Cetakan I, Agustus 2014 Diterbitkan oleh: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Pattimura

Hak cipta dilindungi Undang-Undang

Cetakan I, Agustus 2014 Diterbitkan oleh: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Pattimura

ISBN: 978-602-97552-1-2

Deskripsi halaman sampul : Gambar yang ada pada cover adalah kumpulan benda-benda langit dengan berbagai fenomena

Seminar Nasional Basic Science VI F-MIPA UNPATTI

KARAKTERISTIK ELEMEN-ELEMEN DIAGONAL UTAMA PADA MATRIKS ATAS DIU YANG TERDIAGONALISASI E. R. Persulessy Staf Dosen Jurusan Matematika, Fakultas Matematikan dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Pattimura ABSTRAK Matriks yg dapat didiagonalkan memberikan kontribusi yang signifikan dalam proses perhitungan yg melibatkannya. Proses diagonalisasi suatu matriks sangat ditentukan oleh lapangan asal elemen-elemen yang menyusun matriks tersebut. Penelitian ini bertujuan untuk memperkenalkan langkah-langkah diagonalisasi suatu matriks yang elemen-elemennya berasal dari suatu Daerah Ideal Utama (DIU) dan karakteristik elemen di diagonal utama matriks hasil proses diagonalisasi tersebut. Metode yang digunakan dalam peneltian ini adalah metode studi pustaka yang melibatkan proses analisis tentang teori dasar matriks dan ring, terutama DIU, serta operasi-operasi yang berlaku pada matriks, untuk membuktikan suatu teorema yang akan menyajikan langkah-langkah diagonalisasi matriks yang dimaksud. Teorema diagonalisasi tersebut memberikan jaminan ekuivalensi antara matriks berukuran s  t atas DIU dengan matriks diag  d1 , d2 ,..., du  dengan u  min s, t dan d1 | d 2 | ... | du . Kata kunci: DIU, matriks diagonal, matriks elementer, unit.

PENDAHULUAN Proses diagonalisasi suatu matriks adalah proses yang melibatkan Operasi Baris Elementer (OBE) utk mengenolkan semua elemen matriks tersebut kecuali elemen di diagonal utama. Umumnya elemen suatu matriks berasal dari lapangan yang berbeda. Setiap lapangan memiliki ciri khas yang mempengaruhi proses diagonalisasi matriks. Salah satu lapangan yang telah dikenal adalah Daerah Ideal Utama (DIU). Proses diagonalisasi matriks atas DIU melibatkan matriks A dan B yg berukuran sama dan memenuhi B  XAY , dengan X dan Y masing-masing adalah matriks invertibel.

Teori dasar tentang ring, terutama DIU, sangat diperlukan karena elemen matriks dalam penelitian ini adalah anggota DIU (Fraleigh, 1980). Dasar-dasar pembuktian teorema diagonalisasi atas daerah Euclid dipergunakan sebagai pedoman untuk membuktikan berlakunya teorema tersebut atas DIU (Hartley&Hawkes, 1974). Penelitian ini bertujuan untuk memberikan metode

yang

sistematis

untuk

mendiagonalkan suatu matriks atas DIU dan memperkenalkan karakteristik matriks diagonal yang merupakan hasil proses diagonalisasi tersebut. Metode yang dihasilkan dari penelitian ini

dapat dijadikan sebagai pedoman tambahan untuk menemukan metode-metode

diagonalisasi matriks atas lapangan yang lain.

PROSIDING

187


DASAR TEORI Definisi 2.1. Sebuah matriks n  n disebut matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks satuan I n dengan melakukan sebuah operasi baris elementer tunggal, (Anton, 1991). Definisi 2.2. Jika X matriks bujursangkar dan dapat ditemukan matriks Y sehingga XY  YX  I , maka X dikatakan invertibel dan Y disebut invers X, (Anton, 1991).

Definisi 2.3. Diketahui A dan B dua matriks berukuran sama atas ring R. Matriks B ekuivalen dengan A atas R jika dan hanya jika terdapat matriks invertibel X dan Y sehingga B  XAY , (Anton, 1991). Definisi 2.4. Jika R ring komutatif dengan elemen satuan 1, a elemen R disebut unit jika ada

b  R sehingga ab  1 . Definisi 2.5. Misalkan A  R st . A disebut matriks diagonal jika aij  0 , untuk i  j . Lemma 2.6. Efek pergandaan awal (pre-multiplying) pada matriks : (i).

Bij , menukar baris ke-i dengan baris ke-j

(ii).

Bi  w , menggandakan baris ke-i dengan w

(iii).

Bij  r  , menambahkan r kali baris ke-j ke baris ke-i,

disebut operasi elementer baris. Efek pergandaan akhir (post-mutiplying) pada matriks : (i). K ij , menukar kolom ke-i dengan baris ke-j (ii). Ki  w , menggandakan kolom ke-i dengan w (iii). Kij  r  , menambahkan r kali kolom ke-j ke kolom ke-i, disebut operasi elementer kolom. Definisi 2.7. Suatu Daerah Integral (DI) R disebut DIU, jika untuk setiap ideal A dalam ring R, ada a0  A dengan sifat A  a0  ra0 | r  R . Teorema 2.8. Jika a, b  R DI dengan a | b dan b | a maka ada unit u  R sehingga a  ub . Definisi 2.9. Misalkan R DIU. Suatu d  R disebut elemen prima, jika d  0 dan d bukan unit maka untuk setiap a, b  R , jika d | ab maka d | a atau d | b . Definisi 2.10. Misalkan R DIU. Suatu d  R disebut elemen irredusibel, jika (i). d  0 , (ii). d bukan unit, (iii). untuk setiap a, b  R , jika d  ab maka a atau b unit.

188

PROSIDING


Teorema 2.11. Jika a, b  R DI maka pernyataan berikut ekuivalen : a). a | b dan b | a , b). Ra = Rb, c). Ada unit u  R sehingga b  ua Definisi 2.12. Suatu R DI disebut daerah faktorisasi tunggal (DFT), jika: 1. Setiap elemen di R yang bukan nol dan bukan unit dapat disajikan sebagai hasil ganda elemen irredusibel sebanyak berhingga 2. Jika a  p1 p2

pn dan b  q1q2

qn dengan

p1 , p2 ,

, pn , q1 , q2 ,

, qn elemen

irredusibel maka m = n dan setelah penukaran indeks pi dan qi bersekawan. Teorema 2.13. Setiap DIU adalah DFT. Teorema 2.14. Jika a, b  R DIU maka a dan b memiliki pembagi persekutuan terbesar d dan d = ra + sb, untuk suatu r , s  R . Sifat 2.15 Misalkan G, Im, H, J adalah matriks-matriks bujursangkar atas ring R yang masing-masing berukuran m  m, m  m, n  n dan p  p . Selanjutnya, K dan L adalah matriks berukuran q  n dan p  n atas R, (Brown, 1992).

Jika I H1   m 0 G L1   0

0 I ; J1   m  H   m n  m n  0

0 G ; K1    J   m p  m p  0

0 K   m q  m n

0 L   m p  m n 

maka a). Fakta 1 G K 1H 1   0 G J 1 L1   0

0  KH   m q  m n  0 JL   m p  m n 

b). Fakta 2 Jika H dan J matriks invertibel maka H1 dan J1 matriks invertibel.

c). Fakta 3 G Jika p  q maka J 1K 1H 1   0

PROSIDING

0  . JKH   m p  m n 

189


d). Fakta 4 Jika K

X dengan X suatu matriks maka K 1

G X 1 dengan X 1   0

0 . X 

e). Fakta 5 G Jika n  p maka H 1 J 1   0

0  . HJ   m n  m p 

f). Jika H dan J matriks invertibel maka H1J1 matriks invertibel.

HASIL PENELITIAN Misalkan R adalah DIU. Akibatnya untuk setiap r  R \ 0 berlaku r  wp1 p2

pn ,

dengan w unit, pi prima anggota R, n bilangan bulat positif dan mungkin pi  p j untu suatu

i  j , ( 1  i  n , 1  j  n ) karena berlaku Teorema Faktorisasi Tunggal. Dibentuk fungsi  : R \ 0 

 r  R 



  0 dengan aturan perkawanan

  r   n  jumlah elemen prima yang menyusun r.

Akibatnya   rr *    r     r *

untuk setiap r , r*  R \ 0 . Diketahui A   akl  matriks berukuran s  t dengan akl  R DIU. Akan ditentukan matriks C

A atas R, dengan 0  d1 0 0    C  C*    0 

serta d1 membagi habis semua elemen matriks C*. Pada proses ini terdapat tiga kasus yang mungkin terjadi, yaitu 1). a11 | a1 j dan a11 | ai1 , 2).  a1 j  a11 | a1 j , 3).  ai1  a11 | ai1 . Proses I Jika A bukan matriks nol maka dengan serangkaian operasi baris elementer dapat diasumsikan a11  0 . 190

PROSIDING


Kasus 1 Karena a11 aij dan a11 ai1 , maka a1 j  q j a11 dan ai1  pi a11 , untuk suatu pi , q j  R ( 1  i  s , 1  j  t ). Dengan operasi elementer kolom K j1  q j  dan baris Bi1   pi  pada A diperoleh matriks D

A , dengan

0  a11 0 0    D  D*    0 

Jika a11 membagi habis elemen D* maka diperoleh matriks C. Jika tidak berarti

d

ij

 D * a11 | dij . Dengan operasi baris B1i 1 pada D, diperoleh matriks D '   d kl' 

dengan d11'  a11 dan   d1' j  D ' d11' | d1' j . Diperoleh kasus 2. Kasus 2 Karena

 a

1j

 A a11 | a1 j , maka ada d  R dengan d  fpb a11 , a1 j  , d  0 dan

Ra11  Ra1 j  Rd . Sehingga   y1 , y j  R  a11  dy1 dan a1 j  dy j dengan   d     a11  . Jika   d     a11  maka   y1   0 , berarti y1 unit. Jadi d

a11 . Sehingga a11 | a1 j kontradiksi.

Jadi berlaku   d     a11  . Kemudian  x1 , x j  R  d  x1a11  x j a1 j , akibatnya

d  x1  dy1   x j  dy j   d  x1 y1  d j y j  Jadi, x1 y1  d j y j  1 . Selanjutnya, dibentuk matriks S yang berukuran t  t , dengan

 x1 0 S xj   0

0

yj

I j 2

0

0

y1

0

0

0  0  0   I t  j 

dan det  S   det  B  , det  It  j   det  I j 2   1 . Matriks  x1  B0 xj 

0 I j 2 0

 y1   0  y1 

adalah matriks berukuran j  j .

PROSIDING

191


Karena,

I det  B   x1  j 2  0

0 0 j 1   1   y j    y1  xj

 x1 I j  2 y1   1  x1 y1   1

j 1

  y   1

j 2

j

j 11 j  2

I j 2  0 

 I j 2  0 

0 x j 

y j I j 2 x j

 x1 y1   1 x j y j 2j

 x1 y1  x j y j 1 maka det  S   det  B  det  It  j   1 atau S adalah matriks invertibel. Jadi, matriks AS  a11 a 21 AS      as1

A atas R, dengan

a12

a1 j

a22

a2 j

as 2

a1t   x1 a2t   0  xj  ast   0

asj

 a11 x1  a1 j x j   a21 x1  a2 j x j    as1 x1  asj x j 

0

yj

I j 2

0

0

y1

0

0

a12

a11 y1  a1 j y1

a1 j 1

a22

a21 y1  a2 j y1

a2 j 1

as 2

as1 y1  asj y1

as j 1

0  0  0   I t  j  a1t   a2t    ast 

Misalkan AS  B  bkl  maka

b11  a11 x1  a1 j x j d dan

b1 j  a11 y j  a1 j y1    dy1   d  y j  y1 0 dan bij yang lain adalah kombinasi linier dari A   akl  . Proses selesai untuk kolom ke-j. Proses dilanjutkan untuk kolom j yang lain yang memenuhi kasus 2 hingga akhirnya diperoleh matriks A '   akl 

A atas R dengan

0  a11  a a A '   21 22    as1 as 2 192

0 a2 t    ast  PROSIDING


  dan   a11 Jika

   d     a11  .

 | ai1 , 2  i  s , a11

diperoleh

kasus

1.

Jika

 a11

juga

membagi

semua

aij , (2  i  s, 2  j  t ) , maka dengan operasi elementer baris Bi1  qi  , 2  i  s pada A  | aij maka dengan operasi diperoleh C. Jika ada aij  A ', (2  i  s, 2  j  t ) , hingga a11

elementer baris B1 j 1 diperoleh kasus 2. Tetapi jika ada ai1  A ',  2  i  s  sehingga

 | ai1 maka diperoleh kasus 3. a11 Kasus 3 Karena

 ai1  A ' a11 | ai1 ,

 , ai1  , q  0 dan maka ada q  R dengan q  fpb  a11

  qr1 dan ai1  qri dan   q     a11   . Kemudian   Rai1  Rq . Sehingga   r1 , r2  R  a11 Ra11

  h1, hi  R  q  h1a11  hi ai1 sehingga

h1r1  hi ri  1 .

Proses dilanjutkan seperti pada kasus 2 dengan membentuk matriks T yang berukuran s  s dengan

 h1 0 T   ri  0

0

hi

Ii 2

0

0

r1

0

0

0  0  0   I s i 

dan det T   det  B  det  I s i  dengan det  I s i   1 . Pada akhirnya diperoleh matriks A   akl 

 a11 a12  0 a 22  A     0 as2    dan   a11

A atas R, dengan

a1t  a2t    ast 

   q     p11  

   d     a11  .

 membagi semua aij, 2  i  s, 2  j  t ,  | a1j , 2  j  t , diperoleh kasus 1. Jika a11 Jika a11 maka dengan operasi elementer kolom K j1  r1*  , 2  j  t , pada A diperoleh C. Jika ada  | aij maka dengan operasi elementer baris B1 j 1 aij, 2  i  s, 2  j  t , sehingga a11

diperoleh kasus 2. Proses dilanjutkan kembali. Tetapi jika proses dilanjutkan dan mengingat

0

PROSIDING

      a11

   p11  

   a11 

193


berhingga, maka akhirnya diperoleh matriks W   wkl 

A atas R dengan   w11   0 . Jadi

w11 unit maka w11 | wij 1  i  s, 1  j  t  . Dengan operasi elementer baris Bi1   gi*  dan kolom

K ji   g j 

1  i  s, 1 

yang memenuhi

wi1  gi*w11 , w1 j  g j w11

dengan

gi* , g j  R

untuk

j  t  , diperoleh matriks C.

Proses II Setelah diperoleh matriks C, proses I dapat dilakukan pada matriks C* yang berukuran

 s  1   t  1

tanpa merubah baris 1 dan kolom 1 matriks C.

Jika St*1 dan T*s 1 matriks invertibel berukuran  t  1   t  1 dan  s  1   s  1 , dengan

S*t 1

 x2*  0  * xj   0

0

 y*j

I j 3

0

 h2* 0    0  0 * dan T s 1   *  ri 0    I t  j   0

* 2

0

y

0

0

0

hi*

I i 3

0

0

r2*

0

0

0   0  0   I s i 

maka menurut Sifat 2.15.a., berlaku  d1 0 0   C*  0

0     

1 0 0   S*t 1  0



0   d1 0  0    C * S*t 1     0

0     



merupakan kasus 2 yaitu  c2 j  C* c22 | c2 j ,  3  j  t  . Dan 1 0 0   T*s 1  0

0     

 d1 0 0   C*  0

0   d1 0  0  T*t 1C *       0

0     

merupakan kasus 3 yaitu   ci 2  C*  c22 | ci 2 ,  3  i  s  . Setelah berhingga langkah proses I pada C* diperoleh matriks C '* C * atas R, dengan d2 0 C '*     0

0

0   C **   

dan d 2 membagi habis setiap elemen C**. Jadi telah diperoleh matriks C ' C atas R, dengan

194

PROSIDING


 d1 0 0 d 2   C' 0 0    0 0

0 0 0    C **  

0

dan d1 | d 2 serta d1 membagi habis setiap elemen C**. Selanjutnya, proses I dilakukan pada C** tanpa mengubah baris 1 dan 2 serta kolom 1 dan 2 matriks C’. Akhirnya diperoleh matriks D*  diag(d1 , d2 , dan d1 | d2 |

| du serta D*

, du ) dengan u  min{s, t}

A atas R.

PENUTUP Kesimpulan 1.

Suatu matriks A yang berukuran s  t atas DIU akan ekuivalen dengan suatu matriks

diag(d1 , d2 , 2.

, du ) dengan u  min s, t .

Elemen-elemen diagonal utama matriks A berukuran s  t atas DIU memenuhi

d1 | d2 |

| du .

DAFTAR PUSTAKA Anton, H. 1991. Aljabar Linier Elementer, Edisi Kelima. Erlangga, Jakarta. Brown, W.C. 1992. Matrices Over Commutative Rings. Michael Dekker. Inc, New York. Fraleigh, J. B, 1980. A First Course in Abstract Algebra, Second Edition. Addison-Wesley Publishing Company, Massachusets. Hartley, B. and Hawkes, T.O. 1974. Ring Modules and Linear Algebra. Spottiswoode, Ballantyne & Co.Ltd. London and Cholchester.

PROSIDING

195


196

PROSIDING

Cetakan I, Agustus 2014 Diterbitkan oleh: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Pattimura

Recommend Documents