BOVO-rekenstrategieënboek

Primas Scholen Groep

BO en VO: Rekenen op elkaar

BOVO-rekenstrategieënboek De BOVO-werkgroep Rekenen Gwendolijn Meulenbroek en Henk Theune, VCO Middelburg Piet de Nooijer en Sjaac Verelst, Primas-scholengroep Joska Dellebeke en Stephan Schouten, Perspectief-Scholengroep Sjoerd Sanderse, ABS Middelburg Erik Landman, Martin Hofman en Dick Hoeksema, Chr. Sg. Walcheren

Walcheren, 11 mei 2011

Inhoudsopgave 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Inleiding Breuk of één geheel? Drempelonderzoek leerjaar 1 VO Algemene aanbevelingen Strategieën Nuttige bronnen Slot

BOVO-rekenstrategieënboek mei 2011

1


2

1. Inleiding Het niveau van taal en rekenen moet omhoog, de aansluiting tussen de verschillende schooltypen moet beter. In opdracht van de regering ontwierp de Commissie Meijerink daartoe referentieniveaus. Nauwkeurig is vastgelegd wat de leerlingen moeten kennen en kunnen aan het eind van het basisonderwijs (BO), het voortgezet onderwijs (VO) en het middelbaar beroepsonderwijs (MBO). Per 1 augustus 2010 zijn de referentieniveaus taal en rekenen wettelijk van kracht. Het wat is hiermee door de overheid geborgd. Voor een niveauverhoging en een betere aansluiting is echter ook afstemming nodig over het hoe. Welke aanpakstrategieën (didactiek) worden gehanteerd? Hoe gaan we om met de zwakkere leerlingen? Samenwerking is geboden, binnen en tussen vakgroepen en scholen. Alleen dan is er sprake van doorlopende leerlijnen. De leerlijnen starten in het BO. Een goede afstemming van leerstof (wat) en didactiek (hoe) tussen BO en VO is van cruciaal belang. De BOVO-stuurgroep van VCO Middelburg, Perspectief-scholen, Primasscholen, ABS en CSW heeft voor rekenen de handschoen opgepakt. De vorige rekenafspraken dateren van 2003. In september 2010 installeerde de stuurgroep opnieuw een BOVO-werkgroep Rekenen. Leerkrachten van groep 8 (namens 23 Walcherse basisscholen) en leraren wiskunde van de CSW kregen de opdracht een naadloze aansluiting te smeden tussen BO en VO en die te verankeren in een BOVO-rekenstrategieënboek. Zo kunnen BO en VO ‘Rekenen op elkaar’! De opdracht is in projectvorm gegoten: Algemeen doel: Het bevorderen van de rekenvaardigheid van leerlingen in het BO en VO. Doel van het project: Het realiseren van een doorlopende ontwikkelingslijn van BO naar VO voor het aanleren en onderhouden van rekenvaardigheid. Uitgangspunt: de per 1 augustus 2010 wettelijke referentieniveaus 1F/1S (het ‘wat’). Resultaat: bindende kernafspraken m.b.t. de leerstofverdeling en de afstemming van didactiek in de vorm van een ‘strategieënboek’ (het ‘hoe’) per 1 mei 2011. Duurzame implementatie per cursusjaar 20112012. Voor dit project ‘BO en VO: Rekenen op elkaar’ verleende de provincie Zeeland een resultaatsubsidie van maximaal € 5.000,- .

2. Breuk of één geheel? In het kader van haar opleiding tot HBO Master Special Educational Needs deed Gwendolijn Meulenbroek, lid van de BOVO-werkgroep Rekenen, onderzoek naar de aansluiting van het BO op het VO op het gebied van rekenen/wiskunde. Gwendolijn formuleerde twee onderzoeksvragen: 1. Welke problemen ervaren leerkrachten en leerlingen in de aansluiting van het BO op het VO op het gebied van rekenen/wiskunde? 2. Welke aanpassingen zijn er mogelijk in groep 8 van de Cypressenhof en in de brugklas van de CSW, om het rekenonderwijs op de Cypressenhof beter te laten aansluiten op rekenen/wiskunde in de brugklas van de CSW? Haar conclusies vormden een belangrijke bouwsteen voor het werk van de BOVO-werkgroep. De belangrijkste conclusies (zie de pagina’s 25 t/m 29 van haar onderzoeksverslag) N.a.v. onderzoeksvraag 1: De leerlingen ervaren als een probleem: vermenigvuldigen en delen, breuken en procenten. De leerkrachten noemen dezelfde onderwerpen aangevuld met optellen en aftrekken, de rekenvolgorde, de staartdeling, de basisvaardigheden (bijv. de tafels t/m 10), het begrijpend lezen van een context en het noteren van de berekening. BOVO-rekenstrategieënboek mei 2011

3

N.a.v. onderzoeksvraag 2, aanbevelingen voor het BO: - Leer leerlingen omgaan met het noteren, plannen en uitvoeren van huiswerk. - Bied leerlingen voldoende uitdaging op het gebied van rekenen/wiskunde, een deel van de leerlingen zou graag al starten met leerstof van het VO. - Geef voldoende aandacht aan de onderwerpen geschetst bij onderzoeksvraag 1. Uit het onderzoek blijkt dat meer dan de helft van de leerlingen de berekening niet hoeft te noteren. Leer de leerlingen hoe ze de berekening op een overzichtelijke manier kunnen opschrijven. - Aanbevelingen van de leerlingen: • goede instructie en zonodig extra hulp • afstemming werkwijze BO- en VO-docenten (uitwisselen methodeboeken) • kennismaken met geodriehoek, passer en rekenmachine. N.a.v. onderzoeksvraag 2, aanbevelingen voor het VO: - Hulp bij het noteren, plannen, aanpakken en uitvoeren van huiswerk. - Onderhoud de rekenvaardigheden in het VO. Hoe lager het schoolniveau, hoe kleiner het percentage leerlingen in de proefklassen dat het referentieniveau haalt. VMBObk-leerlingen komen landelijk gezien binnen met een flinke rekenachterstand (Schölvink, 2010). Dit vraagt extra aandacht [ook van het BO!]. - Afstemming met het BO over materiaal voor rekenzwakke leerlingen. - Aanbevelingen van de leerlingen: • starten met herhaling BO-stof (de onderwerpen van onderzoeksvraag 1) • nieuwe leerstof en huiswerk rustig opbouwen • goede instructie en zonodig extra hulp • afstemming werkwijze BO- en VO-docenten (uitwisselen methodeboeken) • betere voorbereiding op repetities (in het BO als gemakkelijk, in het VO als moeilijk ervaren) De leerlingen en leerkrachten noemen het belang van goede doorlopende rekenleerlijnen tussen BO en VO. Het belang van goede communicatie geldt ook voor de auteursgroepen van methodes voor het BO en het VO.

3. Drempelonderzoek leerjaar 1 VO In september/oktober 2010 is in alle klassen van leerjaar 1 op de CSW het drempelonderzoek afgenomen. Bij de leerlingen werd het niveau gemeten van technisch lezen, spelling, woordenschat, begrijpend lezen en rekenen. De resultaten zijn voor elke leerling per onderdeel uitgedrukt in een didactisch quotiënt (analoog aan het intelligentiequotiënt) en in een didactisch leeftijdequivalent (een vergelijking met het gemiddelde resultaat van de Nederlandse leerlingen aan het eind van groep 8). Op basis van het een combinatie van de resultaten voor de vijf onderdelen, geeft het drempelonderzoek voor elke leerling een advies voor het te volgen schooltype. Bij de afname van het drempelonderzoek moet de kanttekening gemaakt worden dat de afnamecondities bij het onderdeel rekenen niet in alle klassen vlekkeloos waren: de tijd was wel eens te kort, er was wel eens onduidelijkheid of er kladpapier gebuikt mocht worden en sommige leerlingen bleven steken in een opgave die niet lukte en stapten niet over naar de volgende opgave. Naar het oordeel van de leerkrachten groep 8 in de BOVO-werkgroep waren de rekenopgaven van het drempelonderzoek ‘niet moeilijk’ met een ‘normale vraagstelling’ en ‘naar verhouding met het Cito weinig redactiesommen’. Wat opvalt is dat de resultaten voor het onderdeel rekenen duidelijk achterblijven bij de resultaten van de andere vier onderdelen, bij leerlingen in alle schooltypen. Zo hebben in een gymnasiumklas van 29 leerlingen 16 leerlingen gemiddeld het rekenniveau van eind groep 7 (didactisch leeftijdequivalent = 50). Het tweede wat opvalt is een groot verschil in rekenniveau tussen vergelijkbare leerlingen van verschillende basisscholen. Alle basisscholen krijgen naast een algemeen overzicht, feedback op de resultaten van hun eigen leerlingen voor dit drempelonderzoek. Hieruit kunnen twee zaken geconcludeerd worden:


4

1. Het VO zal expliciet aandacht moeten besteden aan het repareren van achterstanden, het (opnieuw) aanleren en het onderhouden van rekenvaardigheden. 2. Het BO (de ene basisschool meer dan de andere) zal expliciet aandacht moeten besteden aan het op niveau brengen en houden van rekenvaardigheden, tot het eind van groep 8..

4. Algemene aanbevelingen (in het algemeen voor BO en VO, tenzij anders vermeld) 4.1 Literatuur - De aandachtspunten bij het realiseren van een doorlopende leerlijn voor rekenen in BO en VO kunnen niet beter omschreven worden dan door Gelderblom, Kaskens & Van Rij in hun boekje ‘Doorlopende leerlijn rekenen-wiskunde. Risicoleerlingen en interventies.’ (2009). Dit boekje wordt samengevat in de Kwaliteitskaart PO ‘Zwakke rekenaars in de bovenbouw’. Verplichte literatuur! - Voor rekenen-wiskunde zijn in 2006 voor het basisonderwijs 11 kerndoelen geformuleerd (zie bijv. Noteboom, 2009: 43-44). De formulering is beknopt. De kerndoelen geven geen beheersingsniveau aan. Het zijn aanbodsdoelen. De Commissie Meijerink heeft in het rapport ‘Over de drempels met rekenen’ (2008) referentieniveaus geformuleerd voor rekenen en taal, voor de overgangen van de verschillende schooltypes. Dit met als doel de drempels tussen verschillende schooltypes te slechten en de kwaliteit van de leeropbrengsten te verhogen. Voor het basisonderwijs zijn voor rekenen twee referentieniveaus beschreven: 1F, het fundamenteel niveau, en 1S, het streefniveau. 1F is het niveau dat alle kinderen aan het eind van de basisschool moeten bereiken. Het betreft hier dus beheersingsdoelen, die kinderen echt moeten bereiken (voor 80% beheersen), dus niet alleen maar aangeboden moeten krijgen. Het referentieniveau 1F omvat de kerndoelen uit 2006. 1S is een uitdagend perspectief voor leerlingen die meer aankunnen. - Niveau 1F past bij leerlingen die na de basisschool naar VMBObk gaan, niveau 1S bij leerlingen die doorstromen naar MAVO, HAVO of VWO. Noteboom (2009: 45-54) plaatst de onderdelen van de referentieniveaus 1F en 1S van Meijerink in een tabel naast elkaar en Vliegenthart e.a. (2011) hebben van deze overzichten van 1F en 1S twee overzichtelijke rekenposters gemaakt. Op www.rekenlijn.nl (Freudenthal Instituut, SLO & KPC, 2010) is veel voorbeeldmateriaal van de niveaus 1F en 1S te vinden.

Figuur 1: De referentieniveaus zijn hier verdeeld in de fundamentele niveaus en de streefniveaus: Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen (Meijerink, 2008).


5

Figuur 2: Het referentiekader is hier gekoppeld aan het onderwijsstelsel: Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen (Meijerink, 2008).

4.2 Het IGDI-model (Interactief, Gedifferentieerd, Directe Instructiemodel) voor convergente differentiatie - Voorkomen moet worden dat zwakkere leerlingen met een eenvoudiger aangepast programma (individuele leerlijn) niet alle onderwerpen behorend bij de minimumdoelen krijgen aangeboden en zo op een didactische zijlijn terecht komen (divergente differentiatie). In de praktijk van de rekenles betekent dit, dat alle leerlingen met dezelfde onderwerpen bezig zijn, maar dat de leraar daarbinnen zorgt voor differentiatie, met verlengde instructie en elementaire, concrete verwerkingsopdrachten voor de zwakkere leerlingen en meer complexe en formelere opdrachten voor de meer rekenbegaafde leerlingen. Het meest effectief, met de meeste tijd voor instructie op maat, blijkt dan het IGDI-model voor convergente differentiatie, waaraan een vaste automatiseringsoefening is toegevoegd (Gelderblom c.s., 2009: 15-17, 30-32; Kwaliteitskaart PO: 2-3). Automatiseringsoefening 5 minuten Groepsinstructie 15 minuten Zelfstandig werken 15 minuten

Verlengde instructie + begeleide verwerking 15 minuten Zelfstandig werken 10 minuten

Servicerondje 10 minuten Zelfstandig werken Feedback 10 minuten Afsluiting 5 minuten

4.3 Verrijkingsstof Geadviseerd wordt voor de rekenbegaafdere leerling uitdagende verrijkingsstof in de breedte te zoeken. We volgen dus niet de wens van een deel van de BO-leerlingen (Meulenbroek, 2011: 25; zie ook hoofdstuk 2), om in het BO al te starten met leerstof van het VO. Een pilot met VO-boeken in groep 8 (Jos Cevaal, 2010; Cypressenhof) heeft geleerd dat verrijking met stof uit het VO praktisch lastig te realiseren is. Bovendien verloren de leerlingen al snel hun belangstelling. Daarnaast zal bij een verrijking met VO-stof een aantal leerlingen op een later moment de voor hen bekende leerstof weer tegenkomen, wat dan demotiverend zou kunnen werken. Het gaat erom de leerlingen te blijven uitdagen. 4.4 Het automatiseren van de basisbewerkingen en het onderhouden daarvan. Veel zwakke rekenaars hebben geheugenproblemen. Het duurt bij hen vaak langer voor bepaalde rekenvaardigheden geautomatiseerd worden. Automatisering van de tafels van vermenigvuldiging en rekenen tot honderd kan wel twee jaar kosten. Vervolgens is het erg belangrijk dat hier blijvend aandacht voor is. Bij onvoldoende aandacht zakken eenmaal verworven vaardigheden snel weer weg (Gelderblom c.s., 2009: 34-35). BOVO-rekenstrategieënboek mei 2011

6

4.5 Beschrijving onderdelen die zwakke rekenaars die 1F niet halen, minimaal gehad moeten hebben bij de overgang naar het VO. - De sterretjeslijst uit de Ophaalbrug van 2003 is gebaseerd op de toen geldende kerndoelen BO. De nieuwe referentieniveaus zijn daar niet meer op af te stemmen. Voor alle BO-leerlingen geldt in principe dat ze minimaal het fundamenteel niveau 1F moeten halen. - Noteboom (2009: 9-31) heeft referentieniveau 1F geconcretiseerd in een beschrijving van fundamentele doelen met voorbeelden. [Pas op: deze fundamentele doelen werden in 2008 door Noteboom en later door Gelderblom c.s. (2009: 21-24) en de Kwaliteitskaart PO: 1-2 minimumdoelen genoemd.] Naar schatting zal zo’n 10% van de leerlingen in het BO, ondanks alle inspanningen, het fundamentele niveau 1F niet halen. Het betreft de ongeveer 3% kinderen die naar het praktijkonderwijs of LWOO gaan en zo’n 50% van de VMBOb-leerlingen, die toch naar VMBOb gaan, ook gezien hun capaciteiten bij andere vakken. Zij scoren aan het eind van het BO nu lager dan de gemiddelde leerling medio groep 7 (Nooteboom, 2009: 37). Hiervoor heeft Noteboom (2009: 37-41) speciale doelen ontworpen, afgeleid uit de fundamentele doelen 1F en meer gericht op betekenisvolle contextsituaties. Deze speciale doelen zijn gericht op maatschappelijke redzaamheid en de beroepenwereld. Het gaat om huis-tuin-keuken rekenen en de onderliggende kennis en vaardigheden die daarvoor nodig zijn. Wel alle onderdelen van 1F (ook breuken, procenten, kommagetallen) komen aan de orde, maar op een basaal, betekenisvol niveau. Dit speciale niveau geven we hier verder aan met 1F*. - Te verwachten is dat schrijvers van rekenmethodes in het BO zullen aangeven welke stof in hun boeken bij de niveaus 1F*, 1F en 1S hoort. 4.6 De volgorde van de bewerkingen (het ‘trapje’) - Het ‘trapje’ uit de Ophaalbrug van 2003 is nog onverkort van kracht: De volgorde bij rekenen kun je onthouden met dit trapje:

1. Wat tussen haakjes staat 2. Vermenigvuldigen en Delen 3. Optellen en Aftrekken

Je gaat in dit trapje van boven naar beneden. Wat hoger staat heeft voorrang op wat lager staat, dus V(ermenigvuldigen) gaat vóór A(ftrekken). Voorbeeld: 10 – 4 x 2 = 10 – 8 = 2 Wat op dezelfde hoogte staat heeft geen voorrang op elkaar, dus V(ermenigvuldigen) gaat niet vóór D(elen). Je maakt in dat geval de opgave gewoon van links naar rechts. Voorbeeld: 8 : 2 x 4 = 4 x 4 = 16 Een opgave kun je maken door de treden van boven naar beneden te volgen. Het is handig de stappen onder elkaar te zetten. Voorbeeld: 100 – 8 : 2 x ( 1 + 3 ) + 5 = (eerst wat binnen haakjes staat) 100 – 8 : 2 x 4 +5= (nu vermenigvuldigen en delen van links naar rechts) 100 – 16 + 5 = 89 (dan optellen en aftrekken van links naar rechts) 4.7 Gebruik van hulpmiddelen in het BO - Het gebruik van de rekenmachine voor een aantal basisbewerkingen hoort bij niveau 1F (en ook bij 1F*). Te denken valt aan de basisbewerkingen (+, -, x, :) met hele getallen en kommagetallen, het gebruik als controlemiddel en aan het rekenen met lastige getallen na een schatting van de uitkomst (vergelijk Noteboom, 2009: 17, 40). - Gebruik van passer en geodriehoek kan beschouwd worden als extra en is niet van belang als voorbereiding op het VO. BOVO-rekenstrategieënboek mei 2011

7

4.8 Notaties - Om leerlingen te leren correct te redeneren, hechten we veel waarde aan het noteren van de uitwerking en het goed opschrijven van de tussenstappen. Het onder elkaar schrijven van de tussenstappen maakt de kans op fouten het kleinst. Zie de voorbeelden bij punt 6. - Bij afrondingen hoort het ≈ - teken gebruikt te worden. Het = - teken staat altijd tussen twee gelijke hoeveelheden. Voorbeelden: goed is: 5 + 2 x 3 = 5 + 6 = 11 en 5,7 ≈ 6 fout is: 5 + 2 x 3 = 2 x 3 = 6 + 5 = 11 (breien) en 5,7 = 6.

5. Strategieën 5.1 Vooraf Zwakke rekenaars raken in de war als zij een bepaald type som eerst op de ene en later op een andere manier moeten oplossen. Het is belangrijk als scholen in een dergelijk geval een duidelijke keuze te maken voor een basisstrategie die altijd werkt en iedere leerling moet beheersen. Sterkere rekenaars krijgen natuurlijk ook andere strategieën aangeboden en moeten uitgedaagd worden om handig te rekenen (slimme volgorde, compenseren, splitsen, verdubbelen/halveren e.d.). Maar als het een keer niet handig lukt met een bepaald type opgave, dan kan altijd teruggegrepen worden naar de basisstrategie. (Gelderblom e.a., 2009: 35-36; Kwaliteitskaart PO: 5-6). We doen aanbevelingen voor de basisstrategieën van de belangrijkste bewerkingen voor cijfermatig rekenen, uit het hoofd en op papier, zoals aangeleerd in groep 8. Het spreekt vanzelf dat een keuze voor een bepaalde strategie een keuze is van het hele team in het basisschool, alleen dan kan er sprake zijn van doorlopende leerlijnen vanaf groep 1. Zie voor de opbouw bijv. www.rekenlijn.nl We gaan uit van de (chrono)logische lijn BO -> VO, dus van de rekenmodellen in het BO. De belangrijkste vormen en bewerkingen: - getallen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, gehele getallen, breuken, gemengde getallen, decimale getallen (kommagetallen), getallenlijn - verhoudingen: tabellen, breuken, procenten - meten en meetkunde: lengte, oppervlakte, inhoud (metriek stelsel), tijd, geld, gewicht, temperatuur - verbanden: tabellen, grafieken, diagrammen


8

5.2 Optellen, aftrekken •

Rijgen is veiliger dan splitsen, maar bij veel tussenstappen (niet breien!) is er ook bij rijgen extra risico op het maken van fouten. In groep 8 wordt daarom al snel besloten getallen onder elkaar te zetten, komma’s onder elkaar.

Voorbeelden

0,16 89,065 700,07 + 789,295 • • • •

komma’s netjes onder elkaar zetten

Daarbij wordt voor alle leerlingen gekozen voor de korte vorm (cijferend optellen en aftrekken), dus niet bijv. eerst eenheden, tientallen en honderdtallen apart optellen (kolomsgewijs optellen en aftrekken), hoogstens als tussenvorm om begrip bij te brengen. Optellen en aftrekken langs de getallenlijn is een inzicht bevorderend hulpmiddel, met name toegepast in de onderbouw BO. De relatie tussen plus- en minsommen, bijv. vleksommen, moet door alle leerlingen gekend worden. Handig rekenen (strategieën als verwisselen, mooie getallen combineren, compenseren e.d). is er als uitdaging voor de sterkere rekenleerling.

5.3 Vermenigvuldigen • •

De tafels t/m 10 moeten gekend en onderhouden worden vanaf groep 4. Leerlingen die de tafels niet onder de knie krijgen, mogen gebruik maken van een tafelkaart, evt. deels afgedekt. Bij het vermenigvuldigen van grotere getallen wordt voor het bijbrengen van inzicht wordt wel eens de lange vorm gebruikt, maar vanwege het extra risico op fouten wordt ook hier voor alle leerlingen uiteindelijk gekozen voor de korte vorm.

Voorbeeld 1. Er wordt [tamelijk dwingend] gestreefd naar de kortste methode:

niet gewenst kolomsgewijs vermenigvuldigen: 234 67 x 28 (7x4) 210 (7x30) 1400 (7x200) 240 (60x4) 1800 (60x30) 12000 + (60x200) 15678

67 x 234 = wel gewenst cijferend vermenigvuldigen: 234 67 x 1638 (7x234) 14040 + (60x234) 15678


9

Voorbeeld 2.

• •

2,34 6,7 x 1638 14040 + 15,678

Komma’s hoeven niet onder elkaar, want de komma wordt pas op het laatst [schattend!] gezet. [truc: 2,34 en 6,7 dat zijn totaal 3 cijfers achter de komma, dus ook 3 cijfers achter de komma in het antwoord.]

(7x 234) (60x234)

Tip: laat het kolomsgewijs of cijferend rekenen met grote getallen of kommagetallen (voorbeeld 2) bij zwakke rekenaars achterwege. Gebruik dan een globale schatting en de rekenmachine (Kwaliteitskaart PO: 6). Zie ook punt 4.7 hierboven. In redactie-opgaven gaat het vaak om het inzicht welke bewerking toegepast moet worden. Belangrijk is dat een leerling de rekenopgave met de tussenstappen opschrijft.

5.4 Delen • •

We onderschrijven de inzicht bevorderende waarde van het kolomsgewijs delen. Vergelijk de voorbeelden van Gelderblom e.a. (2009: 35) en de Kwaliteitskaart PO (pag. 5). Een deelsom wordt uitgevoerd volgens een vierstappenplan: 1. Maak een schatting. 2. Maak een verdubbelingstabel [een ‘lolly’, voeg 10x en 5 x toe] 3. Maak de deelsom [de getallen netjes onder elkaar: eenheden onder eenheden, tientallen onder tientallen, enz.; de verticale lijn is de ‘kommalijn’; neem zo groot mogelijke happen] 4. Controleer de uitkomst met behulp van de schatting.

Voorbeeld 1. 828 : 9 = Neem zo groot mogelijke happen!

1. Schatting maken: 828 : 9 ≈ 810 : 9 = 90 2. Lolly maken: 99 1x 2x 4x 8x 10 x 5x 3. Deelsom maken:

9 18 36 72 90 45

8 2 8 7 2 0 1 0 8 9 0 1 8 1 8 0

:

9 = 9 2 8 0 x 1 0 x 2 x 9 2 x

streven naar: 8 2 8 8 1 0 1 8 1 8 0

:

9 = 9 2 9 0 x 2 x 9 2 x

4. Dus 828 : 9 = 92 Controleren: de schatting was 90, het antwoord 92 kan.


10

Voorbeeld 2. 663 : 6 = 1. Schatting maken: 663 : 6 ≈ 660 : 6 = 110 2. Lolly maken: 96 1x 2x 4x 8x 10 x 5x 3. Deelsom maken:

6 12 24 48 60 30

6 6 3 6 0 0 6 3 6 0 3

:

6 = 1 1 0 rest 3 1 0 0 x 1 0 x 1 1 0 x

4. Dus 636 : 6 = 1103/6 = 110½

Controleren: de schatting was 110, het antwoord 110½ kan.

Voorbeeld 3. 345 : 1,7 = 1. Schatting maken: 345 : 1,7 = 3450 : 17 ≈ 3400 : 17 = 200 (eerst de komma uit de deler wegwerken) 2. Lolly maken: 17 9 1x 2x 4x 8x 10 x 5x 3. Deelsom maken:

3 3

17 34 68 136 170 85

4 4

5 0 5 3 1 1

0 0 0 4 6 3 2 1

:

0 6 4 7 7 6

1

7

=

2 2

0 0

2, 0

9

4

1

2

0 8 2 1

0 7 3

2

0

x x

0,

8

x

0,

1

x

0,

0

4

0. 2,

0 9

0 4

x 1 1

x x

4. Dus 345 : 1,7 ≈ 202,941 Controle: de schatting was 200, dus 202,941 kan. De plaats van de komma in het antwoord is belangrijk. Hiervoor is de schatting (stap 1) en de controle (stap 4) van groot belang. BOVO-rekenstrategieënboek mei 2011

11

•

De staartdeling, cijferend delen, bevordert niet het inzicht, maar is erg efficiënt. Voor de zwakkere leerling is het lastig twee verschillende methoden te hanteren. Onze aanbeveling: leer de (potentiële) HAVO/VWO-leerling naast kolomsgewijs delen ook cijferend delen, de staartdeling, bijv. vanaf april in groep 8, maar doe dat niet bij (potentiële) VMBO/MAVO-leerlingen. Voor de VO-vakken waarin gerekend wordt (wiskunde, economie enz.. ) is de gebruikte methode i.h.a. niet meer van belang omdat de rekenmachine gebruikt wordt.

Voorbeeld 4. Kolomsgewijs en cijferend delen naast elkaar: In juni 2010 wilden 7398 automobilisten overgezet worden naar het eilanden. Op de veerboot passen 28 auto’s. Hoe vaak moet de veerboot varen? 7 5 1 1

3 6 7 6 1 1

9 0 9 8 1 1

8 0 8 0 8 2 6

:

2

8

=

2 2

2

6 0

4 0

rest 6 x

6

0

x

6

4 4

x x

2

8

/

7 5 1 1

3 6 7 6 1 1

9 9 8 1 1

8

\

2

6

4

rest 6

8 2 6

De veerboot moet 264 + 1 = 265 keer varen om alle automobilisten over te zetten. • •

Voor beide methoden geldt: om ze te onderhouden moet regelmatig geoefend worden, bij voorkeur met ‘normale’ getallen. De vaardigheid moet ingeslepen worden, zonder dat leerlingen van de wijs gebracht worden. Tip: laat het kolomsgewijs of cijferend rekenen met grote getallen of kommagetallen (voorbeeld 3) achterwege. Gebruik dan een globale schatting en de rekenmachine (Kwaliteitskaart PO: 6).

5.5 Breuken, gemengde getallen, decimale getallen, procenten, getallenlijn • • •

Oefenen met de verschillende verschijningsvormen is belangrijk. 2 Breuk als deel-geheel relatie [ /5 reep], als (resultaat van) een deling, als punt op de getallenlijn, 2 als meetgetal [ /5 liter], als verhouding. Er is een duidelijke relatie met kommagetallen en procenten. Een breuk kan met een schuine streep en met horizontale deelstreep geschreven worden. In de referentieniveaubeschrijvingen 1F/1S van Meijerink wordt de terminologie ‘geheel getal’, ‘breuk’, ‘gemengd getal’ en ‘decimaal getal’ gebruikt.

Voorbeeld verschillende verschijningsvormen: procenten 100 %

breuken

kommagetallen

een hele

1

1

50 %

de helft / een tweede

1 2

0,50

33 %

een derde

1 3

0,33

25 %

een kwart / een vierde

1 4

0,25

20 %

een vijfde

1 5

0,20

10 %

een tiende

1 10

0,10


12

• •

Tip: Laat van kommagetallen altijd de betekenis noemen. Bijv. 6,13 = zes dertienhonderste. Bewerkingen met breuken en gemengde getallen zijn lastig. Van belang voor het optellen en aftrekken is het gelijknamig maken en voor het vermenigvuldigen en delen het eerst schrijven als een breuk. Bij delen van breuken is het handig eerst te vermenigvuldigen met de noemer(s).

Voorbeelden 3

15 : /4 = 60 : 3 = 20 3

9

3

2 ¼ : /4 = /4 : /4 = 9 : 3 = 3 • •

Vaak wordt enkel geoefend op model- en formeel niveau. Voor het begrip is het erg belangrijk regelmatig te schakelen naar concreet niveau. Aanleren, inoefenen en onderhouden hebben tijd nodig. In groep 8 wordt alleen nog het ‘delen door een breuk’ als nieuw aangeleerd. De getallenlijn wordt t/m groep 8 gebruikt als hulpmiddel.

5.6. Verhoudingen: tabellen, breuken, procenten •

De horizontale verhoudingstabel speelt een centrale rol bij het aanleren van verhoudingen en procenten. Hoe handiger toegepast hoe beter; voor de zwakkere leerling zijn 100% en 1% belangrijke ankerpunten.

Voorbeelden 1 op de 3 kinderen komt te voet naar school. In totaal gaan er 240 kinderen naar school. Hoeveel kinderen komen te voet?

Antwoord: 80 kinderen komen te voet.

Hoeveel is 8% van 25?

Antwoord: 8% van 25 = 2. Tip: Het is vaak handig om tussen 100% en 1% nog 10% en 5% toe te voegen. 5.7 Metriek stelsel (lengte, oppervlakte, inhoud), gewicht, tijd, geld • • •

Veel aandacht wordt in het BO besteed aan de beleving van de eenheden. Bijv. hoeveel 2 leerlingen passen er op een m ? De betekenis van de voorvoegsels kilo, hecto. deca, deci. centi, milli zijn belangrijk. Bij een schematische weergave kan ook het effect op de verplaatsing van de komma goed uitgelegd worden.


13

Lengtematen

km

hm

dam

m

dm

x10

cm

mm

:10

Oppervlaktematen

km²

hm² dam² m² dm² cm² mm² ha are ca x100

Inhoudsmaten

3

m

:100 3

cm ml

3

dm liter

x1000

mm 3 :1000

Inhoudsmaten

l Gewichten

kg

dl

cl

ml

x10

hg x10

:10

dag

g

dg

cg

mg

:10 BOVO-rekenstrategieënboek mei 2011

14

6. Nuttige bronnen - BOVO-Kwaliteitsgroep Rekenen-Wiskunde, 2003. De Ophaalbrug. Te downloaden van www.cswalcheren.nl > Relaties > Basisonderwijs > ‘De Ophaalbrug’ > Verslag rekenen-wiskunde. - Freudenthal Instituut, SLO & KPC, 2010. Rekenlijn – Stroomlijning en visualisering leerlijnen rekenen 4 14 jaar. www.rekenlijn.nl - Gelderblom, G. Kaskens, J. en Rij, van, Z., 2009. Doorlopende leerlijn rekenen-wiskunde. Risicoleerlingen en interventies. Amersfoort: CPS. Te downloaden van www.cps.nl - Groenestijn, M., 2008. Rekenvaardigheid in de brugklas. Te downloaden via www.google.nl - Kwaliteitskaarten PO ‘Zwakke rekenaars in de bovenbouw’ en ‘Effectief omgaan met goede rekenaars’. Te downloaden van www.rekenpilots.nl - Meulenbroek, G., 2011. Breuk of één geheel? Aansluiting basisonderwijs op voortgezet onderwijs op het gebied van rekenen/wiskunde. - Meijerink, H., 2008. Over de drempels met rekenen. Te downloaden van www.taalenrekenen.nl - Noteboom, A., 2009. Fundamentele doelen Rekenen-Wiskunde. Uitwerking van het Fundamenteel niveau 1F voor einde basisonderwijs, versie 1.2’. Te downloaden van www.rekendoelen.slo.nl - Schölvinck, M., 2010. Doorlopende leerlijn rekenen in het vo. Zes kwaliteitskenmerken voor het vormgeven van het rekenonderwijs. Te downloaden van www.cps.nl - Vliegenthart, M. e.a., 2011. Rekenposters 1F / 1S. Te bestellen via www.aps.nl Voor actuele informatie: www.taalenrekenen.nl, www.schoolaanzet.nl > referentieniveaus en www.steunpunttaalenrekenenvo.nl Voor dagelijkse automatiseringsoefeningen: gratis www.rekenweb.nl, www.beterrekenen.nl, www.rekenbeter.nl, www.rekenapk.nl en tegen een bescheiden bedrag http://www.fi.uu.nl/zoefi/zOEFiflyer.pdf 7. Slot Alleen als BO en VO met elkaar een doorlopende leerlijn BO->VO voor rekenen (en taal) creëren, kan ons onderwijs effectief zijn. Daarbij gaat het om afspraken m.b.t. de verdeling van leerstof en het de behalen niveau (het wat), maar ook over de gehanteerde didactiek en aangeleerde strategieën (het hoe). ‘Het wat’ is nu geborgd door de nieuwe referentieniveaus. Voor ‘het hoe’, is afstemmingsoverleg nodig tussen docenten BO en VO en bovenal tussen methodeschrijvers BO en VO. In de BOVO-werkgroep realiseren we het BO-VO afstemmingsoverleg tussen docenten. Als BOVO-werkgroep adviseren we 1. de methodeschrijvers BO en VO hun methoden op elkaar af te stemmen en daarbij aan te geven welke leerstof bedoeld is voor de verschillenden referentieniveaus (in het BO: 1F*, 1F, 1S en evt. verrijking) en 2. de docenten BO en VO bij de keuze van een nieuwe methode op punt 1. te letten. 3. de docenten VO kennis te nemen van de strategieën die in het BO aangeleerd worden (denk bijv. aan het kolomsgewijs rekenen en het gebruik van de verhoudingstabel) en daarop aan te sluiten.

1F* = huis-tuin-keuken rekenen


15


16

Onderhoud

Kommagetallen

Breuken

Hele getallen

Groep 1

Groep 3

Getallen en bewerkingen tot 100

Groep 2

Groep 5

Groep 6

Schattend rekenen

Structuur van kommagetallen

Gelijkwaardigheid en vergelijken

Klas 1

Negatieve getallen

Rekenvaardigheden onderhouden en uitbouwen

Rekenen met kommagetallen

Bewerkingen met breuken

Samenhang breuken en kommagetallen

Klas 2

Eigenschappen van bewerkingen

Uitbreiding getalsysteem

Groep 8

Grote getallen en het rekensysteem

Breuken: begrip en taalontwikkeling

Kommagetallen verkennen

Breuken: ervaringen vooraf

Groep 7

Vermenigvuldigen en delen: standaardprocedures

Optellen en aftrekken: standaardprocedures

Vermenigvuldigen en delen: hoofdrekenen

Getallen tot 1000

Optellen en aftrekken: hoofdrekenen

Groep 4

Getallen (opgehaald 11 mei 2011 van www.rekenlijn.nl, waarop ook een uitwerking van de cellen is te vinden)


17

Groep 2

Samenhang verhoudingen, breuken, procenten

Procenten

Groep 3

Verhoudingen: verkenning

Verhoudingsproblemen oplossen

Groep 1

Verhoudingen Groep 5

Vermenigvuldigen en delen

Verhoudingen kwantitatief

Groep 4

Groep 7

Groep 8

Klas 1

Samenhang breuken, verhoudingen, procenten

Rekenen met de rekenmachine en percentages als factor

Rekenen met procenten

Procenten: introductie, ankerpunten

Klas 2

Werken met de vermenigvuldigingsfactor

Verhoudingen vergelijken

Verhoudingstabel gebruiken

Verhoudingsproblemen oplossen met ankerpunten

Groep 6


18

Groep 2

Groep 3

Ruimtelijke oriëntatie

Oriëntatie op meten

Meetkunde

Meten

Groep 1

Meten en Meetkunde

Lengte

Groep 4

Groep 5

Groep 7

Representeren en visualiseren

Klas 1

Klas 2

Rekenen in de meetkunde

Omstrek/oppervlakte/inhoud

Metriek maatstelsel

Groep 8

Vormen en figuren

Oppervlakte

Grootheden en meetinstrumenten

Groep 6


19

Groep 2

Grafieken en tabellen

Voorschriften en formules

Groep 1

Verbanden

Groep 3

Groep 4

Groep 5

Groep 6

Groep 8

Rekenvoorschriften

Klas 1

Redeneren over (lineaire) verbanden (2S)

Klas 2

Tabellen, grafieken en diagrammen

Verbanden: ervaringen vooraf

Groep 7

BOVO-rekenstrategieënboek

Recommend Documents