2011
Cerdik Matematika
Bambang Triatma
Matematika Cerdik Pustaka e-mail:
[email protected] [Type the phone number] [Type the fax number]
Cerdik Matematika 2011
1. Himpunan Himpunan adalah kumpulan obyek yang ciri keanggotaannya terdefinisikan dengan jelas 2. Kumpulan angka yang membawa keberuntungan; kumpulan angka pembawa sial; dsj., tak bisa disebut himpunan, karena ciri keanggotaannya tidak jelas, karena berbeda-beda antara orang satu dengan lainnya. 3. Kumpulan bilangan kelipatan dua bisa disebut himpunan, karena ciri keanggotaannya jelas. 4. Kumpulan mahasiswa miskin tidak bisa disebut himpunan, karena kriteria miskin tidak jelas. Tetapi jika kriteria miskin sudah ditentukan secara jelas, maka dalam batasan tertentu kumpulan ini bisa disebut himpunan. 5. Kumpulan mahasiswa cantik tidak bisa disebut himpunan, karena kriteria cantik tidak jelas. Tetapi jika kriteria cantik sudah ditentukan secara jelas, maka dalam batasan tertentu kumpulan ini bisa disebut himpunan. 6. Batasan tertentu ini kemudian menghasilkan himpunan universal. 7. Himpunan universal adalah himpunan yang menjadi topik pembicaraan 8. Misalnya himpunan universal bagi bilangan bulat positif ganjil yaitu 1, 3, 5, 7, . . . , dst.
2 Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
Cerdik Matematika 2011 9. Himpunan universal untuk mahasiswa miskin misalnya mahasiswa yang gaji orang tuanya kurang dari Rp.1.000.000,- per bulan. 10. Himpunan universal untuk mahasiswa cantik misalnya yang memenuhi syarat: harus berjenis kelamin perempuan, harus memiliki mata, harus memiliki mulut, letak hidung harus di bawah mata, letak mulut harus di bawah hidung, dst. 11. Ciri keanggotaan himpunan bisa dinyatakan secara verbal (dengan kata-kata) maupun dengan simbol. 12. Misal himpunan kelompok belajar Alfa Omega beranggotakan: Mirna, Ovie, Denis, Irfan, Cinta, Aisah, Nurul, bisa dinyatakan sbb: A = { Mirna, Ovie, Denis, Irfan, Cinta, Aisah, Nurul} Mirna
A (dibaca: Mirna anggota himpunan A).
tetapi M A (dibaca: M bukan anggota himpunan A), karena tak ada anggota bernama M. 13. Mendeskripsikan himpunan secara verbal, misalnya: {a, b, c, . . . , z} bisa dideskripsikan sebagai himpunan alfabet Inggris. {1, 2, 3, . . . } = himpunan bilangan dapat dihitung (counting numbers). Bilangan dapat dihitung (counting numbers) juga disebut bilangan asli (natural) oleh sebab itu sering disimbolkan dengan N. 3 Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
Cerdik Matematika 2011 {1, 3, 5, . . . } = himpunan bilangan dapat dihitung ganjil (odd counting numbers). {0, 1, 2, 3, . . . } = himpunan bilangan utuh (the whole numbers). {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . } = himpunan bilangan bulat (the integers}.
2 2 0 1 3 4 5 , , , , , , 3 2 5 3 2 3 4
adalah salah satu himpunan bagian dari
himpunan bilangan rasional. 14. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat a , b
dinyatakan sebagai
dimana a maupun b anggota
bilangan bulat, tetapi b tak boleh = 0. Dengan demikian himpunan bilangan rasional bisa dinyatakan sebagai Q = {x =
a b
a maupun b = bilangan bulat, tetapi b ≠ 0}.
4
merupakan anggota bilangan rasional, karena bisa dinyatakan sebagai
2 1
atau 4 , tetapi 2
3=
1,732050808.......
menghasilkan desimal tak ada hentinya dan tak berulang. Oleh sebab itu
3
tak dapat dinyatakan sebagai a , dimana b
a maupun b = bilangan bulat, maka 3 bukan bilangan rasional, tetapi 3 masuk bilangan irasional. 15. Bilangan irasional adalah lawan dari bilangan rasional. Bilangan irasional adalah bilangan yang tak dapat dinyatakan sebagai
a , b
dimana a maupun b anggota
bilangan bulat. Bilangan irasional bila dinyatakan dengan 4 Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
Cerdik Matematika 2011 desimal menghasilkan angka di belakang koma yang tak ada habisnya dan tak berulang, misalnya = 2 1,414213562........ tetapi jika desimalnya berulang, bilangan termasuk ke dalam bilangan rasional, misal 0,666666..... merupakan hasil dari 2 , maka masuk bilangan 3
rasional, demikian pula 0,33333.... =
1 . 3
Himpunan
bilangan irasional bisa dinyatakan sebagai: P = {x ≠
a b
a
maupun b bilangan bulat (the whole numbers)} misal {..., 5 , 3 , 2 , ...}. 16. Gabungan bilangan rasional dan irasional dikelompokkan ke dalam bilangan riil. Maka himpunan bilangan riil bisa dinyatakan sebagai R = semua bilangan rasional maupun irasional. 17. Bilangan kompleks: Jika - 5 bisa dinyatakan sebagai 2,236067977, tidak demikian dengan 5 . Bilangan 5 tidak dikelompokkan riil, karena tidak ada bilangan yang kalau dikuadratkan menghasilkan bilangan negativ. Maka 5 kemudian disederhanakan menjadi 5(1) = ( 5 )( 1 ). Selanjutnya 1 disimbolkan sebagai i, sedang 5 diselesaikan menjadi 2.236067977........, sehingga akhirnya menjadi (2.236067977....) i. Oleh sebab itu bilangan kompleks bisa dinyatakan sebagai C = {a + bi a maupun b anggota bilangan riil, sedangkan i = 1 . 5 Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
Cerdik Matematika 2011
Gambar 1 18. Himpunan bilangan asli (N) = himpunan bagian dari himpunan bilangan utuh (W), ditulis dalam simbol: N W. Bilangan 0 bukan anggota himpunan bilangan asli (N), ditulis dengan simbol: 0 N, tetapi 0 anggota himpunan bilangan utuh (W), ditulis dengan simbol: 0 W. 19. Himpunan bilangan utuh (W) = himpunan bagian sejati dari himpunan bulat (I), ditulis W I. Bilangan bulat 6 Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
Cerdik Matematika 2011 negativ (I-) bukan anggota himpunan bilangan utuh (W), misal -3 W, tetapi bilangan -3 anggota himpunan bilangan bulat (I), simbolnya -3 I. 20. Himpunan bilangan bulat (I) = himpunan bagian sejati dari himpunan bilangan rasional (Q). 21. Himpunan bilangan rasional = himpunan bagian sejati dari himpunan bilangan riil (R). Himpunan bilangan riil (R) = himpunan bagian sejati dari himpunan bilangan kompleks (C). 22. Dengan demikian: N W I Q R C. 23. Contoh penerapan: {3, 6, 9, . . . , 27} bisa dideskripsikan sebagai himpunan bilangan asli (atau bilangan dapat dihitung) kelipatan 3 dan kurang dari 28 (atau kurang dari 29, atau kurang dari 30). 24. Mengubah penulisan himpunan dari bentuk simbol ke dalam bentuk daftar bisa sbb: 25. Misal A = {x x adalah simbol digit pembentuk bilangan 1896}, dibaca: A adalah himpunan beranggotakan x dimana x adalah simbol dari bilangan 1896, maka anggota himpunan A terdiri dari: 1, 8, 9, dan 6 dan dituliskan sebagai {1, 8, 9, 6}. B = {x x > 5, x bilangan bulat ganjil}, dibaca: B adalah himpunan beranggotakan x dimana nilai x lebih besar dari 5, sedangkan x bilangan bulat ganjil, maka anggota himpunan B adalah {7, 9, 11, . . . } 7 Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
Cerdik Matematika 2011 C = {x 0 < x < 1, x bilangan dapat dihitung (counting numbers)}, dibaca: C adalah himpunan beranggotakan x dimana nilai-nilai x berada pada kisaran lebih dari 0 tetapi kurang dari 1, maka himpunan C tidak memiliki anggota sama sekali. Dengan demikian C adalah himpunan kosong, ditulis C = { } atau C = . D = {x x = 4n, n bilangan dapat dihitung (counting numbers)} maka D = {4, 8, 12, . . . }. 26. Dua himpunan disebut sama (equal) jika banyak maupun macam anggota-anggotanya sama, meskipun urutan penulisannya tidak sama. Misal: Himpunan { 1, 2, 3 } = { 3, 1, 2 } = { 3, 2, 1 }. 27. Diagram Venn: Jika himpunan universal U = {a, b, c, d, e}, A = {a, b, c}, dan B = {a, e}, gambarkan diagram Venn untuk situasi ini. Jawab:
Gambar 2 8 Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
Cerdik Matematika 2011 28. Perpotongan (intersection) antara A dan B disimbolkan: A B = {a}. Kesimpulan: A B = {x x A dan x B}. 29. Gabungan (union) antara A dan B disimbolkan: A B = {a, b, c, e}, boleh juga = {a, c, e, b}, boleh juga = {c, a, b, e}. Kesimpulan: A B = {x x A dan/atau x B}. 30. Komplemen A atau disimbolkan A’ (dibaca A prime) = {e, d} = {d, e}. Kesimpulan : A’ {x x U dan x A }. Bisa juga A’ = U-A. 31. Komplemen B disimbolkan B’ = {b, c, d} = {b, d, c} = {c, d, b} (urutan tidak mempengaruhi). 32. Diketahui A = {a, b, c}, dan B = {a, e}, maka A - B = {b, c}, sedang B - A = {e}, 33. Diketahui U = {a, b, c, d, e}; sedang A B = {a, b, c, e}, maka U – (A B) = {d}, Kesimpulan : A-B = {x x A dan x B} (A B)’ = {d}. 34. Jika U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, sedang A = {1, 3, 5}, sementara B = {2, 4}, tentukan : A’, B’, A’ B’, dan A B. Gambarkan pula diagram Venn-nya. Jawab: A’ = {2, 4, 6}; B’ = {1, 3, 5, 6}; A’ B’ = { 6 }; 9 Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
Gambar 3
Cerdik Matematika 2011 sedangkan A B = { } atau 35. Himpunan bagian (subset) (simbol : Misal jika A = {a, b, c}, sedang B = {a, b}, lalu C = {b}, maka B merupakan himpunan bagian dari A, simbolnya : B A; demikian pula C A; juga C B. Kesimpulan: B A jika setiap anggota dari B juga merupakan anggota dari A. 36. Menghitung banyaknya himpunan bagian. Jika A = { } maka A mempunyai 1 himpunan bagian yaitu { } atau . Jika A = { a } maka A mempunyai 2 himpunan bagian yaitu , dan { a}. Jika A = { a, b } maka A mempunyai 4 himpunan bagian yaitu , { a }, { b }, dan {a, b}. Maka A; juga {a} A, juga {b} A, juga {a, b} A. Tabel 1
Banyaknya anggota Banyaknya himpunan bagian dalam himpunan induk 0 2 pangkat 0 1 1 2 pangkat 1 2 2 2 pangkat 2 4 3 2 pangkat 3 8 n 2 pangkat n 2n Teori himpunan bagian di atas membuktikan bahwa segala bilangan jika dipangkatkan NOL menghasilkan SATU. 10 Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
Cerdik Matematika 2011 37. Banyaknya himpunan sebanyak tertentu: Tabel 2 Banyaknya anggota dalam himpunan induk 0
{ } atau
bagian
dengan
anggota
Banyaknya himpunan bagian beranggotakan: 0 1 2 3 {}
1
{a}
2
{a, b}
1 {} 1 {} 1 {}
{a} 1 {a}; {b} 2 {a}; {b}; {c}
{a, b}
1 3 {a,b,c} {a, {a, b, b}; c} {a, c}; {b, c} 1 3 3 1 38. Banyaknya himpunan bagian dengan anggota sebanyak tertentu ini menghasilkan segita yang dikenal sebagai Segitiga Pascal (untuk menghormati Blaise Pascal, 1623-1662). 39. Selain himpunan bagian ( ), ada juga himpunan bagian sejati ( ) atau the proper subset. Banyaknya himpunan bagian sejati adalah 2n-1 karena semua 11 Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
Cerdik Matematika 2011 merupakan himpunan bagian dari {a,b,c} kecuali {a,b,c} itu sendiri. Jadi {a,b,c} bukan himpunan bagian sejati ( ) dari {a,b,c}. Segitiga Pascal: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 Gambar 4 40. Hukum-hukum operasi himpunan: 41. Hukum yang melibatkan dan : 42. Hukum komutativ: AB = BA AB = BA 43. Hukum asosiativ: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C 44. Hukum distributiv: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) 45. Hukum yang melibatkan dan U: A = A A = AU = U AU = A 12 Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
Cerdik Matematika 2011 AA = A AA = A 46. Hukum yang melibatkan komplemen: A A’ = U A A’ = U’ = ’ = U (A’)’ = A 47. Hukum De Morgan: (A B)’ = A’ B’ (A B)’ = A’ B’ 48. Hukum yang melibatkan selisih himpunan: A-B = A B’ U-A = A’
Gambar 5
Gambar 8
Gambar 6
Gambar 7
13 Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
Cerdik Matematika 2011 Latihan: 1. Buatlah daftar anggota himpunan {xx adalah bilangan bulat kurang dari 10} 2. Gambarlah diagram Venn A B; A B; A-B; A’-B; A’ B; A' B’. 3. Gambarlah diagram Venn untuk melukiskan himpunan berikut: {x x A atau x B}; {x A atau x B}; {x x A dan x B}. 4. Dengan melihat gambar di samping kanan, tentukan himpunan berikut: a. B-A, b. A B A C
Gambar 9 5. Di antara 200 calon putri Indonesia, 70 orang bisa berbahasa Perancis, 40 orang bisa berbahasa Jerman, 75 orang bisa berbahasa Spanyol, 10 orang bisa berbahasa Perancis dan Jerman, 30 orang bisa berbahasa Perancis dan Spanyol, 15 orang bisa berbahasa Jerman dan Spanyol, sedangkan 70 orang tidak menguasai satupun dari bahasa-bahasa itu. Jika diketahui bahwa tak ada satupun calon yang menguasai tiga bahasa sekaligus: 14 Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
Cerdik Matematika 2011 a. Berapa banyak calon yang menguasai dua bahasa?, b. Berapa banyak calon yang menguasai bahasa Spanyol saja?, c. Berapa banyak calon yang menguasai bahasa Spanyol, tetapi tidak menguasai bahasa Perancis?
2. Logika 1. Pernyataan (statement) = kalimat yang dapat ditentukan nilainya benar atau tidak. 2. Contoh pernyataan: Dua adalah bilangan genap. (Pernyataan yang nilai kebenarannya = 1). Simbol angka 1 mewakili nilai benar. Simbol lain yang sama nilainya adalah T (True). Dua adalah bilangan ganjil. (Pernyataan yang nilai kebenarannya = 0). Simbol angka 0 mewakili nilai salah. Simbol lain yang sama nilainya adalah F (False). 3. Contoh bukan pernyataan: Benarkah dua bilangan genap? (bukan pernyataan karena tak dapat ditentukan benar tidaknya). Jam berapakah sekarang? (bukan pernyataan). 4. Menentukan nilai kebenaran dari gabungan (compound) dua pernyataan: p = Semarang adalah ibukota Jawa Tengah.
15 Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
Cerdik Matematika 2011 Jika kenyataannya Semarang memang ibukota Jawa Tengah, maka pernyataan p mempunyai nilai kebenaran = 1 atau T (True). Jika ternyata Semarang bukan ibukota Jawa Tengah, maka pernyataan p nilainya = 0 atau F (False). q = Jawa Tengah terletak di pulau Jawa. Pernyataan gabungan p dan q disimbolkan p q dinyatakan benar jika dan hanya jika p benar dan q juga benar. Tabel kebenaran p dan q sbb: Tabel 3 p q 1 1 1 0 0 1 0 0 Jika ditulis dengan cara lain sbb: Tabel 4
pq 1 0 0 0
p q pq T T T T F F F T F F F F 5. Gabungan pernyataan p dan q disebut konjungsi, sedangkan gabungan pernyataan p atau q disebut disjungsi seperti berikut ini: 16 Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
Cerdik Matematika 2011 p = Menurunkan harga minyak. q = Menaikkan gaji pegawai. p atau q disimbolkan p q memiliki tabel kebenaran sbb: Tabel 5 p q pq 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 6. Penyangkalan (negasi): p = Menurunkan harga minyak. Negasi dari p disimbolkan p = Bukan menurunkan harga minyak. Jika p nilainya 1 atau T (True), maka p nilainya 0 atau F (False). q = Menaikkan gaji pegawai. Negasi dari q disimbolkan q = Bukan menaikkan gaji pegawai: Tabel 6 p q p q 1 0 0 1 0 1 1 0 7. Contoh: Buatlah tabel kebenaran pernyataan (p Q). Tabel 7 p 1 1 0 0
q 1 0 1 0
q 0 1 0 1
p q 0 1 0 0
(p q) 1 0 1 1 17
Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
Cerdik Matematika 2011 8. Jika dua pernyataan memiliki kesamaan nilai pada tabel kebenaran, maka dua pernyataan tersebut disebut ekuivalen (disimbolkan ). Contoh: Buktikan dengan tabel kebenaran bahwa pernyataan p (q r) (p q) (p r). Jawab: Tabel 8 p q r qr p(qr) pq pr (p q) (p r) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Hasil menunjukkan bahwa isian pada kolom p (q r) identik dengan kolom (p q) (p r), membuktikan bahwa p (q r) ekuivalen dengan (p q) (p r).
9. Pernyataan Kondisional:satu arah dan dua arah. p = Pernyataan penyebab (antecedent); q = Pernyataan akibat (consequent). Misal: p = Saya lupa lupa mengisi bensin; q = Motor saya mogok. 18 Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
Cerdik Matematika 2011 10. Jika p maka q disimbolkan p q (Kondisional 1 arah) Jika saya lupa mengisi bensin, maka motor saya mogok, tetapi tidak berarti bahwa mogoknya motor saya selalu disebabkan oleh kelupaan saya mengisi bensin. Juga tak masuk akal bila saya lupa mengisi bensin, tetapi motor saya tetap jalan. Oleh sebab itu tabel kebenaran p q sbb: Tabel 9 p 1 1 0 0
q 1 0 1 0
pq 1 0 1 1
11. Pernyataan kondisional dua arah sbb: p = Tuhan sudah berkehendak mengambil nyawa seseorang. q = Seseorang pasti mati. q jika dan hanya jika P, disimbolkan p q (kondisional 2 arah). Seseorang pasti mati, jika dan hanya jika Tuhan sudah berkehendak menyambil nyawa orang itu. Pernyataan: “Tuhan sudah berkehendak mengambil nyawa seseorang, tetapi ternyata orang itu tidak mati”, pasti tidak mengandung kebenaran. Demikian pula pernyataan: “Seseorang telah mati, tetapi setelah dicheck ternyata Tuhan tidak berkehendak mengambil
19 Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
Cerdik Matematika 2011 nyawa orang itu”, pasti tidak mengandung kebenaran. Oleh sebab itu tabel kebenaran p q sbb: Tabel 10 p 1 1 0 0 12. Buktikan bahwa p (qp): Tabel 11
q 1 0 1 0
pq 1 0 0 1 q ekuivalen dengan (pq)
p q pq pq qp 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 Terbukti p q (pq) (qp).
(pq) (qp) 1 0 0 1
13. Buktikan bahwa pernyataan “Jika saya lupa mengisi bensin, maka motor saya mogok” ekuivalen dengan pernyataan “Saya tak boleh lupa mengisi bensin atau motor saya mogok”. p = Saya lupa mengisi bensin; q = Motor saya mogok. 20 Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
Cerdik Matematika 2011 Tabel 12 p q pq p 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 Terbukti (pq) (pq). 14. Variasi kondisional q p merupakan converse dari p q q p merupakan contrapositive dari p q p q merupakan inverse dari p q Tabel 13
q 1 0 1 0
p q 1 0 1 1
conditional contrapositive converse Inverse p q pq qp qp pq 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 Perhatikan bahwa (p q) (q p) 15. Misal buktikan bahwa jika n2 adalah ganjil, maka n juga ganjil. Jawab: p = n2 ganjil; q = n ganjil; (pq) (qp) 2 2 2 q = n genap; p = n genap; misal n = 2k, maka n = 4k = 2 (2k2). Karena 2k = genap; maka 2 (2k2) = genap. terbukti bahwa “jika n genap, maka n2 juga genap”. 21 Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
Cerdik Matematika 2011 Karena kontrapositiv ekuivalen dengan kondisional, maka terbukti bahwa “jika n2 ganjil, maka n juga ganjil”. 16. Buktikan dengan tabel kebenaran bahwa pernyataan “Jika dia teman saya, maka dia pasti mengenali saya” ekuivalen dengan “Ternyata dia tidak mengenali saya, maka dia bukan teman saya”. Jawab: p = dia teman saya; q = dia mengenali saya. Tabel 14 p q pq q p qp 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 Terbukti bahwa (pq)(qp). 17. Pernyataan yang kesimpulannya selalu benar disebut tautologi. Misal : Buktikan dengan tabel kebenaran bahwa pernyataan p atau bukan p adalah tautologi. Tabel 15 p p p p 1 0 1 0 1 1 terbukti bahwa pp selalu menghasilkan nilai 1, jadi p suatu tautologi.
p
22 Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
Cerdik Matematika 2011 18. Pernyataan yang kesimpulannya selalu salah disebut kontradiksi. Misal: Buktikan dengan tabel kebenaran bahwa pernyataan p dan bukan p adalah kontradiksi. Tabel 16 p p p p 1 0 0 0 1 0 terbukti bahwa p p selalu menghasilkan nilai 0, jadi p suatu kontradiksi. 19. pq jika dan hanya jika pq suatu tautologi.Misal: Buktikan bahwa pernyataan (pq) pq. Tabel 17
p
p q pq (pq) p q pq [(pq)]( pq) 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 terbukti bahwa [(pq)]( pq) suatu tautologi. 20. Implikasi: Pernyataan p dikatakan berimplikasi terhadap pernyataan q (simbolnya p q) jika dan hanya jika kondisional jika p maka q (simbolnya p q) tautologi. Contoh: Buktikan bahwa [(p q) p] q. Jawab:
23 Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
Cerdik Matematika 2011 Tabel 18 p q pq [(p q) p] [(p q) p] q 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 terbukti bahwa [(p q) p] q tautologi. 21. Hukum-hukum yang melibatkan pernyataan: Hukum commutative : (p q) (q p), dibaca: p atau q ekuivalen dengan q atau p. (p q) (q p), dibaca: p dan q ekuivalen dengan q dan p. Hukum assosiative: (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) Hukum distributive: p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) Jika t adalah tautologi (pernyataan yang nilainya selalu benar), dan c adalah kontradiksi (pernyataan yang nilainya selalu salah), maka: (p c) p (p c) c (p t) t (p t) p (p p) p (p p) p Hukum-hukum yang melibatkan negasi: Jika t adalah tautologi, sedang c adalah kontradiksi, maka: 24 Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
Cerdik Matematika 2011 (p p) t (p p) c t c c t Hukum-hukum De Morgan: (p q) p q (p q) p q
pp
22. Penerapan logika: Himpunan universal U = {1, 2, 3, 4, 5, 6]. p = pernyataan “bilangannya adalah genap”. Himpunan yang sesuai dengan pernyataan p adalah P = {2, 4, 6}. P adalah himpunan bagian dari U, yang mana P merupakan himpunan kebenaran dari p, yaitu himpunan yang menyatakan bahwa p bernilai benar. Jika q adalah pernyataan “bilangannya ganjil”, maka himpunan yang sesuai dengan pernyataan q adalah Q = {1, 3, 5}. Q adalah himpunan kebenaran dari q. 23. Argumen: Premis adalah pernyataan sebelumnya yang mendahului kesimpulan. Kesimpulan (conclusion) adalah pernyataan yang dibuat berdasarkan premis. Argumen adalah klaim bahwa suatu kesimpulan dibuat sudah berdasarkan premis-premis yang ada sebelumnya. Argumen ada yang valid dan ada yang invalid.
25 Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
Cerdik Matematika 2011 24. Argumen yang valid adalah argumen yang ketika semua premis benar, maka semua kesimpulannya juga benar. Contoh kesimpulan yang valid sbb: p = saya lupa mengisi bensin; q = motor saya mogok Jika saya lupa mengisi bensin, maka motor saya mogok. Sesampainya di tengah perjalanan, ternyata motor saya mogok. Kesimpulan: kemungkinan karena saya lupa mengisi bensin atau karena penyebab lain, alias bukan karena lupa mengisi bensin. Bukti bahwa kesimpulan ini valid sbb: Tabel 19 Premis Premis Kesimpulan 1 2 p q p pq q p p 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 Jadi Simbol argumennya sbb: pq q -------------------------- p p valid.
Pemeriksaan kevalidan 1 dan 1 hasil 1 1 dan 1 hasil 1 Kesimpulan valid
26 Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
Cerdik Matematika 2011 25. Jika ketika semua premis benar, kesimpulannya tidak semuanya benar, maka argumen yang dibentuk tidak valid. Contoh kesimpulan yang tidak valid: p = saya lupa mengisi bensin. q = motor saya mogok. Premis 1 = jika saya lupa mengisi bensin, maka motor saya mogok, disimbolkan: p q Premis 2 = ternyata motor saya mogok, disimbolkan q Kesimpulan :Saya lupa mengisi bensin, disimbolkan p. Kita akan membuktikan bahwa kesimpulan ini tidak valid sbb: Tabel 20 Premis 1 Premis 2 Kesimpulan Pemeriksaan kevalidan p q pq q p 1 1 1 1 1 1 dan 1 hasil 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 dan 1 hasil 0 0 0 1 0 0 Jadi Kesimpulan tidak valid Simbol argumennya sbb: pq q --------------------------p, tidak valid.
27 Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
Cerdik Matematika 2011 26. “Jika dia ayah saya, maka dia tahu nama kecil saya. Kenyataannya dia tidak tahu nama kecil saya, jadi saya pastikan bahwa dia bukan ayah saya”, buktikan kesimpulan ini valid. p = dia ayah saya; q = dia tahu nama kecil saya; pq q --------------------------p Pembuktian sbb: Tabel 21 p 1 1 0 0
q 1 0 1 0
Premis 1 pq 1 0 1 1
Premis 2 q 0 1 0 1
Kesimpulan p 0 0 1 1
Kevalidan
1 dan 1 hasil 1 Valid
27. Buktikan bahwa kesimpulan argumen berikut valid. Komputer adalah alat yang penting. Alat penting biasanya harganya mahal. ---------------------------------------------Komputer biasanya harganya mahal.
28 Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
Cerdik Matematika 2011 JAWAB: Premis 1 “Jika barang yang dimaksud adalah komputer (k), maka barang tersebut adalah alat yang penting (t)”. Premis 2 “Jika suatu barang adalah alat yang penting (t), maka biasanya harganya mahal (h)”. Kesimpulan : “Komputer biasanya harganya mahal”. kt th ----------kh Pembuktian: Tabel 22 k 1 1 1 0 0 0 1 0
t 1 1 0 1 0 1 0 0
h 1 0 1 1 1 0 0 0
Premis 1 Premis 2 kt th 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1
Kesimpulan kh 1 0 1 1 1 1 0 1
kevalidan 1 dan 1 hasil 1
1 dan 1 hasil 1 1 dan 1 hasil 1
1 dan 1 hasil 1 Kesimpulan valid
29 Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
Cerdik Matematika 2011 Bentuk-bentuk argumen yang umum: Modus Modus Hypothetical Ponens Tollens Syllogism pq pq pq p q qr ---------------------------q p pr
Disjunctive Syllogism pq p ---------q
LATIHAN: 1. Buktikan apakah kedua pasangan pernyataan ini ekuivalen apa tidak: (p q); p q p q; p q p q; p q p (p q); p p (p q); p p q ; p q (p q) r; p q r 2. Buktikan bahwa pasangan-pasangan pernyataan ini ekuivalen satu sama lain: p (p q) (p q) p (p q) p q (p q) (p q) p [(p q) (p r)] r [p (q r)] p (p q) p
30 Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
Cerdik Matematika 2011 3. Berikan kesimpulan yang benar terhadap premis-premis ini: pq qr s r -------- ...................................... 4. Buktikan validitas argumen ini. Jika Anda sudah menyelesaikan tugas (t), maka Anda boleh pulang (p). Anda belum menyelesaikan tugas: jadi Anda belum boleh pulang. 5. Premis 1: Jika Agus sedang belajar, maka Beni juga ikut belajar. Premis 2: Cinta akan belajar, jika dan hanya jika Beni belajar. Premis 3: Devi tak pernah belajar, jika Cinta sedang belajar. Premis 4: Devi selalu ikut belajar, jika Edi sedang belajar. Buktikan kesimpulan bahwa Agus tak pernah belajar, jika Edi sedang belajar.
31 Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
Cerdik Matematika 2011
3. Sistem Bilangan ab x ac = .... ab / ac = .... Tulislah bilangan decimal berikut ke dalam bilangan biner: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16,17 Tulislah bilangan basis non sepuluh berikut ini ke dalam basis sepuluh (decimal): 11012 1435 4678 Selesaikan operasi bilangan-bilangan basis dua dan lima ini: 1101 dua 1101 dua 342 lima 342 lima + 101 dua - 111 dua + 213 lima -123 lima -------------------------------------
32 Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
Cerdik Matematika 2011
33 Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
Cerdik Matematika 2011
34 Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
Cerdik Matematika 2011
35 Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
Cerdik Matematika 2011
36 Cerdik Pustaka: e-mail:
[email protected]
