kijelölt pereméraz (r) megoldásfüggvénye a xp p (r) függvény ismeretében =
(4.l5)
u(r)=(u1-u,);p(r)+u, alakban
80
állítható
elő.
A
(4.l3)
formula
és
(4.l5) egyenlet kombinálásával
nyerjük
a
g=(u,-u,)f áfa/t A] összefüggést.
A
viszont
az
r,
n
A(s)ds=f
o
n
-T2)Tx(n,
a=X(T1,
n
A(s)ds-f 0
összefüggés felhasználásával
a
n)
(4.18)
(4.l7)
még
formula
tovább
(4.19)
A hőmérséklettől
(T, Tg) ,
K
függő
hőátbocsátási
(n,
n)
=
=
(n,
n)
=
alábbi
f
belső
értelmezett
(420)
Amaz.
hővezetési
tényezőjét
hővezetési
IIK (n,
formulával
TI
együtthatóval jellemzett
szilárd
anyagú
test
a
X (n, n) ko
összefüggéssel definiáljuk. A test R R (Ti, Tg) R
az
TI
Kamnwríí K
átalakítható:
ko (T, -T2).
(4.18) és (4.19) összefüggésekben szereplő X (TI, T;) úgynevezett ,,átlagos belső hővezetési együtthatót" jelöl:
=
A(s)ds=
n)
A
K
(4.21)
ellenállását
pedig
az
n)
(4.22)
előírással értelmezzük. A bizonyított (3.4), (3.8), (3.l2) egyenlőtlenségi relációk fennállnak az alábbi korlátok :
K(n,
a
(4-17)
Másrészt
u,-u2=f =(n
tényező segítségével még
(u: -u2)
is felírható.
alakban
hőátbocsátási
mértani
(4.16) összefüggés a ko
9=ko
(4.16)
n)sX(n,
n)k,
,
alapján írhatjuk, hogy
(4.23)
Km, K
7,)
(Ti; m
2
K (n,
2
K (Ti: m kg
n) k,
(4.24)
,
(425)
.
Megegyzések
5. 5.1.
A
(3.4), (3.8), (3.12) egyenlőtlenségi
közvetlenül
relációk
megkaphatók
D[cb]=fIvciaPdV
a
(5.1)
V
integrállal kapcsolatos korlátok azon esetre történő alkalmazásával, amikor (I) (I) (x, y, z) függvény a (2.8), (2.9) egyenletek által előVtartományban harmonikus írt peremfeltételt elégíti ki [6].
Dírichlet-féle
=
a
5.2
A k hőátbocsátási
tényező, illetve
szolgáló (2.16), (2.19), (2.20), (2.2l) merteti ([3], [4], [5]). sára
a
mértani
formulákat
a
hőátbocsátási vonatkozó
tényező szárnítá-
szakirodalom
is-
nem
a hővezetési ellenállás fogalmának nem-1ineákiterjesztésének jelentőségét az adja meg, hogy igen egyformulával szerű szerkezetű tudjuk kifejezni a g hőmennyiség (hőáram) és a Ti, T, hőmérsékletek kapcsolatát (lásd, a tanulmány (4.l9) képletét).
5.3
ris hővezetési
A hőátbocsátási
tényező, illetve
történő
problémára
IRODALOM H. S.-JEAGER 1. CARSLAW and New York, 1959. 2. FRÁNK-MISESJA szaki
3.
4.
I. C.: Heat
mechanika
Könyvkiadó Budapest,
PATTANTYÚS:Gépen szerkesztő
Sályi
GEREBEN
Z.:
és
1967.
conduction
ín solíds.
ed. Oxford
Unív.
Press, London Mű-
fizika differencia? és integrál egyenletei II. (fizikai) kötet. 6 577-680.
és villamosmérnökök
l. Műszaki
2 nd.
kézikönyve Könyvkiadó Budapest, 1961.
Épületfiztka gyakorló építészek
számára
2.
Alaptudományok-
A hőközlés
Műszaki
Fő-
Anyagismeret.
1184-1222.
Könyvkiadó Budapest,
1981.
41-61. M. A.: A hőátadás
gyakorlati számításának
alapjai. Tankönyvkiadó
5.
MIHALJEV
6.
DIAZ J. B.: Upper and Iower bounds for fluadmtic functionals, Prooeedings of Symposium Problems. A. and Stilhwater June. Oklahoma M,Oklahoma Spectral Theory and Differential
82
Budapest,
1953. on
1950.
SOME
REMARKS
TRANSMISSION
ON HEAT
COEFFICIENT
by 1. ECSEDI
Summary on heat transmíssion The author completes the most important instructions of geometric heat transmission by formula (2.1). The study reviews more formulae coefficient ín the case of the non-linear ljzing the concept of the heat transmission oonductional coefficient when intemal depends on temperature.
ooefficient
defined
coefficient heat
generaconductíon
BEMERKUNGEN ÜBER DIE WÁRMEDURCHGANGSZAHL
EINIGE
von
I. ECSEDI
Zusammenfassung bezüglich de: durch die Formel (2.1) Hauptziel dieser Arbeit ist, die wichtigsten Kenntnisse Wörmedmchgangszalú mit einigen Bemerkungen zu ergánzen. Die Studie macht mit mehreeine Verallren Formeln zur und liefert Ermittlung der geometrischen Wirmedurchgangszahl bekannt Wörmeleigemeinerung des Begritfes der Wármedurchgangszahl fúr denjenigen Fall der nicht-lineaxen eine Funktion die innere Wármeleitzahl de: Temperatur íst. tung, wenn Das
defmíerten
BAMEHAHI/líl
HEKOTOPHE
B CBHSM
C
KOSOOI/[IIHEHTOM
TEIIJIOIIEPEHAHH
I/I. EqEIll/I PeuoMe
Hepnumon Honepena-m,
aanauen
onpenenxeMon
reoMerpnuecKoro Penatm
mm
P0B0LIHocru
roro
paöoru annxercn cbopMynon (2.1).
Koacpqaunmenra cnyuax
nanaercx
Hemmemion
rennonepenatua,
nonommn
B
paöole
ocnonnme
mlorcn
oöoömaeTcn
rennonponom-Iocru,
Koma
summa HCCKOIILKO
Koscpcbuunenre TendJopMyn mm pacuera
o
Koacbcpnuneura TennoneTermonKoaqaqmuneur nuyrpeauen
rlonstme
cpyuxuuen reMneparypu.
83
A
NEHÉZIPARI
MÜSZAKI
KÖZLEMÉNYEI
III.
sorozat
GÉPÉSZET 30.
KÖTET
MISKOLC,
-
2
1985
-
3. FÜZET
EGYETEM
HU-ISSN
SZERKESZTŐ
szerkesztő
felelős
TIBOR, KOZÁK IMRE, ROMVÁRI
CZIBERE
PÁL, TAJNAFŐI
JÓZSEF
Nehézipari Műszaki Egyetem
a
A kiadásért
felelős:
Nyomdaszím:
Dr. Romvári
Pál
rektorhelyettes
Üzeme
Sokszorosító
NME
BIZOTTSÁG:
ZÉNÓ
TERPLÁN
Kiadja
0234-6728
KSZ-85-2380-NME
Miskolc-Egyetemváros, 1985. Engedély száma: 54 935
Sajtó
alá rendezte:
szerkesztőkzMárkus
Megjelent
az
Kézirat
NME
szedése:
Példányszám: Készült az
MSZ
Lászlóné,
Közleményei
1985.
VII.
l.
Zoltánné
Németh
Szerkesztőségének -1985.
IX.
31-ig.
gondozásában
A sokszorosítóba
leadva:
350
IBM-82
Elektronikus
5601-59
és 5602-55
A sokszorosításért
József egyetemi tanár
Dr. Farkas
Technikai
felelős:
Composer
szabványok Tóth
Ottó
mb.
szedéssel, szerint
üzemvezető
rotaprint
lemezről
12,5 B/5 ív terjedelemben
1985.
október
18-án.
TARTALOMJEGYZÉK
E csedi
Ecsedi
István:
Néhány megjegyzés Egy tétel
István:
kapcsolatban Ecsedi
.
István:
Drahos
István:
Uzunian: nek
M.
D.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
elasztosztatika .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
néhány tulajdonsága
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
történő
korongokkal
.
.
.
.
.
.
.
.
merevségével
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
körszöxülés
31
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
féle csavaxási .
.
.
.
Saint-Venant .
.
csavarási
rudak .
forgási jellemzőinek meghatározása
.
85
.
fel.
99
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
125 145
termelékenységé-
analízise
157
Wolframnélküli
Uzunjan:
.
nem-lineáris
a
.
.
.
gyémánt szemcsés
A
elméleti
Iván:
.
Fortuna-görbe
A
játosságai Detzky
.
Sodronykötelek
M.
D.
.
tényezővel kapcsolatban
anizotróp anyagú prizmatikus
az .
Kiegészítések
István: adatához
Barkóczi
.
hőátbocsátási
a
.
.
.
.
.
.
Végtelen féltér
szögimpulzusú
felületi
elektroeróziós
kcményfémek .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
hőmétsékleteloszlása
hőáramsűrűség
esetén
.
.
.
.
gyémántköszörülésének .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
eloszlás
kezdeti
egyenletes .
.
.
.
.
.
sa.
.
.
.
165
és négy.
.
.
.
.
179
195
